高数1PPT
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高数—不定积分 讲解和例题-PPT (1)
课外作业
习 4 — 1（A） （ ） 1（双） （ 习 4 — 1（B） （ ） 1（5，6，7，11）， （ ， ， ， ）， ），2
§2. 换元积分法
y = sin2x 是复合函数， 是复合函数，
∫ sin2xd x
1. 凑常数
如何积分？ 如何积分？
一、第一类换元法 ( 凑微分法 )
(d2x = 2dx) 1 例1： sin2xd x = ∫ sin2x d 2 x (2x = u) ∫ 2 1 1 1 = ∫ sinudu = − cos u+ C = − cos 2x + C. + 2 2 2
2
= x − x + arctan x + C.
1 3 3
从理论上来讲， 从理论上来讲，只需把积分结果 求导，就可检验积分是否正确。 求导，就可检验积分是否正确。但由 于函数变形及原函数间可相差一个常 数等因素，一般不检验。 数等因素，一般不检验。 所以注重积分过程的正确性是至 关重要的。 关重要的。 即每一步运算都要看能否还原到 上一步。 上一步。
dx 例5： 2 ∫ x − a2 (a > 0) 1 1 1 = ∫ − dx 2a x − a x + a 1 d( x − a) d( x + a) = ∫ −∫ 2a x −a x+a 1 = [ln x − a − ln x + a ] + C 2a 1 x −a = ln + C. 2a x + a dx 1 a+ x = ln + C. (a > 0) 同理： 同理： 2 2 ∫ a − x 2a a − x
例： 求通过点 ( 1, 2 )，且其上任一点处的 ， 切线斜率等于该点横坐标6倍的一条曲线 倍的一条曲线。 切线斜率等于该点横坐标 倍的一条曲线。 解：设所求曲线方程为 y = f (x) . 由题意，曲线上点(x, 的切线斜率 由题意，曲线上点 y)的切线斜率 dy = 6x, dx 2 ∴y = ∫ 6xdx = 3x + C , 为一簇积分曲线。 为一簇积分曲线。
高数数学必修一《5.2.2同角三角函数的基本关系》教学课件
sin α
再由公式tanα＝
求tan α.
cos α
sin α
α＝
＝m⇒sin
cos α
(3)若已知tan α＝m，则tan
α＝m cos α及sin2α＋
cos2α＝1，通过方程组求解．
(4)注意要根据角终边所在的象限，判断三角函数值的符号．
跟踪训练1
π
5
已知0<α< ，sinα＝ ，求cos
2
sinα2 ，前者是α的正弦的平方，后者是α2 的正弦，两者是不同的，要
弄清它们的区别，并能正确书写．
共学案
【学习目标】
(1)理解并掌握同角三角函数基本关系式的推导及应用．
(2)会利用同角三角函数的基本关系式进行化简、求值与恒等式证
明．
题型 1 利用同角三角函数的基本关系式求同角的三角函数值
【问题探究1】
)
2．若α为第二象限角，且sin
A．－
5
3
1
B．
3
答案：A
解析：∵α是第二象限角，
5
∴cos α＝－ 1 − sin2 ＝－ 3 .故选A.
2
α＝ ，则cos
3
5
C．
3
α＝(
)
1
D．－
3
1
－2
3．若2sin α＋cos α＝0，则tan α＝________．
解析：因为2sinα＋cos α＝0，
D．－
3
答案：D
3π
解析：因为α∈(π， 2 )，所以sinα<0.
1
2 2
.故选D.
3
又cos α＝－3，所以sin α＝－ 1 − cos 2 α＝－
再由公式tanα＝
求tan α.
cos α
sin α
α＝
＝m⇒sin
cos α
(3)若已知tan α＝m，则tan
α＝m cos α及sin2α＋
cos2α＝1，通过方程组求解．
(4)注意要根据角终边所在的象限，判断三角函数值的符号．
跟踪训练1
π
5
已知0<α< ，sinα＝ ，求cos
2
sinα2 ，前者是α的正弦的平方，后者是α2 的正弦，两者是不同的，要
弄清它们的区别，并能正确书写．
共学案
【学习目标】
(1)理解并掌握同角三角函数基本关系式的推导及应用．
(2)会利用同角三角函数的基本关系式进行化简、求值与恒等式证
明．
题型 1 利用同角三角函数的基本关系式求同角的三角函数值
【问题探究1】
)
2．若α为第二象限角，且sin
A．－
5
3
1
B．
3
答案：A
解析：∵α是第二象限角，
5
∴cos α＝－ 1 − sin2 ＝－ 3 .故选A.
2
α＝ ，则cos
3
5
C．
3
α＝(
)
1
D．－
3
1
－2
3．若2sin α＋cos α＝0，则tan α＝________．
解析：因为2sinα＋cos α＝0，
D．－
3
答案：D
3π
解析：因为α∈(π， 2 )，所以sinα<0.
1
2 2
.故选D.
3
又cos α＝－3，所以sin α＝－ 1 − cos 2 α＝－
高数一 1-4 无穷小与无穷大
lim x2
x2
x4 2x 4
1 2
a3 b3 (a b)(a2 ab b2 )
例6 计算 lim ( x2 x x) x
解 lim ( x2 x x) lim
x
x
x x2 x x
lim
1
1
x 1 x1 1 2
x2 x x2 1 x1 x 1 x1
11
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所以lim 1 . x1 x 1
y 1 x 1
1
铅直渐近线
5
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❖铅直渐近线
如果 lim f (x) x x0
则称直线 x x0 是函数 yf(x)的图形
的铅直渐近线
❖水平渐近线
如果 lim f(x) A 则直线 yA称为函数 yf(x)的图形的 x
水平渐近线
y 1 x 1
ann bmm
ab0000
nm nm nm
10
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例5
计算
lim（
x2
x
1
2
12 x3
） 8
解
lim（ x2 x
1
2
12 x3
） 8
lim
x2
(x2 (x
2x 4) 12 2)(x2 2x 4)
lim x2
(x 2)(x 4) (x 2)(x2 2x 4)
当 xx0 时的无穷大 记为
lim f (x) . (形式记法,实际上极限不存在)
x x0
❖无穷大的精确定义
lim f (x) M0 d 0 当0|xx0|d 时有|f(x)|M
大一高数课件第一章 1-1-1
第一章 函数与极限
第一节
• • • • • 一、基本概念 二、函数概念 三、函数的特性 四、反函数 五、小结
函数
一、基本概念
总体. 1.集合: 具有某种特定性质的事物的总体 1.集合: 具有某种特定性质的事物的总体. 集合 组成这个集合的事物称为该集合的元素. 组成这个集合的事物称为该集合的元素. 元素 a∈ M, a∉ M,
y
y = f ( x)
f ( x1 )
f ( x2 )
x1
恒有
f ( x1 ) > f ( x2 ),
o
x2
则称函数 f ( x )在区间 I上 是单调减少的 ;
I
x
3．函数的奇偶性: 函数的奇偶性:
设D关于原点对称 , 对于∀x ∈ D, 有
f (− x ) = f ( x )
y
y = f ( x)
五、小结
基本概念 集合, 区间, 邻域, 常量与变量, 绝对值. 集合, 区间, 邻域, 常量与变量, 绝对值 函数的概念 函数的特性 有界性,单调性,奇偶性,周期性. 有界性,单调性,奇偶性,周期性. 反函数
思考题
1 设 ∀x > 0 ， 函 数 值 f ( ) = x + 1 + x ， 求 函 数 x
前言
高等数学》 《高等数学》是研究变量及变量间依赖关系的 一门数学课程。 一门数学课程。它的内容包括一元及多元函数微 积分学、空间解析几何、无穷级数和微分方程。 积分学、空间解析几何、无穷级数和微分方程。 高等数学》共讲授192学时，共计12 192学时 12学分 《高等数学》共讲授192学时，共计12学分 高等数学》的研究方法主要应用极限法。 《高等数学》的研究方法主要应用极限法。
《高数》课件讲解第一章第四节《反函数》
( x 2)
P.14 练习1.4 1（1），（2）
(5) f 1[ f (x)] x , x D( f ) f [ f 1(x)] x , x R( f )
求反函数的过程
y f (x)
x f 1( y)
y f 1( x)
从 y=f (x) 中求出 y 的范围，即为 y=f -1(x) 的定义域.
例1 函数 y kx b (k 0) 的反函数为 y x b;
§1.4 反函数
定义1.8 设函数 y f (x) 的定义域是 D( f ) , 值域是 R( f ) ,
若对 y R( f ) , 都有唯一确定的 x D( f ) 与之对应且满 足 y f (x) , 则 x 是定义在 R( f ) 上以 y 为自变量的函数, 记作函数为
x f 1( y) , y R( f ) 并称其为函数 y f (x) 的反函数.
k 函数 y a x (a 0,a 1) 的反函数是 y loga x;
函数 y x2, x (0,) 的反函数是 y x. 而函数 y x2, x (,0) 的反函数是 y x.
注意 函数 y x2 在整个定义域 (,)内不存在反函数.
例2 求下列函数的反函数：
(1) y ex ex ; 2
(2) y ln( x
(3) y 2x 1. x1
x2 1);
解 (1) 由 y ex ex 得 e2x 2 yex 1 0 2
解之得 ex y y2 1 因ex 0, 故 ex y y2 1 应舍去.
从而有 ex y y2 1, 求得 x ln( y y2 1). 因此 y ex ex 的反函数为
反函数 x f 1( y) 常记为 y f 1( x), x R( f )
专升本-高数一-PPT课件
例 2．下列各函数中，互为反函数的是（
n t, x o t cy （1 ） ． y a x
）
1 x , 1 y ( ) 1 - x （2） ．y2 2
知识点：反函数 求反函数的步骤是：先从函数 y f ( x ) 中解出 x f 1 ( y ) ，再置换 x 与
y ，就得反函数 y f 1 ( x ) 。
故函数的定义域为：{( x , y ) | x 0 且 x y 0} （2）要使函数有意义必须满足
故
x2 x 2 0 x 1 或 x 2 ，即 ， x 2 x20 D ( 2, 1) (2, ) ．
二、 极限
1．概念回顾
2、 极限的求法
利用极限四则运算、 连续函数、重要极限、无穷小代换、洛比达法则等 例 5： 求 lim
x
x5 ． x2 9
1 5 1 5 2 lim( 2 ) x5 x x x 0 0． 解： lim 2 lim x x x x 9 x 9 9 1 1 2 lim(1 2 ) x x x 知识点：设 a0 0, b0 0, m, n N ，
数。
: D g ( D ) D f: D f( D ) g 1 1 1
f g : D f [ g ( D ) ]
例 1.下列函数中，函数的图象关于原点对称的是（ (1) y 2 x 2 1 ； (3) y x 1 ． 知识点： 函数的奇偶性 (2) y x 3 2sin x ；
则 lim
am x x b x n n
m
m a bn a1 x a0 0 b1 x b0
mn mn mn
高数1-5课件
. 假定
每件物品的贮存单位时间费用为 C 1 ，每次进货费 用为C 2 ，每次进货量相同，进货间隔时间不变， 以匀速消耗贮存物品，则平均库存为
q 2
，
在时间 T 内的总费用 E 为
E 1 2 C 1 Tq C 2 Q q
其中 ， C 1 Tq 为贮存费， 2
1
C2
Q q
为进货费用
.
八、戈珀兹 (Gompertz) 曲线
例 8
已知某产品的价格为 P，需求函数为 ，成本函数为 C
= 50 + 2Q
Q = 50 - 5 P
，求产量 Q
为多少时利润 L 最大？最大利润是多少？
解 故
已知需求函数为
Q = 50 - 5 P
P = 10 -
Q 5
，
2
于是收益函数
R = P Q = 1 0 Q Q 5 .
这样，利润函数
L = R (Q ) - C (Q ) = 8 Q = 1 5 Q 5
解
由题意，求产量为100时的总成本
C ( 100 ) 1000 100 8
2
2250 ,
平均成本为
AC ( 100 )
2250 100
22 . 5
总收益函数
总收益是生产者出售一定数量产品所得到 的全部收入. 用 Q 表示出售的产品数量，R 表
示总收益, R 表示平均收益，则
R R (Q ) , R R (Q ) Q
4 .( 1 ) C ( X ) 150 10 X ( 元 )( 0 X 100 ); C (X ) 150 X ( 2 ) R ( X ) 14 X ( 元（ 0 X 100 ） ) ; ( 3 ) L ( X ) 150 4 X ( 元 )( 0 X 100 )； 10 ( 0 X 100 );
高数数学必修一《5.4.1正弦函数、余弦函数的图像》教学课件
过两直线y＝1和y＝－1所夹的范围．
其中正确的个数是(
)
A．0
B．1
C．2
D．3
答案：D
题型 2 利用“五点法”作三角函数的图象
【问题探究2】 在确定正弦函数的图象形状时，应抓住哪些关键点？
π
2
3π
2
提示：(0，0)，( ，1)，(π，0)，( ，－1)，(2π，0)
例2 用“五点法”作出下列函数的图象：
)
(2)函数y＝cos
1
2
x，x∈[0，2π]的图象与直线y＝－ 的交点有________
2
个．
1
2
解析：作出y＝cos x，x∈[0，2π]与y＝－ 的图象(图略)，由图象可知，函数y＝cos x，x∈[0，2π]的图象与
1
直线y＝－2有两个交点．
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
随堂练习
5π
1.已知点( ，m)在余弦曲线上，则m＝(
____________
________
正(余)弦函数的图象叫做正(余)弦曲线，是一条“波浪
起伏”的连续光滑曲线
【即时练习】
1．观察正弦函数y＝sin x，x∈R的图象，下列说法错误的是(
A．过原点
B．与y＝cos x的图象形状相同，只是位置不同
C．与x轴有无数个交点
D．关于y轴对称
答案：D
解析：观察题图可得，正弦函数y＝sin x，x∈R的图象不关于y轴对称．故选D.
B．介于直线y＝1与直线y＝－1之间
C．关于x轴对称
D．与y轴仅有一个交点
答案：ABD
微点拨❶
(1)作正弦函数、余弦函数图象时，函数自变量的取值要用弧度制，
以保证自变量的取值与函数值都为实数．
其中正确的个数是(
)
A．0
B．1
C．2
D．3
答案：D
题型 2 利用“五点法”作三角函数的图象
【问题探究2】 在确定正弦函数的图象形状时，应抓住哪些关键点？
π
2
3π
2
提示：(0，0)，( ，1)，(π，0)，( ，－1)，(2π，0)
例2 用“五点法”作出下列函数的图象：
)
(2)函数y＝cos
1
2
x，x∈[0，2π]的图象与直线y＝－ 的交点有________
2
个．
1
2
解析：作出y＝cos x，x∈[0，2π]与y＝－ 的图象(图略)，由图象可知，函数y＝cos x，x∈[0，2π]的图象与
1
直线y＝－2有两个交点．
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
随堂练习
5π
1.已知点( ，m)在余弦曲线上，则m＝(
____________
________
正(余)弦函数的图象叫做正(余)弦曲线，是一条“波浪
起伏”的连续光滑曲线
【即时练习】
1．观察正弦函数y＝sin x，x∈R的图象，下列说法错误的是(
A．过原点
B．与y＝cos x的图象形状相同，只是位置不同
C．与x轴有无数个交点
D．关于y轴对称
答案：D
解析：观察题图可得，正弦函数y＝sin x，x∈R的图象不关于y轴对称．故选D.
B．介于直线y＝1与直线y＝－1之间
C．关于x轴对称
D．与y轴仅有一个交点
答案：ABD
微点拨❶
(1)作正弦函数、余弦函数图象时，函数自变量的取值要用弧度制，
以保证自变量的取值与函数值都为实数．
高数一 2-4 高阶导数
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• 几个 n 阶导数公式
• 讨论
(ekx )(n) k nekx
(
x
1
a
)(n)
(1)n
(x
n! a)n1
[ln(
x
a)](n)
(1)(n1)
(n 1)! (x a)n
(sin x)(n) sin( x n )
2
(cosx)(n) cos(x n )
2
解2 y x3 x3 1 1 x2 x 1 1 ,
x 1 x 1 x 1
x 1
y(10) (x2 x 1)(10)
1
(10)
x 1
(1)10
10! (x 1)11
10! (x 1)11
.
12
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例例49．求由方程
x
y
1 2
sin
y
0
所确定的隐函数
y
的二阶导数
证证明明 因因为为 yy 2222xx 11xx 22 22xxxx22 22xxxx22
y
2x x2 (1 x) 22x 2 2x x2
2x x2 (1 x)2
2x x2
(2x x2) (2x x2
2x x2 (1 x)2 (2x x2) (2x x2)
1
3
(2x x2)2
高阶导数
❖高阶导数的定义 ❖高阶导数求法举例
1
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❖高阶导数的定义
• 加速度
a(t) dv v(t) [s(t)] dt
高数一章8节1ppt课件
所以x 0为间断点.
当x 0时,函数值在 1与1之间变动无限多次.
y
y sin 1
x
这种间断点称为 振荡间断点.
0
x
14
例7 y x2 1 在x 1处无定义,所以在x 1 x1
处不连续. 但 lim x2 1 lim( x 1) 2, x1 x 1 x1
即函数在x 1处有极限. 若补充定义 :
3
1.连续概念
定义 设函数 y f ( x)在点x0的某一邻域内 有定义,如果
lim y
Vx 0
lim [
Vx 0
f
(
x0
x)
f ( x0 )]
0,
则称函数 y f ( x)在点x0连续.
设 x x0 x, y f ( x) f ( x0 ),
x 0就是x x0 ,y 0就是f ( x) f ( x0 ).
如果 0, 0, 使当 x x0 时,
f ( x) f ( x0 ) ,
则称函数f ( x)在点x0连续.
5
注:1. f ( x)在x0点连续必须满足三个条件 :
1) f ( x)在x0点有确定的函数值, 函数在x0 有定义
2) lim f ( x)存在, x x0
函数在x0 极限存在
lim
x x0
f (x)
f ( x0 )
f ( x0 ),
则称f ( x)在点x0右连续.
左极限等 于函数值
右极限等 于函数值
定理 函数f ( x)在x0连续 函数f ( x)在x0既
左连续又右连续.
10
3.连续函数与连续区间
定义 若函数f(x)在区间(a, b)内每一点都连续, 则称f(x)在区间(a, b)内是连续函数,或者说函数f(x) 在区间(a, b)内连续.
大一高数上_PPT课件_第一章
几个数集:
R表示所有实数构成的集合，称为实数集。
Q表示所有有理数构成的集合，称为有理集。 Z表示所有整数构成的集合，称为整数集。 N表示所有自然数构成的集合, 称为自然数集。 子集: 若xA，则必有xB，则称A是B 的子集, 记 为AB（读作A包含于B）。 显然，N Z ，Z Q ，Q R 。
的上方。
y y=f(x) O x
y=K2
如果存在数 M,使对任一 xX，有 | f(x) |M， 则称函数f(x)在X上有界；如果这样的M不存在， 则称函数f(x)在X上是无界函数，就是说对任何M ，总存在 x1X，使|f(x)|>M。 有界函数的图形特点： 函数y = f(x)的图形在直线y = - M和y = M y 的之间。
高等数学研究的主要对象是函数，主要研 究函数的分析性质（连续、可导、可积等）和 分析运算（极限运算、微分法、积分法等）。 那么高等数学用什么方法研究函数呢？这个方 法就是极限方法，也称为无穷小分析法。从方 法论的观点来看，这是高等数学区别于初等数 学的一个显著标志。 由于高等数学的研究对象和研究方法与初 等数学有很大的不同，因此高等数学呈现出 以下显著特点：
周期函数的图形特点：
y
y=f(x)
-2l
-l
O
l
2l
x
四、反函数与复合函数
1. 反函数 设函数y=f(x)的定义域为D，值域为W。 对于任一数值 yW，D上可以确定唯一数值 x 与 y 对应，这个数值 x 适合关系 f(x)=y。
如果把 y看作自变量，x 看作因变量，按 照函数的定义就得到一个新的函数，这个 新函数称为函数y=f(x)的反函数，记作 x=f -1(y)。
什么样的函数存在反函数？
高数数学必修一《2.1.2等式性质与不等式性质》教学课件
bn > 0，n ∈ ∗ ，则a1a2…an>b1b2…bn.
(5)不等式的性质中，对表达不等式性质的各不等式，要注意“箭头”
是单向的还是双向的，即符号“⇔”表示等价关系，可以互相推出，
而符号“⇒”只能从左边推右边，该性质不具备可逆性，尤其在证明
不等式时，要注意是否可逆．
【即时练习】
1．判断正误(正确的画“√”，错误的画“×”)
由于(－3)2>(－2)2，但－3<|－2|，故D选项错误．故选C.
题型 2 利用不等式的性质证明不等式
例2 已知a>b>c，且a＋b＋c＝0，求证：
证明：因为a>b>c，且a＋b＋c＝0，所以a>0，c<0，
1
1
c
c
所以a－c>b－c>0，所以0<a−c<b−c，所以a−c>b−c.
c
c
> .
a−c b−c
同向
同向
同正
微点拨❷
(1)性质3说明不等式的两边都加上同一个实数，所得的不等式与原
不等式同向．性质3是不等式移项法则的基础．不等式中任何一项改
变符号后，可以把它从一边移到另一边．
(2)性质4证明过程中的关键步骤是根据“同号相乘得正，异号相乘
得负”的法则来完成的，一定要注意性质4中c的符号，因为c的符号
第2课时
等式性质与不等式性质
预学案
共学案
预学案
一、等式性质❶
性质1 如果a＝b，那么b＝a；
性质2 如果a＝b，b＝c，那么a＝c；
性质3 如果a＝b，那么a±c＝b±c；
性质4 如果a＝b，那么ac＝bc；
a b
(5)不等式的性质中，对表达不等式性质的各不等式，要注意“箭头”
是单向的还是双向的，即符号“⇔”表示等价关系，可以互相推出，
而符号“⇒”只能从左边推右边，该性质不具备可逆性，尤其在证明
不等式时，要注意是否可逆．
【即时练习】
1．判断正误(正确的画“√”，错误的画“×”)
由于(－3)2>(－2)2，但－3<|－2|，故D选项错误．故选C.
题型 2 利用不等式的性质证明不等式
例2 已知a>b>c，且a＋b＋c＝0，求证：
证明：因为a>b>c，且a＋b＋c＝0，所以a>0，c<0，
1
1
c
c
所以a－c>b－c>0，所以0<a−c<b−c，所以a−c>b−c.
c
c
> .
a−c b−c
同向
同向
同正
微点拨❷
(1)性质3说明不等式的两边都加上同一个实数，所得的不等式与原
不等式同向．性质3是不等式移项法则的基础．不等式中任何一项改
变符号后，可以把它从一边移到另一边．
(2)性质4证明过程中的关键步骤是根据“同号相乘得正，异号相乘
得负”的法则来完成的，一定要注意性质4中c的符号，因为c的符号
第2课时
等式性质与不等式性质
预学案
共学案
预学案
一、等式性质❶
性质1 如果a＝b，那么b＝a；
性质2 如果a＝b，b＝c，那么a＝c；
性质3 如果a＝b，那么a±c＝b±c；
性质4 如果a＝b，那么ac＝bc；
a b
高数课件1-8
四、设 f(x)=lim n
2 x2n 1
求：1、 f ( x)的表达式 .
2、确定 a, b 的值,使得lim f ( x) f (1) ， x1 lim f ( x) f (1) . x1
15
练习题答案
一、1、3 ； 2
0,m n 2、1, m n ；3、2；
,m n
4、 ；
5、x ； 6、a ； n
二、求下列各极限：
1、lim tan x sin x ； x0 sin3 x
2、lim e e ；
3、lim sinx sin x ；
x0
x
4、lim tan x tan a ； xa x a
14
三、证明：若 , 是无穷小，则 ~ 0( ).
x 2n1 sin x cos(a bx)
证 lim lim( )
lim lim lim
lim
.
6
例3 求 lim tan2 2x . x0 1 cos x
解 当x 0时, 1 cos x ~ 1 x2 , 2
原式
lim x0
(2 x )2 1 x2
8.
2
tan 2x ~ 2x.
注意 不能滥用等价无穷小代换.
12
一、填空题：
练习题
1、lim tan 3x =__________. x0 sin 2x
2、lim arcsin x n =________. x0 (sin x)m
3、lim ln(1 2x) =_________.
x0
x
4、lim 1 x sin x 1 =________. x0 x 2 arctan x
7、3；
8、1 , 2. 2
大一高数 第一章ppt课件
在区间 [a , b] 中任意插入 n –1 个分点 a x x x x x b 0 1 2 n 1 n 用直线 x xi 将曲边梯形分成 n 个小曲边梯形; 在第 i 个窄曲边梯形上任取 y 作以 [xi 1, x i ]为底 , f (i ) 为高的小矩形, 并以此小 梯形面积近似代替相应 窄曲边梯形面积 Ai , 得
f ( x x ) f ( x ) f ( x ) x 0 0 0
由此可知微分的一个重要应用是：近似计算。
2、定积分问题举例
矩形面积 ah
h
a a
h 梯形面积 (a b) 2
曲边梯形的面积如何求？ 设曲边梯形是由连续曲线
b
h
y f ( x ) ( f ( x ) 0 )
大一高数 第一 章教学
引
言
一、什么是高等数学 ?
初等数学 — 研究对象为常量, 以静止观点研究问题. 高等数学 — 研究对象为变量, 运动和辩证法进入了数学.
数学中的转折点是笛卡儿的变数. 有了变数 , 运动进入了数学, 有了变数，辩证法进入了数学 ,
恩格斯
有了变数 , 微分和积分也就立刻成 为必要的了.
2) 近似.
[ x ,x i i 1 i]
xi 1 x i b x i A f ( ) x x x x ) ,i 1 , 2 , , n ) i i i( i i i 1
o a x1
3) 求和.
A A i f (i )xi
i 1
半开区间
[ a , b ] xa x b
[ a , b ) x a x b ( a , b ] x a x b
f ( x x ) f ( x ) f ( x ) x 0 0 0
由此可知微分的一个重要应用是：近似计算。
2、定积分问题举例
矩形面积 ah
h
a a
h 梯形面积 (a b) 2
曲边梯形的面积如何求？ 设曲边梯形是由连续曲线
b
h
y f ( x ) ( f ( x ) 0 )
大一高数 第一 章教学
引
言
一、什么是高等数学 ?
初等数学 — 研究对象为常量, 以静止观点研究问题. 高等数学 — 研究对象为变量, 运动和辩证法进入了数学.
数学中的转折点是笛卡儿的变数. 有了变数 , 运动进入了数学, 有了变数，辩证法进入了数学 ,
恩格斯
有了变数 , 微分和积分也就立刻成 为必要的了.
2) 近似.
[ x ,x i i 1 i]
xi 1 x i b x i A f ( ) x x x x ) ,i 1 , 2 , , n ) i i i( i i i 1
o a x1
3) 求和.
A A i f (i )xi
i 1
半开区间
[ a , b ] xa x b
[ a , b ) x a x b ( a , b ] x a x b
大一高数课件第一章 1-5-1
1 x 1
四、小结
无穷小与无穷大是相对于过程而言的.
几点注意:
（1） 无穷小（ 大）是变量,不能与很小（大）的数混淆， 零是唯一的无穷小的数； （2）无穷多个无穷小的代数和（乘积）未必是无穷小； （3） 无界变量未必是无穷大.
思考题
若 f ( x ) 0 ，且 lim f ( x ) A ，
0, N1 0, N 2 0, 使得 当 x N 1时恒有 ; 当 x N 2时恒有 ; 2 2
取 N max{N1 , N 2 },
当 x N时,恒有
2
2
,
0 ( x )
(或正数 X ),使得对于适合不等式 0 x x0 (或 x X )的一切 x ,
对应的函数值 f ( x ) 总满足不等式 f ( x ) M ,
则称函数 f ( x ) 当 x x0 (或 x )时为无穷大,记作
特殊情形：正无穷大，负无穷大．
x x0 ( x )
x
问：能否保证有A 0 的结论？试举例说明.
思考题解答
不能保证.
1 1 例 f ( x ) x 0, 有 f ( x ) 0 x x
1 lim f ( x ) lim A 0. x x x
练
一、填空题:
习
题
1、凡无穷小量皆以________为极限.
x x0
lim f ( x ) 0 (或 lim f ( x ) 0).
x
例如,
lim sin x 0,
x 0
函数 sin x是当x 0时的无穷小 .
高数课件第一章第十节 闭区间连续函数的性质
证: 设
由定理 1 可知有 (有界性定理 )
M
?
max
x? [a, b ]
f
(x)
,m
?
min
x? [a , b]
f
(x)
y
M y ? f (x)
取 K ? max{ m , M }, 有 f (x) ? K .
上有界 .
m
o a?1 ?2 b x
若 x0使f (x0 ) ? 0, 则称 x0 为 f (x) 的零点 .
第十节
第一章
闭区间上连续函数的性质
一、最值定理 二、介值定理 *三、一致连续性
一、最值定理
定义：设 f (x) 在区间 I 上有定义，如果存在
x0 ? I, 使得 ? x ? I,都有
f (x) ? f (x0 ) (或 f (x) ? f (x0 ) )
则称 f ( x0 )为 f (x) 在 I 上的最大值（或最小值）
提示：
?? 1, x ? 0
? g(x) ? 1? x2 f ( x ) ? sgn x ? ??0, x ? 0
??1, x ? 0
? f [g(x)] ? sgn(1? x2 ) ? 1
f [g( x )] 在(?? ,?? )上处处连续
g[
f
(x)]
?
1?
?sgn
x?2?
? 2, ??1,
x?0 x?0
在[0, ? ? )上的最大值为1, 最小值为0.
而在(0, ? ? )上的最大值和最小值都为1.
? 最大值和最小值与所考虑的区间有关。
再如 y ? x ?1 , I ? (0 , 1)
y 2
在 ( 0 , 1 ) 上即无最大值，又无最小值 ? 函数在一个区间上不一定有
高数总结性1PPT课件
（4）对偶律：A BC AC BC A BC AC BC
3. 集合相等
A B : A B B A, 即互为子集.
3 Esc
第一章
例1 证明: A (B C) ( A B) ( A C). 证明：x ( A B) ( A C)
xAB xAC x A xB x A xC
Esc 10
第一章
例 4 已知 f (x) 1 x . 求 f (x), f (x 1), f (1).
1 x
x
解：
f (x) 1 x 1 x
f (x 1) 1 (x 1) x 1 (x 1) 2 x
f
(1) x
1 1
1
x 1
x 1 x 1
x
Esc 11
第一章
例 5 设 f (x) 1ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ arcsin(1 2x). 求： lg(3 x)
解：设F (x) f [ (x)], 则 F (x) f [ (x)] f [ (x)] F (x), 所以 f [ (x)]是偶函数；设G(x) [ f (x)], 则 G(x) [ f (x)] [ f (x)] [ f (x)] G(x)， 所以 [ f (x)]是偶函数，故应选(B).
Esc 16
第一章
3．反函数概念
函数 y f (x)的定义域为 D ，值域为 W， 对 W 中任意的 y ，惟一确定一个x D （适合
f (x) y ）与之对应，由此构成的函数 x ( y)
称为 y f (x)的反函数.
Esc 17
第一章
函数 y (x)也称为函数 y f (x)的反函数. x ( y)的图形与 y f (x)的图形重合，而函数 y (x)的图形与 y f (x)的图形以直线 y x 为
3. 集合相等
A B : A B B A, 即互为子集.
3 Esc
第一章
例1 证明: A (B C) ( A B) ( A C). 证明：x ( A B) ( A C)
xAB xAC x A xB x A xC
Esc 10
第一章
例 4 已知 f (x) 1 x . 求 f (x), f (x 1), f (1).
1 x
x
解：
f (x) 1 x 1 x
f (x 1) 1 (x 1) x 1 (x 1) 2 x
f
(1) x
1 1
1
x 1
x 1 x 1
x
Esc 11
第一章
例 5 设 f (x) 1ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ arcsin(1 2x). 求： lg(3 x)
解：设F (x) f [ (x)], 则 F (x) f [ (x)] f [ (x)] F (x), 所以 f [ (x)]是偶函数；设G(x) [ f (x)], 则 G(x) [ f (x)] [ f (x)] [ f (x)] G(x)， 所以 [ f (x)]是偶函数，故应选(B).
Esc 16
第一章
3．反函数概念
函数 y f (x)的定义域为 D ，值域为 W， 对 W 中任意的 y ，惟一确定一个x D （适合
f (x) y ）与之对应，由此构成的函数 x ( y)
称为 y f (x)的反函数.
Esc 17
第一章
函数 y (x)也称为函数 y f (x)的反函数. x ( y)的图形与 y f (x)的图形重合，而函数 y (x)的图形与 y f (x)的图形以直线 y x 为
大一高数ppt课件
VS
向量的模
在空间直角坐标系中，向量$vec{a}$的模 为$sqrt{a_x^2 + a_y^2 + a_z^2}$。 06多项式函数与插值法
多项式函数的性质
代数性质
多项式函数具有加法、减法、乘法和除法的 代数性质，可以按照这些性质进行多项式函 数的运算。
最高次项系数
多项式的最高次项系数是多项式函数的一个重要性 质，它决定了多项式函数的开口方向和大小。
常积分。
反常积分的性质
反常积分具有与普通定积分相似的性 质，如线性性质、区间可加性等。
反常积分的计算方法
对于不同类型的反常积分，需要采用 不同的计算方法，如利用极限思想、
分部积分法、换元积分法等。
05
空间解析几何
向量代数基础
01 02
向量的加法
向量加法满足交换律和结合律，即对于任意向量$vec{a}$、$vec{b}$和 $vec{c}$，有$vec{a} + vec{b} = vec{b} + vec{a}$和$(vec{a} + vec{b}) + vec{c} = vec{a} + (vec{b} + vec{c})$。
高数是许多学科领域的基础，如物理 、工程、经济等，掌握高数知识对于 后续专业课程的学习至关重要。
高数课程的学习目标
01
掌握高等数学的基本概念、定理和公式，理解其数学意义和实 际应用。
02
学会运用高数知识解决实际问题，培养分析问题和解决问题的
能力。
培养自主学习和终身学习的能力，形成良好的学习习惯和思维
空间点的坐标
在空间直角坐标系中，任意一点$P$的位置由三个实数 $x$、$y$和$z$确定，这三个实数称为点$P$的坐标。
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3
小结
4
无穷小
无穷小定义
子主题 子主题
2、无穷小与函数极限的关系
定理1
子主题
3、无穷小的运算性质
有限个无穷小的代数和定理 子主题
01
推论1 在同一过程中,有极限的变量与无穷 小的乘积是无穷小.
03
推论3 有限个无穷小的乘积也是无穷小
05
02
有界函数与无穷小的乘积是无穷小：定理3
子主题
04
推论2 常数与无穷小的乘积是无穷小.
06 子主题
无穷大
定义 子主题
子主题 例子：无界变量（并不一定是无穷大）
子主题 子主题
无穷小与无穷大的关系
倒数关系：定理4
子主题 子主题
小结
子主题
1.函数与极限
极限运算法则
求极限的方 法举例
小结
极限的运算 法则：四则 及其推论
极限的运算法则：四则及其推论
A
子主 题
B
子主 题
C
子主 题
求极限的方法举例
总结以及习 题
1.函数与极限
集合
集合
区间
邻域
常量与 变量
绝对值
邻域
邻域概念 分支主题
去心邻域 概念 子主题
1.函数与极限
映射与函数
A
定义
B
C
特殊
函数
函数
2
性质
D
反函 数
特殊函数
子主题
符号函数
子主题
取整函数
子主题
狄利克雷函数
子主题
取最值函数
分段函数
函数性质
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ有界性
01
02
单调性
03
奇偶性
分支主题
数列的极限
数列定义
数列极限
数列极限 的性质
数列定义
子主题
数列极限
01
子主题
02
子主题
有界性
有界的定义 子主题
定理1：收敛的数列必定有界 子主题
子主题
唯一性
数列极限的唯一性定理
子数列的收敛性
子数列的收敛性定义 子主题
数列的收敛的子数列极限相同性 定理
子主题
数列极限的性质
保号性
1.函数与极限
例1 例3 例5
例2
例4
定理（复合函数的极限 运算法则）
求极限的方法举例
例6
求极限的方法举例
例1
子主题 子主题
求极限的方法举例
例2
分支主题
求极限的方法举例
例3
子主题
求极限的方法举例
例4
子主题 子主题
求极限的方法举例
例5
子主题
求极限的方法举例
定理（复合函数的极限运算法则）
子主题
求极限的方法举例
函数的极限
自变量趋向 有限值时函 数的极限
自变量趋向 无穷大时函 数的极限
函数极限的 性质
自变量趋向无穷大时函数的极限
01
定义
子主题
02
自变量趋于无穷大时的极限存在的充分必要条件
子主题
03
几何解释
子主题
自变量趋向有限值时函数的极限
01
02
03
04
定义
几何解释 函数的单 侧极限
小结
自变量趋向有限值时函数的极限
高数1
01
Part One
1.函数与极限
1.函数与极限
A
集合
D
数列的 极限
B
映射与 函数
E
函数的 极限
C
初等 函数
F
无穷小与 无穷大
1.函数与极限
1
极限运算法则
2
极限的存在准则，两个重要极限
3
无穷小的比较
4
函数的连续性
5
函数的间断点
6
连续函数的运算与初等函数的连 续性
1.函数与极限
闭区间上连 续函数性质
定义
子主题
第二类间断点
例4
子主题
第二类间断点
例5狄利克雷函数
子主题
第二类间断点
例6
0是有理数
第二类间断点
例7
子主题
第二类间断点
例8
子主题
子主题
小结
子主题
1.函数与极 限
连续函数的运算与初等函 数的连续性
连续函数的 运算
1
初等函数的 连续性
2
连续函数的运算
子主题
初等函数的连续性
子主题
例6
子主题
小结
子主题
1.函数与极限
极限的存在准则，两个 重要极限
01
极限存 在准则
03
重要极 限二
02
重要极 限一
04
小结
极限存在准则
01 夹逼准则 子主题 子主题
03 准则2 子主题
02准则1 单调有界数列必有极限
04柯西极限存在定理 子主题 子主题
重要极限一
子主题
01
02
子主题
03
例1
子主题
定义
子主题 2 子主题
自变量趋向有限值时函数的极限
几何解释
子主题
自变量趋向有限值时函数的极限
函数的单侧极限
A
子主 题
B
子主 题
C
子主 题
自变量趋向有限值时函数的极限
小结
子主题 子主题
函数极限的性质
A
唯一 性
B
局部 有界
C
保号 性
无穷小
1
1.函数与极限
无穷小与无穷大
无穷大
2
无穷小与无 穷大的关系
03
例2
子主题
连续函数与连续区间
子主题
子主题
1.函数与极限
函数的间断点
连续的三 个条件
间断点
小结
连续的三个条件
一．子主题
第一类间断点
跳跃间断点 子主题
可去间断点 子主题
子主题 子主题
第二类间断点
A 定义
例5狄利
D
克雷函数
B 例3 E 例6
C 例4 F 例7
第二类间断点
一．例8
第二类间断点
04
周期性
反函数
注意函数要有单调的区间，才会有 反函数
1.函数与极限
初等函数
01 基本初 等函数
02 复合函 数
03 初等函 数
04 函数的 分类
基本初等函数
幂函数
子主题
基本初等函数
指数函数
分支主题
基本初等函数
对数函数
子主题
三角函数
0 1
正弦函数
0 2
余弦函数
0 3
正切函数
0 4
余切函数
余割与正弦的比值表达式互为倒数。
反三角函数
反正弦函数
定义域[-1，1] ， 值域[-π/2， π/2]
01
02
反余弦函数
定义域[-1，1] ， 值域[0，π]
03
反正切函数
定义域R，值域 （-π/2，π/2） 子主题
04
反余切函数
定义域R，值域 （0，π）
复合函数
一．子主题
函数的分类
子主题
1.函数与极限
cotX=1/tanX
0 5
正割函数
secX=1/cosX
0 6
余割函数
cscX=1/sinx
子主题
三角函数
正弦函数
子主题
三角函数
余弦函数
子主题
三角函数
正切函数
三角函数
余切函数cotX=1/tanX
正切导数，注意图形区别
三角函数
正割函数secX=1/cosX
余弦函数的倒数
三角函数
余割函数cscX=1/sinx
1.函数与极限
闭区间上连续函数性质
重要极限二
数列情形
子主题 子主题
01
02
函数情形
子主题 子主题
03
例子
子主题
小结
子主题
1.函数与极限
无穷小的比较
无穷小的 比较
等价无穷 小替换
小结
无穷小的比较
引例说明
子主题
定义
子主题
例子
子主题
子主题
等价无穷小的充分必要条件：定理1
子主题
01
02
子主题
03
例子2
子主题
等价无穷小替换
2014 2015 2016 2017 2018
定理２(等价无穷小代换定理)
这里的a`不是导数
例３
子主题
例４
子主题
例５
子主题
例
m,./
小结
子主题
A
函数的 增量
1.函数与极限
函数的连续性
B
连续的 定义
C
单侧 连续
D
连续函数 与连续区
间
函数的增量
子主题
连续的定义
01
定义1
子主题
02
定义2
子主题
03
例
子主题
单侧连续
01
单侧连续
子主题
02
定理
子主题
小结
4
无穷小
无穷小定义
子主题 子主题
2、无穷小与函数极限的关系
定理1
子主题
3、无穷小的运算性质
有限个无穷小的代数和定理 子主题
01
推论1 在同一过程中,有极限的变量与无穷 小的乘积是无穷小.
03
推论3 有限个无穷小的乘积也是无穷小
05
02
有界函数与无穷小的乘积是无穷小：定理3
子主题
04
推论2 常数与无穷小的乘积是无穷小.
06 子主题
无穷大
定义 子主题
子主题 例子：无界变量（并不一定是无穷大）
子主题 子主题
无穷小与无穷大的关系
倒数关系：定理4
子主题 子主题
小结
子主题
1.函数与极限
极限运算法则
求极限的方 法举例
小结
极限的运算 法则：四则 及其推论
极限的运算法则：四则及其推论
A
子主 题
B
子主 题
C
子主 题
求极限的方法举例
总结以及习 题
1.函数与极限
集合
集合
区间
邻域
常量与 变量
绝对值
邻域
邻域概念 分支主题
去心邻域 概念 子主题
1.函数与极限
映射与函数
A
定义
B
C
特殊
函数
函数
2
性质
D
反函 数
特殊函数
子主题
符号函数
子主题
取整函数
子主题
狄利克雷函数
子主题
取最值函数
分段函数
函数性质
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ有界性
01
02
单调性
03
奇偶性
分支主题
数列的极限
数列定义
数列极限
数列极限 的性质
数列定义
子主题
数列极限
01
子主题
02
子主题
有界性
有界的定义 子主题
定理1：收敛的数列必定有界 子主题
子主题
唯一性
数列极限的唯一性定理
子数列的收敛性
子数列的收敛性定义 子主题
数列的收敛的子数列极限相同性 定理
子主题
数列极限的性质
保号性
1.函数与极限
例1 例3 例5
例2
例4
定理（复合函数的极限 运算法则）
求极限的方法举例
例6
求极限的方法举例
例1
子主题 子主题
求极限的方法举例
例2
分支主题
求极限的方法举例
例3
子主题
求极限的方法举例
例4
子主题 子主题
求极限的方法举例
例5
子主题
求极限的方法举例
定理（复合函数的极限运算法则）
子主题
求极限的方法举例
函数的极限
自变量趋向 有限值时函 数的极限
自变量趋向 无穷大时函 数的极限
函数极限的 性质
自变量趋向无穷大时函数的极限
01
定义
子主题
02
自变量趋于无穷大时的极限存在的充分必要条件
子主题
03
几何解释
子主题
自变量趋向有限值时函数的极限
01
02
03
04
定义
几何解释 函数的单 侧极限
小结
自变量趋向有限值时函数的极限
高数1
01
Part One
1.函数与极限
1.函数与极限
A
集合
D
数列的 极限
B
映射与 函数
E
函数的 极限
C
初等 函数
F
无穷小与 无穷大
1.函数与极限
1
极限运算法则
2
极限的存在准则，两个重要极限
3
无穷小的比较
4
函数的连续性
5
函数的间断点
6
连续函数的运算与初等函数的连 续性
1.函数与极限
闭区间上连 续函数性质
定义
子主题
第二类间断点
例4
子主题
第二类间断点
例5狄利克雷函数
子主题
第二类间断点
例6
0是有理数
第二类间断点
例7
子主题
第二类间断点
例8
子主题
子主题
小结
子主题
1.函数与极 限
连续函数的运算与初等函 数的连续性
连续函数的 运算
1
初等函数的 连续性
2
连续函数的运算
子主题
初等函数的连续性
子主题
例6
子主题
小结
子主题
1.函数与极限
极限的存在准则，两个 重要极限
01
极限存 在准则
03
重要极 限二
02
重要极 限一
04
小结
极限存在准则
01 夹逼准则 子主题 子主题
03 准则2 子主题
02准则1 单调有界数列必有极限
04柯西极限存在定理 子主题 子主题
重要极限一
子主题
01
02
子主题
03
例1
子主题
定义
子主题 2 子主题
自变量趋向有限值时函数的极限
几何解释
子主题
自变量趋向有限值时函数的极限
函数的单侧极限
A
子主 题
B
子主 题
C
子主 题
自变量趋向有限值时函数的极限
小结
子主题 子主题
函数极限的性质
A
唯一 性
B
局部 有界
C
保号 性
无穷小
1
1.函数与极限
无穷小与无穷大
无穷大
2
无穷小与无 穷大的关系
03
例2
子主题
连续函数与连续区间
子主题
子主题
1.函数与极限
函数的间断点
连续的三 个条件
间断点
小结
连续的三个条件
一．子主题
第一类间断点
跳跃间断点 子主题
可去间断点 子主题
子主题 子主题
第二类间断点
A 定义
例5狄利
D
克雷函数
B 例3 E 例6
C 例4 F 例7
第二类间断点
一．例8
第二类间断点
04
周期性
反函数
注意函数要有单调的区间，才会有 反函数
1.函数与极限
初等函数
01 基本初 等函数
02 复合函 数
03 初等函 数
04 函数的 分类
基本初等函数
幂函数
子主题
基本初等函数
指数函数
分支主题
基本初等函数
对数函数
子主题
三角函数
0 1
正弦函数
0 2
余弦函数
0 3
正切函数
0 4
余切函数
余割与正弦的比值表达式互为倒数。
反三角函数
反正弦函数
定义域[-1，1] ， 值域[-π/2， π/2]
01
02
反余弦函数
定义域[-1，1] ， 值域[0，π]
03
反正切函数
定义域R，值域 （-π/2，π/2） 子主题
04
反余切函数
定义域R，值域 （0，π）
复合函数
一．子主题
函数的分类
子主题
1.函数与极限
cotX=1/tanX
0 5
正割函数
secX=1/cosX
0 6
余割函数
cscX=1/sinx
子主题
三角函数
正弦函数
子主题
三角函数
余弦函数
子主题
三角函数
正切函数
三角函数
余切函数cotX=1/tanX
正切导数，注意图形区别
三角函数
正割函数secX=1/cosX
余弦函数的倒数
三角函数
余割函数cscX=1/sinx
1.函数与极限
闭区间上连续函数性质
重要极限二
数列情形
子主题 子主题
01
02
函数情形
子主题 子主题
03
例子
子主题
小结
子主题
1.函数与极限
无穷小的比较
无穷小的 比较
等价无穷 小替换
小结
无穷小的比较
引例说明
子主题
定义
子主题
例子
子主题
子主题
等价无穷小的充分必要条件：定理1
子主题
01
02
子主题
03
例子2
子主题
等价无穷小替换
2014 2015 2016 2017 2018
定理２(等价无穷小代换定理)
这里的a`不是导数
例３
子主题
例４
子主题
例５
子主题
例
m,./
小结
子主题
A
函数的 增量
1.函数与极限
函数的连续性
B
连续的 定义
C
单侧 连续
D
连续函数 与连续区
间
函数的增量
子主题
连续的定义
01
定义1
子主题
02
定义2
子主题
03
例
子主题
单侧连续
01
单侧连续
子主题
02
定理
子主题