2023年全国高考数学模拟试卷(附答案)
2023年全国新高考数学仿真模拟卷(一)数学试题
一、单选题二、多选题1. 已知函数在上单调递减，则实数a 的取值范围是（ ）A．B．C．D．2. 设，，则“”是“”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件3.已知集合，则A．B．C．D．4. 已知i是虚数单位，若，则（ ）A ．1B．C ．2D ．45.设为坐标原点，为抛物线：的焦点，为上一点，若，则的面积为（ ）A ．2B．C．D ．46.已知实数满足，则的最大值为A ．1B ．2C ．3D ．47. 随着北京冬奥会的开幕，吉祥物“冰墩墩”火遍国内外，现有甲、乙、丙、丁4名运动员要与1个“冰墩墩”站成一排拍照留恋，已知“冰墩墩”在最中间，甲、乙、丙、丁4名运动员随机站于两侧，则甲、乙2名运动员站“冰墩墩”同一侧的概率为（ ）A．B．C．D．8. 已知 ，对任意的，都存在，使得成立，则下列选项中，θ可能的值为（ ）A．B．C．D．9.如图，已知长方形中，，，，则下列结论正确的是（）A ．当时，B．当时，C ．对任意，不成立D．的最小值为410. 设定义在R 上的函数与的导数分别为与，已知，，且的图象关于直线对称，则下列结论一定成立的是（ ）A．函数的图象关于点对称B．函数的图象关于直线对称C．函数的一个周期为8D ．函数为奇函数2023年全国新高考数学仿真模拟卷（一）数学试题2023年全国新高考数学仿真模拟卷（一）数学试题三、填空题四、解答题11.已知点在直线上移动，圆，直线，是圆的切线，切点为，.设，则（ ）A ．存在点，使得B ．存在点，使得C．当的坐标为时，的方程为D ．点的轨迹长度是12. 已知的顶点在圆上，顶点在圆上.若，则（ ）A．的面积的最大值为B．直线被圆截得的弦长的最小值为C ．有且仅有一个点，使得为等边三角形D．有且仅有一个点，使得直线，都是圆的切线13. 的展开式中，常数项为________.14. 如图，在中，，，，为内的一点，且，，则________．15. 的展开式中的系数为__________．（用数字作答）16. 已知为单调递增的等差数列，设其前项和为，，且，成等比数列．（1）求数列的通项公式；（2）求的最小值及取得最小值时的值．17. 已知，，函数的最小值为1.（1）求的值；（2）若恒成立，求实数的取值范围.18. 已知函数．(1)若有3个零点，求a 的取值范围；(2)若，，求a 的取值范围．19. 今年上海疫情牵动人心，大量医务人员驰援上海．现从这些医务人员中随机选取了年龄（单位：岁）在内的男、女医务人员各100人，以他们的年龄作为样本，得出女医务人员的年龄频率分布直方图和男医务人员的年龄频数分布表如下：年龄（单位：岁）频数2020301515(1)求频率分布直方图中a的值；(2)在上述样本中用分层抽样的方法从年龄在内的女医务人员中抽取4人，从年龄在内的男医务人员中抽取2人，再从这6人中随机抽取2人，求这2人中至少有1人的年龄在内的概率．20. 已知函数.（1）若，求在定义域上的极值；（2）若，求的单调区间.21. 已知中，角，，所对的边分别为，，，满足.(1)求的大小；(2)如图，，在直线的右侧取点，使得，求为何值时，四边形面积的最大，并求出该最大值．。
2023年高中数学高考模拟试题3(附答案)
2023年高中数学高考模拟试题（附答案）姓名班级学号得分说明：１、本试卷包括第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。
满分100分。
考试时间90分钟。
２、考生请将第Ⅰ卷选择题的正确选项填在答题框内，第Ⅱ卷直接答在试卷上。
考试结束后，只收第Ⅱ卷第Ⅰ卷（选择题）评卷人得分一、单选题(每题5分，共50分)1．(本题5分)（）A．B．C．D．2．(本题5分)已知集合，，则（）A．B．C．D．3．(本题5分)函数的零点个数是（）A．0B．1C．2D．34．(本题5分)已知数列为递减的等比数列，，且，，则公比为（）A．B． C.D．25．(本题5分)在中，已知，D为BC中点，则（）A．2B．C．D．6．(本题5分)函数的单调递增区间为（）A．B．C．D．7．(本题5分)已知函数，则在上（）A．单调递增B．单调递减C．先增后减D．先减后增8．(本题5分)如图，在长方体中，已知，，E为的中点，则异面直线BD与CE所成角的余弦值为（）A．B．C．D．9．(本题5分)在中，，且，则（）A．2B．3C．D．10．(本题5分)已知函数的最小正周期为，将函数的图象向左平移个单位长度，得到图象，则（）A．B．C．D．第Ⅱ卷（非选择题）评卷人得分二、填空题(共25分)11．(本题5分)定义在R上的奇函数，当x≥0时，（k为常数），则______．12．(本题5分)等差数列的前n项和为，若，则当取到最大值时n__________.13．(本题5分)已知不等式组表示的平面区域不包含点，则实数的取值范围是__________．14．(本题5分)已知双曲线的左右焦点分别是，直线与双曲线交于p，且，则双曲线C的离心率为______．15．(本题5分)设A是椭圆（φ为参数）的左焦点.p是椭圆上对应于的点，那么线段AP的长是________.如图，在斜三棱柱中，底面的正三角形，，侧棱过点的直线交曲线的垂线，垂足分别为、，判，使得四边形的对角线交于一定点18．(本题15分)已知等差数列的n前项和为，，，数列满足．(1)求数列和的通项公式；(2)若数列满足，求数列的n前项和．19．(本题15分)已知在中，，，为内角A，B，C所对的边，，且．(1)求A与C；(2)若，过A作BC边的垂线，并延长至点D，若A，B，C，D四点共圆，求的CD长．20．(本题15分)已知函数．(1)当m＞0时，求函数f（x）的极值点的个数；(2)当a，b，c∈（0，+∞）时，恒成立，求m的取值范围．参考答案一、单选题第1题第2题第3题第4题第4题A A C A D第6题第7题第8题第9题第10题C D C B B二、填空题第11题：-4；第12题：6；第13题：（-∞，3]第14题：√2；第15题：5。
2023年普通高等学校招生全国统一考试新高考仿真模拟卷数学(四)(含答案解析)
2023年普通高等学校招生全国统一考试�新高考仿真模拟卷数学（四）学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．已知复数1z =，则2z 在复平面内对应的点位于（）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限2．已知全集{62}U xx =-<<∣，集合{}2230A x x x =+-<∣，则U ðA=（）A ．()6,2-B ．()3,2-C ．()()6,31,2--⋃D ．][()6,31,2--⋃3．陀螺是中国民间最早的娱乐工具之一，也称陀罗.图1是一种木陀螺，可近似地看作是一个圆锥和一个圆柱的组合体，其直观图如图2所示，其中,B C 分别是上､下底面圆的圆心，且36AC AB ==，底面圆的半径为2，则该陀螺的体积是（）A ．803πB ．703p C ．20πD ．563π4．已知一组数据：123,,x x x 的平均数是4，方差是2，则由12331,31,31x x x ---和11这四个数据组成的新数据组的方差是（）A ．27B ．272C ．12D ．115．若非零向量,a b 满足()22,2a b a b a ==-⊥ ，则向量a 与b 夹角的余弦值为（）A ．34B ．12C ．13D ．146．已知圆221:(2)(3)4O x y -+-=，圆222:2270O x y x y +++-=，则同时与圆1O 和圆2O 相切的直线有（）7．已知函数()()sin (0,0,0)f x A x A ωϕωϕπ=+>><<的部分图象如图所示，则函数()f x 在区间[]0,10π上的零点个数为（）A ．6B ．5C ．4D ．38．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左､右焦点分别为12,F F ，点P 在椭圆C 上，若离心率12PF e PF =，则椭圆C 的离心率的取值范围为（）A．()1-B．⎛ ⎝⎭C．2⎫⎪⎪⎣⎭D．)1,1-二、多选题9．若π1tan tan 231tan ααα-⎛⎫-= ⎪+⎝⎭，则α的值可能为（）A ．π36B ．7π36C ．19π36D ．5π36-10．某校10月份举行校运动会，甲､乙､丙三位同学计划从长跑，跳绳，跳远中任选一项参加，每人选择各项目的概率均为13，且每人选择相互独立，则（）A ．三人都选择长跑的概率为127B ．三人都不选择长跑的概率为23C ．至少有两人选择跳绳的概率为427D ．在至少有两人选择跳远的前提下，丙同学选择跳远的概率为5711．设函数()()()1ln 1(0)f x x x x =++>，若()()11f x k x >--恒成立，则满足条件的正整数k 可以是（）A ．1B ．2C ．3D ．412．已知三棱锥-P ABC 中，PA ⊥平面2,4,,3ABC PA BAC AB AC M π∠====是边BC 上一动点，则（）A ．点C 到平面PAB 的距离为2B ．直线AB 与PCC ．若M 是BC 中点，则平面PAM ⊥平面PBCD ．直线PM 与平面ABC三、填空题13．函数()()313xxk f x x k -=∈+⋅R 为奇函数，则实数k 的取值为__________.14．已知抛物线28y x =的焦点为F ，抛物线上一点P ，若5PF =，则POF ∆的面积为______________.15．由数字0,1,2,3,4,5,6,7组成没有重复数字的三位数，则能被5整除的三位数共有__________个.16．已知0a >，函数()22ag x x x+=+-在[)3,+∞上的最小值为2，则实数=a __________.四、解答题17．第24届冬奥会于2022年2月4日在北京市和张家口市联合举行，此项赛事大大激发了国人冰雪运动的热情.某滑雪场在冬奥会期间开业，下表统计了该滑雪场开业第x 天的滑雪人数y （单位：百人）的数据.天数代码x12345滑雪人数y （百人）911142620经过测算，若一天中滑雪人数超过3500人时，当天滑雪场可实现盈利，请建立y 关于x 的回归方程，并预测该滑雪场开业的第几天开始盈利.参考公式：线性回归方程ˆˆˆybx a =+的斜率和截距的最小二乘法估计分别为()()()121ˆˆ,niii ni i x x y y bay bx x x ==--==--∑∑ .18．如图，四边形ABCD 中，150,60,B D AB AD ABC ∠∠====的面积为(1)求AC ；(2)求ACD ∠.19．设数列{}n a 的前n 项和为()*,226n n n S S a n n =+-∈N .(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)若数列112n n n a a ++⎧⎫⎨⎩⎭的前m 项和127258m T =，求m 的值.20．如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为4，点E 、P 分别是1DD 、11A C 的中点.(1)求证：BP ⊥平面11A EC ；(2)求直线1B C 与平面11A EC 所成角的正弦值.21．已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的一条渐近线方程为20x y -=，一个焦点到该渐近线的距离为1.(1)求双曲线C 的方程；(2)若双曲线C 的右顶点为A ，直线:l y kx m =+与双曲线C 相交于,M N 两点(,M N 不是左右顶点），且0AM AN ⋅=.求证：直线l 过定点，并求出该定点的坐标.22．已知函数()()e 4ln 2xf x x x =++-.(1)求函数()f x 的图象在()()0,0f 处的切线方程；(2)判断函数()f x 的零点个数，并说明理由.参考答案：1．C【分析】根据复数代数形式的乘法运算化简复数2z ，再根据复数的几何意义判断即可.【详解】解：因为1z =-，所以())2221122z ==-+=--，所以2z 在复平面内对应的点的坐标为(2,--位于第三象限.故选：C 2．D【分析】计算出集合B ，由补集的定义即可得出答案.【详解】因为{}}{223031A xx x x x =+-<=-<<∣，U ðA=][()6,31,2--⋃.故选：D.3．D【分析】根据圆锥与圆柱的体积公式，可得答案.【详解】已知底面圆的半径2r =，由36AC AB ==，则2,4AB BC ==，故该陀螺的体积2215633V BC r AB r πππ=⋅+⋅⋅=.故选：D.4．B【分析】根据方差和平均数的计算及可求解.【详解】因为一组数据1x ，2x ，3x 的平均数是4，方差是2，所以22212312311()4,[(4)(4)(4)]233x x x x x x ++=-+-+-=，所以22212312312,(4)(4)(4)6x x x x x x ++=-+-+-=，所以12331,31,31x x x ---，11的平均数为12312311(31)(31)(31)][113()3]1144x x x x x x +-+-+-=+++-=，所以12331,31,31x x x ---，11的方差为2222123111)(312)(312)(312)]4x x x -+-+-+-22212311279[(4)(4)(4)]96424x x x =⨯-+-+-=⨯⨯=故选：B 5．D【分析】求出1,2a b ==，根据()2a b a -⊥ 可得()20a b a -⋅=,代入化简求解夹角余弦值即可.【详解】设a 与b的夹角为θ，因为()22,2a b a b a ==-⊥ ，所以1,2a b==，()2a b a ∴-⋅22cos 0a a b θ=-= .21cos 42a a b θ∴== .故选：D.6．B【分析】根据圆的方程，明确圆心与半径，进而确定两圆的位置关系，可得答案.【详解】由圆()()221:234O x y -+-=，则圆心()12,3O ，半径12r =；由圆222:2270O x y x y +++-=，整理可得()()22119x y +++=，则圆心()21,1O --，半径23r =；由12125O O r r ===+，则两圆外切，同时与两圆相切的直线有3条.故选：B.7．B【分析】求出周期，方法1：画图分析零点个数；方法2：求()0f x =的根解不等式即可.【详解】由题意知，37π2π(3π433T =--=，解得：4πT =，22Tπ=，方法1：∴作出函数图象如图所示，∴()f x 在区间[0,10π]上的零点个数为5.方法2：∴()0f x =，解得：2π2π,Z 3x k k =-+∈，∴2π02π10π3k ≤-+≤，Z k ∈，解得：11633k ≤≤，Z k ∈，∴1,2,3,4,5k =，∴()f x 在区间[0,10π]上的零点个数共有5个.故选：B.8．D【分析】由题意可知12PF e PF =，结合椭圆的定义解得221aPF e =+，再由2a c PF a c -≤≤+求解.【详解】因为12PF e PF =，所以12PF e PF =，由椭圆的定义得：122PF PF a +=，解得221aPF e =+，因为2a c PF a c -≤≤+，所以21aa c a c e -≤≤++，两边同除以a 得2111e e e -≤≤++，解得1e ≥，因为01e <<11e ≤<，所以该离心率e的取值范围是1,1)故选：D.9．BCD【分析】根据题意可得：π1tan πtan(2tan()31tan 4αααα--==-+，然后利用正切函数的性质即可求解.【详解】因为πtantan 1tan π4tan()π1tan 41tan tan 4ααααα--==-++⋅，则ππtan(2)tan()34αα-=-，所以ππ2π,34k k αα-=+-∈Z ，解得：π7π,336k k α=+∈Z ，当0k =时，7π36α=；当1k =时，19π36α=；当1k =-时，5π36α-=；故选：BCD .10．AD【分析】根据相互独立事件概率计算公式计算即可.【详解】由已知三人选择长跑的概率为111133327⨯⨯=，故A 正确.三人都不选择长跑的概率为222833327⨯⨯=，故B 错误.至少有两人选择跳绳的概率为231111127C 33333327⨯⨯+⨯⨯=，故C 错误.记至少有两人选择跳远为事件A ，所以()231111127C 33333327P A =⨯⨯+⨯⨯=.记丙同学选择跳远为事件B ，所以()12111215C 3333327P AB ⎛⎫=⨯+⨯⨯= ⎪⎝⎭.所以在至少有两人选择跳远的前提下，丙同学选择跳远的概率为()()()57P AB P B A P B ==，故D 正确.故选：AD 11．ABC【分析】根据题意可得()()()()1ln 1110g x x x k x =++--+>，利用导数结合分类讨论解决恒成立问题.【详解】若()()11f x k x >--恒成立，则()()()()()111ln 1110f x k x x x k x --+=++--+>恒成立，构建()()()()1ln 111g x x x k x =++--+，则()()ln 12g x x k '=++-，∵0x >，故()ln 10x +>，则有：当20k -≥，即2k ≤时，则()0g x '>当0x >时恒成立，故()g x 在()0,∞+上单调递增，则()()010g x g >=>，即2k ≤符合题意，故满足条件的正整数k 为1或2；当20k -<，即2k >时，令()0g x '>，则2e 1k x ->-，故()g x 在()20,e1k --上单调递减，在()2e 1,k --+∞上单调递增，则()()22e 1e 0k k g x g k --≥-=->，构建()2ek G k k -=-，则()21e0k G k --'=<当2k >时恒成立，故()G x 在()2,+∞上单调递减，则()()210G k G <=>，∵()()233e 0,44e 0G G =->=-<，故满足()()02G k k >>的整数3k =；综上所述：符合条件的整数k 为1或2或3，A 、B 、C 正确，D 错误.故选：ABC.12．BCD【分析】对于A ，利用线面垂直判定定理，明确点到平面的距离，利用三角形的性质，可得答案；对于B ，建立空间直角坐标系，求得直线的方向向量，利用向量夹角公式，可得答案；对于C ，利用等腰三角形的性质，结合面面垂直判定定理，可得答案；对于D ，利用线面垂直性质定理，结合直角三角形的性质以及锐角正切的定义，可得答案.【详解】对于A ，在平面ABC 内，过C 作CD AB ⊥，如下图所示：PA ⊥ 平面ABC ，且CD ⊂平面ABC ，PA CD ∴⊥，CD AB ⊥ ，PA AB A = ，,AB PA ⊂平面PAB ，CD \^平面PAB ，则C 到平面PAB 的距离为CD ，23BAC π∠= ，AB AC ==6ABC π∴∠=，在Rt BCD 中，sin sin 3CD CB CBA CBA =⋅∠=∠=，故A 错误；对于B ，在平面ABC 内，过A 作AE AB ⊥，且E BC ⊂，易知,,AB AE AP 两两垂直，如图建立空间直角坐标系：则()0,0,0A，()B，()C ，()0,0,4P ，得()AB =，()4PC =-，(6AB PC ⋅==-，AB =PC ==则cos ,14AB PC AB PC AB PC⋅==⋅ ，故B 正确；对于C，作图如下：在ABC 中，AB AC =，M 为BC 的中点，则AM BC ⊥，PA ⊥ 平面ABC ，BC ⊂平面ABC ，PA BC ∴⊥，AM PA A = ，,AM PA ⊂平面AMP ，BC ∴⊥平面AMP ，BC ⊂ 平面PBC ，∴平面PBC ⊥平面AMP ，故C 正确，对于D，作图如下：PA ⊥ 平面ABC ，AM ⊂平面ABC ，PA AM ∴⊥，则在Rt PAM 中，tan PAAMP AM∠=，当AM 取得最小值时，tan AMP ∠取得最大值，当M 为BC 的中点时，由C 可知，AM BC ⊥，AM 取得最小值为sin 6AB π⋅=则tan AMP ∠D 正确.故选：BCD.13．1【分析】由奇函数的定义求解即可.【详解】函数()()313xx k f x x k -=∈+⋅R 为奇函数，必有0k >，则()()3·31331331313x x x x x x x xk k k kf x f x k k k k -------===-=-=+⋅++⋅+⋅，于是得22223·31x x k k -=-恒成立，即21k =，解得：1k =.故答案为：1.14．【分析】先根据抛物线定义得P 点坐标，再根据三角形面积公式求解.【详解】因为5PF =，所以2253,24,||P P P P x x y y +=∴===因此POF ∆的面积为11||||=22P y OF ⨯【点睛】本题考查抛物线定义应用，考查基本分析转化与求解能力，属基础题.15．78【分析】能被5整除的三位数末位数字是5或0，分成末位数字是5和末位数字是0两种情况讨论.【详解】能被5整除的三位数说明末尾数字是5或0当末尾数字是5时，百位数字除了0有6种不同的选法，十位有6种不同的选法，根据分步乘法原理一共有6636⨯=种方法；当末尾数字是0时，百位数字有7种不同的选法，十位有6种不同的选法，根据分步乘法原理一共有7642⨯=种方法；则一共有364278+=种故答案为：7816．13≤3>讨论，得出()g x 在[)3,+∞上的最小值，由最小值为2求解a 的值即可得出答案.【详解】()22ag x x x+=+- ，()()(2222221x x x a a g x x x x-+-+=∴+'=-=，3≤时，即07a <≤时，则()0g x '>在()3,+∞上恒成立，则()g x 在[)3,+∞上单调递增，()g x ∴在[)3,+∞上的最小值为()5323ag +==，解得1a =，3>时，即7a >时，当x ∈⎡⎣时，()0g x '<，()g x 单调递减，当)x ∈+∞时，()0g x '>，()g x 单调递增，()g x ∴在[)3,+∞上的最小值为22,2ga ===，舍去，综上所述：1a =，故答案为：1.17．ˆ 3.7 4.9yx =+；9.【分析】根据表中数据及平均数公式求出ˆˆ,ab ，从而求出回归方程，然后再根据一天中滑雪人数超过3500人时，当天滑雪场可实现盈利即可求解.【详解】由题意可知，1234535x ++++==，911142620165y ++++==，所以()()()()()()()()5113916231116331416iii x x yy =--=-⨯-+-⨯-+-⨯-∑()()()()432616532016+-⨯-+-⨯-()()()()()27150211024=-⨯-+-⨯-+⨯-+⨯+⨯145010837=++++=()()()()()()5222222113233343534101410ii x x =-=-+-+-+-+-=++++=∑，所以()()()51521373.710iii ii x x y y bx x ==--===-∑∑ ，ˆˆ16 3.73 4.9ay bx =-=-⨯=，所以y 关于x 的回归方程为ˆ 3.7 4.9yx =+.因为天中滑雪人数超过3500人时，当天滑雪场可实现盈利，即3.7 4.935x +>，解得30.18.143.7x >≈,所以根据回归方程预测，该该滑雪场开业的第9天开始盈利.18．(1)(2)π4【分析】（1）在ABC 中，利用面积公式、余弦定理运算求解；（2）在ACD 中，利用正弦定理运算求解，注意大边对大角的运用.【详解】（1）在ABC 中，由ABC的面积111sin 222S AB BC B BC =⨯⨯∠=⨯⨯=可得4BC =，由余弦定理2222cos 121624522AC AB BC AB BC B ⎛⎫=+-⨯⨯∠=+-⨯⨯-= ⎪ ⎪⎝⎭，即AC =（2）在ACD 中，由正弦定理sin sin AC ADD ACD=∠∠，可得sin sin AD D ACD AC ∠∠==∵AD AC <，则60ACD D ∠<∠=︒，故π4ACD ∠=.19．(1)2n n a =(2)7【分析】（1）当2n ≥时，构造11228n n S a n --=+-，与条件中的式子，两式相减，得122n n a a -=-，转化为构造等比数列求通项公式；（2）由（1）可知()()1111222222n n n n n n n b a a ++++==++，利用分组求和法求解.【详解】（1）因为226n n S a n =+-，所以当1n =时，1124S a =-，解得14a =．当2n ≥时，11228n n S a n --=+-，则11222n n n n S S a a ---=-+，整理得122n n a a -=-，即()1222n n a a --=-．所以数列{}2n a -是首项为2，公比为2的等比数列，所以12222n n n a --=⨯=．所以22n n a =+.（2）令()()111112211222222222n n n n n n n n n b a a +++++⎛⎫===- ⎪++++⎝⎭，数列{}n b 的前m 项和1111111112+4661010142222m m m T +⎛⎫=-+-+-+- ⎪++⎝⎭ ，111112=2422222m m ++⎛⎫-=- ++⎝⎭，则112127222258m +-=+，则12222258m +=+，则122567m m +=⇒=.m 的值为7.20．(1)证明见解析【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用空间向量法证明10EC BP ⋅= ，10EA BP ⋅=，即可得证；（2）利用空间向量法计算可得.【详解】（1）证明：如图建立空间直角坐标系，则()0,0,2E ，()4,4,0B ，()14,4,4B ，()2,2,4P ，()10,4,4C ，()14,0,4A ，()0,4,0C ，所以()10,4,2EC = ，()14,0,2EA =，()2,2,4BP =-- ，所以10EC BP ⋅= ，10EA BP ⋅=，所以1EC BP ⊥，1EA BP ⊥，又11EC EA E = ，11,EC EA ⊂平面11A EC ，所以BP ⊥平面11A EC.（2）解：由（1）可知()2,2,4BP =-- 可以为平面11A EC 的法向量，又()14,0,4B C =--，设直线1B C 与平面11A EC 所成角为θ，则11sin 6B C BP B C BPθ⋅==⋅=，故直线1B C 与平面11A EC 21．(1)2214x y -=(2)证明过程见解析，定点坐标为10,03⎛⎫⎪⎝⎭【分析】（1）由渐近线方程求出12b a =，根据焦点到渐近线距离列出方程，求出c =，从而求出2,1a b ==，得到双曲线方程；（2）:l y kx m =+与2214x y -=联立，求出两根之和，两根之积，由0AM AN ⋅= 列出方程，求出103m k =-或2m k =-，舍去不合要求的情况，求出直线过定点，定点坐标为10,03⎛⎫⎪⎝⎭.【详解】（1）因为渐近线方程为20x y -=，所以12b a =，焦点坐标(),0c 到渐近线20x y -=1=，解得：c ，因为2225a b c +==，解得：2,1a b ==，所以双曲线C 的方程为2214x y -=；（2）由题意得：()2,0A ，:l y kx m =+与2214x y -=联立得：()222148440k x kmx m ----=，设()()1122,,,M x y N x y ，则2121222844,1414km m x x x x k k --+==--，()()()2212121212y y kx m kx m k x x km x x m =++=+++，()()()11221212122,2,24AM AN x y x y x x x x y y ⋅=-⋅-=-+++()()()()()122222222124048142421441kx x km x km m k x mkm m k k++-++--++=+⋅+-⋅+-=-，化简得：22201630k km m ++=，解得：103m k =-或2m k =-，当103m k =-时，10:3l y k x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭恒过点10,03⎛⎫ ⎪⎝⎭，当2m k =-时，():2l y k x =-恒过点()2,0A ，此时,M N 中有一点与()2,0A 重合，不合题意，舍去，综上：直线l 过定点，定点为10,03⎛⎫⎪⎝⎭，【点睛】处理定点问题的思路：（1）确定题目中的核心变量（此处设为k ），（2）利用条件找到k 与过定点的曲线(),0F x y =的联系，得到有关k 与,x y 的等式，（3）所谓定点，是指存在一个特殊的点()00,x y ，使得无论k 的值如何变化，等式恒成立，此时要将关于k 与,x y 的等式进行变形，直至找到()00,x y ，①若等式的形式为整式，则考虑将含k 的式子归为一组，变形为“()k ⋅”的形式，让括号中式子等于0，求出定点；②若等式的形式是分式，一方面可考虑让分子等于0，一方面考虑分子和分母为倍数关系，可消去k 变为常数.22．(1)14ln 2=+y (2)有两个零点，理由见解析【分析】（1）根据导数的几何意义，结合导数的运算进行求解即可；（2）令()0f x =转化为()()2=e <xt x x 与()()()4ln 22=---<g x x x x 图象交点的个数，利用导数得到()g x 单调性，结合两个函数的图象判断可得答案.【详解】（1）()()4e 122xf x x x =+-<-'，所以切线斜率为()00e 10204'=+-=-f ，()()00e 04ln 2014ln 2=++-=+f ，所以切点坐标为()0,14ln 2+，函数()f x 的图象在()()0,0f 处的切线方程为14ln 2=+y ；（2）有两个零点，理由如下，令()()e 4ln 20=++-=xf x x x ，可得()e 4ln 2=---x x x ，判断函数()f x 的零点个数即判断()()2=e <xt x x 与()()()4ln 22=---<g x x x x 图象交点的个数，因为()=e xt x 为单调递增函数，()0t x >，当x 无限接近于-∞时()t x 无限接近于0，且()22=e t ，由()421=022+'=-+=--x g x x x，得2x =-，当22x -<<时，()0g x '>，()g x 单调递增，当<2x -时，()0g x '<，()g x 单调递减，所以()224ln40-=-<g ，()3333e 2e 24lne e 100--=+-=->g ，()110g =-<，43314ln ln 0222⎛⎫=--= ⎪⎝⎭g ，且当x 无限接近于2时()g x 无限接近于+∞，所以()=e xt x 与()()4ln 2=---g x x x 的图象在0x <时有一个交点，在02x <<时有一个交点，综上函数()f x 有2个零点.【点睛】方法点睛：已知函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)常用的方法：（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解。
2023年普通高等学校招生全国统一考试模拟(北京卷)数学试题(含答案解析)
2023年普通高等学校招生全国统一考试模拟（北京卷）数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题．．．．．已知双曲线2222:1(0,0)y x C a b a b-=>>的离心率为75，则双曲线C 的一条渐近线的斜率可能是（）．57B ．75265-D ．5612-．已知函数2232,1()22,1x ax x f x ax x x ⎧+-≤⎪=⎨⎪+>⎩则是“()f x 在R 上单调递减”的（）．充分而不必要条件．必要而不充分条件．充分必要条件．既不充分也不必要条件．设集合(){,|0,2}A x y x y ax y =-≥+≥，则（）．当1a =时，()1,1A ∉．对任意实数a ，()1,1A ∈．当a<0时，()1,1A∉．对任意实数a ，()1,1A∉二、填空题三、双空题四、解答题(1)求证：EF//平面PBC；--(2)若23AD=，二面角E FC D择一个作为已知．求PD的长．⊥；条件②：PB=条件①：DE PC18．2023年9月23日至2023年10中学高一年级举办了“亚运在我心”的知识竞赛，其中下：班号1234人数30402010该年级在报名的同学中按分层抽样的方式抽取学从预设的10个题目中随机抽取4位同学的作答情况相互独立.(1)求各班参加竞赛的人数；参考答案：7．B在BCD 中，4,BD CD ==得BD ⊥平面ABC ，设,AB AD 的中点分别为,E 由BD ⊥平面ABC ，得BD CE ⊥平面ABD ，过F 作OF 设ABC 的中心为G ，过G 所以O 点即为三棱锥A BCD -）M，连接,MF MB，分别为,PC PD的中点，PCD的中位线，且12MF CD=，的中点，）选择条件①：DE PC ⊥,平面ABCD ，DE PD ⊥,PC ⊂平面PCD DE CD ⊥,DE AB ⊥∴,底面ABCD 为菱形，三角形，为z 轴，DC 为y 轴,DE 为x 轴，建立空间直角坐标系，2t =,则()()()0,0,0,0,23,0,0,0,D C F t 设平面FCD 法向量为()1,0,0n =r ,设平面FEC 法向量为(),,m x y z = ,()3,0,t -,()3,23,0EC =- ,0230tz y +=+=,3,则62,3,m t ⎛⎫= ⎪⎝⎭ ,二面角E FC D --的大小为45︒22cos45°=3614+3+22t =⨯，23678,t t+=∴以DP 为z 轴，以DA 为x 轴，以DO 为设2PD t =,则()()0,0,0,3,3,0,D C F -设平面FCD 法向量为()1111,,n x y z = ,()0,0,DF t = ,()3,3,0DC =- ,1110330tz x y =⎧⎪⎨-+=⎪⎩,令1111,3,0,y x z ===则()13,1,0n = ,设平面FEC 的法向量为()1222,,m x y z = 333,,22EF t ⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎝⎭ ,533,,022EC ⎛=- ⎝ 22222333022533022x y tz x y ⎧--+=⎪⎪⎨⎪-+=⎪⎩,令222123533,y x z t ===，,则3,5m ⎛= ⎝ 二面角E FC D --的大小为45︒【点睛】本题考查的知识要点：通项公式与求和公式的关系，等差数列基本量运算，整除问题，以及分类讨论思想和反证法的应用，同时考查了运算求解能力与转化思想，属于综合题．。
2023届普通高等学校招生全国统一考试仿真模拟数学卷附答案(共3套)
2023届普通高等学校招生全国统一考试·仿真模拟卷（一）数 学注意事项：1．本卷满分150分，考试时间120分钟．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置． 2，选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区城均无效．3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内．写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区城均无效．4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交．一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．1. 已知集合{}24x A x =<，{}1B =≤，则A B = （ ） A. ()0,2 B. [)1,2 C. []1,2 D. ()0,1 2. 已知复数z 满足()()()1i 12i 1z z +=+-，则复数z 的实部与虚部的和为（ ）A. 1B. 1-C. 15D. 15-3. ()()51223x x -+的展开式中，x 的系数为（ ）A. 154B. 162C. 176D. 180 4. 已知1tan 5α=，则2cos 2sin sin 2ααα=-（ ） A. 83- B. 83 C. 38- D. 385. 何尊是我国西周早期的青铜礼器，其造形浑厚，工艺精美，尊内底铸铭文中的“宅兹中国”为“中国”一词的最早文字记载．何尊的形状可以近似地看作是圆台与圆柱的组合体，高约为40cm ，上口直径约为28cm ，下端圆柱的直径约为18cm ．经测量知圆柱的高约为24cm ，则估计该何尊可以装酒（不计何尊的厚度，403π1266≈，1944π6107≈）（ ）.的.事件A “这3个球都是红球”，事件B “这3个球中至少有1个红球”，事件C “这3个球中至多有1个红球”，则下列判断错误的是（ ）A. 事件A 发生的概率为15 B. 事件B 发生的概率为310 C. 事件C 发生的概率为335 D. 1(|)31P A B = 12. 对于函数()()32,f x x x cx d c d =+++∈R ，下列说法正确的是（ ）A. 若0d =，则函数()f x 为奇函数B. 函数()f x 有极值的充要条件是13c < C 若函数f （x ）有两个极值点1x ，2x ，则4412281x x +>D. 若2c d ==-，则过点()20，作曲线()y f x =的切线有且仅有3条 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13. 已知样本数据1-，1-，2，2，3，若该样本的方差为2s ，极差为t ，则2s t =______． 14. 已知圆O ：221x y +=与直线l ：=1x -，写出一个半径为1，且与圆O 及直线都相切的圆的方程：______．15. 已知椭圆()222210x y a b a b+=>>的左顶点为A ，左焦点为F ，过F 作x 轴的垂线在x 轴上方交椭圆于点B ，若直线AB 的斜率为32，则该椭圆的离心率为______． 16. 已知f （x ）是偶函数，当0x ≥时，()()2log 1f x x =++，则满足()2f x x >的实数x 的取值范围是______．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17. 已知数列{}n a 是等差数列，1324,,a a a a +成等比数列，56a =．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设数列11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n S ，求证：()221n n S n +<+． 18. 在ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，cos sin cos c B a A b C =-． （1）判断ABC 的形状；.的（1）求此双曲线的方程；（2）若双曲线的虚轴端点分别为12,B B （2B 在y 轴正半轴上），点,A B 在双曲线上，且()22B A B B μμ=∈R ，11B A B B ⊥ ，试求直线AB 的方程．22. 已知函数()()211e 12x f x a x a x ax a =---+++，()R a ∈． （1）当1a =时，求f （x ）的单调区间；（2）当310,e a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，求证：函数f （x ）有3个零点．参考答案一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．1. 已知集合{}24x A x =<，{}1B =≤，则A B = （ ）A. ()0,2B. [)1,2C. []1,2D. ()0,1 【答案】B【答案解析】【要点分析】化简集合A 和B ，即可得出A B ⋂的取值范围.【过程详解】解：由题意在{}24x A x =<，{}1B =≤中，{}2A x x =<，{}12B x x =≤≤ ∴{}12A B x x ⋂=≤<故选：B.2. 已知复数z 满足()()()1i 12i 1z z +=+-，则复数z 的实部与虚部的和为（） A. 1 B. 1- C. 15 D. 15- 【答案】D【答案解析】 【要点分析】根据复数的运算法则求出复数43i 55z -+=，则得到答案.【过程详解】(1i)(2i 1)(2i 1)z z +=-+-(2i)2i 1z -=-，2i 1(2i 1)(2i)43i43i 2i 5555z --+-+====-+-， 故实部与虚部的和为431555-+=-，故选：D.3. ()()51223x x -+的展开式中，x 的系数为（ ）A. 154B. 162C. 176D. 180 【答案】C【答案解析】【答案】C【答案解析】【要点分析】根据圆柱和圆台的体积公式计算可得结果.【过程详解】下端圆柱的体积为：224π91944π⋅=6107≈3cm ， 上端圆台的体积为：()22116π1414993⨯+⨯+16π4033=⨯1612663≈⨯6752=3cm ， 所以该何尊的体积估计为61076752+=128593cm .因为12850最接近12859，所以估计该何尊可以装酒128503cm .故选：C6. 已知()f x 是定义域为R 的奇函数，满足()()2f x f x =-，则()2022f =（ ）A. 2B. 1C. 1-D. 0 【答案】D【答案解析】【要点分析】根据函数()f x 是定义域为R 的奇函数，且()()2f x f x =-得出函数()f x 是周期为4的周期函数，进而求解.【过程详解】因为函数()f x 是定义域为R 的奇函数，且()()2f x f x =-，所以(2)()()f x f x f x +=-=-，所以(4)()f x f x +=，即函数()f x 是周期为4的周期函数，因为函数()f x 是定义域为R 的奇函数，所以(0)0f =，因为()()2f x f x =-，所以(2)(0)0f f ==，又因为202245052=⨯+，所以(2022)(2)0f f ==，故选：D .7. 在四棱锥P ABCD -中，ABCD 是边长为2的正方形，AP PD ==平面PAD ⊥平面ABCD ，则四棱锥P ABCD -外接球的表面积为（ ）A. 4πB. 8πC. 136π9D. 68π3【答案】C【答案解析】【要点分析】将该四棱锥的外接球放在一个长方体内，画出图形，利用已知条件找出球心，建立相应的关系式，求出外接球的半径，利用球体表面积公式计算即可.【过程详解】由题意将该四棱锥放在一个长方体的中，的的所以254333O H =-=， 所以1243OO O H ==， 在图①中连接OB ，由112O B BD ==， 所以在1Rt OO B 中，3OB ====， 即四棱锥P ABCD-外接球的半径为3R OB ==， 所以四棱锥P ABCD -外接球的表面积为：221364πR 4ππ39S ⎛⎫==⨯= ⎪ ⎪⎝⎭， 故选：C.8. 已知抛物线C ：24y x =，O 为坐标原点，A ，B 是抛物线C 上两点，记直线OA ，OB 的斜率分别为1k ，2k ，且1212k k =-，直线AB 与x 轴的交点为P ，直线OA 、OB 与抛物线C 的准线分别交于点M ，N ，则△PMN 的面积的最小值为（ ）A. 8B. 4C.4 D. 2【答案】D【答案解析】【要点分析】设出A 、B 的坐标，由1212k k =-解得12y y 的值，再分别求出点M 、点N 的坐标，求得||MN 的式子，研究AB l 恒过x 轴上的定点可得点P 的坐标，进而用方法1基本不等式或方法2函数思想求得三角形面积的最小值.【过程详解】设211(,)4y A y ，222(,)4y B y ，则114k y =，224k y =， ∴12121612k k y y ==- ∴1232y y =-，∴设OA l ：14y x y =，令=1x -得：14y y =-，∴14(1,M y --， 同理：24(1,N y -- ∴12121212||44||||4||8y y y y MN y y y y --=-+==， 设AB l ：x my t =+，221044x my t y my t y x=+⎧⇒--=⎨=⎩ 20m t ∆=+>，124y y m +=，124y y t =-，又∵1232y y =-，∴432t -=-，解得：8t =，∴AB l ：8x my =+恒过点(8,0)，∴AB l 与x 轴交点P 的坐标为(8,0)，即：(8,0)P ，∴点P 到准线=1x -的距离为8+1=9.方法1：1211||1321||||888y y MN y y -==+≥⨯=1||y =.∴19||9||222PMN S MN MN =⨯=≥△ ， ∴△PMN的面积的最小值为2. 方法2：12||||8y y MN -==== ∵20m ≥∴||MN ≥=m =0时取得最小值.∴19||9||222PMN S MN MN =⨯=≥△ ， ∴△PMN的面积的最小值为2. 故选：D. 二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分．9. 已知函数()()1cos 02f x x x ωωω=+>的图像关于直线6x π=对称，则ω的取值可以为（ ） A. 2B. 4C. 6D. 8 【答案】AD【答案解析】【要点分析】首先将函数()f x 化成一个三角函数，然后根据对称轴公式求得ω的表达式，对整数k 赋值求得结果.【过程详解】()()1cos sin 26f x x x x ωωωπ==+， 因为函数()f x 的图象关于直线6x π=对称， 所以662k ωπππ+=+π，k ∈Z ，解得26k ω=+， 因为0ω>，所以当0k =时，2ω=；所以当1k =时，8ω=.故选：AD .10. 在菱形ABCD 中，2AB =，60DAB ∠= ，点E 为线段CD 的中点，AC 和BD 交于点O ，则（ ）A. 0AC BD ⋅=B. 2AB AD ⋅=C. 14OE BA ⋅=- D. 52OE AE ⋅= 【答案】ABD【答案解析】 【要点分析】以O 为坐标原点可建立平面直角坐标系，利用平面向量数量积的坐标运算依次验证各个选项即可.【过程详解】 四边形ABCD 为菱形，AC BD ∴⊥，则以O 为坐标原点，,OC OD 正方向为,x y 轴，可建立如图所示平面直角坐标系，这3个球中至少有1个红球的基本事件数为：1221334343C C C C +C 1812131⋅+⋅=++=，所以事件B 发生的概率为：31()35P B =，故B 错误， 这3个球中至多有1个红球的基本事件数为：123344C C C 18422⋅+=+=，事件C 发生的概率为22()35P C =,故C 错误， 因为1()()35P AB P A ==， 所以由条件概率公式得：1()135(|)31()3135P AB P A B P B ===， 故D 正确，故选：ABC.12. 对于函数()()32,f x x x cx d c d =+++∈R ，下列说法正确的是（ ） A. 若0d =，则函数()f x 为奇函数B. 函数()f x 有极值的充要条件是13c < C 若函数f （x ）有两个极值点1x ，2x ，则4412281x x +>D. 若2c d ==-，则过点()20，作曲线()y f x =的切线有且仅有3条 【答案】BCD【答案解析】【要点分析】对于A ：利用奇偶性的定义直接判断；对于B ：利用极值的计算方法直接求解；对于C ：先求出13c <，表示出244122161692781c x x c +=-+，即可求出；对于D ：设切点()00,x y ，由导数的几何意义得到3200025460x x x --+=.设()322546g x x x x =--+，利用导数判断出函数()g x 有三个零点，即可求解.【过程详解】对于A ：当0d =时，()32f x x x cx =++定义域为R . 因为()()()()()3232f x x x c x x x cx f x -=-+-+-=-+-≠-，所以函数()f x 不是奇函数.故A 错误；.对于B ：函数()f x 有极值⇔ ()f x 在R 上不单调.由()32f x x x cx d =+++求导得：()232f x x x c =++'. ()f x 在R 上不单调⇔()f x '在R 上有正有负⇔4430c ∆=-⨯>⇔13c <. 故B 正确.对于C ：若函数f （x ）有两个极值点1x ，2x ，必满足0∆>，即13c <. 此时1x ，2x 为2320x x c ++=的两根，所以1212233x x cx x ⎧+=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩. 所以()22212121242293c x x x x x x +=+-=-. 所以()()222244222212121242216162293992781c c c x x x x x x c +=+-=--=-+ 对称轴164272329c -=-=⨯，所以当13c <时，()224412216162116116292781932738181c x x c +=-+>⨯-⨯+=. 即4412281x x +>.故C 正确； 对于D ：若2c d ==-时，()3222f x x x x =+--. 所以()2322f x x x '=+-. 设切点()00,x y ，则有：()3200002000002203222y x x x y f x x x x ⎧=+--⎪-⎨=+-=⎪-⎩'， 消去0y ，整理得：3200025460x x x --+=不妨设()322546g x x x x =--+，则()26104g x x x '=--. 令()0g x '>，解得：2x >或13x <-；令()0g x '<，解得： 123x -<<. 所以()g x 在1,3⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭，()2,+∞上单调递增，在1,23⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递减.【答案解析】【要点分析】根据圆的圆心和半径,结合直线和圆的位置关系及两个圆的位置关系计算即可.【过程详解】设圆心C 为()00,x y ,由已知圆C 与直线l ：=1x -相切, 圆C 与圆O ：221x y +=相切,可得0112x ⎧--==,即得0002x y =⎧⎨=⎩或0002x y =⎧⎨=-⎩或0020x y =-⎧⎨=⎩, 且已知半径为1,所以圆的方程可以为: ()2221x y +-=或()2221x y ++=或()2221x y ++=故答案为: ()2221x y +-=(答案不唯一) 15. 已知椭圆()222210x y a b a b+=>>的左顶点为A ，左焦点为F ，过F 作x 轴的垂线在x 轴上方交椭圆于点B ，若直线AB 的斜率为32，则该椭圆的离心率为______． 【答案】12##0.5【答案解析】【要点分析】由题意设(),0A a -，2,b B c a ⎛⎫- ⎪⎝⎭，再由2032AB b a k c a -==-+结合222a b c =+，即可得出答案.【过程详解】由题意可得，(),0A a -，(),0F c -， 令椭圆()222210x y a b a b+=>>中x c =-，解得：2b y a =±， 所以2,b B c a ⎛⎫- ⎪⎝⎭，而2032AB b a k c a -==-+，则2232a c a c a c a a -+==-+， 解得：12e =. 故答案为：12.16. 已知f （x ）是偶函数，当0x ≥时，()()2log 1f x x =++，则满足()2f x x>的实数x 的取值范围是______．【答案】()(),01,-∞⋃+∞【答案解析】【要点分析】利用奇偶性和函数的单调性解不等式.【过程详解】当0x ≥时，()()2log 1f x x =++，函数在[)0,∞+上单调递增，∴()(0)0f x f ≥=，又()f x 是偶函数，所以()f x 的值域为[)0,∞+.当0x ≥时，()()2log 1f x x =++，不等式()2f x x >()22log 1x x +>，即()22log 10x x++->，设()22()log 1g x x x =++-，由函数y =，()2log 1y x =+，2y x=-在()0,∞+上都是增函数， 得()g x 在()0,∞+上是增函数，由(1)0g =，则()0(1)g x g >=解得1x >； 当0x <时，由函数值域可知()0f x >，此时20x<，所以()2f x x >恒成立； 综上可知，满足()2f x x>的实数x 的取值范围是()(),01,-∞⋃+∞. 故答案为：()(),01,-∞⋃+∞四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17. 已知数列{}n a 是等差数列，1324,,a a a a +成等比数列，56a =．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设数列11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n S ，求证：()221n n S n +<+． 【答案】（1）1n a n =+（2）证明见答案解析【答案解析】【要点分析】（1）根据等比数列定义和等差数列通项公式可构造方程组求得1,a d ，进而确定n a ；（2）利用裂项相消法可求得n S ，整理即可证得结论.【小问1过程详解】设等差数列{}n a 的公差为d ，1324,,a a a a + 成等比数列，()23124a a a a ∴=+，即()()2111224a d a a d +=+， 又5146a a d =+=，则由()()2111122446a d a a d a d ⎧+=+⎪⎨+=⎪⎩得：121a d =⎧⎨=⎩或163a d =-⎧⎨=⎩， 当16a =-，3d =时，30a =，不满足1324,,a a a a +成等比数列，舍去；12a ∴=，1d =，()211n a n n ∴=+-=+.【小问2过程详解】由（1）得：()()111111212n n a a n n n n +==-++++， 1111111111233445112n S n n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴=-+-+-+⋅⋅⋅+-+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭()112222n n n =-=++， ()221n n S n n ∴+=<+.18. 在ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，cos sin cos c B a A b C =-． （1）判断ABC 的形状；（2）若a ，D 在BC 边上，2BD CD =，求cos ADB ∠的值．【答案】（1）直角三角形（2）0【答案解析】【要点分析】（1）根据正弦定理的边角互化，即可得到结果；（2）由（1）中结论即可得到cos B ∠，从而得到AD 的值，然后在ABD △中结合余弦定理即可得到结果.【小问1过程详解】因为cos sin cos c B a A b C =-，由正弦定理可得，2sin cos sin cos sin C B B C A +=即()2sin sin B C A += 所以()2sin sin ,0,πsin 1A A A A =∈⇒= 且()0,πA ∈，所以π2A = 即ABC 直角三角形.【小问2过程详解】在直角ABC 中，有22223b c a b +==，即222c b =，所以c =，是【要点分析】（1）连接1AC 交1AC 于点F ，连接EF ，则F 为1AC 的中点，利用中位线的性质可得出1DF //BC ，再利用线面平行的判定定理可证得结论成立；（2）过点C 在平面ABC 内作CM AB ⊥，垂足为点M ，证明出CM ⊥平面11AA B B ，计算出CM 的长以及四边形1A DBE 的面积，利用锥体的体积公式可求得四棱锥1C A DBE -的体积；（3）设1BC =，以点C 为坐标原点，CA 、CB 、1CC 所在直线分别为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法可求得直线1BC 与平面1A CE 所成角的正弦值.【小问1过程详解】证明：连接1AC 交1AC 于点F ，连接EF ，则F 为1AC 的中点，因为D 、F 分别为AB 、1AC 的中点，则1DF //BC ，因为DF ⊂平面1ACD ，1BC ⊄平面1ACD ，1//BC ∴平面1ACD . 【小问2过程详解】解：因为1BC =，则122AA AC CB ===，AB ==222AC BC AB ∴+=，即AC BC ⊥，过点C 在平面ABC 内作CM AB ⊥，垂足为点M ，因为1AA ⊥平面ABC ，CM ⊂平面ABC ，1CM AA ∴⊥，又因为CM AB ⊥，1AB AA A ⋂=，AB 、1AA ⊂平面11AA B B ，CM ∴⊥平面11AA B B ，由等面积法可得5AC BC CM AB ⋅==， 因为1AA ⊥平面ABC ，AB ⊂平面ABC ，1AA AB ∴⊥，又因为11//AA BB 且11AA BB =，故四边形11AA B B 为矩形，所以，11111112122AA D A B E AA B B A DBE S S S S ⎛⎫=--=-⨯= ⎪ ⎪⎝⎭△△矩形四边形，111123353C A DBE A DBE V S CM -∴=⋅==四边形. 【小问3过程详解】解：不妨设1BC =，因为AC BC ⊥，1CC ⊥平面ABC ，以点C 为坐标原点，CA 、CB 、1CC 所在直线分别为x 、y 、z 轴建立如下图所示的空间直角坐标系，学生发言，记优秀学生发言的人数为随机变量X ，求X 的分布列和期望．【答案】（1）73.5（2）分布列见答案解析；期望()910E X =【答案解析】【要点分析】（1）根据频率分布直方图估计平均数的方法直接计算即可；（2）根据频率分布直方图可确定优秀与非优秀学生对应的频率，根据分层抽样原则可确定10名学生中优秀学员的人数，由此可得X 所有可能的取值，根据超几何分布概率公式可求得X 每个取值对应的概率，由此可得分布列；由数学期望计算公式可求得期望.小问1过程详解】80名学生的平均成绩为()550.01650.03750.03850.025950.00510⨯+⨯+⨯+⨯+⨯⨯=73.5.【小问2过程详解】根据频率分布直方图知：优秀学员对应的频率为()0.0250.005100.3+⨯=，则非优秀学员对应的频率为10.30.7-=，∴抽取的10名学生中，有优秀学生100.33⨯=人，非优秀学生100.77⨯=人；则X 所有可能的取值为0,1,2,3，()37310C 3570C 12024P X ====；()1237310C C 63211C 12040P X ====；()2137310C C 2172C 12040P X ====；()33310C 13C 120P X ===； X ∴的分布列为：∴数学期望()012324404012010E X =⨯+⨯+⨯+⨯=. 21. 已知12,F F 分别为双曲线()222210,0x y a b a b -=>>左、右焦点，(P 在双曲线上，且124PF PF ⋅= ．（1）求此双曲线的方程；（2）若双曲线的虚轴端点分别为12,B B （2B 在y 轴正半轴上），点,A B 在双曲线上，且【()22B A B B μμ=∈R ，11B A B B ⊥ ，试求直线AB 的方程．【答案】（1）22145x y -= （2）2y x =+2y x =- 【答案解析】【要点分析】（1）根据平面向量数量积坐标运算和点在双曲线上，可构造方程组求得22,a b 的值，由此可得双曲线方程；（2）由2,,A B B三点共线可设:AB y kx =，与双曲线方程联立可得韦达定理的结论，利用向量垂直的坐标表示，代入韦达定理结论可解方程求得k 的值，由此可得直线AB 方程. 【小问1过程详解】设()1,0F c -，()()2,00F c c >，则(1PF c =--，(2PF c =- ， 212854PF PF c ∴⋅=-+= ，解得：3c =，229a b ∴+=；又P 在双曲线上，则22851a b-=，24a ∴=，25b =， ∴双曲线的方程为：22145x y -=. 【小问2过程详解】由（1）得：(10,B，(2B ， ()22B A B B μμ=∈R ，2,,A B B ∴三点共线，直线AB斜率显然存在，可设:AB y kx =+，()11,A x y ，()22,B x y ，由22145y kx x y ⎧=+⎪⎨-=⎪⎩得：()2254400k x ---=， ()22540Δ801040k k ⎧-≠⎪∴⎨=->⎪⎩，即252k <且254k ≠，12254x x k∴+=-，1224054x x k =--， 11B A B B ⊥ ，110B A B B ∴⋅=，又(111,B A x y =，(122,B B x y =+ ，()1112121212125B A B B x x y y x x y y y y ∴⋅=++=++++(()1212125x x kx kx k x x =+++++()()()222121222401801202005454k k k x x x x k k+=++++=-++=--，解得：2k =±，满足252k <且254k ≠，∴直线AB 方程为：2y x =+或2y x =-+. 【点睛】关键点点睛：本题考查直线与椭圆的综合应用问题，解题关键是能够利用平面向量垂直关系的坐标表示来构造等量关系，结合韦达定理的结论得到关于所求变量的方程的形式，从而解方程求得变量的值.22. 已知函数()()211e 12x f x a x a x ax a =---+++，()R a ∈． （1）当1a =时，求f （x ）的单调区间；（2）当310,e a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，求证：函数f （x ）有3个零点． 【答案】（1）函数()f x 的单调递增区间为(,0)-∞和(1,)+∞，单调递减区间为(0,1). （2）证明过程见过程详解【答案解析】【要点分析】(1) 因为1a =，所以函数()()212e 22x f x x x x =--++，对函数求导，利用导函数的正负来判断函数的单调性即可求解；(2)对函数进行求导，求出导函数的零点，根据条件可得：函数()f x 在(,)a -∞和(ln ,)a -+∞上单调递增，在(,ln )a a -上单调递减，然后利用零点存在性定理即可证明.【小问1过程详解】因为1a =，所以函数()()212e 22x f x x x x =--++， 所以()e (2)e 1(1)(e 1)x x x f x x x x '=+--+=--，当1x >或0x <时，()0f x '>，此时函数()f x 单调递增；当01x <<时，()0f x '<，此时函数()f x 单调递减；综上：函数()f x 的单调递增区间为(,0)-∞和(1,)+∞，单调递减区间为(0,1).【小问2过程详解】因为函数()()211e 12x f x a x a x ax a =---+++，所以()e (1)e ()e ()()(e 1)x x x x f x a a x a x a a x a x a x a a '=+---+=---=--，令()0f x '=可得：x a =或ln x a =-，因为310,e a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以ln 3a ->， 当x a <或ln x a >-时，()0f x '>，此时函数()f x 单调递增；当ln a x a <<-时，()0f x '<，此时函数()f x 单调递减；所以函数()f x 在(,)a -∞和(ln ,)a -+∞上单调递增，在(,ln )a a -上单调递减，故当x a =时，函数取极大值()()22e 10102aa f a a a f a =-+++>=->， 因为当2x =-时，221(2)(3)10e f a a a -=-+--<； 所以0(2,)x a ∃∈-，使得0()0f x =；当ln x a =-时，函数取极小值， ln 2211(ln )(ln 1)e (ln )ln 1ln ln (ln )22a f a a a a a a a a a a a a --=-----++=--- 1ln (1ln )02a a a =-++<，（因为ln 3a ->，所以13ln 22a <-，因为3110e 2a <<<，所以312a +<，也即11ln 02a a ++<） 所以0(,ln )x a a '∃∈-，使得0()0f x '=；又当x →+∞时，()f x →+∞，所以0(ln ,)x a ''∃∈-+∞，使得0()0f x ''=； 故当310,e a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，函数()f x 有3个零点. 【点睛】函数零点的求解与判断方法：(1)直接求零点：令()0f x =，如果能求出解，则有几个解就有几个零点．(2)零点存在性定理：利用定理不仅要函数在区间[,]a b 上是连续不断的曲线，且()()0f a f b <，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点．(3)利用导数求出函数的极值点,再利用零点存在性定理进行判断零点的个数．2023届普通高等学校招生全国统一考试·仿真模拟卷（二）数 学一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．1. 已知集合{}2A x x x =≤，(){}2log 1B x y x ==-，则A B ⋃=（ ） A. [)1,+∞B. [)0,∞+C. （0，1）D. []0,12. 已知复数()()2i 1i z a =+-为纯虚数，则实数=a （ ） A. 12- B. 23- C. 2 D. 2-3. 在正方形ABCD 中，M 是BC 的中点．若AC m = ，AM n = ，则BD = （ ）A. 43m n -B. 43m n +C. 34m n -D. 34m n +4. 已知40.5=a ，5log 0.4b =，0.5log 0.4c =，则a ，b ，c 的大小关系是（ ） A b a c >>B. a c b >>C. c a b >>D. a b c >>5. 端午佳节，人们有包粽子和吃粽子的习俗．四川流行四角状的粽子，其形状可以看成一个正四面体．广东流行粽子里放蛋黄，现需要在四角状粽子内部放入一个蛋黄，蛋黄的形状近似地看成球，当这个蛋黄的表面积是9π时，则该正四面体的高的最小值为（ ）A. 4B. 6C. 8D. 10 6. 现有一组数据0，l ，2，3，4，5，6，7，若将这组数据随机删去两个数，则剩下数据的平均数大于4的概率为（ ） A. 514 B. 314 C. 27 D. 17 7. 在棱长为3的正方体1111ABCD A B C D -中，O 为AC 与BD 的交点，P 为11A D 上一点，且112A P PD = ，则过A ，P ，O 三点的平面截正方体所得截面的周长为（ ）.A.B. CD. +8. 不等式15e ln 1-≥+x a x x x对任意(1,)x ∈+∞恒成立，则实数a 的取值范围是（ ） A. (,1e]-∞- B. (2,2e ⎤-∞-⎦ C. (,4]-∞- D. (,3]-∞-二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分．9. 在平面直角坐标系中，圆C 的方程为22210x y y +--=，若直线1y x =-上存在一点M ，使过点M 所作的圆的两条切线相互垂直，则点M 的纵坐标为（ ）A. 1B. C. 1-D. 10. 已知函数()()πsin 0,0,2f x A x A ωϕωϕ⎛⎫=+>>< ⎪⎝⎭的部分图象如图所示，若将()f x 的图象向右平移()0m m >个单位长度后得到函数()()sin 2g x A x ωϕ=-的图象，则m 的值可以是（ ）A. π4B. π3C. 4π3D. 9π4 11. 大衍数列来源于《乾坤谱》中对易传“大衍之数五十”的推论，主要用于解释中国传统文.化中的太极衍生原理，数列中的每一项都代表太极衍生过程．已知大衍数列{}n a 满足10a =，11,,,n n na n n a a n n +++⎧=⎨+⎩为奇数为偶数，则（ ） A. 34a =B. 221n n a a n +=++C. 221,,2,2n n n a n n ⎧-⎪⎪=⎨⎪⎪⎩为奇数为偶数 D. 数列(){}1nna -的前2n 项和的最小值为2 12. 已知抛物线()220y px p =>的准线为:2l x =-，焦点为F ，点(),P P P x y 是抛物线上的动点，直线1l 的方程为220x y -+=，过点P 分别作PA l ⊥，垂足为A ，1PB l ⊥，垂足为B ，则（ ）A. 点F 到直线1l的距离为5 B.2p x += C. 221p p x y ++的最小值为1 D. PA PB+的最小值为5三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13. 已知sin 3cos 0αα+=，则tan 2α=______．14. 函数()()ln 211f x x x =++-的图象在点()()0,0f 处的切线方程是______． 15. 2名老师带着8名学生去参加数学建模比赛，先要选4人站成一排拍照，且2名老师同时参加拍照时两人不能相邻．则2名老师至少有1人参加拍照的排列方法有______种．（用数字作答） 16. 已知A ，B 是双曲线22:124x y C -=上的两个动点，动点P 满足0AP AB += ，O 为坐标原点，直线OA 与直线OB 斜率之积为2，若平面内存在两定点1F 、2F ，使得12PF PF -为定值，则该定值为______．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17. 在ABC 中，角,,A B C 的对边分别是,,a b c ，()()()0a c a c b b a -++-=． （1）求C ；（2）若c =ABC的面积是2，求ABC 的周长． 18. 已知数列{}n a 满足，()*1232311112222n n a a a a n n +++⋅⋅⋅+=∈N ． （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若()21n n b n a =-，记n S 为数列{}n b 的前n 项和，求n S ，并证明：当2n ≥时，6n S >． 19. 如图，四棱锥P ABCD -中，平面APD ⊥平面ABCD ，APD △为正三角形，底面ABCD 为等腰梯形，AB //CD ，224AB CD BC ===．（1）求证：BD ⊥平面APD ；（2）若点F 为线段PB 上靠近点P 的三等分点，求二面角F AD P --的大小． 20. 为落实体育总局和教育部发布《关于深化体教融合，促进青少年健康发展的意见》，某校组织学生参加100米短跑训练．在某次短跑测试中，抽取100名女生作为样本，统计她们的成绩（单位：秒），整理得到如图所示的频率分布直方图（每组区间包含左端点，不包含右端点）．（1）估计样本中女生短跑成绩的平均数；（同一组的数据用该组区间的中点值为代表） （2）由频率分布直方图，可以认为该校女生的短跑成绩X 服从正态分布()2,N μσ，其中μ近似为女生短跑平均成绩x ，2σ近似为样本方差2s ，经计算得，2 6.92s =，若从该校女生中随机抽取10人，记其中短跑成绩在[]12.14,22.66以外的人数为Y ，求()1P Y ≥．2.63≈，随机变量X 服从正态分布()2,N μσ，则的()0.6827P X μσμσ-<≤+=，()220.9545P X μσμσ-<<+=，()330.9974P X μσμσ-<<+=，100.68270.0220≈，100.95450.6277≈，100.99740.9743≈．21. 已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的左焦点为F ，右顶点为A，离心率为2，B 为椭圆C 上一动点，FAB面积的最大值为12+． （1）求椭圆C 的方程；（2）经过F 且不垂直于坐标轴的直线l 与C 交于M ，N 两点，x 轴上点P 满足PM PN =，若MN FP λ=，求λ的值．22 已知函数()()1ln R 1x f x x m m x -=-⋅∈+． （1）当1m =时，判断函数()f x 单调性；（2）当1x >时，()0f x >恒成立，求实数m 的取值范围．.的参考答案一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．1. 已知集合{}2A x x x =≤，(){}2log 1B x y x ==-，则A B ⋃=（ ） A. [)1,+∞B. [)0,∞+C. （0，1）D. []0,1 【答案】B【答案解析】【要点分析】分别化简集合,A B ，根据并集的定义求解. 【过程详解】{}2A x x x =≤ ∴不等式2x x ≤的解集是集合A又因为(){}21001,01x x x x x A x x ≤⇒-≤⇒≤≤∴=≤≤ 又(){}2log 1x y x =- ，所以满足函数()2log 1y x =-中x 的范围就是集合B 所以{}1011x x B x x ->⇒>∴=> 所以{}{}{}[)01100,A B x x x x x x ∞⋃=≤≤⋃>=≥=+故选：B2. 已知复数()()2i 1i z a =+-为纯虚数，则实数=a （ ） A. 12- B. 23- C. 2 D. 2-【答案】D【答案解析】【要点分析】根据复数乘法计算方法化简复数，结合纯虚数的概念求值即可.【过程详解】()()()2i 22i 1i i 2i 2i 2a a a a z a ==-++++---=， 因为复数z 为纯虚数，所以2020a a -≠⎧⎨+=⎩，即2a =-. 故选：D 3. 在正方形ABCD 中，M 是BC 的中点．若AC m = ，AM n = ，则BD = （ ）A. 43m n -B. 43m n +C. 34m n -D. 34m n +【答案】B【答案解析】 【要点分析】根据题意要点分析可知，当该正四面体的内切球的半径为32时，该正四面体的高最小，再根据该正四面体积列式可求出结果.【过程详解】由球的表面积为9π，可知球的半径为32， 依题意可知，当该正四面体的内切球的半径为32时，该正四面体的高最小， 设该正四面体的棱长为a3a =，根据该正四面体积的可得21334a a ⨯⨯=2134324a ⨯⨯⨯，解得a =.所以该正四面体的高的最小值为633a =⨯=. 故选：B6. 现有一组数据0，l ，2，3，4，5，6，7，若将这组数据随机删去两个数，则剩下数据的平均数大于4的概率为（ ） A. 514 B. 314 C. 27 D. 17【答案】D【答案解析】【要点分析】先得到删去的两个数之和为4时，此时剩下的数据的平均数为4，从而得到要想这组数据随机删去两个数，剩下数据的平均数大于4，则删去的两个数之和要小于4，利用列举法得到其情况，结合组合知识求出这组数据随机删去两个数总共的情况，求出概率.【过程详解】0，l ，2，3，4，5，6，7删去两个数之和为4时，此时剩下的数据的平均数为284482-=-， 所以要想这组数据随机删去两个数，剩下数据的平均数大于4，则删去的两个数之和要小于4，有()()()()0,1,0,2,0,3,1,2四种情况符合要求，将这组数据随机删去两个数，共有28C 28=种情况 所以将这组数据随机删去两个数，剩下数据的平均数大于4的概率为41287=. 的8. 不等式15e ln 1-≥+x a x x x对任意(1,)x ∈+∞恒成立，则实数a 的取值范围是（ ） A. (,1e]-∞- B. (2,2e ⎤-∞-⎦ C. (,4]-∞- D. (,3]-∞-【答案】C【答案解析】 【要点分析】分离参数，将15e ln 1-≥+x a x x x 变为41e ,1ln x x x a x x---≤>，然后构造函数，即将不等式恒成立问题转化为求函数最值问题，利用导数判断函数的单调性，求最值即可. 【过程详解】由不等式15e ln 1-≥+x a x x x对任意(1,)x ∈+∞恒成立，此时ln 0x > ， 可得41e ,1ln x x x a x x---≤> 恒成立， 令41e ,1ln x x x y x x ---=>，从而问题变为求函数41e ,1ln x x x y x x---=>的最小值或范围问题； 令1()e x g x x -=- ，则1()e 1x g x -'=-，当1x < 时，1()e 10x g x -'=-<，当1x >时，1()e 10x g x -'=->，故1()e (1)0x g x x g -=-≥=，即1e x x -≥，所以4411ln 4ln 1e e e e 4ln x x x x x x x x ------=⋅=≥-，()* ，当且仅当4ln 1x x -= 时取等号， 令()4ln 1h x x x =--，则44()1x h x x x-'=-=， 当4x < 时，()0h x '<，当>4x 时，()0h x '>，故min ()(4)34ln 40h x h ==-< ，且当x →+∞时，()4ln 1h x x x =--也会取到正值， 即4ln 1x x -=在1x > 时有根，即()* 等号成立，所以41e 4ln 4ln x x x x x x x ---≥--=- ， 则41e 4ln x x x x---≥-，故4a ≤- ， 故选：C【点睛】本题考查了不等式的恒成立问题，解法一般是分离参数，构造函数，将恒成立问题转化为求函数最值或范围问题，解答的关键是在于将不等式或函数式进行合理的变式，这里需要根据式子的具体特点进行有针对性的变形，需要一定的技巧.二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，的【要点分析】根据函数图象可确定A 和最小正周期T ，由此可得ω，结合π26f ⎛⎫= ⎪⎝⎭可求得ϕ，从而得到()(),f x g x 的答案解析式，根据()()f x m g x -=可构造方程求得()ππ4m k k =-∈Z ，由此可得m 可能的取值. 【过程详解】由图象可知：2A =，最小正周期5ππ4π126T ⎛⎫=⨯-=⎪⎝⎭，2π2T ω∴==， ππ2sin 263f ϕ⎛⎫⎛⎫∴=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()ππ2π32k k ϕ∴+=+∈Z ，解得：()π2π6k k ϕ=+∈Z ， 又π2ϕ<，π6ϕ∴=，()π2sin 26f x x ⎛⎫∴=+ ⎪⎝⎭，()π2sin 23g x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭， ()()π2sin 226f x m x m g x ⎛⎫-=-+= ⎪⎝⎭ ， ()ππ22π63m k k ∴-+=-+∈Z ，解得：()ππ4m k k =-∈Z ， 当0k =时，π4m =；当2k =-时，9π4m =. 故选：AD.11. 大衍数列来源于《乾坤谱》中对易传“大衍之数五十”的推论，主要用于解释中国传统文化中的太极衍生原理，数列中的每一项都代表太极衍生过程．已知大衍数列{}n a 满足10a =，11,,,n n n a n n a a n n +++⎧=⎨+⎩为奇数为偶数，则（ ）A. 34a =B. 221n n a a n +=++C. 221,,2,2n n n a n n ⎧-⎪⎪=⎨⎪⎪⎩为奇数为偶数 D. 数列(){}1nna -的前2n 项和的最小值为2 【答案】ACD【答案解析】【要点分析】当2n k =时，2122k k a a k +=+,当21n k =-时，2212k k a a k -=+,联立可得21214k k a a k +--=，利用累加法可得22122k a k k +=+，从而可求得221,2,2n n n a n n ⎧-⎪⎪=⎨⎪⎪⎩为奇数为偶数，在逐项判断即可.【过程详解】令k *∈N 且1k ≥，当2n k =时，2122k k a a k +=+①；当21n k =-时，221212112k k k a a k a k --=+-+=+②，由①②联立得21214k k a a k +--=.所以315321214,8,,4k k a a a a a a k +--=-=-= ，累加可得()22112114844222k k k k a a a k k k +++-==+++=⨯=+ . 令21k n +=(3n ≥且为奇数)，得212n n a -=. 当1n =时10a =满足上式，所以当n 为奇数时，212n n a -=. 当n 为奇数时，()21112n n n a a n ++=++=， 所以22n n a =，其中n 为偶数. 所以221,2,2n n n a n n ⎧-⎪⎪=⎨⎪⎪⎩为奇数为偶数，故C 正确. 所以233142a -==，故A 正确. 当n 为偶数时，()22222222n nn n a a n ++-=-=+，故B 错误. 因为()()222212211222n n n n aa n ----=-=， 所以(){}1n n a -的前2n 项和21234212n n n S a a a a a a -=-+-++-+()()121222212n n n n n +=⨯+⨯++⨯=⨯=+ ，令()1n c n n =+， 因为数列{}n c 是递增数列，所以{}n c 的最小项为1122c =⨯=，故数列(){}1nna -的前2n 项和的最小值为2，故D 正确. 故选:ACD.【点睛】数列求和的方法技巧(1)倒序相加：用于等差数列、与二项式系数、对称性相关联的数列的求和．(2)错位相减：用于等差数列与等比数列的积数列的求和．(3)分组求和：用于若干个等差或等比数列的和或差数列的求和．12. 已知抛物线()220y px p =>的准线为:2l x =-，焦点为F ，点(),P P P x y 是抛物线上的动点，直线1l 的方程为220x y -+=，过点P 分别作PA l ⊥，垂足为A ，1PB l ⊥，垂足为B ，则（ ）A. 点F 到直线1l 的距离为5 B. 2p x +=C. 221p p x y ++的最小值为1D. PA PB +的最小值为5 【答案】ABD【答案解析】【要点分析】对于A ，用点到直线的距离公式即可判断；对于B ，利用抛物线的定义即可判断；对于C ，利用基本不等式即可判断；对于D ，利用抛物线的定义可得到PA PB PF PB BF +=+≥，接着求出BF 的最小值即可【过程详解】由抛物线()220y px p =>的准线为:2l x =-可得抛物线方程为28y x =，焦点为()2,0F ，对于A ，点F 到直线1l 的距离为5d ==，故A 正确； 对于B ，因为(),P P P x y 在抛物线上，所以利用抛物线的定义可得2P PF x =+，即2p x +=，故B 正确； 对于C ，因为(),P P P x y 在抛物线上，所以28,0p p p y x x =≥，。
2023年高考数学模拟考试卷及答案解析(理科)
2023年高考数学模拟考试卷及答案解析（理科）第Ⅰ卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．1．已知复数z 满足()()()1i 12i 1z z +=+-，则复数z 的实部与虚部的和为（）A ．1B ．1-C ．15D ．15-【答案】D【分析】根据复数的运算法则求出复数43i 55z -+=，则得到答案.【详解】(1i)(2i 1)(2i 1)z z +=-+-(2i)2i 1z -=-，2i 1(2i 1)(2i)43i 43i 2i 5555z --+-+====-+-，故实部与虚部的和为431555-+=-，故选：D.2．已知()f x =A ，集合{12}B x ax =∈<<R ∣，若B A ⊆，则实数a 的取值范围是（）A ．[2,1]-B ．[1,1]-C ．(,2][1,)-∞-+∞ D ．(,1][1,)∞∞--⋃+【答案】B【分析】先根据二次不等式求出集合A ，再分类讨论集合B ，根据集合间包含关系即可求解.【详解】()f x =A ，所以210x -≥，所以1x ≥或1x ≤-，①当0a =时，{102}B x x =∈<<=∅R∣,满足B A ⊆，所以0a =符合题意；②当0a >时，12{}B x x a a=∈<<R∣，所以若B A ⊆，则有11a≥或21a≤-，所以01a <≤或2a ≤-（舍）③当0<a 时，21{}B x x aa=∈<<R ∣，所以若B A ⊆，则有11a≤-或21a≥（舍），10a -≤<，综上所述，[1,1]a ∈-，故选：B.3．在研究急刹车的停车距离问题时，通常假定停车距离等于反应距离（1d ，单位：m ）与制动距离（2d ，单位：m ）之和.如图为某实验所测得的数据，其中“KPH”表示刹车时汽车的初速度v （单位：km/h ）.根据实验数据可以推测，下面四组函数中最适合描述1d ，2d 与v 的函数关系的是（）A ．1d v α=，2d =B ．1d v α=，22d v β=C ．1d =，2d v β=D ．1d =，22d vβ=【答案】B【分析】设()()1d v f v =，()()2d v g v =，根据图象得到函数图象上的点，作出散点图，即可得到答案.【详解】设()()1d v f v =，()()2d v g v =.由图象知，()()1d v f v =过点()40,8.5，()50,10.3，()60,12.5，()70,14.6，()80,16.7，()90,18.7，()100,20.8，()110,22.9，()120,25，()130,27.1，()140,29.2，()150,31.3，()160,33.3，()170,35.4，()180,37.5.作出散点图，如图1.由图1可得，1d 与v 呈现线性关系，可选择用1d v α=.()()2d v g v =过点()40,8.5，()50,16.2，()60,23.2，()70,31.4，()80,36，()90,52，()100,64.6，()110,78.1，()120,93，()()140,123，()150,144.1，()160,164.3，()170,183.6，()180,208.作出散点图，如图2.由图2可得，2d 与v 呈现非线性关系，比较之下，可选择用22d v β=.故选：B.4．已知函数()ln ,0,e ,0,x xx f x x x x ⎧>⎪=⎨⎪≤⎩则函数()1y f x =-的图象大致是（）A ．B．C ．D ．【答案】B【分析】分段求出函数()1y f x =-的解析式，利用导数判断其单调性，根据单调性可得答案.【详解】当10x ->，即1x <时，ln(1)(1)1x y f x x-=-=-，221(1)ln(1)1ln(1)1(1)(1)x x x x y x x -⋅-+--+--'==--，令0'>y ，得1e x <-，令0'<y ，得1e 1x -<<，所以函数()1y f x =-在(,1e)-∞-上为增函数，在(1e,1)-上为减函数，由此得A 和C 和D 不正确；当10x -≤，即1x ≥时，1(1)(1)e x y f x x -=-=-，()11(1)e (1)e x x y x x --'''=-+-11e (1)e x x x --=---=1e (2)xx ---，令0'>y ，得2x >，令0'<y ，得12x ≤<，所以函数()1y f x =-在(2,)+∞上为增函数，在[1,2)上为减函数，由此得B 正确；故选：B5．若函数()f x 存在一个极大值()1f x 与一个极小值()2f x 满足()()21f x f x >，则()f x 至少有（）个单调区间.A ．3B ．4C ．5D ．6【答案】B【分析】根据单调性与极值之间的关系分析判断.【详解】若函数()f x 存在一个极大值()1f x 与一个极小值()2f x ，则()f x 至少有3个单调区间，若()f x 有3个单调区间，不妨设()f x 的定义域为(),a b ，若12a x x b <<<，其中a 可以为-∞，b 可以为+∞，则()f x 在()()12,,,a x x b 上单调递增，在()12,x x 上单调递减，（若()f x 定义域为(),a b 内不连续不影响总体单调性），故()()21f x f x <，不合题意，若21a x x b <<<，则()f x 在()()21,,,a x x b 上单调递减，在()21,x x 上单调递增，有()()21f x f x <，不合题意；若()f x 有4个单调区间，例如()1f x x x =+的定义域为{}|0x x ≠，则()221x f x x-'=，令()0f x ¢>，解得1x >或1x <-，则()f x 在()(),1,1,-∞-+∞上单调递增，在()()1,0,0,1-上单调递减，故函数()f x 存在一个极大值()12f -=-与一个极小值()12f =，且()()11f f -<，满足题意，此时()f x 有4个单调区间，综上所述：()f x 至少有4个单调区间.故选：B.6．已知实数x 、y 满足10101x y x y y +-≤⎧⎪-+≥⎨⎪≥-⎩，则918222y x z x y --=+--的最小值为（）A ．132B ．372C ．12D ．2【答案】A【分析】由约束条件作出可行域，求出22y t x -=-的范围，再由91821922y x z t x y t --=+=+--结合函数的单调性求得答案．【详解】解：令22y t x -=-，则91821922y x z t x y t --=+=+--，由10101x y x y y +-≤⎧⎪-+≥⎨⎪≥-⎩作出可行域如图，则()()()2,12,1,0,1A B C ---，设点()(),2,2P x y D ，，其中P 在可行域内，2=2PD y t k x -∴-=，由图可知当P 在C 点时，直线PD 斜率最小，min 121=022CD t k -==-∴当P 在B 点时，直线PD 斜率不存在，∴1,2t ⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭∵19z t t =+在1,2t ⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭上为增函数，∴当12t =时min 132z =．故选：A ．7．在正方体1111ABCD A B C D -中，点P 在正方形11BCC B 内，且不在棱上，则（）A ．在正方形11DCC D 内一定存在一点Q ，使得PQ AC ∥B ．在正方形11DCCD 内一定存在一点Q ，使得PQ AC⊥C ．在正方形11DCC D 内一定存在一点Q ，使得平面1PQC ∥平面ABC D ．在正方形11DCC D 内一定存在一点Q ，使得AC ⊥平面1PQC 【答案】B【分析】对于A ，通过作辅助线，利用平行的性质，推出矛盾，可判断A;对于B ，找到特殊点，说明在正方形11DCC D 内一定存在一点Q ，使得PQ AC ⊥，判断B;利用面面平行的性质推出矛盾，判断C;利用线面垂直的性质定理推出矛盾，判断D.【详解】A 、假设在正方形11DCC D 内一定存在一点Q ，使得PQ AC ∥，作,PE BC QF CD ⊥⊥,垂足分别为,E F ,连接,E F ，则PEFQ 为矩形，且EF 与AC 相交，故PQ EF ∥,由于PQ AC ∥，则AC EF ∥，这与,AC EF 相交矛盾，故A 错误；B 、假设P 为正方形11BCC B 的中心，Q 为正方形11DCC D 的中心，作,PH BC QG CD ⊥⊥,垂足分别为,H G ,连接,H G ，则PHGQ 为矩形，则PQ HG ∥,且,H G 为,BC CD 的中点，连接,GH BD ,则GH BD ∥,因为AC BD ⊥，所以GH AC ⊥,即PQ AC ⊥，故B 正确；C 、在正方形11DCC D 内一定存在一点Q ，使得平面1PQC ∥平面ABC ，由于平面ABC ⋂平面11DCC D CD =,平面1PQC 平面111DCC D C Q =,故1CD C Q ∥,而11C D CD ∥,则Q 在11C D 上，这与题意矛盾，C 错误；D 、假设在正方形11DCC D 内一定存在一点Q ，使得AC ⊥平面1PQC ，1C Q ⊂平面1PQC ,则1AC C Q ⊥,又1CC ⊥平面,ABCD AC Ì平面ABCD ，故1C C AC ⊥,而11111,C C C Q C C C C Q =⊂ ，平面11DCC D ，故AC ⊥平面11DCC D ，由于AD ⊥平面11DCC D ,故,C D 重合，与题意不符，故D 错误，故选∶B8．对于平面上点P 和曲线C ，任取C 上一点Q ，若线段PQ 的长度存在最小值，则称该值为点P 到曲线C 的距离，记作(,)d P C .若曲线C 是边长为6的等边三角形，则点集{(,)1}D Pd P C =≤∣所表示的图形的面积为（）A ．36B ．36-C ．362π-D ．36π-【答案】D【分析】根据题意画出到曲线C 的距离为1的边界，即可得到点集的区域，即可求解.【详解】根据题意作出点集(){}|1D P d P C =≤，的区域如图阴影所示，其中四边形ADEC ，ABKM ，BCFG 为矩形且边长分别为1,6，圆都是以1为半径的，过点I 作IN AC ⊥于N ，连接A I ,则1NI =，30NAI ∠= ，所以AN =则HIJ 是以6-为边长的等边三角形，矩形ABKM 的面积1166S =⨯=，2π3DAM ∠=，扇形ADM 的面积为212ππ1233S =⨯⨯=，21sin 602ABC S AB =⨯⋅ 21622=⨯⨯，21sin 602HIJ S HI =⨯⋅ (21622=⨯-18=-，所以()1233ABC HIJ S S S S S =++- ()π363183=⨯+⨯+--36π=-.故选：D.9．一个宿舍的6名同学被邀请参加一个节目，要求必须有人去，但去几个人自行决定．其中甲和乙两名同学要么都去，要么都不去，则该宿舍同学的去法共有（）A ．15种B ．28种C ．31种D ．63种【答案】C【分析】满足条件的去法可分为两类，第一类甲乙都去，第二类甲乙都不去，再进一步通过分类加法原理求出各类的方法数，将两类方法数相加即可.【详解】若甲和乙两名同学都去，则去的人数可能是2人，3人，4人，5人，6人，所以满足条件的去法数为0123444444C +C C +C C 16++=种；若甲和乙两名同学都不去，则去的人数可能是1人，2人，3人，4人，则满足条件去法有12344444C C +C C 15++=种；故该宿舍同学的去法共有16+15=31种．故选：C.10．已知椭圆C 的焦点为12(0,1),(0,1)F F -，过2F 的直线与C 交于P ，Q 两点，若22143,||5PF F Q PQ QF ==，则椭圆C 的标准方程为（）A ．2255123x y +=B ．2212y x +=C ．22123x y +=D ．22145x y +=【答案】B【分析】由已知可设22,3F Q m PF m ==可求出所有线段用m 表示，在12PF F △中由余弦定理得1290F PF ︒∠=从而可求.【详解】如图，由已知可设22,3F Q m PF m ==，又因为114||55PQ QF QF m =∴=根据椭圆的定义212,62,3QF QF a m a a m +=∴=∴=，12223PF a PF a a a m=-=-==在12PF F △中由余弦定理得222222111116925cos 02243PQ PF QF m m m F PQ PQ PF m m+-+-∠===⋅⋅⋅⋅，所以190F PQ ︒∠=22222211229943213PF PF F F m m m a m b ∴+=⇒+=∴===⇒=故椭圆方程为：2212y x +=故选：B11．已知函数()π2sin 26f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，对于任意的)3,1a ⎡∈-⎣，方程()()0f x a x m =<≤恰有一个实数根，则m 的取值范围为（）A ．7π3π,124⎛⎤⎥⎝⎦B ．π5π,26⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．π5π,26⎛⎤⎥⎝⎦D ．7π3π,124⎡⎫⎪⎢⎣⎭【答案】D【分析】将方程的根的问题转化为函数()y f x =的图象与直线y a =有且仅有1个交点，画出图象，数形结合得到不等式组，求出m 的取值范围.【详解】方程()()0f x a x m =<≤恰有一个实数根，等价于函数()y f x =的图象与直线y a =有且仅有1个交点．当0x m <≤得：πππ22666x m ⎛⎤+∈+ ⎥⎝⎦，结合函数()y f x =的图象可知，π4π5π2633m ⎡⎫+∈⎪⎢⎣⎭，解得：7π3π,124m ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭.故选：D12．已知0.40.7e ,eln1.4,0.98a b c ===，则,,a b c 的大小关系是（）A ．a c b >>B ．b a c >>C ．b c a >>D ．c a b>>【答案】A【分析】构造函数()1=ln ef x x x -，0x >，利用导函数得到其单调性，从而得到ln 1ex x ≤，当且仅当e x =时等号成立，变形后得到22ln2ex x ≤，当x =0.7x =后得到b c <；再构造()1=e x g x x --，利用导函数得到其单调性，得到1e x x -≥，当且仅当1x =时，等号成立，变形后得到21e 2x x ->，当0.5x =时，等号成立，令0.7x =得到a c >，从而得到a cb >>.【详解】构造()1=ln ef x x x -，0x >，则()11=ef x x '-，当0e x <<时，()0f x ¢>，当e x >时，()0f x '<，所以()1=ln ef x x x -在0e x <<上单调递增，在e x >上单调递减，所以()()e =lne 10f x f ≤-=，故ln 1ex x ≤，当且仅当e x =时等号成立，因为20x >，所以222222(2)2ln 2ln ln ln2e e 2e 2e ex x x x x x x x x ≤⇒≤⇒≤⇒≤=，当x =当0.7x =时，220.98ln1.4(0.7)eln1.40.98ee<⨯=⇒<，所以b c <构造()1=e x g x x --，则()1e 1=x g x -'-，当1x >时，()0g x '>，当1x <时，()0g x '<，所以()1=ex g x x --在1x >单调递增，在1x <上单调递减，故()()10g x g ≥=，所以1e x x -≥，当且仅当1x =时，等号成立，故121e e 2x x x x --≥⇒≥，当且仅当0.5x =时，等号成立，令0.7x =，则0.40.4e 1.40.7e 0.98>⇒>，所以a c >，综上:a c b >>，故选：A【点睛】构造函数比较函数值的大小，关键在于观察所给的式子特点，选择合适的函数进行求解.第Ⅱ卷二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．设i ，j 是x ，y 轴正方向上的单位向量，23a b i j -=- ，3119a b i j +=+，则向量a，b的夹角为______．【答案】π4【分析】分别求出a ，b 的表达式，利用定义求出a ，b 的夹角即可.【详解】23a b i j -=-①，3119a b i j +=+②,3⨯+①②得714,2a i a i =∴=，2-⨯+②①得72121,33b i j b i j -=--∴=+ ，()22·33666a b i i j i i j ⋅=+=+⋅=2,a b ==cos ,2a b a b a b ⋅∴==⋅π,4a b ∴=14．已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>的焦距为2c ，过C 的右焦点F 的直线l 与C 的两条渐近线分别交于,A B 两点，O 为坐标原点，若cos b c AFO =∠且3FB FA =，则C 的渐近线方程为__________.【答案】y =【分析】根据题设条件确定AB OA ⊥，进而可确定OA a FA b ==，，从而在直角△AOB 中，()2tan tan π2bAOB aα∠=-=，结合正切的二倍角公式求解.【详解】因为3FB FA =，画出示意图如图，设AOF α∠=，因为cos b c AFO =∠，则cos b AFO c∠=，所以222sin a AFO c∠=，则sin a AFO c ∠=，所以tan aAFO b ∠=.又tan b a α=，所以π2AFO α∠+=，所以AB OA ⊥，根据sin ,cos OA FA a bAFO AFO c c c c ∠==∠==，所以OA a FA b ==，.又因为3FB FA，所以2AB b =.在直角△AOB 中，()2tan tan π2bAOB aα∠=-=，所以222222tan tan21tan 1bb a b a aααα=-==--，化简得：222b a =，所以b a =则渐近线方程为：y =，故答案为:y =.15．已知数列{}n a 满足首项11a =，123n n na n a a n ++⎧=⎨⎩，为奇数，为偶数，则数列{}n a 的前2n 项的和为_____________．【答案】4344n n ⨯--【分析】当n 为奇数时，由递推关系得()21332n n n a a a ++==+，构造{}3n a +为等比数列，可求出通项，结合12n n a a +=+即可分组求和.【详解】当n 为奇数时，()21332n n n a a a ++==+，即()2333n n a a ++=+，此时{}3n a +为以134a +=为首项，公比为3的等比数列，故()123212413333343333n nn n n n a a a a a a a a ----++++=创创+=+++，即12433n n a -=´-.()()()2123421211332121222n n n n n S a a a a a a a a a a a a ---=++++++=+++++++++ ()()01113212224334334332n n a a a n n--=++++=´-+´-++´-+ ()03132432434413nnn n n 骣-琪=´-+=´--琪琪-桫.故答案为：4344n n ⨯--【点睛】本题解题关键是根据题意找到相邻奇数项或偶数项之间的递推关系，从而求出当n 为奇数或n 为偶数时的通项公式，再通过相邻两项的关系求出前2n 项的和．16．在三角形ABC 中，2BC =，2AB AC =，D 为BC 的中点，则tan ADC ∠的最大值为___________.【答案】43##113【分析】设出AC x =，则2AB x =，由πADB ADC ∠+∠=得到cos cos 0ADB ADC ∠+∠=，结合余弦定理得到22512AD x =-，从而得到cos ADC ∠关系得到223x <<，换元后得到cos ADC ∠，由基本不等式求出最小值，结合()cos f x x =在π0,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，()tan g x x =在π0,2⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递增，可求出tan ADC ∠的最大值.【详解】设AC x =，则2AB x =，因为D 为BC 的中点，2BC =，所以1BD DC ==，由三角形三边关系可知：22x x +>且22x x -<，解得：223x <<，在三角形ABD 中，由余弦定理得：()2212cos 2AD x ADB AD+-∠=，在三角形ACD 中，由余弦定理得：221cos 2AD x ADC AD+-∠=，因为πADB ADC ∠+∠=，所以()2222121cos cos 022AD x AD x ADB ADC ADAD+-+-∠+∠=+=，解得：22512AD x =-，由余弦定理得：225112cos x x ADC -+-∠=223x <<，令2511,929x t ⎛⎫-=∈ ⎪⎝⎭，则3cos 5ADC ∠=，当且仅当1t t=，即1t =时，等号成立，此时25112x -=，解得：x =因为3cos 05ADC ∠≥>，故π0,2ADC ⎛⎫∠∈ ⎪⎝⎭，由于()cos f x x =在π0,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，()tan g x x =在π0,2⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递增，故当cos ADC ∠取得最小值时，tan ADC ∠取得最大值，此时4sin 5ADC ∠=，4tan 3ADC ∠=.故答案为：43.【点睛】三角形中常用结论，()sin sin A B C +=，()cos cos A B C +=-，()tan tan A B C +=-，本题中突破口为由πADB ADC ∠+∠=得到cos cos 0ADB ADC ∠+∠=，结合余弦定理得到22512AD x =-，进而利用基本不等式求最值.三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．17．（12分）数列{}n a 满足35a =，点()1,n n P a a +在直线20x y -+=上，设数列{}n b 的前n 项和为n S ，且满足233n n S b =-，*n ∈N ．(1)求数列{}n a 和{}n b 的通项公式；(2)是否存在*k ∈N ，使得对任意的*n ∈N ，都有n kn ka ab b ≤．【答案】(1)21n a n =-；3nn b =(2)存在1k =，2，使得对任意的*n ∈N ，都有n k n ka ab b ≤【分析】（1）根据等差数列的定义可得{}n a 为等差数列，由,n n S b 的关系可得{}n b 为等比数列，进而可求其通项，（2）根据数列的单调性求解最值即可求解.【详解】（1）点()1,n n P a a +在直线20x y -+=上，所以12n n a a +-=又35a =，∴11a =，则数列{}n a 是首项为1，公差为2的等差数列．∴21n a n =-又当1n =时，11233S b =-得13b =，当2n ≥，由233n n S b =-①，得11233n n S b --=-②由①－②整理得：13n n b b -=，∵130b =≠，∴10n b -≠∴13nn b b -=，∴数列{}n b 是首项为3，公比为3的等比数列，故3nn b =（2）设213nn n na n cb -==，由111121212163443333+++++-+-+--=-==n n n n n n n n n n nc c当1n =时，12c c =，当2n ≥时，1n n c c +<，所以当1n =或2时，n c 取得最大值，即nna b 取得最大所以存在1k =，2，使得对任意的*n ∈N ，都有n kn ka ab b≤18．（12分）如图，将等边ABC 绕BC 边旋转90︒到等边DBC △的位置，连接AD．(1)求证：AD BC ⊥；(2)若M 是棱DA 上一点，且两三角形的面积满足2BMD BMA S S = ，求直线BM 与平面ACD 所成角的正弦值．【答案】(1)证明见解析(2)10【分析】（1）取BC 中点为O ，证明BC ⊥平面AOD 即可；（2）建立空间直角坐标系，利用向量法求得直线BM 与平面ACD 所成角的正弦值．【详解】（1）设O 是BC 的中点，连接AO ，DO ，由题知：AB AC =，DB DC =，则BC AO ⊥，BC DO ⊥，又AO DO O ⋂=，,AO DO ⊂平面AOD ，所以BC ⊥平面AOD ，又AD ⊂平面AOD ，所以AD BC ⊥．（2）由题知，OA 、BC 、OD 两两垂直，以O 为原点，,,OA OB OD方向分别为x ，y ，z 轴的正方向建立空间直角坐标系，如图所示，因为2BMD BMA S S = ，所以13AM AD =，设2AB a =，则OA OD ==，则),0,0A，()0,,0B a ，()0,,0C a -，()D，33M ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭．所以),,0CA a =，),0,DA =，,BM a ⎫=-⎪⎪⎝⎭，设平面ACD 的法向量为(),,n x y z =r，则00n CA ay n DA ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=-=⎪⎩ ，取1x =，可得()1,n = ，设直线BM 与平面ACD 所成的角为θ，则sin cos ,BM n θ=BM n BM n⋅==⋅所以直线BM 与平面ACD.19．（12分）甲、乙两位选手参加一项射击比赛，每位选手各有n 个射击目标，他们击中每一个目标的概率均为12，且相互独立．甲选手依次对所有n 个目标进行射击，且每击中一个目标可获得1颗星；乙选手按规定的顺序依次对目标进行射击，击中一个目标后可继续对下一个目标进行射击直至有目标未被击中时为止，且每击中一个目标可获得2颗星．(1)当5n =时，分别求甲、乙两位选手各击中3个目标的概率；(2)若累计获得星数多的选手获胜，讨论甲、乙两位选手谁更可能获胜．【答案】(1)516,116；(2)当1,2,3n =时，乙更可能获胜；当4n ≥时，甲更可能获胜.【分析】（1）根据独立重复试验可计算甲击中3个目标的概率，由相互独立事件的概率计算公式可得乙击中3个目标的概率；（2）设X 为甲累计获得的星数，Y 为乙累计获得的星数，分别计算期望，分别讨论1,2,3n =及4n ≥的(),()E X E Y ，得出结论.【详解】（1）当5n =时，甲击中3个目标的概率为33215115C ()()2216P =⨯⨯=，乙击中3个目标，则前3个目标被击中，第4个目标未被击中，其概率为32111()2216P =⨯=.（2）设X 为甲累计获得的星数，则0,1,2,,X n = ，设Y 为乙累计获得的星数，则0,2,4,,2Y n = ，设击中了m 个目标，其中0m n ≤≤，则甲获得星数为m 的概率为C 11()C ()()222m m m n m nnn P X m -===，所以甲累计获得星数为0120C 1C 2C C ()2nn n n nnn E X ⋅+⋅+⋅++⋅= ;记01010C 1C C C (1)C 0C n n n n n n n n n S n n n =⋅+⋅++⋅=⋅+-⋅++⋅ ，所以0112(C C C )2,2n n n n n n n n S n n S n -=+++=⋅=⋅ ，所以12()22n n n nE X -⋅==,乙获得星数为2(01)m m n ≤≤-的概率为1111(2)()222m m P Y m +==⋅=，当m n =时，1(2)2nP Y m ==，所以乙累计获得星数为230242(1)2()22222n n n n E Y -=+++++ ，记230242(1)2222n n n T -=++++ ，则121242(1)20222n n n T --=++++ ，所以12111112(1)122()222222n n n n n n n n T T T ---+=-=+++-=- ，11()22n E Y -=-，当1n =时，1()()12E X E Y =<=，当2n =时，3()1()2E X E Y =<=，当3n =时，37()()24E X E Y =<=，当4n ≥时，()2()E X E Y ≥>所以当1,2,3n =时，乙更可能获胜；当4n ≥时，甲更可能获胜.20．（12分）已知抛物线2y =的焦点与椭圆()2222:10x y a b a bΩ+=>>的右焦点重合，直线1:1x y l a b+=与圆222x y +=相切．(1)求椭圆Ω的方程；(2)设不过原点的直线2l 与椭圆Ω相交于不同的两点A ，B ，M 为线段AB 的中点，O 为坐标原点，射线OM 与椭圆Ω相交于点P ，且O 点在以AB 为直径的圆上，记AOM ，BOP △的面积分别为1S ，2S ，求12S S 的取值范围．【答案】(1)22163x y +=(2)⎣⎦【分析】（1）根据条件建立关于,a b 的方程组，即可求解椭圆方程；（2）根据数形结合可知12AOM BOP OMS S S S OP==△△，分直线斜率不存在，或斜率为0，以及斜率不为0，三种情况讨论12S S 的值或范围.【详解】（1）∵抛物线2y =的焦点为)，∴c =从而223a b =+①，∵直线1:1x yl a b+=与圆222x y +==②，由①②得：ab ，∴椭圆Ω的方程为：22163x y +=（2）∵M 为线段AB 的中点，∴12AOM BOP OMS S S S OP==△△，（1）当直线2l 的斜率不存在时，2l x ⊥轴，由题意知OA OB ⊥，结合椭圆的对称性，不妨设OA 所在直线的方程为y x =，得22Ax =，从而22Mx =，26P x =，123M P OM x S S OP x ∴===（2）当直线2l 的斜率存在时，设直线()2:0l y kx m m =+≠，()11,A x y ，()22,B x y 由22163y kx mx y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩可得：()222214260k x kmx m +++-=，由()()222216421260k m k m ∆=-+->可得：22630k m -+>（*）∴122421km x x k +=-+，21222621m x x k -=+，∵O 点在以AB 为直径的圆上，∴0OA OB ⋅=，即12120x x y y +=，∴()()221212121210x x y y k x x km x x m +=++++=，即()22222264102121m km k km m k k -⎛⎫+⨯+-+= ⎪++⎝⎭，2222,m k ⇒=+（**）满足（*）式．∴线段AB 的中点222,2121kmm M k k ⎛⎫- ⎪++⎝⎭，若0k =时，由（**）可得：22m =，此时123OM S S OP ∴===，若0k ≠时，射线OM 所在的直线方程为12y x k=-，由2212163y x k x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩可得：2221221P k x k =+，12M POM x S S OP x ∴===随着2k 的增大而减小，∵0k ≠，∴20k >，∴1233S S ⎛∈ ⎝⎭综上，1233S S ∈⎣⎦【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下：（1）设直线方程，设交点坐标为()()1122,,,x y x y ；（2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于x （或y ）的一元二次方程，必要时计算∆；（3）列出韦达定理；（4）将所求问题或题中的关系转化为12x x +、12x x （或12y y +、12y y ）的形式；（5）代入韦达定理求解.21．（12分）已知函数()e xf x ax a=--(1)当1a =时，证明:()0f x ≥.(2)若()f x 有两个零点()1212,x x x x <且22112,e 1x x +⎡⎤∈⎣⎦+，求12x x +的取值范围.【答案】(1)见解析；(2)243ln 22,e 1⎡⎤-⎢⎥-⎣⎦【分析】（1）()e 1x f x x =--，求导得min ()(0)0f x f ==，则()0f x ；（2）由题得11e x ax a =+，22e xax a =+，则21211e1x x x x -+=+，()1212e e 2x x a x x +=++，()2121e e x x a x x -=-，则()()212121121e 2e1x x x x x x x x ---+++=-，从而设21[ln 2,2]t x x =-∈，得到()121e 2e 1t tt x x +++=-，利用导数研究函数()1e ()e 1ttt g t +=-的值域，则得到12x x+的范围.【详解】（1）证明:当1a =时,()e 1x f x x =--,则()e 1x f x '=-.当(,0)x ∈-∞时,()0f x '<,当,()0x ∈+∞时,()0f x '>,所以()f x 在(,0)-∞上单调递减,在()0,∞+上单调递增,则min ()(0)0f x f ==,故()0f x .（2）由题意得1212e e 0x xax a ax a --=--=，则11e x ax a =+，22e xax a =+，从而21211e 1x xx x -+=+，()1212e e 2x x a x x +=++，()2121e e x x a x x -=-，故()()()()12212121212112e e 1e 2e ee1xx x x x x x x x x x x x x ---+-+++==--，因为22112,e 1x x +⎡⎤∈⎣⎦+，所以212e 2,e x x -⎡⎤∈⎣⎦，即[]21ln 2,2x x -∈，设21[ln 2,2]t x x =-∈,则()121e 2e 1t t t x x +++=-.设()1e ()e 1t tt g t +=-,则()22e 2e 1()e1t t tt g t --'=-.设2()e 2e 1t t h t t =--,则()()2e e 1t th t t '=--，由（1）可知()()2e e 10t th t t '=--在R 上恒成立,从而2()e 2e 1t t h t t =--在[ln 2,2]上单调递增,故min ()(ln 2)44ln 210h t h ==-->,即()0g t '>在[]ln 2,2上恒成立,所以()g t 在[ln 2,2]上单调递增,所以()212221e 23ln 2,e 1x x ⎡⎤+⎢⎥++∈-⎢⎥⎣⎦,即12243ln 22e 1,x x ⎡⎤+∈-⎢⎣-⎥⎦,即12x x +的取值范围为243ln 22,e 1⎡⎤-⎢⎥-⎣⎦.【点睛】关键点睛：本题的关键是通过变形用含21x x -的式子表示出122x x ++，即()()212121121e 2e1x x x x x x x x ---+++=-，然后整体换元设21[ln 2,2]t x x =-∈，则得到()121e 2e 1t t t x x +++=-，最后只需求出函数()1e ()e 1tt t g t +=-在[ln 2,2]t ∈上值域即可.（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．22．[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）在直角坐标系xOy 中，直线l的参数方程为cos sin x t y t αα⎧=+⎪⎨=⎪⎩（t 为参数）．以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立坐标系，曲线C 的极坐标方程为2853cos 2ρθ=-，直线l 与曲线C 相交于A ，B两点，)M．(1)求曲线C 的直角坐标方程；(2)若2AM MB =，求直线l 的斜率．【答案】(1)2214x y +=(2)2±【分析】（1）根据极坐标与直角坐标直角的转化222cos sin x y x y ρθρθρ=⎧⎪=⎨⎪=+⎩，运算求解；（2）联立直线l 的参数方程和曲线C 的直角坐标方程，根据参数的几何意义结合韦达定理运算求解.【详解】（1）∵()()222222288453cos 2cos 4sin 5cos sin 3cos sin ρθθθθθθθ===-++--，则2222cos 4sin 4ρθρθ+=，∴2244x y +=，即2214x y +=，故曲线C 的直角坐标方程为2214x y +=.（2）将直线l的参数方程为cos sin x t y t αα⎧=+⎪⎨=⎪⎩（t 为参数）代入曲线C 的直角坐标方程为2214x y +=，得)()22cos sin 14t t αα+=，整理得()()222cos 4sin 10t t ααα++-=，设A ，B 两点所对应的参数为12,t t ，则1212221cos 4sin t t t t αα+==-+，∵2AM MB =，则122t t =-，联立1212222cos 4sin t t t t ααα=-⎧⎪⎨+=-⎪+⎩，解得122222cos 4sin cos 4sin t t αααααα⎧=-⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩，将12,t t 代入12221cos 4sin t t αα=-+得2222221cos 4sin cos 4sin cos 4sin αααααααα⎛⎫⎛⎫-=- ⎪⎪ ⎪⎪+++⎝⎭⎝⎭，解得2223tan 4k α==，故直线l的斜率为2±.23．[选修4-5：不等式选讲]（10分）设a 、b 、c 为正数，且b c c a a ba b c+++≤≤.证明：(1)a b c ≥≥；(2)()()()2324a b b c c a abc +++≥.【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析【分析】（1）由不等式的基本性质可得出111abc≤≤，利用反比例函数在()0,∞+上的单调性可证得结论成立；（2）利用基本不等式可得出a b +≥，2b c +≥3c a +≥等式的基本性质可证得结论成立.【详解】（1）证明：因为a 、b 、c 为正数，由b c c a a ba b c +++≤≤可得a b c a b c a b ca b c++++++≤≤，所以，111a b c≤≤，因为函数1y x =在()0,∞+上为增函数，故a b c ≥≥.（2）证明：由基本不等式可得a b +≥，2b c b b c +=++≥()322c a c a a a +=++≥+≥=由不等式的基本性质可得()()()2171131573362244412232424a b b c c a a b b c a c a b c+++≥=11764122424ab a b c abc ⎛⎫=≥ ⎪⎝⎭，当且仅当a b c ==时，等号成立，故()()()2324a b b c c a abc +++≥.。
2023年高考数学全真模拟(全国甲卷乙卷通用)理数01试题(含答案解析)
2023年高考数学全真模拟卷一（全国卷）理科数学（考试时间：120分钟；试卷满分：150分）注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题）一、单选题（本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）1．已知集合{}ln 20A x x x =-=，()(){}130B x x x =+->，则A B = （）A ．{}0,3B ．{}0,1C ．{}1,2D ．{}0,1,22．若1i z =-，则2|32i |z +-=（）AB ．5C ．3D ．3．2022年卡塔尔世界杯（FIFA World Cup Oatar 2022）是第二十二届国际足联世界杯足球赛，在当地时间2022年11月20日到12月18日间在卡塔尔国内5个城市的8座球场举行，这是世界杯第一次在阿拉伯地区举办，由于夏季炎热，2022年卡塔尔世界杯放在冬季进行，如图是卡塔尔2022年天气情况，下列对1－11月份说法错误的是（A ．有5个月平均气温在30℃以上B ．有4个月平均降水量为0mm C ．7月份平均气温最高D ．3月份平均降水量最高4．某高中综合实践兴趣小组做一项关于某水果酿制成醋的课题研究．经大量实验和反复论证得出，某水果可以酿成醋的成功指数M 与该品种水果中氢离子的浓度N 有关，酿醋成功指数M 与浓度N 满足 2.8lg M N =-．已知该兴趣小组同学通过数据分析估计出某水果酿醋成功指数为2.9，则该水果中氢离子的浓度约为（ 1.259≈）（）A ．0.2B ．0.4C ．0.6D ．0.85．数列{}n a 是等比数列，首项为1a ，公比为q ，则()110a q -<是“数列{}n a 递减”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件6．若双曲线2221y x b-=则该双曲线的离心率为（）A ．12B ．2C ．2D 7．岳阳楼与湖北武汉黄鹤楼、江西南昌滕王阁并称为“江南三大名楼”，是“中国十大历史文化名楼”之一，世称“天下第一楼”.因范仲淹作《岳阳楼记》使得岳阳楼著称于世.小李为测量岳阳楼的高度选取了与底部水平的直线AC ，如图，测得30DAC ∠=︒，45DBC ∠=︒14AB =米，则岳阳楼的高度CD 约为（）1.414≈ 1.732≈）A ．18米B ．19米C ．20米D ．21米8．如图为一个三棱锥的三视图，则该三棱锥的体积为（）A ．13B ．23C ．129．在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，22cos 2Ba a c =+，则ABC 为（）A ．钝角三角形B ．正三角形C ．直角三角形10．高一（1）班有8名身高都不相同的同学去参加红歌合唱，他们站成前后对齐的2排，每排4人，则前排的同学都比后排对应的同学矮的概率为（）A ．1384B ．34C ．38D ．11611．在三棱锥S ABC -中，2SAC SBC π∠=∠=，23ACB π∠=，1AC BC ==.若三棱锥S ABC -的体积为1，则该三棱锥外接球的表面积为（）A ．13πB ．373πC ．49πD ．52π12．已知111a =，b =，11ln 10c =．则（）A ．a b c>>B ．b c a >>C ．c b a>>D ．b a c>>第II 卷（非选择题）二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13．曲线()e e xxf x x =+在1x =处的切线方程为___________.14．已知向量1,,()()1,a m b m ==- ，若(2)a b b -⊥，则b = ________．15．已知直线l 与椭圆22221x y a b+=()0a b >>相切于第一象限的点()00,P x y ，且直线l 与x 轴、y 轴分别交于点,A B ，当AOB (O 为坐标原点）的面积最小时，1260F PF ∠=（12,F F 是椭圆的两个焦点），则该椭圆的离心率是_________.16．已知函数f （x ）=cos （ωx +φ）（ω＞0，|φ|≤2π），x =-4π为f （x ）的零点，x =4π为y =f （x ）图象的对称轴，且f （x ）在（18π，6π）上单调，则ω的最大值为______．三、解答题（本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答）（一）必考题：共60分17．2020年1月至2月由新型冠状病毒引起的肺炎病例陡然增多，为了严控疫情扩散，做好重点人群的预防工作，某地区共统计返乡人员100人，其中50岁及以上的共有40人．这100人中确诊的有10人，其中50岁以下的人占310．(1)试估计50岁及以上的返乡人员因感染新型冠状病毒而引起肺炎的概率；(2)请将下面的列联表补充完整，并依据0.05α=的独立性检验，分析确诊为新冠肺炎与年龄是否有关．确诊为新冠肺炎（单位：人）未确诊为新冠肺炎（单位：人）合计50岁及以上4050岁以下合计10100附表及公式：α0.10.050.010.0050.001x α2.7063.8416.6357.87910.828()()()()()22n ad bc a b c d a c b d χ-=++++，其中n a b c d =+++．18．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且59a =，864S =．(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)若数列{}n b 满足()11n n n b n a a *+=∈N ，求数列{}n b 的前n 项和n T ．19．如图，在四棱锥P －ABCD 中，平面PCD ⊥平面ABCD PCD 为等边三角形，112AB AD CD ===，90BAD ADC ∠=∠=︒，M 是棱上一点，且2CM MP =.(1)求证：AP ∥平面MBD ；(2)求二面角M －BD －C 的余弦值.20．已知抛物线2:2C y px =（其中6p >-F ，点M 、N 分别为抛物线C 上两个动点，满足以MN 为直径的圆过点F ，设点E 为MN 的中点，当MN EF ⊥时，点E的坐标为()3-．(1)求抛物线C 的方程；(2)直线MF 、NF 与抛物线的另一个交点分别为A 、B ，点P 、Q 分别为AM 、BN 的中点，证明：直线PQ 过定点．21．已知函数()()212ln 11ax xf x x x +=+-+，R a ∈．(1)当2a =时，讨论函数()f x 的单调性；(2)若函数()()()1g x x f x =+在()0,∞+上不单调，求实数a 的取值范围．（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在直角坐标系xoy 中，直线l 的参数方程为{15x ty t =+=+（t 为参数）.以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为23=2+cos2ρθ.(1)求直线l 的普通方程和曲线C 的直角坐标方程；(2)求C 的上的动点到l 的距离的取值范围.[选修4-5：不等式选讲]23．已知：()1f x x x m =+--，0m >．(1)若2m =，求不等式()2f x >的解集；(2)()()g x f x x m =--，若()g x 的图象与x 轴围成的三角形面积不大于54，求m 的取值范围．2023年高考数学全真模拟卷一（全国卷）理科数学（考试时间：120分钟；试卷满分：150分）注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题）一、单选题（本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）1．已知集合{}ln 20A x x x =-=，()(){}130B x x x =+->，则A B = （）A ．{}0,3B ．{}0,1C ．{}1,2D ．{}0,1,2【答案】B【分析】直接解出{0,1,3}A =，{}13B x x =-<<，根据交集的概念即可得到答案.【详解】由题可得{0A xx ==∣或ln |2|0}{0,1,3}x -==，()(){}{}13013B x x x x x =+-<=-<<，所以{}0,1A B = ，故选：B.2．若1i z =-，则2|32i |z +-=（）AB ．5C ．3D ．【答案】B【分析】根据复数运算，复数的模计算即可解决.【详解】由题知，22|32i |12i+i 32i 34i 5z +-=-+-=-=，故选：B3．2022年卡塔尔世界杯（FIFA World Cup Oatar 2022）是第二十二届国际足联世界杯足球赛，在当地时间2022年11月20日到12月18日间在卡塔尔国内5个城市的8座球场举行，这是世界杯第一次在阿拉伯地区举办，由于夏季炎热，2022年卡塔尔世界杯放在冬季进行，如图是卡塔尔2022年天气情况，下列对1－11月份说法错误的是（）A ．有5个月平均气温在30℃以上B ．有4个月平均降水量为0mmC ．7月份平均气温最高D ．3月份平均降水量最高【答案】D【分析】根据给定的图表，逐项分析判断作答.【详解】观察图表知，5月、6月、7月、8月、9月的5个月平均气温均在30℃以上，A 正确；6月、7月、8月、9月的4个月平均降水量为0mm ，B 正确；7月份平均气温最高，C 正确；2月份平均降水量比3月份平均降水量高，D 错误.故选：D4．某高中综合实践兴趣小组做一项关于某水果酿制成醋的课题研究．经大量实验和反复论证得出，某水果可以酿成醋的成功指数M 与该品种水果中氢离子的浓度N 有关，酿醋成功指数M 与浓度N 满足 2.8lg M N =-．已知该兴趣小组同学通过数据分析估计出某水果酿醋成功指数为2.9，则该水果中氢离子的浓度约为（ 1.259≈）（）A ．0.2B ．0.4C ．0.6D ．0.8【答案】D【分析】直接由题目中关系式解氢离子的浓度即可.【详解】由题意知：2.9 2.8lg N =-，整理得lg 0.1N =-，解得0.110N -=，又0.11100.81.259-=≈≈，故0.8N ≈.故选：D.5．数列{}n a 是等比数列，首项为1a ，公比为q ，则()110a q -<是“数列{}n a 递减”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】B【分析】由1(1)0a q -<，解得101(0)a q q >⎧⎨<≠⎩或101a q <⎧⎨>⎩，根据等比数列的单调性的判定方法，结合充分、必要条件的判定方法，即可求解得到答案.【详解】由已知1(1)0a q -<，解得101(0)a q q >⎧⎨<≠⎩或101a q <⎧⎨>⎩，11n n a a q -=，此时数列{}n a 不一定是递减数列，所以()110a q -<是“数列{}n a 递减”的非充分条件；若数列{}n a 为递减数列，可得1001a q >⎧⎨<<⎩或101a q <⎧⎨>⎩，所以()110a q -<，所以()110a q -<是“数列{}n a 递减”的必要条件.所以“()110a q -<”是“数列{}n a 为递减数列”的必要不充分条件.故选：B.6．若双曲线2221y x b-=则该双曲线的离心率为（）A ．12B C ．2D 【答案】C【分析】写出双曲线的焦点，渐近线后，列方程求出b ，然后根据离心率定义计算.【详解】依题意得，双曲线的一条渐近线为0bx y -=，一个焦点为)，根据点b =，于是2c ==，离心率2ce a==.故选：C 7．岳阳楼与湖北武汉黄鹤楼、江西南昌滕王阁并称为“江南三大名楼”，是“中国十大历史文化名楼”之一，世称“天下第一楼”.因范仲淹作《岳阳楼记》使得岳阳楼著称于世.小李为测量岳阳楼的高度选取了与底部水平的直线AC ，如图，测得30DAC ∠=︒，45DBC ∠=︒，14AB =米，则岳阳楼的高度CD 约为（） 1.414≈、1.732≈）A ．18米B ．19米C ．20米D ．21米【答案】B【分析】在Rt ADC 中用CD 表示AC ，Rt BDC 中用CD 表示BC ，建立CD 的方程求解即得.【详解】Rt ADC 中，30DAC ︒∠=，则AC =，Rt BDC 中，45DBC ︒∠=，则BC CD =，由AC-BC=AB 147(1)19.124CD CD -=⇒=≈，CD 约为19米.故选：B8．如图为一个三棱锥的三视图，则该三棱锥的体积为（）A ．13B ．23C ．12D ．43【答案】B【分析】由三视图画出三棱锥原图，利用13V Sh =锥可得结果.【详解】根据三视图可得几何体是有一条侧棱垂直底面的三棱锥，如图所示，DA ⊥平面ABC ，所以11121223323ABC V S DA ⎛⎫=⋅=⨯⨯⨯⨯= ⎪⎝⎭△故选：B.9．在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，22cos 2Ba a c =+，则ABC 为（）A ．钝角三角形B ．正三角形C ．直角三角形D ．等腰直角三角形【答案】C【分析】利用二倍角公式和正弦定理进行化简，结合三角形内角的范围即可得到答案【详解】由22cos2Ba a c =+结合正弦定理可得1cos 2sin sin sin 2B A A C +⋅=+，即sin sin cos sin sin A A B A C +=+，所以()sin cos sin sin sin cos cos sin A B C A B A B A B ==+=+，所以cos sin 0=A B ，因为sin 0B >，所以cos 0A =，因为0πA <<，所以π2A =，故ABC 为直角三角形，故选：C 10．高一（1）班有8名身高都不相同的同学去参加红歌合唱，他们站成前后对齐的2排，每排4人，则前排的同学都比后排对应的同学矮的概率为（）A ．1384B ．34C ．38D ．116【答案】D【分析】因为8名同学，所以任选两人，身高都不同，只需将抽取的两人安排到一组，高的同学站后即可.【详解】8名身高都不相同的同学站在8个不同的位置有88A 种站法，将8名同学分为4组，每组2人，则有2222864244C C C C A 种分法，4组人有44A 种站法，故所求概率22228642884444C C C C A A 1A 16P ⋅==.故选：D.11．在三棱锥S ABC -中，2SAC SBC π∠=∠=，23ACB π∠=，1AC BC ==.若三棱锥S ABC -的体积为1，则该三棱锥外接球的表面积为（）A ．13πB ．373πC ．49πD ．52π【答案】D【分析】由条件可知ASC 和BSC 为以SC 为斜边的直角三角形，则SC 的中点O 为外接球的球心.过S 做SH ⊥平面ABC ，垂足为H，由三棱锥的体积可求出高SH =，根据三角形全等可证明H 在ABC ∠的角平分线上，即60HCA ∠=o ，由线面垂直的定理可知AC HA ⊥，从而可计算2CH =，勾股可知SC 的长，从而计算外接球的半径和表面积.【详解】解：因为2SAC SBC π∠=∠=，所以ASC 和BSC 为以SC 为斜边的直角三角形，则SC 的中点O 到各个顶点的距离都相等，则O 为外接球的球心.即SC 为直径.过S 做SH ⊥平面ABC ，垂足为H ，连结HB ，HA ，则1111132S ABC V SH -=⨯⨯⨯⨯，解得：SH = 1AC BC ==，2SAC SBC π∠=∠=，SC SC =，SAC SBC ∴≅V V ，则SA SB=,AH BH 分别为,SA SB 在平面ABC 内的射影，所以有AH BH =，又AC BC =，HC 为公共边，所以AHC BHC ≅V V ，则HCA HCB ∠=∠，所以H 在ABC ∠的角平分线上，60HCA ∠=o ，AC SA ⊥，AC SH ⊥，SA SH S = ，所以有AC ⊥平面SHA ，AH ⊂平面SHA ，则有AC HA ⊥，因为1AC =，60HCA ∠=o，所以2CH =，则SC ==，则R =故外接球的表面积为2452S R ππ==.故选：D.12．已知111a =，b =，11ln 10c =．则（）A ．a b c >>B ．b c a>>C ．c b a>>D ．b a c>>【答案】B【分析】令()()ln 1f x x x =-+，()()1ln 111g x x x =+-++，利用导数可求得()(),f x g x在()0,1上的单调性，从而确定()ln 1x x >+，()1ln 111x x +>-+，x >，令110x =即可得到大小关系.【详解】令()()ln 1f x x x =-+，01x <<，则()11011xf x x x '=-=>++，()f x \在()0,1上单调递增，()()00f x f ∴>=，即()ln 1x x >+；令()()1ln 111g x x x =+-++，01x <<，则()()()22110111x g x x x x '=-=>+++，()g x ∴在()0,1上单调递增，()()00g x g ∴>=，即()1ln 111x x +>-+；又当01x <<x >，∴当01x <<()1ln 111x x x >>+>-+；则当110x =1111ln 101011>>>，即b c a >>.故选：B.第II 卷（非选择题）二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13．曲线()e e xxf x x =+在1x =处的切线方程为___________.【答案】10x y -+=【分析】求出函数的导函数，即可求出切线的斜率，再用点斜式计算可得；【详解】解：因为()e e x x f x x =+，所以()1e 1112ef ⨯=+=，()()e 11exx f x -'=+，所以()()1e 11111ef -'=+=，所以切线方程为21y x -=-，即10x y -+=；故答案为：10x y -+=14．已知向量1,,()()1,a m b m ==- ，若(2)a b b -⊥，则b = ________．【答案】2【分析】首先求向量2a b -的坐标，再根据向量的数量积为0，求23m =，最后代入公式求模.【详解】2(23,,23)0)(a b m a b b m -=-⋅=-+= ，得23m =，所以2b == .故答案为：2.15．已知直线l 与椭圆22221x y a b+=()0a b >>相切于第一象限的点()00,P x y ，且直线l 与x 轴、y 轴分别交于点,A B ，当AOB (O 为坐标原点）的面积最小时，1260F PF ∠=（12,F F 是椭圆的两个焦点），则该椭圆的离心率是_________.【分析】先根据题意点()00,P x y 处的切线方程为：00221xx yy a b +=，进而得20,0a A x ⎛⎫ ⎪⎝⎭，200,b B y ⎛⎫⎪⎝⎭，故220012AOBa b Sx y =，再结合椭圆方程与基本不等式可得0021x yab≥，故AOBS ab ≥，当且仅当002x y a b ==时，AOB 的面积最小.再结合椭圆定义与余弦定理得22143b PF PF =，进而根据等面积法得12223F PF S bc ==，故2232b c =，进而得e =.【详解】解：根据题意结合椭圆性质得椭圆在点()00,P x y 处的切线方程为：00221xx yya b+=，由于直线与l 与x 轴、y 轴分别交于点,A B ，故20,0a A x ⎛⎫ ⎪⎝⎭，200,b B y ⎛⎫⎪⎝⎭，所以222200001212AOBa b a b x y Sx y =⋅⋅=，由于2200002221x y x y a b ab+=≥，所以0012x y ab ≥，所以222200001122AOBa b a b ab x y x y S⋅=⋅≥=，当且仅当002x y a b ==时，AOB 的面积最小.由于1260F PF ∠=，故在12F PF △中用余弦定理得：()2222212212121214343c PF PF PF PF PF PF PFPF a PF PF =+-=+-=-所以22143b PF PF =，所以12221114sin 60223F PF b SPF PF ==⋅⋅另一方面121201122222F PF S F F y c b bc ==⋅⋅所以232bc =，即：2232b c =，由于222b a c =-，所以2252a c=所以5e =.故答案为：516．已知函数f （x ）=cos （ωx +φ）（ω＞0，|φ|≤2π），x =-4π为f （x ）的零点，x =4π为y =f （x ）图象的对称轴，且f （x ）在（18π，6π）上单调，则ω的最大值为______．【答案】5【分析】先根据4x π=-是()f x 的零点，4x π=是()y f x =图像的对称轴可转化为周期的关系，从而求得ω的取值范围，又根据所求值为最大值，所以从大到小对ω赋值验证找到适合的最大值即可．【详解】由题意可得4424k T T ππ⎛⎫--=+ ⎪⎝⎭，即21212=244k k T ππω++⋅=⋅，解得()=21,k k N ω++∈，又因为()f x 在186，ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调，所以12·618922T ππππω-=≤=，即9ω≤，因为要求ω的最大值，令=7ω，因为4x π=是()y f x =的对称轴，所以()74k k Z πϕπ+=∈，，又2πϕ≤，解得4πϕ=，所以此时()cos 74f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，()f x 在3,2828ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递减，即()f x 在3,1828ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上单调递减，在3286ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上单调递增，故()f x 在186，ππ⎛⎫⎪⎝⎭不单调，同理，令=5ω，()cos 54f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，()f x 在52020，ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，因为51862020ππππ⎛⎫⎡⎤⊆ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，，，所以()f x 在186，ππ⎛⎫⎪⎝⎭单调递减，满足题意，所以ω的最大值为5.三、解答题（本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答）（一）必考题：共60分17．2020年1月至2月由新型冠状病毒引起的肺炎病例陡然增多，为了严控疫情扩散，做好重点人群的预防工作，某地区共统计返乡人员100人，其中50岁及以上的共有40人．这100人中确诊的有10人，其中50岁以下的人占310．(1)试估计50岁及以上的返乡人员因感染新型冠状病毒而引起肺炎的概率；(2)请将下面的列联表补充完整，并依据0.05α=的独立性检验，分析确诊为新冠肺炎与年龄是否有关．确诊为新冠肺炎（单位：人）未确诊为新冠肺炎（单位：人）合计50岁及以上4050岁以下合计10100附表及公式：α0.10.050.010.0050.001x α2.7063.8416.6357.87910.828()()()()()22n ad bc a b c d a c b d χ-=++++，其中n a b c d =+++．【答案】(1)740(2)列联表见解析，认为确诊为新冠肺炎与年龄有关【分析】（1）根据题意，可知50岁及以上的确诊人数为7人，又50岁以上的人数为40，根据古典概型，即可求出结果；（2）由题中的数据，可以直接得出表中的数据，再利用独立性检验公式，计算出2χ，可参考表中的数据可以直接判断．．（1）解：因为100人中确诊的有10人，其中50岁以下的人占310，所以50岁以下的确诊人数为3，所以50岁及以上的确诊人数为7，因为50岁及以上的共有40人，所以50岁及以上的返乡人员因感染新型冠状病毒而引起肺炎的概率估计为740．（2）解：补充列联表如下：确诊为新冠肺炎（单位：人）未确诊为新冠肺炎（单位：人）合计50岁及以上7334050岁以下35760合计1090100零假设为0H ：确诊为新冠肺炎与年龄无关．计算可得()220.05100757333254.167 3.841406010906x χ⨯⨯-⨯==≈>=⨯⨯⨯．依据0.05α=的独立性检验，推断0H 不成立，即认为确诊为新冠肺炎与年龄有关．18．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且59a =，864S =．(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)若数列{}n b 满足()11n n n b n a a *+=∈N ，求数列{}nb 的前n 项和nT ．【答案】(1)21n a n =-(2)21n n T n =+【分析】（1）利用等差数列通项公式和求和公式可构造方程组求得1,a d ，进而得到n a ；（2）由（1）可得n b ，采用裂项相消法可求得n T .【详解】（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，则518149878642a a d S a d =+=⎧⎪⎨⨯=+=⎪⎩，解得：112a d =⎧⎨=⎩，()12121n a n n ∴=+-=-.（2）由（1）得：()()1111212122121n b n n n n ⎛⎫==- ⎪-+-+⎝⎭，111111111111233557212122121n n T n n n n ⎛⎫⎛⎫∴=-+-+-+⋅⋅⋅+-=⨯-= ⎪ ⎪-+++⎝⎭⎝⎭.19．如图，在四棱锥P －ABCD 中，平面PCD ⊥平面ABCD ，PCD 为等边三角形，112AB AD CD ===，90BAD ADC ∠=∠=︒，M 是棱上一点，且2CM MP = .(1)求证：AP ∥平面MBD ；(2)求二面角M －BD －C 的余弦值.【答案】(1)证明见解析【分析】（1）根据空间中的线面关系即可证得；（2）通过建立空间直角坐标，将空间的角度问题转化为空间的坐标运算问题即可得到答案.【详解】（1）连接AC ，记AC 与BD 的交点为H ，连接MH.由90BAD ADC ∠=∠=︒，得AB CD ∥，12AB AH CD HC ==，又12PM MC =，则AH PM HC MC =，∴AP MH ∥，又MH ⊂平面MBD ，PA ⊄平面MBD ，∴AP ∥平面MBD.（2）记O 为CD 的中点，连接PO ，BO.∵PCD 为等边三角形，∴PO CD ⊥，∵平面PCD ⊥平面ABCD ，平面PCD 平面ABCD ＝CD ，∴PO ⊥平面ABCD.以O 为原点，OB 为x 轴，OC 为y 轴，OP 为x 轴，建立空间直角坐标系，如下图，则()0,1,0D -，(P，10,3M ⎛ ⎝⎭，()1,0,0B ，()0,1,0C，11,3BM ⎛=- ⎝⎭，()1,1,0BD =-- .设平面BDM 的法向量(),,n x y z =，则1030n BM x y z n BD x y ⎧⋅=-+=⎪⎨⎪⋅=--=⎩，取x ＝1得1,n ⎛=- ⎝⎭，平面BCD 的一个法向量()0,0,1m =.设二面角M －BD －C 的平面角为θ，则cos m n m nθ⋅==⋅ .∴二面角M －BD －C20．已知抛物线2:2C y px =（其中6p >-F ，点M 、N 分别为抛物线C 上两个动点，满足以MN 为直径的圆过点F ，设点E 为MN 的中点，当MN EF ⊥时，点E的坐标为()3-．(1)求抛物线C 的方程；(2)直线MF 、NF 与抛物线的另一个交点分别为A 、B ，点P 、Q 分别为AM 、BN 的中点，证明：直线PQ 过定点．【答案】(1)24y x =(2)证明见解析【分析】（1）分析可知当点E 为MN 的中点时，FMN 为等腰直角三角形，求出点M 的横坐标，分析可得2M px MF +==，结合抛物线的定义可得出关于p 的等式，解出p 的值，即可得出抛物线C 的方程；（2）分析可知，直线MF 、NF 均不与x 轴重合，设直线MF 的方程为()10x my m =+≠，则直线NF 的方程为11x y m=-+，将直线MF 的方程与抛物线C 的方程联立，列出韦达定理，可求得点P 的坐标，同理可得出点Q 的坐标，分21m =、21m ≠两种情况讨论，求出直线PQ 的方程，并化简，即可求得直线PQ 所过定点的坐标.【详解】（1）解：因为以MN 为直径的圆过点F ，则MF NF ⊥，当点E 为MN 的中点时，MN EF ⊥，则MF NF =，此时FMN 为等腰直角三角形，又点E 、F 在x 轴上，则MN x ⊥轴，所以3M E x x ==-，6p >-，32p ∴>-F 在E的右侧，所以32pEF =-+由抛物线的定义知2M p x MF +==，所以，33222p p -=-+，解得2p =，故抛物线C 的方程为24y x =．（2）证明：若直线MF 与x 轴重合，则直线MF 与抛物线C 只有一个交点，不合乎题意，同理可知，直线NF 与x 轴也不重合，设直线MF 的方程为()10x my m =+≠，则直线NF 的方程为11x y m=-+，联立方程214x my y x=+⎧⎨=⎩得2440y my --=，216160m ∆=+>，设()11,M x y 、()22,A x y ，则124y y m +=，124y y =-，所以()221,2P m m +，同理可得2221,Q mm ⎛⎫+- ⎪⎝⎭，当21m ≠时，()2222221211PQm m m k m m m +==-⎛⎫+-+ ⎪⎝⎭，所以直线PQ 的方程为()222121m y x m m m =--+-，化简得()231m y x m =--，当3x =时，0y =，直线PQ 过定点()3,0．当21m =时，直线PQ 的方程为3x =，直线PQ 必过点()3,0，综上所述，所以直线PQ 过定点()3,0．21．已知函数()()212ln 11ax xf x x x +=+-+，R a ∈．(1)当2a =时，讨论函数()f x 的单调性；(2)若函数()()()1g x x f x =+在()0,∞+上不单调，求实数a 的取值范围．【答案】(1)函数()f x 在()10-，上单调递增，在()0,∞+上单调递减(2)()01，【分析】（1）当2a =时，确定函数解析式，求出定义域，利用导数求函数()f x 的单调性；（2）由()g x 的解析式求出导数，无法直接判断导函数的正负，构造新函数再求导，分类讨论()g x 的单调性，求出实数a 的取值范围.【详解】（1）当2a =时，函数()()()2ln 1ln 11x xf x x x x x +=+-=+-+，定义域为()+∞-1,，易知()1111x f x x x -'=-=++，令()0f x ¢>，得10x -<<，令()0f x '<，得0x >，所以函数()f x 在()10-，上单调递增，在()0,∞+上单调递减．（2）由题意知()()()211ln 12g x x x ax x =++--，则()()ln 1g x x ax '=+-，令()()ln 1x x h ax =+-，0x ≥，则()11h x a x '=-+．①当0a ≤时，()0h x '>，则()g x '在()0,∞+上单调递增，所以当0x >时，()()00g x g ''>=，所以()g x 在()0,∞+上单调递增，不符合题意．②当1a ≥时，()1101h x a a x '=-<-≤+，则()g x '在()0,∞+上单调递减，所以当0x >时，()()00g x g ''<=，所以()g x 在()0,∞+上单调递减，不符合题意．③当01a <<时，由()101h x a x '=-=+，得110x a=->，当10,1x a ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时，()0h x '>，()h x 在10,1a ⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增，当11,x a ⎛⎫∈-+∞ ⎪⎝⎭时，()0h x '<，()h x 在11,a ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭上单调递减．易知ln 1≤-x x ，当且仅当x ＝1时取等号，则当0x >时，1≤，即)ln 21x ≤．所以当x ＞0时，()()212h x ax a x <--<-+-．取241t a =-，则11t a >-，且()20h t <-=．又()1100h h a ⎛⎫->= ⎪⎝⎭，所以存在011,x t a ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，使得()00h x =，所以当()00x x ∈，时，()0h x >，即()0g x '>，当()0,x x ∈+∞时，()0h x <，即()0g x '<，所以()g x 在()00x ，上单调递增，在()0,x +∞上单调递减，故函数()g x 在区间()0,∞+上不单调，符合题意．综上，实数a 的取值范围为()0,1．（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在直角坐标系xoy 中，直线l 的参数方程为{15x ty t =+=+（t 为参数）.以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为23=2+cos2ρθ.(1)求直线l 的普通方程和曲线C 的直角坐标方程；(2)求C 的上的动点到l 的距离的取值范围.【答案】(1)40x y -+=，22+=13yx(2)【分析】（1）对于直线l ，消去参数t 即可求解，对于曲线C ，根据222,cos ,sin x y x y ρρθρθ=+==即可求解；（2）先将曲线C 化为参数方程，再根据点到直线的距离公式即可求解.【详解】（1） 直线l 的参数方程为{15x ty t =+=+（t 为参数），消去参数t 得直线l 的普通方程为40x y -+=，曲线C 的极坐标方程为23=2+cos2ρθ，即222+cos2=3ρρθ，即22222+(cos sin )=3ρρθθ-，222222+cos sin =3ρρθρθ-，又222,cos ,sin x y x y ρρθρθ=+== ，∴曲线C 的直角坐标方程22222(+)+=3x y x y -，即22+=13y x .（2） 曲线C 的直角坐标方程为：22+=13yx ∴曲线C的参数方程为{x y αα=(α为参数),设曲线C上的动点(cos )M αα，则曲线C 上的动点M 到直线l的距离d[]2sin )2,26πα-∈- （，∴曲线C 上的动点到直线l=，故曲线C 上的动点到直线l距离取值范围为：.[选修4-5：不等式选讲]23．已知：()1f x x x m =+--，0m >．(1)若2m =，求不等式()2f x >的解集；(2)()()g x f x x m =--，若()g x 的图象与x 轴围成的三角形面积不大于54，求m 的取值范围．【答案】(1)3,2∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭；(2)(]0,8.【分析】（1）利用零点分段法求解出绝对值不等式；（2）先求出()21,312,121,1x m x mg x x m x m x m x -++>⎧⎪=+--≤≤⎨⎪--<-⎩，由()0g x =，解得：122121,3m x m x -=+=，则()21444133m x x m ---==+，由函数单调性得到()()max 1g x g m m ==+，根据函数图象与x 轴围成的三角形面积不大于54，列出方程，求出m 的取值范围.【详解】（1）当2m =时，()3,21221,123,1x f x x x x x x >⎧⎪=+--=--≤≤⎨⎪-<-⎩，当2x >时，()32f x =>成立；当12x -≤≤时，()212f x x =->，则322x <≤；试卷第17页，共17页当1x <-时，()32f x =-<不合题意，综上，()2f x >的解集为3,2∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭；（2）因为0m >，所以()21,12312,121,1x m x m g x x x m x m x m x m x -++>⎧⎪=+--=+--≤≤⎨⎪--<-⎩，由()0g x =，解得：122121,3m x m x -=+=，则()21444133m x x m ---==+，当1x <-时，()g x 单调递增，当1x m -≤≤时，()g x 单调递增，当x >m 时，()g x 单调递减，所以当x m =时，()g x 取得最大值，()()max 1g x g m m ==+，∴图象与x 轴围成的三角形面积为()()221421154233S m m =⨯+=+≤，解得：108m -≤≤，又0m >，则08m <≤，∴m 的取值范围是(]0,8.。
2023年普通高等学校招生全国统一考试考前模拟试卷数学(一)答案
参考答案2023年普通高等学校招生全国统一考试考前模拟试卷数学（一）1.D 【解析】B ={x ｜x 2=4}={-2，2}，由题可知，UA ）∩B ={2}.故选D.2.C 【解析】∵z =（4-i ）（2i-1）=8i -4+i +2=-2+9i ，故z =-2-9i ，∴z 的共轭复数在复平面内对应的点为（-2，-9），位于第三象限．故选C .3.B 【解析】｜a +b ｜=a 2+b 2+2a·b 姨=｜a ｜2+｜b ｜2+2a ·b 姨=10姨，｜b ｜=12+12姨=2姨，∴a ·b =2，∴a 在b 上的投影向量为a·b ｜b ｜·b ｜b ｜=b =（1，1），故选B .4.D 【解析】由题意可知，该事件的概率为12·C 22C 28+12·C 22C 23=12×128+12×13=31168，故选D.5.B 【解析】由题意可知，结果只需精确到0.001即可，令x=0.5，取前6项可得，e 姨=+∞n=0移0.5nn !≈5n=0移0.5nn !=0.500!+0.511!+0.522!+0.533!+0.544!+0.555!=1+0.5+0.252+0.1256+0.062524+0.03125120≈1.649，∴e 姨的近似值为1.649，故选B.6.A 【解析】设f （x ）=sin x-x ，x ∈0，仔22'，则f ′（x ）=cos x -1<0，∴f （x ）在0，仔222上单调递减，∴f （x ）<f （0）=0，∴当x ∈0，仔222时，sin x-x <0，即sin x<x .a =sin 20°=sin 仔9<仔9=b ，c=12ln e 姨=1４<仔9=b ，c =12ln e 姨=14<6姨-2姨4=sin 15°<sin 20°=a ，∴c<a<b ，故选A .7.B 【解析】由题意可知，设底面圆的半径为R ，则S=仔R 2=16仔，解得R =4.∵由直三棱柱的定义可知，要使能截得直三棱柱体积最大，只需要圆的内接三角形面积最大即可，S =12ab sin C =12·2R sin A ·2R sin B ·sin C=2R 2sin A ·sin B ·sin C ≤2R 2sin A+sin B+sin C 3223≤2R 2·sin A+B+C 3223=2R 2·sin 仔3223=33姨4R 2.当且仅当sin A=sin B=sin C ，即A=B=C =仔3时，等号成立，∴三角形是正三角形时，圆的内接三角形面积最大，V=Sh =33姨4×42×6=723姨.∴能截得直三棱柱体积最大为723姨.故选B .8.D 【解析】g （x +1）为偶函数，则g （x ）关于x =1对称，即g （x ）=g （2-x ），即（x-1）f （x ）=（1-x ）f （2-x ），即f （x ）+f （2-x ）=0，∴f （x ）关于（1，0）对称，又f （x ）是定义域为R 的偶函数，∴f （x ）=-f （2-x ）=-f （x -2），∴f （x -4）＝f ［（x -2）-2］＝-f （x -2）＝-［-f （x ）］＝f （x ），即f （x -4）＝f （x ），∴f （x ）周期为4，∴f （5.5）=f （1.5）=f （-2.5）=f （2.5）=2，∴g （-0.5）=g （2.5）=1.5f （2.5）=3.故选D.9.ABD 【解析】∵sin 兹+cos 兹=15①，∴（sin 兹+cos 兹）2=sin 2兹+２sin 兹cos 兹+cos 2兹=125，∴2sin 兹cos 兹=-2425．又兹∈（0，仔），∴sin 兹>0，∴cos 兹<0，即兹∈仔2，22仔，故A 正确；（sin 兹-cos 兹）2=1-2sin 兹cos 兹=4925，∴sin 兹-cos 兹=75②，故D 正确；由①②，得sin 兹=45，cos 兹=-35，故B 正确；tan 兹=sin 兹cos 兹=-43，故C 错误．故选ABD ．10.BCD 【解析】如图1，当P 为BC 1的中点时，OP ∥DC 1∥AB 1，故A 不正确；∵如图2，A 1C 奂平面AA 1C 1C ，O ∈平面AA 1C 1C ，O 埸A 1C ，P 埸平面AA 1C 1C ，∴直线A 1C 与直线OP 一定是异面直线，故B 正确；∵如图2，A 1A 奂平面AA 1C 1C ，O ∈平面AA 1C 1C ，O 埸A 1A ，P 埸平面AA 1C 1C ，∴直线A 1A 与直线OP 一定是异面直线，故C 正确；∵如图3，AD 1奂平面AD 1C ，O ∈平面AD 1C ，O 埸AD 1，P 埸平面AD 1C ，∴直线AD 1与直线OP 一定是异面直线，故D 正确.故选BCD.11.BD 【解析】如图所示，当直线l 的倾斜角越小时，△PQA 1的周长越大，故A 不正确；△PF 1Q 的周长为｜PF 1｜+｜QF 1｜+｜PQ ｜=4a +｜PF 2｜+｜QF 2｜+｜PQ ｜=4a +2｜PQ ｜，∴△PF 1Q 的周长与2｜P P /Q ｜之差为4a ，故B 正确；设P （x ，y ），则tan 琢=｜y ｜a+x，tan 琢=-｜y ｜x-a，由tan 琢tan 茁=a-x a+x不是常量，故C 不正确；由tan 琢·tan 茁=｜y ｜a+x ·｜y ｜a-x =y 2a 2-x 2=x 2a 2-221b 2a 2-x 2=-b 2a 2为常量，故D 正确.故选BD .12.AD 【解析】令x 1=x 2=1得，f （1）=f （1）+f （1），f （1）=0，故A 正确；再令x 1=x 2=-1得，f （1）=f （-1）+f （-1）=0，f （-1）=0，故B 错；令x 1=-1，x 2=x ，则f （-x ）=x 2f （-1）+f （x ）=f （x ），f （x ）是偶函数，故C 错；令x 1=x ，x 2=1x，则f （1）=1x2f （x ）+x 2f 1x 22，∴f （x ）=-x 4f 1x 22，当0<x <1时，1x>1，f 1x 22>0，∴f （x ）<0，故D 正确．故选AD .13.0.3【解析】由P （X ≥90）=0.5知，滋=90，∵P （X ≤70）=P （X ≥110）=0.2，∴P （70≤X ≤90）=1-2×0.22=0.3.故答案为0.3.14.45姨5≤r ≤13姨【解析】当A ，B 两点都在圆内时，则4+9<r 2，4+1<r 22，解得r >13姨，直线AB 的方程为y -3x +2=1-32+2，即x +2y -4=0，原点到直线AB 的距离为｜-4｜1+4姨=45姨5，又k OA =-32，k OB =12，k AB =-12，参考答案第1页共28页参考答案第2页共28页A 1B 1C 1D 1OPDABC A 1B 1C 1D 1OPDABC A 1B 1C 1D 1OPDABC 图1图2图3第10题答图xy OAB 第14题答图xy OF 1F 2P 2Q 2QPA 1A 2第11题答图37∴原点与线段AB 上的点所在直线的斜率的范围为-32，12!"，∵圆C ：x 2+y 2=r 2（r >0）与线段AB （包含端点）有公共点，∴45姨5≤r ≤13姨.故答案为45姨5≤r ≤13姨.15.4【解析】由题意得，ab （a +3b ）=3a+b ，∴a +3b =3a+b ab =3b +1a ，∴（a +3b ）2=3b +1a a &（a +3b ）=10+3a b +3b a ≥10+23a b ·3b a姨=16（当且仅当a=b=1时取等号）.∵a +3b ≥4，∴a +3b 的最小值为4.答案为4.16.6e e 2-1，+a &∞【解析】∵f （x 0）+3e x<0，即3ln x 0-kx 0+k x 0+3e x 0<0.当x 0=1时，3e <0显然不成立，即在x 0=1时不满足原式；当x 0∈（1，e ］时，整理得x 0ln x 0+e x 02-1<k 3.令g （x ）=x ln x +e x 2-1，x ∈（1，e ］，则g ′（x ）=（x 2-2e x -1）-（x 2+1）ln x （x 2-1）2，∵当x ∈（1，e ］时，（x 2+1）ln x >0，x 2-2e x -1=（x -e ）2-e 2-1<0，则g ′（x ）<0，当x ∈（1，e ］时恒成立，∴g （x ）在（1，e ］上单调递减，则g （x ）≥g （e ）=2e e 2-1，则2e e 2-1<k 3，即k >6e e 2-1.综上所述，数k 的取值范围为6e e 2-1，+a &∞.故答案为6ee 2-1，+a &∞.17.【解析】（1）∵a 1+2a 2+…+na n =2n ，∴当n ≥2时，a 1+2a 2+…+（n -1）a n -1=2（n -1），两式相减得na n =2，a n =2n ，又n =1时，a 1=2，也符合．∴a n =2n．（2）由（1）知，1a n =n 2，∵对任意的正整数m ≥2，均有b m -1+b m +b m +1=1a m =m 2，故数列{b n }的前99项和b 1+b 2+b 3+b 4+b 5+b 6+…+b 97+b 98+b 99=（b 1+b 2+b 3）+（b 4+b 5+b 6）+…+（b 97+b 98+b 99）=1a 2+1a 5+…+1a 98=3322+982a &2=825．18.【解析】（1）由题得a-b=a sin A-c sin C sin B ，∴a-b=a 2b -c 2b，∴ab-b 2=a 2-c 2，∴ab=a 2+b 2-c 2，∴ab =2ab cos C ，∴cos C=12.∵0<C <仔，∴C =仔3.（2）由正弦定理得c sin C =2R =4，则c =4sin C=4sin 仔3=23姨，由余弦定理得c 2=12=a 2+b 2-2ab cos C ≥2ab-ab=ab ，即ab ≤12（当且仅当a=b 时取等号），故S =12ab sin C ≤12×12×3姨2=33姨（当且仅当a=b 时取等号）．即△ABC 面积S 的最大值为33姨．19.【解析】（1）由题意得，（0.002+0.006+0.008+a+b+0.008+0.002+0.002）×20=1，110+0.5-（0.002+0.006+0.008）×2020a×20=1255,,,+,,,-，解得a =0.012，b =0.010，∴滋=（60×0.002+80×0.006+100×0.008+120×0.012+140×0.01+160×0.008+180×0.002+200×0.002）×20=125.6.（2）某职工日行步数w =157（百步），着=157-125.6125.6×100=25，∴职工获得三次抽奖机会，设职工中奖次数为X ，在方案甲下X~B 3，13a &，E （Ｘ）=1.在方案乙下E （X ）=1.8，∴更喜欢方案乙.20.【解析】（1）在直三棱柱ABC 鄄A 1B 1C 1中，A 1A ⊥平面ABC ，AB 奂平面ABC ，∴A 1A ⊥AB ，又AB ⊥AC ，A 1A ∩AC=A ，A 1A ，AC 奂平面ACC 1A 1，∴AB ⊥平面ACC 1A 1，又A 1M 奂平面ACC 1A 1，∴A 1M ⊥AB ，又在矩形ACC 1A 1中，AA 1=4，A 1M=AM =22姨，即A 1M 2+AM 2=A 1A 2，∴A 1M ⊥AM ，∵AB ∩AM=A ，AB ，AM 奂平面ABM ，∴A 1M ⊥平面ABM.（2）取AC 的中点为N ，连接BN ，∴BN ⊥AC ，又平面ABC ⊥平面ACC 1A 1，平面ABC ∩平面ACC 1A 1=AC ，BN 奂平面ABC ，∴BN ⊥平面ACC 1A 1，取A 1C 1的中点N 1，连接NN 1，同理可得NN 1⊥平面ABC ，如图建立空间直角坐标系，则B （3姨，0，0），C （0，1，0），A 1（0，-1，4），M （0，1，2），设P （0，t ，3-t ），t ∈［-1，1］，则B B 2P =（-3姨，t ，3-t ），易知平面ABC 的法向量为n =（0，0，1），设BP 与平面ABC 所成角为兹，设t-1=姿∈［-2，0］，∴sin 兹=3-t 3+t 2+（3-t ）2姨=（3-t ）22t 2-6t +12姨=2姨2·1-3（t-1）t 2-3t +6姨=2姨2·1-3姿姿2-姿+4姨.当姿=0时，sin 兹=2姨2，当姿∈［-2，0）时，sin 兹=2姨2·1-3姿-1+4姿姨，∵y=x +4x 在［-2，0）上单调递减，∴sin 兹关于姿单调递减，故sin 兹∈2姨2，２５姨５"a .综上可得sin 兹∈2姨2，２５姨５!".21.【解析】（1）由题意知，｜22姨-x ｜=2姨·（x -2姨）2+y 2姨，两边平方，整理即得x 2+2y 2=4，∴曲线C 的方程为x 24+y 22=1.（2）设M （x 0，y 0），A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），当x 20=43时，y 20=43，则不妨设点M ２３姨３，２３姨３a &，则点A ２３姨３，-２３姨３a &或A -２３姨３，２３姨３a &，此时O B 2M ·O B 2A =0，则OM ⊥OA ；当x 20≠43时，设直线MA ：y=kx+m ，MA 1B 1C 1PAB C xyz NN 1第20题答图参考答案第3页共28页参考答案第4页共28页38由直线MA 与圆O ：x 2+y 2=43相切，可得｜m ｜1+k 2姨=2３姨，即3m 2=4（1+k 2），联立y=kx+m ，x 2+2y 2=44，可得（2k 2+1）x 2+4kmx +2m 2-4=0，Δ=16k 2m 2-4（2k 2+1）（2m 2-4）=8（4k 2+2-m 2）=163（4k 2+1）>0，由韦达定理可得x 0+x 1=-4km 2k 2+1，x 1x 2=2m 2-42k 2+1，则O O $M ·O O $A =x 0x 1+y 0y 1=x 0x 0+（kx 0+m ）（kx 1+m ）=（1+k 2）x 0x 1+km （x 0+x 1）+m 2=（1+k 2）（2m 2-4）-4k 2m 2+m 2（1+2k 2）1+2k 2=3m 2-4（1+k 2）1+2k 2=0，∴OM ⊥OA ，同理可得OM ⊥OB.选①，由OM ⊥OA 及OP ⊥AM 可得Rt △MOP ∽Rt △AOP ，则｜PM ｜｜OP ｜=｜OP ｜｜PA ｜，∴｜PM ｜·｜PA ｜=｜OP ｜2=43.选②，由OM ⊥OA 及OM ⊥OB 可得，A ，O ，B 三点共线，则｜OA ｜=｜OB ｜，又｜MA ｜2=｜OA ｜2+｜OM ｜2=｜OB ｜2+｜OM ｜2=｜MB ｜2，因此，｜MA ｜=｜MB ｜.22.【解析】（1）根据题意得，f （x ）的定义域为（0，+∞），∴f ′（x ）=e x -1-1x -e +12，又f ″（x ）=e x -1+1x2>0，∴f ′（x ）在（0，+∞）上单调递增，易知f ′（2）=e -12-e +12=0，∴当0<x <2时，f ′（x ）<0，当x >2时，f ′（x ）>0，∴函数f （x ）在（0，2）单调递减，在（2，+∞）单调递增.（2）∵a >0，f （x ）的定义域为（0，+∞），∴f ′（x ）=e x -1-1x-a ，∴f ″（x ）=e x -1+1x2>0，∴f ′（x ）在（0，+∞）上单调递增，设h （x ）=e x-x -1，则h ′（x ）=e x -1，当x >0时，h ′（x ）>0，∴h （x ）单调递增，当x <0时，h ′（x ）<0，∴h （x ）单调递减，∴h （x ）≥h （0）=0，∴e x -x-1≥0，即e x ≥x+1，∴f ′（1+a ）=e a -11+a -a >a +1-11+a -a =1-11+a>0，又f ′（1）=-a <0，∴存在唯一的t 0∈（1，1+a ），使得f ′（t 0）=0，即e t 0-1 -1t 0-a =0，当x ∈（0，t 0）时，f ′（t 0）<0，f （x ）单调递减，当x ∈（t 0，+∞）时，f ′（t 0）>0，f （x ）单调递增，∴f （x ）min =f （t 0），又e x ≥x +1，∴x ≥ln （x +1），∴x -1≥ln x ，当x =1时，等号成立，则x >ln x ，∴f （x ）=e x -1-ln x -ax >e x -1-x-ax =e x -1-（a +1）x ，即f （x ）>e x -1-（a +1）x ，又e x≥x +1，∴e x -1≥x ，∴ex 2-1≥x 2，∴e x -2≥x 24，又e x -1>e x -2，∴e x -1>x 24，∴f （x ）>e x -1-（a+1）x >x 24-（a +1）x ，即f （x ）>x 24-（a +1）x ，∴f ［4（a+1）］>16（a +1）24-（a +1）×4（a +1）=0，当x $0时，f （x ）>0，若函数f （x ）有唯一零点x 0，则f （t 0）=0，∴x 0=t 0，即e x 0-1 =1x 0+a ，∴f （x 0）=1x 0+a -ln x 0-ax 0=0，设u （x 0）=1x 0+a -ln x 0-ax 0，∴u ′（x 0）=-1x 20-1x 0-a <0，∴u （x 0）在（１，+∞）单调递减，∴u （1）=1>0，u （2）=12-ln 2-a <0，∴1<x 0<2.2023年普通高等学校招生全国统一考试考前模拟试卷数学（二）1.C 【解析】由题意可得，z=4+3i i =（4+3i ）i i 2=4i -3-1=3-4i.故选C.2.C 【解析】解不等式x 2-x -6≤0得，-2≤x ≤3，即A ={x ｜-2≤x ≤3}，解不等式x -1<0得x <1，则B ={x ｜x <1}，UB ）={x ｜x ≥-2}.故选C .3.A 【解析】∵O ，A ，B 三点共线，则O O $A ∥O O $B ，∴埚姿∈R ，O O $B =姿O O $A ，即x m +n =姿（5m -3n ）.整理得，（5姿-x ）m =（3姿+1）n.又∵向量m ，n 不共线，则5姿-x =3姿+1=0，则x =-53.故选A ．4.B 【解析】log 9a 1+log 9a 2+…+log 9a 10=log 9［（a 1a 10）·（a 2a 9）·（a 3a 8）·（a 4a 7）·（a 5a 6）］=log 995=5，故选B .5.A 【解析】sin 2琢+仔660=sin 2琢+仔363-仔223=-cos 2琢+仔333=2sin 2琢+仔363-1=2×89-1=79.故选A .6.C 【解析】小明从中随机夹了3个饺子共有C 310=10×9×83×2×1=120种；如果是1个麸子、1个钱币饺子、1个糖饺子，共有5×3×2=30种；如果是1个麸子、2个钱币饺子，共有C 15C 23=15种；如果是2个麸子、1个钱币饺子，共有C 25C 13=30种.由古典概型的概率公式得，小明夹到的饺子中，既有麸子饺子又有钱币饺子的概率是P =30+15+30120=58.故选C .7.D 【解析】由题可得AB =8，∵AP=BP ，∴S △ABP =12×8×4=16，∵PC ⊥平面ABP ，且PC =4，∴V C 鄄ABP =13×16×4=643，∵AP=BP =42姨，∴AC=BC =43姨，∴S △ABC =12×8×48-16姨=162姨，设点P 到平面ABC 的距离为d ，则V P 鄄ABC =13×162姨d =643，解得d =22姨.故选D.8.C 【解析】a 1a =b 1b 两边同取自然对数得ln a a =ln b b，设f （x ）=ln x x，由f ′（x ）=1-ln x x2，令f ′（x ）>0，解得0<x <e ，令f ′（x ）<0，解得e <x ，∴f （x ）在区间（0，e ）上单调递增，在区间（e ，+∞）上单调递减，∴f （x ）在x =e 处取得最大值f （e ）=1e，在区间（0，e ）上函数f （x ）有唯一的零点x =1，在区间（e ，+∞）上函数f （x ）>0，又∵a>b >0且f （a ）=f （b ）>0，∴1<b<e ，a >e.故选C.9.ABD 【解析】如图，∵正四棱柱ABCD 鄄A 1B 1C 1D 1的底面边长为2，∴B 1D 1=22姨，又侧棱AA 1=1，∴DB 1=（22姨）2+12姨=3，则P 与B 1重合时PD =3，此时P 点唯一，故A 正确；∵PD =3姨∈（1，3），DD 1=1，则PD 1=2姨，即点P 的轨迹是一段圆弧，故B 正确；连接DA 1，DC 1，可得平面A 1DC 1∥平面ACB 1，则当P 为A 1C 1中点时，DP 有最小值为（2姨）2+12姨=3姨，故C 错误；平面BDP 即为平面BDD 1B 1，平面BDP 截正四棱柱ABCD 鄄A 1B 1C 1D 1的外接球所得平面图形为外接球的大圆，其半径为1222+22+12姨=32，面积为9仔4，故D 正确．故选ABD ．10.BD 【解析】∵f （x ）=tan x-cos x ，∴f （0）=-1，f （仔）=1，f （0）≠f （仔），故A 错误；参考答案第5页共28页参考答案第6页共28页PABC第7题答图DABCA 1B 1C 1D 1P122第9题答图39。
2023年全国新高考仿真模拟卷(二)数学试题(含答案解析)
2023年全国新高考仿真模拟卷（二）数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．设集合{}2|log 1A x x =<，{}2|20B x x x =--<，则B A =ð（）A ．（﹣∞，2）B ．（﹣1，0]C ．（﹣1，2）D ．（﹣1，0）2．已知复数11i z =+，22i z a =+，若12z z ⋅为纯虚数，则实数a 的值为（）A ．1-B ．1C ．2-D ．23．函数()f x 为R 上的奇函数，当0x >时，()lg f x x x =-，则()100f -=（）A ．98B ．98-C ．90D ．90-4．小陈和小李是某公司的两名员工，在每个工作日小陈和小李加班的概率分别为13和14，且两人同时加班的概率为16，则某个工作日，在小李加班的条件下，小陈也加班的概率为（）A ．112B ．12C ．23D ．345．若22cos 1sin 26παα⎛⎫-=+ ⎪⎝⎭，则tan 2α的值为（）A ．B C ．2D ．2+6．如图所示，在ABC 中，2B A =，点D 在线段AB 上，且满足23AD BD =，ACD BCD ∠=∠，则cos A 等于（）A ．23B ．34C ．35D ．457．已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若1220a a +=，398S =，且2n a S a ≤≤+，则实数a 的取值范围是（）A ．1,02⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B ．13,24⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C ．33,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．30,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦8．已知x ∈R ，符号[]x 表示不超过x 的最大整数，若函数()[]()0x f x a x x=-≠有且仅有2个零点，则实数a 的取值范围是（）A ．23,34⎛⎤ ⎥⎝⎦B ．3,22⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．2,23⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．233,2342⎛⎤⎡⎫ ⎪⎢⎝⎦⎣⎭二、多选题9．体育王老师记录了16名小学生某周课外体育运动的时长（单位：h ），记录如下表．运动时长456789运动人数122452则这16名小学生该周课外体育运动时长的（）A ．众数为8B ．中位数为6.5C ．平均数为7D ．标准差为210．已知,αβ是空间两个不同的平面，,m n 是空间两条不同的直线，则给出的下列说法中正确的是（）A ．//m α，//n β，且//m n ，则//αβB ．//m α，//n β，且m n ⊥，则αβ⊥C ．m α⊥，n β⊥，且//m n ，则//αβD ．m α⊥，n β⊥，且m n ⊥，则αβ⊥11．设1F ，2F 分别为椭圆221259x y+=的左、右焦点，P 为椭圆上第一象限内任意一点，1PF k ，2PF k 表示直线1PF ，2PF 的斜率，则下列说法正确的是（）A ．存在点P ，使得17PF =成立B ．存在点P ，使得1290F PF ∠=︒成立C ．存在点P ，使得217PF PF k k =成立D ．存在点P ，使得127PF PF ⋅=成立12．设函数()sin 2sin cos xf x x x=+，则（）A ．()f x 的一个周期为πB ．()f x 在ππ,44⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增C ．()f x 在π3π,44⎛⎫- ⎪⎝⎭D ．()f x 图象的一条对称轴为直线π4x =三、填空题13．在平行四边形OACB 中，E 是AC 的中点，F 是BC 边上的点，且3BC BF =，若OC mOE nOF =+，其中m ，n ∈R ，则m n +的值为______．14．请写出与曲线()sin f x x =在()0,0处具有相同切线的另一个函数：______．15．Rt ABC △中，其边长分别为3，4，5，分别以它的边所在直线为旋转轴，旋转一周所形成的几何体的体积之和为______．16．已知1F ，2F 分别为双曲线22221x ya b-=（0a >，0b >）的左、右焦点，P 为双曲线右支上任意一点，若212PF PF 的最小值为2c，c ，则该双曲线的离心率是______．四、解答题17．设数列{}n a 的首项为1，前n 项和为n S ，且对*n ∀∈N ，kn n a S b n c +=⋅+恒成立，其中b ，k ，c 均为常数．(1)当0b =时，求数列{}n a 的通项公式；(2)当1k =时，若数列{}n a 为等差数列，求b ，c 的值．18．已知ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，B 为钝角．若ABC 的面积为S ，且()2224bS a b c a =+-．(1)证明：2B A π=+；(2)求sin sin A C +的最大值．19．某校团委针对“学生性别和喜欢课外阅读”是否有关做了一次不记名调查，其中被调查的全体学生中，女生人数占总人数的13．调查结果显示，男生中有16的人喜欢课外阅读，女生中有23的人喜欢课外阅读．(1)以频率视为概率，若从该校全体学生中随机抽取2名男生和2名女生，求其中恰有2人喜欢课外阅读的概率；(2)若有95%的把握认为喜欢课外阅读和性别有关，求被调查的男生至少有多少人？附：()20P k χ≥0.0500.0100k 3.8416.635()()()()()22n ad bc a b c d a c b d χ-=++++，n a b c d =+++．20．如图，在多面体ABCDE 中，已知ABC ，ACD ，BCE 均为等边三角形，平面ACD ⊥平面ABC ，平面BCE ⊥平面ABC ，H 为AB 的中点．(1)判断DE 与平面ABC 的位置关系，并加以证明；(2)求直线DH 与平面ACE 所成角的正弦值．21．已知点M 是抛物线()2:20C x py p =>的对称轴与准线的交点，过M 作抛物线的一条切线，切点为P ，且满足2PM =．(1)求抛物线C 的方程；(2)过()1,1A -作斜率为2的直线与抛物线C 相交于点B ，点()0,T t ()0t >，直线AT 与BT 分别交抛物线C 于点E ，F ，设直线EF 的斜率为k ，是否存在常数λ，使得t k λ=？若存在，求出λ值；若不存在，请说明理由．22．已知函数()()22ln xf x x a a x=--∈R ．(1)求函数()f x 的极值；(2)当11a <时，若函数()f x 有两个零点()1212,x x x x >．①证明：12ln ln x x -<②证明：1201x x <<．参考答案：1．B【分析】解对数不等式化简集合A ，解一元二次不等式化简集合B ，根据补集运算可得结果.【详解】∵集合{}{}2|log 1|02A x x x x =<=<<，{}{}2|20|12B x x x x x =--<=-<<，∴{}|10B A x x =-<≤ð，故选：B.【点睛】本题主要考查了对数与二次不等式的求解以及集合的补集运算.属于基础题.2．D【分析】求出12z z ⋅的代数形式，然后根据其实部为零，虚部不为零列式计算即可.【详解】 复数11i z =+，22i z a =+，∴()()()121i 2i 22i z z a a a ⋅=++=-++，12z z ⋅为纯虚数，20a ∴-=且20a +≠，2a ∴=.故选：D.3．A【分析】直接利用函数奇偶性及0x >时的解析式计算即可.【详解】因为函数()f x 为R 上的奇函数，所以()()100100f f -=-，又当0x >时，()lg f x x x =-，所以()()()100100lg10010098f f -=-=--=.故选：A.4．C【分析】根据题意结合条件概率公式运算求解.【详解】记“小李加班”为事件A ，“小陈加班”为事件B ，则()()()111,,436P A P B P AB ===，故在小李加班的条件下，小陈也加班的概率为()()()2|3P AB P B A P A ==.故选：C.5．D【分析】先利用倍角公式降次，再利用两角和的公式展开后转化为用tan 2α表示的等式，然后解方程即可.【详解】22cos 1sin 26παα⎛⎫-=+ ⎪⎝⎭ 1cos 21sin 23παα⎛⎫∴+-=+ ⎪⎝⎭，1cos 22sin 222ααα∴+=，又cos 20α≠，则12tan 22αα=，解得tan 22α=.故选：D.6．B【分析】根据三角形的边角关系，结合角平分线定理、二倍角公式、正弦定理即可求得cos A 的值.【详解】在ABC 中，角,,A B C 对应的边分别为,,a b c ，又点D 在线段AB 上，且满足23AD BD =，所以332,555AD AB c BD c ===，又ACD BCD ∠=∠，由角平分线定理可得AC BC AD BD =，所以3255b ac c =，则32b a =，又2B A =，所以sin sin 22sin cos B A A A ==，则sin cos 2sin BA A=，由正弦定理得3sin 32cos 2sin 224aB b A A a a ====.故选：B.7．B【分析】设等比数列{}n a 的公比为q ，由1220a a +=，398S =，列方程求出1,a q ，进而可求出n S ，结合指数函数的性质求出n S 的最大、小值，列不等式组即可求出a 的取值范围【详解】解：设等比数列{}n a 的公比为q ，因为1220a a +=，398S =，所以121(12)09(1)8a q a q q +=⎧⎪⎨++=⎪⎩，解得131,22a q ==-，所以31111,2221112111,22nnn n nn S n ⎡⎤⎧⎛⎫⎛⎫--⎢⎥+ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎢⎥⎪⎝⎭⎛⎫⎣⎦==--=⎨ ⎪⎛⎫⎝⎭⎛⎫⎪-- ⎪- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎩为奇数为偶数，当x 为正整数且奇数时，函数1()12xy =+单调递减，当x 为正整数且偶数时，函数1()12xy =-+单调递增，所以1n =时，n S 取得最大值32，当2n =时，n S 取得最小值34，所以34322a a ⎧≤⎪⎪⎨⎪+≥⎪⎩，解得1324a -≤≤.故选：B.8．D【分析】设()[]x g x x=，根据已知作出()g x 的草图，分析已知函数()[]()0x fx ax x=-≠有且仅有2个零点，则[]x a x=有且仅有2个解，即可得出答案.【详解】函数()[]()0x f x a x x=-≠有且仅有2个零点，则[]x a x=有且仅有2个解，设()[],1,00,01nx n x n n g x xxx ⎧≤<+≠⎪==⎨⎪≤<⎩，根据符号[]x 作出()g x的草图如下：则2334a <≤或322a ≤<，故选：D.9．AC【分析】根据表格数据计算得到众数，中位数，平均数和标准差即可判断结果【详解】由题意，这组运动时长数据中8出现了5次，其余数出现次数小于5次，故众数为8，A 正确；将16小学生的运动时长从小到大排列为：4,5,5,6,6,7,7,7,7,8,8,8,8,8,9,9，则中位数为7772+=，故B 错误；计算平均数为142526475829716⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=，故C 正确；方差为()()()()()()2222222147257267477587297216s ⎡⎤=-+⨯-+⨯-+⨯-+⨯-+⨯-=⎣⎦，所以标准差为s ==D 错误.故选：AC 10．CD【分析】利用空间线面、面面平行、垂直的性质定理和判定定理分别分析四个命题，即可得到正确答案.【详解】A 选项，若//m α，//n β，且//m n ，则,αβ可能相交或平行，故A 错误；B 选项，若//m α，//n β，且m n ⊥，则,αβ可能相交，也可能平行，故B 错误；C 选项，若m α⊥，//m n ，则n α⊥，又n β⊥，则//αβ；即C 正确；D 选项，若m α⊥，m n ⊥，则//n α或n ⊂α；又n β⊥，根据面面垂直的判定定理可得：αβ⊥，即D 正确.故选：CD.11．ABD【分析】根据椭圆的性质逐项进行分析即可判断.【详解】由椭圆方程221259x y +=可得：5,3a b ==，4c ==，对于A ，由椭圆的性质可得：129a c PF a c =-≤≤+=，又因为点P 在第一象限内，所以159a PF a c =<<+=，所以存在点P ，使得17PF =成立，故选项A 正确；对于B ，设点00(,)P x y ，因为12(4,0),(4,0)F F -，所以100(4,)PF x y =--- ，200(4,)PF x y =--，则2222212000009161616972525PF PF x y x x x ⋅=-+=-+-=- ，因为005x <<，所以20025x ≤≤，所以2120167(7,9)25PF PF x ⋅=-∈- ，所以存在点P ，使得120PF PF ⋅=，则1290F PF ∠=︒成立，故选项B 正确；对于C ，因为1004PF y k x =+，2004PF y k x =-，若217PF PF k k =，则00(316)0x y +=，因为点00(,)P x y 在第一象限内，所以000,0y x >>，则00(316)0x y +=可化为：03160x +=，解得：01603x =-<不成立，所以不存在点P ，使得217PF PF k k =成立，故选项C 错误；对于D ，由选项B 的分析可知：2120167(7,9)25PF PF x ⋅=-∈- ，所以存在点P ，使得127PF PF ⋅=成立，故选项D 正确，故选：ABD.12．BD【分析】利用诱导公式化简可得()()πf x f x +=-，可判断选项A ；利用换元法和函数的单调性，可判断选项B 和C ；利用诱导公式化简可得()π2f x f x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，可判断选项D ．【详解】对A ：()()()()()()sin 2πsin 22πsin 2πsin πcos πsin cos sin cos x x xf x f x x x x xx x+++===-=-+++--+，故π不是()f x 的周期，A 错误；对B ：令πsin cos 4t x x x ⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，则2sin 22sin cos 1x x x t ==-，则211t y t t t-==-，∵ππ,44x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，则()πππ0,,sin 0,1424x x ⎛⎫⎛⎫+∈+∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，∴π4t x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭在π0,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，且(π0,4t x ⎛⎫=+∈ ⎪⎝⎭，又∵1y t t =-在()0,∞+上单调递增，故()f x 在ππ,44⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增，B 正确；对C ：∵π3π,44⎛⎫- ⎪⎝⎭，则()π0,π4x +∈，∴(]πsin 0,14x ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，则(π0,4t x ⎛⎫=+∈ ⎪⎝⎭，又∵1y tt =-在(上单调递增，且|2x y ，∴1y t t =-在(上最大值为2，即()f x 在π3π,44⎛⎫- ⎝⎭，C 错误；对D ：()()πsin 2sin π2πsin 22ππ2cos sin sin cos sin cos 22x x x f x f x x x x xx x ⎛⎫- ⎪-⎛⎫⎝⎭-=== ⎪++⎛⎫⎛⎫⎝⎭-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故()f x 图象的一条对称轴为直线π4x =，D 正确.故选：BD.【点睛】结论点睛：若()()f m x f n x +=-，则()f x 关于直线2m nx +=对称，特别地()()2f x f a x =-，则()f x 关于直线x a =对称；若()()2f m x f n x b ++-=，则()f x 关于点,2m n b +⎛⎫⎪⎝⎭对称，特别地()()20f x f a x +-=，则()f x 关于点(),0a 对称.13．75##1.4【分析】先以{},OA OB 为基底向量求,OE OF uu u r uuu r，联立求解可得6362,5555OA OE OB OF OE =-=-uu r uu u r uuu r uu u r uuu r uu u r ，再结合OC OA OB =+，代入运算即可得答案.【详解】由题意可得：11,23OE OA AE OA OB OF OB BF OB OA =+=+=+=+uu u r uu r uu u r uu r uu u r uuu r uu u r uu u r uu u r uu r，联立1213OE OA OB OF OB OA ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩，解得63556255OA OE OB OF OE ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩ ，∵636243555555OC OA OB OE OF OF OE OE OF ⎛⎫⎛⎫=+=-+-=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭uuu r uu r uu u r uu u r uuu r uuu r uu u r uu u r uuu r ，则43,55m n ==，故75m n +=.故答案为：75.14．3y x x =+（答案不唯一）【分析】利用导数的几何意义可求得在()0,0处的切线斜率，由此可得切线方程；若两曲线在原点处具有相同切线，只需满足过点()0,0且在0x =处的导数值1y '=即可，由此可得曲线方程.【详解】sin y x = 的导函数为cos y x '=，又sin y x =过原点，sin y x ∴=在原点()0,0处的切线斜率cos 01k ==，sin y x ∴=在原点()0,0处的切线方程为y x =；所求曲线只需满足过点()0,0且在0x =处的导数值1y '=即可，如3y x x =+，231y x '=+ ，又3y x x =+过原点，3y x x ∴=+在原点处的切线斜率1k =，3y x x ∴=+在原点()0,0处的切线方程为y x =.故答案为:3y x x =+（答案不唯一）.15．188π5【分析】分类讨论旋转轴所在的直线，结合锥体的体积公式运算求解.【详解】由题意不妨设：3,4,5AB AC BC ===，边BC 上的高为h ，则1122AB AC BC h ⨯=⨯，可得125AB AC h BC ⨯==，若以边AB 所在直线为旋转轴，则所形成的几何体为圆锥，其底面半径14r =，高为3AB =，故此时圆锥的体积为2113π416π3V =⨯⨯⨯=；若以边AC 所在直线为旋转轴，则所形成的几何体为圆锥，其底面半径23r =，高为4AC =，故此时圆锥的体积为2214π312π3V =⨯⨯⨯=；若以边BC 所在直线为旋转轴，则所形成的几何体为两个共底面的圆锥，其底面半径3125r h ==，高为12,h h ，且125h h BC +==，故所得几何体的体积为()22223132312311111248πππ5ππ333355V h r h r h h r ⎛⎫=⨯⨯+⨯⨯=+⨯⨯=⨯⨯⨯= ⎪⎝⎭；故体积之和为4818816π12πππ55++=.故答案为：188π5.16．22+【分析】设2PF m =，则m c a ≥-，根据双曲线的定义12PF m a =+，故221244PF a m a PF m=++，分2a c a ≥-与2a c a <-讨论，结合“对勾”函数的性质可求出离心率.【详解】设2PF m =，则m c a ≥-，由双曲线的定义知122PF PF a -=，∴12PF m a =+，()22212244PF m a a m a PF mm+==++，当2a c a ≥-，即13a c ≥时，221244PF a m a PF m =++84823a a c c ≥=>>，不符合题意；当2a c a <-，即3ce a=>时，244a y m a m=++在[),m c a ∈-+∞上单调递增，所以当m c a =-时212PF PF 取得最小值，故2442a c a a c c a-++=-，化简得2240c ac a --=，即2410e e --=，解得2e =（舍）或2e =3e >.综上所述，该双曲线的离心率是2故答案为:2.17．(1)1*1,2n n a n -⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭N (2)1b =，1c =【分析】（1）根据1n n n a S S -=-，结合已知等式得出112n n a a -=，即可得出数列{}n a 是以首项为1，公比为12的等比数列，即可得出数列{}n a 的通项公式；（2）利用关系式得出1a 、2a 、3a ，再根据等差中项列式，即可得出答案.【详解】（1）令1n =，则11a S b c +=+，即12a b c =+，11a = ，0b =，2c ∴=，则2nn a S +=，即2n n S a =-，当2n ≥时，()1122n n n n n a S S a a --=-=---，化简得112n n a a -=，而11a =，则数列{}n a 是以首项为1，公比为12的等比数列，则数列{}n a 的通项公式1*1,2n n a n -⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭N ，（2）当1k =时，n n a S nb c +=+，令1n =，则11a S b c +=+，则12a b c =+，11a = ，2b c ∴+=，令2n =，则222a S b c +=+，则2122a b c a =+-，2b c += ，11a =，221a b ∴=+，令3n =，则333a S b c +=+，则31223a b c a a =+--，2b c += ，11a =，212b a +=，33144b a ∴=+， 数列{}n a 为等差数列，2132a a a ∴=+，即311144b b +=++，解得1b =，则21c b =-=.18．(1)证明见解析(2)98【分析】（1）利用余弦定理及面积公式将条件变形得cos sin A B =，再利用诱导公式及三角函数的性质可证明结论；（2）利用（1）的结论及三角公式，将sin sin A C +转化为关于cos B 的二次函数，然后配方可以求最值.【详解】（1）由余弦定理222cos 2b c a A bc+-=得2222cos bc A b c a =+-，4412cos sin 2bS b bc A ac B a a ∴==⨯，cos sin A B ∴=，cos cos 2πA B ⎛⎫∴=- ⎪⎝⎭，B 为钝角，则,2πA B -均为锐角，2B A π∴-=，即2B A π=+；（2）2ππsin sin sin sin cos cos 22cos cos 122A C B B B B B B B ⎛⎫⎛⎫+=-++-=--=--+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，令cos B t =，B 为钝角，则()1,0t ∈-，2219sin sin 21248A C t t t ⎛⎫∴+=--+=-++ ⎪⎝⎭，当14t =-，即1cos 4B =-时，sin sin A C +取最大值，且为98.19．(1)47108；(2)12.【分析】（1）由相互独立事件同时发生的概率，可得结论；（2）设出男生人数，列出22⨯列联表，根据2 3.841χ≥及,,236x x x均为整数即可求解.【详解】（1）从该校全体学生中随机抽取2名男生和2名女生，记其中恰有2人喜欢课外阅读为事件A ，则()222211221152151247C C 63636633108P A ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯+⨯+⋅⨯⨯⨯= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭.（2）设被调查的男生人数为x ,则被调查的女生人数为2x，则22⨯列联表为：喜欢课外阅读不喜欢课外阅读合计男生6x56x x 女生3x 6x 2x 合计2x x32x若有95%的把握认为喜欢课外阅读和性别有关，则2 3.841χ≥，即223526663 3.84122x x x x x x xx x χ⎛⎫⋅-⋅ ⎪⎝⎭≥≥⋅⋅⋅，则 3.841810.2433x ⨯≥≈，因为,,236x x x均为整数，所以被调查的男生至少有12人.20．(1)DE ∥平面ABC ，证明见解析；5【分析】（1）分别取,AC BC 的中点,O P ，连接,,DO EP OP ，EP DO ∥且EP DO =，再利用线面平行的判定定理，即可得到答案；（2）连接BO ，则易知BO ⊥平面ACD ，以O 为坐标原点，分别以,,OD OA OB 的方向为,,x y z 轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系O xyz -，求出向量1,22DH ⎛= ⎝⎭uuu r 及平面ACE 的法向量()1,0,2m =-，代入夹角公式，即可得到答案；【详解】（1）DE ∥平面ABC ，理由如下：分别取,AC BC 的中点,O P ，连接,,DO EP OP ，因为AD CD =，所以DO AC ⊥，又平面ACD ⊥平面ABC ，平面ACD 平面ABC AC =，DO ⊂平面ACD ，所以DO ⊥平面ABC ，同理EP ⊥平面ABC ，所以EP DO ∥，又因为,ACD BCE 是全等的正三角形，所以EP DO =，所以四边形DOPE 是平行四边形，所以DE OP ∥，因为ED ⊄平面ABC ，OP ⊂平面ABC ，所以ED ∥平面ABC ；（2）连接BO ，则易知BO ⊥平面ACD ，以O 为坐标原点，分别以,,OD OA OB的方向为,,x y z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系O xyz -，令2AC =.则()()())110,0,0,0,1,0,0,1,0,,0,,0,22O A C D H P ⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，1,2DE OP E ⎫=∴-⎪⎪⎭所以()310,2,0,,2222AC AE DH ⎫⎛⎫=-=-=⎪ ⎪⎪ ⎪⎭⎝⎭，设平面ACE 的法向量为(),,m x y z =，所以·0·0m AC m AE ⎧=⎪⎨=⎪⎩，所以203022y y -=⎧⎪-+=则0y =，取2z =，1x ∴=-，则()1,0,2m =-，所以cos ,DH m DH m DH m ===设直线DH 与平面ACE 所成的角为θ，则sin cos ,DH m θ==21．(1)2x y =(2)存在，32λ=【分析】（1）利用导数求得切线方程2002x x y x p p =-，根据切线方程过点0,2p M ⎛⎫-⎪⎝⎭求得220x p =，再结合两点间距离公式运算求解；（2）根据题意联立方程求点B 的坐标，再分别求直线,AT BT 的方程和,E F 的坐标，代入斜率公式运算求解即可.【详解】（1）∵抛物线()2:20C x py p =>，则20,,22p x M y p ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，∴x y p'=，设20,2x P x p ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则在点P 处的切线斜率0x k p =，故在点P 处的切线方程为()20002x x y x x p p -=-，即2002x x y x p p =-，∵切线过点0,2p M ⎛⎫- ⎪⎝⎭，则2022x p p -=-，解得220x p =，则2PM ===，解得12p =，故抛物线C 的方程为2x y =.（2）存在，32λ=，理由如下：由题意可得：直线AB 的方程为()121y x -=+，即23y x =+，联立方程223y x x y=+⎧⎨=⎩，解得11x y =-⎧⎨=⎩或39x y =⎧⎨=⎩，即直线AB 与抛物线的交点坐标为()()1,1,3,9A B -，∵直线AT 的斜率1k t =-，故其方程为()1y t x t =-+，联立方程()21y t x t x y⎧=-+⎨=⎩，解得11x y =-⎧⎨=⎩或2x ty t =⎧⎨=⎩，即点()2,E t t，又∵直线BT 的斜率93tk -=，故其方程为93t y x t -=+，联立方程293t y x t x y -⎧=+⎪⎨⎪=⎩，解得11x y =-⎧⎨=⎩或239t x t y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，即点2,39t t F ⎛⎫- ⎪⎝⎭，故直线EF 的斜率为222933t t k t t t λ-===+，则32λ=.【点睛】存在性问题求解的思路及策略（1）思路：先假设存在，推证满足条件的结论，若结论正确则存在；若结论不正确则不存在．（2）策略：①当条件和结论不唯一时要分类讨论；②当给出结论而要推导出存在的条件时，先假设成立，再推出条件；③当条件和结论都不知，按常规法解题很难时，可先由特殊情况探究，再推广到一般情况．22．(1)()f x 有极小值()11f a =-，无极大值(2)①证明见详解；②证明见详解【分析】（1）求导，利用导数判断原函数的单调性，进而可求极值；（2）对①：根据分析可得12ln ln x x -<12ln 0t t t-->，构建()12ln g x x x x =--，利用导数证明；对②：令11m x =，整理可得()112ln f m m m m m m ⎛⎫⎛⎫=+-- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，结合()g x 的单调性证明()0f m <，再结合()f x 的单调性即可证明.【详解】（1）由题意可得：()()()3222ln 121ln 2x x x f x x x x +='--=-，∵()3ln 1F x x x =+-在()0,∞+上单调递增，且()10F =，∴当01x <<时，()0F x <，当1x >时，()0F x >，即当01x <<时，()0f x '<，当1x >时，()0f x ¢>，故()f x 在()0,1上单调递减，在()1,+∞上单调递增，可得()f x 有极小值()11f a =-，无极大值.（2）若函数()f x 有两个零点()1212,x x x x >，则()110f a =-<，解得1a >，当111a <<时，则()()2422424e e 4e 0,e e 0ef a f a --=-+>=-->，结合()f x 的单调性可知：()f x 在()0,1，()1,+∞内均只有一个零点，则2101x x <<<，构建()12ln g x x x x =--，则()()22212110x g x x x x-'=-+=≥当0x >时恒成立，故()g x 在()0,∞+上单调递增，①令1t =>，则12ln ln x x -<1121ln x x x x -，等价于221ln t t t-<，等价于12ln 0t t t-->，∵()g x 在()1,+∞上单调递增，则()()10g t g >=，即12ln 0t t t-->，故12ln ln x x -<②若函数()f x 有两个零点()1212,x x x x >，令()110,1m x =∈，即11x m=，则()21212ln1112ln 01m f x f a a m m m m m m⎛⎫⎛⎫==--=-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，可得212ln a m m m =+，故()2222ln 12ln 112ln 2ln m mf m m a m m m m m m m m m m m ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=--=--+=+-- ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，由()0,1m ∈，则10m m+>，∵()g x 在()0,1上单调递增，则()()10g m g <=，即12ln 0m m m--<，∴()112ln 0f m m m m m m ⎛⎫⎛⎫=+--< ⎪⎪⎝⎭⎝⎭当()0,1m ∈时恒成立，又∵()f x 在()0,1上单调递减，且()()20f m f x <=，∴2m x >，即211x x >，故1201x x <<.【点睛】方法点睛：利用导数证明不等式的基本步骤（1）作差或变形．（2）构造新的函数h (x )．（3）利用导数研究h (x )的单调性或最值．（4）根据单调性及最值，得到所证不等式．特别地：当作差或变形构造的新函数不能利用导数求解时，一般转化为分别求左、右两端两个函数的最值问题．。
2023高考数学模拟试题(带答案解析)
2023高考数学模拟试题(带答案解析)第一部分：选择题1. 设$A$ 为向量组$\alpha_1,\alpha_2$ 与$\beta$ 的张成空间，则下列命题成立的是（）A. 若 $\beta = \alpha_1 + \alpha_2$，则 $\beta \in A$B. 若 $\beta \in A$，则 $\beta$ 一定能表示成$\alpha_1,\alpha_2$ 的线性组合C. 若 $\alpha_1,\alpha_2$ 线性无关，则 $\beta \notin A$D. 若 $\beta = \lambda_1\alpha_1 + \lambda_2\alpha_2$，则$\beta \in A$答案：B解析：$\forall \beta \in A$，$\beta$ 一定是向量组$\alpha_1,\alpha_2$ 的线性组合，即 $\beta = \lambda_1\alpha_1 + \lambda_2\alpha_2$，故选 B。
2. 已知函数 $f(x)=\frac{2x^2-8x}{x-4}$，若 $f(a)=5$，则$a=$（）A. 4B. 5C. 6D. 7答案：6解析：$f(x)=\frac{2x^2-8x}{x-4} = \frac{2x(x-4)}{x-4} = 2x$所以 $f(a)=5$ 即 $2a=5$，解得 $a=\frac{5}{2}$。
故选 C。
第二部分：填空题1. 若 $|a|=3，|b|=1$，则 $|\frac{1}{2}a-2b|=$（）答案：$\frac{\sqrt{17}}{2}$解析：$|\frac{1}{2}a-2b| = \frac{1}{2}|3\alpha - 2\beta| =\frac{1}{2}\sqrt{9+4}= \frac{\sqrt{17}}{2}$。
2. 已知 $cos A = -\frac{1}{3}$，则 $tan \frac{A}{2}=$（）答案：$-\frac{1}{2}$解析：由 $\cos A = -\frac{1}{3}$，得 $\sin A = \frac{\sqrt{8}}{3}$，且由 $\cos A = -\frac{1}{3}$ 得 $A\in (90^\circ,180^\circ)$。
2023年高考数学模拟试题（六）参考答案
2023年高考数学模拟试题(六)参考答案 一㊁选择题1.A 提示:z =(1+i)33-i=-2+2i3-i=(-2+2i )(3+i )(3-i )(3+i)=-1-32-1-32i,所以z =-1-322+1-322=2㊂2.C 提示:由x >0,l o g 2x +1ȡ0,得x ȡ12,故集合A =12,+ɕ,所以0<12xɤ22,即集合B =0,22,故A ɘB =12,22㊂3.B 提示:由题意得2c o s θ=-s i n θ,所以t a n θ=-2,而s i n 3θ+2c o s 3θs i n (π+θ)=s i n 3θ+2c o s 3θ-s i n θ=-s i n 3θ+2c o s 3θs i n θ(s i n 2θ+c o s 2θ)=-s i n 3θ+2c o s 3θs i n 3θ+s i n θc o s 2θ=-t a n 3θ+2t a n 3θ+t a n θ=-35㊂4.D 提示:由题意知2a n =a n -1+a n +1(n ȡ2),所以数列{a n }是首项为1,公差为94-1=12的等差数列,故a 9=1+8ˑ12=5,所以a 9=25㊂5.C 提示:在区间-π,π2上满足c o s X ɤ12的X 只能在区间-π,-π3ɣπ3,π2内,所以P (X ɤ2)=59㊂6.D 提示:当i =1时,S =10;当S =9时,i =2;当S =7时,i =3;当S =4时,满足题意,所以n 的最小值为5㊂7.B 提示:设圆台较小底面半径为r ,则另一底面半径为3r ,由S =π(r +3r )ˑ4=162π,可得r =2,所以圆台的高h =42-(22)2=22,所以圆台的体积为13ˑ22πˑ[(2)2+(32)2+2ˑ32]=522π3㊂8.A 提示:A 77A 22A 22A 33=210㊂9.D 提示:f (2x )=2x 2x =4x ㊃x =4f (x ),从而f (x 2-1)ȡ4f (-1-a x )⇔f (x 2-1)ȡf (-2-2a x )㊂当x >0时,f (x )=x x =x 2在[0,+ɕ)上单调递增,而f (x )为奇函数,所以f (x )在R 上单调递增㊂所以x 2-1ȡ-2-2ax 在R 上恒成立,即x 2+2a x +1ȡ0恒成立,所以Δ=4a 2-4ɤ0,解得-1ɤa ɤ1,故a 的取值范围为[-1,1]㊂图110.A 提示:将三视图还原得到三棱锥D A B C ,如图1所示,其中A B =B C =1,A D =C D =2,R =B D 2=32,所以V =43πR 3=3π2㊂11.C 提示:由双曲线m x 2-n y 2=1得渐近线方程为mnx ʃy =0,则圆心(1,0)到渐近线的距离为m n 1+m n =43-1,解得n =2m ,所以m +1n +1=m +12m +1=m+12+12m +12-12ȡ2m +12㊃12m +12-12=2-12,当且仅当2m +122=1,即m =2-12时,等号成立㊂12.B 提示:要使øA O B 最大,则A ,B两点必须在分段函数的不同部分上,不妨设A (x 1,x 1ex 1-1+1),B (x 2,y 2)(其中x 1>0,图2-1ɤx 2ɤ0),如图2,当øA O B最大时,直线O A 与y =x e x -1+1相切且A 为切点,此时有y '=(x +1)e x -1,从而k O A =x 1e x 1-1+1x 1=(x 1+1)ex 1-1,化简得x 21ex 1-1-1=0(x 1>0),令h (x )=x 2e x -1-1(x >0),易得h (x )在(0,+ɕ)上为增函数且h (1)=1,所以x 1=1,所以k O A =2;当-1ɤx ɤ0时,y =10-1-x 2,变形得x 2+(y -10)2=1(-1ɤx ɤ0,y ɤ10),则øA O B 最大时,直线O B 与圆相切,设此时直线O B 的方程为y =k x (k <0),则由0-101+k2=1得k O B =-3,所以t a n øA O B =k O B -k O A1+k O A k O B=1,故øA O B =π4㊂二㊁填空题13.3316提示:将A (1,2)代入y =a x 2,得a =4,所以抛物线C :x 2=14y ,焦点F 的坐标为0,116,准线方程为y =-116,由抛物线的定义得A F =2+116=3316㊂14.π4提示:10=2a -b =(2a -b )2=4a 2-4a ㊃b +b2=4-4㊃32c o s θ+18,解得c o s θ=22,因为θɪ[0,π],所以θ=π4㊂15.11π6 提示:由题意知π6--π3=T 4(2k +1)=π2ω(2k +1),解得ω=2k +1(k ɪZ ),由8π15ɤT 2=πω,得0<ωɤ158,所以ω=1,由f π6=0,得π6+φ=2k 1π,所以φ=2k 1π-π6(k 1ɪZ ),故φm i n =11π6㊂16.-23n -29(-2)n+29 提示:由a n +1-1=a 2n +a n -1-2a na n -1-1-1,得a n +1-1=(a n -1)2a n -1-1,所以(a n +1-1)(a n -1-1)=(a n -1)2,故{a n -1}是首项为2,公比为q 的等比数列,且a 6-1=-64=2q 5,则q =-2,所以a n -1=2(-2)n -1㊂令b n =n (a n -1),则b n =2n (-2)n -1㊂故T n =2(-2)0+4(-2)1+ +2(n -1)(-2)n -2+2n (-2)n -1;-2T n =2(-2)1+4(-2)2+ +2(n -1)(-2)n -1+2n (-2)n㊂两式相减得3T n =2(-2)0-2n (-2)n+2[(-2)1+ +(-2)n -1],化简得T n =-23n -29(-2)n+29㊂三㊁解答题17.由题得f (x )=(s i n 2ωx -c o s 2ωx )㊃(s i n 2ωx +c o s 2ωx )+23s i n ωx c o s ωx +1=s i n 2ωx -c o s 2ωx +23s i n ωx c o s ωx +1=3s i n 2ωx -c o s 2ωx +1=2s i n 2ωx -π6+1㊂所以T =2π2ω=π,所以ω=1,故f (x )=2s i n 2x -π6+1㊂由2x -π6=k π,得x =k π2+π12(k ɪZ ),故f (x )的对称中心为k π2+π12,1(k ɪZ )㊂(2)由f (A )=2s i n 2A -π6 +1=3,得s i n 2A -π6 =1,而0<A <π,故A =π3㊂由余弦定理得a 2=b 2+c 2-2b c c o s A ,即1=b 2+c 2-b c ȡ2b c -b c =b c ,所以b c ɤ1,当且仅当b =c 时等号成立㊂S әA B C =12b c s i n A ɤ12㊃1㊃32=34,故әA B C 面积的最大值为34㊂18.(1)甲㊁乙两生产车间的茎叶图如图3所示㊂以下四个结论中选两个即可:图3①乙车间生产的药品的平均重量大于甲车间生产的药品的平均重量㊂②甲车间生产的药品的重量较乙车间生产的药品的重量更分散(或:乙车间生产的药品的重量较甲车间生产的药品的重量更集中(稳定))㊂③甲车间生产的药品的重量的中位数是134毫克;乙车间生产的药品的重量的中位数是140毫克㊂④甲车间生产的药品的重量的众数是119毫克;乙车间生产的药品的重量的众数是140毫克㊂(2)由题意知一件药品合格的概率为1050=15,故X ~B 3,15,X 的所有可能取值为0,1,2,3㊂P (X =0)=C 03㊃453=64125;P (X =1)=C 13㊃15㊃45 2=48125;P (X =2)=C 23㊃15 2㊃45=12125;P (X =3)=C 33㊃15 3=1125㊂故X 分布列为表1:表1X 0123P6412548125121251125所以E (X )=3ˑ15=35,D (X )=3ˑ15ˑ45=1225㊂19.(1)在面A B C D 内分别作B E ʅA D于E ,B F ʅC D 于F ㊂因为面D A A 1D 1ʅ面A B C D 且交于A D ,所以B E ʅ面D A A 1D 1,故B E ʅD D 1㊂同理得D D 1ʅB F ㊂而B E ɘB F =B ,所以D D 1ʅ面A BCD ㊂(2)由题意知A B 2=A D 2+B D 2,所以D A ʅD B ㊂由(1)知D D 1ʅ面A B C D ,所以D A ,D B ,D D 1两两垂直㊂以D 为坐标原点,图4D A ,D B ,D D 1所在直线分别为x 轴,y 轴,z 轴,建立如图4所示的空间直角坐标系D -x yz ,设B D =1,则D (0,0,0),B (0,1,0),M 1,0,22,C 1(-1,1,2),所以B C 1ң=(-1,0,2),B D ң=(0,-1,0),B M ң=1,-1,22㊂设面B C 1M 的一个法向量为m =(x 1,y 1,z 1),则m ㊃B C 1ң=-x 1+2z 1=0,m ㊃B M ң=x 1-y 1+22z 1=0,可取m =(2,3,2)㊂同理可得面B C 1D 的一个法向量为n =(2,0,1),所以c o s <m ,n >=m ㊃nm n=105,故二面角M -B C 1-D 的正弦值为155㊂20.设直线A B 的直线为y =x +m ,A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),将y =x +m 代入x 2+3y 2=3,得4x 2+6m x +3(m 2-1)=0,Δ=12(4-m 2)>0,得0ɤm 2<4,由韦达定理得x 1+x 2=-32m ,x 1x 2=3(m 2-1)4㊂由弦长公式得A B =1+12㊃(x 1+x 2)2-4x 1x 2=62㊃4-m 2ɤ6,当m =0时,|A B |取得最大值6㊂(2)由题意知直线C D 的斜率必存在,设直线C D 的方程为y =k x +n ,C (x 3,y 3),D (x 4,y 4),直线P C 的斜率为k P C =y 3x 3+2,则直线P C 的方程为x =x 3+2y 3㊃y -2,将其代入x 2+3y 2=3,得x 3+2y 3㊃y -2 2+3y 2-3=0,即(4x 3+7)y 2-4y 3(x 3+2)y +y 23=0,所以y A y 3=y 234x 3+7,则y A =y 34x 3+7,x A =x 3+2y 3㊃y A -2=-7x 3-124x 3+7=-74+14(4x 3+7),故A-74+14(4x 3+7),y 34x 3+7㊂同理B -74+14(4x 4+7),y 44x 4+7㊂故k A B=y 34x 3+7-y 44x 4+714(4x 3+7)-14(4x 4+7)=4y 3(4x 4+7)-4y 4(4x 3+7)(4x 4+7)-(4x 3+7)=(k x 3+n )(4x 4+7)-(k x 4+n )(4x 3+7)x 4-x 3=(4n -7k )(x 4-x 3)x 4-x 3=4n -7k =1,所以n =74k +14,所以直线C D 的方程为y =k ㊃x +74+14,故直线C D 过定点-74,14 ㊂21.(1)当a =1时,f (0)=0,f'(x )=e x-1c o s 2x,所以f '(0)=0,故所求切线方程为y =0㊂(2)注意到f (0)=0,f '(x )=e x-a c o s 2x=e xc o s 2x -a c o s 2x,令h (x )=e x c o s 2x -a -π2<x <π2,当a ɤ0时,h (x )ȡ0,所以f (x )在-π2,π2上单调递增,而f (0)=0,所以f (x )在-π2,π2上只有一个零点,不符合题意(舍去)㊂当a >0时,h '(x )=e xc o s 2x -2e x㊃s i n x c o s x =e xc o s 2x (1-2t a n x ),由h '(x )>0得-π2<x <x 0;由h '(x )<0得x 0<x<π2,其中0<x 0<π2且t a n x 0=12㊂故h (x )在-π2,x 0上单调递增,在x 0,π2上单调递减㊂而h -π2 =hπ2 <0,所以h (x 0)一定大于0,即0<a <e x 0c o s 2x 0=45e x其中45e x>1㊂所以∃x 1ɪ-π2,x 0,∃x 2ɪx 0,π2 ,使得h (x 1)=h (x 2)=0,且f (x )在-π2,x 1上单调递减,在(x 1,x 2)上单调递增,在x 2,π2 上单调递减㊂而当x ң-π2时,f (x )ң+ɕ;当x ңπ2时,f (x )ң-ɕ㊂又f (0)=0,所以0ɪ(x 1,x 2),故f '(0)=1-a >0,所以0<a <1㊂22.(1)直线l 的普通方程为y =3x ,故极坐标方程为θ=π3(ρɪR )㊂曲线C 的直角坐标方程为(x -2)2+y 2=9,即x 2+y 2-4x -5=0,故曲线C 的极坐标方程为ρ2-4ρc o s θ-5=0㊂(2)将θ=π3代入ρ2-4ρc o s θ-5=0,得ρ2-2ρ-5=0,ρA ㊁B =1ʃ6,所以A B =ρA -ρB =26㊂由题知点P 的直角坐标为(3,1),所以点P 到直线l 的距离d =3㊃3-12=1㊂故S әP A B =12A B ㊃d =12㊃26㊃1=6㊂23.(1)f (x )=x -1+x +5+x +5ȡ(x -1)-(x +5)+x +5=6+x +5ȡ6,当且仅当x =-5时取等号,所以f (x )的最小值为6,故m =6㊂(2)由(1)知a +3b +2c =6,即(a +2b +1)+(b +2c )=5,所以1a +2b +1+4b +2c =15[(a +2b +1)+(b +2c )]㊃1a +2b +1+4b +2c=15㊃5+4(a +2b +1)b +2c +b +2c a +2b +1 ȡ15㊃5+24(a +2b +1)b +2c ㊃b +2c a +2b +1=95㊂(责任编辑 王福华)。
2023届高考全国甲卷乙卷全真模拟(四)数学试卷及答案
2023年高考数学全真模拟卷四（全国卷）理科数学（考试时间：120分钟；试卷满分：150分）注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题）一、单选题（本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）1．已知复数z 满足2i 3i 0z z --+=，则z 的共轭复数z =（）A ．1i+B ．1i-C ．1i5+D ．1i5-2．设集合(){},A x y y x ==，(){}3,B x y y x ==，则A B ⋂的元素个数是（）A ．1B ．2C ．3D ．43．设命题p ：若,x y R ∈，则“0x y >>”是“22x y >”的必要不充分条件；命题q ：“0x ∀>，21x >”的否定是“0x ∃≤，21x ≤”，则下列命题为真命题的是（）A ．p q ∧B ．()()p q ⌝∧⌝C ．p q∨D ．()p q ∧⌝4．已知()f x 是偶函数，在(－∞，0)上满足()0xf x '>恒成立，则下列不等式成立的是（）A ．()34()()5f f f <<--B ．()()()435f f f <->-C ．()()()534f f f -<-<D ．()()()453f f f <-<-5．在长方体1111ABCD A B C D -中，点E 为1AC 的中点，12AB AA ==，且AD =异面直线AE 与BC 所成角的余弦值为（）A ．3B ．3C ．22D ．26．美国在今年对华为实行了禁令，为了突围实现技术自主，华为某分公司抽调了含甲､乙的5个工程师到华为总部的4个不同的技术部门参与研发，要求每个工程师只能去一个部门，每个部门至少去一个工程师，且甲乙两人不能去同一个部门，则不同的安排方式一共有（）种A ．96B ．120C ．180D ．2167．将函数sin 2y x =的图象向左平移(0)ϕϕ>个单位长度后，所得图象经过点π,12⎛⎫ ⎪⎝⎭，则ϕ的最小值为（）A ．π12B ．π4C ．3π4D ．11π128．在区间[]22-,上随机取一个数k ，使直线()2y k x =+与圆221x y +=相交的概率为（）A ．3B ．12C D ．49．某班同学利用课外实践课，测量北京延庆会展中心冬奥会火炬台“大雪花”的垂直高度MN .在过N 点的水平面上确定两观测点,A B ，在A 处测得M 的仰角为30°，N 在A 的北偏东60°方向上，B 在A 的正东方向30米处，在B 处测得N 在北偏西60°方向上，则MN =（）A ．10米B ．12米C ．16米D ．18米10．已知函数()()3220f x x bx cx b b =+++<在=1x -处有极值，且极值为8，则()f x 的零点个数为（）A ．1B ．2C ．3D ．411．两个长轴在x 轴上、中心在坐标原点且离心率相同的椭圆.若A ，B 分别为外层椭圆的左顶点和上顶点，分别向内层椭圆作切线AC ，BD ，切点分别为C ，D ，且两切线斜率之积等于23-，则椭圆的离心率为（）A ．13B C D 12．已知3e a -=，ln1.01b =，sin 0.02c =，则（）A ．a b c <<B ．b a c <<C ．c b a<<D ．b<c<a第II 卷（非选择题）二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13．若双曲线221x my +=的焦距等于虚轴长的3倍，则m 的值为______．14．向量()2,1a =-r ，()2,3b =-r ，(),1c m =- ，c b ⊥r r，则a c -= ___．15．在ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知向量cos,12A B m +⎛⎫= ⎪⎝⎭，且254m = ．若2c =，且ABC 是锐角三角形，则22a b +的取值范围为______．16．如图，ED 是边长为2的正三角形ABC 的一条中位线，将ADE V 沿DE 折起，构成四棱锥F BCDE -，若EF CD ⊥，则四棱锥F BCDE -外接球的表面积为__________．三、解答题（本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答）（一）必考题：共60分17．2022年卡塔尔世界杯开幕式在美丽的海湾球场举行，中国制造在这届世界杯中闪亮登场，由中国铁建承建的卢赛尔球场是全球首个在全生命周期深入应用建筑信息模型技术的世界杯主场馆项目．场馆的空调是我们国家的海信空调，海信空调为了了解市场情况，随机调查了某个销售点五天空调销售量y （单位：台）和销售价格x （单位：百元）之间的关系，得到如下的统计数据：销售价格x 2428303236销售量y340330300270260(1)通过散点图发现销售量y 与销售价格x 之间有较好的线性相关关系，求出y 关于x 的线性回归方程ˆˆˆybx a =+．(2)若公司希望每天的销售额到达最大，请你利用所学知识帮公司制定一个销售价格（注：销售额=销售价格×销售量）．附：回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：()()()121ˆni ii n ii x x yy bx x ==--=-∑∑，ˆˆay bx =-．18．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且123n n n S S a +=++，11a =．(1)证明：数列{}3n a +是等比数列，并求数列{}n a 的通项公式；(2)若()2log 3n n n b a a =⋅+，求数列{}n b 的前n 项和n T ．19．如图，在四棱锥M ABCD -中，底面ABCD 是平行四边形，4AB =，AD =，MC ==45ADC ∠︒，点M 在底面ABCD 上的射影为CD 的中点O ，E 为线段AD 上的点(含端点)．(1)若E 为线段AD 的中点，证明：平面MOE ⊥平面MAD ；(2)若3AE DE =，求二面角D ME O --的余弦值．20．已知函数()2()4e 6x f x x x x =--+，()()ln 1g x x a x =-+，1a >-．(1)求()f x 的极值；(2)若存在[]11,3x ∈，对任意的232e ,e x ⎡⎤∈⎣⎦，使得不等式()()21g x f x >成立，求实数a 的取值范围．（3e 20.09≈）21．已知抛物线()2:20C x py p =>的焦点为F ，准线为l ，点P 是直线1:2l y x =-上一动点，直线l 与直线1l 交于点Q ，QF =(1)求抛物线C 的方程；(2)过点P 作抛物线C 的两条切线,PA PB ，切点为,A B ，且95FA FB -≤⋅≤，求PAB 面积的取值范围.（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为2cos sin x y ϕϕ=⎧⎨=⎩（ϕ为参数）．(1)在以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，求曲线C 极坐标方程；(2)若点A ，B 为曲线C 上的两个点且OA OB ⊥，求证：2211||||OA OB +为定值．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数()|2||3|f x x x =++．(1)求函数()y f x =的最小值M ；(2)若0,0a b >>且a b M +=2023年高考数学全真模拟卷四（全国卷）理科数学（考试时间：120分钟；试卷满分：150分）注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题）一、单选题（本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）1．已知复数z 满足2i 3i 0z z --+=，则z 的共轭复数z =（）A ．1i +B ．1i-C ．1i5+D ．1i5-【答案】B【分析】由复数的除法运算求出z ，再根据共轭复数的概念可得z .【详解】由2i 3i 0z z --+=，得3i 12i z -=-(3i)(12i)(12i)(12i)-+=-+55i 1i 5+==+，所以1i z =-.故选：B2．设集合(){},A x y y x ==，(){}3,B x y y x ==，则A B ⋂的元素个数是（）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】C【分析】联立3,y x y x ==求出交点坐标，从而得到答案.【详解】联立3y x y x=⎧⎨=⎩，即3x x =，解得：0x =或1±，即()()(){}0,0,1,1,1,1A B =-- ，故A B ⋂的元素个数为3.故选：C3．设命题p ：若,x y R ∈，则“0x y >>”是“22x y >”的必要不充分条件；命题q ：“0x ∀>，21x >”的否定是“0x ∃≤，21x ≤”，则下列命题为真命题的是（）A ．p q ∧B ．()()p q ⌝∧⌝C ．p q∨D ．()p q ∧⌝【答案】B【分析】先判断命题p 和命题q 的真假，再根据复合命题真假的判定方法，即可得出结果.【详解】根据不等式的性质，若0x y >>，则22x y >；反之，若22x y >，则220x y ->，即()()0x y x y +->，因为,x y 正负不确定，所以不能推出0x y >>，因此“0x y >>”是“22x y >”的充分不必要条件，即命题p 为假命题；所以p ⌝为真命题；命题q ：“0x ∀>，21x >”的否定是“0x ∃>，21x ≤”，故命题q 为假命题；q ⌝为真命题；所以p q ∧为假，p q ∨为假，()p q ∧⌝为假，()()p q ⌝∧⌝为真.即ACD 错，B 正确.故选：B.4．已知()f x 是偶函数，在(－∞，0)上满足()0xf x '>恒成立，则下列不等式成立的是（）A ．()34()()5f f f <<--B ．()()()435f f f <->-C ．()()()534f f f -<-<D ．()()()453f f f <-<-【答案】A【分析】由题干条件得到(),0x ∈-∞时，()0f x '<，故()f x 在(),0∞-上单调递减，结合()f x 为偶函数，得到()f x 在()0,∞+上单调递增，从而判断出大小关系.【详解】(),0x ∈-∞时，()0xf x '>即()0f x '<，∴()f x 在(),0∞-上单调递减，又()f x 为偶函数，∴()f x 在()0,∞+上单调递增．∴()()()345f f f <<，∴()()()345f f f -<<-.故选：A ．5．在长方体1111ABCD A B C D -中，点E 为1AC 的中点，12AB AA ==，且AD =面直线AE 与BC 所成角的余弦值为（）A ．23B C D 【答案】C【分析】将异面直线AE 与BC 所成角转化为EAD ∠或其补角，再通过边的计算得到4EAD π∠=，即可求解.【详解】连接1,,DE AC A D ，由BC AD ∥可得EAD ∠或其补角即为异面直线AE 与BC 所成角，又1A A ⊥面ABCD ，AC ⊂面ABCD ，则1A A AC ⊥，则111222AE A C ==⨯，同理可得1A D DC ⊥，1122DE AC ==，则222AE DE AD +=，4EAD π∠=，则异面直线AE 与BC 所成角的余弦值为cos4π=故选：C.6．美国在今年对华为实行了禁令，为了突围实现技术自主，华为某分公司抽调了含甲､乙的5个工程师到华为总部的4个不同的技术部门参与研发，要求每个工程师只能去一个部门，每个部门至少去一个工程师，且甲乙两人不能去同一个部门，则不同的安排方式一共有（）种A ．96B ．120C ．180D ．216【答案】D【解析】根据题意，先将5人分成4组，减去甲乙在一起的1组，然后4组再安排到4个不同的部门可得答案.【详解】由()24541216C A -=故选：D.7．将函数sin 2y x =的图象向左平移(0)ϕϕ>个单位长度后，所得图象经过点π,12⎛⎫⎪⎝⎭，则ϕ的最小值为（）A ．π12B ．π4C ．3π4D ．11π12【答案】C【分析】利用三角函数图象平移规律得到函数[]sin 2()y x ϕ=+的图象，由所得图象经过点π,12⎛⎫ ⎪⎝⎭和ϕ的范围可得答案.【详解】将函数sin 2y x =的图象向左平移(0)ϕϕ>个单位长度后，得到函数[]sin 2()y x ϕ=+的图象，由所得图象经过点π,12⎛⎫⎪⎝⎭，可得()sin π21ϕ+=，则ππ22π2k ϕ+=+，k ∈Z ，则ππ4k ϕ=-+，k ∈Z ，又0ϕ>，所以ϕ的最小值为3π4．故选：C ．8．在区间[]22-,上随机取一个数k ，使直线()2y k x =+与圆221x y +=相交的概率为（）A B C ．6D 【答案】C【分析】求出直线与圆相交时k 的取值范围，利用几何概型的概率公式可求得所求事件的概率.【详解】因为圆221x y +=的圆心为()0,0，半径1r =，直线()2y k x =+与圆221x y +=相交，所以圆心到直线()2y k x =+的距离1d =，解得33k -<<，所以，直线()2y k x =+与圆221x y +=相交的概率为346P ==，故选：C ．9．某班同学利用课外实践课，测量北京延庆会展中心冬奥会火炬台“大雪花”的垂直高度MN .在过N 点的水平面上确定两观测点,A B ，在A 处测得M 的仰角为30°，N 在A 的北偏东60°方向上，B 在A 的正东方向30米处，在B 处测得N 在北偏西60°方向上，则MN =（）A ．10米B ．12米C ．16米D ．18米【答案】A【分析】由已知分析数据，在NAB △中，由正弦定理可求得NA ，在直角MNA △中，可求得MN .【详解】由已知得，30MAN ∠=︒，30NAB NBA ∠=∠=︒，30AB =米在NAB △中，由正弦定理可得30sin120sin 30NA=︒︒，求得NA =米在直角MNA △中，tan 3010M NA N ⋅︒==米故选：A 10．已知函数()()3220f x x bx cx b b =+++<在=1x -处有极值，且极值为8，则()f x 的零点个数为（）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】C【分析】根据题意求导后结合已知极值，得出27b c =-⎧⎨=-⎩，即可根据导数得出其单调性，再结合特值得出其零点个数.【详解】由题意得()232f x x bx c ¢=++，因为函数()()3220f x x bx cx b b =+++<在=1x -处有极值，且极值为8，则()2118f b c b -=-+-+=，()1320f b c '-=-+=，解得27b c =-⎧⎨=-⎩(经检验适合题意)，或33b c =⎧⎨=⎩（经检验不合题意舍去）故()32274f x x x x =--+，()()()2347137f x x x x x '=--=+-，当(),1x ∈-∞-或7,3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭时，()0f x ¢>，即函数()f x 单调递增，当71,3x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时，()0f x '<，即函数()f x 单调递减，又因为()30f -<，()10f ->，()10f <，()40f >，则()f x 有3个零点，故选：C.11．两个长轴在x 轴上、中心在坐标原点且离心率相同的椭圆.若A ，B 分别为外层椭圆的左顶点和上顶点，分别向内层椭圆作切线AC ，BD ，切点分别为C ，D ，且两切线斜率之积等于23-，则椭圆的离心率为（）A ．13B C D 【答案】B【分析】法一，用判别式等于零求两条切线得斜率，因为它们相乘等于23-，可得2223b a =，所以椭圆的离心率为e 3=；法二，用极点极线得方法得到两条切线得斜率，再根据条件即得.【详解】法一：设内椭圆方程为()222210x y a b a b +=>>，外椭圆为()222220x y m m a b+=>，切线AC 的方程为()1y k x ma =+，联立()1222222,,y k x ma b x a y a b ⎧=+⎨+=⎩消去y 可得：()2222322422211120b a k x ma k x m a k a b +++-=，因为直线AC 为椭圆的切线，所以()()26422224222111Δ440m a k b a k m a k a b =-+-=，化简可得：2212211b k a m =⋅-，设直线BD 的方程为：2y k x mb =+，同理可得()222221b k m a =-，因为两切线斜率之积等于23-，所以2223b a =，所以椭圆的离心率为e =故选：B.法二；设内层椭圆：22221x y a b +=，外层椭圆：22222x y m a b+=.设切点()111,P x y ，()222,P x y ，(),0A ma ，()0,B mb ，切线1l ：11221x x y ya b +=，切线2l ：22221x x y y a b+=，∴21121x b k a y =-⋅①，22222x b k a y =-⋅②，又∵11AP k k =，即211211x y b a y x ma-⋅=-，即222222111b x b m ax a y -+=，即22222222111b m ax a y b x a b =+=，∴1mx a =，同理22BP k k =，∴2my b =，∴21y b x a=，将1P ，2P 代入椭圆22221x y a b +=中得：221222y b x a =，经分析得：12y b x a =-，由①②可知22212122212x x b b k k a y y a ⎛⎫=⋅=- ⎪⎝⎭，∴2223b a =，∴2221e 13b a =-=，∴e 3=.故选：B.12．已知3e a -=，ln1.01b =，sin 0.02c =，则（）A ．a b c <<B ．b a c <<C ．c b a <<D ．b<c<a【答案】D【分析】先利用不等式()sin 0x x x >>比较a ，c 的大小，再构造函数，利用函数的单调性比较b ，c 的大小，即可得到结果．【详解】如图，单位圆A 中，BAC θ∠=，BD AC ⊥于D ，则BC 的长度l θ=，sin BD θ=，则由图易得，l BC BD >>，即sin θθ>，所以3321110.02sin 0.02e 350e c a -==>>=>=.设()()sin 2ln 1f x x x =-+，0,6x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则()112cos 21011f x x x x '=->->++，所以()f x 在0,6π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，则()0.010f >，即sin 0.02ln1.01>，即b c <.综上，b<c<a .故选：D ．第II 卷（非选择题）二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13．若双曲线221x my +=的焦距等于虚轴长的3倍，则m 的值为______．【答案】8-【分析】先将双曲线化为标准形式，进而得到2211,a b m ==-，211c m=-，根据题意列出方程，求出m 的值.【详解】221x my +=化为标准方程：2211y x m-=-，则2211,a b m ==-，故211c m =-，则可得：=8m =-，故答案为：8-14．向量()2,1a =-r ，()2,3b =-r ，(),1c m =- ，c b ⊥r r，则a c -= ___．【答案】172【分析】利用平面向量垂直的坐标表示可求得实数m 的值，再利用平面向量的坐标运算以及向量模的坐标运算可求得结果.【详解】由已知可得230c b m ⋅=--= ，解得32m =-，则3,12c ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，所以，1,22a c ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭ ，因此，a c -== .15．在ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知向量cos,12A B m +⎛⎫= ⎪⎝⎭，且254m = ．若2c =，且ABC 是锐角三角形，则22a b +的取值范围为______．【答案】20,83⎛⎤⎥⎝⎦【分析】化简254m = 可得2π3A B +=，即π3C =，由正弦定理可得22168πsin 2336a b A ⎛⎫+=+- ⎪⎝⎭，再结合ABC 是锐角三角形，即可求出ππ62A <<，则可写出22a b +的取值范围.【详解】由题意得()221cos 5cos 11224A B A B m +++=+=+= ，所以()1cos 2A B +=-，因为0πA B <+<，所以2π3A B +=，所以()ππ3C A B =-+=，由正弦定理得sin sin sin a b c A B C ===，所以a A ，2πsin 3b B A ⎛⎫=⋅- ⎪⎝⎭，则2222162sin sin 33a b A A π⎡⎤⎛⎫+=+- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦1684cos 2cos 2333A A π⎡⎤⎛⎫=-+- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦1681cos 2cos 22332A A A ⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎝⎭168πsin 2336A ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭．因为ABC 是锐角三角形，所以π02A <<，π02B <<，又2π3B A =-，所以ππ62A <<，即ππ5π2666A <-<，所以1πsin 2126A ⎛⎫<-≤ ⎪⎝⎭，所以20168πsin 283336A ⎛⎫<+-≤ ⎪⎝⎭，故222083a b <+≤．故答案为：20,83⎛⎤ ⎥⎝⎦.16．如图，ED 是边长为2的正三角形ABC 的一条中位线，将ADE V 沿DE 折起，构成四棱锥F BCDE -，若EF CD ⊥，则四棱锥F BCDE -外接球的表面积为__________．【答案】112π【分析】根据给定的几何体，确定四边形BCDE 外接圆圆心，进而求出外接球半径即可计算作答.【详解】取BC 中点G ，连接AG 交DE 于H ，连接,,,FH EG DG FG ，如图，因为ED 是边长为2的正ABC 平行于BC 的中位线，则,AG ED FH ED ⊥⊥，H 是AG 中点，,,AG FH H AG FH =⊂ 平面AFG ，则有ED ⊥平面AFG ，ED ⊂平面BCDE ，有平面AFG ⊥平面BCDE ，显然有112GE GD GC GB =====，则G 是四边形BCDE 外接圆圆心，在平面AFG 内过G 作直线l AG ⊥，因为平面AFG ⋂平面BCDE AG =，因此l ⊥平面BCDE ，则四棱锥F BCDE -的外接球球心O 在直线l 上，过F 作FQ AG ⊥于Q ，FQ ⊂平面AFG ，有FQ ⊥平面BCDE ，则有//OG FQ ，连接,FO BO ，四边形FOGQ 为直角梯形，因为//,EG CD FE CD ⊥，则有FE EG ⊥，FG =，在AFG 中，FH AH HG ==，则AFG 是直角三角形，90AFG ∠= ，而AG =则1AF =，于是得3AF FG FQ AG ⋅==，过O 作OP FQ ⊥于P ，有PQ OG =，2FG OP GQ AG ===OB OF R ==，Rt OBG △与Rt OFP 中，222222OB BG OG OF OP FP ⎧=+⎨=+⎩，即222214)3R OG R OG ⎧=+⎪⎨=+-⎪⎩，解得44OG R ==，所以四棱锥F BCDE -外接球的表面积为21142S R ππ==.故答案为：112π三、解答题（本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答）（一）必考题：共60分三、解答题17．2022年卡塔尔世界杯开幕式在美丽的海湾球场举行，中国制造在这届世界杯中闪亮登场，由中国铁建承建的卢赛尔球场是全球首个在全生命周期深入应用建筑信息模型技术的世界杯主场馆项目．场馆的空调是我们国家的海信空调，海信空调为了了解市场情况，随机调查了某个销售点五天空调销售量y （单位：台）和销售价格x （单位：百元）之间的关系，得到如下的统计数据：销售价格x 2428303236销售量y340330300270260(1)通过散点图发现销售量y 与销售价格x 之间有较好的线性相关关系，求出y 关于x 的线性回归方程ˆˆˆybx a =+．(2)若公司希望每天的销售额到达最大，请你利用所学知识帮公司制定一个销售价格（注：销售额=销售价格×销售量）．附：回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：()()()121ˆni ii n ii x x yy b x x ==--=-∑∑，ˆˆay bx =-．【答案】(1)7.5525ˆyx =-+(2)35百元【分析】（1）根据已知求得回归方程的系数，即可得回归方程；（2）利用销售额的公式可得到()27.5359187.5zx =--+ ，利用二次函数的性质即可求解【详解】（1）2428303236305x ++++==，3403303002702603005y ++++==，6402302(30)6(40)7.536ˆ4436b-⨯-⨯+⨯-+⨯-==-+++，3007.530ˆ525a=+⨯=，∴y 关于x 的线性回归方程为7.5525ˆyx =-+（2）设销售额为 ()227.55257.5359187.5zx y x x x ==-+=--+ ，070x ≤≤，当35x =百元时，此时销售额到达最大，该值为max 9187.5z =百元18．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且123n n n S S a +=++，11a =．(1)证明：数列{}3n a +是等比数列，并求数列{}n a 的通项公式；(2)若()2log 3n n n b a a =⋅+，求数列{}n b 的前n 项和n T ．【答案】(1)证明过程见详解，123n n a +=-(2)2239222n n T n n n+=⋅--【分析】（1）先利用n a 与n S 之间的关系化简已知等式，得到1n a +，n a 间的关系，从而可求得数列{}3n a +的首项和公比，即可求得数列{}n a 的通项公式；（2）先求得数列{}n b 的通项公式，再根据分组求和和错位相减即可求得n T ．【详解】（1）因为123n n n S S a +=++，所以123n n n S S a +-=+，得123n n a a +=+，即()1323n n a a ++=+，又11a =，所以数列{}3n a +是首项为4，公比为2的等比数列，所以113422n n n a -++=⋅=，得123n n a +=-．（2）由题意得()()()()()1111223log 21231231n n n n n b n n n ++++=-⋅=+⋅-=+-+，所以()()2316332232122n n n n T n +++=⨯+⨯+++⨯-．令()231223212n n P n +=⨯+⨯+++⨯ ，则()3422223212n n P n +=⨯+⨯+++⨯ ，两式相减，得()()()223412222212222212412221n n n n n n P n n n ++++--=⨯++++-+⨯=+-+⨯=-⋅- ，故22n n P n +=⋅，所以2239222n n T n n n +=⋅--．19．如图，在四棱锥M ABCD -中，底面ABCD 是平行四边形，4AB =，AD =，MC ==45ADC ∠︒，点M 在底面ABCD 上的射影为CD 的中点O ，E 为线段AD 上的点(含端点)．(1)若E 为线段AD 的中点，证明：平面MOE ⊥平面MAD ；(2)若3AE DE =，求二面角D ME O --的余弦值．【答案】(1)证明见解析【分析】(1)在△ADO 中，利用勾股定理证明ED ⊥EO ，再结合ED ⊥MO 即可证明AD ⊥平面MOE ，从而可证明平面MOE ⊥平面MAD ；(2)连接OA ，证明DO OA ⊥，以O 为坐标原点，建立空间直角坐标系，利用空间向量即可求解二面角的余弦值．【详解】（1）∵AD ⊂平面ABCD ，MO ⊥平面ABCD ，∴MO AD ⊥．∵O 为线段CD 的中点，E 为线段AD 的中点，∴2DO =，DE =∵=45ADC ∠︒，由余弦定理得22222222EO =+-⨯⨯，则222EO DE DO +=，则DE EO ⊥．∵MO EO O ⋂=，,MO EO ⊂平面MOE ，∴AD ⊥平面MOE ，又∵AD ⊂平面MAD ，∴平面MOE ⊥平面MAD ．（2）连接OA ，由(1)知当E 为线段AD的中点时，AE DE EO ===，则A 、O 、D 三点在以AD 为直径的圆上，故DO OA ⊥．故以O为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，又MC =2MO =，∴(0,0,0)O ，(2,0,0)D ，(0,2,0)A ，(0,0,2)M ．又3AE DE =，则13,,022E ⎛⎫⎪⎝⎭，∴(0,0,2)OM = ，(2,0,2)DM =- ，(2,2,0)DA =-，13,,022OE ⎛⎫= ⎪⎝⎭．设平面MAD 的法向量为()111,,m x y z = ，则1111220220DM m x z DA m x y ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩ ，，解得1111x z x y =⎧⎨=⎩，，取11x =，则平面MAD 的一个法向量为(1,1,1)m =．设平面MEO 的法向量为()222,,x n y z = ，则2221302220OE n x y OM n z ⎧⋅=+=⎪⎨⎪⋅==⎩，，解得22230x y z =-⎧⎨=⎩，，取23x =，则平面MEO 的一个法向量为(3,1,0)n =-．则30cos 15m n m n m n⋅⋅==⋅，则二面角D ME O --的余弦值为15．20．已知函数()2()4e 6x f x x x x =--+，()()ln 1g x x a x =-+，1a >-．(1)求()f x 的极值；(2)若存在[]11,3x ∈，对任意的232e ,e x ⎡⎤∈⎣⎦，使得不等式()()21g x f x >成立，求实数a 的取值范围．（3e 20.09≈）【答案】(1)极大值()2ln 28ln 28-+-，极小值为39e -(2)361,e ⎛⎫-- ⎪⎝⎭【分析】（1）求出()f x '，令()0f x '=，得3x =或ln 2x =，再列出,(),()x f x f x '的变化关系表，根据表格和极值的概念可求出结果；（2）根据（1）求出()f x 在[]1,3上的最小值为3(3)9e f =-，则将若存在[]11,3x ∈，对任意的232e ,e x ⎡⎤∈⎣⎦，使得不等式()()21g x f x >成立，转化为3ln 9e 1x a x-++<在23e ,e ⎡⎤⎣⎦上恒成立，再构造函数3ln 9e ()x h x x-+=，23e ,e x ⎡⎤∈⎣⎦，转化为min 1()a h x +<，利用导数求出min ()h x 代入可得解【详解】（1）由()2()4e 6x f x x x x =--+，得()()()e 4e 263e 26x x xf x x x x x '=+--+=--+()()3e 2x x =--,令()0f x '=，得3x =或ln 2x =，,(),()x f x f x '的变化关系如下表：x (),ln 2-∞ln 2()ln 2,33()3,+∞()f x '＋0－＋()f x 单调递增极大值单调递减极小值单调递增由表可知，当ln 2x =时，()f x 取得极大值，为(ln 2)f =()()2ln 2ln 24e ln 26ln 2--+()2ln 28ln 28=-+-，当3x =时，()f x 取得极小值，为()32(3)34e 318f =--+39e =-.（2）由（1）知，()f x 在[]1,3上单调递减，所以当[]1,3x ∈时，3min ()(3)9e f x f ==-，于是若存在[]11,3x ∈，对任意的232e ,e x ⎡⎤∈⎣⎦，使得不等式()()21g x f x >成立，则()()3ln 19e 1x a x a -+>->-在23e ,e ⎡⎤⎣⎦上恒成立，即3ln 9e 1x a x-++<在23e ,e ⎡⎤⎣⎦上恒成立，令3ln 9e ()x h x x -+=，23e ,e x ⎡⎤∈⎣⎦，则min 1()a h x +<，()321ln 9e ()x x x h x x⋅--+'=3210e ln xx -+=，因为23e ,e x ⎡⎤∈⎣⎦，所以[]ln 2,3x ∈，33310e ln 12e ,13e x ⎡⎤-+∈--⎣⎦，因为3e 20.09≈，所以313e 1320.097.090-≈-=-<，所以()0h x '<，所以()h x 单调递减，故333min 33ln e e 96()(e )1e e h x h +-===-，于是3611e a +<-，得36e a <-，又1a >-，所以实数a 的取值范围是361,e ⎛⎫-- ⎪⎝⎭．21．已知抛物线()2:20C x py p =>的焦点为F ，准线为l ，点P 是直线1:2l yx =-上一动点，直线l 与直线1l 交于点Q ，QF =(1)求抛物线C 的方程；(2)过点P 作抛物线C 的两条切线,PA PB ，切点为,A B ，且95FA FB -≤⋅≤，求PAB 面积的取值范围.【答案】(1)24x y=(2)⎡⎣【分析】（1）计算2,22p p Q ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，0,2p F⎛⎫⎪⎝⎭，根据距离公式计算得到2p =，得到抛物线方程.（2）求导得到导函数，计算切线方程得到AB 的直线方程为()002y y xx +=，联立方程，根据韦达定理得到根与系数的关系，根据向量运算得到034y -≤≤，再计算PAB S =△.【详解】（1）直线1:2l y x =-，当2p y =-时，22p x =-，即2,22p p Q ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，0,2p F⎛⎫⎪⎝⎭，则QF ==，解得2p =或25p =-（舍去），故抛物线C 的方程为24x y =.（2）设()11,A x y ，()22,B x y ，()00,P x y ，24x y =，2x y '=，PA 的直线方程为：()1112x y x x y =-+，整理得到()112y y xx +=，同理可得：PB 方程为()222y y xx +=，故()()0102020222y y x x y y x x ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩，故AB 的直线方程为()002y y xx +=，()00224 y y xx x y ⎧+=⎨=⎩，整理得到200240x x x y -+=，12012024 x x x x x y +=⎧⎨=⎩，()()()1122121212,1,11FA FB x y x y x x y y y y ⋅=-⋅-=+-++()02221212221212000216123164x x x x x x x x y x y y +-=+-+=-++=-，09235y -≤-≤，解得034y -≤≤，设P 到AB 的距离为d，12PABS AB d =⋅=△，034y -≤≤，故[]2044,20y+∈，4,PAB S ⎡∈⎣△（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为2cos sin x y ϕϕ=⎧⎨=⎩（ϕ为参数）．(1)在以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，求曲线C 极坐标方程；(2)若点A ，B 为曲线C 上的两个点且OA OB ⊥，求证：2211||||OA OB +为定值．【答案】(1)2243sin 1ρθ=+(2)证明见解析【分析】（1）先消去参数ϕ化为直角坐标方程，再根据公式cos x ρθ=，sin y ρθ=化为极坐标方程即可得解；（2）由于OA OB ⊥，故可设()1,A ρθ，2π,2B ⎛⎫+ ⎪⎝⎭ρθ，将,A B 的极坐标代入曲线C 的极坐标方程，根据极径的几何意义可求出结果.【详解】（1）由2cos sin x y ϕϕ=⎧⎨=⎩得2222cos sin 14x y ϕϕ+=+=，所以曲线C 的直角坐标方程为2214x y +=．将cos x ρθ=，sin y ρθ=代入到2214x y +=，得2222cos sin 14ρθρθ+=，得2243sin 1ρθ=+，所以曲线C 的极坐标方程为：2243sin 1ρθ=+.（2）由于OA OB ⊥，故可设()1,A ρθ，2π,2B ⎛⎫+ ⎪⎝⎭ρθ21243sin 1ρθ=+，2222443cos 1n π23si 1ρθθ⎛⎫+ ⎝=⎭=++⎪，所以2222121111||||OA OB ρρ+=+()()223sin 13cos 1544θθ+++==．即2211||||OA OB +为定值54.[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数()|2||3|f x x x =++．(1)求函数()y f x =的最小值M ；(2)若0,0a b >>且a b M +=【答案】(1)3M =;试卷第17页，共17页.【分析】（1）利用零点分段法将()f x 写出分段函数的形式，画出图象，由图象可以看出函数()f x 的最小值；（2）由（1）知3a b +=，23≥，的最小值.【详解】（1）由于()()()()33323330330x x f x x x x x x x ⎧--<-⎪=++=--≤≤⎨⎪+>⎩，作出此函数图象如图所示:由图象可知函数()f x 的最小值为()03f =，即3M =．（2）由（1）知3a b +=，所以2924a b ab +⎛⎫≤= ⎪⎝⎭，所以149ab ≥，23≥，当且仅当32a b ==时等号成立，3+≥≥=,当且仅当32a b ==时等号成立．。
2023年高考数学模拟试题（一）参考答案
f(
y0 )
f(
y0 )
。又 函 数 f (
= y0 ,y0 ∈ [
1,e]
x )=
,所 以 等
0,+ ∞ )
l
nx+x+a 的定 义 域 为 (
π
。综上 可 得,
实 数α 的 取 值 范
9
π
2π
。
围为 0, ∪
9
9
9π
17π
1
6. 2e4 ,2e4
提示:
已 知 f(
x)=
1 ,
4 4
设平 面 ACE 的 一 个 法 向 量 为 m = (
x,
,
则
z)
y,
→
CA ·m =x+y=0,
→
CE ·m =
取 z=
3
1
x+ y+z=0,
4
4
。
得 m=(
-1,
2,
-2,
-1)
设直线 BE 与 平 面 ACE 所 成 角 为α,则
→
|BE ·m| 4 3
4
,即 直 线 BE 与 平
2
π
9π
1
7π
,所 以
= 17π ,易 知 φ
>φ
>φ
4
4
4
4
e
2
2
2
2
1
即 2e4 <a< 2e4 。
< 9π ,
17π <
a
4
4
e
e
9π
17π
三、
解答题
2
2023年高考数学全真模拟(全国甲卷乙卷通用)文数02答案
2023年高考数学全真模拟卷二（全国卷）文科数学（考试时间：120分钟；试卷满分：150分）注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题）一、单选题（本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）1．已知集合{}3A x N x =∈<，{}21B x x =-<≤，则A B = （）A ．[]0,2B ．{}1,0,1-C ．{}0,1,2D ．{}0,1【答案】D【分析】利用集合的交集运算求解.【详解】解：因为集合{}3A x N x =∈<，{}21B x x =-<≤，所以A B = {}0,1，故选：D2．已知复数z 在复平面内对应的点的坐标为()3,4-，则43izz +=+（）A ．5i +B ．5i -C ．35i -D ．4【答案】B【分析】由题意得34i z =-，再代入式子计算即可得到答案.【详解】由复数z 在复平面内对应的点的坐标为()3,4-得34iz =-5z ∴==()()()()34i 43i 34i555i 43i 43i 43i 43i z z ---∴+=+=+=-+++-故选：B.3．机器人是一种能够半自主或全自主工作的智能机器．它可以辅助甚至替代人类完成某些工作，提高工作效率，服务人类生活，扩大或延伸人的活动及能力范畴．某公司为了研究某机器人的销售情况，统计了2022年2月至7月M ，N 两店每月该机器人的营业额（单位：万元），得到如图所示的折线图，则下列说法中不正确的是（）A ．N 店营业额的平均值是29B ．M 店营业额的中位数在[]30,35内C ．M 店营业额的极差比N 店营业额的极差小D ．M 店营业额的方差大于N 店营业额的方差【答案】D【分析】对A ，计算N 店营业额的平均值即可判断，对B 首先M 店的营业额从小到大排序，即可计算出其中位数，对C ，计算相关数据极差即可判断，对D 首先计算出M 店营业额的平均值，再计算M 店和N 店营业额的方差即可判断.【详解】对于A ，N 店营业额的平均值是()12816355063296⨯+++++=，所以A 正确；对于B ，将M 店的营业额/万元，从小到大排列得14,20,26,36,45,64，故其中位数为]236363152[30,+=∈，故B 正确；对于C ，M 店营业额极差为641450-=，N 店的极差为6326150-=>，故C 正确；所以B 正确；对于D ，M 店营业额的平均值是11(142026456436)3466⨯+++++=，所以M 店营业额的方差为2222222052052052052052051420264564366666666⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+-+-+-+-+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭10109292803636==N 店营业额的方差为()()()()()()2222222292029262945296429362929391.5280636-+-+-+-+-+-=>,故D 错误，故选：D ．4．设x ，y 满足约束条件260303x y x y y +-≤⎧⎪+-≥⎨⎪≤⎩，则3z x y =-的最大值为（）A ．3B ．152-C ．0D ．9【答案】A【分析】画出可行域，根据目标函数的几何意义即可求解.【详解】根据约束条件画出可行域（如图），把3z x y =-变形为33x z y =-，得到斜率为13，在y 轴上的截距为3z-，随z 变化的一族平行直线．由图可知，当直线33x z y =-过点(3,0)A 时，截距3z-最小，即z 最大，所以3z x y =-的最大值为3．故选：A ．5．在ABC 中，AB AC =，AD 是BC 边上的中线，且4BC =，3AD =，则⋅=AB AC （）A ．5-B ．5C ．8-D ．8【答案】B【分析】由题意，根据三角形的性质，结合向量的加法几何意义以及数量积的运算律，可得答案.【详解】由题意如图所示：由AD BC ⊥，所以0,0AD DC AD DB ⋅=⋅= 又AB AC =，所以D 为BC 的中点，所以122BD DC BC ===，所以()()22945AB AC AD DB AD DC AD DC ⋅=+⋅+=-=-= ，故选：B ．6．已知ABC 的三个内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且656cos a c b C =+，则cos B =（）A ．78B ．56C ．34D ．23【答案】B【分析】根据题意，利用正弦定理边化角，由三角形内角和定理，展开化简得cos B ．【详解】由656cos a c b C =+，边化角得6sin 5sin 6sin cos A C B C =+，又()sin sin A B C =+，所以()6sin 5sin 6sin cos B C C B C +=+，展开得6sin cos 6cos sin 5sin 6sin cos B C B C C B C +=+，所以6cos sin 5sin B C C =，因为sin 0C >，所以5cos 6B =．故选：B ．7．一个正三棱台的上、下底面边长分别为3和6，侧棱长为2，则其高为（）A ．12B ．1C D 【答案】B【分析】将正三棱台补全为正三棱锥再做高，结合勾股定理求解即可【详解】如图，延长正三棱台的三条棱,,AA BB CC '''，交于点P ，因为6AB BC AC ===,3A B B C A C ''''''===，则24PA PB PC AA '====，作PO ⊥底面ABC 于O ，连接BO ，则BO ==，故2PO ==，故正三棱台ABC A B C '''-的高为12PO=故选：B 8．已知F 为双曲线C ：()222210,0x y a b a b-=>>的右焦点，A 为C 的右顶点，B 为C 上的点，且BF 垂直于x 轴．若AB 的斜率为5，则C 的离心率为（）A ．4B ．5C ．6D ．7【答案】A【分析】求出A 点，B 点坐标，利用斜率等于5结合222b c a =-得到22540c ac a -+=，方程两边同除以2a 得到关于离心率的方程，求出答案.【详解】由题意得：(),0F c ，(),0A a ，当x c =时，22221c y a b -=，解得2by a=±，因为AB 的斜率为5，所以B 点位于第一象限，则2,b B c a ⎛⎫⎪⎝⎭，故25ABb a kc a==-，整理得：2255b ac a =-，因为222b c a =-，即22540c ac a -+=，方程两边同除以2a 得：2540e e -+=，解得：4e =或1（舍去）故选：A9．()()cos 0f x x x ωωω=>在ππ,1212⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上是单调函数，则ω的最大值是（）A ．2B ．3C ．4D ．6【答案】C【分析】根据两角和的余弦公式可得()()π2cos 03f x x ωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭，可得其单调区间为π2π,33ωω⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，根据题意即可求解.【详解】()()πcos 2cos 03f x x x x ωωωω⎛⎫=-=+> ⎪⎝⎭，令()ππππ3k x k k ω≤+≤+∈Z ()π2ππ33k x k ω-+≤≤∈Z .令0k =,可得π2π33x ωω-≤≤.故函数()f x 在π2π,33ωω⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上是单调函数，所以πππ2π312123ωω-≤-<≤，解得04ω<≤.所以ω的最大值是4.故选:C.10．已知两圆C 1：（x -4）2+y 2=169，C 2：（x +4）2+y 2=9.动圆M 在圆C 1内部且和圆C 1相内切，和圆C 2相外切，则动圆圆心M 的轨迹方程是（）A ．2216448x y -=B ．2214864x y +=C ．2214864x y -=D ．2216448x y +=【答案】D【分析】由两圆外切和内切，得出圆心距与两圆的半径和差的关系，设出动圆的半径r ，消去r ，再由圆锥曲线的定义，可得动圆的圆心M 的轨迹，进一步求出其方程.【详解】设动圆的圆心(),M x y ，半径为r圆M 与圆1C :()224169x y -+=内切，与C2：()2249x y ++=外切.所以1213,3MC r MC r =-=+.1212+168MC MC C C =>=由椭圆的定义，M 的轨迹是以12,C C 为焦点，长轴为16的椭圆.则8,4a c ==，所以2228448b =-=动圆的圆心M 的轨迹方程为：2216448x y +=故选：D11．如图，在平面四边形ABCD 中，,,30AD CD AC BC DAC BAC ︒⊥⊥∠=∠=，现将ACD沿AC 折起，并连接BD ，使得平面ACD ⊥平面ABC ，若所得三棱锥D ABC -的外接球的表面积为4π，则三棱锥D ABC -的体积为（）A ．14B ．4C ．8D ．6【答案】C【分析】利用面面垂直的性质定理，线面垂直的判定定理可以证得ADB ∠为直角，又ACB ∠为直角，进而利用直角三角形的性质得到外接球的球心为斜边AB 的中点，然后根据球的面积公式求得球的半径，进而计算求得三棱锥D ABC -的体积.【详解】∵平面ACD ⊥平面ABC ，平面ABC∩平面BCD=AC ，AC ⊥BC ，BC ⊂平面ABC ，∴BC ⊥平面ACD ，又∵AD ⊂平面ACD ，∴AD ⊥BC ，又∵AD ⊥DC ，BC∩DC=C ，BC ⊂平面BCD ，DC ⊂平面BCD ，∴AD ⊥平面BCD ，又∵BD ⊂平面BCD ，∴AD ⊥BD ，即ADB ∠为直角，又∵ACB ∠为直角，∴取AB 的中点O ，连接OC ，OD ，由直角三角形的斜边上的中线性质OA=OB=OC=OD ，可得O 为三棱锥D ABC -外接球的球心，由三棱锥D ABC -外接球的表面积为4π，可得外接球的半径1r =，∴32,1,,22AB BC AC AD =====，∵BC ⊥平面ACD ，ADB ∠为直角，∴三棱锥D ABC -的体积为111313322ACD BC S ⨯=⨯⨯⨯=故选：C12．已知函数()ln k f x x x =+，k R ∈，1e()2g x x-=+，若对任意,()0x ∈+∞，不等式()()f x g x ≥恒成立，则实数k 的取值范围是（）A ．1k >B ．1k ≥C ．3k >D ．3k ≥【答案】B【分析】将不等式()()f x g x ≥恒成立进行转化，利用参数分离法求函数的最值，即可求实数k 的取值范围.【详解】由()()f x g x ≥恒成立，得对一切()0,x ∈+∞，都有1eln 2k x x x-+>+，即21e ln k x x x ≥+--，记()21e ln p x x x x =+--，则()()2ln 11ln p x x x +='=--，令()0p x '=，得e x =，因为当()0,e x ∈时，()0p x '>；函数()p x 在()0,e 上递增；当()e,x ∈+∞时，()0p x '<；函数()p x 在()e,+∞上递减，所以()()max e 1k p x p ≥==，故选：B.第II 卷（非选择题）二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13．在()()5611x x ++-展开式中，含4x 的项的系数是__________．【答案】20【分析】根据二项展开式的通项公式可求出结果.【详解】()51x +的展开式中4x 的系数为45C 5=，()61x -的展开式中4x 的系数为46C 15=，故在()()5611x x ++-展开式中，含4x 的项的系数为20．故答案为：2014．经过椭圆C ：22195x y +=的左焦点1F ，作不垂直于x 轴的直线AB ，交椭圆于A 、B两点，2F 是椭圆的右焦点，则2AF B 的周长为_________．【答案】12【分析】通过椭圆中的212BF BF a +=，212AF AF a +=，并通过2AF B 的周长为221122AB AF BF AF BF AF BF ++=+++从而求出周长的值.【详解】因为椭圆C ：22195x y +=的左焦点1F 为()2,0-，且作不垂直于x 轴的直线AB交椭圆于A 、B 两点，2F 是椭圆的右焦点()2,0所以2126BF BF a +==，2126AF AF a +==而2AF B 的周长为221122412AB AF BF AF BF AF BF a ++=+++==故答案为：12.15．已知直线l ：20kx y k +-+=，则圆2242110x x y y -+--=截直线l 所得的弦长的取值范围是______．【答案】⎡⎤⎣⎦【分析】求出直线l 所过的定点、圆心及半径，根据垂径定理可求弦长的最小值，最大值为直径的长度.【详解】直线l 的方程即()()120k x y ++-=，故直线l 恒过定点()1,2M -.圆的标准方程为()()222116x y -+-=，圆心为()2,1，半径为4，因为()()2212211016--+-=<，所以()1,2M -在圆内，直线l 恒与圆相交.圆心()2,1到点()1,2M -=则圆截直线l 所得的弦长的最小值为=248⨯=.所以圆截直线l 所得的弦长的取值范围是⎡⎤⎣⎦.故答案为:⎡⎤⎣⎦.16．①530.3log 5>，②22，③23e 2>，④1112ln sin cos 884⎛⎫+< ⎝⎭，上述不等式正确的有______（填序号）【答案】②④【分析】由指数对数的运算法则和不等式的性质比较大小.【详解】对于①：500.30.31<=，33log 5log 31>=，∴530.3log 5<，不等式①错误；对于②：ln 2ln e <=，∴ln 222<22<，不等式②正确对于③：22e 2.87.848<=<，∴()11233e8<，即23e 2<，不等式③错误；对于④：211111112ln sin cos ln sin cos ln 12sin cos ln 1sin 8888884⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+==+⋅=+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，令()()sin ,0,1f x x x x =-∈，则()1cos 0f x x '=->在()0,1x ∈上恒成立，()f x 在()0,1上单调递增，∴111sin (0)0444f f ⎛⎫=->= ⎪⎝⎭，11sin 44<，得115ln 1sin ln 1ln 444⎛⎫⎛⎫+<+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，45ln5544ln ln ln e=11444⎛⎫==< ⎪⎝⎭，∴51ln 44<，∴11512ln sin cos ln 8844⎛⎫+<< ⎪⎝⎭，不等式④正确.故答案为：②④三、解答题（本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答）（一）必考题：共60分17．为调查学生住宿情况，某教育主管部门从甲、乙两所学校各抽取200名学生参与调查，调查结果分为“住校”与“走读”两类，结果统计如下表：住校人数走读人数合计甲校80120200乙校60140200合计140260400参考公式:22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++,其中n a b c d =+++.附表:()20P K k α= 0.10.050.010.0050.0010k 2.706 3.841 6.6357.87910.828(1)分别估计甲，乙两所学校学生住校的概率；(2)能否有95%的把握认为住校人数与不同的学校有关？【答案】(1)甲：0.4，乙：0.3(2)有【分析】（1）根据表格进行数据分析,直接求出两所学校学生住校的概率；（2）计算2K 的观测值,对照参数下结论.(1)由表格数据得，甲校学生住校的概率估计值是800.4200=，乙校学生住校的概率估计值是600.3200=.(2)由题意可得2K 的观测值为()24008014060120400 4.396 3.84114026020020091⨯⨯-⨯=≈>⨯⨯⨯所以有95%的把握认为住校人数与不同的学校有关.18．在公比大于0的等比数列{}n a 中，已知354a a a =，且2a ，43a ，3a 成等差数列.（1）求{}n a 的通项公式；（2）已知12n n S a a a = ，试问当n 为何值时，n S 取得最大值，并求n S 的最大值.【答案】（1）42nn a -=；（2）当3n =或4时，n S 取得最大值，()max 64n S =.【分析】（1）设{}n a 的公比为q ，由354a a a =，得41a =，再根据2a ，43a ，3a 成等差数列，求得公比即可.（2）根据（1）得到(7)321(4)21222n n n n n S a a a -++++-=== ，再利用二次函数的性质求解.【详解】（1）设{}n a 的公比为q ，由354a a a =，即244a a =得41a =或40a =（舍）.因为2a ，43a ，3a 成等差数列，所以2346a a a +=，即231116a q a q a q +=则2610q q --=，解得12q =或13q =-（舍），又3411a a q ==，故18a =.所以141822n n n a --⎛⎫=⨯= ⎪⎝⎭.（2）(7)321(4)21222n nn n n S a a a -++++-=== ，又()2717222n ny n n -==-+，该二次函数对称轴为72，又n N +∈，故当3n =或4时，二次函数取得最大值6，故当3n =或4时，n S 取得最大值6264=，即()max 64n S =.19．如图，在直棱柱1111ABCD A B C D -中，底面四边形ABCD 14AA AC ==，E 为AB 的中点，F 为1CC 的中点.(1)证明：//EF 平面1ACD ；(2)若点P 为线段EF 上的动点，求点P 到平面1ACD 的距离.【答案】(1)证明见详解；(2)17.【分析】（1）取BC 的中点G ，连接FG ，EG ，1BC ，证明平面EFG ∥平面1ACD ，原题即得证；（2）连接BD 与AC 相交于点O ，利用11E ACD D ACE V V --=求解.【详解】（1）证明：如图，取BC 的中点G ，连接FG ，EG ，1BC .∵G 为BC 的中点，E 为AB 的中点，∴EG AC ∥，因为AC ⊂平面1ACD ,EG ⊄平面1ACD ，所以//EG 平面1ACD .∵G 为BC 的中点，F 为1CC 的中点，∴1FG BC ∥.∵直棱柱1111ABCD A B C D -，∴11AD BC ∥，∴1//AD FG ，因为1AD ⊂平面1ACD ,FG ⊄平面1ACD ，所以//FG 平面1ACD .∵EG FG G = ，,EG FG ⊂平面EFG ，∴平面EFG ∥平面1ACD .又∵EF ⊂平面EFG ，∴//EF 平面1ACD .（2）解：如图，连接BD 与AC 相交于点O ，在1Rt ADD △中，1AD ===，同理1CD 由菱形ABCD 可知AC BD ⊥，2OA OC ==，在Rt OAB 中，1OB =.设点P 到平面1ACD 的距离为d ，由//EF 平面1ACD ，可知点E 到平面1ACD 的距离也为d ，由1OD ==可得1ACD △的面积为142⨯ACE△的面积为11212⨯⨯=.有1144133D ACE V -=⨯⨯=，1133E ACD V d d -=⨯=，由11E ACD D ACE V V --=43=，可得d =故点P 到平面1ACD20．已知抛物线C 的顶点为坐标原点，焦点在y 轴上，点()2,1Q -关于x 轴的对称点P 在抛物线C 上．(1)求抛物线C 的方程；(2)A 、B 是抛物线C 上异于点P 的两个动点，记直线PA 和直线PB 的斜率分别为1k 、()2120k k k ≠，若12112k k +=，求证：直线AB 过定点．【答案】(1)24x y=(2)证明见解析【分析】（1）由题意，设抛物线C 的方程为2x ay =，将点P 的坐标代入抛物线C 的方程，求出a 的值，由此可求得抛物线C 的方程；（2）分析可知直线AB 的斜率存在，设直线AB 的方程为=+y kx b ，设点()11,A x y 、()22,B x y ，将直线AB 的方程与抛物线C 的方程联立，列出韦达定理，利用斜率公式以及韦达定理可求得b 的值，即可求得直线AB 所过定点的坐标.【详解】（1）解：由题意可知，设抛物线C 的方程为2x ay =，易知点()2,1P ，由题意可得224a ==，所以，抛物线C 的方程为24x y =.（2）解：设点()11,A x y 、()22,B x y ，则21111111124224x y x k x x --+===--，同理2214x k +=，若直线AB 的斜率不存在，此时直线AB 与抛物线C 只有一个交点，不合乎题意.所以，直线AB 的斜率存在，设直线AB 的方程为=+y kx b ，联立2=4=+x yy kx b⎧⎨⎩可得2440x kx b --=，216160k b ∆=+>，由韦达定理可得124x x k +=，124x x b =-，()()121212121244114422224x x k k x x x x x x +++=+==+++++，可得124440x x b -=--=，解得1b =-，即直线AB 的方程为1y kx =-，所以，直线AB 过定点()0,1-.21．已知函数()2f x ax =，()lng x x x =．(1)若()()f x g x ≥恒成立，求实数a 的取值范围；(2)若=1a ，()()()1G x f x g x =--，且1mn >，证明：()()0G m G n +>．【答案】(1)1a ≥e(2)证明见解析【分析】（1）由()()f x g x ≥分离参数得ln xa x≥，构造函数，求函数的最值，即可得a 的取值范围；（2）由1mn >，可知m 与n 至少有一个大于1，假设1n >，则1m n>，求导，可得函数()G x 单调递增，所以()()()1G m G n G n G n ⎛⎫+>+ ⎪⎝⎭，证明()10G n G n ⎛⎫+> ⎪⎝⎭即可.（1）由()()f x g x ≥，即2ln ax x x ≥，0x >，所以ln xa x≥，设()ln x h x x =，则()21ln xh x x -'=，令()0h x '=，解得=e x ，所以当0e x <<时，()0h x '>，()h x 单调递增，当e x >时，()0h x '<，()h x 单调递减，所以当=e x 时，()h x 取最大值为()1e eh =，所以1a ≥e ；（2）由1mn >，可知m 与n 至少有一个大于1，假设1n >，则1m n>，又()()()21ln 1G x f x g x x x x =--=--，则()2ln 1G x x x '=--，()1212x G x x x-''=-=，令()0G x ''=，得1=2x ，当102x <<时，()0G x ''<，()G x '单调递减，当12x >时，()0G x ''>，()G x '单调递增，所以()1ln 202G x G ⎛⎫''≥=> ⎪⎝⎭，所以()G x 在()0,+∞上单调递增，所以()1G m G n ⎛⎫> ⎪⎝⎭，则()()()221111ln 11G m G n G n G n n n n n n n ⎛⎫+>+=--+-- ⎪⎝⎭11ln n n n n n ⎛⎫⎛⎫=--- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，又1n n -在1n >时单调递增，所以当1n >时，10n n->，设()1ln F x x x x =--，1x >，则()22222131112410x x x F x x x x x ⎛⎫-+ ⎪-+⎝⎭'=+-==>恒成立，所以()F x 在()1,+∞上单调递增，则()()10F x F >=，所以当1n >时，1ln 0n n n-->，所以11ln 0n n n n n ⎛⎫⎛⎫---> ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，即()()0G m G n +>.（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．已知圆C 的圆心坐标为()1,0，圆的半径为1.以直角坐标系原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系且取相同单位长度.（1）写出圆C 的极坐标方程，（2）将射线l ；0,02πθααρ⎛⎫=-<<> ⎪⎝⎭绕极点逆时针旋转3π得射线m ，设m ，l 与圆C 的交点分别为A ，B .求三角形AOB 的面积的最大值.【答案】（1）2cos ρθ=；（2）最大值为334.【分析】（1）方法一：先求圆的直角坐标方程，再互为极坐标方程；方法二：直接利用极坐标方程的意义求解即可.（2）射线m 的方程为0,032ππθααρ⎛⎫=+-<<> ⎪⎝⎭，进而根据极坐标的意义结合三角形的面积公式得12cos 2cos sin 233AOBS ππαα∆⎛⎫=⨯⨯+⨯ ⎪⎝⎭，再化简求值即可.【详解】解：（1）法一：以原点为极点，以x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，则圆C 的普通方程为()2211x y -+=，令cos x ρθ=，sin y ρθ=得C 的极坐标方程为2cos ρθ=.法二：如图.设(),P ρθ为圆上任一点﹐在直角三角形 OPB 中，2cos OP θ=，∴2cos ρθ=.（2）由题意得射线m 的方程为0,032ππθααρ⎛⎫=+-<<> ⎪⎝⎭，∴()2cos ,B αα，2cos ,33A ππαα⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，0,02παρ⎛⎫-<<> ⎪⎝⎭，12cos 2cos sin233AOB S ππαα∆⎛⎫=⨯⨯+⨯ ⎪⎝⎭1cos cos 3223πααααα⎛⎫⎛⎫+=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭231cos 231cos sin sin 22222ααααα+-=-⨯23πα⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.∵02πα-<<，∴22333πππα-<+<.∴当203πα+=，即6πα=-时，AOB S ∆的最大值为334.[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数()222f x x x =+--.（1）解不等式()6f x ≥.（2）已知0a >，0b >，()()1g x f x x =-+的最大值m ，11m a b+=，求22a b +的最小值.【答案】（1）{10x x ≤-或}2x ≥；（2）最小值为89.【分析】（1）分2x >，12x -≤≤和1x <-三种情况解不等式；（2）先利用绝对值三角不等式求出()g x 的最大值为3m =，从而得113a b+=，所以()222221119a b a b a b ⎛⎫+=+⋅+ ⎪⎝⎭，化简后利用基本不等式求解即可【详解】解：（1）函数()4,22223,124,1x x f x x x x x x x +>⎧⎪=+--=-≤≤⎨⎪--<-⎩，当2x >时，不等式()6f x ≥即为46+≥x ，解得2x ≥，所以2x >；当12x -≤≤时，不等式()6f x ≥即为36x ≥，解得2x ≥，所以2x =；当1x <-时，不等式()6f x ≥即为46x --≥，解得10x ≤-，所以10x ≤-.综上所述，不等式()6f x ≥的解集为{10x x ≤-或}2x ≥；（2）()()()()112123=-+=+--≤+--=g x f x x x x x x ，所以()g x 的最大值为3m =，则113a b+=，故()222222222111122299⎛⎫⎛⎫+=+⋅+=++++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭b a a b a b a b a b a b ba 18299⎛⎫≥++= ⎪ ⎪⎝⎭，当且仅当2222a b b a=且22a b b a =，即23a b ==时取等号，故22a b +的最小值为89.。
2023年普通高等学校招生全国统一考试模拟测试(新高考)数学试题及答案
2023年普通高等学校招生全国统一考试模拟测试（新高考）数学试题及答案一、单选题（20分）请从每题的选项中选择一个最符合题意的答案，并在答题卡上将相应的字母涂黑。
1.若函数f(x)在区间[-1,3]上连续，则其必定是 A. 递减函数 B. 倒U型函数 C. 奇函数 D. 偶函数2.已知三角形ABC，AB=AC，角A=40°，则角B的度数等于 A. 40° B. 70° C. 80° D. 100°3.设a,b都是正数，且logₐ1/3=log₃b/2，则a/b的值等于 A. 1/4 B. 1/3 C. 1/2 D. 24.若a,b>0，且a+b=1，则a²+b²的最小值是 A. 1/2 B.1/√2 C. 1/4 D. 15.若直线y=mx+2与曲线y=4x²-3x-1有两个公共点，则m的取值范围是 A. (-∞,1/8) B. (-∞,0)∪(0,1/8) C. (-∞,1/8]∪[0,+∞) D. (-∞,0)二、多选题（20分）请从每题的选项中选择一个或多个最符合题意的答案，并在答题卡上将相应的字母涂黑。
6.设实数x满足条件|x-3| < 2，下列等式成立的是 A.x > 5 B. x < 1 C. x ≠ 3 D. x > 17.在直角坐标系中，下列函数中具有对称中心为(2,-1)的是 A. y=x-1 B. y=-(x-2)²-1 C. y=√(x²-4x+4) D. y=1/x-38.设集合A={a, a², a³}，则以下命题成立的是 A. 若a>1，则a>1/a² B. 若a<0，则a³<0 C. 若a=1, 则A={1} D. 若a=0，则A={0}9.已知函数f(x)=x³+ax²+bx+c，若它与y=x+3有恰有一个交点，并且这个交点横纵坐标都是正数，则以下命题成立的是 A. a+b = -1 B. a+c = -3 C. a+c > 0 D. a+b+c > 010.设集合A={x | x=x²-2x-3, x∈R}，B={x | x²+x-6=0,x∈R}，则以下命题成立的是A. A⊂B B. A∩B=∅ C. B⊆A D.B∪A=∅三、填空题（20分）请根据题目要求填写空缺，并在答题卡上写出完整的答案。
2023年普通高等学校招生全国统一考试新高考仿真模拟卷数学(二)答案
2023年普通高等学校招生全国统一考试·仿真模拟卷数学（二）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．1.已知集合{}2A x x x=≤，(){}2log1B x y x ==-，则A B ⋃=（）A.[)1,+∞B.[)0,∞+C.（0，1）D.[]0,1【答案】B 【解析】【分析】分别化简集合,A B ，根据并集的定义求解.【详解】{}2A x x x=≤ ∴不等式2x x ≤的解集是集合A又因为(){}21001,01x x x x x A x x ≤⇒-≤⇒≤≤∴=≤≤又(){}2log 1x y x =- ，所以满足函数()2log 1y x =-中x 的范围就是集合B所以{}1011x x B x x ->⇒>∴=>所以{}{}{}[)01100,A B x x x x x x ∞⋃=≤≤⋃>=≥=+故选：B2.已知复数()()2i 1i z a =+-为纯虚数，则实数=a （）A.12-B.23-C.2D.2-【答案】D 【解析】【分析】根据复数乘法计算方法化简复数，结合纯虚数的概念求值即可.【详解】()()()2i 22i 1i i 2i 2i 2a a a a z a ==-++++---=，因为复数z 为纯虚数，所以2020a a -≠⎧⎨+=⎩，即2a =-.故选：D3.在正方形ABCD 中，M 是BC 的中点．若AC m = ，AM n = ，则BD =（）A.43m n -B.43m n+ C.34m n -D.34m n+【答案】C 【解析】【分析】作图，根据图像和向量的关系，得到2()22BC AC AM m n =-=-和AB AC BC =- 222m m n n m =-+=-，进而利用BD BC CD BC AB =+=- ，可得答案.【详解】如图，AC m =，AM n =，且在正方形ABCD 中，AB DC=12AC AM MC BC -==，2()22BC AC AM m n ∴=-=- ， AC AB BC =+，AB AC BC ∴=- 222m m n n m =-+=- ，∴BD BC CD BC AB =+=-= 22234m n n m m n--+=- 故选：C4.已知40.5=a ，5log 0.4b =，0.5log 0.4c =，则a ，b ，c 的大小关系是（）A.b a c >>B.a c b >>C.c a b >>D.a b c>>【答案】C 【解析】【分析】利用指数函数，对数函数单调性，找出中间值0,1，使其和,,a b c 比较即可.【详解】根据指数函数单调性和值域，0.5x y =在R 上递减，结合指数函数的值域可知，()()400,0.50,10.5a ∈==；根据对数函数的单调性，5log y x =在(0,)+∞上递增，则55log 0.4log 10b =<=，0.5log y x =在(0,)+∞上递减，故0.50.5log 0.4log 0.51c =>=，即10c a b >>>>，C 选项正确.故选：C5.端午佳节，人们有包粽子和吃粽子的习俗．四川流行四角状的粽子，其形状可以看成一个正四面体．广东流行粽子里放蛋黄，现需要在四角状粽子内部放入一个蛋黄，蛋黄的形状近似地看成球，当这个蛋黄的表面积是9π时，则该正四面体的高的最小值为（）A.4 B.6C.8D.10【答案】B 【解析】【分析】根据题意分析可知，当该正四面体的内切球的半径为32时，该正四面体的高最小，再根据该正四面体积列式可求出结果.【详解】由球的表面积为9π，可知球的半径为32，依题意可知，当该正四面体的内切球的半径为32时，该正四面体的高最小，设该正四面体的棱长为a 3a =，根据该正四面体积的可得2163334a a ⨯⨯=21334324a ⨯⨯⨯，解得a =.所以该正四面体的高的最小值为66633a =⨯=.故选：B6.现有一组数据0，l ，2，3，4，5，6，7，若将这组数据随机删去两个数，则剩下数据的平均数大于4的概率为（）A.514 B.314C.27D.17【答案】D 【解析】【分析】先得到删去的两个数之和为4时，此时剩下的数据的平均数为4，从而得到要想这组数据随机删去两个数，剩下数据的平均数大于4，则删去的两个数之和要小于4，利用列举法得到其情况，结合组合知识求出这组数据随机删去两个数总共的情况，求出概率.【详解】0，l ，2，3，4，5，6，7删去的两个数之和为4时，此时剩下的数据的平均数为284482-=-，所以要想这组数据随机删去两个数，剩下数据的平均数大于4，则删去的两个数之和要小于4，有()()()()0,1,0,2,0,3,1,2四种情况符合要求，将这组数据随机删去两个数，共有28C 28=种情况所以将这组数据随机删去两个数，剩下数据的平均数大于4的概率为41287=.故选：D7.在棱长为3的正方体1111ABCD A B C D -中，O 为AC 与BD 的交点，P 为11AD 上一点，且112A P PD =，则过A ，P ，O 三点的平面截正方体所得截面的周长为（）A. B.C.+D.+【答案】D 【解析】【分析】根据正方体的性质结合条件作出过A ，P ，O 三点的平面截正方体所得截面，再求周长即得.【详解】因为112A P PD =，即11113D P A D = ，取11113D H D C =uuuu r uuuu r，连接11,,PH HC A C ，则11//HP AC ，又11//AC AC ，所以//HP AC ，所以,,,,A O C H P 共面，即过A ，P ，O 三点的正方体的截面为ACHP ，由题可知APCH ===，PH =，11A C =，所以过A ，P ，O 三点的平面截正方体所得截面的周长为+.故选：D.8.不等式15e ln 1-≥+x a xx x对任意(1,)x ∈+∞恒成立，则实数a 的取值范围是（）A.(,1e]-∞- B.(2,2e⎤-∞-⎦C.(,4]-∞- D.(,3]-∞-【答案】C 【解析】【分析】分离参数，将15e ln 1-≥+x a x x x 变为41e ,1ln x x xa x x---≤>，然后构造函数，即将不等式恒成立问题转化为求函数的最值问题，利用导数判断函数的单调性，求最值即可.【详解】由不等式15e ln 1-≥+x a xx x 对任意(1,)x ∈+∞恒成立，此时ln 0x >，可得41e ,1ln x x xa x x---≤>恒成立，令41e ,1ln x x x y x x ---=>，从而问题变为求函数41e ,1ln x x x y x x---=>的最小值或范围问题；令1()e x g x x -=-，则1()e 1x g x -'=-，当1x <时，1()e 10x g x -'=-<，当1x >时，1()e 10x g x -'=->，故1()e (1)0x g x x g -=-≥=，即1e x x -≥，所以4411ln 4ln 1e e e e 4ln x x x x x x x x ------=⋅=≥-，()*，当且仅当4ln 1x x -=时取等号，令()4ln 1h x x x =--，则44()1x h x x x-'=-=，当4x <时，()0h x '<，当>4x 时，()0h x '>，故min ()(4)34ln 40h x h ==-<，且当x →+∞时，()4ln 1h x x x =--也会取到正值，即4ln 1x x -=在1x >时有根，即()*等号成立，所以41e 4ln 4ln x x x x x x x---≥--=-，则41e 4ln x x xx---≥-，故4a ≤-，故选：C【点睛】本题考查了不等式的恒成立问题，解法一般是分离参数，构造函数，将恒成立问题转化为求函数最值或范围问题，解答的关键是在于将不等式或函数式进行合理的变式，这里需要根据式子的具体特点进行有针对性的变形，需要一定的技巧.二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分．9.在平面直角坐标系中，圆C 的方程为22210x y y +--=，若直线1y x =-上存在一点M ，使过点M 所作的圆的两条切线相互垂直，则点M 的纵坐标为（）A.1B.C.1- D.【答案】AC 【解析】【分析】首先可根据圆的方程得出圆心与半径，然后根据题意得出点M 、圆心以及两个切点构成正方形，最后根据2MC =以及两点间距离公式即可得出结果.【详解】22210x y y +--=化为标准方程为：()2212x y +-=，圆心()0,1C ，，因为过点M 所作的圆的两条切线相互垂直，所以点M 、圆心以及两个切点构成正方形，2MC =，因为M 在直线1y x =-上，所以可设(),1M a a -，则()22224MCa a =+-=，解得：2a =或0a =，所以()2,1M 或()0,1M -，故点M 的纵坐标为1或1-.故选：AC.10.已知函数()()πsin 0,0,2f x A x A ωϕωϕ⎛⎫=+>><⎪⎝⎭的部分图象如图所示，若将()f x 的图象向右平移()0m m >个单位长度后得到函数()()sin 2g x A x ωϕ=-的图象，则m 的值可以是（）A.π4B.π3C.4π3D.9π4【答案】AD 【解析】【分析】根据函数图象可确定A 和最小正周期T ，由此可得ω，结合π26f ⎛⎫= ⎪⎝⎭可求得ϕ，从而得到()(),f x g x 的解析式，根据()()f x m g x -=可构造方程求得()ππ4m k k =-∈Z ，由此可得m 可能的取值.【详解】由图象可知：2A =，最小正周期5ππ4π126T ⎛⎫=⨯-=⎪⎝⎭，2π2T ω∴==，ππ2sin 263f ϕ⎛⎫⎛⎫∴=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()ππ2π32k k ϕ∴+=+∈Z ，解得：()π2π6k k ϕ=+∈Z ，又π2ϕ<，π6ϕ∴=，()π2sin 26f x x ⎛⎫∴=+ ⎪⎝⎭，()π2sin 23g x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，()()π2sin 226f x m x m g x ⎛⎫-=-+= ⎪⎝⎭ ，()ππ22π63m k k ∴-+=-+∈Z ，解得：()ππ4m k k =-∈Z ，当0k =时，π4m =；当2k =-时，9π4m =.故选：AD.11.大衍数列来源于《乾坤谱》中对易传“大衍之数五十”的推论，主要用于解释中国传统文化中的太极衍生原理，数列中的每一项都代表太极衍生过程．已知大衍数列{}n a 满足10a =，11,,,n n na n n a a n n +++⎧=⎨+⎩为奇数为偶数，则（）A.34a =B.221n n a a n +=++C.221,,2,2n n n a n n ⎧-⎪⎪=⎨⎪⎪⎩为奇数为偶数D.数列(){}1nn a -的前2n 项和的最小值为2【答案】ACD 【解析】【分析】当2n k =时，2122k k a a k +=+,当21n k =-时，2212k k a a k -=+,联立可得21214k k a a k +--=，利用累加法可得22122k a k k +=+，从而可求得221,2,2n n n a n n ⎧-⎪⎪=⎨⎪⎪⎩为奇数为偶数，在逐项判断即可.【详解】令k *∈N 且1k ≥，当2n k =时，2122k k a a k +=+①；当21n k =-时，221212112k k k a a k a k --=+-+=+②，由①②联立得21214k k a a k +--=.所以315321214,8,,4k k a a a a a a k +--=-=-= ，累加可得()22112114844222k k k k a a a k k k+++-==+++=⨯=+ .令21k n +=(3n ≥且为奇数)，得212n n a -=.当1n =时10a =满足上式，所以当n 为奇数时，212n n a -=.当n 为奇数时，()21112n nn aa n ++=++=，所以22n n a =，其中n 为偶数.所以221,2,2n n n a n n ⎧-⎪⎪=⎨⎪⎪⎩为奇数为偶数，故C 正确.所以233142a -==，故A 正确.当n 为偶数时，()22222222n nn n aa n ++-=-=+，故B 错误.因为()()222212211222n n n n a a n ----=-=，所以(){}1nna -的前2n 项和21234212nn nSa a a a a a -=-+-++-+()()121222212n n n nn +=⨯+⨯++⨯=⨯=+ ，令()1n c n n =+，因为数列{}n c 是递增数列，所以{}n c 的最小项为1122c =⨯=，故数列(){}1nna -的前2n 项和的最小值为2，故D 正确.故选:ACD.【点睛】数列求和的方法技巧(1)倒序相加：用于等差数列、与二项式系数、对称性相关联的数列的求和．(2)错位相减：用于等差数列与等比数列的积数列的求和．(3)分组求和：用于若干个等差或等比数列的和或差数列的求和．12.已知抛物线()220y px p =>的准线为:2l x =-，焦点为F ，点(),P P P x y 是抛物线上的动点，直线1l 的方程为220x y -+=，过点P 分别作PA l ⊥，垂足为A ，1PB l ⊥，垂足为B ，则（）A.点F 到直线1l 的距离为655B.2p x +=C.221p px y ++的最小值为1 D.PA PB +的最小值为655【答案】ABD 【解析】【分析】对于A ，用点到直线的距离公式即可判断；对于B ，利用抛物线的定义即可判断；对于C ，利用基本不等式即可判断；对于D ，利用抛物线的定义可得到PA PB PF PB BF +=+≥，接着求出BF 的最小值即可【详解】由抛物线()220y px p =>的准线为:2l x =-可得抛物线方程为28y x =，焦点为()2,0F ，对于A ，点F 到直线1l的距离为655d ==，故A 正确；对于B ，因为(),P P P x y 在抛物线上，所以利用抛物线的定义可得2P PF x =+，即2p x +=，故B 正确；对于C ，因为(),P P P x y 在抛物线上，所以28,0p p p y x x =≥，所以211221144111818888p p p pp p p p x x x x y x x x +=+=+=+++++1788≥=，当且仅当38p x =时，取等号，故C 错误；对于D ，由抛物线的定义可得PA PF =，故PA PB PF PB BF +=+≥，当且仅当,,P B F 三点共线时，取等号，此时1BF l ⊥，由选项A 可得点F 到直线1l的距离为5d =，故PA PB +的最小值为655，故D正确，故选：ABD三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.已知sin 3cos 0αα+=，则tan 2α=______．【答案】34##0.75【解析】【分析】利用已知等式可求得tan α，由二倍角正切公式可求得结果.【详解】由sin 3cos 0αα+=得：sin 3cos αα=-，sin tan 3cos ααα∴==-，22tan 63tan 21tan 194ααα-∴===--.故答案为：34.14.函数()()ln 211f x x x =++-的图象在点()()0,0f 处的切线方程是______．【答案】310x y --=【解析】【分析】求导函数，可得切线斜率，求出切点坐标，运用点斜式方程，即可求出函数()f x 的图象在点()()0,0f 处的切线方程.【详解】()()ln 211f x x x =++-，∴2()121f x x '=++，则(0)213f '=+=，又()ln 201(0)011f =⨯++-=-Q ，∴切点为()0,1-，∴函数()()ln 211f x x x =++-的图象在点()0,1-处的切线方程是()130,y x +=-即310x y --=.故答案为：310x y --=.15.2名老师带着8名学生去参加数学建模比赛，先要选4人站成一排拍照，且2名老师同时参加拍照时两人不能相邻．则2名老师至少有1人参加拍照的排列方法有______种．（用数字作答）【答案】3024【解析】【分析】分两种情况讨论：①若只有1名老师参与拍照；②若2名老师都拍照.利用计数原理、插空法结合分类加法计数原理可求得结果.【详解】分以下两种情况讨论：①若只有1名老师参与拍照，则只选3名学生拍照，此时共有134284C C A 2688=种排列方法；②若2名老师都拍照，则只选2名学生拍照，先将学生排序，然后将2名老师插入2名学生所形成的空位中，此时，共有222823C A A 336=种排列方法.综上所述，共有26883363024+=种排列方法.故答案为：3024.16.已知A ，B 是双曲线22:124x y C -=上的两个动点，动点P 满足0AP AB += ，O 为坐标原点，直线OA 与直线OB 斜率之积为2，若平面内存在两定点1F 、2F ，使得12PF PF -为定值，则该定值为______．【答案】【解析】【分析】设()()1122(,),,,,P x y A x y B x y ,根据0AP AB += 得到122x x x =-，122y y y =-，根据点A ,B 在双曲线22124x y -=上则22212212416,248y x y x -=-=，代入计算得22220x y -=，根据双曲线定义即可得到12PF PF -为定值.【详解】设()()1122(,),,,,P x y A x y B x y ,则由0AP AB += ,得()()()112121,,0,0x x y y x x y y --+--=，则122x x x =-，122y y y =-，点A ,B 在双曲线22124x y -=上,222211221,12424x y x y ∴-=-=，则22212212416,248y x y x -=-=()()222212122222x y x x y y ∴-=---()()()2222121212121212828442042x x x x y y y y x x y y =+--+-=--，设,OA OB k k 分别为直线OA ,OB 的斜率,根据题意,可知2OA OBk k ⋅=,即12122y y x x ⋅=，121220y y x x ∴-=22220x y ∴-=，即2211020x y -=P ∴在双曲线2211020x y -=上,设该双曲线的左、右焦点分别为12,F F ，由双曲线定义可知||12||||PF PF -为定值，该定值为.故答案为：.四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.在ABC 中，角,,A B C 的对边分别是,,a b c ，()()()0a c a c b b a -++-=．（1）求C ；（2）若c =ABC 的面积是2，求ABC 的周长．【答案】（1）π3.（2）.【解析】【分析】（1）将()()()0a c a c b b a -++-=化为222a b c ab +-=，由余弦定理即可求得角C .（2）根据三角形面积求得2ab =，再利用余弦定理求得3a b +=，即可求得答案.【小问1详解】由题意在ABC 中，()()()0a c a c b b a -++-=，即222a b c ab +-=，故2221cos 22a b c C ab +-==，由于(0,π)C ∈，所以π3C =.【小问2详解】由题意ABC 的面积是32，π3C =，即133sin ,2242ABC S ab C ab ab ===∴= ，由c =2222cos c a b ab C =+-得2223()6,3a b ab a b a b =+-=+-∴+=，故ABC 的周长为a b c ++=.18.已知数列{}n a 满足，()*1232311112222n n a a a a n n +++⋅⋅⋅+=∈N ．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若()21n n b n a =-，记n S 为数列{}n b 的前n 项和，求n S ，并证明：当2n ≥时，6n S >．【答案】（1）2nn a =（2）()12326n n S n +=-+【解析】【分析】(1)利用递推式相减得出2n n a =，并验证首项符合通项，最后得出答案；(2)错位相减法求前n 项和【小问1详解】1232311112222n n a a a a n ++++= ，①则()12312311111122222n n a a a a n n --++++=-≥ ，②①-②得11(2)2n n a n =≥，则2(2)n n a n =≥，当n =1时，由①得1112a =，∴1122a ==，∴2n n a =.【小问2详解】易得()212nn b n =-，()123123512222n n S n =⋅+⋅+∴+-⋅+ ，①()21341232522212n n S n +=⋅+⋅+⋅+∴+- ，②②-①得()()34112122222n n n S n ++=--++++- ()()21228212n n n +++=----()12326n n +=-+，故()12326n n S n +=-+，当2n ≥时，()12320n n +->6n S ∴>19.如图，四棱锥P ABCD -中，平面APD ⊥平面ABCD ，APD △为正三角形，底面ABCD 为等腰梯形，AB //CD ，224AB CD BC ===．（1）求证：BD ⊥平面APD ；（2）若点F 为线段PB 上靠近点P 的三等分点，求二面角F AD P --的大小．【答案】（1）证明见解析；（2）π4【解析】【分析】（1）先用几何关系证明π3A ∠=，然后根据余弦定理求出BD ，结合勾股定理可得BD AD ⊥，最后利用面面垂直的性质定理证明；（2）过P 作PG AD ⊥，垂足为G ，结合面面垂直的性质先说明可以在G 处为原点建系，然后利用空间向量求二面角的大小.【小问1详解】取AB 中点E ，连接CE ，根据梯形性质和2AB CD =可知，CD //AE ，且CD AE =，于是四边形ADCE 为平行四边形，故2CE AD BE CB ====，则CEB 为等边三角形，故π3A CEB ∠=∠=，在ABD △中，由余弦定理，222π2cos 1648123BD AB AD AB AD =+-⨯⨯=+-=，故BD =，注意到22212416BD AD AB +=+==，由勾股定理，π2ADB ∠=，即BD AD ⊥，由平面APD ⊥平面ABCD ，平面APD 平面ABCD AD =，BD ⊂平面ABCD ，根据面面垂直的性质定理可得，BD ⊥平面APD .【小问2详解】过P 作PG AD ⊥，垂足为G ，连接EG ，由平面APD ⊥平面ABCD ，平面APD 平面ABCD AD =，PG ⊂平面PAD ，根据面面垂直的性质定理，PG ⊥平面ABCD ，APD △为正三角形，PG AD ⊥，故AG GD =（三线合一），由AE EB =和中位线性质，GE //BD ，由（1）知，BD ⊥平面APD ，故GE ⊥平面APD ，于是,,GA GE GP 两两垂直，故以G 为原点，,,GA GE GP 所在直线分别为,,x y z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系.由（1）知，BD ⊥平面APD ，又BD //y 轴，故可取(0,1,0)m =为平面APD的法向量，又P，(B -，根据题意，2BF FP = ，设(,,)F x y z，则()()1,2,,x y z x y z +-=--，解得12323,,333F ⎛- ⎝⎭，又(1,0,0)A ，(1,0,0)D -，(2,0,0)DA = ，42323,,333FA ⎛=-- ⎝⎭ ，设平面FAD 的法向量(,,)n a b c = ，由00n DA n FA ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ ，即0423230333a a =⎧⎪⎨--=⎪⎩，于是(0,1,1)n =- 为平面FAD 的法向量，故2cos ,2m n m n m n⋅=== ，二面角大小的范围是[]0,π，结合图形可知是锐二面角，故二面角F AD P --的大小为π420.为落实体育总局和教育部发布的《关于深化体教融合，促进青少年健康发展的意见》，某校组织学生参加100米短跑训练．在某次短跑测试中，抽取100名女生作为样本，统计她们的成绩（单位：秒），整理得到如图所示的频率分布直方图（每组区间包含左端点，不包含右端点）．（1）估计样本中女生短跑成绩的平均数；（同一组的数据用该组区间的中点值为代表）（2）由频率分布直方图，可以认为该校女生的短跑成绩X 服从正态分布()2,N μσ，其中μ近似为女生短跑平均成绩x ，2σ近似为样本方差2s ，经计算得，2 6.92s =，若从该校女生中随机抽取10人，记其中短跑成绩在[]12.14,22.66以外的人数为Y ，求()1P Y ≥．2.63≈，随机变量X 服从正态分布()2,N μσ，则()0.6827P X μσμσ-<≤+=，()220.9545P X μσμσ-<<+=，()330.9974P X μσμσ-<<+=，100.68270.0220≈，100.95450.6277≈，100.99740.9743≈．【答案】（1）17.4（2）0.3723【解析】【分析】(1)结合频率分布直方图中求平均数公式,即可求解.(2)根据已知条件,可知，217.4, 6.92μσ==，即可求出212.14,222.66μσμσ-=+=，结合正态分布的对称性以及二项分布的概率公式,即可求解.【小问1详解】估计样本中女生短跑成绩的平均数为:()120.02140.06160.14180.18200.05220.03240.02217.4⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯⨯=；【小问2详解】该校女生短跑成绩X 服从正态分布()17.4,6.92N ,由题可知217.4, 6.92μσ==， 2.63σ=≈，则212.14,222.66μσμσ-=+=，故该校女生短跑成绩在[]12.14,22.66以外的概率为：1(12.1422.66)10.95450.0455P X -≤≤=-=，由题意可得,~(10,0.0455)Y B ,10(1)1(0)10.954510.62770.3723P Y P Y ≥=-==-≈-=.21.已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的左焦点为F ，右顶点为A ，离心率为22，B 为椭圆C 上一动点，FAB 面积的最大值为212+．（1）求椭圆C 的方程；（2）经过F 且不垂直于坐标轴的直线l 与C 交于M ，N 两点，x 轴上点P 满足PM PN =，若MN FP λ=，求λ的值．【答案】（1）2212x y +=；（2）λ=.【解析】【分析】（1）由题意可得22c e a ==，121()22a c b ++=，再结合222a b c =+可求出,a b ，从而可求出椭圆的方程；（2）由题意设直线MN 为1x ty =-（0t ≠），1122(,),(,)M x y N x y ，设0(,0)P x ，将直线方程代入椭圆方程中化简利用根与系数的关系，然后由PM PN =可得0212x t =-+，再根据MN FP λ=可求得结果.【小问1详解】因为椭圆的离心率为2，所以2c e a ==，因为FAB面积的最大值为12+，所以121()22a cb ++=，因为222a bc =+，所以解得1a b c ===，所以椭圆C 的方程为2212x y +=；【小问2详解】(1,0)F -，设直线MN 为1x ty =-（0t ≠），1122(,),(,)M x y N x y ，不妨设12y y >，设0(,0)P x ，由22112x ty x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩，得22(2)210t y ty +--=，则12122221,22t y y y y t t -+==++，所以12y y -==，因为PM PN =，所以2222101202()()x x y x x y -+=-+，所以222212102012220x x x x x x y y --++-=，所以12120121212()()2()()()0x x x x x x x y y y y +---+-+=，所以12120121212(11)()2()()()0ty ty ty ty x ty ty y y y y -+----+-+=，因为120y y -≠，所以12012(2)2()0t ty ty x t y y +--++=，所以20222222022t t t x t t t ⎛⎫--+= ⎪++⎝⎭，所以20222222022t x t t --+=++，解得0212x t =-+，因为MN FP λ=，所以222MN FP λ=，0λ>，所以222212120()()(1)x x y y x λ-+-=+，222212120()()(1)ty ty y y x λ-+-=+2222120(1)()(1)t y y x λ+-=+，所以22222222288(1)(1)(2)(2)t t t t t λ+++=++，化简得28λ=，解得λ=±，因为0λ>，所以λ=22.已知函数()()1ln R 1x f x x m m x -=-⋅∈+．（1）当1m =时，判断函数()f x 的单调性；（2）当1x >时，()0f x >恒成立，求实数m 的取值范围．【答案】（1）()f x 在()0,∞+上是单调递增的（2）2m ≤【解析】【分析】（1）对()f x 求导，从而确实()f x '为正及()f x 的单调性；（2）令()()()1(m )ln 1R x x x m x g =+--∈，然后分2m ≤和m>2两种情况讨论()g x 的单调性及最值，即可得答案.【小问1详解】当1m =时，()1ln 1x f x x x -=-+，定义域为()0,∞+()()()()()2222212111121x x x f x x x x x x x +-+'=-==+++，所以()0f x ¢>，所以()f x 在()0,∞+上是单调递增的.【小问2详解】当1x >时，()()1ln R 1x f x x m m x -=-⋅∈+，()0f x >等价于()()()()1ln 1g m x x x m x R =+--∈，则()0g x >，1g ()ln 1x x m x '=++-，令()1ln 1m h x x x =++-，则22111()x h x x x x-'=-=，当1x >时，()0h x '>，则()g x '在()1,+∞上是单调递增的，则()(1)2g x g m ''>=-①当2m ≤时，()0g x '>，()g x 在()1,+∞上是单调递增的，所以()(1)0g x g >=，满足题意．②当m>2时，(1)20g m '=-<，(e )e 1e 10m m m g m m --'=++-=+>，所以0(1,e )mx ∃∈，使00()g x '=，因为()g x '在()1,+∞上是单调递增的所以当0(1,)x x ∈时，()0g x '<，所以()g x 在0(1,)x 上是单调递减的，又(1)0g =，即得当0(1,)x x ∈时，()(1)0g x g <=，不满足题意．综上①②可知：实数m 的取值范围2m ≤.。
_数学丨2023届高考全国甲卷乙卷全真模拟(三)数学试卷及答案
2023年高考数学全真模拟卷三（全国卷）理科数学（考试时间：120分钟；试卷满分：150分）注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题）一、单选题（本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）1．已知集合{}31A x x =-<，{B y y ==，则A B = （）A ．∅B ．[)4,+∞C ．()2,+∞D ．[)0,22．某班40人一次外语测试的成绩如下表：分数727375767880838791人数1234108642其中中位数为（）A ．78B ．80C ．79D ．78和893．若复数z 满足()()1i i 4z -+=，其中i 为虚数单位，则z 的虚部为（）A ．2B ．2-C ．1D ．1-4．双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>，焦点到渐近线的距离为1，则双曲线方程为（）A ．2214y x -=B ．2214x y -=C ．22123x y -=D ．22132x y -=5．“天圆地方”观反映了中国古代科学对宇宙的认识，后来发展成为中国传统文化的重要思想.中国古人将琮、璧、圭、璋、璜、琥六种玉制礼器谓之“六瑞”，玉琮内圆外方，表示天和地，中间的穿孔表示天地之间的沟通，可以说是中国古代世界观很好的象征物.下面是一玉琮图及其三视图，设规格如图所示（单位：cm ），则三视图中A ，B 两点在实物中对应的两点在实物玉璧上的最小距离约为（）（3π≈ 1.4≈）A ．8.4B ．9.8C ．10.4D ．11.26．已知定义在R 上的函数()21x mf x -=-（m 为实数）是偶函数，记0.5log 3a =，()2log 5b f =，()c f m =，则a 、b 、c 的大小关系为（）A ．a b c<<B ．a c b<<C ．c<a<bD ．c b a<<7．若某一几何体的三视图如图所示，则该几何体是（）A ．三棱柱B ．四棱柱C ．五棱柱D ．六棱柱8．已知,a b ∈R ，则“1ab ≥”是“222a b +≥”的（）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件9．已知△ABC 满足22AB BA CA =⋅，则△ABC 的形状为（）A ．直角三角形B ．等边三角形C ．等腰直角三角形D ．等腰三角形10．在新型冠状病毒肺炎疫情联防联控期间，社区有5名医务人员到某学校的高一、高二、高三3个年级协助防控和宣传工作.若每个年级至少分配1名医务人员，则不同的分配方法有（）A ．25种B ．50种C ．300种D ．150种11．已知函数()2tan sin tan 1xf x x x =++，则下列结论正确的是（）A ．()f x 在区间ππ,33⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递减B ．()f x 在区间π0,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上有极小值C ．设()()2g x f x =-在区间ππ,22⎛⎫- ⎪⎝⎭上的最大值为M ，最小值为m ，则4M m +=D ．()f x 在区间ππ,22⎛⎫- ⎪⎝⎭内有且只有一个零点12．已知函数()f x 的定义域为R ，且满足()()110f x f x -+-=，()()8f x f x +=，()11f =，()31f =-，()()21,021,24x a x f x x b x ⎧-++<≤⎪=⎨+-<≤⎪⎩，给出下列结论：①1a =-，3b =-；②()20231f =；③当[]4,6x ∈-时，()0f x <的解集为()()2,02,4- ；④若函数()f x 的图象与直线y mx m =-在y 轴右侧有3个交点，则实数m 的取值范围是111,16264⎛⎫⎛⎫--⋂- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.其中正确结论的个数为（）A ．4B ．3C ．2D ．1第II 卷（非选择题）二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13．函数()12f x x x=+在1x =处切线的倾斜角为_______.14．已知平面向量(2,)a x =-，b = ，且()a b b -⊥，实数x 的值为_____．15．设1F 、2F 分别为椭圆()222210x y a b a b+=>>的左右焦点，与直线y b =相切的圆2F 交椭圆于点E ，且E 是直线1EF 与圆2F 相切的切点，则椭圆焦距与长轴长之比为________．16．已知函数()ln f x ax x x =-与函数()e 1xg x =-的图象上恰有两对关于x 轴对称的点,则实数a 的取值范围为__________.三、解答题（本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答）（一）必考题：共60分17．已知公差不为0的等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，2S 、4S 、55S +成等差数列，且2a 、7a 、22a 成等比数列．(1)求{}n a 的通项公式；(2)若11n n n b a a +=，数列{}n b 的前n 项和为n T ，证明：16n T <．18．为促进新能源汽车的推广，某市逐渐加大充电基础设施的建设，该市统计了近五年新能源汽车充电站的数量（单位：个），得到如下表格：年份编号x 12345年份20162017201820192020新能源汽车充电站数量y /个37104147196226（1）已知可用线性回归模型拟合y 与x 的关系，请用相关系数加以说明；（2）求y 关于x 的线性回归方程，并预测2024年该市新能源汽车充电站的数量．参考数据：51710i i y ==∑，512600i i i x y ==∑，()521149.89i i yy =-=∑ 3.16≈．参考公式：相关系数()()niix x yyr --=∑回归方程ˆˆˆybx a =+中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为；()()()121ˆniii nii x x y y b x x ==--=-∑∑，ˆˆay bx =-．19．如图，在四棱锥P －ABCD 中，AB CD ∥，AB ⊥BC ，122BC CD PA PD AB =====，PC =E 为AB 的中点．(1)证明：BD ⊥平面APD ；(2)求平面APD 和平面CEP 的夹角的余弦值．20．已知抛物线()2:20C x pyp =>的焦点为F ，准线为l ，点P 是直线1:2l y x =-上一动点，直线l 与直线1l 交于点Q ，QF =(1)求抛物线C 的方程；(2)过点P 作抛物线C 的两条切线,PA PB ，切点为,A B ，且95FA FB -≤⋅≤，求PAB 面积的取值范围.21．已知01a <<，函数()1x f x x a -=+，()1log a g x x x =++.(1)若()e e g =，求函数()f x 的极小值；(2)若函数()()y f x g x =-存在唯一的零点，求a 的取值范围.（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为cos sin x t y t αα⎧=⎪⎨=⎪⎩（t 为参数）．以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立坐标系，曲线C 的极坐标方程为2853cos 2ρθ=-，直线l 与曲线C 相交于A ，B 两点，)M ．(1)求曲线C 的直角坐标方程；(2)若2AM MB =，求直线l 的斜率．[选修4-5：不等式选讲]23．已知：()1f x x x m =+--，0m >．(1)若2m =，求不等式()2f x >的解集；(2)()()g x f x x m =--，若()g x 的图象与x 轴围成的三角形面积不大于54，求m 的取值范围．2023年高考数学全真模拟卷三（全国卷）理科数学（考试时间：120分钟；试卷满分：150分）注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题）一、单选题（本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）1．已知集合{}31A x x =-<，{B y y ==，则A B = （）A ．∅B ．[)4,+∞C ．()2,+∞D ．[)0,2【答案】C【分析】根据一元一次不等式可解得集合A ，再根据函数值域求法可求得集合B ，由交集运算即可得出结果.【详解】由题意可得{}2A x x =>，由函数值域可得{}0B y y =≥，所以{}2A B x x ⋂=>．故选：C 2．某班40人一次外语测试的成绩如下表：分数727375767880838791人数1234108642其中中位数为（）A ．78B ．80C ．79D ．78和89【答案】C【分析】根据中位数的概念即可求得.【详解】解：由题意得：所有成绩从小到大排列，第二十位是78，第二十一位是80，则中位数为7880792+=.故选：C 3．若复数z 满足()()1i i 4z -+=，其中i 为虚数单位，则z 的虚部为（）A ．2B ．2-C ．1D ．1-【答案】C【分析】根据复数的除法运算与减法运算得2i z =+，进而根据复数的概念求解即可.【详解】解：由题意可知()()()41i 4i i 2i 1i 1i 1i z +=-=-=+--+，所以，z 的虚部为1.故选：C.4．双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>，焦点到渐近线的距离为1，则双曲线方程为（）A ．2214y x -=B ．2214x y -=C ．22123x y -=D ．22132x y -=【答案】B【分析】由离心率可得12b a =，从而可得渐近线方程，根据焦点到渐近线的距离为1可得c ，从而可求a ，故可得双曲线的方程.【详解】由题可知c a =，222514b e a =+=，得12b a =，则渐近线方程为20x y ±=，焦点到渐近线的距离为1，1=，可解得c =，所以2a =，由222c a b =+得1b =.所以双曲线方程为2214x y -=.故选:B.5．“天圆地方”观反映了中国古代科学对宇宙的认识，后来发展成为中国传统文化的重要思想.中国古人将琮、璧、圭、璋、璜、琥六种玉制礼器谓之“六瑞”，玉琮内圆外方，表示天和地，中间的穿孔表示天地之间的沟通，可以说是中国古代世界观很好的象征物.下面是一玉琮图及其三视图，设规格如图所示（单位：cm ），则三视图中A ，B 两点在实物中对应的两点在实物玉璧上的最小距离约为（）（3π≈ 1.4≈）A ．8.4B ．9.8C ．10.4D ．11.2【答案】A【分析】玉琮的中空部分看成一圆柱，A ，B 两点可看成是圆柱轴截面所对应矩形的对角线的端点，将圆柱侧面展开，线段AB 的长就是沿该圆柱表面由A 到B 的最短距离．【详解】本题考查传统文化与圆柱的侧面展开图.由题意，将玉琮的中空部分看成一圆柱，A ，B 两点可看成是圆柱轴截面所对应矩形的对角线的端点，现沿该圆柱表面由A到B ，如图，将圆柱侧面展开，可知()min 8.4AB =≈.故选：A ．6．已知定义在R 上的函数()21x mf x -=-（m 为实数）是偶函数，记0.5log 3a =，()2log 5b f =，()c f m =，则a 、b 、c 的大小关系为（）A ．a b c <<B ．a c b<<C ．c<a<bD ．c b a<<【答案】B【分析】由偶函数的性质可得m 的值，即可得函数()f x 的解析式，分析函数单调性，结合对数的运算性质比较大小.【详解】()21x mf x -=-（m 为实数）是R 上的偶函数，∴()()f x f x -=，即2121x m x m ----=-，∴--=-x m x m ，即()()22x m x m --=-，∴0mx =，则0m =，此时()21xf x =-，0.5log 30a =<，()2log 540b f ==>，()(0)0c f m f ===，则a c b <<．故选：B7．若某一几何体的三视图如图所示，则该几何体是（）A ．三棱柱B ．四棱柱C ．五棱柱D ．六棱柱【答案】C【分析】根据三视图还原出立体图形即可得到答案.【详解】根据其三视图还原出其立体图形如下图所示，易得其为五棱柱，故选：C.8．已知,a b ∈R ，则“1ab ≥”是“222a b +≥”的（）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】A【分析】根据充分条件、必要条件及不等式的性质可得解.【详解】由22||12||||2ab a b a b ≥⇒+≥≥，而222a b +≥不一定能得到1ab ≥，例如，0,2a b ==，所以“1ab ≥”是“222a b +≥”的充分而不必要条件.故选：A 9．已知△ABC 满足22AB BA CA =⋅，则△ABC 的形状为（）A ．直角三角形B ．等边三角形C ．等腰直角三角形D ．等腰三角形【答案】D【分析】根据已知得到22cos c bc A =，利用正弦定理可求得sin 2sin cos =C B A ，结合三角形内角和为π以及两角和的正弦公式可求得in 0()s A B -=，即可确定三角形形状.【详解】解：根据22AB BA CA =⋅得到：22cos c bc A =，由正弦定理2sin sin b cR B C==，可得2sin 2sin sin cos C B C A =，又C 为三角形的内角，得到sin 0C ≠，可得sin 2sin cos =C B A ，又[]sin sin ()sin()C A B A B π=-+=+，∴sin()sin cos cos sin 2sin cos A B A B A B B A +=+=，即sin cos cos sin 0A B A B -=，∴in 0()s A B -=，且A 和B 都为三角形的内角，∴A B =，则ABC 的形状为等腰三角形．故选：D ．10．在新型冠状病毒肺炎疫情联防联控期间，社区有5名医务人员到某学校的高一、高二、高三3个年级协助防控和宣传工作.若每个年级至少分配1名医务人员，则不同的分配方法有（）A ．25种B ．50种C ．300种D ．150种【答案】D【分析】首先分析将5个人分为三小组且每小组至少有一人，则可能分法有：(2,2,1),(3,1,1)两种情况，每种情况利用分步计数原理计算情况数，最后相加即可.【详解】当5个人分为2，2，1三小组，分别来自3个年级，共有2213531322C C C A 90A ⋅=种；②当5个人分为3，1，1三小组时，分别来自3个年级，共有3113521322C C C A 60A ⋅=种.综上，选法共有9060150+=.故选:D.11．已知函数()2tan sin tan 1xf x x x =++，则下列结论正确的是（）A ．()f x 在区间ππ,33⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递减B ．()f x 在区间π0,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上有极小值C ．设()()2g x f x =-在区间ππ,22⎛⎫- ⎪⎝⎭上的最大值为M ，最小值为m ，则4M m +=D ．()f x 在区间ππ,22⎛⎫- ⎪⎝⎭内有且只有一个零点【答案】D【分析】由商数关系化简函数，结合导数法可得函数性质及图象，即可逐个判断.【详解】因为()22sin tan cos sin sin tan 1sin 1cos xx x f x x x x x x =+=++⎛⎫+ ⎪⎝⎭πsin sin cos π,2x x x x k k ⎛⎫=+≠+∈ ⎪⎝⎭Z ，所以()()()22cos cos 12cos 1cos 1f x x x x x '=+-=-⋅+．当ππ,22x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时，令()0f x '=，解得π3x =±，则当x 变化时，()f x '，()f x 的变化情况如下表所示．x ππ,23⎛⎫-- ⎪⎝⎭π3-ππ,33⎛⎫- ⎪⎝⎭π3ππ,32⎛⎫ ⎪⎝⎭()f x '－0＋0－所以()f x 在区间ππ,22⎛⎫- ⎪⎝⎭上的图象如图所示．对A ，()f x 在区间ππ,33⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增，A 错；对B ，()f x 在区间π0,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上有极大值，无极小值，B 错；对C ，()()2g x f x =-在区间ππ,22⎛⎫- ⎪⎝⎭上的最大值为24M =-，最小值为24m =--，4M m +=-，C 错；对D ，()f x 在区间ππ,22⎛⎫- ⎪⎝⎭内有且只有一个零点，D 对.故选：D.12．已知函数()f x 的定义域为R ，且满足()()110f x f x -+-=，()()8f x f x +=，()11f =，()31f =-，()()21,021,24x a x f x x b x ⎧-++<≤⎪=⎨+-<≤⎪⎩，给出下列结论：①1a =-，3b =-；②()20231f =；③当[]4,6x ∈-时，()0f x <的解集为()()2,02,4- ；④若函数()f x 的图象与直线y mx m =-在y 轴右侧有3个交点，则实数m 的取值范围是111,16264⎛⎫⎛⎫--⋂- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.其中正确结论的个数为（）A ．4B ．3C ．2D ．1【答案】C【分析】由()11f =，()31f =-解出,a b 的值可判断①；由周期和奇偶函数的性质计算()20231f =-可判断②；作出函数()f x 在[]0,4上的图象，根据图象可判断③；讨论当0m >和0m <，方程()mx m f x -=的解的个数可判断④.【详解】因为()()110f x f x -+-=，所以()()f x f x -=-，所以函数()f x 为奇函数，()00f =.因为()()8f x f x +=，所以()f x 的周期为8.又()()21111f a =-++=，所以10a +=，所以1a =-，()3311f b =+-=-，所以3b =-，故①正确.因为，()()()()202325381111f f f f =⨯-=-=-=-，故②错误.易知()()211,0231,24x x f x x x ⎧--+<≤⎪=⎨--<≤⎪⎩，作出函数()f x 在[]0,4上的图象，根据函数()f x 为奇函数，及其周期为8，得到函数()f x 在R 上的图象，如图所示，由()f x 的图象知，当[]4,6x ∈-时，()0f x <的解集为()()2,02,4- ，故③正确.由题意，知直线()1y mx m m x =-=-恒过点()1,0，与函数()f x 的图象在y 轴右侧有3个交点根据图象可知当0m >时，应有51m m ⨯-<，即14m <，且同时满足()mx m f x -=，[]8,10x ∈无解，即当[]8,10x ∈时，()()()108f x x x =--，()()108x x mx m --=-无解，所以Δ0<，解得1616m -<<+所以1164m -<<.当0m <时，应有31m m ⨯->-，即12m >-，且同时满足()mx m f x -=，[]6,8x ∈无解，即当[]6,8x ∈时，()()()68f x x x =--，()()58x x mx m --=-无解，所以Δ0<，解得1212m --<<-+1122m -<<-+综上，1164m -<或1122m -<<-+.故选：C.第II 卷（非选择题）二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13．函数()12f x x x=+在1x =处切线的倾斜角为_______.【答案】45【分析】求导，求出斜率，进而可得倾斜角.【详解】()212f x x '=-+,则()11211f '=-+=，即函数()12f x x x=+在1x =处切线的斜率为1，则倾斜角为45 故答案为：45 14．已知平面向量(2,)a x =-，b = ，且()a b b -⊥，实数x 的值为_____．【答案】【分析】表示出(3,a b x -=- ，其与b =数量积为0，可算得出x .【详解】解：因为(2,)a x =-，b = ，所以(3,a b x -=-又()a b b -⊥，则()30a b b x -⋅=-= 故x =故答案为：15．设1F 、2F 分别为椭圆()222210x y a b a b+=>>的左右焦点，与直线y b =相切的圆2F 交椭圆于点E ，且E 是直线1EF 与圆2F 相切的切点，则椭圆焦距与长轴长之比为________．【答案】3【分析】根据题意可得12EF EF ⊥，利用椭圆性质可得()()22222a b b c -+=，结合222a b c =+，即可求得22c a .【详解】如图所示，连接2EF ，易得12EF EF ⊥，圆2F 的半径r b =，所以2EF b =，而122EF EF a +=，所以12EF a b =-，122F F c =，所以()()22222a b b c -+=，且有222a b c =+，化简可得23a b =，所以()22249a a c =-，所以2259a c =，可得22c a =．故答案为：16．已知函数()ln f x ax x x =-与函数()e 1xg x =-的图象上恰有两对关于x 轴对称的点,则实数a 的取值范围为__________.【答案】(),1e -∞-【分析】图象恰有两对关于x 轴对称的点,即0x ∃>,使得()()f x g x -=,即ln e 1xax x x -+=-有两解,对等式全分离,构造()ln e 1x x x h x x-+=,求导求单调性,求出值域,对图象进行判断,即可得出a 的取值范围.【详解】因为函数()f x 与()g x 的图象上恰有两对关于x 轴对称的点,所以0x >时()()f x g x -=有两解,即ln e 1x ax x x -+=-有两解,所以ln e 1x x x a x-+=有两解,令()ln e 1x x x h x x -+=,则()()()2e 11x x h x x --'=,所以当()0,1x ∈时,()0h x '>,函数()h x 单调递增;当()1,x ∈+∞时,()0h x '<,函数()h x 单调递减,所以()h x 在1x =处取得极大值,()11e h =-,且()0,1x ∈时,()h x 的值域为(),1e -∞-;()1,x ∈+∞时,()h x 的值域为(),1e -∞-,因此ln e 1x x x a x-+=有两解时,实数a 的取值范围为(),1e -∞-.故答案为:(),1e -∞-三、解答题（本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答）（一）必考题：共60分17．已知公差不为0的等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，2S 、4S 、55S +成等差数列，且2a 、7a 、22a 成等比数列．(1)求{}n a 的通项公式；(2)若11n n n b a a +=，数列{}n b 的前n 项和为n T ，证明：16n T <．【答案】(1)21n a n =+(2)证明见解析【分析】（1）公式法列方程组解决即可；（2）运用裂项相消解决即可.【详解】（1）由题知，设{}n a 的公差为d ，由题意得42527222250S S S a a a d =++⎧⎪=⎨⎪≠⎩，即11121112(46)(2)(510)5(6)()(21)0a d a d a d a d a d a d d +=++++⎧⎪+=++⎨⎪≠⎩，解得132a d =⎧⎨=⎩，所以1(1)3(1)221n a a n d n n =+-=+-⨯=+，所以{}n a 的通项公式为21n a n =+.（2）证明：由（1）得21n a n =+，所以111111(21)(23)22123n n n b a a n n n n +⎛⎫===- ⎪++++⎝⎭，所以1111111111123557212323236n T n n n ⎛⎫⎛⎫=-+-+⋅⋅⋅+-=-<⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭．18．为促进新能源汽车的推广，某市逐渐加大充电基础设施的建设，该市统计了近五年新能源汽车充电站的数量（单位：个），得到如下表格：年份编号x 12345年份20162017201820192020新能源汽车充电站数量y /个37104147196226（1）已知可用线性回归模型拟合y 与x 的关系，请用相关系数加以说明；（2）求y 关于x 的线性回归方程，并预测2024年该市新能源汽车充电站的数量．参考数据：51710i i y ==∑，512600i i i x y ==∑，()521149.89i iy y =-=∑ 3.16≈．参考公式：相关系数()()niix x yyr --=∑回归方程ˆˆˆybx a =+中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为；()()()121ˆniii nii x x y y b x x ==--=-∑∑，ˆˆay bx =-．【答案】（1）答案见解析；（2）ˆ471yx =+；预测2024年该市新能源汽车充电站的数量为424个．【分析】（1）利用相关系数的计算公式即可得解；（2）先利用已知数据和公式得到y 关于x 的线性回归方程，再将2024年所对应的年份编号代入线性回归方程即可得解．【详解】解：（1）由已知数据得()11234535x =⨯++++=，17101425y =⨯=，()()()2222152101210i i x x=-=-+-+++=∑，()()55115260053142470iii i i i x x yy x y x y ==--=-=-⨯⨯=∑∑，所以4700.993.16149.89r ≈≈⨯．因为y 与x 的相关系数近似为0.9，接近1，说明y 与x 的线性相关程度相当高，从而可以用线性回归模型拟合y 与x 的关系．（2）由（1）得()()()51215470ˆ4710iii ii x x y y bx x ==--===-∑∑，ˆˆ1424731ay bx =-=-⨯=，放所求线性回归方程为ˆ471yx =+．将2024年对应的年份编号9x =代人回归方程得ˆ4791424y=⨯+=，故预测2024年该市新能源汽车充电站的数量为424个．19．如图，在四棱锥P －ABCD 中，AB CD ∥，AB ⊥BC ，122BC CD PA PD AB =====，PC =E 为AB的中点．(1)证明：BD ⊥平面APD ；(2)求平面APD 和平面CEP 的夹角的余弦值．【答案】(1)证明见解析(2)22【分析】（1）已知条件求出AB ，BD ，AD 的长度，勾股定理证得BD AD ⊥，取AD 的中点O ，连接OP ，OC ，有PO AD ⊥，得PO ，勾股定理证得PO OC ⊥，从而PO ⊥平面ABCD ，有BD OP ⊥，所以BD ⊥平面APD .（2）建立空间直角坐标系，求相关点的坐标，求相关向量的坐标，求平面APD 和平面CEP 的一个法向量，利用向量夹角公式求平面APD 和平面CEP 的夹角的余弦值【详解】（1）在直角梯形ABCD 中，易得AB ＝4，BD =AD =，∴222AD BD AB +=，∴BD ⊥AD ．取AD 的中点O ，连接OP ，OC ，易得PO ⊥AD ，PO =，如图所示，在△CDO 中，易得OC ==，又PC =，∴222OC PO PC +=，∴PO ⊥OC ，又PO ⊥AD ，AD OC O = ，,AD OC ⊂平面ABCD ，∴PO ⊥平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ，∴BD ⊥OP ，又BD ⊥AD ，AD OP O ⋂=，,AD OP ⊂平面APD ，∴BD ⊥平面APD ．（2）如图，以D 为坐标原点，DA ，DB 所在直线分别为x ，y 轴，过点D 且与PO 平行的直线为z 轴建立空间直角坐标系，则D （0，0，0），()A ，()0,B ，)E，P，()C ，∴(CP =，()CE = ，∵BD ⊥平面APD ，∴平面APD 的一个法向量为()10,1,0n =．设平面CEP 的法向量为()2,,n x y z =u u r，则2200n CP n CE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，得00⎧+=⎪⎨=⎪⎩，取y ＝1，得()20,1,1n = ，∴122cos ,2n n =，∴平面APD 和平面CEP 的夹角的余弦值为22．20．已知抛物线()2:20C x py p =>的焦点为F ，准线为l ，点P 是直线1:2l y x =-上一动点，直线l 与直线1l 交于点Q，QF =(1)求抛物线C 的方程；(2)过点P 作抛物线C 的两条切线,PA PB ，切点为,A B ，且95FA FB -≤⋅≤，求PAB 面积的取值范围.【答案】(1)24x y=(2)⎡⎣【分析】（1）计算2,22p p Q ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，0,2p F⎛⎫⎪⎝⎭，根据距离公式计算得到2p =，得到抛物线方程.（2）求导得到导函数，计算切线方程得到AB 的直线方程为()002y y xx +=，联立方程，根据韦达定理得到根与系数的关系，根据向量运算得到034y -≤≤，再计算PAB S =△.【详解】（1）直线1:2l y x =-，当2p y =-时，22p x =-，即2,22p p Q ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，0,2p F⎛⎫⎪⎝⎭，则QF ==，解得2p =或25p =-（舍去），故抛物线C 的方程为24x y =.（2）设()11,A x y ，()22,B x y ，()00,P x y ，24x y =，2x y '=，PA 的直线方程为：()1112x y x x y =-+，整理得到()112y y xx +=，同理可得：PB 方程为()222y y xx +=，故()()010*******y y x x y y x x ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩，故AB 的直线方程为()002y y xx +=，()00224y y xx x y ⎧+=⎨=⎩，整理得到200240x x x y -+=，12012024 x x x x x y +=⎧⎨=⎩，()()()1122121212,1,11FA FB x y x y x x y y y y ⋅=-⋅-=+-++()02221212221212000216123164x x x x x x x x y x y y +-=+-+=-++=-，09235y -≤-≤，解得034y -≤≤，设P 到AB 的距离为d ，12PABS AB d =⋅=△，034y -≤≤，故[]2044,20y +∈，4,PAB S ⎡∈⎣△21．已知01a <<，函数()1x f x x a -=+，()1log a g x x x =++.(1)若()e e g =，求函数()f x 的极小值；(2)若函数()()y f x g x =-存在唯一的零点，求a 的取值范围.【答案】(1)2(2)1,1e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭【分析】（1）由()e e g =可求出1ea =，则()1e xf x x -=+，然后对函数求导，由导数的正负可求出函数的单调区间，从而可求出函数的极小值；（2）令()1log 1x a F x ax -=--（0x >），则()111ln ln x F x xa a x a -⎛⎫'=- ⎪⎝⎭，令()11ln ln x x xaa a ϕ-=-，利用导数可求出其单调区间和最小值，然后分11ln 10ln a a a----≥和10ea <<讨论函数的零点即可.【详解】（1）由()1e e e 1log e e ea g a =⇒++=⇒=，所以()1e x f x x -=+，()11e xf x -'=-，令()01f x x '=⇒=，当1x <时，()0f x '<，当1x >时，()0f x ¢>，所以()f x 在(,1)-∞上递减，在(1,)+∞上递增，所以()f x 的极小值为()12f =；（2）()()1log 1x a f x g x a x --=--，令()1log 1x a F x a x -=--（0x >），()F x 存在唯—的零点，()11111ln ln ln ln x x F x a a xa a x a x a --⎛⎫'=-=- ⎪⎝⎭，令()11ln ln x x xaa a ϕ-=-，()()11ln ln x x a x a a ϕ-'=+，令()10ln x x aϕ'=⇒=-，当10ln x a<<-时，()0x ϕ'<；当1ln x a>-时，()0x ϕ'>，所以()x ϕ在10,ln a ⎛⎫- ⎪⎝⎭上递减，在1,ln a ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭上递增，所以()11ln min 11ln ln ax a a a ϕϕ--⎛⎫=-=-- ⎪⎝⎭，①若11ln 10ln aa a----≥，即111ln ln ln ln a a a ⎛⎫⎛⎫--≤- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，令1ln t a-=，所以()111ln ln 10t t t t t ⎛⎫--≤⇒-+≥ ⎪⎝⎭，所以1t ≥，所以11ln a -≥，即11ea <时，()()min 00x F x ϕ'≥⇒≥，所以()F x 在()0,∞+上递增，注意到()10F =，所以()F x 存在唯一的零点，符合题意②当10e a <<时，()100ln aϕ=->，()min 0x ϕ<，()22213(ln )133ln ln ln a a a a a aϕ-=-=，令22()3(ln )1t a a a =-，10ea <<，则221()3[2(ln )2ln ]6ln (ln 1)t a a a a a a a a a'=+⋅⋅=+，因为10ea <<，所以ln 1a <-，所以()6ln (ln 1)0t a a a a '=+>，所以22()3(ln )1t a a a =-在10,e ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，所以2221113()3(ln 110e e e e t a t ⎛⎫⎛⎫<=-=-< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以()22213(ln )133ln 0ln ln a a a a a aϕ-=-=>所以()x ϕ即()F x '在10,ln a ⎛⎫- ⎪⎝⎭和1,ln a ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭上各有一个零点1x ，2x ，()F x 在()10,x 上递增，()12,x x 上递减，()2,0x 上递增，而()11ln 0ln F a a'=-<，所以121x x <<，()1log 1x a F x a x -=--，当110a x a -<<时，()111log 11(1)0a F a a x a x -------<-=<；当1x a >时，()10log 10a F x a>--=，而()()110F x F >=，()()210F x F <=，所以()F x 在()10,x ，()12,x x 和()2,x +∞上各有一个零点，共3个零点了，舍去.综上，a 的取值范围为1,1e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭.（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在直角坐标系xOy 中，直线l的参数方程为cos sin x t y t αα⎧=⎪⎨=⎪⎩（t 为参数）．以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立坐标系，曲线C 的极坐标方程为2853cos 2ρθ=-，直线l 与曲线C 相交于A ，B两点，)M．(1)求曲线C 的直角坐标方程；(2)若2AM MB = ，求直线l 的斜率．【答案】(1)2214x y +=(2)【分析】（1）根据极坐标与直角坐标直角的转化222cos sin x y x y ρθρθρ=⎧⎪=⎨⎪=+⎩，运算求解；（2）联立直线l 的参数方程和曲线C 的直角坐标方程，根据参数的几何意义结合韦达定理运算求解.【详解】（1）∵()()222222288453cos 2cos 4sin 5cos sin 3cos sin ρθθθθθθθ===-++--，则2222cos 4sin 4ρθρθ+=，∴2244x y +=，即2214x y +=，故曲线C 的直角坐标方程为2214x y +=.（2）将直线l的参数方程为cos sin x t y t αα⎧=⎪⎨=⎪⎩（t 为参数）代入曲线C 的直角坐标方程为2214x y +=，得)()22cos sin 14t t αα+=，整理得()()222cos 4sin 10t t ααα++-=，设A ，B 两点所对应的参数为12,t t ，则121222221,cos 4sin cos 4sin t t t t ααααα+=-=-++，∵2AM MB = ，则122t t =-，联立1212222cos 4sin t t t t ααα=-⎧⎪⎨+=-⎪+⎩，解得122222cos 4sin cos 4sin t t αααααα⎧=-⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩，将12,t t 代入12221cos 4sin t t αα=-+得2222221cos 4sin cos 4sin cos 4sin αααααααα⎛⎫⎛⎫-=- ⎪⎪ ⎪⎪+++⎝⎭⎝⎭，解得2223tan 4k α==，故直线l的斜率为2±.[选修4-5：不等式选讲]23．已知：()1f x x x m =+--，0m >．(1)若2m =，求不等式()2f x >的解集；(2)()()g x f x x m =--，若()g x 的图象与x 轴围成的三角形面积不大于54，求m 的取值范围．【答案】(1)3,2∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭；(2)(]0,8.【分析】（1）利用零点分段法求解出绝对值不等式；（2）先求出()21,312,121,1x m x m g x x m x m x m x -++>⎧⎪=+--≤≤⎨⎪--<-⎩，由()0g x =，解得：122121,3m x m x -=+=，则()21444133m x x m ---==+，由函数单调性得到()()max 1g x g m m ==+，根据函数图象与x 轴围成的三角形面积不大于54，列出方程，求出m 的取值范围.【详解】（1）当2m =时，()3,21221,123,1x f x x x x x x >⎧⎪=+--=--≤≤⎨⎪-<-⎩，当2x >时，()32f x =>成立；当12x -≤≤时，()212f x x =->，则322x <≤；当1x <-时，()32f x =-<不合题意，综上，()2f x >的解集为3,2∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭；（2）因为0m >，所以()21,12312,121,1x m x m g x x x m x m x m x m x -++>⎧⎪=+--=+--≤≤⎨⎪--<-⎩，由()0g x =，解得：122121,3m x m x -=+=，则()21444133m x x m ---==+，当1x <-时，()g x 单调递增，当1x m -≤≤时，()g x 单调递增，当x >m 时，()g x 单调递减，所以当x m =时，()g x 取得最大值，()()max 1g x g m m ==+，∴图象与x 轴围成的三角形面积为()()221421154233S m m =⨯+=+≤，解得：108m -≤≤，又0m >，则08m <≤，∴m 的取值范围是(]0,8.。
2023年全国高考数学模拟试卷(附答案)
2023年全国高考数学模拟试卷一、单选题1．设全集U={1 2 3 4 5 6 7 8} 集合S={1 3 5} T={3 6} 则∁U （S∁T ）等于（ ） A ．∁B ．{2 4 7 8}C ．{1 3 5 6}D ．{2 4 6 8}2．在四边形ABCD 中＝ ＋则四边形ABCD 一定是( )A ．矩形B ．菱形C ．正方形D ．平行四边形3．已知复数 z =(2+i)(a +2i 3) 在复平面对应的点在第四象限 则实数 a 的取值范围是（ ） A ．(−∞,−1)B ．(4,+∞)C ．(−1,4)D ．[-1,4]4．在直三棱柱 ABC −A ′B ′C ′ 中 侧棱长为2 底面是边长为2的正三角形 则异面直线 AB ′ 与BC ′ 所成角的余弦值为（ ） A ．12B ．√33C ．14D ．√555．一个袋子中有5个大小相同的球 其中有3个黑球与2个红球 如果从中任取两个球 则恰好取到两个同色球的概率是（ ） A ．15B ．310C ．25D ．126．已知 f(x)=√3sin2020x +cos2020x 的最大值为A 若存在实数 x 1 x 2 使得对任意的实数x 总有 f(x 1)≤f(x)≤f(x 2) 成立 则 A|x 1−x 2| 的最小值为（ ）A ．π2020B ．π1010C ．π505D ．π40407．已知函数f(x)是定义在R 上的奇函数 其最小正周期为3 且x∁（-320）时 f(x)=log 2(-3x+1)则f(2011）=（ ） A ．4B ．2C ．-2D ．log 278．已知函数f(x)={1−x ，0≤x ≤1lnx ，x >1 若f(a)=f(b) 且a ≠b 则bf(a)+af(b)的最大值为（ ） A ．0 B ．(3−ln2)⋅ln2 C ．1D ．e二、多选题9．下列命题中正确的命题的是（）A．已知随机变量服从二项分布B(n，p)若E(x)=30D(x)=20则p=23；B．将一组数据中的每个数据都加上同一个常数后方差恒不变；C．设随机变量ξ服从正态分布N(0，1)若P(ξ>1)=p则P(−1<ξ≤0)=12−P；D．某人在10次射击中击中目标的次数为X X~B(10，0.8)则当x=8时概率最大．10．已知抛物线C：x2=4y的焦点为F准线为l P是抛物线C上第一象限的点|PF|=5直线PF 与抛物线C的另一个交点为Q 则下列选项正确的是（）A．点P的坐标为（4 4）B．|QF|=54C．S△OPQ=103D．过点M(x0，−1)作抛物线C的两条切线MA，MB其中A，B为切点则直线AB的方程为：x0x−2y+2=011．已知函数f(x)=e x g(x)=ln x2+12的图象与直线y=m分别交于A、B两点则（）A．|AB|的最小值为2+ln2B．∃m使得曲线f(x)在A处的切线平行于曲线g(x)在B处的切线C．函数f(x)−g(x)+m至少存在一个零点D．∃m使得曲线f(x)在点A处的切线也是曲线g(x)的切线12．已知正n边形的边长为a 内切圆的半径为r 外接圆的半径为R 则（）A．当n=4时R=√2a B．当n=6时r=√32aC．R=a2sinπ2n D．R+r=a2tanπ2n三、填空题13．某学校有教师300人男学生1500人女学生1200人现用分层抽样的方法从所有师生中抽取一个容量为150人的样本进行某项调查则应抽取的女学生人数为．14．在（2x2﹣√x）6的展开式中含x7的项的系数是．15．函数f(x)=|2x−1|−2lnx的最小值为.16．定义max{a,b}={a,a≥bb,a<b已知函数f(x)=max{(12)x,12x−34}则f(x)最小值为不等式f(x)<2的解集为.四、解答题17．记S n为数列{a n}的前n项和.已知a n>06S n=a n2+3a n−4.（1）求{a n}的通项公式；（2）设b n=a n2+a n+12a n a n+1求数列{b n}的前n项和T n.18．已知数列{a n}的前n项和为S n a1=2n(a n+1−2a n)=4a n−a n+1.（1）证明：{a nn+1}为等比数列；（2）求S n.19．记△ABC的内角A B C的对边分别为a b c﹐已知sinCsin(A−B)=sinBsin(C−A)．（1）若A=2B求C；（2）证明：2a2=b2+c2.20．受突如其来的新冠疫情的影响全国各地学校都推迟2020年的春季开学某学校“停课不停学” 利用云课平台提供免费线上课程该学校为了解学生对线上课程的满意程度随机抽取了100名学生对该线上课程评分、其频率分布直方图如图.（1）求图中a的值；（2）求评分的中位数；（3）以频率当作概率若采用分层抽样的方法从样本评分在[60,70)和[90,100]内的学生中共抽取5人进行测试来检验他们的网课学习效果再从中选取2人进行跟踪分析求这2人中至少一人评分在[60,70)内的概率.21．已知椭圆与双曲线x 22−y2=1有相同的焦点坐标且点(√3,12)在椭圆上.（1）求椭圆的标准方程；（2）设A、B分别是椭圆的左、右顶点动点M满足MB⊥AB垂足为B连接AM交椭圆于点P（异于A）则是否存在定点T使得以线段MP为直径的圆恒过直线BP与MT的交点Q若存在求出点T的坐标；若不存在请说明理由.22．已知函数f(x)=e x(x−2),g(x)=x−lnx.（1）求函数y=f(x)+g(x)的最小值；（2）设函数ℎ(x)=f(x)−ag(x)(a≠0)讨论函数ℎ(x)的零点个数.答案解析部分1．【答案】B 2．【答案】D 3．【答案】C 4．【答案】C 5．【答案】C 6．【答案】B 7．【答案】C 8．【答案】D 9．【答案】B,C,D 10．【答案】A,B,D 11．【答案】A,B,D 12．【答案】B,D 13．【答案】60 14．【答案】240 15．【答案】116．【答案】14；(−1,112)17．【答案】（1）解：当 n =1 时 6S 1=a 12+3a 1−4 所以 a 1=4 或 −1 （不合 舍去）. 因为 6S n =a n 2+3a n −4① 所以当 n ⩾2 时 6S n−1=a n−12+3a n−1−4② 由①－②得 6a n =a n 2+3a n −a n−12−3a n−1所以 (a n +a n−1)(a n −a n−1−3)=0 . 又 a n >0 所以 a n −a n−1=3 .因此 {a n } 是首项为4 公差为3的等差数列. 故 a n =4+3(n −1)=3n +1 .（2）解：由（1）得 b n =(3n+1)2+(3n+4)2(3n+1)(3n+4)=2+33n+1−33n+4所以 T n =2+34−37+2+37−310+⋯+2+33n+1−33n+4=2n +(34−37+37−310+⋯+33n +1−33n +4)=2n +9n4(3n +4)18．【答案】（1）证明：∵n(a n+1−2a n )=4a n −a n+1∴na n+1−2na n =4a n −a n+1 即(n +1)a n+1=2⋅a n (n +2)∴a n+1n+2=2⋅a nn+1 故{a nn+1}为等比数列. （2）解：由（1）知 a nn+1=1×2n−1⇒a n =(n +1)⋅2n−1 S n =2×20+3×2+4×22⋅⋅⋅+(n +1)⋅2n−1 2S n =2×21+3×22+4×23⋅⋅⋅+(n +1)⋅2n∴−S n =2+2+22+⋯+2n−1−(n +1)⋅2n=2+2−2n−1×21−2−(n +1)⋅2n=−n ⋅2n∴S n =n ⋅2n19．【答案】（1）解：∵sinCsin(A −B)=sinBsin(C −A)且 A =2B∴sinCsinB =sinBsin(C −A) ∵sinB ＞0∴sinC =sin(C −A)∴C=C-A （舍）或C+（C-A ）=π 即：2C-A=π又∵A+B+C=π A=2B ∴C= 5π8（2）证明：由 sinCsin(A −B)=sinBsin(C −A) 可得sinC(sinAcosB −cosAsinB)=sinB(sinCcosA −cosCsinA) 再由正弦定理可得 accosB −bccosA =bccosA −abcosC 然后根据余弦定理可知12(a 2+c 2−b 2)−12(b 2+c 2−a 2)=12(b 2+c 2−a 2)−12(a 2+b 2−c 2) 化简得： 2a 2=b 2+c 2 故原等式成立．20．【答案】（1）解：由题意 (0.005+0.010+0.030+a +0.015)×10=1所以 a =0.040 ；（2）解：由频率分布直方图可得评分的中位数在 [80,90) 内 设评分的中位数为x则 (0.005+0.010+0.030)×10+0.040×(x −80)=0.5 解得 x =81.25 所以评分的中位数为81.25；（3）解：由题知评分在 [60,70) 和 [90,100] 内的频率分别为0.1和0.15 则抽取的5人中 评分在 [60,70) 内的为2人 评分在 [90,100] 的有3人记评分在 [90,100] 内的3位学生为a b c 评分在 [60,70) 内的2位学生为D E 则从5人中任选2人的所有可能结果为：(a,b) (a,c) (a,D) (a,E) (b,c) (b,D) (b,E) (c,D) (c,E) (D,E) 共10种；其中 这2人中至少一人评分在 [60,70) 内可能结果为：(a,D) (a,E) (b,D) (b,E) (c,D) (c,E) (D,E) 共7种；所以这2人中至少一人评分在 [60,70) 的概率 P =710.21．【答案】（1）解：因为双曲线 x 22−y 2=1 的焦点坐标为 (±√3,0)所以设所求的椭圆的方程为 x 2a 2+y 2b2=1 （ a >b >0 ）则 {a 2=b 2+33a 2+14b 2=1 解得 a 2=4,b 2=1 所以椭圆的标准方程是 x 24+y 2=1（2）解：设直线AP 的方程是 y =k(x +2) （ k ≠0 ）将其与 x 24+y 2=1 联立 消去y 得 (4k 2+1)x 2+16k 2x +16k 2−4=0 设 P(x 1,y 1)则 −2⋅x 1=16k 2−44k 2+1所以 x 1=2−8k 24k 2+1,y 1=4k 4k 2+1 所以 P(2−8k 24k 2+1,4k4k 2+1) 易知 M(2,4k)设存在点 T(x 0,y 0) 使得以MP 为直径的圆恒过直线BP 、MT 的交点Q ⇔MT ⊥BP ⇔4k−y 02−x 0⋅4k−16k2=−1 对于任意 k ≠0 成立 即 4k(1−x 0)+y 0=0 对于任意 k ≠0 成立 x 0=1,y 0=0 所以存在 T(1,0) 符合题意.22．【答案】（1）解：令 φ(x)=f(x)+g(x)φ′(x)=e x(x−1)+(1−1x)=(x−1)(e x+1x)令φ′(x)=0,x=1φ′(x)>0,x>1,φ′(x)<0,0<x<1所以φ(x)的单调递增区间是(1,+∞)单调递减区间是(0,1)所以x=1时φ(x)取得极小值也是最小值所以φ(x)min=φ(1)=1−e（2）解：g′(x)=1−1x=x−1x令g′(x)=0,x=1g′(x)<0,0<x<1,g′(x)>0,x>1 g(x)的递减区间是(0,1)递增区间是(1,+∞)所以g(x)的极小值为g(1)也是最小值g(x)≥g(1)=1>0.所以ℎ(x)=0⇔a=e x(x−2)x−lnx=s(x)因为s′(x)=e x(x−1)(x−lnx−1+2x)(x−lnx)2令k(x)=x−lnx−1+2x⇒k′(x)=(x+1)(x−2)x2令k′(x)=0,x=2k′(x)<0,0<x<2,k′(x)>0,x>2k(x)的递减区间是(0,2)递增区间是(2,+∞)所以k(x)的极小值为k(2)也是最小值所以k(x)≥k(2)=2−ln2>0所以s(x)的递减区间是(0,1)递增区间是(1,+∞)又因为x→0+,s(x)→0,x→+∞,s(x)→+∞且s(1)=−e 所以当a<−e时ℎ(x)有0个零点；当a=−e或a>0时ℎ(x)有1个零点；当−e<a<0时ℎ(x)有2个零点.。
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2023年全国高考数学模拟试卷一、单选题1．设全集U={1 2 3 4 5 6 7 8} 集合S={1 3 5} T={3 6} 则∁U （S∁T ）等于（ ） A ．∁B ．{2 4 7 8}C ．{1 3 5 6}D ．{2 4 6 8}2．在四边形ABCD 中＝ ＋则四边形ABCD 一定是( )A ．矩形B ．菱形C ．正方形D ．平行四边形3．已知复数 z =(2+i)(a +2i 3) 在复平面对应的点在第四象限 则实数 a 的取值范围是（ ） A ．(−∞,−1)B ．(4,+∞)C ．(−1,4)D ．[-1,4]4．在直三棱柱 ABC −A ′B ′C ′ 中 侧棱长为2 底面是边长为2的正三角形 则异面直线 AB ′ 与BC ′ 所成角的余弦值为（ ） A ．12B ．√33C ．14D ．√555．一个袋子中有5个大小相同的球 其中有3个黑球与2个红球 如果从中任取两个球 则恰好取到两个同色球的概率是（ ） A ．15B ．310C ．25D ．126．已知 f(x)=√3sin2020x +cos2020x 的最大值为A 若存在实数 x 1 x 2 使得对任意的实数x 总有 f(x 1)≤f(x)≤f(x 2) 成立 则 A|x 1−x 2| 的最小值为（ ）A ．π2020B ．π1010C ．π505D ．π40407．已知函数f(x)是定义在R 上的奇函数 其最小正周期为3 且x∁（-320）时 f(x)=log 2(-3x+1)则f(2011）=（ ） A ．4B ．2C ．-2D ．log 278．已知函数f(x)={1−x ，0≤x ≤1lnx ，x >1 若f(a)=f(b) 且a ≠b 则bf(a)+af(b)的最大值为（ ） A ．0 B ．(3−ln2)⋅ln2 C ．1D ．e二、多选题9．下列命题中正确的命题的是（）A．已知随机变量服从二项分布B(n，p)若E(x)=30D(x)=20则p=23；B．将一组数据中的每个数据都加上同一个常数后方差恒不变；C．设随机变量ξ服从正态分布N(0，1)若P(ξ>1)=p则P(−1<ξ≤0)=12−P；D．某人在10次射击中击中目标的次数为X X~B(10，0.8)则当x=8时概率最大．10．已知抛物线C：x2=4y的焦点为F准线为l P是抛物线C上第一象限的点|PF|=5直线PF 与抛物线C的另一个交点为Q 则下列选项正确的是（）A．点P的坐标为（4 4）B．|QF|=54C．S△OPQ=103D．过点M(x0，−1)作抛物线C的两条切线MA，MB其中A，B为切点则直线AB的方程为：x0x−2y+2=011．已知函数f(x)=e x g(x)=ln x2+12的图象与直线y=m分别交于A、B两点则（）A．|AB|的最小值为2+ln2B．∃m使得曲线f(x)在A处的切线平行于曲线g(x)在B处的切线C．函数f(x)−g(x)+m至少存在一个零点D．∃m使得曲线f(x)在点A处的切线也是曲线g(x)的切线12．已知正n边形的边长为a 内切圆的半径为r 外接圆的半径为R 则（）A．当n=4时R=√2a B．当n=6时r=√32aC．R=a2sinπ2n D．R+r=a2tanπ2n三、填空题13．某学校有教师300人男学生1500人女学生1200人现用分层抽样的方法从所有师生中抽取一个容量为150人的样本进行某项调查则应抽取的女学生人数为．14．在（2x2﹣√x）6的展开式中含x7的项的系数是．15．函数f(x)=|2x−1|−2lnx的最小值为.16．定义max{a,b}={a,a≥bb,a<b已知函数f(x)=max{(12)x,12x−34}则f(x)最小值为不等式f(x)<2的解集为.四、解答题17．记S n为数列{a n}的前n项和.已知a n>06S n=a n2+3a n−4.（1）求{a n}的通项公式；（2）设b n=a n2+a n+12a n a n+1求数列{b n}的前n项和T n.18．已知数列{a n}的前n项和为S n a1=2n(a n+1−2a n)=4a n−a n+1.（1）证明：{a nn+1}为等比数列；（2）求S n.19．记△ABC的内角A B C的对边分别为a b c﹐已知sinCsin(A−B)=sinBsin(C−A)．（1）若A=2B求C；（2）证明：2a2=b2+c2.20．受突如其来的新冠疫情的影响全国各地学校都推迟2020年的春季开学某学校“停课不停学” 利用云课平台提供免费线上课程该学校为了解学生对线上课程的满意程度随机抽取了100名学生对该线上课程评分、其频率分布直方图如图.（1）求图中a的值；（2）求评分的中位数；（3）以频率当作概率若采用分层抽样的方法从样本评分在[60,70)和[90,100]内的学生中共抽取5人进行测试来检验他们的网课学习效果再从中选取2人进行跟踪分析求这2人中至少一人评分在[60,70)内的概率.21．已知椭圆与双曲线x 22−y2=1有相同的焦点坐标且点(√3,12)在椭圆上.（1）求椭圆的标准方程；（2）设A、B分别是椭圆的左、右顶点动点M满足MB⊥AB垂足为B连接AM交椭圆于点P（异于A）则是否存在定点T使得以线段MP为直径的圆恒过直线BP与MT的交点Q若存在求出点T的坐标；若不存在请说明理由.22．已知函数f(x)=e x(x−2),g(x)=x−lnx.（1）求函数y=f(x)+g(x)的最小值；（2）设函数ℎ(x)=f(x)−ag(x)(a≠0)讨论函数ℎ(x)的零点个数.答案解析部分1．【答案】B 2．【答案】D 3．【答案】C 4．【答案】C 5．【答案】C 6．【答案】B 7．【答案】C 8．【答案】D 9．【答案】B,C,D 10．【答案】A,B,D 11．【答案】A,B,D 12．【答案】B,D 13．【答案】60 14．【答案】240 15．【答案】116．【答案】14；(−1,112)17．【答案】（1）解：当 n =1 时 6S 1=a 12+3a 1−4 所以 a 1=4 或 −1 （不合 舍去）. 因为 6S n =a n 2+3a n −4① 所以当 n ⩾2 时 6S n−1=a n−12+3a n−1−4② 由①－②得 6a n =a n 2+3a n −a n−12−3a n−1所以 (a n +a n−1)(a n −a n−1−3)=0 . 又 a n >0 所以 a n −a n−1=3 .因此 {a n } 是首项为4 公差为3的等差数列. 故 a n =4+3(n −1)=3n +1 .（2）解：由（1）得 b n =(3n+1)2+(3n+4)2(3n+1)(3n+4)=2+33n+1−33n+4所以 T n =2+34−37+2+37−310+⋯+2+33n+1−33n+4=2n +(34−37+37−310+⋯+33n +1−33n +4)=2n +9n4(3n +4)18．【答案】（1）证明：∵n(a n+1−2a n )=4a n −a n+1∴na n+1−2na n =4a n −a n+1 即(n +1)a n+1=2⋅a n (n +2)∴a n+1n+2=2⋅a nn+1 故{a nn+1}为等比数列. （2）解：由（1）知 a nn+1=1×2n−1⇒a n =(n +1)⋅2n−1 S n =2×20+3×2+4×22⋅⋅⋅+(n +1)⋅2n−1 2S n =2×21+3×22+4×23⋅⋅⋅+(n +1)⋅2n∴−S n =2+2+22+⋯+2n−1−(n +1)⋅2n=2+2−2n−1×21−2−(n +1)⋅2n=−n ⋅2n∴S n =n ⋅2n19．【答案】（1）解：∵sinCsin(A −B)=sinBsin(C −A)且 A =2B∴sinCsinB =sinBsin(C −A) ∵sinB ＞0∴sinC =sin(C −A)∴C=C-A （舍）或C+（C-A ）=π 即：2C-A=π又∵A+B+C=π A=2B ∴C= 5π8（2）证明：由 sinCsin(A −B)=sinBsin(C −A) 可得sinC(sinAcosB −cosAsinB)=sinB(sinCcosA −cosCsinA) 再由正弦定理可得 accosB −bccosA =bccosA −abcosC 然后根据余弦定理可知12(a 2+c 2−b 2)−12(b 2+c 2−a 2)=12(b 2+c 2−a 2)−12(a 2+b 2−c 2) 化简得： 2a 2=b 2+c 2 故原等式成立．20．【答案】（1）解：由题意 (0.005+0.010+0.030+a +0.015)×10=1所以 a =0.040 ；（2）解：由频率分布直方图可得评分的中位数在 [80,90) 内 设评分的中位数为x则 (0.005+0.010+0.030)×10+0.040×(x −80)=0.5 解得 x =81.25 所以评分的中位数为81.25；（3）解：由题知评分在 [60,70) 和 [90,100] 内的频率分别为0.1和0.15 则抽取的5人中 评分在 [60,70) 内的为2人 评分在 [90,100] 的有3人记评分在 [90,100] 内的3位学生为a b c 评分在 [60,70) 内的2位学生为D E 则从5人中任选2人的所有可能结果为：(a,b) (a,c) (a,D) (a,E) (b,c) (b,D) (b,E) (c,D) (c,E) (D,E) 共10种；其中 这2人中至少一人评分在 [60,70) 内可能结果为：(a,D) (a,E) (b,D) (b,E) (c,D) (c,E) (D,E) 共7种；所以这2人中至少一人评分在 [60,70) 的概率 P =710.21．【答案】（1）解：因为双曲线 x 22−y 2=1 的焦点坐标为 (±√3,0)所以设所求的椭圆的方程为 x 2a 2+y 2b2=1 （ a >b >0 ）则 {a 2=b 2+33a 2+14b 2=1 解得 a 2=4,b 2=1 所以椭圆的标准方程是 x 24+y 2=1（2）解：设直线AP 的方程是 y =k(x +2) （ k ≠0 ）将其与 x 24+y 2=1 联立 消去y 得 (4k 2+1)x 2+16k 2x +16k 2−4=0 设 P(x 1,y 1)则 −2⋅x 1=16k 2−44k 2+1所以 x 1=2−8k 24k 2+1,y 1=4k 4k 2+1 所以 P(2−8k 24k 2+1,4k4k 2+1) 易知 M(2,4k)设存在点 T(x 0,y 0) 使得以MP 为直径的圆恒过直线BP 、MT 的交点Q ⇔MT ⊥BP ⇔4k−y 02−x 0⋅4k−16k2=−1 对于任意 k ≠0 成立 即 4k(1−x 0)+y 0=0 对于任意 k ≠0 成立 x 0=1,y 0=0 所以存在 T(1,0) 符合题意.22．【答案】（1）解：令 φ(x)=f(x)+g(x)φ′(x)=e x(x−1)+(1−1x)=(x−1)(e x+1x)令φ′(x)=0,x=1φ′(x)>0,x>1,φ′(x)<0,0<x<1所以φ(x)的单调递增区间是(1,+∞)单调递减区间是(0,1)所以x=1时φ(x)取得极小值也是最小值所以φ(x)min=φ(1)=1−e（2）解：g′(x)=1−1x=x−1x令g′(x)=0,x=1g′(x)<0,0<x<1,g′(x)>0,x>1 g(x)的递减区间是(0,1)递增区间是(1,+∞)所以g(x)的极小值为g(1)也是最小值g(x)≥g(1)=1>0.所以ℎ(x)=0⇔a=e x(x−2)x−lnx=s(x)因为s′(x)=e x(x−1)(x−lnx−1+2x)(x−lnx)2令k(x)=x−lnx−1+2x⇒k′(x)=(x+1)(x−2)x2令k′(x)=0,x=2k′(x)<0,0<x<2,k′(x)>0,x>2k(x)的递减区间是(0,2)递增区间是(2,+∞)所以k(x)的极小值为k(2)也是最小值所以k(x)≥k(2)=2−ln2>0所以s(x)的递减区间是(0,1)递增区间是(1,+∞)又因为x→0+,s(x)→0,x→+∞,s(x)→+∞且s(1)=−e 所以当a<−e时ℎ(x)有0个零点；当a=−e或a>0时ℎ(x)有1个零点；当−e<a<0时ℎ(x)有2个零点.。