平面向量的概念与线性运算
《平面向量》第1讲 平面向量的概念和线性运算
小结
1. 基本概念.
2. 向量的线性运算(加法、减法、数乘).
运算结果仍然是一个向量.
3. 两个向量共线的充要条件.
三点共线的应用.
一.向量的基本概念
[例题1]. 下列说法正确的是 .
(1).0 的方向是任意的；
(2).0// a;
(3). 0 0;
(4).0 a a 0 a;
(5). 0 0; (6).0 a 0.
二.向量的线性运算
[例题2]. 设O是正六边形ABCDEF的中点. (1) 与 OA 相等的向量有 (2) 设 AC a, BD b, 请用这两个向量表示 CD . .
课题：
向量的基本概念与线性运算
知识点1.向量的基本概念
(1) 既有大小，又有方向的量叫向量. (2) 长度为0的向量叫零向量． (3) 长度等于1的向量单位向量．
[ [
Y Y
] ]
[ (4) 方向相同的非零向量叫平行向量. [ (5) 平行向量又叫共线向量． [ [ (6) 长度相等的向量叫相等向量．
BC CD
(2) 证明：A、B、D三点共线.
(3) 试确定实数k，使k a＋b和a＋k b共线．
二.向量的线性运算
变式1. 设 a , b 是两个非零的不共线向量 . 且向量 a , b 的起点相同，当t= 时，
1 ab 三个向量 a , tb, 3
的终点共线 .
二.向量的线性运算
(7) 方向相反的向量叫相反向量．
[
Y ] N ] Y ] N ] N ]
知识点2、向量的线性运算.
类型 加 法 代数运算
几何运算
a
坐标运算
高一必修4平面向量的概念及线性运算
平面向量的概念及线性运算一、知识要点梳理 知识点一：向量的概念1．向量:既有大小又有方向的量叫做向量. 2．向量的表示方法: (1)字母表示法:如,,,a b c →→→等.(2)几何表示法:用一条有向线段表示向量.如,AB CD →→等. (3)向量的有关概念向量的模:向量的大小叫向量的模(就是用来表示向量的有向线段的长度). 零向量:长度为零的向量叫零向量. 单位向量:长度等于1个单位的向量. 相等向量:长度相等且方向相同的向量. 相反向量: 长度相等且方向相反的向量.共线向量:方向相同或相反的非零向量，叫共线向量(共线向量又称为平行向量). 规定:0→与任一向量共线. 知识点二：向量的加(减)法运算1．运算法则：三角形法则、平行四边形法则2．运算律：①交换律：a b b a →→→→+=+；②结合律：()()a b c a b c →→→→→→++=++ 知识点三：数乘向量1．实数与向量的积：实数λ与向量a →的积是一个向量，记作：a λ→(1) ||||||a a λλ→→=；(2)①当λ>0时,a λ→的方向与a →的方向相同； ②当λ<0时,a λ→的方向与a →的方向相反； ③当0λ=时,0a λ→→=. 2．运算律 设,λμ为实数结合律：()()a a λμλμ→→=；分配律：(),()a a a a b a b λμλμλλλ→→→→→→→+=++=+ 3．共线向量基本定理非零向量a →与向量b →共线的充要条件是当且仅当有唯一一个非零实数,λ使b a λ→→=. 经典例题类型一：向量的基本概念1．判断下列各命题是否正确： (1)若||||,a b →→=则a b →→=；(2)若,,,A B C D 是不共线的四点，则AB DC →→=是四边形ABCD 为平行四边形的充要条件； (3)若,,a b b c →→→→==，则.a c →→=(4)两向量,a b →→相等的等价条件是||||a b →→=且//a b →→. 类型二：向量的线性运算2．如图所示，ABCD 的两条对角线相交于点,M 且,,AB a AD b →→→→==用,a b →→表示,,,MA MB MC MD →→→→【变式1】如图,ABC ∆中，点M 是BC 的中点，点N 在边AC 上，且2,AN NC AM =与BN 相交于点,P 求:AP PM 的值.【答案】解：(如图)设则和分别共线，∴存在使故，而∴由基本定理得即类型三：共线向量与三点共线问题 3．设两非零向量1e →和2e →不共线，(1)如果121212,28,3(),AB e e BC e e CD e e →→→→→→→→→=+=+=-求证,,A B D 三点共线. (2)试确定实数,k 使12k e e →→+和12e k e →→+共线. 类型四：综合应用4．如图，已知点,,D E F 分别是ABC ∆三边的中点， 求证：0EA FB DC →→→→++=. 测评 基础达标：1.下面的几个命题：①若||||,a b →→=则,a b →→共线；②长度不等且方向相反的两向量不一定是共线向量； ③若,a b →→满足||a →>||,b →且,a b →→同向，则a →>b →； ④由于0→方向不定，故0→不能与任何向量平行；⑤对于任意向量,a b →→必有||||||a b →→-≤||a b →→+≤||||a b →→+. 其中正确命题的序号是：( )A.①②③B.⑤C.③⑤D.①⑤2.在正六边形ABCDEF 中,O 为其中心，则2FA AB BO ED →→→→+++= ( ) A.FE → B. AC → C. DC → D. FC →3.如图所示,,,D E F 分别是ABC ∆的边,,AB BC CD 的中点，则AF DB →→-= ( ) A. FD → B. FC → C. FE → D. BE →4.若,,O E F 是不共线的任意三点，则以下各式中成立的是( ) A.B.C.D.5.已知向量,,a b →→且2,56,72,AB a b BC a b CD a b →→→→→→→→→=+=-+=-则一定共线的三点是( ) A.A 、B 、D B.A 、B 、C C.B 、C 、D D.A 、C 、D 6.下列命题中，真命题的个数为( )①||||||a b a b a →→→→→+=+⇔与b →方向相同 ②||||||a b a b a →→→→→+=-⇔与b →方向相反 ③||||a b a b a →→→→→+=-⇔与b →有相等的模 ④||||||a b a b a →→→→→-=-⇔与b →方向相同 A.0 B.1 C.2D.37.在ABC ∆中，已知D 是AB 边上一点1,2,,3AD DB CD CA CB λ→→→→→==+则λ= ( )A.23B. 13C. 13-D. 23-8.设12,e e →→是两个不共线的向量，则向量12()m e k e k R →→→=-+∈与向量212n e e →→→=-共线的条件是 ( ) A. 0k = B. 1k = C. 2k = D. 12k =9.已知正方形ABCD 边长为1,,,,AB a BC b AC c →→→→→→===则||a b c →→→++=( )A.0B.3C.D.10.如图，在平行四边形ABCD 中,,M N 分别是,DC BC 中点，已知1,,,AM c AN d →→→→==用,c d →→表示=___________，___________.11.若1212,,,OP a OP b PP PP λ→→→→→→===则OP →= (用,a b →→表示) 12.已知在ABC ∆中,,,D E F 分别是,,BC CA AB 的中点，求证：(1)//DE AB →→；(2) 1||||2DE AB →→=； (3)0AD BE CF →→→→++=.13.已知OAB ∆中，点C 是以A 为中心的B 的对称点,D 是将OB →分成2:1的一个内分点,DC 与OA 交于,E 设,OA a OB b →→→→==. (1)用,a b →→表示,OC DE →→； (2)若,OE OA λ→→=求实数λ的值.。
第1讲 平面向量的概念及线性运算
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向量 运算
定义
求 a 与 b 的相
反向量－b 的 减法
和的运算叫做
a 与 b 的差
法则(或几何意义)
_□_12_三__角__形___法则
运算律
a－b＝
__□1_3_a_＋__(_－__b_) _
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1
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第1讲 平面向量的概 念及线性运算
2
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考试要求
1.了解向量的实际背景.2.理解平面向量的概念，理解两
个 向 量 相 等 的 含 义 .3. 理 解 向 量 的 几 何 表 示 .4. 掌 握 向 量 加 法 、 减 法 的 运
ABCD 中，M 为 BC 的中点，AC 与 MD 相交于点 P.若A→P＝xA→B＋yA→D，则
x＋y＝( B )
A．1
B．43
C．53
D．2
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B 因为在平行四边形 ABCD 中，M 为 BC 的中点，AC 与 MD 相交于 点 P，所以CAMD＝PACP＝2，所以A→P＝23A→C＝23(A→B＋A→D)．又A→P＝xA→B＋yA→D， 所以 x＝y＝23，x＋y＝43.故选 B．
高．若A→D＝λA→B＋μA→C，则 λ－μ＝________．
如图，∵AD 为 BC 边上的高， ∴AD⊥BC. ∵AB＝2，∠ABC＝30°， ∴BD＝ 3＝13BC，
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高中数学第五章_平面向量
第五章⎪⎪⎪平面向量第一节平面向量的概念及其线性运算1．向量的有关概念平行四边形法则向量a (a ≠0)与b 共线，当且仅当有唯一一个实数λ，使得b ＝λa . [小题体验]1．下列四个命题中，正确的命题是( ) A ．若a ∥b ，则a ＝b B ．若|a |＝|b |，则a ＝b C ．若|a |＝|b |，则a ∥b D ．若a ＝b ，则|a |＝|b |答案：D2．若m ∥n ，n ∥k ，则向量m 与向量k ( ) A ．共线 B ．不共线 C ．共线且同向 D ．不一定共线答案：D3．若D 是△ABC 的边AB 上的中点，则向量CD ―→等于( ) A ．－BC ―→＋12BA ―→B ．－BC ―→－12 BA ―→C ．BC ―→ －12BA ―→D ．BC ―→＋12BA ―→答案：A4．已知a 与b 是两个不共线的向量，且向量a ＋λb 与－(b －3a )共线，则λ＝________. 答案：－131．在利用向量减法时，易弄错两向量的顺序，从而求得所求向量的相反向量，导致错误． 2．在向量共线的重要条件中易忽视“a ≠0”，否则λ可能不存在，也可能有无数个． 3．要注意向量共线与三点共线的区别与联系． [小题纠偏]1．若菱形ABCD 的边长为2，则|AB ―→－CB ―→＋CD ―→|＝________. 解析：|AB ―→－CB ―→＋CD ―→|＝|AB ―→＋BC ―→＋CD ―→|＝|AD ―→|＝2. 答案：22．已知a ，b 是非零向量，命题p ：a ＝b ，命题q ：|a ＋b |＝|a |＋|b |，则p 是q 的________条件． 解析：若a ＝b ，则|a ＋b |＝|2a |＝2|a |，|a |＋|b |＝|a |＋|a |＝2|a |，即p ⇒q . 若|a ＋b |＝|a |＋|b |，由加法的运算知a 与b 同向共线， 即a ＝λb ，且λ＞0，故q ⇒/ p . ∴p 是q 的充分不必要条件． 答案：充分不必要考点一 平面向量的有关概念(基础送分型考点——自主练透)[题组练透]1．设a 0为单位向量，下列命题中：①若a 为平面内的某个向量，则a ＝|a |·a 0；②若a 与a 0平行，则a ＝|a |a 0；③若a 与a 0平行且|a |＝1，则a ＝a 0.假命题的个数是( )A ．0B ．1C ．2D ．3解析：选D 向量是既有大小又有方向的量，a 与|a |a 0的模相同，但方向不一定相同，故①是假命题；若a 与a 0平行，则a 与a 0的方向有两种情况：一是同向，二是反向，反向时a ＝－|a |a 0，故②③也是假命题．综上所述，假命题的个数是3.2．下列说法中错误的是( )A ．有向线段可以表示向量但不是向量，且向量也不是有向线段B ．若向量a 和b 不共线，则a 和b 都是非零向量C ．长度相等但方向相反的两个向量不一定共线D ．方向相反的两个非零向量必不相等解析：选C 选项A 中向量与有向线段是两个完全不同的概念，故正确；选项B 中零向量与任意向量共线，故a ，b 都是非零向量，故正确；选项C 中是共线向量，故错误；选项D 中既然方向相反就一定不相等，故正确．3．(易错题)给出下列命题： ①若a ＝b ，b ＝c ，则a ＝c ；②若A ，B ，C ，D 是不共线的四点，则AB ―→＝DC ―→是四边形ABCD 为平行四边形的充要条件； ③a ＝b 的充要条件是|a |＝|b |且a ∥b ； ④若a ∥b ，b ∥c ，则a ∥c . 其中正确命题的序号是________．解析：①正确．∵a ＝b ，∴a ，b 的长度相等且方向相同， 又b ＝c ，∴b ，c 的长度相等且方向相同， ∴a ，c 的长度相等且方向相同，故a ＝c .②正确．∵AB ―→＝DC ―→，∴|AB ―→|＝|DC ―→|且AB ―→∥DC ―→， 又A ，B ，C ，D 是不共线的四点， ∴四边形ABCD 为平行四边形； 反之，若四边形ABCD 为平行四边形， 则AB ―→∥DC ―→且|AB ―→|＝|DC ―→|，因此，AB ―→＝DC ―→.③不正确．当a ∥b 且方向相反时，即使|a |＝|b |，也不能得到a ＝b ，故|a |＝|b |且a ∥b 不是a ＝b 的充要条件，而是必要不充分条件．④不正确．考虑b ＝0这种特殊情况． 综上所述，正确命题的序号是①②. 答案：①②[谨记通法]向量有关概念的5个关键点 (1)向量：方向、长度．(2)非零共线向量：方向相同或相反． (3)单位向量：长度是一个单位长度． (4)零向量：方向没有限制，长度是0. (5)相等相量：方向相同且长度相等．考点二 向量的线性运算(基础送分型考点——自主练透)[题组练透]1．(2018·武汉调研)设M 为平行四边形ABCD 对角线的交点，O 为平行四边形ABCD 所在平面内的任意一点，则OA ―→＋OB ―→＋OC ―→＋OD ―→等于( )A ．OM ―→B ．2OM ―→C ．3OM ―→D ．4OM ―→解析：选D 因为M 是平行四边形ABCD 对角线AC ，BD 的交点，所以OA ―→＋OC ―→＝2OM ―→，OB ―→＋OD ―→＝2OM ―→，所以OA ―→＋OB ―→＋OC ―→＋OD ―→＝4OM ―→.2．(2018·温州模拟)在等腰梯形ABCD 中，AB ―→＝－2CD ―→，M 为BC 的中点，则AM ―→＝( ) A.12AB ―→＋12AD ―→ B.34AB ―→＋12AD ―→C.34AB ―→＋14AD ―→ D.12AB ―→＋34AD ―→ 解析：选B 因为AB ―→＝－2CD ―→，所以AB ―→＝2DC ―→.又M 是BC 的中点，所以AM ―→＝12(AB ―→＋AC ―→)＝12(AB―→＋AD ―→＋DC ―→)＝12⎝⎛⎭⎫AB ―→＋AD ―→＋12AB ―→＝34AB ―→＋12AD ―→.3．(2019·郑州第一次质量预测)如图，在△ABC 中，N 为线段AC 上靠近点A 的三等分点，点P 在线段BN 上且AP ―→＝⎝⎛⎭⎫m ＋211AB ―→＋211BC ―→，则实数m 的值为( )A ．1 B.13C.911D.511解析：选D AP ―→＝⎝⎛⎭⎫m ＋211AB ―→＋211BC ―→＝⎝⎛⎭⎫m ＋211AB ―→＋211(AC ―→－AB ―→)＝m AB ―→＋211AC ―→，设BP ―→＝λBN ―→(0≤λ≤1)，则AP ―→＝AB ―→＋λBN ―→＝AB ―→＋λ(AN ―→－AB ―→)＝(1－λ)AB ―→＋λAN ―→，因为AN ―→ ＝13AC ―→，所以AP ―→＝(1－λ)AB ―→＋13λAC ―→，则⎩⎪⎨⎪⎧m ＝1－λ，211＝13λ，解得⎩⎨⎧λ＝611，m ＝511，故选D.[谨记通法]1．平面向量的线性运算技巧(1)不含图形的情况：可直接运用相应运算法则求解．(2)含图形的情况：将它们转化到三角形或平行四边形中，充分利用相等向量、相反向量、三角形的中位线等性质，把未知向量用已知向量表示出来求解．2．利用平面向量的线性运算求参数的一般思路 (1)没有图形的准确作出图形，确定每一个点的位置．(2)利用平行四边形法则或三角形法则进行转化，转化为要求的向量形式． (3)比较、观察可知所求．考点三 共线向量定理的应用(重点保分型考点——师生共研)[典例引领]1．在△ABC 中，点D 在线段BC 的延长线上，且BC ―→＝3CD ―→，点O 在线段CD 上(与点C ，D 不重合)，若AO ―→＝x AB ―→＋(1－x )·AC ―→，则x 的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎫0，12 B.⎝⎛⎭⎫0，13 C.⎝⎛⎭⎫－12，0 D.⎝⎛⎭⎫－13，0 解析：选D 设CO ―→＝y BC ―→，∵AO ―→＝AC ―→＋CO ―→＝AC ―→＋y BC ―→＝AC ―→＋y (AC ―→－AB ―→)＝－y AB ―→＋(1＋y ) AC ―→，∵BC ―→＝3CD ―→，点O 在线段CD 上(与点C ，D 不重合)，∴y ∈⎝⎛⎭⎫0，13，∵AO ―→＝x AB ―→＋(1－x )AC ―→，∴x ∈⎝⎛⎭⎫－13，0. 2．设两个非零向量a 与b 不共线，(1)若AB ―→＝a ＋b ，BC ―→＝2a ＋8b ，CD ―→＝3(a －b )， 求证：A ，B ，D 三点共线；(2)试确定实数k ，使k a ＋b 和a ＋k b 同向．解：(1)证明：∵AB ―→＝a ＋b ，BC ―→＝2a ＋8b ，CD ―→＝3a －3b ， ∴BD ―→＝BC ―→＋CD ―→＝2a ＋8b ＋3a －3b ＝5(a ＋b )＝5AB ―→.∴AB ―→，BD ―→共线，又∵它们有公共点B ，∴A ，B ，D 三点共线． (2)∵k a ＋b 与a ＋k b 同向，∴存在实数λ(λ＞0)，使k a ＋b ＝λ(a ＋k b )， 即k a ＋b ＝λa ＋λk b .∴(k －λ)a ＝(λk －1)b .∵a ，b 是不共线的两个非零向量，⎩⎪⎨⎪⎧ k －λ＝0，λk －1＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧ k ＝1，λ＝1或⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－1，λ＝－1，又∵λ＞0，∴k ＝1.[由题悟法]共线向量定理的3个应用(1)证明向量共线：对于向量a ，b ，若存在实数λ，使a ＝λb ，则a 与b 共线． (2)证明三点共线：若存在实数λ，使AB ―→＝λAC ―→，则A ，B ，C 三点共线． (3)求参数的值：利用共线向量定理及向量相等的条件列方程(组)求参数的值． [提醒] 证明三点共线时，需说明共线的两向量有公共点．[即时应用]1．设向量a ，b 不共线，AB ―→＝2a ＋p b ，BC ―→＝a ＋b ，CD ―→＝a －2b ，若A ，B ，D 三点共线，则实数p 的值为( )A ．－2B ．－1C ．1D ．2解析：选B 因为BC ―→＝a ＋b ，CD ―→＝a －2b ，所以BD ―→＝BC ―→＋CD ―→＝2a －b .又因为A ，B ，D 三点共线，所以AB ―→，BD ―→共线．设AB ―→＝λBD ―→，所以2a ＋p b ＝λ(2a －b )，所以2＝2λ，p ＝－λ，即λ＝1，p ＝－1.2．如图，在△ABC 中，D ，F 分别是BC ，AC 的中点，AE ―→＝23AD ―→，AB ―→＝a ，AC―→＝b .(1)用a ，b 表示向量AD ―→，AE ―→，AF ―→，BE ―→，BF ―→； (2)求证：B ，E ，F 三点共线．解：(1)延长AD 到G ，使AD ―→＝12AG ―→，连接BG ，CG ，得到▱ABGC ， 所以AG ―→＝a ＋b ， AD ―→＝12AG ―→＝12(a ＋b )，AE ―→＝23AD ―→＝13(a ＋b )，AF ―→＝12AC ―→＝12b ，BE ―→＝AE ―→－AB ―→＝13(a ＋b )－a ＝13(b －2a )，BF ―→＝AF ―→－AB ―→＝12b －a ＝12(b －2a )．(2)证明：由(1)可知BE ―→＝23BF ―→，又因为BE ―→，BF ―→有公共点B ， 所以B ，E ，F 三点共线．一抓基础，多练小题做到眼疾手快1．已知O ，A ，B 是同一平面内的三个点，直线AB 上有一点C 满足2AC ―→＋CB ―→＝0，则OC ―→＝( ) A ．2OA ―→－OB ―→B ．－OA ―→＋2OB ―→C.23OA ―→－13OB ―→ D ．－13OA ―→＋23OB ―→解析：选A 依题意，得OC ―→＝OB ―→＋BC ―→＝OB ―→＋2AC ―→＝OB ―→＋2(OC ―→－OA ―→)，所以OC ―→＝2OA ―→－OB ―→. 2．(2019·石家庄质检)在△ABC 中，点D 在边AB 上，且BD ―→＝12DA ―→，设CB ―→＝a ，CA ―→＝b ，则CD ―→＝( )A.13a ＋23bB.23a ＋13b C.35a ＋45b D.45a ＋35b 解析：选B ∵BD ―→＝12DA ―→，∴BD ―→＝13BA ―→，∴CD ―→＝CB ―→＋BD ―→＝CB ―→＋13BA ―→＝CB ―→＋13(CA ―→－CB ―→)＝23CB ―→＋13CA ―→＝23a ＋13b . 3．在四边形ABCD 中，AB ―→＝a ＋2b ，BC ―→＝－4a －b ，CD ―→＝－5a －3b ，则四边形ABCD 的形状是( ) A ．矩形 B ．平行四边形 C ．梯形D ．以上都不对解析：选C 由已知，得AD ―→＝AB ―→＋BC ―→＋CD ―→＝－8a －2b ＝2(－4a －b )＝2BC ―→，故AD ―→∥BC ―→. 又因为AB ―→与CD ―→不平行，所以四边形ABCD 是梯形．4．(2018·扬州模拟)在△ABC 中，N 是AC 边上一点且AN ―→＝12NC ―→，P 是BN 上一点，若AP ―→＝m AB ―→＋29AC ―→，则实数m 的值是________．解析：如图，因为AN ―→＝12NC ―→，P 是BN ―→上一点．所以AN ―→＝13AC ―→，AP ―→＝m AB ―→＋29AC ―→＝m AB ―→＋23AN ―→，因为B ，P ，N 三点共线，所以m ＋23＝1，则m ＝13. 答案：135．在△ABC 中，∠A ＝60°，∠A 的平分线交BC 于点D ，若AB ＝4，且AD ―→＝14AC ―→＋λAB ―→(λ∈R)，则AD 的长为________．解析：因为B ，D ，C 三点共线，所以14＋λ＝1，解得λ＝34，如图，过点D 分别作AC ，AB 的平行线交AB ，AC 于点M ，N ，则AN ―→＝14AC ―→，AM ―→＝34AB ―→，因为在△ABC 中，∠A ＝60°，∠A 的平分线交BC 于点D ，所以四边形ANDM 为菱形，因为AB ＝4，所以AN ＝AM ＝3，AD ＝3 3.答案：3 3二保高考，全练题型做到高考达标1．已知向量a ，b ，且AB ―→＝a ＋2b ，BC ―→＝－5a ＋6b ，CD ―→＝7a －2b ，则一定共线的三点是( ) A ．A ，B ，D B ．A ，B ，C C ．B ，C ，DD ．A ，C ，D解析：选A AD ―→＝AB ―→＋BC ―→＋CD ―→＝3a ＋6b ＝3AB ―→.因为AB ―→与AD ―→有公共点A ，所以A ，B ，D 三点共线．2．已知向量a ，b 不共线，且c ＝λa ＋b ，d ＝a ＋(2λ－1)b ，若c 与d 共线反向，则实数λ的值为( ) A ．1 B ．－12C ．1或－12D ．－1或－12解析：选B 由于c 与d 共线反向，则存在实数k 使c ＝k d (k ＜0)，于是λa ＋b ＝k []a ＋(2λ－1)b . 整理得λa ＋b ＝k a ＋(2λk －k )b .由于a ，b 不共线，所以有⎩⎪⎨⎪⎧λ＝k ，2λk －k ＝1，整理得2λ2－λ－1＝0，解得λ＝1或λ＝－12.又因为k ＜0，所以λ＜0，故λ＝－12.3．(2019·浙江六校联考)在平行四边形ABCD 中，点E 为CD 的中点，BE 与AC 的交点为F ，设AB ―→＝a ，AD ―→＝b ，则向量BF ―→＝( )A.13a ＋23b B ．－13a －23bC ．－13a ＋23b D.13a －23b解析：选C 如图，因为点E 为CD 的中点，CD ∥AB ，所以BFEF ＝ABEC ＝2，所以BF ―→＝23BE ―→＝23(BC ―→＋CE ―→)＝23⎝⎛⎭⎫b －12a ＝－13a ＋23b . 4．(2018·遂昌期初)已知a ，b 是两个不共线的非零向量，且起点在同一点上，若a ，t b ，13(a ＋b )三向量的终点在同一直线上，则实数t 的值为( )A ．2B ．1C ．23D ．12解析：选D 由题可设13(a ＋b )＝λa ＋μt b ，因为a ，t b ，13(a ＋b )三向量的终点在同一直线上，所以有λ＋μ＝1.所以13＝λ，μ＝23，所以13＝23t ，解得t ＝12.5．(2019·丹东五校协作体联考)P 是△ABC 所在平面上的一点，满足PA ―→＋PB ―→＋PC ―→＝2AB ―→，若S △ABC＝6，则△PAB 的面积为( )A ．2B ．3C ．4D ．8解析：选A ∵PA ―→＋PB ―→＋PC ―→＝2AB ―→＝2(PB ―→－PA ―→)，∴3PA ―→＝PB ―→－PC ―→＝CB ―→，∴PA ―→∥CB ―→，且方向相同，∴S △ABC S △PAB ＝BC AP ＝|CB ―→||PA ―→|＝3，∴S △PAB ＝S △ABC3＝2. 6．已知O 为△ABC 内一点，且2AO ―→＝OB ―→＋OC ―→，AD ―→＝t AC ―→，若B ，O ，D 三点共线，则t 的值为________．解析：设线段BC 的中点为M ，则OB ―→＋OC ―→＝2OM ―→. 因为2AO ―→＝OB ―→＋OC ―→，所以AO ―→＝OM ―→，则AO ―→＝12AM ―→＝14(AB ―→＋AC ―→)＝14⎝⎛⎭⎫AB ―→＋1t AD ―→＝14AB ―→＋14t AD ―→.由B ，O ，D 三点共线，得14＋14t ＝1，解得t ＝13.答案：137．设点M 是线段BC 的中点，点A 在直线BC 外，BC ―→2＝16，|AB ―→＋AC ―→|＝|AB ―→－AC ―→|，则|AM ―→|＝________.解析：由|AB ―→＋AC ―→|＝|AB ―→－AC ―→|可知，AB ―→⊥AC ―→， 则AM 为Rt △ABC 斜边BC 上的中线， 因此，|AM ―→|＝12|BC ―→|＝2.答案：28．已知D ，E ，F 分别为△ABC 的边BC ，CA ，AB 的中点，且BC ―→＝a ，CA ―→＝b ，给出下列命题：①AD ―→＝12a －b ；②BE ―→＝a ＋12b ；③CF ―→＝－12a ＋12b ；④AD ―→＋BE ―→＋CF ―→＝0. 其中正确命题的个数为________．解析：BC ―→＝a ，CA ―→＝b ，AD ―→＝12CB ―→＋AC ―→＝－12a －b ，故①错；BE ―→＝BC ―→＋12CA ―→＝a ＋12b ，故②正确；CF ―→＝12(CB ―→＋CA ―→)＝12(－a ＋b )＝－12a ＋12b ，故③正确；AD ―→＋BE ―→＋CF ―→＝－b －12a ＋a ＋12b ＋12b －12a ＝0，故④正确．∴正确命题为②③④. 答案：39．设e 1，e 2是两个不共线的向量，已知AB ―→＝2e 1－8e 2，CB ―→＝e 1＋3e 2，CD ―→＝2e 1－e 2. (1)求证：A ，B ，D 三点共线；(2)若BF ―→＝3e 1－k e 2，且B ，D ，F 三点共线，求k 的值．解：(1)证明：由已知得BD ―→＝CD ―→－CB ―→＝(2e 1－e 2)－(e 1＋3e 2)＝e 1－4e 2， ∵AB ―→＝2e 1－8e 2， ∴AB ―→＝2BD ―→.又∵AB ―→与BD ―→有公共点B ， ∴A ，B ，D 三点共线． (2)由(1)可知BD ―→＝e 1－4e 2，∵BF ―→＝3e 1－k e 2，且B ，D ，F 三点共线， ∴BF ―→＝λBD ―→(λ∈R )， 即3e 1－k e 2＝λe 1－4λe 2，得⎩⎪⎨⎪⎧λ＝3，－k ＝－4λ. 解得k ＝12.10．已知a ，b 不共线，OA ―→＝a ，OB ―→＝b ，OC ―→＝c ，OD ―→＝d ，OE ―→＝e ，设t ∈R ，如果3a ＝c ,2b ＝d ，e ＝t (a ＋b )，是否存在实数t 使C ，D ，E 三点在一条直线上？若存在，求出实数t 的值，若不存在，请说明理由．解：由题设知，CD ―→＝d －c ＝2b －3a ，CE ―→＝e －c ＝(t －3)a ＋t b ，C ，D ，E 三点在一条直线上的充要条件是存在实数k ，使得CE ―→＝k CD ―→，即(t －3)a ＋t b ＝－3k a ＋2k b ，整理得(t －3＋3k )a ＝(2k －t )b .因为a ，b 不共线，所以有⎩⎪⎨⎪⎧t －3＋3k ＝0，t －2k ＝0，解得t ＝65.故存在实数t ＝65使C ，D ，E 三点在一条直线上．三上台阶，自主选做志在冲刺名校1．如图，在△ABC 中，点D 在线段BC 上，且满足BD ＝12DC ，过点D 的直线分别交直线AB ，AC 于不同的两点M ，N ，若AM ―→＝m AB ―→，AN ―→＝n AC ―→，则( )A ．m ＋n 是定值，定值为2B ．2m ＋n 是定值，定值为3 C.1m ＋1n 是定值，定值为2 D.2m ＋1n 是定值，定值为3解析：选D 因为M ，D ，N 三点共线，所以AD ―→＝λAM ―→＋(1－λ)AN ―→.又AM ―→＝m AB ―→，AN ―→＝n AC ―→，所以AD ―→＝λm AB ―→＋(1－λ)n AC ―→.又BD ―→＝12DC ―→，所以AD ―→－AB ―→＝12AC ―→－12AD ―→，所以AD ―→＝13AC ―→＋23AB ―→.比较系数知λm ＝23，(1－λ)n ＝13，所以2m ＋1n ＝3，故选D.2．(2019·长沙模拟)在平行四边形ABCD 中，M 为BC 的中点．若AB ―→＝λAM ―→＋μDB ―→，则λ－μ＝________.解析：如图，在平行四边形ABCD 中，AB ―→＝DC ―→，所以AB ―→＝AM ―→＋MB ―→＝AM ―→＋12CB ―→＝AM ―→＋12(DB ―→－DC ―→)＝AM ―→＋12(DB ―→－AB ―→)＝AM ―→＋12DB ―→－12AB ―→，所以32AB ―→＝AM ―→＋12DB ―→，所以AB ―→＝23AM ―→＋13DB ―→，所以λ＝23，μ＝13，所以λ－μ＝13.答案：133．已知O ，A ，B 是不共线的三点，且OP ―→＝m OA ―→＋n OB ―→(m ，n ∈R )． (1)若m ＋n ＝1，求证：A ，P ，B 三点共线； (2)若A ，P ，B 三点共线，求证：m ＋n ＝1. 证明：(1)若m ＋n ＝1，则OP ―→＝m OA ―→＋(1－m )OB ―→＝OB ―→＋m (OA ―→－OB ―→)， ∴OP ―→－OB ―→＝m (OA ―→－OB ―→)， 即BP ―→＝m BA ―→，∴BP ―→与BA ―→共线． 又∵BP ―→与BA ―→有公共点B ，∴A ，P ，B 三点共线． (2)若A ，P ，B 三点共线， 则存在实数λ，使BP ―→＝λBA ―→， ∴OP ―→－OB ―→＝λ(OA ―→－OB ―→)． 又OP ―→＝m OA ―→＋n OB ―→.故有m OA ―→＋(n －1)OB ―→＝λOA ―→－λOB ―→， 即(m －λ)OA ―→＋(n ＋λ－1)OB ―→＝0.∵O ，A ，B 不共线，∴OA ―→，OB ―→不共线，∴⎩⎪⎨⎪⎧m －λ＝0，n ＋λ－1＝0，∴m ＋n ＝1. 第二节平面向量的基本定理及坐标表示1．平面向量基本定理如果e 1，e 2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a ，有且只有一对实数λ1，λ2，使a ＝λ1e 1＋λ2e 2.其中，不共线的向量e 1，e 2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底． 2．平面向量的坐标运算(1)向量加法、减法、数乘向量及向量的模： 设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ＋b ＝(x 1＋x 2，y 1＋y 2)，a －b ＝(x 1－x 2，y 1－y 2)，λa ＝(λx 1，λy 1)，|a |＝x 21＋y 21.(2)向量坐标的求法：①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标． ②设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则AB ―→＝(x 2－x 1，y 2－y 1)， |AB ―→|＝(x 2－x 1)2＋(y 2－y 1)2. 3．平面向量共线的坐标表示设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，其中b ≠0，则a ∥b ⇔x 1y 2－x 2y 1＝0.[小题体验]1．已知a ＝(4,2)，b ＝(－6，m )，若a ∥b ，则m 的值为______．答案：－32．(教材习题改编)已知a ＝(2,1)，b ＝(－3,4)，则3a ＋4b ＝________. 答案：(－6,19)3．设e 1，e 2是平面内一组基向量，且a ＝e 1＋2e 2，b ＝－e 1＋e 2，则向量e 1＋e 2可以表示为另一组基向量a ，b 的线性组合，即e 1＋e 2＝________a ＋________b .解析：由题意，设e 1＋e 2＝m a ＋n b . 因为a ＝e 1＋2e 2，b ＝－e 1＋e 2，所以e 1＋e 2＝m (e 1＋2e 2)＋n (－e 1＋e 2)＝(m －n )e 1＋(2m ＋n )e 2.由平面向量基本定理，得⎩⎪⎨⎪⎧m －n ＝1，2m ＋n ＝1，所以⎩⎨⎧m ＝23，n ＝－13.答案：23 －134．已知向量a ＝(2，－1)，b ＝(－1，m )，c ＝(－1,2)，若(a ＋b )∥c ，则m ＝________. 答案：－11．向量的坐标与表示向量的有向线段的起点、终点的相对位置有关系．两个相等的向量，无论起点在什么位置，它们的坐标都是相同的．2．若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ∥b 的充要条件不能表示成x 1x 2＝y 1y 2，因为x 2，y 2有可能等于0，所以应表示为x 1y 2－x 2y 1＝0.[小题纠偏]1．设e 1，e 2是平面内一组基底，若λ1e 1＋λ2e 2＝0，则λ1＋λ2＝________. 答案：02．已知向量a ＝(2,1)，b ＝(1，－2)，若m a ＋n b ＝(9，－8)(m ，n ∈R )，则m －n 的值为________． 解析：∵ma ＋nb ＝(2m ＋n ，m －2n )＝(9，－8)，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 2m ＋n ＝9，m －2n ＝－8，∴⎩⎪⎨⎪⎧m ＝2，n ＝5，∴m －n ＝2－5＝－3. 答案：－3考点一 平面向量基本定理及其应用(基础送分型考点——自主练透)[题组练透]1．(2019·温州模拟)如图，在直角梯形ABCD 中，AB ＝2AD ＝2DC ，E 为BC边上一点，BC ―→＝3EC ―→，F 为AE 的中点，则BF ―→＝( )A.23AB ―→－13AD ―→B.13AB ―→－23AD ―→ C ．－23AB ―→＋13AD ―→D ．－13AB ―→＋23AD ―→解析：选C 如图，取AB 的中点G ，连接DG ，CG ，易知四边形DCBG 为平行四边形，∴BC ―→＝GD ―→＝AD ―→－AG ―→＝AD ―→－12AB ―→，∴AE ―→＝AB ―→＋BE ―→＝AB ―→＋23BC ―→＝AB ―→＋23⎝⎛⎭⎫AD ―→－12AB ―→＝23AB ―→＋23AD ―→，于是BF ―→＝AF ―→－AB ―→＝12AE ―→－AB ―→＝12⎝⎛⎭⎫23AB ―→＋23AD ―→－AB ―→＝－23AB ―→＋13AD ―→，故选C.2．在△ABC 中，点M ，N 满足AM ―→＝2MC ―→，BN ―→＝NC ―→.若MN ―→＝x AB ―→＋y AC ―→，则x ＝________；y ＝________.解析：∵AM ―→＝2MC ―→，∴AM ―→＝23AC ―→.∵BN ―→＝NC ―→，∴AN ―→＝12(AB ―→＋AC ―→)，∴MN ―→＝AN ―→－AM ―→＝12(AB ―→＋AC ―→)－23AC ―→＝12AB ―→－16AC ―→. 又MN ―→＝x AB ―→＋y AC ―→， ∴x ＝12，y ＝－16.答案：12 －16L ，且AK ―→＝3.如图，已知平行四边形ABCD 的边BC ，CD 的中点分别是K ，e 1，AL ―→＝e 2，试用e 1，e 2表示BC ―→，CD ―→.解：设BC ―→＝x ，CD ―→＝y ，则BK ―→＝12x ，DL ―→＝－12y .由AB ―→＋BK ―→＝AK ―→，AD ―→＋DL ―→＝AL ―→，得⎩⎨⎧－y ＋12x ＝e 1， ①x －12y ＝e 2， ②①＋②×(－2)，得12x －2x ＝e 1－2e 2，即x ＝－23(e 1－2e 2)＝－23e 1＋43e 2，所以BC ―→＝－23e 1＋43e 2.同理可得y ＝－43e 1＋23e 2，即CD ―→＝－43e 1＋23e 2.[谨记通法]用平面向量基本定理解决问题的一般思路(1)先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论表示为向量的形式，再通过向量的运算来解决． (2)在基底未给出的情况下，合理地选取基底会给解题带来方便．另外，要熟练运用平面几何的一些性质定理．考点二 平面向量的坐标运算(基础送分型考点——自主练透)[题组练透]1．向量a ，b 满足a ＋b ＝(－1,5)，a －b ＝(5，－3)，则b 为( ) A ．(－3,4) B ．(3,4) C ．(3，－4)D ．(－3，－4)解析：选A 由a ＋b ＝(－1,5)，a －b ＝(5，－3)，得2b ＝(－1,5)－(5，－3)＝(－6,8)，∴b ＝12(－6,8)＝(－3,4)，故选A.2．已知M (3，－2)，N (－5，－1)，且MP ―→＝12MN ―→，则P 点的坐标为( )A ．(－8,1)B ．⎝⎛⎭⎫－1，－32 C ．⎝⎛⎭⎫1，32 D ．(8，－1)解析：选B 设P (x ，y )，则MP ―→＝ (x －3，y ＋2)，而12MN ―→＝12(－8,1)＝⎝⎛⎭⎫－4，12，所以⎩⎪⎨⎪⎧x －3＝－4，y ＋2＝12，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝－32，所以P ⎝⎛⎭⎫－1，－32. 3．已知A (－2,4)，B (3，－1)，C (－3，－4)．设AB ―→＝a ，BC ―→＝b ，CA ―→＝c ，且CM ―→＝3c ，CN ―→＝－2b ， (1)求3a ＋b －3c ；(2)求满足a ＝m b ＋n c 的实数m ，n ； (3)求M ，N 的坐标及向量MN ―→的坐标．解：由已知得a ＝(5，－5)，b ＝(－6，－3)，c ＝(1,8)． (1)3a ＋b －3c ＝3(5，－5)＋(－6，－3)－3(1,8) ＝(15－6－3，－15－3－24)＝(6，－42)． (2)∵m b ＋n c ＝(－6m ＋n ，－3m ＋8n )，∴⎩⎪⎨⎪⎧－6m ＋n ＝5，－3m ＋8n ＝－5， 解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－1，n ＝－1.(3)设O 为坐标原点，∵CM ―→＝OM ―→－OC ―→＝3c ， ∴OM ―→＝3c ＋OC ―→＝(3,24)＋(－3，－4)＝(0,20)． ∴M (0,20)．又∵CN ―→＝ON ―→－OC ―→＝－2b ，∴ON ―→＝－2b ＋OC ―→＝(12,6)＋(－3，－4)＝(9,2)， ∴N (9,2)，∴MN ―→＝(9，－18)．[谨记通法]平面向量坐标运算的技巧(1)向量的坐标运算主要是利用向量加、减、数乘运算的法则来进行求解的，若已知有向线段两端点的坐标，则应先求向量的坐标．(2)解题过程中，常利用向量相等则其坐标相同这一原则，通过列方程(组)来进行求解． 考点三 平面向量共线的坐标表示(重点保分型考点——师生共研)[典例引领]1．已知梯形ABCD ，其中AB ∥CD ，且DC ＝2AB ，三个顶点A (1，2)，B (2,1)，C (4,2)，则点D 的坐标为________．解析：∵在梯形ABCD 中，DC ＝2AB ，AB ∥CD ，∴DC ―→＝2AB ―→.设点D 的坐标为(x ，y )，则DC ―→＝(4－x ，2－y )，AB ―→＝(1，－1)，∴(4－x,2－y )＝2(1，－1)，即(4－x,2－y )＝(2，－2)，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 4－x ＝2，2－y ＝－2，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝4，故点D 的坐标为(2,4)． 答案：(2,4)2．已知a ＝(1,0)，b ＝(2,1)．(1)当k 为何值时，k a －b 与a ＋2b 共线；(2)若AB ―→＝2a ＋3b ，BC ―→＝a ＋m b ，且A ，B ，C 三点共线，求m 的值． 解：(1)∵a ＝(1,0)，b ＝(2,1)， ∴k a －b ＝k (1,0)－(2,1)＝(k －2，－1)， a ＋2b ＝(1,0)＋2(2,1)＝(5,2)， ∵k a －b 与a ＋2b 共线， ∴2(k －2)－(－1)×5＝0，∴k ＝－12.(2)AB ―→＝2(1,0)＋3(2,1)＝(8,3)， BC ―→＝(1,0)＋m (2,1)＝(2m ＋1，m )． ∵A ，B ，C 三点共线，∴AB ―→∥BC ―→， ∴8m －3(2m ＋1)＝0，∴m ＝32.[由题悟法]向量共线的充要条件 (1)a ∥b ⇔a ＝λb (b ≠0)；(2)a ∥b ⇔x 1y 2－x 2y 1＝0(其中a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2))．当涉及向量或点的坐标问题时一般利用(2)比较方便．[即时应用]1．已知向量a ＝(－1,2)，b ＝(3，m )，m ∈R ，则“m ＝－6”是“a ∥(a ＋b )”的( ) A ．充要条件 B ．充分不必要条件 C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件解析：选A 由题意得a ＋b ＝(2,2＋m )，由a ∥(a ＋b )，得－1×(2＋m )＝2×2，所以m ＝－6.当m ＝－6时，a ∥(a ＋b )，则“m ＝－6”是“a ∥(a ＋b )”的充要条件．2．(2018·贵阳监测)已知向量m ＝(λ＋1,1)，n ＝(λ＋2,2)，若(m ＋n )∥(m －n )，则λ＝________. 解析：因为m ＋n ＝(2λ＋3,3)，m －n ＝(－1，－1)， 又(m ＋n )∥(m －n )，所以(2λ＋3)×(－1)＝3×(－1)，解得λ＝0. 答案：03．设向量a ，b 满足|a |＝25，b ＝(2,1)，且a 与b 的方向相反，则a 的坐标为________． 解析：∵a 与b 方向相反，∴可设a ＝λb (λ＜0)， ∴a ＝λ(2,1)＝(2λ，λ)．由|a |＝5λ2＝25，解得λ＝－2或λ＝2(舍去)， 故a ＝(－4，－2)． 答案：(－4，－2)4．若三点A (2,2)，B (a,0)，C (0，b )(ab ≠0)共线，则1a ＋1b 的值等于________．解析：AB ―→＝(a －2，－2)，AC ―→＝(－2，b －2)，依题意，有(a －2)(b －2)－4＝0，即ab －2a －2b ＝0，所以1a ＋1b ＝12.答案：12一抓基础，多练小题做到眼疾手快1．在平行四边形ABCD 中，AC 为对角线，若AB ―→＝(2,4)，AC ―→＝(1,3)，则BD ―→＝( ) A ．(－2，－4) B ．(－3，－5) C ．(3,5)D ．(2,4)解析：选B 由题意得BD ―→＝AD ―→－AB ―→＝BC ―→－AB ―→＝(AC ―→－AB ―→)－AB ―→＝AC ―→－2AB ―→＝(1,3)－2(2,4)＝(－3，－5)．2．已知A (－1，－1)，B (m ，m ＋2)，C (2,5)三点共线，则m 的值为( ) A ．1 B ．2 C ．3D ．4解析：选A AB ―→＝(m ，m ＋2)－(－1，－1)＝(m ＋1，m ＋3)， AC ―→＝(2,5)－(－1，－1)＝(3,6)， ∵A ，B ，C 三点共线，∴AB ―→∥AC ―→，∴3(m ＋3)－6(m ＋1)＝0， ∴m ＝1.故选A.3．如图，在△OAB 中，P 为线段AB 上的一点，OP ―→＝x OA ―→＋y OB ―→，且BP―→＝2PA ―→，则( )A ．x ＝23，y ＝13B ．x ＝13，y ＝23C ．x ＝14，y ＝34D ．x ＝34，y ＝14解析：选A 由题意知OP ―→＝OB ―→＋BP ―→，又BP ―→＝2PA ―→，所以OP ―→＝OB ―→＋23BA ―→＝OB ―→＋23(OA ―→－OB ―→)＝23OA ―→＋13OB ―→，所以x ＝23，y ＝13. 4．(2019·舟山模拟)已知向量a ＝(2,3)，b ＝(－1,2)，若m a ＋b 与a －2b 共线，则m 的值为________． 解析：由a ＝(2,3)，b ＝(－1,2)，得m a ＋b ＝(2m －1,3m ＋2)，a －2b ＝(4，－1)，又m a ＋b 与a －2b 共线，所以－1×(2m －1)＝(3m ＋2)×4，解得m ＝－12.答案：－125．已知向量a ＝(1,2)，b ＝(x,1)，u ＝a ＋2b ，v ＝2a －b ，且u ∥v ，则实数x 的值为________．解析：因为a ＝(1,2)，b ＝(x,1)，u ＝a ＋2b ，v ＝2a －b ， 所以u ＝(1,2)＋2(x,1)＝(2x ＋1,4)， v ＝2(1,2)－(x,1)＝(2－x,3)．又因为u ∥v ，所以3(2x ＋1)－4(2－x )＝0， 即10x ＝5，解得x ＝12.答案：12二保高考，全练题型做到高考达标1．(2018·温州十校联考)已知a ＝(－3,1)，b ＝(－1,2)，则3a －2b ＝( ) A ．(7,1) B ．(－7，－1) C ．(－7,1)D ．(7，－1)解析：选B 由题可得，3a －2b ＝3(－3,1)－2(－1,2)＝(－9＋2，3－4)＝(－7，－1)．2．已知△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，向量m ＝(a ，3b )与n ＝(cos A ，sin B )平行，则A ＝( )A.π6B.π3C.π2D.2π3解析：选B 因为m ∥n ，所以a sin B －3b cos A ＝0，由正弦定理，得sin A sin B －3sin B cos A ＝0，又sin B ≠0，从而tan A ＝3，由于0＜A ＜π，所以A ＝π3.3．已知A (7,1)，B (1,4)，直线y ＝12ax 与线段AB 交于点C ，且AC ―→＝2CB ―→，则实数a 等于( )A ．2B ．1C ．45D ．53解析：选A 设C (x ，y )，则AC ―→＝(x －7，y －1)，CB ―→＝(1－x,4－y )，∵AC ―→＝2CB ―→，∴⎩⎪⎨⎪⎧ x －7＝2(1－x )，y －1＝2(4－y )，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝3.∴C (3,3)． 又∵点C 在直线y ＝12ax 上，∴3＝12a ×3，∴a ＝2.4．在平面直角坐标系xOy 中，已知A (1,0)，B (0,1)，C 为坐标平面内第一象限内的点，且∠AOC ＝π4，|OC |＝2，若OC ―→＝λOA ―→＋μOB ―→，则λ＋μ＝( )A ．2 2B ． 2C ．2D ．4 2解析：选A 因为|OC |＝2，∠AOC ＝π4，所以C (2，2)，又OC ―→＝λOA ―→＋μOB ―→，所以(2，2)＝λ(1,0)＋μ(0,1)＝(λ，μ)，所以λ＝μ＝2，λ＋μ＝2 2.5．在平行四边形ABCD 中，AC 与BD 交于点O ，E 是线段OD 的中点，AE 的延长线与CD 交于点F .若AC ―→＝a ，BD ―→＝b ，则AF ―→＝( )A.14a ＋12bB.12a ＋14bC.23a ＋13bD.13a ＋23b 解析：选C 如图，∵AC ―→＝a ，BD ―→＝b ， ∴AD ―→＝AO ―→＋OD ―→＝12AC ―→＋12BD ―→＝12a ＋12b .∵E 是OD 的中点， ∴|DE ||EB |＝13， ∴|DF |＝13|AB |.∴DF ―→＝13AB ―→＝13(OB ―→－OA ―→)＝13×⎣⎡⎦⎤－12 BD ―→⎝⎛⎭⎫－12AC ―→＝16AC ―→－16BD ―→＝16a －16b ， ∴AF ―→＝AD ―→＋DF ―→＝12a ＋12b ＋16a －16b ＝23a ＋13b ，故选C.6．已知向量a ＝(1,3)，b ＝(－2,1)，c ＝(3,2)．若向量c 与向量k a ＋b 共线，则实数k ＝________，若c ＝x a ＋y b ，则x ＋y 的值为________．解析：k a ＋b ＝k (1,3)＋(－2,1)＝(k －2,3k ＋1)，因为向量c 与向量k a ＋b 共线，所以2(k －2)－3(3k ＋1)＝0，解得k ＝－1.因为c ＝x a ＋y b ，所以(3,2)＝(x －2y,3x ＋y )，即x －2y ＝3,3x ＋y ＝2，解得x ＝1，y ＝－1，所以x ＋y ＝0.答案：－1 07．已知向量OA ―→＝(1，－3)，OB ―→＝(2，－1)，OC ―→＝(k ＋1，k －2)，若A ，B ，C 三点能构成三角形，则实数k 应满足的条件是________．解析：若点A ，B ，C 能构成三角形，则向量AB ―→，AC ―→不共线． ∵AB ―→＝OB ―→－OA ―→＝(2，－1)－(1，－3)＝(1,2)， AC ―→＝OC ―→－OA ―→＝(k ＋1，k －2)－(1，－3)＝(k ，k ＋1)， ∴1×(k ＋1)－2k ≠0，解得k ≠1. 答案：k ≠18.如图，在正方形ABCD 中，P 为DC 边上的动点，设向量AC ―→＝λDB ―→＋μAP ―→，则λ＋μ的最大值为________．解析：以A 为坐标原点，以AB ，AD 所在直线分别为x 轴，y 轴建立平面直角坐标系(图略)，设正方形的边长为2，则B (2,0)，C (2,2)，D (0,2)，P (x,2)，x ∈[0,2]． ∴AC ―→＝(2,2)，DB ―→＝(2，－2)，AP ―→＝(x,2)．∵AC ―→＝λDB ―→＋μAP ―→，∴⎩⎪⎨⎪⎧2λ＋xμ＝2，－2λ＋2μ＝2，∴⎩⎪⎨⎪⎧λ＝2－x2＋x ，μ＝42＋x ，∴λ＋μ＝6－x 2＋x .令f (x )＝6－x2＋x(0≤x ≤2)， ∵f (x )在[0,2]上单调递减，∴f (x )max ＝f (0)＝3，即λ＋μ的最大值为3. 答案：39．平面内给定三个向量a ＝(3,2)，b ＝(－1,2)，c ＝(4,1)． (1)求满足a ＝m b ＋n c 的实数m ，n ； (2)若(a ＋k c )∥(2b －a )，求实数k . 解：(1)由题意得(3,2)＝m (－1,2)＋n (4,1)，所以⎩⎪⎨⎪⎧－m ＋4n ＝3，2m ＋n ＝2，解得⎩⎨⎧m ＝59，n ＝89.(2)a ＋k c ＝(3＋4k,2＋k )，2b －a ＝(－5,2)， 由题意得2×(3＋4k )－(－5)×(2＋k )＝0， 解得k ＝－1613.10．如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，且AD ＝13BC ，E ，F 分别为线段AD 与BC 的中点．设BA ―→＝a ，BC ―→＝b ，试用a ，b 为基底表示向量EF ―→，DF ―→，CD ―→.解：EF ―→＝EA ―→＋AB ―→＋BF ―→＝－16b －a ＋12b ＝13b －a ，DF ―→＝DE ―→＋EF ―→＝－16b ＋⎝⎛⎭⎫13b －a ＝16b －a ， CD ―→＝CF ―→＋FD ―→＝－12b －⎝⎛⎭⎫16b －a ＝a －23b . 三上台阶，自主选做志在冲刺名校1．在平面直角坐标系xOy 中，已知点A (2,3)，B (3,2)，C (1,1)，点P (x ，y )在△ABC 三边围成的区域(含边界)内，设OP ―→＝m AB ―→－n CA ―→(m ，n ∈R )，则2m ＋n 的最大值为( )A ．－1B ．1C ．2D ．3解析：选B 由已知得AB ―→＝(1，－1)，CA ―→＝(1,2)，设OP ―→＝(x ，y )，∵OP ―→＝m AB ―→－n CA ―→，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝m －n ，y ＝－m －2n ，∴2m ＋n ＝x －y .作出平面区域如图所示，令z ＝x －y ，则y ＝x －z ，由图象可知当直线y ＝x －z 经过点B (3,2)时，截距最小，即z 最大．∴z 的最大值为3－2＝1，即2m ＋n 的最大值为1.2．设A 1，A 2，A 3，A 4是平面直角坐标系中两两不同的四点，若A 1A 3―→＝λA 1A 2―→(λ∈R )，A 1A 4―→＝μA 1A 2―→(μ∈R )，且1λ＋1μ＝2，则称A 3，A 4调和分割A 1，A 2.已知点C (c,0)，D (d,0)(c ，d ∈R )调和分割点A (0,0)，B (1,0)，则下面说法正确的是( )A ．C 可能是线段AB 的中点 B ．D 可能是线段AB 的中点C ．C ，D 可能同时在线段AB 上D ．C ，D 不可能同时在线段AB 的延长线上解析：选D 根据已知得(c,0)－(0,0)＝λ[(1,0)－(0,0)]，即(c,0)＝λ(1,0)，从而得c ＝λ.(d,0)－(0,0)＝μ[(1,0)－(0,0)]，即(d,0)＝μ(1,0)，得d ＝μ.根据1λ＋1μ＝2，得1c ＋1d ＝2.线段AB 的方程是y ＝0，x ∈[0,1]．若C 是线段AB 的中点，则c ＝12，代入1c ＋1d ＝2得，1d ＝0，此等式不可能成立，故选项A 的说法不正确；同理选项B 的说法也不正确；若C ，D 同时在线段AB 上，则0＜c ≤1,0＜d ≤1，此时1c ≥1，1d ≥1，1c ＋1d ≥2，若等号成立，则只能c ＝d ＝1，根据定义，C ，D 是两个不同的点，矛盾，故选项C 的说法也不正确；若C ，D 同时在线段AB 的延长线上，即c ＞1，d ＞1，则1c ＋1d ＜2，与1c ＋1d ＝2矛盾，若c ＜0，d ＜0，则1c ＋1d 是负值，与1c ＋1d ＝2矛盾，若c ＞1，d ＜0，则1c ＜1，1d ＜0，此时1c ＋1d ＜1，与1c ＋1d ＝2矛盾，故选项D 的说法是正确的．3．已知三点A (a,0)，B (0，b )，C (2,2)，其中a ＞0，b ＞0.(1)若O 是坐标原点，且四边形OACB 是平行四边形，试求a ，b 的值； (2)若A ，B ，C 三点共线，试求a ＋b 的最小值． 解：(1)因为四边形OACB 是平行四边形， 所以OA ―→＝BC ―→，即(a,0)＝(2,2－b )，⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝2，2－b ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝2. 故a ＝2，b ＝2.(2)因为AB ―→＝(－a ，b )，BC ―→＝(2,2－b )， 由A ，B ，C 三点共线，得AB ―→∥BC ―→，所以－a (2－b )－2b ＝0，即2(a ＋b )＝ab ， 因为a ＞0，b ＞0，所以2(a ＋b )＝ab ≤⎝⎛⎭⎫a ＋b 22， 即(a ＋b )2－8(a ＋b )≥0，解得a ＋b ≥8或a ＋b ≤0. 因为a ＞0，b ＞0，所以a ＋b ≥8，即a ＋b 的最小值是8. 当且仅当a ＝b ＝4时，“＝”成立．第三节平面向量的数量积与平面向量应用举例1．向量的夹角2．平面向量的数量积3．向量数量积的运算律 (1)a ·b ＝b ·a .(2)(λa )·b ＝λ(a ·b )＝a ·(λb )． (3)(a ＋b )·c ＝a ·c ＋b ·c .4．平面向量数量积的有关结论已知非零向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，a 与b 的夹角为θ.[小题体验]1．已知|a |＝2，|b |＝6，a ·b ＝－63，则a 与b 的夹角θ为( ) A.π6 B.π3 C.2π3 D.5π6 答案：D2．已知向量a 和向量b 的夹角为30°，|a |＝2，|b |＝3，则向量a 和向量b 的数量积a ·b ＝( ) A ．1 B ．2 C ．3D ．4解析：选C 由题意可得a ·b ＝|a |·|b |·cos 〈a ，b 〉＝2×3×32＝3. 3．已知向量a ，b 均为单位向量，若它们的夹角为60°，则|a ＋3b |＝( ) A.7 B.10 C.13D ．4解析：选C 依题意得a ·b ＝12，则|a ＋3b |＝a 2＋9b 2＋6a ·b ＝13.4．已知两个单位向量a ，b 的夹角为60°，c ＝t a ＋(1－t )b .若b ·c ＝0，则t ＝________.解析：因为向量a ，b 为单位向量，所以b 2＝1，又向量a ，b 的夹角为60°，所以a ·b ＝12，由b ·c ＝0，得b ·[t a ＋(1－t )b ]＝0，即t a ·b ＋(1－t )b 2＝0，所以12t ＋(1－t )＝0，所以t ＝2.答案：25．已知正方形ABCD 的边长为2，E 为CD 的中点，则AE ―→·BD ―→＝________.解析：选向量的基底为AB ―→，AD ―→，则BD ―→＝AD ―→－AB ―→，AE ―→＝AD ―→＋12AB ―→，所以AE ―→·BD ―→＝⎝⎛⎭⎫AD ―→＋12AB ―→ ·(AD ―→－AB ―→)＝2. 答案：21．数量积运算律要准确理解、应用，例如，a ·b ＝a ·c (a ≠0)不能得出b ＝c ，两边不能约去一个向量． 2．两个向量的夹角为锐角，则有a ·b ＞0，反之不成立；两个向量夹角为钝角，则有a ·b ＜0，反之不成立．3．a ·b ＝0不能推出a ＝0或b ＝0，因为a ·b ＝0时，有可能a ⊥b . 4．在用|a |＝a 2求向量的模时，一定要把求出的a 2再进行开方． [小题纠偏]1．若a ，b 是两个互相垂直的非零向量，给出以下式子：①a ·b ＝0；②a ＋b ＝a －b ；③|a ＋b |＝|a －b |；④a 2＋b 2＝(a ＋b )2.其中正确的个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：选C 因为a ，b 是两个互相垂直的非零向量，所以a·b ＝0；所以(a ＋b )2＝a 2＋b 2＋2a·b ＝a 2＋b 2；(a －b )2＝a 2＋b 2－2a ·b ＝a 2＋b 2；所以(a ＋b )2＝(a －b )2，即|a ＋b |＝|a －b |.故①③④是正确的，②是错误的．2．设向量a ，b 满足|a |＝|b |＝1，a ·b ＝－12，则|a ＋2b |＝________.解析：|a ＋2b |＝(a ＋2b )2＝|a |2＋4a ·b ＋4|b |2＝ 1＋4×⎝⎛⎭⎫－12＋4＝ 3. 答案： 3考点一 平面向量的数量积的运算(基础送分型考点——自主练透)[题组练透]1．设a ＝(1，－2)，b ＝(－3,4)，c ＝(3,2)，则(a ＋2b )·c ＝( ) A ．(－15,12) B ．0 C ．－3D ．－11解析：选C ∵a ＋2b ＝(1，－2)＋2(－3,4)＝(－5,6)， ∴(a ＋2b )·c ＝(－5,6)·(3,2)＝－3.2．(2018·浙江考前冲刺)若两个非零向量a ，b 满足|a ＋b |＝|a －b |＝2|b |＝4，则向量a 在a ＋b 上的投影为( )A. 3 B ．3 C. 6D ．6解析：选B 由|a ＋b |＝|a －b |，得a 2＋2a ·b ＋b 2＝a 2－2a ·b ＋b 2，即a ·b ＝0， 由|a ＋b |＝2|b |，得a 2＋2a ·b ＋b 2＝4b 2，即a 2＝3b 2，所以|a |＝3|b |＝23， 所以向量a 在a ＋b 上的投影为a ·(a ＋b )|a ＋b |＝a 2|a ＋b |＝3.中点，则AB ―→·AD―→3．如图，在等腰直角三角形ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝2，D 为BC 的＝________.解析：法一：由题意知，AC ＝BC ＝2，AB ＝22， ∴AB ―→·AD ―→＝AB ―→·(AC ―→＋CD ―→)＝AB ―→·AC ―→＋AB ―→·CD ―→＝|AB ―→|·|AC ―→|cos 45°＋|AB ―→|·|CD ―→|cos 45° ＝22×2×22＋22×1×22＝6. 法二：建立如图所示的平面直角坐标系，由题意得A (0,2)，B (－2,0)， D (－1,0)，∴AB ―→＝(－2,0)－(0,2)＝(－2，－2)， AD ―→＝(－1,0)－(0,2)＝(－1，－2)， ∴AB ―→·AD ―→＝－2×(－1)＋(－2)×(－2)＝6. 答案：64．(2019·台州模拟)以O 为起点作三个不共线的非零向量OA ―→，OB ―→，OC ―→，使AB ―→＝－2BC ―→，|OA ―→|＝4，OA ―→|OA ―→|＋OB ―→|OB ―→|＝OC ―→|OC ―→|，则OA ―→·BC ―→＝________. 解析：法一：由OA ―→|OA ―→|＋OB ―→|OB ―→|＝OC ―→|OC ―→|，平方得OA ―→|OA ―→|·OB ―→|OB ―→|＝－12，即cos ∠AOB ＝－12，因为OA ―→，OB ―→不共线，所以0°＜∠AOB ＜180°，所以∠AOB ＝120°.因为AB ―→＝－2BC ―→，所以C 为线段AB 的中点．由OA ―→|OA ―→|＋OB ―→|OB ―→|＝OC ―→|OC ―→|两边同乘以OC ―→|OC ―→|，得cos ∠AOC ＋cos ∠BOC ＝1，即cos ∠AOC ＋cos(120°－∠AOC )＝1，解得∠AOC ＝60°，所以OC 为∠AOB 的平分线，所以OC ―→⊥AB ―→.又|OA ―→|＝4，所以|AC ―→|＝|BC ―→|＝23，所以OA ―→·BC ―→＝(OC ―→＋CA ―→)·BC ―→＝BC ―→2＝12.法二：由OA ―→|OA ―→|＋OB ―→|OB ―→|＝OC ―→|OC ―→|及AB ―→＝－2BC ―→，结合向量加法的平行四边形法则得OC 为∠AOB 的平分线，C 为AB 的中点，所以OC ―→⊥AB ―→，且|OA ―→|＝|OB ―→|＝4，|AC ―→|＝|BC ―→|＝23，所以OA ―→·BC ―→＝(OC ―→＋CA ―→)·BC ―→＝BC ―→2＝12.答案：12[谨记通法]向量数量积的2种运算方法考点二 平面向量数量积的性质(题点多变型考点——多角探明) [锁定考向]平面向量的夹角与模的问题是高考中的常考内容，题型多为选择题、填空题，难度适中，属中档题． 常见的命题角度有： (1)平面向量的模； (2)平面向量的夹角； (3)平面向量的垂直；(4)与最值、范围有关问题．[题点全练]角度一：平面向量的模1．已知e 1，e 2是单位向量，且e 1·e 2＝12.若向量b 满足b ·e 1＝b ·e 2＝1，则|b |＝________.解析：法一：∵e 1·e 2＝12，∴|e 1||e 2|cos e 1，e 2＝12，∴e 1，e 2＝60°.又∵b ·e 1＝b ·e 2＝1＞0，∴b ，e 1＝b ，e 2＝30°. 由b ·e 1＝1，得|b ||e 1|cos 30°＝1，∴|b |＝132＝233.法二：由题可得，不妨设e 1＝(1,0)，e 2＝⎝⎛⎭⎫12，32，b ＝(x ，y )． ∵b ·e 1＝b ·e 2＝1，∴x ＝1，12x ＋32y ＝1，解得y ＝33.∴b ＝⎝⎛⎭⎫1，33，∴|b |＝ 1＋13＝233. 答案：233角度二：平面向量的夹角2．(2018·浙江十校联盟适考)若向量a ，b 满足|a |＝4，|b |＝1，且(a ＋8b )⊥a ，则向量a ，b 的夹角为( ) A.π6 B.π3C.2π3D.5π6解析：选C 由(a ＋8b )⊥a ，得|a |2＋8a ·b ＝0，因为|a |＝4，所以a ·b ＝－2，所以cos 〈a ，b 〉＝a ·b |a |·|b |＝－12，所以向量a ，b 的夹角为2π3. 3．已知平面向量a ＝(1,2)，b ＝(4,2)，c ＝m a ＋b (m ∈R )，且c 与a 的夹角等于c 与b 的夹角，则m ＝________.解析：因为a ＝(1,2)，b ＝(4,2)，所以c ＝m a ＋b ＝(m ＋4，2m ＋2)，|a |＝5，|b |＝25， 所以c ·a ＝5m ＋8，c ·b ＝8m ＋20. 因为c 与a 的夹角等于c 与b 的夹角， 所以c ·a |c |·|a |＝c ·b|c |·|b |， 即5m ＋85＝8m ＋2025，解得m ＝2. 答案：2角度三：平面向量的垂直4．(2019·南宁模拟)已知向量AB ―→与AC ―→的夹角为120°，且|AB ―→|＝3，|AC ―→|＝2.若AP ―→＝λAB ―→＋AC ―→，且AP ―→⊥BC ―→，则实数λ的值为________．解析：由AP ―→⊥BC ―→，知AP ―→·BC ―→＝0，即AP ―→·BC ―→＝(λAB ―→＋AC ―→)·(AC ―→－AB ―→)＝(λ－1)AB ―→·AC ―→－λAB ―→2＋AC ―→2＝(λ－1)×3×2×⎝⎛⎭⎫－12－λ×9＋4＝0，解得λ＝712. 答案：7125．已知向量a ＝(cos α，sin α)，b ＝(cos β，sin β)，0＜β＜α＜π. (1)若|a －b |＝2，求证：a ⊥b ；(2)设c ＝(0,1)，若a ＋b ＝c ，求α，β的值． 解：(1)证明：由题意得|a －b |2＝2， 即(a －b )2＝a 2－2a ·b ＋b 2＝2. 又因为a 2＝b 2＝|a |2＝|b |2＝1， 所以2－2a ·b ＝2， 即a ·b ＝0，故a ⊥b .(2)因为a ＋b ＝(cos α＋cos β，sin α＋sin β)＝(0,1)，所以⎩⎪⎨⎪⎧cos α＋cos β＝0，sin α＋sin β＝1，由此得，cos α＝cos(π－β)，由0＜β＜π，得0＜π－β＜π，又0＜α＜π，故α＝π－β.代入sin α＋sin β。
平面向量的概念及线性运算
平面向量的概念及线性运算【考点梳理】1．向量的有关概念(1)向量：既有大小又有方向的量叫做向量，向量的大小叫做向量的长度(或模)．(2)零向量：长度为0的向量，其方向是任意的．(3)单位向量：长度等于1个单位的向量．(4)平行向量：方向相同或相反的非零向量．平行向量又叫共线向量．规定：0与任一向量平行．(5)相等向量：长度相等且方向相同的向量．(6)相反向量：长度相等且方向相反的向量．2．向量的线性运算向量运算定义法则(或几何意义)运算律加法求两个向量和的运算三角形法则平行四边形法则(1)交换律：a＋b＝b＋a；(2)结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)减法求a与b的相反向量－b的和的运算叫做a与b的差三角形法则a－b＝a＋(－b)数乘求实数λ与向量a的积的运算(1)|λa|＝|λ||a|；(2)当λ>0时，λa的方向与a的方向相同；当λ<0时，λa的方向与a的方向相λ(μa)＝λμa；(λ＋μ)a＝λa＋μa；λ(a＋b)＝λa＋λb3.共线向量定理向量a (a ≠0)与b 共线的充要条件是存在唯一一个实数λ，使得b ＝λa . 【考点突破】考点一、平面向量的有关概念【例1】给出下列四个命题： ①若|a |＝|b |，则a ＝b ；②若A ，B ，C ，D 是不共线的四点，则“AB →＝DC →”是“四边形ABCD 为平行四边形”的充要条件；③若a ＝b ，b ＝c ，则a ＝c ； ④a ＝b 的充要条件是|a |＝|b |且a ∥b . 其中正确命题的序号是( )A ．②③B ．①②C ．③④D ．②④ [答案] A[解析] ①不正确.两个向量的长度相等，但它们的方向不一定相同.②正确.∵AB →＝DC →，∴|AB →|＝|DC →|且AB →∥DC →，又A ，B ，C ，D 是不共线的四点，∴四边形ABCD 为平行四边形；反之，若四边形ABCD 为平行四边形，则|AB →|＝|DC →|，AB →∥DC →且AB →，DC →方向相同，因此AB →＝DC →.③正确.∵a ＝b ，∴a ，b 的长度相等且方向相同，又b ＝c ，∴b ，c 的长度相等且方向相同，∴a ，c 的长度相等且方向相同，故a ＝c .④不正确.当a ∥b 且方向相反时，即使|a |＝|b |，也不能得到a ＝b ，故|a |＝|b |且a ∥b 不是a ＝b 的充要条件，而是必要不充分条件.综上所述，正确命题的序号是②③. 【类题通法】1.相等向量具有传递性，非零向量的平行也具有传递性.2.共线向量即为平行向量，它们均与起点无关.3.向量可以平移，平移后的向量与原向量是相等向量.解题时，不要把它与函数图象的移动混为一谈.4.非零向量a 与a |a |的关系：a|a |是与a 同方向的单位向量. 【对点训练】 给出下列六个命题：①若|a |＝|b |，则a ＝b 或a ＝－b ； ②若AB →＝DC →，则ABCD 为平行四边形； ③若a 与b 同向，且|a |>|b |，则a >b ； ④λ，μ为实数，若λa ＝μb ，则a 与b 共线； ⑤λa ＝0(λ为实数)，则λ必为零；⑥a ，b 为非零向量，a ＝b 的充要条件是|a |＝|b |且a ∥b . 其中假命题的序号为________． [答案] ①②③④⑤⑥[解析] ①不正确．|a |＝|b |.但a ，b 的方向不确定，故a ，b 不一定是相等或相反向量；②不正确．因为AB →＝DC →，A ，B ，C ，D 可能在同一直线上，所以ABCD 不一定是四边形．③不正确．两向量不能比较大小．④不正确．当λ＝μ＝0时，a 与b 可以为任意向量，满足λa ＝μb ，但a 与b 不一定共线．⑤不正确．当λ＝1，a ＝0时，λa ＝0.⑥不正确．对于非零向量a ，b ，a ＝b 的充要条件是|a |＝|b |且a ，b 同向．考点二、平面向量的线性运算【例2】(1) 设D 为△ABC 所在平面内一点，AD →＝－13AB →＋43AC →，若BC →＝λDC →(λ∈R )，则λ＝( )A ．2B ．3C ．－2D ．－3(2)在△ABC 中，点M ，N 满足AM →＝2MC →，BN →＝NC →.若MN →＝xAB →＋yAC →，则x ＝________；y ＝________.[答案] (1)D (2)12 －16[解析] (1)由AD →＝－13AB →＋43AC →，可得3AD →＝－AB →＋4AC →，即4AD →－4AC →＝AD →－AB →，则4CD →＝BD →，即BD →＝－4DC →，可得BD →＋DC →＝－3DC →，故BC →＝－3DC →，则λ＝－3.(2)由题中条件得，MN →＝MC →＋CN →＝13AC →＋12CB →＝13AC →＋12(AB →－AC →)＝12AB →－16AC →＝xAB →＋yAC →，所以x ＝12，y ＝－16.【类题通法】1.解题的关键在于熟练地找出图形中的相等向量，并能熟练运用相反向量将加减法相互转化.2.用几个基本向量表示某个向量问题的基本技巧：(1)观察各向量的位置；(2)寻找相应的三角形或多边形；(3)运用法则找关系；(4)化简结果.【对点训练】1．已知D 为三角形ABC 边BC 的中点，点P 满足P A →＋BP →＋CP →＝0，AP →＝λPD →，则实数λ的值为________．[答案] －2[解析] 因为D 是BC 的中点，则AB →＋AC →＝2AD →.由P A →＋BP →＋CP →＝0，得BA →＝PC →. 又AP →＝λPD →，所以点P 是以AB ，AC 为邻边的平行四边形的第四个顶点，因此AP →＝AB →＋AC →＝2AD →＝－2PD →，所以λ＝－2.2．设D ，E 分别是△ABC 的边AB ，BC 上的点，AD ＝12AB ，BE ＝23BC .若DE →＝λ1AB →＋λ2AC →(λ1，λ2为实数)，则λ1＋λ2的值为________.[答案] 12[解析] DE →＝DB →＋BE →＝12AB →＋23BC →＝12AB →＋23(AC →－AB →)＝－16AB →＋23AC →，∵DE →＝λ1AB →＋λ2AC →，∴λ1＝－16，λ2＝23，因此λ1＋λ2＝12.考点三、共线向量定理的应用【例3】(1)已知向量AB →＝a ＋3b ，BC →＝5a ＋3b ，CD →＝－3a ＋3b ，则( ) A ．A ，B ，C 三点共线 B ．A ，B ，D 三点共线 C ．A ，C ，D 三点共线 D ．B ，C ，D 三点共线(2)已知向量a ，b 不共线，且c ＝λa ＋b ，d ＝a ＋(2λ－1)b ，若c 与d 共线反向，则实数λ的值为( )A ．1B ．－12C ．1或－12 D ．－1或－12[答案] (1) B (2) B[解析] (1)∵BD →＝BC →＋CD →＝2a ＋6b ＝2(a ＋3b )＝2AB →， ∴BD →，AB →共线，又有公共点B ， ∴A ，B ，D 三点共线．故选B.(2)由于c 与d 共线反向，则存在实数k 使 c ＝k d (k <0)，于是λa ＋b ＝k [a ＋(2λ－1)b ]. 整理得λa ＋b ＝k a ＋(2λk －k )b .由于a ，b 不共线，所以有⎩⎨⎧λ＝k ，2λk －k ＝1，整理得2λ2－λ－1＝0，解得λ＝1或λ＝－12.又因为k <0，所以λ<0，故λ＝－12.【类题通法】 共线向量定理的应用(1)证明向量共线：对于向量a ，b ，若存在实数λ，使a ＝λb ，则a 与b 共线． (2)证明三点共线：若存在实数λ，使AB →＝λAC →，则A ，B ，C 三点共线． (3)求参数的值：利用共线向量定理及向量相等的条件列方程(组)求参数的值． 【对点训练】1．向量e 1，e 2不共线，AB →＝3(e 1＋e 2)，CB →＝e 2－e 1，CD →＝2e 1＋e 2，给出下列结论：①A ，B ，C 共线；②A ，B ，D 共线；③B ，C ，D 共线；④A ，C ，D 共线，其中所有正确结论的序号为________.[答案] ④[解析] 由AC →＝AB →－CB →＝4e 1＋2e 2＝2CD →，且AB →与CB →不共线，可得A ，C ，D 共线，且B 不在此直线上.2．设向量a ，b 不平行，向量λa ＋b 与a ＋2b 平行，则实数λ＝________. [答案] 12[解析] ∵λa ＋b 与a ＋2b 平行，∴λa ＋b ＝t (a ＋2b )，即λa ＋b ＝t a ＋2t b ，∴⎩⎨⎧λ＝t ，1＝2t ，解得⎩⎪⎨⎪⎧λ＝12，t ＝12.。
平面向量的概念及线性运算-高考数学复习
相反 的向量；
目录
（6）平行向量：方向相同或
相反 的非零向量，也叫做共线向
量，规定：零向量与任意向量平行.
提醒
单位向量有无数个，它们大小相等，但方向不一定相
同；与向量 a 平行的单位向量有两个，即向量
｜｜
｜｜
和－
.
目录
2. 向量的线性运算
向量运算
定义
法则（或几何意义）
运算律
加法
求两个向量
b ＝5（ a ＋ b ）＝5 ，∴ ， 共线.
又它们有公共点 B ，∴ A ， B ， D 三点共线.
目录
（2）试确定实数 k ，使 ka ＋ b 和 a ＋ kb 共线.
解：∵ ka ＋ b 与 a ＋ kb 共线，
∴存在实数λ，使 ka ＋ b ＝λ（ a ＋ kb ），即 ka ＋ b ＝λ a ＋λ kb ，
＝（
）
目录
1
解析：如图所示，∵ D 为 BC 的中点，∴ ＝ （ ＋
2
2
1
1
），∵ ＝2 ，∴ ＝ ＝ ＋ ，
3
3
3
1பைடு நூலகம்
1
1
∴ ＝ － ＝ －（ ＋ ）＝－ ＋
3
3
3
2
，故选A.
3
目录
解题技法
目录
1.
1
若 P 为线段 AB 的中点， O 为平面内任一点，则 ＝ （ ＋
2
）.
2.
1
若 G 为△ ABC 的重心，则 ＋ ＋ ＝0； ＝ （ ＋
3
）.
3. ＝λ ＋μ （λ，μ为实数），若点 A ， B ， C 共线，则λ
25平面向量的概念及线性运算
P
O A
ห้องสมุดไป่ตู้ 题 型一
【例 1】给出下列命题：
平面向量的概念辨析
①若|a|＝|b|，则 a＝b； → → ②若 A，B，C，D 是不共线的四点，则AB＝DC是四边形 ABCD 为 平行四边形的充要条件； ③若 a＝b，b＝c，则 a＝c； ②③ ④a＝b 的充要条件是|a|＝|b|且 a∥b.其中正确命题的序号是______.
B O A
OP OA OB ( 1)
❷向量的中点公式 当 1 时， 2 OP＝ 1 (OA OB ). ＋ 2
B
OP OA AB
忆一忆知识要点
法则(或几何意义)
a
ka ( k 0)
运算律
( a ) ( )a | || a | 求实数λ (1)|λa|＝________. 与向量a (2)当λ>0时, λa与a的方 数乘 ( )a = a + a 的积的 向_______； 相同 运算 (3)当λ<0时, λa 与 a 的 (a + b ) a + b 相反 方 向_______； (4)当λ＝0时,λa＝__.0
→ ＝1a＋5b，ON＝2a＋2b，MN＝1a－1b. → → 综上，OM 6 6 3 3 2 6
题 型三
和△OBC 的面积之比为( A．3∶2 B．5∶2
平面向量的共线问题
) C．4∶1 D．5∶1
→ → 例 3.设 O 是△ABC 内部的一点， → ＋2OB＋2OC＝0， 且OA 则△ABC
→ → → → → 解析：如下图：∵OA＋2OB＋2OC＝0，∴OA＝－2(OB＋ → → 而OE → ∴OA → ∴|OA → OC)＝－2OE， → ＝2OD， → ＝－4OD， → |＝4|OD h1 1 |.设 A、O 到 BC 的距离分别是 h，h1，则 h ＝5.又∵△ABC S△ABC 与△OBC 同底，∴ ＝5∶1，故选 D. S△OBC
平面向量的线性运算
平面向量的线性运算平面向量是解决平面几何问题的重要工具。
平面向量之间可以进行线性运算，包括加减法、数量乘法和应用特殊运算规则的向量乘法。
本文将详细介绍平面向量的线性运算及其应用。
一、平面向量的基本概念在平面直角坐标系中，向量由两个有序实数对表示，分别表示向量在 x 轴和 y 轴上的分量。
设向量 a 的分量为 (a1, a2)，则向量 a 可表示为 a = a1i + a2j，其中 i 和 j 分别是 x 轴和 y 轴的单位向量。
二、平面向量的加法设有两个平面向量 a = a1i + a2j， b = b1i + b2j，其和为 c = (a1 +b1)i + (a2 + b2)j。
向量的加法满足交换律、结合律和零向量的存在性。
三、平面向量的减法设有两个平面向量 a = a1i + a2j， b = b1i + b2j，其差为 c = (a1 - b1)i + (a2 - b2)j。
向量的减法也满足交换律和结合律。
四、平面向量的数量乘法设有平面向量 a = a1i + a2j，实数 k，k与向量 a 的数量积为 k * a =ka1i + ka2j。
数量乘法满足结合律、分配律和对数乘法的分布律等性质。
五、平面向量的线性运算应用1. 向量共线与平行若有两个非零向量 a 和 b，当且仅当存在实数 k，使得 a = kb，称向量 a 和 b 共线。
若向量 a 和 b 共线且方向相同或相反，则称向量 a 和b 平行。
2. 向量的线性组合设有向量组 a1, a2, ..., an，其中每个向量的形式为 ai = ai1i + ai2j。
对于任意给定的实数 k1, k2, ..., kn，向量 b = k1a1 + k2a2 + ... + knan 称为向量组 a1, a2, ..., an 的线性组合。
3. 向量的共面性若存在不全为零的实数 k1, k2, k3，使得 k1a1 + k2a2 + k3a3 = 0，称向量组 a1, a2, a3 共面。
平面向量的概念及线性运算
一、平面向量的线性运算（三角形重心问题）
例 1、在△ABC 中，D、E 分别为 BC，AC 边上的中点，G 为 BE 上一点，且 GB=2GE，设
AB a ， AC b ，试用 a ， b 表示 AD ， AG 。
变式 1： （2007 年高考北京卷）已知 O 是△ABC 所在平面内一点，D 为 BC 边中点，且
2OA OB OC 0 ，那么（
A、 AO OD
） C、 AO 3OD D、 2 AO OD ）
B、 AO 2OD
变式 2：G 为△ABC 内一点，且满足 GA GB GC 0 ,则 G 为△ABC 的（ A、外心 B、内心 C、垂心 D、重心
变式 3：若 OA OB OC 0 ，且 OA OB OC ，则△ABC 是
D、
4 3 a b 5 5
AB AC m AM 成立，则 m=
A、5 B、4 C、3 D、2 变式 6：在△ABC 中，点 D 在边 AB 上，CD 平分∠ACB，若 CB a ， CA b ， a 1 ，
b 2 ，则 CD =（
A、 a
） B、
1 3
2 b 3
2 1 a b 3 3
C、
3 4 a b 5 5
三角形；
变 式 4 ： 设 G 是 ABC 的 重 心 ， a, b, c 分 别 是 角 A, B, C 的 对 边 ， 若
3 aGA bGB cGC 0 则角 A （ 3 A、 90 B、 60
） C、 45
D、 30
变 式 5 ： 已 知 △ ABC 和 点 M 满 足 MA MB MC 0 ， 若 存 在 实 数 m 使 得
平面向量概念及线性运算知识点及习题
平面向量的概念、线性运算及坐标运算【知识网络】【考点梳理】 考点一、向量的概念1．向量:既有大小又有方向的量.通常用有向线段AB u u u r表示，其中A 为起点，B 为终点. 向量AB u u u r的长度|AB |uuu r 又称为向量的模；长度为0的向量叫做零向量，长度为1的向量叫做单位向量.2．方向相同或相反的非零向量叫做平行向量，规定零向量与任一向量平行. 平行向量可通过平移到同一条直线上，因此平行向量也叫共线向量. 3．长度相等且方向相同的向量叫做相等向量.零向量与零向量相等.4. 与a r 长度相等，方向相反的向量叫做a r的相反向量，规定零向量的相反向量是零向量.要点诠释：①有向线段的起、终点决定向量的方向，AB u u u r 与BA u u u r表示不同方向的向量； ②有向线段的长度决定向量的大小，用|AB |uuu r 表示，|AB ||BA |=u u u r u u u r.③任意两个非零的相等向量可经过平移重合在一起，因此可用一个有向线段表示，而与起点无关. 考点二、向量的加法、减法 1．向量加法的平行四边形法则 平行四边形ABCD 中（如图），向量AD u u u r 与AB u u u r的和为AC uuu r ,记作:AD AB AC +=u u u r u u u r u u u r .（起点相同）平面向量平面向量的概念平面向量的坐标表示平面向量的基本定理平面向量的线性运算2．向量加法的三角形法则根据向量相等的定义有:AB DC =u u u r u u u r ，即在ΔADC 中，AD DC AC +=u u u r u u u r u u u r.首尾相连的两个向量的和是以第一个向量的起点指向第二个向量的终点.规定:零向量与向量AB u u u r 的和等于AB u u u r.3. 向量的减法向量AB u u u r 与向量BA u u u r 叫做相反向量.记作:AB BA =-u u u r u u u r . 则AB CD AB DC -=+u u u r u u u r u u u r u u u r .要点诠释：①关于两个向量的和应注意：两个向量的和仍是一个向量；使用三角形法则时要注意“首尾相连”；当两个向量共线时，三角形法则适用，而平行四边形法则不适用.②向量减法运算应注意：向量的减法实质是加法的逆运算，差仍为一个向量；用三角形法则作向量减法时，记住“连结两个向量的终点，箭头指向被减向量”. 要点三、实数与向量的积 1．定义：一般地，实数λ与向量r a 的积是一个向量,记作λra ，它的长与方向规定如下： （1）||||||λ=λ⋅r ra a ；（2）当λ>0时，λr a 的方向与r a 的方向相同；当λ<0时，λr a 的方向与r a 的方向相反； 当λ=0时，0λ=r r a ；2．运算律设λ，μ为实数，则（1）()()λμ=λμr ra a ； （2）()λ+μ=λ+μr r ra a a ； （3）()λ+=λ+λr r r ra b a b3．向量共线的充要条件已知向量r a 、r b 是两个非零共线向量，即//r r a b ，则r a 与rb 的方向相同或相反. 向量(0)≠r r ra a 与rb 共线，当且仅当有唯一一个实数λ，使=λr r b a .要点诠释：①向量数乘的特殊情况：当0λ=时，0λ=r r a ；当0=r r a 时，也有0λ=r ra ；实数和向量可以求积，但是不能求和、求差.②平面向量基本定理是建立向量坐标的基础，它保证了向量与坐标是一一对应的，在应用时，构成两个基地的向量是不共线的向量. 考点四、平面向量的坐标运算 1．平面向量的坐标表示选取直角坐标系的x 轴、y 轴上的单位向量i r ，j r为基底，由平面向量基本定理，该平面内任一向量r a 表示成x y =+r r ra i j 的形式，由于r a 与数对（x,y ）是一一对应的，因此把（x,y ）叫做向量r a 的坐标表示.2．平面向量的坐标运算已知11(x ,y )=r a ，22(x ,y )=rb ，则 （1）1212(x x ,y y )±=±±r ra b （2）11(x ,y )λ=λλra3．平行向量的坐标表示已知11(x ,y )=r a ，22(x ,y )=r b ，则1221//x y x y 0⇔-=r r a b （0→≠r b ）要点诠释：①若11(x ,y )=r a ，22(x ,y )=r b ，则//r r a b 的充要条件不能表示成1122x yx y =，因为22x ,y 有可能等于0，所以应表示为1221x y x y 0-=；同时//r ra b 的充要条件也不能错记为1122x y x y 0-=，1212x x y y 0-=等.②若11(x ,y )=r a ，22(x ,y )=rb ，则//r r a b 的充要条件是=λr r b a ，这与1221x y x y 0-=在本质上是没有差异的，只是形式上不同. 【典型例题】类型一、平面向量的相关概念例1. 下列说法中正确的是① 非零向量r a 与非零向量r b 共线，向量r b 与非零向量r c 共线，则向量r a 与向量rc 共线；② 任意两个相等的非零向量的始点与终点是一平行四边形的四个顶点；③ 向量r a 与r b 不共线，则r a 与rb 所在直线的夹角为锐角；④ 零向量模为0，没有方向；⑤ 始点相同的两个非零向量不平行； ⑥ 两个向量相等，它们的长度就相等；⑦ 若非零向量AB u u u r 与CD uuur 是共线向量，则A 、B 、C 、D 四点共线。
平面向量的概念及线性运算教案
【课题】7.1 平面向量的概念及线性运算【教学目标】知识目标：（1）了解向量、向量的相等、共线向量等概念； （2）掌握向量、向量的相等、共线向量等概念． 能力目标：通过这些内容的学习，培养学生的运算技能与熟悉思维能力．【教学重点】向量的线性运算．【教学难点】已知两个向量，求这两个向量的差向量以及非零向量平行的充要条件．【教学设计】从“不同方向的力作用于小车，产生运动的效果不同”的实际问题引入概念． 向量不同于数量，数量是只有大小的量，而向量既有大小、又有方向．教材中用有向线段来直观的表示向量，有向线段的长度叫做向量的模，有向线段的方向表示向量的方向．数量可以比较大小，而向量不能比较大小，记号“a ＞b ”没有意义，而“︱a ︱＞︱b ︱”才是有意义的.教材通过生活实例，借助于位移来引入向量的加法运算．向量的加法有三角形法则与平行四边形法则.向量的减法是在负向量的基础上，通过向量的加法来定义的.即a -b =a +(-b )，它可以通过几何作图的方法得到，即a -b 可表示为从向量b 的终点指向向量a 的终点的向量.作向量减法时，必须将两个向量平移至同一起点.实数λ乘以非零向量a ，是数乘运算，其结果记作λa ，它是一个向量，其方向与向量a 相同，其模为a 的λ倍．由此得到λ⇔=a b a b ∥．对向量共线的充要条件，要特别注意“非零向量a 、b ”与“0λ≠ ”等条件.【教学备品】教学课件．【课时安排】2课时．(90分钟)【教学过程】过程行为行为意图间7.1 平面向量的概念及线性运算*创设情境兴趣导入如图7－1所示，用100N①的力，按照不同的方向拉一辆车，效果一样吗？图7－1 介绍播放课件引导分析了解观看课件思考自我分析从实例出发使学生自然的走向知识点3*动脑思考探索新知【新知识】在数学与物理学中，有两种量．只有大小，没有方向的量叫做数量（标量），例如质量、时间、温度、面积、密度等．既有大小，又有方向的量叫做向量（矢量），例如力、速度、位移等．平面上带有指向的线段（有向线段）叫做平面向量，线段的指向就是向量的方向，线段的长度表示向量的大小．如图7-2所示，有向线段的起点叫做平面向量的起点，有向线段的终点叫做平面向量的终点．以A为起点，B为终点的向量记作AB．也可以使用小写英文字母，印刷用黑体表示，记作a；手写时应在字母上面加箭头，记作a．图7－2向量的大小叫做向量的模．向量a,AB的模依次记作a，AB．模为零的向量叫做零向量．记作0，零向量的方向是不确定的．总结归纳仔细分析讲解关键词语思考理解记忆带领学生分析引导式启发学生得出结果10aABAB与MN，它们所在的直线平行，两个向量的方向相同；向量CD与PQ所在的直线平行，两个AB与MN，方向相同，模相等；平HG与TK，方向相反，模相等．我们所研究的向量只有大小与方向两个要素．的模相等并且方向相同时，称向量b．也就是说，向量可以在平面内任意平移，具有这种性质的向量叫做自由向量．AB = MN ，GH = －TK ． ABCD 中（图7－5），O 为对角线交点DA 相等的向量； DC 的负向量；）找出与向量AB 平行的向量要结合平行四边形的性质进行分析．两个向量相等，它们必须是方向相同，模相等；两个向量互为负向量，它们必须是方向相反，模相等；两个平行向量的方向相同或相反．CB =DA ；BA =DC -,CD DC =-； BA //AB ,DC //AB ，CD //AB ． 强化练习如图，∆ABC 中，D 、E 、F 分别是三边的中点，试写EF 相等的向量；AD 共线的向量OC 相等的向量；）OC 的负向量；OC 共线的向量．巡视指导A D E FAB DAC 叫做AB 与位BC 的和AC =AB +BC ．AB =a , BC =b ，则向量AC 叫做向量＋b ，即b =AB ＋BC =AC （求向量的和的运算叫做向量的加法．上述求向量的和的方三角形法则．可以看到：依照三角形法则进行向量abaAD=BC，AB＋AD=AB＋BC=AC这说明，在平行四边形AC所表示的向量就是AB与AD的和．这种求和向量加法的平行四边形法则．平行四边形法则不适用于共线向量，可以验证，向量的加法具有以下的性质：总结归纳AB表示船速，AC 为水流速度，由向量加法的平行四边形法则，AD 是船的实际航行速度，显然22AD AB AC=+=12又512tan =∠CAD ，利用计算器求得6723'≈︒1．即船的实际航行速度大小是流方向)的夹角约6723'︒．过程行为行为意图间图7-12 讲解说明思考求解62*运用知识强化练习练习7.1.21．如图，已知a，b，求a＋b．2．填空（向量如图所示）：（1）a＋b =_____________ ,（2）b＋c =_____________ ,（3）a＋b＋c =_____________ ．3．计算：（1）AB＋BC＋CD；（2）OB＋BC＋CA．启发引导提问巡视指导思考了解动手求解可以交给学生自我发现归纳65*创设情境兴趣导入在进行数学运算的时候，减去一个数可以看作加上这个数的相反数．质疑引导分析思考参与分析引导启发学生思考66*动脑思考探索新知与数的运算相类似，可以将向量a与向量b的负向量的和定义为向量a与向量b的差．即总结归纳（图1－15）bbaa （1）（2）第1题图=OA，b OB，则OA OB OA OB OA BO BO OA BA-=+-+=+=．()=-=BA（7．OA OB观察图7－13可以得到：起点相同的两个向量a、b，b仍然是一个向量，叫做a与b的差向量，其起点是减的终点，终点是被减向量a的终点．OA=a，OB=b，连接BA为所求的差向量，即BA= a－b ．【想一想】当a与b共线时，如何画出 b ．*运用知识-=_______________AB AD过 程行为 行为 意图 间（2）BC BA -=______________， （3）OD OA -=______________．2．如图，在平行四边形ABCD 中，设AB = a ,AD = b ，试用a , b 表示向量AC 、BD 、DB ．启发 引导 提问 巡视 指导 思考 了解 动手 求解可以 交给 学生 自我 发现 归纳72 *创设情境 兴趣导入观察图7－15可以看出，向量OC 与向量a 共线，并且OC ＝3a ．图7−15质疑 引导 分析思考 参与 分析引导启发学生思考74 *动脑思考 探索新知一般地，实数λ与向量a 的积是一个向量，记作λa ，它的模为||||||a a λ=λ （7．3） 若||λ≠a 0，则当λ＞0时，λa 的方向与a 的方向相同，当λ＜0时，λa 的方向与a 的方向相反．由上面定义可以得到，对于非零向量a 、b ，当0λ≠时，有 λ⇔=a b a b ∥ （7．4）一般地，有 0a = 0,λ0 = 0 ．数与向量的乘法运算叫做向量的数乘运算，容易验证，对总结 归纳思考 归纳带领 学生 分析a a aaOAB C过 程行为 行为 意图 间于任意向量a , b 及任意实数λμ、，向量数乘运算满足如下的法则：()()111=-=-a a a a ， ；()()()()2a a a λμλμμλ== ；()()3a a a λμλμ+=+ ；()()a b a b λλλ+=+４ ． 【做一做】请画出图形来，分别验证这些法则．向量加法及数乘运算在形式上与实数的有关运算规律相类似，因此，实数运算中的去括号、移项、合并同类项等变形，可直接应用于向量的运算中．但是，要注意向量的运算与数的运算的意义是不同的．仔细 分析 讲解 关键 词语理解 记忆 理解 记忆引导 启发 学生 得出 结论78 *巩固知识 典型例题例6 在平行四边形ABCD 中，O 为两对角线交点如图7－16，AB ＝a ，AD ＝b ，试用a , b 表示向量AO 、OD ．分析 因为12AO AC =,12OD BD =，所以需要首先分别求出向量AC 与BD .解 AC＋b ,BD ＝b −a ，＝a 因为O 分别为AC ，BD 的中点，所以1122==AO AC （a ＋b ）＝12a ＋12b ，强调 含义 说明思考 求解 领会注意 观察 学生 是否 理解 知识 点图7－16OD＝12BD＝12（a＋12b和−12a+12AO、OD可以用向量λa＋μb叫做a, b的一个．如果l ＝λa＋μb向量的加法、减法、数乘运算都叫做OA，使OA＝12（向量、向量的模、向量相等是如何定义的？向量的大小叫做向量的AB的模依次记作AB．a与向量的模相等并且方向相同时，称向量相等，记作*归纳小结本次课学了哪些内容？重点和难点各是什么？过程AB＋BC＋CD；（OB＋BC＋CA．活动探究读书部分：教材书面作业：教材习题7．A组（必做）；7．1 B 【教师教学后记】。
第一讲+平面向量的概念及线性运算课件-2025届高三数学一轮复习
第五章 平面向量与复数
第一讲 平面向量的概念 及线性运算
1.向量的有关概念
名称
定义
备注
向量
既有大小又有方向的量 平面向量是自由向量
零向量
长度为 0 的向量
记作 0
非零向量 a 的单位向 单位向量 长度等于 1 个单位长度的向量 量为±|aa|
(续表) 名称
共线向量 (平行向量) 相等向量 相反向量
(2)证明三点共线问题，可用向量共线来解决，但应注意向量 共线与三点共线的区别与联系，当两向量共线且有公共点时，才 能得到三点共线.
【变式训练】
1.(2023 年桃城区校级月考)在△ABC 中，D，E 分别为边 AB， AC 上的动点，若 AD＝2DB，AE＝3EC，CD 交 BE 于点 F，A→F＝ mA→B＋nA→C，则 m＋n＝( )
(2)证明：由(1)得O→G＝(1－λ)O→P＋λO→Q＝(1－λ)·xO→A＋λyO→B. ①
∵G 是△OAB 的重心，∴O→G＝23O→M＝32×21(O→A＋O→B)＝13O→A＋ 13O→B. ②
而O→A，O→B不共线，
∴由①，②得(1－λ)x＝31， λy＝13，
解得1x＝3－3λ， 1y＝3λ.
答案：(－1，0)
3.如图 5-1-8，G 是△OAB 的重心，P，Q 分别是边 OA，OB 上的动点，且 P，G，Q 三点共线.
(1)设P→G＝λP→Q，用λ，O→P，O→Q表示O→G；
(2)设O→P＝xO→A，O→Q＝yO→B.证明：1x＋1y是定值.
图 5-1-8
(1)解：O→G＝O→P＋P→G＝O→P＋λP→Q＝O→P＋λ(O→Q－O→P)＝ (1－λ)O→P＋λO→Q.
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平面向量的概念及线性运算知识点：
1．向量的有关概念
2.向量的线性运算
3.向量共线的判定定理
a是一个非零向量，若存在一个实数λ，使得b＝λa，则向量b与非零向量a共线．
选择题：
给出下列命题：①零向量的长度为零，方向是任意的；②若a，b都是单位向量，则a＝b；③向量AB→与BA→相等．则所有正确命题的序号是( )
A．①B．③C．①③D．①②
解析根据零向量的定义可知①正确；根据单位向量的定义可知，单位向量的模相等，但方向不一定相同，故两个单位向量不一定相等，故②错误；向量AB→与BA→互为相反向量，故③错误．
→；③OA→＋OB→＋BO→＋CO→；④AB→－AC→＋BD→已知下列各式：①AB→＋BC→＋CA→；②AB→＋MB→＋BO→＋OM
－CD→，其中结果为零向量的个数为( )
A．1 B．2 C．3 D．4
解析由题知结果为零向量的是①④，故选B.
设a0为单位向量，①若a为平面的某个向量，则a＝|a|a0；②若a与a0平行，则a＝|a|a0；③若a 与a0平行且|a|＝1，则a＝a0.上述命题中，假命题的个数是( )
A．0 B．1 C．2 D．3
解析向量是既有大小又有方向的量，a与|a|a0的模相同，但方向不一定相同，故①是假命题；若a 与a0平行，则a与a0的方向有两种情况：一是同向，二是反向，反向时a＝－|a|a0，故②③也是假命题．综上所述，假命题的个数是3.
设a0，b0分别是与a，b同向的单位向量，则下列结论中正确的是( )
A．a0＝b0B．a0·b0＝1 C．|a0|＋|b0|＝2 D．|a0＋b0|＝2
解析∵是单位向量，∴|a0|＝1，|b0|＝1
设a是非零向量，λ是非零实数，下列结论中正确的是( )
A．a与λa的方向相反B．a与λ2a的方向相同C．|－λa|≥|a| D．|－λa|≥|λ|·a 解析对于A，当λ＞0时，a与λa的方向相同，当λ＜0时，a与λa的方向相反，B正确；对于C，|－λa|＝|－λ||a|，由于|－λ|的大小不确定，故|－λa|与|a|的大小关系不确定；对于D，|λ|a是向量，而|－λa|表示长度，两者不能比较大小．
设a、b是两个非零向量( )
A．若|a＋b|＝|a|－|b|，则a⊥b B．若a⊥b，则|a＋b|＝|a|－|b|
C．若|a＋b|＝|a|－|b|，则存在实数λ，使得b＝λa
D．若存在实数λ，使得b＝λa，则|a＋b|＝|a|－|b|
解析对于A，可得cos〈a，b〉＝－1，∴a⊥b不成立；对于B，满足a⊥b时|a＋b|＝|a|－|b|
不成立；对于C ，可得cos 〈a ，b 〉＝－1，∴成立，而D 显然不一定成立．
如图，已知AB
→＝a ，AC →＝b ，BD →＝3DC →，用a ，b 表示AD →，则AD →等于( )
A ．a ＋3
4b B.14a ＋34b C.14a ＋14b D.34a ＋1
4b
解析 ∵CB →＝AB →－AC →＝a －b ，又BD →＝3DC →，∴CD →
＝14CB →＝14(a －b )，
∴AD →＝AC →＋CD →
＝b ＋14(a －b )＝14a ＋34b
如图，在正六边形ABCDEF 中，BA
→＋CD →＋EF →＝( )
A ．0 B.BE
→ C.AD → D.CF →
解析 由题图知BA →＋CD →＋EF →＝BA →＋AF →＋CB →＝CB →＋BF →＝CF →.
如图所示，已知AB 是圆O 的直径，点C ，D 是半圆弧的两个三等分点，AB →＝a ，A C →＝b ，则AD →＝
( )
A．a－1
2
b B.
1
2
a－b C．a＋
1
2
b D.
1
2
a＋b
解析连接CD，∵C，D是半圆弧的三等分点，得CD∥AB且CD→＝1
2
AB→＝
1
2
a，∴AD→＝AC→＋CD→＝b
＋1 2 a
已知向量AB→＝a＋3b，BC→＝5a＋3b，CD→＝－3a＋3b，则( )
A．A，B，C三点共线B．A，B，D三点共线
C．A，C，D三点共线D．B，C，D三点共线
解析：∵BD→＝BC→＋CD→＝2a＋6b＝2(a＋3b)＝2AB→，∴BD→、AB→共线，又公共点B，∴A、B、D三点共线
设D为△ABC所在平面一点，BC→＝3CD→，则( )
A.AD→＝－1
3
AB→＋
4
3
AC→ B.AD→＝
1
3
AB→－
4
3
AC→ C.AD→＝
4
3
AB→＋
1
3
AC→ D.AD→＝
4
3
AB→－
1
3
AC→
解析∵BC→＝3CD→，∴AC→－AB→＝3(AD→－AC→)，即4AC→－AB→＝3AD→，∴AD→＝－1
3
AB→＋
4
3
AC→.
设D ，E ，F 分别为△ABC 的三边BC ，CA ，AB 的中点，则EB →＋FC →等于( )
A.BC →
B.12AD →
C.AD →
D.12BC →
解析 EB →＋FC →＝12(AB →＋CB →)＋12(AC →＋BC →)＝12(AB →＋AC →)＝AD
→
在△ABC 中，AB
→＝c ，AC →＝b ，若点D 满足BD →＝2DC →，则AD →等于( )
A.23b ＋13c
B.53c －23b
C.23b －13c
D.13b ＋23c 解析 ∵BD
→＝2DC →，∴AD →－AB →＝BD →＝2DC →＝2(AC →－AD →)， ∴3AD →＝2AC →＋AB →，∴AD →
＝23AC →＋13AB →＝23b ＋13c .
设M 为平行四边形ABCD 对角线的交点，O 为平行四边形ABCD 所在平面任意一点，则OA →＋OB →＋
OC
→＋OD →等于( ) A.OM
→ B ．2OM → C ．3OM → D ．4OM → 解析 OA →＋OB →＋OC →＋OD →＝(OA →＋OC →)＋(OB →＋OD →)＝2OM →＋2OM →＝4OM →
已知点O ，A ，B 不在同一条直线上，点P 为该平面上一点，且2OP →＝2OA →＋BA →
，则( ) A ．点P 在线段AB 上 B ．点P 在线段AB 的反向延长线上 C ．点P 在线段AB 的延长线上 D ．点P 不在直线AB 上
解析 ∵2OP →＝2OA →＋BA →，∴2AP →＝BA →，∴点P 在线段AB 的反向延长线上，故选B.
在△ABC 中，已知D 是AB 边上的一点，若AD →＝2DB →，CD →＝13CA →＋λCB
→，则λ等于( )
A.23
B.13 C ．－13 D ．－23
解析 ∵AD →＝2DB →，即CD →－CA →＝2(CB →－CD →)，∴CD →
＝13CA →＋23CB →，∴λ＝23.
在△ABC 中，点D 在线段BC 的延长线上，且BC →＝3CD →，点O 在线段CD 上(与点C ，D 不重合)，
若AO
→＝xAB →＋(1－x )AC →，则x 的取值围是( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫0，12 B.⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫0，13 C.⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－12，0 D.⎝ ⎛⎭
⎪⎪⎫－13，0
解析 设CO
→＝yBC →，∵AO →＝AC →＋CO →＝AC →＋yBC →＝AC →＋y (AC →－AB →)＝－yAB →＋(1＋y )AC →. ∵BC →＝3CD →
，点O 在线段CD 上(与点C ，D 不重合)，∴y ∈⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫0，13，
∵AO →＝xAB →＋(1－x )AC →
，∴x ＝－y ，∴x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫
－13，0.
已知a ，b 是不共线的两个向量，AB
→＝x a ＋b ，AC →＝a ＋y b (x ，y ∈R )，若A ，B ，C 三点共线，则点
P (x ，y )的轨迹是( )
A ．直线
B ．双曲线
C ．圆
D ．椭圆 解析 ∵若A ，B ，C 三点共线，∴AB →＝λAC →
，即x a ＋b ＝λ(a ＋y b )⇒⎩⎪⎨
⎪⎧
x ＝λ，1＝λy ，⇒xy ＝1，故选B.
设a ，b 不共线，AB
→＝2a ＋p b ，BC →＝a ＋b ，CD →＝a －2b ，若A ，B ，D 三点共线，则实数p 的值为
( )。