第三讲向量和矩阵的运算
数学中的向量与矩阵
数学中的向量与矩阵数学是一门抽象而具有普适性的学科，而其中的向量和矩阵更是数学领域中常见且重要的概念。
向量和矩阵可以用于解决各种各样的问题，从几何学到物理学，从统计学到计算机科学，它们无处不在且发挥着重要的作用。
一、向量的基本概念与性质向量是有大小和方向的量，可以用箭头来表示。
在数学中，向量通常用加粗的字母或者小写字母上面加上一个箭头来表示，比如a，A或者→a。
向量可以在平面内或者空间内移动，通过平移和旋转来改变位置和方向。
向量有很多基本的运算，比如加法、减法、数量乘法和点乘。
加法和减法可以实现向量的平移和方向的改变，而数量乘法可以改变向量的长度。
点乘是一种特殊的乘法运算，结果是一个标量（即一个纯量），用于计算两个向量之间的夹角和判断它们的相对方向。
二、矩阵的定义和特性矩阵是由若干个数按照一定的规律排列成的一个矩形的数组。
矩阵可以用于表示各种各样的数据，比如二维的点坐标、数字表格中的数据等等。
矩阵可以用方括号或者圆括号来表示，比如[A]或者(A)。
一个矩阵可以有不同的形状，比如m行n列的矩阵就称为一个m×n矩阵。
矩阵也有一些基本的运算，比如加法、减法、数量乘法和矩阵乘法。
矩阵的加法和减法可以实现矩阵的平移和位置的改变，而数量乘法可以改变矩阵中每个元素的值。
矩阵乘法是一种非常重要的运算，它可以将两个矩阵相乘得到一个新的矩阵，用于实现数据的变换和转换。
三、向量与矩阵的关系和应用向量和矩阵在数学中有着密切的联系，它们之间可以相互转换和运算。
一些常见的应用包括：1. 几何变换：在几何学中，向量和矩阵可以用于表示平移、旋转、缩放等一系列的几何变换。
通过矩阵乘法和向量运算，可以实现对图形的变形和变化。
2. 物理学：向量可以用于表示物体的速度、加速度等物理量，而矩阵则可以用于表示物体的质量、惯性矩阵等。
在物理学中，向量和矩阵可以用于解决各种运动和力学问题。
3. 统计学：向量和矩阵在统计学中扮演着重要的角色，可以用于表示样本数据和计算统计指标。
平面向量的向量积和矩阵运算
平面向量的向量积和矩阵运算平面向量是数学中的一个重要概念，在许多数学和物理问题中都得到了广泛应用。
在平面向量的运算中，向量积和矩阵运算是两个重要的操作。
一、向量积向量积，也称为叉乘或叉积，可以用来计算两个向量之间的乘积。
向量积的结果是一个新的向量，该向量垂直于原来的两个向量。
向量积的定义如下：设有向量A(x1, y1)和向量B(x2, y2)，则向量A和向量B的向量积为C(x3, y3)，且有：x3 = y1 * z2 - y2 * z1y3 = z1 * x2 - x1 * z2z3 = x1 * y2 - x2 * y1其中，z1 = z2 = 0，因为向量积只能在三维空间中使用。
向量积的计算可以用来求解许多几何和物理问题，例如计算两个向量之间的夹角、判断两个向量是否平行、计算三角形的面积等等。
此外，向量积还可用于计算力的矢量合成等问题。
二、矩阵运算矩阵是一种方阵，也可以看作是向量的扩展。
矩阵运算是对矩阵进行各种运算操作的过程，包括加法、减法、乘法等。
1. 加法：两个矩阵相加时，要求两个矩阵的行数和列数相等，然后将对应位置上的元素相加得到新的矩阵。
2. 减法：两个矩阵相减时，要求两个矩阵的行数和列数相等，然后将对应位置上的元素相减得到新的矩阵。
3. 乘法：两个矩阵相乘时，要求第一个矩阵的列数与第二个矩阵的行数相等，然后按照一定的规则计算得到新的矩阵。
具体的计算规则可以参考矩阵乘法的定义。
矩阵运算在线性代数和线性方程组的求解中起着重要的作用。
矩阵运算还可以用于处理图像、信号处理等领域。
总结：通过向量积和矩阵运算，我们可以对平面向量进行一系列的操作和运算。
向量积可以用来计算两个向量之间的乘积，而矩阵运算则可以用来对矩阵进行加法、减法和乘法等操作。
这些操作在数学和物理问题中都具有广泛的应用，对于深入理解和解决相关问题具有重要的作用。
通过本文的介绍，我们对平面向量的向量积和矩阵运算有了初步的了解，希望可以为读者提供一定的帮助和指导。
矩阵和向量
向量的加法、减法、数乘
向量加法：将两个向量对应元素相加，得到新的向量 向量减法：将两个向量对应元素相减，得到新的向量 向量数乘：将向量的每个元素乘以一个常数，得到新的向量 向量点乘：将两个向量对应元素相乘，得到新的向量 向量叉乘：将两个向量对应元素相乘，得到新的向量
向量的外积、内积和混合积
解最优解
数值分析：使用矩阵和向量进 行数值分析，如数值积分、数
值微分等
在数学建模中的应用
线性方程组求解：利用矩阵和向量的运算，可以快速求解线性方程组 优化问题：矩阵和向量可以用于解决优化问题，如线性规划、非线性规划等 概率统计：矩阵和向量可以用于概率统计中，如随机变量、协方差矩阵等 图论：矩阵和向量可以用于图论中，如最短路径、最小生成树等
矩阵和向量的扩 展知识
矩阵的秩
矩阵的秩是矩阵中 线性无关的行（或 列）的最大数目
矩阵的秩等于其 行向量组的秩
矩阵的秩等于其 列向量组的秩
矩阵的秩等于其 非零特征表示向 量的长度，是向量 的绝对值
向量的方向：表示 向量的方向，是向 量的指向
向量的模和方向的 关系：模和方向共 同决定了向量的位 置和方向
向量的坐标：向量中每个元素的位置
向量的长度：向量中元素的平方和的平 方根
向量的方向：向量中元素的符号和顺序
向量的基本性质
向量的长度：表示向量的大小，也称为 模
向量的方向：表示向量的方向，也称为 方向余弦
向量的加法：两个向量相加，得到新的 向量
向量的减法：两个向量相减，得到新的 向量
向量的数乘：向量与标量相乘，得到新 的向量
外积：两个向量 的叉乘，结果是 一个向量，其方 向垂直于两个向 量所在的平面
内积：两个向量 的点乘，结果是 一个标量，表示 两个向量的夹角 大小
向量与矩阵计算
向量与矩阵计算在数学中，向量和矩阵是非常重要的概念和工具。
它们在各种领域的数学和物理问题中都扮演着重要的角色。
本文将详细介绍向量和矩阵的计算方法以及其应用。
1. 向量的表示和计算向量是具有大小和方向的量，可以用箭头表示。
在坐标系中，向量可以用有序数对表示。
例如，对于一个二维空间中的向量v，可以表示为v=(x, y)，其中x和y分别是向量v在x轴和y轴上的分量。
向量的计算包括加法、减法和数量乘法。
向量的加法是将两个向量相应分量相加，即v1+v2=(x1+x2, y1+y2)。
向量的减法是将被减向量的分量分别减去减向量的分量，即v1-v2=(x1-x2, y1-y2)。
数量乘法是将向量的每个分量乘以一个实数，即k*v=(k*x, k*y)，其中k是实数。
2. 矩阵的表示和计算矩阵是一个矩形的数表，由行和列组成。
一个m×n的矩阵有m行和n列。
矩阵中的元素可以是实数或复数。
矩阵可以用方括号表示。
例如，一个2×3矩阵A可以表示为：A = [a11, a12, a13;a21, a22, a23]矩阵的加法是将对应元素相加，即A+B=[a11+b11, a12+b12,a13+b13; a21+b21, a22+b22, a23+b23]。
矩阵的数量乘法是将矩阵的每个元素乘以一个实数，即kA=[ka11, ka12, ka13; ka21, ka22, ka23]，其中k是实数。
矩阵的乘法是两个矩阵相乘的操作。
如果矩阵A是一个m×n的矩阵，矩阵B是一个n×p的矩阵，那么它们的乘积矩阵C是一个m×p的矩阵。
矩阵的乘法遵循分配律和结合律。
3. 向量的点积和叉积向量的点积也称为内积，计算方法是将两个向量对应分量相乘，并将结果相加。
对于二维向量v=(x1, y1)和w=(x2, y2)，它们的点积为v·w=x1*x2+y1*y2。
向量的点积有很多应用，例如计算向量间的夹角、计算向量在某个方向上的投影等。
空间向量矩阵运算
空间向量矩阵运算
空间向量矩阵运算是指在三维空间中，使用矩阵来表示向量，通过矩阵上的基本运算来实现向量的变换和计算的过程。
向量的表示可以使用坐标或者矩阵的形式，比如三维坐标系中的向量(x,y,z)可以表示为矩阵形式：
[x]。
[y]。
[z]。
对于两个向量A和B，可以进行向量加减、数量积、叉积等运算，具体如下：
1.向量加减：A+B=C，A-B=C。
将向量A、B表示为矩阵形式，直接按矩阵相加减法运算即可。
2.数量积：A·B=|A|×|B|×cosθ。
将向量A、B表示为矩阵形式，进行矩阵乘法运算，再求出向量的模长和夹角，即可得到数量积。
3.叉积：A×B=C，其中|C|=|A|×|B|×sinθ。
将向量A、B表示为矩阵形式，进行矩阵乘法运算，然后按照向量的叉积公式计算即可得到叉积向量C。
空间向量矩阵运算可以帮助实现三维图形的旋转、平移等操作，是计算机图形学中的基础知识。
向量与矩阵的运算
运用矩阵构造符[ ]包含所创建矩阵的所有元素；
使用逗号“ ，”或者空格“ ”分隔矩阵的列；
使用分号“ ；”或者回车键分隔矩阵的行。
向量与矩阵运算
向量与矩阵的生成（续）
矩阵的生成 直接输入: A=[1, 2, 3; 4, 5, 6; 7, 8, 9] 由向量生成 通过编写m文件生成 由函数生成
矩阵的旋转
fliplr(A) 垂直方向为轴翻转矩阵 flipud(A) 水平方向为轴翻转矩阵
rot90(A) 逆时针旋转 90 度； rot90(A,k) 逆时针旋转 k×90 度 >> B=fliplr(A) >> C=flipud(A) >> D=rot90(A), E=rot90(A,-1)
tril(A) triu(A)
rand(m,n) 产生 0～1 间均匀分布的随机矩阵 m=n 时简写为 rand(n)
randn(m,n) 产生均值为0，方差为1的标准正态分布随机矩阵 m=n 时简写为 randn(n)
【练习1】分别建立3×3、3×2和与矩阵A同样大小的 零矩阵。
(1) 建立一个3×3零矩阵。
【例】删除4阶随机矩阵的第3列 本例目的：理解缩小矩阵尺寸的方法
Matlab中常见数学函数
sin、cos、tan、cot、sec、csc、…
asin、acos、atan、acot、asec、acsc、… exp、log、log2、log10、sqrt
abs、conj、real、imag、sign fix、floor、ceil、round、mod、rem max、min、sum、mean、sort、fft norm、rank、det、inv、eig、lu、qr、svd …… ① log 是自然对数，即以 e 为底数 ② mod(x,y) 结果与 y 同号，rem(x,y) 则与 x 同号 ③ max 等函数的参数是矩阵时，是作用在矩阵各列上
《矩阵和向量的应用》课件
向量的外积和内积
向量的外积
向量的外积也称为叉积，是向量的一种运算。两个向量的外 积结果是一个向量，其方向垂直于作为运算输入的两个向量 。外积在物理和工程中有广泛的应用，如描述旋转和方向。
向量的内积
向量的内积也称为点积，是向量的一种基本运算。两个向量 的内积结果是一个标量，等于两个向量长度和夹角的余弦值 的乘积。内积在几何、物理和工程中有广泛应用，如描述长 度、角度和力矩等。
解特征多项式得到，也可以通过迭代法、 QR分解等方法求解。特征向量在解决线性
方程组、优化问题等方面有重要应用。
05
矩阵和向量的应用前景展望
矩阵和向量在人工智能领域的应用
机器学习算法
矩阵和向量在机器学习算法中扮演着重要的角色，如线 性代数、矩阵运算和向量空间模型等。它们被广泛应用 于分类、聚类、回归等任务中，如支持向量机、神经网 络等。
矩阵的特征值和特征向量
特征值
特征值是矩阵的一种数值特征，用于描述矩 阵的线性变换性质。特征值可以通过求解特 征多项式得到，对应的特征向量是满足$A cdot v = lambda cdot v$的向量。特征值 和特征向量在解决线性方程组、优化问题等 方面有重要应用。
特征向量
特征向量是与特征值对应的向量，用于描述 矩阵线性变换的性质。特征向量可以通过求
数据挖掘
矩阵和向量在数据挖掘中也有广泛的应用，如关联规 则挖掘、聚类分析等。它们可以帮助我们发现数据中 的模式和规律，为决策提供支持。
矩阵和向量在其他领域的应用
图像处理
矩阵和向量在图像处理中也有广泛的应用，如图像变 换、图像滤波等。它们可以帮助我们更好地处理和操 作图像数据，提高图像处理的效果和质量。
04
矩阵和向量的进阶满足方程$A cdot A^{1} = I$的唯一矩阵，其中$I$是单位 矩阵。逆矩阵在解线性方程组、求矩 阵的行列式等方面有重要应用。
矩阵和向量的应用
线性组合在矩阵和向量运算中具有广泛的应用，如求解线性方程组、计算向量空间中的向 量和等。
矩阵和向量的线性变换
线性变换定义
线性变换是向量空间中一种特殊的映射，它将向量空间中的每个向量 映射到另一个向量，且满足加法变换和标量乘法变换的线性性质。
线性变换性质
线性变换具有可加性和标量乘法性质，即对于任意标量$k$和向量$mathbf{a}, mathbf{b}$，有$T(kmathbf{a} + mathbf{b}) = kT(mathbf{a}) + T(mathbf{b})$。
未来矩阵和向量的发展方向
算法优化
并行计算
随着大数据和云计算技术的发展，矩阵和 向量的算法优化将成为一个重要方向，以 提高计算效率和精度。
利用并行计算技术加速矩阵和向量的计算 过程，提高大规模数值计算的效率。
应用拓展
理论完善
随着各领域的不断发展，矩阵和向量的应 用场景将不断拓展，如人工智能、机器学 习、量子计算等领域。
矩阵的算法实现
矩阵乘法
通过分块处理、分步计算等方式实现矩阵乘法，提高 计算效率。
矩阵转置
通过交换矩阵的行和列得到转置矩阵，实现矩阵的行 列互换。
矩阵求逆
通过高斯消元法、LU分解等算法求解矩阵的逆矩阵。
向量的算法实现
向量加法
对应元素相加得到新的向量。
向量数乘
一个标量与一个向量相乘得到新的向量。
向量点积
线性映射应用
线性映射在许多领域都有应用，如物理学中的刚体运动、控制系统中的状态方程等。
03
矩阵和向量的应用
在几何学中的应用
线性变换
01
矩阵可以表示平面上或空间中的线性变换，如旋转、缩放、平
矩阵与向量的运算
矩阵与向量的运算矩阵与向量是线性代数中的重要概念，它们的运算涉及到了许多实际问题的解决。
在本文中，我们将探讨矩阵与向量的运算规则，并以实际应用为例，展示它们在不同领域的重要性。
一、矩阵与向量的基本概念矩阵是由m行n列的数按照一定顺序排列而成的矩形数表，用大写字母表示，如A。
向量是由n个数按照一定顺序排列而成的数表，用小写字母表示，如x。
矩阵中的每个数称为元素，向量中的每个数称为分量。
矩阵与向量的运算包括加法、减法和数乘三种基本运算。
二、矩阵与向量的加法矩阵与向量的加法是指将同型矩阵或向量的对应元素相加得到一个新的矩阵或向量。
例如，对于两个同型矩阵A和B，它们的加法规则为：A + B = (a_ij + b_ij)，其中a_ij和b_ij分别表示A和B的第i行第j列的元素。
同样地，对于两个同型向量x和y，它们的加法规则为：x + y = (x_i + y_i)，其中x_i和y_i分别表示x和y的第i个分量。
三、矩阵与向量的减法矩阵与向量的减法是指将同型矩阵或向量的对应元素相减得到一个新的矩阵或向量。
例如，对于两个同型矩阵A和B，它们的减法规则为：A - B = (a_ij - b_ij)，其中a_ij和b_ij分别表示A和B的第i行第j列的元素。
同样地，对于两个同型向量x和y，它们的减法规则为：x - y = (x_i - y_i)，其中x_i和y_i分别表示x和y的第i个分量。
四、矩阵与向量的数乘矩阵与向量的数乘是指将矩阵或向量的每个元素乘以一个常数得到一个新的矩阵或向量。
例如，对于一个矩阵A和一个常数k，它们的数乘规则为：kA = (ka_ij)，其中a_ij表示A的第i行第j列的元素。
同样地，对于一个向量x和一个常数k，它们的数乘规则为：kx = (kx_i)，其中x_i表示x的第i个分量。
五、矩阵与向量的乘法矩阵与向量的乘法是指将一个矩阵的每一行与一个向量进行点乘得到一个新的向量。
例如，对于一个矩阵A和一个向量x，它们的乘法规则为：Ax = (a_i1x_1 +a_i2x_2 + ... + a_inx_n)，其中a_ij表示A的第i行第j列的元素，x_i表示x的第i个分量。
矩阵与向量的运算
矩阵与向量的运算在线性代数中，矩阵与向量是基本的概念之一，并且在数学和应用领域中具有广泛的应用。
矩阵可以看作是一个由数字组成的矩形数组，而向量则可以看作是一个具有一维的矩阵。
本文将介绍关于矩阵与向量的运算，包括加法、减法、数乘以及矩阵乘法等。
1. 加法和减法矩阵和向量的加法和减法操作是一种逐个元素相加或相减的操作。
假设有两个相同大小的矩阵A和B，它们的加法和减法可以表示如下：A +B = CA -B = D其中C和D分别为结果矩阵，其每个元素的数值等于相加或相减之后的结果。
同样，向量的加法和减法也是类似的操作。
2. 数乘数乘是指一个数与矩阵或向量的每个元素相乘的操作。
假设有一个矩阵A和一个标量α，其数乘操作可以表示如下：αA = B其中B为结果矩阵，其每个元素的数值等于该元素与标量的乘积。
同样，向量的数乘操作也是类似的。
3. 矩阵乘法矩阵乘法是指两个矩阵相乘的操作。
假设有一个m×n的矩阵A和一个n×p的矩阵B，其乘法操作可以表示如下：A ×B = C其中C为结果矩阵，其大小为m×p。
矩阵乘法的计算规则是，A的每一行与B的每一列对应元素相乘后求和，得到结果矩阵C的对应位置的元素。
需要注意的是，矩阵乘法满足结合律，但不满足交换律。
即AB ≠ BA。
同时，矩阵乘法的定义要求前一个矩阵的列数等于后一个矩阵的行数，才能进行乘法操作。
4. 矩阵与向量的乘法矩阵与向量的乘法是指矩阵与列向量相乘的操作。
假设有一个m×n 的矩阵A和一个n维的列向量x，其乘法操作可以表示如下：A × x = y其中y为结果向量，其维度与A的行数m相同。
矩阵与向量的乘法实际上是矩阵乘法的特殊情况，可以视为每一行与列向量的对应元素相乘后求和得到结果向量y的对应位置的元素。
总结：矩阵与向量的运算包括加法、减法、数乘以及矩阵乘法等。
加法和减法是逐个元素相加或相减的操作，数乘是将矩阵或向量的每个元素与标量相乘的操作，矩阵乘法是两个矩阵相乘的操作，而矩阵与向量的乘法是指矩阵与列向量相乘的操作。
线性代数03矩阵及其运算PPT课件
3）
1 1
00 11
10
1 1
0 0
1 2
00 11
0 1
1 1
0 0
➢若 AB BA, 则称矩阵 A乘积、可交B换.
26
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例题
例5
求矩阵
A
1 2
0 1
3 0
21 与
4
B
1 2 1
1 1 0 3
0
3
1 4
的乘积 AB.
A B 4 3 解 析： 是 矩阵， 是 矩阵， 的列数等
7
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n 例4 个变量
x与1 , m 个x变2 ,量之间, 的xn关系式
y1 , y2 ,, ym
称为从变量
y1 a11 x1 a12 x2 a1n xn ,
y2 a21 x1 a22 x2 a2n xn ,
(1)
ym am1 x1 am2 x2 amn xn ,
13
第13页/共59页
❖西尔维斯特（Sylvester, 1814-1897），他是犹太 人，故他在取得剑桥大学数学荣誉会考第二名的优 异成绩时，仍被禁止在剑桥大学任教。从1841年起 他接受过一些较低的教授职位，也担任过书记官和 律师。经过一些年的努力，他终于成为霍布金斯大 学的教授，并于1884年70岁时重返英格兰成为牛津 大学的教授。他开创了美国纯数学研究，并创办了 《美国数学杂志》。在长达50多年的时间内，他是 行列式和矩阵论始终不渝的作者之一。
元(的i,矩j阵) 可简记作
或
.
(aij ) (aij )mn
m n 矩阵 A也记作
Amn .
注意
（1）矩阵的记号是在数表外加上括弧，与行列式的记号（在数表外加上双竖线） 是不同的，这是两个不同的概念，注意区别.
向量,矩阵
向量,矩阵
摘要：
1.向量和矩阵的定义
2.向量和矩阵的基本运算
3.向量和矩阵的应用领域
4.我国在向量和矩阵研究方面的贡献
正文：
向量和矩阵是线性代数中的两个重要概念，它们广泛应用于数学、物理、计算机科学等多个领域。
1.向量和矩阵的定义
向量是一个有方向和大小的量，可以用一个有序的数列表示。
在数学中，向量通常用大写字母表示，如A。
矩阵是一个由行和列的数字组成的矩形阵列，通常用小写字母表示，如a。
矩阵可以看作是一个特殊的向量，即行向量或列向量。
2.向量和矩阵的基本运算
向量和矩阵的基本运算包括加法、减法、数乘、点积、叉积等。
其中，加法和减法适用于同类型的向量或矩阵，而数乘和点积则适用于向量和标量或向量。
叉积适用于三维空间中的向量。
3.向量和矩阵的应用领域
向量和矩阵在许多领域都有广泛的应用。
在物理学中，它们可以用来描述物体的运动和力的作用；在计算机科学中，它们可以用来表示图形、图像和数
据；在工程学中，它们可以用来解决各种实际问题，如控制系统、信号处理等。
4.我国在向量和矩阵研究方面的贡献
我国在向量和矩阵研究方面取得了举世瞩目的成果。
许多著名的数学家和科学家，如华罗庚、陈景润等，为向量和矩阵的理论研究做出了巨大贡献。
近年来，我国在向量和矩阵的应用研究方面也取得了显著进展，如深度学习、大数据分析等领域。
总之，向量和矩阵是线性代数中的重要概念，它们在多个领域都有广泛应用。
向量和矩阵运算
向量和矩阵运算
向量和矩阵运算是线性代数的重要组成部分。
在数学中，向量是指带有大小和方向的量，可以用一个序列表示。
而矩阵则是由多个行和列组成的数字表格，可以用来表示线性变换。
向量和矩阵的加法是指将两个向量或矩阵的相应元素相加，得到一个新的向量或矩阵。
向量和矩阵的减法是指将两个向量或矩阵的相应元素相减，得到一个新的向量或矩阵。
向量和矩阵的乘法有两种，分别是点积和叉积。
点积是指将两个向量的相应元素相乘并相加，得到一个标量。
叉积是指用两个向量构成的平行四边形的面积来定义一个新的向量。
矩阵乘法是指将一个矩阵的行与另一个矩阵的列相乘并相加，得到一个新的矩阵。
矩阵乘法不满足交换律，即AB不一定等于BA，但满足结合律，即A(BC)=(AB)C。
逆矩阵是指一个矩阵的逆矩阵与该矩阵相乘得到单位矩阵。
只有方阵才有逆矩阵。
如果一个矩阵没有逆矩阵，那么它就是奇异矩阵。
对于方阵A，如果它的行列式不等于0，则A有唯一的逆矩阵。
特征值和特征向量是矩阵的两个重要特征。
特征值是指矩阵对应的线性变换在某
个方向上的缩放倍数。
特征向量是指在某个方向上不改变方向的向量。
一个方阵的特征值和特征向量可以通过解方程组来求得。
总之，向量和矩阵运算在数学和计算机科学中有广泛的应用。
它们是理解和应用线性代数、机器学习和数据科学的基础。
第三讲 向量与矩阵的运算
向量与矩阵运算
向量与矩阵的生成
向量的生成 直接输入: 直接输入: a=[1,2,3,4] 冒号运算符 冒号运
例：a=[1:4] ==> a=[1, 2, 3, 4]
b=[0:pi/3:pi] ==> b=[0, 1.0472, 2.0944, 3.1416] c=[6:-2:0] ==> c = [6, 4, 2, 0]
向量与矩阵运算
MATLAB的基本数据结构为矩阵，其所有 的基本数据结构为矩阵， 的基本数据结构为矩阵 运算都是基于矩阵进行的。从形式上看， 运算都是基于矩阵进行的。从形式上看，矩 阵可以理解成二维的数组， 阵可以理解成二维的数组，矩阵可以方便地 存储和访问MATLAB中众多数据类型，构成矩 中众多数据类型， 存储和访问 中众多数据类型 阵的元素可以是MATLAB中的任何数据类型。 中的任何数据类型。 阵的元素可以是 中的任何数据类型 接下来主要讲解矩阵和数组的基本结构， 接下来主要讲解矩阵和数组的基本结构，即 操作内容，包括矩阵的生成、矩阵的拼接、 操作内容，包括矩阵的生成、矩阵的拼接、 矩阵变形、矩阵元素的寻访、 矩阵变形、矩阵元素的寻访、获取矩阵的信 各种特殊矩阵类型的知识. 息，各种特殊矩阵类型的知识
向量与矩阵运算
矩阵是所有MATLAB运算的基础，大家如果要 运算的基础， 矩阵是所有 运算的基础 实现科学运算、程序设计、特性绘制等目标， 实现科学运算、程序设计、特性绘制等目标， 必须要确定矩阵的类型，并建立矩阵。 必须要确定矩阵的类型，并建立矩阵。MATLAB 中创建一个矩阵可以有两种常用的方法： 中创建一个矩阵可以有两种常用的方法： 直接输入矩阵元素。 一、直接输入矩阵元素。 调用矩阵创建函数。 二、调用矩阵创建函数。
输入元素创建简单矩阵
向量与矩阵基本运算
1、三角分解
最基本的分解“LU”分解，矩阵分解为两个 基本三角矩阵形成的方阵，一个为上三角矩阵 一个为下三角矩阵。计算的方法用高斯消去法。 函数格式[L,U]=lu(X)
%L,U为输出变量(返回值)，A为输入变量， U为上三角阵，L为下三角阵或其变换形式， 满足LU=X 运行结果如下：
① log 是自然对数，即以 e 为底数 ② mod(x,y) 结果与 y 同号，rem(x,y) 则与 x 同号 ③ max 等函数的参数是矩阵时，是作用在矩阵各列上
上机作业
1. 试分别生成 5 阶的单位阵、8 阶均匀分布的随机矩阵及其 下三角矩阵
2. 生产列向量 x=[1, 3, 5, 7, 9, … , 29] 3. 生成以 x 的元素为对角线的矩阵 A，并输出 A 的行数 4. 生成一个与 A 同阶的正态分布的随机矩阵 B 5. 输出 A 与 B 的 kronecker 乘积矩阵 C 6. 生成由 A 与 B 点乘得到的矩阵 D 7. 生成一个由 D 的第 8、4、10、13 行和第 7、1、6、9、2
>> B=fliplr(A) >> C=flipud(A) >> D=rot90(A), E=rot90(A,-1)
矩阵操作
矩阵的转置与共轭转置
’ 共轭转置 .’ 转置，矩阵元素不取共轭
点与单引号之间不能有空格！
例：>> A=[1 2;2i 3i]（动手验证）
>> B=A’ >> C=A.’
a11B C ABa21B
an1B
a12B a22B
an2B
a1mB a2mB
向量与矩阵的运算解读
向量與矩陣的運算請設計一程式完成下列各式的運算結果：a=[1 2 3;4 5 6;7 8 9]b=[9 8 7;6 5 4;3 2 1]求a+b之和程式設計：cleara=[1 2 3;4 5 6;7 8 9];b=[9 8 7;6 5 4;3 2 1];c=a+b執行結果：c =10 10 1010 10 1010 10 10請設計一程式完成下列各式的運算結果：a=[1 2 3;4 5 6;7 8 9]b=[9 8 7;6 5 4;3 2 1]求a-b之值。
程式設計：cleara=[1 2 3;4 5 6;7 8 9];b=[9 8 7;6 5 4;3 2 1];c=a-b執行結果：c =-8 -6 -4-2 0 24 6 8請設計一程式完成下列各式的運算結果：a=[1 2 3;4 5 6;7 8 9]b=[9 8 7;6 5 4;3 2 1]求a*b之值。
程式設計：cleara=[1 2 3;4 5 6;7 8 9];b=[9 8 7;6 5 4;3 2 1];c=a*b執行結果：a =1 2 34 5 67 8 9b =9 8 76 5 43 2 1c =30 24 1884 69 54138 114 90請設計一程式完成下列各式的運算結果：a=[1 2 3;4 5 6;7 8 9]b=[9 8 7;6 5 4;3 2 1]求a.*b之值。
程式設計：cleara=[1 2 3;4 5 6;7 8 9];b=[9 8 7;6 5 4;3 2 1];c=a.*b執行結果：c =9 16 2124 25 2421 16 9設A=[1 2 3;4 5 6] ,a=[2 3 4;5 6 7] , 請分別取出A(2,3)與a(2,3)之元素，並觀察其結果如何?程式編輯如下：A=[1 2 3;4 5 6]a=[2 3 4;5 6 7]x=A(2,3)y=a(2,3)執行結果：A =1 2 34 5 6a =2 3 45 6 7x =6y =7設A=[1 2 3]; B=[4 5 6]; 則A（A+B）如何?程式設計：% Matrix Operations.A=[1 2 3];B=[4 5 6];C=A(A+B)執行結果：??? A（A+B）|Error: Missing operator, comma, or semicolon.設A=[1 2 3]; B=[4 5 6]; 則A*（A+B）如何?程式設計：clearA=[1 2 3];B=[4 5 6];C=A .*(A+B)執行結果：C =5 14 27設A=[1 2 3] ,B=[4;5;6] ,求A+B之值如何?執行結果：A =1 2 3B =456??? Error using ==> +Matrix dimensions must agree.設A=[1 2 3 ] ,B=[4; 5; 6] , 則A*B如何?執行結果：A =1 2 3B =456ans =32設A=[1 2 3 ] ,B=[4; 5; 6] ,則A.*B如何?執行結果：??? Error using ==> .*Matrix dimensions must agree.設A=[1 2 3] 若B=inv(A) 則B的內涵如何?執行結果：A =1 2 0??? Error using ==> invMatrix must be square.設A=[1 2 0 ; 2 5 -1; 4 10 -3] 則inv(A)的結果如何?A =1 2 02 5 -14 10 -3ans =5 -6 2-2 3 -10 2 -1設A=[1 2 0;2 5 -1;4 10 -1] ,B=inv(A)C=A*B 則C的結果如何? 執行結果： A =1 2 02 5 -14 10 -1B =5 2 -2-2 -1 10 -2 1C =1 0 00 1 00 0 1設a=[1 2 -3 ;4 5 -4; 5 -6 7]請設計一程式找出該矩陣大於或等於3以上的位置。
第三章矩阵和向量的应用ppt课件
1,2,,nr是解空间的一组系基。础解
例1：求方程组的通解
x1 2x2 x3 0 2x1 3x2 x3 0
解：
4x1 7x2 x3 0
1 A 2
4
2 3 7
1 1
1 0
1
r2
2r1
0
2 1 1
1
3
1 0
你能推导出向量在不同基下的坐标变换式吗？
3.向量在一组基下的坐标如何求？
详见参考书第59页。
一般有两种求法：待定系数法与矩阵方程法。
若齐次线性方程组的解空间存在一组基 1,2, ,s,则方程组的全
部解就是 k 11 k 22 k ss,这称为方程组的通解。
由此可见，要求方程组的全部解，只需求出其基。
3 0
1 0
0
0 1 0
5 3 0
1 0 0
0 1 0
5 同解方程组为
3 0
x1 5x3 x2 3x3
2 1 1 3 0 0
x3 1,
x1 5
x2
3
基础解系为 (5,3,1)T 通解为 kk(5,3,1)T
例2：求方程组的通解 x1 x2 x3 x4 0
n
a2n
a
mn
b 1
b2
b
m
x 11 x 22 x nn
方程组的向量方程
非齐次线性方程组的有解判定
方程组（1）有解 可由 1,2, ,n线性表示 A (1 ,2 , ,n ,)r ( , A ) r ( A ) A(1,2, ,n,)称为(1 方 )的程 增组 .广矩 非齐次线性方程组的解法
xr1,xr2, ,xn
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zeros(size(A))
%产生一个与矩阵A同样
大小的零矩阵
【练习2】 试建立以下随机矩阵： (1) 在区间[20,50]内均匀分布的5阶随机矩阵。 (2) 均值为0.6、方差为0.1的5阶正态分布随机矩阵。
命令如下： >>x=20+(50-20)*rand(5) >>y=0.6+sqrt(0.1)*randn(5)
>> v=(10:-1:1)
v=
10
9
8
7
6
5
4
3
2
1
向量
数列中的元素不但可以是整数，也可以取负数和 小数，在命令窗口输入代码，观察结果：
>>b=(-4.4:4.4)
Matlab默认数列差值为整数1，在默认差值情况 下，数列为递增数列；大家可以自行设置p > q的情 况，但此时需要将差值设置为负数，否则系统会显示： 生成的是空矩阵。
自己动手 试以阶为3的魔术矩阵熟悉上述操作
矩阵操作
矩阵的转置与共轭转置
’ 共轭转置 .’ 转置，矩阵元素不取共轭
点与单引号之间不能有空格！
例：>> A=[1 2;2i 3i]
>> B=A’ >> C=A.’
矩阵操作
改变矩阵的形状：reshape
reshape(A,m,n): 将矩阵元素按 列方向 进行重组 重组后得到的新矩阵的元素个数 必须与原矩阵元素个数相等！
① log 是自然对数，即以 e 为底数 ② mod(x,y) 结果与 y 同号，rem(x,y) 则与 x 同号 ③ max 等函数的参数是矩阵时，是作用在矩阵各列上
拼接矩阵
矩阵的拼接是指两个或者两个以上的单个 矩阵，按一定的方向进行连接，生成新的矩 阵。从本质上说，矩阵的拼接就是一种创建 矩阵的特殊方法，区别在于基础元素是原始 矩阵，目标是新的合并矩阵。本节主要介绍 矩阵拼接的两种方法，一是利用矩阵生成符 [ ]，另一种是调用矩阵拼接函数。
参与运算的对象必须具有相同的形状！
数与数组的点幂
例：x=[1 2 3]; y=[4 5 6];
x.^y =[1^4,2^5,3^6]=[1,32,729] x.^2 =[1^2,2^2,3^2]=[1,4,9]
2 .^x = ? 2 .^[x;y]= ?
.^ 前面留个空格
Matlab中的所有 标点符号必须在 英文状态下输入
向量与矩阵运算
矩阵是所有MATLAB运算的基础，大家如果要 实现科学运算、程序设计、特性绘制等目标，必 须要确定矩阵的类型，并建立矩阵。MATLAB中 创建一个矩阵可以有两种常用的方法：
一、直接输入矩阵元素。
二、调用矩阵创建函数。
输入元素创建简单矩阵
对于简单的矩阵，特别是元素数目不多的矩阵， 逐个输入矩阵元素是最常用、最便捷的矩阵创建方 法，其遵循以下3条原则：
x=
5
>> ndims(x)
ans =
2
>> size(x)
ans =
1
1
% 查看x的维数 %查看行、列维的数值
空矩阵
MATLAB中为了表示和操作的方便，引入了 “空矩阵”的概念，其含义是至少一维的数值为0 的矩阵。空矩阵可以是、和（n为正整数）。空矩 阵不是全0矩阵，大家可以通过如下指令建立一个 空矩阵a，再利用whos指令查看其名称、大小和数 据类型。
diag(X) 若 X 是矩阵，则 diag(X) 为 X 的主对角线向量 若 X 是向量，diag(X) 产生以 X 为主对角线的对角矩 阵
tril(A) 提取一个矩阵的下三角部分
triu(A) 提取一个矩阵的上三角部分 rand(m,n) 产生 0～1 间均匀分布的随机矩阵 m=n 时简写为
rand(n) randn(m,n) 产生均值为0，方差为1的标准正态分布随机矩阵
A=
1
3
5
பைடு நூலகம்
7
9 11
13 15 17
矩阵操作
矩阵的旋转
fliplr(A) 垂直方向为轴翻转矩阵 flipud(A) 水平方向为轴翻转矩阵 rot90(A) 逆时针旋转 90 度；
rot90(A,k) 逆时针旋转 k×90 度
例：>> A=[1 2 3;4 5 6]
>> B=fliplr(A) >> C=flipud(A) >> D=rot90(A), E=rot90(A,-1)
向量与矩阵运算
向量与矩阵的生成（续）
矩阵的生成 ✓ 直接输入: A=[1, 2, 3; 4, 5, 6; 7, 8, 9] ✓ 由向量生成 ✓ 通过编写m文件生成 ✓ 由函数生成
例：>> x=[1,2,3];y=[2,3,4];
>> A=[x,y], B=[x;y]
例：>> C=magic(3)
矩阵的数组运算
数组运算：对应元素进行运算
数组运算包括：点乘、点除、点幂 相应的数组运算符为：“.* ” ，“./ ”， “.\ ”和“ .^ ”
点与算术运算符之间不能有空格！
例：>> A=[1 2 3; 4 5 6]; B=[3 2 1; 6 5 4];
>> C=A.*B; D=A./B; E=A.\B; F=A.^B;
如果p和q的距离是非整数，Matlab仍然默认差 为1，直到递增量加1超过数列尾数时停止。但是大家 设置差值时，递增量可以任意取值。
标量
标量是行列数都是1的特殊矩阵，任意以矩阵 形式表示的单个实数或复数，称之为标量。如下 实数x就是一个标量。实数5的维数为2，即行和 列；且各维数值都为1。
>> x=5
数学实验
向量与矩阵运算
向量
向量是行数或列数为1的特殊矩阵，其一般显示为 1n或n1的数列。用户在构造新矩阵，以及对矩阵 进行访问、修改等操作时，常用到向量数列。
MATLAB提供了生成等差向量数列的符号-冒号， 例如:(p:q)生成从p到q，差为1的递增向量数列。 例如:创建10~1的等差递减数列，在命令窗口输入 代码及执行结果如下。
矩阵操作
查看矩阵的大小：size
size(A) 列出矩阵 A 的行数和列数 size(A,1) 返回矩阵 A 的行数 size(A,2) 返回矩阵 A 的列数
例：>> A=[1 2 3; 4 5 6]
>> size(A) >> size(A,1) >> size(A,2)
length(x) 返回向量 X 的长度 length(A) 等价于 max(size(A))
【例】在矩阵尺寸之外增加一个或多个元素， 改变原矩阵的大小。 本例目的：理解用添加元素来扩大矩阵尺寸的方法
改变矩阵尺寸
缩小矩阵的尺寸
如果要让矩阵“变小”，也就是删除矩阵的 某行或某列，只要把目标行或列赋予一个空矩 阵[ ]即可。 【例】删除4阶随机矩阵的第3列
本例目的：理解缩小矩阵尺寸的方法
此外，还可利用一般向量和end运算符等来表示矩 阵下标，从而获得子矩阵。end表示某一维的末尾元 素下标。
【练习】提取矩阵 A 的1,3,5列。
A=[1,2,3,4,5,6;7,8,9,10,11,12; 13,14,15,16,17,18];
>>A1=A(:,[1,3,5]) % 方法一
>>A(:,[2,4])=[ ] % 方法二：利用空阵
运用矩阵构造符[ ]包含所创建矩阵的所有元素；
使用逗号“ ，”或者空格“ ”分隔矩阵的列；
使用分号“ ；”或者回车键分隔矩阵的行。
向量与矩阵运算
向量与矩阵的生成
向量的生成 ✓直接输入: a=[1,2,3,4] ✓ 冒号运算符
例：a=[1:4] ==> a=[1, 2, 3, 4]
b=[0:pi/3:pi] ==> b=[0, 1.0472, 2.0944, 3.1416] c=[6:-2:0] ==> c = [6, 4, 2, 0]
本例目的：熟悉矩阵的拼接方法和不同方向上拼接 的区别。
改变矩阵尺寸
矩阵的尺寸又称矩阵的大小。在MATLAB 中，用户可以方便地对矩阵的尺寸进行扩大和 缩小，扩大矩阵的主要方式是拼接和添加元素， 缩小矩阵的方式是删除矩阵中的某行或某列元 素。
改变矩阵尺寸
扩大矩阵的尺寸
矩阵拼接 在矩阵尺寸之外添加元素
矩阵操作
提取矩阵的部分元素： 冒号运算符
A(:) A的所有元素 A(:,:) 二维矩阵A的所有元素 A(:,k) A的第 k 列， A(k,:) A的第 k 行 A(k:m) A的第 k 到第 m 个元素 A(:,k:m) A的第 k 到第 m 列组成的子矩阵
自己动手
A(:) 与 A(:,:) 的区别 ? 如何获得由 A 的第一、三行和第一、二列组成的子矩阵？
>> C=A*B
矩阵基本运算
矩阵的除法：/、\ 右除和左除
若 A 可逆方阵，则 B/A <==> A 的逆右乘 B <==> B*inv(A) A\B <==> A 的逆左乘 B <==> inv(A)*B
通常，矩阵除法可以理解为
X=A\B <==> A*X=B X=B/A <==> X*A=B 当 A 和 B 行数相等时即可进行左除 当 A 和 B 列数相等时即可进行右除
①A(:,j)表示取A矩阵的第j列全部元素；
A(i,:)表示A矩阵第i行的全部元素；
A(i,j)表示取A矩阵第i行、第j列的元素。
②A(i:i+m,:)表示取A矩阵第i～i+m行全部元素； A(:,k:k+m)表示取A矩阵第k～k+m列的全部元素， A(i:i+m,k:k+m)表示取A矩阵第i～i+m行内，并在 第k～k+m列中的所有元素。