向量矩阵概念与运算

第2章 向量与矩阵
1 向量的概念与运算 2 矩阵的概念与运算 3 逆矩阵 4 分块矩阵 5 矩阵的初等变换与初等矩阵 6 矩阵的秩 7 向量组的线性相关性 8 向量组的正交化
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第1节 向量的概念与运算
1.1 向量的概念
定义1 n个数a1，a2， ，an组成的有序数组 (a1, a2, , an)， 称为n维向量，记为a，其中a i (i=1,2,…,n)叫做向量的第i个分量.
n维向量写成行的形式，称为行向量，记为
a=(a1, a2, , an)，
写成列的形式，称为列向量，记为
a1
a= a2 .
an
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本教材约定向量的形式为列向量，即
a1
a=
a2
或记做 a =(a1, a2, , an)T
an
称向量 (-a1, -a2, , -an)T，为向量a的负向量，记作 - a .
称向量(0, 0, , 0)T 为零向量，记作O .
如果向量a=(a1, a2, , an)T与向量b=(b1, b2, , bn)T都是 n维向量，且对应的分量都相等，则称它们相等，记作a＝b.
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1.2 向量的运算
定义2 设 α = (a1, a2, , an T , β = (b1,b2, ,bn ,T则
向量的加法
（1）α + β = (a1 + b1, a2 + b2,
向量的数乘
, an + bn T
（2）kα = (ka1, ka2, , kan T （k为常数）
向量满足以下8条运算规律(设a、b、g都是n维向量，k、l为实数):
(1)a +b =b +a (2)a +(b +g )=(a +b ) +g (3)a +O =a (4)a +(-a) =O
(5)(k+l)a=ka +la (6)k(a +b)=ka + kb (7)(kl)a= k(la) (8)1a=a
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向量的减法 设a、b都是n维向量，利用负向量可定义向量的减法为:
a - b = a + (- b ) ,即对应分量相减.
1 2 0
例1．设 a
=

-2

,
b
=

-1
,
g
=

1

,
求
2a
- 3b
+g
.
0 3 -1
1 2 0
解：2a - 3b + g
=
2

-2

-
3
-1
+

1

0 3 -1
2 6 0 -4
=

-4

-

-3

+

1

=

0

.
0 9 -1 -10
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1 2
例2．设
a
=

-2

,
b
=

-1
,
且a
+ 2g＝b
, 求g
.
0 3
解： a+2g+(-a)=b+(-a) ；两边加a 的负向量
a+(-a) +2g =b+(-a) ；交换律
a+(-a) +2g =b-a O+2g =b-a 2g =b-a ½*2g = ½ *(b-a) 1g = ½ *(b-a) g = ½ *(b-a)
；约定（减法）
；性质4 ；性质3 ；数乘运算 ；恒等变换 ；性质8
(计算结果，略.)
说明：实际运算时，一般给出主要步骤即可，但应注意与数的运算的区别.
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向量的内积
定义3 设a=(a1, a2, , an )T与b=(b1, b2, , bn )T是两个
n维向量，则实数
n
aibi = a1b1 + a2b2 + ... + anbn
i =1
称为向量a和b的内积，记为(a , b )，或aT b.
n
(a , b ) =
aibi = a1b1 + a2b2 + ... + anbn
i =1
例如，设a=(-1, 1, 0, 2)T，b=(2, 0, -1, 3)T , 则a与b
的内积为 (a , b ) =(-1)2+10+0(-1)+23 =4 .
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内积的性质
设a，b，g为Rn中的任意向量，k为常数. (1) ( a,b ) =(b,a ) ； (2) (ka,b ) = k ( a,b ) ； (3) (a+b,g ) = ( a,g ) + ( b, g ) ； (4) ( a,a ) 0，当且仅当a=o时，有( a,a ) =0 .
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向量的长度
定义4 对于向量a=(a1, a2, , an )T，其长度(或模)为 || a ||= (a,a ) = a12 + a22 + + an2
例如，向量a=(-1, 2, 0, 2)T的长度为
|| a ||= (a,a) = (-1)2 + 22 + 02 + 22 = 3
向量长度的性质（了解） (1)非负性: a 0，当且仅当a = 0时，有 a = 0;
(2)齐次性: ka = k ||a || (k为实数)；
(3)柯西不等式: 对任意向量a，b有 (a, b a b ;
(4)三角不等式：a+b a + b .
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向量的单位化（标准化）
长度为1的向量称为单位向量.
若非零向量a的长度不等于1，令a 0 = a ， || a ||
则a 0为单位向量，称a 0为a的单位向量。
从a得到a 0的运算称为向量a的单位化。
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定义5 如果向量a与b为非零向量，它们的夹角
θ定义为： = arccos
(a , b )
|| a || . || b ||
若(a ,b =0，则称向量a与b互相正交(垂直), 记作a b .
例3．零向量与任意向量的内积为零，因此零向量 与任意向量正交.
例4．n维单位向量组e1，e2，，en，是两两 正交的：(ei ,ej ) =0 (ij) .
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标准正交向量组
定义6 如果m个非零向量组 a1，a2，，am两两正交， 即 (ai ,aj )=0(ij)，则称该向量组为正交向量组.
如果正交向量组a1，a2，，am的每一个向量都是单
位向量，则称该向量组为标准正交向量组.
显然,例4中n维单位向量组e1，e2，，en
1
e1
=

0


0

0
e2
=

1



0

0
,
en
=

0



1

为标准正交向量组.
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第2节 矩阵的概念与运算
2.1 矩阵的概念
在某些问题中，存在若干个具有相同长度的有序数组.比如线性 方程组的每个方程对应一个有序数组：
a11x1 + a12x2 + + a1nxn =b1 → (a11 a12 a1n b1) a21x1 + a22x2 + + a2nxn =b2 → (a21 a22 a2n b2) → am1x1+ am2x2 + + amnxn =bm → (am1 am2 amn bm)
这些有序数组可以构成一个表
a11 a12 a1n b1 a21 a22 a2n b2 am1 am2 amn bm
这个表就称为矩阵.
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定义1 由 mn 个数 aij(i=1, 2, , m；j=1, 2, , n)排成一个
m 行 n 列的矩形表称为一个 mn 矩阵，记作
a11 a12 a1n a21 a22 a2n am1 am2 amn
其中 aij 称为矩阵的第 i 行第 j 列的元素. 一般情况下，我们用大写字母 A，B，C 等表示矩阵.
mn矩阵A简记为 A=(aij)mn 或记作 Amn . 如果矩阵A与B的行数相等，列数也相等，则称A与B是 同型矩阵或同阶矩阵。
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负矩阵
称矩阵
-a11 -a12 -a1n -a21 -a22 -a2n
为A的负矩阵,记作 –A.
零矩阵
-am1 -am2 -amn
所有元素均为0的矩阵称为零矩阵，记为O.
行矩阵与列矩阵
只有一行的矩阵称为行矩阵，只有一列的矩阵称为列矩阵.常用小
写黑体字母 a，b，x，y 等表示.例如
b1
a=(a1 a 2 an)，
b=
b2
.
bm
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方阵
若矩阵 A 的行数与列数都等于 n，则称 A 为 n 阶矩阵， 或称为 n 阶方阵.
注意： 区别方阵与行列式
数表
数值
三角形矩阵
如下形式的 n 阶矩阵称为 上三角形矩阵.
a11 a12 a1n
A=
0 a22 a2n .
0 0 ann
如下形式的 n 阶矩阵称为 下三角形矩阵.
b11 0 B= b21 b22

bn1 bn2
0 0. bnn
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对角矩阵
如下形式的 n 阶矩阵称为对角矩阵.
a11 0 0 A= 0 a22 0 .

0 0 ann
对角矩阵可简单地记为A=diag(a11, a22, , ann) .
单位矩阵
如下形式的 n 阶矩阵称为单位矩阵，记为 En 或 E.
1 0 0
E=
0 1 0 .
0 0 1
定义2 矩阵相等：设A=(aij)，B=(bij)为同阶矩阵，如果aij=bij(i=1, 2,
, m；j=1, 2, , n)，则称矩阵A与矩阵B 相等，记作A=B .
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2.2 矩阵的运算
2.2.1矩阵的加法
定义1 设A与B为两个mn矩阵
a11 a12 a1n
b11 b12 b1n
A= a21 a22 a2n ， B= b21 b22 b2n ，


am1 am2 amn
bm1 bm2 bmn
A与B对应位置元素相加得到的mn矩阵称为矩阵A与B的和，
记为A+B.即C=A+B .
a11+b11 a12+b12 a1n+b1n A+B = a21+b21 a22+b22 a2n+b2n .
am1+bm1 am2+bm2 amn+bmn
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矩阵的加法：设A=(aij)mn与B=(bij)mn，则A+B= (aij+bij)mn。
3572
1320
例1．设 A= 2 0 4 3 ， B = 2 1 5 7 ，则
0123
0648
3572 1320
A+B= 2 0 4 3 + 2 1 5 7
0123 0648
3+1 5+3 7+2 2+0 4 8 9 2 = 2+2 0+1 4+5 3+7 = 4 1 9 10 .
0+0 1+6 2+4 3+8 0 7 6 11
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设A,B,C都是mn矩阵.容易证明，矩阵的加法满足 如下运算规律：
（1）交换律： A+B=B+A; （2）结合律：(A+B)+C=A+(B+C); （3）A+O=A，其中O是与A同型的零矩阵; （4）A+(-A)=O，其中O是与A同型的零矩阵. 矩阵的减法可定义为:
A - B = A + (-B) = (aij - bij )mn 显然：若A=B，则A+C=B+C，A-C=B-C；
若A+C=B+C，则A=B.
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2.2.2 数与矩阵的数法 定义2 设A=(aij)为mn矩阵
a11 a12 a1n A= a21 a22 a2n ，
am1 am2 amn
则以数k乘矩阵A的每一个元素所得到的mn矩阵称为数k与 矩阵A的数量乘积，记为kA.即
ka11 ka12 ka1n kA= ka21 ka22 ka2n .
kam1 kam2 kamn
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矩阵的数乘： 设A=(aij)mn ，则kA=(kaij)mn . 3572
例2．设 A= 2 0 4 3 ，则 0123
3 5 7 2 33 35 37 32 3A = 3 2 0 4 3 = 32 30 34 33