第01章习题分析与解答

第一章质点运动学习题解答1-1质点作曲线运动,在时刻质点的位矢为,速度为,速率为,在至时间内的位移为, 路程为, 位矢大小的变化量为( 或称),平均速度为,平均速率为．(1) 根据上述情况,则必有( B )习题1-1图(A)(B) ，当时有(C) ，当时有(D) ，当时有(2) 根据上述情况,则必有( C )(A) ，(B) ，(C) ，(D) ，1-2一运动质点在某瞬时位于位矢的端点处,对其速度的大小有四种意见,即(1)；(2)；(3)；(4)．下述判断正确的是( D )(A) 只有(1)(2)正确(B) 只有(2)正确(C) 只有(2)(3)正确(D) 只有(3)(4)正确1-3质点作曲线运动,表示位置矢量,表示速度,表示加速度,表示路程,表示切向加速度．对下列表达式,即(1)；(2) ；(3) ；(4) 。

下述判断正确的是( D )(A) 只有(1)、(2)是对的(B) 只有(3)、(4)是对的(C) 只有(2)是对的(D) 只有(3)是对的1-4一个质点在做圆周运动时,则有( B )(A) 切向加速度一定改变,法向加速度也改变 (B) 切向加速度可能不变,法向加速度一定改变 (C) 切向加速度可能不变,法向加速度不变 (D) 切向加速度一定改变,法向加速度不变 1-5 一质点沿轴运动，其坐标与时间的关系为，则该质点速度方向沿轴正向的时间区间为( A )。

(A) (B) (C) (D)1-6 质点的运动方程为，则质点在秒时到原点的距离为m ，速度矢量为m/s 。

1-7 一质点做半径为、周期为的匀速率圆周运动，试问经过四分之一周期的时间间隔内，质点所发生的位移的大小是（ ），走过的路程是（ ）。

1-8 已知质点以初速度、加速度作直线运动（），则速度与时间的关系式为（）。

1-9 一质点沿半径米的圆周运动，其所走路程与时间的关系为，则在秒时速率为（），切向加速度的值为（）。

1-10 飞机驾驶员想往正北方向航行，而风以的速度由东向西刮来，如果飞机的航速(在静止空气中的速率)，试问驾驶员应取什么航向？飞机相对于地面的速率为多少？试用矢量图说明。

解：设下标A 指飞机，F 指空气，E 指地面。

由题可知：v FE =60 km/h 正西方向。

v AF =180 km/h 方向未知v AE 大小未知， 正北方向 由相对速度关系有：FE AF AE υυυϖϖϖ+=AE υϖ、AF υϖ、FE υϖ构成直角三角形，可得：习题1-11图00410 20 2 6()()h km FE AF AE /17022=-=υυυϖϖϖ；()014.19==-AE FE tg υυθ1-11 如图，一人用绳拉一辆位于高出地面的平台上的小车在水平地面上奔跑，已知人的速度u 为恒量，绳端与小车的高度差为h 。

设人在滑轮正下方时开始计时，求t 时刻小车的速度和加速度。

分析：根据图可知绳的变化与人运动的时间有关。

在任何时刻t,绳、人距离墙的距离和高度h 满足：2222l t u h =+由于绳长对时间一阶导数就是小车的速率，因此可对上式进行求导得到速度（速率），速度求导得到加速度。

解：由2222l t u h =+可求出()22ut h l +=。

上式对时间求一阶导数：()222ut h t u dtdl+==υ上式再求导：1-12 一质点沿轴方向作直线运动,其速度与时间的关系如习题图1-12所示．设时,．试根据已知的图，画出图以及图。

分析 根据加速度的定义可知,在直线运动中v -t 曲线的斜率为加速度的大小(图中AB 、CD 段斜率为定值,即匀变速直线运动；而线段BC 的斜率为0,加速度为零,即匀速直线运动)．加速度为恒量,在a -t 图上是平行于t 轴的直线,由v -t 图中求出各段的斜率,即可作出a -t 图线．又由速度的定义可知,x -t 曲线的斜率为速度的大小．因此,匀速直线运动所对应的x -t 图应是一直线,而匀变速直线运动所对应的x –t 图为t 的二次曲线．根据各段时间内的运动方程x ＝x (t ),求出不同时刻t 的位置x ,采用描数据点的方法,可作出x -t 图．解 将曲线分为AB 、BC 、CD 三个过程,它们对应的加速度值分别为20 4 1 10 10 202 6AB CD 习题1-12图2s m 20-⋅=--=AB AB AB t t a v v (匀加速直线运动)0=BC a (匀速直线运动) 2s m 10-⋅-=--=CD CD CD t t a v v (匀减速直线运动)根据上述结果即可作出质点的a -t 图［图(B)］．在匀变速直线运动中,有2021t t x x ++=v由此,可计算在0～2ｓ和4～6ｓ时间间隔内各时刻的位置分别为用描数据点的作图方法,由表中数据可作0～2ｓ和4～6ｓ时间内的x -t 图．在2～4ｓ时间内, 质点是作1s m 20-⋅=v 的匀速直线运动, 其x -t 图是斜率k ＝20的一段直线［图(c)］．1-13 一质点P 沿半径R ＝3.0m 的圆周作匀速率运动,运动一周所需时间为20.0s ，设t ＝0时，质点位于O 点。

按习题1-13(a )图中所示Oxy 坐标系，求(1) 质点P 在任意时刻的位矢；(2)5 s 时的速度和加速度。

分析 该题属于运动学的第一类问题,即已知运动方程r ＝r (t )求质点运动的一切信息(如位置矢量、位移、速度、加速度)．在确定运动方程时,若取以点(0,3)为原点的O′x′y′坐标系,并采用参数方程x′＝x′(t )和y′＝y′(t )来表示圆周运动是比较方便的．然后,运用坐标变换x ＝x 0 ＋x ′和y ＝y 0 ＋y ′,将所得参数方程转换至Oxy 坐标系中,即得Oxy 坐标系中质点P 在任意时刻的位矢．采用对运动方程求导的方法可得速度和加速度．解 (1) 如图(B)所示,在O′x′y′坐标系中,因t Tθπ2=,则质点P 的参数方程为 t T R x π2sin =', t TR y π2cos -='坐标变换后,在O x y 坐标系中有t T R x x π2sin='=, R t TR y y y +-=+'=π2cos 0 则质点P 的位矢方程为习题1-13图j i r ⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+=R t T R t T R π2cos π2sinj i )]π1.0(cos 1[3)π1.0(sin 3t t -+=(2) 5ｓ时的速度和加速度分别为j j i r )s m π3.0(π2sin π2π2cos π2d d 1-⋅=+==t TT R t T T R t v 1-14 一质点在半径为R 的圆周上以恒定的速率运动,质点由位置A 运动到位置B,OA 和OB 所对的圆心角为Δθ。

(1)试证位置A 和B 之间的平均加速度为；(2) 当Δθ分别等于90°、30°、10°和1°时,平均加速度各为多少？并对结果加以讨论。

分析 瞬时加速度和平均加速度的物理含义不同,它们分别表示为td d v=a 和tΔΔv=a ．在匀速率圆周运动中,它们的大小分别为R a n 2v =,t a ΔΔv = ,式中｜Δv ｜可由图(B)中的几何关系得到,而Δt 可由转过的角度Δθ 求出．由计算结果能清楚地看到两者之间的关系,即瞬时加速度是平均加速度在Δt →0 时的极限值．解 (1) 由图(b)可看到Δv ＝v 2 -v 1 ,故θΔcos 2Δ212221v v v v -+=v)Δcos 1(2θ-=v而vv θR s t ΔΔΔ==所以θR θt a Δ)cos Δ1(2ΔΔ2v -==v (2) 将Δθ＝90°,30°,10°,1°分别代入上式, 得R a 219003.0v ≈,R a 229886.0v ≈R a 239987.0v ≈,Ra 24000.1v ≈以上结果表明,当Δθ→0 时,匀速率圆周运动的平均加速度趋近于一极限值,该值即为法(a )(b )习题1-14图向加速度R2v ．1-15 一质点在半径为0.10m 的圆周上运动,其角位置为,式中θ的单位为rad ，t的单位为s 。

(1) 求在t ＝2.0s 时质点的法向加速度和切向加速度。

(2) 当切向加速度的大小恰等于总加速度大小的一半时，θ值为多少？ (3) t 为多少时，法向加速度和切向加速度的值相等？解:(1) 由题意，得则质点的切向加速度和法向加速度分别为则 t =2.0s 时，切向加速度和法向加速度分别为(2) 由题意知 由 ,可得将式(1)、(2) 代入上式得此时角位置为(3) 要使 ,且 ;可得到414424Rt Rt =,最后 2d 12d t t θω==d 24d t t ωα==(1)RtR a t 24==α(2)42144Rt R a n ==ω2240.1 2.0 4.8m s α-==⨯⨯=⋅t a R 22220.1(12 2.0)230.4m s ω-==⨯⨯=⋅n a R 222n t ta a a a +==22nt a a =3324 3.15rad t θ=+=3213=t Rt R a t 24==αn t a a =42144Rt R a n ==ω0.55st =。