向量的概念及基本运算

a b x1x2 y1y2
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a
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3.平面向量之间的关系
（1）两个向量相等的两种形式
r r r r rr ①abab且 a 与 b 方 向 相 同
r
r
②若 a (x 1 ,y 1 ), b (x 2 ,y 2 )
则arbrx1x2,且 y1y2
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3.平面向量之间的关系
(2)向量平行(共线)充要条件
r rr r ① a ∥ b(b 0)
rr
有且只有一个实数 使得 a b
r
r
②若 a (x 1 ,y 1 ), b (x 2 ,y 2 )
rr 则 a ∥b
x1y2 x2y1 0
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3.平面向量之间的关系
(3)两个非零向量垂直的充要条件
r r rr ① a ⊥b ab0
向量的基本 概念与运算
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a
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平面向量复习
向量及相关概念
平
三角形法则
面
向量加法与减法
向
平行四边形法则
量
实数与向量的积
运算
共线向量定理 平行的充要条件
向量的数量积
垂直的充要条件
平面向量的基本定理
1.向量及相关概念
向量定义：既有大小又有方向的量叫向量。
(1)向量的模： 向量的大小也就是向量的长度称 为向量的模.
向量，那么对于这一平面内的任一向量 a，
r ur ur
有且只有一对实数1,使2, a1e1 e 2 2
ur ur 不共线的向量 e 1 , e 2
叫做表示这一平面内所有向量的一组基底
r
r
②若 a (x 1 ,y 1 ), b (x 2 ,y 2 )
rr
则 a ⊥b x1x2 y1y2 0
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例题分析 r
r
例2.已知 a＝(1，2)， ＝b (－3，2)，
①当k为何值时，k
r a
r 与b
rr a垂 3直b ？
rr r r ②当k为何值时，k a 与b a平 3行b ？
提示: u u u r u u u r u u u r ur ur uuur ① B uuD ur B uC uur C D 5(e1 e2) 5AB
AB ∥B
u u ur
D
u
u
ur
又 A 与B B有D公共点B
∴A、B、D三点共
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ur uur 例3.已知向量 e 1、e 2 不共线，
r O AO BO C
b (x 2 ,y 2 )
则ab( x 1 x 2 , y 1 y 2 )
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2.向量的基本运算
（2）向量的减法
几何运算： 三角形法则
B
uu u r uuu r uuu r
B AO AO B
O
A
r
r
代数运算：设 ra r(x 1 ,y 1 ), b (x 2 ,y 2 )
r
坐标表示：若 a (x ,y ), 则 a (x,y)
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2.向量的基本运算
（4）两个非零向量的数量积
r r rr
a gb a b cos
几何意义：
rr r
ຫໍສະໝຸດ Baidu
r
a 与 b 在 a 的方向上的投影 b co s 的乘积
r
r
坐标表示：设 r a r (x 1 ,y 1 ), b (x 2 ,y 2 )
平行时它们是同向还是反向?
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ur uur
例3.已知向量 e 1、e 2 不共线，
①若uAuBur eur1euur2 ，u BuC ur2eur18euur2 ，
uuur ur uur
CD3e13e2 ;
求证：A、B、D三点共线；
ur uur ur uur
②若向量e1 e2与 e1 e2 共线，求实数 的值.
①若uAuBur eur1euur2 ，u BuC ur2eur18euur2 ，C uuD ur3eur13euur2;
求证：A、B、D三点共线；
ur uur ur uur
②若向量e1 e2与 e1 e2 共线，求实数 的值.
提示:② 若向量
ur uur ur uur
e1
e2与
u er1 u re2
rr
(1)若 a 与 同b 向， 且 a b ,
rr 则a b
(╳)
rr r r
(2)对于任意向量
rr
a
b
,
且a与
方b 向相同，
则a b (√)
(3)所有的单位向量都相等. ( ╳ )
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(4)零向量与任意向量都平行. ( √ )
(5)向量 uA与uBur 是CuuDur共线向量,则A、B、C、D
则ab( x 1 x 2 , y 1 y 2 )
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2.向量的基本运算
r
(3 )实 数 与 a 的 乘 积
①
a r是 一 个 向 量 , 且ar
r a
②
rr
0时,a与a同向;
0 时 , a r与 a r反 向 ;
rr
0时 , a 0
几何意义： 实质就是向量的伸长与缩短
r
共线
u r
u u r
∴存在实数k 使 e1e2（ ke 1-e 2 ）
根据向量相等的条件
k
1
k
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ur uur 例3.已知向量 e 1、e 2 分别是直角坐标系内与
x轴、y轴方向相同的两个单位向量，
uuur ur uur ①若ABe1e2 ，
uBuC ur2eur18euur2 ，C uuD ur3eur13euur2;
求证：A、B、D三点共线； ur uur ur uur
②若向量e1 e2与 e1 e2 共线，求实数
提示u:uur uAuBur(1,1) BC(2,8) uuur CD(3,3)
的值.
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4.平面向量基本定理 平面向量的基本定理
ur ur
如果 e 1 是, e同2 一平面内的两个不共线
四点共线.
(╳)
rrr r
rr
(6)如果 a ∥，b b ，∥则c . a ∥ c ( ╳ )
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2.向量的基本运算
（1）向量的加法
几何运算： 三角形法则
C
平行四边形法则
B
C
u Auu r uuu r uu Bu r Ouuu r uuu r u Auu r
代数运A 算B ：+设 B rC a r r( A x 1 C ,y 1 ),
r (2)零向量： 长度为0的向量，记作0 .
(3)单位向量： 长度等于1个单位长度的向量.
(4)平行向量： 方向相同或相反的非零向量.
(5)相等向量： 长度相等且方向相同的向量.
(6)相反向量： 长度相等且方向相反的向量.
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例题分析
例1.判断下列命题是否正确，不正确的说明理由
rr