第2章 距离空间

2
例 3 若 L [a, b] 中定义距离 ρ ( x, y ) =
P[a, b] ， C[ a, b] 都在 L [a, b] 中稠。
C 闭集：设 E 是一个集合， A ⊂ E ，若 A 的补集 AE = E − A
ρ(x, y ) = x − y 是 X 中的 Cauchy 列，但在 X 中不收
。 敛（极限值 0 ∉ (0,1) ）
为开集，则称 A 为 E 中的闭集。
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2 - 3
第二章 距离空间
§2.3 距离空间的稠密性与完备性
第二章 距离空间
第2章 距离空间
在数学分析中 研究对象——函数 基本工具——极限，是分析理论的基础 定义极限的基础——距离
§2.1 §2.2 §2.3 §2.4 §2.5
定义和举例 收敛概念 稠密性与完备性 可分性与列紧性 连续映射
在泛函分析中将上述内容推广 研究对象——算子、泛函 （空间到空间的映射） 首先引入度量工具——距离 然后在度量空间中——定义极限，建立相应的理 论，进一步对每一个具体空间引入相应的结论。
注： R 中有结论： {x n}是收敛数列 ⇔ {x n}是 Cauchy 数列。
1
但在一般的距离空间中，该结论不成立。
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1 n 同理，点列{xn } = {(1 + n ) } 是
Q 中的 Cauchy 点列，但
3）距离空间中的开集与闭集（将实数集中概念推广） 邻域：设 A 是一个距离空间， x ∈ A, δ > 0 ，则子集
1 例如：R 中，点列{xn } = { n } 是 Cauchy 列，也是收敛点列。
1
Q ρ ( xn , xm ) ≤ ρ ( xn , x) + ρ ( xm , x)
则 n , m → ∞ 时 , ρ ( x n , xm ) → 0 。
例 1 在有理数空间 Q 中，点列 1, 1.4, 1.41, 1.414, 1.4142, … → 2 ∉ Q 是 Q 中的 Cauchy 点列，但不是收敛点列；
定理 1（极限唯一性）在距离空间 X 中，收敛点列 x n 的极限是唯一的。
定理 2（极限存在的有界性）在距离空间 X 中的收敛 点列 x n 必有界。 必有界 即 ∃x0 ∈ X , 及实数 r > 0, 使得∀xn , 都有ρ ( xn , x0 ) < r 定理 3 （距离的连续性） 在距离空间 X 中， 距离 ρ(x, y) 是两个变元 x, y 的连续泛函。即当 xn → x0 , yn → y0 时
定义 1(映射) 已知 ( R, ρ ), ( R1 , ρ1 ) ，如果
一定 ∀x ∈ R ⎯⎯⎯ →∃ y ∈ R1 ， 规律
ρ ( x, y) = max x(t ) − y(t )
t∈[ a ,b ]
收敛于 f (x) 。故 P[ a, b] 在 C[a, b] 中稠密。 证明 见参考书 2
O ( x, δ ) = { y ρ ( x, y ) < δ , y ∈ A}称 为 x的 δ 邻 域
不是收敛点列。
内点、开集：设 x ∈ A ，若存在 O( x,δ ) ⊂ A ，称 x 是 A 的
1 1)，则点列{xn } = { n + 1} ⊂ X
例 2 设空间 X=(0,
按定义
内点。若 A 中所有的点都是内点，则称 A 是开集。
1）完备性 定义（完备性）在距离空间 X 中，若 X 中的任一 Cauchy 点列都在 X 中有极限，则称 X 是完备的距离 空间。
A = A′ U A
结论：闭包一定是闭集。A 是闭集 ⇔ A′ ⊂ A ⇔ A = A
结论：在完备的距离空间中，收敛点列与 Cauchy 是 等价的。
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例1
Rn 按欧氏距离是完备的距离空间。 证： 见参考书
1/ p
⎛ n k ⎞ ≤ ⎜ ∑ ai ⎟ ⎝ i =1 ⎠
⎛ n k ⎞ + ⎜ ∑ bi ⎟ ⎝ i =1 ⎠
1/ k
i =1
⎝ i =1
⎛ n q⎞ ⋅ ⎜ ∑ bi ⎟ ⎝ i =1 ⎠
1/ q
，
1 1
其中 ai ,bi 为实数或复数， p + q = 1 。
b
（ k ≥ 1 ， ai , bi 为实数或复数） （2）
2）举例 例 1 设 R1 是非空实数集合， 是非空实数集合 ∀x, y ∈ R ，
1
ρ ( x, y ) ≤ ρ ( x, z ) + ρ ( z , y )
则称实数 ρ(x, y)为元素 x 与 y 之间的距离，称 X 为距 离空间或度量空间，记作(X , ρ )或 X 。距离空间中的元 素也称为“点” ，用“· ”表示。
可见，同一空间可以定义不同的距离，从而形成不 同的距离空间。
5 6
2 - 1
第二章 距离空间
补充不等式 1）Minkowski 不等式
⎛ n ai + bi （1） ⎜ ⎜∑ ⎝ i =1
k
2）Holder 不等式
⎞ ⎟ ⎟ ⎠
1/ k
（1） ∑ aibi ≤ ⎜ ∑ ai ⎟
p
1/ k
n
⎛
n
⎞ ⎠
(∫
b
a
f ( x) + g ( x) dt
k
) ≤ (∫
1 k
b
a
f ( x) dt
k
) + (∫
1/ k
a
g ( x) dt
k
)
1/ k
（2） ∫a f ( x) g ( x) dt ≤
p
b
(∫
b
a
q
f ( x) dt
p
) ⋅(∫
1/ p
b
a
g ( x) dt
q
)
1/ q
其中 f ( x ), g ( x ) 在[ a , b ] 上可积分， k ≥ 1
极限点 （聚点） 、 导集： 设 E 是一个集合，A ⊂ E , x0 ∈ E ， 若在 ∀O ( x0 , δ ) 内都含有属于 A 而异于 x0 的点，则称 x0 为 A 的一个极限点（或聚点） 。 A 的极限点的全体称 为 A 的导集。记作 的导集 记作 A′ 。 闭包：A 的导集与 A 的并集称为 A 的闭包，记作
③ 若定义 ρ 2(x, y) = ( x − y ) ，
2
∀x = ( x1 , x2 ,L, xn ), y = ( y1 , y2 ,L, yn ) ∈ R n
定义 ρ(x, y) =
验证不满足第三条公理，所以 R 空间
1
按定义 ρ 2 不是距离
∑(x − y )
i i i =1
n
2
证明： Rn 在 ρ 下为距离空间， 即通常意义下的欧氏空间。
C[ a, b] 按 ρ 2 ( x, y ) = ⎨ ∫a x(t ) − y (t ) dt ⎬ 是不完备的距离空间
⎧ ⎩
b 2
bBiblioteka Baidu
例 3 距离空间 l 2 和 L2 [a, b] 按通常意义下的距离是完备的。
⎫ ⎭
1/ 2
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2) 稠密性 定义（稠密性）设 X 是距离空间， A, B ⊂ X 。若
7
其中 f ( x) , g ( x) 在[a,b] 上可积分。 特别的 p=q=2 时,有 Cauchy 不等式
8
特别的，当 n=1 时， ρ(x, y) = x − y ，
2 2 当 n=2 时， ρ(x, y) = ( x1 − y1 ) + ( x2 − y2 )
例3 设 C[a, b] 表示定义在[a, b] 上的所有连续函数的 全体。 ∀x(t ), y (t ) ∈ C[ a, b] ，定义 全体
3
① 若定义 ρ( x , y ) = x − y ，
验证知三条距离公理成立，则 R1 按定义 ρ 为距
离空间，即通常意义下的距离空间，常称欧氏空间。
4
x− y ② 若定义 ρ1(x , y )= 1 + x − y ， 验证知三条距离公理
例 2 设 Rn 是 n 维向量全体构成的空间，
成立，所以，R1 按定义 ρ1 也是距离空间
lim xn = x 或xn → x (n → ∞)
n→∞
此时，称 x n 为收敛点列，x 为 x n 的极限点。
xn → x (n → ∞ ) ⇔ 数 列 ρ ( xn , x ) → 0
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ρ ( xn , yn ) → ρ ( x0 , y0 )(n → ∞ )
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2） 柯西点列（Cauchy） 定义 设{x n}是距离空间 X 中的一个点列，若
p
特别的，当 p=2 时， L [ a, b] 称为平方可积的空间。
11
特别的，当 p=2， l 称为平方可和距离空间。
12
2
2 - 2
第二章 距离空间
§2.2 收敛概念
1) 定义（收敛点列） 设 X 是一个距离空间，{x n}是 X 中点列， x ∈ X 。若 n → ∞时, ρ ( xn , x ) → 0 （即 ∀ε > 0, ∃N , 当 n > N时 , ρ ( xn , x) < ε ） 则称点列 x n 在 X 中按距离 ρ 收敛于 x，记作
例5
p 设 l ( P ≥ 1) 是所有 p 方可和的数列所成的集合，
∞ p
⎛ 全体，即 L [a, b] = ⎜ x(t ) ⎝
p
∫
b
a
⎞ x(t ) dt < +∞ ⎟ 。 ⎠
p
即∀x = { xi } 满 足 ∑ xi
i =1
p
< +∞ ，
p
∀x(t ), y (t ) ∈ Lp , 定义 ρ ( x, y ) =
定理（稠密等价）设 A, B ⊂ X ，以下四个命题等价 （1）B 在 A 中稠密； （2） B ⊃ A ，即 A 的任何点都是 B 或者 B 的聚点； （3）∀x ∈ A ，x 的任何邻域 O ( x , δ ) 中都含有 B 中的点； （4） ∀δ > 0, 必有 U O ( x, δ ) ⊃ A 。
x (t ) − y (t ) 是完备的距离空间； 例 4 C [ a , b ] 按 ρ ( x, y ) = tmax ∈[ a ,b ]
例2 有理数空间 Q 按欧氏距离是不完备的距离空间。
C [ a , b ] 按 ρ1 ( x, y) = ∫a x(t ) − y(t ) dt 是不完备的距离空间
n, m → ∞时，ρ ( xn , xm ) → 0
定理
（ X , ρ） 若{x n}是 中的收敛点列，则{x n}一定是
Cauchy 点列；反之，Cauchy 点列不一定是收敛点列
证明：设 n → ∞时, ρ ( xn , x ) → 0 ，
（即 ∀ε > 0, ∃ N , 当 n, m > N 时 , ρ ( xn , xm ) < ε ） 则称 x n 为基本点列或 Cauchy 点列。
1 2
§2.1 定义和举例
1）定义（距离空间） 设 X 是非空集合，若
按一定 ∀x, y ∈ X ⎯⎯⎯ →∃ ρ(x, y)≥ 0，且满足（距离公理） 规则
距离 ρ(•, •)是集合 X×X （称为乘积空间或笛卡尔 积空间）到实数集合 R1 上的二元泛函（或称函数） 。
（1）非负性 ρ(x, y ) ≥ 0,当且仅当x = y时, ρ(x, y ) = 0 （2）对称性 ρ(x, y) = ρ(y, x) （3）三角不等式 ∀z ∈ X , 有
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第二章 距离空间
例 2 设 P[a, b] 为实系数多项式全体构成的集合，则
∀f (x) ∈ C[a, b] ，必存在 P[a, b] 中的多项式列 Pn ( x ) 按距离
3）距离空间的完备化 距离空间的完备性在很多方面都起着重要的作用。 如何将一个不完备的距离空间扩充为完备的距离空间? 这就是距离空间完备化的问题。
p 则 L [ a, b] 是距离空间，常称为
2
p 方可积的空间。
(∫
b
a
x (t ) − y (t ) dt
)
1/ p
⎛ ∞ xi − yi 对于 ∀x = { xi }, y = { yi } ∈ l ,定义ρ ( x, y ) = ⎜ ⎜∑ ⎝ i =1
p
⎞ ⎟ ⎟ ⎠
1/ p
，
则 l 是距离空间，常称为 p 方可和的空间。
x∈B
∀x ∈ A ，总存在 B 中的点列 x n 收敛于 x （即 ∀x ∈ A, ∃{xn } ⊂ B ，使 使 lim xn = x ） ，
n→∞
则称 B 在 A 中稠密。
例1
有理数集 Q 与无理数集 QR 都在 R1 中稠密。
C
性质：设 A, B, C ⊂ X ，若 A 在 B 中稠，B 在 C 中稠， 则 A 在 C 中稠。
如果在 R 中，定义 d(x, y ) = x1 − y1 + x2 − y2 ，
2
ρ ( x, y ) = max x(t ) − y (t )
t∈[ a ,b ]
验证得知 R 按 d 也是距离空间，但与欧氏空间是不同
2
的度量空间。
则 C[ a, b] 是距离空间。
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p 例4 设 L [a, b] ( P ≥ 1) 表示[ a , b ] 上 p 方可积的所有函数的