MATLAB优化工具箱

x1 2 h A hctg X ch 其中设计变量： 管道截面积： x 64516 2
64516 c hctg h
64516 2h 64516 2 x1 hctg x1ctgx2 min s h sin x1 sin x 2
1 ，其中： 解：(1)将目标函数写成二次函数的形式 f ( X) 2 XT HX CT X
x1 X x 2 x 3
4 2 0 H 2 4 0 0 2 0
x1 , x2 , x3 0
0 C 0 1
针对具体工程问题建立优 化设计的数学模型
不等式约束条件表示成g(X)≥0的形式
建立目标函数文件
文件内容：必须的输入参数、描述目标函数表达式等 存储：以自定义的目标函数文件名存储在文件夹中 文件内容：必须的输入参数、约束函数表达式等 存储：以自定义的约束函数文件名存储在文件夹中
建立约束函数文件
建立调用优化工具函 数的命令文件
最 优 解
最 优 值
数变 数 目 向量 各 标 量系 维 函
初 始 点
可 选 项
二、例题
生产规划问题：某厂利用a,b,c三种原料生产A,B,C三种产品，已 知生产每种产品在消耗原料方面的各项指标和单位产品的利 润，以及可利用的数量，试制定适当的生产规划使得该工厂 的总利润最大。 生产每单位产品所消耗的原料 现有原料数 A→x1 B→x2 C→x3 量（千克） a b c 单位产品利润 （万元） 3 3x1 2 2x1 1 x1 2 2x1 4x + +4 + 1 3xx + +3 + 4 + 4x +
分析优化设计的数学模型，选择适用的优化工具函数 文件内容：初始点，设计变量的边界约束条件， 运算结果输出等内容 存储：以自定义的命令文件名存储于文件夹中。
将优化设计的命令文件复制到MATLAB命令窗口中进行运算求解。

模型输入时需要注意问题： （1） 目标函数最小化； （2） 约束非正； （3） 避免使用全局变量。
MATLAB优化工具箱
Optimization Toolbox
1.1 背景
一、优化工具箱简介

优化理论是一门实践性很强的学科。它被广泛 应用于生产管理、军事指挥和科学实验等各种 领域，如工程设计中的最优设计，军事指挥中 的最优火力配置问题等。优化理论和方法奠基 于20世纪50年代。

MATLAB的优化工具箱提供了对各种优化问题 的一个完整的解决方案。其内容涵盖线性规划， 二次规划、非线性规划、最小二乘问题、非线 性方程求解、多目标决策、最小最大问题、以 及半无限问题等的优化问题。其简洁的函数表 达、多种优化算法的任意选择、对算法参数的 自由设置，可使用户方便灵活地使用优化函数。
设置优化选项参数 初始点 目标函数 返回目标函数的最优值 返回目标函数的最优解
1.4.2函数fminsearch
2.例题：求解二维无约束优化问题 f(x)=(x14+3x12+x22-2x1-2x2-2x12x2 +6)的极小值。 解：(1)编制求解二维无约束优化问题的M文件。 %求解二维优化问题 fun='x(1)^4+3*x(1)^2+x(2)^2-2*x(1)-2*x(2)-2*x(1)^2*x(2)+6'; x0=[0,0]; %初始点 [xopt,fopt]=fminsearch(fun,x0) (2)讨论。 将目标函数写成函数文件的形式： %目标函数文件search.m function f=search(x) f=x(1)^4+3*x(1)^2+x(2)^2-2*x(1)-2*x(2)-2*x(1)^2*x(2)+6; 则命令文件变为： %命令文件名称为eg9_4.m x0=[0,0]; %初始点 [xopt,fopt]=fminsearch(@search,x0)
最 优 解
1 T X HX C T X 2
最 优 值
赛数 目 矩的 标 阵海 函
数次 数 目 向项 的 标 量系 一 函
初 始 点
可 选 项
二、例题
2 2 2x2 x 求解约束优化问题 f (X) 2x1 2 3 2x1x2 x3 s.t. g( X) x1 3x2 2x3 6 h( X) 2x1 x2 x3 4
运行结果： xopt = 1.0000 2.0000 fopt = 4.0000
1.4.3函数fminunc
附加参数
1.使用格式： [x,fval,exitflag,output,grad,hessian]=fminunc(@fun,x0,options,P1,P2…)
设置优化选项参数 初始点 调用目标函数的函数文件名 目标函数在最优解的海色矩阵
计算结果 截面高度h x(1)=192.9958mm 斜边夹角θ x(2)=60.0005度 截面周长s f=668.5656mm
[x,fval,exitflag,output,grad,hessian]=fminbnd(@fun,x0,options,P1,P2…)
1.4.3函数fminunc
2.例题： 解：(1)建立优化设计数学模型 (2)编写求解无约束非线性优化问题的M文件 (3)编写绘制一维函数图形的M文件
(2)编写求解二次规划的M文件： 结果 H=[4,-2,0;-2,4,0;0,0,2]; Aeq=[2,-1,1]; xopt=[2.571,1.143,0.000] beq=[4]; C=[0,0,1]; fopt=-16.4898 lb=zeros(3,1); A=[1,3,2]; [xopt,fopt]=quadprog(H,C,A,b,Aeq,beq,l b=[6]; b) [xopt, fopt]=quadprog( H, C, A, b, Aeq, beq, lb, ub, x0, options)
二、常用的优化功能函数

求解线性规划问题的主要函数是linprog。


求解二次规划问题的主要函数是quadprog。
求解无约束非线性规划问题的主要函数是fminbnd、fminunc
和fminsearch。

求解约束非线性规划问题的主要函数是fgoalattain和 fminimax。
三、一般步骤
1.3 二次规划问题
一、二次规划问题数学模型
1.研究意义： （1）最简单的非线性规划问题； （2）求解方法比较成熟。 决策变量 2.数学模型形式：
min f (X)
目标函数
s.t. AX≤b （线性不等式约束条件） 约 束 AeqX=beq （线性等式约束条件） 二次 条 件 函数 lb ≤X ≤ub （边界约束条件） 3.MATLAB中函数调用格式 [xopt, fopt]=quadprog(H,C, A, b, Aeq, beq, lb, ub, x0, options)
运行结果： xopt = 0.5223 fopt = 0.3974
(2)编制一维函数图形的M文件。 ezplot(fun,[0,10]) title('(x^3+cosx+xlogx)/e^x') grid on
1.4.2函数fminsearch
1.使用格式： [xopt,fopt]=fminsearch(fun,x0,options)
1.4 无约束非线性规划问题
无约束非线性规划问题的MATLAB函数有
fminbnd
只求解单变量问题 要求目标函数为连续函数
fminsearch
适用于简单优化问题 可求解单变量和多变量问题
fminunc
可求解复杂优化问题
1.4.1函数fminbnd
1.使用格式： [xopt,fopt]=fminbnd(fun,x1,x2,options)
主要函数
输入变量
输出变量
1.2 线性规划问题
一、线性规划数学模型
1.主要应用对象： （1）在有限的资源条件下完成最多的任务； （2）如何统筹任务以使用最少资源。 非负数 2.数学模型形式： 决策变量 min f TX 目标函数 s.t. AX≤b （线性不等式约束条件） 约 束 AeqX=beq （线性等式约束条件） 线 条 件 性 lb ≤X ≤ub （边界约束条件） 3.MATLAB中函数调用格式 [xopt, fopt]=linprog( f, A, b, Aeq, beq, lb, ub, x0, options)
2 2 2 2
2 2x3 ≤ 2 2x3 ≤ 2 2x3 ≤ 3 3x3
600 400 800 合计 1800千克
二、例题
解： 1.确定决策变量： 设生产A、B、C三种产品的数量分别是x1,x2,x3，决策变量： X=[x1,x2,x3]T 2.建立目标函数： 根据三种单位产品的利润情况，按照实现总的利润最大化， 建立关于决策变量的函数： 4.编制线性规划计算的M文件 5.M文件运行结果： max2x1+4x2+3x3 ’ f=[ - 2, - 4, -3] Optimization terminated 3.确定约束条件： 根据三种资料数量限制，建立三个线性不等式约束条件 A=[3,4,2;2,1,2;1,3,2]; successfully. b=[600;400;800]; 3x1+4x2+2x3≤600 xopt =0.0000 Aeq=[];beq=[]; 2x1+x2+2x3≤400 66.6667 x1+3x2+2x3≤800 lb=zeros(3,1); 166.6667 x1,x2,x3≥0 [xopt,fopt]=linprog(f,A,b,Aeq,beq,lb) ；fopt=-766.6667 [xopt, fopt]=linprog( f, A, b, Aeq, beq, lb, ub, x0, options)
设置优化选项参数 迭代搜索区间 目标函数 返回目标函数的最优值 返回目标函数的最优解
1.4.1函数fminbnd
2.例题： 求解一维无约束优化问题f(x)=(x3+cosx+xlogx/ex) 在区间[0,1]中的极小值。 解：(1)编制求解优化问题的M文件。 %求解一维优化问题 fun=inline(‘(x^3+cos(x)+x*log(x))/exp(x)’,‘x’);%目标函数 x1=0;x2=1;%搜索区间 [xopt,fopt]=fminbnd(fun,x1,x2)
x1
x2
1.4.3函数fminunc
64516 2x 1 2.例题： f ( X) x1ctgx 2 x1 sin x 2 解：(1)建立优化设计数学模型 (2)编写求解无约束非线性优化问题的M文件
目标函数的文件(sc_wysyh.m)： function f=sc_wysyh(x) %定义目标函数调用格式 a=64516;hd=pi/180; f=a/x(1)-x(1)/tan(x(2)*hd)+2*x(1)/sin(x(2)*hd); %定义目标函数 求最优化解时的命令程序： x0=[25,45]; %初始点 [x,Fmin]=fminunc(@sc_wysyh,x0); %求优语句 fprintf(1,'截面高度h x(1)=%3.4fmm\n',x(1)) fprintf(1,'斜边夹角θ x(2)=%3.4f度\n',x(2)) fprintf(1,'截面周长s f=%3.4fmm\n',Fmin)
xx1=linspace(100,300,25); xx2=linspace(30,120,25); [x1,x2]=meshgrid(xx1,xx2); a=64516;hd=pi/180; f=a./x1-x1./tan(x2*hd)+2*x1./sin(x2*hd); subplot(1,2,1); h=contour(x1,x2,f); clabel(h); axis([100,300,30,120]) xlabel('高度 h/mm') ylabel('倾斜角\theta/(^{。})')
返回目标函数在最优解的梯度 优化算法信息的一个数据结构 返回算法的终止标志 返回目标函数的最优值
返回目标函数的最优解
Baidu Nhomakorabea
1.4.3函数fminunc
2.例题： 已知梯形截面管道的参数是：底边长度c，高度h，面积 A=64516mm2，斜边与底边夹角为θ。管道内液体的流速与管 道截面的周长s的倒数成比例关系。试按照使液体流速最大确 定该管道的参数。 解：(1)建立优化设计数学模型 θ h 2h 管道截面周长 s c c f(X) sin