第2章 矩阵 2.1 矩阵与向量

六、对角阵与三角阵 1、对角阵 只有对角线上有非0元素的矩阵称为对角矩阵，对角线 上的元素相等的对角矩阵称为数量矩阵，对角线上的元素都 为1的对角矩阵称为单位矩阵。 (1)提取矩阵的对角线元素 设A为m×n矩阵，diag(A)函数用于提取矩阵A主对角线 元素，产生一个具有min(m,n)个元素的列向量。 diag(A)函数还有一种形式diag(A,k)，其功能是提取第k 条对角线的元素。(中间为0条,下负,上正) 例：A=[4,-65,-54,0,6;56,0,67,-45,0]B=[4,-65,-54;0,6,56;0,67,-45] >> diag(A) ans = 4 0 >> diag(B,0) ans = 4 6 -45 >> diag(B,2) ans = -54
第2章 矩阵
2.1 矩阵与向量 2.2 向量的创建
2.3 矩阵的创建 2.4 矩阵的运算
§2.1 矩阵与向量
一、矩阵
由m行n列构成的数组a称为(m×n)阶矩阵,它总共由 (m×n )个元素组成并按如下的形式排列：
a11 a12 a1n a a a 22 2n a 21 m n a m1 a m 2 a mn
注意：以上几种形式中，可以是数值、变量、表达式或字符串。 如果它们是变量或表达式，则所有变量及由变量构成的表达式必 须先定义；并且在执行语句之前，每一个变量必须先赋值。如果 是字符串，则每一行中的字母个数应相同。
二、用函数生成矩阵的元素 1、one=ones(r,c) 可创建一个元素为1的(r×c)阶矩阵。 例1：one=ones（2,5），创建一个（2×5）阶矩阵： 11111 11111 2、zero=zeros(r,c) 可创建一个元素为0的(r×c)阶矩阵。 例2： zero=zeros（3,2）， 创建一个（3×2）阶零矩阵： 例3：对于（3×5）阶矩阵：
三、矩阵元素的访问 应用上面的例子说明：
3 a 20.0 1 5 20.25 1 7 20.5 1 9 20.75 1 11 21.0 1
a(1,1)→3 a(3,4)→1 a(:,2)→[5 20.25 1]’ a(2,:)→[20.0 20.25 20.5 20.75 21.0] a(1:3,3:5)→[7 9 11;20.5 20.75 21.0;1 1 1] 四、创建矩阵的函数 1、函数repmat的调用格式为w=repmat(x,r,c) 其中x可以是标量、向量或矩阵，r是x的行数、c是x的列 数。函数repmat可创建任意长度的列向量和行向量，而且每 个元素都具有相同的值。
2、函数meshgrid的调用格式为：[u,v]= meshgrid(s,t) 注：其中s，t是两个行向量 例：如果s=[s1 s2 s3 s4]，t=[t1 t2 t3]，则上述命令生成两个(3×4) 阶矩阵：
s1 u s1 s1
s2 s2 s2
s3 s3 s3
s4 s4 s4
(2) 建立一个3×2零用zeros(size(A))建立一个与矩阵 A同样大小零矩阵。 A=[1 2 3;4 5 6]; %产生一个2×3阶矩阵A zeros(size(A)) %产生一个与矩阵A同样大小的零矩阵
例2-2 建立随机矩阵： (1) 在区间[20,50]内均匀分布的5阶随机矩阵。 x=20+(50-20)*rand(5) (2) 均值为0.6、方差为0.1的5阶正态分布随机矩阵。 y=0.6+sqrt(0.1).*rand(5) 此外，常用的函数还有reshape(A,m,n)，它在矩阵总元素保 持不变的前提下，将矩阵A重新排成m×n的二维矩阵。 魔方矩阵有一个有趣的性质，其每行、每列及两条对角线上 的元素和都相等。对于n阶魔方阵，其元素由1,2,3,…,n2共 n2个整数组成。MATLAB提供了求魔方矩阵的函数magic(n)， 其功能是生成一个n阶魔方阵。
§2.2 向量的创建
一、向量 向量可以表示为：f=[a x b …]或f=[a,x,b,…] 其中a，x，b，…可以是变量、数值、表达式或字符串。 注：如果它们是变量或表达式，则所有变量及由这些变量所 构成的表达式必须先定义；并且在执行语句之前，每一个变 量必须先赋值。 例：如果a是一个表达式，则表达式字符和运算符之间无空格。 如果a=h+dg，则f可以写成： f=[h+d^g x b …]或f=[h+d^g,x,b,…] 二、向量创建的两个主要方法 1、使用冒号来指定数值范围和相邻值的步长
x=[-2 1:2:9 10] 或x=[-2,1,3,5,7,9,10]
四、向量操作的几个命令 1、向量与标量进行加减运算时，标量与向量中的每一个元素 相加减。 例： z=x-1的结果为 z=[-3 0 2 4 6 8 9] 2、可以修改向量中的某些元素。 例：z中的第二个元素除以2，可写为z（2）= z（2）/2。
注：矩阵的元素记为aij， 其中，i 表示行，j 表示 列。
矩阵的大小可用如下命令获得： （1）size(a)----size可显示出两个值，第一个值为行数(m)，第 二个值为列数(n)。 （2）[m，n]=size(a)----表示矩阵的行数赋给m，列数赋给n。
二、方阵
当m=n时，a称为方阵。
三、对角阵
3、由现有向量创建新向量
(1)如要创建一个由z的第三到第五个元素组成的新向量x，则 x=z(3:5) (2)如要创建一个由z的前两个元素和后两个元素组成的向量x， 则x=[z(1) z(2) z(6) z(7)] 或 x=[z(1,2,6,7)]
4、确定向量中元素的个数 用length命令，即n=length(x)
2．三角阵 三角阵又进一步分为上三角阵和下三角阵，所谓上三角 阵，即矩阵的对角线以下的元素全为0的一种矩阵，而下三角 阵则是对角线以上的元素全为0的一种矩阵。 (1) 上三角矩阵 求矩阵A的上三角阵的MATLAB函数是triu(A)。triu(A)函 数也有另一种形式triu(A,k)，其功能是求矩阵A的第k条对角线 以上的元素。例如，提取矩阵A的第2条对角线以上的元素， 形成新的矩阵B。 (2) 下三角矩阵 在MATLAB中，提取矩阵A的下三角矩阵的函数是tril(A) 和tril(A,k)，其用法与提取上三角矩阵的函数triu(A)和triu(A,k) 完全相同。
例：A=[1 3 7;2 4 8;3 6 8], >> triu(A) ans = 1 0 3 4 7 8 >> triu(A,-1) ans = 1 2 0 3 4 6 7 8 8
0 0 七、矩阵的旋转
A =
8
1、利用函数rot90(A,k)将矩阵A旋转90º 的k倍，当k为1时可省略。
>> rot90(A,1)
x=s:d:f
其中 s=起始值或初始化值；d=增量或减量值；f=结束值或终值。
因此，可产生如下的行向量x: x=[s s+d s+2d …s+nd]
其中s+nd=f
注意: ⑴ 在创建向量x时没有直接指定n的数值，s、d和f 可以 是数值、变量和表达式的任意组合。 ⑵ 当d省略时，MATLAB默认d=1，即x=s : f 例如：x=[s,s+1,s+2,…,s+n] 其中s+n=f ⑶ 向量x中元素的个数由式n=length(x)确定。 2、指定n为从s到f的等间隔值
当aij =0，i≠ j，且m=n时 ，得到对角阵：
a11 0 a 0 0 a 22 0 0 0 n n a nn
a11 a1 a a 1、列阵 a 21 2 (m 1) 当 aij = ai1(即只有一列时)， 称为列矩阵或者列向量，记做： a m1 a m
四、列矩阵和行矩阵
2、行矩阵 当 aij = a1j(即只有一行时)，称为行矩阵或者行向量， 记做：
a a11 a12 a1n a1 a2 an (1 n)
注：在MATLAB中，这是向量的默认定义。 五、矩阵和向量的转置 矩阵的转置用(’)表示：
a11 a T a ' 12 a1n a21 ... am1 a22 ... am 2 ( n m) a2 n ... amn
1、先创建向量，再创建矩阵
v 2 a21 v 3 a31
v 4 a41
a22 a32
a42
a23 a33
a43
a v 1;
v2;
v3 ;
v4
注：其中分号表示行的结束。
2、直接创建矩阵 a=[a11 a12 a13;a21 a22 a23;a31 a32 a33;a41 a42 a43] 或形象的描述方法： a=[ a11 a12 a13;… a21 a22 a23;… 其中省略号是必须的。 a31 a32 a33;… a41 a42 a43] 或通过在每一行的末尾处按下Enter键来完成： a=[ a11 a12 a13 a21 a22 a23 a31 a32 a33 a41 a42 a43]
1
2 3
3
4 6
7
8 8
ans =
7 3 1 8 4 2 8 6 3
2、矩阵的左右翻转 对矩阵实施左右翻转是将原矩阵的第一列和最后一列调 换，第二列和倒数第二列调换，…，依次类推。MATLAB对 矩阵A实施左右翻转的函数是fliplr(A)。 3、矩阵的上下翻转
MATLAB对矩阵A实施上下翻转的函数是flipud(A)。
f s n 1
三、向量中元素值的获取 1、行向量 行向量b=[b1 b2 b3…bn]，可用b(3)或b(1,3)获得第三个元素b3。 2、列向量 列向量b=[b1 b2 b3…bn]’，可用b(3)或b(3,1)获得第三个元素b3。