向量与矩阵的基本运算分解
向量与矩阵的基本运算与性质
向量与矩阵的基本运算与性质向量与矩阵是线性代数的基础概念，它们在数学和物理领域中扮演着重要的角色。
本文将介绍向量与矩阵的基本运算以及它们的性质。
一、向量向量是具有大小和方向的量，通常表示为一个有序的实数列表或箭头。
向量可以用于表示力、速度、加速度等概念。
在线性代数中，向量通常表示为一个列向量或行向量。
1. 向量的表示向量可以用单个变量加上一个箭头表示，例如a→。
在文本中，向量通常以粗体字母表示，例如a。
2. 向量的加法向量的加法是指对应位置上的元素相加得到新的向量。
设有两个n 维向量a=(a1,a2,...,aa)和a=(a1,a2,...,aa)，则它们的和为：a+a=(a1+a1,a2+a2,...,aa+aa)3. 向量的数量乘法向量的数量乘法是指将向量的每个元素与一个实数相乘得到新的向量。
设有一个n维向量a=(a1,a2,...,aa)和实数a，则其数量乘积为：aa=(aa1,aa2,...,aaa)4. 向量的点积向量的点积，也称为内积或数量积，是两个向量对应位置上的元素相乘再相加的结果。
设有两个n维向量a=(a1,a2,...,aa)和a=(a1,a2,...,aa)，则它们的点积为：a·a=a1a1+a2a2+...+aaaa二、矩阵矩阵是一个二维数组，通常用于表示一组数据或线性变换。
矩阵由行和列组成，行表示矩阵的水平方向，列表示矩阵的垂直方向。
1. 矩阵的表示矩阵通常以大写字母表示，例如a、a。
一个m行n列的矩阵可以表示为：a=⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎣a11 a12 ⋯a1a a21 a22 ⋯a2a⋮⋮⋱⋮aa1 aa2 ⋯aaa⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎦2. 矩阵的加法矩阵的加法是指对应位置上的元素相加得到新的矩阵。
设有两个m 行n列的矩阵a和a，则它们的和为：a+a=⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎣a11+a11 a12+a12 ⋯a1a+a1a a21+a21a22+a22 ⋯a2a+a2a⋮⋮⋱⋮aa1+aa1 aa2+aa2 ⋯aaa+aaa⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎦3. 矩阵的数量乘法矩阵的数量乘法是指将矩阵的每个元素与一个实数相乘得到新的矩阵。
线性代数中的矩阵与向量之运算技巧
线性代数中的矩阵与向量之运算技巧矩阵和向量是线性代数中最基础的概念之一。
了解它们的运算技巧是学好线性代数的前提。
本文将介绍一些常用的矩阵和向量运算技巧。
一、矩阵基本运算1. 加减法运算对于两个相同大小的矩阵A和B，它们的和(A+B)和差(A-B)分别对应位置上的元素相加减得到。
例如：A = [[1,2],[3,4]]B = [[-1,3],[4,-2]]则 A+B = [[0,5],[7,2]]，A-B = [[2,-1],[-1,6]]2. 数乘运算对于数k和一个矩阵A，它们的积(kA)就是把A的每个元素都乘以k得到。
例如：A = [[1,2],[3,4]]k = 2则 kA = [[2,4],[6,8]]3. 矩阵乘法对于两个矩阵A和B，若A的列数等于B的行数，则它们可以相乘得到一个新的矩阵C。
C的每个元素都是A的一行与B的一列对应元素的乘积之和。
例如：A = [[1,2,3],[4,5,6]]B = [[-1,3],[2,-4],[5,1]]则 AB = [[18,-8],[39,9]]注意：矩阵乘法不满足交换律，即A×B ≠ B×A。
二、向量基本运算1. 加减法运算对于两个相同长度的向量v和w，它们的和(v+w)和差(v-w)分别对应位上的元素相加减得到。
例如：v = [1,2,3]w = [-1,4,2]则 v+w = [0,6,5]，v-w = [2,-2,1]2. 数乘运算对于数k和一个向量v，它们的积(kv)就是把v的每个元素都乘以k得到。
例如：v = [1,2,3]k = 2则 kv = [2,4,6]3. 点积运算对于两个长度相同的向量v和w，它们的点积(v·w)是将两个向量对应位置元素的乘积相加得到的一个数。
例如：v = [1,2,3]w = [-1,4,2]则 v·w = 9本文介绍的是矩阵和向量的基本运算技巧，仅是线性代数的冰山一角，线性代数是一门内涵丰富的课程，需要大家认真研究，深入理解。
向量与矩阵的定义及运算学习资料
α 1 (2α) 2
（1 5，1 1，1 6，1 （ 1）,1 4)
2 22 2
2
2.5, 0.5, 3, 0.5, 2 ,
β1(2 β ) ( 0 .5 ,0 .5 ,2 ,1 .5 , 2 ). 2
12
二 矩阵
定义3 设P是复数集C的一个子集合，其中包含 0与1。如果P中的任意两个数a,（ b这两个数也可 以相同）的和、差、积、商（除数不为零）仍 在P中，则称P是一个数域(number field).
向量与矩阵的定义及运算
n维行向量和n维列向量都可称为n维向量
(vector), n维向量常用小写黑体希腊字母，， ，L 表示。
例： ＝（1，3，8）;
(10, 23,45, 2);
x
＝ y
z
2
定 义 2 设 两 个 n维 向 量 ＝(a1, a2 ,L , an ), (b1 , b2 ,L , bn )
定义5 设A(aij)sn和B(bij)sn是(数域P上) 两个sn(同型)矩阵，则 (1)如果它们对应的元素分别相等，即aij bij, (i 1,2,L,s;j 1,2,L,n),则称A与B相等，记作 AB.
注意：和要简写成 必须满足：每项形式完全一样，不一样
的只是求和指标，而且求和指标连续从小到大增加一。 9
例 2 证 明 ： 任 意 n维 向 量 (k1,k2,L,kn)是 向 量 组 1(1,0,L,0),2(0,1,L,0),L,n(0,L,0,1)的
一 个 线 性 组 合 。 证明：由向量的线性运算，得
(k1, k2 ,L , kn ) (k1, 0,L , 0) (0, k2, 0,L , 0) L (0,L , 0, kn )
向量与矩阵运算
向量与矩阵运算在高中数学学科中，向量与矩阵运算是一项重要的内容。
向量与矩阵的概念与运算规则不仅在数学中有广泛的应用，而且在物理、工程、计算机科学等领域也有着重要的地位。
本文将详细介绍向量与矩阵的定义、基本运算以及一些常见应用。
一、向量的定义与基本运算向量是有方向和大小的量，通常用箭头表示。
向量可表示为一个有序的数字组成的列，也可以视为从原点指向某一点的箭头。
例如，向量A可以表示为(A1, A2, ..., An)。
向量的基本运算包括加法和数乘。
向量的加法是对应元素相加，即A +B = (A1 + B1, A2 + B2, ..., An + Bn)，其中A和B为同维数的向量。
数乘是将向量的每个元素都乘以一个实数，即kA = (kA1, kA2, ..., kAn)，其中k为实数。
二、矩阵的定义与基本运算矩阵是一个按照矩形排列的数表，通常用大写字母表示。
矩阵有行与列组成，用m×n表示，其中m表示矩阵的行数，n表示矩阵的列数。
矩阵的基本运算包括矩阵加法、矩阵数乘和矩阵乘法。
矩阵的加法是对应元素相加，即A + B = [aij + bij]，其中A和B为同维数的矩阵。
矩阵的数乘是将矩阵的每个元素都乘以一个实数，即kA = [kaij]。
矩阵的乘法是一种复合运算，需要满足乘法的规则。
若A为m×n 的矩阵，B为n×p的矩阵，则AB为m×p的矩阵。
矩阵AB的第i行第j列元素可以表示为：ABij = aij * bij，其中aij表示A矩阵的第i行第j 列元素，bij表示B矩阵的第i行第j列元素。
三、向量与矩阵的应用向量与矩阵运算在许多实际问题中有着广泛的应用。
以下是一些常见的应用领域：1. 物理学：在物理学中，向量和矩阵可以用来描述物体的运动和力的作用。
例如，位移向量可以用来描述物体的位置变化，力矩矩阵可以用来描述物体受到的力的作用。
2. 工程学：向量和矩阵可以用来描述工程中的各种变量和关系。
向量分解定理
向量分解定理向量分解定理是线性代数中的重要定理之一。
它指出，对于一个给定的向量空间V和其子空间U，任何向量v∈V都可以唯一地表示为U的一个向量u与U的补空间的一个向量w的和。
换句话说，任何一个向量都可以分解为与给定子空间无关的两个向量之和。
在进一步探讨向量分解定理之前，我们需要先了解一些基本概念。
向量空间是指具有加法和数乘两种运算的非空集合，它满足特定的运算规则。
子空间是在向量空间内构成的一个向量子集，它本身也是一个向量空间。
补空间是指与给定子空间正交的向量构成的向量子集。
在线性代数的研究中，向量分解定理发挥着重要作用。
它提供了一种方法来寻找向量空间中的最优解。
对于一个给定的向量v∈V，我们希望能够将其分解为U的一个向量u与U的补空间的一个向量w的和。
这样一来，我们就可以根据具体的问题要求去选择合适的子空间U，以及使得向量v达到最优的补空间向量w。
向量分解定理的证明过程可以通过构造线性方程组来实现。
我们可以选择一个合适的基，并找到V的基底B1和U的基底B2。
然后根据V和U的基底B1和B2构造出一个矩阵A，并将向量v写为矩阵A乘以一个向量x的形式。
通过求解线性方程组Ax= v，我们就可以得到x的解，从而得到向量v关于子空间U的向量分解。
向量分解定理的一个重要应用是在最小二乘法中的使用。
最小二乘法是一种常见的回归分析方法，它用于拟合线性方程模型时，寻找使得模型与实际观测值之间误差平方和最小的参数。
在最小二乘法中，我们希望将观测值向量y表示为模型矩阵X 与参数向量β的乘积，即y=Xβ。
然而，由于观测误差的存在，通常情况下方程组的解不存在。
这时，我们可以通过向量分解定理，将观测值向量y分解为模型矩阵X的列空间的向量与X的列空间的补空间的向量之和。
这样一来，我们可以通过最小化观测值向量y在X的列空间上的投影误差来近似求解参数向量β。
除了最小二乘法，向量分解定理还在其他领域有广泛的应用。
例如在图像处理中，将图像表示为其灰度基函数与系数的乘积形式，就是利用了向量分解定理的思想。
向量与矩阵的定义及运算
a11 a12
a
21
a22
a
s
1
as2
a1n
a
2
n
a
sn
称 为 数 域 P上 的 s n矩 阵 (m atrix )， 通 常 用 一 个 大 写
黑 体 字 母 如 A或 Asn表 示 ， 有 时 也 记 作 A (aij )sn , 其
中 aij (i 1, 2, , s; j 1, 2, , n)称 为 矩 阵 A的 第 i行 第 j列
注意：和要简写成 必须满足：每项形式完全一样，不一样
的只是求和指标，而且求和指标连续从小到大增加一。 10
例 2证 明 ： 任 意 n维 向 量 (k1,k2, ,kn)是 向 量 组 1(1,0, ,0),2(0,1, ,0), ,n(0, ,0,1)的
一 个 线 性 组 合 。 证明：由向量的线性运算，得
例 子 ： 有 理 数 集 Q 、 实 数 集 R 、 复 数 集 C都 是 数 域 ， 分 别 称 为 有 理 数 域 、 实 数 域 、 复 数 域 。 而 整 数 集 Z不 是 数 域 。 我 们 主 要 用 到 的 是 实 数 域 和 复 数 域 。
14
定 义 4 数 域 P中 s n个 数 排 成 的 s行 n列 的 长 方 表 ，
k与 的 数 乘 ， 记 作 k (ka1, ka2 , , kan ).
注 意 ： 同 型 向 量 才 能 进 行 加 法 以 及 比 较 是 否 相 等
4
(4)分 量 全 为 零 的 向 量 (0 ,0 , ,0)称 为 零 向 量 ， 记 作 0 (应 注 意 区 别 数 零 和 零 向 量 )；
元 素(entry )。
15
§1.1-向量与矩阵的定义及运算
(10)若kA 0，则k 0,或者A 0.
28
例 设矩阵A、B、C满足等式 3(A+C)=2(B－C)，其中
A
2 1
3 3
6 5
,
B
3 1
2 3
4 5
,
求C.
解：由等式可得 5C 2B 3A
23 21
22 2 (3)
b1 j
(ai1
ai 2
L
ain
)
b2 M
j
= A的第i行乘 B的第j列
bnj
故可以把乘法规则总结为：左行乘右列.
36
注意：(1) 只有当第一个矩阵的列数等 于第二个矩阵的行数时，两个矩阵才 能相乘.
例如
1 3 5
2 2 8
3 1 9
1 6
6 0
8 1
不存在.
(2) 乘积矩阵C的行数＝左矩阵的行数， 乘积矩阵C的列数＝右矩阵的列数.
ka11
(kaij )sn
ka21
M
kas1
ka12 ka22
M
ka s 2
L ka1n
L
ka2n
M M
L
kasn
为数k与A的数乘，记作kA.
25
(4) 负矩阵:将矩阵A=(aij)s×n的各元 素取相反符号，得到的矩阵称为矩阵A
的负矩阵，记为－A. 即
a11 a12 L a1n
(aij )sn
a21 M
a22 M
L M
a2n
M
as1
as2
L
asn
26
矩阵的线性运算性质
(1) A B B A;
矩阵与向量的乘法运算
矩阵与向量的乘法运算1. 引言：矩阵与向量的相遇大家好，今天咱们要聊聊一个在数学中非常重要，但又经常让人摸不着头脑的概念——矩阵与向量的乘法运算。
别急，听我细细讲解，这其实没那么复杂，就像学会了骑自行车一样，一旦明白了，就觉得无比轻松。
2. 矩阵与向量基本概念2.1 矩阵是什么？矩阵其实就是一张数字的表格，里头的数字排成了行和列。
可以把它想象成一个由很多小格子组成的表格，每个小格子里都藏着一个数字。
举个例子，一个2x3的矩阵就有2行3列，像个小方阵子。
2.2 向量是什么？向量呢，简单来说就是一个单行或者单列的矩阵。
你可以把它看作是一个“数字串”，它要么是横着的（行向量），要么是竖着的（列向量）。
比如说一个3维的向量就是三个数字排成一行或者一列。
3. 矩阵与向量的乘法运算3.1 乘法运算的步骤矩阵与向量相乘，其实就像在玩拼图。
先看矩阵的每一行，然后用这行的数字分别乘上向量里对应的数字。
最后，把这些乘积加在一起，就得到结果了。
这里有个小窍门：矩阵的列数要跟向量的行数一致，才能进行乘法运算。
就像要拼对了才行，拼错了是没办法完成的。
3.2 举个例子比如说我们有一个2x3的矩阵A和一个3维的列向量B。
矩阵A的第一行是[1, 2, 3]，第二行是[4, 5, 6]，向量B是[7, 8, 9]。
那怎么乘呢？我们先用矩阵A的第一行[1, 2, 3]乘向量B的每一个元素，然后把结果加起来。
计算就是：1*7 + 2*8 + 3*9 = 7 + 16 + 27 = 50。
同样的方式，我们对第二行[4, 5, 6]做一次，得到：4*7 + 5*8 + 6*9 = 28 + 40 + 54 = 122。
所以最后的结果是一个2维的向量[50, 122]。
4. 实际应用中的矩阵与向量乘法4.1 在计算机图形中的应用你可能会问，这些运算和实际生活有什么关系？其实，矩阵与向量的乘法在计算机图形中非常重要。
比如说，你玩游戏时屏幕上的角色移动，就是通过矩阵变换来实现的。
第3章 实验二矩阵与向量运算
第3章 实验二矩阵与向量运算实验目的：在MATLAB 里，会对矩阵与向量进行加、减、数乘、求逆及矩阵的特征值运算，以及矩阵的LU 分解。
3.1 矩阵、逆矩阵运算 例3.1 设矩阵A 、B 如下：1221,3415A B -⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，分别求出B A +、B A *、A 的逆矩阵，A 矩阵的行列式的值。
在matlab 软件中的命令窗口输入： A=[1 2;3 4]; B=[-2 1;1 5]; A+B 得到： ans =-1 3 4 9A 的逆矩阵由命令inv(A)计算，例如：令A=[1 2;3 4]; 则 C=inv(A) 得到： C =-2.0000 1.0000 1.5000 -0.5000对于任意非奇异的方阵，都可以用命令inv 计算其逆矩阵。
在matlab 里，矩阵乘法用乘法运算符表示，可以通过命令输入：A*B得到：ans =0 11 -2 23在matlab 里，可以通过命令输入：det(A)得到： -2在matlab 里，在矩阵的后面加一个撇号得到该矩阵的转置，例如： F=A ’ 使矩阵F 变为A 的转置。
下面的命令创建一个m ×m 的单位矩阵： s=eye(m)m ×n 的零矩阵用s=zeros(m*n)给出。
m ×n 的元素都是1的矩阵用写为： w=ones(m,n)如果A 是一个矩阵，则zeros(size(A))和ones(size(A))分别得到与A 大小相同的零矩阵和单位矩阵。
命令rand(m,n)创建一个m ×n 的随机矩阵。
命令hilb(m)创建一个Hilbert 矩阵的特殊矩阵。
3.2 矩阵的特征值设A 是一个n ×n 方阵，X 是一个n 维向量，乘积Y=AX 可以看作是n 维空间变换。
如果能够找到一个标量λ，使得存在一个非零向量X ，满足：AX=λX （3.1） 则可以认为线性变换T(X)=AX 将X 映射为λX,此时，称X 是对应于特征值λ的特征向量。
矩阵的基本运算与特征值特征向量
矩阵的基本运算与特征值特征向量矩阵是现代线性代数中的重要概念，广泛应用于各个领域。
本文将介绍矩阵的基本运算，包括加法、乘法和转置，并详细解释特征值与特征向量的概念及其在矩阵分析中的应用。
一、矩阵的基本运算矩阵加法是指将两个矩阵的相应元素进行相加，得到一个新的矩阵。
例如，对于两个m行n列的矩阵A和B，它们的和记作C=A+B，其中C的第i行第j列元素等于A的第i行第j列元素与B的第i行第j列元素之和。
矩阵乘法是指将两个矩阵相乘得到一个新的矩阵。
对于一个m行n列的矩阵A和一个n行p列的矩阵B，它们的乘积记作C=AB，其中C 的第i行第j列元素等于A的第i行元素与B的第j列元素依次相乘再求和。
矩阵的转置是指将矩阵的行和列进行互换得到的新矩阵。
例如，对于一个m行n列的矩阵A，它的转置记作AT，其中AT的第i行第j列元素等于A的第j行第i列元素。
二、特征值与特征向量在矩阵分析中，特征值与特征向量是矩阵的重要性质，能够揭示矩阵的结构和性质。
对于一个n阶方阵A，如果存在一个非零向量x使得Ax=kx，其中k为常数，那么k就是A的一个特征值，x就是对应于特征值k的特征向量。
特征值和特征向量的求解过程可以通过方程(A-kI)x=0来实现，其中I为单位矩阵。
通过求解这个齐次线性方程组，可以得到特征值k以及对应的特征向量x。
特征值和特征向量在矩阵的应用中有着广泛的应用，例如在图像处理、信号处理和机器学习等领域中，它们被用于降维、数据压缩、特征提取等任务上。
三、矩阵的应用举例1. 线性变换矩阵可以用于描述线性变换，例如平移、旋转和缩放等操作。
通过将变换矩阵作用于向量，可以实现对向量的变换。
2. 矩阵的逆对于一个可逆矩阵A，它存在一个逆矩阵A-1，满足A-1A=AA-1=I，其中I为单位矩阵。
逆矩阵的求解可以通过行列式和伴随矩阵的方法来实现。
3. 特征值分解对于一个对称矩阵A，可以进行特征值分解，即将A表示为特征值和特征向量的形式，A=PΛP-1，其中P为特征向量的矩阵，Λ为特征值的对角矩阵。
矩阵与向量的运算
矩阵与向量的运算矩阵与向量是线性代数中的重要概念，它们的运算涉及到了许多实际问题的解决。
在本文中，我们将探讨矩阵与向量的运算规则，并以实际应用为例，展示它们在不同领域的重要性。
一、矩阵与向量的基本概念矩阵是由m行n列的数按照一定顺序排列而成的矩形数表，用大写字母表示，如A。
向量是由n个数按照一定顺序排列而成的数表，用小写字母表示，如x。
矩阵中的每个数称为元素，向量中的每个数称为分量。
矩阵与向量的运算包括加法、减法和数乘三种基本运算。
二、矩阵与向量的加法矩阵与向量的加法是指将同型矩阵或向量的对应元素相加得到一个新的矩阵或向量。
例如，对于两个同型矩阵A和B，它们的加法规则为：A + B = (a_ij + b_ij)，其中a_ij和b_ij分别表示A和B的第i行第j列的元素。
同样地，对于两个同型向量x和y，它们的加法规则为：x + y = (x_i + y_i)，其中x_i和y_i分别表示x和y的第i个分量。
三、矩阵与向量的减法矩阵与向量的减法是指将同型矩阵或向量的对应元素相减得到一个新的矩阵或向量。
例如，对于两个同型矩阵A和B，它们的减法规则为：A - B = (a_ij - b_ij)，其中a_ij和b_ij分别表示A和B的第i行第j列的元素。
同样地，对于两个同型向量x和y，它们的减法规则为：x - y = (x_i - y_i)，其中x_i和y_i分别表示x和y的第i个分量。
四、矩阵与向量的数乘矩阵与向量的数乘是指将矩阵或向量的每个元素乘以一个常数得到一个新的矩阵或向量。
例如，对于一个矩阵A和一个常数k，它们的数乘规则为：kA = (ka_ij)，其中a_ij表示A的第i行第j列的元素。
同样地，对于一个向量x和一个常数k，它们的数乘规则为：kx = (kx_i)，其中x_i表示x的第i个分量。
五、矩阵与向量的乘法矩阵与向量的乘法是指将一个矩阵的每一行与一个向量进行点乘得到一个新的向量。
例如，对于一个矩阵A和一个向量x，它们的乘法规则为：Ax = (a_i1x_1 +a_i2x_2 + ... + a_inx_n)，其中a_ij表示A的第i行第j列的元素，x_i表示x的第i个分量。
矩阵与向量的运算
矩阵与向量的运算在线性代数中，矩阵与向量是基本的概念之一，并且在数学和应用领域中具有广泛的应用。
矩阵可以看作是一个由数字组成的矩形数组，而向量则可以看作是一个具有一维的矩阵。
本文将介绍关于矩阵与向量的运算，包括加法、减法、数乘以及矩阵乘法等。
1. 加法和减法矩阵和向量的加法和减法操作是一种逐个元素相加或相减的操作。
假设有两个相同大小的矩阵A和B，它们的加法和减法可以表示如下：A +B = CA -B = D其中C和D分别为结果矩阵，其每个元素的数值等于相加或相减之后的结果。
同样，向量的加法和减法也是类似的操作。
2. 数乘数乘是指一个数与矩阵或向量的每个元素相乘的操作。
假设有一个矩阵A和一个标量α，其数乘操作可以表示如下：αA = B其中B为结果矩阵，其每个元素的数值等于该元素与标量的乘积。
同样，向量的数乘操作也是类似的。
3. 矩阵乘法矩阵乘法是指两个矩阵相乘的操作。
假设有一个m×n的矩阵A和一个n×p的矩阵B，其乘法操作可以表示如下：A ×B = C其中C为结果矩阵，其大小为m×p。
矩阵乘法的计算规则是，A的每一行与B的每一列对应元素相乘后求和，得到结果矩阵C的对应位置的元素。
需要注意的是，矩阵乘法满足结合律，但不满足交换律。
即AB ≠ BA。
同时，矩阵乘法的定义要求前一个矩阵的列数等于后一个矩阵的行数，才能进行乘法操作。
4. 矩阵与向量的乘法矩阵与向量的乘法是指矩阵与列向量相乘的操作。
假设有一个m×n 的矩阵A和一个n维的列向量x，其乘法操作可以表示如下：A × x = y其中y为结果向量，其维度与A的行数m相同。
矩阵与向量的乘法实际上是矩阵乘法的特殊情况，可以视为每一行与列向量的对应元素相乘后求和得到结果向量y的对应位置的元素。
总结：矩阵与向量的运算包括加法、减法、数乘以及矩阵乘法等。
加法和减法是逐个元素相加或相减的操作，数乘是将矩阵或向量的每个元素与标量相乘的操作，矩阵乘法是两个矩阵相乘的操作，而矩阵与向量的乘法是指矩阵与列向量相乘的操作。
第一章向量与矩阵的基本运算
行数与列数都等于 n 的矩阵称之为 n 阶方阵，
记作 An。
2.行矩阵、列矩阵与方阵 只有一行的矩阵称行矩阵，又称行向量。 只有一列的矩阵称为列矩阵，又称为列向量。 行数与列数都等于n的矩阵叫方阵，记为An。 3.同型矩阵与矩阵相等: 如果两个矩阵的行数相 等、列数也相等，就称它们是同型矩阵。 如果两个同型矩阵的对应元素相等，那么就称 这两个矩阵相等。记作：A=B 4.零矩阵: 元素都是零的矩阵称为零矩阵，记作 O。不同型的零矩阵是不相等的。
5. 对角矩阵、单位矩阵与数量矩阵 如果 n 阶方阵除主对角线上的元素不全为零 外，其余元素全为零，这样的 n 阶方阵称为对 角矩阵。记作 A=diag(λ1,λ2,…,λn) 如果n 阶方阵如果满足主对角线上的元素全 为1，其余元素全为零，这样的 n 阶矩阵称为 n 阶单位矩阵。记作En 或 E。 如果n 阶方阵主对角线上的元素全为k，其 余元素全为零，这样的 n 阶矩阵称为 n 阶数量 矩阵。
4.矩阵的乘幂：设 A 是 n 阶方阵，定义：
An (n为正数) AA A
n
只有方阵，它的乘幂才有意义。由于矩阵的 乘法满足结合律，而不满足交换律，因而有 下面的式子： (1) An Am = An+m
(2) ( An )m= An m
(3) ( AB ) k ≠ Ak Bk
0 0 ... k
... 0 ... 0 ... ... ... ann
3.行阶梯矩阵与行最简矩阵：一个 m×n 阶矩 阵 A= (aij)它的第 i 行的第一个非零元素记为 aiji ,如果当i>k时,有 ji > jk 时，称 A为行阶梯矩 阵。 若矩阵 B 满足以下条件 (1) B是行阶梯矩阵； (2) B的每一非零行的第一 个非零元素为1； (3) 每一非零行的第一个非零元素所在的列 除它自身外其余元素全为零。称矩阵 B 为行 最简矩阵。
大一线性代数知识点总结
大一线性代数知识点总结一、向量与矩阵1.1 向量的概念与性质向量是线性代数中的基本概念，它是指具有大小和方向的量。
在数学中，向量通常用箭头表示，并且可以表示为n维空间中的有序数组。
向量的加法与数乘定义为：- 两个向量的加法：设有两个向量a=(a1, a2, ..., an)和b=(b1, b2, ..., bn)，则它们的和定义为：a + b = (a1+b1, a2+b2, ..., an+bn)。
- 数乘：设有一个向量a=(a1, a2, ..., an)，一个标量k，那么k乘以a定义为：ka = (ka1, ka2, ..., kan)。
1.2 矩阵的概念与基本运算矩阵是由m行n列元素组成的长方形阵列，它的基本形式可以表示为：A= ( a11 a12 ... a1n )( a21 a22 ... a2n )( ... ... ... ... )( am1 am2 ... amn )其中，aij表示第i行第j列的元素。
矩阵的加法与数乘定义为：- 矩阵的加法：设有两个矩阵A与B，它们是同型矩阵，其相应元素相加即得到矩阵的和：A+B。
- 数乘：设有一个数k，以及一个矩阵A，那么可以通过数量k乘以矩阵A的每一个元素得到新的矩阵kA。
1.3 零向量与单位矩阵零向量是指所有分量都为零的向量，通常用0表示，对于n维空间而言，它的零向量可以表示为(0, 0, ..., 0)。
单位矩阵是指在主对角线上的元素都为1，其余元素都为0的方阵，通常用I表示。
对于n×n的单位矩阵可以表示为：I = ( 1 0 ... 0 )( 0 1 ... 0 )( ... ... ... )( 0 0 ... 1 )1.4 范数与内积向量的范数是指向量的长度，通常可以表示为||v||。
对于n维向量v=(v1, v2, ..., vn)，它的范数定义为：||v|| = √(v1^2 + v2^2 + ... + vn^2)。
矩阵与向量的关系
矩阵与向量的关系矩阵与向量是线性代数中最基本的概念之一。
在矩阵和向量之间存在密切的联系和相互作用。
一、向量的概念向量是指由有限个数字按照一定顺序排列组成的元素集合，通常用箭头表示，如图1所示：图1 向量向量可以表示为：a=[a1,a2,…,an]T其中a1,a2,…,an为向量a的元素，T表示转置，表示将行向量转换为列向量。
二、矩阵的概念矩阵是一个元素按照矩形排列组成的矩形数组，如图2所示：图2 矩阵矩阵常用大写字母表示，如：其中a11,a12,…,amn为矩阵元素，m和n分别表示矩阵的行和列数。
三、矩阵和向量的关系矩阵和向量之间有着密切的联系。
矩阵可以看作是若干向量的组合。
换言之，矩阵的每一列都是一个向量。
例如，对于一个3维向量，可以将其表示为一个3 x 1的列向量：同理，可以将多个3维向量组合为一个3 x n的矩阵：其中a1,a2,…,an都是3维的列向量。
因此，向量可以看作是一个1 x n或n x 1的矩阵。
在计算机科学中，向量和矩阵常常用于表示图像、音频、文本等数据。
向量和矩阵的运算也是机器学习、深度学习等算法的基础。
四、向量和矩阵的运算向量和矩阵的运算分为两种：标量运算和向量/矩阵运算。
（一）标量运算标量运算指的是将一个实数（标量）与向量/矩阵的每个元素相乘或相加。
例如：（二）向量/矩阵运算向量/矩阵运算主要包括加法和乘法两种。
1.向量/矩阵加法向量/矩阵加法是将两个向量/矩阵对应元素相加，例如：2.向量/矩阵乘法向量/矩阵乘法是将两个向量/矩阵进行运算得到一个新的向量/矩阵，计算方法不同。
向量乘法向量乘法有两种：内积和外积。
（1）向量内积向量内积又称点积，表示将两个向量对应元素相乘并相加，得到一个标量，例如：对于向量a=[a1,a2,a3]T和向量b=[b1,b2,b3]T，其内积为a·b=a1*b1+a2*b2+a3*b3。
矩阵乘法矩阵乘法是指将两个矩阵进行运算得到一个新的矩阵。
2024高考数学向量与矩阵运算
2024高考数学向量与矩阵运算在2024年的高考中，数学科目依然是考生们备战的重中之重。
而在数学中，向量与矩阵运算是一个重要的知识点。
本文将围绕向量与矩阵运算展开，帮助考生们理解和掌握相关的知识。
一、向量的基本概念与表示方法向量是数学中的一个重要概念，它常常用来表示方向和大小。
在三维空间中，向量通常由三个有序实数组成。
例如，向量A可以表示为A = (a₁,a₂,a₃)。
其中，a₁、a₂和a₃分别表示A在x轴、y轴和z轴上的分量。
二、向量的运算法则1. 向量的加法向量的加法是指将两个向量A和B相加得到一个新的向量C，表示为C = A + B。
向量的加法满足交换律和结合律，即A + B = B + A，(A + B) + C = A + (B + C)。
2. 向量的数乘向量的数乘是指将一个向量A与一个实数k相乘得到一个新的向量C，表示为C = kA。
数乘可以改变向量的大小和方向，当k > 0时，C 与A的方向相同；当k < 0时，C与A的方向相反。
3. 向量的数量积向量的数量积又称为内积或点乘，表示为A · B。
其中，A · B = |A| |B| cosθ，其中|A|和|B|分别表示向量A和B的模，θ表示A和B之间的夹角。
三、矩阵的基本概念与表示方法矩阵是数学中的另一个重要概念，它由一组数按照矩形排列而成。
矩阵可以表示为一个m行n列的矩形数组。
例如，一个矩阵A可以表示为：```A = [a₁₁ a₁₂ a₁₃a₂₁ a₂₂ a₂₃a₃₁ a₃₂ a₃₃]```在矩阵中，aᵢⱼ表示位于第i行第j列的元素。
四、矩阵的运算法则1. 矩阵的加法矩阵的加法是指将两个相同的m行n列的矩阵A和B相加得到一个新的矩阵C，表示为C = A + B。
矩阵的加法满足交换律和结合律，即A + B = B + A，(A + B) + C = A + (B + C)。
2. 矩阵的数乘矩阵的数乘是指将一个矩阵A中的每个元素都乘以一个实数k得到一个新的矩阵C，表示为C = kA。
线性代数计算法则
线性代数计算法则线性代数是数学中的一个分支，主要研究向量空间、线性变换和线性方程组等内容。
它在科学、经济学和工程学等各个领域都有广泛的应用。
线性代数的计算法则是进行线性代数运算的方法和规则，下面将对线性代数计算法则进行详细介绍。
一、向量和矩阵的基本运算1.向量和矩阵的加法：向量和矩阵的对应元素相加，即两个向量或矩阵的对应元素分别相加形成一个新的向量或矩阵。
2.向量和矩阵的数乘：一个向量或矩阵中的每个元素乘以一个实数，即实数与向量或矩阵的每个元素相乘形成一个新的向量或矩阵。
3.向量的内积：两个向量的内积等于对应元素乘积的和。
4.矩阵的乘法：矩阵的乘法是指两个矩阵相乘的运算，其中第一个矩阵的列数等于第二个矩阵的行数。
矩阵乘法的结果是一个新的矩阵，其中每个元素是第一个矩阵的其中一行与第二个矩阵的其中一列对应元素乘积的和。
5.矩阵的转置：将矩阵的行和列互换，得到一个新的矩阵。
6.矩阵的逆：对于一个方阵A，如果存在一个方阵B，使得AB=BA=I，其中I为单位矩阵，则称矩阵A可逆，矩阵B称为A的逆矩阵。
二、矩阵的行列式1.行列式定义：行列式是一个标量值，它是一个n阶方阵中元素的代数和。
2.行列式性质：-行列式的值与它的转置矩阵的值相等。
-交换矩阵中两行或两列的位置，行列式取负。
-将矩阵的其中一行（或其中一列）的所有元素乘以一个数k，行列式的值也乘以k。
-如果矩阵的其中一行（或其中一列）的元素全为0，则行列式的值等于0。
-如果矩阵的两行（或两列）相等，则行列式的值等于0。
-行列式的值等于每一行（或每一列）的元素与它们所在行（或列）的代数余子式相乘再求和。
三、矩阵的特征值和特征向量1.特征值和特征向量定义：对于一个n阶方阵A，如果存在一个数λ和非零向量X，使得AX=λX，则称λ为矩阵A的特征值，X为对应的特征向量。
2.特征值和特征向量的计算：-特征值是矩阵A减去λ的单位矩阵后的行列式等于0的解。
-对每个求解得到的特征值λ，代入(A-λI)X=0的线性方程组中，求解得到对应的特征向量X。
平面向量的向量积和矩阵运算
平面向量的向量积和矩阵运算平面向量是数学中的一个重要概念，在许多数学和物理问题中都得到了广泛应用。
在平面向量的运算中，向量积和矩阵运算是两个重要的操作。
一、向量积向量积，也称为叉乘或叉积，可以用来计算两个向量之间的乘积。
向量积的结果是一个新的向量，该向量垂直于原来的两个向量。
向量积的定义如下：设有向量A(x1, y1)和向量B(x2, y2)，则向量A和向量B的向量积为C(x3, y3)，且有：x3 = y1 * z2 - y2 * z1y3 = z1 * x2 - x1 * z2z3 = x1 * y2 - x2 * y1其中，z1 = z2 = 0，因为向量积只能在三维空间中使用。
向量积的计算可以用来求解许多几何和物理问题，例如计算两个向量之间的夹角、判断两个向量是否平行、计算三角形的面积等等。
此外，向量积还可用于计算力的矢量合成等问题。
二、矩阵运算矩阵是一种方阵，也可以看作是向量的扩展。
矩阵运算是对矩阵进行各种运算操作的过程，包括加法、减法、乘法等。
1. 加法：两个矩阵相加时，要求两个矩阵的行数和列数相等，然后将对应位置上的元素相加得到新的矩阵。
2. 减法：两个矩阵相减时，要求两个矩阵的行数和列数相等，然后将对应位置上的元素相减得到新的矩阵。
3. 乘法：两个矩阵相乘时，要求第一个矩阵的列数与第二个矩阵的行数相等，然后按照一定的规则计算得到新的矩阵。
具体的计算规则可以参考矩阵乘法的定义。
矩阵运算在线性代数和线性方程组的求解中起着重要的作用。
矩阵运算还可以用于处理图像、信号处理等领域。
总结：通过向量积和矩阵运算，我们可以对平面向量进行一系列的操作和运算。
向量积可以用来计算两个向量之间的乘积，而矩阵运算则可以用来对矩阵进行加法、减法和乘法等操作。
这些操作在数学和物理问题中都具有广泛的应用，对于深入理解和解决相关问题具有重要的作用。
通过本文的介绍，我们对平面向量的向量积和矩阵运算有了初步的了解，希望可以为读者提供一定的帮助和指导。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
例：>> x=[1,2,3];y=[2,3,4];
>> A=[x,y], B=[x;y]
例：>> C=magic(3)
自动动手
1、使用函数生成8×10零矩阵、 5×5元素都 为1的矩阵、 5×5单位矩阵、 4×4魔术方阵。
常见矩阵生成函数
zeros(m,n) ones(m,n) eye(m,n) diag(X) tril(A) triu(A) rand(m,n) randn(m,n) 生成一个 m 行 n 列的零矩阵，m=n 时可简写为 zeros(n) 生成一个 m 行 n 列的元素全为 1 的矩阵, m=n 时可写为 ones(n) 生成一个主对角线全为 1 的 m 行 n 列矩阵, m=n 时可简写为 eye(n)，即为 n 维单位矩阵 若 X 是矩阵，则 diag(X) 为 X 的主对角线向量 若 X 是向量，diag(X) 产生以 X 为主对角线的对角矩阵 提取一个矩阵的下三角部分 提取一个矩阵的上三角部分 产生 0～1 间均匀分布的随机矩阵 m=n 时简写为 rand(n) 产生均值为0，方差为1的标准正态分布随机矩阵 m=n 时简写为 randn(n)
数学实验
向量与矩阵运算
主要内容
Matlab能处理数、向量和矩阵.数实际上是 一个1×1维矩阵. 这节的主要内容：
矩阵的生成、操作； 矩阵的基本运算； 矩阵的函数.
一 向量与矩阵运算
向量与矩阵的生成
向量的生成 直接输入: a=[1,2,3,4] 冒号运算符 从矩阵中抽取行或列
返回向量 X 的长度 等价于 max(size(A))
自己动手
1、用rand函数生成8×10矩阵A； 2、用length、size函数求出矩阵A的行数和 列数；
矩阵基本运算
矩阵的加减：对应分量进行运算
要求参与加减运算的矩阵具有 相同的维数
例：>> A=[1 2 3; 4 5 6]; B=[3 2 1; 6 5 4]
A=[1 2 3;4 5 6;7 8 9]; [L,U]=lu(A)
运行结果：
2、特征值分解
如果A是n×n矩阵，若Ax =λx则称λ为A的特征 值，x为相应的特征向量。 函数eig()为特征值分解函数，其调用格式为： [x,D]=eig(A) %x、D为输出变量(返回值)，A为输入变量.D的 对角元素是特征值，x列是相应的特征向量 例 >> A=[1 2 3;4 5 6;7 8 9]; >> [x,D]=eig(A) 运行结果为：
Matlab中常见数学函数
sin、cos、tan、cot、sec、csc、…
asin、acos、atan、acot、asec、acsc、… exp、log、log2、log10、sqrt
abs、conj、real、imag、sign fix、floor、ceil、round、mod、rem max、min、sum、mean、sort、fft norm、rank、det、inv、eig、lu、qr、svd …… ① log 是自然对数，即以 e 为底数 ② mod(x,y) 结果与 y 同号，rem(x,y) 则与 x 同号 ③ max 等函数的参数是矩阵时，是作用在矩阵各列上
矩阵的 Kronecker 乘积
矩阵 Kronecker 乘积的定义
设A是n×m矩阵，B是p×q矩阵，则A与B的kronecker乘积为： a11 B a12 B a1m B a B a B a B 22 2m C A B 21 a B a B a B n2 nm n1
Kronecker 乘积的性质
A B 是 np×mq 矩阵；通常 A B B A
任何两个矩阵都有 Kronecker 乘积 Matlab 中实现两个矩阵 Kronecker 相乘的函数为 kron(A,B) Kronecker乘积有时也称张量积
矩阵的数组运算
数组运算：对应元素进行运算
上机作业
1. 试分别生成 5 阶的单位阵、8 阶均匀分布的随机矩阵及其 下三角矩阵 2. 生产列向量 x=[1, 3, 5, 7, 9, … , 29] 3. 生成以 x 的元素为对角线的矩阵 A，并输出 A 的行数 4. 生成一个与 A 同阶的正态分布的随机矩阵 B 5. 输出 A 与 B 的 kronecker 乘积矩阵 C 6. 生成由 A 与 B 点乘得到的矩阵 D 7. 生成一个由 D 的第 8、4、10、13 行和第 7、1、6、9、2 列组成的子矩阵 E 8. 求出矩阵 E 的最大元素 9. 教材第 53 页，1(1),(3),(4)、2、3、4、5
矩阵操作
矩阵的转置与共轭转置
’ 共轭转置 .’ 转置，矩阵元素不取共轭 点与单引号之间不能有空格！
例：>> A=[1 2;2i 3i]（动手验证）
>> B=A’ >> C=A.’
矩阵操作
改变矩阵的形状：reshape
reshape(A,m,n): 将矩阵元素按 列方向 进行重组 重组后得到的新矩阵的元素个数 必须与原矩阵元素个数相等！
函数取值
函数作用在矩阵上的取值
设 x 是变量， f 是一个函数
当 x = a 是标量时，f(x) = f(a)也是一个标量
当 x = [a, b, … , c] 是向量时，f(x)= [f(a), f(b), … , f(c)]
f 作用在 x 的每个分量上
若 A 是矩阵，则 f(A) 是一个与 A 同形状的矩阵
>> C=A+B; D=A-B;
矩阵的普通乘法
要求参与运算的矩阵满足线性代数中矩阵相乘的原则
例：>> A=[1 2 3; 4 5 6]; B=[2 1; 3 4];
>> C=A*B
二 矩阵基本运算
矩阵的除法：/、\ 右除和左除
若 A 可逆方阵，则 B/A <==> A 的逆右乘 B <==> B*inv(A) A\B <==> A 的逆左乘 B <==> inv(A)*B 通常，矩阵除法可以理解为 X=A\B <==> A*X=B X=B/A <==> X*A=B 当 A 和 B 行数相等时即可进行左除 当 A 和 B 列数相等时即可进行右除
矩阵操作
矩阵的旋转
fliplr(A) 左右旋转 flipud(A) 上下旋转
rot90(A) 逆时针旋转 90 度； rot90(A,k) 逆时针旋转 k×90 度 >> B=fliplr(A) >> C=flipud(A) >> D=rot90(A), E=rot90(A,-1)
例：>> A=[1 2 3;4 5 6]
(a12 ) exp(a21 ) exp(a22 ) exp(A) exp(a ) exp(a ) m1 m2 exp(a1n ) exp(a2 n ) exp(amn )
.^ 前面留个空格
Matlab中的所有 标点符号必须在 英文状态下输入
三 矩阵函数
以三角分解函数lu()和特征值分解函数eig() 讲述矩阵函数的使用。
1、三角分解
最基本的分解“LU”分解，矩阵分解为两个 基本三角矩阵形成的方阵，一个为上三角矩阵 一个为下三角矩阵。计算的方法用高斯消去法。 函数格式[L,U]=lu(X) %L,U为输出变量(返回值)，A为输入变量， U为上三角阵，L为下三角阵或其变换形式， 满足LU=X 运行结果如下：
更一般的矩阵函数： funm
funm(A,@fun)
参数 fun 的可以是 exp,，log，cos，sin，cosh，sinh
数与数组的点幂
例：x=[1 2 3]; y=[4 5 6];
x.^y =[1^4,2^5,3^6]=[1,32,729]
x.^2 =[1^2,2^2,3^2]=[1,4,9] 2 .^x = ? 2 .^[x;y]= ?
矩阵操作
查看矩阵的大小：size
size(A) 列出矩阵 A 的行数和列数 size(A,1) 返回矩阵 A 的行数 size(A,2) 返回矩阵 A 的列数
例：>> A=[1 2 3; 4 5 6]
>> size(A) >> size(A,1) >> size(A,2) length(x) length(A)
矩阵操作
提取矩阵的部分元素： 冒号运算符
A(:) A的所有元素 A(:,:) 二维矩阵A的所有元素 A(:,k) A的第 k 列， A(k,:) A的第 k 行
A(k:m) A的第 k 到第 m 个元素 A(:,k:m) A的第 k 到第 m 列组成的子矩阵
自己动手
A(:) 与 A(:,:) 的区别 ? 如何获得由 A 的第一、三行和第一、二列组成的子矩阵？
数组运算包括：点乘、点除、点幂
相应的数组运算符为： “.* ” ， “./ ” ， “.\ ” 和 “ .^ ” 点与算术运算符之间不能有空格！
例：>> A=[1 2 3; 4 5 6]; B=[3 2 1; 6 5 4];
>> C=A.*B; D=A./B; E=A.\B; F=A.^B; 参与运算的对象必须具有相同的形状！
例：>> x=[0:pi/4:pi]; A=[1 2 3; 4 5 6];
>> y1=sin(x); y2=exp(A); y3=sqrt(A);