二次根式四则运算
二次根式的概念与运算
二次根式的概念与运算二次根式是高中数学中的重要概念之一，它代表着一个数的平方根。
在本文中，我将详细介绍二次根式的概念以及如何进行运算。
一、二次根式的概念二次根式是指形如√a的数，其中a为一个非负实数。
在二次根式中，根号下的数字被称为被开方数。
它可以是一个正整数、零或者一个正小数。
对于正整数和零，我们可以直接求出它们的平方根；对于正小数，我们可以通过近似值来表示。
例如，√9 = 3，表示9的平方根为3。
同样地，√16 = 4，表示16的平方根为4。
而对于非完全平方数，我们可以将其表示为无理数，如√2、√3等。
二、二次根式的化简在运算中，我们常常需要对二次根式进行化简。
化简的过程就是将二次根式写成最简形式，使得根号下的数字没有约数，且没有分母中有根号的情况。
例如，对于√8，我们可以将其化简为2√2；而对于√18，我们可以化简为3√2。
化简的方法是找出被开方数的所有因数，将其中的平方数提取出来，剩余的非平方数放在根号下。
需要注意的是，我们只能将整数的平方数提取出来，不能将分数的平方数提取出来。
例如，对于√(3/4)，我们不能化简为(√3)/2。
三、二次根式的四则运算在数学中，我们常常需要对二次根式进行加、减、乘、除的运算。
下面我将分别介绍这些运算的方法。
1. 加减运算对于二次根式的加减运算，我们首先要保证被开方数相同，然后将它们的系数相加或相减。
例如，√2 + 2√2 = 3√2；√3 - √3 = 0。
2. 乘法运算对于二次根式的乘法运算，我们将它们的系数相乘，同时将根号下的数字相乘。
例如，2√3 * 3√2 = 6√6；(√5 + √3)(√5 - √3) = 5 - 3 = 2。
3. 除法运算对于二次根式的除法运算，我们将被除数和除数的系数相除，同时将根号下的数字相除。
例如，(4√2)/(2√2) = 4/2 = 2；(√6)/(√3) = √2。
需要注意的是，在除法运算中，如果除数有根号，则我们需要乘以其共轭形式，以消去根号。
二次根式的四则混合运算 课件ppt18张PPT学案
新知讲解
例3 化简
12 -
1 3
-
1
1 3
上面的二次根式是否还可以化简？
解：原式=
22 3
3 32
2 31 32 33
43 32
3
能否适用合并同类项的 方法进行合并？
新知讲解
2
3
1 3
3
2 3
3
(2
1
2 )
33
3
=
3
这三个式子叫做什么？
像2 3； 1 3； 2 3 这样，几个二次根式化成最简二次根式以后，如 33
果被开方数相同，这几个二次根式就叫做同类二次根式 .
新知讲解
于是我们得到：二次根式的加减运算: （1）把算式中的每一个二次根式先化成最简二次根式； （2）合并同类二次根式.
归纳: 1.二次根式加减之前，应先化简二次根式；再把所含二次根式完全相同 的合并成一项. 2.在二次根式加减(或其它运算)时，把根号前的乘数看作它的系数. 如 2 6 中的2就看作 6 的系数.
1.3.2 二次根式的四则混合运算
浙教版 八年级下
新知导入
二次根式的乘法法则是怎样的？
a× b= ab（a≥0，b≥0） 二次根式的除法法则是怎样的？
a ＝
a （a ≥0，b＞0）
b
b
新知导入
计算 （1） 3x+2x
（2） 3x-2x
（3） 3 2 2 2 （4） 3 2-2 2
以前我们学过的整式运算的法则和方法也适用于二次根式的运算。 例如，在二次根式的加减运算时，类似于合并同类项，我们可以把 被开方数相同的二次根式进行合并。
中考链接
7.（2019·广安）下列运算正确的是（ D ）
二次根式四则运算
二次根式的四则运算同学们，我们已经学习了实数、整式、分式的混合运算，掌握了它们的运算顺序及运算法则。
本节课我们将一起来学习二次根式的四则运算。
（PPT1）二次根式的四则运算顺序与实数、整式、分式的混合运算顺序一样，先算乘方，再算乘除，最后算加减，有括号的先算括号内的，但对于二次根式运算的最后结果一定要化成最简二次根式。
下面我们来看几个具体的例子例1计算下列各式：（1；（2）最后把它化成最简二次根式得.通过本小题的运算，我们要注意乘法分配律在二次根式的运算中都是适用的。
，然后把它化成最简二次根式得5．通过例1的学习，我们在做二次根式的四则运算的时首先要注意运算的顺序，其次是要注意运算律的应用，最后的结果若有二次根式的话一定要化成最简二次根式。
我们一起来看例2例2 计算：我们要做这个运算，方法1可以利用多项式的乘法法则进行展开，-所以最后结得1848果为－30多项式的乘法法则在二次根式的运算中仍然适用方法2：所以可利用整式乘法公式进行计算得22-＝18－48＝－30所以特别对具有整式乘法公式形式的二次根式的四则运算可灵活运用乘法公式，这样能达到简便运算的效果。
拓展提高（1）通过本题的运算我们发现在做二次根式的运算时，有时要合理巧妙的使用乘法公式。
总结：通过本节课的学习我们可以发现：（1）以前学过的运算法则在二次根式的四则运算中依然成立；（2）二次根式的四则运算与整式的运算非常类似，即运算性质和运算律是一致的，体现了数式通性的特点； （3）计算结果最后一定要化成最简二次根式。
知识点1 利用运算律进行二次根式的四则运算几种常见的类型：（1000)a b c ，，≥≥≥型，可类比单项式乘多项式运算法则进行运算； 2015201622)(3)-（2）0000)a b c d ，，，≥≥≥≥型，可类比多项式乘以多项式运算法则进行运算；（3）000)a b c >，，≥≥型，可类比多项式除以单项式运算法则进行运算．知识点2 利用整式乘法公式进行二次根式的四则运算几种常见的类型：（1）a b ≥0，≥0)型，类比平方差公式进行运算；（2）2(00a b ≥≥，）型，类比完全平方公式进行运算．（2）；（2）34+-＝1；（1）(5；（2）2；解：（1）(5＝225- ＝25－7＝18；（2）2＝222-⨯＝122-＝14-。
冀教版数学八年级上册 二次根式的四则运算
a2b ab2 4 2 . ，
4.计算下列各式：
1
2
80 6
2 3
2
40 2
;
解：原式 2 80 2 6 2 1 20
32
4 10 2 2 6 5 4 10 4 3 5;
2 5 62 5;
解：原式 5 2
2
5 626 5
2 5 5 12 6 5 7 4 5;
1 2
2
2
5
3
2
2
1 20 18 1.
2
课堂小结
二次根式的混合运算 与数、整式和分式的混合运算一样，二次根式的混合运算，
也应该先算__乘__除___，后算_加__减__;有括号时，先算括__号__内__的.
乘法公式的运用
2
2
2
a b a 2 a b b
2
2
5 2
A
5 3
的结果是
2
A.
B.
C.
4.已知等腰三角形的两边长分别为2 3 5 2
D和.
，则这个等B腰三角形的周长为（ ）
A. 4 3 5 2
2 3 10 2
B.
C. 4 3 10 2
4 3 10 2 2 3D.10 2
或
5.计算：
1 2 8 3
4
1 3 27
75;
2
1 2
24
0.5 2
3 20 3 32 5 27 .
解：原式 2 5 3 32 5 3 3
2
2
2 5 3 3 20 27 7.
5.化简下列各式：
1 1 ;
5 2
解：
5 2
5 2 5 2;
二次根式
二次根式【知识回顾】1.二次根式：式子a （a ≥0）叫做二次根式。
满足两个条件：一、有二次根号；二、被开方数是非负实数 2.二次根式的性质：（1）（a ）2=a （a ≥0）； （2）==a a23.二次根式的四则运算：（1）乘法：a ·b =ab （a ≥0，b ≥0） （2）除法：ba b a=（a ≥0，b ≥0） 若除得的商的被开方数中含有完全平方数（式），应对其进行化简成最简二次根式，即1、被开方数中不含分母；2、被开方数中不含能开得尽方的因数或因式（3）加减：先将二次根式化成最简二次根式，对被开方数相同的的二次根式进行相加减（合并同类项）4、常见考点：求平方根、立方根；二次根式的定义；二次根式的性质；二次根式的运算法则；二次根式的化简；二次根式的运算考点1： 平方根、立方根 相关知识：1．任何非负数都有平方根：正数有两个平方根，它们互为相反数，正数a 的平方根表示为a ±；0的平方根为0；负数没有平方根.2．非负数a 的非负平方根叫做算术平方根，表示为a .3．正数有一个正的立方根，负数有一个负的立方根，0的立方根为0. 任何数a 的立方根表示为3a .相关试题1. （2011内蒙古乌兰察布，1，3分）4 的平方根是（ ） A . 2 B . 16 C. ±2 D .±16 【答案】C2 .（2011湖南怀化，1，3分）49的平方根为A ．7 B.－7 C.±7 D.±7 【答案】Ca （a ＞0）a -（a ＜0）0 （a =0）；3 （2011山东日照，1，3分）(－2)2的算术平方根是（ ）（A ）2 （B ） ±2 （C ）－2 （D ）2 【答案】A4. （2011江苏泰州，9，3分）16的算术平方根是 ． 【答案】45. （2011江苏盐城，9，3分）27的立方根为 ▲ ． 【答案】36. (2011江苏南京，1，2分)9的值等于A ．3B ．－3C ．±3D ．3【答案】A7 .（2011江苏南通，3，3分）计算327的结果是 A ．±33 B. 33 C. ±3 D. 3【答案】D.8. （2011江苏无锡，11，2分）计算：38 = ____________． 【答案】29 .（2011浙江杭州，1，3）下列各式中，正确的是（ ）A ． 2(3)3-=-B ．233-=-C ．2(3)3±=±D ．233=± 【答案】B10. （2011广东茂名，12，3分）已知：一个正数的两个平方根分别是22-a 和4-a ，则a 的值是 ．【答案】2考点2： 二次根式的定义相关知识：一般地，形如a （a ≥0）的代数式叫做二次根式。
16.3.2二次根式四则混合运算
学习目标
理解二次根式四则混合运 算的运算顺序并会正确运用.
自学指导
认真看课本P14练习前，重点看例3、4 的解题格式和步骤，总结二次根式混合运 算的顺序是什么,思考对结果有什么要求； 注意“书签”中的内容. 6分钟后比谁能熟 背二次根式混合运算的运算顺序，会仿照 例题做对检测题. 如有疑难，可以小声问同学或举手问 老师.
检测
必做题：P14 练习 1、2 1 选做题：计算 12 75 3 3 48 的结果 是（ ） 4 3（C） （A）6 （B） 2 3 （ 6 D）12要求：来自1、8分钟内独立完成.
2、仿照例题，书写工整.
（比谁做得又对又快，先做完的举手示意）
课堂作业
必做题：P15 选做题：P15 4、6 7
二次根式的运算
二次根式的运算在数学中，我们常常遇到二次根式的运算问题。
二次根式是指形如√a的数，其中a表示一个非负实数。
本文将详细介绍二次根式的加减乘除运算规则，并给出一些实例进行演示。
一、二次根式的加减运算对于两个二次根式的加减运算，我们需要保证它们的根数和被开方数相同。
下面是二次根式加减的基本规则：规则1：根号下的数相同，即根数和被开方数相同，才能进行加减运算。
规则2：二次根式加减运算时，只需对根号下的数进行加减运算，根号不变。
规则3：运算结果保持根号下的数不变，即根号下的数仍然是二次根式。
例如：（1）√2 + √3 = √2 + √3，因为根号下的数不同，无法进行运算。
（2）2√5 - 3√5 = （2 - 3）√5 = -√5，因为根号下的数相同，可以进行运算。
二、二次根式的乘法运算二次根式的乘法运算是指两个二次根式相乘的过程。
下面是二次根式乘法的基本规则：规则1：二次根式乘法运算时，只需对根号下的数进行乘法运算，根号不变。
规则2：运算结果保持根号下的数不变，即根号下的数仍然是二次根式。
例如：（1）√2 × √3 = √(2 × 3) = √6，根号下的数相乘得到新的根号下的数。
（2）2√5 × 3√5 = （2 × 3）√(5 × 5) = 6√25 = 30，根号下的数相乘得到新的根号下的数，但是根号下的数不变。
三、二次根式的除法运算二次根式的除法运算是指两个二次根式相除的过程。
下面是二次根式除法的基本规则：规则1：二次根式除法运算时，只需对根号下的数进行除法运算，根号不变。
规则2：运算结果保持根号下的数不变，即根号下的数仍然是二次根式。
例如：（1）√6 ÷ √2 = √(6 ÷ 2) = √3，根号下的数相除得到新的根号下的数。
（2）6√25 ÷ 3√5 = （6 ÷ 3）√(25 ÷ 5) = 2√5，根号下的数相除得到新的根号下的数，但是根号下的数不变。
2.7二次根式的四则运算及混合运算 课件 2024--2025学年北师大版八年级数学上册
二次根式的加减法
一般地，二次根式加减时，可以先将二次根式化
方法
成最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式
进行合并
实质
实质
将被开方数相同的二次根式进行合并，只是把系
数相加减，根指数和被开方数不变
二次根式的加减运算可类比合并同类项来进行，
合并的依据是分配律
第二课时 二次根式的四则运算
பைடு நூலகம்
返回目录
归纳总结
考
读
［答案］ 解：（1）原式=2 +
（2）原式=
−
+
+ − = − .
=
返回目录
；
第二课时 二次根式的四则运算
返回目录
二次根式乘除法的应用
重 ■题型
难
3 的长方体，它的高为
例
现有一个体积为
120
cm
题
型
）
突 2 cm，长为 3 cm，则这个长方体的宽为 （
整式的形式.
第三课时 二次根式的混合运算
考
点
清
单
解
读
对点典例剖析
典例
计算：
（1） ×( + ) ；
（2） −
+ ÷ .
返回目录
第三课时 二次根式的混合运算
返回目录
［解题思路］（1）类比单项式乘多项式；（2）既可按
考
点
清 二次根式混合运算的顺序计算，也可将除法转化为乘法后，
型
突
破
第二课时 二次根式的四则运算
返回目录
二次根式知识点总结大全
二次根式知识点总结大全二次根式是含有平方根的代数表达式，在高中数学中，学习和掌握二次根式的相关知识点是非常重要的。
下面是二次根式的知识点总结：一、二次根式的定义与性质1.定义：二次根式是形如√a的代数式，其中a为非负实数。
2.平方根的性质：a)非负实数的平方根是唯一的。
b)负实数不能作为平方根。
3.二次根式的性质：a)如果a≥0，则√a≥0。
即非负数的平方根是非负数。
b)如果a≥b≥0，则√a≥√b。
c)如果a>b≥0，则√a>√b。
二、二次根式的化简与运算1.化简二次根式：a) 利用化简公式√(ab) = √a · √b，可以将二次根式中的因数分解为二个较简单的二次根式。
b)利用化简公式√(a/b)=√a/√b，可以将二次根式中的因式进行有理化，即分子或分母有理化。
2.二次根式的四则运算：a)加减：对于同根号下的项，进行加减运算，其他项保持不变。
b)乘法：将同根号下的对应项相乘，其他项保持不变。
c)除法：将被除数和除数分别有理化后进行除法运算。
三、二次根式的大小比较1.二次根式的大小比较：a)在同号的情况下，二次根式的大小比较与内部的实数部分大小比较一致。
b)在异号的情况下，二次根式的大小比较与内部的实数部分的大小关系相反。
2. 已知ab≥0，√a ≥ √b的条件：a)若a≥0，b≥0，则√a≥√b。
b)若a<0，b<0，则√a≤√b。
c)若a<0，b≥0，则√a≤√b。
d)若a≥0，b<0，则√a≥√b。
四、求二次根式的值1.简单二次根式的值：如求√4的值等，可以直接得到结果。
2.复杂二次根式的值：如求√(2+√3)的值等，可以通过有理化的方法，先进行化简，再进行求值。
五、二次根式的应用1.几何应用：二次根式可以用来计算各种几何图形的边长、面积、体积等。
2.物理应用：在物理学中，二次根式可以用来求解力、速度、加速度等物理量。
3.经济应用：在经济学中，二次根式可以用来描述成本、效益等经济指标。
二次根式的四则混合运算
二次根式的四则混合运算二次根式的四则混合运算，听起来是不是有点高大上？别急，让我带你一块儿轻松一下，聊聊这个看似复杂，其实充满趣味的数学话题。
二次根式就是那些看上去像是“√”开头的东西，比如说√2、√3什么的。
咱们可以想象一下，数学就像个神秘的宝箱，里面藏着各种各样的珍宝，二次根式就是其中一种。
不过，宝箱的打开需要一些小技巧，那就是四则运算啦，嘿嘿，听起来是不是觉得有点期待？想象一下，假如你在厨房里准备做饭，突然发现没有调料，这可真是“无米之炊”啊！所以说，做数学题的时候，四则运算就像是调味料，少了可不行。
加法、减法、乘法、除法，这四样东西是咱们进行运算的基本功。
比如说，√2 + √2，这个就简单了，答案就是2。
多简单呀，感觉像是在和朋友聊天，唠唠嗑，轻松愉快！可一旦进入到更复杂的运算，比如说√3 + √12，这时候就有点意思了。
√12其实可以分解成2√3，所以再加上√3，最终的结果就变成了3√3。
真的是“小马过河”，一层层揭开谜底，感觉特棒！运算的时候偶尔也会碰到一些让人哭笑不得的情况。
比如说，遇到减法的时候，你会发现√5 √5这简直就是“自相残杀”。
一减就是零，搞得人心里还觉得“唉，怎么就没了呢？”但没关系，这种事情在数学的世界里很常见。
就像你在生活中，有时候想着想着就把某个东西忘了，结果一转身，原来就在你身边！所以呀，数学里也有这样的小插曲，让人感到亲切。
而乘法这件事呢，就像是把两个朋友放在一起，化学反应就是不一样。
比如说√2 × √8，这里就可以直接把根号里的数字乘起来，变成√16。
你可能会想，“那√16是什么？”没错，答案就是4！这样的运算真是让人觉得简单得像是在跳舞，动动脚步，轻松愉快！不过，得注意，乘法的时候不能随便变形，要遵循规矩，这就像打篮球，不能随便走步，不然就犯规了。
再来说说除法，这可是个让人捉摸不透的家伙。
有时候就像在玩捉迷藏，找着找着就找到了。
有个例子，假设你有√18 ÷ √2，想要算出结果，先把根号里的数进行除法，√(18/2) = √9。
二次根式的计算与性质
二次根式的计算与性质二次根式是数学中的一个重要概念，在许多数学问题的解答中经常涉及。
它的计算和性质具有一定的规律和特点。
本文将深入探讨二次根式的计算方法和性质，并结合实例进行说明。
一、二次根式的定义与基本性质二次根式是指形如√a的数，其中a为非负实数，是它的被开方数。
二次根式具有以下基本性质：1. 当a≥0时，二次根式有意义。
2. 当a＞0时，√a＞0。
3. 当a＞b≥0时，有√a＞√b。
4. 二次根式的平方等于被开方数本身。
二、二次根式的四则运算1. 二次根式的加减运算：对于二次根式√a与√b，满足以下运算规律：√a ± √b = √(a ± b)。
这意味着可以通过合并二次根式进行简化。
举例：（1）化简√8 + √2。
解：√8 + √2 = √(4 × 2) + √2 = 2√2 + √2 = 3√2。
2. 二次根式的乘法运算：对于二次根式√a与√b，满足以下运算规律：√a × √b = √(a × b)。
这意味着可以通过合并二次根式进行简化。
举例：（1）化简√3 × √5。
解：√3 × √5 = √(3 × 5) = √15。
3. 二次根式的除法运算：对于二次根式√a与√b，满足以下运算规律：√a ÷ √b = √(a ÷ b)。
这意味着可以通过合并二次根式进行简化。
举例：（1）化简√16 ÷ √4。
解：√16 ÷ √4 = √(16 ÷ 4) = √4 = 2。
三、二次根式的化简与有理化1. 化简二次根式：对于二次根式√a，可以通过确定a的因式分解式来进行化简。
举例：（1）化简√72。
解：√72 = √(2 × 2 × 2 × 3 × 3) = √(2^2 × 3^2) = 2√2 × 3 = 6√2。
2024八年级数学上册第二章实数7二次根式第2课时二次根式的四则运算习题课件新版北师大版
13
14
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18
19
5. [教材P44例4(1)变式](1)按照二次根式的乘法法则填空：
计算：2 ×(－
2
解：原式＝
－10
＝
1
2
3
×
).
(－1)
×
×
；
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
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19
(2)计算下列各题：
①－3 ×2 ；
②－4 ·5
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
14. [教材P44例4(4)变式]下列各数中，与2－ 的积不
．含
．二
次根式的是(
A
)
A. 2＋
B. 2－
C. －2
D.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
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19
15. 【新趋势·学科内综合】一个长方形的一条边的长是
18
19
12. 【新趋势·过程性学习】计算： ＋ ＋ .
解：原式＝3 ＋3 ＋5
①
＝8 ＋3
②
＝(8＋3) +
③
＝11 .
④
(1)以上解答过程中，从 ③
二次根式的四则运算
二次根式的四则运算知识梳理一、二次根式的乘除（1）积的算术平方根性质： b a b a •=•（a ≥0，b ≥0） （2）二次根式的乘法法则： b a b a •=•（a ≥0，b ≥0） （3）商的算术平方根的性质：bab a =（a ≥0，b ＞0） （4）二次根式的除法法则：b aba = （a ≥0，b ＞0） 二、分母有理化分母有理化是指把分母中的根号化去．分母有理化常常是乘二次根式本身（分母只有一项）或与原分母组成平方差公式． 三、同类二次根式的定义：一般地，把几个二次根式化为最简二次根式后，如果它们的被开方数相同，就把这几个二次根式叫做同类二次根式． 四、二次根式的（1）法则：二次根式相加减，先把各个二次根式化成最简二次根式，再把被开方数相同的二次根式进行合并，合并方法为系数相加减，根式不变． （2）步骤： ①如果有括号，根据去括号法则去掉括号．②把不是最简二次根式的二次根式进行化简． ③合并被开方数相同的二次根式．（3）合并被开方数相同的二次根式的方法：二次根式化成最简二次根式，如果被开方数相同则可以进行合并．合并时，只合并根式外的因式，即系数相加减，被开方数和根指数不变． 五、二次根式的混合运算（1）二次根式的混合运算是二次根式乘法、除法及加减法运算法则的综合运用．学习二次根式的混合运算应注意以下几点：①与有理数的混合运算一致，运算顺序先乘方再乘除，最后加减，有括号的先算括号里面的． ②在运算中每个根式可以看做是一个“单项式“，多个不同类的二次根式的和可以看作“多项式“．（2）二次根式的运算结果要化为最简二次根式．（3）在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．例题讲解例1.计算：（1）52⨯ （2）3221⨯ （3）8326⨯- （4）1052⨯⨯ 例2.化简（1）54⨯ （2）24 （3）()()4936-⨯- （4）()0,0424>>y x y x例3.计算下列各题 （1）312 （2）8123÷ （3）()72214-÷（4）531513÷（5）xyy 24针对练习1.已知()22-=-•a a a a 成立，则a 的取值范围是 .2.能使88-=-x xx x成立，则x 的取值范围是 . 3.化简下列二次根式：=90 =5.2=29 =3127a b ()=-≤++41682a a a 4.计算并化简（1）2863⨯ （2）6331227⨯⨯（3）322214÷- （4）()0113>÷a a bb a b a5.计算（1）6122÷⨯ （2）27121331⨯÷（3）32223513459⨯÷ （4）⎪⎪⎭⎫⎝⎛÷b a b b a 16.若a =5，b =17，则85.0的值用a ，b 可以表示为 . 7．先阅读下列的解答过程，然后作答：形如的化简，只要我们找到两个数a 、b 使a +b ＝m ，ab ＝n ，这样（）2+（）2＝m ，•＝，那么便有＝()2ba ±＝±（a ＞b ）例如：化简解：首先把化为，这里m ＝7，n ＝12； 由于4+3＝7，4×3＝12，即（）2+（）2＝7，•＝，∴＝＝()234+＝2+由上述例题的方法化简： （1）； （2）； （3）．例题讲解例4.计算 （1）2324+ （2）12273+-（3）x x x x 1246932-+ （4）⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-6813225.024例5.计算（1）⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--12814482 （2）()6342221⨯-例6.计算 （1）()62322+- （2）()()22322232---针对练习1．若最简二次根式与可以合并，则a＝．2．计算：2+++3﹣+（+5）﹣﹣+（+）（﹣）（）（2﹣3）÷（﹣）（+）+2 （）2﹣（2）（2）（1+）（）﹣（2）2 （）×﹣（）（）3.计算（1）()()322122-+ （2）()()201920182525+•-4.先化简，再求值：⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+xy y x x xy y x y x 364363，其中23=x ，27=y .5.已知()3521+=a ，()3521-=b ，求22b ab a ++ .。
二次根式的四则运算习题精选(含答案)
二次根式的四则运算习题精选一、选择题1．以下二次根式：①12；②22；③23；④27中，与3是同类二次根式的是（）．A．①和②B．②和③C．①和④D．③和④2．下列各式：①33+3=63；②177=1；③2+6=8=22；④243=22，其中错误的有（）．A．3个B．2个C．1个D．0个二、填空题1．在8、1753a、293a、125、323aa、30.2、-218中，与3a是同类二次根式的有________．2．计算二次根式5a -3b -7a +9b的最后结果是________．三、综合提高题1．已知5≈2.236，求（80-415）-（135+4455）的值．（结果精确到0.01）2．先化简，再求值．（6x yx +33xyy）-（4xxy +36xy），其中x=32，y=27．答案：一、1．C 2．A二、1．1753a 323aa2．6b -2a2．原式=6xy +3xy-（4xy +6xy）=（6+3-4-6）xy =-xy，当x=32，y=27时，原式=-3272⨯=-922第二课时一、选择题1．已知直角三角形的两条直角边的长分别为5和5，那么斜边的长应为（）．（•结果用最简二次根式）A．52B ．50C．25D．以上都不对2．小明想自己钉一个长与宽分别为30cm和20cm的长方形的木框，•为了增加其稳定性，他沿长方形的对角线又钉上了一根木条，木条的长应为（）米．（结果同最简二次根式表示）A．13100B ．1300C．1013D．513二、填空题1．某地有一长方形鱼塘，已知鱼塘的长是宽的2倍，它的面积是1600m2，•鱼塘的宽是_______m．（结果用最简二次根式）2．已知等腰直角三角形的直角边的边长为2，•那么这个等腰直角三角形的周长是________．（结果用最简二次根式）三、综合提高题1．若最简二次根式22323m-与212410n m--是同类二次根式，求m、n的值．2．同学们，我们以前学过完全平方公式a2±2ab+b2=（a±b）2，你一定熟练掌握了吧!现在，我们又学习了二次根式，那么所有的正数（包括0）都可以看作是一个数的平方，如3=（3）2，5=（5）2，你知道是谁的二次根式呢？下面我们观察：（2-1）2=（2）2-2·1·2+12=2-22+1=3-22反之，3-22=2-22+1=（2-1）2∴3-22=（2-1）2∴322-=2-1求：（1）322+；（2）423+；（3）你会算412-吗？（4）若2a b ±=m n ±，则m 、n 与a 、b 的关系是什么？并说明理由． 答案：一、1．A 2．C二、1．202 2．2+22三、1．依题意，得2223241012m m n ⎧-=-⎪⎨-=⎪⎩，2283m n ⎧=⎪⎨=⎪⎩，223m n ⎧=±⎪⎨=±⎪⎩ 所以223m n ⎧=⎪⎨=⎪⎩或223m n ⎧=-⎪⎨=⎪⎩或223m n ⎧=⎪⎨=-⎪⎩或223m n ⎧=-⎪⎨=-⎪⎩ 2．（1）322+=2(21)+=2+1所以a m nb mn =+⎧⎨=⎩第三课时一、选择题1．（24-315+2223）×2的值是（ ）． A ．2033-330 B ．330-233C ．230-233 D ．2033-302．计算（x +1x -）（x -1x -）的值是（ ）． A ．2 B ．3 C ．4 D ．1 二、填空题1．（-12+32）2的计算结果（用最简根式表示）是________．2．（1-23）（1+23）-（23-1）2的计算结果（用最简二次根式表示）是_______． 3．若x=2-1，则x 2+2x+1=________．4．已知a=3+22，b=3-22，则a 2b-ab 2=_________． 三、综合提高题1．化简5710141521++++2．当x=121-时，求2211x x x x x x ++++-++2211x x x x x x +-++++的值．（结果用最简二次根式表示）答案：一、1．A 2．D二、1．1-32 2．43-24 3．2 4．42二次根式的乘除 习题精选一、选择题1．下列计算正确的有（ ）①(4)(9)49(2)(3)6-⨯-=-⨯-=-⨯-=； ②494923=6-⨯=⨯=⨯()(-)；③225454543-=+⨯-=； ④222254541-=-=。
二次根式四则运算
2.7.2二次根式的 运算
初二（2）你准Βιβλιοθήκη 好了吗？化 简 ：24
1 2
48 75
学习目标
1.掌握二次根式的加减运 算法则、乘除运算法则； 2.能熟练运用二次根式的 运算法则进行简单的四则 计算.
一、乘法运算
自主学习（1）
例3.（1）（2）（3）
例4（1）
请同学们独立完成例题. 在解题过程中，你还有其他解题思路吗？ 展示一下你的方法.
今天你有什么收获？
1.类比思想，通过已知学习新知
2.运算法则，熟练应用规范解题
3.方法多样，要有依据灵活处理
做最优秀的自己！
24 - 6 3
15 3 5
2
1 40 - 5 10 10
( 6 5)
( 2 5) （- 2 5）
2 3 5
三、混合运算
自主学习（4）
例4.（2）（5）（6）
思考：二次根式运算中的运算顺序、运 算律的运用与整式有什么不同吗？ 请同学们独立完成例题.
你还有其他解题思路吗？说说看.
你能行！
27 12 3
4 ( 3 ) 6 3
问题 思考
1.两个有理数相加、相减、 相乘、相除，结果一定还 是有理数吗？ 2.两个无理数相加、相减、 相乘、相除，结果一定还 是有理数吗？
轻松尝试
12 6 3
1 3 3
( 20 1 ) 5 5
( 20
1 ) 5 5
5 7
右边等式成立吗？ 说说看！
( 20 1 5 5
8 4 2
自主学习（2）
例4.（3）（4）
思考： 这两道题具有什么特殊性？ 仿照例题编两个二次根式的计算 题，并解答。
二次根式的四则运算
二次根式的四则运算 姓 名一 基本概念：1.同类二次根式：几个二次根式化成 以后，如果被开方数相同，则这几个二次根式称为同类二次根式。
注意:几个同类二次根式在没有化简之前被开方数可以互不相同,如18182,但它们都是同类二次根式.例题1.（1）在根式1375150.2710832中是同类二次根式的有 （2）如果最简二次根式322b a b b a --+和是同类二次根式那么a= b = .2. 有理化因式： 两个含有二次根式相乘，如果它们的积不含有二次根式，那么这两个代数式叫做互为有理化因式。
常用的有理化因式是有: 32+与32-; 21-与21+3.分母有理化 在分母含有根号的式子中,把分母中的根号化去,叫做分母有理化分母有理化的方法:①利用分式的基本性质:分子与分母都乘以分母的有理化因式;②把分子分母分解因式,约去分母中含有二次根式的因式.例题: 1132(1)(2)(3)323621--+二．二次根式的加减法 :先把各个二次根式化成____________,再把同类二次根式分别合并,没有同类二次根式也要写在结果中.例题1: 1211(1)26324862366----32(2)439a b b ab a ab b b a ⎛⎫⎛⎫--+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭三．二次根式的混合运算（1）根据先乘方，后乘除，最后算加减的运算顺序进行运算。
如有括号，应按小、中、大括号的的运算顺序进行运算。
（2）运算律在二次根式的混合运算中同样适用。
例题1..运用乘法分配律运算 ①853627⎛⎫-⨯ ⎪ ⎪⎝⎭ ②38b b ab a a ⎛⎫+÷ ⎪ ⎪⎝⎭（3）乘法公式在实数范围内同样适用。
例题2运用乘方公式运算：。
①2(435)+ ② (23)(23)+-（4）分母有理化法 它的理论依据是：把分母或分子有理化，转化为分母相同或分子相同的分数进行比较。
例题3. 比较116286--与的大小四.二次根式化简和求值的常用方法(1)利用非负数的和为零的性质化简例题：1已知 22005550,()5x y xy ⎛⎫++-= ⎪ ⎪⎝⎭求的值(2)巧用条件化简 险要分母有理化例题：已知 223232,,33232a b a ab b +-==-+-+求的值(3)利用因式分解化简 例题：设33,a =- 求242313a a a a a a +-⎛⎫+÷ ⎪--+⎝⎭222a+1a 的值。
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二次根式的四则运算
同学们，我们已经学习了实数、整式、分式的混合运算，掌握了它们的运算顺序及运算法则。
本节课我们将一起来学习二次根式的四则运算。
（PPT1）
二次根式的四则运算顺序与实数、整式、分式的混合运算顺序一样，先算乘方，再算乘除，最后算加减，有括号的先算括号内的，但对于二次根式运算的最后结果一定要化成最简二次根式。
下面我们来看几个具体的例子
例1计算下列各式：
（1；（2）
最后把它化成最简二次根式得.
通过本小题的运算，我们要注意乘法分配律在二次根式的运算中都是适用的。
，然后把它化成最简二次根
式得5．
通过例1的学习，我们在做二次根式的四则运算的时首先要注意运算的顺序，其次是要注意运算律的应用，最后的结果若有二次根式的话一定要化成最简二次根式。
我们一起来看例2
例2 计算：
我们要做这个运算，方法1可以利用多项式的乘法法则进行展开，
-所以最后结得1848
果为－30
多项式的乘法法则在二次根式的运算中仍然适用
方法2：
所以可利用整式乘法公式进行计算得22
-＝18－48＝－30
所以特别对具有整式乘法公式形式的二次根式的四则运算可灵活运用乘法公式，这样能达到简便运算的效果。
拓展提高
（1）
通过本题的运算我们发现在做二次根式的运算时，有时要合理巧妙的使用乘法公式。
总结：
通过本节课的学习我们可以发现：
（1）以前学过的运算法则在二次根式的四则运算中依然成立；
（2）二次根式的四则运算与整式的运算非常类似，即运算性质和运算律是一致的，体现了
数式通性的特点； （3）计算结果最后一定要化成最简二次根式。
知识点1 利用运算律进行二次根式的四则运算
几种常见的类型：
（1000)a b c ，，≥≥≥型，可类比单项式乘多项式运算法则进行运算； 20152016
22)(3)-
（2）0000)a b c d ，，，≥≥≥≥型，可类比多项式乘以多项式运算法则进行运算；
（3）000)a b c >，，≥≥型，可类比多项式除以单项式运算法则进行运算．
知识点2 利用整式乘法公式进行二次根式的四则运算
几种常见的类型：
（1）a b ≥0，≥0)型，类比平方差公式进行运算；
（2）2(00a b ≥≥，）型，类比完全平方公式进行运算．
（2）；（2）
34+-＝1；
（1）(5；（2）2；
解：（1）(5＝225- ＝25－7＝18；
（2）2＝222-⨯＝122-＝14-。