向量矩阵概念与运算
向量与矩阵的基本运算与性质
向量与矩阵的基本运算与性质向量与矩阵是线性代数的基础概念，它们在数学和物理领域中扮演着重要的角色。
本文将介绍向量与矩阵的基本运算以及它们的性质。
一、向量向量是具有大小和方向的量，通常表示为一个有序的实数列表或箭头。
向量可以用于表示力、速度、加速度等概念。
在线性代数中，向量通常表示为一个列向量或行向量。
1. 向量的表示向量可以用单个变量加上一个箭头表示，例如a→。
在文本中，向量通常以粗体字母表示，例如a。
2. 向量的加法向量的加法是指对应位置上的元素相加得到新的向量。
设有两个n 维向量a=(a1,a2,...,aa)和a=(a1,a2,...,aa)，则它们的和为：a+a=(a1+a1,a2+a2,...,aa+aa)3. 向量的数量乘法向量的数量乘法是指将向量的每个元素与一个实数相乘得到新的向量。
设有一个n维向量a=(a1,a2,...,aa)和实数a，则其数量乘积为：aa=(aa1,aa2,...,aaa)4. 向量的点积向量的点积，也称为内积或数量积，是两个向量对应位置上的元素相乘再相加的结果。
设有两个n维向量a=(a1,a2,...,aa)和a=(a1,a2,...,aa)，则它们的点积为：a·a=a1a1+a2a2+...+aaaa二、矩阵矩阵是一个二维数组，通常用于表示一组数据或线性变换。
矩阵由行和列组成，行表示矩阵的水平方向，列表示矩阵的垂直方向。
1. 矩阵的表示矩阵通常以大写字母表示，例如a、a。
一个m行n列的矩阵可以表示为：a=⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎣a11 a12 ⋯a1a a21 a22 ⋯a2a⋮⋮⋱⋮aa1 aa2 ⋯aaa⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎦2. 矩阵的加法矩阵的加法是指对应位置上的元素相加得到新的矩阵。
设有两个m 行n列的矩阵a和a，则它们的和为：a+a=⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎣a11+a11 a12+a12 ⋯a1a+a1a a21+a21a22+a22 ⋯a2a+a2a⋮⋮⋱⋮aa1+aa1 aa2+aa2 ⋯aaa+aaa⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎦3. 矩阵的数量乘法矩阵的数量乘法是指将矩阵的每个元素与一个实数相乘得到新的矩阵。
数学中的向量与矩阵
数学中的向量与矩阵数学是一门抽象而具有普适性的学科，而其中的向量和矩阵更是数学领域中常见且重要的概念。
向量和矩阵可以用于解决各种各样的问题，从几何学到物理学，从统计学到计算机科学，它们无处不在且发挥着重要的作用。
一、向量的基本概念与性质向量是有大小和方向的量，可以用箭头来表示。
在数学中，向量通常用加粗的字母或者小写字母上面加上一个箭头来表示，比如a，A或者→a。
向量可以在平面内或者空间内移动，通过平移和旋转来改变位置和方向。
向量有很多基本的运算，比如加法、减法、数量乘法和点乘。
加法和减法可以实现向量的平移和方向的改变，而数量乘法可以改变向量的长度。
点乘是一种特殊的乘法运算，结果是一个标量（即一个纯量），用于计算两个向量之间的夹角和判断它们的相对方向。
二、矩阵的定义和特性矩阵是由若干个数按照一定的规律排列成的一个矩形的数组。
矩阵可以用于表示各种各样的数据，比如二维的点坐标、数字表格中的数据等等。
矩阵可以用方括号或者圆括号来表示，比如[A]或者(A)。
一个矩阵可以有不同的形状，比如m行n列的矩阵就称为一个m×n矩阵。
矩阵也有一些基本的运算，比如加法、减法、数量乘法和矩阵乘法。
矩阵的加法和减法可以实现矩阵的平移和位置的改变，而数量乘法可以改变矩阵中每个元素的值。
矩阵乘法是一种非常重要的运算，它可以将两个矩阵相乘得到一个新的矩阵，用于实现数据的变换和转换。
三、向量与矩阵的关系和应用向量和矩阵在数学中有着密切的联系，它们之间可以相互转换和运算。
一些常见的应用包括：1. 几何变换：在几何学中，向量和矩阵可以用于表示平移、旋转、缩放等一系列的几何变换。
通过矩阵乘法和向量运算，可以实现对图形的变形和变化。
2. 物理学：向量可以用于表示物体的速度、加速度等物理量，而矩阵则可以用于表示物体的质量、惯性矩阵等。
在物理学中，向量和矩阵可以用于解决各种运动和力学问题。
3. 统计学：向量和矩阵在统计学中扮演着重要的角色，可以用于表示样本数据和计算统计指标。
向量与矩阵的定义及运算学习资料
α 1 (2α) 2
（1 5，1 1，1 6，1 （ 1）,1 4)
2 22 2
2
2.5, 0.5, 3, 0.5, 2 ,
β1(2 β ) ( 0 .5 ,0 .5 ,2 ,1 .5 , 2 ). 2
12
二 矩阵
定义3 设P是复数集C的一个子集合，其中包含 0与1。如果P中的任意两个数a,（ b这两个数也可 以相同）的和、差、积、商（除数不为零）仍 在P中，则称P是一个数域(number field).
向量与矩阵的定义及运算
n维行向量和n维列向量都可称为n维向量
(vector), n维向量常用小写黑体希腊字母，， ，L 表示。
例： ＝（1，3，8）;
(10, 23,45, 2);
x
＝ y
z
2
定 义 2 设 两 个 n维 向 量 ＝(a1, a2 ,L , an ), (b1 , b2 ,L , bn )
定义5 设A(aij)sn和B(bij)sn是(数域P上) 两个sn(同型)矩阵，则 (1)如果它们对应的元素分别相等，即aij bij, (i 1,2,L,s;j 1,2,L,n),则称A与B相等，记作 AB.
注意：和要简写成 必须满足：每项形式完全一样，不一样
的只是求和指标，而且求和指标连续从小到大增加一。 9
例 2 证 明 ： 任 意 n维 向 量 (k1,k2,L,kn)是 向 量 组 1(1,0,L,0),2(0,1,L,0),L,n(0,L,0,1)的
一 个 线 性 组 合 。 证明：由向量的线性运算，得
(k1, k2 ,L , kn ) (k1, 0,L , 0) (0, k2, 0,L , 0) L (0,L , 0, kn )
向量与矩阵运算
向量与矩阵运算在高中数学学科中，向量与矩阵运算是一项重要的内容。
向量与矩阵的概念与运算规则不仅在数学中有广泛的应用，而且在物理、工程、计算机科学等领域也有着重要的地位。
本文将详细介绍向量与矩阵的定义、基本运算以及一些常见应用。
一、向量的定义与基本运算向量是有方向和大小的量，通常用箭头表示。
向量可表示为一个有序的数字组成的列，也可以视为从原点指向某一点的箭头。
例如，向量A可以表示为(A1, A2, ..., An)。
向量的基本运算包括加法和数乘。
向量的加法是对应元素相加，即A +B = (A1 + B1, A2 + B2, ..., An + Bn)，其中A和B为同维数的向量。
数乘是将向量的每个元素都乘以一个实数，即kA = (kA1, kA2, ..., kAn)，其中k为实数。
二、矩阵的定义与基本运算矩阵是一个按照矩形排列的数表，通常用大写字母表示。
矩阵有行与列组成，用m×n表示，其中m表示矩阵的行数，n表示矩阵的列数。
矩阵的基本运算包括矩阵加法、矩阵数乘和矩阵乘法。
矩阵的加法是对应元素相加，即A + B = [aij + bij]，其中A和B为同维数的矩阵。
矩阵的数乘是将矩阵的每个元素都乘以一个实数，即kA = [kaij]。
矩阵的乘法是一种复合运算，需要满足乘法的规则。
若A为m×n 的矩阵，B为n×p的矩阵，则AB为m×p的矩阵。
矩阵AB的第i行第j列元素可以表示为：ABij = aij * bij，其中aij表示A矩阵的第i行第j 列元素，bij表示B矩阵的第i行第j列元素。
三、向量与矩阵的应用向量与矩阵运算在许多实际问题中有着广泛的应用。
以下是一些常见的应用领域：1. 物理学：在物理学中，向量和矩阵可以用来描述物体的运动和力的作用。
例如，位移向量可以用来描述物体的位置变化，力矩矩阵可以用来描述物体受到的力的作用。
2. 工程学：向量和矩阵可以用来描述工程中的各种变量和关系。
§1.1-向量与矩阵的定义及运算
(10)若kA 0，则k 0,或者A 0.
28
例 设矩阵A、B、C满足等式 3(A+C)=2(B－C)，其中
A
2 1
3 3
6 5
,
B
3 1
2 3
4 5
,
求C.
解：由等式可得 5C 2B 3A
23 21
22 2 (3)
b1 j
(ai1
ai 2
L
ain
)
b2 M
j
= A的第i行乘 B的第j列
bnj
故可以把乘法规则总结为：左行乘右列.
36
注意：(1) 只有当第一个矩阵的列数等 于第二个矩阵的行数时，两个矩阵才 能相乘.
例如
1 3 5
2 2 8
3 1 9
1 6
6 0
8 1
不存在.
(2) 乘积矩阵C的行数＝左矩阵的行数， 乘积矩阵C的列数＝右矩阵的列数.
ka11
(kaij )sn
ka21
M
kas1
ka12 ka22
M
ka s 2
L ka1n
L
ka2n
M M
L
kasn
为数k与A的数乘，记作kA.
25
(4) 负矩阵:将矩阵A=(aij)s×n的各元 素取相反符号，得到的矩阵称为矩阵A
的负矩阵，记为－A. 即
a11 a12 L a1n
(aij )sn
a21 M
a22 M
L M
a2n
M
as1
as2
L
asn
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矩阵的线性运算性质
(1) A B B A;
矩阵与向量的乘法运算
矩阵与向量的乘法运算1. 引言：矩阵与向量的相遇大家好，今天咱们要聊聊一个在数学中非常重要，但又经常让人摸不着头脑的概念——矩阵与向量的乘法运算。
别急，听我细细讲解，这其实没那么复杂，就像学会了骑自行车一样，一旦明白了，就觉得无比轻松。
2. 矩阵与向量基本概念2.1 矩阵是什么？矩阵其实就是一张数字的表格，里头的数字排成了行和列。
可以把它想象成一个由很多小格子组成的表格，每个小格子里都藏着一个数字。
举个例子，一个2x3的矩阵就有2行3列，像个小方阵子。
2.2 向量是什么？向量呢，简单来说就是一个单行或者单列的矩阵。
你可以把它看作是一个“数字串”，它要么是横着的（行向量），要么是竖着的（列向量）。
比如说一个3维的向量就是三个数字排成一行或者一列。
3. 矩阵与向量的乘法运算3.1 乘法运算的步骤矩阵与向量相乘，其实就像在玩拼图。
先看矩阵的每一行，然后用这行的数字分别乘上向量里对应的数字。
最后，把这些乘积加在一起，就得到结果了。
这里有个小窍门：矩阵的列数要跟向量的行数一致，才能进行乘法运算。
就像要拼对了才行，拼错了是没办法完成的。
3.2 举个例子比如说我们有一个2x3的矩阵A和一个3维的列向量B。
矩阵A的第一行是[1, 2, 3]，第二行是[4, 5, 6]，向量B是[7, 8, 9]。
那怎么乘呢？我们先用矩阵A的第一行[1, 2, 3]乘向量B的每一个元素，然后把结果加起来。
计算就是：1*7 + 2*8 + 3*9 = 7 + 16 + 27 = 50。
同样的方式，我们对第二行[4, 5, 6]做一次，得到：4*7 + 5*8 + 6*9 = 28 + 40 + 54 = 122。
所以最后的结果是一个2维的向量[50, 122]。
4. 实际应用中的矩阵与向量乘法4.1 在计算机图形中的应用你可能会问，这些运算和实际生活有什么关系？其实，矩阵与向量的乘法在计算机图形中非常重要。
比如说，你玩游戏时屏幕上的角色移动，就是通过矩阵变换来实现的。
线性代数中的基本概念和运算
线性代数中的基本概念和运算线性代数是现代数学的一个重要分支，也是许多学科中必不可少的一门基础课程。
它研究的是向量、矩阵、线性变换等概念及其相应的运算。
本文将介绍线性代数中的基本概念和运算。
一、向量与向量空间在线性代数中，向量是最基本的概念之一。
向量通常用一列有序数或者坐标来表示，也可以用一个点或者箭头来表示。
向量空间是一组具有相同性质的向量的集合，其中向量有加法和数乘两个运算，满足加法交换律、结合律和分配律，以及数乘分配律、结合律和单位元等基本性质。
二、矩阵与矩阵运算矩阵是由一组数排成的矩形阵列，用来表示一些现象或者数据的特征。
在线性代数中，矩阵是向量的一种运算形式，可以表示线性变换。
矩阵加法和数乘都是矩阵运算中的基本运算，同时还有矩阵乘法、矩阵求逆和行列式等基本运算。
三、线性变换和线性方程组线性变换是指一个向量空间到另一个向量空间的映射，满足加法和数乘的线性性质。
它是线性代数中非常重要的概念，因为它涉及到矩阵乘法、特征值等许多重要的应用。
线性方程组是由一组线性方程组成的方程组，它是解决问题的基础。
求解线性方程组需要用到矩阵的运算和高斯消元法等算法。
四、特征值和特征向量在线性代数中，特征值和特征向量是与线性变换密切相关的概念。
特征值是一个标量，特征向量是一个非零向量。
在某些特定的线性变换下，一个向量的方向不变，只发生了伸缩操作。
此时，特征向量的方向不变，只是在同一方向上拉长或者缩短了，而特征向量对应的标量就是特征值。
五、广义逆与二次型广义逆也叫伪逆，是一种扩展了矩阵逆的概念。
在某些情况下，矩阵并没有逆矩阵。
此时，可以用广义逆来求解问题。
二次型是与矩阵有关的一种特殊的函数形式，它是向量的二次函数，而矩阵是二次型的系数矩阵。
二次型的求解可以用到特征值和特征向量等概念。
总之，线性代数是一门非常重要的数学课程，它涉及到许多领域的应用，包括物理学、工程学、计算机科学等。
掌握线性代数的基础概念和运算，有助于我们更好地理解和应用相关领域中的知识。
向量矩阵运算原理
向量矩阵运算原理向量矩阵运算是线性代数中的重要概念，它描述了向量和矩阵在数学上的运算规则和性质。
在机器学习、统计学、物理学等领域中，向量矩阵运算被广泛应用于数据处理、模型建立和问题求解等方面。
下面将介绍向量矩阵运算的原理和相关参考内容。
一、向量向量是有序的一组数值，可以用于表示空间中的点、方向和大小等。
假设向量v有n个元素，可以表示为v=(v1,v2,...,vn)，其中每个元素均为实数。
向量的运算包括加法、标量乘法和内积三类。
1. 向量加法：向量加法是指将两个向量逐个对应元素相加，得到一个新的向量。
假设有两个向量a=(a1,a2,...,an)和b=(b1,b2,...,bn)，它们的加法表示为c=a+b=(a1+b1,a2+b2,...,an+bn)。
2. 标量乘法：标量乘法是指将一个标量与向量的每个元素相乘，得到一个新的向量。
假设有一个向量a=(a1,a2,...,an)和一个标量k，它们的标量乘法表示为c=k*a=(k*a1,k*a2,...,k*an)。
3. 内积：内积是指两个向量对应元素相乘后再求和的结果。
假设有两个向量a=(a1,a2,...,an)和b=(b1,b2,...,bn)，它们的内积表示为c=a·b=a1*b1+a2*b2+...+an*bn。
二、矩阵矩阵是由若干个数排成的矩形阵列，是向量的推广形式。
矩阵可以用于表示多个向量或者多个方程所组成的线性系统。
假设矩阵A有m行n列，可以表示为A=[a_ij]，其中a_ij表示第i行第j列的元素。
矩阵的运算包括加法、标量乘法和矩阵乘法三类。
1. 矩阵加法：矩阵加法是指将两个矩阵的对应元素相加，得到一个新的矩阵。
假设有两个矩阵A=[a_ij]和B=[b_ij]，它们的加法表示为C=A+B=[a_ij+b_ij]。
2. 标量乘法：标量乘法是指将一个标量与矩阵的每个元素相乘，得到一个新的矩阵。
假设有一个矩阵A=[a_ij]和一个标量k，它们的标量乘法表示为C=k*A=[k*a_ij]。
高中数学的矩阵与向量
高中数学的矩阵与向量矩阵与向量是高中数学中的重要概念，它们在代数学、几何学、线性方程组等领域中发挥着重要的作用。
本文将从它们的定义、性质以及应用等方面进行介绍。
一、矩阵矩阵是一个按照长方阵列排列的数，是线性代数的重要研究对象。
矩阵由m行n列的数组成，可以表示为一个矩形阵列。
矩阵中的每个元素可以是实数、复数或者其他数域中的元素。
1. 矩阵的表示矩阵可以通过方阵括号的形式表示，例如：A = [a11 a12 a13a21 a22 a23a31 a32 a33]其中，a11, a12, a13, a21, a22, a23, a31, a32, a33是矩阵A中的元素。
2. 矩阵的运算矩阵有加法、乘法等基本运算。
- 矩阵的加法：对应元素相加，例如：A +B = [a11+b11 a12+b12 a13+b13a21+b21 a22+b22 a23+b23a31+b31 a32+b32 a33+b33]- 矩阵的乘法：按照行列对应元素的乘积进行相加，例如：AB = [a11*b11+a12*b21+a13*b31 a11*b12+a12*b22+a13*b32a11*b13+a12*b23+a13*b33a21*b11+a22*b21+a23*b31 a21*b12+a22*b22+a23*b32a21*b13+a22*b23+a23*b33a31*b11+a32*b21+a33*b31 a31*b12+a32*b22+a33*b32a31*b13+a32*b23+a33*b33]3. 矩阵的性质矩阵有很多重要的性质，例如：- 矩阵的转置：将矩阵的行与列对调得到的新矩阵即为原矩阵的转置。
例如：A的转置记为A^T，A^T = [a11 a21 a31a12 a22 a32a13 a23 a33]- 矩阵的逆：如果一个矩阵A存在逆矩阵A^-1，使得A*A^-1 = A^-1*A = I，其中I为单位矩阵，则称A是可逆的。
矩阵与向量的运算
矩阵与向量的运算矩阵与向量是线性代数中的重要概念，它们的运算涉及到了许多实际问题的解决。
在本文中，我们将探讨矩阵与向量的运算规则，并以实际应用为例，展示它们在不同领域的重要性。
一、矩阵与向量的基本概念矩阵是由m行n列的数按照一定顺序排列而成的矩形数表，用大写字母表示，如A。
向量是由n个数按照一定顺序排列而成的数表，用小写字母表示，如x。
矩阵中的每个数称为元素，向量中的每个数称为分量。
矩阵与向量的运算包括加法、减法和数乘三种基本运算。
二、矩阵与向量的加法矩阵与向量的加法是指将同型矩阵或向量的对应元素相加得到一个新的矩阵或向量。
例如，对于两个同型矩阵A和B，它们的加法规则为：A + B = (a_ij + b_ij)，其中a_ij和b_ij分别表示A和B的第i行第j列的元素。
同样地，对于两个同型向量x和y，它们的加法规则为：x + y = (x_i + y_i)，其中x_i和y_i分别表示x和y的第i个分量。
三、矩阵与向量的减法矩阵与向量的减法是指将同型矩阵或向量的对应元素相减得到一个新的矩阵或向量。
例如，对于两个同型矩阵A和B，它们的减法规则为：A - B = (a_ij - b_ij)，其中a_ij和b_ij分别表示A和B的第i行第j列的元素。
同样地，对于两个同型向量x和y，它们的减法规则为：x - y = (x_i - y_i)，其中x_i和y_i分别表示x和y的第i个分量。
四、矩阵与向量的数乘矩阵与向量的数乘是指将矩阵或向量的每个元素乘以一个常数得到一个新的矩阵或向量。
例如，对于一个矩阵A和一个常数k，它们的数乘规则为：kA = (ka_ij)，其中a_ij表示A的第i行第j列的元素。
同样地，对于一个向量x和一个常数k，它们的数乘规则为：kx = (kx_i)，其中x_i表示x的第i个分量。
五、矩阵与向量的乘法矩阵与向量的乘法是指将一个矩阵的每一行与一个向量进行点乘得到一个新的向量。
例如，对于一个矩阵A和一个向量x，它们的乘法规则为：Ax = (a_i1x_1 +a_i2x_2 + ... + a_inx_n)，其中a_ij表示A的第i行第j列的元素，x_i表示x的第i个分量。
矩阵与向量的运算
矩阵与向量的运算在线性代数中，矩阵与向量是基本的概念之一，并且在数学和应用领域中具有广泛的应用。
矩阵可以看作是一个由数字组成的矩形数组，而向量则可以看作是一个具有一维的矩阵。
本文将介绍关于矩阵与向量的运算，包括加法、减法、数乘以及矩阵乘法等。
1. 加法和减法矩阵和向量的加法和减法操作是一种逐个元素相加或相减的操作。
假设有两个相同大小的矩阵A和B，它们的加法和减法可以表示如下：A +B = CA -B = D其中C和D分别为结果矩阵，其每个元素的数值等于相加或相减之后的结果。
同样，向量的加法和减法也是类似的操作。
2. 数乘数乘是指一个数与矩阵或向量的每个元素相乘的操作。
假设有一个矩阵A和一个标量α，其数乘操作可以表示如下：αA = B其中B为结果矩阵，其每个元素的数值等于该元素与标量的乘积。
同样，向量的数乘操作也是类似的。
3. 矩阵乘法矩阵乘法是指两个矩阵相乘的操作。
假设有一个m×n的矩阵A和一个n×p的矩阵B，其乘法操作可以表示如下：A ×B = C其中C为结果矩阵，其大小为m×p。
矩阵乘法的计算规则是，A的每一行与B的每一列对应元素相乘后求和，得到结果矩阵C的对应位置的元素。
需要注意的是，矩阵乘法满足结合律，但不满足交换律。
即AB ≠ BA。
同时，矩阵乘法的定义要求前一个矩阵的列数等于后一个矩阵的行数，才能进行乘法操作。
4. 矩阵与向量的乘法矩阵与向量的乘法是指矩阵与列向量相乘的操作。
假设有一个m×n 的矩阵A和一个n维的列向量x，其乘法操作可以表示如下：A × x = y其中y为结果向量，其维度与A的行数m相同。
矩阵与向量的乘法实际上是矩阵乘法的特殊情况，可以视为每一行与列向量的对应元素相乘后求和得到结果向量y的对应位置的元素。
总结：矩阵与向量的运算包括加法、减法、数乘以及矩阵乘法等。
加法和减法是逐个元素相加或相减的操作，数乘是将矩阵或向量的每个元素与标量相乘的操作，矩阵乘法是两个矩阵相乘的操作，而矩阵与向量的乘法是指矩阵与列向量相乘的操作。
向量与矩阵的运算与性质
向量与矩阵的运算与性质向量和矩阵是线性代数中两个重要的概念，它们在各个领域的数学和科学问题中起着至关重要的作用。
本文将探讨向量与矩阵的运算与性质，包括向量的加法、乘法和性质，矩阵的加法、乘法和性质等方面。
向量的运算与性质向量是有方向和大小的量，通常用箭头表示。
在二维空间中，向量可以用坐标形式表示为 (x, y)，其中 x 和 y 分别代表向量在 x 轴和 y 轴上的分量。
向量的加法是将两个向量相加得到一个新的向量。
如果向量 A 的坐标表示为 (x1, y1)，向量 B 的坐标表示为 (x2, y2)，则它们的和向量 C的坐标可以表示为 (x1 + x2, y1 + y2)。
这体现了向量加法的几何意义，即将一个向量平移后与另一个向量的末端相连接得到一个新向量。
向量的乘法有两种情况，分别是数量乘法和点乘法。
数量乘法是将向量的每个分量都与一个标量相乘，得到的结果仍然是一个向量。
例如，如果向量 A 的坐标表示为 (x, y)，标量为 k，则数量乘法运算的结果为 kA = (kx, ky)。
点乘法是将两个向量进行点乘，得到一个标量。
点乘法的结果可以表示为A·B = |A||B|cosθ，其中 |A| 和 |B| 分别代表向量的模长，θ 表示两个向量之间的夹角。
向量具有许多重要的性质。
例如，向量的加法满足交换律和结合律，即 A + B = B + A，(A + B) + C = A + (B + C)。
向量的数量乘法满足结合律，即 k(lA) = (kl)A。
此外，向量的数量乘法还满足分配律，即 k(A + B) = kA + kB。
矩阵的运算与性质矩阵是一个按照行和列排列的矩形数组，它由 m 行 n 列的元素组成，记作 A = [a_ij]，其中 a_ij 表示矩阵 A 中第 i 行第 j 列的元素。
矩阵的加法是将两个矩阵对应位置的元素相加得到一个新的矩阵。
例如，如果矩阵 A 的第 i 行第 j 列的元素表示为 a_ij，矩阵 B 的第 i 行第 j 列的元素表示为 b_ij，则它们的和矩阵 C 的第 i 行第 j 列的元素可以表示为 c_ij = a_ij + b_ij。
第一章向量与矩阵的基本运算
行数与列数都等于 n 的矩阵称之为 n 阶方阵，
记作 An。
2.行矩阵、列矩阵与方阵 只有一行的矩阵称行矩阵，又称行向量。 只有一列的矩阵称为列矩阵，又称为列向量。 行数与列数都等于n的矩阵叫方阵，记为An。 3.同型矩阵与矩阵相等: 如果两个矩阵的行数相 等、列数也相等，就称它们是同型矩阵。 如果两个同型矩阵的对应元素相等，那么就称 这两个矩阵相等。记作：A=B 4.零矩阵: 元素都是零的矩阵称为零矩阵，记作 O。不同型的零矩阵是不相等的。
5. 对角矩阵、单位矩阵与数量矩阵 如果 n 阶方阵除主对角线上的元素不全为零 外，其余元素全为零，这样的 n 阶方阵称为对 角矩阵。记作 A=diag(λ1,λ2,…,λn) 如果n 阶方阵如果满足主对角线上的元素全 为1，其余元素全为零，这样的 n 阶矩阵称为 n 阶单位矩阵。记作En 或 E。 如果n 阶方阵主对角线上的元素全为k，其 余元素全为零，这样的 n 阶矩阵称为 n 阶数量 矩阵。
4.矩阵的乘幂：设 A 是 n 阶方阵，定义：
An (n为正数) AA A
n
只有方阵，它的乘幂才有意义。由于矩阵的 乘法满足结合律，而不满足交换律，因而有 下面的式子： (1) An Am = An+m
(2) ( An )m= An m
(3) ( AB ) k ≠ Ak Bk
0 0 ... k
... 0 ... 0 ... ... ... ann
3.行阶梯矩阵与行最简矩阵：一个 m×n 阶矩 阵 A= (aij)它的第 i 行的第一个非零元素记为 aiji ,如果当i>k时,有 ji > jk 时，称 A为行阶梯矩 阵。 若矩阵 B 满足以下条件 (1) B是行阶梯矩阵； (2) B的每一非零行的第一 个非零元素为1； (3) 每一非零行的第一个非零元素所在的列 除它自身外其余元素全为零。称矩阵 B 为行 最简矩阵。
向量与矩阵的基本运算.ppt
行数与列数都等于 n 的矩阵称之为 n 阶方阵，
记作 An。
2.行矩阵、列矩阵与方阵 只有一行的矩阵称行矩阵，又称行向量。 只有一列的矩阵称为列矩阵，又称为列向量。 行数与列数都等于n的矩阵叫方阵，记为An。 3.同型矩阵与矩阵相等: 如果两个矩阵的行数相 等、列数也相等，就称它们是同型矩阵。 如果两个同型矩阵的对应元素相等，那么就称 这两个矩阵相等。记作：A=B 4.零矩阵: 元素都是零的矩阵称为零矩阵，记作 O。不同型的零矩阵是不相等的。
1.定义
=（a1,a 2 , ,a n）
b1 b2 = b n
由n个数构成的有序数组称为n维向量
如果两个 n 维向量 a ( x1, x2 ,..., xn ) b ( y1 , y2 ,..., yn ) 的对应分量相等，即xi yi (i 1,2,..., n)，则称 向量 a 与 b 相等，记为 ab
第一章 向量与矩阵的 基本运算
向量与矩阵是线性代数的一个主要研究 对象，也是数学上的一个重要工具。其应用已 经渗透到了包括自然科学、人文科学、社会科
学在内的各个领域。在矩阵理论中，矩阵的运
算起着重要的作用，本章主要讨论有关向量与 矩阵运算的一些基本规则与技巧。
向量与矩阵的基 第一节 本概念
一、n维向量：
数λ与矩阵Ａ的乘积记为λA或
a11 a12 a21 a22 A ... ... a m1 am 2
... a1n ... a2 n ... ... ... amn
由此可见，矩阵的数乘仍然是一个与原矩阵
同型的矩阵，并且，是用数λ与矩阵的每一个 元素相乘。
5. 对角矩阵、单位矩阵与数量矩阵 如果 n 阶方阵除主对角线上的元素不全为零 外，其余元素全为零，这样的 n 阶方阵称为对 角矩阵。记作 A=diag(λ1,λ2,…,λn) 如果n 阶方阵如果满足主对角线上的元素全 为1，其余元素全为零，这样的 n 阶矩阵称为 n 阶单位矩阵。记作En 或 E。 如果n 阶方阵主对角线上的元素全为k，其 余元素全为零，这样的 n 阶矩阵称为 n 阶数量 矩阵。
线性代数中的向量与矩阵运算
线性代数中的向量与矩阵运算线性代数是数学中的一个重要分支，研究向量、向量空间和线性变换等概念及其性质。
在线性代数中，向量和矩阵是最基本的概念之一，其运算规则和性质对于解决实际问题和理论研究都具有重要意义。
一、向量的定义与运算向量是线性代数中最基本的概念之一。
向量可以用有序数组表示，也可以用箭头表示，箭头的方向表示向量的方向，箭头的长度表示向量的大小。
向量的运算包括加法和数乘两种运算。
向量的加法满足交换律和结合律，即对于任意两个向量a和b，有a+b=b+a和(a+b)+c=a+(b+c)。
向量的数乘是指将向量的每个分量与一个实数相乘，得到一个新的向量。
数乘满足结合律和分配律，即对于任意向量a和实数k，有k(a+b)=ka+kb 和(k+l)a=ka+la。
二、矩阵的定义与运算矩阵是由m行n列的数排成的一个矩形数表，用大写字母表示。
矩阵的运算包括加法、数乘和乘法三种运算。
矩阵的加法是指将两个相同大小的矩阵对应位置的元素相加，得到一个新的矩阵。
矩阵的数乘是指将矩阵的每个元素与一个实数相乘，得到一个新的矩阵。
矩阵的乘法是指将一个m行n列的矩阵与一个n行p列的矩阵相乘，得到一个m行p 列的矩阵。
矩阵的乘法不满足交换律，即AB≠BA，但满足结合律，即(AB)C=A(BC)。
矩阵的乘法还满足分配律，即A(B+C)=AB+AC和(A+B)C=AC+BC。
三、向量与矩阵的关系向量可以看作是只有一列的矩阵，矩阵可以看作是多个向量的组合。
向量与矩阵之间的运算也是线性代数中的重要内容。
对于一个m行n列的矩阵A和一个n维的列向量x，矩阵A与向量x的乘积Ax是一个m维的列向量，其中的每个元素是矩阵A的每一行与向量x的对应位置元素的乘积之和。
这种运算可以看作是将矩阵的每一行与向量的每一列进行对应位置的乘积，并将结果相加得到一个新的向量。
矩阵的转置是指将矩阵的行与列对调得到的新矩阵。
对于一个m行n列的矩阵A，其转置矩阵记作A^T，其中的元素a_ij变为a_ji。
矩阵与向量的关系
矩阵与向量的关系矩阵与向量是线性代数中最基本的概念之一。
在矩阵和向量之间存在密切的联系和相互作用。
一、向量的概念向量是指由有限个数字按照一定顺序排列组成的元素集合，通常用箭头表示，如图1所示：图1 向量向量可以表示为：a=[a1,a2,…,an]T其中a1,a2,…,an为向量a的元素，T表示转置，表示将行向量转换为列向量。
二、矩阵的概念矩阵是一个元素按照矩形排列组成的矩形数组，如图2所示：图2 矩阵矩阵常用大写字母表示，如：其中a11,a12,…,amn为矩阵元素，m和n分别表示矩阵的行和列数。
三、矩阵和向量的关系矩阵和向量之间有着密切的联系。
矩阵可以看作是若干向量的组合。
换言之，矩阵的每一列都是一个向量。
例如，对于一个3维向量，可以将其表示为一个3 x 1的列向量：同理，可以将多个3维向量组合为一个3 x n的矩阵：其中a1,a2,…,an都是3维的列向量。
因此，向量可以看作是一个1 x n或n x 1的矩阵。
在计算机科学中，向量和矩阵常常用于表示图像、音频、文本等数据。
向量和矩阵的运算也是机器学习、深度学习等算法的基础。
四、向量和矩阵的运算向量和矩阵的运算分为两种：标量运算和向量/矩阵运算。
（一）标量运算标量运算指的是将一个实数（标量）与向量/矩阵的每个元素相乘或相加。
例如：（二）向量/矩阵运算向量/矩阵运算主要包括加法和乘法两种。
1.向量/矩阵加法向量/矩阵加法是将两个向量/矩阵对应元素相加，例如：2.向量/矩阵乘法向量/矩阵乘法是将两个向量/矩阵进行运算得到一个新的向量/矩阵，计算方法不同。
向量乘法向量乘法有两种：内积和外积。
（1）向量内积向量内积又称点积，表示将两个向量对应元素相乘并相加，得到一个标量，例如：对于向量a=[a1,a2,a3]T和向量b=[b1,b2,b3]T，其内积为a·b=a1*b1+a2*b2+a3*b3。
矩阵乘法矩阵乘法是指将两个矩阵进行运算得到一个新的矩阵。
向量与矩阵在高等数学中的代数运算与应用
向量与矩阵在高等数学中的代数运算与应用1. 向量与矩阵的基本概念与性质向量是高等数学中的基本概念之一。
它可以理解为有方向和大小的量，常用箭头表示。
向量可以加减、与标量乘除，还可以进行内积和外积等运算。
在代数运算中，向量可以进行加减运算和数乘运算。
向量的代数运算具有交换律和结合律。
矩阵是一个矩形的数表，由行（横向元素）和列（纵向元素）组成。
矩阵也可以是一个二维数组，每个元素都有明确的位置。
矩阵的运算包括加法、减法、数乘、转置和乘法等。
2. 向量与矩阵的代数运算a. 向量的加法与减法：向量的加法是对应位置上的元素相加，得到一个新的向量；向量的减法是对应位置上的元素相减，得到一个新的向量。
b. 向量的数乘：数乘即将向量的每个元素乘以一个标量。
数乘之后，向量的方向不变，但大小会发生变化。
c. 矩阵的加法与减法：矩阵加法与减法是将对应位置上的元素相加或相减，得到一个新的矩阵。
要求进行加法或减法的两个矩阵必须具有相同的行数和列数。
d. 矩阵的数乘：数乘即将矩阵的每个元素乘以一个标量。
e. 矩阵的乘法：矩阵的乘法是指将一个矩阵的每个元素与另一个矩阵的对应元素相乘，并将结果相加。
要进行乘法运算，前一个矩阵的列数必须等于后一个矩阵的行数。
f. 矩阵的转置：矩阵的转置是指将矩阵的行与列对换得到的新矩阵。
3. 向量与矩阵的应用a. 线性代数：线性代数是现代数学的一个分支，广泛应用于物理学、工程学和计算机科学等领域。
向量和矩阵是线性代数的基础，在解决方程组和矩阵变换等问题中起到重要作用。
b. 几何学：向量在几何学中用于表示方向和大小。
通过向量的加法、减法和数乘运算，可以进行几何变换，如平移、旋转和缩放等。
c. 物理学：向量在物理学中广泛应用于描述物体的运动和力的作用。
例如，速度和加速度可以用矢量表示，这样可以更方便地进行分析和计算。
d. 经济学：向量和矩阵在经济学中用于描述经济关系和模型。
例如，用向量表示不同商品的价格和数量，用矩阵表示市场的供给和需求关系。
矩阵向量加法
矩阵向量加法摘要：一、矩阵与向量的概念1.矩阵的定义与性质2.向量的定义与性质二、矩阵向量加法的定义1.矩阵与向量的对应元素相加2.矩阵向量加法的运算规则三、矩阵向量加法的性质1.结合律2.交换律3.分配律四、矩阵向量加法的应用1.线性方程组求解2.数据降维3.图像处理正文：矩阵向量加法是矩阵运算中的一种，它在许多领域都有广泛的应用。
首先，我们需要了解矩阵与向量的概念。
矩阵是一个由行和列的数字组成的矩形阵列。
矩阵具有以下性质：矩阵是一个二维数组，具有行数和列数；矩阵的元素可以是实数、复数或其它数值；矩阵可以进行加法、减法、乘法等运算。
向量是具有大小和方向的量。
在数学中，向量通常表示为一个有序的数列，其中每个元素代表该向量在各个方向上的分量。
向量具有以下性质：向量具有大小和方向；向量可以进行加法、减法、数乘等运算。
矩阵向量加法是指将一个矩阵与一个向量按照对应元素相加的运算。
具体来说，设矩阵A 是一个m×n 矩阵，向量b 是一个n 维向量，那么矩阵向量加法可以表示为：A + b。
矩阵向量加法的运算规则如下：(A + b)ij = Aij + bj其中，Aij 表示矩阵A 中第i 行第j 列的元素，bj 表示向量b 的第j 个分量。
矩阵向量加法具有以下性质：1.结合律：对于任意矩阵A、B 和向量c，有(A + B) + c = A + (B +c)。
2.交换律：对于任意矩阵A 和向量B，有A + B = B + A。
3.分配律：对于任意矩阵A、B 和标量c，有A + (B × c) = (A × c) + B。
矩阵向量加法在许多领域都有广泛的应用，例如线性方程组求解、数据降维和图像处理等。
在求解线性方程组时，矩阵向量加法可以用来将系数矩阵与常数向量相加，从而得到解向量。
在数据降维中，矩阵向量加法可以用来将数据矩阵与基向量矩阵相加，从而实现数据在新空间中的表示。
向量点乘矩阵
向量点乘矩阵向量点乘矩阵1. 前言计算机科学中，对于向量和矩阵的运算一直是不可或缺的。
向量和矩阵在计算机科学中广泛应用，特别是在机器学习和深度学习领域。
向量和矩阵的点乘运算是其中一种最常见的运算方式。
2. 向量和矩阵在开始讲解向量点乘矩阵之前，我们需要先了解向量和矩阵的概念。
向量是由一组有序数构成的一维数组，通常用于表示方向和大小。
例如，(1, 2, 3) 可以表示在三维空间中的一个向量，其中每个数分别表示其在 x，y，z 轴方向上的大小。
矩阵是由多个数按照一定的规则排列成的二维数组，通常用于表示多个向量或多个变量之间的线性关系。
例如，[[1, 2], [3, 4]] 可以表示一个二阶矩阵，其中第一行表示一个二维向量 (1, 2)，第二行表示另一个二维向量 (3, 4)。
3. 向量点乘向量点乘是指将两个相同维数的向量按照一定的运算法则进行运算得到的结果。
向量点乘运算的结果是一个标量，它表示两个向量之间的夹角余弦值。
向量点乘的运算法则为：a ·b = |a||b|cos(θ)其中 a 和 b 分别表示两个向量，|a| 和 |b| 分别表示它们的模长，θ 表示它们之间的夹角。
如果 a 和 b 夹角为 0 度，则它们的点乘结果是两个向量的模长相乘。
4. 矩阵的乘法矩阵乘法是指将两个矩阵按照特定的运算规则进行乘积计算的过程。
在矩阵乘法中，左边的矩阵行数必须等于右边矩阵的列数，才能进行乘法运算。
矩阵乘法的运算规则为：C = A × B其中 A 和 B 分别表示两个矩阵，C 表示它们的乘积结果。
在矩阵乘法中，如果 A 为 m × n 的矩阵（m 行 n 列），B 为 n × p 的矩阵（n 行 p 列），则乘积 C 为 m × p 的矩阵（m 行 p 列），其中 C(i,j) 表示 A 的第 i 行与 B 的第 j 列的乘积之和。
5. 向量点乘矩阵向量点乘矩阵是指将一个向量和一个矩阵进行运算，得到一个新的向量。
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1 向量的概念与运算 2 矩阵的概念与运算 3 逆矩阵 4 分块矩阵 5 矩阵的初等变换与初等矩阵 6 矩阵的秩 7 向量组的线性相关性 8 向量组的正交化
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第1节 向量的概念与运算
1.1 向量的概念
定义1 n个数a1，a2， ，an组成的有序数组 (a1, a2, , an)， 称为n维向量，记为a，其中a i (i=1,2,…,n)叫做向量的第i个分量.
i =1
例如，设a=(-1, 1, 0, 2)T，b=(2, 0, -1, 3)T , 则a与b
的内积为 (a , b ) =(-1)2+10+0(-1)+23 =4 .
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内积的性质
设a，b，g为Rn中的任意向量，k为常数. (1) ( a,b ) =(b,a ) ； (2) (ka,b ) = k ( a,b ) ； (3) (a+b,g ) = ( a,g ) + ( b, g ) ； (4) ( a,a ) 0，当且仅当a=o时，有( a,a ) =0 .
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负矩阵
称矩阵
-a11 -a12 -a1n -a21 -a22 -a2n
为A的负矩阵,记作 –A.
零矩阵
-am1 -am2 -amn
所有元素均为0的矩阵称为零矩阵，记为O.
行矩阵与列矩阵
只有一行的矩阵称为行矩阵，只有一列的矩阵称为列矩阵.常用小
例4．n维单位向量组e1，e2，，en，是两两 正交的：(ei ,ej ) =0 (ij) .
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标准正交向量组
定义6 如果m个非零向量组 a1，a2，，am两两正交， 即 (ai ,aj )=0(ij)，则称该向量组为正交向量组.
如果正交向量组a1，a2，，am的每一个向量都是单
称向量(0, 0, , 0)T 为零向量，记作O .
如果向量a=(a1, a2, , an)T与向量b=(b1, b2, , bn)T都是 n维向量，且对应的分量都相等，则称它们相等，记作a＝b.
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1.2 向量的运算
定义2 设 α = (a1, a2, , an T , β = (b1,b2, ,bn ,T则
从a得到a 0的运算称为向量a的单位化。
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定义5 如果向量a与b为非零向量，它们的夹角
θ定义为： = arccos
(a , b )
|| a || . || b ||
若(a ,b =0，则称向量a与b互相正交(垂直), 记作a b .
例3．零向量与任意向量的内积为零，因此零向量 与任意向量正交.
位向量，则称该向量组为标准正交向量组.
显然,例4中n维单位向量组e1，e2，，en
1
e1
=
0
0
0
e2
=
1
0
0
,
en
=
0
1 Fra bibliotek为标准正交向量组.
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第2节 矩阵的概念与运算
2.1 矩阵的概念
在某些问题中，存在若干个具有相同长度的有序数组.比如线性 方程组的每个方程对应一个有序数组：
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向量的长度
定义4 对于向量a=(a1, a2, , an )T，其长度(或模)为 || a ||= (a,a ) = a12 + a22 + + an2
例如，向量a=(-1, 2, 0, 2)T的长度为
|| a ||= (a,a) = (-1)2 + 22 + 02 + 22 = 3
向量长度的性质（了解） (1)非负性: a 0，当且仅当a = 0时，有 a = 0;
0648
3572 1320
A+B= 2 0 4 3 + 2 1 5 7
0123 0648
3+1 5+3 7+2 2+0 4 8 9 2 = 2+2 0+1 4+5 3+7 = 4 1 9 10 .
0+0 1+6 2+4 3+8 0 7 6 11
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设A,B,C都是mn矩阵.容易证明，矩阵的加法满足 如下运算规律：
（1）交换律： A+B=B+A; （2）结合律：(A+B)+C=A+(B+C); （3）A+O=A，其中O是与A同型的零矩阵; （4）A+(-A)=O，其中O是与A同型的零矩阵. 矩阵的减法可定义为:
A - B = A + (-B) = (aij - bij )mn 显然：若A=B，则A+C=B+C，A-C=B-C；
a11x1 + a12x2 + + a1nxn =b1 → (a11 a12 a1n b1) a21x1 + a22x2 + + a2nxn =b2 → (a21 a22 a2n b2) → am1x1+ am2x2 + + amnxn =bm → (am1 am2 amn bm)
向量的加法
（1）α + β = (a1 + b1, a2 + b2,
向量的数乘
, an + bn T
（2）kα = (ka1, ka2, , kan T （k为常数）
向量满足以下8条运算规律(设a、b、g都是n维向量，k、l为实数):
(1)a +b =b +a (2)a +(b +g )=(a +b ) +g (3)a +O =a (4)a +(-a) =O
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向量的内积
定义3 设a=(a1, a2, , an )T与b=(b1, b2, , bn )T是两个
n维向量，则实数
n
aibi = a1b1 + a2b2 + ... + anbn
i =1
称为向量a和b的内积，记为(a , b )，或aT b.
n
(a , b ) =
aibi = a1b1 + a2b2 + ... + anbn
a+(-a) +2g =b+(-a) ；交换律
a+(-a) +2g =b-a O+2g =b-a 2g =b-a ½*2g = ½ *(b-a) 1g = ½ *(b-a) g = ½ *(b-a)
；约定（减法）
；性质4 ；性质3 ；数乘运算 ；恒等变换 ；性质8
(计算结果，略.)
说明：实际运算时，一般给出主要步骤即可，但应注意与数的运算的区别.
, m；j=1, 2, , n)，则称矩阵A与矩阵B 相等，记作A=B .
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2.2 矩阵的运算
2.2.1矩阵的加法
定义1 设A与B为两个mn矩阵
a11 a12 a1n
b11 b12 b1n
A= a21 a22 a2n ， B= b21 b22 b2n ，
A=
0 a22 a2n .
0 0 ann
如下形式的 n 阶矩阵称为 下三角形矩阵.
b11 0 B= b21 b22
bn1 bn2
0 0. bnn
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对角矩阵
如下形式的 n 阶矩阵称为对角矩阵.
a11 0 0 A= 0 a22 0 .
(5)(k+l)a=ka +la (6)k(a +b)=ka + kb (7)(kl)a= k(la) (8)1a=a
下页
向量的减法 设a、b都是n维向量，利用负向量可定义向量的减法为:
a - b = a + (- b ) ,即对应分量相减.
1 2 0
例1．设 a
=
-2
,
am1+bm1 am2+bm2 amn+bmn
下页
矩阵的加法：设A=(aij)mn与B=(bij)mn，则A+B= (aij+bij)mn。
3572
1320
例1．设 A= 2 0 4 3 ， B = 2 1 5 7 ，则
0123
这些有序数组可以构成一个表
a11 a12 a1n b1 a21 a22 a2n b2 am1 am2 amn bm
这个表就称为矩阵.
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定义1 由 mn 个数 aij(i=1, 2, , m；j=1, 2, , n)排成一个
m 行 n 列的矩形表称为一个 mn 矩阵，记作
a11 a12 a1n a21 a22 a2n am1 am2 amn
其中 aij 称为矩阵的第 i 行第 j 列的元素. 一般情况下，我们用大写字母 A，B，C 等表示矩阵.
mn矩阵A简记为 A=(aij)mn 或记作 Amn . 如果矩阵A与B的行数相等，列数也相等，则称A与B是 同型矩阵或同阶矩阵。
0 0 ann
对角矩阵可简单地记为A=diag(a11, a22, , ann) .
单位矩阵
如下形式的 n 阶矩阵称为单位矩阵，记为 En 或 E.
1 0 0
E=
0 1 0 .
0 0 1
定义2 矩阵相等：设A=(aij)，B=(bij)为同阶矩阵，如果aij=bij(i=1, 2,
(2)齐次性: ka = k ||a || (k为实数)；
(3)柯西不等式: 对任意向量a，b有 (a, b a b ;