向量的概念及运算知识点与例题讲解汇编
向量的运算与应用知识点总结
向量的运算与应用知识点总结一、向量的基本概念向量是数学中的一种重要概念，被广泛应用于各个领域的计算和问题求解中。
向量由大小和方向两个要素组成，通常用有向线段来表示。
在向量运算和应用中，我们主要涉及到向量的加法、减法、数量乘法、数量除法、点乘、叉乘等基本运算，以及向量的模、单位向量、向量的投影等应用知识点。
二、向量的运算1. 向量的加法向量的加法是将两个向量按照顺序相加得到一个新的向量，其运算规则如下：设有两个向量a和b，分别表示为a = (a₁, a₂, a₃)和b = (b₁, b₂,b₃)，则它们的和为：a +b = (a₁ + b₁, a₂ + b₂, a₃ + b₃)2. 向量的减法向量的减法是将一个向量减去另一个向量得到一个新的向量，其运算规则如下：设有两个向量a和b，分别表示为a = (a₁, a₂)和b = (b₁, b₂)，则它们的差为：a -b = (a₁ - b₁, a₂ - b₂)3. 数量乘法数量乘法即将一个向量的每个分量乘以一个常数得到一个新的向量，其运算规则如下：设有一个向量a和一个常数k，表示为a = (a₁, a₂, a₃)，则它们的数量乘积为：k * a = (k * a₁, k * a₂, k * a₃)4. 数量除法数量除法即将一个向量的每个分量除以一个非零常数得到一个新的向量，其运算规则如下：设有一个向量a和一个非零常数k，表示为a = (a₁, a₂, a₃)，则它们的数量除法为：a / k = (a₁ / k, a₂ / k, a₃ / k)5. 点乘点乘也称为数量积或内积，是两个向量之间的一种运算，其运算结果是一个标量（即实数）。
点乘的运算规则如下：设有两个向量a和b，分别表示为a = (a₁, a₂, a₃)和b = (b₁, b₂,b₃)，则它们的点乘为：a ·b = a₁ * b₁ + a₂ * b₂ + a₃ * b₃6. 叉乘叉乘也称为向量积或外积，是两个向量之间的一种运算，其运算结果是一个新的向量。
7.1向量的基本概念及其运算
ab
ab
[核心思想方法] 1、定义法 2、数形结合
3、化归与转化
[典型例题]
例1、计算 （1） 2(2a b) 7(3a b)
2 3(a 3b 3c) 5(2a 2b c)
解：（1）原式 4a 2b 21a 7b 25a 5b
（2）原式 3a 9b 9c 10a 10b 5c
证明： BD CD CB （3 e1-e2）-（-2e1-8e2）=5e1+5e2
=5（e1+e2）=5AB BD / / AB .
B点为公共点， A、B、D三点共线。
点评：根据向量平行的充要条件证明三点共线。
例5、已知a、b是两个非零向量 ，若a+3b与7a-5b垂直，a-4b与7a-2b垂直， 求a、b的夹角。
例5、已知a、b是两个非零向量 ，若a+3b与7a-5b垂直，a-4b与7a-2b垂直，
求a、b的夹角。
解：由题意得 （ (aa+-43bb）)((77aa--52bb）)=00
7a2 +16a
7a
2
30a
b
2
15b
=0
b
2
8b
=0
(1) (2)
由(1)
(2)得46a b
2
23b
0,
即b2 =2a
3）平行向量：
如果两个向量 a, b 的方向相同或相反， 则把这一对向量叫做平行向量。 记作 a / /b. 平行向量也叫共线向量。 规定零向量平行于任意向量。
4）共面向量： 如果把几个向量的始点移到某个平面，它们的终点也都在这个平面内，
把这些向量叫做共面向量。
如果两个向量 a, b 不共线，则向量 c与向量 a, b 共面的充要条件是：
向量知识点及题型总结
向量知识点及题型总结一、向量的定义和性质1. 向量的定义：向量是具有大小和方向的量，用箭头来表示。
2. 向量的性质：- 向量的模长：向量的大小，用 ||a|| 表示，是向量的长度。
- 向量的方向：指向的方向，可以用夹角来表示。
- 向量的相等：如果两个向量的模长相等并且方向相同，那么这两个向量是相等的。
- 零向量：模长为0的向量，表示为0。
二、向量的表示及运算1. 向量的表示方式：- 平面向量：即二维向量，用坐标表示；例如向量 a = (a1, a2)。
- 空间向量：即三维向量，用坐标表示；例如向量 a = (a1, a2, a3)。
2. 向量的基本运算：- 向量的加法：向量相加就是对应分量相加；例如 a + b = (a1 + b1, a2 + b2)。
- 向量的减法：向量相减就是对应分量相减；例如 a - b = (a1 - b1, a2 - b2)。
- 向量的数量乘法：向量乘以一个数，就是将向量每个分量都乘以这个数；例如 k * a = (k * a1, k * a2)。
- 向量的点乘：向量的点乘又称数量积，是两个向量对应分量相乘再相加的运算；例如 a·b = a1*b1 + a2*b2。
- 向量的叉乘：向量的叉乘又称向量积，只存在于三维空间中，结果是垂直于原来两个向量的新向量；例如 a × b = (a2b3 - a3b2, a3b1 - a1b3, a1b2 - a2b1)。
三、向量的应用1. 向量的几何意义- 向量的加法和减法可以表示平移和反向平移。
- 向量的数量积可以表示两个向量的夹角和投影。
- 向量的叉乘可以表示平行四边形的面积和法向量。
2. 向量的物理意义- 位移向量：表示物体的位移和移动方向。
- 力向量：表示物体受到的力和力的方向。
- 速度向量：表示物体的速度和运动方向。
- 加速度向量：表示物体的加速度和加速方向。
四、向量的题型1. 向量的基本运算题型- 求向量的模长和方向。
高中数学必修4平面向量知识点总结与典型例题归纳汇编
平面向量【基本概念与公式】【任何时候写向量时都要带箭头】1. 向量：既有大小又有方向的量。
记作： AB 或a 。
42. 向量的模：向量的大小（或长度），记作：|AB|或|a|。
4 ・3. 单位向量：长度为1的向量。
若e 是单位向量，则|e|=1。
II444. 零向量：长度为0的向量。
记作：0。
【0方向是任意的，且与任意向量平行】5. 平行向量（共线向量）：方向相同或相反的向量。
6. 相等向量：长度和方向都相同的向量。
7. 相反向量：长度相等，方向相反的向量。
AB =-BA 。
9. 平行四边形法则：以a,b 为临边的平行四边形的两条对角线分别为 a b ，a - b 。
10. 共线定理：a - b 二 a / /b 。
当二0 时，a 与b 同向；当.0 时，a 与b 反向。
11. 基底：任意不共线的两个向量称为一组基底。
12. 向量的模：若 a = （x, y ），则 | a| = x 2 y 2， a =| aa b13. 数量积与夹角公式： a b =| a | | b | co^ ； COST|a||b|14. 平行与垂直： a//b= a = ■ b= %y 2 = x 2y 1 ； a _ a b = 0= %x 2 y )y 2 = 0 题型1.基本概念判断正误（1）共线向量就是在同一条直线上的向量。
（2）若两个向量不相等，则它们的终点不可能是同一点。
（3） 与已知向量共线的单位向量是唯一的。
（4）四边形ABCD 是平行四边形的条件是（5）若AB =CD ，则A B 、C 、D 四点构成平行四边形。
AB BC =AC ； AB BC CD DE =AE ； AB - AC =CB （指向被减数）8.三角形法则:(7)若ma = mb，贝U a = b。
（6）若a与b共线，b与C共线，则a与C共线。
更多精品文档题型2.向量的加减运算 1.设a 表示"向东走8km" , b 表示"向北走 6km ” ,则| a ■ b |= 2•化简(AB MB) (BO BC) OM3.已知I OAI = 5 , |OB I = 3,则I AB I 的最大值和最小值分别为35.已知点C 在线段AB 上，且AC AB ,则AC 二—BC , AB =5—题型3.向量的数乘运算1.计算：2(2； 5【-3(?) 1斗2.已知 a = (1, -4), b 二(-3,8)，则 3a -一 b 二2题型4根据图形由已知向量求未知向量 1.已知在ABC 中，D 是BC 的中点，请用向量忑兀表示AD 。
向量知识点总结
向量知识点总结一、向量的概念1. 向量的定义向量是有大小和方向的量，通常用箭头或字母表示，例如AB或a。
向量的大小叫做模，通常用||a||表示。
2. 向量的表示(a1, a2, ..., an)可以表示一个n维的向量，其中a1, a2, ..., an分别表示向量在各个坐标轴方向上的分量。
3. 向量的相等两个向量相等的充分必要条件是它们的模相等，并且各个对应的分量相等。
二、向量的运算1. 向量的加法若A(x1, y1)和B(x2, y2)是平面上两个向量，那么A+B=(x1+x2, y1+y2)表示两个向量的和。
2. 向量的数量积设向量A(x1, y1)和B(x2, y2)，则A·B=x1*x2+y1*y2称为向量A与向量B的数量积。
数量积的值等于A的长度与B在A方向上的投影的长度之积。
3. 向量的向量积设向量A(x1, y1, z1)和B(x2, y2, z2)，则A×B=(y1z2-z1y2, z1x2-x1z2, x1y2-y1x2)称为向量A与向量B的向量积。
向量积的模等于A与B所在的平行四边形的面积。
4. 向量的数量积和向量积的区别数量积是标量，向量积是向量；数量积是满足交换律的，向量积不满足交换律。
三、向量的线性运算1. 向量的线性组合若a1, a2, ..., an是n个向量，c1, c2, ..., cn是n个数，那么c1a1+c2a2+...+cna_n称为向量a1, a2, ..., an的线性组合。
2. 线性相关与线性无关如果方程c1a1+c2a2+...+cna_n=0有非零解，那么向量a1, a2, ..., an成为线性相关；如果方程c1a1+c2a2+...+cna_n=0只有零解，那么向量a1, a2, ..., an成为线性无关。
3. 线性相关与线性无关性质如果n个向量线性相关，那么它的某一个部分线性相关；如果n个向量线性无关，那么它的任何部分都是线性无关的。
向量高数知识点总结
向量高数知识点总结一、向量的概念向量是指既有大小又有方向的量。
在数学上，向量可以用有序数对表示，这个有序数对就是向量的坐标表示。
例如，一个二维向量可以表示为(a,b)，其中a和b分别代表向量在x轴和y轴上的分量；一个三维向量可以表示为(a,b,c)，类似地，a、b、c分别代表向量在x、y、z轴上的分量。
在物理学中，向量的概念也是非常重要的，比如力、速度等都是向量。
二、向量的基本运算1. 向量的加法向量的加法是指两个向量相加的运算。
如果有两个向量a和b，它们的加法运算可以表示为a+b，即将a和b的对应分量相加得到新的向量。
2. 向量的数乘向量的数乘是指一个向量与一个标量相乘的运算。
如果有一个向量a和一个实数k，它们的数乘运算可以表示为ka，即将a的每个分量都乘以k得到新的向量。
3. 向量的减法向量的减法可以通过向量的加法和数乘来表示，即a-b = a+(-1)*b。
三、线性相关与线性无关1. 线性相关如果存在不全为零的实数k1、k2、...、kn，使得向量组中的向量v1、v2、...、vn满足关系式k1*v1+k2*v2+...+kn*vn=0，那么称向量组v1、v2、...、vn是线性相关的。
这就意味着向量组中的某一个向量可以表示为其他向量的线性组合。
2. 线性无关如果向量组中的向量v1、v2、...、vn不是线性相关的，即不存在不全为零的实数k1、k2、...、kn，使得k1*v1+k2*v2+...+kn*vn=0，那么称向量组v1、v2、...、vn是线性无关的。
线性相关与线性无关是线性代数中非常重要的概念，它和矩阵的秩有关系，而矩阵的秩又在模型拟合、降维处理等领域有着重要的应用。
四、向量的线性组合和向量空间1. 向量的线性组合如果有向量组v1、v2、...、vn和实数k1、k2、...、kn，那么k1*v1+k2*v2+...+kn*vn就是向量v1、v2、...、vn的线性组合。
线性组合可以用来表示向量的线性关系，它在数学建模中有着重要的应用。
初中数学知识归纳向量的概念与向量的运算
初中数学知识归纳向量的概念与向量的运算初中数学知识归纳：向量的概念与向量的运算向量是数学中重要的概念之一，它在几何、物理和计算机科学等领域发挥着重要的作用。
了解向量的概念及其运算规则对于初中数学学习来说至关重要。
本文将对初中数学中的向量概念和向量的运算进行归纳总结。
一、向量的概念向量是有大小和方向的量，常用有向线段表示。
向量通常用大写字母表示，如A、B。
向量的大小称为向量的模，用|AB|表示。
向量的方向可以用箭头表示，指向向量的方向。
一个向量可以由起点和终点表示，如向量AB。
向量的起点称为原点，向量的终点称为终点。
二、向量的运算1. 向量的相加向量的相加是指两个向量相互叠加的运算。
设有向量AB和向量CD，则向量AB+CD的结果是从向量A的起点到向量D的终点所得的新向量。
2. 向量的相减向量的相减是指两个向量相互抵消的运算。
设有向量AB和向量CD，向量AB-CD的结果是从向量A的起点向向量D的相反方向延长所得的新向量。
3. 数乘数乘是指将一个向量与一个实数相乘的运算。
设有向量AB和实数k，则k*AB的结果是长度为k倍的向量，其方向与向量AB相同（当k>0时）或相反（当k<0时）。
4. 向量的数量积向量的数量积也称为向量的点乘，记作AB·CD。
向量的数量积满足以下运算规则：- AB·CD = |AB| |CD| cosθ，其中θ为向量AB和向量CD之间的夹角。
- 如果两个向量的数量积为0，即AB·CD=0，则向量AB与向量CD垂直。
5. 向量的向量积向量的向量积也称为向量的叉乘，记作AB×CD。
向量的向量积满足以下运算规则：- |AB×CD| = |AB| |CD| sinθ，其中θ为向量AB和向量CD之间的夹角。
- 向量AB与向量CD的向量积垂直于向量AB和向量CD所在的平面，并且其方向满足右手定则。
三、向量的应用向量的概念与运算在几何、物理和计算机科学等领域有着广泛的应用。
向量知识点与公式总结
向量知识点与公式总结一、向量的基本概念1. 向量的定义：向量是具有大小和方向的物理量，通常用一个箭头表示，箭头的长度代表向量的大小，箭头的方向代表向量的方向。
2. 向量的表示：通常用字母加上一个箭头表示向量，如a、b、c等，也可以用粗体字母表示向量，如a、b、c等。
3. 向量的模：向量的大小叫做模，通常用|a|表示，表示向量a的大小。
4. 向量的方向：向量的方向是指向量所在的直线的方向。
通常用角度来表示，如θ，表示与x轴的夹角。
5. 坐标表示：向量也可以用坐标来表示，如(a₁, a₂, a₃)表示三维空间中的一个向量。
6. 零向量：大小为零的向量叫做零向量，通常用0表示。
7. 平行向量：如果两个向量的方向相同或者相反，那么它们就是平行向量。
8. 共线向量：如果两个向量在同一条直线上，那么它们就是共线向量。
二、向量的运算1. 向量的加法：向量的加法是指将两个向量的相应分量相加得到一个新的向量。
表示为a + b = c，其中c的分量是a和b的分量相加得到的。
2. 向量的减法：向量的减法是指将一个向量的分量减去另一个向量的分量得到一个新的向量。
表示为a - b = c，其中c的分量是a和b的分量相减得到的。
3. 向量的数量乘法：向量的数量乘法是指将一个向量的每个分量乘以一个数量得到一个新的向量。
表示为ka = b，其中b的分量是a的每个分量乘以k得到的。
4. 内积：两个向量a和b的内积表示为a·b，它等于a与b的模的乘积与它们的夹角的余弦值的乘积。
内积的计算公式为a·b = |a||b|cosθ。
5. 外积：两个向量a和b的外积表示为a×b，它等于一个新的向量，它的大小等于a与b 所构成的平行四边形的面积，方向垂直于a和b所构成的平面。
三、向量的性质1. 方向性：向量有方向性，即向量的方向是它的一个重要特征。
2. 大小性：向量有大小性，即向量有模，它的大小可以用模来表示。
高中向量知识点总结简要
高中向量知识点总结简要一、向量的概念1、向量的基本概念向量是一个有大小和方向的量，通常用箭头或者有向线段表示，向量的大小叫做模，记作|a|或a，其方向表示向量的指向。
两个有相同模和方向的向量是相等的，称之为零向量。
在空间直角坐标系中，向量可以表示为一个元素是实数的有序数组。
2、向量的性质(1) 相等的向量具有相同的大小和方向。
(2) 向量的加法满足交换律和结合律。
(3) 向量的数乘即一个向量与一个数的乘积，也满足分配律。
3、单位向量单位向量指模为1的向量，通常用字母e加方向符号表示。
4、零向量向量的大小为零，方向不定。
5、向量的相等向量完全相等（具有相同的大小和方向）时，称为相等。
符号：→AC=→BD。
6、向量的夹角(1) 向量的夹角是指两个向量之间的夹角。
向量夹角的余弦公式：cosθ=→a•→b/|→a||→b|。
(2) 向量的夹角为0时，两个向量为共线向量，夹角为90度时，两个向量垂直。
7、向量的模向量的模是向量的大小，表示为向量的长度。
在直角坐标系中，向量的大小可以用勾股定理来求解。
8、向量的方向角向量必须与坐标轴的正方向所成的角，叫做向量的方向角。
向量的方向角是α、β、γ三组件角所确定的。
9、向量的三角形定理向量的三角形定理即两边和等于第三边，两个向量相加之后的结果是第三个向量。
二、向量的坐标表示1、二维坐标系中的向量表示二维空间中的一个向量可以表示为(x,y)，表示向量在坐标系中的横纵坐标。
2、三维坐标系中的向量表示三维空间中的一个向量可以表示为(x,y,z)，由三个有序数组成。
三、向量的运算1、向量的加法两个向量相加等于将两个向量的对应分量相加，即(a,b)+(c,d)=(a+c, b+d)。
2、向量的减法两个向量相减等于将两个向量的对应分量相减，即(a,b)-(c,d)=(a-c, b-d)。
3、向量的数乘向量a与实数k相乘，等于将a的每个分量乘以k，即k•(a,b)=(ka, kb)。
高考向量的概念与运算
向量的概念与运算一、知识网络二、高考考点1、对于向量的概念，高考的考点主要是两向量平行（即共线）的判定以及两向量共线的基本定理的运用，多以选择题或填空题的形式出现。
2、对于向量的运算，向量的数量积及其运算是向量的核心内容，对此，高考的考点主要是：（1）向量的加法、减法的几何意义与坐标表示的应用；（2）向量共线的充要条件的应用；（3）向量垂直的充要条件的应用；（4）向量的夹角的计算与应用；（5）向量的模的计算，关于向量的模的等式的变形与转化，关于向量的模的不等式的认知与转化。
3、线段的定比分点线或平移问题。
4、以向量为载体的三角求值或图象变换问题，以向量为载体的函数或解析几何问题（多以解答题的形式出现）。
三、知识要点（一）向量的概念1、定义（1）向量：既有大小又有方向的量叫做向量。
（2）向量的模：向量的大小（即长度）叫做向量的模，记作。
特例：长度为0的向量叫做零向量，记作；长度为1的向量叫做单位向量.（3）平行向量（共线向量）：一般定义：方向相同或相反的非零向量叫做平行向量，平行向量也叫做共线向量.特殊规定：与任一向量平行（即共线）.（4）相等向量：长度相等且方向相同的向量叫做相等向量。
零向量与零向量相等。
认知：向量的平移具有“保值性”。
2、向量的坐标表示（1）定义：在直角坐标系内，分别取与x轴、y轴正方向相同的两个单位向量、作为基底，任作一个向量 ,则由平面向量基本定理知，有且只有一对实数x，y使得，将有序实数对（x,y）叫做向量的坐标，记作；并将叫做向量的坐标表示。
（2）认知：相等的向量，其坐标也相同，反之成立。
（二）向量的运算1、向量的加法2、向量的减法3、实数与向量的积（1）定义（2）实数与向量的积的运算律：（3）平面向量的基本定理：如果是同一面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量，有且只有一对实数1，2使，这两个不共线的向量叫做表示这一平面内所有向量的一组基底。
（4）向量共线的充要条件：（i）向量与非零向量共线有且只有一个实数使（ii）设则：4、向量的数量积（内积）（1）定义：（i）向量的夹角：已知两个非零向量和，作叫做向量与的夹角。
向量知识点归纳
向量知识点归纳向量，在数学和物理学中起着重要的作用。
它是平面几何和立体几何研究的基础，也是物理学中描述力和速度等物理量的必备工具。
本文将就向量的概念、运算法则以及在几何和物理中的应用等方面进行归纳总结。
一、向量的概念向量是有大小和方向的量，通常用有向线段来表示。
向量记作A→或A→，其中A表示向量起点，A表示向量本身。
向量可以用坐标表示，例如坐标为(A, A)的向量记作(A, A)→。
向量有负数，零向量和单位向量等特殊情况。
二、向量的运算法则1. 向量的加法：向量的加法仍然是向量。
向量A→和A→的和记作A→+A→，求和的方法是将两个向量的起点连接起来，然后连接向量的终点，所得线段的方向与第一个向量相同，长度等于两个向量长度之和。
2. 向量的减法：向量的减法实际上就是加上一个相反数。
向量A→和A→的差记作A→−A→，即A→+（−A→）。
求差的方法是将向量A→取负号后，按照向量的加法规则进行运算。
3. 数量乘法：向量与实数之间的乘法。
若A→为一个向量，A为实数，则数量乘法的结果为AA→，即将向量的长度乘以实数，并沿原来的方向延长或缩短。
4. 数量积（点积）：又称内积或数量积。
向量A→和A→的数量积记作A→·A→或(A, A)。
数量积的结果是一个实数，其计算公式为A→·A→=AAAA+AAAA。
5. 向量积（叉积）：又称外积或向量积。
向量A→和A→的向量积记作A→×A→或[A, A]。
向量积的结果是一个向量，其方向垂直于向量A→和A→所在的平面，并遵循右手法则。
向量积的计算公式为：A→×A→ = (AAAA− AAAA)A→ + (AAAA− AAAA)A→ + (AAAA− AAAA)A→三、向量在几何中的应用1. 向量与平面几何：向量在平面几何中可以表示线段、直线和平面等。
两点间的向量可以用来求距离和中点，平行向量可以用来判定直线的平行和共线性，两向量的数量积可以用来判断两直线是否垂直。
向量知识点总结及讲解
向量知识点总结及讲解一、向量的基本概念1. 向量的定义在数学中，向量是有大小和方向的量。
在几何学中，向量通常表示为有向线段。
在向量中，大小通常表示为向量的长度，方向表示为向量的箭头指向。
2. 向量的表示向量可以用坐标、分量或者表示向量的起点和终点等方式来表示。
在二维空间中，可以使用(x, y)来表示向量，在三维空间中，可以使用(x, y, z)来表示。
3. 向量的相等当两个向量的大小和方向都相同时，这两个向量称之为相等向量，可以表示为AB=CD。
4. 零向量零向量是指大小为0，方向任意的向量，可以表示为0。
5. 单位向量单位向量是指大小为1的向量，可以将任意非零向量除以其大小得到单位向量。
6. 平行向量两个向量的方向相同或者相反，则这两个向量称之为平行向量，可以表示为AB∥CD。
7. 垂直向量当两个向量的夹角为90°时，这两个向量称之为垂直向量，可以表示为AB⊥CD。
8. 自由向量自由向量是指一个向量沿着平行的方向平移以后仍然保持原有性质的向量。
9. 定位向量定位向量是指起点固定在坐标原点上的向量，可以用终点的坐标表示。
二、向量的运算1. 向量加法向量加法是指将两个向量的对应分量相加，得到一个新的向量。
2. 向量减法向量减法是指将被减向量取反后与减向量进行向量加法，得到一个新的向量。
3. 向量的数量积向量的数量积，也称为点积或者内积，是指将两个向量的对应分量相乘后相加得到一个数，可以表示为a·b。
4. 向量的数量积性质（1）交换律：a·b = b·a（2）结合律：a·(b+c) = a·b + a·c（3）分配律：a·(b+c) = a·b + a·c5. 向量的数量积应用向量的数量积有很多应用，例如计算向量的模、判定向量的垂直性、计算夹角等。
6. 向量的向量积向量的向量积，也称为叉积或者外积，是指将两个向量的对应分量相乘后得到一个新的向量。
向量知识点全总结
向量知识点全总结一、向量的基本概念1.1 向量的定义向量是表示空间中有方向和大小的量，通常用箭头来表示。
向量可以用坐标表示，也可以用物理量的大小和方向表示。
1.2 向量的性质（1）相等性质：两个向量相等，当且仅当它们的大小相等并且方向相同。
（2）零向量：大小为0的向量称为零向量。
（3）负向量：一个向量的方向与另一个向量相反，并且大小相同，那么这个向量就是另一个向量的负向量。
1.3 向量的表示向量可以用坐标表示，一般表示为 (x，y) 或 (x，y，z)。
也可以用物理量的大小和方向表示。
1.4 向量的运算（1）向量的加法：向量a加上向量b得到向量c，即a＋b=c，也可以表示为c＝a+b。
（2）向量的减法：向量a减去向量b得到向量c，即a－b=c，也可以表示为c＝a-b。
（3）向量的数乘：一个向量乘以一个实数k，得到一个新的向量，大小和原向量的方向相同。
1.5 向量的线性运算（1）向量的线性组合：给定向量α1，α2，···，αn及标量k1，k2，···，kn，它们的线性组合是指表达式k1α1+k2α2+···+knαn ，其中k1，k2，···，kn 是任意实数。
（2）基底：如果空间里的所有向量都可以由向量组β1，β2，···，βn的线性组合组成，那么向量组β1，β2，···，βn被称为空间的一组基底。
1.6 向量的模向量的模表示向量的大小，通常用|v|表示。
对于二维向量(x，y)和三维向量(x，y，z)，向量的模可以表示为：|v|=√(x^2+y^2) （二维）|v|=√(x^2+y^2+z^2) （三维）1.7 向量的方向向量的方向是指向量的朝向。
可以用夹角来表示向量的方向。
1.8 单位向量模为1的向量称为单位向量。
1.9 向量的投影向量a在向量b上的投影是向量a在向量b上的正交投影。
高一向量知识点总结及例题
高一向量知识点总结及例题一、向量的概念1. 向量的定义：有向线段叫做向量向量的定义：具有大小和方向的量称为向量2. 向量的表示：一般用小写英文字母加上上方有箭头的符号表示向量，如a→（读作“a矢”）表示一个向量3. 特殊向量：零向量，单位向量零向量：方向任意，但模长为零的向量称为零向量，用0→表示单位向量：模长为1的向量称为单位向量4. 向量的性质：平行向量，共线向量二、向量的运算1. 向量的加法：平行四边形法则平行四边形法则：以向量的起点为顶点，则向量和为以这些向量为对角线的平行四边形的对角线。
2. 向量的减法：a-b=a+(-b)为a的负向量3. 向量的数乘：数c与向量a的积c倍c→4. 向量的夹角：若两向量a→和b→不共线，那么定义a→与b→的夹角α为0°≤α≤180°5. 向量的数量积：a•b=|a|•|b|•cosα6. 向量的数量积性质：（1）交换律：a•b=b•a（2）数量积的分配律：a•(b+c)=a•b+a•c（3）数量积的数乘结合律：(ca)•b=c(a•b)（4）|a•b|=|a|•|b|•cosα三、向量的坐标表示1，平面直角坐标系中的向量：（x1,y1）和（x2,y2）两点的向量为向量（x2-x1，y2-y1）2，向量的坐标与分解3，向量的坐标方向四、向量的应用1. 向量的应用：力，速度，位移2. 大小及方向的确定3. 用向量平行四边形的基本性质判定四边形的形状4. 向量的共线和共面例题：例1. 设向量a=(3,5)和向量b=(-2,4)，求向量a-b和向量b-a的坐标。
解：a-b=a+(-b)=（3,5）+(-2,-4) =(3-(-2),5-4)=(5,1)同理，b-a=b+(-a)=(-2,4)+(3,5)=(-2-3,4-5)=(-5,-1)例2：设a和b是非零向量，若|a•b|=|a|•|b|，则a、b的夹角取值为（）。
A. 45°B. 90°C. 135°D. 180°解：|a•b|=|a|•|b|cosα ，|a•b|=|a|•|b|时，cosα=1，所以α=0°。
向量知识点与公式总结
向量知识点与公式总结向量是数学中常见的概念，广泛应用于几何、物理、工程等领域。
在几何中，向量可以表示方向和大小，而在物理和工程中，向量可用于描述物体的位移、力和速度等概念。
本文将对向量的基本概念、运算法则以及常见公式进行总结。
一、向量的基本概念1. 向量的定义：向量是由大小和方向共同决定的，并且在平行移动下具有相同效果的量。
向量通常用字母加上箭头表示，如a。
例如，一个位移向量表示从起点到终点的位移距离和方向。
2. 向量的表示：向量可以用坐标表示，也可以用行列式表示。
在坐标表示中，向量通常以一个起点和一个终点表示，用终点的坐标减去起点的坐标，得到向量的坐标。
在行列式表示中，向量被表示为一个一维数组。
3. 向量的性质：向量具有方向、大小和平移性质。
向量的方向可以用角度或方向余弦表示，大小可以用模长表示，平移性质表示向量的平移不会改变其大小和方向。
二、向量的运算法则1. 向量的加法：向量的加法满足交换律和结合律。
即对于任意的向量a、b和c，有a + b = b + a和(a + b) + c = a + (b + c)。
2. 向量的减法：向量的减法等于其加法的逆运算，即a - b = a + (-b)。
其中，-b表示向量b的反方向和相同大小的向量。
3. 向量的数乘：向量的数乘满足分配律和结合律。
即对于任意的标量k和向量a、b，有k(a + b) = ka + kb和(kl)a = k(la)。
4. 向量的数量积：向量的数量积也称为点乘，它是两个向量的模长乘积与它们夹角的余弦值的乘积。
两个向量a和b的数量积表示为a · b = |a||b|cosθ，其中θ表示a和b之间的夹角。
5. 向量的向量积：向量的向量积也称为叉乘，它是两个向量的模长乘积与它们之间的夹角的正弦值的乘积。
两个向量a和b的向量积表示为a × b = |a||b|sinθn，其中θ表示a和b之间的夹角，n 表示垂直于a和b所在平面的单位向量。
高中向量知识点总结
高中向量知识点总结一、向量的基本概念1. 向量：具有大小和方向的量，可以表示空间中的位移、速度等。
2. 向量的表示：用带箭头的线段表示，箭头方向表示向量的方向，线段长度表示向量的大小。
3. 向量的分类：有序实数对、有序三元组、复数向量等。
二、向量的运算1. 加法：两个向量相加，结果向量的模长等于原向量模长的和，方向与两个原向量相同。
2. 减法：两个向量相减，结果向量的模长等于原向量模长的差，方向与被减向量相同。
3. 数乘：向量与实数的乘积，结果向量的模长等于原向量的模长乘以实数的绝对值，方向与原向量相同。
4. 向量与向量的数量积：两个向量的模长相乘再乘以它们的夹角的余弦值。
5. 向量的几何意义：向量的模长表示向量的大小，向量的方向表示夹角。
三、平面向量1. 平面向量的基本概念：平面上的向量，包括有序实数对和有序三元组。
2. 平面向量的运算：加法、减法、数乘、几何意义等。
3. 平面向量的应用：几何、物理、计算机图形学等领域。
四、空间向量1. 空间向量的基本概念：空间中的向量，包括有序实数对、有序三元组和复数向量。
2. 空间向量的运算：加法、减法、数乘、几何意义等。
3. 空间向量的应用：几何、物理、计算机图形学、机器人等领域。
五、向量与解析几何1. 解析几何中的向量：用于表示点、线、面的位置和方向。
2. 向量在解析几何中的应用：求解直线、圆、椭圆等几何图形的方程。
3. 解析几何中的向量运算：向量加法、向量数乘、向量夹角、向量模长等。
六、向量与概率1. 随机向量：具有随机性和方向性的向量。
2. 概率向量：用于表示随机变量，包括离散型和连续型随机变量。
3. 向量在概率中的应用：用于表示多元随机变量、边缘分布、条件概率等。
七、向量与其他数学领域1. 向量与线性代数：向量空间、线性变换、矩阵与向量的关系等。
2. 向量与微积分：求解微分方程、积分方程等。
3. 向量与计算机科学：图形学、计算几何、机器人等。
以上为高中向量知识点总结，实际学习过程中还需注重实践操作、实验技能的培养以及解决实际问题的能力。
小学数学知识点向量的概念与运算
小学数学知识点向量的概念与运算在小学数学中，向量是一个重要的概念。
它不仅帮助我们描述物体的方向和大小，还可以用来解决一些几何问题。
下面，我们将介绍向量的基本概念和运算方法。
一、向量的概念向量是有大小和方向的量，通常用箭头来表示。
在平面几何中，向量可以用有序数对 (a, b) 来表示，其中 a 和 b 分别表示向量在 x 轴和 y 轴上的分量。
例如，向量 (3, 4) 的 x 分量为 3，y 分量为 4，表示从原点出发，向右移动 3 个单位，向上移动 4 个单位。
二、向量的运算1. 向量的加法向量的加法满足交换律和结合律。
设有向量 a = (a1, a2) 和向量 b = (b1, b2)，则它们的和为 c = (a1 + b1, a2 + b2)。
例如，向量 a = (2, 3) 和向量 b = (1, -2) 的和为 c = (2 + 1, 3 + (-2)) = (3, 1)。
2. 向量的数乘向量的数乘即将向量的每个分量乘以一个实数。
设有向量 a = (a1,a2) 和一个实数 k，则它们的数乘为 c = (ka1, ka2)。
例如，向量 a = (2, 3) 乘以 2 的结果为 c = (2 × 2, 2 × 3) = (4, 6)。
3. 向量的减法向量的减法可以通过向量的加法和数乘来实现。
设有向量 a 和向量b，它们的差为 c = a + (-1) × b。
例如，向量 a = (2, 3) 和向量 b = (1, -2)的差为 c = (2, 3) + (-1) × (1, -2) = (2, 3) + (-1 × 1, -1 × (-2)) = (2, 3) + (-1, 2) = (2 + (-1), 3 + 2) = (1, 5)。
4. 向量的数量积向量的数量积又称为点积或内积，它满足交换律和分配律。
设有向量 a = (a1, a2) 和向量 b = (b1, b2)，则它们的数量积为 c = a1 × b1 + a2 ×b2。
向量知识点梳理解读
向量知识点梳理解读向量是数学中一种重要的概念，广泛应用于几何、物理和工程等领域。
本文将对向量的基本概念、向量的表示方法、向量的运算以及向量的应用等知识点进行梳理和解读。
一、向量的基本概念向量是指既有大小又有方向的量，通常用有向线段表示。
向量由起点和终点两个点确定，起点表示向量的起始位置，终点表示向量的结束位置。
向量常用小写字母加箭头表示，如a→。
二、向量的表示方法1.零向量零向量表示长度为零的向量，常用0→表示。
它的起点和终点重合，没有方向。
2.向量的模向量的模表示向量的长度，通常用，a→，表示，计算方法为向量的起点与终点之间的距离。
3.向量的方向角向量的方向角表示向量与一些参考轴（通常为x轴）之间的夹角，计算方法为正切函数的反函数。
4.单位向量单位向量是模为1的向量，可以通过将一个非零向量除以其模得到。
单位向量的方向与原向量相同。
5.倾斜向量倾斜向量是指起点与终点不在一条直线上的向量。
6.平行向量平行向量是指方向相同或相反的向量。
如果两个向量的方向相同，它们可以表示同一物理量的不同方向；如果两个向量的方向相反，它们可以表示相反的物理量。
三、向量的运算1.向量的加法向量的加法是指将两个向量的起点相连，以第一个向量的终点与第二个向量的起点相连，新向量的起点是第一个向量的起点，终点是第二个向量的终点。
2.向量的减法向量的减法是指将第二个向量取负后与第一个向量做加法。
3.向量的数乘向量的数乘是指将一个向量的长度乘以一个标量，得到一个新的向量。
4.向量的数量积数量积是指将两个向量的模相乘再乘以它们的夹角的余弦值，得到一个标量。
数量积的结果是一个标量而不是一个向量。
5.向量的向量积向量积是指将两个向量叉乘得到一个新的向量。
向量积的结果是一个向量而不是一个标量。
四、向量的应用向量在几何、物理和工程等领域中有广泛的应用。
1.几何应用向量可以用来表示点、线段、直线、平面等几何元素，进行几何运算和证明。
2.物理应用向量可以用来表示物体的位移、速度、加速度等物理量，并进行相关的物理计算。
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向量的概念及运算知识点与例题讲解【基础知识回顾】1．向量的概念①向量既有大小又有方向的量。
向量一般用c b a ,,……来表示，或用有向线段的起点与终点的大写字母表示，如：AB 几何表示法AB ，a ；坐标表示法),(y x j y i x a =+= 。
向量的大小即向量的模（长度），记作|AB |即向量的大小，记作｜a |。
向量不能比较大小，但向量的模可以比较大小②零向量长度为0的向量，记为0 ，其方向是任意的，0 与任意向量平行零向量a ＝0 ⇔｜a ｜＝0。
由于0的方向是任意的，且规定0平行于任何向量，故在有关向量平行（共线）的问题中务必看清楚是否有“非零向量”这个条件。
（注意与0的区别）③单位向量模为1个单位长度的向量，向量0a 为单位向量⇔｜0a｜＝1。
④平行向量（共线向量）方向相同或相反的非零向量。
任意一组平行向量都可以移到同一直线上，方向相同或相反的向量，称为平行向量，记作a ∥b 。
由于向量可以进行任意的平移(即自由向量)，平行向量总可以平移到同一直线上，故平行向量也称为共线向量。
数学中研究的向量是自由向量，只有大小、方向两个要素，起点可以任意选取，现在必须区分清楚共线向量中的“共线”与几何中的“共线”、的含义，要理解好平行向量中的“平行”与几何中的“平行”是不一样的⑤相等向量长度相等且方向相同的向量相等向量经过平移后总可以重合，记为b a =。
大小相等，方向相同),(),(2211y x y x =⎩⎨⎧==⇔2121y y x x 。
2．向量的运算（1）向量加法求两个向量和的运算叫做向量的加法设,AB a BC b ==，则a +b =AB BC +=AC 。
规定： （1）a a a =+=+00；（2）向量加法满足交换律与结合律；向量加法的“三角形法则”与“平行四边形法则”（1）用平行四边形法则时，两个已知向量是要共始点的，和向量是始点与已知向量的始点重合的那条对角线，而差向量是另一条对角线，方向是从减向量指向被减向量。
A B C a b（2） 三角形法则的特点是“首尾相接”，由第一个向量的起点指向最后一个向量的终点的有向线段就表示这些向量的和；差向量是从减向量的终点指向被减向量的终点当两个向量的起点公共时，用平行四边形法则；当两向量是首尾连接时，用三角形法则。
向量加法的三角形法则可推广至多个向量相加： AB BC CD PQ QR AR +++++=，但这时必须“首尾相连”。
（2）向量的减法 ①相反向量：与a 长度相等、方向相反的向量，叫做a 的相反向量 记作a -,零向量的相反向量仍是零向量。
关于相反向量有： （i ）)(a --=a ； (ii) a +(a -)=(a -)+a =0 ；(iii)若a 、b 是互为相反向量，则a =b -,b =a -,a +b =0 。
②向量减法向量a 加上b 的相反向量叫做a 与b 的差，记作：)(b a b a -+=-求两个向量差的运算，叫做向量的减法③作图法：b a -可以表示为从b 的终点指向a 的终点的向量（a 、b 有共同起点）。
（3）实数与向量的积 ①实数λ与向量a 的积是一个向量，记作λa ，它的长度与方向规定如下： （Ⅰ）a a⋅=λλ； （Ⅱ）当0>λ时，λa 的方向与a 的方向相同；当0<λ时，λa 的方向与a 的方向相反；当0=λ时，0 =a λ，方向是任意的。
②数乘向量满足交换律、结合律与分配律3．两个向量共线定理：向量b 与非零向量a 共线⇔有且只有一个实数λ，使得b =a λ。
4．平面向量的基本定理如果21,e e 是一个平面内的两个不共线向量，那么对这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数21,λλ使：2211e e a λλ+=其中不共线的向量21,e e 叫做表示这一平面内所有向量的一组基底5．平面向量的坐标表示（1）平面向量的坐标表示：在直角坐标系中，分别取与x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量,i j 作为基底由平面向量的基本定理知，该平面内的任一向量a 可表示成a xi yj =+，由于a 与数对(x,y)是一一对应的，因此把(x,y)叫做向量a 的坐标，记作a =(x,y)，其中x 叫作a 在x 轴上的坐标，y 叫做在y 轴上的坐标。
规定：（1）相等的向量坐标相同，坐标相同的向量是相等的向量；（2）向量的坐标与表示该向量的有向线段的始点、终点的具体位置无关，只与其相对位置有关系。
（2）平面向量的坐标运算：①若()()1122,,,a x y b x y ==，则()1212,a b x x y y ±=±±；②若()()2211,,,y x B y x A ，则()2121,AB x x y y =--；③若a =(x,y)，则λa =(λx, λy)；④若()()1122,,,a x y b x y ==，则1221//0a b x y x y ⇔-=。
【思考·提示】数学教材是学习数学基础知识、形成基本技能的“蓝本”,能力是在知识传授和学习过程中得到培养和发展的。
新课程试卷中平面向量的有些问题与课本的例习题相同或相似，虽然只是个别小题，但它对学习具有指导意义，教学中重视教材的使用应有不可估量的作用。
因此，学习阶段要在掌握教材的基础上把各个局部知识按照一定的观点和方法组织成整体，形成知识体系。
学习本章主要树立数形转化和结合的观点，以数代形，以形观数，用代数的运算处理几何问题，特别是处理向量的相关位置关系，正确运用共线向量和平面向量的基本定理，计算向量的模、两点的距离等。
由于向量是一新的工具，它往往会与三角函数、数列、不等式、解几等结合起来进行综合考查，是知识的交汇点（1）向量的加法与减法是互逆运算；（2）相等向量与平行向量有区别，向量平行是向量相等的必要条件；（3）向量平行与直线平行有区别，直线平行不包括共线（即重合），而向量平行则包括共线（重合）的情况；（4）向量的坐标与表示该向量的有向线条的始点、终点的具体位置无关，只与其相对位置有关系【课前小测】1.设平面向量()()3,5,2,1a b ==-，则2a b -=（ ）A ．()7,3B ．()7,3--C ．10D ．-102已知向量()(),1,4,//a x b x a b ==且则的值为（ ）A. 0B. 2C. 4 或－4D. 2或－23已知点A （－1，0）、B （1，3），向量()21,2a k =-，若AB a ⊥，则实数k 的值为（ ）A ．－2B ．－1C ．1D ．24已知向量()3,4a =-，向量a 与b 方向相反，且,1b a b λ==，则实数λ= ．5.已知直角梯形的顶点坐标分别为，则实数的值是 .【典例解析】题型1：平面向量的概念例1．（1）给出下列命题： ①若|a |＝|b |，则a =b ；②若A ，B ，C ，D 是不共线的四点，则AB DC =是四边形ABCD 为平行四边形的充要条件； ③若a =b ，b =c ，则a =c ；④a =b 的充要条件是|a |=|b |且a //b ；⑤ 若a //b ，b //c ，则a //c ；其中正确的序号是 。
（2）设0为单位向量，（1）若为平面内的某个向量，则=||·0;(2)若与a 0平行，则=||·0；（3）若a 与0a 平行且|a |=1，则a =0a 。
上述命题中，假命题个数是（ ）A ．0B ．1C ．2D ．3解析：（1）①不正确．两个向量的长度相等，但它们的方向不一定相同；②正确；∵ AB DC =，∴ ||||AB DC =且//AB DC ，又 A ，B ，C ，D 是不共线的四点，∴ 四边形 ABCD 为平行四边形；反之，若四边形ABCD 为平行四边形，则，//AB DC 且||||AB DC =，因此，AB DC =。
③正确；∵ a =b ，∴ a ，b 的长度相等且方向相同；又b ＝c ，∴ b ，c 的长度相等且方向相同，∴ a ，c 的长度相等且方向相同，故a ＝c 。
④不正确；当a //b 且方向相反时，即使|a |=|b |，也不能得到a =b ，故|a |=|b |且a //b 不是a =b 的充要条件，而是必要不充分条件；⑤不正确；考虑b =0这种特殊情况；综上所述，正确命题的序号是②③。
点评：本例主要复习向量的基本概念。
向量的基本概念较多，因而容易遗忘。
为此，复习时一方面要构建良好的知识结构，另一方面要善于与物理中、生活中的模型进行类比和联想。
（2）向量是既有大小又有方向的量，与||0模相同，但方向不一定相同，故（1）是假命题；若与0平行，则与0方向有两种情况：一是同向二是反向，反向时=－||0，故（2）、（3）也是假命题。
综上所述，答案选D 。
点评：向量的概念较多，且容易混淆，故在学习中要分清，理解各概念的实质，注意区分共线向量、平行向量、同向向量等概念。
题型2：平面向量的运算法则例2．如图所示，在平行四边形ABCD 中，下列结论中错误的是（C ）A. =B. =+C. =-D. + =0变式1.如图所示，D 是△ABC 的边AB 上的中点，则向量等于 （ A ）A. 21+-B. 21--C. 21- D. BA BC 21+2.下列各命题中，真命题的个数为 （D ）①若|a|=|b|，则a=b 或a=-b ；②若=，则A 、B 、C 、D 是一个平行四边形的四个顶点；③若a=b,b=c ，则a=c;④若a ∥b,b ∥c,则a ∥c.A.4B.3C.2D.13.在四边形ABCD 中，=a+2b ， =-4a-b ， =-5a-3b ，其中a ，b 不共线，则四边形ABCD 为（A ）A.梯形B.平行四边形C.菱形D.矩形4.在△ABC 中，D 、E 分别为BC 、AC 边上的中点，G 为BE 上一点，且GB=2GE ，设=a ，=b ，试用a 、b 表示AD ,AG ， .5.设P 是△ABC 所在平面内的一点，2=+，则 （ B ）A. =+0B. =+P 0C. =+P 0D. =++P 06．已知向量)3,1(=a ，)0,2(-=b ，则|+|=_____________________.【答案】２ 【解析】由(1,3),||13 2.a b a b +=-∴+=+=。
已知平面向量a =,1x （），b =2,x x （－）， 则向量+a b ( ) A 平行于x 轴B.平行于第一、三象限的角平分线C.平行于y 轴D.平行于第二、四象限的角平分线 答案 C 解析 +a b 2(0,1)x =+,由210x +≠及向量的性质可知,C 正确. 题型3：平面向量的坐标及运算例5．已知ABC ∆中，A(2,－1)，B(3,2)，C(－3,1),BC 边上的高为AD ，求AD 。