概率论与数理统计第二版_课后答案_科学出版社_参考答案_
概率论与数理统计第二版课后答案
概率论与数理统计第二版课后答案第一章：概率论的基本概念与性质1.1 概率的定义及其性质1.概率的定义：概率是对随机事件发生的可能性大小的度量。
在概率论中，我们将事件A的概率记为P(A)，其中P(A)的值介于0和1之间。
2.概率的基本性质：–非负性：对于任何事件A，其概率满足P(A) ≥ 0。
–规范性：对于样本空间Ω中的全部事件，其概率之和为1，即P(Ω) = 1。
–可列可加性：对于互不相容的事件序列{Ai}（即Ai∩Aj = ∅，i ≠ j），有P(A1∪A2∪…) = P(A1) + P(A2) + …。
1.2 随机事件与随机变量1.随机事件：随机事件是指在一次试验中所发生的某种结果。
–基本事件：对于只包含一个样本点的事件，称为基本事件。
–复合事件：由一个或多个基本事件组成的事件称为复合事件。
2.随机变量：随机变量是将样本空间Ω上的每个样本点赋予一个实数的函数。
随机变量可以分为两种类型：–离散型随机变量：其取值只可能是有限个或可列无穷个实数。
–连续型随机变量：其取值在某个区间内的任意一个值。
1.3 事件的关系与运算1.事件的关系：事件A包含于事件B（记作A ⊆ B）指的是事件B发生时，事件A一定发生。
如果A ⊆ B且B ⊆ A，则A与B相等（记作A = B）。
–互不相容事件：指的是两个事件不能同时发生，即A∩B = ∅。
2.事件的运算：对于两个事件A和B，有以下几种运算：–并：事件A和事件B至少有一个发生，记作A∪B。
–交：事件A和事件B同时发生，记作A∩B。
–差：事件A发生而事件B不发生，记作A-B。
第二章：条件概率与独立性2.1 条件概率与乘法定理1.条件概率：在事件B发生的条件下，事件A发生的概率称为事件A在事件B发生的条件下的条件概率，记作P(A|B)。
–条件概率的计算公式：P(A|B) = P(A∩B) / P(B)。
2.乘法定理：对于任意两个事件A和B，有P(A∩B) = P(A|B) * P(B) =P(B|A) * P(A)。
概率论与数理统计(茆诗松)第二版课后第八章习题参考答案
⎧Yij = µ + a i + ε ij , i = 1, 2, L , r , j = 1, 2, L , m; ⎪ r ⎪ ⎨∑ a i = 0; ⎪ i =1 2 ⎪ ⎩ε ij 相互独立，且都服从N (0, σ ).
检验的原假设与备择假设为 H0：a 1 = a 2 = … = a r = 0 8.1.3 平方和分解 vs H1：a 1 , a 2 , …, a r 不全等于 0．
i =1 j =1 i =1 j =1 r m r m r m r m r m
= ∑∑ (Yij − Yi⋅ ) 2 + ∑∑ (Yi⋅ − Y ) 2 + 2∑∑ (Yij − Yi⋅ )(Yi⋅ − Y )
i =1 j =1 i =1 j =1 i =1 j =1
= S e + S A + 2∑ [(Yi⋅ − Y )∑ (Yij − Yi⋅ )] = S e + S A + 2∑ [(Yi⋅ − Y ) × 0] = S e + S A + 0 = S e + S A ，
ε i⋅ =
1 m ∑ ε ij ， i = 1, 2, …, r， m j =1
ε=
1 r m 1 r ε = ε i⋅ ． ∑∑ ij r ∑ n i =1 j =1 i =1
显然有 Yi⋅ = µ i + ε i⋅ ， Y = µ + ε ． 在单因子方差分析中通常将试验数据及基本计算结果写成表格形式 因子水平 A1 A2 ┆ Ar Y11 Y21 ┆ Yr1 Y12 Y22 ┆ Yr2 试验数据 … … ┆ … Y 1m Y 2m ┆ Yrm 和 T1 T2 ┆ Tr 和的平方 平方和
概率论与数理统计(茆诗松)第二版第一章课后习题1.1-1.3参考答案
（3）由定义条件 2，知 A1 ,A2 , L , An ∈ F ，根据（2）小题结论，可得 U Ai ∈ F ，
i =1
n
再由定义条件 2，知 U Ai ∈ F ，即 I Ai ∈ F ；
i =1 i =1
n
n
（4）由定义条件 2，知 A1 , A2 , L , An , L ∈ F ，根据定义条件 3，可得 U Ai ∈ F ，
n n −1 n （3）由二项式展开定理 ( x + y ) n = ⎜ ⎜0⎟ ⎟x + ⎜ ⎜1⎟ ⎟x y + L + ⎜ ⎜n⎟ ⎟ y ，令 x = y = 1，得 ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
⎛n⎞ ⎛n⎞ ⎛n⎞ n ⎜ ⎜0⎟ ⎟+⎜ ⎜1⎟ ⎟ +L+ ⎜ ⎜n⎟ ⎟=2 ； ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
⎛ n − 1⎞ ⎛ n − 1⎞ ⎛n⎞ (n − 1)! (n − 1)! (n − 1)! n! ⎟ ⎟ ⎟ [ r + (n − r )] = +⎜ = + = =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎟； r!(n − r )! ⎜ ⎝ r − 1⎠ ⎝ r ⎠ (r − 1)!(n − r )! r!(n − 1 − r )! r!( n − r )! ⎝r⎠ ⎛n⎞ ⎛ n⎞ ⎛n⎞
2
Ω A
B C (A − B )∪C
Ω
证： （1） AB U AB = A( B U B ) = AΩ = A ； （2） A U A B = ( A U A )( A U B ) = Ω( A U B ) = A U B ． 11．设 F 为一事件域，若 An ∈F ，n = 1, 2, …，试证： （1）∅ ∈F ； （2）有限并 U Ai ∈ F ，n ≥ 1；
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习题2参考答案2.1 X 23456789101112P1/36 1/18 1/12 1/95/36 1/65/36 1/9 1/12 1/18 1/362.2解：根据1)(0==∑∞=k k X P ，得10=∑∞=-k kae，即1111=---eae 。
故 1-=e a2.3解：用X 表示甲在两次投篮中所投中的次数，X~B(2,0.7) 用Y 表示乙在两次投篮中所投中的次数, Y~B(2,0.4) (1) 两人投中的次数相同P{X=Y}= P{X=0,Y=0}+ P{X=1,Y=1} +P{X=2,Y=2}=11220202111120202222220.70.30.40.60.70.30.40.60.70.30.40.60.3124C C C C C C ⨯+⨯+⨯=(2)甲比乙投中的次数多P{X >Y}= P{X=1,Y=0}+ P{X=2,Y=0} +P{X=2,Y=1}=12211102200220112222220.70.30.40.60.70.30.40.60.70.30.40.60.5628C C C C C C ⨯+⨯+⨯=2.4解:（1）P{1≤X ≤3}= P{X=1}+ P{X=2}+ P{X=3}=12321515155++= (2) P{0.5<X<2.5}=P{X=1}+ P{X=2}=12115155+= 2.5解：（1）P{X=2,4,6,…}=246211112222k +++ =11[1()]1441314k k lim →∞-=-（2）P{X ≥3}=1―P{X <3}=1―P{X=1}- P{X=2}=1111244--=2.6解：设i A 表示第i 次取出的是次品，X 的所有可能取值为0，1，212341213124123{0}{}()(|)(|)(|)P X P A A A A P A P A A P A A A P A A A A ====18171615122019181719⨯⨯⨯= 1123412342341234{1}{}{}{}{}2181716182171618182161817162322019181720191817201918172019181795P X P A A A A P A A A A P A A A A P A A A A ==+++=⨯⨯⨯+⨯⨯⨯+⨯⨯⨯+⨯⨯⨯= 12323{2}1{0}{1}1199595P X P X P X ==-=-==--=2.7解：(1)设X 表示4次独立试验中A 发生的次数，则X~B(4,0.4)34314044(3)(3)(4)0.40.60.40.60.1792P X P X P X C C ≥==+==+=(2)设Y 表示5次独立试验中A 发生的次数，则Y~B(5,0.4)345324150555(3)(3)(4)(5)0.40.60.40.60.40.60.31744P X P X P X P X C C C ≥==+=+==++=2.8 （1）X ～P(λ)=P(0.5×3)= P(1.5)0 1.51.5{0}0!P X e -=== 1.5e - （2）X ～P(λ)=P(0.5×4)= P(2)0122222{2}1{0}{1}1130!1!P X P X P X e e e ---≥=-=-==--=-2.9解：设应配备m 名设备维修人员。
概率论与数理统计(茆诗松)第二版课后第四章习题参考答案
第四章 大数定律与中心极限定理习题4.11． 如果X X Pn →，且Y X Pn →．试证：P {X = Y } = 1．证：因 | X − Y | = | −(X n − X ) + (X n − Y )| ≤ | X n − X | + | X n − Y |，对任意的ε > 0，有⎭⎬⎫⎩⎨⎧≥−+⎭⎬⎫⎩⎨⎧≥−≤≥−≤2||2||}|{|0εεεY X P X X P Y X P n n ，又因X X Pn →，且Y X Pn →，有02||lim =⎭⎬⎫⎩⎨⎧≥−+∞→εX X P n n ，02||lim =⎭⎫⎩⎨⎧≥−+∞→εY X P n n ，则P {| X − Y | ≥ ε} = 0，取k 1=ε，有01||=⎭⎬⎫⎩⎨⎧≥−k Y X P ，即11||=⎭⎬⎫⎩⎨⎧<−k Y X P ， 故11||lim1||}{1=⎭⎬⎫⎩⎨⎧<−=⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎭⎬⎫⎩⎨⎧<−==+∞→+∞=k Y X P k Y X P Y X P k k I ． 2． 如果X X Pn →，Y Y Pn →．试证：（1）Y X Y X Pn n +→+； （2）XY Y X Pn n →．证：（1）因 | (X n + Y n ) − (X + Y ) | = | (X n − X ) + (Y n − Y )| ≤ | X n − X | + | Y n − Y |，对任意的ε > 0，有⎭⎫⎩⎨⎧≥−+⎭⎬⎫⎩⎨⎧≥−≤≥+−+≤2||2||}|)()({|0εεεY Y P X X P Y X Y X P n n n n ，又因X X P n →，Y Y P n →，有02||lim =⎭⎫⎩⎨⎧≥−+∞→εX X P n n ，02||lim =⎭⎬⎫⎩⎨⎧≥−+∞→εY Y P n n ，故0}|)()({|lim =≥+−++∞→εY X Y X P n n n ，即Y X Y X Pn n +→+；（2）因 | X n Y n − XY | = | (X n − X )Y n + X (Y n − Y ) | ≤ | X n − X | ⋅ | Y n | + | X | ⋅ | Y n − Y |，对任意的ε > 0，有⎭⎬⎫⎩⎨⎧≥−⋅+⎭⎬⎫⎩⎨⎧≥⋅−≤≥−≤2||||2||||}|{|0εεεY Y X P Y X X P XY Y X P n n n n n ，对任意的h > 0，存在M 1 > 0，使得4}|{|1h M X P <≥，存在M 2 > 0，使得8}|{|2hM Y P <≥， 存在N 1 > 0，当n > N 1时，8}1|{|h Y Y P n <≥−， 因| Y n | = | (Y n − Y ) + Y | ≤ | Y n − Y | + | Y |，有4}|{|}1|{|}1|{|22h M Y Y Y P M Y P n n <≥+≥−≤+≥， 存在N 2 > 0，当n > N 2时，4)1(2||2h M X X P n <⎭⎬⎫⎩⎨⎧+≥−ε，当n > max{N 1, N 2}时，有244}1|{|)1(2||2||||22h h h M Y P M X X P Y X X P n n n n =+<+≥+⎭⎬⎫⎩⎨⎧+≥−≤⎭⎬⎫⎩⎨⎧≥⋅−εε，存在N 3 > 0，当n > N 3时，42||1hM Y Y P n <⎭⎬⎫⎩⎨⎧≥−ε，有244}|{|2||2||||11h h h M X P M Y Y P X Y Y P n n =+<≥+⎭⎬⎫⎩⎨⎧≥−≤⎭⎬⎫⎩⎨⎧≥⋅−εε，则对任意的h > 0，当n > max{N 1, N 2, N 3} 时，有h h h Y Y X P Y X X P XY Y X P n n n n n =+<⎭⎬⎫⎩⎨⎧≥−⋅+⎭⎬⎫⎩⎨⎧≥⋅−≤≥−≤222||||2||||}|{|0εεε，故0}|{|lim =≥−+∞→εXY Y X P n n n ，即XY Y X Pn n →．3． 如果X X Pn →，g (x )是直线上的连续函数，试证：)()(X g X g Pn →． 证：对任意的h > 0，存在M > 0，使得4}|{|h M X P <≥， 存在N 1 > 0，当n > N 1时，4}1|{|h X X P n <≥−， 因| X n | = | (X n − X ) + X | ≤ | X n − X | + | X |，则244}|{|}1|{|}1|{|h h h M X P X X P M X P n n =+<≥+≥−≤+≥， 因g (x ) 是直线上的连续函数，有g (x ) 在闭区间 [− (M + 1), M + 1] 上连续，必一致连续， 对任意的ε > 0，存在δ > 0，当 | x − y | < δ 时，有 | g (x ) − g ( y ) | < ε ，存在N 2 > 0，当n > N 2时，4}|{|hX X P n <≥−δ，则对任意的h > 0，当n > max{N 1, N 2} 时，有{}}|{|}1|{|}|{|}|)()({|0M X M X X X P X g X g P n n n ≥+≥≥−≤≥−≤U U δεh hh h M X P M X P X X P n n =++<≥++≥+≥−≤424}|{|}1|{|}|{|δ， 故0}|)()({|lim =≥−+∞→εX g X g P n n ，即)()(X g X g Pn →．4． 如果a X P n →，则对任意常数c ，有ca cX Pn →． 证：当c = 0时，有c X n = 0，ca = 0，显然ca cX Pn →；当c ≠ 0时，对任意的ε > 0，有0||||lim =⎭⎬⎫⎩⎨⎧≥−+∞→c a X P n n ε， 故0}|{|lim =≥−+∞→εca cX P n n ，即ca cX Pn →．5． 试证：X X P n →的充要条件为：n → +∞ 时，有0||1||→⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−+−XX X X E n n ．证：以连续随机变量为例进行证明，设X n − X 的密度函数为p ( y )，必要性：设X X Pn →，对任意的ε > 0，都有0}|{|lim =≥−+∞→εX X P n n ，对012>+εε，存在N > 0，当n > N 时，εεε+<≥−1}|{|2X X P n ， 则∫∫∫≥<∞+∞−+++=+=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−+−εε||||)(||1||)(||1||)(||1||||1||y y n n dy y p y y dy y p y y dy y p y y XX X X E εεεεεεεεεεεεε=+++<≥−+<−+=++≤∫∫≥<11}|{|}|{|1)()(12||||X X P X X P dy y p dy y p n n y y ，故n → +∞ 时，有0||1||→⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−+−XX X X E n n ； 充分性：设n → +∞ 时，有0||1||→⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−+−XX X X E n n ， 因∫∫∫≥≥≥++≤++==≥−εεεεεεεεεε||||||)(||1||1)(11)(}|{|y y y n dy y p y y dy y p dy y p X X P ⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−+−+=++≤∫∞+∞−||1||1)(||1||1X X X X E dy y p y y n n εεεε， 故0}|{|lim =≥−+∞→εX X P n n ，即X X Pn →．6． 设D (x )为退化分布：⎩⎨⎧≥<=.0,1;0,0)(x x x D试问下列分布函数列的极限函数是否仍是分布函数？（其中n = 1, 2, …．）（1）{D (x + n )}； （2）{D (x + 1/n )}； （3）{D (x − 1/n )}．解：（1）对任意实数x ，当n > −x 时，有x + n > 0，D (x + n ) = 1，即1)(lim =++∞→n x D n ，则 {D (x + n )} 的极限函数是常量函数f (x ) = 1，有f (−∞) = 1 ≠ 0，故 {D (x + n )} 的极限函数不是分布函数； （2）若x ≥ 0，有01>+n x ，11=⎟⎠⎞⎜⎝⎛+n x D ，即11lim =⎟⎠⎞⎜⎝⎛++∞→n x D n ，若x < 0，当x n 1−>时，有01<+n x ，01=⎟⎠⎞⎜⎝⎛+n x D ，即01lim =⎟⎠⎞⎜⎝⎛++∞→n x D n ，则⎩⎨⎧≥<=⎟⎠⎞⎜⎝⎛++∞→.0,1;0,01lim x x n x D n 这是在0点处单点分布的分布函数，满足分布函数的基本性质，故⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎟⎠⎞⎜⎝⎛+n x D 1的极限函数是分布函数；（3）若x ≤ 0，有01<−n x ，01=⎟⎠⎞⎜⎝⎛−n x D ，即01lim =⎟⎠⎞⎜⎝⎛−+∞→n x D n ，若x > 0，当x n 1>时，有01>−n x ，11=⎟⎠⎞⎜⎝⎛−n x D ，即11lim =⎟⎠⎞⎜⎝⎛−+∞→n x D n ，则⎩⎨⎧>≤=⎟⎠⎞⎜⎝⎛−+∞→.0,1;0,01lim x x n x D n 在x = 0处不是右连续，故⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎟⎠⎞⎜⎝⎛−n x D 1的极限函数不是分布函数．7． 设分布函数列 {F n (x )} 弱收敛于连续的分布函数F (x )，试证：{F n (x )} 在 (−∞, +∞) 上一致收敛于分布函数F (x )． 证：因F (x ) 为连续的分布函数，有F (−∞) = 0，F (+∞) = 1，对任意的ε > 0，取正整数ε2>k ，则存在分点x 1 < x 2 < … < x k −1，使得1,,2,1,)(−==k i kix F i L ，并取x 0 = −∞，x k = +∞， 可得k k i k x F x F i i ,1,,2,1,21)()(1−=<=−−L ε， 因 {F n (x )} 弱收敛于F (x )，且F (x ) 连续，有 {F n (x )} 在每一点处都收敛于F (x )，则存在N > 0，当n > N 时，1,,2,1,2|)()(|−=<−k i x F x F i i n L ε，且显然有20|)()(|00ε<=−x F x F n ，20|)()(|ε<=−k k n x F x F ，对任意实数x ，必存在j ，1 ≤ j ≤ k ，有x j −1 ≤ x < x j ，因2)()()()(2)(11εε+<≤≤<−−−j j n n j n j x F x F x F x F x F ，则εεεε−=−−>−−>−−222)()()()(1x F x F x F x F j n ，且εεεε=+<+−<−222)()()()(x F x F x F x F j n ，即对任意的ε > 0和任意实数x ，总存在N > 0，当n > N 时，都有 | F n (x ) − F (x ) | < ε ， 故 {F n (x )} 在 (−∞, +∞) 上一致收敛于分布函数F (x )．8． 如果X X Ln →，且数列a n → a ，b n → b ．试证：b aX b X a Ln n n +→+． 证：设y 0是F aX + b ( y ) 的任一连续点，则对任意的ε > 0，存在h > 0，当 | y − y 0 | < h 时，4|)()(|0ε<−++y F y F b aX b aX ，又设y 是满足 | y − y 0 | < h 的F aX + b ( y ) 的任一连续点，因⎟⎠⎞⎜⎝⎛−=⎭⎬⎫⎩⎨⎧−≤=≤+=+a b y F a b y X P y b aX P y F X b aX }{)(，有a b y x −=是F X (x )的连续点，且X X L n→， 有)()(lim x F x F X X n n =+∞→，存在N 1，当n > N 1时，4|)()(|ε<−x F x F X X n ，即4|)()(|ε<−++y F y F b aX b aX n ，则当n > N 1且 | y − y 0 | < h 时，2|)()(||)()(||)()(|00ε<−+−≤−++++++y F y F y F y F y F y F b aX b aX b aX b aX b aX b aX n n ， 因X 的分布函数F X (x ) 满足F X (−∞) = 0，F X (+∞) = 1，F X (x ) 单调不减且几乎处处连续， 存在M ，使得F X (x ) 在x = ± M 处连续，且41)(ε−>M F X ，4)(ε<−M F X ，因X X Ln →，有41)()(lim ε−>=+∞→M F M F X X n n ，4)()(lim ε<−=−+∞→M F M F X X n n ，则存在N 2，当n > N 2时，41)(ε−>M F n X ，4)(ε<−M F n X ，可得2)(1)(}|{|ε<−+−=>M F M F M X P n n X X n ，因数列a n → a ，b n → b ，存在N 3，当n > N 3时，M h a a n 4||<−，4||h b b n <−， 可得当n > max{N 2, N 3}时，⎭⎫⎩⎨⎧>−+−=⎭⎬⎫⎩⎨⎧>+−+2|)()(|2|)()(|h b b X a a P h b aX b X a P n n n n n n n2}|{|24||42||||||ε<>=⎭⎬⎫⎩⎨⎧>+⋅≤⎭⎬⎫⎩⎨⎧>−+⋅−≤M X P h h X M hP h b b X a a P nn n n n ， 则⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎭⎬⎫⎩⎨⎧>+−+⎭⎬⎫⎩⎨⎧+≤+≤≤+=+2|)()(|2}{)(000h b aX b X a h y b aX P y b X a P y F n n n n n n n n b X a n n n U222|)()(|200ε+⎟⎠⎞⎜⎝⎛+<⎭⎬⎫⎩⎨⎧>+−++⎭⎬⎫⎩⎨⎧+≤+≤+h y F h b aX b X a P h y b aX P b aX n n n n n n ， 且⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎭⎬⎫⎩⎨⎧>+−+≤+≤⎭⎬⎫⎩⎨⎧−≤+=⎟⎠⎞⎜⎝⎛−+2|)()(|}{22000h b aX b X a y b X a P h y b aX P h y F n n n n n n n n b aX n U2)(2|)()(|}{00ε+<⎭⎬⎫⎩⎨⎧>+−++≤+≤+y F h b aX b X a P y b X a P n n n b X a n n n n n n n ， 即22)(22000εε+⎟⎠⎞⎜⎝⎛+<<−⎟⎠⎞⎜⎝⎛−+++h y F y F h y F b aX b X a b aX n n n n n ，因当n > N 1且 | y − y 0 | < h 时，2)()(2)(00εε+<<−+++y F y F y F b aX b aX b aX n ，在区间⎟⎠⎞⎜⎝⎛++h y h y 00,2取F aX + b ( y ) 的任一连续点y 1，满足 | y 1 − y 0 | < h ，当n > max{N 1, N 2, N 3}时，εεε+<+≤+⎟⎠⎞⎜⎝⎛+<++++)(2)(22)(0100y F y F h y F y F b aX b aX b aX b X a n n n n n ，在区间⎟⎠⎞⎜⎝⎛−−2,00h y h y 取F aX + b ( y ) 的任一连续点y 2，满足 | y 2 − y 0 | < h ，当n > max{N 1, N 2, N 3}时，εεε−>−≥−⎟⎠⎞⎜⎝⎛−>++++)(2)(22)(0200y F y F h y F y F b aX b aX b aX b X a n n n n n ，即对于F aX + b ( y ) 的任一连续点y 0，当n > max{N 1, N 2, N 3}时，ε<−++|)()(|00y F y F b aX b X a n n n ， 故)()(y F y F b aX Wb X a n n n ++→，b aX b X a Ln n n +→+． 9． 如果X X Ln →，a Y Pn →，试证：a X Y X Ln n +→+． 证：设y 0是F X + a ( y ) 的任一连续点，则对任意的ε > 0，存在h > 0，当 | y − y 0 | < h 时，4|)()(|0ε<−++y F y F a X a X ，又设y 是满足 | y − y 0 | < h 的F X + a ( y )的任一连续点，因F X + a ( y ) = P {X + a ≤ y } = P {X ≤ y − a } = F X ( y − a )，有x = y − a 是F X (x )的连续点，且X X Ln →， 有)()(lim x F x F X X n n =+∞→，存在N 1，当n > N 1时，4|)()(|ε<−x F x F X X n ，即4|)()(|ε<−++y F y F a X a X n ， 则当n > N 1且 | y − y 0 | < h 时，2|)()(||)()(||)()(|00ε<−+−≤−++++++y F y F y F y F y F y F a X a X a X a X a X a X n n ，因a Y Pn →，有02||lim =⎭⎫⎩⎨⎧>−+∞→h a Y P n n ，存在N 2，当n > N 2时，22||ε<⎭⎬⎫⎩⎨⎧>−h a Y P n ， 则⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎭⎫⎩⎨⎧>−⎭⎬⎫⎩⎨⎧+≤+≤≤+=+2||2}{)(000h a Y h y a X P y Y X P y F n n n n Y X n n U222||200ε+⎟⎠⎞⎜⎝⎛+<⎭⎬⎫⎩⎨⎧>−+⎭⎬⎫⎩⎨⎧+≤+≤+h y F h a Y P h y a X P a X n n n ， 且⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎭⎫⎩⎨⎧>−≤+≤⎭⎬⎫⎩⎨⎧−≤+=⎟⎠⎞⎜⎝⎛−+2||}{22000h a Y y Y X P h y a X P h y F n n n n a X n U2)(2||}{00ε+<⎭⎬⎫⎩⎨⎧>−+≤+≤+y F h a Y P y Y X P n n Y X n n n ， 即22)(22000εε+⎟⎠⎞⎜⎝⎛+<<−⎟⎠⎞⎜⎝⎛−+++h y F y F h y F a X Y X a X n n n n ，因当n > N 1且 | y − y 0 | < h 时，2)()(2)(00εε+<<−+++y F y F y F a X a X a X n ，在区间⎟⎠⎞⎜⎝⎛++h y h y 00,2取F X + a ( y ) 的任一连续点y 1，满足 | y 1 − y 0 | < h ，当n > max{N 1, N 2}时，εεε+<+≤+⎟⎠⎞⎜⎝⎛+<++++)(2)(22)(0100y F y F h y F y F a X a X a X Y X n n n n ，在区间⎟⎠⎞⎜⎝⎛−−2,00h y h y 取F X + a ( y ) 的任一连续点y 2，满足 | y 2 − y 0 | < h ，当n > max{N 1, N 2}时，εεε−>−≥−⎟⎠⎞⎜⎝⎛−>++++)(2)(22)(0200y F y F h y F y F a X a X a X Y X n n n n ，即对于F X + a ( y ) 的任一连续点y 0，当n > max{N 1, N 2}时，ε<−++|)()(|00y F y F a X Y X n n ， 故)()(y F y F a X WY X n n ++→，a X Y X Ln n +→+． 10．如果X X Ln →，0Pn Y →，试证：0Pn n Y X →．证：因X 的分布函数F X (x ) 满足F X (−∞) = 0，F X (+∞) = 1，F X (x ) 单调不减且几乎处处连续，则对任意的h > 0，存在M ，使得F X (x ) 在x = ± M 处连续，且41)(h M F X −>，4)(hM F X <−， 因X X L n →，有41)()(lim h M F M F X X n n −>=+∞→，4)()(lim h M F M F X X n n <−=−+∞→，则存在N 1，当n > N 1时，41)(h M F n X −>，4)(hM F n X <−，可得2)(1)(}|{|hM F M F M X P n n X X n <−+−=>，因0Pn Y →，对任意的ε > 0，有0||lim =⎭⎬⎫⎩⎨⎧>+∞→M Y P n n ε，存在N 2，当n > N 2时，2||h M Y P n <⎭⎬⎫⎩⎨⎧>ε， 则当n > max{N 1, N 2}时，有h M Y P M X P M Y M X P Y X P n n n n n n <⎭⎬⎫⎩⎨⎧>+>≤⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎭⎬⎫⎩⎨⎧>>≤>εεε||}|{|||}|{|}|{|U ，故0}|{|lim =>+∞→εn n n Y X P ，即0Pn n Y X →．11．如果X X Ln →，a Y Pn →，且Y n ≠ 0，常数a ≠ 0，试证：aXY X L n n →． 证：设y 0是F X / a ( y ) 的任一连续点，则对任意的ε > 0，存在h > 0，当 | y − y 0 | < h 时，4|)()(|0//ε<−y F y F a X a X ，又设y 是满足 | y − y 0 | < h 的F X / a ( y ) 的任一连续点，因)(}{)(/ay F ay X P y a X P y F X a X =≤=⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤=，有x = ay 是F X (x )的连续点，且X X Ln →，有)()(lim x F x F X X n n =+∞→，存在N 1，当n > N 1时，4|)()(|ε<−x F x F X X n ，即4|)()(|//ε<−y F y F a X a X n ，则当n > N 1且 | y − y 0 | < h 时，2|)()(||)()(||)()(|0////0//ε<−+−≤−y F y F y F y F y F y F a X a X a X a X a X a X n n ，因X 的分布函数F X (x )满足F X (−∞) = 0，F X (+∞) = 1，F X (x )单调不减且几乎处处连续，存在M ，使得F X (x ) 在x = ± M 处连续，且121)(ε−>M F X ，12)(ε<−M F X ，因X X Ln →，有121)()(lim ε−>=+∞→M F M F X X n n ，12)()(lim ε<−=−+∞→M F M F X X n n ，则存在N 2，当n > N 2时，121)(ε−>M F n X ，12)(ε<−M F n X ，可得6)(1)(}|{|ε<−+−=>M F M F M X P n n X X n ，因0≠→a Y Pn ，有02||lim =⎭⎬⎫⎩⎨⎧>−+∞→h a Y P n n ，存在N 3 > 0，当n > N 3时，62||||ε<⎭⎬⎫⎩⎨⎧>−a a Y P n ，有62||||ε<⎭⎬⎫⎩⎨⎧<a Y P n ，且64||2ε<⎭⎬⎫⎩⎨⎧>−M h a a Y P n ， 可得当n > max{N 1, N 2, N 3}时，⎭⎬⎫⎩⎨⎧>⋅−⋅=⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧>−=⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧>−2||||||||2)(2h Y a a Y X P h aY Y a X P h a X Y X P n n n n n n n n n ⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧⎭⎬⎫⎩⎨⎧<⎭⎬⎫⎩⎨⎧>−>≤2||||4||}|{|2a Y M h a a Y M X P n n n U U22||||4||}|{|2ε<⎭⎬⎫⎩⎨⎧<+⎭⎬⎫⎩⎨⎧>−+>≤a Y P M h a a Y P M X P n n n ，则⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧⎪⎭⎪⎫⎪⎩⎪⎨⎧>−⎭⎬⎫⎩⎨⎧+≤≤⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤=22)(000/h a X Y X h y a XP y Y X P y F n n n n n n Y X n n U22220/0ε+⎟⎠⎞⎜⎝⎛+<⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧>−+⎭⎬⎫⎩⎨⎧+≤≤h y F h a X Y X P h y a X P a X n n n n n ，且⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧>−⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤≤⎭⎬⎫⎩⎨⎧−≤=⎟⎠⎞⎜⎝⎛−222000/h a X Y X y Y X P h y a X P h y F n n n nn n a X n U2)(20/0ε+<⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧>−+⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤≤y F h a X Y X P y Y X P n n Y X n n n n n ，即22)(220/0/0/εε+⎟⎠⎞⎜⎝⎛+<<−⎟⎠⎞⎜⎝⎛−h y F y F h y F a X Y X a X n n n n ，因当n > N 1且 | y − y 0 | < h 时，2)()(2)(0//0/εε+<<−y F y F y F a X a X a X n ，在区间⎟⎠⎞⎜⎝⎛++h y h y 00,2取F X / a ( y ) 的任一连续点y 1，满足 | y 1 − y 0 | < h ，当n > max{N 1, N 2, N 3}时，εεε+<+≤+⎟⎠⎞⎜⎝⎛+<)(2)(22)(0/1/0/0/y F y F h y F y F a X a X a X Y X n n n n ，在区间⎟⎠⎞⎜⎝⎛−−2,00h y h y 取F X / a ( y ) 的任一连续点y 2，满足 | y 2 − y 0 | < h ，当n > max{N 1, N 2, N 3}时，εεε−>−≥−⎟⎠⎞⎜⎝⎛−>)(2)(22)(0/2/0/0/y F y F h y F y F a X a X a X Y X n n n n ，即对于F X / a ( y ) 的任一连续点y 0，当n > max{N 1, N 2, N 3}时，ε<−|)()(|0/0/y F y F a X Y X n n ，故)()(//y F y F a X WY X n n →，aX Y X L n n →． 12．设随机变量X n 服从柯西分布，其密度函数为+∞<<∞−+=x x n nx p n ,)1π()(22．试证：0Pn X →．证：对任意的ε > 0，)arctan(π2)arctan(π1)1π(}|{|22εεεεεεn nx dx x n n X P n ==+=<−−∫， 则12ππ2)arctan(lim π2}|0{|lim =⋅==<−+∞→+∞→εεn X P n n n ， 故0Pn X →．13．设随机变量序列{X n }独立同分布，其密度函数为⎪⎩⎪⎨⎧<<=.,0;0,1)(其他ββx x p其中常数β > 0，令Y n = max{X 1, X 2, …, X n }，试证：βPn Y →．证：对任意的ε > 0，P {| Y n − β | < ε} = P {β − ε < Y n < β + ε} = P {max{X 1, X 2, …, X n } > β − ε}= 1 − P {max{X 1, X 2, …, X n } ≤ β − ε} = 1 − P {X 1 ≤ β − ε} P {X 2 ≤ β − ε} … P {X n ≤ β − ε}n⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−−=βεβ1， 则11lim }|{|lim =⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−−=<−+∞→+∞→nn n n Y P βεβεβ， 故βPn Y →．14．设随机变量序列{X n }独立同分布，其密度函数为⎩⎨⎧<≥=−−.,0;,e )()(a x a x x p a x 其中Y n = min{X 1, X 2, …, X n }，试证：a Y Pn →．证：对任意的ε > 0，P {| Y n − a | < ε} = P {a − ε < Y n < a + ε} = P {min{X 1, X 2, …, X n } < a + ε}= 1 − P {min{X 1, X 2, …, X n } ≥ a + ε} = 1 − P {X 1 ≥ a + ε} P {X 2 ≥ a + ε} … P {X n ≥ a + ε}εεεn na a x n a a x dx −∞++−−∞++−−−=⎟⎠⎞⎜⎝⎛−−=⎟⎠⎞⎜⎝⎛−=∫e 1e 1e 1)()(， 则1)e 1(lim }|{|lim =−=<−−+∞→+∞→εεn n n n a Y P ，故a Y Pn →．15．设随机变量序列{X n }独立同分布，且X i ~ U(0, 1)．令nni i n X Y 11⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=∏=，试证明：c Y P n →，其中c 为常数，并求出c ．证：设∑∏===⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛==n i i n i i n n X n X n Y Z 11ln 1ln 1ln ，因X i ~ U (0, 1)， 则1)ln (ln )(ln 101−=−==∫x x x xdx X E i ，2)2ln 2ln (ln )(ln 12122=+−==∫x x x x x xdx X E i ，1)](ln [)(ln )Var(ln 22=−=i i i X E X E X ， 可得1)(ln 1)(1−==∑=n i i n X E n Z E ，n X nZ ni in 1)Var(ln 1)Var(12==∑=，由切比雪夫不等式，可得对任意的ε > 0，221)Var(}|)({|εεεn Z Z E Z P n n n =≤≥−，则01lim }|)({|lim 02=≤≥−≤+∞→+∞→εεn Z E Z P n n n n ，即0}|)({|lim =≥−+∞→εn n n Z E Z P ，1)(−=→n P n Z E Z ，因n Z n Y e =，且函数e x 是直线上的连续函数，根据本节第3题的结论，可得1e e −→=PZ n n Y ， 故c Y Pn →，其中1e −=c 为常数．16．设分布函数列{F n (x )}弱收敛于分布函数F (x )，且F n (x ) 和F (x ) 都是连续、严格单调函数，又设 ξ 服从(0, 1)上的均匀分布，试证：)()(11ξξ−−→F F Pn． 证：因F (x ) 为连续的分布函数，有F (−∞) = 0，F (+∞) = 1，则对任意的h > 0，存在M > 0，使得21)(h M F −>，2)(h M F <−， 因F (x ) 是连续、严格单调函数，有F −1( y ) 也是连续、严格单调函数， 可得F −1( y ) 在区间 [F (− M − 1), F (M + 1)] 上一致连续， 对任意的ε > 0，存在δ > 0，当y , y * ∈ [F (− M − 1), F (M + 1)] 且 | y − y * | < δ 时，| F −1( y ) − F −1( y *) | < ε， 设y * 是 [F (−M ), F (M )] 中任一点，记x * = F −1( y *)，有x * ∈ [−M , M ]，不妨设0 < ε < 1， 则对任意的x 若满足 ε≥−|*|x x ，就有 δ≥−|*)(|y x F ，根据本节第7题的结论知，{F n (x )} 在 (−∞, +∞) 上一致收敛于分布函数F (x )， 则对δ > 0和任意实数x ，总存在N > 0，当n > N 时，都有 | F n (x ) − F (x ) | < δ， 因当n > N 时，δ<−|)()(|x F x F n 且δ≥−|*(|y x F ，有*)(y x F n ≠，即*)(1y F x n −≠， 则对任意的0 < ε < 1，当n > N 时，*)(1y F n −满足ε<−=−−−−|*)(*)(||**)(|111y F y F x y F n n ， 可得对任意的0 < ε < 1，当n > N 时，h M F M F P F F P n −>−∈≥<−−−1)]}(),([{}|)()({|11ξεξξ由h 的任意性可知1}|)()({|lim 11=<−−−+∞→εξξF F P n n ，故)()(11ξξ−−→F F Pn．17．设随机变量序列{X n }独立同分布，数学期望、方差均存在，且E (X n ) = µ，试证：µP n k k X k n n →⋅+∑=1)1(2．证：令∑=⋅+=nk k n X k n n Y 1)1(2，并设Var (X n ) = σ 2， 因µµµ=+⋅+=+=∑=)1(21)1(2)1(2)(1n n n n k n n Y E nk n ， 且222212222)1(324)12)(1(61)1(4)1(4)Var(σσσ++=++⋅+=+=∑=n n n n n n n n k n n Y nk n ， 则由切比雪夫不等式可得，对任意的ε > 0，222)1(3241)Var(1}|{|1σεεεµ++−=−≥<−≥n n n Y Y P n n ， 因1)1(3241lim 22=⎥⎦⎤⎢⎣⎡++−+∞→σεn n n n ，由夹逼准则可得1}|{|lim =<−+∞→εµn n Y P ， 故µP n k kn X k n n Y →⋅+=∑=1)1(2． 18．设随机变量序列{X n }独立同分布，数学期望、方差均存在，且E (X n ) = 0，Var (X n ) = σ 2．试证：E (X n ) = 0，Var (X n ) = σ 2．试证：2121σP n k k X n →∑=． 注：此题与第19题应放在习题4.3中，需用到4.3节介绍的辛钦大数定律．证：因随机变量序列}{2n X 独立同分布，且222)]([)Var()(σ=+=n n n X E X X E 存在，故}{2nX 满足辛钦大数定律条件，}{2nX 服从大数定律，即2121σP n k k X n →∑=．19．设随机变量序列{X n }独立同分布，且Var (X n ) = σ 2存在，令∑==n i i X n X 11，∑=−=n i i n X X n S 122)(1．试证：22σPnS →．证：2122112122122121)2(1)(1X X n X n X X X n X X X X n X X n S n i i ni i n i i n i i i n i i n−=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛+−=+−=−=∑∑∑∑∑=====，设E(X n ) = µ，{X n }满足辛钦大数定律条件，{X n }服从大数定律，即µP nk k X n X →=∑=11，则根据本节第2题第（2）小问的结论知，22µPX →，因随机变量序列}{2n X 独立同分布，且2222)]([)Var()(µσ+=+=n n n X E X X E 存在，则}{2nX 满足辛钦大数定律条件，}{2nX 服从大数定律，即22121µσ+→∑=P n k k X n ，故根据本节第2题第（1）小问的结论知，22222122)(1σµµσ=−+→−=∑=P n i i nX X n S ．20．将n 个编号为1至n 的球放入n 个编号为1至n 的盒子中，每个盒子只能放一个球，记⎩⎨⎧=.,0;,1反之的盒子的球放入编号为编号为i i X i 且∑==ni i n X S 1，试证明：0)(Pn n n S E S →−． 证：因n X P i 1}1{==，nX P i 11}0{−==，且i ≠ j 时，)1(1}1{−==n n X X P j i ，)1(11}0{−−==n n X X P j i ， 则n X E i 1)(=，⎟⎠⎞⎜⎝⎛−=n n X i 111)Var(， 且i ≠ j 时，)1(1)(−=n n X X E j i ，)1(11)1(1)()()(),Cov(22−=−−=−=n n n n n X E X E X X E X X j i j i j i ， 有1)()(1==∑=ni i n X E S E ，1)1(1)1(11),Cov(2)Var()Var(211=−⋅−+−=+=∑∑≤<≤=n n n n n X X X S nj i j i ni i n ， 可得0)]()([1)(=−=⎥⎦⎤⎢⎣⎡−n n n n S E S E n n S E S E ，221)Var(1)(Var n S n n S E S n n n ==⎥⎦⎤⎢⎣⎡−， 由切比雪夫不等式，可得对任意的ε > 0，2221)(Var 1)()(εεεn n S E S n S E S E n S E S P n n n n n n =⎥⎦⎤⎢⎣⎡−≤⎭⎬⎫⎩⎨⎧≥⎥⎦⎤⎢⎣⎡−−−， 则01lim )()(lim 022=≤⎭⎬⎫⎩⎨⎧≥⎥⎦⎤⎢⎣⎡−−−≤+∞→+∞→εεn n S E S E n S E S P n n n n n n ， 故0)(Pn n nS E S →−．习题4.21． 设离散随机变量X 的分布列如下，试求X 的特征函数．1.02.03.04.03210PX解：特征函数ϕ (t ) = e it ⋅ 0 × 0.4 + e it ⋅ 1 × 0.3 + e it ⋅ 2 × 0.2 + e it ⋅ 3 × 0.1 = 0.4 + 0.3 e it + 0.2 e 2it + 0.1 e 3it ．2． 设离散随机变量X 服从几何分布P {X = k } = (1 − p ) k − 1 p ， k = 1, 2, … ．试求X 的特征函数．并以此求E (X ) 和Var (X )． 解：特征函数ititk k ititk k itk p p p p p p t e)1(1e )]1([ee)1(e )(1111−−=−=−⋅=∑∑+∞=−+∞=−ϕ； 因22]e )1(1[e ]e )1(1[]e )1([e ]e )1(1[e )(it it it it it it it p ip p i p p p i p t −−=−−⋅−−⋅−−−⋅⋅=′ϕ，有)()0(2X iE pip ip ===′ϕ，故pX E 1)(=； 因332]e )1(1[]e )1(1[e ]e )1([]e )1(1[e 2]e )1(1[e )(it it it itit itit itp p p i p p ip p i ip t −−−+−=⋅−−⋅−−−−−⋅⋅=′′−−ϕ， 有)(2)2()0(2223X E i pp p p p =−−=−−=′′ϕ，可得222)(p p X E −=， 故222112)Var(p pp p p X −=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−−=． 3． 设离散随机变量X 服从巴斯卡分布rk r p p r k k X P −−⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−−==)1(11}{，k = r , r + 1, …试求X 的特征函数．解：特征函数∑∑+∞=−−+∞=−−+−−−=−⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−−⋅=r k r k it r k itr r r k r k r itkp r k k r p p p r k t )(e)1)(1()1()!1(e )1(11e )(L ϕ ∑∑+∞=−=−−−+∞=−=−−=+−−−=r k p x r k r r it rk p x r k r it ititdx x d r p x r k k r p e )1(111e )1()()!1()e ()1()1()!1()e (L itit it p x r r it p x r r r it p x k k r r r it x r r p x dx d r p x dx d r p e )1(e )1(11e )1(1111)1()!1()!1()e (11)!1()e ()!1()e (−=−=−−−=+∞=−−−−−⋅−=⎟⎠⎞⎜⎝⎛−⋅−=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛⋅−=∑rit itr it r it p p p p ⎥⎦⎤⎢⎣⎡−−=−−=e )1(1e ]e )1(1[)e (． 4． 求下列分布函数的特征函数，并由特征函数求其数学期望和方差．（1）)0(,e 2)(||1>=∫∞−−a dt a x F x t a ； （2）)0(,1π)(222>+=∫∞−a dt at a x F x ． 解：（1）因密度函数||11e 2)()(x a ax F x p −=′=，故⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡−++=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=⋅=+∞−∞−+∞+−∞−+∞+∞−−∫∫∫0)(0)(0)(0)(||1e e 2e e 2ee 2)(ait a it a dx dx a dx a t x a it x a it x a it x a it x a itx ϕ 222112at a a it a it a +=⎟⎠⎞⎜⎝⎛−−+=； 因222222221)(22)()(a t ta t a t a t +−=⋅+−=′ϕ，有)(0)0(1X iE ==′ϕ， 故E (X ) = 0；因32242242222222221)(26)(2)(22)(2)(a t a t a a t t a t t a a t a t +−=+⋅+⋅−+⋅−=′′ϕ， 有)(22)0(222641X E i a a a =−=−=′′ϕ，可得222)(a X E =， 故222202)Var(aa X =−=；（2）因密度函数22221π)()(ax a x F x p +⋅=′=， 则∫+∞∞−+⋅=dx a x a t itx 2221e π)(ϕ， 由第（1）小题的结论知∫∞+∞−=+=dx x p a t a t itx )(e )(12221ϕ，根据逆转公式，可得∫∫∞+∞−−∞+∞−−−+⋅===dt at a dt t a x p itx itx x a 2221||1e π21)(e π21e 2)(ϕ， 可得||||222e πe 2π21e y a y a itya a a dt a t −−−+∞∞−=⋅=+⋅∫， 故||||222e e ππ1e π)(t a t a itx a a dx ax a t −−+∞∞−=⋅=+⋅=∫ϕ； 因⎩⎨⎧>−<=′−,0,e ,0,e )(2t a t a t atat ϕ 有a a −=+′≠=−′)00()00(22ϕϕ，即)0(2ϕ′不存在， 故E (X ) 不存在，Var (X ) 也不存在．5． 设X ~ N (µ, σ 2)，试用特征函数的方法求X 的3阶及4阶中心矩． 解：因X ~ N (µ, σ 2)，有X 的特征函数是222e)(t t i t σµϕ−=，则)(e)(2222t i t t t i σµϕσµ−⋅=′−，)(e)(e )(222222222σσµϕσµσµ−⋅+−⋅=′′−−t t i t t i t i t ，因)()(3e)(e)(2223222222σσµσµϕσµσµ−⋅−⋅+−⋅=′′′−−t i t i t t t i t t i ，有ϕ″′(0) = e 0 ⋅ (i µ )3 + e 0 ⋅ 3i µ ⋅ (−σ 2) = − i µ 3 − 3i µσ 2 = i 3E (X 3) = − i E (X 3)， 故E (X 3) = µ 3 + 3µσ 2； 又因2222222422)4()(3e)()(6e)(e)(222222σσσµσµϕσµσµσµ−⋅+−⋅−⋅+−⋅=−−−t t i t t i t t i t i t i t ，有ϕ (4)(0) = e 0 ⋅ (i µ )4 + e 0 ⋅ 6(i µ)2 ⋅ (−σ 2) + e 0 ⋅ 3σ 4 = µ 4 + 6µ 2σ 2 + 3σ 4 = i 4E (X 4) = E (X 4)， 故E (X 4) = µ 4 + 6µ 2σ 2 + 3σ 4．6． 试用特征函数的方法证明二项分布的可加性：若X ~ b (n , p )，Y ~ b (m , p )，且X 与Y 独立，则X + Y ~ b (n + m , p )．证：因X ~ b (n , p )，Y ~ b (m , p )，且X 与Y 独立，有X 与Y 的特征函数分别为ϕ X (t ) = ( p e it + 1 − p ) n ，ϕ Y (t ) = ( p e it + 1 − p ) m ， 则X + Y 的特征函数为ϕ X + Y (t ) = ϕ X (t ) ⋅ϕ Y (t ) = ( p e it + 1 − p ) n + m ，这是二项分布b (n + m , p )的特征函数， 故根据特征函数的唯一性定理知X + Y ~ b (n + m , p )．7． 试用特征函数的方法证明泊松分布的可加性：若X ~ P (λ1)，Y ~ P (λ2)，且X 与Y 独立，则X + Y ~ P (λ1 + λ2)．证：因X ~ P (λ1)，Y ~ P (λ2)，且X 与Y 独立，有X 与Y 的特征函数分别为)1(e1e )(−=itt X λϕ，)1(e2e )(−=itt Y λϕ，则X + Y 的特征函数为)1)(e(21e )()()(−++==itt t t Y X Y X λλϕϕϕ，这是泊松分布P (λ1 + λ2)的特征函数，故根据特征函数的唯一性定理知X + Y ~ P (λ1 + λ2)．8． 试用特征函数的方法证明伽马分布的可加性：若X ~ Ga (α1, λ)，Y ~ Ga (α2, λ)，且X 与Y 独立，则X + Y ~ Ga (α1 + α2 , λ)．证：因X ~ Ga (α1, λ)，Y ~ Ga (α2, λ)，且X 与Y 独立，有X 与Y 的特征函数分别为11)(αλϕ−⎟⎠⎞⎜⎝⎛−=it t X ，21)(αλϕ−⎟⎠⎞⎜⎝⎛−=it t Y ，则X + Y 的特征函数为)(211)()()(ααλϕϕϕ+−+⎟⎠⎞⎜⎝⎛−==it t t t Y X Y X ，这是伽马分布Ga (α1 + α2 , λ)的特征函数，故根据特征函数的唯一性定理知X + Y ~ Ga (α1 + α2 , λ)．9． 试用特征函数的方法证明χ 2分布的可加性：若X ~ χ 2 (n )，Y ~ χ 2 (m )，且X 与Y 独立，则X + Y ~ χ 2 (n + m )．证：因X ~ χ 2 (n )，Y ~ χ 2 (m )，且X 与Y 独立，有X 与Y 的特征函数分别为2)21()(n X it t −−=ϕ，2)21()(m Y it t −−=ϕ，则X + Y 的特征函数为2)21()()()(m n Y X Y X it t t t +−+−==ϕϕϕ，这是χ 2分布χ 2 (n + m )的特征函数，故根据特征函数的唯一性定理知X + Y ~ χ 2 (n + m )．10．设X i 独立同分布，且X i ~ Exp(λ)，i = 1, 2, …, n ．试用特征函数的方法证明：),(~1λn Ga X Y ni i n ∑==．证：因X i ~ Exp (λ)，i = 1, 2, …, n ，且X i 相互独立，有X i 的特征函数为11)(−⎟⎠⎞⎜⎝⎛−=−=λλλϕit it t i X ，则∑==ni i n X Y 1的特征函数为nni X Y it t t i n −=⎟⎠⎞⎜⎝⎛−==∏λϕϕ1)()(1，这是伽马分布Ga (n , λ)的特征函数，故根据特征函数的唯一性定理知Y n ~ Ga (n , λ)．11．设连续随机变量X 的密度函数如下：+∞<<∞−−+⋅=x x x p ,)(π1)(22µλλ， 其中参数λ > 0, −∞ < µ < +∞，常记为X ~ Ch (λ, µ )．（1）试证X 的特征函数为exp{i µ t − λ | t |}，且利用此结果证明柯西分布的可加性； （2）当µ = 0, λ = 1时，记Y = X ，试证ϕ X + Y (t ) = ϕ X (t ) ⋅ϕ Y (t )，但是X 与Y 不独立；（3）若X 1, X 2, …, X n 相互独立，且服从同一柯西分布，试证：)(121n X X X n+++L 与X 1同分布． 证：（1）根据第4题第（2）小题的结论知：若X *的密度函数为22π1)(*xx p +⋅=λλ，即X * ~ Ch (λ, 0)， 则X *的特征函数为ϕ * (t ) = e −λ | t |，且X = X * + µ 的密度函数为22)(π1)(µλλ−+⋅=x x p ， 故X 的特征函数为ϕ X (t ) = e i µ t ϕ * (t ) = e i µ t ⋅ e −λ | t | = e i µ t −λ | t |； 若X 1 ~ Ch (λ1, µ1)，X 2 ~ Ch (λ2, µ2)，且相互独立，有X 1与X 2的特征函数分别为||111e )(t t i X t λµϕ−=，||222e )(t t i X t λµϕ−=， 则X 1 + X 2的特征函数为||)()(21212121e )()()(t t i X X X X t t t λλµµϕϕϕ+−++==，这是柯西分布Ch (λ1 + λ2, µ1 + µ2)的特征函数，故根据特征函数的唯一性定理知X 1 + X 2 ~ Ch (λ1 + λ2, µ1 + µ2)； （2）当µ = 0, λ = 1时，X ~ Ch (1, 0)，有X 的特征函数为ϕ X (t ) = e −| t |，又因Y = X ，有Y 的特征函数为ϕ Y (t ) = e −| t |，且X + Y = 2X ，故X + Y 的特征函数为ϕ X + Y (t ) = ϕ 2X (t ) = ϕ X (2t ) = e −| 2t | = e −| t | ⋅ e −| t | =ϕ X (t ) ⋅ϕ Y (t )； 但Y = X ，显然有X 与Y 不独立；（3）因X i ~ Ch (λ, µ )，i = 1, 2, …, n ，且X i 相互独立，有X i 的特征函数为||e )(t t i X t i λµϕ−=， 则)(121n n X X X nY +++=L 的特征函数为 )(e e )()(1||111t n t t t X t t i n t n ti n ni X ni X nY i in ϕϕϕϕλµλµ===⎟⎠⎞⎜⎝⎛==−⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛⋅−⋅==∏∏，故根据特征函数的唯一性定理知)(121n X X X n+++L 与X 1同分布． 12．设连续随机变量X 的密度函数为p (x )，试证：p (x ) 关于原点对称的充要条件是它的特征函数是实的偶函数．证：方法一：根据随机变量X 与−X 的关系充分性：设X 的特征函数ϕ X (t )是实的偶函数，有ϕ X (t ) = ϕ X (−t )，则−X 的特征函数ϕ −X (t ) = ϕ X (−t ) = ϕ X (t )，根据特征函数的唯一性定理知−X 与X 同分布，因X 的密度函数为p (x )，有−X 的密度函数为p (−x )，故由−X 与X 同分布可知p (−x ) = p (x )，即p (x ) 关于原点对称； 必要性：设X 的密度函数p (x ) 关于原点对称，有p (−x ) = p (x )， 因−X 的密度函数为p (−x )，即−X 与X 同分布，则−X 的特征函数ϕ −X (t ) = ϕ X (−t ) = ϕ X (t )，且)(][e ][e ][e )()()(t E E E t t X itX itX X it X X ϕϕϕ=====−−−， 故X 的特征函数ϕ X (t )是实的偶函数． 方法二：根据密度函数与特征函数的关系充分性：设连续随机变量X 的特征函数ϕ X (t )是实的偶函数，有ϕ X (t ) = ϕ X (−t )，因∫+∞∞−−=dt t x p itx )(e π21)(ϕ，有∫∫+∞∞−+∞∞−−−==−dt t dt t x p itxx it )(e π21)(e π21)()(ϕϕ， 令t = −u ，有dt = −du ，且当t → −∞时，u → +∞；当t → +∞时，u → −∞，则)()(e π21)(e π21))((e π21)()(x p du u du u du u x p iuxiux x u i ==−=−−=−∫∫∫+∞∞−−+∞∞−−−∞∞+−ϕϕϕ， 故p (x ) 关于原点对称；必要性：设X 的密度函数p (x ) 关于原点对称，有p (−x ) = p (x )，因∫+∞∞−−==dx x p E t itxitX)(e )(e)(ϕ，有∫∫+∞∞−−+∞∞−−==−dx x p dx x p t itx xt i )(e )(e)()(ϕ，令x = −y ，有dx = −dy ，且当x → −∞时，y → +∞；当x → +∞时，y → −∞， 则)()(e )(e ))((e )()(t dy y p dy y p dy y p t X ity ity y it X ϕϕ==−=−−=−∫∫∫+∞∞−+∞∞−−∞∞+−−，且)(][e ][e ][e )()()(t E E E t t X itX itX X t i X X ϕϕϕ====−=−−， 故X 的特征函数ϕ X (t )是实的偶函数．13．设X 1, X 2, …, X n 独立同分布，且都服从N(µ , σ 2)分布，试求∑==ni i X n X 11的分布．证：因X i ~ N (µ , σ 2)，i = 1, 2, …, n ，且X i 相互独立，有X i 的特征函数为222e)(t t i X t i σµϕ−=，则∑==n i i X n X 11的特征函数为nt t i n t n t i n ni X n i X n X n t t t i i 2211112222ee)()(σµσµϕϕϕ−⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎟⎠⎞⎜⎝⎛−⋅====⎟⎠⎞⎜⎝⎛==∏∏，这是正态分布⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛n N 2,σµ的特征函数，故根据特征函数的唯一性定理知⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=∑=n N X n X ni i 21,~1σµ． 14．利用特征函数方法证明如下的泊松定理：设有一列二项分布{b (k , n , p n )}，若λ=→∞n n np lim ，则L ,2,1,0,e !),,(lim ==−∞→k k p n k b kn n λλ．证：二项分布b (n , p n )的特征函数为ϕ n (t ) = ( p n e it + 1 − p n ) n = [1 + p n (e it − 1)] n ，且n → ∞时，p n → 0，因)1(e)1(e )1(e 1e )]1(e 1[lim )]1(e 1[lim )(lim −−⋅−→→∞→∞=−+=−+=itit n it n n np p itn p n it n n n n p p t λϕ，。
《概率论与数理统计》科学出版社课后习题答案
第二章 随机变量2.1 X 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 P 1/361/181/121/95/361/65/361/91/121/181/362.2解：根据1)(0==∑∞=k k XP ，得10=∑∞=-k kae，即1111=---eae 。
故 1-=e a2.3解：用X 表示甲在两次投篮中所投中的次数，X~B(2,0.7) 用Y 表示乙在两次投篮中所投中的次数, Y~B(2,0.4) (1) 两人投中的次数相同P{X=Y}= P{X=0,Y=0}+ P{X=1,Y=1} +P{X=2,Y=2}=1122020*********2222220.70.30.40.60.70.30.40.60.70.30.40.60.3124C C C C C C ⨯+⨯+⨯=(2)甲比乙投中的次数多P{X >Y}= P{X=1,Y=0}+ P{X=2,Y=0} +P{X=2,Y=1}=12211102200220112222220.70.30.40.60.70.30.40.60.70.30.40.60.5628C C C C C C ⨯+⨯+⨯=2.4解:（1）P{1≤X ≤3}= P{X=1}+ P{X=2}+ P{X=3}=12321515155++= (2) P {0.5<X<2.5}=P{X=1}+ P{X=2}=12115155+=22.5解：（1）P{X=2,4,6,…}=246211112222k +++=11[1()]1441314k k lim→∞-=- （2）P{X ≥3}=1―P{X <3}=1―P{X=1}- P{X=2}=1111244--= 2.6解：设i A 表示第i 次取出的是次品，X 的所有可能取值为0，1，212341213124123{0}{}()(|)(|)(|)P X P A A A A P A P A A P A A A P A A A A ====18171615122019181719⨯⨯⨯= 1123412342341234{1}{}{}{}{}2181716182171618182161817162322019181720191817201918172019181795P X P A A A A P A A A A P A A A A P A A A A ==+++=⨯⨯⨯+⨯⨯⨯+⨯⨯⨯+⨯⨯⨯=12323{2}1{0}{1}1199595P X P X P X ==-=-==--=2.7解：(1)设X 表示4次独立试验中A 发生的次数，则X~B(4,0.4)34314044(3)(3)(4)0.40.60.40.60.1792P X P X P X C C ≥==+==+=(2)设Y 表示5次独立试验中A 发生的次数，则Y~B(5,0.4)345324150555(3)(3)(4)(5)0.40.60.40.60.40.60.31744P X P X P X P X C C C ≥==+=+==++=2.8 （1）X ～P(λ)=P(0.5×3)= P(1.5)0 1.51.5{0}0!P X e -=== 1.5e -（2）X ～P(λ)=P(0.5×4)= P(2)（概率课后习题答案详解）董永俊（概率课后习题答案详解）30122222{2}1{0}{1}1130!1!P X P X P X e e e ---≥=-=-==--=-2.9解：设应配备m 名设备维修人员。
概率论与数理统计及其应用第二版课后答案
第1章 随机变量及其概率1，写出下列试验的样本空间：（1） 连续投掷一颗骰子直至6个结果中有一个结果出现两次，记录投掷的次数。
（2） 连续投掷一颗骰子直至6个结果中有一个结果接连出现两次，记录投掷的次数。
（3） 连续投掷一枚硬币直至正面出现，观察正反面出现的情况。
（4） 抛一枚硬币，若出现H 则再抛一次；若出现T ，则再抛一颗骰子，观察出现的各种结果。
解：（1）}7,6,5,4,3,2{=S ；（2）},4,3,2{ =S ；（3）},,,,{ TTTH TTH TH H S =；（4）}6,5,4,3,2,1,,{T T T T T T HT HH S =。
2，设B A ,是两个事件，已知,125.0)(,5.0)(,25.0)(===AB P B P A P ，求)])([(),(),(),(______AB B A P AB P B A P B A P ⋃⋃。
解：625.0)()()()(=-+=⋃AB P B P A P B A P ，375.0)()(])[()(=-=-=AB P B P B A S P B A P ，875.0)(1)(___--=AB P AB P ，5.0)(625.0)])([()()])([()])([(___=-=⋃-⋃=-⋃=⋃AB P AB B A P B A P AB S B A P AB B A P3，在100，101，…，999这900个3位数中，任取一个3位数，求不包含数字1个概率。
解：在100，101，…，999这900个3位数中不包含数字1的3位数的个数为648998=⨯⨯，所以所求得概率为72.0900648=4，在仅由数字0，1，2，3，4，5组成且每个数字之多出现一次的全体三位数中，任取一个三位数。
（1）求该数是奇数的概率；（2）求该数大于330的概率。
解：仅由数字0，1，2，3，4，5组成且每个数字之多出现一次的全体三位数的个数有100455=⨯⨯个。
《概率论与数理统计》科学出版社课后习题答案
第二章 随机变量2.1 X 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 P 1/361/181/121/95/361/65/361/91/121/181/362.2解：根据1)(0==∑∞=k k XP ，得10=∑∞=-k kae，即1111=---eae 。
故 1-=e a2.3解：用X 表示甲在两次投篮中所投中的次数，X~B(2,0.7) 用Y 表示乙在两次投篮中所投中的次数, Y~B(2,0.4) (1) 两人投中的次数相同P{X=Y}= P{X=0,Y=0}+ P{X=1,Y=1} +P{X=2,Y=2}=1122020*********2222220.70.30.40.60.70.30.40.60.70.30.40.60.3124C C C C C C ⨯+⨯+⨯=(2)甲比乙投中的次数多P{X >Y}= P{X=1,Y=0}+ P{X=2,Y=0} +P{X=2,Y=1}=12211102200220112222220.70.30.40.60.70.30.40.60.70.30.40.60.5628C C C C C C ⨯+⨯+⨯=2.4解:（1）P{1≤X ≤3}= P{X=1}+ P{X=2}+ P{X=3}=12321515155++= (2) P {0.5<X<2.5}=P{X=1}+ P{X=2}=12115155+=22.5解：（1）P{X=2,4,6,…}=246211112222k +++=11[1()]1441314k k lim→∞-=- （2）P{X ≥3}=1―P{X <3}=1―P{X=1}- P{X=2}=1111244--= 2.6解：设i A 表示第i 次取出的是次品，X 的所有可能取值为0，1，212341213124123{0}{}()(|)(|)(|)P X P A A A A P A P A A P A A A P A A A A ====18171615122019181719⨯⨯⨯= 1123412342341234{1}{}{}{}{}2181716182171618182161817162322019181720191817201918172019181795P X P A A A A P A A A A P A A A A P A A A A ==+++=⨯⨯⨯+⨯⨯⨯+⨯⨯⨯+⨯⨯⨯=12323{2}1{0}{1}1199595P X P X P X ==-=-==--=2.7解：(1)设X 表示4次独立试验中A 发生的次数，则X~B(4,0.4)34314044(3)(3)(4)0.40.60.40.60.1792P X P X P X C C ≥==+==+=(2)设Y 表示5次独立试验中A 发生的次数，则Y~B(5,0.4)345324150555(3)(3)(4)(5)0.40.60.40.60.40.60.31744P X P X P X P X C C C ≥==+=+==++=2.8 （1）X ～P(λ)=P(0.5×3)= P(1.5)0 1.51.5{0}0!P X e -=== 1.5e -（2）X ～P(λ)=P(0.5×4)= P(2)（概率课后习题答案详解）董永俊（概率课后习题答案详解）30122222{2}1{0}{1}1130!1!P X P X P X e e e ---≥=-=-==--=-2.9解：设应配备m 名设备维修人员。
概率论与数理统计第二版课后答案
第1章 随机变量及其概率1，写出下列试验的样本空间：（1） 连续投掷一颗骰子直至6个结果中有一个结果出现两次，记录投掷的次数。
（2） 连续投掷一颗骰子直至6个结果中有一个结果接连出现两次，记录投掷的次数。
（3） 连续投掷一枚硬币直至正面出现，观察正反面出现的情况。
（4） 抛一枚硬币，若出现H 则再抛一次；若出现T ，则再抛一颗骰子，观察出现的各种结果。
解：（1）}7,6,5,4,3,2{=S ；（2）},4,3,2{ =S ；（3）},,,,{ TTTH TTH TH H S =；（4）}6,5,4,3,2,1,,{T T T T T T HT HH S =。
2，设B A ,是两个事件，已知,125.0)(,5.0)(,25.0)(===AB P B P A P ，求)])([(),(),(),(______AB B A P AB P B A P B A P ⋃⋃。
解：625.0)()()()(=-+=⋃AB P B P A P B A P ，375.0)()(])[()(=-=-=AB P B P B A S P B A P ，875.0)(1)(___--=AB P AB P ，5.0)(625.0)])([()()])([()])([(___=-=⋃-⋃=-⋃=⋃AB P AB B A P B A P AB S B A P AB B A P3，在100，101，…，999这900个3位数中，任取一个3位数，求不包含数字1个概率。
解：在100，101，…，999这900个3位数中不包含数字1的3位数的个数为648998=⨯⨯，所以所求得概率为72.0900648=4，在仅由数字0，1，2，3，4，5组成且每个数字之多出现一次的全体三位数中，任取一个三位数。
（1）求该数是奇数的概率；（2）求该数大于330的概率。
解：仅由数字0，1，2，3，4，5组成且每个数字之多出现一次的全体三位数的个数有100455=⨯⨯个。
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习题 2 参考答案X 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12P1/36 1/18 1/12 1/95/36 1/65/361/91/12 1/18 1/36解：根据P( Xk) 1 ，得aek1 ，即 ae 11。
k 0k 01 e 1故 a e 1解：用 X 表示甲在两次投篮中所投中的次数， X~B(2, 用 Y 表示乙在两次投篮中所投中的次数 , Y~B(2, (1) 两人投中的次数相同P{X=Y}= P{X=0,Y=0}+ P{X=1,Y=1} +P{X=2,Y=2}=0 0 1 1 2 2C 20.700.32C 20.400.62C 20.710.31C 20.410.61C 20.720.30C 2 0.420.60 0.3124(2) 甲比乙投中的次数多P{X>Y}= P{X=1,Y=0}+ P{X=2,Y=0} +P{X=2,Y=1}=122 1C 20.710.31C 20.400.62 C 20.72 0.30 C 2 0.400.62 C 2 0.720.30 C 20.410.610.5628解 : （ 1） P{1≤X ≤3}= P{X=1}+ P{X=2}+ P{X=3}=1 2 3 21515 1551 2 1 (2)P{<X<}=P{X=1}+ P{X=2}=15 15511111[1 ( 1)k]1解：（ 1）P{X=2,4,6, }=L =lim 44 242 62k3222k1 141 1 1（ 2） P{X≥3}=1 ―P{X<3}=1―P{X=1}- P{X=2}= 12 4 4解：设 A i表示第i次取出的是次品，X的所有可能取值为0，1，2P{ X 0} P{ A1A2 A3 A4}P(A1)P(A2 | A1)P(A3 | A1 A2)P( A4 | A1A2 A3) =18 17 16 15 1220 19 18 17 19P{ X 1} P{ A1 A2 A3 A4 } P{ A1A2 A3 A4} P{ A1 A2 A3 A4} P{ A1 A2 A3A4}2 18 17 16 18 2 17 16 18 18 2 16 18 17 16 2 3220 19 18 17 20 19 18 17 20 19 18 17 20 19 18 17 95P{ X 2} 1 P{X 0} P{ X 1}12 32 3 195 9519解： (1) 设 X 表示 4 次独立试验中 A 发生的次数，则 X~B(4,3 4P( X 3) P( X 3) P( X 4) C4 0.430.61 C40.440.60 0.1792(2)设 Y 表示 5 次独立试验中 A 发生的次数，则 Y~B(5,30.43 0.62 4 50.450.60P( X 3) P(X 3) P( X 4) P(X 5) C5 C50.440.61 C5 0.31744 （1）X～P( λ)=P×3)= PP{X 0} 1.50 e 1.5 =e 1.50!（2）X～P( λ)=P×4)= P(2)P{X 2} 1 P{X 0} P{X 1} 1 20e2 21e2 1 3e 20! 1!解：设应配备名设备维修人员。
概率论与数理统计(茆诗松)第二版课后第三章习题参考答案
第三章 多维随机变量及其分布习题3.11． 100件商品中有50件一等品、30件二等品、20件三等品．从中任取5件，以X 、Y 分别表示取出的5件中一等品、二等品的件数，在以下情况下求 (X , Y ) 的联合分布列． （1）不放回抽取；（2）有放回抽取． 解：（1）(X , Y )服从多维超几何分布，X , Y 的全部可能取值分别为0, 1, 2, 3, 4, 5，且i j i j i j i j Y i X P −==⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−−⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛===5,,0;5,4,3,2,1,0,51005203050},{L ，故 (X , Y ) 的联合分布列为0281.0500000918.00612.040001132.01562.00495.03000661.01416.00927.00185.0200182.00539.00549.00227.00032.010019.00073.00102.00066.00019.00002.00543210X Y（2）(X , Y )服从多项分布，X , Y 的全部可能取值分别为0, 1, 2, 3, 4, 5，且i j i j i j i j Y i X P j i j i −==×××−−⋅⋅===−−5,,0;5,4,3,2,1,0,2.03.05.0)!5(!!!5},{5L ，故 (X , Y ) 的联合分布列为03125.05000009375.00625.040001125.015.005.03000675.0135.009.002.02002025.0054.0054.0024.0004.0100243.00081.00108.00072.00024.000032.00543210X Y2． 盒子里装有3个黑球、2个红球、2个白球，从中任取4个，以X 表示取到黑球的个数，以Y 表示取到红球的个数，试求P {X = Y }．解：35935335647222347221213}2,2{}1,1{}{=+=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛+⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛===+====Y X P Y X P Y X P ．3． 口袋中有5个白球、8个黑球，从中不放回地一个接一个取出3个．如果第i 次取出的是白球，则令X i = 1，否则令X i = 0，i = 1, 2, 3．求：（1）(X 1, X 2, X 3)的联合分布列； （2）(X 1, X 2)的联合分布列． 解：（1）14328116127138)}0,0,0(),,{(321=⋅⋅==X X X P ，42970115127138)}1,0,0(),,{(321=⋅⋅==X X X P ， 42970117125138)}0,1,0(),,{(321=⋅⋅==X X X P ，42970117128135)}0,0,1(),,{(321=⋅⋅==X X X P ，42940114125138)}1,1,0(),,{(321=⋅⋅==X X X P ，42940114128135)}1,0,1(),,{(321=⋅⋅==X X X P ，42940118124135)}0,1,1(),,{(321=⋅⋅==X X X P ，1435113124135)}1,1,1(),,{(321=⋅⋅==X X X P ；（2）3914127138)}0,0(),{(21=⋅==X X P ，3910125138)}1,0(),{(21=⋅==X X P ，3910128135)}0,1(),{(21=⋅==X X P ，395124135)}1,1(),{(21=⋅==X X P ．39/539/10139/1039/1401012X X4． 设随机变量X i , i =1, 2的分布列如下，且满足P {X 1X 2 = 0} = 1，试求P {X 1 = X 2}．25.05.025.0101P X i −解：因P {X 1 X 2 = 0} = 1，有P {X 1 X 2 ≠ 0} = 0，即P {X 1 = −1, X 2 = −1} = P {X 1 = −1, X 2 = 1} = P {X 1 = 1, X 2 = −1} = P {X 1 = 1, X 2 = 1} = 0，分布列为故P {X 1 = X 2} = P {X 1 = −1, X 2 = −1} + P {X 1 = 0, X 2 = 0} + P {X 1 = 1, X 2 = 1} = 0． 5． 设随机变量 (X , Y ) 的联合密度函数为⎩⎨⎧<<<<−−=.,0,42,20),6(),(其他y x y x k y x p试求（1）常数k ；（2）P {X < 1, Y < 3}； （3）P {X < 1.5}； （4）P {X + Y ≤ 4}． 解：（1）由正则性：1),(=∫∫+∞∞−+∞∞−dxdy y x p ，得6)6(2242⎜⎜⎝⎛−−⋅=−−∫∫∫xy y k dx dy y x k dx故81=k ； （2）∫∫∫⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−−⋅=−−=<<1032210322681)6(81}3,1{y xy y dx dy y x dx Y X P 832278127811210=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−=⎟⎠⎞⎜⎝⎛−=∫x x dx x ； （3）∫∫∫⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−−⋅=−−=<5.104225.10422681)6(81}5.1{y xy y dx dy y x dx X P 3227)6(81)26(815.1025.10=−=−=∫x x dx x ； （4）∫∫∫−−⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−−⋅=−−=<+204222422681)6(81}4{xxy xy y dx dy y x dx Y X P326268124681203222=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛+−=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛+−=∫x x x dx x x ． 6． 设随机变量(X , Y )的联合密度函数为⎩⎨⎧>>=+−.,0,0,0,e ),()43(其他y x k y x p y x 试求（1）常数k ；（2）(X , Y ) 的联合分布函数F (x , y )； （3）P {0 < X ≤ 1, 0 < Y ≤ 2}． 解：（1）由正则性：1),(=∫∫+∞∞−+∞∞−dxdy y x p ，得e 0)43(⎢⎣⎡⋅=∞+∞+∞++−∫∫∫k dx dy k dx y x 故k = 12；（2）当x ≤ 0或y ≤ 0时，F (x , y ) = P (∅) = 0，当x > 0且y > 0时，∫∫∫∫−−+−+−−=−⋅==xy u x y v u x y v u du du dv du y x F 0430)43(0)43()e 1(e 3]e 3[e 12),()e 1)(e 1()e 1(e 43043y x xy u −−−−−−=−−=故(X , Y )的联合分布函数为⎩⎨⎧>>−−=−−.,0,0,0),e 1)(e 1(),(43其他y x y x F y x （3）P {0 < X ≤ 1, 0 < Y ≤ 2} = P {X ≤ 1, Y ≤ 2} = F (1, 2) = (1 − e −3) (1 − e −8)．7． 设二维随机变量(X , Y ) 的联合密度函数为⎩⎨⎧<<<<=.,0,10,10,4),(其他y x xy y x p 试求（1）P {0 < X < 0.5, 0.25 < Y < 1}； （2）P {X = Y }； （3）P {X < Y }；（4）(X , Y ) 的联合分布函数．解：（1）∫∫∫⋅==<<<<5.00125.025.00125.024}125.0,5.00{xy dx xydy dx Y X P641516158155.0025.00===∫x xdx ； （2）P {X = Y } = 0；（3）∫∫∫∫−=⋅==<1311211)22(24}{dx x x xy dx xydy dx Y X P xx21211042=⎟⎠⎞⎜⎝⎛−=x x ；（4）当x < 0或y < 0时，F (x , y ) = P (∅) = 0，当0 ≤ x < 1且0 ≤ y < 1时，220220202224},{),(y x y u du uy uv du uvdv du y Y x X P y x F x x x y x y ===⋅==≤≤=∫∫∫∫；当0 ≤ x < 1且y ≥ 1时，2020010210224},{),(x u udu uv du uvdv du y Y x X P y x F x xx x ===⋅==≤≤=∫∫∫∫；当x ≥ 1且0 ≤ y < 1时，210221210210224},{),(y y u du uy uv du uvdv du y Y x X P y x F y y ===⋅==≤≤=∫∫∫∫；当x ≥ 1且y ≥ 1时，F (x , y ) = P (Ω) = 1， 故(X , Y ) 的联合分布函数为⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≥≥<≤≥≥<≤<≤<≤<<=.1,1,1,10,1,,1,10,,10,10,,00,0),(2222y x y x y y x x y x y x y x y x F 或 8． 设二维随机变量(X , Y ) 在边长为2，中心为(0, 0) 的正方形区域内服从均匀分布，试求P {X 22 解：设D 表示该正方形区域，面积S D = 4，G 表示单位圆区域，面积S G = π，故4π}1{22==≤+D G S S Y X P ．9． 设二维随机变量(X , Y ) 的联合密度函数为⎩⎨⎧<<<<=.,0,10,),(2其他x y x k y x p （1）试求常数k ；（2）求P {X > 0.5}和P {Y < 0.5}． 解：（1）由正则性：1),(=∫∫+∞∞−+∞∞−dxdy y x p ，得1632)(10321021122==⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−=−=⋅=∫∫∫∫k x x k dx x x k y k dx kdy dx xx xx， 故k = 6；（2）∫∫∫∫−=⋅==>15.0215.015.0)66(66}5.0{22dx x x ydx dy dx X P x xxx5.0)23(15.032=−=x x ；∫∫∫∫−=⋅==<5.005.005.00)66(66}5.0{dy y y xdy dx dy Y P y yyy432)34(5.00223−=−=y y ． 10．设二维随机变量(X , Y ) 的联合密度函数为⎩⎨⎧<<<−=.,0,10),1(6),(其他y x y y x p （1）求P {X > 0.5, Y > 0.5}；（2）求P {X < 0.5}和P {Y < 0.5}； （3）求P {X + Y < 1}．解：（1）81)1()1(3])1(3[)1(6}5.0,5.0{15.0315.0215.01215.01=−−=−=−−⋅=−=>>∫∫∫∫x dx x y dx dy y dx Y X P xx； （2）∫∫∫−−⋅=−=<5.00125.001])1(3[)1(6}5.0{x x y dx dy y dx X P 87)1()1(35.0035.002=−−=−=∫x dx x ； ∫∫∫−−⋅=−=<5.005.025.005.0])1(3[)1(6}5.0{xxy dx dy y dx Y P21)1(43)1(3435.0035.002=⎥⎦⎤⎢⎣⎡−−−=⎥⎦⎤⎢⎣⎡−+−=∫x x dx x ； （3）∫∫∫−−−−⋅=−=<+5.00125.001])1(3[)1(6}1{x xxxy dx dy y dx Y X P43])1([])1(33[5.00335.0022=−−−=−+−=∫x x dx x x ．11．设随机变量Y 服从参数为λ = 1的指数分布，定义随机变量X k 如下：2,1.,1,,0=⎩⎨⎧>≤=k k Y k Y X k ．求X 1和X 2的联合分布列．解：因Y 的密度函数为⎩⎨⎧<≥=−.0,0,0,e )(y y y p y Y且X 1和X 2的全部可能取值为0, 1，则1101021e 1e e }1{}2,1{}0,0{−−−−=−==≤=≤≤===∫yy dy Y P Y Y P X X P ，P {X 1 = 0, X 2 = 1} = P {Y ≤ 1, Y > 2} = P (∅) = 0，21212121e e e e }21{}2,1{}0,1{−−−−−=−==≤<=≤>===∫yy dy Y P Y Y P X X P ，22221e e e }2{}2,1{}1,1{−+∞−+∞−=−==>=>>===∫yy dy Y P Y Y P X X P ，故X 1和X 2的联合分布列为221112e e e 1e 1010−−−−−−X X12．设二维随机变量(X , Y ) 的联合密度函数为⎪⎩⎪⎨⎧<<<<+=.,0,20,10,3),(2其他y x xy x y x p 求P {X + Y ≥ 1}．解：∫∫∫−−⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛+⋅=⎟⎠⎞⎜⎝⎛+=≥+1021221021263}1{x x xy y x dx dy xy x dx Y X P 72652459441653421104321032=⎟⎠⎞⎜⎝⎛++=⎟⎠⎞⎜⎝⎛++=∫x x x dx x x x ． 13．设二维随机变量(X , Y ) 的联合密度函数为⎩⎨⎧<<=−.,0,0,e ),(其他y x y x p y 试求P {X + Y ≤ 1}． 解：∫∫∫∫−−−−−−+−=−⋅==≤+5.0015.0015.001)e e ()e (e }1{dx dx dy dx Y X P x x x xy x xy5.015.001e 2e 1)e e (−−−−−+=−−=x x ．14．设二维随机变量(X , Y ) 的联合密度函数为⎩⎨⎧<<<<=.,0,20,10,2/1),(其他y x y x p求X 与Y 中至少有一个小于0.5的概率．解：85831431211}5.0,5.0{1}5.0},{min{15.015.025.0=−=−=−=≥≥−=<∫∫∫dx dy dx Y X P Y X P ．15．从(0,1)中随机地取两个数，求其积不小于3/16，且其和不大于1的概率． 解：设X 、Y 分别表示“从(0,1)中随机地取到的两个数”，则(X , Y ) 的联合密度函数为⎩⎨⎧<<<<=.,0,10,10,1),(其他y x y x p故所求概率为∫∫∫⎟⎠⎞⎜⎝⎛−−==≤+≥−4341434111631631}1,163{dx x x dy dx Y X XY P x x3ln 16341ln 1632143412−=⎟⎠⎞⎜⎝⎛−−=x x x ．习题3.21． 设二维离散随机变量(X , Y ) 的可能值为(0, 0)，(−1, 1)，(−1, 2)，(1, 0)，且取这些值的概率依次为1/6, 1/3, 1/12, 5/12，试求X 与Y 各自的边际分布列． 解：因X 的全部可能值为−1, 0, 1，且12512131}1{=+=−=X P ， 61}0{==X P ， 125}1{==X P ， 故X 的边际分布列为12561125101PX − 因Y 的全部可能值为0, 1, 2，且12712561}0{=+==X P ， 31}1{==X P ， 121}2{==X P ， 故Y 的边际分布列为12131127210PY2． 设二维随机变量(X , Y ) 的联合密度函数为⎩⎨⎧>>−−−=−−−−−.,0,0,0,e e e 1),(},max{122121其他y x y x F y x y x y x λλλλλ 试求X 与Y 各自的边际分布函数．解：当x ≤ 0时，F (x , y ) = 0，有F X (x ) = F (x , + ∞) = 0，当x > 0时，⎩⎨⎧≤>−−−=−−−−−.0,0,0,e e e 1),(},max{122121y y y x F y x y x y x λλλλλ 有 x y x y x y x y X x F x F 1122121e 1]e e e 1[lim ),()(},max{λλλλλλ−−−−−−+∞→−=−−−=∞+=，故⎩⎨⎧≤>−=−.0,0,0,e 1)(1x x x F x X λ 当y ≤ 0时，F (x , y ) = 0，有F Y ( y ) = F (+ ∞, y ) = 0，当y > 0时，⎩⎨⎧≤>−−−=−−−−−.0,0,0,e e e 1),(},max{122121x x y x F y x y x y x λλλλλ 有 y y x y x y x x Y y F y F 2122121e 1]e e e 1[lim ),()(},max{λλλλλλ−−−−−−+∞→−=−−−=+∞=，故⎩⎨⎧≤>−=−.0,0,0,e 1)(2y y y F y Y λ 3． 试求以下二维均匀分布的边际分布：⎪⎩⎪⎨⎧≤+=.,0,1,π1),(22其他y x y x p解：当x < −1或x > 1时，p X (x ) = 0，当−1 ≤ x ≤ 1时，2111π2π1),()(22x dy dy y x p x p x x X −===∫∫−−−∞+∞−， 故⎪⎩⎪⎨⎧≤≤−−=.,0,11,1π2)(2其他x x x p X当y < −1或y > 1时，p Y ( y ) = 0，当−1 ≤ y ≤ 1时，2111π2π1),()(22y dx dx y x p y p y y Y −===∫∫−−−∞+∞−， 故⎪⎩⎪⎨⎧≤≤−−=.,0,11,1π2)(2其他y y y p Y4． 设平面区域D 由曲线y = 1/ x 及直线y = 0，x = 1，x = e 2所围成，二维随机变量(X , Y ) 在区域D 上服从均匀分布，试求X 的边际密度函数．解：因平面区域D 的面积为2ln 122e 1e 1===∫x dx xS D ， 则(X , Y ) 的联合密度函数为⎪⎩⎪⎨⎧∉∈=.),(,0,),(,21),(D y x D y x y x p 当x < 1或x > e 2时，p X (x ) = 0，当1 ≤ x ≤ e 2时，xdy dy y x p x p x X 2121),()(10===∫∫∞+∞−， 故⎪⎩⎪⎨⎧≤≤=.,0,e 1,21)(2其他x x x p X5． 求以下给出的(X , Y ) 的联合密度函数的边际密度函数p x (x ) 和p y ( y )：（1）⎩⎨⎧<<=−.,0;0,e ),(1其他y x y x p y （2）⎪⎩⎪⎨⎧−<<+=.,0;10),(45),(222其他x y y x y x p（3）⎪⎩⎪⎨⎧<<<=.,0;10,1),(3其他x y x y x p解：（1）当x ≤ 0时，p X (x ) = 0，当x > 0时，x xyxy X dy dy y x p x p −+∞−+∞−+∞∞−=−===∫∫e e e ),()(1，故⎩⎨⎧≤>=−.0,0;0,e )(x x x p x X 当y ≤ 0时，p Y ( y ) = 0， 当y > 0时，y yy Y y dx dx y x p y p −−+∞∞−===∫∫e e ),()(01，故⎩⎨⎧≤>=−.0,0;0,e )(y y y y p y Y （2）当x ≤ −1或x ≥ 1时，p X (x ) = 0，当−1 < x < 1时，)1(85)21(45)(45),()(41022102222x y y x dy y x dy y x p x p x x X −=+=+==−−+∞∞−∫∫， 故⎪⎩⎪⎨⎧<<−−=.,0;11),1(85)(4其他x x x p X当y ≤ 0或y ≥ 1时，p Y ( y ) = 0，当0 < y < 1时，y y xy x dx y x dx y x p y p y y yyY −+=+=+==−−−−−−+∞∞−∫∫1)21(65)31(45)(45),()(113112， 故⎪⎩⎪⎨⎧<<−+=.,0;10,1)21(65)(其他y y y y p Y （3）当x ≤ 0或x ≥ 1时，p X (x ) = 0，当0 < x < 1时，111),()(03=⋅===∫∫+∞∞−xx dy x dy y x p x p xX ， 故⎩⎨⎧<<=.,0;10,1)(其他x x p X当y ≤ 0或y ≥ 1时，p Y ( y ) = 0， 当0 < y < 1时，y y x dx xdx y x p y p y y Y ln ln 1ln ln 1),()(1−=−====∫∫+∞∞−， 故⎩⎨⎧<<−=.,0;10,ln )(其他y y y p Y6． 设二维随机变量(X , Y ) 的联合密度函数为⎩⎨⎧<<<<=.,0,10,6),(2其他x y x y x p试求边际密度函数p x (x ) 和p y ( y )． 解：当x ≤ 0或x ≥ 1时，p X (x ) = 0，当0 < x < 1时，)(66),()(22x x dy dy y x p x p xxX −===∫∫+∞∞−，故⎩⎨⎧<<−=.,0,10),(6)(2其他x x x x p X 当y ≤ 0或y ≥ 1时，p Y ( y ) = 0， 当0 < y < 1时，)(66),()(y y dx dx y x p y p yyY −===∫∫+∞∞−，故⎪⎩⎪⎨⎧<<−=.,0,10),(6)(其他y y y y p Y7． 试验证：以下给出的两个不同的联合密度函数，它们有相同的边际密度函数．⎩⎨⎧≤≤≤≤+=.,0,10,10,),(其他y x y x y x p ⎩⎨⎧≤≤≤≤++=.,0,10,10),5.0)(5.0(),(其他y x y x y x g 证：当x < 0或x > 1时，p X (x ) = 0，当0 ≤ x ≤ 1时，5.0)21()(),()(1021+=+=+==∫∫+∞∞−x y xy dy y x dy y x p x p X ，则⎩⎨⎧≤≤+=.,0,10,5.0)(其他x x x p X当y < 0或y > 1时，p Y ( y ) = 0， 当0 ≤ y ≤ 1时，5.0)21()(),()(10210+=+=+==∫∫+∞∞−y xy x dx y x dx y x p y p Y ，则⎩⎨⎧≤≤+=.,0,10,5.0)(其他y y y p Y并且当x < 0或x > 1时，g X (x ) = 0，当0 ≤ x ≤ 1时，5.0)5.0(21)5.0()5.0)(5.0(),()(1021+=+⋅+=++==∫∫+∞∞−x y x dy y x dy y x g x g X ，则⎩⎨⎧≤≤+=.,0,10,5.0)(其他x x x g X 当y < 0或y > 1时，g Y ( y ) = 0，当0 ≤ y ≤ 1时，5.0)5.0()5.0(21)5.0)(5.0(),()(1021+=+⋅+=++==∫∫+∞∞−y y x dx y x dx y x g y g Y ，则⎩⎨⎧≤≤+=.,0,10,5.0)(其他y y y g Y故它们有相同的边际密度函数．8． 设随机变量X 和Y 独立同分布，且P {X = −1} = P {Y = −1} = P {X = 1} = P {Y = 1} = 1/2，试求P {X = Y }．解：因X 和Y 独立同分布，且P {X = −1} = P {Y = −1} = P {X = 1} = P {Y = 1} = 1/2，则(X , Y ) 的联合概率分布21212141411214141111ji p p X Y ⋅⋅−− 故P {X = Y } = P {X = −1, Y = −1} + P {X = 1, Y = 1} = 1/2．9． 甲、乙两人独立地各进行两次射击，假设甲的命中率为0.2，乙的命中率为0.5，以X 和Y 分别表示甲和乙的命中次数，试求P {X ≤ Y }． 解：因X 的全部可能取值为0, 1, 2，且P {X = 0} = 0.8 2 = 0.64，32.08.02.012}1{=××⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛==X P ，P {X = 2} = 0.2 2= 0.04， 又因Y 的全部可能取值为0, 1, 2，且P {Y = 0} = 0.5 2 = 0.25，5.05.05.012}1{=××⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛==Y P ，P {Y = 2} = 0.5 2= 0.25，则(X , Y ) 的联合概率分布25.05.025.004.001.002.001.0232.008.016.008.0164.016.032.016.00210ji p p X Y ⋅⋅故P {X ≤ Y } = 1 − P {X > Y } = 1 − P {X = 1, Y = 0} − P {X = 2, Y = 0} − P {X = 2, Y = 1} = 0.89． 10．设随机变量X 和Y 相互独立，其联合分布列为3/19/19/121321b x c a x y y y X Y试求联合分布列中的a , b , c ．解：因c a p ++=⋅911，9431912+=++=⋅b b p ，911+=⋅a p ，b p +=⋅912，c p +=⋅313， 根据独立性，知81495919422222++=⎟⎠⎞⎜⎝⎛+⎟⎠⎞⎜⎝⎛+=⋅==⋅⋅b b b b p p b p ， 可得0814942=+−b b ，即0922=⎟⎠⎞⎜⎝⎛−b ， 故92=b ； 再根据独立性，知⎟⎠⎞⎜⎝⎛+=⎟⎠⎞⎜⎝⎛+⎟⎠⎞⎜⎝⎛+=⋅==⋅⋅91969194911221a a b p p p ，可得6191=+a ，故181=a ； 由正则性，知1953191912131=+++=+++++=∑∑==c b a b c a p i j ij ，可得94=++c b a ，故6118394==−−=b ac ． 11．设X 和Y 是两个相互独立的随机变量，X ~ U (0, 1)，Y ~ Exp (1)．试求（1）X 与Y 的联合密度函数；（2）P {Y ≤ X }；（3）P {X + Y ≤ 1}．解：（1）因X 与Y 相互独立，且边际密度函数分别为⎩⎨⎧<<=.,0,10,1)(其他x x p X ⎩⎨⎧<≥=−.0,0,0,e )(y y y p y Y故X 与Y 的联合密度函数为⎩⎨⎧≥<<==−.,0,0,10,e )()(),(其他y x y p x p y x p y Y X （2）1111101e 1e 1)e ()e 1()e (e }{−−−−−−=−+=+=−=−⋅==≤∫∫∫∫x x x y xy x dx dx dy dx X Y P ；（3）11110110101010e )e ()e 1()e (e }1{−−−−−−−=−=−=−⋅==≤+∫∫∫∫x x x y xy x dx dx dy dx Y X P ．12．设随机变量(X , Y ) 的联合密度函数为⎩⎨⎧<<<<=.,0,0,10,3),(其他x y x x y x p 试求（1）边际密度函数p x (x ) 和p y ( y )；（2）X 与Y 是否独立．解：（1）当x ≤ 0或x ≥ 1时，p X (x ) = 0，当0 < x < 1时，2033),()(x xdy dy y x p x p xX ===∫∫+∞∞−，故⎩⎨⎧<<=.,0,10,3)(2其他x x x p X 当y ≤ 0或y ≥ 1时，p Y ( y ) = 0， 当0 < y < 1时，)1(23233),()(2121y x xdx dx y x p y p yyY −====∫∫+∞∞−， 故⎪⎩⎪⎨⎧<<−=.,0,10),1(23)(2其他y y y p Y （2）因⎪⎩⎪⎨⎧<<<<−=.,0,10,10),1(29)()(22其他y x y x y p x p Y X 即p x (x ) p y ( y ) ≠ p (x , y )，故X 与Y 不独立．13．设随机变量(X , Y ) 的联合密度函数为⎩⎨⎧<<<=.,0,10,||,1),(其他y y x y x p 试求（1）边际密度函数p x (x ) 和p y ( y )；（2）X 与Y 是否独立．解：（1）当x ≤ −1或x ≥ 1时，p X (x ) = 0，当−1 < x < 0时，x dy dy y x p x p xX +===∫∫−+∞∞−11),()(1，当0 ≤ x < 1时，x dy dy y x p x p xX −===∫∫+∞∞−11),()(1，故⎪⎩⎪⎨⎧<≤−<<−+=.,0,10,1,01,1)(其他x x x x x p X当y ≤ 0或y ≥ 1时，p Y ( y ) = 0，当0 < y < 1时，y dx dx y x p y p yyY 21),()(===∫∫−+∞∞−，故⎩⎨⎧<<=.,0,10,2)(其他y y y p Y（2）因⎪⎩⎪⎨⎧<<<≤−<<<<−+=.,0,10,10),1(2,10,01),1(2)()(其他y x x y y x x y y p x p Y X 即p x (x ) p y ( y ) ≠ p (x , y )，故X 与Y 不独立．14．设二维随机变量(X , Y ) 的联合密度函数如下，试问X 与Y 是否相互独立？（1）⎩⎨⎧>>=+−.,0;0,0,e ),()(其他y x x y x p y x （2）+∞<<∞−++=y x y x y x p ,,)1)(1(π1),(222；（3）⎩⎨⎧<<<=.,0;10,2),(其他y x y x p （4）⎩⎨⎧<+<<<<<=.,0;10,10,10,24),(其他y x y x xy y x p（5）⎩⎨⎧<<<<−=.,0;10,10),1(12),(其他y x x xy y x p（6）⎪⎩⎪⎨⎧<<=.,0;1,421),(22其他y x y x y x p解：（1）因x e − (x + y ) = x e −x ⋅ e −y 可分离变量，x > 0, y > 0是广义矩形区域，故X 与Y 相互独立；（2）因)1π(1)1π(1)1)(1(π122222y x y x +⋅+=++可分离变量，−∞ < x , y < +∞是广义矩形区域， 故X 与Y 相互独立；（3）因0 < x < y < 1不是矩形区域，故X 与Y 不独立；（4）因0 < x < 1, 0 < y < 1, 0 < x + y < 1不是矩形区域，故X 与Y 不独立；（5）因12xy (1 − x ) = 12x (1 − x ) ⋅ y 可分离变量，0 < x < 1, 0 < y < 1是矩形区域，故X 与Y 相互独立； （6）因x 2 < y < 1不是矩形区域，故X 与Y 不独立．15．在长为a 的线段的中点的两边随机地各取一点，求两点间的距离小于a / 3的概率．解：设X 和Y 分别表示这两个点与线段中点的距离，有X 和Y 相互独立且都服从[0, a / 2]的均匀分布，则(X , Y ) 的联合密度函数为 ⎪⎩⎪⎨⎧<<<<=.,0,20,20,4),(2其他a y a x a y x pa a故所求概率为922321}3{22=⎟⎠⎞⎜⎝⎛⎟⎠⎞⎜⎝⎛×==<+a a S S aY X P DG ． 16．设二维随机变量(X , Y ) 服从区域D = {(x , y ): a ≤ x ≤ b , c ≤ y ≤ d }上的均匀分布，试证X 与Y 相互独立． 证：因(X , Y ) 的联合密度函数为⎪⎩⎪⎨⎧≤≤≤≤−−=.,0;,,))((1),(其他d y c b x a c d a b y x p当x < a 或x > b 时，p X (x ) = 0，当a ≤ x ≤ b 时，a b dy c d a b dy y x p x p d c X −=−−==∫∫+∞∞−1))((1),()(， 则⎪⎩⎪⎨⎧≤≤−=.,0;,1)(其他b x a a b x p X当y < c 或y > d 时，p Y ( y ) = 0，当c ≤ y ≤ d 时，cd dx c d a b dx y x p y p baY −=−−==∫∫+∞∞−1))((1),()(， 则⎪⎩⎪⎨⎧≤≤−=.,0;,1)(其他d y c c d y p Y因p x (x ) p y ( y ) = p (x , y )， 故X 与Y 相互独立．17．设X 1, X 2, …, X n 是独立同分布的正值随机变量．证明n k n k X X X X E n k ≤=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛++++,11L L ．证：因X 1, X 2, …, X n 是独立同分布的正值随机变量，则由对称性知),,2,1(1n i X X X niL L =++同分布，且满足101<++<niX X X L ，可得⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛++n i X X X E L 1存在，且⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛++==⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛++=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛++n nn n X X X E X X X E X X X E L L L L 11211， 因11111211=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛++++=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛++++⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛+++⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛++n n n n n n X X X X E X X X E X X X E X X X E L L L L L L ， 则n X X X E X X X E X X X E n n n n 111211=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛++==⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛++=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛++L L L L ， 故n k n k XX X X E n k≤=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛++++,11L L ．习题3.31． 设二维随机变量(X , Y ) 的联合分布列为09.007.004.0222.011.007.0120.015.005.00321X Y 试分布求U = max{X , Y } 和V = min{X , Y } 的分布列．解：因P {U = 1} = P {X = 0, Y = 1} + P {X = 1, Y = 1} = 0.05 + 0.07 = 0.12；P {U = 2} = P {X = 0, Y = 2} + P {X = 1, Y = 2} + P {X = 2, Y = 2} + P {X = 2, Y = 1}= 0.15 + 0.11 + 0.07 + 0.04 = 0.37；P {U = 3} = P {X = 0, Y = 3} + P {X = 1, Y = 3} + P {X = 2, Y = 3} = 0.20 + 0.22 + 0.09 = 0.51； 故U 的分布列为51.037.012.0321P U因P {V = 0} = P {X = 0, Y = 1} + P {X = 0, Y = 2} + P {X = 0, Y = 3} = 0.05 + 0.15 + 0.20 = 0.40； P {V = 1} = P {X = 1, Y = 1} + P {X = 1, Y = 2} + P {X = 1, Y = 3} + P {X = 2, Y = 1}= 0.07 + 0.11 + 0.22 + 0.04 = 0.44；P {V = 2} = P {X = 2, Y = 2} + P {X = 2, Y = 3} = 0.07 + 0.09 = 0.16； 故V 的分布列为16.044.040.0210P V2． 设X 和Y 是相互独立的随机变量，且X ~ Exp (λ )，Y ~ Exp (µ )．如果定义随机变量Z 如下⎩⎨⎧>≤=.,0,,1Y X Y X Z 当当 求Z 的分布列．解：因(X , Y ) 的联合密度函数为⎩⎨⎧>>==+−.,0,0,0,e )()(),()(其他y x y p x p y x p y x Y X µλλµ 则∫∫∫+∞+∞+−+∞+∞+−−⋅==≤==0)(0)(e )(e }{}1{xy x xy x dx dy dx Y X P Z P µλµλλλµµλλµλλλµλµλ+=+−==+∞+−+∞+−∫0)(0)(e e xx dx ，µλµ+==−==}1{1}0{Z P Z P ，故Z 的分布列为µλλµλµ++PZ 13． 设随机变量X 和Y 的分布列分别为4/12/14/1101P X − 2/12/110P Y已知P {XY = 0} = 1，试求Z = max{X , Y }的分布列．解：因P {X 1 X 2 = 0} = 1，有P {X 1 X 2 ≠ 0} = 0，即P {X 1 = −1, X 2 = 1} = P {X 1 = 1, X 2 = 1} = 0，可得 (X , Y ) 的联合分布列为因{Z P {Z P 故Z 4．（1）X （2）X 解：（1）(X , 因P {Z = 0} = P {X = 0, Y = 0} = 0.25；P {Z = 1} = 1 − P {Z = 0} = 0.75； 故Z 的分布列为75.025.010P Z（2）因P {Z = k } = P {X = k , Y ≤ k } + P {X < k , Y = k } = P {X = k } P {Y ≤ k } + P {X < k } P {Y = k }p p p p p p p p k k i i kj j k 1111111)1()1()1()1(−−=−=−−−⋅−+−⋅−=∑∑p p p p p p p p p p k k k k 111)1()1(1)1(1)1(1)1(1)1(−−−−⋅−−−−+−−−−⋅−= = (1 − p ) k − 1 p ⋅ [2 − (1 − p ) k − 1 − (1 − p ) k ]故Z = max{X , Y }的概率函数为p z (k ) = (1 − p ) k − 1 p ⋅ [2 − (1 − p ) k − 1 − (1 − p ) k ]，k = 1, 2, …．5． 设X 和Y 为两个随机变量，且73}0,0{=≥≥Y X P ，74}0{}0{=≥=≥Y P X P ， 试求P {max{X , Y } ≥ 0}．解：设A 表示事件“X ≥ 0”，B 表示事件“Y ≥ 0”，有73)(=AB P ，74)()(==B P A P ， 故75737474)()()()(}0},{max{=−+=−+==≥AB P B P A P B A P Y X P U ．6． 设X 与Y 的联合密度函数为⎩⎨⎧>>=+−.,0,0,0,e ),()(其他y x y x p y x 试求以下随机变量的密度函数（1）Z = (X + Y )/2；（2）Z = Y − X ．解：方法一：分布函数法（1）作曲线簇z yx =+2，得z 的分段点为0，当z ≤ 0时，F Z (z ) = 0，当z > 0时，∫∫∫−+−−+−−⋅==z x z y x zx z y x Z dx dy dx z F 2020)(2020)(]e [e )(z z x z z x z z x dx 2202202e )12(1)e e ()e e (−−−−−+−=−−=+−=∫，因分布函数F Z (z ) 连续，有Z = (X + Y )/2为连续随机变量， 故Z = (X + Y )/2的密度函数为⎩⎨⎧≤>=′=−.0,0,0,e 4)()(2z z z z F z p z Z Z （2）作曲线簇y − x = z ，得z 的分段点为0，当z ≤ 0时，∫∫∫∫+∞−−+−+∞−++−+∞−++−−=−⋅==zx z x zz x y x zzx y x Z dx dy dx z F e []e [e )()2(0)(0)(z z z zx z x e 21e e 21e e 21)2(=⎥⎦⎤⎢⎣⎡−−=⎥⎦⎤⎢⎣⎡−=+∞−−+−，当z > 0时，∫∫∫∫+∞−+−+∞++−+∞++−+−=−⋅==0)2(0)(0)(]e e []e [e )(dx dx dy dx z F x z x z x y x zx y x Zz z x z x −−+∞−+−−=⎥⎦⎤⎢⎣⎡−−=⎥⎦⎤⎢⎣⎡−=e 2111e 21e e 210)2(，因分布函数F Z (z )连续，有Z = Y − X 为连续随机变量，故Z = Y − X 的密度函数为⎪⎩⎪⎨⎧>≤=′=−.0,e 21,0,e 21)()(z z z F z p zzZ Z 方法二：增补变量法 （1）函数2yx z +=对任意固定的y 关于x 严格单调增加，增补变量v = y ，可得⎪⎩⎪⎨⎧=+=,,2y v y x z 有反函数⎩⎨⎧=−=,,2v y v z x 且21012=−=′′′′=vz vzy y x x J ， 则∫∫+∞∞−+∞∞−−=⋅−=dv v v z p dv v v z p z p Z ),2(22),2()(，作曲线簇z yx =+2，得z 的分段点为0， 当z ≤ 0时，p Z (z ) = 0，当z > 0时，z z z Z z dv z p 2202e 4e 2)(−−==∫， 故Z = (X + Y )/2的密度函数为⎩⎨⎧≤>=−.0,0,0,e 4)(2z z z z p z Z（2）函数z = y − x 对任意固定的y 关于x 严格单调增加，增补变量v = y ，可得⎩⎨⎧=−=,,y v x y z 有反函数⎩⎨⎧=−=,,v y z v x 且11011−=−=′′′′=v z vzy y x x J ， 则∫+∞∞−−=dv v z v p z p Z ),()(，作曲线簇y − x = z ，得z 的分段点为0， 当z ≤ 0时，zz v z v Z dv z p e 21e 21e )(0202=−==+∞+−+∞+−∫， 当z > 0时，z zzv z z v Z dv z p −+∞+−+∞+−=−==∫e 21e 21e )(22， 故Z = Y − X 的密度函数为⎪⎩⎪⎨⎧>≤=−.0,e 21,0,e 21)(z z z p zzZ 7． 设X 与Y 的联合密度函数为⎩⎨⎧<<<<=.,0,0,10,3),(其他x y x x y x p 试求Z = X − Y 的密度函数．解：方法一：分布函数法作曲线簇x − y = z ，得z 的分段点为0, 1， 当z < 0时，F Z (z ) = 0，当0 ≤ z < 1时，31203102102123233333)(z z z x x xzdx dx x xdy dx xdy dx z F z z zz z xzx z x Z −=+=+=+=∫∫∫∫∫∫−，当z ≥ 1时，F Z (z ) = 1，因分布函数F Z (z ) 连续，有Z = X − Y 为连续随机变量， 故Z = X − Y 的密度函数为⎪⎩⎪⎨⎧<<−=′=.,0,10),1(23)()(2其他z z z F z p Z Z方法二：增补变量法函数z = x − y 对任意固定的y 关于x 严格单调增加，增补变量v = y ，可得⎩⎨⎧=−=,,y v y x z 有反函数⎩⎨⎧=+=,,v y v z x 且11011==′′′′=vz vzy y x x J ， 则∫+∞∞−+=dv v v z p z p Z ),()(，作曲线簇x − y = z ，得z 的分段点为0, 1，当z ≤ 0或z ≥ 1时，p Z (z ) = 0， 当0 < z < 1时，)1(23)(23)(3)(210210z v z dv v z z p z z Z −=+=+=−−∫， 故Z = X − Y 的密度函数为⎪⎩⎪⎨⎧<<−=.,0,10),1(23)(2其他z z z p Z 8． 某种商品一周的需要量是一个随机变量，其密度函数为⎩⎨⎧≤>=−.0,0,0,e )(1t t t t p t设各周的需要量是相互独立的，试求（1）两周需要量的密度函数p 2 (x )；（2）三周需要量的密度函数p 3 (x )． 解：方法一：根据独立伽玛变量之和仍为伽玛变量设T i 表示“该种商品第i 周的需要量”，因T i 的密度函数为⎪⎩⎪⎨⎧≤>Γ=−−.0,0,0,e )2(1)(121t t t t p t可知T i 服从伽玛分布Ga (2, 1)，（1）两周需要量为T 1 + T 2，因T 1与T 2相互独立且都服从伽玛分布Ga (2, 1)，故T 1 + T 2服从伽玛分布Ga (4, 1)，密度函数为 ⎪⎩⎪⎨⎧≤>=⎪⎩⎪⎨⎧≤>Γ=−−−.0,0,0,e 61.0,0,0,e )4(1)(3142x x x x x x x p x x （2）三周需要量为T 1 + T 2 + T 3，因T 1, T 2, T 3相互独立且都服从伽玛分布Ga (2, 1)，故T 1 + T 2 + T 3服从伽玛分布Ga (6, 1)，密度函数为 ⎪⎩⎪⎨⎧≤>=⎪⎩⎪⎨⎧≤>Γ=−−−.0,0,0,e 1201.0,0,0,e )6(1)(5163x x x x x x x p xx 方法二：分布函数法（1）两周需要量为X 2 = T 1 + T 2，作曲线簇t 1 + t 2 = x ，得x 的分段点为0，当x ≤ 0时，F 2 (x ) = 0，当x > 0时，∫∫∫−−−−−−−−−⋅=⋅=xt x t t t xt x t t t t dt dt t t dt x F 02110221121221121)e e (e e e )( ∫−−+−−=xt x dt t t xt t 0111121]e e )[(1xt t x t t x t t 0121213111e e e 212131⎥⎦⎤⎢⎣⎡−−⎟⎠⎞⎜⎝⎛−−=−−−11)1(e e e 212131233−−−−⎟⎠⎞⎜⎝⎛−−=−−−x x x x x x xxx x x x x x −−−−−−−−=e 61e 21e e 132， 因分布函数F 2 (x )连续，有X 2 = T 1 + T 2为连续随机变量， 故X 2 = T 1 + T 2的密度函数为⎪⎩⎪⎨⎧≤>=′=−.0,0,0,e 61)()(322x x x x F x p x（2）三周需要量为X 3 = T 1 + T 2 + T 3 = X 2 + T 3，作曲线簇x 2 + t 3 = x ，得x 的分段点为0，当x ≤ 0时，F 3 (x ) = 0，当x > 0时，∫∫∫−−−−−−−−−⋅=⋅=x x x t t x x x x t x t x dx dt t x dx x F 003322003332232332232)e e (e 61e e 61)(∫−−+−−=x x x dx x x x x x 0232323242]e e )[(6`12 xx x x x x x x x x x x x 0222324242522222e 6e 6e 3e e 41415161⎥⎦⎤⎢⎣⎡−−−−⎟⎠⎞⎜⎝⎛−−=−−−−− )1(e e e 21e 61e 4141516123455−−−−−−⎟⎠⎞⎜⎝⎛−−=−−−−−x x x x x x x x x x x xx x x x x x x x x x −−−−−−−−−−−−=e 1201e 241e 61e 21e e 15432， 因分布函数F 3 (x ) 连续，有X 3 = T 1 + T 2 + T 3为连续随机变量， 故X 3 = T 1 + T 2 + T 3的密度函数为⎪⎩⎪⎨⎧≤>=′=−.0,0,0,e 1201)()(533x x x x F x p x 方法三：卷积公式（增补变量法）（1）两周需要量为X 2 = T 1 + T 2，卷积公式∫+∞∞−−=2222)()()(21dt t p t x p x p T T ，作曲线簇t 1 + t 2 = x ，得x 的分段点为0， 当x ≤ 0时，p 2 (x ) = 0， 当x > 0时，xxx xxxt t x x t x t dt t xt dt t t x x p −−−−−−=⎟⎠⎞⎜⎝⎛−=−=⋅−=∫∫e 61e3121e )(e e )()(30322202222022)(2222， 故X 2 = T 1 + T 2的密度函数为⎪⎩⎪⎨⎧≤>=−.0,0,0,e 61)(32x x x x p x（2）三周需要量为X 3 = T 1 + T 2 + T 3 = X 2 + T 3，卷积公式∫+∞∞−−=3333)()()(32dt t p t x p x p T X ，作曲线簇x 2 + t 3 = x ，得x 的分段点为0，当x ≤ 0时，p 3 (x ) = 0，21当x > 0时，∫∫−−−−−+−=−=x x xt t x dt t xt t x t x dt t t x x p 03433323233033)(333e )33(61e e )(61)(33 x xx x t x t x t x t −−=⎟⎠⎞⎜⎝⎛−+−=e 1201e 51432161505343233323， 故X 3 = T 1 + T 2 + T 3的密度函数为⎪⎩⎪⎨⎧≤>=−.0,0,0,e 1201)(53x x x x p x9． 设随机变量X 与Y 相互独立，试在以下情况下求Z = X + Y 的密度函数：（1）X ~ U (0, 1)，Y ~ U (0, 1)； （2）X ~ U (0, 1)，Y ~ Exp (1)． 解：方法一：分布函数法（1）作曲线簇x + y = z ，得z 的分段点为0, 1, 2，当z < 0时，F Z (z ) = 0，当0 ≤ z < 1时，2020002121)(1)(z x zx dx x z dy dx z F zz zxz Z =⎟⎠⎞⎜⎝⎛−=−==∫∫∫−，当1 ≤ z < 2时，1121110110110)(211)(111)(−−−−−−−−−=−+=+=∫∫∫∫∫∫z z z z xz z Zx z z dx x z dx dy dx dy dx z F121221)1(21122−−=+−−−=z z z z ， 当z ≥ 2时，F Z (z ) = 1，因分布函数F Z (z ) 连续，有Z = X + Y 为连续随机变量， 故Z = X + Y 的密度函数为⎪⎩⎪⎨⎧<≤−<≤=′=.,0,21,2,10,)()(其他z z z z z F z p Z Z（2）作曲线簇x + y = z ，得z 的分段点为0, 1，当z < 0时，F Z (z ) = 0， 当0 ≤ z < 1时，z z x z zx z zx z y z xz y Z z x dx dx dy dx z F −+−+−−−−−+−=−=−=−⋅==∫∫∫∫e 1)e ()e 1()e (e )(0000，当z ≥ 1时，z z x z x z x z y xz y Z x dx dx dy dx z F −−+−+−−−−−+−=−=−=−⋅==∫∫∫∫e e 1)e ()e 1()e (e )(111110，因分布函数F Z (z ) 连续，有Z = X + Y 为连续随机变量， 故Z = X + Y 的密度函数为⎪⎩⎪⎨⎧<≥−<≤−=′=−−.0,0,1,e )1(e ,10,e 1)()(z z z z F z p z z Z Z方法二：卷积公式（增补变量法） 卷积公式∫+∞∞−−=dy y p y z p z p Y X Z )()()(，（1）作曲线簇x + y = z ，得z 的分段点为0, 1, 2，2。
概率论与数理统计(茆诗松)第二版课后第七章习题参考答案
第七章 假设检验习题7.11． 设X 1 , …, X n 是来自N (µ , 1) 的样本，考虑如下假设检验问题H 0：µ = 2 vs H 1：µ = 3，若检验由拒绝域为}6.2{≥=x W 确定． （1）当n = 20时求检验犯两类错误的概率；（2）如果要使得检验犯第二类错误的概率β ≤ 0.01，n 最小应取多少？ （3）证明：当n → ∞ 时，α → 0，β → 0． 解：（1）犯第一类错误的概率为0037.0)68.2(168.220126.21}2|6.2{}|{0=Φ−=⎭⎬⎫⎩⎨⎧=−≥−==≥=∈=n X P X P H W X P µµα，犯第二类错误的概率为0367.0)79.1(79.120136.21}3|6.2{}|{1=−Φ=⎭⎬⎫⎩⎨⎧−=−<−==<=∉=n X P X P H W X P µµβ；（2）因01.0)4.0(4.0136.21}3|6.2{≤−Φ=⎭⎬⎫⎩⎨⎧−=−<−==<=n n n n X P X P µµβ，则99.0)4.0(≥Φn ，33.24.0≥n ，n ≥ 33.93，故n 至少为34；（3）)(0)6.0(16.0126.21}2|6.2{∞→→Φ−=⎭⎬⎫⎩⎨⎧=−≥−==≥=n n n n n X P X P µµα，)(0)4.0(4.0136.21}3|6.2{∞→→−Φ=⎭⎬⎫⎩⎨⎧−=−<−==<=n n n n n X P X P µµβ． 2． 设X 1 , …, X 10是来自0-1总体b (1, p ) 的样本，考虑如下检验问题H 0：p = 0.2 vs H 1：p = 0.4，取拒绝域为}5.0{≥=x W ，求该检验犯两类错误的概率． 解：因X ~ b(1, p )，有),10(~10101p b X X i i =∑=，则0328.08.02.0}2.0|510{}2.0|5.0{}|{10510100=⋅⋅==≥==≥=∈=∑=−k k k kC p X P p X P H W X P α，6331.06.04.0}4.0|510{}4.0|5.0{}|{410101=⋅⋅==<==<=∉=∑=−k k k kC p X P p X P H W X P β．3． 设X 1 , …, X 16是来自正态总体N (µ , 4) 的样本，考虑检验问题H 0：µ = 6 vs H 1：µ ≠ 6，拒绝域取为}|6{|c x W ≥−=，试求c 使得检验的显著性水平为0.05，并求该检验在µ = 6.5处犯第二类错误的概率．解：因05.0)]2(1[22162162}6||6{|}|{0=Φ−=⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧=≥−==≥−=∈=c c c X P c X P H W X P µµα，则Φ (2c ) = 0.975，2c = 1.96，故c = 0.98；故}5.6|48.05.648.1{}5.6|98.0|6{|}|{1=<−<−==<−=∉=µµβX P X P H W X P83.0)96.2()96.0(96.01625.696.2=−Φ−Φ=⎭⎬⎫⎩⎨⎧<−<−=X P ．4． 设总体为均匀分布U (0, θ )，X 1 , …, X n 是样本，考虑检验问题H 0：θ ≥ 3 vs H 1：θ < 3，拒绝域取为}5.2{)(≤=n x W ，求检验犯第一类错误的最大值α ，若要使得该最大值α 不超过0.05，n 至少应取多大？解：因均匀分布最大顺序统计量X (n ) 的密度函数为θθ<<−Ι=x nn n nx x p 01)(，则nn n n nn n n x dx nx X P H W X P ⎟⎠⎞⎜⎝⎛=====≤=∈=∫−6535.233}3|5.2{}|{5.205.201)(0θα， 要使得α ≤ 0.05，即05.065≤⎟⎠⎞⎜⎝⎛n，43.16)6/5ln(05.0ln =≥n ，故n 至少为17．5． 在假设检验问题中，若检验结果是接受原假设，则检验可能犯哪一类错误？若检验结果是拒绝原假设，则又有可能犯哪一类错误？答：若检验结果是接受原假设，当原假设为真时，是正确的决策，未犯错误；当原假设不真时，则犯了第二类错误．若检验结果是拒绝原假设，当原假设为真时，则犯了第一类错误；当原假设不真时，是正确的决策，未犯错误．6． 设X 1 , …, X 20是来自0-1总体b (1, p ) 的样本，考虑如下检验问题H 0：p = 0.2 vs H 1：p ≠ 0.2，取拒绝域为⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤≥=∑∑==17201201i i i i x x W 或，（1）求p = 0, 0.1, 0.2, …, 0.9, 1的势并由此画出势函数的图；（2）求在p = 0.05时犯第二类错误的概率．解：（1）因X ~ b(1, p )，有),20(~201p b X i i ∑=，势函数∑∑=−=−⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−=⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈=6220201)1(201)(k kk i i p p k p WX P p g ， 故110201)0(6220=××⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−=∑=−k k k k g ，3941.09.01.0201)1.0(6220=××⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−=∑=−k kk k g ， 1559.08.02.0201)2.0(6220=××⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−=∑=−k k k k g ，3996.07.03.0201)3.0(6220=××⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−=∑=−k k kk g ，7505.06.04.0201)4.0(6220=××⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−=∑=−k k kk g ，9424.05.05.0201)5.0(6220=××⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−=∑=−k k k k g ， 9935.04.06.0201)6.0(6220=××⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−=∑=−k k k k g ，9997.03.07.0201)7.0(6220=××⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−=∑=−k k kk g ， 999998.02.08.0201)8.0(6220=××⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−=∑=−k k kk g11.09.0201)9.0(6220≈××⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−=∑=−k k kk g ， 101201)1(6220=××⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−=∑=−k kk k g ； （2）在p = 0.05时犯第二类错误的概率2641.095.005.02005.0|6220201=××⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=⎭⎬⎫⎩⎨⎧=∉=∑∑=−=k kk i i k p W X P β． 7． 设一个单一观测的样本取自密度函数为p (x )的总体，对p (x )考虑统计假设： H 0：p 0(x ) = I 0 < x < 1 vs H 1：p 1(x ) = 2x I 0 < x < 1．若其拒绝域的形式为W = {x : x ≥ c }，试确定一个c ，使得犯第一类，第二类错误的概率满足α + 2β 为最小，并求其最小值．解：当0 < c < 1时，α = P {X ∈ W | H 0} = P {X ≥ c | X ~ p 0(x )} = 1 − c ，且20112)}(~|{}H |{c xdx x p X c X P W X P c==<=∉=∫β，则2224128721161287212⎟⎠⎞⎜⎝⎛−+=⎟⎠⎞⎜⎝⎛+−+=+−=+c c c c c βα，故当41=c 时，α + 2β 为最小，其最小值为87． 8． 设X 1, X 2, …, X 30为取自柏松分布P (λ)的随机样本．（1）试给出单侧假设检验问题H 0：λ ≤ 0.1 vs H 1：λ > 0.1的显著水平α = 0.05的检验； （2）求此检验的势函数β (λ)在λ = 0.05, 0.2, 0.3, …, 0.9时的值，并据此画出β (λ)的图像．解：（1）因)30(~3021λP X X X X n +++=L ，假设H 0：λ ≤ 0.1 vs H 1：λ > 0.1， 统计量)30(~λP X n ，当H 0成立时，设)3(~P X n ，其p 分位数)3(p P 满足∑∑=−−=−≤<)3(031)3(03e !3e !3p p P k k P k k k p k 显著水平α = 0.05，可得P 1−α (3) = P 0.95 (3) = 6，右侧拒绝域}7{≥=x n W ；（2）因∑=−−=≥=∈=630e!)30(1}|7{}|{)(k k k X n P W X n P λλλλλβ， g故0001.0e !5.11)05.0(605.1=−=∑=−k k k β，3937.0e !61)2.0(606=−=∑=−k k k β，7932.0e !91)3.0(609=−=∑=−k k k β，9542.0e !121)4.0(6012=−=∑=−k k k β，9924.0e !151)5.0(6015=−=∑=−k k k β，9990.0e !181)6.0(6018=−=∑=−k k k β，9999.0e !211)7.0(6021=−=∑=−k kk β， 1e !241)8.0(6024≈−=∑=−k k k β，1e !271)9.0(6027≈−=∑=−k k k β．习题7.2说明：本节习题均采用拒绝域的形式完成，在可以计算检验的p 值时要求计算出p 值． 1． 有一批枪弹，出厂时，其初速率v ~ N (950, 1000)（单位：m /s ）．经过较长时间储存，取9发进行测试，得样本值（单位：m /s ）如下：914 920 910 934 953 945 912 924 940．据经验，枪弹经储存后其初速率仍服从正态分布，且标准差保持不变，问是否可认为这批枪弹的初速率有显著降低（α = 0.05）？解：设枪弹经储存后其初速率X ~ N (µ , 1000)，假设H 0：µ = 950 vs H 1：µ < 950，已知σ 2，选取统计量)1,0(~N nX U σµ−=， 显著性水平α = 0.05，u 1 − α = u 0.95 = 1.645，左侧拒绝域W = {u ≤ −1.645}， 因928=x ，µ = 950，σ = 10，n = 9， 则W u ∈−=−=6.6910950928，并且检验的p 值p = P {U ≤ −6.6} = 2.0558 × 10−11 < α = 0.05，故拒绝H 0，接受H 1，即可以认为这批枪弹的初速率有显著降低． 2． 已知某炼铁厂铁水含碳量服从正态分布N (4.55, 0.1082 )．现在测定了9炉铁水，其平均含碳量为4.484，如果铁水含碳量的方差没有变化，可否认为现在生产的铁水平均含碳量仍为4.55（α = 0.05）？ 解：设现在生产的铁水含碳量X ~ N (µ , 0.1082 )，假设H 0：µ = 4.55 vs H 1：µ ≠ 4.55，已知σ 2，选取统计量)1,0(~N nX U σµ−=， 显著性水平α = 0.05，u 1 − α /2 = u 0.975 = 1.96，双侧拒绝域W = {| u | ≥ 1.96}， 因484.4=x ，µ = 4.55，σ = 0.108，n = 9， 则W u ∉−=−=8333.19108.055.4484.4，并且检验的p 值p = 2P {U ≤ −1.8333} = 0.0668 > α = 0.05，β (故接受H 0，拒绝H 1，即可以认为现在生产的铁水平均含碳量仍为4.55． 3． 由经验知某零件质量X ~ N (15, 0.05 2 ) （单位：g ），技术革新后，抽出6个零件，测得质量为14.7 15.1 14.8 15.0 15.2 14.6．已知方差不变，问平均质量是否仍为15 g （取α = 0.05）？解：设技术革新后零件质量X ~ N (µ , 0.05 2 )，假设H 0：µ = 15 vs H 1：µ ≠ 15，已知σ 2，选取统计量)1,0(~N nX U σµ−=， 显著性水平α = 0.05，u 1 − α /2 = u 0.975 = 1.96，双侧拒绝域W = {| u | ≥ 1.96}， 因9.14=x ，µ = 15，σ = 0.05，n = 6， 则W u ∈−=−=8990.4605.0159.14，并且检验的p 值p = 2P {U ≤ −4.8990} = 9.6326 × 10−7 < α = 0.05，故拒绝H 0，接受H 1，即不能认为平均质量仍为15 g ． 4． 化肥厂用自动包装机包装化肥，每包的质量服从正态分布，其平均质量为100 kg ，标准差为1.2 kg ．某日开工后，为了确定这天包装机工作是否正常，随机抽取9袋化肥，称得质量如下：99.3 98.7 100.5 101.2 98.3 99.7 99.5 102.1 100.5．设方差稳定不变，问这一天包装机的工作是否正常（取α = 0.05）？ 解：设这天包装机包装的化肥每包的质量X ~ N (µ , 1.22 )，假设H 0：µ = 100 vs H 1：µ ≠ 100，已知σ 2，选取统计量)1,0(~N nX U σµ−=， 显著性水平α = 0.05，u 1 − α /2 = u 0.975 = 1.96，双侧拒绝域W = {| u | ≥ 1.96}， 因9778.99=x ，µ = 100，σ = 1.2，n = 9， 则W u ∉−=−=0556.092.11009778.99，并且检验的p 值p = 2P {U ≤ −0.0556} = 0.9557 > α = 0.05，故接受H 0，拒绝H 1，即可以认为这一天包装机的工作正常． 5． 设需要对某正态总体的均值进行假设检验H 0：µ = 15， H 1：µ < 15．已知σ 2 = 2.5，取α = 0.05，若要求当H 1中的µ ≤ 13时犯第二类错误的概率不超过0.05，求所需的样本容量．解：设该总体X ~ N (µ , 2.5 )，假设H 0：µ = 15 vs H 1：µ < 15，已知σ 2，选取统计量)1,0(~N nX U σµ−=， 显著性水平α = 0.05，u 1 − α = u 0.95 = 1.645，左侧拒绝域W = {u ≤ −1.645}， 因µ = 15，σ 2 = 2.5，有nx u 5.215−=，当µ ≤ 13时犯第二类错误的概率为⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤−+−>−=⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤−>−=13|5.21565.15.213|65.15.215µµµµβn n X P n X P 05.0)2649.165.1(15.2131565.15.2≤+−Φ−=⎭⎬⎫⎩⎨⎧−+−>−≤n n nX P µ，则95.0)2649.165.1(≥+−Φn ，即65.12649.165.1≥+−n ，6089.2≥n ，n ≥ 6.8064， 故样本容量n 至少为7．6． 从一批钢管抽取10根，测得其内径（单位：mm ）为：100.36 100.31 99.99 100.11 100.64 100.85 99.42 99.91 99.35 100.10．设这批钢管内直径服从正态分布N (µ , σ 2)，试分别在下列条件下检验假设（α = 0.05）．H 0：µ = 100 vs H 1：µ > 100．（1）已知σ = 0.5； （2）σ 未知．解：设这批钢管内直径X ~ N (µ , σ 2)，假设H 0：µ = 100 vs H 1：µ > 100，（1）已知σ 2，选取统计量)1,0(~N nX U σµ−=， 显著性水平α = 0.05，u 1 − α = u 0.95 = 1.645，右侧拒绝域W = {u ≥ 1.645}， 因104.100=x ，µ = 100，σ = 0.5，n = 10， 则W u ∉=−=6578.0105.0100104.100，并且检验的p 值p = P {U ≥ 0.6578} = 0.2553 > α = 0.05，故接受H 0，拒绝H 1，即不能认为µ > 100． （2）未知σ 2，选取统计量)1(~−−=n t nS X T µ， 显著性水平α = 0.05，t 1 − α (n − 1) = t 0.95 (9) = 1.8331，右侧拒绝域W = {t ≥ 1.8331}， 因104.100=x ，µ = 100，s = 0.4760，n = 10， 则W t ∉=−=6910.0104760.0100104.100，并且检验的p 值p = P {T ≥ 0.6910} = 0.2535 > α = 0.05，故接受H 0，拒绝H 1，即不能认为µ > 100．7． 假定考生成绩服从正态分布，在某地一次数学统考中，随机抽取了36位考生的成绩，算得平均成绩为66.5分，标准差为15分，问在显著性水平0.05下，是否可以认为这次考试全体考生的平均成绩为70分？解：设这次考试考生的成绩X ~ N (µ , σ 2 )，假设H 0：µ = 70 vs H 1：µ ≠ 70，未知σ 2，选取统计量)1(~−−=n t nS X T µ， 显著性水平α = 0.05，t 1 − α /2 (n − 1) = t 0.975 (35) = 2.0301，双侧拒绝域W = {| t | ≥ 2.0301}， 因5.66=x ，µ = 70，s = 15，n = 36， 则W t ∉−=−=4.13615705.66，并且检验的p 值p = 2P {T ≤ −1.4} = 0.1703 > α = 0.05，故接受H 0，拒绝H 1，即可以认为这次考试全体考生的平均成绩为70分． 8． 一个小学校长在报纸上看到这样的报道：“这一城市的初中学生平均每周看8 h 电视．”她认为她所在学校的学生看电视的时间明显小于该数字．为此她在该校随机调查了100个学生，得知平均每周看电视的时间5.6=x h ，样本标准差为s = 2 h ．问是否可以认为这位校长的看法是对的（取α = 0.05）？ 解：设学生看电视的时间X ~ N (µ , σ 2 )，假设H 0：µ = 8 vs H 1：µ < 8，未知σ 2，选取统计量)1(~−−=n t nS X T µ，n = 100，大样本，有)1,0(~N n S X T &µ−=，显著性水平α = 0.05，t 1 − α (n − 1) = t 0.95 (99) ≈ u 0.95 = 1.645，左侧拒绝域W ≈ {t ≤ −1.645}，因5.6=x ，µ = 8，s = 2，n = 100， 则W t ∈−=−=5.7100285.6，并且检验的p 值p = P {T ≤ −7.5} = 3.1909 × 10−14 < α = 0.05，故拒绝H 0，接受H 1，即可以认为这位校长的看法是对的．9． 设在木材中抽出100根，测其小头直径，得到样本平均数2.11=x cm ，样本标准差为s = 2.6 cm ，问该批木材小头的平均直径能否认为不低于12 cm （取α = 0.05）？ 解：设该批木材小头的直径X ~ N (µ , σ 2 )，假设H 0：µ = 12 vs H 1：µ < 12，未知σ 2，选取统计量)1(~−−=n t n S X T µ，n = 100，大样本，有)1,0(~N nS X T &µ−=， 显著性水平α = 0.05，t 1 − α (n − 1) = t 0.95 (99) ≈ u 0.95 = 1.645，左侧拒绝域W ≈ {t ≤ −1.645}，因2.11=x ，µ = 12，s = 2.6，n = 100， 则W t ∈−=−=0769.31006.2122.11，并且检验的p 值p = P {T ≤ −3.0769} = 0.0010 < α = 0.05，故拒绝H 0，接受H 1，即不能认为这批木材小头的平均直径不低于12 cm ．10．考察一鱼塘中鱼的含汞量，随机地取10条鱼测得各条鱼的含汞量（单位：mg ）为：0.8 1.6 0.9 0.8 1.2 0.4 0.7 1.0 1.2 1.1．设鱼的含汞量服从正态分布N (µ , σ 2)，试检验假设H 0：µ = 1.2 vs H 1：µ > 1.2（取α = 0.10）． 解：设鱼的含汞量X ~ N (µ , σ 2 )，假设H 0：µ = 1.2 vs H 1：µ > 1.2，未知σ 2，选取统计量)1(~−−=n t nSX T µ，显著性水平α = 0.1，t 1 − α (n − 1) = t 0.9 (9) = 1.3830，右侧拒绝域W = {t ≥ 1.3830}， 因97.0=x ，µ = 1.2，s = 0.3302，n = 10， 则W t ∉−=−=2030.2103302.02.197.0，并且检验的p 值p = P {T ≥ −2.2030} = 0.9725 > α = 0.10，故接受H 0，拒绝H 1，即不能认为µ > 1.2 ． 11．如果一个矩形的宽度w 与长度l 的比618.0)15(21≈−=l w ，这样的矩形称为黄金矩形．下面列出某工艺品工厂随机取的20个矩形宽度与长度的比值．0.693 0.749 0.654 0.670 0.662 0.672 0.615 0.606 0.690 0.628 0.668 0.611 0.606 0.609 0.553 0.570 0.844 0.576 0.933 0.630．设这一工厂生产的矩形的宽度与长度的比值总体服从正态分布，其均值为µ ，试检验假设（取α = 0.05）H 0：µ = 0.618 vs H 1：µ ≠ 0.618．解：设这一工厂生产的矩形的宽度与长度的比值X ~ N (µ , σ 2 )，假设H 0：µ = 0.618 vs H 1：µ ≠ 0.618，未知σ 2，选取统计量)1(~−−=n t nS X T µ， 显著性水平α = 0.05，t 1 − α /2 (n − 1) = t 0.975 (19) = 2.0930，双侧拒绝域W = {| t | ≥ 2.0930}，因6620.0=x ，µ = 0.618，s = 0.0918，n = 20， 则W t ∈=−=1422.2200918.0618.06620.0，并且检验的p 值p = 2P {T ≥ 2.1422} = 0.0453 < α = 0.05，故拒绝H 0，接受H 1，即不能认为µ = 0.618．12．下面给出两种型号的计算器充电以后所能使用的时间（h ）的观测值型号A 5.5 5.6 6.3 4.6 5.3 5.0 6.2 5.8 5.1 5.2 5.9；型号B 3.8 4.3 4.2 4.0 4.9 4.5 5.2 4.8 4.5 3.9 3.7 4.6．设两样本独立且数据所属的两总体的密度函数至多差一个平移量．试问能否认为型号A 的计算器平均使用时间明显比型号B 来得长（取α = 0.01）？解：设两种型号的计算器充电以后所能使用的时间分别为),(~211σµN X ，),(~222σµN Y ，且2221σσ=，假设H 0：µ 1 = µ 2 vs H 1：µ 1 > µ 2，未知2221,σσ，但2221σσ=，选取统计量)2(~112121−++−=n n t n n S YX T w ，显著性水平α = 0.01，t 1 − α (n 1 + n 2 − 2) = t 0.99 (21) = 2.5176，右侧拒绝域W = {t ≥ 2.5176}， 因5.5=x ，3667.4=y ，s x = 0.5235，s y = 0.4677，n 1 = 11，n 2 = 12，4951.0214677.0115235.0102)1()1(22212221=×+×=−+−+−=n n s n s n s yx w ，则W t ∈=+×−=4844.51211114951.03667.45.5，并且检验的p 值p = P {T ≥ 5.4844} = 9.6391 × 10 −6 < α = 0.01，故拒绝H 0，接受H 1，即可以认为型号A 的计算器平均使用时间明显比型号B 来得长．13．从某锌矿的东、西两支矿脉中，各抽取样本容量分别为9与8的样本进行测试，得样本含锌平均数及样本方差如下：东支：1337.0,230.0211==s x ；西支：1736.0,269.0222==s x ．若东、西两支矿脉的含锌量都服从正态分布且方差相同，问东、西两支矿脉含锌量的平均值是否可以看作一样（取α = 0.05）？解：设东、西两支矿脉的含锌量分别为),(~211σµN X ，),(~222σµN Y ，且2221σσ=，假设H 0：µ 1 = µ 2 vs H 1：µ 1 ≠ µ 2，未知2221,σσ，但2221σσ=，选取统计量)2(~11212121−++−=n n t n n S X X T w，显著性水平α = 0.05，t 1 − α /2 (n 1 + n 2 − 2) = t 0.975 (15) = 2.1314，双侧拒绝域W = {| t | ≥ 2.1314}，因1736.0,269.0,1337.0,230.0222211====s x s x ，n 1 = 9，n 2 = 8，3903.0151736.071337.082)1()1(21222211=×+×=−+−+−=n n s n s n s w ，则W t ∉−=+×−=2056.081913903.0269.0230.0，并且检验的p 值p = 2P {T ≤ −0.2056} = 0.8399 > α = 0.05， 故接受H 0，拒绝H 1，即可以认为东、西两支矿脉含锌量的平均值是一样的．14．在针织品漂白工艺过程中，要考察温度对针织品断裂强力（主要质量指标）的影响．为了比较70°C与80°C 的影响有无差别，在这两个温度下，分别重复做了8次试验，得数据如下（单位：N ）：70°C 时的强力：20.5 18.8 19.8 20.9 21.5 19.5 21.0 21.2， 80°C 时的强力：17.7 20.3 20.0 18.8 19.0 20.1 20.0 19.1．根据经验，温度对针织品断裂强力的波动没有影响．问在70°C 时的平均断裂强力与80°C 时的平均断裂强力间是否有显著差别？（假设断裂强力服从正态分布，α = 0.05）解：设在70°C 和80°C 时的断裂强力分别为),(~211σµN X ，),(~222σµN Y ，且2221σσ=，假设H 0：µ 1 = µ 2 vs H 1：µ 1 ≠ µ 2，未知2221,σσ，但2221σσ=，选取统计量)2(~112121−++−=n n t n n S Y X T w，显著性水平α = 0.05，t 1 − α /2 (n 1 + n 2 − 2) = t 0.975 (14) = 2.1448，双侧拒绝域W = {| t | ≥ 2.1448}， 因4.20=x ，375.19=y ，s x = 0.9411，s y = 0.8876，n 1 = 8，n 2 = 8，9148.0148876.079411.072)1()1(22212221=×+×=−+−+−=n n s n s n s yx w ，则W t ∈=+×−=2410.281819148.0375.194.20，并且检验的p 值p = 2P {T ≥ 2.2410} = 0.0418 < α = 0.05， 故拒绝H 0，接受H 1，即可以认为70°C 时的平均断裂强力与80°C 时的平均断裂强力间有显著差别． 15．一药厂生产一种新的止痛片，厂方希望验证服用新药片后至开始起作用的时间间隔较原有止痛片至少缩短一半，因此厂方提出需检验假设H 0：µ 1 = 2µ 2 vs H 1：µ 1 > 2µ 2．此处µ 1 , µ 2分别是服用原有止痛片和服用新止痛片后至开始起作用的时间间隔的总体的均值．设两总体均为正态分布且方差分别为已知值2221,σσ，现分别在两总体中取一样本X 1 , …, X n 和Y 1 , …, Y m ，设两个样本独立．试给出上述假设检验问题的检验统计量及拒绝域．解：设服用原有止痛片和新止痛片后至开始起作用的时间间隔分别为),(~211σµN X ，),(~222σµN Y ，因X 1 , …, X n 和Y 1 , …, Y m 分别X 和Y 为来自的样本，且两个样本独立，则),(~211n N X σµ，,(~222mN Y σµ，且X 与Y 独立，有4,2(~2222121m n N Y X σσµµ+−−， 标准化，得)1,0(~4)2()2(222121N mnY X σσµµ+−−−，假设H 0：µ 1 = 2µ 2 vs H 1：µ 1 > 2µ 2，已知2221,σσ，选取统计量)1,0(~422221N mnYX U σσ+−=，显著性水平α ，右侧拒绝域W = {u ≥ u 1 − α}．16．对冷却到−0.72°C 的样品用A 、B 两种测量方法测量其融化到0°C 时的潜热，数据如下：方法A ：79.98 80.04 80.02 80.04 80.03 80.03 80.04 79.97 80.05 80.03 80.02 80.0080.02，方法B ：80.02 79.94 79.98 79.97 80.03 79.95 79.97 79.97．假设它们服从正态分布，方差相等，试检验：两种测量方法的平均性能是否相等？（取α = 0.05）．解：设用A 、B 两种测量方法测量的潜热分别为),(~211σµN X ，),(~222σµN Y ，且2221σσ=，假设H 0：µ1 = µ2 vs H 1：µ1 ≠ µ2，未知2221,σσ，但2221σσ=，选取统计量)2(~112121−++−=n n t n n S YX T w ，显著性水平α = 0.05，t 1−α /2 (n 1 + n 2 − 2) = t 0.975 (19) = 2.0930，双侧拒绝域W = {| t | ≥ 2.0930}， 因0208.80=x ，9787.79=y ，s x = 0.0240，s y = 0.0.314，n 1 = 8，n 2 = 8，0269.0190314.070240.0122)1()1(22212221=×+×=−+−+−=n n s n s n s yx w ，则W t ∈=+×−=4722.3811310269.09787.790208.80，并且检验的p 值p = 2P {T ≥ 3.4722} = 0.0026 < α = 0.05，故拒绝H 0，接受H 1，可以认为两种测量方法的平均性能不相等．17．为了比较测定活水中氯气含量的两种方法，特在各种场合收集到8个污水样本，每个水样均用这两种方法测定氯气含量（单位：mg /l ），具体数据如下：水样号 方法一（x ） 方法二（y ） 差（d = x − y ） 1 0.36 0.39 −0.03 2 1.35 0.84 0.51 3 2.56 1.76 0.80 4 3.92 3.35 0.57 5 5.35 4.69 0.66 6 8.33 7.70 0.63 7 10.70 10.52 0.18 8 10.91 10.92 −0.01设总体为正态分布，试比较两种测定方法是否有显著差异．请写出检验的p 值和结论（取α = 0.05）．解：设用这两种测定方法测定的氯气含量之差为),(~2d d N Y X D σµ−=，成对数据检验，假设H 0：µ d = 0 vs H 1：µ d ≠ 0，未知2d σ，选取统计量)1(~−=n t nS D T d，显著水平α = 0.05，t 1−α /2 (n − 1) = t 0.975 (7) = 2.3646，双侧拒绝域W = {| t | ≥ 2.3646}， 因4138.0=d ，s d = 0.3210，n = 8， 则W t ∈==6461.383210.04138.0，并且检验的p 值p = 2P {T ≥ 3.6461} = 0.0082 < α = 0.05，故拒绝H 0，接受H 1，可以认为两种测定方法有显著差异．18．一工厂的；两个化验室每天同时从工厂的冷却水取样，测量水中的含气量（10−6）一次，下面是7天的记录：室甲：1.15 1.86 0.75 1.82 1.14 1.65 1.90， 室乙：1.00 1.90 0.90 1.80 1.20 1.70 1.95．设每对数据的差d i = x i − y i (i = 1, 2, …, 7)来自正态总体，问两化验室测定结果之间有无显著差异？（α = 0.01）解：设两个化验室测定的含气量数据之差为),(~2d d N Y X D σµ−=，成对数据检验，假设H 0：µ d = 0 vs H 1：µ d ≠ 0，未知2d σ，选取统计量)1(~−=n t nS D T d，显著水平α = 0.01，t 1−α /2 (n − 1) = t 0.995 (6) = 3.7074，双侧拒绝域W = {| t | ≥ 3.7074}， 因0257.0−=d ，s d = 0.0922，n = 7， 则W t ∉−=−=7375.070922.00257.0，并且检验的p 值p = 2P {T ≤ −0.7375} = 0.4886 > α = 0.05，故接受H 0，拒绝H 1，可以认为两化验室测定结果之间没有显著差异．19．为比较正常成年男女所含红血球的差异，对某地区156名成年男性进行测量，其红血球的样本均值为465.13（104/mm 3），样本方差为54.802；对该地区74名成年女性进行测量，其红血球的样本均值为422.16，样本方差为49.202．试检验：该地区正常成年男女所含红血球的平均值是否有差异？（取α = 0.05）解：设该地区正常成年男女所含红血球分别为),(~211σµN X ，),(~222σµN Y ，假设H 0：µ1 = µ2 vs H 1：µ1 ≠ µ2，未知2221,σσ，大样本场合，选取统计量)1,0(~2212N n S n SY X U yx&+−=，显著水平α = 0.05，u 1−α /2 = u 0.975 = 1.96，双侧拒绝域W = {| t | ≥ 1.96}，因222220.49,16.422,80.54,13.465====y x s y s x ，n 1 = 156，n 2 = 74，则W u ∈=+−=9611.57420.4915680.5416.42213.46522，并且检验的p 值p = 2P {U ≥ 5.9611} = 2.5055 × 10−9 < α = 0.05，故拒绝H 0，接受H 1，可以认为该地区正常成年男女所含红血球的平均值有差异．20．为比较不同季节出生的女婴体重的方差，从去年12月和6月出生的女婴中分别随机地抽取6名及10名，测其体重如下（单位：g ）：12月：3520 2960 2560 2960 3260 3960，6月：3220 3220 3760 3000 2920 3740 3060 3080 2940 3060．假定新生女婴体重服从正态分布，问新生女婴体重的方差是否是冬季的比夏季的小（取α = 0.05）？解：设12月和6月出生的女婴体重分别为),(~211σµN X ，),(~222σµN Y ，假设H 0：2221σσ= vs H 1：2221σσ<，选取统计量)1,1(~2122−−=n n F S S F yx，显著水平α = 0.05，21.077.41)5,9(1)9,5()1,1(95.005.021====−−F F n n F α，左侧拒绝域W = { f ≤ 0.21}，因225960.491=x s ，225217.306=y s ，则W f ∉==5721.25217.3065960.49122，并且检验的p 值p = P {F ≤ 2.5721} = 0.8967 > α = 0.05，故接受H 0，拒绝H 1，新生女婴体重的方差冬季的不比夏季的小．21．已知维尼纶纤度在正常条件下服从正态分布，且标准差为0.048．从某天产品中抽取5根纤维，测得其纤度为1.32 1.55 1.36 1.40 1.44问这一天纤度的总体标准差是否正常（取α = 0.05）？解：设这一天维尼纶纤度X ~ N (µ , σ 2)，假设H 0：σ 2 = 0.0482 vs H 1：σ 2 ≠ 0.0482，选取统计量)1(~)1(2222−−=n S n χσχ，显著性水平α = 0.05，4844.0)4()1(2025.022/==−χχαn ，1433.11)4()1(2975.022/1==−−χχαn ，双侧拒绝域W = {χ 2 ≤ 0.4844或χ 2 ≥ 11.1433}， 因σ 2 = 0.0482，s 2 = 0.08822，n = 5，则W ∈=×=5069.13048.00882.04222χ，并且检验的p 值p = 2P {χ 2 ≥ 13.5069} = 0.0181 < α = 0.05， 故拒绝H 0，接受H 1，即可以认为这一天纤度的总体方差不正常．22．某电工器材厂生产一种保险丝．测量其熔化时间，依通常情况方差为400，今从某天产品中抽取容量为25的样本，测量其熔化时间并计算得24.62=x ，s 2 = 404.77，问这天保险丝熔化时间分散度与通常有无显著差异（取α = 0.05，假定熔化时间服从正态分布）？ 解：设这天保险丝熔化时间分散度X ~ N (µ , σ 2)，假设H 0：σ 2 = 400 vs H 1：σ 2 ≠ 400，选取统计量)1(~)1(2222−−=n S n χσχ，显著性水平α = 0.05，4012.12)24()1(2025.022/==−χχαn ，3641.39)24()1(2975.022/1==−−χχαn ，双侧拒绝域W = {χ 2 ≤ 12.4012或χ 2 ≥ 39.3641}， 因σ 2 = 400，s 2 = 404.77，n = 25，则W ∉=×=2862.2440077.404242χ，并且检验的p 值p = 2P {χ 2 ≥ 24.2862} = 0.8907 > α = 0.05，故接受H 0，拒绝H 1，即可以认为这天保险丝熔化时间分散度与通常没有显著差异． 23．某种导线的质量标准要求其电阻的标准差不得超过0.005（Ω）．今在一批导线中随机抽取样品9根，测得样本标准差s = 0.007（Ω），设总体为正态分布．问在显著水平α = 0.05下，能否认为这批导线的标准差显著地偏大？解：设这批导线的电阻X ~ N (µ , σ 2)，假设H 0：σ 2 = 0.005 2 vs H 1：σ 2 > 0.005 2，选取统计量)1(~)1(2222−−=n S n χσχ，显著性水平α = 0.05，5073.15)8()1(295.021==−−χχαn ，右侧拒绝域W = {χ 2 ≥ 15.5073}，因σ 2 = 0.005 2，s 2 = 0.007 2，n = 9，则W ∈=×=68.15005.0007.08222χ，并且检验的p 值p = P {χ 2 ≥ 15.68} = 0.0472 < α = 0.05， 故拒绝H 0，接受H 1，即可以认为这批导线的标准差显著地偏大．24．两台车床生产同一种滚珠，滚珠直径服从正态分布．从中分别抽取8个和9个产品，测得其直径为甲车床：15.0 14.5 15.2 15.5 14.8 15.1 15.2 14.8；乙车床：15.2 15.0 14.8 15.2 15.0 15.0 14.8 15.1 14.8．比较两台车床生产的滚珠直径的方差是否有明显差异（取α = 0.05）．解：设两台车床生产的滚珠直径分别为),(~211σµN X ，),(~222σµN Y ，假设H 0：2221σσ= vs H 1：2221σσ≠，选取统计量)1,1(~2122−−=n n F S S F yx，显著性水平α = 0.05，2041.09.41)7,8(1)8,7()1,1(975.0025.0212/====−−F F n n F α，F 1 − α /2 (n 1 − 1, n 2 − 1) = F 0.975 (7, 8) = 4.53，双侧拒绝域W = {F ≤ 0.2041或F ≥ 4.53}，因223091.0=x s ，221616.0=y s ，则W F ∉==6591.31616.03091.022，并且检验的p 值p = 2P {F ≥ 3.6591} = 0.0892 > α = 0.05，故接受H 0，拒绝H 1，即可以认为两台车床生产的滚珠直径的方差没有明显差异． 25．有两台机器生产金属部件，分别在两台机器所生产的部件中各取一容量为m = 14和n = 12的样本，测得部件质量的样本方差分别为46.1521=s ，66.922=s ，设两样本相互独立，试在显著性水平α = 0.05下检验假设H 0：2221σσ= vs H 1：2221σσ>．解：设两台机器生产金属部件质量分别为),(~211σµN X ，),(~222σµN Y ，假设H 0：2221σσ= vs H 1：2221σσ>，选取统计量)1,1(~2221−−=n m F S S F ，显著性水平α = 0.05，F 1 − α (m − 1, n − 1) = F 0.95 (13, 11) = 2.7614，右侧拒绝域W = {F ≥ 2.7614}，因46.1521=s ，66.922=s ，则W F ∉==6004.166.946.15，并且检验的p 值p = P {F ≥ 1.6004} = 0.2206 > α = 0.05， 故接受H 0，拒绝H 1，即可以认为2221σσ=．26．测得两批电子器件的样品的电阻（单位：Ω）为A 批（x ） 0.140 0.138 0.143 0.142 0.144 0.137；B 批（y ） 0.135 0.140 0.142 0.136 0.138 0.140．设这两批器材的电阻值分别服从),(211σµN ，),(222σµN ，且两样本独立．（1）试检验两个总体的方差是否相等（取α = 0.05）？ （2）试检验两个总体的均值是否相等（取α = 0.05）？解：设两批电子器件样品的电阻分别为),(~211σµN X ，),(~222σµN Y ，（1）假设H 0：2221σσ= vs H 1：2221σσ≠，选取统计量)1,1(~2122−−=n n F S S F yx，显著性水平α = 0.05，1399.015.71)5,5(1)5,5()1,1(975.0025.0212/====−−F F n n F α，F 1 − α /2 (n 1 − 1, n 2 − 1) = F 0.975 (5, 5) = 7.15，双侧拒绝域W = {F ≤ 0.1399或F ≥ 7.15}，因22002805.0=x s ，22002665.0=y s ，则W F ∉==1080.1002665.0002805.022，并且检验的p 值p = 2P {F ≥ 1.1080} = 0.9131 > α = 0.05， 故接受H 0，拒绝H 1，即可以认为两个总体的方差相等； （2）假设H 0：µ 1 = µ 2 vs H 1：µ 1 ≠ µ 2，未知2221,σσ，但2221σσ=，选取统计量)2(~112121−++−=n n t n n S YX T w ，显著性水平α = 0.05，t 1 − α /2 (n 1 + n 2 − 2) = t 0.975 (10) = 2.2281，双侧拒绝域W = {| t | ≥ 2.2281}， 因1407.0=x ，1385.0=y ，s x = 0.002805，s y = 0.002665，n 1 = 6，n 2 = 6，002736.010002665.05002805.052)1()1(22212221=×+×=−+−+−=n n s n s n s yx w ，则W t ∉=+×−=3718.16161002736.01385.01407.0，并且检验的p 值p = 2P {T ≥ 1.3718} = 0.2001 > α = 0.05， 故接受H 0，拒绝H 1，即可以认为两个总体的均值相等．27．某厂使用两种不同的原料生产同一类型产品，随机选取使用原料A 生产的样品22件，测得平均质量为2.36（kg ），样本标准差为0.57（kg ）．取使用原料B 生产的样品24件，测得平均质量为2.55（kg ），样本标准差为0.48（kg ）．设产品质量服从正态分布，两个样本独立．问能否认为使用原料B 生产的产品质量较使用原料A 显著大（取α = 0.05）？解：设两种原料生产的产品质量分别为),(~211σµN X ，),(~222σµN Y ，假设H 0：µ 1 = µ 2 vs H 1：µ 1 < µ 2 ，未知2221,σσ，大样本，选取统计量)1,0(~2212N n S n SY X U yx&+−=，显著性水平α = 0.05，u 1 − α = u 0.95 = 1.645，左侧拒绝域W ≈ {u ≤ −1.645}， 因36.2=x ，55.2=y ，s x = 0.57，s y = 0.48，n 1 = 22，n 2 = 24， 有W u ∉−=+−=2171.12448.02257.055.236.222，并且检验的p 值p = P {U ≤ −1.2171} = 0.1118 > α = 0.05，故接受H 0，拒绝H 1，即可以认为使用原料B 生产的产品质量较使用原料A 不是显著大．习题7.31． 从一批服从指数分布的产品中抽取10个进行寿命测试，观测值如下（单位：h ）： 1643 1629 426 132 1522 432 1759 1074 528 283根据这批数据能否认为其平均寿命不低于1100 h （取α = 0.05）？ 解：设这批产品的寿命X ~ Exp (1/θ )，假设H 0：θ = 1100 vs H 1：θ < 1100，选取统计量)2(~222n Xn χθχ=，显著性水平α = 0.05，8508.10)20()2(205.02==χχαn ，左侧拒绝域W = {χ 2 ≤ 10.8508}，因8.942=x ，n = 10，θ = 1100，则W ∉=××=1418.1711008.9421022χ，并且检验的p 值p = P {χ 2 ≤ 17.1418} = 0.3563 > α = 0.05，故接受H 0，拒绝H 1，即可以认为其平均寿命不低于1100 h ．2． 某厂一种元件平均使用寿命为1200 h ，偏低，现厂里进行技术革新，革新后任选8个元件进行寿命试验，测得寿命数据如下：2686 2001 2082 792 1660 4105 1416 2089假定元件寿命服从指数分布，取α = 0.05，问革新后元件的平均寿命是否有明显提高？ 解：设革新后元件的寿命X ~ Exp (1/θ )，假设H 0：θ = 1200 vs H 1：θ > 1200，选取统计量)2(~222n Xn χθχ=，显著性水平α = 0.05，2962.26)16()2(295.021==−χχαn ，右侧拒绝域W = {χ 2 ≥ 26.2962}，因875.2103=x ，n = 8，θ = 1200，则W ∈=××=0517.281200875.2103822χ，并且检验的p 值p = P {χ 2 ≥ 28.0517} = 0.0312 < α = 0.05，故拒绝H 0，接受H 1，即可以认为革新后元件的平均寿命有明显提高．3． 有人称某地成年人中大学毕业生比例不低于30%，为检验之，随机调查该地15名成年人，发现有3名大学毕业生，取α = 0.05，问该人看法是否成立？并给出检验的p 值．解：设该地n 名成年人中大学毕业生人数为∑==ni i X X n 1，有),(~p n b X n ，假设H 0：p = 0.3 vs H 1：p < 0.3， 选取统计量),(~p n b X n ，显著性水平α = 0.05，n = 15，p = 0.3， 有1268.07.03.005.00353.07.03.021515101515=⋅⋅<<=⋅⋅∑∑=−=−k k k kk kkkC C ，左侧拒绝域}1{≤=x n W ，因W x n ∉=3，并且检验的p 值2969.07.03.0}3{31515=⋅⋅=≤=∑=−k k k kC X n P p ，故接受H 0，拒绝H 1，即可以认为该人看法成立．4． 某大学随机调查120名男同学，发现有50人非常喜欢看武侠小说，而随机调查的85名女同学中有23人喜欢，用大样本检验方法在α = 0.05下确认：男女同学在喜爱武侠小说方面有无显著差异？并给出检验的p 值． 解：设n 1名男同学中有∑==111n i i X X n 人喜欢看武侠小说，n 2名女同学中有∑==212n j j Y Y n 人喜欢看武侠小说，有),(~111p n B X n ，),(~222p n B Y n ，大样本，有⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−1111)1(,~n p p p N X &，⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−2222)1(,~n p p p N Y &， 则⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−+−−−22211121)1()1(,~n p p n p p p p N Y X &，即)1,0(~)1()1()()(22211121N n p p n p p p p Y X &−+−−−−，当p 1 = p 2 = p 但未知时，此时用总频率2121ˆn n Yn X n p++=作为p 的点估计替换p ，在大样本场合，有)1,0(~11)ˆ1(ˆ21N n n p pY X U &+−−=，假设H 0：p 1 = p 2 vs H 1：p 1 ≠ p 2， 大样本，选取统计量)1,0(~11)ˆ1(ˆ21N n n p pY X U &+−−=，显著性水平α = 0.05，u 1 − α /2 = u 0.975 = 1.96，双侧拒绝域W = {| u | ≥ 1.96}，因n 1 = 120，n 2 = 85，501=x n ，232=y n ，有3561.0851202350ˆ2121=++=++=n n y n x n p，则W u ∈=+−×−=1519.28511201)3561.01(3561.0852312050，并且检验的p 值p = 2P {U ≥ 2.1519} = 0.0314 < α = 0.05，故拒绝H 0，接受H 1，可以认为男女同学在喜爱武侠小说方面有显著差异．5． 假定电话总机在单位时间内接到的呼叫次数服从泊松分布，现观测了40个单位时间，接到的呼叫次数如下：0 2 3 2 3 2 1 0 2 2 1 2 2 1 3 1 1 4 1 1 5 1 2 2 3 3 1 3 1 3 4 0 6 1 1 1 4 0 1 3．在显著性水平0.05下能否认为单位时间内平均呼叫次数不低于2.5次？并给出检验的p 值． 解：设电话总机在单位时间内接到的呼叫次数X ~ P(λ)，有)(~1λn P X X n ni i ∑==，大样本，有)1,0(~N nX n n X n &λλλλ−=−，假设H 0：λ = 2.5 vs H 1：λ < 2.5， 大样本，选取统计量)1,0(~N nX U &λλ−=， 显著性水平α = 0.05，u 1 − α = u 0.95 = 1.645，左侧拒绝域W = {u ≤ −1.645}， 因975.1=x ，n = 40，λ = 2.5， 则W u ∈−=−=1.2405.25.2975.1，并且检验的p 值p = P {U ≤ −2.1} = 0.0179 < α = 0.05，故拒绝H 0，接受H 1，不能认为单位时间内平均呼叫次数不低于2.5次；6． 通常每平方米某种布上的疵点数服从泊松分布，现观测该种布100 m 2，发现有126个疵点，在显著性水平0.05下能否认为该种布每平方米上平均疵点数不超过1个？并给出检验的p 值． 解：设每平方米该种布上的疵点数X ~ P(λ)，有)(~1λn P X X n ni i ∑==，大样本，有)1,0(~N nX n n X n &λλλλ−=−，假设H 0：λ = 1 vs H 1：λ > 1， 大样本，选取统计量)1,0(~N nX U &λλ−=，显著性水平α = 0.05，u 1 − α = u 0.95 = 1.645，右侧拒绝域W = {u ≥ 1.645}，因26.1=x ，n = 100，λ = 1， 则W u ∈=−=6.21001126.1，并且检验的p 值p = P {U ≥ 2.6} = 0.0047 < α = 0.05， 故拒绝H 0，接受H 1，不能认为该种布每平方米上平均疵点数不超过1个； 7． 某厂的一批电子产品，其寿命T 服从指数分布，其密度函数为p (t ; θ ) = θ −1exp{− t /θ } I t > 0，从以往生产情况知平均寿命θ = 2000 h ．为检验当日生产是否稳定，任取10件产品进行寿命试验，到全部失效时停止．试验得失效寿命数据之和为30200．试在显著性水平α = 0.05下检验假设H 0：θ = 2000 vs H 1：θ ≠ 2000．解：假设H 0：θ = 2000 vs H 1：θ ≠ 2000，选取统计量)2(~222n Xn χθχ=，显著性水平α = 0.05，5908.9)20()2(2025.022/==χχαn ，1696.34)20()2(2975.022/1==−χχαn ，双侧拒绝域W = {χ 2 ≤ 9.5908或χ 2 ≥ 34.1696}，因30201030200==x ，n = 10，θ = 2000， 则W ∉=××=20.30200030201022χ，并且检验的p 值p = P {χ 2 ≥ 30.20} = 0.0667 > α = 0.05，故接受H 0，拒绝H 1，即可以认为其平均寿命等于2000 h ． 8． 设X 1, X 2, …, X n 为取自两点分布b (1, p )的随机样本．（1）试求单侧假设检验问题H 0：p ≤ 0.01 vs H 1：p > 0.01的显著水平α = 0.05的检验； （2）若要这个检验在p = 0.08时犯第二类错误的概率不超过0.10，样本容量n 应为多大？ 解：（1）假设H 0：p = 0.01 vs H 1：p > 0.01，若为小样本，选取统计量),(~1p n b X X n ni i ∑==，显著性水平α = 0.05，p = 0.01，取⎭⎬⎫⎩⎨⎧≥⋅⋅=⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤⋅⋅=∑∑−=−=−95.099.001.0min 05.099.001.0min 102c k k n k k n n c k kn k k n C C c ，当n ≤ 5时，c 2 = 1；当6 ≤ n ≤ 35时，c 2 = 2；当36 ≤ n ≤ 82时，c 2 = 3；当83 ≤ n ≤ 137时，c 2 = 4； 右侧拒绝域}{2c x n W ≥=， 根据x n ，作出决策； 若为大样本，选取统计量)1,0(~)1(N np p pX U &−−=，显著性水平α = 0.05，u 1 − α = u 0.95 = 1.645，右侧拒绝域W = {u ≥ 1.645}， 计算u ，作出决策；（2）在p = 0.08时，)08.0,(~1n b X X n ni i ∑==，则犯第二类错误的概率10.092.008.0}08.0|{}08.0|{1022≤⋅⋅==<==∉=∑−=−c k k n k kn C p c X n P p W X n P β，当n ≤ 5时，c 2 = 1，β = 0.92n ≥ 0.6591；当6 ≤ n ≤ 35时，c 2 = 2，2184.092.008.01≥⋅⋅=∑=−k k n k kn C β；当36 ≤ n ≤ 82时，c 2 = 3， 若n = 64，1050.092.008.02=⋅⋅=∑=−k kn kknC β；若n = 65，0991.092.008.02=⋅⋅=∑=−k k n k kn C β；故n ≥ 65．9． 有一批电子产品共50台，产销双方协商同意找出一个检验方案，使得当次品率p ≤ p 0 = 0.04时拒绝的概率不超过0.05，而当p > p 1 = 0.30时，接受的概率不超过0.1，请你帮助找出适当的检验方案． 解：设这批电子产品中的次品数为∑==ni i X X n 1，有),(~p n b X n ，假设H 0：p = 0.04 vs H 1：p > 0.04， 小样本，选取统计量),(~p n b X n ， 显著性水平α = 0.05，p = 0.04，。
概率论与数理统计及其应用第二版课后答案
（2）至少有一种症状的概率为 ；
（3）已知该人有症状B，表明该人属于由只有症状B的30%人群或者两种症状都有的10%的人群，总的概率为30%+10%=40%，所以在已知该人有症状B的条件下该人有两种症状的概率为 。
13，一在线计算机系统，有4条输入通讯线，其性质如下表，求一随机选择的进入讯号无误差地被接受的概率。
解：仅由数字0，1，2，3，4，5组成且每个数字之多出现一次的全体三位数的个数有 个。（1）该数是奇数的可能个数为 个，所以出现奇数的概率为
（2）该数大于330的可能个数为 ，所以该数大于330的概率为
5，袋中有5只白球，4只红球，3只黑球，在其中任取4只，求下列事件的概率。
（1）4只中恰有2只白球，1只红球，1只黑球。
解：设“一名被检验者经检验认为患有关节炎”记为事件 ，“一名被检验者确实患有关节炎”记为事件 。根据全概率公式有
，
所以，根据条件概率得到所要求的概率为
即一名被检验者经检验认为没有关节炎而实际却有关节炎的概率为17.06%.
15，计算机中心有三台打字机A,B,C，程序交与各打字机打字的概率依次为0.6, 0.3, 0.1，打字机发生故障的概率依次为0.01, 0.05, 0.04。已知一程序因打字机发生故障而被破坏了，求该程序是在A,B,C上打字的概率分别为多少？
（2）4只中至少有2只红球。
（3）4只中没有白球。
解: （1）所求概率为 ；
（2） 所求概率为 ；
（3）所求概率为 。
6，一公司向 个销售点分发 张提货单，设每张提货单分发给每一销售点是等可能的，每一销售点得到的提货单不限，求其中某一特定的销售点得到 张提货单的概率。
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习题2参考答案X 23456789101112P1/36 1/18 1/12 1/95/36 1/6 5/36 1/9 1/12 1/18 1/36解：根据1)(0==∑∞=k k X P ，得10=∑∞=-k kae，即1111=---eae 。
故 1-=e a解：用X 表示甲在两次投篮中所投中的次数，X~B(2, 用Y 表示乙在两次投篮中所投中的次数, Y~B(2, (1)两人投中的次数相同P{X=Y}= P{X=0,Y=0}+ P{X=1,Y=1} +P{X=2,Y=2}=1122020*********2222220.70.30.40.60.70.30.40.60.70.30.40.60.3124C C C C C C ⨯+⨯+⨯=(2)甲比乙投中的次数多P{X>Y}= P{X=1,Y=0}+ P{X=2,Y=0} +P{X=2,Y=1}=12211102200220112222220.70.30.40.60.70.30.40.60.70.30.40.60.5628C C C C C C ⨯+⨯+⨯=解:（1）P{1≤X ≤3}= P{X=1}+ P{X=2}+ P{X=3}=12321515155++= (2)P{<X<}=P{X=1}+ P{X=2}=12115155+=解：（1）P{X=2,4,6,…}=246211112222k +++=11[1()]1441314k k lim→∞-=- （2）P{X ≥3}=1―P{X<3}=1―P{X=1}- P{X=2}=1111244--=解：设i A 表示第i 次取出的是次品，X 的所有可能取值为0，1，212341213124123{0}{}()(|)(|)(|)P X P A A A A P A P A A P A A A P A A A A ====18171615122019181719⨯⨯⨯= 1123412342341234{1}{}{}{}{}2181716182171618182161817162322019181720191817201918172019181795P X P A A A A P A A A A P A A A A P A A A A ==+++=⨯⨯⨯+⨯⨯⨯+⨯⨯⨯+⨯⨯⨯= 12323{2}1{0}{1}1199595P X P X P X ==-=-==--=解：(1)设X 表示4次独立试验中A 发生的次数，则X~B(4,34314044(3)(3)(4)0.40.60.40.60.1792P X P X P X C C ≥==+==+= (2)设Y 表示5次独立试验中A 发生的次数，则Y~B(5,345324150555(3)(3)(4)(5)0.40.60.40.60.40.60.31744P X P X P X P X C C C ≥==+=+==++=（1）X ～P(λ)=P ×3)= P0 1.51.5{0}0!P X e -=== 1.5e - （2）X ～P(λ)=P ×4)= P(2)0122222{2}1{0}{1}1130!1!P X P X P X e e e ---≥=-=-==--=-解：设应配备m 名设备维修人员。
又设发生故障的设备数为X ，则)01.0,180(~B X 。
依题意，设备发生故障能及时维修的概率应不小于，即99.0)(≥≤m X P ，也即01.0)1(≤+≥m X P因为n =180较大，p =较小，所以X 近似服从参数为8.101.0180=⨯=λ的泊松分布。
查泊松分布表，得，当m +1=7时上式成立，得m =6。
故应至少配备6名设备维修人员。
解：一个元件使用1500小时失效的概率为3110001000)15001000(15001000150010002=-==≤≤⎰x dx x X P 设5个元件使用1500小时失效的元件数为Y ，则)31,5(~B Y 。
所求的概率为329.0380)32()31()2(53225==⨯==C Y P解：(1)2ln )2()2(==<F X P101)0()3()30(=-=-=<<F F X P25.1ln 2ln 5.2ln )2()5.2()5.22(=-=-=≤<F F X P(2) ⎩⎨⎧<≤='=-其它01)()(1ex x x F x f解：(1)由1)(=+∞F 及)0()(lim 0F x F x =→，得⎩⎨⎧=+=01b a a ，故a =1,b =-1.(2) ⎪⎩⎪⎨⎧<≥='=-00)()(22x x xex F x f x (3) )4ln ()16ln ()16ln 4ln (F F X P -=<<25.041)1()1(24ln 216ln ==---=--ee（1）假设该地区每天的用电量仅有80万千瓦时，则该地区每天供电量不足的概率为：1122340.80.8{0.81}12(1)(683)0.0272|P X x x dx x x x <≤=-=-+=⎰（2）假设该地区每天的用电量仅有90万千瓦时，则该地区每天供电量不足的概率为：1122340.90.9{0.91}12(1)(683)0.0037|P X x x dx x x x <≤=-=-+=⎰解:要使方程03222=+++K Kx x 有实根则使0)32(4)2(2≥+-=∆K K解得K 的取值范围为],4[]1,[+∞--∞ ,又随机变量K~U(-2,4)则有实根的概率为31)2(4]34)2(1[=---+---=p解：X~P(λ)= P(1200) (1) 1111001002002002001{100}1200|x P X e dx e e ---≤===-⎰（2）11320020023003001{300}200|x P X e dx e e --∞-∞≥===⎰（3）1113300300200200221001001{100300}200|x P X e dx e e e ----≤≤===-⎰113222{100,100300}{100}{100300}(1)()P X X P X P X e ee ---≤≤≤=≤≤≤=--解：设每人每次打电话的时间为X ，X ~E ，则一个人打电话超过10分钟的概率为5105.0105.05.0)10(-+∞-+∞-=-==>⎰e e dx e X P xx又设282人中打电话超过10分钟的人数为Y ，则),282(~5-e B Y 。
因为n =282较大，p 较小，所以Y 近似服从参数为9.12825≈⨯=-e λ的泊松分布。
所求的概率为)1()0(1)2(=-=-=≥Y P Y P Y P56625.09.219.119.19.19.1=-=--=---e e e解：(1))42.0(1)42.0()12110105()105(Φ-=-Φ=-Φ=≤X P 3372.06628.01=-=(2))12110100()12110120()120100(-Φ--Φ=≤≤X P 5934.017967.021)83.0(2)83.0()83.0(=-⨯=-Φ=-Φ-Φ=解：设车门的最低高度应为a 厘米，X~N(170,62){}1{}0.01170{}()0.996P X a P X a a P X a ≥=-≤≤-≤=Φ≥ 1702.336a -=184a ≈厘米解：X 的可能取值为1,2,3。
因为6.0106)1(3524====C C X P ； 1.01011)3(35====C X P ；所以X 的分布律为X 的分布函数为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥<≤<≤<=31329.0216.010)(x x x x x F(1)22{0}{}0.22{}{0}{}0.30.40.73{4}{}0.12P Y P X P Y P X P X P Y P X πππππ=======+==+=====Y0 2π 42π i q(2)3.01.06.01)2(=--==X P{1}{0}{}0.30.40.73{1}{}{}0.20.10.322P Y P X P X P Y P X P X πππ=-==+==+====+==+= Y-1 1 i q（1）当11x -≤<时，(){1}0.3F x P X ==-=当12x ≤<时，(){1}{1}0.3{1}0.8F x P X P X P X ==-+==+=={1}0.80.30.5P X ==-=当2x ≥时，(){1}{1}{2}0.8{2}1F x P X P X P X P X ==-+=+==+=={2}10.80.2P X ==-=X -1 1 2 P（2）{1}{1}{1}0.30.50.8P Y P X P X ===-+==+= {2}{2}0.2P Y P X ====Y1 2 i q~(0,1)X N∴22()x X f x -=（1）设F Y (y)，()Y f y 分别为随机变量Y 的分布函数和概率密度函数，则21221(){}{21}{}2y x Y y F y P Y y P X y P X dx +--∞+=≤=-≤=≤=⎰对()Y F y 求关于y的导数，得221()(1)2821()()2y y Y y f y ++--+'== (,)y ∈-∞∞（2）设F Y (y)，()Y f y 分别为随机变量Y 的分布函数和概率密度函数，则 当0y ≤时，(){}{}{}0X Y F y P Y y P e y P -=≤=≤=∅= 当0y >时，有22ln (){}{}{ln }{ln }x X Y yF y P Y y P e y P X y P X y dx ∞---=≤=≤=-≤=≥-=⎰对()Y F y 求关于y 的导数，得22(ln )(ln )22(ln )()0y y Y y f y ---⎧'-=⎪=⎨⎪⎩ y>0y 0≤（3）设F Y (y)，()Y f y 分别为随机变量Y 的分布函数和概率密度函数，则 当y 0≤时，2(){}{}{}0Y F y P Y y P X y P =≤=≤=∅=当y>0时，222(){}{}{x Y F y P Y y P X y P X dx -=≤=≤=≤≤=对()YF y求关于y的导数，得2(ln)2()yYf y-⎧''==⎩y>0y0≤∵πX U(0,)∴1()Xf xπ⎧⎪=⎨⎪⎩0xπ<<其它（1）2ln yπ<<∞当时2(){}{2ln}{ln}{}0YF y P Y y P X y P X y P=≤=≤=≤=∅=2lnyπ-∞<≤当时2221 (){}{2ln}{ln}{}{yeyYF y P Y y P X y P X y P X e P X dxπ=≤=≤=≤=≤=≤=⎰对()YF y求关于y的导数，得到2211()()2y yYe ef yππ⎧'=⎪=⎨⎪⎩2ln2lnyyππ-∞<≤<<∞（2）≥≤当y1或 y-1时，(){}{cos}{}0YF y P Y y P X y P=≤=≤=∅=11y-<<当时,arccos1(){}{cos}{arccos}Y yF y P Y y P X y P X y dxππ=≤=≤=≥=⎰对()YF y求关于y的导数，得到1(arccos)()Yyf yπ⎧'-=⎪=⎨⎪⎩11y-<<其它（3）≥≤当y 1或 y 0时(){}{sin }{}0Y F y P Y y P X y P =≤=≤=∅=01y <<当时，arcsin 0arcsin (){}{sin }{0arcsin }{arcsin }11Y yyF y P Y y P X y P X y P y X dx dxππππππ-=≤=≤=≤≤+-≤≤=+⎰⎰对()Y F y 求关于y 的导数，得到11arcsin (arcsin )()0Y y y f y πππ⎧''--=⎪=⎨⎪⎩01y <<其它习题3参考答案P{1<X ≤2,3<Y ≤5}=F(2,5)+F(1,3)--F(1,5)—F(2,3)= 3128（1）a=9（2）512（3）111120000111{(,)}(6)[(6)]992|yyP X Y D dy x y dx y x x dy --∈=--=--⎰⎰⎰1123200111111188(65)(35)9229629327|y y dy y y y =-+=-+=⨯=⎰ 解：（1）(2)222000(,)22(|)(|)(1)(1)yxyxu v vu v y u xy x F x y edudv e dv e du e e e e -+------===--=--⎰⎰⎰⎰（2）(2)2200223230000()222(|)2212(1)(22)(|)|1333xx x y x v x y xx x x x x x P Y X e dxdy e dx e dy e e dxe e dx e e dx e e ∞∞∞-+----∞∞-----∞-∞≤===-=-=-=-+=-=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰ 解：222222222222001()(1)(1)a x y a rP x y a d dr x y r πθππ+≤+≤==+++⎰⎰⎰⎰ 22222222011111(1)21(1)2(1)11|aa a d d r r r a a πθπππ=+=-⨯⨯=-=++++⎰⎰参见课本后面P227的答案3111200033()(,)2232|X y x f x f x y dy xy dy x ====⎰⎰22222220331()(,)3222|y f y f x y dx xy dx y x y ====⎰⎰,()20,X x f x ⎧⎪=⎨⎪⎩ 02x ≤≤其它23()0Y y f y ⎧=⎨⎩01y ≤≤其它解：X 的边缘概率密度函数()X f x 为： ①当10x x ><或时，(,)0f x y =，()0X f x =1122220111() 4.8(2) 4.8[2] 4.8[12]2221001() 4.8(2) 2.4(2) 2.4(2)||Y y y xxX f y y x dx y x x y y y y y y f x y x dy y x x x =-=-=-+><≤≤=-=-=-⎰⎰或②当01x ≤≤时，220() 4.8(2) 2.4(2) 2.4(2)|xxX f x y x dy y x x x =-=-=-⎰Y 的边缘概率密度函数()Y f y 为：① 当10y y ><或时，(,)0f x y =，()0Y f y = ② 当01y ≤≤时，1122111() 4.8(2) 4.8[2] 4.8[12]222|Y y y f y y x dx y x x y y y =-=-=-+⎰ 22.4(34)y y y =-+（1）参见课本后面P227的答案（2）26()0xx X dy f x ⎧⎪=⎨⎪⎩⎰ 01x ≤≤其它6=0x x ⎧⎨⎩（1-） 01x ≤≤其它()0y Y dx f y ⎧⎪=⎨⎪⎩ 01y ≤≤其它6=0y ⎧⎪⎨⎪⎩） 01y ≤≤其它参见课本后面P228的答案 参见课本后面P228的答案 （1）220()()30X xyx dy f x ⎧+⎪=⎨⎪⎩⎰ 01x ≤≤其它22230x x⎧+⎪=⎨⎪⎩01x ≤≤其它 120()()3Y xy x dx f y ⎧+⎪=⎨⎪⎩⎰ 02y ≤≤其它1=360y ⎧+⎪⎨⎪⎩ 02y ≤≤其它 对于02y ≤≤时，()0Y f y >，所以2|3(,)1(|)()360X Y Y xyx f x y y f x y f y ⎧+⎪⎪==⎨+⎪⎪⎩01x ≤≤其它26+220x xyy ⎧⎪+⎪⎪=⎨⎪⎪⎪⎩01x ≤≤其它 对于01x ≤≤时，()0X f x >所以22|3(,)2(|)2()30Y X X xy x f x y x f y x x f x ⎧+⎪⎪==⎨+⎪⎪⎩ 02y ≤≤其它3620x y x +⎧⎪+⎪⎪=⎨⎪⎪⎪⎩02y ≤≤其它111222|001133111722{|}(|)1222540622Y X y y P Y X f y dy dy dy ⨯+⨯+<=====⨯+⎰⎰⎰由表格可知 P{X=1;Y=2}=≠P{X=1}P{Y=2}= 故}{}P{};P{y Y x X y Y x X iiiiP ====≠所以X 与Y 不独立由独立的条件}{}P{};P{y Y x X y Y x X iiiiP =====则}2{}2P{X }2;2P{X =====Y P Y}3{}2P{X }3;2P{X =====Y P Y1}P{X ==∑i可以列出方程a ab a =+++)91)(31(b b a b =+++)31)(181( 13131=+++b a 0,0≥≥b a解得91,92==b a 解（1）在中()20X xf x ⎧⎪=⎨⎪⎩ 02x ≤≤其它23()0Y y f y ⎧=⎨⎩01y ≤≤其它当02x ≤≤， 01y ≤≤时，()()X Y f x f y 23(,)2xy f x y == 当2x >或0x <时，当1y >或0y <时，()()X Y f x f y 0(,)f x y == 所以， X 与Y 之间相互独立。