北京市昌平区2018届高三数学12月月考试题理

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北京市昌平区2018届高三数学上学期第一次月考试题

如果您喜欢这份文档，欢迎下载！祝您成绩进步，学习愉快！北京市昌平区2018届高三数学上学期第一次月考试题时间：120分钟满分：150分第I卷选择题一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的）1．已知集合A={x|x＜1}，B={x|3x＜1}，则（）A．A∩B={x|x＜0} B．A∪B=R C．A∪B={x|x＞1} D．A∩B=∅2．设m，n为非零向量，则“存在负数λ，使得m=λn”是m•n＜0”的（）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件3．设函数f（x）=，若f（f（））=4，则b=（）A．1 B． C．D．4．下列函数中，在区间（0，+∞）上为增函数的是（）A．y= B．y=（x﹣1）2C．y=2﹣x D．y=log0.5（x+1）5．函数f（x）=lnx的图象与函数g（x）=x2﹣4x+4的图象的交点个数为（）A．0 B．1 C．2 D．36．设f（x）=x﹣sinx，则f（x）（）A．既是奇函数又是减函数 B．既是奇函数又是增函数C．是有零点的减函数 D．是没有零点的奇函数7．设f（x）=sinx+cosx，那么（）A．f′（x）=cosx﹣sinx B．f′（x）=cosx+sinxC．f′（x）=﹣cosx+sinx D．f′（x）=﹣cosx﹣sinx8．函数f（x）=x3+4x+5的图象在x=1处的切线在x轴上的截距为（）A．10 B．5 C．﹣1 D．9．已知等差数列{a n}满足a2+a4=4，a3+a5=10，则它的前10项的和S10=（）A．138 B．135 C．95 D．2310．若cos（﹣α）=，则sin2α=（）A． B． C．﹣ D．﹣11．已知向量m=（λ+1，1），n=（λ+2，2），若（m+n）⊥（m-n），则λ=（）A．﹣4 B．﹣3 C．﹣2 D．﹣112．设函数，则f（x）=sin（2x+）+cos（2x+），则（）A．y=f（x）在（0，）单调递增，其图象关于直线x=对称B．y=f（x）在（0，）单调递增，其图象关于直线x=对称C．y=f（x）在（0，）单调递减，其图象关于直线x=对称D．y=f（x）在（0，）单调递减，其图象关于直线x=对称第II卷非选择题二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．已知4a=2，lgx=a，则x= ．14．曲线y=x2与y=x所围成的封闭图形的面积为．15．设等比数列{a n}满足a1+a3=10，a2+a4=5，则a1•a2•······•a n的最大值为．16．命题“存在x∈R，使得x2+2x+5=0”的否定是．三．解答题（17题10分，18-22题每题12分，共70分）17．记关于x的不等式的解集为P，不等式|x﹣1|≤1的解集为Q．（1）若a=3，求P；（2）若Q⊆P，求正数a的取值范围．x.18.已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，且f(0)＝0，当x>0时，f(x)＝log12(1)求函数f(x)的解析式；(2)解不等式f(x2－1)>－2.19．在平面直角坐标系xOy中，已知向量=（，﹣），=（sinx，cosx），x∈（0，）．（1）若m⊥n，求tanx的值；（2）若m与n的夹角为，求x的值．20．已知，，α，β∈（0，π）（1）求tan（α+β）的值；（2）求函数的最大值．21．已知{a n}是等差数列，{b n}是等比数列，且b2=3，b3=9，a1=b1，a14=b4．（1）求{a n}的通项公式；（2）设c n=a n+b n，求数列{c n}的前n项和．22．已知f（x）=xlnx﹣ax，g（x）=﹣x2﹣2．（1）当a=﹣1时，求f（x）的单调区间；（2）对一切x∈（0，+∞），f（x）≥g（x）恒成立，求实数a的取值范围；（3）证明：对一切x∈（0，+∞），都有成立．高三数学参考答案一、选择题（每题5分，共60分）题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 A ADACBADCDBD二、填空题（每题5分，共20分） 13. 14. 15.64 16.对任意x ∈R ，都有x 2+2x+5≠0 ．三、解答题（17题10分，18-22题每题12分，共70分） 17.解：（I ）由，得P={x|﹣1＜x ＜3}．（II ）Q={x||x ﹣1|≤1}={x|0≤x ≤2}．由a ＞0，得P={x|﹣1＜x ＜a}，又Q ⊆P ，结合图形所以a ＞2，即a 的取值范围是（2，+∞）．18.解 (1)当x <0时，－x >0，则f (－x )＝log 12(－x ).因为函数f (x )是偶函数，所以f (－x )＝f (x )＝log 12(－x )，所以函数f (x )的解析式为f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 12x ，x >0，0，x ＝0，log 12（－x ），x <0.(2)因为f (4)＝log 124＝－2，f (x )是偶函数，所以不等式f (x 2－1)>－2转化为f (|x 2－1|)>f (4). 又因为函数f (x )在(0，＋∞)上是减函数，所以|x 2－1|<4，解得－5<x <5，即不等式的解集为(－5，5).19.解：（1）若m⊥n，则m•n=（，﹣）•（sinx，cosx）=sinx﹣cosx=0，即sinx=cosxsinx=cosx，即tanx=1；（2）∵|m|=，|n|==1，•=（，﹣）•（sinx，cosx）=sinx﹣cosx，∴若m与n的夹角为，则m•n=|m|•|n|cos=，即sinx﹣cosx=，则sin（x﹣）=，∵x∈（0，）．∴x﹣∈（﹣，）．则x﹣=即x=+=．20.解：（1）由，β∈（0，π）得，所以tanβ=2，于是tan（α+β）=．（2）因为所以=故f（x）的最大值为．21.解：（1）设{a n}是公差为d的等差数列，{b n}是公比为q的等比数列，由b2=3，b3=9，可得q==3，b n=b2q n﹣2=3•3n﹣2=3n﹣1；即有a1=b1=1，a14=b4=27，则d==2，则a n=a1+（n﹣1）d=1+2（n﹣1）=2n﹣1；（2）c n=a n+b n=2n﹣1+3n﹣1，则数列{c n}的前n项和为（1+3+…+（2n﹣1））+（1+3+9+…+3n﹣1）=n•2n+=n2+．22.解：（1）函数的定义域是（0，+∞）当a=﹣1时，f′（x）=lnx+2令f′（x）=lnx+2＞0，得令f′（x）=lnx+2＜0，得∴函数的单调递增区间是函数的单调递减区间是（2）∵对一切x∈（0，+∞），f（x）≥g（x）恒成立，∴对一切x∈（0，+∞），xlnx﹣ax≥﹣x2﹣2恒成立．即对一切x∈（0，+∞），恒成立．令∵∴当0＜x＜1时，F′（x）＜0，函数递减，当x＞1时，F′（x）＞0，函数递增．∴F（x）在x=1处取极小值，也是最小值，即F min（x）=F（1）=3∴a≤3（3）证明：对一切x∈（0，+∞），都有成立．等价于证明：对一切x∈（0，+∞），都有成立．由（1）知，当a=﹣1时f（x）=xlnx+x，令，当x∈（0，1）时，G′（x）＞0，函数G（x）递增，当x∈（1，+∞）时，G′（x）＜0，函数G（x）递减．f（x）min＞G（x）max∴当x=1时，函数G（x）取到极大值，也是最大值．∴∵﹣∴f（x）min＞G（x）max∴对一切x∈（0，+∞），都有成立．。

2018年北京市昌平区高考数学二模试卷(理科)(解析版)

2018年北京市昌平区高考数学二模试卷（理科）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．（5分）已知全集U＝R，集合A＝{x|x＜﹣1或x＞1}，则∁U A＝（）A．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）B．（﹣∞，﹣1]∪[1，+∞）C．（﹣1，1）D．[﹣1，1]2．（5分）若复数z＝cosθ+i sinθ，当时，则复数z在复平面内对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限3．（5分）已知等比数列{a n}中，a1＝27，a4＝a3a5，则a7＝（）A．B．C．D．34．（5分）设，b＝log23，c＝2﹣0.3，则（）A．b＞c＞a B．a＞b＞c C．b＞a＞c D．a＞c＞b 5．（5分）若满足条件的整点（x，y）恰有12个，其中整点是指横、纵坐标都是整数的点，则整数a的值为（）A．﹣3B．﹣2C．﹣1D．06．（5分）设x，y∈R，则“x2+y2≤2“是“|x|≤1且|y|≤1“的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件7．（5分）某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的所有面中最大面的面积是（）A．4B．C．2D．8．（5分）2011年7月执行的《中华人民共和国个人所得税法》规定：公民全月工资、薪金所得不超过3500元的部分不必纳税，超过3500元的部分为全月应纳税所得额．此项税款按下表分段累进计算：某调研机构数据显示，纳税人希望将个税免征额从3500元上调至7000元．若个税免征额上调至7000元（其它不变），某人当月少交纳此项税款332元，则他的当月工资、薪金所得介于（）A．5000～6000元B．6000～8000元C．8000～9000元D．9000～16000元二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．9．（5分）在二项式的展开式中，第四项的系数是．（用数字作答）10．（5分）在△ABC中，，，AC＝1，则BC＝．11．（5分）已知双曲线C：的渐近线方程为，则双曲线C的离心率是．12．（5分）执行如图所示的程序框图，若输入x值满足﹣2＜x≤4，则输出y值的取值范围是．13．（5分）向量，在边长为1的正方形网格中的位置如图所示，则向量，所成角的余弦值是；向量，所张成的平行四边形的面积是．14．（5分）已知函数f（x）＝①当x＜1时，若函数f（x）有且只有一个极值点，则实数a的取值范围是；②若函数f（x）的最大值为1，则a＝．三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．15．（13分）已知函数．（I）求函数f（x）的最小正周期；（II）求函数f（x）在区间上的最值及相应的x值．16．（13分）为评估大气污染防治效果，调查区域空气质量状况，某调研机构从A，B两地区一年的数据中随机抽取了相同20天的观测数据，得到A，B两地区的空气质量指数（AQI）如图所示：根据空气质量指数，将空气质量状况分为以下三个等级：（Ⅰ）试估计A地区当年（365天）的空气质量状况“优良”的天数；（Ⅱ）假设两地区空气质量状况相互独立，记事件C：“A地区空气质量等级优于B地区空气质量等级”．根据所给数据，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率，求事件C的概率．（Ⅲ）若从空气质量角度选择生活地区居住，你建议选择A，B两地区哪个地区．（只需写出结论）17．（14分）如图1，在边长为2的菱形ABCD中，∠BAD＝60°，DE⊥AB于点E，将△ADE沿DE折起到△A1DE的位置，使A1D⊥BE，如图2．（I）求证：A1E⊥平面BCDE；（II）求二面角E﹣A1D﹣B的余弦值；（III）在线段BD上是否存在点P，使平面A1EP平面A1BP？若存在，求出的值；若不存在，说明理由．18．（14分）已知椭圆E：（a＞b＞0）的经过点（0，1），且离心率为．（I）求椭圆E的标准方程；（II）过右焦点F的直线l（与x轴不重合）与椭圆交于A，B两点，线段AB 的垂直平分线交y轴于点M（0，m），求实数m的取值范围．19．（13分）已知函数f（x）＝ax2+ax﹣xe x，a＞1．（I）若曲线f（x）在点（0，f（0））处的切线方程为y＝x，求a的值；（II）证明：当x＜0时，函数f（x）存在唯一的极小值点为x0，且．20．（13分）已知正项数列{a n}中，若存在正实数p，使得对数列{a n}中的任意一项a k，也是数列{a n}中的一项，称数列{a n}为“倒置数列”，p是它的“倒置系数”．（I）若数列：1，4，9，x（x＞9）是“倒置系数”为p的“倒置数列”，求x 和p的值；（II）若等比数列{a n}的项数是m，数列{a n}所有项之积是T，求证：数列{a n}是“倒置数列”，并用m和T表示它的“倒置系数”p；（III）是否存在各项均为整数的递增数列{a n}，使得它既是等差数列，又是“倒置数列”，如果存在，请写出一个满足条件的数列，如果不存在，请说明理由．2018年北京市昌平区高考数学二模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．（5分）已知全集U＝R，集合A＝{x|x＜﹣1或x＞1}，则∁U A＝（）A．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）B．（﹣∞，﹣1]∪[1，+∞）C．（﹣1，1）D．[﹣1，1]【解答】解：∁U A＝[﹣1，1]．故选：D．2．（5分）若复数z＝cosθ+i sinθ，当时，则复数z在复平面内对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【解答】解：当时，复数z＝cos+i sin＝﹣﹣i，则复数z在复平面内对应的点位于第三象限．故选：C．3．（5分）已知等比数列{a n}中，a1＝27，a4＝a3a5，则a7＝（）A．B．C．D．3【解答】解：∵等比数列{a n}中，a1＝27，a4＝a3a5，∴27q3＝27q2•27q4，解得q＝，∴a7＝27q6＝＝．故选：A．4．（5分）设，b＝log23，c＝2﹣0.3，则（）A．b＞c＞a B．a＞b＞c C．b＞a＞c D．a＞c＞b【解答】解：∵，且2﹣0.2＜20＝1，而b＝log23＞log22＝1．∴b＞a＞c．故选：C．5．（5分）若满足条件的整点（x，y）恰有12个，其中整点是指横、纵坐标都是整数的点，则整数a的值为（）A．﹣3B．﹣2C．﹣1D．0【解答】解：作出满足条件的平面区域，如图：要使整点（x，y）恰有12个，即为（0，0）、（1，0）、（﹣1，﹣1）、（0，﹣1），（1，﹣1）、（2，﹣1）、（﹣2，﹣2）、（﹣1，﹣2）、（0，﹣2），（1，﹣2）、（2，﹣2）、（3，﹣2）．故整数a的值为﹣2．故选：B．6．（5分）设x，y∈R，则“x2+y2≤2“是“|x|≤1且|y|≤1“的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：由|x|≤1且|y|≤1⇒x2+y2≤2，反之不成立，例如x＝0，y＝．∴x2+y2≤2“是“|x|≤1且|y|≤1“的必要不充分条件．故选：B．7．（5分）某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的所有面中最大面的面积是（）A．4B．C．2D．【解答】解：由三视图可知几何体为四棱锥，作出直观图如图所示，其中底面ABCD是长方形，AB＝2，AD＝1，侧面P AB⊥底面ABCD，且∠P AB＝90°，P A＝2，＝2×1＝2，，，则S四边形ABCD，．∴该四棱锥的所有面中最大面的面积是．故选：B．8．（5分）2011年7月执行的《中华人民共和国个人所得税法》规定：公民全月工资、薪金所得不超过3500元的部分不必纳税，超过3500元的部分为全月应纳税所得额．此项税款按下表分段累进计算：某调研机构数据显示，纳税人希望将个税免征额从3500元上调至7000元．若个税免征额上调至7000元（其它不变），某人当月少交纳此项税款332元，则他的当月工资、薪金所得介于（）A．5000～6000元B．6000～8000元C．8000～9000元D．9000～16000元【解答】解：设该人当月工资、薪金所得为x元，由题意得：1500×3%+3000×10%+（x﹣8000）×20%﹣（x﹣7000）×3%＝332，整理，得：0.17x＝1377，解得x＝8100．故选：C．二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．9．（5分）在二项式的展开式中，第四项的系数是20．（用数字作答）【解答】解：的展开式的第四项为，∴第四项的系数是C63＝20．故答案为：20．10．（5分）在△ABC中，，，AC＝1，则BC＝1或．【解答】解：由题意可得：sin A＝，化为sin A＝，解得A＝或．∴BC2＝﹣2cos A，可得BC2＝1或7，解得BC＝1或．故答案为：1或．11．（5分）已知双曲线C：的渐近线方程为，则双曲线C的离心率是．【解答】解：根据题意，双曲线C：的渐近线方程为，则有＝，即a＝2，则双曲线的方程为﹣y2＝1，其中a＝2，b＝1，则c＝＝，则双曲线的离心率e＝＝；故答案为：．12．（5分）执行如图所示的程序框图，若输入x值满足﹣2＜x≤4，则输出y值的取值范围是[﹣3，2]．【解答】解：根据输入x值满足﹣2＜x≤4，故：利用函数的定义域，分成两部分：即：﹣2＜x＜2和2≤x≤4，当﹣2＜x＜2时，执行y＝x2﹣3的关系式，故：﹣3≤y＜1，当2≤x≤4时，执行y＝log2x的关系式，故：1≤y≤2．综上所述：y∈[﹣3，2]，故答案为：[﹣3，2]13．（5分）向量，在边长为1的正方形网格中的位置如图所示，则向量，所成角的余弦值是；向量，所张成的平行四边形的面积是3．【解答】解：如图所示，建立直角坐标系，不妨取＝（2，1），＝（1，2），则＝＝＝．向量，所张成的平行四边形的面积S＝••sin＝×＝5×＝3．故答案分别为：，3．14．（5分）已知函数f（x）＝①当x＜1时，若函数f（x）有且只有一个极值点，则实数a的取值范围是a＜1；②若函数f（x）的最大值为1，则a＝±1．【解答】解：①x＜1时，f（x）＝﹣x2+2ax，f′（x）＝﹣2x+2a＝﹣2（x﹣a），由f′（x）＝0，解得x＝a．∵函数f（x）有且只有一个极值点，∴a＜1．则实数a的取值范围是（﹣∞，1）．②a＝0时，f（x）＝，此时f（x）max＝0≠1，舍去．a＜0时，x≥1时，f（x）＝≤0．x＜1时，f（x）＝﹣（x﹣a）2+a2，x＝a 时，函数f（x）取得最大值，f（a）＝a2，令a2＝1，a＜0，解得a＝﹣1．a＞0时，x≥1时，f（x）＝，f′（x）＝，可得函数f（x）在[1，e）内单调递增，在（e，+∞）内单调递减．f（x）max＝f（e）＝．x＜1时，f（x）＝﹣（x﹣a）2+a2，x＝a时，函数f（x）取得最大值，f（x）max ＝f（a）＝a2，当，即a时，令a2＝1，解得a＝1．当a2，即0＜a＜时，令＝1，解得a＝e．舍去．综上可得：a＝±1．故答案为：±1．三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．15．（13分）已知函数．（I）求函数f（x）的最小正周期；（II）求函数f（x）在区间上的最值及相应的x值．【解答】解：（Ⅰ）＝＝，∴f（x）的最小正周期是π；（Ⅱ）∵，∴0≤2x≤π，∴，当时，f（x）max＝2．当时，f（x）min＝﹣1．16．（13分）为评估大气污染防治效果，调查区域空气质量状况，某调研机构从A，B两地区一年的数据中随机抽取了相同20天的观测数据，得到A，B两地区的空气质量指数（AQI）如图所示：根据空气质量指数，将空气质量状况分为以下三个等级：（Ⅰ）试估计A地区当年（365天）的空气质量状况“优良”的天数；（Ⅱ）假设两地区空气质量状况相互独立，记事件C：“A地区空气质量等级优于B地区空气质量等级”．根据所给数据，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率，求事件C的概率．（Ⅲ）若从空气质量角度选择生活地区居住，你建议选择A，B两地区哪个地区．（只需写出结论）【解答】（共13分）解：（Ⅰ）从A地区选出的20天中随机选出一天，这一天空气质量状况为“优良”的频率为1﹣＝0.75，估计A地区当年（365天）的空气质量状况“优良”的频率为0.75，A地区当年（365天）的空气质量状况“优良”的天数约为365×0.75≈274天．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（4分）（Ⅱ）记A1表示事件：“A地区空气质量等级为优良”，A2表示事件：“A地区空气质量等级为轻中度污染”，B1表示事件：“B地区空气质量等级为轻中度污染”，B2表示事件：“B地区空气质量等级为重度污染”，则A1与B1独立，A2与B2独立，B1与B2互斥，C＝A1B1∪A1B2∪A2B2．所以P（C）＝P（A1B1∪A1B2∪A2B2）＝P（A1B1）+P（A1B2）+P（A2B2）＝P （A1）P（B1）+P（A1）P（B2）+P（A2）P（B2）．由所给数据得A1，A2，B1，B2发生的频率分别为，，，．故，，，，所以事件C的概率P（C）＝＝0.2925．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（10分）（Ⅲ）从空气质量角度，建议选择A地区居住．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（13分）17．（14分）如图1，在边长为2的菱形ABCD中，∠BAD＝60°，DE⊥AB于点E，将△ADE沿DE折起到△A1DE的位置，使A1D⊥BE，如图2．（I）求证：A1E⊥平面BCDE；（II）求二面角E﹣A1D﹣B的余弦值；（III）在线段BD上是否存在点P，使平面A1EP平面A1BP？若存在，求出的值；若不存在，说明理由．【解答】（共14分）证明：（I）因为DE⊥AB，所以BE⊥DE．又因为BE⊥A1D，DE∩A1D＝D，所以BE⊥平面A1DE．因为A1E⊂平面A1DE，所以A1E⊥BE．又因为A1E⊥DE，BE∩DE＝E，所以A1E⊥平面BCDE．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（5分）解：（II）因为A1E⊥平面BCDE，BE⊥DE，所以以E为原点，分别以EB，ED，EA1为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，则B（1，0，0），D（0，，0），A1（0，0，1）．所以＝（﹣1，0，1），＝（﹣1，，0）．设平面A1BD的法向量＝（x，y，z），由，令y＝1，得＝（）．因为BE⊥平面A 1DE，所以平面A1DE的法向量，所以cos＜，＞＝＝＝．因为所求二面角为锐角，所以二面角E﹣A1D﹣B的余弦值为．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（10分）（III）假设在线段BD上存在一点P，使得平面A1EP⊥平面A1BD．设P（x，y，z），＝（0≤λ≤1），则（x﹣1，y，z）＝λ（﹣1，，0）．所以P（1﹣λ，，0）．所以＝（0，0，1），＝（1﹣λ，，0）．设平面A1EP的法向量＝（x，y，z），由，得，令x＝，得＝（）．因为平面A1EP⊥平面A1BD，所以＝3λ+λ﹣1＝0，解得∈[0，1]，所以在线段BD上存在点P，使得平面A1EP⊥平面A1BD，且＝．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（14分）18．（14分）已知椭圆E：（a＞b＞0）的经过点（0，1），且离心率为．（I）求椭圆E的标准方程；（II）过右焦点F的直线l（与x轴不重合）与椭圆交于A，B两点，线段AB 的垂直平分线交y轴于点M（0，m），求实数m的取值范围．【解答】（共14分）解：（Ⅰ）由题意，得b＝1，椭圆的离心率e＝＝＝，解得．所以椭圆E的标准方程：．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（5分）（II）（1）当直线AB⊥x轴时，m＝0符合题意．（2）当直线AB与x轴不垂直时，设直线AB的方程为y＝k（x﹣1），由，得（1+2k2）x2﹣4k2x+2（k2﹣1）＝0，由△＝（﹣4k2）2﹣8（1+2k2）（k2﹣1）＞0，得k∈R．设A（x1，y1），B（x2，y2），则．所以，所以线段AB中点C的坐标为（，﹣）．由题意可知，k≠0，故直线MC的方程为y+＝﹣（x﹣），令x＝0，，即当k＞0时，得，当且仅当时“＝”成立．同理，当k＜0时，，当且仅当时“＝”成立．综上所述，实数m的取值范围为．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（14分）19．（13分）已知函数f（x）＝ax2+ax﹣xe x，a＞1．（I）若曲线f（x）在点（0，f（0））处的切线方程为y＝x，求a的值；（II）证明：当x＜0时，函数f（x）存在唯一的极小值点为x0，且．【解答】解：（I）因为f（x）＝ax2+ax﹣xe x，得f′（x）＝2ax+a﹣e x﹣xe x，所以f′（0）＝a﹣1．因为曲线在点（0，f（0））处的切线方程为y＝x，所以f′（0）＝a﹣1＝1，即a＝2；（II）证明：设h（x）＝2ax+a﹣e x﹣xe x，则h′（x）＝2a﹣2e x﹣xe x＝2a﹣（x+2）e x．因为x＜0，所以x+2＜2，e x＜1．又因为a＞1，所以h′（x）＞0，故h（x）＝a（2x+1）﹣e x（1+x）在（﹣∞，0）上为增函数．又因h（0）＝a﹣1＞0，h（﹣）＝﹣e＜0，由零点存在性定理，存在唯一的，有h（x0）＝0．当x∈（﹣∞，x0）时，h（x）＝f′（x）＜0，即f（x）在（﹣∞，x0）上为减函数，当x∈（x0，0）时，h（x）＝f′（x）＞0，即f（x）在（﹣∞，x0）上为增函数，所以x0为函数f（x）的极小值点．20．（13分）已知正项数列{a n}中，若存在正实数p，使得对数列{a n}中的任意一项a k，也是数列{a n}中的一项，称数列{a n}为“倒置数列”，p是它的“倒置系数”．（I）若数列：1，4，9，x（x＞9）是“倒置系数”为p的“倒置数列”，求x 和p的值；（II）若等比数列{a n}的项数是m，数列{a n}所有项之积是T，求证：数列{a n}是“倒置数列”，并用m和T表示它的“倒置系数”p；（III）是否存在各项均为整数的递增数列{a n}，使得它既是等差数列，又是“倒置数列”，如果存在，请写出一个满足条件的数列，如果不存在，请说明理由．【解答】解：（I）因为数列：1，4，9，x（x＞9）是“倒置系数”为p的“倒置数列”．所以也是该数列的项，且．故，即x＝p＝36．（II）因为数列{a n}是项数为m项的有穷正项等比数列，取p＝a1•a m＞0，对数列{a n}中的任意一项a i（1≤i≤m），也是数列{a n}中的一项，由“倒置数列”的定义可知，数列{a n}是“倒置数列”；又因为数列{a n}所有项之积是T，所以即．（III）假设存在这样的等差数列{a n}为“倒置数列”，设它的公差为d（d＞0），“倒置系数”为p．因为数列{a n}为递增数列，所以a1＜a2＜a3＜…＜a n＜…则又因为数列{a n}为“倒置数列”，则正整数也是数列{a n}中的一项（i＝1，2，…），故数列{a n}必为有穷数列，不妨设项数为n项，则p＝a i•a n+1（1≤i≤n﹣1）﹣i则a1a n＝a2a n﹣1，得a1a n＝（a1+d）（a n﹣d），即（n﹣2）d2＝0由n≥3，故d＝0，与d＞0矛盾．所以，不存在满足条件的数列{a n}，使得它既是等差数列，又是“倒置数列”．。

北京昌平一中高三上学期12月月考数学(理)试题及答案

昌平一中高三年级第一学期十二月月考数学（理科）试卷一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项，并把答案填在题后的表格中．1．已知集合{}M x x a =≤，{20}N x x =-<<，若M N =∅，则a 的取值范围为（）． A ．0a > B ．2a -≤ C ．0a ≥ D ．2a <-2．已知命题π:2P x ∃≥，sin 1x >，则p ⌝为（）．A ．π2x ∀≥，sin 1x ≤B ．π2x ∀<，sin 1x ≤C ．π2x ∃≥，sin 1x ≤D ．π2x ∃<，sin 1x ≤3．已知直线1:(2)10l ax a y =+++，2:20l ax y -=+，若12l l ∥，则a 的值为（）． A ．0 B ．3- C ．0或3- D ．2或1-4．已知α，β表示不重合的两个平面，a ，b 表示不重合的两条直线，则下列命题中正确的是（）．A ．若a b ⊥，且b α∥，则a α⊥B ．若a b ⊥且b α⊥，则a α∥C ．若a α⊥，且b α∥，则a b ⊥D ．若a α⊥，且αβ⊥，则a β∥ 5．某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥四个面的面积中最大的是（）．AB ．3 C． D6．若x ，y 满足03030y x y kx y ⎧⎪-+⎨⎪-+⎩≥≥≥，且2z x y =+的最大值为4，则k 的值为（）．A ．32-B ．32C ．23-D ．237．设10,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则“(,1]a ∈-∞-”是“12log 2x x a >+”成立的（）．A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件8．曲线C 是平面内与两个定点1(1,0)F -和2(1,0)F 的距离的积等于常数(1)a a >的点的轨迹．下列四个论断中一定错误的是（）．A ．曲线C 关于坐标原点对称B ．曲线C 与x 轴恰有两个不同交点C ．若点P 在曲线C 上，则12F PF △的面积不大于212aD ．椭圆222211x ya a +=-的面积不小于曲线C 所围成的区域的面积二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．9．已知公差不为0的等差数列{}n a 的首项13a =，且1a ，4a ，13a 成等比数列，则数列{}n a 的通项公式为n a =____________．10．椭圆22192x y +=的焦点为1F ，2F ，点P 在椭圆上，若1||4PF =，则2||PF =__________，12F PF ∠的大小为____________．11．直线:3l y kx =+与圆22:(2)(3)4C x y -+-=相交于A ，B两点，若||AB =k =____________．12．已知AOB △为等腰直角三角形，1OA =，OC 为斜边的高．C BAOP（1）若P 为线段OC 的中点，则AP OP ⋅=__________．（2）若P 为线段OC 上的动点，则AP OP ⋅的取值范围为__________．13．已知椭圆2214x y +=，O 为坐标原点．（1）椭圆的短轴长为__________．（2）若M 为椭圆上一点，且在y 轴的右侧，N 为x 轴上一点，90OMN ∠=︒，则点N 的横坐标最小值为__________．14．如图，在四面体ABCD 中，点1B ，1C ，1D 分别在棱AB ，AC ，AD 上，且平面111B C D ∥平面BCD ，1A 为BCD △内一点，记三棱锥1111ABCD -的体积为V ，设1AD x AD=，对于函数()V f x =，则下列结论正确的是__________．DC①当23x =时，函数()f x 取到最大值； ②函数()f x 在2,13⎛⎫⎪⎝⎭上是减函数；③函数()f x 的图像关于直线12x =对称；④不存在0x ，使得01()4A BCD f x V ->（其中A BCD V -为四面体ABCD 的体积）．三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分13分）已知函数2()sin(π2)f x x x =+-．（Ⅰ）求函数()f x 的最小正周期．（Ⅱ）求函数()f x 在ππ,66⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最值．（Ⅲ）求函数()f x 在π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的单调区间．如图，在ABC △中，点D 在BC 边上，π4CAD ∠=，72AC =，cos ADB ∠=CB AD（Ⅰ）求sin C ∠的值．（Ⅱ）若5BD =，求ABD △的面积．17．如图，PA ⊥面ABC ，AB BC ⊥，22AB PA BC ===，M 为PB 的中点．MDABCP（Ⅰ）求证：AM ⊥平面PBC ．（Ⅱ）求二面角A PC B --的余弦值．（Ⅲ）在线段PC 上是否存在点D ，使得BD AC ⊥，若存在，求出PDPC的值，若不存在，说明理由．已知函数2()(2)ln f x x a x a x =-++（a 为实数）．（Ⅰ）若2a =-，求函数()y f x =在1x =处的切线方程．（Ⅱ）求函数()f x 的单调区间．（Ⅲ）若存在[1,e]x ∈，使得()0f x ≤成立，求实数a 的取值范围．19．（本小题满分14分）已知椭圆C 的标准方程为22221(0)x y a b a b+=>>，离心率e =且椭圆经过点(0,1)．过右焦点F 的直线l 交椭圆C 于A ，B 两点．（Ⅰ）求椭圆C 的方程．（Ⅱ）若||AB =l 的方程．（Ⅲ）在线段OF 上是否存在点(,0)M m ，使得以MA ，MB 为邻边的四边形M ATB 是菱形，且点T 在椭圆上．若存在，求出m 的值，若不存在，请说明理由．20．（本题满分13分）已知有穷数列1:A a ，2a ，3a ，，(2,*)n a n n ∈N ≥，若数列A 中各项都是集合{11}x x -<<的元素，则称该数列为Ω数列．对于Ω数列A ，定义如下操作过程:T 从A 中任取两项i a ，(1,)j a i j n ≤≤，将1i j i ja a a a ++的值添在A 的最后，然后删除i a ，j a ，这样得到一个1n -项的新数列，记作1A （约定：一个数也视作数列）．若1A 还是Ω数列，可继续实施操作过程T ．得到的新数列记作2A ，，如此经过k 次操作后得到的新数列记作k A ．（Ⅰ）设:0A ，12，13，12-，请写出1A 的所有可能的结果．（Ⅱ）求证：对Ω数列A 实施操作过程T 后得到的数列1A 仍是Ω数列．（Ⅲ）设5:7A -，16-，15-，14-，56，12，13，14，15，16，23，求10A 的所有可能的结果，并说明理由．昌平一中高三年级第一学期十二月月考数学（理科）试卷一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项，并把答案填在题后的表格中．1．已知集合{}M x x a =≤，{20}N x x =-<<，若M N =∅，则a 的取值范围为（）． A ．0a > B ．2a -≤ C ．0a ≥ D ．2a <- 【答案】B【解析】∵{}M x x a =≤，{20}N x x =-<<，由M N =∅，得2a -≤．故选B ．2．已知命题π:2P x ∃≥，sin 1x >，则p ⌝为（）．A ．π2x ∀≥，sin 1x ≤B ．π2x ∀<，sin 1x ≤C ．π2x ∃≥，sin 1x ≤D ．π2x ∃<，sin 1x ≤【答案】A【解析】特称命题的否定是全称命题，所以p ⌝为：π2x ∀≥，sin 1x ≤ ．故选A ．3．已知直线1:(2)10l ax a y =+++，2:20l ax y -=+，若12l l ∥，则a 的值为（）． A ．0 B ．3- C ．0或3- D ．2或1- 【答案】C【解析】若12l l ∥，则2aa a -=+，化简得230a a +=，解得0a =或3-．故选C ．4．已知α，β表示不重合的两个平面，a ，b 表示不重合的两条直线，则下列命题中正确的是（）．A ．若a b ⊥，且b α∥，则a α⊥B ．若a b ⊥且b α⊥，则a α∥C ．若a α⊥，且b α∥，则a b ⊥D ．若a α⊥，且αβ⊥，则a β∥ 【答案】C【解析】A 项，若a b ⊥，且b α∥，则a α∥或a 与α相交，故A 选项错误； B 项，若a b ⊥且b α⊥，则a α∥或a α⊂，故B 选项错误；C 项，若b α∥，则存在b α'⊂且b b ''∥，因为a α⊥，所以a b '⊥，所以a b ⊥，故C 选项正确；D 项，若a α⊥，且αβ⊥，则a β∥或a β⊂，故D 选项错误．故选C ．5．某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥四个面的面积中最大的是（）．AB ．3 C． D【答案】D 【解析】CBA DP作出三棱锥P ABC -的直观图如图所示，过点A 作AD BC ⊥，垂足为D ，连接PD ．由三视图可知PA ⊥平面ABC ，1AB AD ==，2CD PA ==，∴3BC =，PD，AC，AB BC PD ⊥．∴1322ABC S BC AD =⨯⨯=△，12ABP S AB PA =⨯⨯=△12ACP S AC PA =⨯⨯=△12BCP S BC PD =⨯⨯=△．∴三棱锥P ABC -的四个面中，侧面PBC．故选D ．6．若x ，y 满足03030y x y kx y ⎧⎪-+⎨⎪-+⎩≥≥≥，且2z x y =+的最大值为4，则k 的值为（）．A ．32-B ．32C ．23-D ．23【答案】A 【解析】如图，取4z =得直线方程24y x =-+，分别画出3y x =+，0y =以及24y x =-+，由图可知，当3y kx =+过点(2,0)时，2y x z =-+通过点(2,0)时截距最大，即z 取得最大值，代入得023k =+，解得32k =-．故选A ．7．设10,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则“(,1]a ∈-∞-”是“12log 2x x a >+”成立的（）．A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】12log 2x x a >+等价于12log 2a x x <-，令12()log 2f x x x=-，则min ()a f x <．∵12()log 2f x x x=-在10,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭上单调递减，且102f ⎛⎫= ⎪⎝⎭， ∴0a ≤． ∴“(,1]a ∈-∞-”是“12log 2x x a >+”成立的充分不必要条件．故选A ．8．曲线C 是平面内与两个定点1(1,0)F -和2(1,0)F 的距离的积等于常数(1)a a >的点的轨迹．下列四个论断中一定错误的是（）．A ．曲线C 关于坐标原点对称B ．曲线C 与x 轴恰有两个不同交点C ．若点P 在曲线C 上，则12F PF △的面积不大于212aD ．椭圆222211x ya a +=-的面积不小于曲线C 所围成的区域的面积【答案】D【解析】设点(,)x y 2a ．A 选项，若(,)x y 在曲线C 上，则(,)x y --也在曲线C 上，即曲线关于坐标原点对称，故A 选项正确；B 项，令0y =2a ，化简得21x a -=或21x a -=-，因为21x a -=有两个解，21x a -=-无解，所以曲线C 与x 轴恰有两个不同交点，故B 选项正确；C 项，若点P 在曲线C 上，则1221212121||||sin sin 22F PFa S F P F P F PF F PF =⋅∠=∠△． ∵12sin 1F PF ∠≤，∴1222F PF a S ≤△，故C 选项正确；D 项，若点P 在曲线C 上，根据1222PF PF a +>≥可知，曲线C 上点都在椭圆222211x y a a +=-外，故椭圆222211x y a a +=-的面积小于曲线C 所围成的区域的面积．故D 选项论断错误．故选D ．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．9．已知公差不为0的等差数列{}n a 的首项13a =，且1a ，4a ，13a 成等比数列，则数列{}n a 的通项公式为n a =____________．【答案】21n +【解析】设等差数列{}n a 的公差为d ． ∵1a ，4a ，13a 成等比数列，13a =，∴24113a a a =，即2(33)3(312)d d +=+，解得2d =或0d =（舍去），故{}n a 的通项公式为32(1)n a n =+-，即21n a n =+．10．椭圆22192x y +=的焦点为1F ，2F ，点P 在椭圆上，若1||4PF =，则2||PF =__________，12F PF ∠的大小为____________．【答案】2；120︒【解析】由椭圆方程可得：12||||26PF PF a +==，12||2F F c ==∵1||4PF =，∴2||2PF =，由余弦定理可得22212121212||||||1cos 2||||2PF PF F F F PF PF PF +-∠==-⋅．故12120F PF ∠=︒．11．直线:3l y kx =+与圆22:(2)(3)4C x y -+-=相交于A ，B两点，若||AB =k =____________．【答案】【解析】根据题意可得，圆心(2,3)到直线3y kx =+的距离1d =．1=，解得k =．12．已知AOB △为等腰直角三角形，1OA =，OC 为斜边的高． CB AO P（1）若P 为线段OC 的中点，则AP OP ⋅=__________．（2）若P 为线段OC 上的动点，则AP OP ⋅的取值范围为__________．【答案】（1）18-；（2）1,08⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【解析】y（1）以O 为原点，OB 为x 轴，OA 为y 轴建立如图直角坐标系，则根据题可知，(0,1)A ，(1,0)B ，11,22C ⎛⎫ ⎪⎝⎭，11,44P ⎛⎫ ⎪⎝⎭，13,44AP ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，11,44OP ⎛⎫= ⎪⎝⎭， ∴13116168AP OP ⋅=-=-．（2）设OP OC λ=，则11,22OP λλ⎛⎫= ⎪⎝⎭，11,22P λλ⎛⎫ ⎪⎝⎭ ，11,122AP λλ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，其中，01λ≤≤． ∴21111111222222AP OP λλλλλλ⎛⎫⋅=⨯+-=- ⎪⎝⎭，01λ≤≤，当12λ=时，AP OP ⋅的取得最小值18-．当1λ=时，AP OP ⋅取得最大值0．故AP OP ⋅的取值范围为1[,0]8-．13．已知椭圆2214x y +=，O 为坐标原点．（1）椭圆的短轴长为__________．（2）若M 为椭圆上一点，且在y 轴的右侧，N 为x 轴上一点，90OMN ∠=︒，则点N 的横坐标最小值为__________．【答案】（1）1；（2【解析】（1）由椭圆标准方程可知2a =，1b =，故椭圆的短轴长为2．（2）∵点M 为椭圆上一点，且在y 轴的右侧，设(,)M a b ，则0a >，且OM 的斜率为b k a=， ∴MN 的斜率a k b =-，MN 的直线方程为()a y b x a b-=--，令0y =解得点N 的横坐标2b x a a=+． ∵2214a b +=，∴2214a b =-，213144a a x a a a -=+=+≥ 当且仅当314a a =，即a 时等号成立，故点N14．如图，在四面体ABCD 中，点1B ，1C ，1D 分别在棱AB ，AC ，AD 上，且平面111B C D ∥平面BCD ，1A 为BCD △内一点，记三棱锥1111ABCD -的体积为V ，设1AD x AD=，对于函数()V f x =，则下列结论正确的是__________．DC ①当23x =时，函数()f x 取到最大值； ②函数()f x 在2,13⎛⎫ ⎪⎝⎭上是减函数； ③函数()f x 的图像关于直线12x =对称； ④不存在0x ，使得01()4A BCD f x V ->（其中A BCD V -为四面体ABCD 的体积）．【答案】①②④【解析】设四面体的底面积为S ，高为h ，则13A BCD V Sh -=． ∵平面111BCD ∥平面BCD ，∴111B C D BCD △∽△．又∵1AD x AD=，∴1112B C D BCD S x S =△△，∴1112B C D S Sx =△，设1111A B C D V -的高为h '，则h h x h'-=，得(1)h h x '=-． ∴2232311(1)()()33A BCD V Sx h x Sh x x V x x -=⋅-=-=-，(01)x <<． 2(32)A BCD V x x V -'=-+，令0V '=，得23x =，当20,3x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，0V '>，()V f x =是增函数．当2,13x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，0V '<，()V f x =是减函数．当23x =时，()V f x =取得最大值，4()=27A BCD V f x V -=最大值，【注意有文字】故不存在0x ，使得01()4A BCD f x V ->．综上所述，结论正确的是①②④．三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分13分）已知函数2()sin(π2)f x x x =+-．（Ⅰ）求函数()f x 的最小正周期．（Ⅱ）求函数()f x 在ππ,66⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最值．（Ⅲ）求函数()f x 在π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的单调区间．【答案】【解析】（1）∵2()sin(π2)f x x x =+-1)sin2x x ++sin 2x x =π2sin 23x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭ ∴函数()f x 的最小正周期为π．（2）∵ππ66x -≤≤， ∴π2π0233x +≤≤， ∴π0sin 213x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭≤≤，π2sin 223x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭．故函数()f x 在ππ,66⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最大值为2（3）当π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，ππ4π2,333x ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦， ∴令πππ2332x +≤≤，得π012x ≤≤．令ππ4π2233x +≤≤，得ππ122x ≤≤． ∴函数()f x 在π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的单调增区间是π0,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦，单调减区间是ππ,122⎡⎤⎢⎥⎣⎦．16．（本题满分13分）如图，在ABC △中，点D 在BC 边上，π4CAD ∠=，72AC =，cos ADB ∠= CAD（Ⅰ）求sin C ∠的值．（Ⅱ）若5BD =，求ABD △的面积．【答案】【解析】（1）∵cos ADB ∠=sin ADB ∠= 又∵π4CAD ∠=，∴π4C ADB ∠=∠-， ∴πππsin sin sin cos cos sin 444C ADB ADB ADB ⎛⎫∠=∠-=∠-∠⋅ ⎪⎝⎭45=+=．（2）在ACD △中，由sin sin AD AC C ADC=∠得74sin sin AC C AD ADC ⋅⋅===∠．∴11sin 5722ABD S AD BD ADB =⋅⋅⋅∠=⋅=△．17．如图，PA ⊥面ABC ，AB BC ⊥，22AB PA BC ===，M 为PB 的中点．MDA BCP（Ⅰ）求证：AM ⊥平面PBC ．（Ⅱ）求二面角A PC B --的余弦值．（Ⅲ）在线段PC 上是否存在点D ，使得BD AC ⊥，若存在，求出PD PC的值，若不存在，说明理由．【答案】【解析】（1）证明：∵PA ⊥平面ABC ，BC ⊂平面ABC ，∴PA BC ⊥．∵BC AB ⊥，PA AB A =，∴BC ⊥平面PAB ．又AM ⊂平面PAB ，∴AM BC ⊥．∵PA AB =，M 为PB 的中点，∴AM PB ⊥．又∵PB BC B =，∴AM ⊥平面PBC ．（2）如图，在平面ABC 内作AZ BC ∥，则AP ，AB ，AZ 两两垂直，建立空间直角坐标系A xyz -．则(0,0,0)A ，(2,0,0)P ，(0,2,0)B ，(0,2,1)C ，(1,1,0)M ． (2,0,0)AP =，(0,2,1)AC =，(1,1,0)AM =．设平面APC 的法向量为(,,)n x y z =，则：00n AP n AC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即020x y z =⎧⎨+=⎩，令1y =，则2z =-． ∴(0,1,2)n =-．由（1）可知(1,1,0)AM =为平面PBC 的一个法向量，∴cos ||||5AM n n AM AM n ⋅⋅==∵二面角A PC B --为锐角，∴二面角A PC B --．（3）证明：设(,,)D v w μ是线段PC 上一点，且PD PC λ=，(01)λ≤≤，即(2,,)(2,2,1)v w μλ-=-，∴22μλ=-，2v λ=，w λ=． ∴(22,22,)BD λλλ=--．由0BD AC ⋅=，得4[0,1]5λ=∈， ∴线段PC 上存在点D ，使得BD AC ⊥，此时45PD PC λ==． 18．（本题满分13分）已知函数2()(2)ln f x x a x a x =-++（a 为实数）．（Ⅰ）若2a =-，求函数()y f x =在1x =处的切线方程．（Ⅱ）求函数()f x 的单调区间．（Ⅲ）若存在[1,e]x ∈，使得()0f x ≤成立，求实数a 的取值范围．【答案】【解析】（1）当2a =-时，2()2ln f x x x =-，2()2f x x x'=-． ∴(1)0f '=，(1)1f =，∴所求切线方程为1y =．（2）22(2)(2)(1)()2(2)a x a x a x a x f x x a x x x---'=-==++++．令()0f x '=，则2a x =或1x =，当0a ≤时，令()0f x '>，则1x >，令()0f x '<，则01x <<．当12a =时，即2a =时，()0f x '≥恒成立．当12a >时，即2a >时，令()0f x '>，则01x <<或2a x >．令()0f x '<，则12a x <<．当012a <<即02a <<时，令()0f x '>，则02a x <<或1x >，令()0f x '<，则12a x <<．综上，当0a ≤时，()f x 的单调增区间为(1,)∞+，单调减区间为(0,1)；当02a <<时，()f x 的单调增区间为0,2a ⎛⎫ ⎪⎝⎭和(1,)∞+，单调减区间为,12a ⎛⎫ ⎪⎝⎭；当2a =时，()f x 的单调增区间为(0,)∞+；当2a >时，()f x 的单调增区间为(0,1)和,2a ⎛⎫∞ ⎪⎝⎭+，单调减区间为1,2a ⎛⎫ ⎪⎝⎭．（3）当2a ≤时，()f x 在[1,e]上单调递增，∴()f x 的最小值为(1)1f a =--，∴(1)1f a =--≤0，∴12a -≤≤．当22e a <<时，()f x 在1,2a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调减，在,e 2a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增， ∴()f x 的最小值为2ln ln 124224a a a a a f a a a ⎛⎫⎛⎫=--=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭+． ∵22e a <<， ∴0ln 12a <<，3e 11242a <<++， ∴ln 10224a a a f a ⎛⎫⎛⎫=--< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， ∴22e a <<．当2e a ≥时，()f x 在[1,e]上单调递减，∴()f x 的最小值为2(e)=e (2)e f a a -++． ∵2e 2e 2e e 1a ->-≥，∴(e)0f <， ∴2e a ≥．综上可得1a -≥．19．（本小题满分14分）已知椭圆C 的标准方程为22221(0)x y a b a b+=>>，离心率e =且椭圆经过点(0,1)．过右焦点F 的直线l 交椭圆C 于A ，B 两点．（Ⅰ）求椭圆C 的方程．（Ⅱ）若||AB =l 的方程．（Ⅲ）在线段OF 上是否存在点(,0)M m ，使得以MA ，MB 为邻边的四边形M ATB 是菱形，且点T 在椭圆上．若存在，求出m 的值，若不存在，请说明理由．【答案】【解析】（1）由题意可得2221b c a a b c =⎧⎪⎪⎨⎪⎪=⎩+，解得a =，1b c ==， ∴椭圆C 的方程为2212x y =+．（2）设直线l 的方程为(1)y k x =-，11(,)A x y ，22(,)B x y ，则22(1)12y k x x y =-⎧⎪⎨=⎪⎩+，消去y 得2222(21)4220k x k x k --=++， 2122421k x x k =++，21222221k x x k -=+．∵AB ，，化简得427250k k --=即22(1)(75)0k k -=+，解得1k =±．故直线l 的方程为1y x =-或1y x =--．（3）由（2）可知(0,1)A -，41,33B ⎛⎫ ⎪⎝⎭，假设存在点(,0)M m ，设00(,)T x y ，则 220000001244()033122x y x m y x m y ⎧=⎪⎪⎪-=⎨⎪⎪-=⎪⎩+++，解得(0,1)m =，故不存在点(,0)M m ，使得以MA ，MB 为邻边的四边形M ATB 是菱形． 20．（本题满分13分）已知有穷数列1:A a ，2a ，3a ，，(2,*)n a n n ∈N ≥，若数列A 中各项都是集合{11}x x -<<的元素，则称该数列为Ω数列．对于Ω数列A ，定义如下操作过程:T 从A 中任取两项i a ，(1,)j a i j n ≤≤，将1i j i ja a a a ++的值添在A 的最后，然后删除i a ，j a ，这样得到一个1n -项的新数列，记作1A （约定：一个数也视作数列）．若1A 还是Ω数列，可继续实施操作过程T ．得到的新数列记作2A ，，如此经过k 次操作后得到的新数列记作k A ．（Ⅰ）设:0A ，12，13，12-，请写出1A 的所有可能的结果．（Ⅱ）求证：对Ω数列A 实施操作过程T 后得到的数列1A 仍是Ω数列．（Ⅲ）设5:7A -，16-，15-，14-，56，12，13，14，15，16，23，求10A 的所有可能的结果，并说明理由．【答案】【解析】（1）1A 有如下6种可知结果：11:3A ，12-，12；11:2A ，12-，13； 11:2A ，13，12-；1:0A ，12-，57；1:0A ，13，0；1:0A ，12，15-．（2）证明：∵a ∀，{11}b x x ∈-<<，有：(1)(1)1011a b a b ab ab ----=<+++且(1)(1)(1)011a b a b ab ab--=>+++++， ∴{11}1a b x x ab∈-<<++．故对Ω数列实施操作T 后得到的数列1A 仍是Ω数列．（3）由题意可知10A 中仅有一项，对于满足a ，{11}b x x ∈-<<的实数a ，b 定义运算：1a b a b ab=++，下面证明这种运算满足交换律和结合律．∵1a b a b ab =++，且1b a b a ba=++， ∴a b b a =，即该运算满足交换律．∵1()1111b c a b c a b c abc bc a b c a b c bc ab bc caa bc===⋅++++++++++++++， 1()1111a b c a b a b c abc ab a b c c a b ab ab bc ca c ab===⋅++++++++++++++． ∴()()a b c a b c =，即该运算满足结合律，∴10A 中的项与实施的具体操作过程无关．选择如下操作过程求10A ，由（1）可知115237=，易知55077-=，11044-=，11055-=，11066-=． 52276328=．综上可知1027:28A ．。

2018北京昌平区高三数学(理)第二次统一练习

② 若函数 f x 的最大值为 1，则 a
．
2 / 11
b
a ；
三、解答题共 6 小题，共 80 分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．
15．（本小题 13 分）
已知函数 f ( x) 2sin( π x)cos( π x)
4
4
（ I ）求函数 f ( x) 的最小正周期；
3sin 2x ．
3
B
．第二象限
C
．第三象限 D ．第四象限
3．已知等比数列 { an} 中， a1 = 27,a4 = a3a5 ，则 a7 =
1
A．
27
4．设 a
1
B
．
9
0.2
1 ，b 2
log 2 3 ， c
C
2
0.3
，则
1
．
3
A． b c a
B ． a b c C ．b a c
D
．3
D ．a c b
5．若满足条件
（ II ）求函数
f
( x)
在区间
[0,
π ]
上的最值及相应的
2
16. （本小题 13 分）
x 值．
为评估大气污染防治效果，调查区域空气质量状况，某调研机构从
A，B 两地区一年的数据中随机抽取了相同
20 天的观测数据，得到 A， B 两地区的空气质量指数（ AQI ）如下图所示：
B地区 (AQI)
250
2018 北京昌平区高三数
学 ( 理) 第二次统一练习
2018.5
本试卷共 5 页，共 150 分．考试时长 120 分钟．考生务必将答案作答在答题卡上，在试卷上作答无效．

届高三数学（理）第一次月考模拟试卷及答案

届高三数学（理）第一次月考模拟试卷及答案2018届高三数学(理)第一次月考模拟试卷及答案高考数学知识覆盖面广，我们可以通过多做数学模拟试卷来扩展知识面!以下是店铺为你整理的2018届高三数学(理)第一次月考模拟试卷，希望能帮到你。

2018届高三数学(理)第一次月考模拟试卷题目一、选择题(本题共12道小题，每小题5分，共60分)1.已知全集U=R，A={x|x2﹣2x<0}，B={x|x≥1}，则A∪(∁UB)=( )A.(0，+∞)B.(﹣∞，1)C.(﹣∞，2)D.(0，1)2.已知集合A={1，2，3，4}，B={y|y=3x﹣2，x∈A}，则A∩B=()A.{1}B.{4}C.{1，3}D.{1，4}3.在△ABC中，“ >0”是“△ABC为锐角三角形”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件4.下列说法错误的是( )A.命题“若x2﹣4x+3=0，则x=3”的逆否命题是：“若x≠3，则x2﹣4x+3≠0”B.“x>1”是“|x|>0”的充分不必要条件C.若p且q为假命题，则p、q均为假命题D.命题p：“∃x∈R使得x2+x+1<0”，则¬p：“∀x∈R，均有x2+x+1≥0”5.已知0A.a2>2a>log2aB.2a>a2>log2aC.log2a>a2>2aD.2a>log2a>a26.函数y=loga(x+2)﹣1(a>0，a≠1)的图象恒过定点A，若点A在直线mx+ny+1=0上，其中m>0，n>0，则 + 的最小值为( )A.3+2B.3+2C.7D.117.已知f(x)是定义在R上的偶函数，在[0，+∞)上是增函数，若a=f(sin )，b=f(cos )，c=f(tan )，则( )A.a>b>cB.c>a>bC.b>a>cD.c>b>a8.若函数y=f(x)对x∈R满足f(x+2)=f(x)，且x∈[-1 ，1]时，f(x)=1﹣x2，g(x)= ，则函数h(x)=f(x)﹣g(x)在区间x∈[-5 ，11]内零点的个数为( ) A.8 B.10 C.12 D.149设f(x)是定义在R上的恒不为零的函数，对任意实数x，y∈R，都有f(x)•f(y)=f(x+y)，若a1= ，an=f(n)(n∈N*)，则数列{an}的前n 项和Sn的取值范围是( )A.[ ，2)B.[ ，2]C.[ ，1)D.[ ，1]10.如图所示，点P从点A处出发，按逆时针方向沿边长为a的正三角形ABC运动一周，O为ABC的中心，设点P走过的路程为x，△OAP的面积为f(x)(当A、O、P三点共线时，记面积为0)，则函数f(x)的图象大致为( )A . B.C. D.11.设函数f(x)=(x﹣a)|x﹣a|+b，a，b∈R，则下列叙述中，正确的序号是( )①对任意实数a，b，函数y=f(x)在R上是单调函数;②对任意实数a，b，函数y=f(x)在R上都不是单调函数;③对任意实数a，b，函数y=f(x)的图象都是中心对称图象;④存在实数a，b，使得函数y=f(x)的图象不是中心对称图象.A.①③B.②③C.①④D.③④12.已知函数，如在区间(1，+∞)上存在n(n≥2)个不同的数x1，x2，x3，…，xn，使得比值= =…= 成立，则n的取值集合是( )A.{2，3，4，5}B.{2，3}C.{2，3，5}D.{2，3，4}第II卷(非选择题)二、填空题(本题共4道小题，每小题5分，共20分)13.命题：“∃x∈R，x2﹣x﹣1<0”的否定是 .14.定义在R上的奇函数f(x)以2为周期，则f(1)= .15.设有两个命题，p：x的不等式ax>1(a>0，且a≠1)的解集是{x|x<0};q：函数y=lg(ax2﹣x+a)的定义域为R.如果p∨q为真命题，p∧q为假命题，则实数a的取值范围是 .16.在下列命题中①函数f(x)= 在定义域内为单调递减函数;②已知定义在R上周期为4的函数f(x)满足f(2﹣x)=f(2+x)，则f(x)一定为偶函数;③若f(x)为奇函数，则 f(x)dx=2 f(x)dx(a>0);④已知函数f(x)=ax3+bx2+cx+d(a≠0)，则a+b+c=0是f(x)有极值的充分不必要条件;⑤已知函数f(x)=x﹣sinx，若a+b>0，则f(a)+f(b)>0.其中正确命题的序号为 (写出所有正确命题的序号).三、解答题(本题共7道小题,第1题12分,第2题12分,第3题12分,第4题12分,第5题12分,第6题10分,第7题10分,共70分)17.已知集合A={x|x2﹣4x﹣5≤0}，函数y=ln(x2﹣4)的定义域为B.(Ⅰ)求A∩B;(Ⅱ)若C={x|x≤a﹣1}，且A∪(∁RB)⊆C，求实数a的取值范围.18.已知关于x的不等式ax2﹣3x+2≤0的解集为{x|1≤x≤b}.(1)求实数a，b的值;(2)解关于x的不等式： >0(c为常数).19.已知函数f(x)= 是定义在(﹣1，1)上的奇函数，且f( )= .(1)确定函数f(x)的解析式;(2)证明f(x)在(﹣1，1)上是增函数;(3)解不等式f(t﹣1)+f(t)<0.20.已知关于x的不等式x2﹣(a2+3a+2)x+3a(a2+2)<0(a∈R).(Ⅰ)解该不等式;(Ⅱ)定义区间(m，n)的长度为d=n﹣m，若a∈R，求该不等式解集表示的区间长度的最大值.21.设关于x的方程2x2﹣ax﹣2=0的两根分别为α、β(α<β)，函数(1)证明f(x)在区间(α，β)上是增函数;(2)当a为何值时，f(x)在区间[α，β]上的最大值与最小值之差最小.选做第22或23题，若两题均选做，只计第22题的分。

昌平高三二模理科数学

12．执行如图所示的程序框图，若输入x值满足，
则输出y值的取值范围是．
?
13．向量a，b在边长为1的正方形网格中的位置如图所示，
则向量a，b所成角的余弦值是_________;向量a，b所张成的平行四边形的面积是__________.
14．已知函数
①当时，若函数有且只有一个极值点，则实数的取值范围是；
昌平高三二模理科数学精选文档
昌平区2018年高三年级第二次统一练习
数学试卷(理科)
本试卷共5页，共150分．考试时长120分钟．考生务必将答案作答在答题卡上，在试卷上作答无效．
第一部分（选择题共40分）
一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．
1．已知全集 R，集合A={x∣x< 或x> 1}，则
（Ⅲ）若从空气质量角度选择生活地区居住，你建议选择A，B两地区哪个地区.（只需写出结论）
17．（本小题14分）
如图1，在边长为2的菱形中，，于点，将沿折起到的位置，使，如图2．
（I）求证：平面；
（II）求二面角的余弦值；
（III）在线段上是否存在点，使平面平面若存在，求出的值；若不存在，说明理由．
A． B． C． D．
2．若复数，当时，则复数在复平面内对应的点位于
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
3．已知等比数列中，，则 =
A． B． C． D．
4．设，，，则
A． B． C． D．
5．若满足条件的整点恰有12个，其中整点是指横、纵坐标都是整数的点，则整数的值为
20．(本小题13分)
已知正项数列中，若存在正实数，使得对数列中的任意一项，也是数列中的一项，称数列为“倒置数列”，是它的“倒置系数”．

北京昌平临川育人学校2017-2018学年高三12月月考数学(理)试题 Word版含答案

北京临川学校2017-2018学年上学期12月考高三理科数学试卷第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题：每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的，请把正确地选项填在题后的括号内．1．已知集合2{230},{ln(2)}A x x xB x y x=--≤==-，则A B =( ) A．(1,3) B．(1,3] C．[1,2)- D．(1,2)-2．已知i是虚数单位，复数21ii+的值为A．1i- B．1i+ C．i D．2i-000003..0,ln.,tan2016.,sin cos.,20xA x x xB x R xC x R x xD x R∀>>∃∈=∃∈+=∀∈>下列命题中，是假命题的是4．设偶函数()f x的定义域为R，当[)0,x∈+∞时，()f x是增函数，则()()()2,,3f f fπ--的大小关系是A.()()()23f f fπ-<<- B.()()()23f f fπ<-<-C.()()()23f f fπ-<-< D.()()()32f f fπ-<-<101005.{}9278,.100.99.98.97na a aA B C D==已知等差数列前项的和为，则226.sin2,cos()34παα=+=已知则1112....6323A B C D7．已知P是△ABC所在平面内一点，20PB PC PA++=，现将一粒红豆随机撒在△ABC内，则红豆落在△PBC内的概率是A．14B．13C．12D．23228.,,,=(||||....||||||||OA a OB b BC OA C OC aa b a b a b a bA B C Da b a b a bλλλ==⊥≠已知非零向量且为垂足，若0），则等于9．设点P 是双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>上的一点，1F 、2F 分别是双曲线的左、右焦点，已知12PF PF ⊥，且122PF PF =，则双曲线的一条渐近线方程是 A．y =B．y =C ．2y x =D ．4y x =10. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的外接球的表面积为A ．24πB ．12πC ．8πD ．6π11．《九章算术》是我国古代著名数学经典。

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昌平区2021－2021学年第一学期高三年级期末质量抽测数学试卷(理科)本试卷共5页，共150分.考试时长120分钟.考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效.第一局部〔选择题共40分〕一、选择题共8小题，每题5分，共40分．在每题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1.假设集合A {x| 2 x 1}，B {x|x(x 3) 0}，那么A BA. {x|x 1或x 3}B.{x| 2 x 1}C.{x| 2 x 0或x 3}D. {x|2 x 0}1+i2．| |A.2 B.2 C.1D .13.执行如下图的程序框图，输出的S值为开始A．43B.S1,n24 55C.61D.81否n0是S S nn n 6输出S结束精选文档推荐x y 1,4．设x,y满足x y 1,那么z2x2y的最大值为x0,A．1B.2C.4D.165.4某四棱锥的三视图如下图，那么该四棱锥的四个侧面中，面积的最小值为B.22211主视图左视图D. 22俯视图6.函数f(x) e x e x,那么函数f(x)C.．是偶函数，且在是偶函数，且在( ,0)上是增函数 B.是奇函数，且在( ,0)上是减函数 D.是奇函数，且在( ,0)上是增函数( ,0)上是减函数7.设0xπ2cosx x〞的，那么“cosx x〞是“2A．充分而不必要条件 B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件8.四个足球队进行单循环比赛〔每两队比赛一场〕，每场比赛胜者得3分，负者得0分，平局双方各得1分.比赛结束后发现没有足球队全胜，且四队得分各不相同，那么所有比赛中可能出现的最少平局场数是A．0 B.1 C. 2 D.3精选文档推荐第二局部〔非选择题共110分〕二、填空题共6小题，每题5分，共30分．9.(1 x)7的二项展开式中x2的系数为．10.曲线C的极坐标方程为2sin，以极点为原点，极轴为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系，那么曲线C的直角坐标方程为.11.直线l:4x3y50，点P是圆(x1)2(y2)21上的点，那么点P到直线l的距离的最小值是.12.RtABC，AB AC1,点E是AB边上的动点，那么uuruuurCEAC的值为；uuruur.CECB的最大值为某商业街的同侧有4块广告牌，牌的底色可选用红、蓝两种颜色，假设要求任意相邻两块牌的底色不都为红色，那么不同的配色方案有种.x4,x3,〔a0且a1〕，函数g(x)f(x)k.14．假设函数f(x)3log a x,x①假设a 1k的取值范围是；，函数g(x)无零点，那么实数3②假设f(x)有最小值，那么实数a的取值范围是．三、解答题共6小题，共80分．解容许写出文字说明，演算步骤或证明过程.〔本小题13分〕等差数列{a n}的公差d为1，且a1,a3,a4成等比数列.〔Ⅰ〕求数列a n的通项公式；〔Ⅱ〕设数列b n2a n5n求数列b n的前n项和S n.，精选文档推荐〔本小题13分〕在ABC中，3asinC ccosA．〔Ⅰ〕求角A的大小；〔Ⅱ〕假设S ABC3，b c 2 23，求a的值．17.〔本小题13分〕随着“中华好诗词〞节目的播出，掀起了全民诵读传统诗词经典的热潮.某社团为调查大学生对于“中华诗词〞的喜好，从甲、乙两所大学各随机抽取了40名学生，记录他们每天学习“中华诗词〞的时间，并整理得到如下频率分布直方图：频率/组距频率/组距分钟/天分钟/天图1：甲大学图2：乙大学根据学生每天学习“中华诗词〞的时间，可以将学生对于“中华诗词〞的喜好程度分为三个等级:学习时间tt 2020 t 50t 50(分钟/天)等级一般爱好痴迷(Ⅰ)从甲大学中随机选出一名学生，试估计其“爱好〞中华诗词的概率；(Ⅱ)从两组“痴迷〞的同学中随机选出2人，记为选出的两人中甲大学的人数，求的分布列和数学期望E；(Ⅲ)试判断选出的这两组学生每天学习“中华诗词〞时间的平均值X甲与X乙的大小，及方差S2甲与S2的大小．(只需写出结论)乙精选文档推荐18.〔本小题14分〕如图，在四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 是边长为2的菱形，∠ABC ＝60°，PAB 为正三角形，且侧面 PAB ⊥底面ABCD ，E 为线段AB 的中点，M 在线段PD 上.〔I 〕当M 是线段PD 的中点时，P求证：PB //平面ACM ；〔II 〕求证：PE AC ；M〔III 〕是否存在点M ，使二面角MECD 的大AD小为60°，假设存在，求出PM的值；假设不存在，请说EBPDC明理由．〔本小题14分〕函数f(x) axln(x1)，a R .〔I 〕当a=2时，求曲线 y=f(x)在点(0，f(0))处的切线方程；II 〕求函数f(x)在区间[0,e-1]上的最小值.20.(本小题13分)数列1，1，2，1，2，4，1，2，4，8，1，2，4，8，16，L ，其中第一项为哪一项 20，接下来的两项是20，21，再接下来的三项是20，21，22，依此类推.设该数列的前n 项和为S n ,规定：假设m N *,使得S m 2p〔p N 〕，那么称m 为该数列的“佳幂数〞.〔Ⅰ〕将该数列的“佳幂数〞从小到大排列，直接写出前3个“佳幂数〞；〔Ⅱ〕试判断 50是否为“佳幂数〞，并说明理由；III 〕〔i 〕求满足m >70的最小的“佳幂数〞m ;（ ii 〕证明：该数列的“佳幂数〞有无数个.精选文档推荐昌平区2021－2021学年第一学期高三年级期末质量抽测数学试卷(理科)参考答案一、(共8小，每小5分，共40分)号1 2 3 4 5 6 7 8 答案DBCCBCAB二、填空(共6 小，每小5 分，共30分)9.2110. x 2 (y1)2111.21;213.6,7,8答一个即可分[1,1)；(1,3]三、解答(共6小，共 80分)15.〔共13分〕解：〔Ⅰ〕在等差数列{a} 中，因 a,a,a 成等比数列，n 1342，所以a 3a 1a 4223a 1d ，即〔a 1+2d)a 1解得a 1d 4d 20.因d 1,所以a 14,所以数列a n 的通公式a n n5.〔Ⅱ〕由〔Ⅰ〕知a n n5,所以b n2a n5n2nn .得S n b 1 b 2 b 3b n(222 232n )(123n)=2(12n) n(1n) 1 2 22n1n(n 1) 22⋯⋯⋯⋯⋯6分13分精选文档推荐16.〔共13分〕解：〔I 〕因3asinCccosA ，所以cosA 0 ，由正弦定理a b csinAsinB，sinC得3sinAsinC sinCcosA ．又因C (0,)，sinC0，所以tanA33 ．又因 A (0,)，所以 A．⋯⋯⋯⋯⋯6分6〔II 〕由S ABC1bcsinA1bc3，得bc 4 3，24由余弦定理a 2 b 2c 22bccosA ，得a 2b 2c 2 2bccos ，6即a 2 (b c)2 2bc 3bc (bc)28 3 12，因bc 2 23，解得 24.a因a0 ，所以 a2 .⋯⋯⋯⋯⋯13分〔共13分〕解：(Ⅰ) 由知，甲大学随机取的 40名学生中，“ 好〞中的率(0.030 0.020 0.015)10 ，所以从甲大学中随机出一名学生， “好〞中的概率 . ⋯⋯⋯3分(Ⅱ)甲大学随机取的 40名学生中“痴迷〞的学生有 40 102人，乙大学随机取的 40名学生中“痴迷〞的学生有4010 6人，所以，随机量的取0,1,2.所以，P(0)C 20C 62 15C 82，28精选文档推荐P(1)C12C16123C8228，7P(2)C22C601. C8228所以的分布列012P 1531 28728的数学期望E()01513211.⋯⋯⋯⋯⋯10分287282(Ⅲ)X甲X乙;s2n s2n.⋯⋯⋯⋯⋯13分〔共14分〕〔I〕明：接BD交AC于H点，接MH，P因四形ABCD是菱形，M 所以点HBD的中点.又因MPD的中点，AE所以MH//BP.B HC又因BP平面ACM,MH平面ACM.所以PB//平面ACM.⋯⋯⋯⋯⋯4分〔II〕明：因PAB正三角形，E AB的中点，所以PE⊥AB.因平面PAB⊥平面ABCD，平面PAB∩平面ABCD=AB，PE平面PAB，所以PE⊥平面ABCD.又因AC平面ABCD，所以PE AC.⋯⋯⋯⋯⋯8分(Ⅲ)因ABCD是菱形，∠ABC＝60°，E是AB的中点，所以CE⊥AB.zP又因PE⊥平面ABCD，以E原点，分以EB,EC,EPx,y,z，建立空直角坐系E xyz，AEE0,0,0，B1,0,0，Bx C yDD 精选文档推荐P0,0, 3 ，C 0, 3,0，D 2, 3,0 ． ⋯⋯⋯10分假棱PD 上存在点M ，点M 坐x,y,z ，PMPD01，x,y,z32, 3, 3 ，所以M2,3, 3(1 ) ，所以EM 2 , 3 ,3(1) ，EC0, 3,0，平面CEM 的法向量nx,y,z ，n EM2x 3y3(1)zy．EC3y 0，解得n2 x3(1)z令z2，x3(1 )，得n3(1 ),0,2 ．因PE ⊥平面ABCD ，所以平面ABCD 的法向量m 0,0,1 ，所以cos n,mnm22．|n||m |4 2 3(1)27263因二面角MEC D 的大小60°，所以 221，7632即3221 0，解得 1，或1〔舍去〕3所以在棱PD 上存在点M ，当PM1，二面角MEC D 的大小60°．PD 3⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯14分〔共14分〕解：〔I 〕f(x)的定域(1, ). ⋯⋯⋯⋯⋯1分因f'(x)a1，a= 2，x 1所以f '(0) 211，f(0) 0.所以函数f(x)在点(0,f(0))的切方程是y x.⋯⋯⋯⋯⋯4分〔II 〕由意可得f'(x)a1.x 11 0，f '(x)0 ，〔〕当a所以f(x)在(1, )上减函数，所以在区[0,e 1]上，f(x)min f(e1)a(e 1) 1.⋯⋯⋯⋯⋯6分(2)当a0,令f'(x)ax 110， x 111，a①当11 0，即a1，a于x(0,e 1)，f ' (x) 0 ，所以f(x)在(0,e 1) 上增函数，所以f(x)min f(0) 0.11e1,，即0a1，②当ae于x (0,e 1)'(x) 0 ，，f所以f(x)在(0,e1)上减函数，所以f(x)minf(e 1) a(e 1) 1.③当11e1,即1a1，ae当x 化，f(x)，f'(x)的化情况如下表：x(0,11)11 11,e 1)e 1( aaaf '(x) - 0+f(x)极小f(x)minf(11) a(11) ln11 a lna.⋯⋯⋯13分所以aaa上，当a1 ， f(x)mina(e 1)1 ；e当1a1，f(x)min1 a lna ；e当a1，f(x)min0.⋯⋯⋯⋯⋯ 14 分20.〔共13分〕新版北京市昌平区2018届高三上学期期末考试数学(理科)试题及答案912.doc11 / 1111〔Ⅰ〕1，2，3； ⋯⋯⋯⋯⋯3分〔Ⅱ〕由意可得，数列如下：第1:1，第2:1,2；第3：1,2,4；L第k ：1,2,4，Lk1.2数列的前12 Lkk(k1)的和:2S k(k1)1(12)L(12Lk1k12)2k2，①2当k(k 1) 50，k9，2S 50 S 45 1222 23 2421011 3121020，由于21021020211， pN ，S 50 2p ，故50不是“佳数〞.⋯⋯⋯⋯⋯7分〔III 〕〔i 〕在①中，要使k(k1)70，有k12 ，2此1+2+4+L+2k =2 k+1k+11 1 1Lk 11k2，1=〔1+1〕C k 1Ck1所以k 2是第 k 1 等比数列1,2,4，L ，2k 的局部的和，k2 1 2 L 2t 1 2t 1,tN *.所以k2t 3 12 ，t4，此k24 3 13，所以足条件的最小“佳数〞m 13 14495.⋯⋯⋯⋯⋯11分2〔ii 〕由〔i 〕知：k2 1 2L2t12t1,t N *.当t2，且取任意整数，可得“佳数〞mk(k1)t，2所以，数列的“佳数〞有无数个.⋯⋯⋯⋯⋯13分精选文档推荐。

北京市昌平区2018届高三数学12月月考试题文

北京市昌平区2018届高三数学12月月考试题文一．选择题（共12小题，每小题5分，计60分。

） 1.已知复数121,1z i z i =-=+，则12z z i等于( B ) A ．2i B ．2i - C ．2i + D ．2i -+2.已知集合{}2|540M x x x =-+≤，{}0,1,2,3N =，则集合M N 中元素的个数为（ C ）A ．1B ．2C ．3D ．43．命题“x R ∃∈，2210x x -+<”的否定是（ C ）A ．x R ∃∈，2210x x -+≥B ．x R ∃∈，2210x x -+>C ．x R ∀∈，2210x x -+≥D ．x R ∀∈，2210x x -+<4.已知向量()()1,1,2,2m n λλ=+=+，若()()m n m n +⊥-,则=λ（ B A.4- B ．3-C ．2-D ．-15．已知数列}{n a 是递增的等比数列，8,93241==+a a a a ，则数列}{n a 前2018项之和=2018S ( C ) A. 20182B. 122017- C. 122018- D.122019-6.执行如图所示的程序框图，则输出的i 值为( B )A ．3B ．4C ．5D ．67.已知双曲线C ：2221(0)16x y a a -=>的一个焦点为(5,0)，则双曲线C 的渐近线方程为（A ）A ．430x y ±=B ．1690x y ±=C ．40x = D ．4312x y ±= 8.已知函数()ln xf x e=，则函数()1y f x =+的大致图象为( D )9.如果实数x y 、满足条件101010x y y x y -+≥⎧⎪+≥⎨⎪++≤⎩，那么14()2xy z =⋅的最大值为（ B ）A.1B.2C.12D.1410.如图，网格纸上小正方形的边长为2，粗线画出的是某多面体的三视图，则该几何体的各个面中最大面的面积为( D )A. B.52C. 8D.11．将函数()πsin 43f x x ⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象向左平移(0ϕϕ>)个单位后关于直线π12x =对称，则ϕ的最小值为( A ) A. 5π24 B. π4 C. 7π24 D. π312.已知函数)21()(2≤≤-=x x a x f 与1)(+=x x g 的图象上存在关于x 轴对称的点，则实数a 的取值范围是( D ) （A ）5[,)4-+∞ （B ）[1,2] （C ）5[,1]4- [1,1]- 二．填空题（共4小题，每小题5分，计20分）13.函数2()3f x x x =-+,[1,5]x ∈-,则任取一点0[1,5]x ∈-,使得0()f x ≥0的概率为． 14.已知2παπ<<，7sin22cos αα=，则11πsin()2α-=__________． 15. ()f x 是定义在R 上的周期为3奇函数，当0<x<1时，()4xf x =，则7()(6)2f f -+=________.16.已知四面体S ABC -中，2SA SB ==，且SA SB ⊥，BC =AC = 则该四面体的外接球的表面积为 . 13.1214. 7- 152- 16.π8三．解答题（共6小题，计70分）17.(本小题12分)已知数列}{n a 的前n 项和kn n S n +=2，其中k 为常数,.136=a(1)求k 的值及数列}{n a 的通项公式；(2)若)1(2+=n n a n b ,求数列}{n b 的前n 项和n T .17解：(1)由已知kn n S n +=2，当2≥n 时，有121-+=-=-k n S S a n n n∴当6=n 时，13116=+=k a 解得2=k ，∴当2≥n 时，12+=n a n .当1=n 时，32111=+==S a ,上式也成立.所以12+=n a n ................6分 (2)111)1(1)22(2)1(2+-=+=+=+=n n n n n n a n b n n1111)111()111()3121()211(+=+-=+-+--+⋅⋅⋅+-+-=∴n nn n n n n T n 所以数列}{n b 的前n 项和1+=n nT n ......................12分18.（本小题12分）已知函数)0(23cos )3sin(2)(>+-=ωωπωx x x f 的最小正周期为π． (1)求)(x f 的值域； (2)已知在ABC ∆中，角C B A 、、的对边分别为c b a 、、，若2,23)2(=+=c b A f ，求a 的最小值．分解：4)32sin(2cos 232sin 212322cos 132sin 2123cos 3cos sin 23cos )3sin cos 3cos(sin 2)()1(.182 πωωωωωωωωωπωπω-=-=++⋅-=+-⋅=+⋅-⋅=x x x x x x x x x x x x f 分的值域为6]1,1[)()32sin()(122.0, -∴-=∴=∴=∴>=x f x x f T πωπωπωπ分且832.33.32330,23)3sin()2()2( ππππππππ=∴=-∴<-<-∴<<=-=A A A A A A f分时等号成立当且仅当分分12).1(3113)2(44)(932cos2min 22222222 ===∴=+-≥-=-+=∴++=-+=c b a c b bc bc c b a bc c b bc c b a π19.(本小题12分) 如图，已知⊥AF 平面ABCD ，四边形ABEF 为矩形，四边形ABCD 为直角梯形，090=∠DAB ，CD AB //，2===CD AF AD ，4=AB ．(1)求证：//AF 平面BCE ；(2)求证：⊥AC 平面BCE ；(3)求三棱锥BCF E -的体积．19证明：（I ）因为四边形ABEF 为矩形，所以⊂BE BE AF ,//平面BCE ，⊄AF 平面BCE ，所以//AF 平面BCE ． ......3分（II ）过C 作AB CM ⊥，垂足为M ，因为,DC AD ⊥所以四边形ADCM 为矩形．所以2==MB AM ，又因为4,2==AB AD 所以22=AC ，2=CM ，22=BC所以222AB BC AC =+，所以BC AC ⊥；.................6分因为AF ⊥平面ABCD ，,//BE AF 所以BE ⊥平面ABCD ，所以AC BE ⊥，又因为⊂BE 平面BCE ，⊂BC 平面BCE ，B BC BE =⋂ 所以⊥AC 平面BCE ．..................9分（III ）因为AF ⊥平面ABCD ，所以CM AF ⊥，又因为AB CM ⊥，⊂AF 平面ABEF ，⊂AB 平面ABEF ，A AB AF =⋂ 所以⊥CM 平面ABEF ．824261213131=⨯⨯⨯=⨯⨯⨯⨯=⨯==∆--CM EF BE CM S V V BEF BEF C BCF E 3824261213131=⨯⨯⨯=⨯⨯⨯⨯=⨯==∆--CM EF BE CM S V V BEF BEF C BCF E ..........12分20.(本小题12分)已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的离心率为2，右焦点为F ，上顶点为A ，且AOF ∆的面积为12（O 是坐标原点）. （1）求椭圆C 的方程；（2）设P 是椭圆C 上的一点，过P 的直线l 与以椭圆的短轴为直径的圆切于第一象限，切点为M ，证明： PF PM +为定值.20解：（1）设椭圆的半焦距为c ，由已知得22222121122c abc b c a ⎧⎪⎪⎪=⎨=+=⎪⎪⎪⎩221a b ⎧=⇒⎨=⎩∴椭圆的方程为2212x y +=...............4分（2）以短轴为直径的圆的方程为()221,1,0x y F +=.................5分设()00,P x y，则220001(02x y x +=<<. ∴PF ===)022x ==-........................8分又l 与圆221x y +=相切于M ，∴PM ==0202202222x x x x ==-.....11分∴)002PF PM x x +=-+=分 21.(本小题12分)已知函数.)1(2ln )(2x a x a x x f +-+= (1)若曲线)(x f y =在1=x 处的切线方程为2-=y ,求)(x f 的单调区间； (2)若0>x 时,2)()(x f x x f '<恒成立,求实数a 的取值范围. 21.解：(1)由已知得0)1(),1(1)(='+-+='f a ax x x f 则而12)1(--=af 所以曲线)(x f y =在1=x 处的切线方程为12--=ay212-=--∴a ，解得2=a .x x x x x x f x x x x f 132321)(,3ln )(22+-=-+='-+=∴ 121,0132)(,1210,0132)(22<<<+-='><<>+-='x x x x x f x x x x x x f 得由或得由)(x f ∴的单调递增区间为)(),,1(),21,0(x f +∞的单调递减区间为)1,21(.(2)若2)()(x f x x f '<，则21221)1(2ln +-+<+-+a ax x a x a x x 即2121ln +<-a x x x 在区间),0(+∞上恒成立. 设x x x x h 21ln )(-=，则2222ln 2321ln 1)(xxx x x x h -=+-=' 由上单调递增在得),0()(,0,0)(2323e x h e x x h ∴<<>' 由上单调递减在得),()(,,)(2323+∞∴>>'e x h e x x h)(x h ∴的最大值为1221,)(23232323->>+=---e a e a e e h 可得由 ∴实数a 的取值范围是),12(23+∞--e22(10分).极坐标系与直角坐标系xoy 有相同的长度单位，以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴.已知直线l 的参数方程为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=t y t x 23212（t 为参数），曲线C 的极坐标方程为2sin 8cos ρθθ=.（I ）求C 的直角坐标方程；（II ）设直线l 与曲线C 交于,A B 两点，求弦长||AB .22解：（Ⅰ）由2sin 8cos ρθθ=，得22sin 8cos ρθρθ=，即曲线C 的直角坐标方程为28y x =． ............5分（Ⅱ）将直线l 的方程代入28y x =，并整理得2316640t t --=，12163t t +=，12643t t =-．所以1232||||3AB t t =-==．...........10分。

北京市2018届高三数学理综合练习12 含答案

北京市2017届高三综合练习数学（理）注意事项： 1．答题前，考生务必先将答题卡上的学校、班级、姓名、准考证号用黑色字迹签字笔填写清楚，并认真核对条形码上的准考证号、姓名，在答题卡的“条形码粘贴区”贴好条形码。

2．本次考试所有答题均在答题卡上完成。

选择题必须使用2B 铅笔以正确填涂方式将各小题对应选项涂黑，如需改动，用橡皮擦除干净后再选涂其它选项。

非选择题必须使用标准黑色字迹签字笔书写，要求字体工整、字迹清楚。

作图题用2B 铅笔作图，要求线条、图形清晰。

3．请严格按照答题卡上题号在相应答题区内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题、草稿纸上答题无效。

4．请保持答题卡卡面清洁，不要装订、不要折叠、不要破损。

第一部分（选择题共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项． 1．已知集合2{|1},{}A x x B a =<=，若AB φ=，则a 的取值范围是（）A ．(,1)(1,)-∞-+∞B ．(][),11,-∞-+∞C ．（-1，1）D ．[-1，1]2．若变量x ，y 满足条件0,21,43,y x y x y ≤⎧⎪-≥⎨⎪-≤⎩则35z x y =+的取值范围是（）A ．[)3,+∞B ．[8,3]-C ．(],9-∞D ．[8,9]-3．6的二项展开式中，常数项是（）A ．10B ．15C ．20D ．304．已知向量(sin ,cos ),(3,4)a b θθ==，若a b ⊥，则tan 2θ等于（）A ．247B ．67C ．2425-D ．247-5．若正四棱锥的正视图和侧视图如右图所示，则该几何体的表面积是（） A ．4B ．4+C ．8D ．4+6．学校组织一年级4个班外出春游，每个班从指定的甲、乙、丙、丁四个景区中任选一个游览，则恰有2个班选择了甲景区的选法共有（） A ．2243A ⋅种 B ．2243A A ⋅种C ．2243C ⋅种D ．2243C A ⋅种7．已知a b <，函数()sin ,()cos .f x x g x x ==命题:()()0p f a f b ⋅<，命题:()(,)q g x a b 在内有最值，则命题p 是命题q 成立的（） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件8．已知定义在R 上的函数()y f x =满足(2)()f x f x +=，当11x -<≤时，3()f x x =，若函数()()log ||a g x f x x =-至少有6个零点，则a （）A ．155a a ==或B ．[)1(0,)5,5a ∈+∞ C ．11[,][5,7]75a ∈D ．11[,][5,7]75a ∈第二部分（非选择题共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。

【中小学资料】北京市昌平区2017-2018学年高一数学12月月考试题

北京市昌平区2017-2018学年高一数学12月月考试题一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合{}13A x x =<<，{}12B x x =-<≤，则（ C ）A ．[]1,2B ．(],2-∞C ．(]1,2D ．()1,3- 2．已知30.2a =，0.2log 3b =，0.23c =，则,,a b c 的大小关系是（ C ） A ．a c b << B ．a b c << C ．b a c << D ．b c a << 3．函数()()2lg 4f x x =-的定义域为（ A ）A ．()2,2-B ．[]2,2-C ．[)2,+∞D ．()(),22,-∞+∞U 4．与30°角终边相同的角的集合是( D )A.⎩⎨⎧⎭⎬⎫α|α＝k ·360°＋π6，k ∈Z B ．{α|α＝2k π＋30°，k ∈Z } C ．{α|α＝2k ·360°＋30°，k ∈Z } D.⎩⎨⎧⎭⎬⎫α|α＝2k π＋π6，k ∈Z5．下列函数中在定义域上为增函数的是（ A ）A ．y x x =B ．xy e = C ．1xy e =- D ．12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭6.函数f (x )=2x+x-7的零点所在的区间是( C ) A .(0,1)B .(1,2)C .(2,3)D .(3,4)7．图中函数图象所表示的解析式为（ B ）A ．)20(123≤≤-=x x y B ．)20(12323≤≤--=x x y C ．)20(123≤≤--=x x y D ．)20(11≤≤--=x x y 8．已知函数()()22111x a x x f x a x ⎧-+<⎪=⎨+≥⎪⎩在R 上是增函数，则实数a 的取值范围是（ D ）A ．()1,2B ．3,22⎛⎫⎪⎝⎭ C ．31,2⎛⎤ ⎥⎝⎦ D ．3,22⎡⎫⎪⎢⎣⎭9．cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－163π＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－163π的值为( C )A.－1＋32 B ．1－32 C ．3－12 D ．3＋1210．若sin αcos α>0，则α在( B )A ．第一、二象限B ．第一、三象限C ．第一、四象限D ．第二、四象限11．点⎝⎛⎭⎪⎫π4，b 在函数y ＝2sin x ＋1的图像上，则b 等于( C ) A.22B ． 2C ．2D ．3 12．终边经过点(b ，b )(b ≠0)的角α的集合是( D )A.⎩⎨⎧⎭⎬⎫π4 B ．⎩⎨⎧⎭⎬⎫π4，5π4 C.⎩⎨⎧⎭⎬⎫α|α＝π4＋2k π，k ∈ZD ．⎩⎨⎧⎭⎬⎫α|α＝π4＋k π，k ∈Z二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.某人定制了一批地砖,每块地砖(如图(1)所示)是边长为40 cm 的正方形ABCD ,点E ,F 分别在边BC 和CD 上,△CFE ,△ABE 和四边形AEFD 均由单一材料制成,制成△CFE ,△ABE 和四边形AEFD 的三种材料的每平方米价格之比依次为3∶2∶1.若将此种地砖按图(2)所示的形式铺设,能使中间的阴影部分构成四边形EFGH.则当CE= cm 时,定制这批地砖所需的材料费用最省?解析:设CE=x ,则FC=x ,BE=40-x ,设△CFE ,△ABE 和四边形AEFD 的面积分别为S 1,S 2,S 3,地砖的总费用为y ,则y=3S 1+2S 2+S 3=x 2+402-40x+402-x 2-20×40+20x=x 2-20x+2 400,二次函数开口向上,其对称轴为x=10,所以当x=10,即CE=10时费用最少. 答案:1014．若296a b ==，则21a b+= ． 15．函数()()22log 23f x x x =--的单调递减区间为． 14．2 15．(),1-∞-16．函数y ＝1＋sin x ，x ∈[0,2π]的图像与直线y ＝32有________个交点．【解析】在同一坐标系中作出函数y ＝1＋sin x ，y ＝32的图像，如图所示．在x ∈[0,2π]内共有两个交点．【答案】两三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17．已知角α终边上一点P (－4,3)，求cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋αsin (－π－α)cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫11π2－αsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫9π2＋α的值．【解】点P 到原点O 的距离|OP |＝(－4)2＋32＝5，根据三角函数的定义得，sin α＝35，cos α＝－45.cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋αsin ()－π－αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫11π2－αsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫9π2＋α＝－sin α·[－sin (π＋α)]cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤6π－⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋αsin ⎝⎛⎭⎪⎫4π＋π2＋α＝sin α·sin (π＋α)cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋αsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＝sin α(－sin α)－sin α·cos α＝sin αcos α＝35×⎝ ⎛⎭⎪⎫－54＝－34.18．已知－π6≤x ≤3π4，f (x )＝sin 2x ＋2sin x ＋2，求f (x )的最大值和最小值，并求出相应的x 值．【解】令t ＝sin x ，则由－π6≤x ≤34π知，－12≤t ≤1，∴f (x )＝g (t )＝t 2＋2t ＋2＝(t ＋1)2＋1，当t ＝1时，f (x )max ＝5，此时，sin x ＝1，x ＝π2；当t ＝－12时，f (x )min ＝54，此时，sin x ＝－12，x ＝－π6.19．已知幂函数()()2157m f x m m x -=-+为偶函数. （1）求()f x 的解析式；（2）若()()3g x f x ax =--在[]1,3上不是单调函数，求实数a 的取值范围. 19．解：（1）由2571m m -+=⇒25602m m m -+=⇒=或3m = 又()f x 为偶函数，则：3m =此时：()2f x x =（2）()()3g x f x ax =--在[]1,3上不是单调函数，则()g x 的对称轴2ax =满足 13262aa <<⇒<<即：()2,6a ∈ 20.已知半径为10的圆O 中,弦AB 的长为10. (1)求弦AB 所对的圆心角α的大小;(2)求α所在的扇形的弧长l 及弧所在的弓形的面积S.解:(1)由圆O 的半径r=10=AB ,知△AOB 是等边三角形,∴α=∠AOB=60°= rad .(2)由(1)可知α= rad,r=10,∴弧长l=α·r=×10=,∴S 扇形=lr=×10=,而S △AOB =·AB ·×10×,∴S=S 扇形-S △AOB =50.21．已知函数213)(-+=x x f ，]6,3[∈x . （1）试判断函数)(x f 的单调性,并用定义加以证明; （2）求函数)(x f 的最大值和最小值. 21．解：已知函数213)(-+=x x f ，]6,3[∈x . （1）函数)(x f 在]6,3[∈x 时为减函数。

昌平区高中2018-2019学年高三下学期第三次月考试卷数学

昌平区高中2018-2019学年高三下学期第三次月考试卷数学一、选择题1．设()f x 是偶函数，且在(0,)+∞上是增函数，又(5)0f =，则使()0f x >的的取值范围是（） A ．50x -<<或5x > B ．5x <-或5x > C ．55x -<< D ．5x <-或05x << 2．为得到函数的图象，只需将函数y=sin2x 的图象（）A．向左平移个长度单位 B．向右平移个长度单位 C．向左平移个长度单位D．向右平移个长度单位3．用反证法证明命题：“已知a 、b ∈N *，如果ab 可被5整除，那么a 、b 中至少有一个能被5整除”时，假设的内容应为（）A ．a 、b 都能被5整除B ．a 、b 都不能被5整除C ．a 、b 不都能被5整除D ．a 不能被5整除4．函数f （x ）=ax 2+2（a ﹣1）x+2在区间（﹣∞，4]上为减函数，则a 的取值范围为（） A ．0＜a ≤ B ．0≤a ≤ C ．0＜a ＜ D ．a ＞5．如图所示，程序执行后的输出结果为（）A ．﹣1B ．0C ．1D ．26．10y -+=的倾斜角为（）A ．150 B ．120 C ．60 D ．30 7．函数y=a 1﹣x （a ＞0，a ≠1）的图象恒过定点A ，若点A 在直线mx+ny ﹣1=0（mn ＞0）上，则的最小值为（）A ．3B ．4C ．5D ．68．函数y=2|x|的定义域为[a ，b]，值域为[1，16]，当a 变动时，函数b=g （a ）的图象可以是（）班级_______________ 座号______ 姓名_______________ 分数__________________________________________________________________________________________________________________A ．B ．C ．D ．9．设全集U=M ∪N=﹛1，2，3，4，5﹜，M ∩∁U N=﹛2，4﹜，则N=（） A ．{1，2，3}B ．{1，3，5}C ．{1，4，5}D ．{2，3，4}10．口袋内装有一些大小相同的红球、白球和黒球，从中摸出1个球，摸出红球的概率是0.42，摸出白球的概率是0.28，那么摸出黒球的概率是（）A ．0.42B ．0.28C ．0.3D ．0.711．若函数()y f x =的定义域是[]1,2016，则函数()()1g x f x =+的定义域是（）A ．(]0,2016B ．[]0,2015C ．(]1,2016D ．[]1,2017 12．在△ABC 中，已知A=30°，C=45°，a=2，则△ABC 的面积等于（）A ．B ．C ．D ．二、填空题13．已知x ，y 满足条件，则函数z=﹣2x+y 的最大值是．14．直线20x y t +-=与抛物线216y x =交于A ，B 两点，且与x 轴负半轴相交，若O 为坐标原点，则OAB ∆面积的最大值为 .【命题意图】本题考查抛物线的几何性质，直线与抛物线的位置关系等基础知识，意在考查分析问题以及解决问题的能力.15．分别在区间[0,1]、[1,]e 上任意选取一个实数a b 、，则随机事件“ln a b ≥”的概率为_________. 16．给出下列命题：①把函数y=sin （x ﹣）图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，得到函数y=sin （2x ﹣）；②若α，β是第一象限角且α＜β，则cos α＞cos β；③x=﹣是函数y=cos （2x+π）的一条对称轴；④函数y=4sin （2x+）与函数y=4cos （2x ﹣）相同；⑤y=2sin （2x ﹣）在是增函数；则正确命题的序号．17．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，sinA ，sinB ，sinC 依次成等比数列，c=2a 且•=24，则△ABC 的面积是．18．已知函数f （x ）=，点O 为坐标原点，点An （n ，f （n ））（n ∈N +），向量=（0，1），θn 是向量与i 的夹角，则++…+= ．三、解答题19．如图所示，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为菱形，E 为AC 与BD 的交点，PA ⊥平面ABCD ，M 为PA 中点，N 为BC 中点．（1）证明：直线//MN 平面ABCD ；（2）若点Q 为PC 中点，120BAD ∠=︒，PA =1AB =，求三棱锥A QCD -的体积．20．已知奇函数f （x ）=（c ∈R ）．（Ⅰ）求c 的值；（Ⅱ）当x ∈[2，+∞）时，求f （x ）的最小值．21．设{a n}是公比小于4的等比数列，S n为数列{a n}的前n项和．已知a1=1，且a1+3，3a2，a3+4构成等差数列．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）令b n=lna3n+1，n=12…求数列{b n}的前n项和T n．22．已知梯形ABCD中，AB∥CD，∠B=，DC=2AB=2BC=2，以直线AD为旋转轴旋转一周的都如图所示的几何体（Ⅰ）求几何体的表面积（Ⅱ）判断在圆A上是否存在点M，使二面角M﹣BC﹣D的大小为45°，且∠CAM为锐角若存在，请求出CM的弦长，若不存在，请说明理由．23．已知在等比数列{a n}中，a1=1，且a2是a1和a3﹣1的等差中项．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）若数列{b n}满足b1+2b2+3b3+…+nb n=a n（n∈N*），求{b n}的通项公式b n．24．如图所示，在边长为的正方形ABCD中，以A为圆心画一个扇形，以O为圆心画一个圆，M，N，K为切点，以扇形为圆锥的侧面，以圆O为圆锥底面，围成一个圆锥，求圆锥的全面积与体积．25．△ABC的三个内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，asinAsinB+bcos2A=a．（Ⅰ）求；（Ⅱ）若c2=b2+a2，求B．26．如图，四边形ABCD内接于⊙O，过点A作⊙O的切钱EP交CB 的延长线于P，己知∠PAB=25°．（1）若BC是⊙O的直径，求∠D的大小；（2）若∠DAE=25°，求证：DA2=DC•BP．昌平区高中2018-2019学年高三下学期第三次月考试卷数学（参考答案）一、选择题1．【答案】B考点：函数的奇偶性与单调性．【思路点晴】本题主要考查函数的单调性、函数的奇偶性，数形结合的数学思想方法.由于函数是偶函数，所以定义域关于原点对称，图象关于y 轴对称，单调性在y 轴两侧相反，即在0x >时单调递增，当0x <时，函数单调递减.结合(5)0f =和对称性，可知(5)0f ±=，再结合函数的单调性，结合图象就可以求得最后的解集.1 2．【答案】A【解析】解：∵，只需将函数y=sin2x 的图象向左平移个单位得到函数的图象．故选A ．【点评】本题主要考查诱导公式和三角函数的平移．属基础题．3．【答案】B【解析】解：由于反证法是命题的否定的一个运用，故用反证法证明命题时，可以设其否定成立进行推证．命题“a ，b ∈N ，如果ab 可被5整除，那么a ，b 至少有1个能被5整除”的否定是“a ，b 都不能被5整除”．故选：B ．4．【答案】B【解析】解：当a=0时，f （x ）=﹣2x+2，符合题意当a ≠0时，要使函数f （x ）=ax 2+2（a ﹣1）x+2在区间（﹣∞，4]上为减函数 ∴⇒0＜a ≤综上所述0≤a ≤ 故选B【点评】本题主要考查了已知函数再某区间上的单调性求参数a 的范围的问题，以及分类讨论的数学思想，属于基础题．5．【答案】B【解析】解：执行程序框图，可得n=5，s=0满足条件s ＜15，s=5，n=4 满足条件s ＜15，s=9，n=3 满足条件s ＜15，s=12，n=2 满足条件s ＜15，s=14，n=1 满足条件s ＜15，s=15，n=0 不满足条件s ＜15，退出循环，输出n 的值为0．故选：B ．【点评】本题主要考查了程序框图和算法，正确判断退出循环时n 的值是解题的关键，属于基础题．6．【答案】C 【解析】10y -+=，可得直线的斜率为k =tan 60αα=⇒=，故选C.1考点：直线的斜率与倾斜角.7．【答案】B【解析】解：函数y=a 1﹣x（a ＞0，a ≠1）的图象恒过定点A （1，1）， ∵点A 在直线mx+ny ﹣1=0（mn ＞0）上， ∴m+n=1．则=（m+n ）=2+=4，当且仅当m=n=时取等号．故选：B ．【点评】本题考查了“乘1法”与基本不等式的性质、指数函数的性质，属于基础题．8．【答案】B 【解析】解：根据选项可知a ≤0a 变动时，函数y=2|x|的定义域为[a ，b]，值域为[1，16]，∴2|b|=16，b=4故选B ．【点评】本题主要考查了指数函数的定义域和值域，同时考查了函数图象，属于基础题．9．【答案】B【解析】解：∵全集U=M∪N=﹛1，2，3，4，5﹜，M∩C u N=﹛2，4﹜，∴集合M，N对应的韦恩图为所以N={1，3，5}故选B10．【答案】C【解析】解：∵口袋内装有一些大小相同的红球、白球和黑球，从中摸出1个球，在口袋中摸球，摸到红球，摸到黑球，摸到白球这三个事件是互斥的摸出红球的概率是0.42，摸出白球的概率是0.28，∵摸出黑球是摸出红球或摸出白球的对立事件，∴摸出黑球的概率是1﹣0.42﹣0.28=0.3，故选C．【点评】本题考查互斥事件的概率，注意分清互斥事件与对立事件之间的关系，本题是一个简单的数字运算问题，只要细心做，这是一个一定会得分的题目．11．【答案】B【解析】12．【答案】B【解析】解：因为△ABC中，已知A=30°，C=45°，所以B=180°﹣30°﹣45°=105°．因为a=2，也由正弦定理，c===2．所以△ABC的面积，S===2=2（）=1+．故选：B．【点评】本题考查三角形中正弦定理的应用，三角形的面积的求法，两角和正弦函数的应用，考查计算能力．二、填空题13．【答案】4．【解析】解：由约束条件作出可行域如图，化目标函数z=﹣2x+y为y=2x+z，由图可知，当直线y=2x+z过点A（﹣2，0）时，直线y=2x+z在y轴上的截距最大，即z最大，此时z=﹣2×（﹣2）+0=4．故答案为：4．【点评】本题考查了简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题．14．【答案】9【解析】15．【答案】1e e- 【解析】解析：由ln a b ≥得ab e ≤，如图所有实数对(,)a b 表示的区域的面积为e ，满足条件“ab e ≤”的实数对(,)a b 表示的区域为图中阴影部分，其面积为1101|a a e da e e ==-⎰，∴随机事件“ln ab ≥”的概率为1e e-． 16．【答案】【解析】解：对于①，把函数y=sin （x ﹣）图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，得到函数y=sin （2x ﹣），故①正确．对于②，当α，β是第一象限角且α＜β，如α=30°，β=390°，则此时有cos α=cos β=，故②错误．对于③，当x=﹣时，2x+π=π，函数y=cos （2x+π）=﹣1，为函数的最小值，故x=﹣是函数y=cos （2x+π）的一条对称轴，故③正确．对于④，函数y=4sin （2x+）=4cos[﹣（2x+）]=4cos （﹣2）=4cos （2x ﹣），故函数y=4sin （2x+）与函数y=4cos （2x ﹣）相同，故④正确．对于⑤，在上，2x ﹣∈，函数y=2sin （2x ﹣）在上没有单调性，故⑤错误，故答案为：①③④．17．【答案】 4 ．【解析】解：∵sinA ，sinB ，sinC 依次成等比数列，∴sin 2B=sinAsinC ，由正弦定理可得：b 2=ac ，∵c=2a ，可得：b=a ，∴cosB===，可得：sinB==，∵•=24，可得：accosB=ac=24，解得：ac=32，∴S△ABC =acsinB==4．故答案为：4．18．【答案】．【解析】解：点An （n ，）（n ∈N +），向量=（0，1），θn 是向量与i 的夹角，=，=，…， =，∴++…+=+…+=1﹣=，故答案为：．【点评】本题考查了向量的夹角、数列“裂项求和”方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．三、解答题19．【答案】（1）证明见解析；（2）18. 【解析】试题解析：（1）证明：取PD 中点R ，连结MR ，RC ， ∵//MR AD ，//NC AD ，12MR NC AD ==， ∴//MR NC ，MR AC =， ∴四边形MNCR 为平行四边形，∴//MN RC ，又∵RC ⊂平面PCD ，MN ⊄平面PCD ， ∴//MN 平面PCD ．（2）由已知条件得1AC AD CD ===，所以4ACD S ∆=，所以111328A QCD Q ACD ACD V V S PA --∆==⨯⨯=．考点：1、直线与平面平行的判定；2、等积变换及棱锥的体积公式.20．【答案】【解析】解：（Ⅰ）∵f（x）是奇函数，∴f（﹣x）=﹣f（x），∴=﹣=，比较系数得：c=﹣c，∴c=0，∴f（x）==x+；（Ⅱ）∵f（x）=x+，∴f′（x）=1﹣，当x∈[2，+∞）时，1﹣＞0，∴函数f（x）在[2，+∞）上单调递增，∴f（x）min=f（2）=．【点评】本题考查了函数的奇偶性问题，考查了函数的单调性、最值问题，是一道中档题．21．【答案】【解析】解：（1）设等比数列{a n}的公比为q＜4，∵a1+3，3a2，a3+4构成等差数列．∴2×3a2=a1+3+a3+4，∴6q=1+7+q2，解得q=2．（2）由（1）可得：a n=2n﹣1．b n=lna3n+1=ln23n=3nln2．∴数列{b n}的前n项和T n=3ln2×（1+2+…+n）=ln2．22．【答案】【解析】解：（1）根据题意，得；该旋转体的下半部分是一个圆锥，上半部分是一个圆台中间挖空一个圆锥而剩下的几何体，其表面积为S=×4π×2×2=8π，或S=×4π×2+×（4π×2﹣2π×）+×2π×=8π；（2）作ME⊥AC，EF⊥BC，连结FM，易证FM⊥BC，∴∠MFE为二面角M﹣BC﹣D的平面角，设∠CAM=θ，∴EM=2sinθ，EF=，∵tan∠MFE=1，∴，∴tan=，∴，∴CM=2．【点评】本题考查了空间几何体的表面积与体积的计算问题，也考查了空间想象能力的应用问题，是综合性题目．23．【答案】【解析】解：（1）设等比数列{a n}的公比为q，由a2是a1和a3﹣1的等差中项得：2a2=a1+a3﹣1，∴，∴2q=q2，∵q≠0，∴q=2，∴；（2）n=1时，由b1+2b2+3b3+…+nb n=a n，得b1=a1=1．n≥2时，由b1+2b2+3b3+…+nb n=a n ①b1+2b2+3b3+…+（n﹣1）b n﹣1=a n﹣1②①﹣②得：．，∴．【点评】本题考查等差数列和等比数列的通项公式，考查了数列的递推式，解答的关键是想到错位相减，是基础题．24．【答案】【解析】解：设圆锥的母线长为l，底面半径为r，高为h，由已知条件，解得，，，∴S=πrl+πr2=10π，∴25．【答案】【解析】解：（Ⅰ）由正弦定理得，sin2AsinB+sinBcos2A=sinA，即sinB（sin2A+cos2A）=sinA∴sinB=sinA，=（Ⅱ）由余弦定理和C2=b2+a2，得cosB=由（Ⅰ）知b2=2a2，故c2=（2+）a2，可得cos2B=，又cosB＞0，故cosB=所以B=45°【点评】本题主要考查了正弦定理和余弦定理的应用．解题的过程主要是利用了正弦定理和余弦定理对边角问题进行了互化．26．【答案】【解析】解：（1）∵EP与⊙O相切于点A，∴∠ACB=∠PAB=25°，又BC是⊙O的直径，∴∠ABC=65°，∵四边形ABCD内接于⊙O，∴∠ABC+∠D=180°，∴∠D=115°．证明：（2）∵∠DAE=25°，∴∠ACD=∠PAB，∠D=∠PBA，∴△ADC∽△PBA，∴，又DA=BA，∴DA2=DC•BP．。

昌平区第三高级中学2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析

昌平区第三高级中学2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析班级__________ 姓名__________ 分数__________一、选择题1．设,,a b c R ∈，且a b >，则（）A ．ac bc >B ．11a b< C ．22a b > D ．33a b > 2．如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，P 是侧面11BB C C 内一动点，若P 到直线BC 与直线11C D 的距离相等，则动点P 的轨迹所在的曲线是（）A 1CA B A.直线 B.圆C.双曲线D.抛物线【命题意图】本题考查立体几何中的动态问题等基础知识知识，意在考查空间想象能力.3．抛物线y 2=8x 的焦点到双曲线的渐近线的距离为（）A ．1B ．C ．D ．4．冶炼某种金属可以用旧设备和改造后的新设备，为了检验用这两种设备生产的产品中所含杂质的关系，调查结果如下表所示．杂质高杂质低旧设备 37 121 新设备22202根据以上数据，则（） A ．含杂质的高低与设备改造有关 B ．含杂质的高低与设备改造无关 C ．设备是否改造决定含杂质的高低D ．以上答案都不对5． 2016年3月“两会”期间，有代表提出适当下调“五险一金”的缴存比例，现拟从某工厂职工中抽取20名代表调查对这一提案的态度，已知该厂青年，中年，老年职工人数分别为350，500，150，按分层抽样的方法，应从青年职工中抽取的人数为（）A. 5B.6C.7D.10【命题意图】本题主要考查分层抽样的方法的运用，属容易题.6．已知函数f （x ）=2x ﹣+cosx ，设x 1，x 2∈（0，π）（x 1≠x 2），且f （x 1）=f （x 2），若x 1，x 0，x 2成等差数列，f ′（x ）是f （x ）的导函数，则（） A ．f ′（x 0）＜0 B ．f ′（x 0）=0C ．f ′（x 0）＞0D ．f ′（x 0）的符号无法确定7．复数z=在复平面上对应的点位于（）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限8．（m+1）x 2﹣（m ﹣1）x+3（m ﹣1）＜0对一切实数x 恒成立，则实数m 的取值范围是（） A ．（1，+∞） B ．（﹣∞，﹣1）C ．D ．9．平面向量与的夹角为60°，=（2，0），||=1，则|+2|=（）A ．B ．C ．4D ．1210．某高二（1）班一次阶段考试数学成绩的茎叶图和频率分布直方图可见部分如图，根据图中的信息，可确定被抽测的人数及分数在[]90,100内的人数分别为（）A ．20，2B ．24，4C ．25，2D ．25，4 11．如图，从点M （x 0，4）发出的光线，沿平行于抛物线y 2=8x 的对称轴方向射向此抛物线上的点P ，经抛物线反射后，穿过焦点射向抛物线上的点Q ，再经抛物线反射后射向直线l ：x ﹣y ﹣10=0上的点N ，经直线反射后又回到点M ，则x 0等于（）A ．5B ．6C ．7D ．812．已知函数f （x ）=x （1+a|x|）．设关于x 的不等式f （x+a ）＜f （x ）的解集为A ，若，则实数a 的取值范围是（）A ．B ．C ．D ．二、填空题13．【泰州中学2018届高三10月月考】设函数()()21xf x ex ax a =--+，其中1a <，若存在唯一的整数0x ，使得()00f x <，则a 的取值范围是14．已知点M （x ，y ）满足，当a ＞0，b ＞0时，若ax+by 的最大值为12，则+的最小值是．15．当下社会热议中国人口政策，下表是中国人民大学人口预测课题组根据我过2000年第五次人口普查预测的线性回归方程为附：回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为： =， =﹣．16．函数y=a x +1（a ＞0且a ≠1）的图象必经过点（填点的坐标）17．已知函数f （x ）=x 3﹣ax 2+3x 在x ∈[1，+∞）上是增函数，求实数a 的取值范围．18．已知函数，则__________；的最小值为__________．三、解答题19．如图所示，在边长为的正方形ABCD中，以A为圆心画一个扇形，以O为圆心画一个圆，M，N，K为切点，以扇形为圆锥的侧面，以圆O为圆锥底面，围成一个圆锥，求圆锥的全面积与体积．20．（本小题满分12分）某校高二奥赛班N名学生的物理测评成绩（满分120分）分布直方图如下，已知分数在100-110的学生数有21人.（1）求总人数N和分数在110-115分的人数；）中任选3人，求其中恰好含有一名女生的概率；（2）现准备从分数在110-115的名学生（女生占13（3）为了分析某个学生的学习状态，对其下一阶段的学生提供指导性建议，对他前7次考试的数学成绩（满分150分），物理成绩y进行分析，下面是该生7次考试的成绩.已知该生的物理成绩y与数学成绩是线性相关的，若该生的数学成绩达到130分，请你估计他的物理成绩大约是多少？附：对于一组数据11(,)u v，22(,)u v……(,)n nu v，其回归线v uαβ=+的斜率和截距的最小二乘估计分别为：^121()()()ni iiniiu u v vu uβ==--=-∑∑，^^a v uβ=-.21．（本小题12分）在多面体ABCDEFG中，四边形ABCD与CDEF是边长均为a正方形，CF⊥平面ABCD，BG⊥平面ABCD，且24AB BG BH==．（1）求证：平面AGH⊥平面EFG；（2）若4a=，求三棱锥G ADE-的体积．【命题意图】本题主要考查空间直线与平面间的垂直关系、空间向量、二面角等基础知识，间在考查空间想象能力、逻辑推理能力，以及转化的思想、方程思想．22．已知函数f（x）=x2﹣ax+（a﹣1）lnx（a＞1）．（Ⅰ）讨论函数f（x）的单调性；（Ⅱ）若a=2，数列{a n}满足a n+1=f（a n）．（1）若首项a1=10，证明数列{a n}为递增数列；（2）若首项为正整数，且数列{a n}为递增数列，求首项a1的最小值．23．生产A，B两种元件，其质量按测试指标划分为：指标大于或等于82为正品，小于82为次品．现随机抽（Ⅱ）生产一件元件A，若是正品可盈利40元，若是次品则亏损5元；生产一件元件B，若是正品可盈利50元，若是次品则亏损10元．在（Ⅰ）的前提下，（ⅰ）记X为生产1件元件A和1件元件B所得的总利润，求随机变量X的分布列和数学期望；（ⅱ）求生产5件元件B所获得的利润不少于140元的概率．24．如图所示，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E是棱DD1的中点．（Ⅰ）求直线BE与平面ABB1A1所成的角的正弦值；（Ⅱ）在棱C1D1上是否存在一点F，使B1F∥平面A1BE？证明你的结论．昌平区第三高级中学2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析（参考答案）一、选择题1．【答案】D【解析】考点：不等式的恒等变换.2．【答案】D.第Ⅱ卷（共110分）3．【答案】A【解析】解：因为抛物线y2=8x，由焦点公式求得：抛物线焦点为（2，0）又双曲线．渐近线为y=有点到直线距离公式可得：d==1．故选A．【点评】此题主要考查抛物线焦点的求法和双曲线渐近线的求法．其中应用到点到直线的距离公式，包含知识点多，属于综合性试题．4．【答案】A【解析】独立性检验的应用．【专题】计算题；概率与统计．【分析】根据所给的数据写出列联表，把列联表的数据代入观测值的公式，求出两个变量之间的观测值，把观测值同临界值表中的数据进行比较，得到有99%的把握认为含杂质的高低与设备是否改造是有关的．【解答】解：由已知数据得到如下2×2列联表杂质高杂质低合计旧设备37 121 158新设备22 202 224合计59 323 382由公式κ2=≈13.11，由于13.11＞6.635，故有99%的把握认为含杂质的高低与设备是否改造是有关的．【点评】本题考查独立性检验，考查写出列联表，这是一个基础题．5．【答案】C6．【答案】A【解析】解：∵函数f（x）=2x﹣+cosx，设x1，x2∈（0，π）（x1≠x2），且f（x1）=f（x2），∴，∴存在x1＜a＜x2，f'（a）=0，∴，∴，解得a=，假设x1，x2在a的邻域内，即x2﹣x1≈0．∵，∴，∴f（x）的图象在a的邻域内的斜率不断减少小，斜率的导数为正，∴x0＞a，又∵x＞x0，又∵x＞x0时，f''（x）递减，∴．故选：A．【点评】本题考查导数的性质的应用，是难题，解题时要认真审题，注意二阶导数和三阶导数的性质的合理运用．7．【答案】A【解析】解：∵z===+i，∴复数z在复平面上对应的点位于第一象限．故选A．【点评】本题考查复数的乘除运算，考查复数与复平面上的点的对应，是一个基础题，在解题过程中，注意复数是数形结合的典型工具．8．【答案】C【解析】解：不等式（m+1）x2﹣（m﹣1）x+3（m﹣1）＜0对一切x∈R恒成立，即（m+1）x2﹣（m﹣1）x+3（m﹣1）＜0对一切x∈R恒成立若m+1=0，显然不成立若m+1≠0，则解得a．故选C．【点评】本题的求解中，注意对二次项系数的讨论，二次函数恒小于0只需．9．【答案】B【解析】解：由已知|a|=2，|a+2b|2=a2+4ab+4b2=4+4×2×1×cos60°+4=12，∴|a+2b|=．故选：B．【点评】本题是对向量数量积的考查，根据两个向量的夹角和模之间的关系，根据和的模两边平方，注意要求的结果非负，舍去不合题意的即可．两个向量的数量积是一个数量，它的值是两个向量的模与两向量夹角余弦的乘积，结果可正、可负、可以为零，其符号由夹角的余弦值确定．10．【答案】C【解析】考点：茎叶图，频率分布直方图．11．【答案】B【解析】解：由题意可得抛物线的轴为x轴，F（2，0），∴MP所在的直线方程为y=4在抛物线方程y2=8x中，令y=4可得x=2，即P（2，4）从而可得Q（2，﹣4），N（6，﹣4）∵经抛物线反射后射向直线l：x﹣y﹣10=0上的点N，经直线反射后又回到点M，∴直线MN的方程为x=6故选：B．【点评】本题主要考查了抛物线的性质的应用，解决问题的关键是要熟练掌握相关的性质并能灵活应用．12．【答案】A【解析】解：取a=﹣时，f（x）=﹣x|x|+x，∵f（x+a）＜f（x），∴（x﹣）|x﹣|+1＞x|x|，（1）x＜0时，解得﹣＜x＜0；（2）0≤x≤时，解得0；（3）x＞时，解得，综上知，a=﹣时，A=（﹣，），符合题意，排除B、D；取a=1时，f（x）=x|x|+x，∵f（x+a）＜f（x），∴（x+1）|x+1|+1＜x|x|，（1）x＜﹣1时，解得x＞0，矛盾；（2）﹣1≤x≤0，解得x＜0，矛盾；（3）x ＞0时，解得x ＜﹣1，矛盾；综上，a=1，A=∅，不合题意，排除C ，故选A ．【点评】本题考查函数的单调性、二次函数的性质、不等式等知识，考查数形结合思想、分类讨论思想，考查学生分析解决问题的能力，注意排除法在解决选择题中的应用．二、填空题13．【答案】【解析】试题分析:设,由题设可知存在唯一的整数0x ，使得在直线的下方.因为,故当时,,函数单调递减;当时,,函数单调递增;故,而当时,,故当且,解之得,应填答案3,12e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭. 考点：函数的图象和性质及导数知识的综合运用．【易错点晴】本题以函数存在唯一的整数零点0x ，使得()00f x <为背景,设置了一道求函数解析式中的参数的取值范围问题,目的是考查函数的图象和性质及导数在研究函数的单调性最值等有关知识的综合运用.同时也综合考查学生运用所学知识去分析问题解决问题的能力.求解时先运用等价转化得到数学思想将问题等价转化为存在唯一的整数0x ，使得在直线的下方.然后再借助导数的知识求出函数的最小值,依据题设建立不等式组求出解之得.14．【答案】 4 ．【解析】解：画出满足条件的平面区域，如图示：，由，解得：A（3，4），显然直线z=ax+by过A（3，4）时z取到最大值12，此时：3a+4b=12，即+=1，∴+=（+）（+）=2++≥2+2=4，当且仅当3a=4b时“=”成立，故答案为：4．【点评】本题考查了简单的线性规划，考查了利用基本不等式求最值，解答此题的关键是对“1”的灵活运用，是基础题．15．【答案】y=﹣1.7t+68.7【解析】解：=，==63.6．=（﹣2）×4.4+（﹣1）×1.4+0+1×（﹣1.6）+2×（﹣2.6）=﹣17．=4+1+0+1+2=10．∴=﹣=﹣1.7.=63.6+1.7×3=68.7．∴y关于t的线性回归方程为y=﹣1.7t+68.7．故答案为y=﹣1.7t+68.7．【点评】本题考查了线性回归方程的解法，属于基础题．16．【答案】（0，2）【解析】解：令x=0，得y=a0+1=2∴函数y=a x+1（a＞0且a≠1）的图象必经过点（0，2）故答案为：（0，2）．【点评】本题考查指数函数的单调性与特殊点，解题的关键是熟练掌握指数函数的性质，确定指数为0时，求函数的图象必过的定点17．【答案】（﹣∞，3]．【解析】解：f′（x）=3x2﹣2ax+3，∵f（x）在[1，+∞）上是增函数，∴f′（x）在[1，+∞）上恒有f′（x）≥0，即3x2﹣2ax+3≥0在[1，+∞）上恒成立．则必有≤1且f′（1）=﹣2a+6≥0，∴a≤3；实数a的取值范围是（﹣∞，3]．18．【答案】【解析】【知识点】分段函数，抽象函数与复合函数【试题解析】当时，当时，故的最小值为故答案为：三、解答题19．【答案】【解析】解：设圆锥的母线长为l，底面半径为r，高为h，由已知条件，解得，，，∴S=πrl+πr2=10π，∴20．【答案】（1）60N =，6n =；（2）815P =；（3）115. 【解析】试题解析：（1）分数在100-110内的学生的频率为1(0.040.03)50.35P =+⨯=，所以该班总人数为21600.35N ==，分数在110-115内的学生的频率为21(0.010.040.050.040.030.01)50.1P =-+++++⨯=，分数在110-115内的人数600.16n =⨯=.（2）由题意分数在110-115内有6名学生，其中女生有2名，设男生为1234,,,A A A A ，女生为12,B B ，从6名学生中选出3人的基本事件为：12(,)A A ，13(,)A A ，14(,)A A ，11(,)A B ，12(,)A B ，23(,)AA ，24(,)A A ，21(,)AB ，22(,)A B ，34(,)A A ，31(,)A B ，32(,)A B ，41(,)A B ，42(,)A B ，12(,)B B 共15个.其中恰好含有一名女生的基本事件为11(,)A B ，12(,)A B ，22(,)A B ，21(,)A B ，31(,)A B ，32(,)A B ，41(,)A B ，42(,)A B ，共8个，所以所求的概率为815P =. （3）12171788121001007x --+-++=+=；69844161001007y --+-+++=+=；由于与y 之间具有线性相关关系，根据回归系数公式得到^4970.5994b ==，^1000.510050a =-⨯=，∴线性回归方程为0.550y x =+，∴当130x =时，115y =.1考点：1.古典概型；2.频率分布直方图；3.线性回归方程.【易错点睛】本题主要考查古典概型，频率分布直方图，线性回归方程,数据处理和计算能力.求线性回归方程,关键在于正确求出系数,a b ,一定要将题目中所给数据与公式中的,,a b c 相对应,再进一步求解.在求解过程中,由于,a b 的计算量大,计算时应仔细谨慎,分层进行,避免因计算而产生错误,特别是回归直线方程中一次项系数为,b 常数项为这与一次函数的习惯表示不同. 21．【答案】【解析】（1）连接FH ，由题意，知CD BC ⊥，CD CF ⊥，∴CD ⊥平面BCFG ．又∵GH ⊂平面BCFG ，∴CD ⊥GH ．又∵EFCD ，∴EF GH ⊥……………………………2分由题意，得14BH a =，34CH a =，12BG a =，∴2222516GH BG BH a =+=， 22225()4FG CF BG BC a =-+=，22222516FH CF CH a =+=，则222FH FG GH =+，∴GH FG ⊥．……………………………4分又∵EFFG F =，GH ⊥平面EFG ．……………………………5分∵GH ⊂平面AGH ，∴平面AGH ⊥平面EFG ．……………………………6分22．【答案】【解析】解：（Ⅰ）∵，∴（x ＞0），当a=2时，则在（0，+∞）上恒成立，当1＜a＜2时，若x∈（a﹣1，1），则f′（x）＜0，若x∈（0，a﹣1）或x∈（1，+∞），则f′（x）＞0，当a＞2时，若x∈（1，a﹣1），则f′（x）＜0，若x∈（0，1）或x∈（a﹣1，+∞），则f′（x）＞0，综上所述：当1＜a＜2时，函数f（x）在区间（a﹣1，1）上单调递减，在区间（0，a﹣1）和（1，+∞）上单调递增；当a=2时，函数（0，+∞）在（0，+∞）上单调递增；当a＞2时，函数f（x）在区间（0，1）上单调递减，在区间（0，1）和（a﹣1，+∞）上单调递增．（Ⅱ）若a=2，则，由（Ⅰ）知函数f（x）在区间（0，+∞）上单调递增，（1）因为a1=10，所以a2=f（a1）=f（10）=30+ln10，可知a2＞a1＞0，假设0＜a k＜a k+1（k≥1），因为函数f（x）在区间（0，+∞）上单调递增，∴f（a k+1）＞f（a k），即得a k+2＞a k+1＞0，由数学归纳法原理知，a n+1＞a n对于一切正整数n都成立，∴数列{a n}为递增数列．（2）由（1）知：当且仅当0＜a1＜a2，数列{a n}为递增数列，∴f（a1）＞a1，即（a1为正整数），设（x≥1），则，∴函数g（x）在区间上递增，由于，g（6）=ln6＞0，又a1为正整数，∴首项a1的最小值为6．【点评】本题考查导数的运用：求单调区间，同时考查函数的零点存在定理和数学归纳法的运用，考查运算能力，属于中档题．选做题：本题设有（1）（2）（3）三个选考题，每题7分，请考生任选2题作答，满分7分．如果多做，则按所做的前两题计分．【选修4-2：矩阵与变换】23．【答案】【解析】解：（Ⅰ）元件A为正品的概率约为．元件B为正品的概率约为．（Ⅱ）（ⅰ）∵生产1件元件A和1件元件B可以分为以下四种情况：两件正品，A次B正，A正B次，A 次B次．∴随机变量X的所有取值为90，45，30，﹣15．∵P（X=90）==；P（X=45）==；P（X=30）==；P（X=﹣15）==．∴随机变量X的分布列为：EX=．（ⅱ）设生产的5件元件B中正品有n件，则次品有5﹣n件．依题意得50n﹣10（5﹣n）≥140，解得．所以n=4或n=5．设“生产5件元件B所获得的利润不少于140元”为事件A，则P（A）==．24．【答案】【解析】解：（I）如图（a），取AA1的中点M，连接EM，BM，因为E是DD1的中点，四边形ADD1A1为正方形，所以EM∥AD．又在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中．AD⊥平面ABB1A1，所以EM⊥面ABB1A1，从而BM为直线BE在平面ABB1A1上的射影，∠EBM直线BE与平面ABB1A1所成的角．设正方体的棱长为2，则EM=AD=2，BE=，于是在Rt△BEM中，即直线BE与平面ABB1A1所成的角的正弦值为．（Ⅱ）在棱C1D1上存在点F，使B1F平面A1BE，事实上，如图（b）所示，分别取C1D1和CD的中点F，G，连接EG，BG，CD1，FG，因A1D1∥B1C1∥BC，且A1D1=BC，所以四边形A1BCD1为平行四边形，因此D1C∥A1B，又E，G分别为D1D，CD的中点，所以EG∥D1C，从而EG∥A1B，这说明A1，B，G，E 共面，所以BG⊂平面A1BE因四边形C1CDD1与B1BCC1皆为正方形，F，G分别为C1D1和CD的中点，所以FG∥C1C∥B1B，且FG=C1C=B1B，因此四边形B1BGF为平行四边形，所以B1F∥BG，而B1F⊄平面A1BE，BG⊂平面A1BE，故B1F∥平面A1BE．【点评】本题考查直线与平面所成的角，直线与平面平行，考查考生探究能力、空间想象能力．。

北京市昌平临川育人学校2018届高三12月月考数学(理)试卷(含答案)

北京市昌平临川育人学校2018届高三12月月考数学（理）试题一、选择题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

1.已知(1i)i 1i(b b +=-+∈R)，则b 的值为 A.1 B.1- C. i D.i -2. 已知集合{}124xA x =<<，{}10B x x =-≥，则A B I ＝ A ．{}12x x ≤< B ．{}01x x <≤ C ．{}01x x << D ．{}12x x <<3.如图，正方形ABCD 中，E 为DC 的中点，若AD AC AE λμ=+u u u r u u u r u u u r，则λμ-的值为A.3B.2C. 1D.3-4.某程序框图如图所示，执行该程序，若输入的a 值为1，则输出的a 值为A.1B.2C.3D.55.已知数列12345:,,,,A a a a a a ，其中{1,0,1},1,2,3,4,5i a i ∈-=, 则满足123453a a a a a ++++=的不同数列A 一共有A.15个B.25个C.30个D.35个6．已知函数1,2,()2log ,2a x x f x x x -≤⎧=⎨+>⎩(0a >且1)a ≠的最大值为1,则a 的取值范围是 A ．112[,) B ．01(,) C ．102(,] D ．1(,)+∞EABCD输出输入开始结束7. 若,x y 满足+20,40,0,x y x y y -≥⎧⎪+-≤⎨⎪≥⎩则2||z y x =-的最大值为A.8-B.4-C.1D.28．同时具有性质: “①最小正周期是π； ②图象关于直线3x π=对称； ③在区间5,6π⎡⎤π⎢⎥⎣⎦上是单调递增函数” 的一个函数可以是 A.cos()26x y π=+B.sin(2)6y x 5π=+C.cos(2)3y x π=-D.sin(2)6y x π=- 9．成等差数列的三个正数的和等于6，并且这三个数分别加上3、6、13后成为等比数列{}n b 中的b 、b 、b ，则数列{}n b 的通项公式为A. 12n n b -= B. 13n n b -=C. 22n n b -= D. 23n n b -=10. “0x >”是“2212x x+≥”的 A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件11．如图，△ABC 为正三角形，111////AA BB CC ，1CC ⊥底面ABC ，若1122BB AA ==，113AB CC AA ==，则多面体111ABC A B C -在平面11A ABB 上的投影的面积为A.274 B. 92 C. 9 D. 27212. 已知正方体''''ABCD A B C D -，记过点A 与三条直线,,'AB AD AA 所成角都相等的直线条数为m , 过点A 与三个平面．．',,'AB AC AD 所成角都相等的直线的条数为n ，则下面结论正确的是A.1,1m n ==B.4,1m n ==C. 3,4m n ==D.4,4m n ==二、填空题共4小题，每小题5分，共20分。

昌平区第二高级中学2018-2019学年高三上学期12月月考数学试卷

昌平区第二高级中学2018-2019学年高三上学期12月月考数学试卷班级__________ 座号_____ 姓名__________ 分数__________一、选择题1．函数y=x+xlnx 的单调递增区间是（） A ．（0，e ﹣2）B ．（e ﹣2，+∞）C ．（﹣∞，e ﹣2）D ．（e ﹣2，+∞）2．设集合{|12}A x x =<<，{|}B x x a =<，若A B ⊆，则的取值范围是（） A ．{|2}a a ≤ B ．{|1}a a ≤ C ．{|1}a a ≥ D ．{|2}a a ≥3．已知全集I={1，2，3，4，5，6，7，8}，集合M={3，4，5}，集合N={1，3，6}，则集合{2，7，8}是（） A ．M ∪NB ．M ∩NC ．∁I M ∪∁I ND ．∁I M ∩∁I N4．下列命题正确的是（）A ．很小的实数可以构成集合.B ．集合{}2|1y y x =-与集合(){}2,|1x y y x =-是同一个集合.C ．自然数集 N 中最小的数是.D ．空集是任何集合的子集.5．若方程x 2+ky 2=2表示焦点在y 轴上的椭圆，那么实数k 的取值范围是（）A ．（0，+∞）B ．（0，2）C ．（1，+∞）D ．（0，1）6．如果双曲线经过点P （2，），且它的一条渐近线方程为y=x ，那么该双曲线的方程是（）A ．x 2﹣=1 B ．﹣=1 C ．﹣=1 D ．﹣=17．如图甲所示，三棱锥P ABC - 的高8,3,30PO AC BC ACB ===∠= ，,M N 分别在BC 和PO 上，且(),203CM x PN x x ==∈（，，图乙的四个图象大致描绘了三棱锥N AMC -的体积y 与的变化关系，其中正确的是（）A ．B ． C. D ．1111] 8．如果集合 ,A B ，同时满足{}{}{}{}1,2,3,41,1,1AB B A B =≠≠，A =,就称有序集对(),A B 为“ 好集对”. 这里有序集对(),A B 是指当A B ≠时，(),A B 和(),B A 是不同的集对，那么“好集对” 一共有（）个A ．个B ．个C ．个D ．个 9．下面茎叶图表示的是甲、乙两个篮球队在3次不同比赛中的得分情况，其中有一个数字模糊不清，在图中以m 表示．若甲队的平均得分不低于乙队的平均得分，那么m 的可能取值集合为（）A ．B ．C ．D ．10．设a ，b 为正实数，11a b+≤23()4()a b ab -=，则log a b =（）A.0B.1-C.1 D .1-或0【命题意图】本题考查基本不等式与对数的运算性质等基础知识，意在考查代数变形能与运算求解能力.二、填空题11．已知△ABC 的面积为S ，三内角A ，B ，C 的对边分别为，，．若2224S a b c +=+，则sin cos()4C B π-+取最大值时C = ．12．【2017-2018第一学期东台安丰中学高三第一次月考】函数()2ln f x x x =-的单调递增区间为__________． 13．如图，已知m ，n 是异面直线，点A ，B m ∈，且6AB =；点C ，D n ∈，且4CD =.若M ，N 分别是AC ，BD 的中点，MN =m 与n 所成角的余弦值是______________.【命题意图】本题考查用空间向量知识求异面直线所成的角，考查空间想象能力，推理论证能力，运算求解能力.14．已知点A （2，0），点B （0，3），点C 在圆x 2+y 2=1上，当△ABC 的面积最小时，点C 的坐标为．15．直线20x y t +-=与抛物线216y x =交于A ，B 两点，且与x 轴负半轴相交，若O 为坐标原点，则OAB ∆面积的最大值为 .【命题意图】本题考查抛物线的几何性质，直线与抛物线的位置关系等基础知识，意在考查分析问题以及解决问题的能力.16．已知点E 、F 分别在正方体的棱上，且, ,则面AEF 与面ABC 所成的二面角的正切值等于 .三、解答题17．已知三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1，底面三角形ABC 为正三角形，侧棱AA 1⊥底面ABC ，AB=2，AA 1=4，E 为AA 1的中点，F 为BC 的中点（1）求证：直线AF ∥平面BEC 1 （2）求A 到平面BEC 1的距离．18．（本小题满分12分）两个人在进行一项掷骰子放球游戏中，规定：若掷出1点，甲盒中放一球；若掷出2点或3点，乙盒中放一球；若掷出4点或5点或6点，丙盒中放一球，前后共掷3次，设,,x y z 分别表示甲，乙，丙3个盒中的球数.（1）求0x =，1y =，2z =的概率；（2）记x y ξ=+，求随机变量ξ的概率分布列和数学期望.【命题意图】本题考查频离散型随机变量及其分布列等基础知识，意在考查学生的统计思想和基本的运算能力．19．如图，在四棱锥 P ABCD -中，底面ABCD 是平行四边形，45,1,ADC AD AC O ∠=== 为AC 的中点，PO ⊥平面ABCD ，2,PO M =为 BD 的中点. （1）证明: AD ⊥平面 PAC ；（2）求直线 AM 与平面ABCD 所成角的正切值.20．已知等差数列{a n}中，a1=1，且a2+2，a3，a4﹣2成等比数列．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）若b n=，求数列{b n}的前n项和S n．21．在平面直角坐标系xOy中，经过点且斜率为k的直线l与椭圆有两个不同的交点P和Q．（Ⅰ）求k的取值范围；（Ⅱ）设椭圆与x轴正半轴、y轴正半轴的交点分别为A，B，是否存在常数k，使得向量与共线？如果存在，求k值；如果不存在，请说明理由．22．已知数列{a n}满足a1=﹣1，a n+1=（n∈N*）．（Ⅰ）证明：数列{+}是等比数列；（Ⅱ）令b n=，数列{b n}的前n项和为S n．①证明：b n+1+b n+2+…+b2n＜②证明：当n≥2时，S n2＞2（++…+）昌平区第二高级中学2018-2019学年高三上学期12月月考数学试卷（参考答案）一、选择题1．【答案】B【解析】解：函数的定义域为（0，+∞）求导函数可得f ′（x ）=lnx+2，令f ′（x ）＞0，可得x ＞e ﹣2，∴函数f （x ）的单调增区间是（e ﹣2，+∞）故选B ．2．【答案】D 【解析】试题分析：∵A B ⊆，∴2a ≥．故选D ．考点：集合的包含关系． 3．【答案】D【解析】解：∵全集I={1，2，3，4，5，6，7，8}，集合M={3，4，5}，集合N={1，3，6}， ∴M ∪N={1，2，3，6，7，8}， M ∩N={3}；∁I M ∪∁I N={1，2，4，5，6，7，8}； ∁I M ∩∁I N={2，7，8}，故选：D ．4．【答案】D 【解析】试题分析：根据子集概念可知，空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集，所以选项D 是正确，故选D.考点：集合的概念；子集的概念. 5．【答案】D【解析】解：∵方程x 2+ky 2=2，即表示焦点在y 轴上的椭圆∴故0＜k ＜1故选D ．【点评】本题主要考查了椭圆的定义，属基础题．6．【答案】B【解析】解：由双曲线的一条渐近线方程为y=x ，可设双曲线的方程为x 2﹣y 2=λ（λ≠0），代入点P （2，），可得λ=4﹣2=2，可得双曲线的方程为x 2﹣y 2=2，即为﹣=1．故选：B ．7．【答案】A 【解析】考点：几何体的体积与函数的图象.【方法点晴】本题主要考查了空间几何体的体积与函数的图象之间的关系，其中解答中涉及到三棱锥的体积公式、一元二次函数的图象与性质等知识点的考查，本题解答的关键是通过三棱锥的体积公式得出二次函数的解析式，利用二次函数的图象与性质得到函数的图象，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，是一道好题，题目新颖，属于中档试题.8．【答案】B 【解析】试题分析：因为{}{}{}{}1,2,3,41,1,1AB B A B =≠≠，A =，所以当{1,2}A =时，{1,2,4}B =；当{1,3}A =时，{1,2,4}B =；当{1,4}A =时，{1,2,3}B =；当{1,2,3}A =时，{1,4}B =；当{1,2,4}A =时，{1,3}B =；当{1,3,4}A =时，{1,2}B =；所以满足条件的“好集对”一共有个，故选B.考点：元素与集合的关系的判断.【方法点晴】本题主要考查了元素与集合关系的判断与应用，其中解答中涉及到集合的交集和集合的并集运算与应用、元素与集合的关系等知识点的综合考查，着重考查了分类讨论思想的应用，以及学生分析问题和解答问题的能力，试题有一定的难度，属于中档试题，本题的解答中正确的理解题意是解答的关键.1111]9．【答案】C【解析】【知识点】样本的数据特征茎叶图【试题解析】由题知：所以m 可以取：0，1，2．故答案为：C 10．【答案】B.【解析】2323()4()()44()a b ab a b ab ab -=⇒+=+，故11a b a b ab++≤⇒≤2322()44()1184()82()()a b ab ab ab ab ab ab ab ab++⇒≤⇒=+≤⇒+≤，而事实上12ab ab +≥=， ∴1ab =，∴log 1a b =-，故选B.二、填空题11．【答案】4π 【解析】考点：1、余弦定理及三角形面积公式；2、两角和的正弦、余弦公式及特殊角的三角函数.1【方法点睛】本题主要考查余弦定理及三角形面积公式、两角和的正弦、余弦公式及特殊角的三角函数，属于难题.在解与三角形有关的问题时，正弦定理、余弦定理是两个主要依据.一般来说 ,当条件中同时出现ab 及2b 、2a 时，往往用余弦定理，而题设中如果边和正弦、余弦函数交叉出现时，往往运用正弦定理将边化为正弦函数再结合和、差、倍角的正余弦公式进行解答，解三角形时三角形面积公式往往根据不同情况选用下列不同形式111sin ,,(),2224abc ab C ah a b c r R++.12．【答案】⎛ ⎝⎭【解析】13．【答案】5 12【解析】14．【答案】（，）．【解析】解：设C（a，b）．则a2+b2=1，①∵点A（2，0），点B（0，3），∴直线AB的解析式为：3x+2y﹣6=0．如图，过点C作CF⊥AB于点F，欲使△ABC的面积最小，只需线段CF最短．则CF=≥，当且仅当2a=3b时，取“=”，∴a=，②联立①②求得：a=，b=，故点C的坐标为（，）．故答案是：（，）．【点评】本题考查了圆的标准方程、点到直线的距离公式、三角形的面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．512315．【答案】【解析】16．【答案】【解析】延长EF交BC的延长线于P，则AP为面AEF与面ABC的交线，因为，所以为面AEF与面ABC所成的二面角的平面角。

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又 BH 平面 PAB ， CF 平面 PAB , （一个都没写的，则这 1 分不给）所以 CF 平面 PAD . ……………………4 分（Ⅱ）因为梯形 ABCD 中， AD BC ， AD AB , 所以 BC AB .
因为 PB 平面 ABCD ，所以 PB AB，PB BC ,
如图，以 B 为原点， BC, BA, BP 所在直线为 x, y, z 轴建立空间直角坐标系, …………….5 分
所以 C(1,0,0), D(3,3,0), A(0,3,0), P(0,0,3) .
设平面 BPD 的一个法向量为 n ( x, y, z) ，平面 APD 的一个法向量为 m (a,b, c) ,
的是
A. m 1,n 1 B. m 4,n 1 C. m 3,n 4 D. m 4,n 4
二、填空题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。
13．已知命题 p： x∈R 有 sinx 1，则﹁p 为 ___ .
-2-
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A.15 个
B. 25 个 C. 30 个 D. 35 个
6．已知函数
f
(x)
x 1, x 2, 2 loga x, x
2
(a
0且a
1) 的最大值为1,则 a 的取值范围是
A．[1 ,1) 2
B． (0,1)
C． (0, 1] 2
D． (1, )
-1-
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三、解答题（17--21 题每题 12 分、22 题 10 分，共 70 分。解答应写出文字说明、演算步骤
或证明过程。）
17. （本小题满分 12 分）
已知函数 f (x) 2 2 cos x sin(x π ) 1 . 4
（Ⅰ）求函数 f (x) 的最小正周期；
（Ⅱ）求函数 f (x) 在区间 [ π ，π ] 上的最大值与最小值的和. 12 6
A. 3
B. 2
C. 1
D. 3
4.某程序框图如图所示，执行该程序，若输入的 a 值为 1，
则输出的 a 值为
A.1 B. 2
C. 3
D. 5
5.已知数列 A : a1, a2 , a3, a4 , a5 ，其中 ai {1, 0,1},i 1, 2, 3, 4,5 ,
则满足 a1 a2 a3 a4 a5 3 的不同数列 A 一共有
3 （Ⅱ）求二面角 B PD A 的大小；（Ⅲ）在线段 PD 上是否存在一点 M ，使得 CM PA ? 若存在，求出 PM 的长；若不存在，说明理由.
-3-
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20. （本小题满分 12 分）
的
一个“友好”三角形.
(i) 在满足下述条件的三角形中，存在“友好”三角形的是_：（请写出符合要求的条件的序
号）
① A 90 , B 60 ,C 30 ； ② A 75 , B 60 ,C 45 ；③ A 75 , B 75 ,C 30 .
(ii)若等腰△ABC 存在“友好”三角形，则其顶角的度数为___.
题号
13
14 15
16
答案
x R， sin x 1 6 2 3 ②； 45
三、解答题: 本大题共 6 小题，共 70 分. 17．（本小题共 12 分）解：（Ⅰ）因为 f (x) 2 2 cos x sin(x π ) 1
4 2 2 cos x[ 2 (sin x cos x)] 1 ………………….1 分
（Ⅱ）因为 x [ π ，π ]，所以 2x [ π，π ] ，所以 (2x π ) [ π ，π ] . ………….8 分
12 6
63
4 12 12
当 2x π π 时，函数 f (x) 取得最小值 2 sin( π ) ; …………….9 分
4 12
12
当 2x π π 时，函数 f (x) 取得最大值 2 sin π , …………………….10 分
因为 PD (3,3,3), BP (0,0,3),
所以
PD n BP n
0 0
，即
3x 3z
3y 0
3z
0
，
取 x 1 得到 n (1,1,0) ,
-6-
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同理可得 m (0,1,1) , ……………….7 分
AB CC1 3AA1 ，则多面体 ABC A1B1C1 在平面 A1 ABB1 上的投影的面积为
A. 27 4
B. 9 2
C. 9
D. 27 2
12. 已知正方体 ABCD A' B'C ' D' ，记过点 A 与三条直线 AB, AD, AA' 所成角都相等的直线条
数为 m , 过点 A 与三个平．面．AB ', AC, AD ' 所成角都相等的直线的条数为 n ，则下面结论正确
所以
PA
CM
9
3(3
3
)
0
，解得
1
,
2
所以存在点 M ，且 PM 1 PD 3 3 . ……….12 分
2
2
20.（本小题共 12 分）
21．（本小题共 12 分）解：（Ⅰ）
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x y+2 0,
7.
若
x,
y
满足
x
y 4 0, 则 z
y 2 | x | 的最大值为
y 0,
A. 8
B. 4
C.1
8．同时具有性质: “①最小正周期是；
D. 2 ②图象关于直线 x 对称；
3
③在区间
5 6
,
上是单调递增函数”
因为 0o<A<180o,所以 A 60o . ------------7 分
（Ⅱ）由余弦定理得： 21 25 c2 5c ，即 c2 5c 4 0 .--------------10 分
解得 c 1 和 c 4 ，
经检验 1，4 都是解，所以 c 的值是 1 和 4. -----------------12 分
18. （本小题满分 12 分）设△ABC 的内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，且 a cosC 1 c b . 2
（Ⅰ）求角 A 的大小；
（Ⅱ）若 a 21 ， b 5 ,求 c 的值.
19. （本小题满分 12 分）如图，在四棱锥 P ABCD 中， PB 底面 ABCD ，底面 ABCD 为梯形， AD BC ， AD AB ，且 PB AB AD 3, BC 1 . （Ⅰ）若点 F 为 PD 上一点且 PF 1 PD ，证明： CF 平面 PAB ；
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一、选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 60 分.
题号 1
2
3
4
5
6
7
8
9 10 11 12
答案 A A
D
C
A
A
D
DA
A
A
D
二、填空题:本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.
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得： sin AcosC 1 sin C sin B ， 2
------------------2 分
化简 sin AcosC 1 sin C sin( A C) 2
-----------------4 分
解得： cos A 1 ， -----------------6 分 2
（Ⅱ）求证：当 0 k 1时，关于 x 的不等式 f (x) 1 在区间 [1,e] 上无解.（其中 e 2.71828 ）
22. （本小题满分 10 分）若实数数列 {an} 满足 an2 an1 an (n N*) ，则称数列{an} 为“ P 数列”. （Ⅰ）若数列 {an}是 P 数列，且 a1 0, a4 1 ，求 a3 ， a5 的值； (Ⅱ) 求证：若数列{an} 是 P 数列，则{an}的项不可能全是正数，也不可能全是负数； (Ⅲ)若数列{an}为 P 数列，且 {an}中不含值为零的项，记{an} 前 2016 项中值为负数的项的个数为 m ，求 m 所有可能取值.
4 12
12
因为 2 sin( π ) 2 sin( π ) 0 ,
12
12
所以函数 f (x) 在区间 [ π ，π ] 上的最大值与最小值的和为 0 . ……………….12 分 12 6
18.（本小题共 12 分）解：（Ⅰ）由正弦定理及 a cosC 1 c b 2
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B. bn 3n1
C. bn 2n2 D. bn 3n2
10.
“x
0 ”是“ x2
1 x2
2 ”的
A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件
C. 充分必要条件
D. 既不充分也不必要条件
11．如图， △ABC 为正三角形， AA1 / /BB1 / /CC1 ， CC1 底面 ABC，若 BB1 2 AA1 2 ，
14. 已知等比数列 an 的公比为 2 ，若 a2 a3 4 ，则 a1 a4 ___ .