(完整版)2017中考二次函数压轴题专题分类训练
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1.如图，抛物线y=x 2+bx+c 与直线 y=x ﹣ 3 交于 A、 B 两点，其中点 A 在 y 轴上，点 B 坐标为（﹣ 4，﹣ 5），点 P为 y 轴左侧的抛物线上一动点，过点P作PC⊥x轴于点C，交AB于点D．（1）求抛物线的解析式；（2）以O，A ，P， D 为顶点的平行四边形是否存在？如存在，求点P 的坐标；若不存在，说明理由．（3）当点P运动到直线 AB 下方某一处时，过点P 作 PM⊥ AB ，垂足为 M ，连接 PA 使△PAM 为等腰直角三角形，请直接写出此时点 P 的坐标．2. 在直角坐标系xoy 中， A(0, 2) 、 B( 1,0) ，将ABO 经过旋转、平移变化后得到如图15.1所示的BCD .若直线 PC 将ABC 的面积分成 1: 3 两部分，求此时点P 的坐标；（3）现将ABO 、BCD 分别向下、向左以 1: 2 的速度同时平移，求出在此运动过程中ABO 与BCD 重叠部分面积的最大值.yACB O D x图15.13.如图，已知抛物线y＝ ax2＋ bx＋ c( a≠ 0) 的对称轴为直线 x＝－ 1，且经过A（ 1，0）， C（0， 3）两点，与x 轴对称轴 x＝－ 1 上的一个动点，求使△BPC为直角三角形的点P 的坐标．第25 题图4. 如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y ax2bx 8 与 x 轴交于 A，B 两点，与 y 轴交于点C，直线 l 经过坐标原点O，与抛物线的一个交点为D，与抛物线的对称轴交于点E，连接 CE，已知点 A， D 的坐标分别为否存在点F，使FOE ≌FCE ，若存在，请直接写出点 F 的坐标；若不存在，请说明理由；（3）若点P是y 轴负半轴上的一个动点，设其坐标为（0，m），直线 PB 与直线 l 交于点 Q．试探究：当m 为何值时，OPQ 是等腰三角形．5. 如图，抛物线 y=ax 2+bx﹣ 5（ a≠0）经过点 A（ 4，﹣ 5），与 x 轴的负半轴交于点 B ，与 y 轴交于点C，且 OC=5OB ，抛物线的顶点为点 D ．（ 1）求这条抛物线的表达式；（ 2）联结 AB 、BC、CD 、DA ，求四边形 ABCD 的面积；（ 3）6. 如图，已知抛物线 y=ax 2+bx+c 经过点 A （﹣ 3， 0）， B （9， 0）和 C （ 0， 4）． CD 垂直于 y 轴，交抛物线于点 D ， DE 垂直与 x 轴，垂足为 E ， l 是抛物线的对称轴，点F 是抛物线的顶点．（ 1）求出二次函数的表达式以及点 D 的坐标；（ 2）若 Rt △ AOC 沿 x 轴向右平移到其直角边OC 与对称轴 l 重合，再沿对称轴 l 向上平移到点 C 与点 F 重合，得到 Rt△ A 1O1F，求此时 Rt△ A1O1F 与矩形 OCDE 重叠部分的图形的面积；（3）若 Rt△ AOC 沿 x 轴向右平移 t 个单位长度（ 0＜ t≤6）得到 Rt△ A 2O2C2，Rt△ A 2O2C2与 Rt△ OED 重叠部分的图形面积记为S，求 S 与 t 之间的函数表达式，并写出自变量t 的取值范围．7.如图，抛物线 y=ax 2+bx+c 的图象经过点 A （﹣ 2， 0），点 B（4，0），点 D（ 2， 4），与 y 轴交于点 C，作直线BC ，连接 AC ， CD ．（ 1）求抛物线的函数表达式；（2）E是抛物线上的点，求满足∠ ECD=∠ ACO的点E的坐标；（ 3）点 M 在 y 轴上且位于点 C 上方，点 N 在直线 BC 上，点 P 为第一象限内抛物线上一点，若以点C，M ， N， P 为顶点的四边形是菱形，求菱形的边长．8.如图，在平面直角坐标系 xOy 中，抛物线 y=ax 2+bx 经过两点 A （﹣ 1， 1）， B （ 2， 2）．过点 B 作 BC∥ x存在点 M ，使得△ BCM 的面积为，求出点 M 的坐标；（ 3）连接 OA 、 OB 、OC、 AC ，在坐标平面内，求使得△ AOC 与△ OBN 相似（边 OA 与边 OB 对应）的点 N 的坐标．1.【解答】解：（ 1）∵直线y=x ﹣ 3 交于 A 、B 两点，其中点 A 在 y 轴上，∴ A （0， 3），∵ B （ 4， 5），∴，∴，∴抛物 解析式 y=x 2+x 3，（ 2）存在， P （m ，m 2+m 3），（ m ＜ 0），∴ D （ m ， m 3），∴ PD=|m 2+4m|∵ PD ∥ AO ，∴当 PD=OA=3 ，故存在以 O ，A ，P ， D 点的平行四 形，∴|m 2+4m|=3，① 当 m 2+4m=3 ，∴ m 1= 2， m 2= 2+（舍），∴ m 2+m 3= 1，∴ P （ 2， 1），21212，∴ P （ 1，），② 当 m +4m= 3 ，∴ m = 1， m = 3，Ⅰ、 m =1，∴ m +m 3=Ⅱ、 m 2= 3，∴ m 2+m 3=，∴ P （ 3，），∴点 P 的坐 （ 2，1），（ 1 ，），（ 3，）．（ 3）如 ，∵△ PAM 等腰直角三角形，∴∠ BAP=45 °，∵直 AP 可以看做是直AB 点 A 逆 旋45 °所得，直 AP 解析式 y=kx 3，∵直 AB 解析式 y=x 3，∴ k==3，∴直 AP 解析式 y=3x3， 立 ，∴ x 1=0（舍） x 2=当 x= ， y= ，∴P （ ，）．2. 解析：（ 1）∵ A(0, 2)、 B( 1,0) ，将ABO 旋 、平移 化得到如 4.1所示的 BCD ，∴ BDOA 2,CD OB 1, BDCAOB 90 . ∴ C 1,1 . ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ (1 分 )yA 、B 、C 三点的抛物 解析式y ax 2 bx c ，Aab c 0P EC3 1有 ab c 1 ，解得： a2 ., b,cx22B FOc 2D∴抛物 解析式y3 x 2 1 x2 .22图 4.1（ 2）如 4.1 所示， 直PC 与 AB 交于点 E . ∵直 PC 将ABC 的面 分成 1: 3 两部分，∴ AE1 或 AE 3， E 作 EF OB 于点 F ， EF ∥ OA .BE3 BE∴ BEF ∽BAO , ∴EFBE BF . ∴当 AE 1 ， EF 3BF ，AOBA BO BE 3 241∴EF3, BF 3，∴ E (1 324,) .4 2直 PC 解析式 ymx n ， 可求得其解析式 y2 x 7 ，31 272552 39∴2 ，∴（舍去），∴.xx 2xx 1, x 2 11) 25P ( ,2555 25当AE3 ，同理可得 P 2 ( 6 ,23) .BE7 49（ 3） ABO 平移的距离 ，A 1B 1O 1 与 B 2C 1D 1 重叠部分的面 S .可由已知求出A 1B 1 的解析式 y2 x2 t ， A 1B 1 与 x 交点坐 (t2,0) .2C 1B 2 的解析式 y1 x t 1， C 1 B 2 与 y 交点坐 (0, t1) .⋯⋯⋯ (9 分 )3 222①如 4.2 所示，当0 tA 1B 1O 1 与 B 2C 1D 1 重叠部分 四 形 .，5A 1B 1 与 x 交于点 M ，C 1B 2 与 y 交于点 N ， A 1 B 1 与 C 1B 2 交于点 Q ， OQ .y 2 x2 tx4t 3y34t3 5t由11 ，得) .⋯⋯⋯⋯⋯ (10分 )t5t ，∴ Q (3,y x2 y3A 123C 1Q∴ SSQMOSQNO1 2 t5t1 (t1)3 4tNB 2 M O D 1223 22313 t 2 t 1∴ S 的最大25B 1 O 1..12452②如 4.3所示，当34， A 1B 1O 1 与图 4.2tB 2C 1D 1 重叠部分 直角三角形 .55yA 1B 1 与 x 交于点 H ，A 1B 1 与C 1D 1 交于点 G . G (1 2t, 4 5t ) ，D 1H 2 t1 2t45t2， D 1G 4 5t .A 12C 11 D 1H gD 1G 1g 4 5tg(4 5t)1(5t 4) 2∴ S.G2 2 24H∴当341 .B 2 D 1 Ot ， S 的最大55425B 1 O 1上所述，在此运 程中ABO 与 BCD 重叠部分面 的最大.52图 4.3b1,a1,2ax 23. （ 1）依 意，得a b c 0, 解之，得 b2, ∴抛物 解析式 y2x 3 ．c 3.c3.∵ 称 x ＝－ 1，且抛物 A （ 1， 0），∴ B （－ 3， 0）． xxPC 2＝ ( － 1) 2＋ (t － 3) 2＝t 2－ 6t ＋ 10.①若 B 为直角顶点，则 22222－6t ＋ 10.解之 , 得 t ＝－ 2.BC ＋ PB ＝ PC ，即 18＋ 4＋ t ＝t ②若 C 为直角顶点，则2222＋ 10＝ 2．解之，得 t ＝ 4．BC ＋ PC ＝ PB ，即 18＋ t － 6t 4＋t③若 P 为直角顶点，则222，即 4 22＋ 10＝ 18．解之，得 t 1＝ 317 ， t 2 ＝ 3 17 ．PB ＋ PC ＝ BC ＋ t ＋ t － 6t224. 解答：（ 1）抛物线 yax 2 bx 8 经过点 A （－ 2， 0）， D （6，－ 8），4a 2b 8 0 a 11 x 23x 8 2 抛物线的函数表达式为 36a 6b8解得y8b32y1 x 23x 81 x 3 225 ， 抛物线的对称轴为直线x 3．又抛物线与 x 轴交于 A ，B 两点，点 A 的222坐标为（－ 2， 0）． 点 B 的坐标为（ 8， 0）设直线 l 的函数表达式为 y kx ． 点 D （ 6，－ 8 ）在直线 l 上，6k=－ 8，解得k4y4 x 点 E 为直线 l 和抛物线对称轴的交点．点 E 的横． 直线 l 的函数表达式为33坐标为 3，纵坐标为4 4 ，即点 E 的坐标为（ 3，－ 4 ）33（ 2）抛物线上存在点 F ，使 FOE ≌ FCE ．点 F 的坐标为（ 317, 4）或（ 3 17, 4）．（ 3）解法一：分两种情况：①当 OPOQ 时， OPQ 是等腰三角形．点 E 的坐标为（ 3，－ 4）， OE 324 25 ，过点 E 作直线 ME// PB ， 交 y 轴于点 M ，交 x 轴于点 H ，则OMOE ， OM OE5OPOQ点 M 的坐标为（ 0，－ 5）．设直线 ME 的表达式为 yk x 53k5 4，解得k11 ME 的函数表达式为15，令 y=0，， ， y x11331得 x 5 0 ，解得 x=15，点 H 的坐标为（ 15， 0）3MH//PB ，OP OB ，即 m 8 ， 8又mOMOH5153②当 QO QP 时， OPQ 是等腰三角形．当 x=0 时， y1 x 23 x88 ， 点 C 的坐标为（ 0，－ 8），2CE32(8 4)25 ， OE=CE ，12 ，又因为 QOQP ，13 ，38 4 ，解得 k 24，设直线交轴于点， 其函数表达式为，，23CE//PB CE x yk 2 x 8Nk 23CE 的函数表达式为y 4 x 8 ，令 y=0，得 4 x 8 0 ， x6，点 N 的坐标为（ 6， 0）3 3 CN//PB ，OP OB ，m8，解得 m 32OCON8 6 3m 的值为832时， OPQ 是等腰三角形．综上所述，当 或33解法二：当 x=0 时， y1 2 3x88 ， 点 C 的坐标为（ 0，－ 8）， 点 E 的坐标为x2（ 3 ，－ 4）， OE32 42 5 ， CE 32 (8 4)2 5 ，OE=CE ，12 ，设抛物线的对称轴交直线PB 于点 M ，交 x 轴于点 H ．分两种情况： ① 当 QOQP 时， OPQ 是等腰三角形．13 ，2 3 ， CE// PB又HM/ /y 轴， 四边形 PMEC 是平行四边形， EM CP 8 m ，HMHE EM4 ( 8 m) 4 mBH8 3 5 ， HM//y轴，BHM ∽ BOP ，HM BH4 m5m32OPBOm83②当 OP OQ 时， OPQ 是等腰三角形．EH // y 轴，OPQ ∽ EMQ ，EQ EM ， EQEMOQOPEM EQ OEOQ OE OP5 ( m) 5 m ， HM4 (5m) ，EH // y 轴，BHM ∽BOP ，HM BHOPBO1 m5 m8 当 m 的值为8 32 时， OPQ 是等腰三角形．或m83335. 解：（ 1） ∵ 抛物线 y=ax 2+bx ﹣ 5 与 y 轴交于点 C ， ∴C （ 0，﹣ 5）， ∴OC=5 ． ∵ OC=5OB ， ∴OB=1 ，又点 B 在 x 轴的负半轴上， ∴ B （﹣ 1， 0）．∵ 抛物线经过点 A （ 4，﹣ 5）和点 B （﹣ 1， 0），∴，解得， ∴ 这条抛物线的表达式为 y=x 2﹣ 4x ﹣ 5．（ 2）由 y=x 2﹣ 4x ﹣ 5，得顶点 D 的坐标为（ 2，﹣ 9）．连接 AC ，∵ 点 A 的坐标是（ 4，﹣ 5），点 C 的坐标是（ 0，﹣ 5）， 又S△ABC = ×4×5=10， S △ACD = ×4×4=8，∴ S 四边形 ABCD =S △ABC +S △ACD =18．（ 3）过点 C 作 CH ⊥ AB ，垂足为点 H ． ∵ S △ABC = ×AB ×CH=10 ，AB=5 ，∴ CH=2，在 RT △ BCH 中， ∠ BHC=90 °， BC=， BH==3，∴ tan ∠CBH== ．∵ 在 RT △ BOE 中， ∠ BOE=90 °， tan ∠ BEO= ，∵ ∠ BEO= ∠ ABC ， ∴，得 EO= ， ∴ 点 E 的坐标为（ 0，6. 解：（ 1） ∵ 抛物线 y=ax 2+bx+c 经过点 A （﹣ 3， 0）， B （ 9， 0）和 C （ 0，4）． ∴ 设抛物线的解析式为 y=a （x+3 ）（ x ﹣ 9）， ∵ C （ 0，4）在抛物线上， ∴4=﹣ 27a ，∴ a= ， ∴ 设抛物线的解析式为 y= ﹣ （ x+3 ）（ x 9 ） = ﹣ x 2，﹣﹣ + x+4 ∵ CD 垂直于 y 轴， C （ 0 4 ∴ ﹣ x 2 x+4=4 ， ∴ x=6， ∵ D （ 6，4），， ） + （ 2）如图 1， ∵ 点 F 是抛物线 y= ﹣ x 2+x+4 的顶点，∴ F （ 3，）， ∴ FH= ， ∵GH ∥ A 1O 1，∴，∴ ， ∴ GH=1 ，∵ Rt △ A 1O 1F 与矩形 OCDE 重叠部分是梯形 A 1O 1HG ，∴ S 重叠部分 =S △A1O1F ﹣S △FGH = A 1O 1×O 1F ﹣ GH ×FH= ×3×4 ﹣ ×1× = ．（ 3） ① 当 0＜ t ≤3 时，如图 2， ∵ C 2O 2∥ DE ， ∴，∴， ∴ O 2G=t ， ∴ S=S = OO 2×O 2G=t × t=t 2，△OO2G② 当 3＜ t ≤6 时，如图 3，∵ C 2 H ∥ OC ，∴，∴， ∴ C 2H= （ 6 ﹣ t ）， ∴ S=S 四边形 A2O2HG =S △A2O2C2﹣S△C2GH= OA ×OC ﹣ C 2H ×（ t ﹣3） = ×3×4﹣ × （ 6﹣ t ）（ t ﹣ 3）= t 2﹣ 3t+12∴ 当 0＜ t ≤3 时， S= t 2，当 3＜ t ≤6 时， S= t 2﹣ 3t+12．7. 解：（ 1） ∵ 抛物线 y=ax 2+bx+c 的图象经过点 A （﹣ 2，0），点 B （ 4，0），点 D （ 2， 4），∴ 设抛物线解析式为 y=a （ x+2）（ x ﹣ 4）， ∴ ﹣ 8a=4， ∴ a=﹣，∴ 抛物线解析式为 y=﹣（ x+2）（ x ﹣ 4）=﹣ x 2+x+4 ；（ 2）如图 1， ① 点 E 在直线 CD 上方的抛物线上，记E ′，连接 CE ′，过 E ′作 E ′F ′⊥ CD ，垂足为F ′，由（ 1）知， OC=4 ，∵ ∠ ACO= ∠ E ′CF ′，∴ tan ∠ ACO=tan ∠E ′CF ′，∴=，设线段 E ′F ′=h ，则 CF ′=2h ， ∴ 点 E ′（ 2h ，h+4 ）14∴ h=0 （舍） h= ∴ E ′（ 1，），② 点 E 在直线 CD 下方的抛物线上，记 E ，同 ① 的方法得， E （ 3，），点 E 的坐标为（ 1，），（3，）（ 3） ① CM 为菱形的边，如图 2，在第一象限内取点P ′P ′ P ′N ′∥ y 轴，交 BC于 N ′ P ′ P ′M ′∥ BC ，，过点 作，过点 作 交 y 轴于 M ′， ∴ 四边形 CM ′P ′N ′是平行四边形， ∵ 四边形 CM ′P ′N ′是菱形，∴ P ′M ′=P ′N ′，过点 P ′作 P ′Q ′⊥ y 轴，垂足为 Q ′， ∵ OC=OB ，∠ BOC=90 °，∴ ∠ OCB=45 °， ∴ ∠ P ′M ′C=45 °，设点 P ′（ m ，﹣ m 2+m+4 ），在 Rt △ P ′M ′Q ′中， P ′Q ′=m ， P ′M ′= m ， ∵ B （ 4， 0）， C （0， 4），∴ 直线 BC 的解析式为 y= ﹣ x+4 ，∵ P ′N ′∥ y 轴， ∴ N ′（ m ，﹣ m+4），∴ P ′N ′=﹣ m 2+m+4 ﹣（﹣ m+4） =﹣ m 2+2m ， ∴ m= ﹣ m 2+2m ， ∴ m=0 （舍）或 m=4 ﹣ 2 ，菱形 CM ′P ′N ′的边长为 （ 4﹣ 2 ） =4﹣ 4．② CM 为菱形的对角线，如图 3，在第一象限内抛物线上取点P ，过点 P 作 PM ∥BC ，交 y 轴于点 M ，连接 CP ，过点 M 作 MN ∥ CP ，交 BC 于 N ，∴ 四边形 CPMN 是平行四边形，连接PN 交 CM 于点 Q ，∵ 四边形 CPMN 是菱形， ∴ PQ ⊥ CM ， ∠ PCQ=∠ NCQ ， ∵ ∠OCB=45 °，∴ ∠ NCQ=45 ° ∴ ∠PCQ=45 ° ∴ ∠CPQ= ∠ PCQ=45° ∴ PQ=CQ， ， ， ， 设点 P （ n ，﹣ n 2+n+4）， ∴CQ=n ， OQ=n+2 ， ∴ n+4=﹣ n 2+n+4 ， ∴ n=0 （舍）， ∴ 此种情况不存在． ∴ 菱形的边长为4 ﹣ 4．8. 解：（ 1）把 A （﹣ 1，1）， B （ 2， 2）代入 y=ax 2+bx 得：，解得 ，故抛物线的函数表达式为y=x 2﹣ x ， ∵BC ∥x 轴，设 C （x 0， 2）． ∴ x 02﹣ x 0=2，解得： x 0=﹣或 x 0=2，∵ x 0＜ 0∴ C （﹣， 2）；（ 2）设 △BCM 边 BC 上的高为 h ， ∵BC= ， ∴ S △BCM =h=， ∴ h=2 ，点 M 即为抛物线上到 BC 的距离为2 的点， ∴ M 的纵坐标为 0 或 4，令 y=x 2﹣ x=0 ， 解得： x 1 =0，x 2=，∴ M 1（0，0）， M 2（， 0），令 y=x 2﹣x=4 ，解得： x 3=， x 4= ，∴ M 3（ ， 0）， M 4（， 4），综上所述： M 点的坐标为：（0， 0），（， 0），（， 0），（， 4）；（ 3）∵ A （﹣ 1， 1）， B（ 2， 2）， C（﹣， 2）， D（ 0， 2），∴ OB=2， OA=， OC=，∴ ∠ AOD= ∠ BOD=45 ° tan∠ COD=，①如图1，当△ AOC ∽ △ BON时，，∠ AOC= ∠ BON，，∴ ON=2OC=5 ，过 N 作 NE ⊥ x 轴于 E，∵ ∠ COD=45°﹣∠ AOC=45°﹣∠ BON=∠NOE，在 Rt△ NOE 中， tan∠ NOE=tan ∠ COD= ，∴ OE=4 ， NE=3，∴ N（4，3）同理可得N （3， 4）；②如图 2，当△ AOC ∽△ OBN 时，，∠ AOC=∠OBN，∴ BN=2OC=5，过 B 作 BG ⊥ x 轴于 G，过 N 作 x 轴的平行线交BG 的延长线于F，∴ NF⊥ BF，∵ ∠ COD=45 °﹣∠ AOC=45 °﹣∠ OBN= ∠NBF ，∴ tan∠NBF=tan ∠ COD= ，∴ BF=4，NF=3，∴ N （﹣ 1，﹣ 2），同理N （﹣ 2，﹣ 1），综上所述：使得△AOC与△ OBN相似（边OA 与边 OB 对应）的点N 的坐标是（ 4， 3），（ 3， 4），（﹣ 1，﹣ 2），（﹣ 2，﹣ 1）．。
2017年中考数学二次函数压轴题汇编
1．如图，直线y=﹣x+c与x轴交于点A（3，0），与y轴交于点B，抛物线y=﹣x2+bx+c经过点A，B．（1）求点B的坐标和抛物线的解析式；（2）M（m，0）为x轴上一动点，过点M且垂直于x轴的直线与直线AB 及抛物线分别交于点P，N．①点M在线段OA上运动，若以B，P，N为顶点的三角形与△APM相似，求点M的坐标；②点M在x轴上自由运动，若三个点M，P，N中恰有一点是其它两点所连线段的中点（三点重合除外），则称M，P，N三点为“共谐点”．请直接写出使得M，P，N三点成为“共谐点”的m的值．2．如图1，在平面直角坐标系xOy中，抛物线C：y=ax2+bx+c与x轴相交于A，B两点，顶点为D（0，4），AB=4，设点F（m，0）是x轴的正半轴上一点，将抛物线C绕点F旋转180°，得到新的抛物线C′．（1）求抛物线C的函数表达式；（2）若抛物线C′与抛物线C在y轴的右侧有两个不同的公共点，求m的取值范围．（3）如图2，P是第一象限内抛物线C上一点，它到两坐标轴的距离相等，点P在抛物线C′上的对应点P′，设M是C上的动点，N是C′上的动点，试探究四边形PMP′N能否成为正方形？若能，求出m的值；若不能，请说明理由．3．在平面直角坐标系xOy中的点P和图形M，给出如下的定义：若在图形M上存在一点Q，使得P、Q两点间的距离小于或等于1，则称P为图形M 的关联点．（1）当⊙O的半径为2时，①在点P1（，0），P2（，），P3（，0）中，⊙O的关联点是．②点P在直线y=﹣x上，若P为⊙O的关联点，求点P的横坐标的取值范围．（2）⊙C的圆心在x轴上，半径为2，直线y=﹣x+1与x轴、y轴交于点A、B．若线段AB上的所有点都是⊙C的关联点，直接写出圆心C的横坐标的取值范围．4．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=﹣x2+ax+b交x轴于A（1，0），B （3，0）两点，点P是抛物线上在第一象限内的一点，直线BP与y轴相交于点C．（1）求抛物线y=﹣x2+ax+b的解析式；（2）当点P是线段BC的中点时，求点P的坐标；（3）在（2）的条件下，求sin∠OCB的值．5．如图，抛物线y=﹣x2+bx+c与x轴交于点A和点B，与y轴交于点C，点B坐标为（6，0），点C坐标为（0，6），点D是抛物线的顶点，过点D作x 轴的垂线，垂足为E，连接BD．（1）求抛物线的解析式及点D的坐标；（2）点F是抛物线上的动点，当∠FBA=∠BDE时，求点F的坐标；（3）若点M是抛物线上的动点，过点M作MN∥x轴与抛物线交于点N，点P在x轴上，点Q在坐标平面内，以线段MN为对角线作正方形MPNQ，请写出点Q的坐标．6．已知抛物线y=x2+bx﹣3（b是常数）经过点A（﹣1，0）．（1）求该抛物线的解析式和顶点坐标；（2）P（m，t）为抛物线上的一个动点，P关于原点的对称点为P'．①当点P'落在该抛物线上时，求m的值；②当点P'落在第二象限内，P'A2取得最小值时，求m的值．7．在同一直角坐标系中，抛物线C1：y=ax2﹣2x﹣3与抛物线C2：y=x2+mx+n 关于y轴对称，C2与x轴交于A、B两点，其中点A在点B的左侧．（1）求抛物线C1，C2的函数表达式；（2）求A、B两点的坐标；（3）在抛物线C1上是否存在一点P，在抛物线C2上是否存在一点Q，使得以AB为边，且以A、B、P、Q四点为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出P、Q两点的坐标；若不存在，请说明理由．8．已知函数y=﹣x2+（m﹣1）x+m（m为常数）．（1）该函数的图象与x轴公共点的个数是．A.0B.1C.2D.1或2（2）求证：不论m为何值，该函数的图象的顶点都在函数y=（x+1）2的图象上．（3）当﹣2≤m≤3时，求该函数的图象的顶点纵坐标的取值范围．9．已知直线y=2x+m与抛物线y=ax2+ax+b有一个公共点M（1，0），且a＜b．（Ⅰ）求抛物线顶点Q的坐标（用含a的代数式表示）；（Ⅱ）说明直线与抛物线有两个交点；（Ⅲ）直线与抛物线的另一个交点记为N．（ⅰ）若﹣1≤a≤﹣，求线段MN长度的取值范围；（ⅱ）求△QMN面积的最小值．10．在平面直角坐标系中，设二次函数y1=（x+a）（x﹣a﹣1），其中a≠0．（1）若函数y1的图象经过点（1，﹣2），求函数y1的表达式；（2）若一次函数y2=ax+b的图象与y1的图象经过x轴上同一点，探究实数a，b满足的关系式；（3）已知点P（x0，m）和Q（1，n）在函数y1的图象上，若m＜n，求x0的取值范围．11．定义：如图1，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于A，B两点，点P 在该抛物线上（P点与A、B两点不重合），如果△ABP的三边满足AP2+BP2=AB2，则称点P为抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的勾股点．（1）直接写出抛物线y=﹣x2+1的勾股点的坐标．（2）如图2，已知抛物线C：y=ax2+bx（a≠0）与x轴交于A，B两点，点P （1，）是抛物线C的勾股点，求抛物线C的函数表达式．（3）在（2）的条件下，点Q在抛物线C上，求满足条件S=S△ABP的Q△ABQ点（异于点P）的坐标．12．如图，二次函数y=x2+bx+c的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，OB=OC．点D在函数图象上，CD∥x轴，且CD=2，直线l是抛物线的对称轴，E是抛物线的顶点．（1）求b、c的值；（2）如图①，连接BE，线段OC上的点F关于直线l的对称点F'恰好在线段BE上，求点F的坐标；（3）如图②，动点P在线段OB上，过点P作x轴的垂线分别与BC交于点M，与抛物线交于点N．试问：抛物线上是否存在点Q，使得△PQN与△APM 的面积相等，且线段NQ的长度最小？如果存在，求出点Q的坐标；如果不存在，说明理由．13．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=x2﹣x﹣与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，对称轴与x轴交于点D，点E（4，n）在抛物线上．（1）求直线AE的解析式；（2）点P为直线CE下方抛物线上的一点，连接PC，PE．当△PCE的面积最大时，连接CD，CB，点K是线段CB的中点，点M是CP上的一点，点N是CD上的一点，求KM+MN+NK的最小值；（3）点G是线段CE的中点，将抛物线y=x2﹣x﹣沿x轴正方向平移得到新抛物线y′，y′经过点D，y′的顶点为点F．在新抛物线y′的对称轴上，是否存在点Q，使得△FGQ为等腰三角形？若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．14．如图，抛物线y=ax2+bx+2经过点A（﹣1，0），B（4，0），交y轴于点C；（1）求抛物线的解析式（用一般式表示）；=S△ABD？若存在（2）点D为y轴右侧抛物线上一点，是否存在点D使S△ABC请直接给出点D坐标；若不存在请说明理由；（3）将直线BC绕点B顺时针旋转45°，与抛物线交于另一点E，求BE的长．15．如图，直线y=kx+b（k、b为常数）分别与x轴、y轴交于点A（﹣4，0）、B（0，3），抛物线y=﹣x2+2x+1与y轴交于点C．（1）求直线y=kx+b的函数解析式；（2）若点P（x，y）是抛物线y=﹣x2+2x+1上的任意一点，设点P到直线AB 的距离为d，求d关于x的函数解析式，并求d取最小值时点P的坐标；（3）若点E在抛物线y=﹣x2+2x+1的对称轴上移动，点F在直线AB上移动，求CE+EF的最小值．16．如图，已知二次函数y=x2﹣4的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，⊙C的半径为，P为⊙C上一动点．（1）点B，C的坐标分别为B（），C（）；（2）是否存在点P，使得△PBC为直角三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；（3）连接PB，若E为PB的中点，连接OE，则OE的最大值=．17．已知点A（﹣1，1）、B（4，6）在抛物线y=ax2+bx上（1）求抛物线的解析式；（2）如图1，点F的坐标为（0，m）（m＞2），直线AF交抛物线于另一点G，过点G作x轴的垂线，垂足为H．设抛物线与x轴的正半轴交于点E，连接FH、AE，求证：FH∥AE；（3）如图2，直线AB分别交x轴、y轴于C、D两点．点P从点C出发，沿射线CD方向匀速运动，速度为每秒个单位长度；同时点Q从原点O出发，沿x轴正方向匀速运动，速度为每秒1个单位长度．点M是直线PQ与抛物线的一个交点，当运动到t秒时，QM=2PM，直接写出t的值．18．已知直线y=kx+b与抛物线y=ax2（a＞0）相交于A、B两点（点A在点B 的左侧），与y轴正半轴相交于点C，过点A作AD⊥x轴，垂足为D．（1）若∠AOB=60°，AB∥x轴，AB=2，求a的值；（2）若∠AOB=90°，点A的横坐标为﹣4，AC=4BC，求点B的坐标；（3）延长AD、BO相交于点E，求证：DE=CO．19．如图，抛物线y=mx2﹣16mx+48m（m＞0）与x轴交于A，B两点（点B 在点A左侧），与y轴交于点C，点D是抛物线上的一个动点，且位于第四象限，连接OD、BD、AC、AD，延长AD交y轴于点E．（1）若△OAC为等腰直角三角形，求m的值；（2）若对任意m＞0，C、E两点总关于原点对称，求点D的坐标（用含m 的式子表示）；（3）当点D运动到某一位置时，恰好使得∠ODB=∠OAD，且点D为线段AE 的中点，此时对于该抛物线上任意一点P（x0，y0）总有n+≥﹣4my02﹣12y0﹣50成立，求实数n的最小值．20．如图，在平面直角坐标系中，直线y=x+2与x轴交于点A，与y轴交于点C，抛物线y=﹣x2+bx+c经过A、C两点，与x轴的另一交点为点B．（1）求抛物线的函数表达式；（2）点D为直线AC上方抛物线上一动点，①连接BC、CD，设直线BD交线段AC于点E，△CDE的面积为S1，△BCE的面积为S2，求的最大值；②过点D作DF⊥AC，垂足为点F，连接CD，是否存在点D，使得△CDF中的某个角恰好等于∠BAC的2倍？若存在，求点D的横坐标；若不存在，请说明理由．21．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax2+bx+c的开口向上，且经过点A （0，）（1）若此抛物线经过点B（2，﹣），且与x轴相交于点E，F．①填空：b=（用含a的代数式表示）；②当EF2的值最小时，求抛物线的解析式；（2）若a=，当0≤x≤1，抛物线上的点到x轴距离的最大值为3时，求b 的值．22．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+1交y轴于点A，交x轴正半轴于点B（4，0），与过A点的直线相交于另一点D（3，），过点D作DC⊥x轴，垂足为C．（1）求抛物线的表达式；（2）点P在线段OC上（不与点O、C重合），过P作PN⊥x轴，交直线AD 于M，交抛物线于点N，连接CM，求△PCM面积的最大值；（3）若P是x轴正半轴上的一动点，设OP的长为t，是否存在t，使以点M、C、D、N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．23．如图，抛物线y=ax2+bx﹣3经过点A（2，﹣3），与x轴负半轴交于点B，与y轴交于点C，且OC=3OB．（1）求抛物线的解析式；（2）点D在y轴上，且∠BDO=∠BAC，求点D的坐标；（3）点M在抛物线上，点N在抛物线的对称轴上，是否存在以点A，B，M，N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出所有符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由．24．已知函数y=mx2﹣（2m﹣5）x+m﹣2的图象与x轴有两个公共点．（1）求m的取值范围，并写出当m取范围内最大整数时函数的解析式；（2）题（1）中求得的函数记为C1．①当n≤x≤﹣1时，y的取值范围是1≤y≤﹣3n，求n的值；②函数C2：y=m（x﹣h）2+k的图象由函数C1的图象平移得到，其顶点P落在以原点为圆心，半径为的圆内或圆上．设函数C1的图象顶点为M，求点P与点M距离最大时函数C2的解析式．25．如图，抛物线y=x2+x+c与x轴的负半轴交于点A，与y轴交于点B，连结AB，点C（6，）在抛物线上，直线AC与y轴交于点D．（1）求c的值及直线AC的函数表达式；（2）点P在x轴正半轴上，点Q在y轴正半轴上，连结PQ与直线AC交于点M，连结MO并延长交AB于点N，若M为PQ的中点．①求证：△APM∽△AON；②设点M的横坐标为m，求AN的长（用含m的代数式表示）．26．如图，过抛物线y=x2﹣2x上一点A作x轴的平行线，交抛物线于另一点B，交y轴于点C，已知点A的横坐标为﹣2．（1）求抛物线的对称轴和点B的坐标；（2）在AB上任取一点P，连结OP，作点C关于直线OP的对称点D；①连结BD，求BD的最小值；②当点D落在抛物线的对称轴上，且在x轴上方时，求直线PD的函数表达式．27．如图，已知抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的图象的顶点坐标是（2，1），并且经过点（4，2），直线y=x+1与抛物线交于B，D两点，以BD为直径作圆，圆心为点C，圆C与直线m交于对称轴右侧的点M（t，1），直线m上每一点的纵坐标都等于1．（1）求抛物线的解析式；（2）证明：圆C与x轴相切；（3）过点B作BE⊥m，垂足为E，再过点D作DF⊥m，垂足为F，求BE：MF的值．28．平面直角坐标系xOy中，点A、B的横坐标分别为a、a+2，二次函数y=﹣x2+（m﹣2）x+2m的图象经过点A、B，且a、m满足2a﹣m=d（d为常数）．（1）若一次函数y1=kx+b的图象经过A、B两点．①当a=1、d=﹣1时，求k的值；②若y1随x的增大而减小，求d的取值范围；（2）当d=﹣4且a≠﹣2、a≠﹣4时，判断直线AB与x轴的位置关系，并说明理由；（3）点A、B的位置随着a的变化而变化，设点A、B运动的路线与y轴分别相交于点C、D，线段CD的长度会发生变化吗？如果不变，求出CD的长；如果变化，请说明理由．29．如图，抛物线y=﹣x2+x+3与x轴交于A、B两点（点A在点B 的左侧），与y轴交于点C，连接AC、BC．点P沿AC以每秒1个单位长度的速度由点A向点C运动，同时，点Q沿BO以每秒2个单位长度的速度由点B向点O运动，当一个点停止运动时，另一个点也随之停止运动，连接PQ．过点Q作QD⊥x轴，与抛物线交于点D，与BC交于点E，连接PD，与BC交于点F．设点P的运动时间为t秒（t＞0）．（1）求直线BC的函数表达式；（2）①直接写出P，D两点的坐标（用含t的代数式表示，结果需化简）②在点P、Q运动的过程中，当PQ=PD时，求t的值；（3）试探究在点P，Q运动的过程中，是否存在某一时刻，使得点F为PD 的中点？若存在，请直接写出此时t的值与点F的坐标；若不存在，请说明理由．30．如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=x2﹣2x﹣3交x轴于A，B两点（点A在点B的左侧），将该抛物线位于x轴上方曲线记作M，将该抛物线位于x轴下方部分沿x轴翻折，翻折后所得曲线记作N，曲线N交y轴于点C，连接AC、BC．（1）求曲线N所在抛物线相应的函数表达式；（2）求△ABC外接圆的半径；（3）点P为曲线M或曲线N上的一动点，点Q为x轴上的一个动点，若以点B，C，P，Q为顶点的四边形是平行四边形，求点Q的坐标．31．如图，是将抛物线y=﹣x2平移后得到的抛物线，其对称轴为x=1，与x 轴的一个交点为A（﹣1，0），另一个交点为B，与y轴的交点为C．（1）求抛物线的函数表达式；（2）若点N为抛物线上一点，且BC⊥NC，求点N的坐标；（3）点P是抛物线上一点，点Q是一次函数y=x+的图象上一点，若四边形OAPQ为平行四边形，这样的点P、Q是否存在？若存在，分别求出点P、Q的坐标；若不存在，说明理由．32．如图，已知二次函数y=ax2+bx+3（a≠0）的图象经过点A（3，0），B（4，1），且与y轴交于点C，连接AB、AC、BC．（1）求此二次函数的关系式；（2）判断△ABC的形状；若△ABC的外接圆记为⊙M，请直接写出圆心M的坐标；（3）若将抛物线沿射线BA方向平移，平移后点A、B、C的对应点分别记为点A1、B1、C1，△A1B1C1的外接圆记为⊙M1，是否存在某个位置，使⊙M1经过原点？若存在，求出此时抛物线的关系式；若不存在，请说明理由．33．抛物线y=4x2﹣2ax+b与x轴相交于A（x1，0），B（x2，0）（0＜x1＜x2）两点，与y轴交于点C．（1）设AB=2，tan∠ABC=4，求该抛物线的解析式；（2）在（1）中，若点D为直线BC下方抛物线上一动点，当△BCD的面积最大时，求点D的坐标；（3）是否存在整数a，b使得1＜x1＜2和1＜x2＜2同时成立，请证明你的结论．34．如图，已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象经过A（﹣1，0）、B（4，0）、C（0，2）三点．（1）求该二次函数的解析式；（2）点D是该二次函数图象上的一点，且满足∠DBA=∠CAO（O是坐标原点），求点D的坐标；（3）点P是该二次函数图象上位于第一象限上的一动点，连接PA分别交BC、y轴于点E、F，若△PEB、△CEF的面积分别为S1、S2，求S1﹣S2的最大值．35．如图1，抛物线y=ax2+bx+c经过平行四边形ABCD的顶点A（0，3）、B （﹣1，0）、D（2，3），抛物线与x轴的另一交点为E．经过点E的直线l将平行四边形ABCD分割为面积相等的两部分，与抛物线交于另一点F．点P 为直线l上方抛物线上一动点，设点P的横坐标为t．（1）求抛物线的解析式；（2）当t何值时，△PFE的面积最大？并求最大值的立方根；（3）是否存在点P使△PAE为直角三角形？若存在，求出t的值；若不存在，说明理由．36．如图，某日的钱塘江观潮信息如图：按上述信息，小红将“交叉潮”形成后潮头与乙地之间的距离s（千米）与时间t（分钟）的函数关系用图3表示，其中：“11：40时甲地‘交叉潮’的潮头离乙地12千米”记为点A（0，12），点B坐标为（m，0），曲线BC可用二次函数s=t2+bt+c（b，c是常数）刻画．（1）求m的值，并求出潮头从甲地到乙地的速度；（2）11：59时，小红骑单车从乙地出发，沿江边公路以0.48千米/分的速度往甲地方向去看潮，问她几分钟后与潮头相遇？（3）相遇后，小红立即调转车头，沿江边公路按潮头速度与潮头并行，但潮头过乙地后均匀加速，而单车最高速度为0.48千米/分，小红逐渐落后．问小红与潮头相遇到落后潮头 1.8千米共需多长时间？（潮水加速阶段速度v=v0+（t﹣30），v0是加速前的速度）．37．如图1，抛物线y=ax2+bx+2与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，AB=4，矩形OBDC的边CD=1，延长DC交抛物线于点E．（1）求抛物线的解析式；（2）如图2，点P是直线EO上方抛物线上的一个动点，过点P作y轴的平行线交直线EO于点G，作PH⊥EO，垂足为H．设PH的长为l，点P的横坐标为m，求l与m的函数关系式（不必写出m的取值范围），并求出l的最大值；（3）如果点N是抛物线对称轴上的一点，抛物线上是否存在点M，使得以M，A，C，N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出所有满足条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由．38．如图，抛物线y=﹣x2+bx+c与直线AB交于A（﹣4，﹣4），B（0，4）两点，直线AC：y=﹣x﹣6交y轴于点C．点E是直线AB上的动点，过点E 作EF⊥x轴交AC于点F，交抛物线于点G．（1）求抛物线y=﹣x2+bx+c的表达式；（2）连接GB，EO，当四边形GEOB是平行四边形时，求点G的坐标；（3）①在y轴上存在一点H，连接EH，HF，当点E运动到什么位置时，以A，E，F，H为顶点的四边形是矩形？求出此时点E，H的坐标；②在①的前提下，以点E为圆心，EH长为半径作圆，点M为⊙E上一动点，求AM+CM它的最小值．39．抛物线y=ax2+bx+3经过点A（1，0）和点B（5，0）．（1）求该抛物线所对应的函数解析式；（2）该抛物线与直线y=x+3相交于C、D两点，点P是抛物线上的动点且位于x轴下方，直线PM∥y轴，分别与x轴和直线CD交于点M、N．①连结PC、PD，如图1，在点P运动过程中，△PCD的面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，说明理由；②连结PB，过点C作CQ⊥PM，垂足为点Q，如图2，是否存在点P，使得△CNQ与△PBM相似？若存在，求出满足条件的点P的坐标；若不存在，说明理由．40．《函数的图象与性质》拓展学习片段展示：【问题】如图①，在平面直角坐标系中，抛物线y=a（x﹣2）2﹣经过原点O，与x轴的另一个交点为A，则a=．【操作】将图①中抛物线在x轴下方的部分沿x轴折叠到x轴上方，将这部分图象与原抛物线剩余部分的图象组成的新图象记为G，如图②．直接写出图象G对应的函数解析式．【探究】在图②中，过点B（0，1）作直线l平行于x轴，与图象G的交点从左至右依次为点C，D，E，F，如图③．求图象G在直线l上方的部分对应的函数y随x增大而增大时x的取值范围．【应用】P是图③中图象G上一点，其横坐标为m，连接PD，PE．直接写出△PDE的面积不小于1时m的取值范围．1．如图1，经过原点O的抛物线y=ax2+bx（a≠0）与x轴交于另一点A（，0），在第一象限内与直线y=x交于点B（2，t）．（1）求这条抛物线的表达式；（2）在第四象限内的抛物线上有一点C，满足以B，O，C为顶点的三角形的面积为2，求点C的坐标；（3）如图2，若点M在这条抛物线上，且∠MBO=∠ABO，在（2）的条件下，是否存在点P，使得△POC∽△MOB？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．2．如图①，在平面直角坐标系中，二次函数y=﹣x2+bx+c的图象与坐标轴交于A，B，C三点，其中点A的坐标为（﹣3，0），点B的坐标为（4，0），连接AC，BC．动点P从点A出发，在线段AC上以每秒1个单位长度的速度向点C作匀速运动；同时，动点Q从点O出发，在线段OB上以每秒1个单位长度的速度向点B作匀速运动，当其中一点到达终点时，另一点随之停止运动，设运动时间为t秒．连接PQ．（1）填空：b=，c=；（2）在点P，Q运动过程中，△APQ可能是直角三角形吗？请说明理由；（3）在x轴下方，该二次函数的图象上是否存在点M，使△PQM是以点P 为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，请求出运动时间t；若不存在，请说明理由；（4）如图②，点N的坐标为（﹣，0），线段PQ的中点为H，连接NH，当点Q关于直线NH的对称点Q′恰好落在线段BC上时，请直接写出点Q′的坐标．3．定义：对于给定的两个函数，任取自变量x的一个值，当x＜0时，它们对应的函数值互为相反数；当x≥0时，它们对应的函数值相等，我们称这样的两个函数互为相关函数．例如：一次函数y=x﹣1，它的相关函数为y=．（1）已知点A（﹣5，8）在一次函数y=ax﹣3的相关函数的图象上，求a的值；（2）已知二次函数y=﹣x2+4x﹣．①当点B（m，）在这个函数的相关函数的图象上时，求m的值；②当﹣3≤x≤3时，求函数y=﹣x2+4x﹣的相关函数的最大值和最小值；（3）在平面直角坐标系中，点M，N的坐标分别为（﹣，1），（，1），连结MN．直接写出线段MN与二次函数y=﹣x2+4x+n的相关函数的图象有两个公共点时n的取值范围．4．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知A，B两点的坐标分别为（﹣4，0），（4，0），C（m，0）是线段A B上一点（与A，B点不重合），抛物线L1：y=ax2+b1x+c1（a＜0）经过点A，C，顶点为D，抛物线L2：y=ax2+b2x+c2（a＜0）经过点C，B，顶点为E，AD，BE的延长线相交于点F．（1）若a=﹣，m=﹣1，求抛物线L1，L2的解析式；（2）若a=﹣1，AF⊥BF，求m的值；（3）是否存在这样的实数a（a＜0），无论m取何值，直线AF与BF都不可能互相垂直？若存在，请直接写出a的两个不同的值；若不存在，请说明理由．5．如图，已知抛物线y=ax2﹣2ax﹣9a与坐标轴交于A，B，C三点，其中C（0，3），∠BAC的平分线AE交y轴于点D，交BC于点E，过点D的直线l与射线AC，AB分别交于点M，N．（1）直接写出a的值、点A的坐标及抛物线的对称轴；（2）点P为抛物线的对称轴上一动点，若△PAD为等腰三角形，求出点P 的坐标；（3）证明：当直线l绕点D旋转时，+均为定值，并求出该定值．6．如图1，矩形OABC的顶点A，C的坐标分别为（4，0），（0，6），直线AD交B C于点D，tan∠OAD=2，抛物线M1：y=ax2+bx（a≠0）过A，D两点．（1）求点D的坐标和抛物线M1的表达式；（2）点P是抛物线M1对称轴上一动点，当∠CPA=90°时，求所有符合条件的点P的坐标；（3）如图2，点E（0，4），连接AE，将抛物线M1的图象向下平移m（m＞0）个单位得到抛物线M2．①设点D平移后的对应点为点D′，当点D′恰好在直线AE上时，求m的值；②当1≤x≤m（m＞1）时，若抛物线M2与直线AE有两个交点，求m的取值范围．7．如图，已知抛物线y=ax2+2x+c与y轴交于点A（0，6），与x轴交于点B （6，0），点P是线段AB上方抛物线上的一个动点．（1）求这条抛物线的表达式及其顶点坐标；（2）当点P移动到抛物线的什么位置时，使得∠PAB=75°，求出此时点P的坐标；（3）当点P从A点出发沿线段AB上方的抛物线向终点B移动，在移动中，点P的横坐标以每秒1个单位长度的速度变动；与此同时点M以每秒1个单位长度的速度沿AO向终点O移动，点P，M移动到各自终点时停止．当两个动点移动t秒时，求四边形PAMB的面积S关于t的函数表达式，并求t 为何值时，S有最大值，最大值是多少？8．如图，直线y=﹣x+分别与x轴、y轴交于B、C两点，点A在x轴上，∠ACB=90°，抛物线y=ax2+bx+经过A，B两点．（1）求A、B两点的坐标；（2）求抛物线的解析式；（3）点M是直线BC上方抛物线上的一点，过点M作MH⊥BC于点H，作MD∥y轴交BC于点D，求△DMH周长的最大值．9．如图，抛物线y=ax2+bx﹣2的对称轴是直线x=1，与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，点A的坐标为（﹣2，0），点P为抛物线上的一个动点，过点P作PD⊥x轴于点D，交直线BC于点E．（1）求抛物线解析式；（2）若点P在第一象限内，当OD=4PE时，求四边形POBE的面积；（3）在（2）的条件下，若点M为直线BC上一点，点N为平面直角坐标系内一点，是否存在这样的点M和点N，使得以点B，D，M，N为顶点的四边形是菱形？若存在，直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由．【温馨提示：考生可以根据题意，在备用图中补充图形，以便探究】10．如图，抛物线y=﹣x2+bx+c与x轴分别交于A（﹣1，0），B（5，0）两点．（1）求抛物线的解析式；（2）在第二象限内取一点C，作CD垂直X轴于点D，链接AC，且AD=5，CD=8，将Rt△ACD沿x轴向右平移m个单位，当点C落在抛物线上时，求m 的值；（3）在（2）的条件下，当点C第一次落在抛物线上记为点E，点P是抛物线对称轴上一点．试探究：在抛物线上是否存在点Q，使以点B、E、P、Q 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．11．如图，已知抛物线y=ax2+bx+c过点A（﹣1，0），B（3，0），C（0，3），点M、N为抛物线上的动点，过点M作MD∥y轴，交直线BC于点D，交x 轴于点E．（1）求二次函数y=ax2+bx+c的表达式；（2）过点N作NF⊥x轴，垂足为点F，若四边形MNFE为正方形（此处限定点M在对称轴的右侧），求该正方形的面积；（3）若∠DMN=90°，MD=MN，求点M的横坐标．12．如图1，已知二次函数y=ax2+bx+c（a、b、c为常数，a≠0）的图象过点O（0，0）和点A（4，0），函数图象最低点M的纵坐标为﹣，直线l的解析式为y=x．（1）求二次函数的解析式；（2）直线l沿x轴向右平移，得直线l′，l′与线段OA相交于点B，与x轴下方的抛物线相交于点C，过点C作CE⊥x轴于点E，把△BCE沿直线l′折叠，当点E恰好落在抛物线上点E′时（图2），求直线l′的解析式；（3）在（2）的条件下，l′与y轴交于点N，把△BON绕点O逆时针旋转135°得到△B′ON′，P为l′上的动点，当△PB′N′为等腰三角形时，求符合条件的点P的坐标．13．如图，矩形OABC的两边在坐标轴上，点A的坐标为（10，0），抛物线y=ax2+bx+4过点B，C两点，且与x轴的一个交点为D（﹣2，0），点P是线段CB上的动点，设CP=t（0＜t＜10）．（1）请直接写出B、C两点的坐标及抛物线的解析式；（2）过点P作PE⊥BC，交抛物线于点E，连接BE，当t为何值时，∠PBE=∠OCD？（3）点Q是x轴上的动点，过点P作PM∥BQ，交CQ于点M，作PN∥CQ，交BQ于点N，当四边形PMQN为正方形时，请求出t的值．14．如图所示，在平面直角坐标系中，⊙C经过坐标原点O，且与x轴，y 轴分别相交于M（4，0），N（0，3）两点．已知抛物线开口向上，与⊙C交于N，H，P三点，P为抛物线的顶点，抛物线的对称轴经过点C且垂直x轴于点D．（1）求线段CD的长及顶点P的坐标；（2）求抛物线的函数表达式；（3）设抛物线交x轴于A，B两点，在抛物线上是否存在点Q，使得S四边形=8S△QAB，且△QAB∽△OBN成立？若存在，请求出Q点的坐标；若不存OPMN在，请说明理由．15．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）与y轴交与点C（0，3），与x轴交于A、B两点，点B坐标为（4，0），抛物线的对称轴方程为x=1．（1）求抛物线的解析式；（2）点M从A点出发，在线段AB上以每秒3个单位长度的速度向B点运动，同时点N从B点出发，在线段BC上以每秒1个单位长度的速度向C点运动，其中一个点到达终点时，另一个点也停止运动，设△MBN的面积为S，点M运动时间为t，试求S与t的函数关系，并求S的最大值；（3）在点M运动过程中，是否存在某一时刻t，使△MBN为直角三角形？若存在，求出t值；若不存在，请说明理由．16．已知抛物线y=ax2+bx+c，其中2a=b＞0＞c，且a+b+c=0．（1）直接写出关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0的一个根；（2）证明：抛物线y=ax2+bx+c的顶点A在第三象限；（3）直线y=x+m与x，y轴分别相交于B，C两点，与抛物线y=ax2+bx+c相。
2017年中考数学分类汇编二次函数压轴题14道.doc
中考数学分类汇编二次函数压轴题1.（ 2016?成都第 28 题）如图，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线y=a（ x+1）2﹣ 3 与 x 轴交于 A， B 两点（点 A 在点 B 的左侧），与 y 轴交于点 C（ 0，﹣），顶点为D ，对称轴与x 轴交于点H，过点 H 的直线 l 交抛物线于P， Q 两点，点Q 在 y 轴的右侧．（ 1）求 a 的值及点A，B 的坐标；（ 2）当直线l 将四边形ABCD 分为面积比为3： 7 的两部分时，求直线l 的函数表达式；（ 3）当点 P 位于第二象限时，设PQ的中点为M，点 N 在抛物线上，则以 DP 为对角线的四边形DMPN 能否为菱形？若能，求出点N 的坐标；若不能，请说明理由．2.（ 2016?扬州第 28 题）如图 1，二次函数y = ax2 + bx 的图像过点A（-1， 3），顶点 B 的横坐标为 1.（ 1）求这个二次函数的表达式；（ 2）点 P 在该二次函数的图像上，点Q 在 x 轴上，若以A、B、P、Q 为顶点的四边形是平行四边形，求点P 的坐标；（ 3）如图 3，一次函数y = kx （k＞0）的图像与该二次函数的图像交于O、 C 两点，点T 为该二次函数图像上位于直线 OC 下方的动点，过点 T 作直线 TM⊥ OC，垂足为点M ，且 M 在线段 OC 上（不与 O、C 重合），过点 T 作直线 TN∥ y 轴交 OC 于点 N。
若在点 T 运动的过程中，ON 2 为常数，试确定k 的值。
OMy y yA3 AN C1 M T-1 O x O x O xBB图1 图 2（备用图）图 3二、与轴对称和等腰三角形性质有关的综合题3.（ 2016?益阳第 21 题）如图，顶点为A( 3,1) 的抛物线经过坐标原点O，与x轴交于点B．（1）求抛物线对应的二次函数的表达式；（2）过 B 作 OA 的平行线交y轴于点 C，交抛物线于点D，求证：△ OCD ≌△ OAB ；（ 3）在x轴上找一点P ，使得△PCD的周长最小，求出P 点的坐标．4.（ 2016?哈尔滨第27 题）如图，二次函数y＝ ax 2＋bx（ a≠0）的图象经过点 A（ 1， 4），对称轴是直线 x＝－3，线2段 AD 平行于 x 轴，交抛物线于点D．在 y 轴上取一点 C（ 0，2），直线 AC 交抛物线于点B，连结 OA，OB，OD，BD ．（ 1）求该二次函数的解析式；（ 2）设点 F 是 BD 的中点，点 P 是线段 DO 上的动点，将△BPF 沿边 PF 翻折，得到△′′B PF ，使△ B PF 与△ DPF 重叠部分的面积是△BDP 的面积的 1 ′上方，求线段 PD 的长度 ;4 ，若点 B在 OD（ 3）在（ 2）的条件下，过′′H⊥PF 于H ′H交于点 M，点 G 在线段B 作 B ，点 Q 在 OD 下方的抛物线上，连接 AQ 与 BAM 上，使∠ HPN+∠ DAQ =135 °，延长 PG 交 AD 于 N．若′M= 5AN+ B 求点 Q 的坐标．2y y yD A D A D AC C CO x O x O xB B B三、与图形的平移与旋转变换性质有关的综合题5.（ 2016?重庆第 26 题）如图 1，二次函数y1 x 2- 2x 1的图象与一次函数y=kx+b(k≠0)的图象交于A，B两点，点2A 的坐标为（ 0,1），点B 在第一象限内，点交点，过点 B 作 x 轴的垂线，垂足为 N，且（1）求直线 AB 和直线 BC 的解析式；（2）点 P 是线段 AB 上一点，点 D 是线段C 是二次函数图象的顶点，点M 是一次函数y=kx+b(k≠ 0)的图象与 x 轴的S△AMO︰ S 四边形AONB =1︰48。
2017年中考数学二次函数压轴题汇编之三
2017年中考数学二次函数压轴题汇编1．如图1，经过原点O的抛物线y=ax2+bx（a≠0）与x轴交于另一点A（，0），在第一象限内与直线y=x交于点B（2，t）．（1）求这条抛物线的表达式；（2）在第四象限内的抛物线上有一点C，满足以B，O，C为顶点的三角形的面积为2，求点C的坐标；（3）如图2，若点M在这条抛物线上，且∠MBO=∠ABO，在（2）的条件下，是否存在点P，使得△POC∽△MOB？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．2．如图①，在平面直角坐标系中，二次函数y=﹣x2+bx+c的图象与坐标轴交于A，B，C三点，其中点A的坐标为（﹣3，0），点B的坐标为（4，0），连接AC，BC．动点P从点A出发，在线段AC上以每秒1个单位长度的速度向点C作匀速运动；同时，动点Q从点O出发，在线段OB上以每秒1个单位长度的速度向点B作匀速运动，当其中一点到达终点时，另一点随之停止运动，设运动时间为t秒．连接PQ．（1）填空：b=，c=；（2）在点P，Q运动过程中，△APQ可能是直角三角形吗？请说明理由；（3）在x轴下方，该二次函数的图象上是否存在点M，使△PQM是以点P 为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，请求出运动时间t；若不存在，请说明理由；（4）如图②，点N的坐标为（﹣，0），线段PQ的中点为H，连接NH，当点Q关于直线NH的对称点Q′恰好落在线段BC上时，请直接写出点Q′的坐标．3．定义：对于给定的两个函数，任取自变量x的一个值，当x＜0时，它们对应的函数值互为相反数；当x≥0时，它们对应的函数值相等，我们称这样的两个函数互为相关函数．例如：一次函数y=x﹣1，它的相关函数为y=．（1）已知点A（﹣5，8）在一次函数y=ax﹣3的相关函数的图象上，求a的值；（2）已知二次函数y=﹣x2+4x﹣．①当点B（m，）在这个函数的相关函数的图象上时，求m的值；②当﹣3≤x≤3时，求函数y=﹣x2+4x﹣的相关函数的最大值和最小值；（3）在平面直角坐标系中，点M，N的坐标分别为（﹣，1），（，1），连结MN．直接写出线段MN与二次函数y=﹣x2+4x+n的相关函数的图象有两个公共点时n的取值范围．4．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知A，B两点的坐标分别为（﹣4，0），（4，0），C（m，0）是线段A B上一点（与A，B点不重合），抛物线L1：y=ax2+b1x+c1（a＜0）经过点A，C，顶点为D，抛物线L2：y=ax2+b2x+c2（a＜0）经过点C，B，顶点为E，AD，BE的延长线相交于点F．（1）若a=﹣，m=﹣1，求抛物线L1，L2的解析式；（2）若a=﹣1，AF⊥BF，求m的值；（3）是否存在这样的实数a（a＜0），无论m取何值，直线AF与BF都不可能互相垂直？若存在，请直接写出a的两个不同的值；若不存在，请说明理由．5．如图，已知抛物线y=ax2﹣2ax﹣9a与坐标轴交于A，B，C三点，其中C（0，3），∠BAC的平分线AE交y轴于点D，交BC于点E，过点D的直线l与射线AC，AB分别交于点M，N．（1）直接写出a的值、点A的坐标及抛物线的对称轴；（2）点P为抛物线的对称轴上一动点，若△PAD为等腰三角形，求出点P 的坐标；（3）证明：当直线l绕点D旋转时，+均为定值，并求出该定值．6．如图1，矩形OABC的顶点A，C的坐标分别为（4，0），（0，6），直线AD交B C于点D，tan∠OAD=2，抛物线M1：y=ax2+bx（a≠0）过A，D两点．（1）求点D的坐标和抛物线M1的表达式；（2）点P是抛物线M1对称轴上一动点，当∠CPA=90°时，求所有符合条件的点P的坐标；（3）如图2，点E（0，4），连接AE，将抛物线M1的图象向下平移m（m＞0）个单位得到抛物线M2．①设点D平移后的对应点为点D′，当点D′恰好在直线AE上时，求m的值；②当1≤x≤m（m＞1）时，若抛物线M2与直线AE有两个交点，求m的取值范围．7．如图，已知抛物线y=ax2+2x+c与y轴交于点A（0，6），与x轴交于点B （6，0），点P是线段AB上方抛物线上的一个动点．（1）求这条抛物线的表达式及其顶点坐标；（2）当点P移动到抛物线的什么位置时，使得∠PAB=75°，求出此时点P的坐标；（3）当点P从A点出发沿线段AB上方的抛物线向终点B移动，在移动中，点P的横坐标以每秒1个单位长度的速度变动；与此同时点M以每秒1个单位长度的速度沿AO向终点O移动，点P，M移动到各自终点时停止．当两个动点移动t秒时，求四边形PAMB的面积S关于t的函数表达式，并求t 为何值时，S有最大值，最大值是多少？8．如图，直线y=﹣x+分别与x轴、y轴交于B、C两点，点A在x轴上，∠ACB=90°，抛物线y=ax2+bx+经过A，B两点．（1）求A、B两点的坐标；（2）求抛物线的解析式；（3）点M是直线BC上方抛物线上的一点，过点M作MH⊥BC于点H，作MD∥y轴交BC于点D，求△DMH周长的最大值．9．如图，抛物线y=ax2+bx﹣2的对称轴是直线x=1，与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，点A的坐标为（﹣2，0），点P为抛物线上的一个动点，过点P作PD⊥x轴于点D，交直线BC于点E．（1）求抛物线解析式；（2）若点P在第一象限内，当OD=4PE时，求四边形POBE的面积；（3）在（2）的条件下，若点M为直线BC上一点，点N为平面直角坐标系内一点，是否存在这样的点M和点N，使得以点B，D，M，N为顶点的四边形是菱形？若存在，直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由．【温馨提示：考生可以根据题意，在备用图中补充图形，以便探究】10．如图，抛物线y=﹣x2+bx+c与x轴分别交于A（﹣1，0），B（5，0）两点．（1）求抛物线的解析式；（2）在第二象限内取一点C，作CD垂直X轴于点D，链接AC，且AD=5，CD=8，将Rt△ACD沿x轴向右平移m个单位，当点C落在抛物线上时，求m 的值；（3）在（2）的条件下，当点C第一次落在抛物线上记为点E，点P是抛物线对称轴上一点．试探究：在抛物线上是否存在点Q，使以点B、E、P、Q 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．11．如图，已知抛物线y=ax2+bx+c过点A（﹣1，0），B（3，0），C（0，3），点M、N为抛物线上的动点，过点M作MD∥y轴，交直线BC于点D，交x 轴于点E．（1）求二次函数y=ax2+bx+c的表达式；（2）过点N作NF⊥x轴，垂足为点F，若四边形MNFE为正方形（此处限定点M在对称轴的右侧），求该正方形的面积；（3）若∠DMN=90°，MD=MN，求点M的横坐标．12．如图1，已知二次函数y=ax2+bx+c（a、b、c为常数，a≠0）的图象过点O（0，0）和点A（4，0），函数图象最低点M的纵坐标为﹣，直线l的解析式为y=x．（1）求二次函数的解析式；（2）直线l沿x轴向右平移，得直线l′，l′与线段OA相交于点B，与x轴下方的抛物线相交于点C，过点C作CE⊥x轴于点E，把△BCE沿直线l′折叠，当点E恰好落在抛物线上点E′时（图2），求直线l′的解析式；（3）在（2）的条件下，l′与y轴交于点N，把△BON绕点O逆时针旋转135°得到△B′ON′，P为l′上的动点，当△PB′N′为等腰三角形时，求符合条件的点P的坐标．13．如图，矩形OABC的两边在坐标轴上，点A的坐标为（10，0），抛物线y=ax2+bx+4过点B，C两点，且与x轴的一个交点为D（﹣2，0），点P是线段CB上的动点，设CP=t（0＜t＜10）．（1）请直接写出B、C两点的坐标及抛物线的解析式；（2）过点P作PE⊥BC，交抛物线于点E，连接BE，当t为何值时，∠PBE=∠OCD？（3）点Q是x轴上的动点，过点P作PM∥BQ，交CQ于点M，作PN∥CQ，交BQ于点N，当四边形PMQN为正方形时，请求出t的值．14．如图所示，在平面直角坐标系中，⊙C经过坐标原点O，且与x轴，y 轴分别相交于M（4，0），N（0，3）两点．已知抛物线开口向上，与⊙C交于N，H，P三点，P为抛物线的顶点，抛物线的对称轴经过点C且垂直x轴于点D．（1）求线段CD的长及顶点P的坐标；（2）求抛物线的函数表达式；（3）设抛物线交x轴于A，B两点，在抛物线上是否存在点Q，使得S四边形=8S△QAB，且△QAB∽△OBN成立？若存在，请求出Q点的坐标；若不存OPMN在，请说明理由．15．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）与y轴交与点C（0，3），与x轴交于A、B两点，点B坐标为（4，0），抛物线的对称轴方程为x=1．（1）求抛物线的解析式；（2）点M从A点出发，在线段AB上以每秒3个单位长度的速度向B点运动，同时点N从B点出发，在线段BC上以每秒1个单位长度的速度向C点运动，其中一个点到达终点时，另一个点也停止运动，设△MBN的面积为S，点M运动时间为t，试求S与t的函数关系，并求S的最大值；（3）在点M运动过程中，是否存在某一时刻t，使△MBN为直角三角形？若存在，求出t值；若不存在，请说明理由．16．已知抛物线y=ax2+bx+c，其中2a=b＞0＞c，且a+b+c=0．（1）直接写出关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0的一个根；（2）证明：抛物线y=ax2+bx+c的顶点A在第三象限；（3）直线y=x+m与x，y轴分别相交于B，C两点，与抛物线y=ax2+bx+c相交于A，D两点．设抛物线y=ax2+bx+c的对称轴与x轴相交于E．如果在对称=S△ADE，轴左侧的抛物线上存在点F，使得△ADF与△BOC相似，并且S△ADF求此时抛物线的表达式．17．已知二次函数y=﹣x2+bx+c+1，①当b=1时，求这个二次函数的对称轴的方程；②若c=﹣b2﹣2b，问：b为何值时，二次函数的图象与x轴相切？③若二次函数的图象与x轴交于点A（x1，0），B（x2，0），且x1＜x2，b＞0，与y轴的正半轴交于点M，以AB为直径的半圆恰好过点M，二次函数的对称轴l与x轴、直线BM、直线AM分别交于点D、E、F，且满足=，求二次函数的表达式．18．如图1，点A坐标为（2，0），以OA为边在第一象限内作等边△OAB，点C为x轴上一动点，且在点A右侧，连接BC，以BC为边在第一象限内作等边△BCD，连接AD交BC于E．（1）①直接回答：△OBC与△ABD全等吗？②试说明：无论点C如何移动，AD始终与OB平行；（2）当点C运动到使AC2=AE•AD时，如图2，经过O、B、C三点的抛物线为y1．试问：y1上是否存在动点P，使△BEP为直角三角形且BE为直角边？若存在，求出点P坐标；若不存在，说明理由；（3）在（2）的条件下，将y1沿x轴翻折得y2，设y1与y2组成的图形为M，函数y=x+m的图象l与M有公共点．试写出：l与M的公共点为3个时，m的取值．19．抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A（1，0），B（m，0），与y轴交于C．（1）若m=﹣3，求抛物线的解析式，并写出抛物线的对称轴；（2）如图1，在（1）的条件下，设抛物线的对称轴交x轴于D，在对称轴=S△ACD，求点E的坐标；左侧的抛物线上有一点E，使S△ACE（3）如图2，设F（﹣1，﹣4），FG⊥y于G，在线段OG上是否存在点P，使∠OBP=∠FPG？若存在，求m的取值范围；若不存在，请说明理由．20．在平面直角坐标系xOy中，规定：抛物线y=a（x﹣h）2+k的伴随直线为y=a（x﹣h）+k．例如：抛物线y=2（x+1）2﹣3的伴随直线为y=2（x+1）﹣3，即y=2x﹣1．（1）在上面规定下，抛物线y=（x+1）2﹣4的顶点坐标为，伴随直线为，抛物线y=（x+1）2﹣4与其伴随直线的交点坐标为和；（2）如图，顶点在第一象限的抛物线y=m（x﹣1）2﹣4m与其伴随直线相交于点A，B（点A在点B的左侧），与x轴交于点C，D．①若∠CAB=90°，求m的值；②如果点P（x，y）是直线BC上方抛物线上的一个动点，△PBC的面积记为S，当S取得最大值时，求m的值．21．我们知道，经过原点的抛物线可以用y=ax2+bx（a≠0）表示，对于这样的抛物线：（1）当抛物线经过点（﹣2，0）和（﹣1，3）时，求抛物线的表达式；（2）当抛物线的顶点在直线y=﹣2x上时，求b的值；（3）如图，现有一组这样的抛物线，它们的顶点A1、A2、…，A n在直线y=﹣2x上，横坐标依次为﹣1，﹣2，﹣3，…，﹣n（n为正整数，且n≤12），分别过每个顶点作x 轴的垂线，垂足记为B 1、B 2，…，B n ，以线段A n B n 为边向左作正方形A n B n C n D n ，如果这组抛物线中的某一条经过点D n ，求此时满足条件的正方形A n B n C n D n 的边长．22．如图，抛物线y=a （x ﹣1）（x ﹣3）与x 轴交于A ，B 两点，与y 轴的正半轴交于点C ，其顶点为D ．（1）写出C ，D 两点的坐标（用含a 的式子表示）；（2）设S △BCD ：S △ABD =k ，求k 的值；（3）当△BCD 是直角三角形时，求对应抛物线的解析式．23．如图所示，顶点为（，﹣）的抛物线y=ax2+bx+c过点M（2，0）．（1）求抛物线的解析式；（2）点A是抛物线与x轴的交点（不与点M重合），点B是抛物线与y轴的交点，点C是直线y=x+1上一点（处于x轴下方），点D是反比例函数y=（k ＞0）图象上一点，若以点A，B，C，D为顶点的四边形是菱形，求k的值．24．如图，抛物线y=ax2+bx﹣2与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，已知A（3，0），且M（1，﹣）是抛物线上另一点．（1）求a、b的值；（2）连结AC，设点P是y轴上任一点，若以P、A、C三点为顶点的三角形是等腰三角形，求P点的坐标；（3）若点N是x轴正半轴上且在抛物线内的一动点（不与O、A重合），过点N作NH∥AC交抛物线的对称轴于H点．设ON=t，△ONH的面积为S，求S与t之间的函数关系式．25．如图1，在平面直角坐标系中，已知抛物线y=ax2+bx﹣5与x轴交于A（﹣1，0），B（5，0）两点，与y轴交于点C．（1）求抛物线的函数表达式；（2）若点D是y轴上的一点，且以B，C，D为顶点的三角形与△ABC相似，求点D的坐标；（3）如图2，CE∥x轴与抛物线相交于点E，点H是直线CE下方抛物线上的动点，过点H且与y轴平行的直线与BC，CE分别相交于点F，G，试探究当点H运动到何处时，四边形CHEF的面积最大，求点H的坐标及最大面积；（4）若点K为抛物线的顶点，点M（4，m）是该抛物线上的一点，在x轴，y轴上分别找点P，Q，使四边形PQKM的周长最小，求出点P，Q的坐标．26．如图，抛物线y=x2+bx+c经过点B（3，0），C（0，﹣2），直线l：y=﹣x﹣交y轴于点E，且与抛物线交于A，D两点，P为抛物线上一动点（不与A，D重合）．（1）求抛物线的解析式；（2）当点P在直线l下方时，过点P作PM∥x轴交l于点M，PN∥y轴交l 于点N，求PM+PN的最大值．（3）设F为直线l上的点，以E，C，P，F为顶点的四边形能否构成平行四边形？若能，求出点F的坐标；若不能，请说明理由．27．如图，⊙M的圆心M（﹣1，2），⊙M经过坐标原点O，与y轴交于点A．经过点A的一条直线l解析式为：y=﹣x+4与x轴交于点B，以M为顶点的抛物线经过x轴上点D（2，0）和点C（﹣4，0）．（1）求抛物线的解析式；（2）求证：直线l是⊙M的切线；（3）点P为抛物线上一动点，且PE与直线l垂直，垂足为E；PF∥y轴，交直线l于点F，是否存在这样的点P，使△PEF的面积最小．若存在，请求出此时点P的坐标及△PEF面积的最小值；若不存在，请说明理由．28．如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的边OA、OC分别在x轴、y 轴上，点B坐标为（4，t）（t＞0），二次函数y=x2+bx（b＜0）的图象经过点B，顶点为点D．（1）当t=12时，顶点D到x轴的距离等于；（2）点E是二次函数y=x2+bx（b＜0）的图象与x轴的一个公共点（点E与点O不重合），求OE•EA的最大值及取得最大值时的二次函数表达式；（3）矩形OABC的对角线OB、AC交于点F，直线l平行于x轴，交二次函数y=x2+bx（b＜0）的图象于点M、N，连接DM、DN，当△DMN≌△FOC时，求t的值．29．如图甲，直线y=﹣x+3与x轴、y轴分别交于点B、点C，经过B、C两点的抛物线y=x2+bx+c与x轴的另一个交点为A，顶点为P．（1）求该抛物线的解析式；（2）在该抛物线的对称轴上是否存在点M，使以C，P，M为顶点的三角形为等腰三角形？若存在，请直接写出所符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由；（3）当0＜x＜3时，在抛物线上求一点E，使△CBE的面积有最大值（图乙、丙供画图探究）．30．如图，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）与直线y=x+1相交于A（﹣1，0），B （4，m）两点，且抛物线经过点C（5，0）．（1）求抛物线的解析式；（2）点P是抛物线上的一个动点（不与点A、点B重合），过点P作直线PD ⊥x轴于点D，交直线AB于点E．①当PE=2ED时，求P点坐标；②是否存在点P使△BEC为等腰三角形？若存在请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．一．解答题（共30小题）1．如图1，经过原点O的抛物线y=ax2+bx（a≠0）与x轴交于另一点A（，0），在第一象限内与直线y=x交于点B（2，t）．（1）求这条抛物线的表达式；（2）在第四象限内的抛物线上有一点C，满足以B，O，C为顶点的三角形的面积为2，求点C的坐标；（3）如图2，若点M在这条抛物线上，且∠MBO=∠ABO，在（2）的条件下，是否存在点P，使得△POC∽△MOB？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．【分析】（1）由直线解析式可求得B点坐标，由A、B坐标，利用待定系数法可求得抛物线的表达式；（2）过C作CD∥y轴，交x轴于点E，交OB于点D，过B作BF⊥CD于点F，可设出C点坐标，利用C点坐标可表示出CD的长，从而可表示出△BOC的面积，由条件可得到关于C点坐标的方程，可求得C点坐标；（3）设MB交y轴于点N，则可证得△ABO≌△NBO，可求得N点坐标，可求得直线BN的解析式，联立直线BM与抛物线解析式可求得M点坐标，过M作MG⊥y轴于点G，由B、C的坐标可求得OB和OC的长，由相似三角形的性质可求得的值，当点P在第一象限内时，过P作PH⊥x轴于点H，由条件可证得△MOG∽△POH，由==的值，可求得PH和OH，可求得P点坐标；当P点在第三象限时，同理可求得P点坐标．【解答】解：（1）∵B（2，t）在直线y=x上，∴t=2，∴B（2，2），把A、B两点坐标代入抛物线解析式可得，解得，∴抛物线解析式为y=2x2﹣3x；（2）如图1，过C作CD∥y轴，交x轴于点E，交OB于点D，过B作BF⊥CD于点F，∵点C是抛物线上第四象限的点，∴可设C（t，2t2﹣3t），则E（t，0），D（t，t），∴OE=t，BF=2﹣t，CD=t﹣（2t2﹣3t）=﹣2t2+4t，=S△CDO+S△CDB=CD•OE+C D•BF=（﹣2t2+4t）（t+2﹣t）=﹣2t2+4t，∴S△OBC∵△OBC的面积为2，∴﹣2t2+4t=2，解得t1=t2=1，∴C（1，﹣1）；（3）存在．连接AB、OM．设MB交y轴于点N，如图2，∵B（2，2），∴∠AOB=∠NOB=45°，在△AOB和△NOB中∴△AOB≌△NOB（ASA），∴ON=OA=，∴N（0，），∴可设直线BN解析式为y=kx+，把B点坐标代入可得2=2k+，解得k=，∴直线BN的解析式为y=x+，联立直线BN和抛物线解析式可得，解得或，∴M（﹣，），∵C（1，﹣1），∴∠COA=∠AOB=45°，且B（2，2），∴OB=2，OC=，∵△POC∽△MOB，∴==2，∠POC=∠BOM，当点P在第一象限时，如图3，过M作MG⊥y轴于点G，过P作PH⊥x轴于点H，∵∠COA=∠BOG=45°，∴∠MOG=∠POH，且∠PHO=∠MGO，∴△MOG∽△POH，∴===2，∵M（﹣，），∴MG=，OG=，∴PH=MG=，OH=OG=，∴P（，）；当点P在第三象限时，如图4，过M作MG⊥y轴于点G，过P作PH⊥y轴于点H，同理可求得PH=MG=，OH=OG=，∴P（﹣，﹣）；综上可知存在满足条件的点P，其坐标为（，）或（﹣，﹣）．【点评】本题为二次函数的综合应用，涉及待定系数法、三角形的面积、二次函数的性质、全等三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质、方程思想及分类讨论思想等知识．在（1）中注意待定系数法的应用，在（2）中用C点坐标表示出△BOC的面积是解题的关键，在（3）中确定出点P的位置，构造相似三角形是解题的关键，注意分两种情况．本题考查知识点较多，综合性较强，难度较大．2．如图①，在平面直角坐标系中，二次函数y=﹣x2+bx+c的图象与坐标轴交于A，B，C三点，其中点A的坐标为（﹣3，0），点B的坐标为（4，0），连接AC，BC．动点P从点A出发，在线段AC上以每秒1个单位长度的速度向点C作匀速运动；同时，动点Q从点O出发，在线段OB上以每秒1个单位长度的速度向点B作匀速运动，当其中一点到达终点时，另一点随之停止运动，设运动时间为t秒．连接PQ．（1）填空：b=，c=4；（2）在点P，Q运动过程中，△APQ可能是直角三角形吗？请说明理由；（3）在x轴下方，该二次函数的图象上是否存在点M，使△PQM是以点P 为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，请求出运动时间t；若不存在，请说明理由；（4）如图②，点N的坐标为（﹣，0），线段PQ的中点为H，连接NH，当点Q关于直线NH的对称点Q′恰好落在线段BC上时，请直接写出点Q′的坐标．【分析】（1）设抛物线的解析式为y=a（x+3）（x﹣4）．将a=﹣代入可得到抛物线的解析式，从而可确定出b、c的值；（2）连结QC．先求得点C的坐标，则PC=5﹣t，依据勾股定理可求得AC=5，CQ2=t2+16，接下来，依据CQ2﹣CP2=AQ2﹣AP2列方程求解即可；（3）过点P作DE∥x轴，分别过点M、Q作MD⊥DE、QE⊥DE，垂足分别为D、E，MD交x轴与点F，过点P作PG⊥x轴，垂足为点G，首先证明△PAG∽△ACO，依据相似三角形的性质可得到PG=t，AG=t，然后可求得PE、DF的长，然后再证明△MDP≌PEQ，从而得到PD=EQ=t，MD=PE=3+t，然后可求得FM和OF的长，从而可得到点M的坐标，然后将点M的坐标代入抛物线的解析式求解即可；（4）连结：OP，取OP的中点R，连结RH，NR，延长NR交线段BC与点Q′．首先依据三角形的中位线定理得到RH=QO=t，RH∥OQ，NR=AP=t，则RH=NR，接下来，依据等腰三角形的性质和平行线的性质证明NH是∠QNQ′的平分线，然后求得直线NR和BC的解析式，最后求得直线NR和BC的交点坐标即可．【解答】解：（1）设抛物线的解析式为y=a（x+3）（x﹣4）．将a=﹣代入得：y=﹣x2+x+4，∴b=，c=4．（2）在点P、Q运动过程中，△APQ不可能是直角三角形．理由如下：连结QC．∵在点P、Q运动过程中，∠PAQ、∠PQA始终为锐角，∴当△APQ是直角三角形时，则∠APQ=90°．将x=0代入抛物线的解析式得：y=4，∴C（0，4）．∵AP=OQ=t，∴PC=5﹣t，∵在Rt△AOC中，依据勾股定理得：AC=5，在Rt△COQ中，依据勾股定理可知：CQ2=t2+16，在Rt△CPQ中依据勾股定理可知：PQ2=CQ2﹣CP2，在Rt△APQ 中，AQ2﹣AP2=PQ2，∴CQ2﹣CP2=AQ2﹣AP2，即（3+t）2﹣t2=t2+16﹣（5﹣t）2，解得：t=4.5．∵由题意可知：0≤t≤4，∴t=4.5不合题意，即△APQ不可能是直角三角形．（3）如图所示：过点P作DE∥x轴，分别过点M、Q作MD⊥DE、QE⊥DE，垂足分别为D、E，MD交x轴与点F，过点P作PG⊥x轴，垂足为点G，则PG∥y轴，∠E=∠D=90°．∵PG∥y轴，∴△PAG∽△ACO，∴==，即==，∴PG=t，AG=t，∴PE=GQ=GO+OQ=AO﹣AG+OQ=3﹣t+t=3+t，DF=GP=t．∵∠MPQ=90°，∠D=90°，∴∠DMP+∠DPM=∠EPQ+∠DPM=90°，∴∠DMP=∠EPQ．又∵∠D=∠E，PM=PQ，∴△MDP≌PEQ，∴PD=EQ=t，MD=PE=3+t，∴FM=MD﹣DF=3+t﹣t=3﹣t，OF=FG+GO=PD+OA﹣AG=3+t﹣t=3+t，∴M（﹣3﹣t，﹣3+t）．∵点M在x轴下方的抛物线上，∴﹣3+t=﹣×（﹣3﹣t）2+×（﹣3﹣t）+4，解得：t=．∵0≤t≤4，∴t=．（4）如图所示：连结OP，取OP的中点R，连结RH，NR，延长NR交线段BC与点Q′．∵点H为PQ的中点，点R为OP的中点，∴RH=QO=t，RH∥OQ．∵A（﹣3，0），N（﹣，0），∴点N为OA的中点．又∵R为OP的中点，∴NR=AP=t，∴RH=NR，∴∠RNH=∠RHN．∵RH∥OQ，∴∠RHN=∠HNO，∴∠RNH=∠HNO，即NH是∠QNQ′的平分线．设直线AC的解析式为y=mx+n，把点A（﹣3，0）、C（0，4）代入得：，解得：m=，n=4，∴直线AC的表示为y=x+4．同理可得直线BC的表达式为y=﹣x+4．设直线NR的函数表达式为y=x+s，将点N的坐标代入得：×（﹣）+s=0，解得：s=2，∴直线NR的表述表达式为y=x+2．将直线NR和直线BC的表达式联立得：，解得：x=，y=，∴Q′（，）．【点评】本题主要考查的是二次函数的综合应用，解答本题主要应用了待定系数法求二次函数的解析式、相似三角形的性质和判定、全等三角形的性质和判定，依据勾股定理列出关于t的方程是解答问题（2）的关键；求得点M 的坐标（用含t的式子表示）是解答问题（3）的关键；证得NH为∠QH Q′的平分线是解答问题（4）的关键．3．定义：对于给定的两个函数，任取自变量x的一个值，当x＜0时，它们对应的函数值互为相反数；当x≥0时，它们对应的函数值相等，我们称这样的两个函数互为相关函数．例如：一次函数y=x﹣1，它的相关函数为y=．（1）已知点A（﹣5，8）在一次函数y=ax﹣3的相关函数的图象上，求a的值；（2）已知二次函数y=﹣x2+4x﹣．①当点B（m，）在这个函数的相关函数的图象上时，求m的值；②当﹣3≤x≤3时，求函数y=﹣x2+4x﹣的相关函数的最大值和最小值；（3）在平面直角坐标系中，点M，N的坐标分别为（﹣，1），（，1），连结MN．直接写出线段MN与二次函数y=﹣x2+4x+n的相关函数的图象有两个公共点时n的取值范围．【分析】（1）函数y=ax﹣3的相关函数为y=，将然后将点A（﹣5，8）代入y=﹣ax+3求解即可；（2）二次函数y=﹣x2+4x﹣的相关函数为y=，①分为m ＜0和m≥0两种情况将点B的坐标代入对应的关系式求解即可；②当﹣3≤x＜0时，y=x2﹣4x+，然后可此时的最大值和最小值，当0≤x≤3时，函数y=﹣x2+4x﹣，求得此时的最大值和最小值，从而可得到当﹣3≤x≤3时的最大值和最小值；（3）首先确定出二次函数y=﹣x2+4x+n的相关函数与线段MN恰好有1个交点、2个交点、3个交点时n的值，然后结合函数图象可确定出n的取值范围．【解答】解：（1）函数y=ax﹣3的相关函数为y=，将点A（﹣5，8）代入y=﹣ax+3得：5a+3=8，解得：a=1．（2）二次函数y=﹣x2+4x﹣的相关函数为y=①当m＜0时，将B（m，）代入y=x2﹣4x+得m2﹣4m+=，解得：m=2+（舍去）或m=2﹣．当m≥0时，将B（m，）代入y=﹣x2+4x﹣得：﹣m2+4m﹣=，解得：m=2+或m=2﹣．综上所述：m=2﹣或m=2+或m=2﹣．②当﹣3≤x＜0时，y=x2﹣4x+，抛物线的对称轴为x=2，此时y随x的增大而减小，∴此时y的最大值为．当0≤x≤3时，函数y=﹣x2+4x﹣，抛物线的对称轴为x=2，当x=0有最小值，最小值为﹣，当x=2时，有最大值，最大值y=．综上所述，当﹣3≤x≤3时，函数y=﹣x2+4x﹣的相关函数的最大值为，最小值为﹣；（3）如图1所示：线段MN与二次函数y=﹣x2+4x+n的相关函数的图象恰有1个公共点．所以当x=2时，y=1，即﹣4+8+n=1，解得n=﹣3．如图2所示：线段MN与二次函数y=﹣x2+4x+n的相关函数的图象恰有3个公共点∵抛物线y=x2﹣4x﹣n与y轴交点纵坐标为1，∴﹣n=1，解得：n=﹣1．∴当﹣3＜n≤﹣1时，线段MN与二次函数y=﹣x2+4x+n的相关函数的图象恰有2个公共点．如图3所示：线段MN与二次函数y=﹣x2+4x+n的相关函数的图象恰有3个公共点．∵抛物线y=﹣x2+4x+n经过点（0，1），∴n=1．如图4所示：线段MN与二次函数y=﹣x2+4x+n的相关函数的图象恰有2个公共点．∵抛物线y=x2﹣4x﹣n经过点M（﹣，1），∴+2﹣n=1，解得：n=．∴1＜n≤时，线段MN与二次函数y=﹣x2+4x+n的相关函数的图象恰有2个公共点．综上所述，n的取值范围是﹣3＜n≤﹣1或1＜n≤．【点评】本题主要考查的是二次函数的综合应用，解答本题主要应用了二次函数的图象和性质、函数图象上点的坐标与函数解析式的关系，求得二次函数y=﹣x2+4x+n的相关函数与线段MN恰好有1个交点、2个交点、3个交点时n的值是解题的关键．4．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知A，B两点的坐标分别为（﹣4，0），（4，0），C（m，0）是线段A B上一点（与A，B点不重合），抛物线L1：y=ax2+b1x+c1（a＜0）经过点A，C，顶点为D，抛物线L2：y=ax2+b2x+c2（a＜0）经过点C，B，顶点为E，AD，BE的延长线相交于点F．（1）若a=﹣，m=﹣1，求抛物线L1，L2的解析式；（2）若a=﹣1，AF⊥BF，求m的值；（3）是否存在这样的实数a（a＜0），无论m取何值，直线AF与BF都不可能互相垂直？若存在，请直接写出a的两个不同的值；若不存在，请说明理由．【分析】（1）利用待定系数法，将A，B，C的坐标代入解析式即可求得二次函数的解析式；（2）过点D作DG⊥x轴于点G，过点E作EH⊥x轴于点H，易证△ADG～△EBH，根据相似三角形对应边比例相等即可解题；（3）开放性答案，代入法即可解题；【解答】解：（1）将A、C点带入y=ax2+b1x+c1中，可得：，解得：，∴抛物线L1解析式为y=；同理可得：，解得：，∴抛物线L2解析式为y=﹣x2+x+2；（2）如图，过点D作DG⊥x轴于点G，过点E作EH⊥x轴于点H，由题意得：，解得：，∴抛物线L1解析式为y=﹣x2+（m﹣4）x+4m；∴点D坐标为（，），∴DG==，AG=；同理可得：抛物线L2解析式为y=﹣x2+（m+4）x﹣4m；∴EH==，BH=，∵AF⊥BF，DG⊥x轴，EH⊥x轴，∴∠AFB=∠AGD=∠EHB=90°，∵∠DAG+∠ADG=90°，∠DAG+∠EBH=90°，∴∠ADG=∠EBH，∵在△ADG和△EBH中，，∴△ADG～△EBH，∴=，∴=，化简得：m2=12，解得：m=±；（3）存在，例如：a=﹣，﹣；当a=﹣时，代入A，C可以求得：抛物线L1解析式为y=﹣x2+（m﹣4）x+m；同理可得：抛物线L2解析式为y=﹣x2+（m+4）x﹣m；∴点D坐标为（，），点E坐标为（，）；∵A（﹣4，0），∴直线AF的解析式为y=x+①∵B（4，0），∴直线BF的解析式为y=x﹣②联立①②解得，点F（﹣m，），∴OF2=m2+（）2，假设AF⊥BF，∴△ABF是直角三角形，∴OF=AB=4，∴OF2=16，∴m2+（）2=16，化简得，m4+4m2﹣320=0，解得，m=4（直线BF平行于x轴，不符合题意）或m=﹣4（直线AF平行于x轴，不符合题意），所以，AF不可能和BF垂直，同理可求得a=﹣时，AF不可能和BF垂直．【点评】本题考查了待定系数法求解析式，还考查了相似三角形的判定和相似三角形对应边比例相等的性质；本题作出辅助线并证明△ADG～△EBH是解题的关键．5．如图，已知抛物线y=ax2﹣2ax﹣9a与坐标轴交于A，B，C三点，其中C（0，3），∠BAC的平分线AE交y轴于点D，交BC于点E，过点D的直线l与射线AC，AB分别交于点M，N．（1）直接写出a的值、点A的坐标及抛物线的对称轴；（2）点P为抛物线的对称轴上一动点，若△PAD为等腰三角形，求出点P 的坐标；（3）证明：当直线l绕点D旋转时，+均为定值，并求出该定值．【分析】（1）由点C的坐标为（0，3），可知﹣9a=3，故此可求得a的值，然后令y=0得到关于x的方程，解关于x的方程可得到点A和点B的坐标，最后利用抛物线的对称性可确定出抛物线的对称轴；（2）利用特殊锐角三角函数值可求得∠CAO=60°，依据AE为∠BAC的角平分线可求得∠DAO=30°，然后利用特殊锐角三角函数值可求得OD=1，则可得到点D的坐标．设点P的坐标为（，a）．依据两点的距离公式可求得AD、AP、DP的长，然后分为AD=PA、AD=DP、AP=DP三种情况列方程求解即可；（3）设直线MN的解析式为y=kx+1，接下来求得点M和点N的横坐标，于是可得到AN的长，然后利用特殊锐角三角函数值可求得AM的长，最后将AM和AN的长代入化简即可．【解答】解：（1）∵C（0，3）．∴﹣9a=3，解得：a=﹣．令y=0得：ax2﹣2 ax﹣9a=0，。
中考数学中二次函数压轴题分类总结[超经典.无重复][附答案]
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中考数学中二次函数压轴题分类总结[超经典.无重复][附答案](总11页)-本页仅作为预览文档封面，使用时请删除本页-中考数学专题训练 二次函数压轴题一、抛物线关于三角形面积问题例题 二次函数k m x y ++=2)(的图象，其顶点坐标为M(1，4-).（1）求出图象与x 轴的交点A ，B 的坐标； （2）在二次函数的图象上是否存在点P ，使MAB PAB S S ∆∆=45,若存在，求出P 点的坐标；若不存在，请说明理由；（3）将二次函数的图象在x 轴下方的部分沿x 轴翻折，图象的其余部分不变，得到一个新的图象，请你结合这个新的图象回答：当直线)1(<+=b b x y 与此图象有两个公共点时，b 的取值范围.练习：1. 如图．平面直角坐标系xOy 中，点A 的坐标为（－2，2），点B 的坐标为（6，6），抛物线经过A 、O 、B 三点，线段AB 交y 轴与点E ． （1）求点E 的坐标；（2）求抛物线的函数解析式； （3）点F 为线段OB 上的一个动点（不与O 、B 重合），直线EF 与抛物线交与M 、N 两点（点N 在y 轴右侧），连结ON 、BN ，当点F 在线段OB 上运动时，求∆BON 的面积的最大值，并求出此时点N 的坐标；2. 如图，已知抛物线4212++-=x x y 交x 轴的正半轴于点A ，交y 轴于点B ． （1）求A 、B 两点的坐标，并求直线AB 的解析式；（2）设),(y x P （0>x ）是直线x y =上的一点，Q 是OP 的中点（O 是原点），以PQ 为对角线作正方形PEQF ．若正方形PEQF 与直线AB 有公共点，求x 的取值范围；（3）在（2）的条件下，记正方形PEQF 与△OAB 公共部分的面积为S ，求S 关于x 的函数解析式，并探究S 的最大值．二、抛物线中线段长度最小问题例题 如图，对称轴为直线x ＝－1的抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)与x 轴相交于A 、B 两点，其中点A 的坐标为（－3，0）． （1）求点B 的坐标；（2）已知a =1，C 为抛物线与y 轴的交点．①若点P 在抛物线上，且S △POC ＝4S △BOC ，求点P 的坐标；②设点Q 是线段AC 上的动点，作QD ⊥x 轴，QD 交抛物线于点D ，求线段QD 长度的最大值． OABP EQ FxyEN MDCBAOyx练习：1. 如图， Rt △ABO 的两直角边OA 、OB 分别在x 轴的负半轴和y 轴的正半轴上，O 为坐标原点，A 、B 两点的坐标分别为（3-，0）、（0，4），抛物线223y x bx c =++经过B 点，且顶点在直线52x =上． （1）求抛物线对应的函数关系式；（2）若△DCE 是由△ABO 沿x 轴向右平移得到的，当四边形ABCD 是菱形时，试判断点C 和点D 是否在该抛物线上，并说明理由；（3）若M 点是CD 所在直线下方该抛物线上的一个动点，过点M 作MN 平行于y 轴交CD 于点N ．设点M 的横坐标为t ，MN 的长度为l ．求l 与t 之间的函数关系式，并求l 取最大值时，点M 的坐标．三、抛物线与线段和最小的问题例题 如图，已知抛物线()()()120y x x a a a=-+>与x 轴交于点B 、C ，与y 轴交于点E ，且点B 在点C 的左侧．（1）若抛物线过点M （﹣2，﹣2），求实数a 的值；（2）在（1）的条件下，解答下列问题；①求出△BCE 的面积；②在抛物线的对称轴上找一点H ，使CH+EH 的值最小，直接写出点H 的坐标．练习：1. 如图，已知二次函数24y ax x c =-+的图象与坐标轴交于点A （-1， 0）和点B （0，-5）．（1）求该二次函数的解析式；（2）已知该函数图象的对称轴上存在一点P ，使得△ABP（3）在（2）的条件下，在x 轴上找一点M ，使得△APM 条件的点M 的坐标．2. 如图，抛物线y = ax 2 + bx + 4与x 轴的两个交点分别为A （－4，0）、B （2，0），与y 轴交于点C ，顶点为D ．E （1，2）为线段BC 的中点，BC 的垂直平分线与x 轴、y 轴分别交于F 、G ．（1）求抛物线的函数解析式，并写出顶点D 的坐标；（2）在直线EF 上求一点H ，使△CDH 的周长最小，并求出H 的坐标；（3）若点K 在x 轴上方的抛物线上运动，当K 运动到什么位置时，△EFK 的面积最大？并求出最大面积．四、抛物线与等腰三角形例题：已知抛物线y＝ax2＋bx＋c经过A(－1，0)、B(3，0)、C(0，3)三点，直线l是抛物线的对称轴．(1)求抛物线的函数关系式； (2)设点P是直线l上的一个动点，当△P AC的周长最小时，求点P的坐标；(3)在直线l上是否存在点M，使△MAC为等腰三角形？若存在，直接写出所有符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由．练习：1. .如图，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交C点，点A的坐标为（2，0），点C的坐标为（0，3）它的对称轴是直线12 x=-（1）求抛物线的解析式；（2）M是线段AB上的任意一点，当△MBC为等腰三角形时，求M点的坐标．2. 如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（m，m），点B的坐标为（n，﹣n），抛物线经过A、O、B 三点，连接OA、OB、AB，线段AB交y轴于点C．已知实数m、n（m＜n）分别是方程x2﹣2x﹣3=0的两根．（1）求抛物线的解析式；（2）若点P为线段OB上的一个动点（不与点O、B重合），直线PC与抛物线交于D、E两点（点D在y轴右侧），连接OD、BD．①当△OPC为等腰三角形时，求点P的坐标；②求△BOD 面积的最大值，并写出此时点D的坐标．3. 如图，已知抛物线于x 轴交于A （－1，0）、B （3，0）两点，与y 轴交于点C （0，3）. （1）求抛物线的解析式；（2）设抛物线的顶点为D ，在其对称轴的右侧的抛物线上是否存在点P ，使得△PDC 是等腰三角形，若存在，求出符合条件的点P 的坐标；若不存在，请说明理由：（3）若点M 是抛物线上一点，以B 、C 、D 、M 为顶点的四边形是直角梯形，试求出点M 的坐标。
2017中考数学全国试题汇编------二次函数中三角形相似综合压轴题
3
0 ，解得 c=2
∴ B（ 0， 2），
∵抛物线 y
42 x
bx
c 经过点 A(3,0) ，
3
∴ 4 32 3b 2 0 ，∴ b= 10
3
3
∴抛物 线的解析式为 y
4 x2
10 x
2；
33
（ 2）∵ MN x 轴， M （m，0），∴ N( m,
① 有（ 1）知直线 AB 的解析式 为 y
2 x
得 M ， P ， N 三点成为 “共谐点 ”的 m 的值 .
【答案】（ 1）B（ 0，2）， y
4 x2
10 x
2 ；（ 2）① 点 M 的坐标为（ 11 ，
3
3
8
0）或 M （ 5 ，0）； ② m=-1 或 m= 1 或 m= 1 .
2
4
2
试题解析：
（ 1）直线 y
∴x 轴交于点 A(3,0) ，
3
4 m2
10 m
2)
3
3
2， OA=3，OB=2
∵在 △APM 中和 △BPN中，∠ APM=∠BPN, ∠AMP=90°，
若使 △APM 中和 △BPN相似，则必须∠ NBP=90°或∠ BNP=90 °，
分两种情况讨论如下：
（ I）当∠ NBP=90°时，过点 N 作 NC y 轴于点 C，
则∠ NBC+∠BNC=90°，NC=m，
∴
，
∴
，
∴ 16a2=4，
a=± ，
∵ a＞ 0，
∴ a= ；
∴ B （1， ）；
（ 3）如图 3，设 AC=nBC，
由（ 2）同理可知： A 的横坐标是 B 的横坐标的 n 倍，
2017河南中考数学二次函数压轴题
2017河南中考数学二次函数压轴题目测三分钟分析完题目，想到方法，初步估计这道题难度系数80%，下面开始来分析一下吧，1、第一问最简单，送分的，就不再多说了，大家自己代入求解吧；2、重点就是在这一问的两个小问题中；（1）第一部分，这两个三角形相似的时候，想必很多同学都能考虑到当BN//x轴或者BN⊥AB时，两个三角形是相似的，因此肯定会有两个值。
第一种情况，BN//x轴，将点B的纵坐标代入二次函数，得出x的值，一个属于B，一个属于N，因此这种情况下M的坐标就知道了。
难点就是在第二种情况中，BN⊥AB，在坐标系中两直线垂直，对于初中生来说确实是个难点，那么遇到这种情况到底需要怎么处理呢？在高中生看来，这是最简单的类型，但是初中生没有高中的公式，因此只能利用相似比来求解，这个大家一定要记清楚了，既然是相似，就利用相似比，因为初中的你还没有学过直线垂直斜率关系。
PN：PA=BP：PM，由题可知，点P的坐标可以由含m的式子来表示，N的坐标也可以，所以就可以得到PM和PN的长度，那么PA和BP呢？由M的坐标可以得到MA的长度，然后在直角△AMP中，就可以得到PA的长度，然后AB-PA不就是BP的长度吗？分别对应代入线段比例等式中，求出m的值即可。
这里就不带大家去计算了，方法已经给出，同学们自行解决吧。
（2）最难的部分当属这一问了吧？但是仔细去分析的话，就会得出结论，分情况讨论，然而计算并不大，所以算是不是很难的，就看你平时考虑问题够不够全面。
既然有一个点是中点，那么M肯定在二次函数内部和外部均有存在情况。
在内部时，y轴左边一个，右边一个。
右边时，P是MN的中点，三点坐标都能用m表示，所以M、N的纵坐标相加=P的纵坐标乘以2即可；左边时，N是PM的中点，同样方法计算即可；在左边时，M是PN的中点，同理利用两点纵坐标相加为中点纵坐标2倍的关系，代入求解即可；在右边时，P是MN的中点，依旧老方法代入求解，但明显，根据图像可以看出二次函数的y值下降速度要比一次函数y值下降速度快，因此这种情况将会只得到三点重合这一种情况，所以不符合题意；因此最后符合的结果只有三个，具体的数值大家可以自己去计算，这里咱们就只分享思路和方法。
2015年-2017年全国中考二次函数压轴题集锦(附详细答案)
1．如图，在平面直角坐标系中，△ABC是直角三角形，∠ACB=90°，AC=BC，OA=1，OC=4，抛物线y=x2+bx+c经过A，B两点．（1）求抛物线的解析式；（2）点E是直角△ABC斜边AB上一动点（点A、B除外），过点E作x轴的垂线交抛物线于点F，当线段EF的长度最大时，求点E、F的坐标；（3）在（2）的条件下：在抛物线上是否存在一点P，使△EFP是以EF为直角边的直角三角形？若存在，请求出所有点P的坐标；若不存在，请说明理由．2．如图，关于x的二次函数y=x2+bx+c的图象与x轴交于点A（1，0）和点B，与y轴交于点C（0，3），抛物线的对称轴与x轴交于点D．（1）求二次函数的表达式；（2）在y轴上是否存在一点P，使△PBC为等腰三角形？若存在．请求出点P的坐标；（3）D与点M M、N同时32）三点．（1（2）点（3）点E、F，若△PEB4．如图A（4，0）（1（2）点C2）（3P 为5（1（2ACD沿x （3点Q6．如图1，在平面直角坐标系中，O是坐标原点，抛物线y=﹣x2﹣x+8与x轴正半轴交于点A，与y轴交于点B，连接AB，点M，N分别是OA，AB的中点，Rt△CDE≌Rt△ABO，且△CDE始终保持边ED经过点M，边CD经过点N，边DE与y轴交于点H，边CD与y轴交于点G．（1）填空：OA的长是，∠ABO的度数是度；（2）如图2，当DE∥AB，连接HN．①求证：四边形AMHN是平行四边形；②判断点D是否在该抛物线的对称轴上，并说明理由；（3）如图3，当边CD经过点O时，（此时点O与点G重合），过点D作DQ∥OB，交AB延长线上于点Q，延长ED到点K，使DK=DN，过点K作KI∥OB，在KI上取一点P，使得∠PDK=45°（点P，Q 在直线ED的同侧），连接PQ，请直接写出PQ的长．7．如图，抛物线y=x2+x+c与x轴的负半轴交于点A，与y轴交于点B，连结AB，点C（6，）在抛物线上，直线AC与y轴交于点D．（1）求c的值及直线AC的函数表达式；（2）点P在x轴正半轴上，点Q在y轴正半轴上，连结PQ与直线AC交于点M，连结MO并延长交AB于点N，若M为PQ的中点．①求证：△APM∽△AON；②设点M的横坐标为m，求AN的长（用含m的代数式表示）．8．抛物线y=4x2﹣2ax+b与x轴相交于A（x1，0），B（x2，0）（0＜x1＜x2）两点，与y轴交于点C．（1）设AB=2，tan∠ABC=4，求该抛物线的解析式；（2）在（1）中，若点D为直线BC下方抛物线上一动点，当△BCD的面积最大时，求点D的坐标；（3）是否存在整数a，b使得1＜x1＜2和1＜x2＜2同时成立，请证明你的结论．9．如图，抛物线y=x2﹣2x﹣3与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），直线l与抛物线交于A，C两点，其中点C的横坐标为2．（1）求A，B两点的坐标及直线AC的函数表达式；（2）P是线段AC上的一个动点（P与A，C不重合），过P点作y轴的平行线交抛物线于点E，求△ACE面积的最大值；（3）若直线PE为抛物线的对称轴，抛物线与y轴交于点D，直线AC与y轴交于点Q，点M为直线PE上一动点，则在x轴上是否存在一点N，使四边形DMNQ的周长最小？若存在，求出这个最小值及点M，N的坐标；若不存在，请说明理由．（4）点H是抛物线上的动点，在x轴上是否存在点F，使A、C、F、H四个点为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，请直接写出所有满足条件的F点坐标；如果不存在，请说明理由．10．如图，Rt△OAB如图所示放置在平面直角坐标系中，直角边OA与x轴重合，∠OAB=90°，OA=4，AB=2，把Rt△OAB绕点O逆时针旋转90°，点B旋转到点C的位置，一条抛物线正好经过点O，C，A三点．（1）求该抛物线的解析式；（2）在x轴上方的抛物线上有一动点P，过点P作x轴的平行线交抛物线于点M，分别过点P，点M作x轴的垂线，交x轴于E，F两点，问：四边形PEFM的周长是否有最大值？如果有，请求出最值，并写出解答过程；如果没有，请说明理由．（3）如果x轴上有一动点H，在抛物线上是否存在点N，使O（原点）、C、H、N四点构成以OC为一边的平行四边形？若存在，求出N点的坐标；若不存在，请说明理由．11．如图（1），在平面直角坐标系中，矩形ABCO，B点坐标为（4，3），抛物线y=x2+bx+c经过矩形ABCO的顶点B、C，D为BC的中点，直线AD与y轴交于E点，与抛物线y=x2+bx+c交于第四象限的F点．（1）求该抛物线解析式与F点坐标；（2）如图（2），动点P从点C出发，沿线段CB以每秒1个单位长度的速度向终点B运动；同时，动点M从点A出发，沿线段AE以每秒个单位长度的速度向终点E运动．过点P作PH⊥OA，垂足为H，连接MP，MH．设点P的运动时间为t秒．①问EP+PH+HF是否有最小值？如果有，求出t的值；如果没有，请说明理由．②若△PMH是等腰三角形，请直接写出此时t的值．12．如图，已知直线y=kx﹣6与抛物线y=ax2+bx+c相交于A，B两点，且点A（1，﹣4）为抛物线的顶点，点B在x轴上．（1）求抛物线的解析式；（2）在（1）中抛物线的第二象限图象上是否存在一点P，使△POB与△POC全等？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；（3）若点Q是y轴上一点，且△ABQ为直角三角形，求点Q的坐标．13．如图1，在平面直角坐标系xOy中，直线l：与x轴、y轴分别交于点A和点B（0，﹣1），抛物线经过点B，且与直线l的另一个交点为C（4，n）．（1）求n的值和抛物线的解析式；（2）点D在抛物线上，且点D的横坐标为t（0＜t＜4）．DE∥y轴交直线l于点E，点F在直线l 上，且四边形DFEG为矩形（如图2）．若矩形DFEG的周长为p，求p与t的函数关系式以及p的最大值；（3）M是平面内一点，将△AOB绕点M沿逆时针方向旋转90°后，得到△A1O1B1，点A、O、B的对应点分别是点A1、O1、B1．若△A1O1B1的两个顶点恰好落在抛物线上，请直接写出点A1的横坐标．14．如图，四边形ABCD是边长为4的正方形，动点P、Q同时从A点出发，点P沿AB以每秒1个单位长度的速度向终点B运动．点Q沿折线ADC以每秒2个单位长度的速度向终点C运动，设运动时间为t秒．（1）当（2）当（3ABCD面15．如图x与A在点B（1（2）点过点E作90°，点F，P F′处，再沿Q（31个单位长度向点N运动到H y 轴于点I求t16．如图，直线与x轴的另（﹣1，0）．（1）求（2）P E，交x 轴于点F①求S与②求S（3）过点P作直线b∥x轴（图2），交AC于点Q，那么在x轴上是否存在点R，使得△PQR为等腰直角三角形？若存在，请求出点R的坐标；若不存在，请说明理由．17．已知正方形OABC的边OC、OA分别在x、y轴的正半轴上，点B坐标为（10，10），点P从O 出发沿O→C→B运动，速度为1个单位每秒，连接AP．设运动时间为t．（1）若抛物线y=﹣（x﹣h）2+k经过A、B两点，求抛物线函数关系式；（2）当0≤t≤10时，如图1，过点O作OH⊥AP于点H，直线OH交边BC于点D，连接AD，PD，设△APD的面积为S，求S的最小值；（3）在图2中以A为圆心，OA长为半径作⊙A，当0≤t≤20时，过点P作PQ⊥x轴（Q在P的上方），且线段PQ=t+12：①当t在什么范围内，线段PQ与⊙A只有一个公共点？当t在什么范围内，线段PQ与⊙A有两个公共点？②请将①中求得的t的范围作为条件，证明：当t取该范围内任何值时，线段PQ与⊙A总有两个公共点．18．如图，二次函数y=x2﹣4x的图象与x轴、直线y=x的一个交点分别为点A、B，CD是线段OB 上的一动线段，且CD=2，过点C、D的两直线都平行于y轴，与抛物线相交于点F、E，连接EF．（1）点A的坐标为，线段OB的长= ；（2）设点C的横坐标为m①当四边形CDEF是平行四边形时，求m的值；②连接AC、AD，求m为何值时，△ACD的周长最小，并求出这个最小值．19．如图，已知二次函数y=﹣x2+bx+c（c＞0）的图象与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，且OB=OC=3，顶点为M．（1）求二次函数的解析式；（2）点ACPQ的面积为S（320x x AC，BC，已知（1）P P 使得以A（2）设，连接以每秒个单位的速度运动到时，点M21．A（0，2），直线y=x C，交x 轴于点G Q，△PCQ（1（2（3（4M+22抛物线y=x2上任意一点到点（0，1）的距离与到直线y=﹣1的距离相等，你可以利用这一性质解决问题．问题解决如图，在平面直角坐标系中，直线y=kx+1与y轴交于C点，与函数y=x2的图象交于A，B两点，分别过A，B两点作直线y=﹣1的垂线，交于E，F两点．（1）写出点C的坐标，并说明∠ECF=90°；（2）在△PEF中，M为EF中点，P为动点．①求证：PE2+PF2=2（PM2+EM2）；②已知PE=PF=3，以EF为一条对角线作平行四边形CEDF，若1＜PD＜2，试求CP的取值范围．23．已知抛物线经过A（﹣3，0），B（1，0），C（2，）三点，其对称轴交x轴于点H，一次函数y=kx+b（k≠0）的图象经过点C，与抛物线交于另一点D（点D在点C的左边），与抛物线的对称轴交于点E．（1）求抛物线的解析式；（2）如图1，当S△EOC =S△EAB时，求一次函数的解析式；（3）如图2，设∠CEH=α，∠EAH=β，当α＞β时，直接写出k的取值范围．24．如图1，已知直线EA与x轴、y轴分别交于点E和点A（0，2），过直线EA上的两点F、G分别作x轴的垂线段，垂足分别为M（m，0）和N（n，0），其中m＜0，n＞0．（1）如果m=﹣4，n=1，试判断△AMN的形状；（2）如果mn=﹣4，（1）中有关△AMN的形状的结论还成立吗？如果成立，请证明；如果不成立，请说明理由；（3）如图2，题目中的条件不变，如果mn=﹣4，并且ON=4，求经过M、A、N三点的抛物线所对应的函数关系式；（4）在（3）的条件下，如果抛物线的对称轴l与线段AN交于点P，点Q是对称轴上一动点，以点P、Q、N为顶点的三角形和以点M、A、N为顶点的三角形相似，求符合条件的点Q的坐标．25．如图，二次函数与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，点P从A点出发，以1个单位每秒的速度向点B运动，点Q同时从C点出发，以相同的速度向y轴正方向运动，运动时间为t秒，点P到达B点时，点Q同时停止运动．设PQ交直线AC于点G．（1）求直线AC的解析式；（2）设△PQC的面积为S，求S关于t的函数解析式；（3）在y轴上找一点M，使△MAC和△MBC都是等腰三角形．直接写出所有满足条件的M点的坐标；（4）过点P作PE⊥AC，垂足为E，当P点运动时，线段EG的长度是否发生改变，请说明理由．26．如图，在平面直角坐标系xOy中，二次函数的图象与x轴交于A（﹣1，0）、B（3，0）两点，顶点为C．（1）求此二次函数解析式；（2）点D为点C关于x轴的对称点，过点A作直线l：交BD于点E，过点B作直线BK∥AD交直线l于K点．问：在四边形ABKD的内部是否存在点P，使得它到四边形ABKD四边的距离都相等？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；（3）在（2）的条件下，若M、N分别为直线AD和直线l上的两个动点，连结DN、NM、MK，求DN+NM+MK 和的最小值．27．如图，已知在平面直角坐标系xOy中，直角梯形OABC的边OA在y轴的正半轴上，OC在x轴的正半轴上，OA=AB=2，OC=3，过点B作BD⊥BC，交OA于点D．将∠DBC绕点B按顺时针方向旋转，角的两边分别交y轴的正半轴、x轴的正半轴于点E和F．（1）求经过A、B、C三点的抛物线的解析式；（2）当（3）在抛物线的对称轴上取两点P、Q（点Q在点P的上方），且PQ=1，要使四边形BCPQ的周长最小，求出P、Q两点的坐标．28．如图，已知抛物线与x轴交于点A（﹣2，0），B（4，0），与y轴交于点C（0，）．（1）求抛物线的解析式及其顶点D的坐标；（2）设直线CD交x轴于点E，过点B作x轴的垂线，交直线CD于点F，在直线CD的上方，y轴及y轴的右侧的平面内找一点G，使以点G、F、C为顶点的三角形与△COE相似，请直接写出符合要求的点G的坐标；（3）如图，抛物线的对称轴与x轴的交点M，过点M作一条直线交∠ADB于T，N两点，①当∠DNT=90°时，直接写出的值；②当直线TN绕点M旋转时，试说明：△DNT的面积S=DN?DT；△DNT并猜想：的值是否是定值？说明理由．29．如图①，Rt△ABC中，∠B=90°∠CAB=30°，AC⊥x轴．它的顶点A的坐标为（10，0），顶点B的坐标为，点P从点A出发，沿A→B→C的方向匀速运动，同时点Q从点D（0，2）出发，沿y轴正方向以相同速度运动，当点P到达点C时，两点同时停止运动，设运动的时间为t 秒．（1）求∠BAO的度数．（直接写出结果）（2）当点P在AB上运动时，△OPQ的面积S与时间t（秒）之间的函数图象为抛物线的一部分（如图②），求点P的运动速度．（3）求题（2）中面积S与时间t之间的函数关系式，及面积S取最大值时，点P的坐标．（4）如果点P，Q保持题（2）中的速度不变，当t取何值时，PO=PQ，请说明理由．30．如图，已知直线l：y=x+2与y轴交于点D，过直线l上一点E作EC丄y轴于点C，且C点坐标为（0，4），过C、E两点的抛物线y=﹣x2+bx+c交x轴于A、B两点（点A在点B的左侧）．（1）求抛物线的解析式：（2）动点Q从点C出发沿线段CE以1单位/秒的速度向终点E运动，过点Q作QF⊥ED于点F，交BD于点H，设点Q运动时间为t秒，△DFH的面积为S，求出S与t的函数关系式（并直接写出自变量t的取值范围）；（3）若动点P为直线CE上方抛物线上一点，连接PE，过点E作EM⊥PE交线段BD于点M，当△PEM 是等腰直角三角形时，求四边形PMBE的面积．31．已知在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0，且a，b，c为常数）的对称轴为：直线x=，与x轴分别交于点A、点B，与y轴交于点C（0，﹣），且过点（3，﹣5），D为x轴正半轴上的动点，E为y轴负半轴上的动点．（1）求该抛物线的表达式；（2）如图1，当点D为（3，0）时，DE交该抛物线于点M，若∠ADC=∠CDM，求点M的坐标；（3）如图2，把（1）中抛物线平移使其顶点与原点重合，若直线ED与新抛物线仅有唯一交点Q 时，y轴上是否存在一个定点P使PE=PQ？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．参考答案与试题解析一．解答题（共31小题）1．（2017秋?上杭县期中）如图，在平面直角坐标系中，△ABC是直角三角形，∠ACB=90°，AC=BC，OA=1，OC=4，抛物线y=x2+bx+c经过A，B两点．（1）求抛物线的解析式；（2）点E是直角△ABC斜边AB上一动点（点A、B除外），过点E作x轴的垂线交抛物线于点F，当线段EF的长度最大时，求点E、F的坐标；（3）在（2）的条件下：在抛物线上是否存在一点P，使△EFP是以EF为直角边的直角三角形？若存在，请求出所有点P的坐标；若不存在，请说明理由．【考点】HF：二次函数综合题．【专题】151：代数综合题；32：分类讨论．【分析】（1）根据AC=BC，求出BC的长，进而得到点A，B的坐标，利用待定系数法即可求得抛物线的解析式；（2）利用待定系数法求出直线AB的解析式，用含m的式表示出E，F的坐标，求出EF的长度最大时m的值，即可求得E，F的坐标；（3）分两种情况：∠E﹣90°和∠F=90°，分别得到点P的纵坐标，将纵坐标代入抛物线解析式，即可求得点P的值．【解答】解：（1）∵OA=1，OC=4，AC=BC，∴BC=5，∴A（﹣1，0），B（4，5），抛物线y=x2+bx+c经过A，B两点，∴，解得：，∴y=x2﹣2x﹣3；（2）设直线AB解析式为：y=kx+b，直线经过点A，B两点，∴，解得：，∴直线AB的解析式为：y=x+1，设点E2∴EF=m+1﹣m2+2m+3=﹣m2+3m+4=﹣（m﹣）2+，∴当EF最大时，m=，∴点E（，），F（，）；（3）存在．①当∠FEP=90°时，点P的纵坐标为，即x2﹣2x﹣3=，解得：x1=，x2=，∴点P1（，），P2（，），②当∠EFP=90°时，点P的纵坐标为，即x2﹣2x﹣3=，解得：x1=，x2=（舍去），∴点P3（，），综上所述，P1（，），P2（，），P3（，）．【点评】本题主要考查二次函数的综合题，其中第（3）小题要注意分类讨论，分∠E=90°和∠F=90°两种情况．2．（2017秋?鄂城区期中）如图，关于x的二次函数y=x2+bx+c的图象与x轴交于点A（1，0）和点B，与y轴交于点C（0，3），抛物线的对称轴与x轴交于点D．（1）求二次函数的表达式；（2）在y轴上是否存在一点P，使△PBC为等腰三角形？若存在．请求出点P的坐标；（3）有一个点M从点A出发，以每秒1个单位的速度在AB上向点B运动，另一个点N从点D与点M同时出发，以每秒2个单位的速度在抛物线的对称轴上运动，当点M到达点B时，点M、N同时停止运动，问点M、N运动到何处时，△MNB面积最大，试求出最大面积．【考点】HF：二次函数综合题．【专题】16：压轴题．【分析】（1）代入A（1，0）和C（0，3），解方程组即可；（2）求出点B的坐标，再根据勾股定理得到BC，当△PBC为等腰三角形时分三种情况进行讨论：①CP=CB；②BP=BC；③PB=PC；（3）设AM=t则DN=2t，由AB=2，得BM=2﹣t，S△MNB=×（2﹣t）×2t=﹣t2+2t，运用二次函数的顶点坐标解决问题；此时点M在D点，点N在对称轴上x轴上方2个单位处或点N在对称轴上x 轴下方2个单位处．【解答】解：（1）把A（1，0）和C（0，3）代入y=x2+bx+c，解得：b=﹣4，c=3，∴二次函数的表达式为：y=x2﹣4x+3；（2）令y=0，则x2﹣4x+3=0，解得：x=1或x=3，∴B（3，0），∴BC=3，点P在y轴上，当△PBC为等腰三角形时分三种情况进行讨论：如图1，①当CP=CB时，PC=3，∴OP=OC+PC=3+3或OP=PC﹣OC=3﹣3∴P1（0，3+3），P2（0，3﹣3）；②当BP=BC时，OP=OB=3，∴P3（0，﹣3）；③当PB=PC时，∵OC=OB=3∴此时P与O重合，∴P4（0，0）；综上所述，点P的坐标为：（0，3+3）或（0，3﹣3）或（0，﹣3）或（0，0）；（3）如图2，设A运动时间为t，由AB=2，得BM=2﹣t，则DN=2t，∴S△MNB=×（2﹣t）×2t=﹣t2+2t=﹣（t﹣1）2+1，即当M（2，0）、N（2，2）或（2，﹣2）时△MNB面积最大，最大面积是1．【点评】本题是二次函数的综合题型，其中涉及到运用待定系数法求二次函数，等腰三角形的性质，轴对称的性质等知识，运用数形结合、分类讨论及方程思想是解题的关键．3．（2017?泸州）如图，已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象经过A（﹣1，0）、B（4，0）、C （0，2）三点．（1）求该二次函数的解析式；（2）点D是该二次函数图象上的一点，且满足∠DBA=∠CAO（O是坐标原点），求点D的坐标；（3）点P是该二次函数图象上位于第一象限上的一动点，连接PA分别交BC、y轴于点E、F，若△PEB、△CEF的面积分别为S1、S2，求S1﹣S2的最大值．【考点】HF：二次函数综合题．【专题】16：压轴题．【分析】（1）由A、B、C三点的坐标，利用待定系数法可求得抛物线解析式；（2）当点D在x轴上方时，则可知当CD∥AB时，满足条件，由对称性可求得D点坐标；当点D 在x轴下方时，可证得BD∥AC，利用AC的解析式可求得直线BD的解析式，再联立直线BD和抛物线的解析式可求得D点坐标；（3）过点P作PH∥y轴交直线BC于点H，可设出P点坐标，从而可表示出PH的长，可表示出△PEB的面积，进一步可表示出直线AP的解析式，可求得F点的坐标，联立直线BC和PA的解析式，可表示出E点横坐标，从而可表示出△CEF的面积，再利用二次函数的性质可求得S1﹣S2的最大值．【解答】解：（1）由题意可得，解得，∴抛物线解析式为y=﹣x2+x+2；（2）当点D在x轴上方时，过C作CD∥AB交抛物线于点D，如图1，∵A、B关于对称轴对称，C、D关于对称轴对称，∴四边形ABDC为等腰梯形，∴∠CAO=∠DBA，即点D满足条件，∴D（3，2）；当点D在x轴下方时，∵∠DBA=∠CAO，∴BD∥AC，∵C（0，2），∴可设直线AC解析式为y=kx+2，把A（﹣1，0）代入可求得k=2，∴直线AC解析式为y=2x+2，∴可设直线BD解析式为y=2x+m，把B（4，0）代入可求得m=﹣8，∴直线BD解析式为y=2x﹣8，联立直线BD和抛物线解析式可得，解得或，∴D（﹣5，﹣18）；综上可知满足条件的点D的坐标为（3，2）或（﹣5，﹣18）；（3）过点P作PH∥y轴交直线BC于点H，如图2，设P（t，﹣t2+t+2），由B、C两点的坐标可求得直线BC的解析式为y=﹣x+2，∴H（t，﹣t+2），∴PH=yP ﹣yH=﹣t2+t+2﹣（﹣t+2）=﹣t2+2t，设直线AP的解析式为y=px+q，∴，解得，∴直线AP的解析式为y=（﹣t+2）（x+1），令x=0可得y=2﹣t，∴F（0，2﹣t），∴CF=2﹣（2﹣t）=t，联立直线AP和直线BC解析式可得，解得x=，即E点的横坐标为，∴S1=PH（xB﹣xE）=（﹣t2+2t）（4﹣），S2=??，∴S1﹣S2=（﹣t2+2t）（4﹣）﹣??=﹣t2+4t=﹣（t﹣）2+，∴当t=时，有S1﹣S2有最大值，最大值为．【点评】本题为二次函数的综合应用，涉及待定系数法、平行线的判定和性质、三角形的面积、二次函数的性质、方程思想汲分类讨论思想等知识．在（1）中注意待定系数法的应用，在（2）中确定出D点的位置是解题的关键，在（3）中用P点的坐标分别表示出两个三角形的面积是解题的关键．本题考查知识点较多，综合性较强，计算量大，难度较大．4．（2017?南充）如图1，已知二次函数y=ax2+bx+c（a、b、c为常数，a≠0）的图象过点O（0，0）和点A（4，0），函数图象最低点M的纵坐标为﹣，直线l的解析式为y=x．（1）求二次函数的解析式；（2）直线l沿x轴向右平移，得直线l′，l′与线段OA相交于点B，与x轴下方的抛物线相交于点C，过点C作CE⊥x轴于点E，把△BCE沿直线l′折叠，当点E恰好落在抛物线上点E′时（图2），求直线l′的解析式；（3）在（2）的条件下，l′与y轴交于点N，把△BON绕点O逆时针旋转135°得到△B′ON′，P 为l′上的动点，当△PB′N′为等腰三角形时，求符合条件的点P的坐标．【考点】HF：二次函数综合题．【专题】16：压轴题．【分析】（1）由题意抛物线的顶点坐标为（2，﹣），设抛物线的解析式为y=a（x﹣2）2﹣，把（0，0）代入得到a=，即可解决问题；（2）如图1中，设E（m，0），则C（m，m2﹣m），B（﹣m2+m，0），由E、B关于对称轴对称，可得=2，由此即可解决问题；（3）分两种情形求解即可①当P1与N重合时，△P1B′N′是等腰三角形，此时P1（0，﹣3）．②当N′=N′B′时，设P（m，m﹣3），列出方程解方程即可；【解答】解：（1）由题意抛物线的顶点坐标为（2，﹣），设抛物线的解析式为y=a（x﹣2）2﹣，把（0，0）代入得到a=，∴抛物线的解析式为y=（x﹣2）2﹣，即y=x2﹣x．（2）如图1中，设E（m，0），则C（m，m2﹣m），B（﹣m2+m，0），∵E′在抛物线上，易知四边形EBE′C是正方形，抛物线的对称轴也是正方形的对称轴，∴E、B关于对称轴对称，∴=2，解得m=1或6（舍弃），∴B（3，0），C（1，﹣2），∴直线l′的解析式为y=x﹣3．（3）如图2中，①当P1与N重合时，△P1B′N′是等腰三角形，此时P1（0，﹣3）．②当N′=N′B′时，设P（m，m﹣3），则有（m﹣）2+（m﹣3﹣）2=（3）2，解得m=或，∴P2（，），P3（，）．综上所述，满足条件的点P坐标为（0，﹣3）或（，）或（，）．【点评】本题考查二次函数综合题、待定系数法、等腰三角形的判定和性质、两点间距离公式等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，学会根据方程，属于中考压轴题．5．（2017?宜宾）如图，抛物线y=﹣x2+bx+c与x轴分别交于A（﹣1，0），B（5，0）两点．（1）求抛物线的解析式；（2）在第二象限内取一点C，作CD垂直X轴于点D，链接AC，且AD=5，CD=8，将Rt△ACD沿x 轴向右平移m个单位，当点C落在抛物线上时，求m的值；（3）在（2）的条件下，当点C第一次落在抛物线上记为点E，点P是抛物线对称轴上一点．试探究：在抛物线上是否存在点Q，使以点B、E、P、Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．【考点】HF：二次函数综合题．【专题】16：压轴题．【分析】（1）由A、B的坐标，利用待定系数法可求得抛物线的解析式；（2）由题意可求得C点坐标，设平移后的点C的对应点为C′，则C′点的纵坐标为8，代入抛物（3为平行四Q 由B、E【解答】（1∴，（2）∵∴OD=6∴C（﹣6∵C（﹣6∴当点C∴m（3）∵∴可设P由（2①当BE垂线，垂足为N，如图，则∠BEF=∠BMP=∠QPN，在△PQN和△EFB中∴△PQN≌△EFB（AAS），∴NQ=BF=OB﹣OF=5﹣1=4，设Q（x，y），则QN=|x﹣2|，∴|x﹣2|=4，解得x=﹣2或x=6，当x=﹣2或x=6时，代入抛物线解析式可求得y=﹣7，∴Q点坐标为（﹣2，﹣7）或（6，﹣7）；②当BE为对角线时，∵B（5，0），E（1，8），∴线段BE的中点坐标为（3，4），则线段PQ的中点坐标为（3，4），设Q（x，y），且P（2，t），∴x+2=3×2，解得x=4，把x=4代入抛物线解析式可求得y=5，∴Q（4，5）；综上可知Q点的坐标为（﹣2，﹣7）或（6，﹣7）或（4，5）．【点评】本题为二次函数的综合应用，涉及待定系数法、平移的性质、全等三角形的判定和性质、平行四边形的性质、方程思想及分类讨论思想等知识．在（1）注意待定系数法的应用，在（2）中求得平移后C点的对应点的坐标是解题的关键，在（3）中确定出Q点的位置是解题的关键．本题考查知识点较多，综合性较强，难度适中．6．（2017?沈阳）如图1，在平面直角坐标系中，O是坐标原点，抛物线y=﹣x2﹣x+8与x轴正半轴交于点A，与y轴交于点B，连接AB，点M，N分别是OA，AB的中点，Rt△CDE≌Rt△ABO，且△CDE G．（1（2②判断点（3点Q P，Q 在直线【考点】【专题】【分析】（2）②如图12，由﹣=（3的坐标即可解决问题；【解答】y=8，∴B（0，∴OB=8当y=0﹣x﹣x8=0x2+4x﹣（x﹣8）x 1=8，x2=∴A（8，∴OA=8，在Rt△AOB中，tan∠ABO===，∴∠ABO=30°，故答案为：8，30；（2）①证明：∵DE∥AB，∴，∵OM=AM，∴OH=BH，∵BN=AN，∴HN∥AM，∴四边形AMHN是平行四边形；②点D在该抛物线的对称轴上，理由是：如图1，过点D作DR⊥y轴于R，∵HN∥OA，∴∠NHB=∠AOB=90°，∵DE∥AB，∴∠DHB=∠OBA=30°，∵Rt△CDE≌Rt△ABO，∴∠HDG=∠OBA=30°，∴∠HGN=2∠HDG=60°，∴∠HNG=90°﹣∠HGN=90°﹣60°=30°，∴∠HDN=∠HND，∴DH=HN=OA=4，∴Rt△DHR中，DR=DH==2，∴点D的横坐标为﹣2，∵抛物线的对称轴是直线：x=﹣=﹣=﹣2，∴点D在该抛物线的对称轴上；（3）如图3中，连接PQ，作DR⊥PK于R，在DR上取一点T，使得PT=DT．设PR=a．∵NA=NB，∴HO=NA=NB，∵∠ABO=30°，∴∠BAO=60°，∴△AON是等边三角形，∴∠NOA=60°=∠ODM+∠OMD，∵∠ODM=30°，∴∠OMD=∠ODM=30°，∴OM=OD=4，易知D（﹣2，﹣2），Q（﹣2，10），∵N（4，4），∴DK=DN==12，∵DR∥x轴，，∴∠KDR=∠OMD=30°∴RK=DK=6，DR=6，∵∠PDK=45°，∴∠TDP=∠TPD=15°，∴∠PTR=∠TDP+∠TPD=30°，∴TP=TD=2a，TR=a，∴a+2a=6，∴a=12﹣18，可得P（﹣2﹣6，10﹣18），∴PQ==12．【点评】本题考查二次函数综合题、平行四边形的判定和性质、锐角三角函数、30度角的直角三角形的性质、等边三角形的判定和性质、勾股定理、平行线分线段成比例定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，学会利用参数构建方程解决问题，属于中考压轴题．7．（2017?宁波）如图，抛物线y=x2+x+c与x轴的负半轴交于点A，与y轴交于点B，连结AB，点C（6，）在抛物线上，直线AC与y轴交于点D．（1）求c的值及直线AC的函数表达式；（2）点P在x轴正半轴上，点Q在y轴正半轴上，连结PQ与直线AC交于点M，连结MO并延长交AB于点N，若M为PQ的中点．①求证：△APM∽△AON；②设点M的横坐标为m，求AN的长（用含m的代数式表示）．【考点】HF：二次函数综合题．【专题】16：压轴题．【分析】（1）把C点坐标代入抛物线解析式可求得c的值，令y=0可求得A点坐标，利用待定系数法可求得直线AC的函数表达式；（2）①在Rt△AOB和Rt△AOD中可求得∠OAB=∠OAD，在Rt△OPQ中可求得MP=MO，可求得∠MPO=∠MOP=∠AON，则可证得△APM∽△AON；②过M作ME⊥x轴于点E，用m可表示出AE和AP，进一步可表示出AM，利用△APM∽△AON可表示出AN．【解答】解：（1）把C点坐标代入抛物线解析式可得=9++c，解得c=﹣3，∴抛物线解析式为y=x2+x﹣3，令y=0可得x2+x﹣3=0，解得x=﹣4或x=3，∴A（﹣4，0），设直线AC的函数表达式为y=kx+b（k≠0），把A、C坐标代入可得，解得，∴直线AC的函数表达式为y=x+3；（2）①∵在Rt△AOB中，tan∠OAB==，在RtAOD中，tan∠OAD==，∴∠OAB=∠OAD，∵在Rt△POQ中，M为PQ的中点，∴OM=MP，∴∠MOP=∠MPO，且∠MOP=∠AON，∴∠APM=∠AON，∴△APM∽△AON；②如图，过点M作ME⊥x轴于点E，则OE=EP，∵点M的横坐标为m，∴AE=m+4，AP=2m+4，∵tan∠OAD=，∴cos∠EAM=cos∠OAD=，∴=，∴AM=AE=，∵△APM∽△AON，∴=，即=，∴AN=．【点评】本题为二次函数的综合应用，涉及待定系数法、三角函数的定义、相似三角形的判定和性质、等腰三角形的性质、直角三角形的性质及方程思想等知识．在（1）中注意函数图象上的点的坐标满足函数解析式，以及待定系数法的应用，在（2）①中确定出两对对应角相等是解题的关键，在（2）②中用m表示出AP的长是解题的关键，注意利用相似三角形的性质．本题考查知识点较多，综合性较强，难度较大．8．（2017?自贡）抛物线y=4x2﹣2ax+b与x轴相交于A（x1，0），B（x2，0）（0＜x1＜x2）两点，与y轴交于点C．（1）设AB=2，tan∠ABC=4，求该抛物线的解析式；（2）在（1）中，若点D为直线BC下方抛物线上一动点，当△BCD的面积最大时，求点D的坐标；（3）是否存在整数a，b使得1＜x1＜2和1＜x2＜2同时成立，请证明你的结论．【考点】HF：二次函数综合题．【专题】16：压轴题．【分析】（1）由tan∠ABC=4，可以假设B（m，0），则A（m﹣2，0），C（0，4m），可得抛物线的解析式为y=4（x﹣m）（x﹣m+2），把C（0，4m）代入y=4（x﹣m）（x﹣m+2），求出m的值即可解决问题；（2）设P（m，4m2﹣16m+12）．作PH∥OC交BC于H，根据S△PBC =S△PHC+S△PHB构建二次函数，利用二次函数的性质解决问题；（3）不存在．假设存在，由题意由题意可知，且1＜﹣＜2，首先求出整数a的值，代入不等式组，解不等式组即可解决问题．【解答】解：（1）∵tan∠ABC=4∴可以假设B（m，0），则A（m﹣2，0），C（0，4m），∴可以假设抛物线的解析式为y=4（x﹣m）（x﹣m+2），把C（0，4m）代入y=4（x﹣m）（x﹣m+2），得m=3，∴抛物线的解析式为y=4（x﹣3）（x﹣1），∴y=4x2﹣16x+12，（2）如图，设D（m，4m2﹣16m+12）．作DH∥OC交BC于H．∵B（3，0），C（0，12），∴直线BC的解析式为y=﹣4x+12，∴H（m，﹣4m+12），∴S△DBC =S△DHC+S△DHB=?（﹣4m+12﹣4m2+16m﹣12）?3=﹣6（m﹣）2+，∵﹣6＜0，∴m=时，△DBC面积最大，此时D（，﹣3）．（3）不存在．理由：假设存在．由题意可知，且1＜﹣＜2，∴4＜a＜8，∵a是整数，∴a=5或6或7，当a=5时，代入不等式组，不等式组无解．当a=6时，代入不等式组，不等式组无解．当a=7时，代入不等式组，不等式组无解．综上所述，不存在整数a、b，使得1＜x1＜2和1＜x2＜2同时成立．【点评】本题考查二次函数综合题、待定系数法、三角形的面积，不等式组等整数，解题的关键是灵活运用待定系数法确定函数解析式，学会构建二次函数，利用二次函数的性质解决问题，学会利用不等式组解决问题，属于中考压轴题．9．（2017?日照模拟）如图，抛物线y=x2﹣2x﹣3与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），直线l与抛物线交于A，C两点，其中点C的横坐标为2．（1）求A，B两点的坐标及直线AC的函数表达式；（2）P是线段AC上的一个动点（P与A，C不重合），过P点作y轴的平行线交抛物线于点E，求△ACE面积的最大值；（3）若直线PE为抛物线的对称轴，抛物线与y轴交于点D，直线AC与y轴交于点Q，点M为直线PE上一动点，则在x轴上是否存在一点N，使四边形DMNQ的周长最小？若存在，求出这个最小值及点M，N的坐标；若不存在，请说明理由．（4）点H是抛物线上的动点，在x轴上是否存在点F，使A、C、F、H四个点为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，请直接写出所有满足条件的F点坐标；如果不存在，请说明理由．【考点】HF：二次函数综合题．【专题】16：压轴题．【分析】（1）令抛物线y=x2﹣2x﹣3=0，求出x的值，即可求A，B两点的坐标，根据两点式求出直线AC的函数表达式；（2）设P点的横坐标为x（﹣1≤x≤2），求出P、E的坐标，用x表示出线段PE的长，求出PE的最大值，进而求出△ACE的面积最大值；（3）根据D点关于PE的对称点为点C（2，﹣3），点Q（0，﹣1）点关于x轴的对称点为M（0，1），则四边形DMNQ的周长最小，求出直线CM的解析式为y=﹣2x+1，进而求出最小值和点M，N的坐标；（4）结合图形，分两类进行讨论，①CF平行x轴，如图1，此时可以求出F点两个坐标；②CF不平行x轴，如题中的图2，此时可以求出F点的两个坐标．【解答】解：（1）令y=0，解得x1=﹣1或x2=3，∴A（﹣1，0），B（3，0）；将C点的横坐标x=2代入y=x2﹣2x﹣3得y=﹣3，∴C（2，﹣3），∴直线AC的函数解析式是y=﹣x﹣1，（2）设P点的横坐标为x（﹣1≤x≤2），则P、E的坐标分别为：P（x，﹣x﹣1），E（x，x2﹣2x﹣3），∵P点在E点的上方，PE=（﹣x﹣1）﹣（x2﹣2x﹣3）=﹣x2+x+2，∴当x=时，PE的最大值=，△ACE的面积最大值=PE[2﹣（﹣1）]=PE=，（3）D点关于PE的对称点为点C（2，﹣3），点Q（0，﹣1）点关于x轴的对称点为K（0，1），连接CK交直线PE于M点，交x轴于N点，可求直线CK的解析式为y=﹣2x+1，此时四边形DMNQ 的周长最小，。
2017年中考压轴题(26题)二次函数综合
2017年中考压轴题——二次函数、动点综合题1．（本小题满分13分）如图，二次函数32-+=bx ax y 的图象与x 轴交于A （-1，0），B （3，0）两点，与y 轴交于点C .该抛物线的顶点为M . （1）求该抛物线的解析式； （2）判断△BCM 的形状，并说明理由.（3）探究坐标轴上是否存在点P ，使得以点P ，A ，C 为顶点的三角形与△BCM 相似？若存在，请求出点P 的坐标，若不存在，请说明理由.2．（13分）如图，已知抛物线y=x 2+bx+c 经过△ABC 的三个顶点，其中点A （0，1），点B （﹣9，10），AC ∥x轴，点P 时直线AC 下方抛物线上的动点． （1）求抛物线的解析式； （2）过点P 且与y 轴平行的直线l 与直线AB 、AC 分别交于点E 、F,当四边形AECP 的面积最大时,求点P 的坐标； （3）当点P 为抛物线的顶点时，在直线AC 上是否存在点Q ，使得以C 、P 、Q 为顶点的三角形与△ABC 相似，若存在，求出点Q 的坐标，若不存在，请说明理由．(第26题图)3．（13分）如图1，抛物线y=ax 2+bx +3（a ≠0）与x 轴交于点A 、点B （点A 在点B 左侧），与y 轴交于点C ，点D 为抛物线的顶点，已知点A 、点B 的坐标分别为A （﹣1，0）、B （3，0）． （1）求抛物线的解析式；（2）在直线BC 上方的抛物线上找一点P ，使△PBC 的面积最大，求P 点的坐标；（3）如图2，连接BD 、CD ，抛物线的对称轴与x 轴交于点E ，过抛物线上一点M 作MN ⊥CD ，交直线CD 于点N ，求当∠CMN=∠BDE 时点M 的坐标．4．（本小题满分13分） 如图，已知抛物线232y ax x c =-+与x 轴相交于A 、B 两点，并与直线122y x =-交于B 、C 两点，其中点C 是直线122y x =-与y 轴的交点，连接AC ． ⑴求抛物线的解析式； ⑵证明：△ABC 为直角三角形；⑶△ABC 内部能否截出面积最大的矩形DEFG ？（顶点D 、E、F 、G 在△ABC 各边上）若能，求出最大面积；若不能，请说明理由．（第26题图）5．（本小题满分13分）如图，二次函数32-+=bx ax y 的图象与x 轴交于A （-1，0），B （3，0）两点，与y 轴交于点C .该抛物线的顶点为M .（1）求该抛物线的解析式；（2）判断△BCM 的形状，并说明理由.（3）探究坐标轴上是否存在点P ，使得以点P ，A ，C 为顶点的三角形与△BCM 相似？若存在，请求出点P 的坐标，若不存在，请说明理由.6.（本题满分13分）如图，已知二次函数y =﹣x 2+bx +c 的图象交x 轴于点A （4，0）和点B ，交y 轴于点C （0，4）． （1）求这个二次函数的表达式；（2）若点P 在第一象限内的抛物线上，求四边形AOCP 面积的最大值和此时点P 的坐标；（3）在平面直角坐标系内，是否存在点Q ，使A ，B ，C ，Q 四点构成平行四边形？若存在，直接写出点Q 的坐标；若不存在，说明理由．7．（13分）如图，已知抛物线与x 轴交于A （﹣1，0）、B （5，0）两点，与y 轴交于点C （0，5）． （1）求该抛物线所对应的函数关系式；（2）D 是笫一象限内抛物线上的一个动点（与点C 、B 不重合），过点D 作DF ⊥x 轴于点F ，交直线BC 于点E ，连结BD 、CD ．设点D 的横坐标为m ，△BCD 的面积为S ．①求S 关于m 的函数关系式及自变量m 的取值范围；②当m 为何值时,S 有最大值,并求这个最大值； ③直线BC 能否把△BDF 分成面积之比为2:3的两部分？若能,请求出点D 的坐标；若不能,请说明理由．（第26题8．（13分）如图，隧道的截面由抛物线和长方形构成，长方形的长是12m ，宽是4m ．按照图中所示的直角坐标系，抛物线可以用y=﹣x 2+bx +c 表示，且抛物线的点C 到墙面OB 的水平距离为3m 时，到地面OA 的距离为m ．（1）求该抛物线的函数关系式，并计算出拱顶D 到地面OA 的距离；（2）一辆货运汽车载一长方体集装箱后高为6m ，宽为4m ，如果隧道内设双向行车道，那么这辆货车能否安全通过？（3）在抛物线型拱壁上需要安装两排灯，使它们离地面的高度相等，如果灯离地面的高度不超过8m ，那么两排灯的水平距离最小是多少米？9．（13分）如图，已知抛物线与x 轴交于A （﹣1，0）、E （3，0）两点，与y 轴交于点B （0，3）． （1）求抛物线的解析式；（2）设抛物线顶点为D ，求四边形AEDB 的面积；（3）△AOB 与△DBE 是否相似？如果相似，请给以证明；如果不相似，请说明理由．26. (满分13分) 如图，抛物线经过A （﹣1，0），B （5，0），C （0，25）三点． （1）求抛物线的解析式； （2）在抛物线的对称轴上有一点P ，使PA+PC 的值最小，求点P 的坐标； （3）点M 为x 轴上一动点，在抛物线上是否存在一点N ，使以A ，C ，M ，N 四点构成的四边形为平行四边形？若存在，求点N 的坐标；若不存在，请说明理由．。
二次函数压轴题专题分类训练
中考二次函数压轴题专题分类训练题型一：面积问题【例1】如图2，抛物线顶点坐标为点C (1，4)，交x 轴于点A (3，0)，交y 轴于点B . （1）求抛物线和直线AB 的解析式； （2）求△CAB 的铅垂高CD 及S △CAB ；（3）设点P 是抛物线（在第一象限内）上的一个动点，是否存在一点P ，使S △PAB ＝89S △CAB ，若存在，求出P 点的坐标；若不存在，请说明理由.【变式练习】1.如图，在直角坐标系中，点A 的坐标为(－2，0)，连结OA ，将线段OA 绕原点O 顺时针旋转120°，得到线段OB ． （1）求点B 的坐标；（2）求经过A 、O 、B 三点的抛物线的解析式；（3）在（2）中抛物线的对称轴上是否存在点C ，使△BOC 的周长最小？若存在，求出点C 的坐标；若不存在，请说明理由． （4）如果点P 是（2）中的抛物线上的动点，且在x 轴的下方，那么△PAB 是否有最大面积？若有，求出此时P 点的坐标及△PAB 的最大面积；若没有，请说明理由．2.如图，抛物线y = ax 2+ bx + 4与x 轴的两个交点分别为A （－4，0）、B （2，0），与y图2轴交于点C ，顶点为D ．E （1，2）为线段BC 的中点，BC 的垂直平分线与x 轴、y 轴分别交于F 、G ．（1）求抛物线的函数解析式，并写出顶点D 的坐标；（2）在直线EF 上求一点H ，使△CDH 的周长最小，并求出最小周长； （3）若点K 在x 轴上方的抛物线上运动，当K 运动到什么位置时， △EFK 的面积最大？并求出最大面积．3．如图，已知：直线3+-=x y 交x 轴于点A ，交y 轴于点B ，抛物线y=ax 2+bx+c 经过A 、B 、C （1，0）三点.（1）求抛物线的解析式;（2）若点D 的坐标为（-1，0），在直线3+-=x y 上有一点P,使ΔABO 与ΔADP 相似，求出点P 的坐标；（3）在（2）的条件下，在x 轴下方的抛物线上，是否存在点E ，使ΔADE 的面积等于四边形APCE 的面积？如果存在，请求出点E 的坐标；如果不存在，请说明理由．C ED GAxy OB F题型二：构造直角三角形【例2】如图，已知抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为x＝1，且抛物线经过A（－1，0）、C（0，－3）两点，与x轴交于另一点B．（1）求这条抛物线所对应的函数关系式；（2）在抛物线的对称轴x＝1上求一点M，使点M到点A的距离与到点C的距离之和最小，并求此时点M的坐标；（3）设点P为抛物线的对称轴x =1上的一动点，求使∠PCB＝90º的点P的坐标．【变式练习】1．如图，抛物线y=与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C．（1）求点A、B的坐标；（2）设D为已知抛物线的对称轴上的任意一点，当△ACD的面积等于△ACB的面积时，求点D的坐标；（3）若直线l过点E（4，0），M为直线l上的动点，当以A、B、M为顶点所作的直角三角形有且只有三个时，求直线l的解析式．E2.在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线y=2(1)(0)a x c a ++>与x 轴交于A 、B 两点(点A 在点B 的左侧)，与y 轴交于点C ，其顶点为M,若直线MC 的函数表达式为3y kx =-,与x轴的交点为N ，且COS ∠BCO。
2017年中考数学真题分类汇编 二次函数
二次函数一、选择题1.（2017·浙江金华）对于二次函数是图象与性质，下列说法正确的是（ ）A ．对称轴是直线，最小值是B ．对称轴是直线，最大值是C. 对称轴是直线，最小值是D ．对称轴是直线，最大值是【答案】B.【解析】已知，可得抛物线开口向下，顶点坐标为（1，2），对称轴为1，即可得当1时，y 有最大值2，故选B. 2.（2017·广西贵港）将如图所示的抛物线向右平移1个单位长度，再向上平移3个单位长度后，得到的抛物线解析式是（ ）A ．（x ﹣1）2+1B ．（1）2+1B ．C ．2（x ﹣1）2+1D ．2（1）2+1【答案】C【解答】由图象，得2x 2﹣2，由平移规律，得2（x ﹣1）2+1，故选：C ．【考点】二次函数图象与几何变换． ()212y x =--+1x =21x =21x =-21x =-2()212y x =--+3.（2017·贵州黔东南州）如图，抛物线2（a≠0）的对称轴为直线﹣1，给出下列结论：①b2=4；②＞0；③a＞c；④4a﹣2＞0，其中正确的个数有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【考点】二次函数图象与系数的关系．【分析】①利用抛物线与x轴有2个交点和判别式的意义对①进行判断；②由抛物线开口方向得到a＞0，由抛物线对称轴位置确定b＞0，由抛物线与y轴交点位置得到c＞0，则可作判断；③利用﹣1时a﹣＜0，然后把2a代入可判断；④利用抛物线的对称性得到﹣2和0时的函数值相等，即﹣2时，y＞0，则可进行判断．【解答】解：①∵抛物线与x轴有2个交点，∴△2﹣4＞0，所以①错误；②∵抛物线开口向上，∴a＞0，∵抛物线的对称轴在y轴的右侧，∴a、b同号，∴b＞0，∵抛物线与y轴交点在x轴上方，∴c＞0，∴＞0，所以②正确；③∵﹣1时，y＜0，即a﹣＜0，∵对称轴为直线﹣1，∴﹣=﹣1，∴2a ，∴a ﹣2＜0，即a ＞c ，所以③正确；④∵抛物线的对称轴为直线﹣1，∴﹣2和0时的函数值相等，即﹣2时，y ＞0，∴4a ﹣2＞0，所以④正确．所以本题正确的有：②③④，三个，故选C ．4.（2017·天津）已知抛物线与轴相交于点（点在点左侧），顶点为.平移该抛物线，使点平移后的对应点落在轴上，点平移后的对应点落在轴上，则平移后的抛物线解析式为（ ）A ．B ．C. D ．【答案】A.5.(2017·江苏徐州）若函数2﹣2的图象与坐标轴有三个交点，则b 的取值范围是（ ）A ．b ＜1且b≠0B ．b ＞1C ．0＜b ＜1D ．b ＜1【考点】抛物线与x 轴的交点．【分析】抛物线与坐标轴有三个交点，则抛物线与x 轴有2个交点，342+-=x x y x B A ,A B M M 'M x B 'B y 122++=x x y 122-+=x x y 122+-=x x y 122--=x xy与y轴有一个交点．【解答】解：∵函数2﹣2的图象与坐标轴有三个交点，∴，解得b＜1且b≠0．故选：A．6.（2017·山东烟台）二次函数2（a≠0）的图象如图所示，对称轴是直线1，下列结论：①＜0；②b2＞4；③2c＜0；④3＜0．其中正确的是（）A．①④B．②④C．①②③D．①②③④【考点】H4：二次函数图象与系数的关系．【分析】由抛物线开口方向得到a＞0，然后利用抛物线抛物线的对称轴得到b的符合，则可对①进行判断；利用判别式的意义和抛物线与x轴有2个交点可对②进行判断；利用1时，y＜0和c＜0可对③进行判断；利用抛物线的对称轴方程得到﹣2a，加上﹣1时，y＞0，即a﹣＞0，则可对④进行判断．【解答】解：∵抛物线开口向上，∴a＞0，∵抛物线的对称轴为直线﹣=1，∴﹣2a＜0，∴＜0，所以①正确；∵抛物线与x 轴有2个交点，∴△2﹣4＞0，所以②正确； ∵1时，y ＜0，∴＜0，而c ＜0，∴2c ＜0，所以③正确； ∵抛物线的对称轴为直线﹣=1，∴﹣2a ，而﹣1时，y ＞0，即a ﹣＞0，∴2＞0，所以④错误．故选C ．7.（2017·四川成都）在平面直角坐标系xOy 中，二次函数2y ax bx c =++的图像如图所示，下列说法正确的是 （ ）A ． 20,40abc b ac <->B ．20,40abc b ac >-> C. 20,40abc b ac <-< D ．20,40abc b ac >-< 【答案】B【解析】试题分析：根据二次函数的开口可得a ＞0，由对称轴2ba ＞0，可知b ＜0，然后根据与y 轴的交点可得c ＜0，因此得到＞0，然后根据抛物线与x 轴有两个交点可得24b ac -＞0.故选：B.考点：二次函数的图像与性质8.（2017·四川泸州）已知抛物线214y x =+1具有如下性质：给抛物线上任意一点到定点(0,2)F的距离与到x轴的距离相等，如图，点M的坐标为(3,3)，P是抛物线2114y x=+上一动点，则PMF∆周长的最小值是（）A．3B．4C．5D．6【答案】C.【解析】试题分析：如图，过点M作垂直于x轴，交x轴与点N，交抛物线于点P，因抛物线214y x=+1上任意一点到定点(0,2)F的距离与到x轴的距离相等，所以，所以此时PMF∆周长的最小，因点M的坐标为(3,3)，可得3，又因(0,2)F，根据勾股定理可求得2，即可得PMF∆周长的最小值为2+3=5,故选C.二、填空题1.（2017·山东青岛）若抛物线与x轴没有交点，则m的取值范围是°【答案】m＞9考点:二次函数与根的判别式2.（2017·辽宁沈阳）某商场购进一批单价为20元的日用商品.如果以单价30元销售，那么半月内可销售出400件.根据销售经验，提高销售单价会导致销售量的减少，即销售单价每提高1元，销售量相应减少20件，当销售量单价是元时，才能在半月内获得最大利润.【答案】35.考点：二次函数的应用.三、解答题1.（2017·安徽）某超市销售一种商品，成本每千克40元，规定每千克售价不低于成本，且不高于80元.经市场调查，每天的销售量y（千克）与每千克售价x（元）满足一次函数关系，部分数据如下表：售价x （元/千克）50 60 70销售量y （千克） 100 80 60 （1）求y 与x 之间的函数表达式；（2）设商品每天的总利润为W （元），求W 与x 之间的函数表达式（利润=收入-成本）；（3）试说明（2）中总利润W 随售价x 的变化而变化的情况，并指出售价为多少元时获得最大利润，最大利润是多少？【答案】（1）2200y x =-+.（2）222808000W x x =-+-；（3）当4070x ?时，W 随x 的增大而增大，当7080x <?时，W 随x 的增大而减小，当售价为70元时，获得最大利润，这时最大利润为1800元.【解析】试题分析：（1）用待定系数法求一次函数的表达式；（2）利用利润的定义，求W 与x 之间的函数表达式；（3）利用二次函数的性质求极值.考点： 二次函数的实际应用.2.（2017·河北）某厂按用户的月需求量x (件)完成一种产品的生产，其中0x >．每件的售价为18万元，每件的成本y (万元)是基础价与浮动价的和，其中基础价保持不变，浮动价与月需求量x (件)成反比．经市场调研发现，月需求量x 与月份n (n 为整数，112n ≤≤)符合关系式2229(3)x n kn k =-++(k 为常数)，且得到了表中的数据． 月份n (月)1 2 成本y (万元/件)11 12 需求量x (件/月) 120 100(1)求y 与x 满足的关系式，请说明一件产品的利润能否是12万元；(2)求k ，并推断是否存在某个月既无盈利也不亏损；(3)在这一年12个月中，若第m 个月和第(1)m +个月的利润相差最大，求m ．【答案】(1)6006y x =+，不可能；(2)不存在；(3)1或11.【解析】(2)将1，120代入()22293x n kn k =-++，得 120=2-2927.解得13.将2，100代入2226144x nn =-+也符合. ∴13.由题意，得18=6+600x ，求得50. ∴50=2226144nn -+，即213470n n -+=. ∵()21341470∆=--⨯⨯<，∴方程无实数根. ∴不存在.考点：待定系数法，一元二次方程根的判别式，二次函数的性质，二次函数的应用3.（2017·北京）在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点（点在点的左侧），与轴交于点. （1）求直线的表达式；（2）垂直于轴的直线与抛物线交于点，与直线交于点，若，结合函数的图象，求的取值范围.【答案】（1）3;(2)7<<8. 【解析】试题分析：（1）先求A 、B 、C 的坐标，用待定系数法即可求解；(2)由于垂直于y 轴的直线l 与抛物线要保证，则P 、Q 两点必位于x 轴下方,作出二次函数与一次函数图象，找出两条临界直线，为x 轴和过顶点的直线，继而求解.xOy 243y x x =-+x A B 、A B y C BC y l ()()1122,,,P x y Q x y BC ()33,N x y 123x x x <<123x x x ++123x x x ++243y x x =-+123x x x <<(2).由，∴抛物线的顶点坐标为（2，-1），对称轴为直线2, ∵ ,∴ 4.令134. ∵ ，∴3<<4, 即7<<8, ∴ 的取值范围为：7<<8. 考点：二次函数与x 轴的交点问题，待定系数法求函数解析式，二次函数的对称性.4.（2017·浙江金华）甲、乙两人进行羽毛球比赛，羽毛球飞行的路线为抛物线的一部分，如图，甲在点上正方的处发出一球，羽毛球飞行的高度与水平距离之间满足函数表达式．已知点与球网的水平距离为，球网的高度为．2243(2)1y x x x =-+=--12y y =1x 2x 123x x x <<3x 123x x x ++123x x x ++123x x x ++O 1m P ()y m ()x m ()24y a x h =-+O 5m 1.55m（1）当时，①求的值．②通过计算判断此球能否过网． （2）若甲发球过网后，羽毛球飞行到点的水平距离为，离地面的高度为的处时，乙扣球成功，求的值． 【答案】（1）①;②此球能过网，理由见解析；（2） . 【解析】试题分析：（1）①利用，（0，1）代入解析式即可求出h 的值；②利用5代入解析式求出y ，再与1.55比较大小即可判断是否过网；（2）将点（0，1），（7，）代入解析式得到一个二元一次方程组求解即可得出a 的值.（2）解：把（0，1），（7， )代入得：;124a =-h O 7m 125m Q a 5315-124-1251252(4)a x h -+1611295a h a h +=⎧⎪⎨+=⎪⎩解得：;∴ .5.（2017·广西贵港）如图，抛物线（x ﹣1）（x ﹣3）与x 轴交于A ，B 两点，与y 轴的正半轴交于点C ，其顶点为D ． （1）写出C ，D 两点的坐标（用含a 的式子表示）； （2）设S △：S △，求k 的值；（3）当△是直角三角形时，求对应抛物线的解析式．【考点】二次函数综合题．【分析】（1）令0可求得C 点坐标，化为顶点式可求得D 点坐标； （2）令0可求得A 、B 的坐标，结合D 点坐标可求得△的面积，设直线交x 轴于点E ，由C 、D 坐标，利用待定系数法可求得直线的解析式，则可求得E 点坐标，从而可表示出△的面积，可求得k 的值； （3）由B 、C 、D 的坐标，可表示出2、2和2，分∠90°和∠90°两种情况，分别利用勾股定理可得到关于a 的方程，可求得a 的值，则可求得抛物线的解析式． 【解答】解：15215a h⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩15-（1）在（x﹣1）（x﹣3），令0可得3a，∴C（0，3a），∵（x﹣1）（x﹣3）（x2﹣43）（x﹣2）2﹣a，∴D（2，﹣a）；（2）在（x﹣1）（x﹣3）中，令0可解得1或3，∴A（1，0），B（3，0），∴3﹣1=2，∴S△×2×，如图，设直线交x轴于点E，设直线解析式为，把C、D的坐标代入可得，解得，∴直线解析式为﹣23a，令0可解得，∴E（，0），∴3﹣=∴S△△△××（3）=3a，∴S△：S△（3a）：3，∴3；（3）∵B（3，0），C（0，3a），D（2，﹣a），∴2=32+（3a）2=9+9a2，2=22+（﹣a﹣3a）2=4+16a2，2=（3﹣2）22=12，∵∠＜∠＜90°，∴△为直角三角形时，只能有∠90°或∠90°两种情况，①当∠90°时，则有222，即9+9a2+12=4+16a2，解得﹣1（舍去）或1，此时抛物线解析式为2﹣43；②当∠90°时，则有222，即4+16a2+12=9+9a2，解得﹣（舍去）或，此时抛物线解析式为2﹣2；综上可知当△是直角三角形时，抛物线的解析式为2﹣43或2﹣2．6.（2017·甘肃）如图，已知二次函数24的图象与x轴交于点B（﹣2，0），点C（8，0），与y轴交于点A．（1）求二次函数24的表达式；（2）连接，，若点N在线段上运动（不与点B，C重合），过点N 作∥，交于点M，当△面积最大时，求N点的坐标；（3）连接，在（2）的结论下，求与的数量关系．【考点】：二次函数综合题．【分析】（1）由B、C的坐标，利用待定系数法可求得抛物线解析式；（2）可设N（n，0），则可用n表示出△的面积，由∥，可求得，则可用n表示出△的面积，再利用二次函数的性质可求得其面积最大时n的值，即可求得N点的坐标；（3）由N点坐标可求得M点为的中点，由直角三角形的性质可得，在△和△中，可分别求得和的长，可求得与的关系，从而可得到和的数量关系．【解答】解：（1）将点B，点C的坐标分别代入24可得，解得，∴二次函数的表达式为﹣x24；（2）设点N的坐标为（n，0）（﹣2＜n＜8），则2，8﹣n．∵B（﹣2，0），C（8，0），∴10，在﹣x24中令0，可解得4，∴点A（0，4），4，∴S△•（2）×4=2（2），∵∥，∴，∴，∴，∵﹣＜0，∴当3时，即N （3，0）时，△的面积最大；（3）当N （3，0）时，N 为边中点， ∵∥，∴M 为边中点， ∴， ∵2，4，∴， ∴．7.（2017·河南）如图，直线与轴交于点，与轴交于点，抛物线经过点，.（1）求点B 的坐标和抛物线的解析式；（2）M （m ，0）为x 轴上一个动点，过点M 垂直于x 轴的直线与直线和抛物线分别交于点P 、N ，23y x c =-+x (3,0)A y B 243y x bx c =-++AB①点在线段上运动，若以，，为顶点的三角形与相似，求点的坐标；②点在轴上自由运动，若三个点，，中恰有一点是其它两点所连线段的中点（三点重合除外），则称，，三点为“共谐点”.请直接写出使得，，三点成为“共谐点”的的值. 【答案】（1）B （0，2），；（2）①点M 的坐标为（，0）或M （，0）；②1或或. 试题解析：（1）直线与轴交于点， ∴，解得2 ∴B （0，2），∵抛物线经过点， ∴，∴∴抛物线的解析式为； M OA B P N APM ∆M M x M P N M P N M P N m 2410233y x x =-++1185214-1223y x c =-+x (3,0)A 2303c -⨯+=243y x bx c =-++(3,0)A 2433203b -⨯++=1032410233y x x =-++（2）∵轴，M （m ，0），∴N( ) ①有（1）知直线的解析式为，3，2 ∵在△中和△中，∠∠, ∠90°，若使△中和△相似，则必须∠90°或∠ =90°， 分两种情况讨论如下：（I ）当∠90°时，过点N 作轴于点C ， 则∠∠90°，，∵∠90°，∴∠∠90°， ∴∠∠， ∴△∽ △∴ ,即 ，解得0（舍去）或∴M （，0）；MN x ⊥2410,233m m m -++223y x =-+y ⊥22410410223333m m m m -++-=-+NC CB OB OA =24103323m m m -+=118118考点：二次函数综合题.8.（2017·湖北荆州）荆州市某水产养殖户进行小龙虾养殖．已知每千克小龙虾养殖成本为6元，在整个销售旺季的80天里，销售单价p （元/千克）与时间第t（天）之间的函数关系为：，日销售量y（千克）与时间第t（天）之间的函数关系如图所示：（1）求日销售量y与时间t的函数关系式？[来源**]（2）哪一天的日销售利润最大？最大利润是多少？（3）该养殖户有多少天日销售利润不低于2400元？（4）在实际销售的前40天中，该养殖户决定每销售1千克小龙虾，就捐赠m（m＜7）元给村里的特困户．在这前40天中，每天扣除捐赠后的日销售利润随时间t的增大而增大，求m的取值范围．【考点】：二次函数的应用．【分析】（1）根据函数图象，利用待定系数法求解可得；（2）设日销售利润为w，分1≤t≤40和41≤t≤80两种情况，根据“总利润=每千克利润×销售量”列出函数解析式，由二次函数的性质分别求得最值即可判断；（3）求出2400时x的值，结合函数图象即可得出答案；（4）依据（2）中相等关系列出函数解析式，确定其对称轴，由1≤t≤40且销售利润随时间t的增大而增大，结合二次函数的性质可得答案．【解答】解：（1）设解析式为，将（1，198）、（80，40）代入，得：，解得：，∴﹣2200（1≤x≤80，t为整数）；（2）设日销售利润为w，则（p﹣6）y，①当1≤t≤40时，（16﹣6）（﹣2200）=﹣（t﹣30）2+2450，∴当30时，w最大=2450；②当41≤t≤80时，（﹣46﹣6）（﹣2200）=（t﹣90）2﹣100，∴当41时，w最大=2301，[来源]∵2450＞2301，∴第30天的日销售利润最大，最大利润为2450元．（3）由（2）得：当1≤t≤40时，﹣（t﹣30）2+2450，令2400，即﹣（t﹣30）2+2450=2400，解得：t1=20、t2=40，由函数﹣（t﹣30）2+2450图象可知，当20≤t≤40时，日销售利润不低于2400元，而当41≤t≤80时，w 最大=2301＜2400， ∴t 的取值范围是20≤t≤40， ∴共有21天符合条件．（4）设日销售利润为w ，根据题意，得：（16﹣6﹣m ）（﹣2200）=﹣t 2+（30+2m ）2000﹣200m ， 其函数图象的对称轴为230， ∵w 随t 的增大而增大，且1≤t≤40， ∴由二次函数的图象及其性质可知230≥40， 解得：m≥5， 又m ＜7， ∴5≤m ＜7．9.（2017·江苏南京）已知函数（为常数） （1）该函数的图像与轴公共点的个数是（ ） A.0 B.1 C.2 D.1或2（2）求证：不论为何值，该函数的图像的顶点都在函数()21y x m x m =-+-+m x m ()21y x =+的图像上.（3）当时，求该函数的图像的顶点纵坐标的取值范围. 【答案】（1）D （2）证明见解析（3）试题解析：（1）.（2）， 所以该函数的图像的顶点坐标为. 把代入，得. 因此，不论为何值，该函数的图像的顶点都在函数的图像上.（3）设函数.当时，有最小值0.当时，随的增大而减小；当时，随的增大而增大.又当时，；当时，. 因此，当时，该函数的的图像的顶点纵坐标的取值范围是.23m -≤≤04z ≤≤D ()()22211124m m y x m x m x ⎛⎫ ⎪⎝+-=-+-+=--+⎭()211,24m m ⎛⎫⎝+ -⎪⎪⎭x =12m -()21y x =+()2211124m m y ⎛⎫ ⎪⎭=⎝+-=+m ()21y x =+z =()214m +1m =-z 1m <-z m 1m >-z m 2m =-()221144z -+==3m =()23144z +==23m -≤≤04z ≤≤考点：二次函数的图像与性质10.（2017·湖南湘潭）已知抛物线的解析式为21520y x bx =-++.（1）当自变量2x ≥时，函数值y 随x 的增大而减少，求b 的取值范围；（2）如图，若抛物线的图象经过点(2,5)A ，与x 轴交于点C ，抛物线的对称轴与x 轴交于B . ①求抛物线的解析式；②在抛物线上是否存在点P ，使得PAB ABC ∠=∠？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由. 【解析】(1)∵自变量2x ≥时，函数值y 随x 的增大而减少,∴02≥-a b≥0（2）①把(2,5)A 代入21520y x bx =-++，得101=b②作线段的垂直平分线，交抛物线于两点，此时PAB ABC ∠=∠ 【解】（1）∵自变量2x ≥时，函数值y 随x 的增大而减少 ∴对称轴在直线2的右边∴02≥-a b 02012≥⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯-bb≥0(2)①把(2,5)A 代入21520y x bx =-++，得101=b∴51012012++-=x x y②存在作线段的垂直平分线，与抛物线交于两点，此时PAB ABC ∠=∠ 抛物线51012012++-=x x y 的对称轴是直线1，则B （1，0）∵(2,5)A∴直线表达式55，E(1.5,2.5)∴直线21P P 表达式51-设直线21P P 表达式bx y +-=51把E(1.5,2.5)代入表达式得，2.8直线21P P 表达式8.251+-=x y由题意得⎪⎩⎪⎨⎧++-=+-=51012018.2512x x y x y解得⎪⎩⎪⎨⎧-=+=55351153311y x ，⎪⎩⎪⎨⎧+=-=55351153311y x∴⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+553511,5331P ,⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-553511,5332P考点：二次函数11.（2017·辽宁沈阳） 如图1，在平面直角坐标系中，O 是坐标原点，抛物线23383123y x x =--+与x 轴正半轴交于点A ，与y 轴交于点B ，连接AB ，点,M N 分别是,OA AB 的中点.Rt CDE Rt ABO ∆≅∆，且CDE ∆始终保持边ED 经过点M ，边CD 经过点N ，边DE 与y 轴交于点H ，边CD 与y 轴交于点G .（1）填空，OA 的长是 ，ABO ∠的度数是 度 （2）如图2，当//DE AB ，连接HN ①求证：四边形AMHN 是平行四边形；②判断点D 是否在抛物线的对称轴上，并说明理由；（3）如图3，当边CD 经过点O 时（此时点O 与点G 重合），过点D 作//DO OB ，交AB 延长线上于点O ，延长ED 到点K ，使DK DN =，过点K作//KI OB ，在KI 上取一点P ，使得45PDK ∠=︒（若,P O 在直线ED 的同侧），连接PO ，请直接写出的PO 长.【答案】(1)8，30；（2）①详见解析；②点D在该抛物线的对称轴上，理由详见解析；（3）123.【解析】试题分析：（1）根据抛物线的解析式23383123y x x=--+求得点A的坐标为（8，0），点B的坐标为（0，83），即可得8,根据锐角三角函数的定义即可求得ABO∠=30°；（2）①由//DE AB，根据平行线分线段成比例定理可得OM OHAM BH=,又因,可得,再由，根据三角形的中位线定理可得//HN AM，即可判定四边形是平行四边形；②点D在该抛物线的对称轴上，如图，过点D作⊥轴于点R，由//HN AO可得∠∠90°，由//DE AB，可得∠∠30°，又因Rt CDE Rt ABO∆≅∆，根据全等三角形的性质可得∠∠30°，即可得∠∠，所以124，在△中，121422⨯=,即可判定点D的横坐标为-2.又因抛物线的对称轴为直线2x=-，所以点D在该抛物线的对称轴上；试题解析：(1)8，30；（2）①证明：∵//DE AB，∴OM OH AM BH=,又∵,∴,又∵∴//HN AM∴四边形是平行四边形②点D在该抛物线的对称轴上，理由如下：如图，过点D作⊥轴于点R，∵//HN AO∴∠∠90°，∵//DE AB，∴∠∠30°，又∵Rt CDE Rt ABO∆≅∆∴∠∠30°，∴∠∠30°， ∴∠2∠60°，∴∠90°-∠90°-60°=30°， ∴∠∠，∴124在△中，121422⨯=,∴点D 的横坐标为-2.又因抛物线的对称轴为直线332232()12bx a-=-==-⨯-，∴点D 在该抛物线的对称轴上. (3)123 .考点：二次函数综合题. 12.（2017·山西）综合与探究 如图，抛物线23233393y x x =-++与x 轴交于A 、B 两点（点A 在点B 的左侧），与y 轴交于点C ，连接、．点P 沿以每秒1个单位长度的速度由点A 向点C 运动，同时，点Q 沿以每秒2个单位长度的速度由点B 向点O 运动，当一个点停止运动时，另一个点也随之停止运动，连接，过点Q 作⊥x 轴，与抛物线交于点D ，与交于点E ．连接，与交于点F ．设点P 的运动时间为t 秒（0t >）．（1）求直线的函数表达式．（2）①直接写出P 、D 两点的坐标（用含t 的代数式表示，结果需化简）．②在点P 、Q 运动的过程中，当时，求t 的值．（3）试探究在点P 、Q 运动的过程中，是否存在某一时刻，使得点F 为的中点．若存在，请直接写出此时t 的值与点F 的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）3333y x =-+；（2）①P （132t -，32t ），D （92t -，2438393t t -+ ）；②154；（3）3，F （34，1134）．（3）由中点坐标公式和F 在直线上得到2690t t -+=，解得3．把3代入得到F 的坐标． 试题解析：（1）由0，得232333093x x -++=，解得：13x =-，29x =，∴点A 的坐标为（-3，0），点B 的坐标为（9，0）．由0，得33y =，∴点C 的坐标为（0，33 ）．（2）①过点P 作⊥x 轴于点G ．∵A （-3，0），B （9，0），C （0，33 ）∴3，9，33，∴∠3333CO AO == ，∴∠60°，∴∠30°，∵，∴12t ，32t ，∴3-12t ，∴P （132t -，32t ）．∵92t -，∴D 的横坐标为92t -，∵D 在抛物线23233393y x x =-++上，∴D 的纵坐标为2323(92)(92)3393y t t =--+-+=2438393t t -+，∴D D （92t -，2438393t t -+ ）．综上所述：P （132t -，32t ），D （92t -，2438393t t -+ ）；②过点P 作⊥x 轴于点G ，⊥于点H ．∵⊥x 轴，∴四边形是矩形，∴．∵，⊥，∴22．∵P 、D 两点的坐标分别为P （132t -，32t ），D （92t -，2438393t t -+ ），∴2438393t t -+=322t ⨯，解得：10t =（舍去），2154t =，∴当时，t 的值为154．考点：二次函数综合题；动点型；存在型；压轴题．13.（2017·天津）已知抛物线（是常数）经过点.32-+=bx x y b )0,1(-A（1）求该抛物线的解析式和顶点坐标；（2）P(m ，t)为抛物线上的一个动点，关于原点的对称点为. ①当点落在该抛物线上时，求的值；②当点落在第二象限内，取得最小值时，求的值. 【答案】（1），顶点的坐标为（1，-4）；（2）；（3）. 试题解析：(1)∵抛物线经过点， ∴0=13，解得 2.∴抛物线的解析式为， ∵， ∴顶点的坐标为（1，-4）.(2)①由点P(m ，t)在抛物线上，有. ∵关于原点的对称点为，有P’（，）. ∴，即 ∴ 解得P 'P 'P m 'P 2'A P m 223y x x =--123,3m m ==-2142m +=32-+=bx x y )0,1(-A 223y x x =--2223(1)4y x x x =--=--223y x x =--223t m m =--P 'P 2()2()3t m m -=----223t m m =--+222323m m m m --=--+123,3m m ==-则当点A 和H 不重合时，在△P’中， 当点A 和H 重合时0, ，符合上式. ∴，即 记，则， ∴当时，y’取得最小值.把代入，得 解得 由m>0，可知不符合题意 ∴ 14.（2017·山东烟台）如图1，抛物线22与x 轴交于A ，B 两点，与y 轴交于点C ，4，矩形的边1，延长交抛物线于点E ． （1）求抛物线的解析式；（2）如图2，点P 是直线上方抛物线上的一个动点，过点P 作y 轴的平行线交直线于点G ，作⊥，垂足为H ．设的长为l ，点P的横坐22222',(1)214P H t AH m m m t ==-+=-+=+222''P A P H AH =+22''P A P H =222''P A P H AH =+22'4(40)P A t t t =++-≤≤2'4(40)y t t t =++-≤≤2115'()24y t =++1212223t m m =--21232m m -=--12214214,22m m -+==2142m -=2142m +=标为m，求l与m的函数关系式（不必写出m的取值范围），并求出l的最大值；（3）如果点N是抛物线对称轴上的一点，抛物线上是否存在点M，使得以M，A，C，N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出所有满足条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由．【考点】：二次函数综合题．【分析】（1）由条件可求得A、B的坐标，利用待定系数法可求得抛物线解析式；（2）可先求得E点坐标，从而可求得直线解析式，可知∠45°，用m 可表示出的长，从而可表示出l的长，再利用二次函数的性质可求得其最大值；（3）分为边和为对角线，当为边时，过M作对称轴的垂线，垂足为F，则可证得△≌△，可求得M到对称轴的距离，从而可求得M点的横坐标，可求得M点的坐标；当为对角线时，设的中点为K，可求得K的横坐标，从而可求得M的横坐标，代入抛物线解析式可求得M点坐标．【解答】解：（1）∵矩形的边1，∴1，∵4，∴3，∴A（﹣3，0），B（1，0），把A、B两点坐标代入抛物线解析式可得，解得，∴抛物线解析式为﹣x2﹣2；（2）在﹣x2﹣2中，令2可得2=﹣x2﹣2，解得0或﹣2，∴E（﹣2，2），∴直线解析式为﹣x，由题意可得P（m，﹣m2﹣2），∵∥y轴，∴G（m，﹣m），∵P在直线的上方，∴﹣m2﹣2﹣（﹣m）=﹣m2﹣2=﹣（）2+，∵直线解析式为﹣x，∴∠∠45°，∴[﹣（）2+]=﹣（）2+，∴当﹣时，l有最大值，最大值为；（3）①当为平行四边形的边时，则有∥，且，如图，过M作对称轴的垂线，垂足为F，设交对称轴于点L，则∠∠∠，在△和△中∴△≌△（），∴3，∴点M到对称轴的距离为3，又﹣x2﹣2，∴抛物线对称轴为﹣1，设M点坐标为（x，y），则13，解得2或﹣4，当2时，﹣，当﹣4时，，∴M点坐标为（2，﹣）或（﹣4，﹣）；②当为对角线时，设的中点为K，∵A（﹣3，0），C（0，2），∴K（﹣，1），∵点N在对称轴上，∴点N的横坐标为﹣1，设M 点横坐标为x ，∴（﹣1）=2×（﹣）=﹣3，解得﹣2，此时2， ∴M （﹣2，2）；综上可知点M 的坐标为（2，﹣）或（﹣4，﹣）或（﹣2，2）．15.（2017·四川泸州）如图，已知二次函数)0(2≠++=a c bx ax y 的图象经过)2,0(),0,4(),0,1(C B A -三点. （1）求该二次函数的解析式；（2）点D 是该二次函数图象上的一点，且满足CAO DBA ∠=∠(O 是坐标原点)，求点D 的坐标；（3）点P 是该二次函数图象上位于一象限上的一动点，连接PA 分别交y BC ,轴与点,,F E 若CEF PEB ∆∆,的面积分别为,,21S S 求21S S -的最大值.【答案】（1）223212++-=x x y ；（2）满足条件的点D 有：),2,3(1D )18,5(2--D ；（3）当35=t 时，有最大值，最大值为：625.【解析】21S S -试题解析：（1）由题意得：设抛物线的解析式为：)4)(1(-+=x x a y ； 因为抛物线图像过点)2,0(C ,,24=-∴a 解得21-=a所以抛物线的解析式为：)4)(1(21-+-=x x y 即：223212++-=x x y(2)设BD 直线与y 轴的交点为),0(t M8,24;2tan tan ;,±==∴=∠=∠∴∠=∠∴∠=∠t t CAO MBA CAO MBA CAO DBA 即：Θ当8=t 时，直线BD 解析式为：82+-=x y⎩⎨⎧==⎩⎨⎧==⎪⎩⎪⎨⎧++-=+-=23,04,223218222112y x y x x x y x y 解得：联立所以，点)2,3(D当8-=t 时，直线BD 解析式为：82-=x y⎩⎨⎧-=-=⎩⎨⎧==⎪⎩⎪⎨⎧++-=-=185,04,223218222112y x y x x x y x y 解得：联立所以，点)18,5(--D综上：满足条件的点D 有：),2,3(1D )18,5(2--D（3）：过点P 作y 轴交BC 直线于点H ，设)22321,(2++-y t t P直线的解析式为221+-=x y 故：)221,(+-t t H;2212t t y y PH H p +-=-=∴直线的解析式为：;2120),1)(221(t y x x t y -==++-=得：取 故：;21)212(2),212,0(t t CF t F =--=- ;5,221)1)(22(t t x x y x t y E -=⎪⎩⎪⎨⎧+-=+-=解之得：联立)55)(221(21))((2121t t t t x x y y S E B H P --+-=--=∴； t t t S -⋅⋅=52212 t t t t t t t S S ----+-=-∴5221)55)(221(21221即：;625)35(235232221+--=+-=-t t t S S 所以，当35=t 时，有最大值，最大值为：625.21S S -。
2017中考数学二次函数压轴题含答案解析
二次函数压轴题面积类1．如图，抛物线经过点A〔﹣1，0〕、B〔3，0〕、C〔0，3〕三点．〔1〕求抛物线的解析式．〔2〕点M是线段上的点〔不及B，C重合〕，过M作∥y轴交抛物线于N，假设点M的横坐标为m，请用m的代数式表示的长．〔3〕在〔2〕的条件下，连接、，是否存在m，使△的面积最大？假设存在，求m的值；假设不存在，说明理由．2．如图，抛物线的图象及x轴交于A、B两点，及y轴交于C点，B点坐标为〔4，0〕．〔1〕求抛物线的解析式；〔2〕摸索究△的外接圆的圆心位置，并求出圆心坐标；〔3〕假设点M是线段下方的抛物线上一点，求△的面积的最大值，并求出此时M点的坐标．平行四边形类3．如图，在平面直角坐标系中，抛物线2经过点A〔3，0〕、B〔0，﹣3〕，点P是直线上的动点，过点P作x轴的垂线交抛物线于点M，设点P的横坐标为t．〔1〕分别求出直线和这条抛物线的解析式．〔2〕假设点P在第四象限，连接、，当线段最长时，求△的面积．〔3〕是否存在这样的点P，使得以点P、M、B、O为顶点的四边形为平行四边形？假设存在，请干脆写出点P的横坐标；假设不存在，请说明理由．4．如图，在平面直角坐标系中放置始终角三角板，其顶点为A 〔0，1〕，B〔2，0〕，O〔0，0〕，将此三角板绕原点O逆时针旋转90°，得到△A′B′O．〔1〕一抛物线经过点A′、B′、B，求该抛物线的解析式；〔2〕设点P是在第一象限内抛物线上的一动点，是否存在点P，使四边形′A′B的面积是△A′B′O面积4倍？假设存在，恳求出P的坐标；假设不存在，请说明理由．〔3〕在〔2〕的条件下，试指出四边形′A′B是哪种形态的四边形？并写出四边形′A′B的两条性质．5．如图，抛物线2﹣2的顶点A在直线l：﹣5上．〔1〕求抛物线顶点A的坐标；〔2〕设抛物线及y轴交于点B，及x轴交于点C、D〔C点在D点的左侧〕，试推断△的形态；〔3〕在直线l上是否存在一点P，使以点P、A、B、D为顶点的四边形是平行四边形？假设存在，求点P的坐标；假设不存在，请说明理由．周长类6．如图，△的两直角边、分别在x轴的负半轴和y轴的正半轴上，O为坐标原点，A、B两点的坐标分别为〔﹣3，0〕、〔0，4〕，抛物线2经过点B，且顶点在直线上．〔1〕求抛物线对应的函数关系式；〔2〕假设把△沿x轴向右平移得到△，点A、B、O的对应点分别是D、C、E，当四边形是菱形时，试推断点C和点D是否在该抛物线上，并说明理由；〔3〕在〔2〕的条件下，连接，对称轴上存在一点P使得△的周长最小，求出P点的坐标；〔4〕在〔2〕、〔3〕的条件下，假设点M是线段上的一个动点〔点M及点O、B不重合〕，过点M作∥交x轴于点N，连接、，设的长为t，△的面积为S，求S和t的函数关系式，并写出自变量t 的取值范围，S是否存在最大值？假设存在，求出最大值和此时M点的坐标；假设不存在，说明理由．等腰三角形类7．如图，点A在x轴上，4，将线段绕点O顺时针旋转120°至的位置．〔1〕求点B的坐标；〔2〕求经过点A、O、B的抛物线的解析式；〔3〕在此抛物线的对称轴上，是否存在点P，使得以点P、O、B 为顶点的三角形是等腰三角形？假设存在，求点P的坐标；假设不存在，说明理由．8．在平面直角坐标系中，现将一块等腰直角三角板放在第二象限，斜靠在两坐标轴上，且点A〔0，2〕，点C〔﹣1，0〕，如下图：抛物线2﹣2经过点B．〔1〕求点B的坐标；〔2〕求抛物线的解析式；〔3〕在抛物线上是否还存在点P〔点B除外〕，使△仍旧是以为直角边的等腰直角三角形？假设存在，求全部点P的坐标；假设不存在，请说明理由．9．在平面直角坐标系中，现将一块等腰直角三角板放在第一象限，斜靠在两坐标轴上，且点A〔0，2〕，点C〔1，0〕，如下图，抛物线2﹣﹣2经过点B．〔1〕求点B的坐标；〔2〕求抛物线的解析式；〔3〕在抛物线上是否还存在点P〔点B除外〕，使△仍旧是以为直角边的等腰直角三角形？假设存在，求全部点P的坐标；假设不存在，请说明理由．综合类10．如图，抛物线2的图象及x轴的一个交点为B〔5，0〕，另一个交点为A，且及y轴交于点C〔0，5〕．〔1〕求直线及抛物线的解析式；〔2〕假设点M是抛物线在x轴下方图象上的一动点，过点M作∥y轴交直线于点N，求的最大值；〔3〕在〔2〕的条件下，获得最大值时，假设点P是抛物线在x 轴下方图象上随意一点，以为边作平行四边形，设平行四边形的面积为S1，△的面积为S2，且S1=6S2，求点P的坐标．11．如图，抛物线2〔a≠0〕的图象过点C〔0，1〕，顶点为Q〔2，3〕，点D在x轴正半轴上，且．〔1〕求直线的解析式；〔2〕求抛物线的解析式；〔3〕将直线绕点C逆时针方向旋转45°所得直线及抛物线相交于另一点E，求证：△∽△；〔4〕在〔3〕的条件下，假设点P是线段上的动点，点F是线段上的动点，问：在P点和F点挪动过程中，△的周长是否存在最小值？假设存在，求出这个最小值；假设不存在，请说明理由．12．如图，抛物线及x轴交于A〔1，0〕、B〔﹣3，0〕两点，及y轴交于点C〔0，3〕，设抛物线的顶点为D．〔1〕求该抛物线的解析式及顶点D的坐标．〔2〕试推断△的形态，并说明理由．〔3〕探究坐标轴上是否存在点P，使得以P、A、C为顶点的三角形及△相像？假设存在，请干脆写出点P的坐标；假设不存在，请说明理由．13．如图，抛物线23及x轴交于A、B两点，过点A的直线l及抛物线交于点C，其中A点的坐标是〔1，0〕，C点坐标是〔4，3〕．〔1〕求抛物线的解析式；〔2〕在〔1〕中抛物线的对称轴上是否存在点D，使△的周长最小？假设存在，求出点D的坐标，假设不存在，请说明理由；〔3〕假设点E是〔1〕中抛物线上的一个动点，且位于直线的下方，试求△的最大面积及E点的坐标．14．如图，抛物线﹣x24及x轴相交于A、B两点，及y轴相交于点C，假设A点的坐标为A〔﹣2，0〕．〔1〕求抛物线的解析式及它的对称轴方程；〔2〕求点C的坐标，连接、并求线段所在直线的解析式；〔3〕试推断△及△是否相像？并说明理由；〔4〕在抛物线的对称轴上是否存在点Q，使△为等腰三角形？假设存在，求出符合条件的Q点坐标；假设不存在，请说明理由．15．如图，在坐标系中，△是等腰直角三角形，∠90°，A〔1，0〕，B〔0，2〕，抛物线2﹣2的图象过C点．〔1〕求抛物线的解析式；〔2〕平移该抛物线的对称轴所在直线l．当l挪动到何处时，恰好将△的面积分为相等的两部分？〔3〕点P是抛物线上一动点，是否存在点P，使四边形为平行四边形？假设存在，求出P点坐标；假设不存在，说明理由．山水是一部书，枝枝叶叶的文字间，声声鸟鸣是抑扬顿挫的标点，在茂密纵深间，一条曲径，是整部书最芳香的禅意。
(完整)2017年中考数学二次函数压轴题(含答案),推荐文档
2017 年中考数学冲刺复习资料:二次函数压轴题面积类1．如图，已知抛物线经过点A（﹣1，0）、B（3，0）、C（0，3）三点．（1）求抛物线的解析式．（2）点M 是线段BC 上的点（不与B，C 重合），过M 作MN∥y 轴交抛物线于N，若点M 的横坐标为m，请用m 的代数式表示MN 的长．（3）在（2）的条件下，连接NB、NC，是否存在m，使△BNC 的面积最大？若存在，求m 的值；若不存在，说明理由．考点：二次函数综合题．专题：压轴题；数形结合．分析：（1）已知了抛物线上的三个点的坐标，直接利用待定系数法即可求出抛物线的解析式．（2）先利用待定系数法求出直线BC 的解析式，已知点M 的横坐标，代入直线BC、抛物线的解析式中，可得到M、N 点的坐标，N、M 纵坐标的差的绝对值即为MN 的长．（3）设MN 交x 轴于D，那么△BNC 的面积可表示为：S△BNC=S△MNC+S△=MN（OD+DB）=MN•OB，MN 的表达式在（2）中已求得，OB 的长易知，由此列出关MNB于S△BNC、m 的函数关系式，根据函数的性质即可判断出△BNC 是否具有最大值．解答：解：（1）设抛物线的解析式为：y=a（x+1）（x﹣3），则：a（0+1）（0﹣3）=3，a=﹣1；∴抛物线的解析式：y=﹣（x+1）（x﹣3）=﹣x2+2x+3．（2）设直线BC 的解析式为：y=kx+b，则有：；故直线 BC 的解析式：y =﹣x +3．已知点 M 的横坐标为 m ，MN ∥y ，则 M （m ，﹣m +3）、N （m ，﹣m 2+2m +3）；∴故 MN =﹣m 2+2m +3﹣（﹣m +3）=﹣m 2+3m （0＜m ＜3）．（3） 如图；∵S △BNC =S △MNC +S △MNB =MN （OD +DB ）=MN •OB ，∴S △BNC =（﹣m 2+3m ）•3=﹣（m ﹣）2+（0＜m ＜3）；∴当 m =时，△BNC 的面积最大，最大值为．2. 如图，抛物线 的图象与 x 轴交于 A 、B 两点，与 y 轴交于 C 点，已知 B 点坐标为（4，0）．（1） 求抛物线的解析式；（2） 试探究△ABC 的外接圆的圆心位置，并求出圆心坐标；（3） 若点 M 是线段 BC 下方的抛物线上一点，求△MBC 的面积的最大值，并求出此时 M 点的坐标．考点：二次函数综合题．.专题：压轴题；转化思想．分析：（1）该函数解析式只有一个待定系数，只需将 B 点坐标代入解析式中即可．，解得（2）首先根据抛物线的解析式确定A 点坐标，然后通过证明△ABC 是直角三角形来推导出直径AB 和圆心的位置，由此确定圆心坐标．（3）△MBC 的面积可由S△MBC=BC×h 表示，若要它的面积最大，需要使h 取最大值，即点M 到直线BC 的距离最大，若设一条平行于BC 的直线，那么当该直线与抛物线有且只有一个交点时，该交点就是点M．解答：解：（1）将B（4，0）代入抛物线的解析式中，得：0=16a﹣×4﹣2，即：a=；∴抛物线的解析式为：y=x2﹣x﹣2．（2）由（1）的函数解析式可求得：A（﹣1，0）、C（0，﹣2）；∴OA=1，OC=2，OB=4，即：OC2=OA•OB，又：OC⊥AB，∴△OAC∽△OCB，得：∠OCA=∠OBC；∴∠ACB=∠OCA+∠OCB=∠OBC+∠OCB=90°，∴△ABC 为直角三角形，AB 为△ABC 外接圆的直径；所以该外接圆的圆心为AB 的中点，且坐标为：（，0）．（3）已求得：B（4，0）、C（0，﹣2），可得直线BC 的解析式为：y=x﹣2；设直线l∥BC，则该直线的解析式可表示为：y=x+b，当直线l 与抛物线只有一个交点时，可列方程：x+b=x2﹣x﹣2，即：x2﹣2x﹣2﹣b=0，且△=0；∴4﹣4×（﹣2﹣b）=0，即b=﹣4；∴直线l：y=x﹣4．所以点M 即直线l 和抛物线的唯一交点，有：，解得：即M（2，﹣3）．过M 点作MN⊥x 轴于N，S△BMC=S 梯形OCMN+S△MNB﹣S△OCB=×2×（2+3）+×2×3﹣×2×4=4．平行四边形类3.如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=x2+mx+n 经过点A（3，0）、B（0，﹣3），点P 是直线AB 上的动点，过点P 作x 轴的垂线交抛物线于点M，设点P 的横坐标为t．（1）分别求出直线AB 和这条抛物线的解析式．（2）若点P 在第四象限，连接AM、BM，当线段PM 最长时，求△ABM 的面积．（3）是否存在这样的点P，使得以点P、M、B、O 为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点P 的横坐标；若不存在，请说明理由．考点：二次函数综合题；解一元二次方程－因式分解法；待定系数法求一次函数解析式；待定系数法求二次函数解析式；三角形的面积；平行四边形的判定．.专题：压轴题；存在型．分析：（1）分别利用待定系数法求两函数的解析式：把A（3，0）B（0，﹣3）分别代入y=x2+mx+n 与y=kx+b，得到关于m、n 的两个方程组，解方程组即可；（2）设点P 的坐标是（t，t﹣3），则M（t，t2﹣2t﹣3），用P 点的纵坐标减去M 的纵坐标得到PM 的长，即PM=（t﹣3）﹣（t2﹣2t﹣3）=﹣t2+3t，然后根据二次函数的最值得到当t=﹣=时，PM 最长为=，再利用三角形的面积公式利用S△=S△BPM+S△APM 计算即可；ABM（3）由PM∥OB，根据平行四边形的判定得到当PM=OB 时，点P、M、B、O 为顶点的四边形为平行四边形，然后讨论：当P 在第四象限：PM=OB=3，PM 最长时只有，所以不可能；当P 在第一象限：PM=OB=3，（t2﹣2t﹣3）﹣（t﹣3）=3；当P 在第三象限：PM=OB=3，t2﹣3t=3，分别解一元二次方程即可得到满足条件的t 的值．解答：解：（1）把A（3，0）B（0，﹣3）代入y=x2+mx+n，得解得，所以抛物线的解析式是y=x2﹣2x﹣3．设直线AB 的解析式是y=kx+b，把A（3，0）B（0，﹣3）代入y=kx+b，得，解得，所以直线AB 的解析式是y=x﹣3；（2）设点P 的坐标是（t，t﹣3），则M（t，t2﹣2t﹣3），因为p 在第四象限，所以PM=（t﹣3）﹣（t2﹣2t﹣3）=﹣t2+3t，当t=﹣=时，二次函数的最大值，即PM 最长值为=，则S△ABM=S△BPM+S△APM==．（3）存在，理由如下：∵PM∥OB，∴当PM=OB 时，点P、M、B、O 为顶点的四边形为平行四边形，①当P 在第四象限：PM=OB=3，PM 最长时只有，所以不可能有PM=3．②当P 在第一象限：PM=OB=3，（t2﹣2t﹣3）﹣（t﹣3）=3，解得t1=，t2=（舍去），所以P 点的横坐标是；③当P 在第三象限：PM=OB=3，t2﹣3t=3，解得t1=（舍去），t2=，所以P 点的横坐标是．所以P 点的横坐标是或．4.如图，在平面直角坐标系中放置一直角三角板，其顶点为A（0，1），B（2，0），O（0，0），将此三角板绕原点O 逆时针旋转90°，得到△A′B′O．（1）一抛物线经过点A′、B′、B，求该抛物线的解析式；（2）设点P 是在第一象限内抛物线上的一动点，是否存在点P，使四边形PB′A′B 的面积是△A′B′O 面积4 倍？若存在，请求出P 的坐标；若不存在，请说明理由．（3）在（2）的条件下，试指出四边形PB′A′B 是哪种形状的四边形？并写出四边形PB′A′B 的两条性质．考点：二次函数综合题．.专题：压轴题．分析：（1）利用旋转的性质得出A′（﹣1，0），B′（0，2），再利用待定系数法求二次函数解析式即可；（2）利用S 四边形PB′A′B=S△B′OA′+S△PB′O+S△POB，再假设四边形PB′A′B 的面积是△A′B′O 面积的4 倍，得出一元二次方程，得出P 点坐标即可；（3）利用P 点坐标以及B 点坐标即可得出四边形PB′A′B 为等腰梯形，利用等腰梯形性质得出答案即可．解答：解：（1）△A′B′O 是由△ABO 绕原点O 逆时针旋转90°得到的，又A（0，1），B（2，0），O（0，0），∴A′（﹣1，0），B′（0，2）．方法一：设抛物线的解析式为：y=ax2+bx+c（a≠0），∵抛物线经过点A′、B′、B，∴，解得：，∴满足条件的抛物线的解析式为y=﹣x2+x+2．方法二：∵A′（﹣1，0），B′（0，2），B（2，0），设抛物线的解析式为：y=a（x+1）（x﹣2）将B′（0，2）代入得出：2=a（0+1）（0﹣2），解得：a=﹣1，故满足条件的抛物线的解析式为y=﹣（x+1）（x﹣2）=﹣x2+x+2；（2）∵P 为第一象限内抛物线上的一动点，设P（x，y），则x＞0，y＞0，P 点坐标满足y=﹣x2+x+2．连接PB，PO，PB′，∴S 四边形PB′A′B=S△B′OA′+S△PB′O+S△POB，=×1×2+×2×x+×2×y，=x+（﹣x2+x+2）+1，=﹣x2+2x+3．∵A′O=1，B′O=2，∴△A′B′O 面积为：×1×2=1，假设四边形PB′A′B 的面积是△A′B′O 面积的4 倍，则4=﹣x2+2x+3，即x2﹣2x+1=0，解得：x1=x2=1，此时y=﹣12+1+2=2，即P（1，2）．∴存在点P（1，2），使四边形PB′A′B 的面积是△A′B′O 面积的4 倍．（3）四边形PB′A′B 为等腰梯形，答案不唯一，下面性质中的任意2 个均可．①等腰梯形同一底上的两个内角相等；②等腰梯形对角线相等；③等腰梯形上底与下底平行；④等腰梯形两腰相等．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（10 分）或用符号表示：①∠B′A′B=∠PBA′或∠A′B′P=∠BPB′；②PA′=B′B；③B′P∥A′B；④B′A′=PB．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（10 分）5.如图，抛物线y=x2﹣2x+c 的顶点A 在直线l：y=x﹣5 上．（1）求抛物线顶点A 的坐标；（2）设抛物线与y 轴交于点B，与x 轴交于点C、D（C 点在D 点的左侧），试判断△ABD 的形状；（3）在直线l 上是否存在一点P，使以点P、A、B、D 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求点P 的坐标；若不存在，请说明理由．考点：二次函数综合题．.专题：压轴题；分类讨论．分析：（1）先根据抛物线的解析式得出其对称轴，由此得到顶点A 的横坐标，然后代入直线l 的解析式中即可求出点A 的坐标．（2）由A 点坐标可确定抛物线的解析式，进而可得到点B 的坐标．则AB、AD、BD 三边的长可得，然后根据边长确定三角形的形状．（3）若以点P、A、B、D 为顶点的四边形是平行四边形，应分①AB 为对角线、②AD 为对角线两种情况讨论，即①AD PB、②AB PD，然后结合勾股定理以及边长的等量关系列方程求出P 点的坐标．解答：解：（1）∵顶点A 的横坐标为x=﹣=1，且顶点A 在y=x﹣5 上，∴当x=1 时，y=1﹣5=﹣4，∴A（1，﹣4）．（2）△ABD 是直角三角形．将A（1，﹣4）代入y=x2﹣2x+c，可得，1﹣2+c=﹣4，∴c=﹣3，∴y=x2﹣2x﹣3，∴B（0，﹣3）当y=0 时，x2﹣2x﹣3=0，x1=﹣1，x2=3∴C（﹣1，0），D（3，0），BD2=OB2+OD2=18，AB2=（4﹣3）2+12=2，AD2=（3﹣1）2+42=20，BD2+AB2=AD2，∴∠ABD=90°，即△ABD 是直角三角形．（3）存在．由题意知：直线y=x﹣5 交y 轴于点E（0，﹣5），交x 轴于点F（5，0）∴OE=OF=5，又∵OB=OD=3∴△OEF 与△OBD 都是等腰直角三角形∴BD∥l，即PA∥BD则构成平行四边形只能是PADB 或PABD，如图，过点P 作y 轴的垂线，过点A 作x 轴的垂线交过P 且平行于x 轴的直线于点G．设P（x1，x1﹣5），则G（1，x1﹣5）则PG=|1﹣x1|，AG=|5﹣x1﹣4|=|1﹣x1|PA=BD=3由勾股定理得：（1﹣x ）2+（1﹣x ）2=18，x 2﹣2x ﹣8=0，x =﹣2 或 41 1 1 1 1∴P（﹣2，﹣7）或P（4，﹣1），存在点P（﹣2，﹣7）或P（4，﹣1）使以点A、B、D、P 为顶点的四边形是平行四边形．周长类6.如图，Rt△ABO 的两直角边OA、OB 分别在x 轴的负半轴和y 轴的正半轴上，O 为坐标原点，A、B 两点的坐标分别为（﹣3，0）、（0，4），抛物线y=x2+bx+c 经过点B，且顶点在直线x=上．（1）求抛物线对应的函数关系式；（2）若把△ABO 沿x 轴向右平移得到△DCE，点A、B、O 的对应点分别是D、C、E，当四边形ABCD 是菱形时，试判断点C 和点D 是否在该抛物线上，并说明理由；（3）在（2）的条件下，连接BD，已知对称轴上存在一点P 使得△PBD 的周长最小，求出P 点的坐标；（4）在（2）、（3）的条件下，若点M 是线段OB 上的一个动点（点M 与点O、B 不重合），过点M 作∥BD 交x 轴于点N，连接PM、PN，设OM 的长为t，△PMN 的面积为S，求S 和t 的函数关系式，并写出自变量t 的取值范围，S 是否存在最大值？若存在，求出最大值和此时M 点的坐标；若不存在，说明理由．考点：二次函数综合题．.专题：压轴题．分析：（1）根据抛物线y=经过点B（0，4），以及顶点在直线x=上，得出b，c 即可；（2）根据菱形的性质得出C、D 两点的坐标分别是（5，4）、（2，0），利用图象上点的性质得出x=5 或2 时，y 的值即可．（3）首先设直线CD 对应的函数关系式为y=kx+b，求出解析式，当x=时，求出y 即可；（4）利用MN∥BD，得出△OMN∽△OBD，进而得出，得到ON=，进而表示出△PMN 的面积，利用二次函数最值求出即可．解答：解：（1）∵抛物线y=经过点B（0，4）∴c=4，∵顶点在直线x=上，∴﹣=﹣=，∴b=﹣；∴所求函数关系式为；（2）在Rt△ABO 中，OA=3，OB=4，∴AB=，∵四边形ABCD 是菱形，∴BC=CD=DA=AB=5，∴C、D 两点的坐标分别是（5，4）、（2，0），当x=5 时，y=，当x=2 时，y=，∴点C 和点D 都在所求抛物线上；（3）设CD 与对称轴交于点P，则P 为所求的点，设直线CD 对应的函数关系式为y=kx+b，则，解得：，∴，当x=时，y=，∴P（），（4）∵MN∥BD，∴△OMN∽△OBD，∴即得ON=，设对称轴交x 于点F，则（PF+OM）•OF=（+t）×，∵，S△PNF=×NF•PF=×（﹣t）×= ，S=（﹣），=﹣（0＜t＜4），a=﹣＜0∴抛物线开口向下，S 存在最大值．由S△PMN=﹣t2+t=﹣（t﹣）2+，∴当t=时，S 取最大值是，此时，点M 的坐标为（0，）．等腰三角形类7.如图，点A 在x 轴上，OA=4，将线段OA 绕点O 顺时针旋转120°至OB 的位置．（1）求点B 的坐标；（2）求经过点A、O、B 的抛物线的解析式；（3）在此抛物线的对称轴上，是否存在点P，使得以点P、O、B 为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求点P 的坐标；若不存在，说明理由．考点：二次函数综合题．.专题：压轴题；分类讨论．分析：（1）首先根据OA 的旋转条件确定B 点位置，然后过B 做x 轴的垂线，通过构建直角三角形和OB 的长（即OA 长）确定B 点的坐标．（2）已知O、A、B 三点坐标，利用待定系数法求出抛物线的解析式．（3）根据（2）的抛物线解析式，可得到抛物线的对称轴，然后先设出P 点的坐标，而O、B 坐标已知，可先表示出△OPB 三边的边长表达式，然后分①OP=OB、②OP=BP、③OB=BP 三种情况分类讨论，然后分辨是否存在符合条件的P 点．解答：解：（1）如图，过B 点作BC⊥x 轴，垂足为C，则∠BCO=90°，∵∠AOB=120°，∴∠BOC=60°，又∵OA=OB=4，∴OC=OB=×4=2，BC=OB•sin60°=4×=2 ，∴点B 的坐标为（﹣2，﹣2）；（2）∵抛物线过原点O 和点A、B，∴可设抛物线解析式为y=ax2+bx，将A（4，0），B（﹣2．﹣2）代入，得，解得，∴此抛物线的解析式为y=﹣x2+ x（3）存在，如图，抛物线的对称轴是直线x=2，直线x=2 与x 轴的交点为D，设点P 的坐标为（2，y），①若OB=OP，则22+|y|2=42，解得y=±2，当y=2 时，在Rt△POD 中，∠PDO=90°，sin∠POD==，∴∠POD=60°，∴∠POB=∠POD+∠AOB=60°+120°=180°，即P、O、B 三点在同一直线上，∴y=2 不符合题意，舍去，∴点P 的坐标为（2，﹣2）②若OB=PB，则42+|y+2|2=42，解得y=﹣2，故点P 的坐标为（2，﹣2），③若OP=BP，则22+|y|2=42+|y+2|2，解得y=﹣2，故点P 的坐标为（2，﹣2），综上所述，符合条件的点P 只有一个，其坐标为（2，﹣2），8.在平面直角坐标系中，现将一块等腰直角三角板ABC 放在第二象限，斜靠在两坐标轴上，且点A（0，2），点C（﹣1，0），如图所示：抛物线y=ax2+ax﹣2 经过点B．（1）求点B 的坐标；（2）求抛物线的解析式；（3）在抛物线上是否还存在点P（点B 除外），使△ACP 仍然是以AC 为直角边的等腰直角三角形？若存在，求所有点P 的坐标；若不存在，请说明理由．考点：二次函数综合题．.专题：压轴题．分析：（1）根据题意，过点B 作BD⊥x 轴，垂足为D；根据角的互余的关系，易得B 到x、y 轴的距离，即B 的坐标；（2）根据抛物线过B 点的坐标，可得a 的值，进而可得其解析式；（3）首先假设存在，分A、C 是直角顶点两种情况讨论，根据全等三角形的性质，可得答案．解答：解：（1）过点B 作BD⊥x 轴，垂足为D，∵∠BCD+∠ACO=90°，∠ACO+∠CAO=90°，∴∠BCD=∠CAO，（1 分）又∵∠BDC=∠COA=90°，CB=AC，∴△BCD≌△CAO，（2 分）∴BD=OC=1，CD=OA=2，（3 分）∴点B 的坐标为（﹣3，1）；（4 分）（2）抛物线y=ax2+ax﹣2 经过点B（﹣3，1），则得到1=9a﹣3a﹣2，（5 分）解得a=，所以抛物线的解析式为y=x2+x﹣2；（7 分）（3）假设存在点P，使得△ACP 仍然是以AC 为直角边的等腰直角三角形：①若以点C 为直角顶点；则延长BC 至点P1，使得P1C=BC，得到等腰直角三角形△ACP1，（8 分）过点P1作P1M⊥x 轴，∵CP1=BC，∠MCP1=∠BCD，∠P1MC=∠BDC=90°，∴△MP1C≌△DBC．（10 分）∴CM=CD=2，P1M=BD=1，可求得点P1（1，﹣1）；（11 分）②若以点A 为直角顶点；则过点A 作AP2⊥CA，且使得AP2=AC，得到等腰直角三角形△ACP2，（12 分）过点P2作P2N⊥y 轴，同理可证△AP2N≌△CAO，（13 分）∴NP2=OA=2，AN=OC=1，可求得点P2（2，1），（14 分）经检验，点P1（1，﹣1）与点P2（2，1）都在抛物线y=x2+x﹣2 上．（16 分）9.在平面直角坐标系中，现将一块等腰直角三角板放在第一象限，斜靠在两坐标轴上，且点A（0，2），点C（1，0），如图所示，抛物线y=ax2﹣ax﹣2 经过点B．（1）求点B 的坐标；（2）求抛物线的解析式；（3）在抛物线上是否还存在点P（点B 除外），使△ACP 仍然是以AC 为直角边的等腰直角三角形？若存在，求所有点P 的坐标；若不存在，请说明理由．考点：二次函数综合题．.专题：代数几何综合题；压轴题．分析：（1）首先过点B 作BD⊥x 轴，垂足为D，易证得△BDC≌△COA，即可得BD=OC=1，CD=OA=2，则可求得点B 的坐标；（2）利用待定系数法即可求得二次函数的解析式；（3）分别从①以AC 为直角边，点C 为直角顶点，则延长BC 至点P1使得P1C=BC，得到等腰直角三角形ACP1，过点P1作P1M⊥x 轴，②若以AC 为直角边，点A 为直角顶点，则过点A 作AP2⊥CA，且使得AP2=AC，得到等腰直角三角形ACP2，过点P2作P2N⊥y 轴，③若以AC 为直角边，点A 为直角顶点，则过点A 作AP3⊥CA，且使得AP3=AC，得到等腰直角三角形ACP3，过点P3作P3H⊥y 轴，去分析则可求得答案．解答：解：（1）过点B 作BD⊥x 轴，垂足为D，∵∠BCD+∠ACO=90°，∠AC0+∠OAC=90°，∴∠BCD=∠CAO，又∵∠BDC=∠COA=90°，CB=AC，∴△BDC≌△COA，∴BD=OC=1，CD=OA=2，∴点B 的坐标为（3，1）；（2）∵抛物线y=ax2﹣ax﹣2 过点B（3，1），∴1=9a﹣3a﹣2，解得：a=，∴抛物线的解析式为y=x2﹣x﹣2；（3）假设存在点P，使得△ACP 是等腰直角三角形，①若以AC 为直角边，点C 为直角顶点，则延长BC 至点P1使得P1C=BC，得到等腰直角三角形ACP1，过点P1作P1M⊥x 轴，如图（1），∵CP1=BC，∠MCP1=∠BCD，∠P1MC=∠BDC=90°，∴△MP1C≌△DBC，∴CM=CD=2，P1M=BD=1，∴P1（﹣1，﹣1），经检验点P1在抛物线y=x2﹣x﹣2 上；②若以AC 为直角边，点A 为直角顶点，则过点A 作AP2⊥CA，且使得AP2=AC，得到等腰直角三角形ACP2，过点P2作P2N⊥y 轴，如图（2），同理可证△AP2N≌△CAO，∴NP2=OA=2，AN=OC=1，∴P2（﹣2，1），经检验P2（﹣2，1）也在抛物线y=x2﹣x﹣2 上；③若以AC 为直角边，点A 为直角顶点，则过点A 作AP3⊥CA，且使得AP3=AC，得到等腰直角三角形ACP3，过点P3作P3H⊥y 轴，如图（3），同理可证△AP3H≌△CAO，∴HP3=OA=2，AH=OC=1，∴P3（2，3），经检验P3（2，3）不在抛物线y=x2﹣x﹣2 上；故符合条件的点有P1（﹣1，﹣1），P2（﹣2，1）两点．综合类10.如图，已知抛物线y=x2+bx+c 的图象与x 轴的一个交点为B（5，0），另一个交点为A，且与y 轴交于点C（0，5）．（1）求直线BC 与抛物线的解析式；（2）若点M 是抛物线在x 轴下方图象上的一动点，过点M 作MN∥y 轴交直线BC 于点N，求MN 的最大值；（3）在（2）的条件下，MN 取得最大值时，若点P 是抛物线在x 轴下方图象上任意一点，以BC 为边作平行四边形CBPQ，设平行四边形CBPQ 的面积为S1，△ABN 的面积为S2，且S1=6S2，求点P 的坐标．考点：二次函数综合题．.专题：压轴题．分析：（1）设直线BC 的解析式为y=mx+n，将B（5，0），C（0，5）两点的坐标代入，运用待定系数法即可求出直线BC 的解析式；同理，将B（5，0），C（0，5）两点∑的坐标代入y=x2+bx+c，运用待定系数法即可求出抛物线的解析式；（2）MN 的长是直线BC 的函数值与抛物线的函数值的差，据此可得出一个关于MN 的长和M 点横坐标的函数关系式，根据函数的性质即可求出MN 的最大值；（3）先求出△ABN 的面积S2=5，则S1=6S2=30．再设平行四边形CBPQ 的边BC 上的高为BD，根据平行四边形的面积公式得出BD=3，过点D 作直线BC 的平行线，交抛物线与点P，交x 轴于点E，在直线DE 上截取PQ=BC，则四边形CBPQ 为平行四边形．证明△ EBD 为等腰直角三角形，则BE=BD=6，求出E 的坐标为（﹣1，0），运用待定系数法求出直线PQ 的解析式为y=﹣x﹣1，然后解方程组，即可求出点P 的坐标．解答：解：（1）设直线BC 的解析式为y=mx+n，将B（5，0），C（0，5）两点的坐标代入，得，解得，所以直线BC 的解析式为y=﹣x+5；将B（5，0），C（0，5）两点的坐标代入y=x2+bx+c，得，解得，所以抛物线的解析式为y=x2﹣6x+5；（2）设M（x，x2﹣6x+5）（1＜x＜5），则N（x，﹣x+5），∵MN=（﹣x+5）﹣（x2﹣6x+5）=﹣x2+5x=﹣（x﹣）2+ ，∴当x=时，MN 有最大值；（3）∵MN 取得最大值时，x=2.5，∴﹣x+5=﹣2.5+5=2.5，即N（2.5，2.5）．解方程x2﹣6x+5=0，得x=1 或5，∴A（1，0），B（5，0），∴AB=5﹣1=4，∴△ABN 的面积S2=×4×2.5=5，∴平行四边形CBPQ 的面积S1=6S2=30．设平行四边形CBPQ 的边BC 上的高为BD，则BC⊥BD．∵BC=5 ，∴BC•BD=30，∴BD=3 ．过点D 作直线BC 的平行线，交抛物线与点P，交x 轴于点E，在直线DE 上截取PQ=BC，则四边形CBPQ 为平行四边形．∵BC⊥BD，∠OBC=45°，∴∠EBD=45°，∴△EBD 为等腰直角三角形，BE=BD=6，∵B（5，0），∴E（﹣1，0），设直线PQ 的解析式为y=﹣x+t，将E（﹣1，0）代入，得1+t=0，解得t=﹣1∴直线PQ 的解析式为y=﹣x﹣1．解方程组，得，，∴点P 的坐标为P1（2，﹣3）（与点D 重合）或P2（3，﹣4）．11.如图，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的图象过点C（0，1），顶点为Q（2，3），点D 在x 轴正半轴上，且OD=OC．（1）求直线CD 的解析式；（2）求抛物线的解析式；（3）将直线CD 绕点C 逆时针方向旋转45°所得直线与抛物线相交于另一点E，求证：△CEQ∽△CDO；（4）在（3）的条件下，若点P 是线段QE 上的动点，点F 是线段OD 上的动点，问：在P 点和F 点移动过程中，△PCF 的周长是否存在最小值？若存在，求出这个最小值；若不存在，请说明理由．考点：二次函数综合题．.专题：压轴题．分析：（1）利用待定系数法求出直线解析式；（2）利用待定系数法求出抛物线的解析式；（3）关键是证明△CEQ 与△CDO 均为等腰直角三角形；（4）如答图②所示，作点C 关于直线QE 的对称点C′，作点C 关于x 轴的对称点C″，连接C′C″，交OD 于点F，交QE 于点P，则△PCF 即为符合题意的周长最小的三角形，由轴对称的性质可知，△PCF 的周长等于线段C′C″的长度．利用轴对称的性质、两点之间线段最短可以证明此时△PCF 的周长最小．如答图③所示，利用勾股定理求出线段C′C″的长度，即△PCF 周长的最小值．解答：解：（1）∵C（0，1），OD=OC，∴D 点坐标为（1，0）．设直线CD 的解析式为y=kx+b（k≠0），将C（0，1），D（1，0）代入得：，解得：b=1，k=﹣1，∴直线CD 的解析式为：y=﹣x+1．（2）设抛物线的解析式为y=a（x﹣2）2+3，将C（0，1）代入得：1=a×（﹣2）2+3，解得a= ．∴y= （x﹣2）2+3= x2+2x+1．（3）证明：由题意可知，∠ECD=45°，∵OC=OD，且OC⊥OD，∴△OCD 为等腰直角三角形，∠ODC=45°，∴∠ECD=∠ODC，∴CE∥x 轴，则点C、E 关于对称轴（直线x=2）对称，∴点E 的坐标为（4，1）．如答图①所示，设对称轴（直线x=2）与CE 交于点M，则M（2，1），∴ME=CM=QM=2，∴△QME 与△QMC 均为等腰直角三角形，∴∠QEC=∠QCE=45°．又∵△OCD 为等腰直角三角形，∴∠ODC=∠OCD=45°，∴∠QEC=∠QCE=∠ODC=∠OCD=45°，∴△CEQ∽△CDO．（4）存在．如答图②所示，作点C 关于直线QE 的对称点C′，作点C 关于x 轴的对称点C″，连接C′C″，交OD 于点F，交QE 于点P，则△PCF 即为符合题意的周长最小的三角形，由轴对称的性质可知，△PCF 的周长等于线段C′C″的长度．（证明如下：不妨在线段OD 上取异于点F 的任一点F′，在线段QE 上取异于点P 的任一点P′，连接F′C″，F′P′，P′C′．由轴对称的性质可知，△P′CF′的周长=F′C″+F′P′+P′C′；而F′C″+F′P′+P′C′是点C′，C″之间的折线段，由两点之间线段最短可知：F′C″+F′P′+P′C′＞C′C″，即△P′CF′的周长大于△PCE 的周长．）如答图③所示，连接C′E，∵C，C′关于直线QE 对称，△QCE 为等腰直角三角形，∴△QC′E 为等腰直角三角形，∴△CEC′为等腰直角三角形，∴点C′的坐标为（4，5）；∵C，C″关于x 轴对称，∴点C″的坐标为（0，﹣1）．过点C′作C′N⊥y 轴于点N，则NC′=4，NC″=4+1+1=6，在Rt△C′NC″中，由勾股定理得：C′C″=== ．综上所述，在P 点和F 点移动过程中，△PCF 的周长存在最小值，最小值为．12.如图，抛物线与x 轴交于A（1，0）、B（﹣3，0）两点，与y 轴交于点C（0，3），设抛物线的顶点为D．（1）求该抛物线的解析式与顶点D 的坐标．（2）试判断△BCD 的形状，并说明理由．（3）探究坐标轴上是否存在点P，使得以P、A、C 为顶点的三角形与△BCD 相似？若存在，请直接写出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．考点：二次函数综合题．.专题：压轴题．分析：（1）利用待定系数法即可求得函数的解析式；（2）利用勾股定理求得△BCD 的三边的长，然后根据勾股定理的逆定理即可作出判断；（3）分p 在x 轴和y 轴两种情况讨论，舍出P 的坐标，根据相似三角形的对应边的比相等即可求解．解答：解：（1）设抛物线的解析式为y=ax2+bx+c由抛物线与y 轴交于点C（0，3），可知c=3．即抛物线的解析式为y=ax2+bx+3．把点A（1，0）、点B（﹣3，0）代入，得解得a=﹣1，b=﹣2∴抛物线的解析式为y=﹣x2﹣2x+3．∵y=﹣x2﹣2x+3=﹣（x+1）2+4∴顶点D 的坐标为（﹣1，4）；（2）△BCD 是直角三角形．理由如下：解法一：过点D 分别作x 轴、y 轴的垂线，垂足分别为E、F．∵在Rt△BOC 中，OB=3，OC=3，∴BC2=OB2+OC2=18在Rt△CDF 中，DF=1，CF=OF﹣OC=4﹣3=1，∴CD2=DF2+CF2=2在Rt△BDE 中，DE=4，BE=OB﹣OE=3﹣1=2，∴BD2=DE2+BE2=20∴BC2+CD2=BD2∴△BCD 为直角三角形．解法二：过点D 作DF⊥y 轴于点F．在Rt△BOC 中，∵OB=3，OC=3∴OB=OC∴∠OCB=45°∵在Rt△CDF 中，DF=1，CF=OF﹣OC=4﹣3=1∴DF=CF∴∠DCF=45°∴∠BCD=180°﹣∠DCF﹣∠OCB=90°∴△BCD 为直角三角形．（3）①△BCD 的三边，==，又=，故当P 是原点O 时，△ACP∽△DBC；②当AC 是直角边时，若AC 与CD 是对应边，设P 的坐标是（0，a），则PC=3﹣a，=，即=，解得：a=﹣9，则P 的坐标是（0，﹣9），三角形ACP 不是直角三角形，则△ACP∽△CBD 不成立；③当AC 是直角边，若AC 与BC 是对应边时，设P 的坐标是（0，b），则PC=3﹣b，则=，即=，解得：b=﹣，故P 是（0，﹣）时，则△ACP∽△CBD 一定成立；④当P 在x 轴上时，AC 是直角边，P 一定在B 的左侧，设P 的坐标是（d，0）．则AP=1﹣d，当AC 与CD 是对应边时，=，即=，解得：d=1﹣3 ，此时，两个三角形不相似；⑤当P 在x 轴上时，AC 是直角边，P 一定在B 的左侧，设P 的坐标是（e，0）．则AP=1﹣e，当AC 与DC 是对应边时，=，即=，解得：e=﹣9，符合条件．总之，符合条件的点P 的坐标为：．对应练习13.如图，已知抛物线y=ax2+bx+3 与x 轴交于A、B 两点，过点A 的直线l 与抛物线交于点C，其中A 点的坐标是（1，0），C 点坐标是（4，3）．（1）求抛物线的解析式；（2）在（1）中抛物线的对称轴上是否存在点D，使△BCD 的周长最小？若存在，求出点D 的坐标，若不存在，请说明理由；（3）若点E 是（1）中抛物线上的一个动点，且位于直线AC 的下方，试求△ACE 的最大面积及E 点的坐标．考点：二次函数综合题．.专题：代数几何综合题；压轴题．分析：（1）利用待定系数法求二次函数解析式解答即可；（2）利用待定系数法求出直线AC 的解析式，然后根据轴对称确定最短路线问题，直线AC 与对称轴的交点即为所求点D；（3）根据直线AC 的解析式，设出过点E 与AC 平行的直线，然后与抛物线解析式联立消掉y 得到关于x 的一元二次方程，利用根的判别式△=0 时，△ACE 的面积最大，然后求出此时与AC 平行的直线，然后求出点E 的坐标，并求出该直线与x 轴的交点F 的坐标，再求出AF，再根据直线l 与x 轴的夹角为45°求出两直线间的距离，再求出AC 间的距离，然后利用三角形的面积公式列式计算即可得解．解答：解：（1）∵抛物线y=ax2+bx+3 经过点A（1，0），点C（4，3），∴，解得，所以，抛物线的解析式为y=x2﹣4x+3；（2）∵点A、B 关于对称轴对称，∴点D 为AC 与对称轴的交点时△BCD 的周长最小，设直线AC 的解析式为y=kx+b（k≠0），则，解得，所以，直线AC 的解析式为y=x﹣1，∵y=x2﹣4x+3=（x﹣2）2﹣1，∴抛物线的对称轴为直线x=2，当x=2 时，y=2﹣1=1，∴抛物线对称轴上存在点D（2，1），使△BCD 的周长最小；（3）如图，设过点E 与直线AC 平行线的直线为y=x+m，联立，消掉y 得，x2﹣5x+3﹣m=0，△=（﹣5）2﹣4×1×（3﹣m）=0，即m=﹣时，点E 到AC 的距离最大，△ACE 的面积最大，此时x=，y=﹣=﹣，∴点E 的坐标为（，﹣），设过点E 的直线与x 轴交点为F，则F（，0），∴AF= ﹣1=，∵直线AC 的解析式为y=x﹣1，∴∠CAB=45°，∴点F 到AC 的距离为×=，又∵AC= =3 ，∴△ACE 的最大面积=×3×= ，此时E 点坐标为（，﹣）．14.如图，已知抛物线y=﹣x2+bx+4 与x 轴相交于A、B 两点，与y 轴相交于点C，若已知A 点的坐标为A（﹣2，0）．（1）求抛物线的解析式及它的对称轴方程；（2）求点C 的坐标，连接AC、BC 并求线段BC 所在直线的解析式；（3）试判断△AOC 与△COB 是否相似？并说明理由；（4）在抛物线的对称轴上是否存在点Q，使△ACQ 为等腰三角形？若存在，求出符合条件的Q 点坐标；若不存在，请说明理由．考点：二次函数综合题．.专题：压轴题．分析：（1）利用待定系数法求出抛物线解析式，利用配方法或利用公式x= 求出对称轴方程；（2）在抛物线解析式中，令x=0，可求出点C 坐标；令y=0，可求出点B 坐标．再利用待定系数法求出直线BD 的解析式；（3）根据，∠AOC=∠BOC=90°，可以判定△AOC∽△COB；（4）本问为存在型问题．若△ACQ 为等腰三角形，则有三种可能的情形，需要分类讨论，逐一计算，避免漏解．解答：解：（1）∵抛物线y=﹣x2+bx+4 的图象经过点A（﹣2，0），∴﹣×（﹣2）2+b×（﹣2）+4=0，解得：b=，∴抛物线解析式为y=﹣x2+x+4，又∵y=﹣x2+x+4=﹣（x﹣3）2+ ，∴对称轴方程为：x=3．（2）在y=﹣x2+x+4 中，令x=0，得y=4，∴C（0，4）；令y=0，即﹣x2+x+4=0，整理得x2﹣6x﹣16=0，解得：x=8 或x=﹣2，∴A（﹣2，0），B（8，0）．设直线BC 的解析式为y=kx+b，把B（8，0），C（0，4）的坐标分别代入解析式，得：，解得k= ，b=4，∴直线BC 的解析式为：y= x+4．（3）可判定△AOC∽△COB 成立．理由如下：在△AOC 与△COB中，∵OA=2，OC=4，OB=8，∴，又∵∠AOC=∠BOC=90°，∴△AOC∽△COB．（4）∵抛物线的对称轴方程为：x=3，可设点Q（3，t），则可求得：AC=== ，AQ==，CQ==．i）当AQ=CQ 时，有= ，25+t2=t2﹣8t+16+9，解得t=0，∴Q1（3，0）；ii）当AC=AQ 时，有= ，t2=﹣5，此方程无实数根，∴此时△ACQ 不能构成等腰三角形；iii）当AC=CQ 时，有= ，整理得：t2﹣8t+5=0，解得：t=4±，∴点Q 坐标为：Q2（3，4+），Q3（3，4﹣）．综上所述，存在点Q，使△ACQ 为等腰三角形，点Q 的坐标为：Q1（3，0），Q2（3，4+ ），Q3（3，4﹣）．15.如图，在坐标系xOy 中，△ABC 是等腰直角三角形，∠BAC=90°，A（1，0），B（0，2），抛物线y=x2+bx﹣2 的图象过C 点．（1）求抛物线的解析式；（2）平移该抛物线的对称轴所在直线l．当l 移动到何处时，恰好将△ABC 的面积分为相等的两部分？（3）点P 是抛物线上一动点，是否存在点P，使四边形PACB 为平行四边形？若存在，求出P 点坐标；若不存在，说明理由．考点：二次函数综合题．.专题：压轴题．分析：如解答图所示：（1）首先构造全等三角形△AOB≌△CDA，求出点C 的坐标；然后利用点C 的坐标求出抛物线的解析式；（2）首先求出直线BC 与AC 的解析式，设直线l 与BC、AC 交于点E、F，则可求出EF 的表达式；根据S△CEF=S△ABC，列出方程求出直线l 的解析式；（3）首先作出▱PACB，然后证明点P 在抛物线上即可．解答：解：（1）如答图 1 所示，过点C 作CD⊥x 轴于点D，则∠CAD+∠ACD=90°．∵∠OBA+∠OAB=90°，∠OAB+∠CAD=90°，∴∠OAB=∠ACD，∠OBA=∠CAD．∵在△AOB 与△CDA 中，∴△AOB≌△CDA（ASA）．∴CD=OA=1，AD=OB=2，∴OD=OA+AD=3，∴C（3，1）．∵点C（3，1）在抛物线y=x2+bx﹣2 上，∴1=×9+3b﹣2，解得：b=﹣．。
2017届中考数学专项训练二次函数及其图象含解析
二次函数及其图象一、选择题1．二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，则下列结论中正确的是（）A．a＞0 B．当﹣1＜x＜3时，y＞0C．c＜0 D．当x≥1时，y随x的增大而增大2．已知二次函数y=x2﹣3x+m（m为常数）的图象与x轴的一个交点为（1，0），则关于x的一元二次方程x2﹣3x+m=0的两实数根是（）A．x1=1，x2=﹣1 B．x1=1，x2=2 C．x1=1，x2=0 D．x1=1，x2=33．已知两点A（﹣5，y1），B（3，y2）均在抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）上，点C（x0，y0）是该抛物线的顶点．若y1＞y2≥y0，则x0的取值范围是（）A．x0＞﹣5 B．x0＞﹣1 C．﹣5＜x0＜﹣1 D．﹣2＜x0＜34．已知二次函数y=a（x+1）2﹣b（a≠0）有最小值1，则a，b的大小关系为（）A．a＞b B．a＜b C．a=b D．不能确定5．如图，正方形ABCD中，AB=8cm，对角线AC，BD相交于点O，点E，F分别从B，C两点同时出发，以1cm/s的速度沿BC，CD运动，到点C，D时停止运动，设运动时间为t（s），△OEF的面积为s （cm2），则s（cm2）与t（s）的函数关系可用图象表示为（）A．B．C．D．二、填空题6．二次函数y=x2+1的图象的顶点坐标是．7．已知点A（x1，y1）、B（x2，y2）在二次函数y=（x﹣1）2+1的图象上，若x1＞x2＞1，则y1y2（填“＞”、“＜”或“=”）．8．如图，以扇形OAB的顶点O为原点，半径OB所在的直线为x轴，建立平面直角坐标系，点B的坐标为（2，0），若抛物线y=x2+k与扇形OAB的边界总有两个公共点，则实数k的取值范围是．9．若抛物线y=x2+bx+c与x轴只有一个交点，且过点A（m，n），B（m+6，n），则n= ．10．已知二次函数的y=ax2+bx+c（a≠0）图象如图所示，有下列5个结论：①abc＜0；②b＜a+c；③4a+2b+c＞0；④2c＜3b；⑤a+b＜m（am+b）（m≠1的实数），其中正确结论的序号有．三、解答题（共40分）11．当k分别取﹣1，1，2时，函数y=（k﹣1）x2﹣4x+5﹣k都有最大值吗？请写出你的判断，并说明理由；若有，请求出最大值．12．已知二次函数y=a（x﹣m）2﹣a（x﹣m）（a，m为常数，且a≠0）．（1）求证：不论a与m为何值，该函数的图象与x轴总有两个公共点．（2）设该函数的图象的顶点为C，与x轴交于A，B两点，与y轴交于D点．①当△ABC的面积为1时，求a的值．②当△ABC的面积与△ABD的面积相等时，求m的值．13．为鼓励大学毕业生自主创业，某市政府出台了相关政策：由政府协调，本市企业按成本价提供产品给大学毕业生自主销售，成本价与出厂价之间的差价由政府承担．李明按照相关政策投资销售本市生产的一种新型节能灯．已知这种节能灯的成本价为每件10元，出厂价为每件12元，每月销售量y（件）与销售单价x（元）之间的关系近似满足一次函数：y=﹣10x+500．（1）李明在开始创业的第一个月将销售单价定为20元，那么政府这个月为他承担的总差价为多少元？（2）设李明获得的利润为w（元），当销售单价定为多少元时，每月可获得最大利润？（3）物价部门规定，这种节能灯的销售单价不得高于25元．如果李明想要每月获得的利润不低于3000元，那么政府为他承担的总差价最少为多少元？14．）如图，已知抛物线y=﹣x2+bx+c与一直线相交于A（﹣1，0），C（2，3）两点，与y轴交于点N．其顶点为D．（1）抛物线及直线AC的函数关系式；（2）设点M（3，m），求使MN+MD的值最小时m的值；（3）若抛物线的对称轴与直线AC相交于点B，E为直线AC上的任意一点，过点E作EF∥BD交抛物线于点F，以B，D，E，F为顶点的四边形能否为平行四边形？若能，求点E的坐标；若不能，请说明理由；（4）若P是抛物线上位于直线AC上方的一个动点，求△APC的面积的最大值．二次函数及其图象参考答案与试题解析一、选择题1．二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，则下列结论中正确的是（）A．a＞0 B．当﹣1＜x＜3时，y＞0C．c＜0 D．当x≥1时，y随x的增大而增大【考点】二次函数图象与系数的关系．【分析】由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．【解答】解：A、抛物线的开口方向向下，则a＜0．故A选项错误；B、根据图示知，抛物线的对称轴为x=1，抛物线与x轴的一交点的横坐标是﹣1，则抛物线与x轴的另一交点的横坐标是3，所以当﹣1＜x＜3时，y＞0．故B选项正确；C、根据图示知，该抛物线与y轴交于正半轴，则c＞0．故C选项错误；D、根据图示知，当x≥1时，y随x的增大而减小，故D选项错误．故选：B．【点评】本题考查了二次函数图象与系数的关系．二次函数y=ax2+bx+c系数符号由抛物线开口方向、对称轴、抛物线与y轴的交点抛物线与x轴交点的个数确定．2．已知二次函数y=x2﹣3x+m（m为常数）的图象与x轴的一个交点为（1，0），则关于x的一元二次方程x2﹣3x+m=0的两实数根是（）A．x1=1，x2=﹣1 B．x1=1，x2=2 C．x1=1，x2=0 D．x1=1，x2=3【考点】抛物线与x轴的交点．【分析】关于x的一元二次方程x2﹣3x+m=0的两实数根就是二次函数y=x2﹣3x+m（m为常数）的图象与x轴的两个交点的横坐标．【解答】解：∵二次函数的解析式是y=x2﹣3x+m（m为常数），∴该抛物线的对称轴是：x=．又∵二次函数y=x2﹣3x+m（m为常数）的图象与x轴的一个交点为（1，0），∴根据抛物线的对称性质知，该抛物线与x轴的另一个交点的坐标是（2，0），∴关于x的一元二次方程x2﹣3x+m=0的两实数根分别是：x1=1，x2=2．故选B．【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点．解答该题时，也可以利用代入法求得m的值，然后来求关于x的一元二次方程x2﹣3x+m=0的两实数根．3．已知两点A（﹣5，y1），B（3，y2）均在抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）上，点C（x0，y0）是该抛物线的顶点．若y1＞y2≥y0，则x0的取值范围是（）A．x0＞﹣5 B．x0＞﹣1 C．﹣5＜x0＜﹣1 D．﹣2＜x0＜3【考点】二次函数图象上点的坐标特征．【专题】压轴题．【分析】先判断出抛物线开口方向上，进而求出对称轴即可求解．【解答】解：∵点C（x0，y0）是抛物线的顶点，y1＞y2≥y0，∴抛物线有最小值，函数图象开口向上，∴a＞0；∴25a﹣5b+c＞9a+3b+c，∴＜1，∴﹣＞﹣1，∴x0＞﹣1∴x0的取值范围是x0＞﹣1．故选：B．【点评】本题考查了二次函数图象上点坐标特征，主要利用了二次函数的增减性与对称性，根据顶点的纵坐标最小确定出抛物线开口方向上是解题的关键．4．已知二次函数y=a（x+1）2﹣b（a≠0）有最小值1，则a，b的大小关系为（）A．a＞b B．a＜b C．a=b D．不能确定【考点】二次函数的最值．【专题】压轴题；探究型．【分析】根据函数有最小值判断出a的符号，进而由最小值求出b，比较a、b可得出结论．【解答】解：∵二次函数y=a（x+1）2﹣b（a≠0）有最小值，∴抛物线开口方向向上，即a＞0；又最小值为1，即﹣b=1，∴b=﹣1，∴a＞b．故选A．【点评】本题考查的是二次函数的最值，求二次函数的最大（小）值有三种方法，第一种可由图象直接得出，第二种是配方法，第三种是公式法．5．如图，正方形ABCD中，AB=8cm，对角线AC，BD相交于点O，点E，F分别从B，C两点同时出发，以1cm/s的速度沿BC，CD运动，到点C，D时停止运动，设运动时间为t（s），△OEF的面积为s （cm2），则s（cm2）与t（s）的函数关系可用图象表示为（）A．B．C．D．【考点】动点问题的函数图象．【专题】压轴题．【分析】由点E，F分别从B，C两点同时出发，以1cm/s的速度沿BC，CD运动，得到BE=CF=t，则CE=8﹣t，再根据正方形的性质得OB=OC，∠OBC=∠OCD=45°，然后根据“SAS”可判断△OBE≌△OCF，所以S△OBE=S△OCF，这样S四边形OECF=S△OBC=16，于是S=S四边形OECF﹣S△CEF=16﹣（8﹣t）•t，然后配方得到S=（t﹣4）2+8（0≤t≤8），最后利用解析式和二次函数的性质对各选项进行判断．【解答】解：根据题意BE=CF=t，CE=8﹣t，∵四边形ABCD为正方形，∴OB=OC，∠OBC=∠OCD=45°，∵在△OBE和△OCF中，∴△OBE≌△OCF（SAS），∴S△OBE=S△OCF，∴S四边形OECF=S△OBC=×82=16，∴S=S四边形OECF﹣S△CEF=16﹣（8﹣t）•t=t2﹣4t+16=（t﹣4）2+8（0≤t≤8），∴s（cm2）与t（s）的函数图象为抛物线一部分，顶点为（4，8），自变量为0≤t≤8．故选：B．【点评】本题考查了动点问题的函数图象：先根据几何性质得到与动点有关的两变量之间的函数关系，然后利用函数解析式和函数性质画出其函数图象，注意自变量的取值范围．二、填空题6．二次函数y=x2+1的图象的顶点坐标是（0，1）．【考点】二次函数的性质．【分析】根据顶点式解析式写出顶点坐标即可．【解答】解：二次函数y=x2+1的图象的顶点坐标是（0，1）．故答案为：（0，1）．【点评】本题考查了二次函数的性质，熟练掌握顶点式解析式是解题的关键．7．已知点A（x1，y1）、B（x2，y2）在二次函数y=（x﹣1）2+1的图象上，若x1＞x2＞1，则y1＞y2（填“＞”、“＜”或“=”）．【考点】二次函数图象上点的坐标特征．【分析】先根据二次函数的解析式得出函数图象的对称轴，再判断出两点的位置及函数的增减性，进而可得出结论．【解答】解：∵a=1＞0，∴二次函数的图象开口向上，由二次函数y=（x﹣1）2+1可知，其对称轴为x=1，∵x1＞x2＞1，∴两点均在对称轴的右侧，∵此函数图象开口向上，∴在对称轴的右侧y随x的增大而增大，∵x1＞x2＞1，∴y1＞y2．故答案为：＞．【点评】本题考查的是二次函数图象上点的坐标特点，根据题意判断出A、B两点的位置是解答此题的关键．8．如图，以扇形OAB的顶点O为原点，半径OB所在的直线为x轴，建立平面直角坐标系，点B的坐标为（2，0），若抛物线y=x2+k与扇形OAB的边界总有两个公共点，则实数k的取值范围是﹣2＜k＜．【考点】二次函数的性质．【专题】压轴题．【分析】根据∠AOB=45°求出直线OA 的解析式，然后与抛物线解析式联立求出有一个公共点时的k 值，即为一个交点时的最大值，再求出抛物线经过点B 时的k 的值，即为一个交点时的最小值，然后写出k 的取值范围即可．【解答】解：由图可知，∠AOB=45°，∴直线OA 的解析式为y=x ，联立消掉y 得，x 2﹣2x+2k=0，△=b 2﹣4ac=（﹣2）2﹣4×1×2k=0，即k=时，抛物线与OA 有一个交点，此交点的横坐标为1，∵点B 的坐标为（2，0），∴OA=2，∴点A 的坐标为（，）， ∴交点在线段AO 上；当抛物线经过点B （2，0）时，×4+k=0，解得k=﹣2，∴要使抛物线y=x 2+k 与扇形OAB 的边界总有两个公共点，实数k 的取值范围是﹣2＜k ＜．故答案为：﹣2＜k ＜． 【点评】本题考查了二次函数的性质，主要利用了联立两函数解析式确定交点个数的方法，根据图形求出有一个交点时的最大值与最小值是解题的关键．9．若抛物线y=x2+bx+c与x轴只有一个交点，且过点A（m，n），B（m+6，n），则n= 9 ．【考点】抛物线与x轴的交点．【分析】首先，由“抛物线y=x2+bx+c与x轴只有一个交点”推知x=﹣时，y=0．且b2﹣4c=0，即b2=4c；其次，根据抛物线对称轴的定义知点A、B关于对称轴对称，则A（﹣﹣3，n），B（﹣+3，n）；最后，根据二次函数图象上点的坐标特征知n=（﹣﹣3）2+b（﹣﹣3）+c=﹣b2+c+9，所以把b2=4c代入即可求得n的值．【解答】解：∵抛物线y=x2+bx+c与x轴只有一个交点，∴当x=﹣时，y=0．且b2﹣4c=0，即b2=4c．又∵点A（m，n），B（m+6，n），∴点A、B关于直线x=﹣对称，∴A（﹣﹣3，n），B（﹣+3，n）将A点坐标代入抛物线解析式，得：n=（﹣﹣3）2+b（﹣﹣3）+c=﹣b2+c+9∵b2=4c，∴n=﹣×4c+c+9=9．故答案是：9．【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点．二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）的交点与一元二次方程ax2+bx+c=0根之间的关系．△=b2﹣4ac决定抛物线与x轴的交点个数．△=b2﹣4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；△=b2﹣4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点；△=b2﹣4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．10．已知二次函数的y=ax2+bx+c（a≠0）图象如图所示，有下列5个结论：①abc＜0；②b＜a+c；③4a+2b+c＞0；④2c＜3b；⑤a+b＜m（am+b）（m≠1的实数），其中正确结论的序号有①③④．【考点】二次函数图象与系数的关系．【专题】压轴题．【分析】由抛物线的开口方向判断a的符号，由抛物线与y轴的交点判断c的符号，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．【解答】解：①由图象可知：a＜0，b＞0，c＞0，abc＜0，故此选项正确；②当x=﹣1时，y=a﹣b+c＜0，即b＞a+c，错误；③由对称知，当x=2时，函数值大于0，即y=4a+2b+c＞0，故此选项正确；④当x=3时函数值小于0，y=9a+3b+c＜0，且x=﹣=1，即a=﹣，代入得9（﹣）+3b+c＜0，得2c＜3b，故此选项正确；⑤当x=1时，y的值最大．此时，y=a+b+c，而当x=m时，y=am2+bm+c，所以a+b+c＞am2+bm+c，故a+b＞am2+bm，即a+b＞m（am+b），故此选项错误．故①③④正确．故答案为：①③④．【点评】此题主要考查了图象与二次函数系数之间的关系，二次函数y=ax2+bx+c系数符号由抛物线开口方向、对称轴和抛物线与y轴的交点、抛物线与x轴交点的个数确定．三、解答题（共40分）11．当k分别取﹣1，1，2时，函数y=（k﹣1）x2﹣4x+5﹣k都有最大值吗？请写出你的判断，并说明理由；若有，请求出最大值．【考点】二次函数的最值．【专题】分类讨论．【分析】当k分别取﹣1，1，2时，函数y=（k﹣1）x2﹣4x+5﹣k表示不同类型的函数，需要分类讨论，最终确定函数的最值．【解答】解：k可取值﹣1，1，2（1）当k=1时，函数为y=﹣4x+4，是一次函数（直线），无最值；（2）当k=2时，函数为y=x2﹣4x+3，为二次函数．此函数开口向上，只有最小值而无最大值；（3）当k=﹣1时，函数为y=﹣2x2﹣4x+6，为二次函数．此函数开口向下，有最大值．因为y=﹣2x2﹣4x+6=﹣2（x+1）2+8，则当x=﹣1时，函数有最大值为8．【点评】本题考查了二次函数的最值．需要根据k的不同取值进行分类讨论，这是容易失分的地方．12．已知二次函数y=a（x﹣m）2﹣a（x﹣m）（a，m为常数，且a≠0）．（1）求证：不论a与m为何值，该函数的图象与x轴总有两个公共点．（2）设该函数的图象的顶点为C，与x轴交于A，B两点，与y轴交于D点．①当△ABC的面积为1时，求a的值．②当△ABC的面积与△ABD的面积相等时，求m的值．【考点】二次函数综合题．【专题】压轴题．【分析】（1）把（x﹣m）看作一个整体，令y=0，利用根的判别式进行判断即可；（2）①令y=0，利用因式分解法解方程求出点A、B的坐标，然后求出AB，再把抛物线转化为顶点式形式求出顶点坐标，再利用三角形的面积公式列式进行计算即可得解；②令x=0求出点D的坐标，然后利用三角形的面积列式计算即可得解．【解答】（1）证明：令y=0，a（x﹣m）2﹣a（x﹣m）=0，△=（﹣a）2﹣4a×0=a2，∵a≠0，∴a2＞0，∴不论a与m为何值，该函数的图象与x轴总有两个公共点；（2）解：①y=0，则a（x﹣m）2﹣a（x﹣m）=a（x﹣m）（x﹣m﹣1）=0，解得x1=m，x2=m+1，∴AB=（m+1）﹣m=1，y=a（x﹣m）2﹣a（x﹣m）=a（x﹣m﹣）2﹣，△ABC的面积=×1×|﹣|=1，解得a=±8；②x=0时，y=a（0﹣m）2﹣a（0﹣m）=am2+am，所以，点D的坐标为（0，am2+am），△ABD的面积=×1×|am2+am|，∵△ABC的面积与△ABD的面积相等，∴×1×|am2+am|=×1×|﹣|，整理得，m2+m﹣=0或m2+m+=0，解得m=或m=﹣．【点评】本题是对二次函数的综合考查，主要利用了根的判别式，三角形的面积，把（x﹣m）看作一个整体求解更加简便．13．为鼓励大学毕业生自主创业，某市政府出台了相关政策：由政府协调，本市企业按成本价提供产品给大学毕业生自主销售，成本价与出厂价之间的差价由政府承担．李明按照相关政策投资销售本市生产的一种新型节能灯．已知这种节能灯的成本价为每件10元，出厂价为每件12元，每月销售量y（件）与销售单价x（元）之间的关系近似满足一次函数：y=﹣10x+500．（1）李明在开始创业的第一个月将销售单价定为20元，那么政府这个月为他承担的总差价为多少元？（2）设李明获得的利润为w（元），当销售单价定为多少元时，每月可获得最大利润？（3）物价部门规定，这种节能灯的销售单价不得高于25元．如果李明想要每月获得的利润不低于3000元，那么政府为他承担的总差价最少为多少元？【考点】二次函数的应用．【分析】（1）把x=20代入y=﹣10x+500求出销售的件数，然后求出政府承担的成本价与出厂价之间的差价；（2）由总利润=销售量•每件纯赚利润，得w=（x﹣10）（﹣10x+500），把函数转化成顶点坐标式，根据二次函数的性质求出最大利润；（3）令﹣10x2+600x﹣5000=3000，求出x的值，结合图象求出利润的范围，然后设政府每个月为他承担的总差价为p元，根据一次函数的性质求出总差价的最小值．【解答】解：（1）当x=20时，y=﹣10x+500=﹣10×20+500=300，300×（12﹣10）=300×2=600元，即政府这个月为他承担的总差价为600元．（2）由题意得，w=（x﹣10）（﹣10x+500）=﹣10x2+600x﹣5000=﹣10（x﹣30）2+4000∵a=﹣10＜0，∴当x=30时，w有最大值4000元．即当销售单价定为30元时，每月可获得最大利润4000元．（3）由题意得：﹣10x2+600x﹣5000=3000，解得：x1=20，x2=40．∵a=﹣10＜0，抛物线开口向下，∴结合图象可知：当20≤x≤40时，4000＞w≥3000．又∵x≤25，∴当20≤x≤25时，w≥3000．设政府每个月为他承担的总差价为p元，∴p=（12﹣10）×（﹣10x+500）=﹣20x+1000．∵k=﹣20＜0．∴p随x的增大而减小，∴当x=25时，p有最小值500元．即销售单价定为25元时，政府每个月为他承担的总差价最少为500元．【点评】本题主要考查了二次函数的应用的知识点，解答本题的关键熟练掌握二次函数的性质以及二次函数最大值的求解，此题难度不大．14．如图，已知抛物线y=﹣x2+bx+c与一直线相交于A（﹣1，0），C（2，3）两点，与y轴交于点N．其顶点为D．（1）抛物线及直线AC的函数关系式；（2）设点M（3，m），求使MN+MD的值最小时m的值；（3）若抛物线的对称轴与直线AC相交于点B，E为直线AC上的任意一点，过点E作EF∥BD交抛物线于点F，以B，D，E，F为顶点的四边形能否为平行四边形？若能，求点E的坐标；若不能，请说明理由；（4）若P是抛物线上位于直线AC上方的一个动点，求△APC的面积的最大值．【考点】二次函数综合题．【专题】压轴题．【分析】（1）利用待定系数法求二次函数解析式、一次函数解析式；（2）根据两点之间线段最短作N点关于直线x=3的对称点N′，当M（3，m）在直线DN′上时，MN+MD 的值最小；（3）需要分类讨论：①当点E在线段AC上时，点F在点E上方，则F（x，x+3）和②当点E在线段AC（或CA）延长线上时，点F在点E下方，则F（x，x﹣1），然后利用二次函数图象上点的坐标特征可以求得点E的坐标；（4）方法一：过点P作PQ⊥x轴交AC于点Q；过点C作CG⊥x轴于点G，如图1．设Q（x，x+1），则P（x，﹣x2+2x+3）．根据两点间的距离公式可以求得线段PQ=﹣x2+x+2；最后由图示以及三角形的面积公式知S△APC=﹣（x﹣）2+，所以由二次函数的最值的求法可知△APC的面积的最大值；方法二：过点P作PQ⊥x轴交AC于点Q，交x轴于点H；过点C作CG⊥x轴于点G，如图2．设Q（x，x+1），则P（x，﹣x2+2x+3）．根据图示以及三角形的面积公式知S△APC=S△APH+S直角梯形PHGC﹣S△AGC=﹣（x﹣）2+，所以由二次函数的最值的求法可知△APC的面积的最大值；【解答】解：（1）由抛物线y=﹣x2+bx+c过点A（﹣1，0）及C（2，3）得，，解得，故抛物线为y=﹣x2+2x+3又设直线为y=kx+n过点A（﹣1，0）及C（2，3）得，解得故直线AC为y=x+1；（2）如图1，作N点关于直线x=3的对称点N′，则N′（6，3），由（1）得D（1，4），故直线DN′的函数关系式为y=﹣x+，当M（3，m）在直线DN′上时，MN+MD的值最小，则m=﹣×=；（3）由（1）、（2）得D（1，4），B（1，2），∵点E在直线AC上，设E（x，x+1），①如图2，当点E在线段AC上时，点F在点E上方，则F（x，x+3），∵F在抛物线上，∴x+3=﹣x2+2x+3，解得，x=0或x=1（舍去）∴E（0，1）；②当点E在线段AC（或CA）延长线上时，点F在点E下方，则F（x，x﹣1）由F在抛物线上∴x﹣1=﹣x2+2x+3解得x=或x=∴E（，）或（，）综上，满足条件的点E的坐标为（0，1）、（，）或（，）；（4）方法一：如图3，过点P作PQ⊥x轴交AC于点Q，交x轴于点H；过点C作CG⊥x轴于点G，设Q（x，x+1），则P（x，﹣x2+2x+3）∴PQ=（﹣x2+2x+3）﹣（x+1）=﹣x2+x+2又∵S△APC=S△APQ+S△CPQ=PQ•AG=（﹣x2+x+2）×3=﹣（x﹣）2+∴面积的最大值为．方法二：过点P作PQ⊥x轴交AC于点Q，交x轴于点H；过点C作CG⊥x轴于点G，如图3，设Q（x，x+1），则P（x，﹣x2+2x+3）又∵S△APC=S△APH+S直角梯形PHGC﹣S△AGC=（x+1）（﹣x2+2x+3）+（﹣x2+2x+3+3）（2﹣x）﹣×3×3=﹣x2+x+3=﹣（x﹣）2+∴△APC的面积的最大值为．【点评】本题考查了二次函数综合题．解答（3）题时，要对点E所在的位置进行分类讨论，以防漏解．。
中考数学中二次函数压轴题分类总结[超经典.无重复][附答案]
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）））））））））中考数学专题训练二次函数压轴题一、抛物线关于三角形面积问题2k?m)?(x?y4?).二次函数，的图象，其顶点坐标为M(1例题5S?Sx,，使若，B的坐标；（2）在二次函数的图象上是否存在点P（1）求出图象与轴的交点A MAB??PAB4存在，求出P点的坐标；若不存在，请说明理由；xx轴翻折，图象的其余部分不变，得到一个新的图象，轴下方的部分沿请你结合这将二次函数的图象在（3）y?x?b(b?1)b的取值范围与此图象有两个公共点时，.个新的图象回答：当直线、O，抛物线经过A、的坐标为（6，6），点1.如图．平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为（－2，2）B练习：．轴与点EyB三点，线段AB交）求抛物线的函数解析式；（2（1）求点E的坐标；，y轴右侧）两点（点N在M重合），直线EF 与抛物线交与、N、）（3点F为线段OB上的一个动点（不与OB? N的坐标；BON的面积的最大值，并求出此时点在线段ON、BN，当点FOB上运动时，求连结12如图，已知抛物线2. ，交y轴于点B．x交轴的正半轴于点A?yx?x?4? 2 （1）求A、B的解析式；两点的坐标，并求直线ABxy?若（的中点O是原点），PEQF．为对角线作正方形以PQOP）是直线（Q上的一点，是）（2设)xP(,y0x?的取值范围；有公共点，求正方形PEQF与直线ABx））））））））））．）））））））））S的函数解析式，并探究关于x公共部分的面积为S，求SOAB（3）在（2）的条件下，记正方形PEQF与△的最大值．yBFPEQxOA二、抛物线中线段长度最小问题2的坐标为AA、B两点，其中点c(a≠0)与x轴相交于例题如图，对称轴为直线x＝－1的抛物线y＝axbx＋＋．，0）3（－B的坐标；（1）求点轴的交点．C为抛物线与y（2）已知a=1，，求点P的坐标；4①若点P在抛物线上，且S＝S△△BOCPOC，求线段QD长度的最大值．⊥x轴，QD交抛物线于点D②设点Q是线段AC上的动点，作QD &版网]中国#@*教~育出[B、Ay轴的正半轴上，O为坐标原点，△ABO的两直角边OA、OB分别在x轴的负半轴和如图，练习：1.Rt522?x3?cbx?y?x?），0、（0，两点的坐标分别为（4）点，且顶点在直线上．，抛物线经过B23 （1）求抛物线对应的函数关系式；是否在该抛和点Dx轴向右平移得到的，当四边形ABCD是菱形时，试判断点CABO（2）若△DCE是由△沿物线上，并说明理由；的M于点N．设点轴交CD所在直线下方该抛物线上的一个动点，过点M作MN平行于yCD点是（3）若M M的坐标．tl与之间的函数关系式，并求l取最大值时，点lt横坐标为，MN的长度为．求yBCNMEDAOx））））））））））．）））））））））三、抛物线与线段和最小的问题1??????0aaxy???x?2与例题如图，已知抛物线x轴交于点B、C，与y轴交于点E，且点B 在点C的a左侧．（1）若抛物线过点M（﹣2，﹣2），求实数a的值；（2）在（1）的条件下，解答下列问题；①求出△BCE的面积；②在抛物线的对称轴上找一点H，使CH+EH的值最小，直接写出点H的坐标．2c4x?y?ax?-5）．）和点B（0，-1的图象与坐标轴交于点A（，练习：1. 如图，已知二次函数0 （1）求该二次函数的解析式；的坐标．PP，使得△ABP的周长最小．请求出点（2）已知该函数图象的对称轴上存在一点的MAPM是等腰三角形，请直接写出所有符合条件的点轴上找一点M，使得△）在（（32）的条件下，在x 坐标．yA x OB2，顶点，轴交于点B（2）、= axx+ bx + 4与轴的两个交点分别为A（－4，0）y2. 如图，抛物线．、G轴、y轴分别交于F的垂直平分线与（．E1，2）为线段BC的中点，BCxD D的坐标；（1）求抛物线的函数解析式，并写出顶点的坐标；CDH△的周长最小，并求出H（2）在直线EF上求一点H，使的面积最大？并求出最大面积．△EFK在x轴上方的抛物线上运动，当K运动到什么位置时，K（3）若点y DCE G AF B O x））））））））））．）））））））））四、抛物线与等腰三角形2＋bx＋c经过A(－1，0)、B(3，例题：已知抛物线y＝ax0)、C(0，3)三点，直线l是抛物线的对称轴．(1)求抛物线的函数关系式；(2)设点P是直线l上的一个动点，当△PAC的周长最小时，求点P 的坐标；(3)在直线l上是否存在点M，使△MAC为等腰三角形？若存在，直接写出所有符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由．）30，的坐标为（，0），点CA轴交于、B两点，与y轴交C点，点A的坐标为（2练习：1. .如图，抛物线与x1?x?它的对称轴是直线21）求抛物线的解析式；（M点的坐标．上的任意一点，当△MBC为等腰三角形时，求（2）M是线段AB三B、O、的坐标为（n，﹣n），抛物线经过AB如图，在平面直角坐标系中，点2. A的坐标为（m，m），点2 3=0x的两根．﹣2x﹣nC交y轴于点．已知实数m、n（m＜）分别是方程ABOB 点，连接OA、、AB，线段1）求抛物线的解析式；（轴D两点（点在y重合）B，直线PC与抛物线交于D、E上的一个动点（不与点）若点（2P为线段OBO、、BD．右侧），连接OD的坐标；①当△OPC为等腰三角形时，求点P 面积的最大值，并写出此时点D的坐标．BOD ②求△））））））））））．）））））））））3. 如图，已知抛物线于x轴交于A（－1，0）、B（3，0）两点，与y轴交于点C（0，3）. （1）求抛物线的解析式；（2）设抛物线的顶点为D，在其对称轴的右侧的抛物线上是否存在点P，使得△PDC是等腰三角形，若存在，求出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由：[（3）若点M是抛物线上一点，以B、C、D、M为顶点的四边形是直角梯形，试求出点M的坐标。
2017中考数学全国试题汇编------二次函数和四边形综合压轴题
2或m 2
2 （舍去）； [来源 学#科#网 ]
当抛物线 y 2x2 8x m 与直线 AE 只有一个交点时，
联立 y
y
2
2x 8x m, x 4,
消去 y ，整理得 2 x3 9 x 4 m 0 ，
由 81 8(4 m) 0 ，解得 m 49 ．
8
综上可知，所求 m 的取值范围为 2 2 ≤ m 49 ．
则有 AC∥EF且 AC=EF， ∴∠ ACK=∠EFH， 在△ ACK和△ EFH中
∴△ ACK≌△ EFH（AAS）， ∴ FH=CK=，1 HE=AK=2 ， ∵抛物线对称轴为 x=﹣ 1， ∴ F 点的横坐标为 0 或﹣ 2， ∵点 F 在直线 AB 上， ∴当 F 点横坐标为 0 时，则 F（0，
求得 F 点坐标，由 HE 的长可求得 E 点坐标；当 AC 为平行四边形的对角线时，
设 E（﹣ 1，t ），由 A、C 的坐标可表示出 AC 中点，从而可表示出 F 点的坐标，
代入直线 AB 的解析式可求得 t 的值，可求得 E、F 的坐标．
【解答】 解：
（ 1）∵抛物线 y=﹣
x2﹣
x+2 ，
∴其梦想直线的解析式为 y=﹣ x+ ，
联立梦想直线与抛物线解析式可得
，解得
或
， ∴ A（﹣ 2，2 ），B（1，0）， 故答案为： y=﹣ x+ ；（﹣ 2， 2 ）；（ 1， 0）； （ 2）如图 1，过 A 作 AD⊥ y 轴于点 D，
在 y=﹣
x2﹣
x+2 中，令 y=0 可求得 x=﹣3 或 x=1，
∴ C（ ﹣3，0），且 A（﹣ 2，2 ），
n 4,
n 4,
2017年全国中考二次函数压轴题集锦附详细答案.doc
）））））））1．如图，在平面直角坐标系中，△ ABC 是直角三角形，∠ ACB=90°，AC=BC ，OA=1，OC=4，抛物线 y=x 2+bx+c 经过 A ， B 两点． （1）求抛物线的解析式；（2）点 E 是直角△ ABC 斜边 AB 上一动点（点 A 、B 除外），过点 E 作 x 轴的垂线交抛物线于点 F ，当线段 EF 的长度最大时，求点 E 、F 的坐标；（3）在（ 2）的条件下：在抛物线上是否存在一点 P ，使△ EFP 是以 EF 为直角边的直角三角形？若存在，请求出所有点 P 的坐标；若不存在，请说明理由．．如图，关于 x 的二次函数2+bx+c 的图象与 x 轴交于点 A （ 1，0）和点 B ，与 y 轴交于点 2 y=x C （ 0， 3），抛物线的对称轴与 x 轴交于点 D ． （1）求二次函数的表达式；（2）在 y 轴上是否存在一点 P ，使△ PBC 为等腰三角形？若存在．请求出点 P 的坐标； （3）有一个点 M 从点 A 出发，以每秒 1 个单位的速度在 AB 上向点 B 运动，另一个点 N 从 点 D 与点 M 同时出发，以每秒 2 个单位的速度在抛物线的对称轴上运动，当点 M 到达点 B 时， 点 M 、 N 同时停止运动，问点 M 、N 运动到何处时，△ MNB 面积最大，试求出最大面积．3．如图，已知二次函数 y=ax 2+bx+c （a ≠0）的图象经过 A （﹣ 1，0）、 B （4， 0）、C （0，2）三点．（1）求该二次函数的解析式；（2）点 D 是该二次函数图象上的一点，且满足∠ DBA=∠CAO （O 是坐标原点），求点 D 的坐标；（3）点 P 是该二次函数图象上位于第一象限上的一动点， 连接 PA 分别交 BC 、y 轴于点 E 、F ，若△ PEB 、△ CEF 的面积分别为 S 1、 S 2，求 S 1﹣S 2 的最大值．4．如图 1，已知二次函数 y=ax 2+bx+c （a 、b 、c 为常数， a ≠ 0）的图象过点 O （ 0，0）和点 A）））））））（4，0），函数图象最低点M 的纵坐标为﹣，直线l的解析式为y=x．（1）求二次函数的解析式；（2）直线 l 沿 x 轴向右平移，得直线 l ，′l 与′线段 OA 相交于点 B，与 x 轴下方的抛物线相交于点 C，过点 C 作 CE⊥x 轴于点 E，把△ BCE沿直线 l 折′叠，当点 E 恰好落在抛物线上点E′时（图 2），求直线 l 的′解析式；（3）在（2）的条件下， l 与′ y 轴交于点 N，把△ BON 绕点 O 逆时针旋转 135°得到△B′ON，′P为 l 上′的动点，当△ PB′N为′等腰三角形时，求符合条件的点 P 的坐标．5．如图，抛物线 y=﹣x2+bx+c 与 x 轴分别交于 A（﹣ 1， 0），B（5，0）两点．（1）求抛物线的解析式；（2）在第二象限内取一点 C，作 CD 垂直 X 轴于点 D，链接 AC，且 AD=5，CD=8，将 Rt△ACD 沿 x 轴向右平移 m 个单位，当点 C 落在抛物线上时，求 m 的值；（3）在（2）的条件下，当点 C 第一次落在抛物线上记为点 E，点 P 是抛物线对称轴上一点．试探究：在抛物线上是否存在点 Q，使以点 B、E、P、Q 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请出点 Q 的坐标；若不存在，请说明理由．6 ．如图，在平面直角坐标系中，O是坐标原点，抛物线y=﹣2﹣ x+8 与 x 轴正半轴1 x交于点 A，与 y 轴交于点 B，连接 AB，点 M ，N 分别是 OA，AB 的中点，Rt△CDE≌Rt△ABO，且△ CDE始终保持边 ED经过点 M ，边 CD经过点 N，边 DE与 y 轴交于点 H，边 CD 与 y 轴交于点 G．（1）填空： OA 的长是，∠ ABO的度数是度；（2）如图 2，当 DE∥AB，连接 HN．①求证：四边形AMHN 是平行四边形；②判断点 D 是否在该抛物线的对称轴上，并说明理由；（3）如图 3，当边 CD经过点 O 时，（此时点 O 与点 G 重合），过点 D 作 DQ∥ OB，交 AB 延长）））））））（点 P， Q 在直线 ED 的同侧），连接 PQ，请直接写出 PQ 的长．7．如图，抛物线 y= x2+ x+c 与 x 轴的负半轴交于点A，与 y 轴交于点 B，连结 AB，点 C（6，）在抛物线上，直线AC与 y 轴交于点 D．（1）求 c 的值及直线 AC的函数表达式；（2）点 P 在 x 轴正半轴上，点 Q 在 y 轴正半轴上，连结 PQ 与直线 AC 交于点 M，连结 MO 并延长交 AB 于点 N，若 M 为 PQ 的中点．①求证：△ APM∽△ AON；②设点 M 的横坐标为 m，求 AN 的长（用含 m 的代数式表示）．8．抛物线 y=4x2﹣2ax+b 与 x 轴相交于 A（ x1，0），B（x2，0）（0＜x1＜ x2）两点，与 y 轴交于点C．（1）设 AB=2， tan∠ ABC=4，求该抛物线的解析式；（2）在（ 1）中，若点 D 为直线 BC 下方抛物线上一动点，当△ BCD的面积最大时，求点 D 的坐标；（3）是否存在整数 a，b 使得 1＜x1＜2 和 1＜x2＜ 2 同时成立，请证明你的结论．9．如图，抛物线 y=x2﹣2x﹣3 与 x 轴交于 A、B 两点（点 A 在点 B 的左侧），直线 l 与抛物线交于 A， C 两点，其中点 C 的横坐标为 2．（1）求 A， B 两点的坐标及直线AC 的函数表达式；（2）P 是线段 AC 上的一个动点（ P 与 A，C 不重合），过 P 点作 y 轴的平行线交抛物线于点E，求△ ACE面积的最大值；（3）若直线 PE为抛物线的对称轴，抛物线与 y 轴交于点 D，直线 AC与 y 轴交于点 Q，点 M 为直线 PE上一动点，则在 x 轴上是否存在一点 N，使四边形 DMNQ 的周长最小？若存在，求出这个最小值及点 M ，N 的坐标；若不存在，请说明理由．（4）点 H 是抛物线上的动点，在x 轴上是否存在点F，使 A、C、F、H 四个点为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，请直接写出所有满足条件的 F 点坐标；如果不存在，请说明理10．如图， Rt△OAB如图所示放置在平面直角坐标系中，直角边 OA 与 x 轴重合，∠OAB=90°，OA=4，AB=2，把 Rt△OAB绕点 O 逆时针旋转 90°，点 B 旋转到点 C 的位置，一条抛物线正好经过点 O，C，A 三点．（1）求该抛物线的解析式；（2）在x 轴上方的抛物线上有一动点P，过点P 作x 轴的平行线交抛物线于点M，分别过点P，点M 作x 轴的垂线，交x 轴于E，F 两点，问：四边形PEFM的周长是否有最大值？如果有，请求出最值，并写出解答过程；如果没有，请说明理由．（3）如果 x 轴上有一动点 H，在抛物线上是否存在点 N，使 O（原点）、 C、 H、 N 四点构成以 OC为一边的平行四边形？若存在，求出 N 点的坐标；若不存在，请说明理由．11 ．如图（），在平面直角坐标系中，矩形ABCO，B 点坐标为（ 4，3），抛物线 y= x2+bx+c 1经过矩形 ABCO的顶点 B、C，D 为 BC的中点，直线 AD 与 y 轴交于 E点，与抛物线y= x2+bx+c交于第四象限的 F 点．（1）求该抛物线解析式与 F 点坐标；（2）如图（ 2），动点 P 从点 C 出发，沿线段 CB以每秒 1 个单位长度的速度向终点 B 运动；同时，动点 M 从点 A 出发，沿线段 AE 以每秒个单位长度的速度向终点 E 运动．过点 P作 PH⊥OA，垂足为 H，连接 MP，MH．设点 P 的运动时间为 t 秒．①问 EP+PH+HF是否有最小值？如果有，求出t 的值；如果没有，请说明理由．②若△ PMH 是等腰三角形，请直接写出此时t 的值．2 12．如图，已知直线 y=kx﹣6 与抛物线 y=ax +bx+c 相交于 A，B 两点，且点 A（1，﹣4）为抛物线的顶点，点 B 在 x 轴上．（2）在（ 1）中抛物线的第二象限图象上是否存在一点 P，使△ POB与△ POC全等？若存在，求出点 P 的坐标；若不存在，请说明理由；（3）若点 Q 是 y 轴上一点，且△ ABQ 为直角三角形，求点Q 的坐标．13．如图 1，在平面直角坐标系xOy 中，直线 l：与x轴、y轴分别交于点A和点B（0，﹣1），抛物线经过点B，且与直线l的另一个交点为C（4，n）．（1）求 n 的值和抛物线的解析式；（2）点 D 在抛物线上，且点 D 的横坐标为 t（0＜t ＜4）．DE∥y 轴交直线 l 于点 E，点 F 在直线l 上，且四边形 DFEG为矩形（如图 2）．若矩形 DFEG的周长为 p，求 p 与 t 的函数关系式以及 p 的最大值；（3）M 是平面内一点，将△ AOB绕点 M 沿逆时针方向旋转 90°后，得到△ A1O1B1，点 A、 O、B的对应点分别是点 A1、O1、B1．若△ A1O1B1的两个顶点恰好落在抛物线上，请直接写出点A1的横坐标．14．如图，四边形 ABCD是边长为 4 的正方形，动点 P、 Q 同时从 A 点出发，点 P 沿 AB 以每秒）））））））运动，设运动时间为 t 秒．（1）当 t=2 秒时，求证： PQ=CP ；（2）当 2＜ t ≤4 时，等式 “PQ=CP ”仍成立吗？试说明其理由；（3）设△ CPQ 的面积为 S ，那么 S 与 t 之间的函数关系如何？并问 S 的值能否大于正方形 ABCD 面积的一半？为什么？，在平面直角坐标系中，抛物线y=﹣ x 2+x+2与 x 轴交于 A ，B 两点（点15．如图 1A 在点B 的左侧），与 y 轴交于点C ． （1）求直线 BC 的解析式；（2）点 D 是线段 BC 中点，点 E 是 BC 上方抛物线上一动点，连接 CE ，DE ．当△ CDE 的面积最大时，过点 E 作 y 轴垂线，垂足为 F ，点 P 为线段 EF 上一动点，将△ CEF 绕点 C 沿顺时针方向旋转 90°，点 F ，P ，E 的对应点分别是 F ′， P ′， E ′，点 Q 从点 P 出发，先沿适当的路径运动到点 F ′处，再沿 F ′C 运动到点 C 处，最后沿适当的路径运动到点 P ′处停止． 求△ CDE 面积的最大值及点 Q 经过的最短路径的长；（3）如图 2，直线 BH 经过点 B 与 y 轴交于点 H （0，3）动点 M 从 O 出发沿 OB 方向以每秒 1 个单位长度向点 B 运动，同时动点 N 从 B 点沿 BH 方向以每秒 2 个单位长度的速度向点 H 运动，当点 N 运动到 H 点时，点 M ，点 N 同时停止运动，设运动时间为 t ．运动过程中，过点 N 作 OB 的平行线交 y 轴于点 I ，连接 MI ，MN ，将△ MNI 沿 NI 翻折得△ M ′NI ，连接 HM ′，当△ M ′HN 为等腰三角形时，求 t 的值．16．如图 1，直线与 x 轴、 y 轴分别交于 B 、 C 两点，经过 B 、C 两点的抛物线与 x轴的另一交点坐标为 A （﹣ 1，0）．（1）求 B、 C 两点的坐标及该抛物线所对应的函数关系式；（2）P 在线段 BC上的一个动点（与 B、C 不重合），过点 P 作直线 a∥y 轴，交抛物线于点 E，交 x 轴于点 F，设点 P 的横坐标为 m，△ BCE的面积为 S．①求 S 与 m 之间的函数关系式，并写出自变量m 的取值范围；②求 S 的最大值，并判断此时△OBE的形状，说明理由；（3）过点 P 作直线 b∥x 轴（图 2），交 AC于点 Q，那么在 x 轴上是否存在点 R，使得△ PQR 为等腰直角三角形？若存在，请求出点 R 的坐标；若不存在，请说明理由．17．已知正方形 OABC的边 OC、OA 分别在 x、y 轴的正半轴上，点 B 坐标为（ 10，10），点 P 从O 出发沿 O→C→B运动，速度为 1 个单位每秒，连接 AP．设运动时间为t．（1）若抛物线 y=﹣（ x﹣h）2+k 经过 A、B 两点，求抛物线函数关系式；（2）当 0≤t ≤10 时，如图 1，过点 O 作 OH⊥AP 于点 H，直线 OH交边 BC于点 D，连接 AD，PD，设△ APD的面积为 S，求 S 的最小值；（3）在图 2 中以 A 为圆心， OA 长为半径作⊙ A，当 0≤ t≤20 时，过点 P 作 PQ⊥x 轴（ Q 在P 的上方），且线段 PQ=t+12：①当 t 在什么范围内，线段 PQ 与⊙ A 只有一个公共点？当 t 在什么范围内，线段 PQ 与⊙ A 有两个公共点？②请将①中求得的 t 的范围作为条件，证明：当 t 取该范围内任何值时，线段 PQ 与⊙ A 总有两个公共点．18．如图，二次函数 y=x2﹣4x 的图象与 x 轴、直线 y=x 的一个交点分别为点 A、 B， CD 是线段OB 上的一动线段，且 CD=2，过点 C、D 的两直线都平行于 y 轴，与抛物线相交于点 F、E，连接 EF．（1）点 A 的坐标为，线段OB的长=；（2）设点 C 的横坐标为 m①当四边形 CDEF是平行四边形时，求m 的值；②连接 AC、 AD，求 m 为何值时，△ ACD的周长最小，并求出这个最小值．19．如图，已知二次函数 y=﹣x2+bx+c（c＞0）的图象与 x 轴交于 A、B 两点（点 A 在点 B 的左侧），与 y 轴交于点 C，且 OB=OC=3，顶点为 M．（1）求二次函数的解析式；（2）点 P 为线段 BM 上的一个动点，过点P 作 x 轴的垂线 PQ，垂足为 Q，若 OQ=m，四边形ACPQ的面积为 S，求 S 关于 m 的函数解析式，并写出m 的取值范围；（3）探索：线段 BM 上是否存在点N，使△ NMC 为等腰三角形？如果存在，求出点N 的坐标；如果不存在，请说明理由．20．如图，抛物线y= x2 +mx+n 与直线 y=﹣x+3 交于 A，B 两点，交 x 轴于 D，C 两点，连接AC，BC，已知 A（ 0， 3），C（3，0）．（Ⅰ）求抛物线的解析式和 tan∠ BAC的值；（Ⅱ）在（Ⅰ）条件下：（1）P 为 y 轴右侧抛物线上一动点，连接 PA，过点 P作 PQ⊥PA交 y 轴于点 Q，问：是否存在点 P 使得以 A，P，Q 为顶点的三角形与△ ACB相似？若存在，请求出所有符合条件的点 P的坐标；若不存在，请说明理由．（2）设 E 为线段 AC上一点（不含端点），连接 DE，一动点 M 从点 D 出发，沿线段 DE 以每秒一个单位速度运动到 E 点，再沿线段 EA 以每秒个单位的速度运动到 A 后停止，当点 E 的坐标是多少时，点 M 在整个运动中用时最少？21．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的顶点为B（2，1），且过点A （0，2），直线 y=x 与抛物线交于点 D，E（点 E 在对称轴的右侧），抛物线的对称轴交直线 y=x 于点 C，交 x 轴于点 G，EF⊥x 轴，垂足为 F，点 P 在抛物线上，且位于对称轴的右侧， PQ⊥ x 轴，垂足为点 Q，△ PCQ为等边三角形（1）求该抛物线的解析式；（2）求点 P 的坐标；（3）求证： CE=EF；（4）连接 PE，在 x 轴上点 Q 的右侧是否存在一点M，使△ CQM 与△ CPE全等？若存在，试求出点 M 的坐标；若不存在，请说明理由．[ 注： 3+2 =（+1）2 ] ．22．阅读理解抛物线 y= x2上任意一点到点（ 0，1）的距离与到直线y=﹣1 的距离相等，你可以利用这一性质解决问题．问题解决如图，在平面直角坐标系中，直线y=kx+1 与 y 轴交于 C 点，与函数 y=x2的图象交于 A， B两点，分别过 A，B 两点作直线 y=﹣1 的垂线，交于E， F 两点．（1）写出点 C 的坐标，并说明∠ ECF=90°；（2）在△ PEF中， M 为 EF中点， P 为动点．①求证： PE2+PF2=2（ PM2+EM2）；②已知 PE=PF=3，以 EF为一条对角线作平行四边形CEDF，若 1＜PD＜ 2，试求 CP的取值范围．23．已知抛物线经过A（﹣ 3，0）， B（1， 0），C（2，）三点，其对称轴交x 轴于点 H，一次函数 y=kx+b（k≠0）的图象经过点 C，与抛物线交于另一点 D（点 D 在点 C 的左边），与抛物线的对称轴交于点 E．（1）求抛物线的解析式；（2）如图 1，当 S△EOC=S△EAB时，求一次函数的解析式；（3）如图 2，设∠ CEH=α，∠ EAH=β，当α＞β时，直接写出 k 的取值范围．24．如图 1，已知直线 EA与 x 轴、 y 轴分别交于点 E 和点 A（ 0， 2），过直线 EA上的两点 F、G 分别作 x 轴的垂线段，垂足分别为 M（m，0）和 N（n，0），其中 m＜0，n＞0．（1）如果m=﹣4，n=1，试判断△ AMN 的形状；（2）如果 mn=﹣ 4，（1）中有关△ AMN 的形状的结论还成立吗？如果成立，请证明；如果不成立，请说明理由；（3）如图 2，题目中的条件不变，如果 mn=﹣4，并且 ON=4，求经过 M、A、 N 三点的抛物线所对应的函数关系式；（4）在（3）的条件下，如果抛物线的对称轴l 与线段AN 交于点P，点Q 是对称轴上一动点，以点 P、 Q、N 为顶点的三角形和以点 M 、A、N 为顶点的三角形相似，求符合条件的点 Q 的坐标．25．如图，二次函数与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，点P从A点出发，以1 个单位每秒的速度向点 B 运动，点 Q 同时从 C 点出发，以相同的速度向 y 轴正方向运动，运动时间为 t 秒，点 P 到达 B 点时，点 Q 同时停止运动．设 PQ 交直线 AC于点 G．（1）求直线 AC的解析式；（2）设△ PQC的面积为 S，求 S 关于 t 的函数解析式；（3）在 y 轴上找一点 M ，使△ MAC 和△ MBC 都是等腰三角形．直接写出所有满足条件的 M 点的坐标；（4）过点 P 作 PE⊥AC，垂足为 E，当 P 点运动时，线段 EG的长度是否发生改变，请说明理由．26．如图，在平面直角坐标系xOy 中，二次函数的图象与x轴交于A（﹣1，0）、B（ 3， 0）两点，顶点为C．（1）求此二次函数解析式；（2）点 D 为点 C 关于 x 轴的对称点，过点 A 作直线 l：交BD于点E，过点B作直线 BK∥AD 交直线 l 于 K 点．问：在四边形 ABKD的内部是否存在点 P，使得它到四边形ABKD 四边的距离都相等？若存在，请求出点 P 的坐标；若不存在，请说明理由；（3）在（ 2）的条件下，若 M、N 分别为直线 AD 和直线 l 上的两个动点，连结 DN、NM、MK，求 DN+NM+MK 和的最小值．27．如图，已知在平面直角坐标系xOy 中，直角梯形 OABC的边 OA 在 y 轴的正半轴上， OC 在x 轴的正半轴上， OA=AB=2， OC=3，过点 B 作 BD⊥BC，交 OA 于点 D．将∠ DBC绕点 B 按顺时针方向旋转，角的两边分别交 y 轴的正半轴、 x 轴的正半轴于点 E 和F．（1）求经过 A、B、C 三点的抛物线的解析式；（2）当 BE经过（ 1）中抛物线的顶点时，求 CF的长；（3）在抛物线的对称轴上取两点 P、Q（点 Q 在点 P 的上方），且 PQ=1，要使四边形 BCPQ 的周长最小，求出 P、Q 两点的坐标．28．如图，已知抛物线与x 轴交于点 A（﹣ 2，0），B（4，0），与 y 轴交于点 C（ 0，）．（1）求抛物线的解析式及其顶点 D 的坐标；（2）设直线 CD 交 x 轴于点 E，过点 B 作 x 轴的垂线，交直线 CD 于点 F，在直线 CD的上方，y 轴及 y 轴的右侧的平面内找一点 G，使以点 G、F、C 为顶点的三角形与△ COE相似，请直接写出符合要求的点 G 的坐标；（3）如图，抛物线的对称轴与x 轴的交点 M，过点 M 作一条直线交∠ ADB 于 T，N 两点，①当∠ DNT=90°时，直接写出的值；②当直线 TN 绕点 M 旋转时，试说明：△ DNT 的面积 S△DNT=DN?DT；并猜想：的值是否是定值？说明理由．29．如图①， Rt△ABC中，∠ B=90°∠ CAB=30°， AC⊥x 轴．它的顶点 A 的坐标为（ 10，0），顶点 B 的坐标为，点 P 从点 A 出发，沿 A→B→C的方向匀速运动，同时点 Q 从点 D （0，2）出发，沿 y 轴正方向以相同速度运动，当点 P 到达点 C 时，两点同时停止运动，设运动的时间为 t 秒．（1）求∠ BAO的度数．（直接写出结果）（2）当点 P 在 AB 上运动时，△ OPQ 的面积 S 与时间 t（秒）之间的函数图象为抛物线的一部分（如图②），求点 P 的运动速度．（3）求题（ 2）中面积 S 与时间 t 之间的函数关系式，及面积S取最大值时，点P 的坐标．（4）如果点 P，Q 保持题（ 2）中的速度不变，当t 取何值时， PO=PQ，请说明理由．30．如图，已知直线 l：y= x+2 与 y 轴交于点 D，过直线 l 上一点 E 作 EC丄 y 轴于点 C，且 C 点坐标为（ 0，4），过 C、E 两点的抛物线 y=﹣ x2+bx+c 交 x 轴于 A、 B 两点（点 A 在点 B 的左侧）．（1）求抛物线的解析式：（2）动点 Q 从点 C 出发沿线段 CE以 1 单位 / 秒的速度向终点 E 运动，过点 Q 作 QF⊥ED 于点F，交 BD 于点 H，设点 Q 运动时间为 t 秒，△ DFH的面积为 S，求出 S 与 t 的函数关系式（并直接写出自变量 t 的取值范围）；（3）若动点 P 为直线 CE上方抛物线上一点，连接 PE，过点 E 作 EM⊥ PE交线段 BD 于点 M ，当△ PEM 是等腰直角三角形时，求四边形 PMBE的面积．．已知在平面直角坐标系中，抛物线2+bx+c（ a≠0，且 a，b，c 为常数）的对称轴为：31 y=ax直线 x= ，与 x 轴分别交于点 A、点 B，与 y 轴交于点 C（0，﹣），且过点（ 3，﹣ 5），D 为 x 轴正半轴上的动点， E 为 y 轴负半轴上的动点．（1）求该抛物线的表达式；（2）如图 1，当点 D 为（ 3，0）时， DE交该抛物线于点 M，若∠ ADC=∠CDM，求点 M 的坐标；（3）如图 2，把（1）中抛物线平移使其顶点与原点重合，若直线ED 与新抛物线仅有唯一交点Q 时， y 轴上是否存在一个定点 P 使 PE=PQ？若存在，求出点 P 的坐标；若不存在，请说明理由．参考答案与试题解析一．解答题（共31 小题）1．（2017 秋 ?上杭县期中）如图，在平面直角坐标系中，△ABC是直角三角形，∠ ACB=90°，AC=BC，OA=1， OC=4，抛物线 y=x2+bx+c 经过 A，B 两点．（1）求抛物线的解析式；（2）点 E 是直角△ ABC斜边 AB 上一动点（点 A、B 除外），过点 E 作 x 轴的垂线交抛物线于点 F，当线段 EF的长度最大时，求点 E、F 的坐标；（3）在（ 2）的条件下：在抛物线上是否存在一点 P，使△ EFP是以 EF为直角边的直角三角形？若存在，请求出所有点 P 的坐标；若不存在，请说明理由．【考点】 HF：二次函数综合题．【专题】 151：代数综合题； 32 ：分类讨论．【分析】（ 1）根据 AC=BC，求出 BC的长，进而得到点 A，B 的坐标，利用待定系数法即可求得抛物线的解析式；（2）利用待定系数法求出直线 AB 的解析式，用含 m 的式表示出 E，F 的坐标，求出 EF的长度最大时 m 的值，即可求得 E，F 的坐标；（3）分两种情况：∠ E﹣90°和∠ F=90°，分别得到点 P 的纵坐标，将纵坐标代入抛物线解析式，即可求得点 P 的值．【解答】解：（1）∵ OA=1， OC=4，AC=BC，∴BC=5，∴A（﹣ 1，0），B（4，5），抛物线 y=x2+bx+c 经过 A， B 两点，∴，解得：，∴y=x2﹣2x﹣3；（2）设直线 AB 解析式为： y=kx+b，直线经过点 A， B 两点，∴，解得：，∴直线 AB 的解析式为： y=x+1，设点 E 的坐标为（ m， m+1），则点 F（ m，m2﹣2m﹣3），∴EF=m+1﹣ m2+2m+3=﹣ m2+3m+4=﹣（ m﹣）2+，∴当 EF最大时， m=，∴点 E（，），F（，）；（3）存在．即 x2﹣ 2x﹣3=，解得：x1=，x2=，∴点 P1（，），P2（，），②当∠ EFP=90°时，点 P 的纵坐标为，即 x2﹣ 2x﹣3=，解得：x1=，x2=（舍去），∴点 P3（，），综上所述， P1（，），P2（，），P3（，）．【点评】本题主要考查二次函数的综合题，其中第（ 3）小题要注意分类讨论，分∠ E=90°和∠F=90°两种情况．2．（2017 秋?鄂城区期中）如图，关于 x 的二次函数 y=x2+bx+c 的图象与 x 轴交于点 A（1，0）和点 B，与 y 轴交于点 C（ 0， 3），抛物线的对称轴与 x 轴交于点 D．（1）求二次函数的表达式；（2）在 y 轴上是否存在一点P，使△ PBC为等腰三角形？若存在．请求出点P 的坐标；（3）有一个点 M 从点 A 出发，以每秒 1 个单位的速度在AB 上向点 B 运动，另一个点 N 从点D 与点 M 同时出发，以每秒 2 个单位的速度在抛物线的对称轴上运动，当点 M 到达点 B 时，点M、 N 同时停止运动，问点 M 、N 运动到何处时，△ MNB 面积最大，试求出最大面积．【考点】 HF：二次函数综合题．【专题】 16 ：压轴题．【分析】（ 1）代入 A（ 1， 0）和 C（0，3），解方程组即可；（2）求出点 B 的坐标，再根据勾股定理得到BC，当△ PBC为等腰三角形时分三种情况进行讨论：① CP=CB；② BP=BC；③ PB=PC；（3）设 AM=t 则 DN=2t，由 AB=2，得 BM=2﹣t，S△MNB=×（2﹣t）×2t=﹣t2+2t，运用二次函数的顶点坐标解决问题；此时点 M 在 D 点，点 N 在对称轴上 x 轴上方 2 个单位处或点 N 在对称轴上 x 轴下方 2 个单位处．【解答】解：（1）把 A（1，0）和 C（0，3）代入 y=x2+bx+c，解得： b=﹣4，c=3，2∴二次函数的表达式为：y=x ﹣ 4x+3；解得： x=1 或 x=3，∴B（3，0），∴BC=3 ，）））））））①当 CP=CB时， PC=3 ，∴ OP=OC+PC=3+3 或 OP=PC﹣ OC=3 ﹣3∴P1（0，3+3 ），P2（0，3﹣3 ）；②当 BP=BC时， OP=OB=3，∴P3（0，﹣ 3）；③当 PB=PC时，∵OC=OB=3∴此时 P 与 O 重合，∴P4（0，0）；综上所述，点 P 的坐标为：（0，3+3 ）或（ 0， 3﹣ 3 ）或（ 0，﹣ 3）或（ 0， 0）；（3）如图 2，设 A 运动时间为 t ，由 AB=2，得 BM=2﹣t ，则 DN=2t，∴S△MNB= ×（ 2﹣t）× 2t=﹣t2 +2t=﹣（ t﹣ 1）2+1，即当 M（2，0）、 N（ 2， 2）或（ 2，﹣ 2）时△ MNB 面积最大，最大面积是1．【点评】本题是二次函数的综合题型，其中涉及到运用待定系数法求二次函数，等腰三角形的性质，轴对称的性质等知识，运用数形结合、分类讨论及方程思想是解题的关键．3．（2017?泸州）如图，已知二次函数 y=ax2+bx+c（a≠0）的图象经过 A（﹣ 1，0）、B（4，0）、C（ 0， 2）三点．（1）求该二次函数的解析式；（2）点 D 是该二次函数图象上的一点，且满足∠ DBA=∠CAO（O 是坐标原点），求点 D 的坐标；（3）点 P 是该二次函数图象上位于第一象限上的一动点，连接 PA分别交 BC、y 轴于点 E、F，若△ PEB、△ CEF的面积分别为 S1、 S2，求 S1﹣S2的最大值．）））））））【考点】 HF：二次函数综合题．【专题】 16 ：压轴题．【分析】（ 1）由 A、B、C 三点的坐标，利用待定系数法可求得抛物线解析式；（2）当点 D 在 x 轴上方时，则可知当 CD∥AB 时，满足条件，由对称性可求得 D 点坐标；当点D 在 x 轴下方时，可证得 BD∥AC，利用 AC的解析式可求得直线 BD 的解析式，再联立直线 BD 和抛物线的解析式可求得 D 点坐标；（3）过点 P 作 PH∥y 轴交直线 BC于点 H，可设出 P 点坐标，从而可表示出PH 的长，可表示出△ PEB的面积，进一步可表示出直线AP 的解析式，可求得 F 点的坐标，联立直线BC和PA的解析式，可表示出 E 点横坐标，从而可表示出△CEF的面积，再利用二次函数的性质可求得 S1﹣S2的最大值．【解答】解：（1）由题意可得，解得，∴抛物线解析式为y=﹣x2+x+2；（2）当点 D 在 x 轴上方时，过 C 作 CD∥AB 交抛物线于点 D，如图 1，∵A、B 关于对称轴对称， C、 D 关于对称轴对称，∴四边形 ABDC为等腰梯形，∴∠ CAO=∠ DBA，即点 D 满足条件，∴D（3，2）；当点 D 在 x 轴下方时，∵∠ DBA=∠ CAO，∴BD∥ AC，∵C（0，2），∴可设直线 AC解析式为 y=kx+2，把 A（﹣ 1，0）代入可求得 k=2，）））））））∴可设直线 BD 解析式为 y=2x+m ，把 B （4，0）代入可求得 m=﹣8， ∴直线 BD 解析式为 y=2x ﹣8，联立直线 BD 和抛物线解析式可得，解得或，∴D （﹣ 5，﹣ 18）；综上可知满足条件的点 D 的坐标为（ 3， 2）或（﹣ 5，﹣ 18）；（3）过点 P 作 PH ∥y 轴交直线 BC 于点 H ，如图 2，设 P （t ，﹣ t 2+ t+2），由 B 、C 两点的坐标可求得直线 BC 的解析式为 y=﹣ x+2，∴H （t ，﹣ t+2），∴PH=y P ﹣y H =﹣ t 2+ t+2﹣（﹣ t+2）=﹣ t 2+2t ，设直线 AP 的解析式为 y=px+q ，∴，解得 ，∴直线 AP 的解析式为 y=（﹣ t+2）（x+1），令 x=0 可得 y=2﹣ t ，∴F （0，2﹣ t ），∴CF=2﹣（ 2﹣ t ）= t ，联立直线 AP 和直线 BC 解析式可得，解得 x=，即 E 点的横坐标为，∴S 1（ B ﹣x E ）= （﹣ t 2+2t ）（4﹣ ），S 2= ? ? ，= PH x∴S 1﹣S 2 （﹣ t 2 +2t ）（4﹣ ）﹣ ? ?=﹣ t 2+4t=﹣ （t ﹣ ）2+，=∴当 t= 时，有 S 1﹣S 2 有最大值，最大值为．【点评】 本题为二次函数的综合应用，涉及待定系数法、平行线的判定和性质、三角形的面积、二次函数的性质、方程思想伋分类讨论思想等知识．在（ 1）中注意待定系数法的应用，在（ 2）中确定出 D 点的位置是解题的关键，在（ 3）中用 P 点的坐标分别表示出两个三角形的面4．（2017?南充）如图 1，已知二次函数 y=ax2+bx+c（a、b、c 为常数， a≠0）的图象过点 O （0，0）和点 A（4，0），函数图象最低点 M 的纵坐标为﹣，直线 l 的解析式为 y=x．（1）求二次函数的解析式；（2）直线 l 沿 x 轴向右平移，得直线 l ′，l ′线段与 OA 相交于点 B，与 x 轴下方的抛物线相交于点 C，过点 C 作 CE⊥x 轴于点 E，把△ BCE沿直线 l 折′叠，当点 E 恰好落在抛物线上点E′时（图 2），求直线 l 的′解析式；（3）在（2）的条件下， l 与′ y 轴交于点 N，把△ BON 绕点 O 逆时针旋转 135°得到△ B′ON，′P 为 l ′的动点，当△上 PB′N为′等腰三角形时，求符合条件的点P 的坐标．【考点】 HF：二次函数综合题．【专题】 16 ：压轴题．【分析】（1）由题意抛物线的顶点坐标为（ 2，﹣），设抛物线的解析式为y=a（x﹣2）2﹣，把（ 0，0）代入得到 a= ，即可解决问题；（2）如图 1 中，设 E（m，0），则 C（ m，m2﹣m），B（﹣m2+m，0），由 E、 B 关于对称轴对称，可得=2，由此即可解决问题；（3）分两种情形求解即可①当 P 与 N 重合时，△P ′是′等腰三角形，此时（0，﹣ 3）．②1 1B N P1当 N′=N′时B′，设 P（m，m﹣3），列出方程解方程即可；【解答】解：（1）由题意抛物线的顶点坐标为（ 2，﹣），设抛物线的解析式为y=a（x﹣ 2）2﹣，把（ 0，0）代入得到 a= ，∴抛物线的解析式为y=（x﹣2）2﹣，即y=x2﹣x．（2）如图 1 中，设 E（m，0），则 C（ m， m2﹣ m），B（﹣ m2+ m， 0），∵E′在抛物线上，易知四边形 EBE′C是正方形，抛物线的对称轴也是正方形的对称轴，∴E、B 关于对称轴对称，∴=2，解得 m=1 或 6（舍弃），∴B（3，0）， C（ 1，﹣ 2），∴直线 l 的′解析式为 y=x﹣3．（3）如图 2 中，①当 P1与 N 重合时，△ P1′是′等腰三角形，此时1（0，﹣ 3）．B N P②当 N′=N′时B′，设 P（ m，m﹣ 3），则有（ m﹣）2+（m﹣ 3﹣）2=（3 ）2，解得 m= 或，∴P2（，），P3（，）．综上所述，满足条件的点 P 坐标为（ 0，﹣ 3）或（，）或（，）．【点评】本题考查二次函数综合题、待定系数法、等腰三角形的判定和性质、两点间距离公式）））））））5．（2017?宜宾）如图，抛物线 y=﹣x2+bx+c 与 x 轴分别交于 A（﹣ 1，0），B（5，0）两点．（1）求抛物线的解析式；（2）在第二象限内取一点 C，作 CD 垂直 X 轴于点 D，链接 AC，且 AD=5，CD=8，将 Rt△ACD 沿 x 轴向右平移 m 个单位，当点 C 落在抛物线上时，求 m 的值；（3）在（2）的条件下，当点 C 第一次落在抛物线上记为点 E，点 P 是抛物线对称轴上一点．试探究：在抛物线上是否存在点 Q，使以点 B、E、P、Q 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请出点 Q 的坐标；若不存在，请说明理由．【考点】 HF：二次函数综合题．【专题】 16 ：压轴题．【分析】（ 1）由 A、B 的坐标，利用待定系数法可求得抛物线的解析式；（2）由题意可求得 C 点坐标，设平移后的点 C 的对应点为 C′，则 C′点的纵坐标为 8，代入抛物线解析式可求得 C′点的坐标，则可求得平移的单位，可求得 m 的值；（3）由（ 2）可求得 E 点坐标，连接 BE交对称轴于点 M，过 E 作 EF⊥x 轴于点 F，当 BE为平行四边形的边时，过 Q 作对称轴的垂线，垂足为 N，则可证得△ PQN≌△ EFB，可求得 QN，即可求得 Q 到对称轴的距离，则可求得 Q 点的横坐标，代入抛物线解析式可求得 Q 点坐标；当 BE 为对角线时，由 B、 E 的坐标可求得线段 BE的中点坐标，设 Q（x， y），由 P 点的横坐标则可求得 Q 点的横坐标，代入抛物线解析式可求得Q 点的坐标．【解答】解：（1）∵抛物线 y=﹣x2+bx+c 与 x 轴分别交于 A（﹣ 1，0），B（5，0）两点，∴，解得，∴抛物线解析式为y=﹣x2+4x+5；（2）∵ AD=5，且 OA=1，∴OD=6，且 CD=8，∴C（﹣ 6，8），设平移后的点 C 的对应点为C′，则C′点的纵坐标为8，代入抛物线解析式可得8=﹣x2+4x+5，解得x=1 或x=3，∴C′点的坐标为（ 1， 8）或（ 3，8），∵C（﹣ 6，8），∴当点 C 落在抛物线上时，向右平移了7 或 9 个单位，∴m 的值为 7 或 9；（3）∵ y=﹣x2+4x+5=﹣（ x﹣2）2+9，。
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2017中考二次函数压轴题专题分类训练题型一：面积问题【例1】如图2，抛物线顶点坐标为点C (1，4)，交x 轴于点A (3，0)，交y 轴于点B . （1）求抛物线和直线AB 的解析式； （2）求△CAB 的铅垂高CD 及S △CAB ；（3）设点P 是抛物线（在第一象限内）上的一个动点，是否存在一点P ，使S △PAB ＝89S △CAB ，若存在，求出P 点的坐标；若不存在，请说明理由.【变式练习】1.如图，在直角坐标系中，点A 的坐标为(－2，0)，连结OA ，将线段OA 绕原点O 顺时针旋转120°，得到线段OB ． （1）求点B 的坐标；（2）求经过A 、O 、B 三点的抛物线的解析式；（3）在（2）中抛物线的对称轴上是否存在点C ，使△BOC 的周长最小？若存在，求出点C 的坐标；若不存在，请说明理由．（4）如果点P 是（2）中的抛物线上的动点，且在x 轴的下方，那么△PAB 是否有最大面积？若有，求出此时P 点的坐标及△PAB 的最大面积；若没有，请说明理由．图22.如图，抛物线y = ax 2+ bx + 4与x 轴的两个交点分别为A （－4，0）、B （2，0），与y 轴交于点C ，顶点为D ．E （1，2）为线段BC 的中点，BC 的垂直平分线与x 轴、y 轴分别交于F 、G ．（1）求抛物线的函数解析式，并写出顶点D 的坐标；（2）在直线EF 上求一点H ，使△CDH 的周长最小，并求出最小周长； （3）若点K 在x 轴上方的抛物线上运动，当K 运动到什么位置时， △EFK 的面积最大？并求出最大面积．3．如图，已知：直线3+-=x y 交x 轴于点A ，交y 轴于点B ，抛物线y=ax 2+bx+c 经过A 、B 、C （1，0）三点.（1）求抛物线的解析式;（2）若点D 的坐标为（-1，0），在直线3+-=x y 上有一点P,使ΔABO 与ΔADP 相似，求出点P 的坐标；（3）在（2）的条件下，在x 轴下方的抛物线上，是否存在点E ，使ΔADE 的面积等于四边形APCE 的面积？如果存在，请求出点E 的坐标；如果不存在，请说明理由．C ED GAxy OB F题型二：构造直角三角形【例2】如图，已知抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为x＝1，且抛物线经过A（－1，0）、C（0，－3）两点，与x轴交于另一点B．（1）求这条抛物线所对应的函数关系式；（2）在抛物线的对称轴x＝1上求一点M，使点M到点A的距离与到点C的距离之和最小，并求此时点M的坐标；（3）设点P为抛物线的对称轴x=1上的一动点，求使∠PCB＝90º的点P的坐标．E【变式练习】1．如图，抛物线y=与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C．（1）求点A、B的坐标；（2）设D为已知抛物线的对称轴上的任意一点，当△ACD的面积等于△ACB的面积时，求点D的坐标；（3）若直线l过点E（4，0），M为直线l上的动点，当以A、B、M为顶点所作的直角三角形有且只有三个时，求直线l的解析式．2.在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线y=2(1)(0)a x c a ++>与x 轴交于A 、B 两点(点A 在点B 的左侧)，与y 轴交于点C ，其顶点为M,若直线MC 的函数表达式为3y kx =-,与x 轴的交点为N ，且。
（1）求此抛物线的函数表达式；（2）在此抛物线上是否存在异于点C 的点P ，使以N 、P 、C 为顶点的三角形是以NC 为一条直角边的直角三角形？若存在，求出点P 的坐标：若不存在，请说明理由；（3）过点A 作x 轴的垂线，交直线MC 于点Q.若将抛物线沿其对称轴上下平移，使抛物线与线段NQ 总有公共点，则抛物线向上最多可平移多少个单位长度?向下最多可平移多少个单位长度?3.在平面直角坐标系内，反比例函数和二次函数y=k （x 2+x ﹣1）的图象交于点A （1，k ）和点B （﹣1，﹣k ）．（1）当k=﹣2时，求反比例函数的解析式；（2）要使反比例函数和二次函数都是y 随着x 的增大而增大，求k 应满足的条件以及x 的取值范围； （3）设二次函数的图象的顶点为Q ，当△ABQ 是以AB 为斜边的直角三角形时，求k 的值4.如图（1），抛物线42y x x =+-与y 轴交于点A ，E （0，b ）为y 轴上一动点，过点E 的直线y x b =+与抛物线交于点B 、C . （1）求点A 的坐标；（2)当b =0时（如图（2）），ABE 与ACE 的面积大小关系如何？当4b >-时，上述关系还成立BOC 是以b ；若不存在，题型三：构造等腰三角形【例3】如图，已知抛物线32++=bx ax y （a ≠0）与x 轴交于点A (1，0)和点B (－3，0)，与y 轴交于点C ．（1）求抛物线的解析式；（2）在x 轴上是否存在一点Q 使得△ACQ 为等腰三角形？若存在，请直接写出所有符合条件的点Q 的坐标；若不存在，请说明理由；（3）设抛物线的对称轴与x 轴交于点M ，问在对称轴上是否存在点P ，使△CMP 为等腰三角形？若存在，请直接写出所有符合条件的点P 的坐标；若不存在，请说明理由．【变式练习】1．如图，在平面直角坐标系中，点A 的坐标为（m ，m ），点B 的坐标为（n ，﹣n ），抛物线经过A 、O 、B 三点，连接OA 、OB 、AB ，线段AB 交y 轴于点C ．已知实数m 、n （m ＜n ）分别是方程x 2﹣2x ﹣3=0的两根．（1）求抛物线的解析式；（2）若点P 为线段OB 上的一个动点（不与点O 、B 重合），直线PC 与抛物线交于D 、E 两点（点D 在y 轴右侧），连接OD 、BD ．①当△OPC 为等腰三角形时，求点P 的坐标； ②求△BOD 面积的最大值，并写出此时点D 的坐标．2.如图，抛物线254y ax ax =-+经过ABC △的三个顶点，已知BC x ∥轴，点A 在x 轴上，点C 在y 轴上，且AC=BC ．（1）写出A,B,C 三点的坐标并求抛物线的解析式；（2）探究：若点P 是抛物线对称轴上且在x 轴下方的动点，是否存在PAB △是等腰三角形．若存在，求出所有符合条件的点P 坐标；不存在，请说明理由．3．已知抛物线2(0)y ax bx c a =++≠顶点为C （1，1）且过原点O.过抛物线上一点P （x ，y ）向直线54y =作垂线，垂足为M ，连FM （如图）. （1）求字母a ，b ，c 的值；（2）在直线x ＝1上有一点3(1,)4F ，求以PM 为底边的等腰三角形PFM 的P 点的坐标，并证明此时△PFM 为正三角形；（3）对抛物线上任意一点P ，是否总存在一点N （1，t ），使PM ＝PN 恒成立，若存在请求出t 值，若不存在请说明理由.AC By x0 11题型四：构造相似三角形【例4】如图，已知抛物线经过A（﹣2，0），B（﹣3，3）及原点O，顶点为C．（1）求抛物线的解析式；（2）若点D在抛物线上，点E在抛物线的对称轴上，且A、O、D、E为顶点的四边形是平行四边形，求点D的坐标；（3）P是抛物线上的第一象限内的动点，过点P作PM⊥x轴，垂足为M，是否存在点P，使得以P、M、A为顶点的三角形△BOC相似？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．【变式练习】1.如图，已知抛物线经过A（4，0），B（1，0），C（0，-2）三点．（1）求该抛物线的解析式；（2）在直线AC上方的该抛物线上是否存在一点D，使得△DCA的面积最大？若存在，求出点D的坐标及△DCA面积的最大值；若不存在，请说明理由．（3）P是直线x=1右侧的该抛物线上一动点，过P作PM⊥x轴，垂足为M，是否存在P点，使得以A、P、M为顶点的三角形与△OAC相似？若存在，请求出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．7)，且顶点C的横坐标为4，该图象在x 轴上截得的线2. 如图，二次函数的图象经过点D(0，39段AB的长为6.（1）求二次函数的解析式；（2）在该抛物线的对称轴上找一点P，使PA+PD最小，求出点P的坐标；（3）在抛物线上是否存在点Q，使△QAB与△ABC相似？如果存在，求出点Q的坐标；如果不存在，请说明理由．【例5】如图，已知抛物线y=错误!未找到引用源。
x2 - 错误!未找到引用源。
(b+1)x+错误!未找到引用源。
（b是实数且b＞2）与x轴的正半轴分别交于点A、B（点A位于点B的左侧），与y轴的正半轴交于点C．（1）点B的坐标为，点C的坐标为（用含b的代数式表示）；（2）请你探索在第一象限内是否存在点P，使得四边形PCOB的面积等于2b，且△PBC是以点P为直角顶点的等腰直角三角形？如果存在，求出点P的坐标；如果不存在，请说明理由；（3）请你进一步探索在第一象限内是否存在点Q，使得△QCO，△QOA和△QAB中的任意两个三角形均相似（全等可作相似的特殊情况）？如果存在，求出点Q的坐标；如果不存在，请说明理由．【变式练习】1.如图，平面直角坐标系xOy 中，已知点A （2，3），线段AB 垂直于y 轴，垂足为B ，将线段AB 绕点A 逆时针方向旋转90°，点B 落在点C 处，直线BC 与x 轴的交于点D ． （1）试求出点D 的坐标；（2）试求经过A 、B 、D 三点的抛物线的表达式，并写出其顶点E 的坐标；（3）在（2）中所求抛物线的对称轴上找点F ，使得以点A 、E 、F 为顶点的三角形与△ACD 相似．2．已知直线112y x =+与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ，将△AOB 绕点O 顺时针旋转90︒，使点A 落在点C ，点B 落在点D ，抛物线2y ax bx c =++过点A 、D 、C ，其对称轴与直线AB 交于点P ， （1）求抛物线的表达式； （2）求∠POC 的正切值；（3）点M 在x 轴上，且△ABM 与△APD 相似，求点M 的坐标。
(图7)3．如图，二次函数y =ax 2+bx +c 的图象交x 轴于A （﹣1，0），B （2，0），交y 轴于C （0，﹣2），过A ，C 画直线．（1）求二次函数的解析式；（2）点P 在x 轴正半轴上，且PA =PC ，求OP 的长；（3）点M 在二次函数图象上，以M 为圆心的圆与直线AC 相切，切点为H ． ①若M 在y 轴右侧，且△CHM ∽△AOC （点C 与点A 对应），求点M 的坐标； ②若⊙M 的半径为，求点M 的坐标．题型五：构造梯形【例6】已知，矩形OABC 在平面直角坐标系中位置如图1所示，点A 的坐标为(4,0)，点C 的坐标为)20(-，，直线x y 32-=与边BC 相交于点D ． （1）求点D 的坐标；（2）抛物线c bx ax y ++=2经过点A 、D 、O ，求此抛物线的表达式；（3）在这个抛物线上是否存在点M ，使O 、D 、A 、M 为顶点的四边形是梯形？若存在，请求出所有符合条件的点M 的坐标；若不存在，请说明理由．【变式练习】1.已知平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2－(a＋1)x与直线y＝kx的一个公共点为A(4，8)．（1）求此抛物线和直线的解析式；（2）若点P在线段OA上，过点P作y轴的平行线交（1）中抛物线于点Q，求线段PQ长度的最大值；（3）记（1）中抛物线的顶点为M，点N在此抛物线上，若四边形AOMN恰好是梯形，求点N的坐标及梯形AOMN的面积．2.已知二次函数的图象经过A（2，0）、C(0，12) 两点，且对称轴为直线x＝4，设顶点为点P，与x 轴的另一交点为点B．（1）求二次函数的解析式及顶点P的坐标；（2）如图1，在直线 y＝2x上是否存在点D，使四边形OPBD为等腰梯形？若存在，求出点D的坐标；若不存在，请说明理由；（3）如图2，点M是线段OP上的一个动点（O、P两点除外），以每秒2个单位长度的速度由点P 向点O 运动，过点M作直线MN//x轴，交PB于点N．将△PMN沿直线MN对折，得到△P1MN．在动点M的运动过程中，设△P1MN与梯形OMNB的重叠部分的面积为S，运动时间为t秒，求S关于t的函数关系式．3.如图1，二次函数)0(2<++=p q px x y 的图象与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C （0，－1），△ABC 的面积为45． （1）求该二次函数的关系式；（2）过y 轴上的一点M （0，m ）作y 轴的垂线，若该垂线与△ABC 的外接圆有公共点，求m 的取值范围；（3）在该二次函数的图象上是否存在点D ，使以A 、B 、C 、D 为顶点的四边形为直角梯形？若存在，求出点D 的坐标；若不存在，请说明理由．题型六：构造平行四边形【例7】如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过A （—1，0），B （3，0），C （0，—1）三点。