向量的概念与线性运算
向量的概念及线性运算
向量的概念及线性运算考纲要求1.理解平面向量的概念，理解两个向量相等的含义。
2.理解向量的几何表示。
3.掌握向量数乘的运算及其几何意义，理解两个向量共线的含义。
一、必备知识1.向量的相关概念（1）向量的定义：既有又有的量叫做向量。
（2）向量的长度：表示AB的长度，即AB的大小叫做AB的长度或称为AB的模，的向量叫做零向量，记作0，的向量叫做单位向量。
（3）平行向量：方向或的向量叫做平行向量。
规定：0与任何向量平行，平行向量也叫。
（4）相等向量：的向量叫做相等向量，向量a与b相等，记作b a .(5)相反向量：的向量叫做相反向量。
向量)0(≠a a 与b 共线的充要条件是存有唯一一个实数λ，使得 。
二、必记结论1.一般地，首尾顺次相接的多个向量的和等于从第一个向量起点指向最后一个向量终点的向量，即n n n A A A A A A A A A A 11433221=++++- ，特别地，一个封闭图形首尾连接而成的向量和为零向量。
2.若P 为线段AB 的中点，O 为平面内任一点，则)(21+= 3.若A 、B 、C 是平面内不共线的三点，则（1）的重心。
为ABC P PC PB PA ∆⇔=++0（2）的重心。
为ABC G ∆⇔++=)(31 4.证明三点A 、B 、C 共线，借助向量，只需证明由这三点A 、B 、C 所组成的向量中有两个向量共线，即这两个向量之间存在一个实数λ，使得(0)a b b λ=≠。
三、题型归纳（独立完成三维设计P62考点一----考点三的练习，注意总结题型。
）。
《平面向量》第1讲 平面向量的概念和线性运算
小结
1. 基本概念.
2. 向量的线性运算(加法、减法、数乘).
运算结果仍然是一个向量.
3. 两个向量共线的充要条件.
三点共线的应用.
一.向量的基本概念
[例题1]. 下列说法正确的是 .
(1).0 的方向是任意的；
(2).0// a;
(3). 0 0;
(4).0 a a 0 a;
(5). 0 0; (6).0 a 0.
二.向量的线性运算
[例题2]. 设O是正六边形ABCDEF的中点. (1) 与 OA 相等的向量有 (2) 设 AC a, BD b, 请用这两个向量表示 CD . .
课题：
向量的基本概念与线性运算
知识点1.向量的基本概念
(1) 既有大小，又有方向的量叫向量. (2) 长度为0的向量叫零向量． (3) 长度等于1的向量单位向量．
[ [
Y Y
] ]
[ (4) 方向相同的非零向量叫平行向量. [ (5) 平行向量又叫共线向量． [ [ (6) 长度相等的向量叫相等向量．
BC CD
(2) 证明：A、B、D三点共线.
(3) 试确定实数k，使k a＋b和a＋k b共线．
二.向量的线性运算
变式1. 设 a , b 是两个非零的不共线向量 . 且向量 a , b 的起点相同，当t= 时，
1 ab 三个向量 a , tb, 3
的终点共线 .
二.向量的线性运算
(7) 方向相反的向量叫相反向量．
[
Y ] N ] Y ] N ] N ]
知识点2、向量的线性运算.
类型 加 法 代数运算
几何运算
a
坐标运算
向量概念与线性运算
向 量1.向量的概念(1)向量的基本要素：___________________________.(2)向量的表示：几何表示法 AB ；字母表示：a ；坐标表示法 a ＝ｘｉ＋ｙj ＝（ｘ，ｙ）.(3)向量的长度：_______________________________.(4)特殊的向量：零向量a ＝O ⇔__________规定：O 与任一向量______单位向量：a O 为单位向量⇔____________(5)相等的向量：______________(ｘ1，ｙ1)＝（ｘ2，ｙ2）⎩⎨⎧==⇔2121y y x x(6) 相反向量：a =-b ⇔__________⇔_____________(7)平行向量(共线向量)：_________.记作a ∥b .平行向量也称为______. 运算类型 几何方法 坐标方法 运算性质向量的 加法 1.平行四边形法则 2.三角形法则1212(,)a b x x y y +=++a b b a +=+()()a b c a b c ++=++AC BC AB =+向量的减法三角形法则1212(,)a b x x y y -=--()a b a b -=+-AB BA =-,AB OA OB =-数 乘 向 量1.a λ是一个向量,满足:||||||a a λλ=2.λ>0时, a a λ与同向; λ<0时, a a λ与异向;λ=0时, 0a λ=.(,)a x y λλλ=()()a a λμλμ=()a a a λμλμ+=+()a b a b λλλ+=+//a b a b λ⇔=1． 已知,AD BE 分别是ABC ∆的边,BC AC 上的中线,且,AD a BE b ==,则BC 为 _____________2．已知,,AB a BC b CA c ===,则0a b c ++=是,,A B C 三点构成三角形的______条件 3．若P 是ABC ∆的重心，则PA+PB+PC =____________4．若,a b 满足8,2a b ==，则a b +的最大值为____，最小值为_________ 5．若,OA a OB b ==，a b ==3，060AOB ∠=，则a b +=_________6．若32,43a eb e =-=-，则____a b =7．若,OA OB 不共线，且()AP t AB t R =∈，用,OA OB 表示OP 为_________ 8.设1(2,3),(1,5),,33A B AC AB AD AB -==且，则C 、D 的坐标分别是_________ 9.对平面内任意的四点A,B,C,D ，则AB BC CD DA +++= . 10．若3,a b =与a 的方向相反，且5,______b a b ==则 11．化简：（1）AB BC CD ++=_____________。
向量的概念与线性运算
两个向量$mathbf{A}$和$mathbf{B}$的数量积定义为$mathbf{A} cdot mathbf{B} = |mathbf{A}| times |mathbf{B}| times cos theta$，其中$theta$是$mathbf{A}$和 $mathbf{B}$之间的夹角。
向量的表示方法
总结词
向量可以用多种方式表示，包括文字、符号、箭头、有序对等。
详细描述
文字表示法是用“→”表示向量，例如a→表示向量a。符号表示法则使用字母来表示向量，如a、b、c等。有序 对表示法则使用起点和终点的坐标来表示向量，例如(x1, y1, z1)→(x2, y2, z2)。箭头表示法则是在起点和终点之 间画一条有箭头的线段来表示向量。
要点二
性质
线性相关的向量组中至少存在一个向量可以用其他向量线 性表示。
向量组的秩
定义
向量组的秩是指该向量组中线性无关向量的最大数量。
性质
向量组的秩等于该组向量的行矩阵的秩，也等于列矩阵 的秩。秩是向量组的一个重要的不变量，它反映了向量 组中线性相关性的程度。
05
向量在几何中的应用
向量在解析几何中的应用
详细描述
数乘是将一个标量与一个向量相乘的运算。如果标量为正数，则结果向量的方 向与原向量相同；如果标量为负数，则结果向量的方向与原向量相反。数乘的 结果向量的模长是原向量模长与标量乘积。
向量的减法
总结词
向量减法是通过将一个向量的起点置于另一 个向量的终点，然后由第二个向量的起点指 向第一个向量的终点的向量。
几何意义
数量积表示两个向量在方向上的相似程度。如果$mathbf{A} cdot mathbf{B} > 0$， 则$mathbf{A}$和$mathbf{B}$同向；如果$mathbf{A} cdot mathbf{B} < 0$，则 $mathbf{A}$和$mathbf{B}$反向；如果$mathbf{A} cdot mathbf{B} = 0$，则 $mathbf{A}$和$mathbf{B}$垂直。
向量及其线性运算
表示与 a 同方向的单位向量，记作： a ea a
( 2 ) b ( 1 ) b 表示与 b 大小相同，方向相反的向量， 称为 b 的反向量或负向量。 如下图，则 a b 分别表示以 a , b 为邻边的平行
四边形的两条对角线向量。
b
a b
a
a b
根据三角形的性质，不难得到以下不等式：
a b a b a b
如下图 , 在平形四边形 例2、
ABCD 中 , 设 AB a ,
AD b . 试用 a 和 b 表示向量 MA , MB , MC , MD , 这里 M 是平形四边形对角线的 交点 .
第一节
一、向量的概念
向量及其线性运算
纯量：以数字来表示的量，如质量、体积等。 向量：既有大小又有方向的量，也称矢量， 如力、速度等。 向量的两个要素：大小和方向。 向量的表示：有向线段，如： a
M
N
向量的记法： 用小写字母记为 a , f , v 等。
用大写字母记为 MN , OA 等。
b
A
D
M
C
a
B
如下图 , 在 ABC 中 , AB BC CA 0
C
A
B
定理：设向量 a 0 , 则向量 b // a 的充要条件是
存在唯一实数 , 使 b a . 说明： b a 也称 b 可用 a 线性表示。 向量 a 的起点在原点，终点在 x 轴上， 且坐标为 a , i 为与 x 轴正向同向的单 位向量，试用 a , i 表达向量 a . 答案： a a i
向量的概念及表示、向量的线性运算
向量的概念及表示、向量的线性运算向量的概念及表示、向量的线性运算在数学中，几何向量(也称为欧几里得向量，通常简称向量、矢量)，指具有大小(magnitude)和方向的几何对象，可以形象化地表示为带箭头的线段：箭头所指，代表向量的方向、线段长度，代表向量的大小。
一个向量可以有多种记法，如记作粗体的字母(a、b、u、v)，或在字母顶上加一小箭头→，或在字母下加波浪线~。
如果给定向量的起点(A)和终点(B)，可将向量记作AB(并于顶上加→)。
给空间设一直角坐标系，也能把向量以数对形式表示，例如Oxy平面中(2,3)是一向量。
而在物理学和工程学中，几何向量更常被称为矢量。
许多物理量都是矢量，比如一个物体的位移，球撞向墙而对其施加的力，等等。
与之相对的是标量，即只有大小而没有方向的量。
一些与向量有关的定义亦与物理概念有密切的联系，例如向量势对应于物理中的势能。
几何向量的概念在线性代数中经由抽象化，得到更一般的向量概念。
此处向量定义为向量空间的元素，要注意这些抽象意义上的向量不一定以数对表示，大小和方向的概念亦不一定适用。
因此，平日阅读时需按照语境来区分文中所说的"向量"是哪一种概念。
不过，依然可以找出一个向量空间的基来设置坐标系，也可以透过选取恰当的定义，在向量空间上介定范数和内积，这允许我们把抽象意义上的向量类空间基本定理知，有且只有一组实数(x，y, z)，使得a=向量OP=xi+yj+zk，因此把实数对(x，y, z)叫做向量a的坐标，记作a=(x，y, z)。
这就是向量a的坐标表示。
其中(x，y, z)，也就是点P的坐标。
向量OP称为点P的位置向量。
3) 当然,对于多维的空间向量，可以通过类推得到,此略。
向量的概念与线性运算
OM=OA+AP+PM =OA+OB+OC.
如果分别取三个以坐标轴正向为其方向的单位向
量，并依次记为i，j，k，称其为基本单位向量.由向量
的始点移到同一点O，并记a=OA，b=OB.以OA，OB 为邻边作平行四边形OACB,则称OC=c为a与b的和向量, 记为c=a+b.
向量加法运算的三角形法则： 自a的终点B作BC=b，连接AC，则向量AC即为a与
b的和向量.这种求和常称为向量加法的三角形法则.
n个向量相加的法则： 使前一向量的终点作为次一向量的起点，相继作
向量在轴上的投影有以下性质：
性质7.1 Pr ju AB | AB | cos,其中为轴u与AB间的夹角.
性质7.2 有限个向量的和在任何给定轴上的投影等于 各向量在该轴上投影之和.即
Prju(a+b+¨¨+e)= Prjua+ Prjub+ ¨¨+Prjue.
七、向量线性运算的代数表示
若向量OM=(x,y,z)，则可知向量OM在x轴，y轴， z轴上的投影依次为x，y，z.因此又称向量OM在三条 坐标轴上的投影x，y，z为向量OM的坐标.
即向量OM的模等于其坐标平方和的算术平方根.
设向量OM与x轴，y轴，z轴的正向间夹角分别为 α,β,γ.由几何知识可知
cos OA ,cos OB ,cos OC .
| OM |
| OM |
| OM |
称cosα，cosβ，cosγ为该向量的方向余弦.
向量的概念及线性运算
(3)平行向量：方向_相_同__或_相_反__的_非__零__向量叫做平行向 量．规定：0与任何向量平行，平行向量也叫做_共__线__向量．
(4)相等向量：__长_度__相__等_且__方_向__相__同___的向量叫做相等向量， 向量a与b相等，记作a＝b.
(5)相反向量：__长_度__相__等_且__方_向__相__反__的向量叫做相反向量．
授人以渔
题型一 向量的基本概念(自主学习)
例1 判断下列各说法是否正确： (1)|a|与|b|是否相等，与a，b的方向无关； (2)若向量a与b同向，且|a|>|b|，则a>b； (3)单位向量都相等； (4)若向量A→B与向量C→D是共线向量，则A，B，C，D四点在 一条直线上； (5)起点不同，但方向相同且模相等的几个向量是相等向 量．
思考题4 (1)在△ABC中，A→D＝2D→B，C→D＝13C→A＋λ C→B，则λ＝___23_____．
【解析】 方法一：由A→D＝2D→B，知A，B，D三点共线． ∴13＋λ＝1，从而λ＝23.
题型三 共线向量定理及应用
例3 设a，b是不共线的两个非零向量： (1)若O→A＝2a－b，O→B＝3a＋b，O→C＝a－3b， 求证：A，B，C三点共线； (2)若8a＋kb与ka＋2b共线，求实数k的值．
【解析】 (1)证明：∵A→B＝(3a＋b)－(2a－b)＝a＋2b， B→C＝(a－3b)－(3a＋b)＝－2a－4b＝－2A→B， ∴A→B与B→C共线，且有公共端点B. ∴A，B，C三点共线．
向量的概念及线性运算
01 课前自助餐 02 授人以渔
课前自助餐
向量的有关概念 (1)向量的定义：既有_大_小___又有_方__向___的量叫做向量． (2)向量的长度：表示A→B的_有__向__线_段__的长度，即A→B的大小叫 做A→B的长度或称为A→B的模，__长__度_为__0_的向量叫做零向量，记作 0，_长__度_等__于__1个__单__位_的向量，叫做单位向量．
向量的概念及线性运算
力的合成与分解
力的合成
当有两个或多个力同时作用于一个物 体时，这些力可以合成一个合力，合 力的大小和方向可以通过向量加法得 到。
力的分解
如果已知一个力的大小和方向，那么 这个力可以分解为两个或多个分力， 分力的大小和方向可以通过向量减法 和数乘得到。
速度和加速度的计算
速度
速度是描述物体运动快慢的物理量，可以用向量表示，其大小等于位移的模与时间的比值，方向与物体运动方向 相同。
向量的概念及线性运算
目 录
• 向量的定义与表示 • 向量的线性运算 • 向量的数量积与向量积 • 向量的混合积与点积 • 向量线性运算的应用
01 向量的定义与表示
向量的定义
01
向量是一个既有大小又有方向的量，通常用有向线段表示。
02
向量的大小称为向量的模，记作|a|。
03
向量的方向由起点指向终点的箭头表示。
向量减法的定义
向量减法是指将两个向量首尾相接，以第一个向量的起点作为 结果向量的起点，以第一个向量的终点作为结果向量的终点。
向量减法的性质
向量减法满足交换律，即$vec{a} - vec{b} = vec{b} vec{a}$。
向量减法的几何意义
向量减法的几何意义是将两个向量的起点重合，然后以第一个向 量的终点为起点，第二个向量的起点为终点作一条新的量的点积定义
对于两个向量$mathbf{a}$和$mathbf{b}$，其点积定义为$mathbf{a} cdot mathbf{b} = |mathbf{a}| |mathbf{b}| cos theta$，其中 $theta$是两向量的夹角。
几何意义
点积的几何意义是向量$mathbf{a}$与向量$mathbf{b}$在方向上的投 影长度之积。
向量线性运算知识点总结
向量线性运算知识点总结一、向量的定义在数学中，向量通常用箭头符号表示，比如$\vec{a}$或者$\overrightarrow{AB}$。
向量是有方向和大小的量，通常用于表示空间中的位移、速度等。
在n维空间中，一个向量可以表示为一个具有n个有序实数的n维坐标组$(x_1, x_2, \cdots, x_n)$，而在实际应用中，可以用行向量或列向量来表示。
在数学中，向量可以用于表示空间几何中的位移、速度、力等，同时也可以用于表示抽象意义上的量，比如代数中的多项式、矩阵等。
在计算机科学中，向量也被广泛应用于向量空间的表示，比如在机器学习中的特征向量等。
二、向量的线性运算向量的线性运算包括两种基本运算：向量的加法和数乘运算。
1. 向量的加法设有两个n维向量$\vec{a}=(a_1,a_2,\cdots,a_n)$和$\vec{b}=(b_1,b_2,\cdots,b_n)$，则它们的和是一个n维向量，记作$\vec{a}+\vec{b}=(a_1+b_1,a_2+b_2,\cdots,a_n+b_n)$。
向量的加法满足以下性质：- 交换律：$\vec{a}+\vec{b}=\vec{b}+\vec{a}$- 结合律：$(\vec{a}+\vec{b})+\vec{c}=\vec{a}+(\vec{b}+\vec{c})$- 零向量：对于任意向量$\vec{a}$，都有$\vec{a}+\vec{0}=\vec{a}$，其中$\vec{0}$表示零向量- 相反向量：对于任意向量$\vec{a}$，都有$\vec{a}+(-\vec{a})=\vec{0}$，其中$-\vec{a}$表示向量$\vec{a}$的相反向量2. 数乘运算设有一个n维向量$\vec{a}=(a_1,a_2,\cdots,a_n)$和一个实数$k$，则它们的数乘运算结果是一个n维向量，记作$k\vec{a}=(ka_1,ka_2,\cdots,ka_n)$。
高等数学A-8.1向量及其线性运算
, a , b 同向时
取正号, 反向时取负号, 则 b 与 a 同向, 且
b
故b =a
再证数 的唯一性 . 设又有 b＝ a , 则 ( ) a 0
故 0, 即 .
8-1 向量及其线性运算
“ ” 已知 b＝ a , 则 b＝0 a , b 同向
8-1 向量及其线性运算
第一节 向量及其线性运算
一、向量的概念 二、向量的线性运算 三、空间直角坐标系 四、利用坐标作向量的线性运算 五、向量的模、方向角、投影
8-1 向量及其线性运算
一、向量的概念
1.向量: 既有大小, 又有方向的量称为向量 (又称矢量).
2.表示法: 有向线段 M1 M2 , 或 a ,
cos 1 , cos 2
2
2
2 ,
,
3
3
3
4
8-1 向量及其线性运算
例8 设点A 位于第一卦限,向径 OA 与 x 轴 y 轴的夹
角依次为
3
,
4
,
且
OA
6, 求点A
的坐标
.
解:
已知
3
,
4
,
则
cos2 1 cos2 cos2
8-1 向量及其线性运算
杂诗 （东晋）陶渊明
盛年不再来，一日难再晨. 及时当勉励，岁月不待人. 日月掷人去，有志不获聘. 眷眷往昔时，忆此断人肠.
8-1 向量及其线性运算
第八章 向量代数与空间解析几何
向量，也称为矢量，在几何、物理、力学和工程技术中 有着广泛的应用.
本章内容分为两部分: 1.向量代数 2.空间解析几何：把代数方程与空间几何图形对应起来， 从而可以用代数的方法研究几何问题. 空间解析几何的知识为多元函数微积分的学习作了准备.
向量知识点
第一节向量有关概念及线性运算一、向量的概念1、向量：既有大小又有方向的量叫做向量。
2、向量的表示：（1）几何法：且一条有向线段表示，长度表示大小，箭头表示方向。
（2）符号表示法：有向线段记法：，，或一个字母：，。
（3）坐标表示：与起点在原点的有向线段一一对应。
A，B的坐标分别为，，则向量的坐标为3、向量的长度（大小）：向量的长度称为向量的模。
记作：4、零向量：长度为0的向量。
记作：5、单位向量：长度为1个单位长度的向量。
关注重点：（1）方向（2）长度二、两个向量（共线向量）：方向相同或相反的向量。
记作：，或规定：零向量与任一向量平行。
2、相等的向量：长度相等且方向相同的向量。
记作：，或零向量与零向量相等。
3、相反向量：与长度相同方向相反的向量，记作的相反向量是。
注意：数学上的向量均指自由向量：一切向量都可以在不改变方向和大小的前提下，将它移至任意位置，即起点可任取，且起点一旦确定，终点也将唯一确定。
1、判断下列命题的正误：（1）零向量与非零向量平行；（2）长度相等方向相反的向量共线；（3）若与是两个单位向量，则与相等；（4）若向量与向量不共线，则与都是非零向量；（5）若两个向量相等，则它们的起点、方向、长度必须相等；（6）若两个向量的模相等，则这两个向量不是相等向量就是相反向量；（7）若非零向量，是共线向量，则A、B、C、D四点共线；（8）“四边形ABCD是平行四边形”的充要条件是“”；（9）共线的向量一定相等；（10）相等的向量一定共线。
解：（1）正确（2）正确（3）错误两个单位向量的模均为1，但方向可以不同。
（4）正确因为零向量与任意向量共线（5）错误两向量相等，起点可以不同，只需模相等，方向相同。
（6）错误方向不定。
（7）错误线段AB可与线段CD平行。
（8）正确一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。
小结：[1]相等与共线区别：向量相等一定共线，但共线未秘相等。
[2]向量共线与四点共线：向量是自由向量，因此四点不共线但可能两个向量共线。
向量及线性运算
(a)
0.
[2]
减法
a
b
a
(b)
a
b
b
a
三角不等式
a
b
(1)
|
a
b
||
a
(2)
|
a
b
||
a
| |
| |
b b c
c a
a
b|
b|
a
(b ) b
b
2、向量与数的乘法
设 是一个数，向量a 与 的乘积a 规定为
（2）分配律：( )a a a
(a
b)
a
b
例1
化简
a
b
5
1
b
b
3a
解
a
b
5
1
b
2 b
3a
5
2
5
(1
3)a
1
5 2
1 5
5
b
2a
三点为顶点的三角形是一个等腰三角形.
解 M1M2 2 (7 4)2 (1 3)2 (2 1)2 14, M2M3 2 (5 7)2 (2 1)2 (3 2)2 6, M3M1 2 (4 5)2 (3 2)2 (1 3)2 6, M2M3 M3M1 , 原结论成立.
向量及其线性运算
中国劳动关系学院
高等数学
由图上可以看出
a = M 1 M 2 = M 1 B + BM 2 = M 1 A + AB + BM 2
而 M 1 A = P1 P2
R2 R1
M2 M1
A
B
k
AB = Q1Q2 BM 2 = R1 R2 ⇒
∵ a ≠ 0， 故 λ − µ = 0， 即 λ = µ .
China Institute of Industrial Relations
中国劳动关系学院
高等数学
此定理是建立数轴的理论依据 数轴： 数轴：点、方向、单位长度 方向、 点P 向量 OP = xi
．
O
1
x ． P
i
x
实数 x
轴上点P的坐标为 的充分必要条件是 轴上点 的坐标为x的充分必要条件是 OP = xi . 的坐标为 另外 设a 0 表示与非零向量 a 同方向的单位向量， 同方向的单位向量， 按照向量与数的乘积的规定， 按照向量与数的乘积的规定， a 0 = a0 . a =| a | a |a| 上式表明： 上式表明：一个非零向量除以它的模的结果是一 个与原向量同方向的单位向量. 个与原向量同方向的单位向量
在 x 轴上的投影 的值
M2 M1
A
B
y2 − y1
P1 P2
k
Q1
Q2
为向量 M 1 M 2 在 y 轴上的投影 有向线段 R1 R2 的值 z2 − z1 为向量 M 1 M 2 依次记作 a x
i
o
j
y
x
在 z 轴 上的投影
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§6.1 向量的概念与线性运算● 课前热身1．下列命题正确的是（ ）A ．若=，则∥B ．若a ∥b ∥c ，则∥cC=a =b D ．若b a ≠，则b a b a <>或2．ABC ∆中，AB 边上的高为CD ，若=，=，0=⋅1=2=，则=A ．b a 3131- B ．b a 3232- C ．b a 5353- D ．b a 5454- 3．平面向量a ，b 共线的充要条件是（ ）A ．a ，b 方向相同B ．a ，b 两向量中至少有一个为零向量C ．R λ∃∈，a b λ=D ．存在不全为零的实数1λ，2λ，021=+ba λλ4．在平行四边形ABCD 中，E 和F 分别是边CD 和BC 的中点，若μλ+=，其中R ∈μλ,，则=+μλ ．5．如图，正六边形ABCDEF 中，有下列四个命题：①2=+； ②22+=；③⋅=⋅；④)()(⋅=⋅．其中真命题的代号是 （写出所有真命题的代号）．● 知识梳理 1.平面向量的有关概念 （1）向量的定义: 既有大小．．又有方向．．的量叫做向量. （2）向量的表示方法几何表示：用有向线段表示.字母表示：用字母 ,等表示；用有向线段的起点与终点字母，如：.注意：解题时，向量中的箭头不可省． （3）向量的长度：向量的大小就是向量的长度（或称为模），记作||．向量模的计算方法：||a =零向量、单位向量概念：零向量：=⇔=；单位向量=e为单位向量1=⇔e .（4）平行向量定义①方向相同或相反的非零向量叫平行向量； ②规定0与任一向量平行.（5）相等向量：长度相等且方向相同的向量叫做相等向量，记作a =b .①零向量与零向量相等；②任意两个相等的非零向量，都可以用一条有向线段来表示，并且与有向线段的起点无关. （6）共线向量与平行向量关系①平行向量可以在同一直线上；②共线向量可以相互平行；③平行向量．．．．就是共线向量．．．．．．. 2.平面向量的线性运算 （1）向量的加法①向量加法的三角形法则 ②向量加法的平行四边形法则=+（两个．．向量“首尾．．．．．”．相接．．）ABCABDECFAC AD AB =+（两个向量同一起点．．．．．．．．） 注：nn n A A A A A A A A 113221=++-（2）向量减法向量减法三角形法则：连接两个向量的终点，方向指向被减向量.=-（两个向量．．．．同一起点．．．．） （3）实数与向量的积的定义 实数λ与向量的积是一个向量，记作λ，它的长度与方向规定如下：=λλ；当0>λ时，a λ与a 同向；当0<λ时，a λ与a 反向；当0=λ 时，0=a λ．3.向量平行定理 当0≠b 时，a ∥b ⇔有且只有一个实数λ，使b a λ=（0≠b ）.4. 平面向量基本定理 如果1e 、2e 是同一平面内两个不共线的向量，那么对这一平面内的任一向量a ，有且只有一对实数1λ、2λ使2211e e aλλ+=.注:(1)不共线的向量1e 、2e 叫做表示这一平面内所有向量的一组基底； (2)基底不唯一，关键是不共线(一般会事先给出)； (3)由定理知可将任一向量a 在给定基底1e 、2e 的条件下进行分解且分解形式唯一. ●典例剖析考点1 平面向量的有关概念【例1】下列命题中，真命题的个数是（ ）①向量CD AB //，则直线//AB 直线CD ；②两个向量当且仅当它们的起点相同，终点也相同时才相相等；③向量AB 即是有向线段AB ；④在平行四边形ABCD 中，一定有DC AB =.0个B ．1个C ．2个D ．3个对应练习下列命题正确的 （ ）A ．a 与b 共线，b 与c 共线，则a 与c 也共线B ．任意两个相等的非零向量的始点与终点是一平行四边形的四顶点C ．向量a 与b 不共线，则a 与b 都是非零向量；D ．有相同起点的两个非零向量不平行 考点2 向量共线【例2】（1）设a 与b 是两个不共线的向量，且向量b a λ+与)2(a b --共线，则=λ ．点评：设21,e e 是平面上两个不共线的向量，21e y e x +=，21e n e m +=，R n m y x ∈,,,，若a ∥b ，则nym x =． （2）已知向量，不共线，k +=（R k ∈），-=，如果//，那么（ ）1=且与同向 B ．1k =且与反向 C ．1k =-且与同向 D ．1k =-且与反向对应练习（1）设向量a ，b 52=，)1,2(=b ，且a 与b 的方向相反，则a 的坐标为 ．（2）设21,e e 是平面上两个不共线的向量，已知向量212e k e +=，213e e +=，212e e -=，若A 、B 、D 三点共线，则实数k 的值为 ． 考点3 向量的线性运算及几何意义【例3】（1）如图D ，E ，F 分别是∆ABC 的边AB ，BC ，CA 的中点，则（ ）A ．=++B ．=+-C ．=-+D ．=--（2）已知ABC ∆和点M 满足=++，若存在实m 使得m =+成立，则m =A ．2B ．3C ．4D ．5CA B点评：若点O 是ABC ∆三角形的重心（三条中线的交点）0=++⇔OC OB OA ． （3）在平行四边形ABCD 中，AC 与BD 交于点O E ，是线段OD 的中点，AE 的延长线与CD 交于点F ．若a AC =，b BD =，则=AF （ ）A ．2141+B ．3132+C ．4121+D ．3231+（4）已知ABC ∆的三个顶点A 、B 、C 及所在平面内一点P 满足=++，则BCP ∆与ABP ∆的（1）在ABC ∆中，设D 是BC 边上的一点，且满足2=，μλ+=，则μλ+值为A ．32 B ．31C ．1D ．0（2）已知O 是ABC ∆所在平面内一点，D 为BC 边中点，且2=++，那么（ ）A ．OD AO =B ．OD AO 2=C ．OD AO 3= D．OD AO =2（3）ABC ∆中，点D 在AB 上，CD 平方ACB ∠．若=，=1=2=，则=A ．3231+ B ．3132+ C ．5453+ D ．5354+ （4）P 是ABC ∆内的一点，)(31+=，则ABC ∆面积与ABP ∆的面积之比为（ ）A ．23 B ．2 C ．3 D ．6考点4 平面向量的基本定理【例4】（1）如图1，1e ，2e 互相为垂直单位向量，则向量-可表示为（ ）A ．123e e -B ．2142e e --C ．213e e -D ．213e e -图1图2 （2）如图2所示，平面内的两条相交直线1OP 和2OP 将该平面分成四个部分Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ（不包括边界）．若21OP b OP a OP +=，且点P 落在第Ⅲ部分，则实数a 、b 满足（ ）A ．0>a ，0>bB ．0>a ，0<bC ．0<a ，0>bD ．0<a ，0<b（3）在ABC △中，已知D 是AB 边上一点，若2=，λ+=31，则λ=A ．23B ．13C ．13-D ．23-点评：如图1所示，与是不共线的两个向量，P 是平面上一点，且y x +=，若A 、B 、P 三点共线，则1=+y x ．推广：①如图2所示，与是不共线的两个向量，P 是平面上一点，且y x +=，若P 落在区域Ⅰ，则10<=+<y x ；②如图3所示，OA 与OB 是不共线的两个向量，P 是平面上一点，且y x +=，ⅣⅢⅡ Ⅰ若P落在区域Ⅱ，则1>=+y x ；②如图4所示，OA 与OB 是不共线的两个向量，P 是平面上一点，且y x +=，若P落在区域Ⅲ，则0<=+y x ．图1 图2 图3 图4 （4）在ABC ∆中，D 为边BC 上任意一点，E 为AD 中点，若AC AB AE μλ+=，则μλ+的值为A ．21B ．31C ．41D ．1（5）若在直线l 上存在不同的三个点A 、B 、C ，使得关于实数x 的方程x x=++2有解（点O 不在l=x ．对应练习（1）设1e ，2e 是平面内一组基底，且212e e +=，21e e +-=，则向量21e e +可以表示为另一组基底、的线性组合，则=+21e e + ．（2）已知P 为ABC △所在平面上的一点，且t +=31，其中t 为实数，若点P 落在ABC △的内部，则t的取值范围是（ ）A ．410<<t B ．310<<t C ．210<<t D ．320<<t （3）如图所示，A 、B 、C 是圆O 上的三点，CO 的延长线与线段AB 交于圆内一点D ，若y x +=，则（ ）A ．10<+<y x B ．1>+y x C ．1-<+y x D ．01<+<-y x（4）如图，在直角梯形ABCD 中，AD AB ⊥，1==DC AD ，3=AB ，动点P 在以点C 为圆心，且与直线BD相切的圆内运动，设βα+=，则βα+的取值范围是（ ）A ．⎥⎦⎤ ⎝⎛34,0 B ．⎥⎦⎤⎢⎣⎡35,34 C ．⎥⎦⎤ ⎝⎛34,1 D ．⎪⎭⎫ ⎝⎛35,1。