《分式中考专题复习》
2024中考数学复习核心知识点精讲及训练—分式(含解析)
2024中考数学复习核心知识点精讲及训练—分式（含解析）1.了解分式、分式方程的概念，进一步发展符号感；2．熟练掌握分式的基本性质，会进行分式的约分、通分和加减乘除四则运算，发展学生的合情推理能力与代数恒等变形能力；3．能解决一些与分式有关的实际问题，具有一定的分析问题、解决问题的能力和应用意识；4．通过学习能获得学习代数知识的常用方法，能感受学习代数的价值。
考点1：分式的概念1.定义：一般地，如果A、B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子AB叫做分式.其中A叫做分子，B叫做分母.2.最简分式：分子与分母没有公因式的分式；3.分式有意义的条件：B≠0；4.分式值为0的条件：分子=0且分母≠0考点2：分式的基本性质分式的分子与分母同乘(或除以)一个不等于0的整式，分式的值不变，这个性质叫做分式的基本性质，用式子表示是：A A M A A MB B M B B M⨯÷==⨯÷，（其中M是不等于零的整式）.考点3：分式的运算考点4：分式化简求值（1）有括号时先算括号内的；（2）分子/分母能因式分解的先进行因式分解；（3）进行乘除法运算（4）约分；（5）进行加减运算，如果是异分母分式，需线通分，变为同分母分式后，分母不变，分子合并同类项，最终化为最简分式；（6）带入相应的数或式子求代数式的值【题型1：分式的相关概念】【典例1】（2022•怀化）代数式x，，，x2﹣，，中，属于分式的有（）A．2个B．3个C．4个D．5个【答案】B【解答】解：分式有：，，，整式有：x，，x2﹣，分式有3个，故选：B．【典例2】（2023•广西）若分式有意义，则x的取值范围是（）A．x≠﹣1B．x≠0C．x≠1D．x≠2【答案】A【解答】解：∵分式有意义，∴x+1≠0，解得x≠﹣1．故选：A．1．（2022•凉山州）分式有意义的条件是（）A．x＝﹣3B．x≠﹣3C．x≠3D．x≠0【答案】B【解答】解：由题意得：3+x≠0，∴x≠﹣3，故选：B．2．（2023•凉山州）分式的值为0，则x的值是（）A．0B．﹣1C．1D．0或1【答案】A【解答】解：∵分式的值为0，∴x2﹣x＝0且x﹣1≠0，解得：x＝0，故选：A．【题型2：分式的性质】【典例3】（2023•兰州）计算：＝（）A．a﹣5B．a+5C．5D．a 【答案】D【解答】解：＝＝a，故选：D．1．（2020•河北）若a≠b，则下列分式化简正确的是（）A．＝B．＝C．＝D．＝【答案】D【解答】解：∵a≠b，∴，故选项A错误；，故选项B错误；，故选项C错误；，故选项D正确；故选：D．2．（2023•自贡）化简：＝x﹣1．【答案】x﹣1．【解答】解：原式＝＝x﹣1．故答案为：x﹣1．【题型3：分式化简】【典例4】（2023•广东）计算的结果为（）A．B．C．D．【答案】C【解答】解：＝＝．故本题选：C．1．（2023•河南）化简的结果是（）A．0B．1C．a D．a﹣2【答案】B【解答】解：原式＝＝1．故选：B．2．（2023•赤峰）化简+x﹣2的结果是（）A．1B．C．D．【答案】D【解答】解：原式＝+＝＝，故选：D．【题型4：分式的化简在求值】【典例5】（2023•深圳）先化简，再求值：（+1）÷，其中x＝3．【答案】，．【解答】解：原式＝•＝•＝，当x＝3时，原式＝＝．1．（2023•辽宁）先化简，再求值：（﹣1）÷，其中x＝3．【答案】见试题解答内容【解答】解：原式＝（﹣）•＝•＝x+2，当x＝3时，原式＝3+2＝5．2．（2023•大庆）先化简，再求值：，其中x＝1．【答案】见试题解答内容【解答】解：原式＝﹣+＝＝＝＝，当x＝1时，原式＝＝．3．（2023•西宁）先化简，再求值：，其中a，b是方程x2+x﹣6＝0的两个根．【答案】，6．【解答】解：原式＝[﹣]×a（a﹣b）＝×a（a﹣b）﹣＝﹣＝；∵a，b是方程x2+x﹣6＝0的两个根，∴a+b＝﹣1ab＝﹣6，∴原式＝．1．（2023春•汝州市期末）下列分式中，是最简分式的是（）A．B．C．D．【答案】C【解答】解：A、＝，不是最简分式，不符合题意；B、＝＝，不是最简分式，不符合题意；C、是最简分式，符合题意；D、＝＝﹣1，不是最简分式，不符合题意；故选：C．2．（2023秋•岳阳楼区校级期中）如果把分式中的x和y都扩大2倍，那么分式的值（）A．不变B．扩大2倍C．扩大4倍D．缩小2倍【答案】B【解答】解：∵＝＝×2，∴如果把分式中的x和y都扩大2倍，那么分式的值扩大2倍，故选：B．3．（2023•河北）化简的结果是（）A．xy6B．xy5C．x2y5D．x2y6【答案】A【解答】解：x3（）2＝x3•＝xy6，故选：A．4．（2023秋•来宾期中）若分式的值为0，则x的值是（）A．﹣2B．0C．2D．【答案】C【解答】解：由题意得：x﹣2＝0且3x﹣1≠0，解得：x＝2，故选：C．5．（2023秋•青龙县期中）分式的最简公分母是（）A．3xy B．6x3y2C．6x6y6D．x3y3【答案】B【解答】解：分母分别是x2y、2x3、3xy2，故最简公分母是6x3y2；故选：B．6．（2023春•沙坪坝区期中）下列分式中是最简分式的是（）A．B．C．D．【答案】A【解答】解；A、是最简二次根式，符合题意；B、＝，不是最简二次根式，不符合题意；C、＝＝，不是最简二次根式，不符合题意；D、＝﹣1，不是最简二次根式，不符合题意；故选：A．7．（2023春•原阳县期中）化简（1+）÷的结果为（）A．1+x B．C．D．1﹣x【答案】A【解答】解：原式＝×＝×＝1+x．故选：A．8．（2023•门头沟区二模）如果代数式有意义，那么实数x的取值范围是（）A．x≠2B．x＞2C．x≥2D．x≤2【答案】A【解答】解：由题意得：x﹣2≠0，解得：x≠2，故选：A．9．（2023春•武清区校级期末）计算﹣的结果是（）A．B．C．x﹣y D．1【答案】B【解答】解：﹣＝＝．故答案为：B．10．（2023春•东海县期末）根据分式的基本性质，分式可变形为（）A．B．C．D．【答案】C【解答】解：＝﹣，故选：C．11．（2023秋•莱州市期中）计算的结果是﹣x．【答案】﹣x．【解答】解：÷＝•（﹣）＝﹣x，故答案为：﹣x．12．（2023秋•汉寿县期中）学校倡导全校师生开展“语文阅读”活动，小亮每天坚持读书．原计划用a天读完b页的书，如果要提前m天读完，那么平均每天比原计划要多读的页数为（用含a、b、m的最简分式表示）．【答案】．【解答】解：由题意得：平均每天比原计划要多读的页数为：﹣＝﹣＝，故答案为：．13．（2023春•宿豫区期中）计算＝1．【答案】1．【解答】解：＝＝＝1，故答案为：1．14．（2023•广州）已知a＞3，代数式：A＝2a2﹣8，B＝3a2+6a，C＝a3﹣4a2+4a．（1）因式分解A；（2）在A，B，C中任选两个代数式，分别作为分子、分母，组成一个分式，并化简该分式．【答案】（1）2a2﹣8＝2（a+2）（a﹣2）；（2）..【解答】解：（1）2a2﹣8＝2（a2﹣4）＝2（a+2）（a﹣2）；（2）选A，B两个代数式，分别作为分子、分母，组成一个分式（答案不唯一），＝＝．15．（2023秋•思明区校级期中）先化简，再求值：（），其中．【答案】，．【解答】解：原式＝÷（﹣）＝÷＝•＝，当x＝﹣1时，原式＝＝．16．（2023秋•长沙期中）先化简，再求值：，其中x＝5．【答案】，．【解答】解：原式＝（﹣）•＝•＝，当x＝5时，原式＝＝．17．（2023•盐城一模）先化简，再求值：，其中x＝4．【答案】见试题解答内容【解答】解：原式＝（+）•＝•＝•＝x﹣1，当x＝4时，原式＝4﹣1＝3．18．（2022秋•廉江市期末）先化简（﹣x）÷，再从﹣1，0，1中选择合适的x值代入求值．【答案】﹣，0．【解答】解：原式＝（﹣）•＝﹣•＝﹣，∵（x+1）（x﹣1）≠0，∴x≠±1，当x＝0时，原式＝﹣＝0．1．（2023秋•西城区校级期中）假设每个人做某项工作的工作效率相同，m个人共同做该项工作，d天可以完成若增加r个人，则完成该项工作需要（）天．A．d+y B．d﹣r C．D．【答案】C【解答】解：工作总量＝md，增加r个人后完成该项工作需要的天数＝，故选：C．2．（2023秋•长安区期中）若a＝2b，在如图的数轴上标注了四段，则表示的点落在（）A．段①B．段②C．段③D．段④【答案】C【解答】解：∵a＝2b，∴＝＝＝＝＝，∴表示的点落在段③，故选：C．3．（2023秋•东城区校级期中）若x2﹣x﹣1＝0，则的值是（）A．3B．2C．1D．4【答案】A【解答】解：∵x2﹣x﹣1＝0，∴x2﹣1＝x，∴x﹣＝1，∴（x﹣）2＝1，∴x2﹣2+＝1，∴x2+＝3，故选：A．4．（2023秋•鼓楼区校级期中）对于正数x，规定，例如，，则＝（）A．198B．199C．200D．【答案】B【解答】解：∵f（1）＝＝1，f（1）+f（1）＝2，f（2）＝＝，f（）＝＝，f（2）+f（）＝2，f（3）＝＝，f（）＝＝，f（3）+f（）＝2，…f（100）＝＝，f（）＝＝，f（100）+f（）＝2，∴＝2×100﹣1＝199．故选：B．5．（2023秋•延庆区期中）当x分别取﹣2023，﹣2022，﹣2021，…，﹣2，﹣1，0，1，，，…，，，时，计算分式的值，再将所得结果相加，其和等于（）A．﹣1B．1C．0D．2023【答案】A【解答】解：当x＝﹣a和时，＝＝0，当x＝0时，，则所求的和为0+0+0+⋯+0+（﹣1）＝﹣1，故选：A．6．（2022秋•永川区期末）若分式，则分式的值等于（）A．﹣B．C．﹣D．【答案】B【解答】解：整理已知条件得y﹣x＝2xy；∴x﹣y＝﹣2xy将x﹣y＝﹣2xy整体代入分式得＝＝＝＝．故选：B．7．（2023春•铁西区月考）某块稻田a公顷，甲收割完这块稻田需b小时，乙比甲多用0.3小时就能收割完这块稻田，两人一起收割完这块稻田需要的时间是（）A．B．C．D．【答案】B【解答】解：乙收割完这块麦田需要的时间是（b+0.3）小时，甲的工作效率是公顷/时，乙的工作效率是公顷/时．故两人一起收割完这块麦田需要的工作时间为＝（小时）．故选：B．8．（2023春•临汾月考）相机成像的原理公式为，其中f表示照相机镜头的焦距，u表示物体到镜头的距离，v表示胶片（像）到镜头的距离．下列用f，u表示v正确的是（）A．B．C．D．【答案】D【解答】解：∵，去分母得：uv＝fv+fu，∴uv﹣fv＝fu，∴（u﹣f）v＝fu，∵u≠f，∴u﹣f≠0，∴．故选：D．9．（2023•内江）对于正数x，规定，例如：f（2）＝，f（）＝，f（3）＝，f（）＝，计算：f（）+f（）+f（）+…+f（）+f（）+f（1）+f（2）+f（3）+…+f（99）+f（100）+f（101）＝（）A．199B．200C．201D．202【答案】C【解答】解：∵f（1）＝＝1，f（2）＝，f（）＝，f（3）＝，f（）＝，f（4）＝＝，f（）＝＝，…，f（101）＝＝，f（）＝＝，∴f（2）+f（）＝+＝2，f（3）+f（）＝+＝2，f（4）+f（）＝+＝2，…，f（101）+f（）＝+＝2，f（）+f（）+f（）+…+f（）+f（）+f（1）+f（2）+f（3）+…+f（99）+f（100）+f（101）＝2×100+1＝201．故选：C．10．（2023春•灵丘县期中）观察下列等式：＝1﹣，＝﹣，＝﹣，…＝﹣将以上等式相加得到+++…+＝1﹣．用上述方法计算：+++…+其结果为（）A．B．C．D．【答案】A【解答】解：由上式可知+++…+＝（1﹣）＝．故选A．11．（2023秋•顺德区校级月考）先阅读并填空，再解答问题．我们知道，（1）仿写：＝，＝，＝．（2）直接写出结果：＝．利用上述式子中的规律计算：（3）；（4）．【答案】（1），；；（2）；（3）；（4）．【解答】解：（1），＝；＝，故答案为：，；；（2）原式＝1﹣+++...++＝1﹣＝；故答案为：；（3）＝＝1﹣+﹣+﹣+⋯⋯+＝1﹣＝；（2）原式＝×（）+×（）+×（）+...+×（）＝（）＝＝．12．（2023秋•株洲期中）阅读下列材料：通过小学的学习我们知道，分数可分为“真分数”和“假分数”，而假分数都可化为带分数．如：．我们定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”．如，这样的分式就是假分式；，这样的分式就是真分式．类似地，假分式也可以化为带分式（即：整式与真分式的和的形式）．如：，；解决下列问题：（1）分式是真分式（填“真”或“假”）；（2）将假分式化为带分式；（3）如果x为整数，分式的值为整数，求所有符合条件的x的值．【答案】（1）真；（2）x﹣2+；（3）﹣1或﹣3或11或﹣15．【解答】解：（1）分式是真分式；故答案为：真；（2）；（3）原式＝，∵分式的值为整数，∴x+2＝±1或±13，∴x＝﹣1或﹣3或11或﹣15．13．（2023秋•涟源市月考）已知，求的值．解：由已知可得x≠0，则，即x+．∵＝（x+）2﹣2＝32﹣2＝7，∴．上面材料中的解法叫做“倒数法”．请你利用“倒数法”解下面的题目：（1）求，求的值；（2）已知，求的值；（3）已知，，，求的值．【答案】（1）；（2）24；（3）．【解答】解：（1）由，知x≠0，∴．∴，x•＝1．∵＝x2+＝（x﹣）2+2＝42+2＝18．∴＝．（2）由＝，知x≠0，则＝2．∴x﹣3+＝2．∴x+＝5，x•＝1．∵＝x2+1+＝（x+）2﹣2+1＝52﹣1＝24．∴＝．（3）由，，，知x≠0，y≠0，z≠0．则＝，＝，y+zyz＝1，∴+＝，+＝，+＝1．∴2（++）＝++1＝．∴++＝．∵＝++＝，∴＝．14．（2022秋•兴隆县期末）设．（1）化简M；（2）当a＝3时，记M的值为f（3），当a＝4时，记M的值为f（4）．①求证：；②利用①的结论，求f（3）+f（4）+…+f（11）的值；③解分式方程．【答案】（1）；（2）①见解析，②，③x＝15．【解答】解：（1）＝＝＝＝＝；（2）①证明：；②f（3）+f（4）+⋅⋅⋅+f（11）＝＝＝＝；③由②可知该方程为，方程两边同时乘（x+1）（x﹣1），得：，整理，得：，解得：x＝15，经检验x＝15是原方程的解，∴原分式方程的解为x＝15．15．（2023春•蜀山区校级月考）【阅读理解】对一个较为复杂的分式，若分子次数比分母大，则该分式可以拆分成整式与分式和的形式，例如将拆分成整式与分式：方法一：原式＝＝＝x+1+2﹣＝x+3﹣；方法二：设x+1＝t，则x＝t﹣1，则原式＝＝．根据上述方法，解决下列问题：（1）将分式拆分成一个整式与一个分式和的形式，得＝；（2）任选上述一种方法，将拆分成整式与分式和的形式；（3）已知分式与x的值都是整数，求x的值．【答案】（1）；（2）；（3）﹣35或43或﹣9或17或1或7或3或5．【解答】解：（1）由题知，，故答案为：．（2）选择方法一：原式＝＝．选择方法二：设x﹣1＝t，则x＝t+1，则原式＝＝＝＝＝．（3）由题知，原式＝＝＝＝．又此分式与x的值都是整数，即x﹣4是39的因数，当x﹣4＝±1，即x＝3或5时，原分式的值为整数；当x﹣4＝±3，即x＝1或7时，原分式的值为整数；当x﹣4＝±13，即x＝﹣9或17时，原分式的值为整数；当x﹣4＝±39，即x＝﹣35或43时，原分式的值为整数；综上所述：x的值为：﹣35或43或﹣9或17或1或7或3或5时，原分式的值为整数．16．（2023春•兰州期末）阅读下列材料：通过小学的学习我们知道，分数可分为“真分数”和“假分数”，而假分数都可以化为带分数，如：．我们定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”．如，这样的分式就是假分式；再如：这样的分式就是真分式．类似的，假分式也可以化为带分式（即：整式与真分式的和的形式），如：．解决下列问题：（1）分式是真分式（填“真分式”或“假分式”）；（2）将假分式化为整式与真分式的和的形式：＝2+．若假分式的值为正整数，则整数a的值为1，0，2，﹣1；（3）将假分式化为带分式（写出完整过程）．【答案】（1）真分式；（2）2+；1，2，﹣1；（3）x﹣1﹣．【解答】解：（1）由题意得：分式是真分式，故答案为：真分式；（2）＝＝2+，当2+的值为正整数时，2a﹣1＝1或±3，∴a＝1，2，﹣1；故答案为：2+；1，2，﹣1；（3）原式＝＝＝x﹣1﹣．1．（2023•湖州）若分式的值为0，则x的值是（）A．1B．0C．﹣1D．﹣3【答案】A【解答】解：∵分式的值为0，∴x﹣1＝0，且3x+1≠0，解得：x＝1，故选：A．2．（2023•天津）计算的结果等于（）A．﹣1B．x﹣1C．D．【答案】C【解答】解：＝＝＝＝，故选：C．3．（2023•镇江）使分式有意义的x的取值范围是x≠5．【答案】x≠5．【解答】解：当x﹣5≠0时，分式有意义，解得x≠5，故答案为：x≠5．4．（2023•上海）化简：﹣的结果为2．【答案】2．【解答】解：原式＝＝＝2，故答案为：2．5．（2023•安徽）先化简，再求值：，其中x＝．【答案】x+1，．【解答】解：原式＝＝x+1，当x＝﹣1时，原式＝﹣1+1＝．6．（2023•广安）先化简（﹣a+1）÷，再从不等式﹣2＜a＜3中选择一个适当的整数，代入求值．【答案】；﹣1．【解答】解：（﹣a+1）÷＝•＝．∵﹣2＜a＜3且a≠±1，∴a＝0符合题意．当a＝0时，原式＝＝﹣1．7．（2023•淮安）先化简，再求值：÷（1+），其中a＝+1．【答案】，．【解答】解：原式＝÷（+）＝÷＝•＝，当a＝+1时，原式＝＝．8．（2023•朝阳）先化简，再求值：（+）÷，其中x＝3．【答案】，1．【解答】解：原式＝[+]•＝•＝，当x＝3时，原式＝＝1．。
2025年中考数学考点分类专题归纳之分式
2025年中考数学考点分类专题归纳分 式要点一、分式的有关概念及性质1．分式一般地，如果A 、B 表示两个整式，并且B 中含有字母，那么式子A B叫做分式，其中A 叫做分子，B 叫做分母. 2.分式的基本性质（M 为不等于0的整式）.3．最简分式 分子与分母没有公因式的分式叫做最简分式.如果分子分母有公因式，要进行约分化简.要点二、分式的运算1．约分利用分式的基本性质，把一个分式的分子和分母的公因式约去，不改变分式的值，这样的分式变形叫做分式的约分.2．通分利用分式的基本性质，使分子和分母同乘适当的整式，不改变分式的值，把异分母的分式化为同分母的分式，这样的分式变形叫做分式的通分． 3．基本运算法则分式的运算法则与分数的运算法则类似,具体运算法则如下:（1）加减运算 a b a b c c c±±= ；同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减. a c ad bc b d bd±±=；异分母的分式相加减，先通分，变为同分母的分式，再加减. （2）乘法运算：a c ac b d bd ⋅=，其中a 、b 、c 、d 是整式，bd ≠0.两个分式相乘，把分子相乘的积作为积的分子，把分母相乘的积作为积的分母.（3）除法运算：a c a d ad b d b c bc÷=⋅=，其中a 、b 、c 、d 是整式，bcd ≠0. 两个分式相除，把除式的分子和分母颠倒位置后，与被除式相乘.（4）乘方运算： nn n a a b b ⎛⎫= ⎪⎝⎭分式的乘方，把分子、分母分别乘方。
4．零指数5．负整数指数1p p a a -=（a ≠0，p 为正整数）6．分式的混合运算顺序先算乘方，再算乘除，最后加减，有括号先算括号里面的．1．（2024•武汉）若分式在实数范围内有意义，则实数x 的取值范围是（ ）A ．x ＞﹣2B ．x ＜﹣2C ．x ＝﹣2D ．x ≠﹣22．（2024•温州）若分式的值为0，则x 的值是（ ）A ．2B ．0C ．﹣2D ．﹣53．（2024•葫芦岛）若分式的值为0，则x 的值为（ ）A ．0B ．1C ．﹣1D ．±14．（2024•莱芜）若x ，y 的值均扩大为原来的3倍，则下列分式的值保持不变的是（）A ．B ．C ．D ．5．（2024•株洲）下列运算正确的是（ ）A ．2a+3b ＝5abB ．（﹣ab ）2＝a 2bC ．a 2•a 4＝a 8D ．6．（2024•曲靖）下列计算正确的是（ ）A．a2•a＝a2B．a6÷a2＝a3C．a2b﹣2ba2＝﹣a2b D．（）37．（2024•河北）老师设计了接力游戏，用合作的方式完成分式化简，规则是：每人只能看到前一人给的式子，并进行一步计算，再将结果传递给下一人，最后完成化简．过程如图所示：接力中，自己负责的一步出现错误的是（）A．只有乙B．甲和丁C．乙和丙D．乙和丁8．（2024•淄博）化简的结果为（）A．B．a﹣1 C．a D．19．（2024•南充）已知3，则代数式的值是（）A．B．C．D．10．（2024•内江）已知：，则的值是（）A．B．C．3 D．﹣311．（2024•北京）如果a﹣b＝2，那么代数式（b）•的值为（）A．B．2C．3D．412．（2024•孝感）已知x+y＝4，x﹣y，则式子（x﹣y）（x+y）的值是（）A．48 B．12C．16 D．12 13．（2024•沙坪坝区）计算：（π﹣3）0﹣（）﹣2＝___ _．14．（2024•盐城）要使分式有意义，则x的取值范围是_____．15．（2024•湖州）当x＝1时，分式的值是_ ．16．（2024•沈阳）化简：．17．（2024•大庆）已知，则实数A＝__ _．18．（2024•包头）化简：（1）＝_ ．19．（2024•昆明）若m3，则m2___．20．（2024•永州）化简：（1）_ _．21．（2024•福建）计算：（）0﹣1＝___．22．（2024•南通）计算：（1）（﹣2）2（﹣3）0﹣（）﹣2；（2）．23．（2024•湖北）化简：•．24．（2024•百色）已知a2＝19，求的值．25．（2024•山西）计算：（1）（2）2﹣|﹣4|+3﹣1×6+20．（2）•．26．（2024•徐州）计算：（1）﹣12+20240﹣（）﹣1；（2）．27．（2024•益阳）化简：（x﹣y）•．28．（2024•陕西）化简：（）．29．（2024•十堰）化简：30．（2024•南京）计算（m+2）．31．（2024•泸州）化简：（1）．32．（2024•黑龙江）先化简，再求值：（a），其中a，b＝1．33．（2024•重庆）计算：（1）（x+2y）2﹣（x+y）（x﹣y）；（2）（a﹣1）34．（2024•万州区）计算（1）（x+2y）（x﹣2y）+4y（x+y）（2）（y﹣1）．35．（2024•铁岭）先化简，再求值：（a+2），其中a．36．（2024•辽阳）先化简，再求值：（），其中a＝2cos30°+（）﹣1﹣（π﹣3）037．（2024•葫芦岛）先化简，再求值：（），其中a＝3﹣1+2sin30°．38．（2024秋•沙坪坝区校级月考）先化简，再求值：（a+1），其中a＝2（tan45°﹣cos30°）39．（2024•广元）先化简，再求值：（），其中a2．40．（2024•锦州）先化简，再求值：（2），其中x＝3．41．（2024•青海）先化简，再求值：（1），其中m＝2．42．（2024•毕节市）先化简，再求值：，其中a是方程a2+a﹣6＝0的解．。
中考专题复习《分式方程》巩固练习(真题)含答案
中考专题复习《分式方程》巩固练习（真题）含答案一、单选题1、下面是分式方程的是（）A、B、C、D、2、（2016•海南）解分式方程，正确的结果是（）A、x=0B、x=1C、x=2D、无解3、若（x+y）（1﹣x﹣y）+6=0，则x+y的值是（）A、2B、3C、﹣2或3D、2或﹣34、（2016•十堰）用换元法解方程﹣=3时，设=y，则原方程可化为（）A、y= ﹣3=0B、y﹣﹣3=0C、y﹣+3=0D、y﹣+3=05、关于x的分式方程的解为正数，则字母a的取值范围为（）A、a≥1且a≠2B、a＞1且a≠2C、a≥1D、a＞16、（2016•贺州）若关于x的分式方程的解为非负数，则a的取值范围是（）A、a≥1B、a＞1C、a≥1且a≠4D、a＞1且a≠47、已知a，b为实数，（a2+b2）2﹣（a2+b2）﹣6=0，则代数式a2+b2的值为（）A、2B、3C、﹣2D、3或﹣28、（2016•重庆）从﹣3，﹣1，，1，3这五个数中，随机抽取一个数，记为a，若数a使关于x的不等式组无解，且使关于x的分式方程﹣=﹣1有整数解，那么这5个数中所有满足条件的a的值之和是（）A、﹣3B、﹣2C、﹣D、9、（2016•青海）穿越青海境内的兰新高铁极大地改善了沿线人民的经济文化生活，该铁路沿线甲，乙两城市相距480km，乘坐高铁列车比乘坐普通快车能提前4h到达，已知高铁列车的平均行驶速度比普通列车快160km/h，设普通列车的平均行驶速度为xkm/h，依题意，下面所列方程正确的是（）A、﹣=4B、=4C、=4D、=410、（2015•南宁）对于两个不相等的实数a、b，我们规定符号Max{a，b}表示a、b中的较大值，如：Max{2，4}=4，按照这个规定，方程Max{x，﹣x}=的解为（）A、1-B、2-C、1+或1-D、1+或﹣111、（2016•梅州）对于实数a、b，定义一种新运算“⊗”为：a⊗b= ，这里等式右边是实数运算．例如：1⊗3= ．则方程x⊗（﹣2）= ﹣1的解是（）A、x=4B、x=5C、x=6D、x=712、（2016•重庆）如果关于x的分式方程﹣3= 有负分数解，且关于x的不等式组的解集为x＜﹣2，那么符合条件的所有整数a的积是（）A、﹣3B、0C、3D、913、下列说法：①解分式方程一定会产生增根；②方程=0的根为2；③方程的最简公分母为2x（2x﹣4）；④x+=1+是分式方程．其中正确的个数是（）A、1个B、2个C、3个D、4个14、小华在做解方程作业时，不小心将方程中的一个常数弄脏了而看不清楚，被弄脏的方程是.( -＋x)＝1－，这该怎么办呢？他想了一想，然后看了一下书后面的答案，知道此方程的解是x＝5，于是，他很快便补好了这个常数，并迅速地做完了作业。
计算专题——分式综合 2023年九年级数学中考复习
计算专题——分式综合 九年级数学中考复习1．阅读下列材料学习“分式方程及其解法”的过程中，老师提出一个问题：若关于x 的分式方程14ax =-的解为正数，求a 的取值范围．经过独立思考与分析后，小明和小聪开始交流解题思路，小明说：解这个关于x 的方程，得到方程的解为4x a =+，由题目可得40a +>，所以4a >-，问题解决．小聪说：你考虑的不全面，还必须0a ≠才行． （1）请回答： 的说法是正确的，正确的理由是 ． 完成下列问题： （2）已知关于x 的方程233m xx x-=--的解为非负数，求m 的取值范围； （3）若关于x 的方程322133x nx x x --+=---无解，求n 的值．2．阅读下列材料：关于x 的方程11x c x c +=+的解是1211,(x c x x c==，2x 表示未知数x 的两个实数解，下同）；22x c x c +=+的解是122,x c x c ==；33x c x c +=+的解是123,x c x c==． 请观察上述方程与解的特征，比较关于x 的方程(0)m mx c m x c+=+≠与它们的关系，猜想它的解是 ．由上述的观察、比较、猜想，可以得出结论：如果方程的左边是未知数与其倒数的倍数的和，方程右边的形式与左边完全相同，只是把其中的未知数换成了某个常数，那么这样的方程可以直接得解．请用这个结论解关于x 的方程： （1）1265x x +=； （2）2211x a x a +=+--； （3）2131462a a x x a+++=-．3．我们把形如(mnx m n m x+=+，n 不为零），且两个解分别为1x m =，2x n =的方程称为“十字分式方程”． 例如65x x +=为十字分式方程，可化为2323x x ⨯+=+，12x ∴=，23x =． 再如78x x +=-为十字分式方程，可化为(1)(7)(1)(7)x x-⨯-+=-+-． 11x ∴=-，27x =-．应用上面的结论解答下列问题： （1）若107x x+=-为十字分式方程，则1x = ，2x = ． （2）若十字分式方程45x x -=-的两个解分别为1x a =，2x b =，求1b aa b++的值． （3）若关于x 的十字分式方程232321k k x k x --=--的两个解分别为1x ，212(3,)x k x x >>，求124x x +的值．4．新定义：对非负实数x “四舍五入”到个位数的值记为x <> 即：当n 为非负整数时，如果1122n x n -+，则x n <>=． 反之，当n 为非负整数时，如果x n <>=，则1122n x n -<+ 例如：00.480<>=<>=，0.64 1.491<>=<>=，22<>=， 3.5 4.124<>=<>=，⋯ 试解决下列问题： 填空：①π<>= (π为圆周率）；②如果13x <->=，则实数x 的取值范围为 ；③若关于x 的不等式组24130x x a x -⎧-⎪⎨⎪<>->⎩的整数解恰有4个，求a 的取值范围；④关于x 的分式方程112221m x x x -<>+=--有正整数解，求m 的取值范围； ⑤求满足65x x <>=的所有非负实数x 的值．5．定义：若分式M 与分式N 的和等于它们的积，即M +N ＝MN ，则称分式M 与分式N 互为“关联分式”．如21x x +与21x x -，因为()222422111(1)11x x x x x x x x x x x +==⋅+-+-+-所以21xx +与21xx -互为“关联分式”，其中一个分式是另外一个分式的“关联分式”． （1）分式221a + 分式221a -的“关联分式”（填“是”或“不是”）； （2）求分式()02aab a b≠-的“关联分式”； （3）若分式224ab a b -是分式22aa b+的“关联分式”，ab ≠0，求分式222a b ab -的值．6．阅读材料：对于非零实数a ，b ，若关于x 的分式()()x a x b x--的值为零，则解得1x a =，2x b =．又因为2()()()()x a x b x a b x ab abx a b x x x---++==+-+，所以关于x 的方程()ab x a b x +=+，的解为1x a =，2x b =．（1）理解应用：方程22233x x +=+的解为：1x = ，2x = ；（2）知识迁移：若关于x 的方程35x x+=的解为1x a =，2x b =，求22a b +的值；（3）拓展提升：若关于x 的方程41k x x =--的解为1x ，2x ，且121x x =，求k 的值．7．由完全平方公式222()2a b a ab b -=-+可知，222()2a b a b ab +=-+，而2()0a b -，所以，对所有的实数a ，b 都有：222a b ab +，且只有当a b =时，才有等号成立：222a b ab +=． 应用上面的结论解答下列问题：（1）计算21()x x-= ，由此可知221x x + 2（填不等号）；（2）已知m ，n 为不相等的两正数，试比较：(1%)(1%)m n ++与(1%)(1%)22m n m n++++的大小；（3）试求分式24224x x x -+的最大值．8．如果两个分式M 与N 的和为常数k ，且k 正整数，则称M 与N 互为“和整分式”，常数k 称为“和整值”．如分式1x M x =+，11N x =+，111x M N x ++==+，则M 与N 互为“和整分式”，“和整值” 1k =．（1）已知分式72x A x -=-，22696x x B x x ++=+-，判断A 与B 是否互为“和整分式”，若不是，请说明理由；若是，请求出“和整值” k ； （2）已知分式342x C x -=-，24G D x =-，C 与D 互为“和整分式”，且“和整值” 3k =，若x 为正整数，分式D 的值为正整数t ．①求G 所代表的代数式； ②求x 的值；（3）在（2）的条件下，已知分式353x P x -=-，33mx Q x-=-，且P Q t +=，若该关于x 的方程无解，求实数m 的值．9．我们定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”．如21,11x x x x -+-这样的分式就是假分式；再如：232,11xx x ++这样的分式就是真分式类似的，假分式也可以化为带分式（即:整式与真分式的和的形式）．如：1(1)221111x x x x x -+-==-+++；再如：2211(1)(1)1111111x x x x x x x x x -++-+===++----． 解决下列问题：（1）下列分式中属于“真分式”的有 ；（填序号）①2x ；②211x x -+；③211x x x -+-（2）将假分式22x x +化为带分式的形式；（3）如果211x x -+的值为整数，求x 的整数值．10．对于形如kx m x+=的分式方程，若k ab =，m a b =+，容易检验1x a =，2x b =是分式方程ab x a b x +=+的解，所以称该分式方程为“易解方程”．例如：23x x+=可化为1212x x ⨯+=+，容易检验11x =，22x =是方程的解，∴23x x +=是“易解方程”：又如65x x +=-可化为(2)(3)23x x --+=--，容易检验13x =-，22x =-是方程的解，∴65x x+=-也是“易解方程”．根据上面的学习解答下列问题： （1）判断56x x+=-是不是“易解方程”，若是“易解方程”，求该方程的解1x ，212()x x x <；若不是，说明理由．（2）若1x m =，2x n =是“易解方程” 34x x -=的两个解，求11m n+的值； （3）设n 为自然数，若关于x 的“易解方程” 223352n nx n x ++=+-的两个解分别为1x ，212()x x x <，求211x x -的值．答案版： 1【解答】解：（1）分式方程的解不能是增根，即不能使分式的分母为0，∴小聪说得对，分式的分母不能为0；（2）233m xx x-=--， 233m xx x +=--， 2(3)m x x +=-， 6x m =+，解为非负数，60m ∴+，即6m -，又30x -≠，63m ∴+≠，即3m ≠-，6m ∴-且3m ≠-；（3）322133x nx x x --+=---， 322(3)x nx x -+-=--， (1)2n x -=，原方程无解， 10n ∴-=或3x =，①当10n -=时，解得1n =； ②当3x =时，解得53n =； 综上所述：当1n =或53n =时原方程无解． 2． 【解答】解：11x c x c +=+的解是121,x c x c==； 22x c x c +=+的解是122,x c x c ==； 33x c x c +=+的解是123,x c x c==； ∴(0)m m x c m x c +=+≠的解是1x c =，2mx c=，故答案为：1x c =，2m x c=； （1）1265x x +=， 1155x x ∴+=+， 15x ∴=，215x =； （2）2211x a x a +=+--， 221111x a x a ∴-+=-+--， 11x a ∴-=-或211x a -=- 1x a ∴=，211a x a +=-； （3）2131462a a x x a +++=-， 2131223a a x x a ++∴+=-， 112323x a x a∴+=++-，112323x a x a∴-+=+-， 23x a ∴-=或123x a-=， 132a x +∴=，2312a x a +=．3．【解答】（1）解：方程107x x+=-是十字分式方程，可化为： (2)(5)(2)(5)x x-⨯-+=-+-， 12x ∴=-，25x =-，故答案为：2-，5-． （2）解：十字分式方程45x x-=-的两个解分别为：1x a =，2x b =， 4ab ∴=-，5a b +=-，∴1b a a b++ 221b a ab+=+，2()21a b ab ab +-=+， 2()21a b ab +=-+， 2(5)14-=--， 294=-． （3）解：方程232321k k x k x --=--是十字分式方程，可化为： (23)1(23)1k k x k k x --+=+--， 当3k >时，2330k k k --=->， 关于x 的十字分式方程232321k k x k x --=--的两个解分别为：1x ，212(3,)x k x x >>，1123x k ∴-=-，21x k -=， 122x k ∴=-，21x k =+ ，∴124224222(1)2111x k k k x k k k +-+++====+++． 4． 【解答】解：①由题意可得：3n <>=； 故答案为：3， ②13x <->=， 2.51 3.5x ∴-<， 3.5 4.5x ∴<； 故答案为：3.5 4.5x <； ③解不等式组得：1x a -<<>， 由不等式组整数解恰有4个得，23a <<>， 故2.5 3.5a <； ④解方程得22x m =-<>， 2m -<>是整数，x 是正整数，21m ∴-<>=或2， 21m -<>=时，2x =是增根，舍去． 22m ∴-<>=， 0m ∴<>=， 00.5m ∴<． ⑤0x ，65x 为整数，设65x k =，k 为整数， 则56x k =， 56k k ∴<>=， 151262k k k ∴-+，0k ， 03k ∴， 0k ∴=，1，2，3 则0x =，56，53，52． 5． 【解答】解：（1）+ ＝ ＝ ＝ ＝， ∴分式是分式的“关联分式”；故答案为：是；（2）设分式的“关联分式”为N，则有，∴，∴，∵ab≠0，∴，∴分式的“关联分式”为；（3）∵分式是分式的“关联分式”，∴∵ab≠0，∴b2＝8a2∴，∴．6．【解答】解：（1）abx a bx+=+的解为1x a=，2x b=，∴222233xxx x+=+=+的解为3x=或23x=，故答案为：3，23；（2）35xx+=，5a b∴+=，3ab=，222()225619a b a b ab∴+=+-=-=；（3）41k xx=--可化为2(1)40x k x k-+++=，121x x=，41k∴+=，3k∴=-．7． 【解答】解：（1）4222121()x x x x x -+-=， 2212x x ∴+， 故答案为：42221x x x -+，； （2）(1%)(1%)1%%%%m n m n m n ++=+++⋅， 2(1%)(1%)12%(%)2222m n m n m n m n ++++++=+⋅+，2222()()24242m n m mn n m n mn mn +--=++-=， 又m n ≠， (1%)(1%)(1%)(1%)22m n m n m n ++∴++<++； （3）当0x =时，242024x x x =-+， 当0x ≠时，242222211442422x x x x x x x ==-+-++-，()22242242,x x x x x +==当时等号成立， ∴2421124422x x x =-+-， ∴224212,242x x x x =-+当时的最大值为． 8． 【解答】解：（1）72x A x -=-，22696x x B x x ++=+-， ∴2227697(3)732(2)2262(3)(2)222x x x x x x x x A B x x x x x x x x x -++-+-+-+=+=+=+==-+--+----．A ∴与B 是互为“和整分式”，“和整值” 2k =； （2）①342xC x -=-，24GD x =-， ∴2(34)(2)328(2)(2)(2)(2)(2)(2)x x G x x G C D x x x x x x -++-++=+=-+-+-+， C 与D 互为“和整分式”，且“和整值” 3k =， 223283(2)(2)312x x G x x x ∴+-+=-+=-， 2231232824G x x x x ∴=---+=--；②22(2)24(2)(2)2G x D x x x x -+===--+--，且分式D 的值为正整数t ．x 为正整数， 21x ∴-=-或22x -=-， 1(0x x ∴==舍去）； （3）由题意可得：2212t D ==-=-， ∴353233x mx P Q x x --+=+=--， ∴35323x mx x --+=-， (3)226m x x ∴--=-， 整理得：(1)4m x -=-， 方程无解， 10m ∴-=或方程有增根3x =， 解得：1m =， 当10m -≠，方程有增根3x =， ∴431m -=-， 解得：73m =， 综上：m 的值为：1或73． 9． 【解答】解：（1）由题意可得：①是“真分式”；②③都是“假分式”． 故答案为：①； （2）2244(2)(2)4422222x x x x x x x x x -++-+===-+++++； （3）212(1)332111x x x x x -+-==-+++， 211x x -+的值为整数， ∴31x +的值为整数， 3∴是(1)x +的倍数， x ∴的整数值为4-、2-、0、2． 10．【解答】解：（1）56x x +=-是“易解方程”，理由： 56x x +=-可化为(5)(1)51x x --+=--， 51-<-， ∴56x x +=-是“易解方程”． ∴方程的解为15x =-，21x =-； （2）1x m =，2x n =是“易解方程” 34x x -=的两个解，3mn ∴-=，4m n =+， 则114433n m m n mn ++===--； （3）设2y x =-，方程可化为(23)23n n y n n y ++=++，2232332n n x n x +-+=+-是“易解方程”， n ∴和23n +是这个方程的解， n 为自然数， 23n n ∴<+， ∴必有12x n -=，2223x n -=+， 12x n ∴=+，225x n =+， ∴21125122x n x n -+-==+．。
中考数学复习专题综合过关检测—分式方程及应用(含解析)
中考数学复习专题综合过关检测—分式方程及应用（含解析）（考试时间：90分钟，试卷满分：100分）一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分）。
1．（2023•天涯区一模）把分式方程﹣＝1化为整式方程正确的是（）A．1﹣（1﹣x）＝1B．1+（1﹣x）＝1C．1﹣（1﹣x）＝x﹣2D．1+（1﹣x）＝x﹣2【答案】D【解答】解：方程变形得：+＝1，去分母得：1+（1﹣x）＝x﹣2，故选：D．2．（宝应县二模）初三（1）班在今年的植树节领有平均每人植树6棵的任务，如果只由女同学完成，每人应植树15棵，如果只由男同学完成，每人应植树的棵数为（）A．9B．10C．12D．14【答案】B【解答】解：设单独由男生完成，每人应植树x棵．那么根据题意可得出方程：，解得：x＝10．检验得x＝10是方程的解．因此单独由男生完成，每人应植树10棵．故选：B．3．（2023•邵阳县一模）分式方程＝的解是（）A．x＝3B．x＝﹣1C．x＝1D．x＝﹣3【答案】D【解答】解：去分母得，3（x+1）＝2x，去括号得，3x+3＝2x，移项得，x＝﹣3，检验：把x＝﹣3代入x（x+1）＝﹣3（﹣3+1）＝6≠0，∴x＝﹣3是原方程的解，故选：D．4．（2023•武威三模）在创建文明城市的进程中，某市为美化城市环境，计划种植树木50万棵，由于志愿者的加入，实际每天植树比原计划多30%，结果提前2天完成任务，设原计划每天植树x万棵，由题意得到的方程是（）A．B．C．D．【答案】A【解答】解：由题意可得，＝2，故选：A．5．（2023•龙江县校级三模）若关于x的分式方程无解，则a的值为（）A．0B．1C．﹣1或0D．0或1【答案】D【解答】解：，方程两边同时乘以x﹣2，得1﹣a＝2ax﹣4a，移项、合并同类项，得2ax ＝3a +1，∵方程无解，∴2a ＝0或＝2，解得a ＝0或a ＝1．故选：D ．6．（2023•环翠区一模）若关于x 的分式方程﹣1＝有增根，则a 的值为（）A ．﹣3B ．3C ．2D ．﹣【答案】A【解答】解：方程两边都乘以（x ﹣2）得：6﹣（x ﹣2）＝﹣ax ，解得：x ＝，∵方程有增根，∴x ﹣2＝0，∴x ＝2，∴＝2，解得：a ＝﹣3．故选：A ．7．（2023•东港区校级三模）某班级为做好疫情防控，班委会决定拿出班费中的a 元给同学们购买口罩，由于药店对学生购买口罩每包优惠2元，结果比原计划多买了5包口罩．设原计划购买口罩x 包，则依题意列方程为（）A ．B ．C ．D ．【答案】B【解答】解：设原计划购买口罩x 包，则实际购买口罩（x +5）包，依题意得：＝+2．故选：B．8．（2023•吴桥县校级模拟）“若关于x 的方程无解，求a的值．”尖尖和丹丹的做法如下：尖尖：去分母得：ax＝12+3x﹣9，移项得：ax﹣3x＝12﹣9，合并同类项得：（a﹣3）x＝3，∵原方程无解，∴a﹣3＝0，∴a＝3．丹丹：去分母得：ax＝12+3x﹣9，移项，合并同类项得：（a﹣3）x＝3，解得：x＝，∵原方程无解，∴x为增根，∴3x﹣9＝0，解得x＝3，∴＝3，解得a＝4．下列说法正确的是（）A．尖尖对，丹丹错B．尖尖错，丹丹对C．两人都错D．两人的答案合起来才对【答案】D【解答】解：去分母得：ax＝12+3x﹣9，移项，合并同类项得：（a﹣3）x＝3，∵原方程无解，∴x为增根或a﹣3＝0，当3x﹣9＝0，解得x＝3，此时＝3，解得a＝4；当a﹣3＝0，解得a＝3；综上所述：a的值为3或4，故选：D．9．（2023•义乌市模拟）若分式的值为1，则x的值是（）A．5B．4C．3D．1【答案】A【解答】解：根据题意得：＝1，去分母得：x﹣2＝3，解得：x＝5，检验：把x＝5代入得：x﹣2≠0，∴分式方程的解为x＝5．故选：A．10．（2023•黄埔区校级二模）在正数范围内定义一种运算“※”，其规定则为a※b＝，如2※4＝，根据这个规则，则方程3※（x+1）＝1的解为（）A．B．1C．﹣1D．﹣【答案】A【解答】解：由题意得：3※（x+1）＝．∵3※（x+1）＝1，∴．∴x+1+3＝3（x+1）．∴x+4＝3x+3．∴﹣2x＝﹣1．∴x＝．当x＝时，3（x+1）≠0．∴这个方程的解为x＝．故选：A．二、填空题(本题共6题，每小题2分，共12分）11．（2023•柳州三模）分式方程的解是x＝﹣2．【答案】x＝﹣2．【解答】解：，方程两边都乘x（x﹣3），得2（x﹣3）＝5x，解得：x＝﹣2，检验：当x＝﹣2时，x（x﹣3）≠0，所以x＝﹣2是分式方程的解．故答案为：x＝﹣2．12．（2023•梁山县模拟）“孔子周游列国”是流传很广的故事．有一次他和学生到离他们住的驿站30里的书院参观，学生步行出发1小时后，孔子坐牛车出发，牛车的速度是步行的1.5倍，孔子和学生们同时到达书院，设学生步行的速度为每小时x里，则可列方程为．【答案】．【解答】解：设学生步行的速度为每小时x里，则牛车的速度是每小时1.5x里，∵学生早出发1小时，孔子和学生们同时到达书院，∴，故答案为：．13．（2023•建湖县一模）关于x的分式方程＝2的解为正数，则a的取值范围是a＜4且a≠2．【答案】a＜4且a≠2．【解答】解：去分母得：1﹣（a﹣1）＝2（x﹣1），解得：x＝2﹣a，由分式方程的解为正数，得到2﹣a＞0，且2﹣a≠1，解得：a＜4且a≠2，故答案为a＜4且a≠2．14．（2023•盐田区二模）当x＝﹣8时，分式的值为2．【答案】﹣8．【解答】解：根据题意得：＝2，去分母得：x﹣2＝2（x+3），解得：x＝﹣8，检验：把x＝﹣8代入得：x+3≠0，∴分式方程的解为x＝﹣8，则当x＝﹣8时，分式的值为2．故答案为：﹣8．15．（2023•市北区三模）甲、乙两人同时从学校出发，去距离学校15千米的农场参加劳动．甲的速度是乙的1.2倍，结果甲比乙早到10分钟，求甲和乙的速度各是多少？设乙的速度为x千米/小时，则根据题意可列方程为．【答案】．【解答】解：设乙的速度为x千米/小时，则甲的速度为1.2x千米/小时，根据题意得：．故答案为：．16．（2023•九龙坡区校级模拟）若关于x的不等式组有且仅有四个整数解，关于y的分式方程+＝1有整数解，则符合条件的所有整数a的和是﹣10．【答案】﹣10，【解答】解：关于x的不等式组整理得，∵关于x的不等式组有且仅有四个整数解，∴1≤＜2，∴﹣8＜a≤﹣3，解分式方程得y＝且≠2，∵关于y的分式方程有整数解，且a为整数，∴符合条件的所有整数a为﹣7，﹣3，∴符合条件的所有整数a的和为：﹣7﹣3＝﹣10．故答案为：﹣10．三、解答题（本题共7题，共58分）。
2025年天津市中考数学一轮复习：分式(附答案解析)
2025 年天津市中考数学一轮复习：分式
参考答案与试题解析
一．选择题（共 10 小题）
�+�
1．分式
中，当 x＝﹣a 时，下列结论正确的是（
3�−1
）
A．分式的值为零
B．分式无意义
1
C．若 a≠− 3时，分式的值为零
1
D．若 a≠ 3时，分式的值为零
【考点】分式的值为零的条件；分式的定义；分式有意义的条件．
【专题】运算能力．
【答案】C
【分析】当 x＝﹣a 时，分式的分子是 0 即分式的值是 0，但前提是只有在保证分式的分
母不为 0 时，分式才有意义．
1
【解答】解：由 3x﹣1≠0，得 x≠ 3，
故把 x＝﹣a 代入分式
故选：C．
�+�
3�−1
1
1
中，当 x＝﹣a 且﹣a≠ 3时，即 a≠− 3时，分式的值为零．
1
B．
3
�2
�4 +1
）
ℎ
C．
�+�
ℎ
D．
�+ℎ
的值是（
�
C．
�+�
�
D．
�+�
）
C．7
|�|−1
6．如果分式
的值为 0，那么 x 的值为（
�+1
A．﹣1
A．段①
）
B．1
7．如图，若 x 为正整数，则表示
(�+2)2
�2 +4�+4
B．段②
）
−
C．﹣1 或 1
1
�+1
的值的点落在（
C．段③
第 1页（共 12页）
中考总复习分式
分式（一）【知识链接】1 ．分式的概念用 A ，B 表示两个整式， A ÷ B 可以表示成 A 的形式，若 B 中含有字母，式子A就叫做分式．2 ．分式的基本性质BBA = A M , AAM（其中 M 是不等于零的整式） B BM BB M3 ．分式的符号法则 ab=ababa ．b4 ．分式的运算（ 1）加减法：aba b , a c ad bc ． ccc bd bdac ac a c ad ad（ 2）乘除法：·,b d gbcbd bdb c（ 3）乘方（ a）n=a n（ n 为正整数）bb n5 ．约分根据分式的基本性质，把分式的分子和分母中 公因式约分，叫做约分．6 ．通分根据分式的基本性质， ?把异分母的分式化成和原来的分式分别相等的同分母的分式，叫做通分．7 ．分式方程的概念分母中含有未知数的有理方程叫做分式方程．8 ．解分式方程的基本思想方法去分母 分式方程整式方程 ．换元9 ．解分式方程时可能产生增根，因此，求得的结果必须检验10 ．列分式方程解应用题的步骤和注意事项 列分式方程解应用题的一般步骤为：①设未知数：若把题目中要求的未知数直接用字母表示出来，则称为直接设未知数，否则称间接设未知数；②列代数式： 用含未知数的代数式把题目中有关的量表示出来， 必要时作出示意图或列成表格，帮助理顺各个量之间的关系；③列出方程：根据题目中明显的或者隐含的相等关系列出方程； ④解方程并检验； ⑤写出答案．注意：由于列方程解应用题是对实际问题的解答，所以检验时除从数学方面进行检验外，还应考虑题目中的实际情况，凡不符合条件的一律舍去．【典例精析】例 1 填空题：（ 1）若分式x 2 4 的值为零，则 x 的值为 ________；x 2x2（ 2）若 a ， b 都是正数，且 1－ 1=2 ,则 a 2 ab ，则 =______．aba b b 2例 2 选择题：（ 1）已知两个分式： A=24 , B 1 2 21，其中 x ≠± 2，那么 A 与 B 的关系是（）x 4 x xA ．相等 B．互为倒数C．互为相反数D ．A 大于 B（ 2）已知abc ,则 2a 3bc的值为（ ）2 343a b cA．－5B．5C．9D ．－9777（ 3）若解分式方程2xm 1 x 1产生增根，则x 1x x xA.1或2B. 1或 2C. 1或2D.1或 2例 3 先化简再求值：a 1 a 2 4 1ag 22a 1 a2，其中2 a17m 的值是（）a 满足 a 2－a=0．例 4 解方程：x2 1 ；x+x2 =8 ．x 1 x 1x 2 x 2 x246y 12y 24y 2y4 y 4 y 24 y 4 y 24例 5已知关于x的方程2x2－kx+1=0的一个解与方程2x 1=4的解相同．1 x（1）求 k 的值；（2）求方程 2x2－kx+1=0 的另一个解．例 6、m 为何值时，关于x 的方程2mx3会产生增根？x 2x 4 x 2分式（二）一、营销类应用性问题例 1某校办工厂将总价值为2000 元的甲种原料与总价值为4800 元的乙种原料混合后，其平均价比原甲种原料0.5kg 少 3 元，比乙种原料0.5kg 多 1 元，问混合后的单价0.5kg 是多少元？分析：市场经济中，常遇到营销类应用性问题，与价格有关的是：单价、总价、平均价等，要了解它们的意义，建立它们之间的关系式．二、工程类应用性问题例 2某工程由甲、乙两队合做 6 天完成，厂家需付甲、乙两队共8700 元，乙、丙两队合做10天完成，厂家需付乙、丙两队共9500 元，甲、丙两队合做 5 天完成全部工程的2 ，厂家需付甲、丙3两队共 5500 元．⑴求甲、乙、丙各队单独完成全部工程各需多少天？⑵若工期要求不超过 15 天完成全部工程，问由哪个队单独完成此项工程花钱最少？请说明理由．分析：这是一道联系实际生活的工程应用题，涉及工期和工钱两种未知量．对于工期，一般情况下把整个工作量看成1，设出甲、乙、丙各队完成这项工程所需时间分别为x 天，y 天，z 天，可列出分式方程组．三、行程中的应用性问题例 3甲、乙两地相距828km，一列普通快车与一列直达快车都由甲地开往乙地，直达快车的平均速度是普通快车平均速度的 1.5 倍．直达快车比普通快车晚出发2h，比普通快车早4h 到达乙地，求两车的平均速度．分析：这是一道实际生活中的行程应用题，基本量是路程、速度和时间，基本关系是路程= 速度×时间，应根据题意，找出追击问题总的等量关系，即普通快车走完路程所用的时间与直达快车由甲地到乙地所用时间相等．四、轮船顺逆水应用问题例 4轮船在顺水中航行30 千米的时间与在逆水中航行20 千米所用的时间相等，已知水流速度为 2 千米／时，求船在静水中的速度分析：此题的等量关系很明显：顺水航行30 千米的时间 = 逆水中航行20 千米的时间，即30千米20千米x 千米／时，又知水流速度，于是顺水航=．设船在静水中的速度为顺水航行速度逆水航行速度行速度、逆水航行速度可用未知数表示，问题可解决．五、浓度应用性问题例 5要在15%的盐水40千克中加入多少盐才能使盐水的浓度变为20%．溶质分析：浓度问题的基本关系是：=浓度．此问题中变化前后三个基本量的关系如下表：溶液设加入盐 x 千克．溶液溶质浓度加盐前4040× 15%15%加盐后40＋x40× 15%＋x20%根据基本关系即可列方程．六、货物运输应用性问题例 6一批货物准备运往某地，有甲、乙、丙三辆卡车可雇用．已知甲、乙、丙三辆车每次运货物量不变，且甲、乙两车单独运这批货物分别运2a 次、a次能运完；若甲、丙两车合运相同次数运完这批货物时，甲车共运了180t ；若乙、丙两车合运相同次数运完这批货物时，乙车共运了270t ．问：⑴乙车每次所运货物量是甲车每次所运货物量的几倍；⑵现甲、乙、丙合运相同次数把这批货物运完时，货主应付车主运费各多少元？( 按每运 1t 付运费 20元计算 )分析：解题思路应先求出乙车与甲车每次运货量的比，再设出甲车每次运货量是丙车每次运货量的 n 倍，列出分式方程．【中考链接】一、选择题1a1．（2011 浙江金华， 7， 3 分）计算 a -1 –a -1 的结果为（）1+a a－ aA.a － 1 B. －a -1C. － 1D.12.（2011 山东威海， 8， 3 分）计算： 1 1 m (m 2 1)的结果是（）1 mA ． m 22m 1B ． m 22m 1C ． m 2 2m 1D ． m 2 13. （ 2011 四川南充市， 8，3 分）当分式x1的值为 0 时， x 的值是（）x 2（ A ）0 （B ）1（C ）－ 1（D ）－ 24. （ 2011 重庆江津， 2 ，4 分）下列式子是分式的是()A.xB.x C.x yD.x2x 12322225.的值等于（ 2011 江苏南通， 10，3 分）设 m ＞ n ＞ 0， m ＋n ＝4mn ，则m nmnA. 23B.3C.6D. 36.（ 2011 山东临沂， 5，3 分）化简（ x －2x - 1）÷（ 1－ 1）的结果是（）xxA ．1B ． x －1C ． x - 1D ．xx xx - 1二、填空题1. （ 2011 浙江省舟山， 11， 4 分）当 x时，分式1 有意义．3 x2xxx2. （2011 山东泰安， 22 ，3 分）化简：（ x+2- x-2 ）÷x 2-4 的结果为 。
中考数学复习《分式》专题训练--附带有答案
中考数学复习《分式》专题训练--附带有答案一、选择题 1．在a−b 2，x(x+3)x，5+x π，a+b a−b中，是分式的有 ( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个2．分式1x 2y ，3y2x 3，2+x3xy 2的最简公分母是（ ） A ．3xyB ．6x 3y 2C ．6x 6y 6D ．x 3y 33．如果把分式2xxy 中的x 和y 都扩大为原来的10倍，那么分式的值（ ） A ．不变B ．扩大为原来的10倍C ．缩小为原来的110倍 D ．缩小为原来的11004．使分式 x 2−1x+1等于0的x 的值是（ ）A ．1B ．−1C ．±1D ．不存在5．已知实数a 、b 满足a+b ＝0，且ab ≠0，则ba +ab 的值为（ ） A ．﹣2B ．﹣1C ．1D ．26．若关于x 的方程 m−1x−1−xx−1=0 有增根，则m 的值是（ ） A ．3B ．2C ．1D ．任意值7．某煤厂原计划x 天生产120吨煤，由于采用新的技术，每天增加生产3吨，因此提前2天完成任务，列出方程为 （ ） A ．120x−2=120x −3 B ．120x=120x+2−3 C ．120x+2=120x−3D ．120x=120x−2−38．关于x 的方程 k2x−4=xx−2 的解为正数，则k 的取值范围是（ ） A ．k ＞0 B ．k ＜0C ．k ＞0且k ≠4D ．k ＜0且k ≠﹣4二、填空题9．约分：3x 3y9x 2y 4= ． 10．化简：a 2a−b+b 2b−a ＝ ． 11．若分式 2x+1 有意义，则 x 的取值范围是 .12．已知关于x的方程x−4x−3−k−4=k3−x无解，则k的值为.13．已知方程2−aa +2=3a，且关于x的不等式组{x≥ax≤b只有3个整数解，那么b的取值范围是.三、解答题14．解方程：（1）2xx+3+1=72x+6（2）1+xx+2=12+x+215．先化简，再求值：(x2x−1−x+1)÷4x2−4x+11−x，其中x=−4．16．已知A=(2x2+2xx2−1−x2−xx2−2x+1)÷xx+1．（1）先化简A，再从1，2，3中选取一个合适的数作为x的值代入求值；（2）判断A的值能不能是−1，并说明理由．17．早晨，小明步行到离家900米的学校去上学，到学校时发现眼镜忘在家中，于是他立即按原路步行回家，拿到眼镜后立即按原路骑自行车返回学校.已知小明步行从学校到家所用的时间比他骑自行车从家到学校所用的时间多10分钟，小明骑自行车速度是步行速度的3倍．（1）求小明步行速度(单位：米/分)是多少；（2）下午放学后，小明骑自行车回到家，然后步行去图书馆，如果小明骑自行车和步行的速度不变，小明步行从家到图书馆的时间不超过骑自行车从学校到家时间的2倍，那么小明家与图书馆之间的路程最多是多少米？18．暑假期间，部分家长组织学生到户外游学实践活动，一名家长带一名学生. 现有甲、乙两家游学机构，其报价相同，每位学生的报价比家长少20元. 按报价计算，家长的总费用为50000元，学生的总费用为48000元.（1）请利用分式方程求家长和学生报价分别是每位多少元？（2）经协商，甲机构的优惠条件：家长全价，学生都按七五折收费；乙机构的优惠条件：家长和学生均按m（m为整数）折收费，结果他们选择了总费用较少的乙机构，求m的最大值.1．B 2．B 3．C 4．A 5．A 6．B 7．D 8．C 9．x3y 3 10．a +b 11．x ≠112．k =−3 或 k =1 13．3≤b ＜414．（1）解：2xx+3+1=72x+6 4x +2x +6=7 6x =1 x =16经检验：x =16是原分式方程的解； （2）解：1+xx+2=12+x +2 1+x =1+4+2x x =−4经检验：x =−4是原分式方程的解； 15．解：原式=(x 2x−1−x 2−2x+1x−1)÷(2x−1)21−x=2x−1x−1×1−x(2x−1)2 =11−2x将x =−4代入11−2x ，得11−2×(−4)=19 16．（1）解：A =(2x 2+2x x 2−1−x 2−xx 2−2x+1)÷xx+1 =(2x(x+1)(x+1)(x−1)−x(x−1)(x−1)2)×x+1x=2(x+1)x−1−x+1x−1=x+1x−1当x=3时A=3+13−1=2；x-1≠0∴x≠1.∴当x=2时A=3；当x=3时A=2；（2）解：A的值不能是−1；理由：若A的值为−1，即x+1x−1=−1，解得x=0，代入A中检验，除数为0，无意义，∴A的值不能为−1．17．解：（1）解：设小明步行的速度是x米/分，由题意得：900x =9003x+10，解得：x=60，经检验：x=60是原分式方程的解答：小明步行的速度是60米/分；（2）解：小明家与图书馆之间的路程最多是y米根据题意可得：y60=900180×2，解得：y=600答：小明家与图书馆之间的路程最多是600米.18．（1）解：设家长的报价为x元，学生的报价为(x−20)元由题意得：50000x =48000x−20经检验，x=500是分式方程的解答：家长的报价为500元，学生的报价为480元；（2）解：由题意得：(50000+48000)×m10<50000+48000×0.75解得：m<83849∵m为正整数∴m的最大值为8.。
中考数学专题复习题：分式的基本性质
中考数学专题复习题：分式的基本性质一、单项选择题（共7小题）1．下列各式是最简分式的是（）A．13B．1x−2C．x2y2xD．2a82．下列各分式的化简正确的是（）A．x6x3=x3B．a+xb+x=abC．x2x2=0D．a2−1a−1=a−13．若分式2aba+b 中a，b都扩大到原来的3倍，则分式2aba+b的值是（）A．扩大3倍B．缩小3倍C．不变D．扩大6倍4．下列各式中，正确的是（）A．a+12a+3=25B．ab=a2abC．−a+1a=−a+1aD．a2−4(a−2)2=a+2a−25．下列等式成立的是（）A．1a +2b=3a+bB．abab−b2=aa−bC．22a+b=1a+bD．a−a+b=−aa+b6．若代数式a+1a−1在实数范围内有意义，则实数a的取值范围是（）A．a≥1B．a≠1C．a<1D．a=−17．如果把分式x−2y+zxyz中的正数x，y，z都扩大2倍，则分式的值（）A．不变B．扩大为原来的两倍C．缩小为原来的14D．缩小为原来的18二、填空题（共4小题）8．分式14x2yz 和16xy2的最简公分母是________．9．不改变分式的值，化简：−0.03x+0.1−0.04x−0.03＝________．10．已知y>3，则y2−6y+93−y=________．11．把分式2xx+y中的x、y都扩大两倍，则分式的值________．三、解答题（共4小题）12．不改变分式的值，将下列各分式的分子与分母中各项系数都化为整数：（1）x−0.2y0.8x−5y；（2）m2+n32m 5−2n3．13．根据分式的基本性质填空：(1)x+32x =( )2x2；(2)−am−n=a( )．14．已知a,b实数满足ab=1，若M=11+a +11+b，N=a1+a+b1+b，请你猜想M与N的数量关系，并证明．15．写出下列等式中所缺的分子或分母：（1）1ab =( )ab2c(c≠0)括号内应填入__________；（2）ma−b =( )a2−b2（a≠−b）括号内应填入__________；（3）xx(x−y)=1( )括号内应填入__________．。
分式中考经典总复习课件
状元备课
)
--
=-1
+
-
-
D.
=
+
+
B.
解析:应用分式的基本性质时,要注意“都”与“同”这两个字的含义,
-
-(-) -
,
=
=- .
避免犯只乘分子或只乘分母的错误.D项中 +
+
+
答案:D
规律方法探究
命题点1
命题点2
命题点3
命题点 3
【例 3】
命题点4
分式的约分与通分
0.
考点二
分式的基本性质
分式的分子与分母同乘(或除以)一个不等于零的整式,分式的
×
÷
值不变.用式子表示是: = × , = ÷(其中 M 是不等于 0 的整
式).
基础自主导学
考点梳理
状元备课
自主测试
考点三 分式的约分与通分
1.约分
分式约分:利用分式的基本性质,约去分式的分子、分母中的
答案:C
状元备课
规律方法探究
命题点1
命题点2
命题点3
命题点4
3+5
5
1
无意义,则当
−
=0
-1
3-2 2-
变式训练若分式
3+5
解析:由
无意义,可得 x=1,
-1
5
1
5
1
由
−
=0,得
−
=0,
3-2 2-
3-2 2-1
5
1
即
=
,
3-2
2-1
所以 5(2m-1)=3m-2.
分式中考总复习原创课件
C
全体实数
x≠2
x≠±2
4.计算：(1) (2)
3.计算：
x－2
a4b4
解：原式
解：原式
解：原式
(3)
5．已知 ,当x＝________时，A＝0； 当x＝________时，A无意义．
解：(1) (2)由已知，得x=1或2， 但x不能取1，所以x=2. 当x=2时, .
8．已知 求 的值．
解：由已知，得y－x=4xy，x－y=－4xy.原式=另解：原式=
第一章 数与式第3课 分式
1.分式的有关概念： (1)如果A，B分别是整式，并且B中含有________， 那么式子 叫做分式． (2)当B________时，分式 (A，B分别是整式)有意义．
2.分式的基本性质： 分式的分子与分母乘(或除以)同一个________的整式， 分式的值__________．用式子表示为 或 (C≠____)，其中A，B，C均为整式．
【变式2】计算：
解：原式
【考点3】分式的化简求值
【例3】先化简，再求值：在0，1，2，这三个数中选一个合适的代入求值．
解：
根据分式的意义，x≠0，x≠2,所以x取1，当x=1时,原式= .
【变式3】已知 （ ),求 的值
－2
2
提示:先化简原式= ，当A=0时，分子x+2=0.解得x=－2.当A无意义时，分母x－2=0，解得x=2.
6.计算：（1）
解：原式
解：原式
（2）
7．已知(1)化简A；(2)当x满足不等式1≤x＜3，且x为整数时，求A的值．
字母,B≠ 0
3.分式的运算： (1)加、减 同分母； (2)乘、除 化简．
初中数学中考专题复习《分式(方程)》典型习题分析
初中数学中考专题复习《分式（方程）》典型习题分析一、选择题1.（2008年四川省宜宾市）若分式122--x x 的值为0，则x 的值为（ ） A. 1B. -1C. ±1D.22. (08浙江温州)若分式12x x -+的值为零，则x 的值是（ ） A ．0B ．1C ．1-D ．2-3．（2008年山东省临沂市）化简121112+-÷⎪⎭⎫ ⎝⎛-+a a a a 的结果是（ ） A ． 1+a B ． 11-a C ．aa 1- D ． 1-a 4、（2008浙江杭州）化简22x y y x y x---的结果是（ ） A ．x y -- B ．y x -C ．x y -D ．x y +5.(2008年大庆市)使分式21xx -有意义．．．的x 的取值范围是（ ） A ．12x ≥ B ．12x ≤C ．12x >D ．12x ≠6．（08乌兰察布市）若2x <，则2|2|x x --的值是（ ）A ．1-B ．0C ．1D ．27．（2008年江苏省无锡市）计算22()ab ab的结果为（ ） Ａ．bB ．aＣ．1Ｄ．1b8．(2008安徽)分式方程112x x =+的解是（ ） A ．1x = B ．1x =- C ．2x = D ．2x =-9.(2008 湖南 怀化)方程04142=----xxx 的解是 ( ) （A ）3-=x （B ）3=x （C ）4=x （D ）3=x 或4=x10.(2008 湖北 荆门)计算ab ba b a b a b a b a 22222-⨯⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+---+的结果是( )(A)b a -1． (B) ba +1． (C) a -b ． (D) a+b ． 11．(2008年杭州市)化简22x y y x y x---的结果是（ ） A .x y -- B .y x - C .x y - D .x y +12. （2008泰安）分式方程21124x x x -=--的解是（ A ） A ．32- B ．2- C ．52- D ．3213.（2008佳木斯市）关于x 的分式方程15mx =-，下列说法正确的是（ ） A ．方程的解是5x m =+ B ．5m >-时，方程的解是正数 C ．5m <-时，方程的解为负数 D ．无法确定14.（2008湖北黄冈）计算a b a bb a a +⎛⎫-÷⎪⎝⎭的结果为（ ） A ．a bb- B ．a bb +C ．a ba- D ．a ba+15.（2008江苏淮安）若分式23x -有意义．则x 应满足的条件是( ) A ．x≠O B ．x≥3 C ．x ≠3 D ．x≤316.(2008浙江温州)若分式12x x -+的值为零，则x 的值是（ ） A ．0 B ．1 C ．1- D ．2-17.(2008黑龙江黑河)关于x 的分式方程15mx =-，下列说法正确的是（ ） A ．方程的解是5x m =+ B ．5m >-时，方程的解是正数 C ．5m <-时，方程的解为负数 D ．无法确定18.（2008湖南株洲）若使分式2xx -有意义，则x 的取值范围是A ．2x ≠B ．2x ≠-C ．2x >-D ．2x <19.（2008山西太原）化简222m n m mn-+的结果是（ ）A.2m n m - B. m n m - C. m n m + D. m nm n-+ 20.(2008年四川省宜宾市)若分式122--x x 的值为0，则x 的值为（ ）A. 1B. -1C. ±1D.2二、填空题1、(2008山东烟台)请选择一组,a b 的值，写出一个关于x 的形如2ab x =-的分式方程，使它的解是0x =，这样的分式方程可以是______________. 2、（2008淅江金华）已知分式11-+x x 的值为0，那么X 的值为 . 3、（2008山东威海）方程423532=-+-xx x 的解是 ； 4．（2008湖南益阳）．在下列三个不为零的式子 44,2,4222+---x x x x x 中，任选两个你喜欢的式子组成一个分式是 ，把这个分式化简所得的结果是 .5.(2008年天津市)若219x x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则21x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的值为 ．6.（2008年四川巴中市）若0234x y z ==≠，则23x yz+= ． 7.（2008年四川巴中市）当x = 时，分式33x x --无意义． 8．（2008年山东省青岛市）化简：293x x -=- ． 9．（2008年山东省青岛市）为了帮助四川地震灾区重建家园，某学校号召师生自愿捐款．第一次捐款总额为20000元，第二次捐款总额为56000元，已知第二次捐款人数是第一次的2倍，而且人均捐款额比第一次多20元．求第一次捐款的人数是多少？若设第一次捐款的人数为x ，则根据题意可列方程为 ．10．（2008年江苏省连云港市）若一个分式含有字母m ，且当5m =时，它的值为12，则这个分式可以是 ．11．（2008年浙江嘉兴市省）已知23a b =，则ab= ． 12．（2008湖南郴州）函数11y x =-的自变量的取值范围是_________． 13．（2008江苏南京）函数y=x x-1中，自变量x 的取值范围是 ▲ .14.（2008 四川 泸州）方程12211x x x +=-+的解 x = 15.(2008 湖北 十堰)计算：=---31922a a a ． 16.(2008 重庆)分式方程121+=x x 的解为 .17.(2008 河北)当x = 时，分式31x -无意义．18.(2008 湖南 长沙)方程112=-x 的解为x = .19.(2008 四川 广安)若分式351x x +-无意义，当510322m x m x -=--时，则m = ．20.（2008浙江金华）已知分式11-+x x 的值为0，那么X 的值为21.（2008佳木斯市）函数y =中，自变量x 的取值范围是 ． 22.（2008湖北襄樊）当m=_________时,关于x 的分式方程132-=-+x mx 无解. 23.（2008江苏盐城）方程213x =-的根为 ．24.(2008宁夏)某市对一段全长1500米的道路进行改造．原计划每天修x 米，为了尽量减少施工对城市交通所造成的影响，实际施工时，每天修路比原计划的2倍还多35米，那么修这条路实际用了 天．25．（2008年上海市）用换元法解分式方程21221x x x x --=-时，如果设21x y x-=，并将原方程化为关于y 的整式方程，那么这个整式方程是 ．26．（20082=的根是 ．27. (2008黑龙江哈尔滨)函数1x xy -=的自变量x 的取值范围是 ．三、解答题1.（2008年浙江省衢州市）解方程：1x121x x 3=--- 2.（08山东省日照市）化简，再求值：11a b a b ⎛⎫- ⎪-+⎝⎭÷222b a ab b -+，其中21+=a ，21-=b ．3.（2008年四川省宜宾市）请先将下式化简,再选择一个你喜欢又使原式有意义的数代入求值..121)11(2+-÷--a a a a 4.(2008浙江义乌) 解方程：1321x x =+5.(2008浙江宁波)化简22111a a aa a ++---． 6、（2008山东威海）先化简，再求值：⎪⎭⎫⎝⎛--÷-+x x x x x 1211，其中2=x ．7.（2008年山东省临沂市）在某道路拓宽改造工程中，一工程队承担了24千米的任务.为了减少施工带来的影响，在确保工程质量的前提下，实际施工速度是原计划的1.2倍，结果提前20天完成了任务，求原计划平均改造道路多少千米？8.(2008年辽宁省十二市)在“汶川地震”捐款活动中，某同学对甲、乙两班捐款情况进行了统计：甲班捐款人数比乙班捐款人数多3人，甲班共捐款2400元，乙班共捐款1800元，乙班平均每人捐款的钱数是甲班平均每人捐款钱数的45倍．求甲、乙两班各有多少人捐款？ 9.(2008年辽宁省十二市)先化简，再求值：23111aa a a a a-⎛⎫- ⎪-+⎝⎭，其中2a =．10.(2008年天津市)注意：为了使同学们更好地解答本题，我们提供了一种解题思路，你可以依照这个思路，填写表格，并完成本题解答的全过程．如果你选用其他的解题方案，此时，不必填写表格，只需按照解答题的一般要求，进行解答即可．天津市奥林匹克中心体育场——“水滴”位于天津市西南部的奥林匹克中心内，某校九年级学生由距“水滴”10千米的学校出发前往参观，一部分同学骑自行车先走，过了20分钟后，其余同学乘汽车出发，结果他们同时到达．已知汽车的速度是骑车同学速度的2倍，求骑车同学的速度．（Ⅰ）设骑车同学的速度为x 千米/时，利用速度、时间、路程之间的关系填写下表．（Ⅱ）列出方程（组），并求出问题的解．11.(2008年沈阳市)解分式方程：1233xx x=+--． 12.（2008年四川巴中市）在解题目：“当1949x =时，求代数式2224421142x x x x x x x-+-÷-+-+的值”时，聪聪认为x 只要任取一个使原式有意义的值代入都有相同结果．你认为他说的有理吗？请说明理由．13 .(2008年成都市)化简：).4(2)12(22-⋅-+-x xx xx x14.(2008年成都市)金泉街道改建工程指挥部，要对某路段工程进行招标，接到了甲、乙两个工程队的投标书.从投标书中得知：甲队单独完成这项工程所需天数是乙队单独完成这项工程所需天数的32；若由甲队先做10天，剩下的工程再由甲、乙两队合作30天可以完成. (1)求甲、乙两队单独完成这项工程各需多少天？ (2)已知甲队每天的施工费用为0.84万元，乙队每天的施工费用为0.56万元.工程预算的施工费用为50万元.为缩短工期以减少对住户的影响，拟安排甲、乙两队合作完成这项工程，则工程预算的施工费用是否够用？若不够用，需追加预算多少万元？请给出你的判断并说明理由.15.(2008年乐山市)已知1x =，求代数式4(2)22x x x x÷+---的值 16.(2008年乐山市)解方程：2212212x x x x-=--17.(2008年大庆市)某文具厂加工一种文具2 500套，加工完1 000套后，由于采用了新设备，每天的工作效率变为原来的1.5倍，结果提前5天完成了加工任务．求该文具厂原来每天加工多少套这种文具．18．（2008(2008新疆乌鲁木齐市)2008年5月12日14时28分在我国四川省汶川地区发生了里氏8.0级强烈地震，灾情牵动全国人民的心，“一方有难、八方支援”．某厂计划加工1500顶帐篷支援灾区人民，在加工了300顶帐篷后，由于救灾需要工作效率提高到原来的1.5倍，结果提前4天完成了任务．求原来每天加工多少顶帐篷？ 19. (2008山东德州)先化简，再求值：11a b a b ⎛⎫- ⎪-+⎝⎭÷222b a ab b -+，其中21+=a ，21-=b ．20. (2008黑龙江黑河)先化简：224226926a a a a a --÷++++，再任选一个你喜欢的数代入求值．21.（08湖南常德市）化简：211112xx x x -÷⎪⎭⎫⎝⎛--+ 22．（2008湖南常德市）在社会主义新农村建设中，县交通局决定对某乡的村级公路进行改造，由甲工程队单独施工，预计180天能完成.为了提前完成任务，改由甲、乙两个工程队同时施工，100天就能完成.试问：若由乙工程队单独施工，需要多少天才能完成任务？23.（2008桂林市）有一道题：“先化简再求值：22x 12X 1)x 1x 1x 1-+÷+--（，其中x=把“x=释这是怎么回事？ 24.（2008桂林市）某校在教学楼前铺设小广场地面，其图案设计如图.所示，矩形地面的长50米，宽32米，中心建一直径为10米的圆形喷泉，四周各角留一个长20米，宽5米的小矩形花坛，图中阴影处铺设广场地砖.（１）求阴影部分的面积Ｓ（π取３）（２）某人承包铺地砖任务，计划在一定的时间内完成，按计划工作３天后，提高了工作效率，使每天铺地砖的面积为原计划1.5倍，结果提前4天完成了任务，问原计划每天铺多少平方米？25.（2008广州市）2008年初我国南方发生雪灾，某地电线被雪压断，供电局的维修队要到30千米远的郊区进行抢修.维修工骑摩托车先走，15分钟后，抢修车装载所需材料出发，结果两车同时到达抢修点.已知抢修车的速度是摩托车速度的1.5倍，求两种车的速度. 26.（2008广东肇庆市）在四川省发生地震后，成都运往汶川灾区的物资须从西线或南线运输，西线的路程约800千米，南线的路程约80千米，走南线的车队在西线车队出发18小时后立刻启程，结果两车队同时到达．已知两车队的行驶速度相同，求车队走西线所用的时间.27.（2008年陕西省）先化简，再求值：22222a b b a b a b+++-，其中2a =-，13b =． 28.(2008 河南)先化简，再求值：11-+a a －122+-a a a ÷a1,其中a ＝1－2 29．（2008 四川 泸州）化简21211x x x ++- 30．（2008年浙江省嘉兴市）先化简，再求值：22111a a a a -⎛⎫⨯+ ⎪+⎝⎭，其中2a =-．31．（2008年江苏省南通市）解分式方程225103x x x x-=+- 32.（2008年江苏省无锡市）在“512大地震”灾民安置工作中，某企业接到一批生产甲种板材240002m 和乙种板材120002m 的任务．（1）已知该企业安排140人生产这两种板材，每人每天能生产甲种板材302m 或乙种板材202m ．问：应分别安排多少人生产甲种板材和乙种板材，才能确保他们用相同的时间完成各自的生产任务？（2）某灾民安置点计划用该企业生产的这批板材搭建A B ，两种型号的板房共400间，在搭建过程中，按实际需要调运这两种板材．已知建一间A 型板房和一间B 型板房所需板材及能安置的人数如下表所示：板房型号 甲种板材 乙种板材 安置人数A 型板房 54 2m 26 2m 5 B 型板房78 2m41 2m8问：这400间板房最多能安置多少灾民？33.（2008年江苏省无锡市）（2）先化简，再求值：244(2)24x x x x -++-，其中x =34.（2008年江苏省苏州市）先化简，再求值：2224111442a a a a ⎛⎫+⎛⎫-÷- ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭，其中12a =．35.2008年江苏省苏州市）解方程：222(1)160x x x x+++-=．36．(2008北京)已知30x y -=，求222()2x yx y x xy y+--+的值．37．（2008湖北咸宁）先化简，再求值：22321113x x x x x x x +++---+ ，其中1x =． 38．（2008湖北咸宁）（本题满分8分）Ａ、Ｂ两种机器人都被用来搬运化工原料，A 型机器人比B 型机器人每小时多搬运20千克，A 型机器人搬运1000千克所用时间与B 型机器人搬运800千克所用时间相等，两种机器人每小时分别搬运多少化工原料？39．(2008北京)列方程或方程组解应用题：京津城际铁路将于2008年8月1日开通运营，预计高速列车在北京、天津间单程直达运行时间为半小时．某次试车时，试验列车由北京到天津的行驶时间比预计时间多用了6分钟，由天津返回北京的行驶时间与预计时间相同．如果这次试车时，由天津返回北京比去天津时平均每小时多行驶40千米，那么这次试车时由北京到天津的平均速度是每小时多少千米？ 40．（2008年云南省双柏县）解分式方程：233x x=-． 41.（2008年山东省枣庄市）某一工程，在工程招标时，接到甲、乙两个工程队的投标书．施工一天，需付甲工程队工程款1.2万元，乙工程队工程款0.5万元．工程领导小组根据甲、乙两队的投标书测算，有如下方案：（1）甲队单独完成这项工程刚好如期完成； （2）乙队单独完成这项工程要比规定日期多用6天；（3）若甲、乙两队合做3天，余下的工程由乙队单独做也正好如期完成．试问：在不耽误工期的前提下，你觉得哪一种施工方案最节省工程款？请说明理由．42.（2008年山东省枣庄市）先化简，再求值：22212221x x xx x x --+--+÷x ，其中x=23． 43．（2008江苏南京）解方程12+x -122+x =0.44．（2008湖北黄石）先化简后求值．222212ab a b ab b a ab ab ⎛⎫+⎛⎫-÷+ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭，其中1a =-1b =-．45．（2008湖北黄石）某车间要生产220件产品，做完100件后改进了操作方法，每天多加工10件，最后总共用4天完成了任务．求改进操作方法后，每天生产多少件产品？46．（2008江苏宿迁）先化简,再求值：222344322+-++÷+++a a a a a a a ，其中22-=a ．47.(2008 湖南 长沙)先化简，再求值：a a a -+-21422，其中21=a .48．(2008 重庆)先化简，再求值：32444)1225(222+=++-÷+++-a a a a a a a ，其中 49.(2008 四川 广安)先化简再求值：244()33x x x x x ---÷--，其中5x =． 50..(2008 湖南 怀化)先化简，再求值：()()3211123x x x x x --=---+，其中．51.(2008 河北)已知2x =-，求21211x x x x -+⎛⎫-÷ ⎪⎝⎭的值．52．(2008 湖北 荆门)今年5月12日，四川省汶川发生8.0级大地震，某中学师生自愿捐款，已知第一天捐款4800元，第二天捐款6000元，第二天捐款人数比第一天捐款人数多50人，且两天人均捐款数相等，那么两天共参加捐款的人数是多少？人均捐款多少元？53.(2008 湖北 恩施)请从下列三个代数式中任选两个构成一个分式，并化简该分式ｘ2－4ｘｙ＋4ｙ2ｘ2－4ｙ2ｘ－2ｙ54.（2008 江西）甲、乙两同学玩“托球赛跑”游戏，商定：用球拍托着乒乓球从起跑线l 起跑，绕过P 点跑回到起跑线（如图所示）；途中乒乓球掉下时须捡起并回到掉球处继续赛跑，用时少者胜．结果：甲同学由于心急，掉了球，浪费了6秒钟，乙同学则顺利跑完．事后，乙同学说：“我俩所用的全部时间的和为50秒，捡球过程不算在内时，甲的速度是我的1.2倍”．根据图文信息，请问哪位同学获胜？ 55.（08绵阳市）（2）计算：)1111()12(22122+---+⋅-+m m m m m m m ．．56．（08乌兰察布市）先化简，再求值3241(1)3111x x x x x x ++-÷-+-+，其中1x =．57．（08厦门市）先化简，再求值2221x x xx x +-，其中2x =．58．（2008山东东营）先化简，再求值：11a b a b ⎛⎫- ⎪-+⎝⎭÷222b a ab b -+，其中21+=a ，21-=b ．59．(2008泰安)先化简，再求值：232224xx x x x x ⎛⎫-+⎪+--⎝⎭，其中4x = 60.（2008佛山）．先化简)221(-+p ÷422--p pp ，再求值（其中P 是满足-3 <P < 3的整数）． 61. (2008黑龙江哈尔滨)先化简，再求代数式2x 1-x 2x 3-12+÷+）（的值，其中x ＝4sin45°－2cos60°62.（2008广东）在2008年春运期间，我国南方出现大范围冰雪灾害，导致某地电路断电.该地供电局组织电工进行抢修.供电局距离抢修工地15千米.抢修车装载着所需材料先从供电局出发，15分钟后，电工乘吉昔车从同一地点出发，结果他们同时到达抢修工地．已知吉普车速度是抢修车速度的1.5倍，求这两种车的速度.63.(2008广东深圳)先化简代数式⎪⎭⎫⎝⎛-++222a a a÷412-a ，然后选取一个合适．．的a 值，代入求值．64.（2008山西太原）为帮助灾区人民重建家园，某校学生积极捐款.已知第一次捐款总额为9000元，第二次捐款总额为12000元.两次人均捐款额相等，但第二次捐款人数比第一次多50人.求该校第二次捐款的人数.65.（2008湖北武汉）先化简，再求值：2239(1)x x x x---÷，其中2x =．66.（2008湖北襄樊）化简求值: 12,161)416816(222+=-÷-+++-x x x x x x x 其中67.（2008湖北孝感）请你先将式子2200811211a a a a ⎛⎫÷+ ⎪-+-⎝⎭化简，然后从1，2，3中选择一个数作为a 的值代入其中求值. 68.（2008江苏盐城）先化简，再求值：35222x x x x -⎛⎫÷+- ⎪--⎝⎭，其中4x =-． 69.（2008浙江湖州）为了支援四川人民抗震救灾，某休闲用品有限公司主动承担了为灾区生产2万顶帐篷的任务，计划10天完成.（1）按此计划，该公司平均每天就生产帐篷 顶.（2）生产2天后，公司又从其它部门抽调了50名工人参加帐篷生产，同时，通过技术革新等手段使每位工人的工作效率比原计划提高了25%，结果提前2天完成了生产任务，求该公司原计划安排多少名工人生产帐篷？70.（2008年湖南省邵阳市）在四川汶川地震灾后重建中，某公司拟为灾区援建一所希望学校．公司经过调查了解：甲、乙两个工程队有能力承包建校工程，甲工程队单独完成建校工程的时间是乙工程队的1.5倍，甲、乙两队合作完成建校工程需要72天． （1）甲、乙两队单独完成建校工程各需多少天？（2）在施工过程中，该公司派一名技术人员在现场对施工质量进行全程监督，每天需要补助100元．若由甲工程队单独施工时平均每天的费用为0.8万元．现公司选择了乙工程队，要求其施工总费用不能超过甲工程队，则乙工程队单独施工时平均每天的费用最多为多少？71.（2008年江苏南充市）化简2111x x x x⎛⎫-÷ ⎪--⎝⎭，并选择你最喜欢的数代入求值． 72（2008年江苏南充市）在“5²12”汶川大地震的“抗震救灾”中，某部队接受了抢修映秀到汶川的“213”国道的任务．需要整修的路段长为4800m ，为了加快抢修进度，获得抢救伤员的时间，该部队实际工作效率比原计划提高了20%，结果提前2小时完成任务，求原计划每小时抢修的路线长度．73.（2008年浙江省衢州）解方程：1x121x x 3=--- 74.（08年山东省）先化简，再求值：11a b a b ⎛⎫- ⎪-+⎝⎭÷222b a ab b -+，其中21+=a ，21-=b ．温馨提示：总费用=平均每天的费用⨯天数+补助费75.（2008年上海市）解方程：2654111x x x x x ++=--+76.（2008年山东省威海市）先化简，再求值：⎪⎭⎫⎝⎛--÷-+x x x x x 1211，其中2=x ．分式（方程）答案一.选择题1.D2.B3.D4.A5.D6.A7.B8.A9.B 10.B 11.A 12.A 13.C 14.A 15.C 16.B 17.C 18.A 19.B 20.D 二.填空题1. 答案不唯一，如212x -=- 2. －1 3. 1=x 4. 答案不惟一如：x x ,x x x 22422+--本题还有如下答案：24222+--x x ,x xx ；2244422-++--x x ,x x x ；2244422+--+-x x ,x x x ；244222-+--x x,x x x x ；x x ,xx x x 224422--+-. 5. 5 6.134 7. 3 8. 3x + 9.5600020000202x x-= 10. （写出一个．．即可）60m（答案不唯一） 11. 32 12. 1x ≠ 13. 0x ≠ 14. 3 15. 31+a 16. 1x = 17. 1 18. 3 19.73 20. -1 21. 3x ≤且1x ≠ 22. －6 23. x=5（或5） 24. 3521500+x 25. 2210y y --= 26. 1x =-27. 1x ≠三.解答题 1.解：方程两边都乘以)1(-x ，得：123-=+x x解得：23-=x 经检验：23-=x 是原方程的根；∴原方程的根是23-=x .2. 解：原式＝222))(()()(b ab a bb a b a b a b a +-÷+---+ ……………………………2分＝b b a b a b a b 2)())((2-⋅+- …………………………………………3分＝ba b a +-)(2． …………………………………………………………4分当21+=a ，21-=b 时，原式＝222222=⨯． …………………………………………………6分 3. 解：原式=21(1)1a a a a -+⋅--1a =-4.321x x =+ ………………………………………………………………………1分1x = ……………………………………………………………………………2分经检验：1x =是原方程的解 …………………………………………………1分 5. 原式1(1)1(1)(1)a a a a a a ++=--+- ······························································································ 2分 111a aa a +=--- ································································································· 4分 11a =- 6. 解：x xx x x x x x x x x ---÷-+=⎪⎭⎫ ⎝⎛--÷-+121112112 ………………………………………2分 ＝()x x x x x -+-÷-+1111 …………………………………………………………3分 ＝)1(111+--⋅-+x x xx x …………………………………………………………4分 ＝x1-． ……………………………………………………………………5分当2=x 时，原式＝22211-=-=-x ． ……………………………………7分 7. 设原计划平均每天改造道路x 千米，,根据题意，得…………1分202.12424=-xx ………………………………………………………4分 解这个方程，得x ＝0.2………………………………………………6分 经检验，x ＝0.2是原方程的解.答:原计划平均每天改造道路0.2千米.…………………………7分四、认真思考，你一定能成 8. 解法一：设乙班有x 人捐款，则甲班有(3)x +人捐款． ················································ 1分 根据题意得：24004180035x x⨯=+ ··················································································································· 5分 解这个方程得45x =． ·········································································································· 8分 经检验45x =是所列方程的根． ··························································································· 9分 348x ∴+=（人）答：甲班有48人捐款，乙班有45人捐款． ······································································· 10分 解法二：设甲班有x 人捐款，则乙班有(3)x -人捐款． ····················································· 1分 根据题意得：24004180053x x ⨯=- ··················································································································· 5分 解这个方程得48x =． ·········································································································· 8分经检验48x =是所列方程的根． ··························································································· 9分 345x ∴-=（人）答：甲班有48人捐款，乙班有45人捐款． ······································································· 10分9. 解法一：原式223(1)(1)11a a a a a a a +---=⨯- ··································································· 2分 24a =+ ·································································································································· 6分当2a =时，原式2248=⨯+= ··························································································· 8分解法二：原式3(1)(1)(1)(1)11a a a a a a a a a a+-+-=⨯-⨯-+ ··············································· 2分 24a =+ ·································································································································· 6分 当2a =时，原式2248=⨯+= ··························································································· 8分10.································································· 3分 （Ⅱ）根据题意，列方程得3121010+=x x ． ······································································· 5分 解这个方程，得15=x ． ······························································································ 7分 经检验，15=x 是原方程的根． 所以，15=x ．答：骑车同学的速度为每小时15千米． ············································································ 8分 11. 解：12(3)x x =-- ········································································································ 2分126x x =-- 7x = ······································································································································· 5分检验：将7x =代入原方程，左边14==右边 ······································································· 7分所以7x =是原方程的根 ········································································································ 8分 （将7x =代入最简公分母检验同样给分）12. 解：聪聪说的有理． ········································································································ 1分2224421142x x x x x x x-+-÷-+-+2(2)211(2)(2)(2)x x x x x x x-+=⨯-++-- ······················································································· 3分。
2024河南中考数学一轮知识点复习专题 分 式 课件
式进行通分，再依照运算法则进行运算．
3.除法运算一定要转化为乘法后再运算，如果分子、分母是多项式，可先将
分子、分母因式分解，再进行运算.
4.分式的混合运算中，若有“ + ”这种形式，且 ⋅ ， ⋅ 均可约分
3.最简分式：分子和分母没有公因式的分式.
4.通分：把几个异分母的分式分别化成与原来的分式相等的同分母的分式，
叫做分式的通分.
5.最简公分母：一般取各分母的所有因式的最高次幂的积作为公分母，它叫
做最简公分母.
考点3 分式的运算
1.分式的运算法则
（1）同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减，即
加减
± =
±
.
（2）异分母的分式相加减，先通分，变为同分母的分式，再加减，
即
± =
±
=
±
.
续表
（1）两个分式相乘，用分子的积作积的分子，用分母的积作积的分
乘除
母，即
⋅ =
（ ， 均不为0）.
（2）两个分式相除，将除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相
时，可利用乘法分配律简化运算.
5.进行分式的加减运算时，注意与分式方程的解法区别开来，不要“去分母”.
6.化简结果要最简.
7.代入求值时，尽可能用“整体代入法”求值，且代入的值不能使原式中的分
式和化简过程中出现的分式的分母为0.
一图串考法
考法1 分式有意义的条件（8年1考）
2023年安徽中考数学总复习专题：分式
2.当括号前是“-”号，去括号时要注意括号内各项均要改变符号；
3.不要把分式的化简与解分式方程的变形相混淆，随意将分母去掉.
考点小练
1.(2022眉山)化简 的结果是 ( )
A. B. C. D.
2.(2022威海)试卷上一个正确的式子 被小颖同学不小心滴上墨汁，被墨汁遮住部分的代数式为 ( )
续表
（3）乘方：把分子、分母分别乘方. <m></m> ③___（ <m></m> 是整数）.
②取各分母所有因式的最高次幂的积（数字因式取它们的最小公倍数）作为公分母.
续表
2.分式化简求值的一般步骤 先算乘方，再算乘除，最后算加减，有括号的先算括号里面的.计算结果要化为最简分式或整式.
【易错点】分式化简中的误区
3.将 <m></m> 化为最简分式为______.
√
√
考点2 分式的运算及化简求值（10年2考）
1.分式的化简及求值
乘除运算
加减运算
（1）乘法： <m></m> ①___;（分子、分母分别相乘）（2）除法： <m></m> ·②__ <m></m> .
（1）同分母： <m></m> ④____;（分母不变，只把分子相加减）
分式的基本性质
通分 ; 约分 .
最简分式：分子与分母没有公因式的分式.
续表
考点小练
1.(2022凉山州)分式 有意义的条件是 ( )
A. B. C. D.
2.(2022怀化)代数式 ， ， ， ， ， 中，属于分式的有 ( )
2024年中考数学一轮复习考点精讲及专题精练—分式
2024年中考数学一轮复习考点精讲及专题精练—分式→➊考点精析←一、分式1．分式的定义（1）一般地，整式A 除以整式B，可以表示成AB的形式，如果除式B 中含有字母，那么称AB为分式．（2）分式AB中，A 叫做分子，B 叫做分母．【注意】①若B≠0，则AB有意义；②若B=0，则AB无意义；③若A=0且B≠0，则AB=0．2．分式的基本性质分式的分子与分母都乘以（或除以）同一个不等于零的整式，分式的值不变．用式子表示为(0)A A C C B B C ⋅=≠⋅或(0)A A C C B B C÷=≠÷，其中A，B，C 均为整式．3．约分及约分法则（1）约分把一个分式的分子和分母的公因式约去，这种变形称为分式的约分．（2）约分法则把一个分式约分，如果分子和分母都是几个因式乘积的形式，约去分子和分母中相同因式的最低次幂；分子与分母的系数，约去它们的最大公约数．如果分式的分子、分母是多项式，先分解因式，然后约分．【注意】约分的根据是分式的基本性质．约分的关键是找出分子和分母的公因式．4．最简分式分子、分母没有公因式的分式叫做最简分式．【注意】约分一般是将一个分式化为最简分式，分式约分所得的结果有时可能成为整式．5．通分及通分法则（1）通分根据分式的基本性质，把几个异分母的分式分别化为与原来的分式相等的同分母的分式，这一过程称为分式的通分．（2）通分法则把两个或者几个分式通分：①先求各个分式的最简公分母（即各分母系数的最小公倍数、相同因式的最高次幂和所有不同因式的积）；②再用分式的基本性质，用最简公分母除以原来各分母所得的商分别去乘原来分式的分子、分母，使每个分式变为与原分式的值相等，而且以最简公分母为分母的分式；③若分母是多项式，则先分解因式，再通分．【注意】通分的根据是分式的基本性质．通分的关键是确定几个分式的最简公分母．6．最简公分母几个分式通分时，通常取各分母系数的最小公倍数与所有字母因式的最高次幂的积作为公分母，这样的分母叫做最简公分母．7．分式的运算（1）分式的加减①同分母的分式相加减法则：分母不变，分子相加减．用式子表示为：a c a cb b b±±=．②异分母的分式相加减法则：先通分，变为同分母的分式，然后再加减．用式子表示为：a c ad bc ad bcb d bd bd bd±±=±=．（2）分式的乘法乘法法则：分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母．用式子表示为：a c a cb d b d⋅⋅=⋅．（3）分式的除法除法法则：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后与被除式相乘．用式子表示为：a c a d a db d bc b c⋅÷=⋅=⋅．（4）分式的乘方乘方法则：分式的乘方，把分子、分母分别乘方．用式子表示为：((nn n a a n b b=为正整数，0)b ≠．（5）分式的混合运算含有分式的乘方、乘除、加减的多种运算叫做分式的混合运算．混合运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减．有括号的，先算括号里的．→➋真题精讲←考向一分式的有关概念1．分式的三要素：（1）形如AB的式子；（2）,A B 均为整式；（3）分母B 中含有字母．2．分式的意义：（1）有意义的条件是分式中的字母取值不能使分母等于零，即0B ≠．（2）无意义的条件是分母为0．（3）分式值为0要满足两个条件，分子为0，分母不为0．1．（2020·湖南衡阳·中考真题）要使分式11x -有意义，则x 的取值范围是（）A ．1x >B ．1x ≠C ．1x =D ．0x ≠【答案】B【分析】根据分式有意义的条件即可解答．【解析】根据题意可知，10x -≠，即1x ≠．故选：B ．【点睛】本题考查了分式有意义的条件，熟知分式有意义，分母不为0是解决问题的关键．2．（2020·浙江金华·中考真题）分式52x x +-的值是零，则x 的值为（）A ．5B ．2C ．－2D ．－5【答案】D【分析】分式的值为零：分子等于零，且分母不等于零．【解析】解：依题意，得x+5=0，且x-2≠0，解得，x=-5,且x≠2,即答案为x=-5．故选：D ．【点睛】本题考查了分式的值为零的条件．若分式的值为零，需同时具备两个条件：（1）分子为0；（2）分母不为0．这两个条件缺一不可．3．（2020·湖南郴州·中考真题）若分式11x +的值不存在，则x =__________．【答案】-1【分析】根据分式无意义的条件列出关于x 的方程，求出x 的值即可．【解析】∵分式11x +的值不存在，∴x+1=0，解得：x=-1，故答案为：-1．【点睛】本题考查的是分式无意义的条件，熟知分式无意义的条件是分母等于零是解答此题的关键．4．（2020·湖北黄石·中考真题）函数13y x =+-的自变量x 的取值范围是（）A ．2x ≥，且3x ≠B ．2x ≥C ．3x ≠D ．2x >，且3x ≠【答案】A【分析】根据分式与二次根式的性质即可求解．【解析】依题意可得x-3≠0，x-2≥0解得2x ≥，且3x ≠故选A ．【点睛】此题主要考查函数的自变量取值，解题的关键是熟知分式与二次根式的性质．考向二分式的基本性质分式基本性质的应用主要反映在以下两个方面：（1）不改变分式的值，把分式的分子、分母中各项的系数化为整数；（2）分式的分子、分母与分式本身的符号，改变其中任何两个，分式的值不变．5.分式233x yxy+中的x 、y 的值都扩大到原来的2倍，则分式的值为A ．扩大为原来2倍B ．缩小为原来的12倍C ．不变D ．缩小为原来的14倍【答案】B【解析】∵若x 、y 的值都扩大到原来的2倍，则为()()()223462312312432323x y x y x y x yxy xy xy xy++++===⋅∴把分式233x y xy +中的x 、y 的值都扩大到原来的2倍，则分式的值为原来的12，故选B ．【点睛】本题考查了分式的基本概念和性质的相关知识．这类题目的一个易错点是：在没有充分理解题意的情况下简单地通过分式的基本性质得出分式值不变的结论．对照分式的基本性质和本题的条件不难发现，本题不符合分式基本性质所描述的情况，不能直接利用其结论．因此，在解决这类问题时，要注意认真理解题意．6．（2019·江苏扬州·中考真题）分式13-x 可变形为()A ．13x+B ．-13x+C ．31-x D ．1-3x -【答案】D【分析】根据分式的基本性质逐项进行判断即可.【解析】A.13x +≠13-x ，故A 选项错误；B.-13x +=13-x -≠13-x，故B 选项错误；C.65x ==-13-x ，故C 选项错误；D.1-3x -=1x-3)-（=13-x，故D 选项正确，故选D.【点睛】本题考查了分式的性质，分式的分子分母都乘以或除以同一个不为0的整式，分式的值不变．考向三分式的约分与通分约分与通分的区别与联系：1．约分与通分都是根据分式的基本性质，对分式进行恒等变形，即每个分式变形之后都不改变原分式的值；2．约分是针对一个分式而言，约分可使分式变得简单；3．通分是针对两个或两个以上的分式来说的，通分可使异分母分式化为同分母分式．7.关于分式的约分或通分，下列哪个说法正确A ．211x x +-约分的结果是1x B ．分式211x -与11x -的最简公分母是x-1C ．22xx 约分的结果是1D ．化简221x x --211x -的结果是1【答案】D 【解析】A 、211x x +-=11x -，故本选项错误；B 、分式211x -与11x -的最简公分母是x2-1，故本选项错误；C 、22x x =2x ，故本选项错误；D 、221x x --211x -=1，故本选项正确，故选D ．【点睛】本题主要考查分式的通分和约分，这是分式的重要知识点，应当熟练掌握．8．（2023·湖南·统考中考真题）已知5x =，则代数式2324416x x ---的值为________．【答案】13【分析】先通分，再根据同分母分式的减法运算法则计算，然后代入数值即可．【详解】解：原式=()()()()()34244444x x x x x +--+-+()()31244x x x -=-+34x =+ 5x =333145493∴===++x 故答案为：13.【点睛】本题主要考查了分式通分计算的能力，解决本题的关键突破口是通分整理．9．（2023·四川遂宁·统考中考真题）先化简，再求值：2221111x x x x -+⎛⎫⋅+ ⎪-⎝⎭，其中112x -⎛⎫= ⎪⎝⎭．【答案】1x x-，12【分析】先根据平方差公式，完全平方公式和分式的运算法则对原式进行化简，然后将1122x -⎛⎫== ⎪⎝⎭代入化简结果求解即可．【详解】解：2221111x x x x -+⎛⎫⋅+ ⎪-⎝⎭()()()21111x x x x x-+=⋅+-1x x-=，当1122x -⎛⎫== ⎪⎝⎭时，原式21122-==．【点睛】本题考查了分式的化简求值，掌握平方差公式，完全平方公式和分式的运算法则是解题关键．10.（2020.成都市中考模拟）关于分式的约分或通分，下列哪个说法正确A ．211x x +-约分的结果是1xB ．分式211x -与11x -的最简公分母是x-1C ．22xx约分的结果是1D ．化简221x x --211x -的结果是1【答案】D 【解析】A 、211x x +-=11x -，故本选项错误；B 、分式211x -与11x -的最简公分母是x2-1，故本选项错误；C 、22x x =2x ，故本选项错误；D 、221x x --211x -=1，故本选项正确，故选D ．【点睛】本题主要考查分式的通分和约分，这是分式的重要知识点，应当熟练掌握．11．（2020·内蒙古呼和浩特·中考真题）分式22x x -与282x x-的最简公分母是_______，方程228122-=--x x x x的解是____________．【答案】()2x x -x=-4【分析】根据最简公分母的定义得出结果，再解分式方程，检验，得解．【解析】解：∵()222x x x x -=-，∴分式22x x -与282x x-的最简公分母是()2x x -，方程228122-=--x x x x，去分母得：()2282x x x -=-，去括号得：22282x x x -=-，移项合并得：2280x x +-=，变形得：()()240x x -+=，解得：x=2或-4，∵当x=2时，()2x x -=0，当x=-4时，()2x x -≠0，∴x=2是增根，∴方程的解为：x=-4．【点睛】本题考查了最简公分母和解分式方程，解题的关键是掌握分式方程的解法．考向四分式的运算（1）分式的加减运算：异分母分式通分的依据是分式的基本性质，通分时应确定几个分式的最简公分母．（2）分式的乘除运算：分式乘除法的运算与因式分解密切相关，分式乘除法的本质是化成乘法后，约去分式的分子分母中的公因式，因此往往要对分子或分母进行因式分解（在分解因式时注意不要出现符号错误），然后找出其中的公因式，并把公因式约去．（3）分式的乘方运算，先确定幂的符号，遵守“正数的任何次幂都是正数，负数的偶数次幂是正数，负数的奇数次幂是负数”的原则．（4）分式的混合运算有乘方，先算乘方，再算乘除，有时灵活运用运算律，运算结果必须是最简分式或整式．注意运算顺序，计算准确．12．（2023·广东·统考中考真题）计算32a a+的结果为（）A ．1aB ．26a C ．5aD ．6a【答案】C【分析】根据分式的加法运算可进行求解．【详解】解：原式5a=；故选：C ．【点睛】本题主要考查分式的运算，熟练掌握分式的运算是解题的关键．13．（2023·天津·统考中考真题）计算21211x x ---的结果等于（）A ．1-B ．1x -C ．11x +D ．211x -【答案】C【分析】根据异分母分式加减法法则进行计算即可．【详解】解：()()()()21212111111x x x x x x x +-=----+-+()()1211x x x +-=-+()()111x x x -=-+11x =+；故选：C ．【点睛】本题考查了异分母分式加减法法则，解答关键是按照相关法则进行计算．14．（2023·内蒙古赤峰·统考中考真题）化简422x x +-+的结果是（）A ．1B ．224x x -C ．2x x +D ．22x x +【答案】D【分析】根据分式的加减混合运算法则即可求出答案.【详解】解：422x x +-+()()4222x x x ++-=+22x x =+.故选：D.【点睛】本题考查了分式的化简，解题的关键在于熟练掌握分式加减混合运算法则.15．（2023·湖北武汉·统考中考真题）已知210x x --=，计算2221121-⎛⎫-÷ ⎪+++⎝⎭x x x x x x 的值是（）A ．1B ．1-C ．2D ．2-【答案】A【分析】根据分式的加减运算以及乘除运算法则进行化简，然后把21x x =+代入原式即可求出答案．【详解】解：2221121-⎛⎫-÷⎪+++⎝⎭x x x x x x =()()()()2121111x x x x x x x x x ⎡⎤-+-÷⎢⎥+++⎢⎥⎣⎦=()()()21111x x x x x x +-⋅+-=21x x +，∵210x x --=，∴21x x =+，∴原式=21x x +=1，故选：A.【点睛】本题考查分式的混合运算及求值．解题的关键是熟练运用分式的加减运算以及乘除运算法则．16．（2023·黑龙江绥化·统考中考真题）化简：2222142442x x x x x x x x x+--⎛⎫-÷= ⎪--+-⎝⎭_______．【答案】12x -【分析】先根据分式的加减计算括号内的，同时将除法转化为乘法，再根据分式的性质化简即可求解．【详解】解：2222142442x x x x x x x x x+--⎛⎫-÷ ⎪--+-⎝⎭()()()()()2221242x x x x x x x x x +----=⨯--()()2222442x x x x xx x x ---+=⨯--12x =-；故答案为：12x -．【点睛】本题考查了分式的混合运算，熟练掌握分式的运算法则是解题的关键．17．（2020·山西中考真题）下面是小彬同学进行分式化简的过程，请认真阅读并完成相应任务．229216926x x x x x -+-+++2(3)(3)21(3)2(3)x x x x x +-+=-++第一步32132(3)x x x x -+=-++第二步2(3)212(3)2(3)x x x x -+=-++第三步26(21)2(3)x x x --+=+第四步26212(3)x x x --+=+第五步526x =-+第六步任务一：填空：①以上化简步骤中，第_____步是进行分式的通分，通分的依据是____________________或填为_____________________________；②第_____步开始出现错误，这一步错误的原因是_____________________________________；任务二：请直接写出该分式化简后的正确结果；任务三：除纠正上述错误外，请你根据平时的学习经验，就分式化简时还需要注意的事项给其他同学提一条建议．【答案】任务一：①三；分式的基本性质；分式的分子与分母都乘（或除以）同一个不为零的整式，分式的值不变；②五；括号前是“-”号，去掉括号后，括号里的第二项没有变号；任务二：726x -+；任务三：最后结果应化为最简分式或整式，答案不唯一，详见解析．【分析】先把能够分解因式的分子或分母分解因式，化简第一个分式，再通分化为同分母分式，按照同分母分式的加减法进行运算，注意最后的结果必为最简分式或整式．【解析】任务一：①三；分式的基本性质；分式的分子与分母都乘（或除以）同一个不为零的整式，分式的值不变；故答案为：三；分式的基本性质；分式的分子与分母都乘（或除以）同一个不为零的整式，分式的值不变；②五；括号前是“-”号，去掉括号后，括号里的第二项没有变号；故答案为：五；括号前是“-”号，去掉括号后，括号里的第二项没有变号；任务二：解；229216926x x x x x -+-+++2(3)(3)21(3)2(3)x x x x x +-+=-++32132(3)x x x x -+=-++2(3)212(3)2(3)x x x x -+=-++26(21)2(3)x x x --+=+26212(3)x x x ---=+726x =-+．任务三：解：答案不唯一，如：最后结果应化为最简分式或整式；约分，通分时，应根据分式的基本性质进行变形；分式化简不能与解分式方程混淆，等．【点睛】本题考查的是有理数的混合运算，分式的化简，掌握以上两种以上是解题的关键．考向五分式化简求值18．（2023·广东深圳·统考中考真题）先化简，再求值：22111121x x x x -⎛⎫+÷ ⎪--+⎝⎭，其中3x =．【答案】1x x +，34【分析】先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再把x 的值代入进行计算即可．【详解】22111121x x x x -⎛⎫+÷ ⎪--+⎝⎭()()()21111x x x x x +-=÷--111x x x x -=⨯-+1xx =+∵3x =∴原式33314==+．【点睛】本题考查了分式的化简求值，熟知分式混合运算的法则是解答此题的关键．19．（2023·四川眉山·统考中考真题）先化简：214111x x x -⎛⎫-÷ ⎪--⎝⎭，再从2,1,1,2--选择中一个合适的数作为x 的值代入求值．【答案】12x +；1【分析】先根据分式混合运算法则进行计算，然后再代入数据求值即可．【详解】解：214111x x x -⎛⎫-÷ ⎪--⎝⎭()()2211111x x x x x x +--⎛⎫-÷ ⎪---⎝⎭=()()()12122x x x x x =--⋅-+-12x =+，∵1x ≠，2±，∴把=1x -代入得：原式1112==-+．【点睛】本题主要考查了分式化简求值，解题的关键是熟练掌握分式混合运算法则，准确计算．20．（2023·山东烟台·统考中考真题）先化简，再求值：2695222a a a a a -+⎛⎫÷++ ⎪--⎝⎭，其中a 是使不等式112a -≤成立的正整数．【答案】33a a -+；12-【分析】先根据分式混合运算法则进行化简，然后求出不等式的解集，得出正整数a 的值，再代入数据计算即可．【详解】解：2695222a a a a a -+⎛⎫÷++ ⎪--⎝⎭()()()23225222a a a a a a -+-⎡⎤=÷+⎢⎥---⎣⎦()2234522a a a a --+=÷--()()()232233a a a a a --=⋅-+-33a a -=+，解不等式112a -≤得：3a ≤，∵a 为正整数，∴1a =，2，3，∵要使分式有意义20a -≠，∴2a ≠，∵当3a =时，552320223a a ++=++=--，∴3a ≠，∴把1a =代入得：原式131132-==-+．【点睛】本题主要考查了分式化简求作，分式有意义的条件，解不等式，解题的关键是熟练掌握分式混合运算法则，准确计算．21．（2023·江西·统考中考真题）化简2111x x x x x x-⎛⎫+⋅ ⎪+-⎝⎭．下面是甲、乙两同学的部分运算过程：解：原式()()()()()()21111111x x x x x x x x x x⎡⎤-+-=+⋅⎢⎥+-+-⎣⎦……解：原式221111x x x x x x x x--=⋅+⋅+-……(1)甲同学解法的依据是________，乙同学解法的依据是________；（填序号）①等式的基本性质；②分式的基本性质；③乘法分配律；④乘法交换律．(2)请选择一种解法，写出完整的解答过程．【答案】(1)②，③；(2)见解析【分析】（1）根据所给的解题过程即可得到答案；（2）甲同学的解法：先根据分式的基本性质把小括号内的分式先同分，然后根据分式的加法计算法则求解，最后根据分式的乘法计算法则求解即可；乙同学的解法：根据乘法分配律去括号，然后计算分式的乘法，最后合并同类项即可．【详解】（1）解：根据解题过程可知，甲同学解法的依据是分式的基本性质，乙同学解法的依据是乘法分配律，故答案为：②，③；（2）解：甲同学的解法：原式()()()()()()21111111x x x x x x x x x x⎡⎤-+-=+⋅⎢⎥+-+-⎣⎦()()()()221111x x x x x x x x x =⋅+++---+()()()()211112x x x x x x =⋅+-+-2x =；乙同学的解法：原式221111x x x x x x x x--=⋅+⋅+-()()()()111111x x x x x x x x x x=⋅+⋅+-+--+11x x =-++2x =．【点睛】本题主要考查了分式的混合计算，熟知相关计算法则是解题的关键．22．（2023·山东枣庄·统考中考真题）先化简，再求值：222211a a a a a ⎛⎫-÷ ⎪--⎝⎭，其中a 的值从不等式组1a -<<的解集中选取一个合适的整数．【答案】21a a a --，12【分析】先根据分式的混合运算法则，进行化简，再选择一个合适的整数，代入求值即可．【详解】解：原式222223111a a a a a a a ⎛⎫=-÷ ⎪-⎝⎭---()2222111a a aa a a =⋅----21a aa =--；∵220,10a a ≠-≠，∴0,1a a ≠≠±，23=<=，∴1a -<<0,1,2，∵0,1a a ≠≠±，∴2a =，原式2122221--==．【点睛】本题考查分式的化简求值，求不等式组的整数解．熟练掌握相关运算法则，正确的进行计算，是解题的关键．23．（2023·山东滨州·统考中考真题）先化简，再求值：22421244a a a a a a a a -+-⎛⎫÷- ⎪--+⎝⎭，其中a 满足1216cos6004a a -⎛⎫-⋅+ ⎪⎭︒=⎝．【答案】244a a -+；1【分析】先根据分式的加减计算括号内的，然后将除法转化为乘法，再根据分式的性质化简，根据负整数指数幂，特殊角的三角函数值，求得2430a a -+=的值，最后将2430a a -+=代入化简结果即可求解．【详解】解：22421244a a a a a a a a -+-⎛⎫÷- ⎪--+⎝⎭()()()()()22221422a a a a a a a a a a ⎡⎤+---=÷⎢⎥--⎢⎥⎣⎦()()()()222142a a a a a a a a +----=÷-()222244a a a a a a a--=⨯--+()22a =-244a a =-+；∵1216cos6004a a -⎛⎫-⋅+ ⎪⎭︒=⎝，即2430a a -+=，∴原式2=431011a a -++=+=．【点睛】本题考查了分式化简求值，解题关键是熟练运用分式运算法则以及负整数指数幂，特殊角的三角函数值进行求解．24．（2023·湖北荆州·统考中考真题）先化简，再求值：222222x y x xy y x y x y x y x y ⎛⎫--+--÷ ⎪+-+⎝⎭，其中112x -⎛⎫= ⎪⎝⎭，0(2023)y =-．【答案】-x x y，2【分析】根据分式的运算法则，先将分式进行化简，再将x 和y 的值代入即可求出答案．【详解】解：222222x y x xy y x y x y x y x y⎛⎫--+--÷ ⎪+-+⎝⎭()()()22x y x y x y x y x y x y x y⎡⎤--+=-⋅⎢⎥++--⎢⎥⎣⎦2x y x y x y x y x y x y⎛⎫--+=-⋅ ⎪++-⎝⎭x x y x y x y+=⋅+-xx y=-1122x -⎛⎫== ⎪⎝⎭，0(2023)1y =-=∴原式2221x x y ===--．故答案为：-x x y ，2．【点睛】本题考查了分式的化简求值问题，解题的关键在于熟练掌握分式的运算法则、零次幂、负整数次幂．。
中考一轮复习专题4 分式(一)(含答案)
中考复习之分式（一）知识考点：分式运算是初中代数计算的综合运用，它与整式运算相比，步骤增多，符号变化复杂，方法比较灵活。
了解分式的概念，熟练掌握分式的基本性质，并能灵活运用它进行分式的约分、通分及计算是解题的关键。
精典例题： 【例1】（1）当x 为何值时，分式2122---x xx 有意义？（2）当x 为何值时，分式2122---x xx的值为零？分析：①判断分式有无意义，必须对原分式进行讨论而不能讨论化简后的分式；②在分式BA 中，若B ＝0，则分式BA 无意义；若B ≠0，则分式BA 有意义；③分式BA 的值为零的条件是A ＝0且B ≠0，两者缺一不可。
答案：（1）x ≠2且x ≠－1；（2）x ＝1 【例2】计算：（1）()212242-⨯-÷+-a a a a（2）222---x x x（3）xx x x x x2421212-+÷⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-+ 分析：（1）题是分式的乘除混合运算，应先把除法化为乘法，再进行约分，有乘方的要先算乘方，若分式的分子、分母是多项式，应先把多项式分解因式；（2）题把()2+-x 当作整体进行计算较为简便；（3）题是分式的混合运算，须按运算顺序进行，结果要化为最简分式或整式。
答案：（1）21-a ；（2）24-x ；（3）12---x x【例3】计算：（1）x yx y x x y x y x x -÷⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫⎝⎛--++-3232 （2）4214121111xxxx++++++-分析：对于特殊题型，可根据题目特点，选择适当的方法，使问题简化。
（1）题可以将y x --看作一个整体()y x +-，然后用分配律进行计算；（2）题可采用逐步通分的方法，即先算xx++-1111，用其结果再与212x+相加，依次类推。
答案：（1）yx x -2；（2）818x-探索与创新：【问题】先阅读下列文字，再解答下列问题：初中数学课本中有这样一段叙述：“要比较a 与b 的大小，可先求出a 与b 的差，再看这个差是正数、负数还是零。
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综合应用
• 例3、在我市南沿海公路改建工程中，某段工程拟在30天内（含30天） 完成．现有甲、乙两个工程队，从这两个工程队资质材料可知：若两 队合做24天恰好完成；若两队合做18天后，甲工程队再单独做10天， 也恰好完成．请问：
• （1）甲、乙两个工程队单独完成该工程各需多少天？
• （2）已知甲工程队每天的施工费用为0.6万元，乙工程队每天的施工 费用为0.35万元，要使该工程的施工费用最低，甲、乙两队各做多少 天（同时施工即为合做）？最低施工费用是多少万元？
解:方程两边同乘以(x-3)得
•
x+1=(x-2)(x-1)-(x+1)(x-1)
x-2(x-3)=4
•
解得 x=1
解得 x=2
•
经检验x=1是方程的增根
经检验x=2是方程的根
•
所以该方程无解
所以 x=2
课堂练习
• 4、甲、乙两地相距19千米，某人从甲地去乙地，先步行7千米，然后改骑自 行车，共用2小时到达乙地，已知这个人骑自行车的速度是步行速度的4倍， 求步行的速度和骑车的速度各是多少？
•
A.
x
2
2
x
1
B.
4 2x
C. x 1 x2 1
D.
1 x x 1
• 4、当x为何值时，下列分式有意义？
• •
(1) 5x 4x 1
（2）xx2
9 5
5、当m为何值时，分式
(m 1)(m 3) m2 3m 2
的值为零？
• 6、解方程 7 3 6 x2 x x2 x x2 1
• 4、(1)4x-1≠0 x≠ 1
分式中考专题复习
知识回顾
•
1、在代数式
m a
、3x
、x
1
y
、2x
中，分式共有（D）
•
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
• 2、如果把分式 x 2y 中的x和y都扩大10倍,那么分式的值
（ D）
x
• A. 扩大10倍 B. 缩小10倍 C. 扩大2倍 D. 不变
• 3、下列分式中，是最简分式的是（A）
去分母
乘除 约分 最简分
解法 分式方程
应用
整式方程
验根
课堂练习
•
1、计算
( ac)3 b
(
a b2
)4
b5c3
__a ____
•
19
2、x=__1_2___时，分式
6x 7 2x 1
的值等于
3 5
• 3、解方程：（1） 1 x 2 1
x 1 x 1
（2）
x 2 4 x3 x3
•
解:方程两边同乘以(x+1)(x-1)得
24
60
• 解得a=20,即两队合作20天，剩下乙队单 独做10天费用最低，甲队工作了20天， 乙队工作30天，费用为
•
20×0.6+30×0.35=22.5万元
完善整合
• • • • • • • •分
概念
分式有意义的条件 分式值为0的条件
分式的基本性质 分式的运算
异分母 加减
同分母
通分
•式 • • • • • •
解：设队单独做需要x天，乙队单独做需要y天，根据题意可得
11 1 x y 24
( 1 1 ) 18 1 10 1
xy
x
先解出x=40,再解出y=60,注意验根 再根据（1）解决（2），因为乙的单价低，尽量让乙多做几天， 设合作a天后由乙单独做正好完成，则有
1 a 1 (30 a) 1
4
• (2) x2 5 ≠0,x为任意实数
• 5、解：∵（m-1)(m-3)=0
•
∴m=1或m=3
•
又∵m2-3m+2 ≠0
•
即 (m-1)(m-2) ≠0
•
∴m ≠1且m≠2
•
∴ m=3
• 注意：分式的分母不能为0
• 6、解： 7 3 6 x2 x x2 x x2 1
•
方程的两边同乘以x(x+1)(x-1) ,得
(
x x
2 2
4x x2
) 4
1 x2
4
,其中 x 3” 小玲做
题时把 x 3“错抄成 x 3 ,但她的计算结果也是正确的，请你解释这是怎
么回事?
• 解:
x 2 4x
1
(
x
2
x2
) 4
x24Biblioteka (x2)2 x2
4
4x
(x2
4)
x2
4x x2
4 4
4x
(x2
4)
x2 4
•
所以结果与x的符号无关
•
7(x-1)+3(x+1)=6x
•
解得 x=1
•
经检验x=1是该方程的增根，所以该方程无解
综合应用
• 例1、解方程
10x 15 1 2x 1 1 2x
•
解：方程两边同乘以(2x-1) 得
•
10x-15=2x-1
•
解得 x 7
•
4
经检验 x 7 4
是方程的根，所以
x
7 4
综合应用
•
例2、有一道题：“先化简，再求值:
• 解：设步行的速度为x千米/小时，则骑车的速度
•
为4x千米/小时，根据题意可得
7 19 7 2 x 4x
•
解得 x=5
•
经检验x=5是方程的根，所以x=5
•
骑车的速度为20千米/小时
• 答：步行的速度为5千米/小时，则骑车的速度为20千米/小时
• 谢谢