材料力学__压杆稳定概念_欧拉公式计算临界力
材料力学10压杆稳定_1欧拉公式
◆ 本例中，三杆截面面积基本相等，但由于其形状不同， Imin 不
同，致使临界力相差很大。最合理的截面形状为圆环形。
14
[例3] 图示各杆均为圆形截面细长压杆。已知各杆的材料及直径相 等。问哪个杆先失稳？ 解：由于各杆的材料及 截面均相同，故只需比
1.3 a F F F
较其相当长度 l 即可
a
杆A： 2 l 2a
F
F
2 1
0.7
压杆两端固定可轴向移动：
0.5
6
上述弹性压杆临界力的计算公式称为欧拉公式
Fc r
π 2 EI
l
2
说明： 1）欧拉公式的适用范围：线弹性（ ≤ p）
2）在压杆沿各个方向约束性质相同的情况下（即各个方向上 的 相等），I 应取最小值 3） l 称为压杆的相当长度
2
2000年10月25日上午10 时，南 京电视台演播中心由于脚手架 失稳使屋顶模板倒塌，导致死 6 人，伤 34 人。
3
2010年1月3日，通往昆明新机场的一座在建桥梁施工时因 支撑结构中的压杆失稳而坍塌，共导致 40 余人死伤。
4
二、压杆的临界力 使压杆由稳定向失稳转化的轴向压力的界限值称为压杆的临界力， 记作 Fcr 。即当 F ＜ Fcr ： 压杆稳定 F ≥ Fcr ： 压杆失稳 亦可将压杆的临界力 Fcr 理解为使压杆失稳的最小轴向压力
hb3 1 Iy 90 403 48 108 m 4 12 12
根据欧拉公式，此压杆的临界力
Fcr
π 2 EI y l
2
23.8 kN
11
[例2] 一端固定，一端自由的中心细长压杆。已知杆长 l = 1m , 材 料的弹性模量 E = 200 GPa。当分别采用图示三种截面时，试计算 其临界力。
材料力学-压杆稳定
Pcr
2 EI
l2
此时若杆件横截面不同时 ，取 I I m in ，弯曲发生在抗弯 能力最弱的平面内。称最小刚度平面。 对于其他约束条件，常数 c1, c2 , k 由约束条件确定，经推导得： 两端铰支： 1 微弯曲线为正弦半波形状 2 EI 一端固定一端自由： 2 微弯曲线为半个正弦半波 pcr 2 ( l ) 两端固定： 0.5 一端固定一端铰支： 0.7
n0 p 0
不符合情况
n 1 pcr
2 EI
l2
这就是确定两端铰支压杆临界载荷的 欧拉公式，其临界力称欧拉临界力。它 与抗弯刚度EI成正比，与杆长L2成反比。 这公式只适用于弹性稳定问题
7
此时挠度
n y ( x) c1 sin k x c1 sin x l x y ( x) c1 sin (0 x l ) 正弦半波形 l
10
§13-5
临界应力与柔度、三类不同的压杆
杆件尺寸不同，其失稳的形式也不同。P335 对于“细长”杆：发生弹性失稳的可能性较大。 ---“弹性屈曲” 对于“粗短”杆：发生材料屈服的可能性较大。 ---“屈服” 对于“中长”杆：有可能发生失稳，但其临界应力已超过比例极 限， 局部区域已进入塑性。 ----“弹塑性屈曲” 怎样区分三类不同的压杆？即多长的杆会发生弹性屈曲、屈服 、弹—塑性屈服？下面引入“柔度”概念。 临界应力 cr ： Pcr cr
3
当纵向力P较小时，可看到扰动除去后，杆经若干次振动 而恢复原来的直线形式，即表明此时压杆直线形式的弹性平衡 是稳定的。 当总向力P较大时，可看到扰动除去后，杆不能恢复原来 的直线形式，而且继续弯曲，最后转入新的稳定平衡形式。即 曲线形式或由于弯曲太甚而杆被折断，此表明原来的弹性平衡 不稳定。 这说明：当压力大于一定数值时，压杆存在两种可能的平衡 形式。即直线和弯曲的平衡形式。但直线形式是不稳定的。而 压杆从直线平衡形式到弯曲平衡形式的转变称为“失稳”或“ 弯曲”。 那么当压力多大时，直线平衡形式不稳定（被破坏）？
材料力学压杆稳定概念欧拉公式计算临界力
材料力学压杆稳定概念欧拉公式计算临界力材料力学是研究物体受力及变形行为的一门学科。
压杆稳定是材料力学中重要的概念之一、当一个杆件受到作用力时，如果杆件不发生任何形状上的变化，我们称之为杆件处于稳定状态。
然而，当作用力超过一定临界值时，杆件就会发生失稳，产生形状上的变化。
因此，欧拉公式就是用来计算杆件临界力的一种方式。
欧拉公式由瑞士数学家欧拉于18世纪中叶首次提出。
它的基本假设是杆件是理想化的，即杆件是均匀、无缺陷、具有均匀截面的杆件。
根据欧拉公式，杆件临界力可通过以下公式计算：Pcr = (π^2 * E * I) / L^2其中，Pcr表示临界力，E表示杨氏模量，I表示截面惯性矩，L表示杆件的有效长度。
从上述公式中可以看出，临界力与材料的弹性模量有关，即材料越硬，临界力越大；同时临界力与截面的形状也有关，即截面惯性矩越大，临界力越大；临界力还与杆件长度有关，即杆件越短，临界力越大。
例子：假设有一根长为L的无缺陷的圆柱形杆件，其截面半径为r，杨氏模量为E。
根据材料力学的知识，该圆柱形杆件的截面惯性矩可计算为I=(π*r^4)/4Pcr = (π^2 * E * ((π * r^4) / 4) ) / L^2通过上述公式，可以计算出该无缺陷的圆柱形杆件的临界力。
这个临界力表示了该杆件能够承受的最大作用力。
如果作用力超过了临界力，该杆件将发生失稳，产生形状上的变化。
总结起来，材料力学中的压杆稳定概念是指杆件在受力作用下不发生形状上的变化。
欧拉公式是用来计算杆件临界力的一种常用公式，可以帮助工程师们确定杆件的最大承载能力。
压杆临界力的计算公式
压杆临界力的计算公式1.欧拉公式：欧拉公式是压杆稳定性分析中最常用的一种方法。
根据欧拉公式，压杆的临界力可以通过以下公式计算：Pcr = ((π^2)EI) / ((KL)^2)其中，Pcr表示压杆的临界力，E表示材料的弹性模量，I表示压杆的截面面积惯性矩，K表示杆的端部支座的系数，L表示杆的长度。
欧拉公式适用于较细长的压杆，在其它条件相同的情况下，杆的截面越大，临界力就越大；杆的长度越长，临界力就越小。
同时，欧拉公式适用于直线变形的杆，不能用于弯曲变形。
2.莱昂哈德公式：莱昂哈德公式是考虑了杆的端部支座的影响，在欧拉公式的基础上进行修正的公式。
该公式计算压杆的临界力如下：Pcr = ((KLEI) / (r + ((2L)/π)) ^ 2)其中，Pcr表示压杆的临界力，E表示材料的弹性模量，I表示压杆的截面面积惯性矩，K表示杆的端部支座的系数，L表示杆的长度，r表示杆的端部支座的半径。
3. Adomian分解法：Adomian分解法是一种近似求解非线性微分方程的方法，在压杆临界力的计算中也有应用。
该方法通过将非线性方程分解为无穷级数的形式，然后将其逐级近似求解。
Adomian分解法的具体步骤如下：-(1)将压杆的平衡方程进行分解：Mx''(x)+f(x)=0，其中，M表示压杆的弯矩，f(x)表示外力。
-(2)将平衡方程表示为无穷级数的形式：x''(x)=∑An(x)。
-(3)通过逐级近似求解无穷级数，得到压杆临界力。
Adomian分解法的优点是可以处理非线性问题，但是在具体应用中需要取不同级数的项进行求解，并选择适当的近似方法。
4.极限平衡法：极限平衡法是一种通过平衡条件来确定压杆临界力的方法，它适用于复杂的压杆分析问题。
该方法的基本思想是，在压杆失稳之前，杆的初始形状必须满足平衡条件。
具体步骤如下：-(1)假设杆的初始形状（如弯曲、扭转等）。
-(2)根据平衡条件计算外力和内力。
细长压杆的临界压力欧拉公式
(2)
Fc r正 Fc r圆
π2EI正
( l)2
π2 EI圆
I正 I圆
a4
12 πd 4
( l)2
64
πd 2 4
2
12 πd 4
64
π 3
例2：图示两桁架中各杆的材料和截面均相同，设 F1和F2 分别为这两个
桁架稳定的最大载荷，则
(A) F1 = F2；
π2EI
( l )2
称为长度因数，l 称为相当长度
π2EI (0.5l ) 2
0.5
Fc r
π2EI (0.7l ) 2
0.7
Fc r
~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
π2EI (2l ) 2
2
Fc r
π2EI l2
1
Fc r
例1：圆截面的细长压杆，材料、杆长和杆端约束保持不变，若将压杆的
直径缩小一半，则其临界力为原压杆的多少倍？若将压杆的横截面改变为面
积相同的正方形截面，则其临界力为原压杆的多少倍？
解：(1)
Fc r
π2EI
(l)2
π2E πd 4 64
第一讲 基本概念与欧拉公式
一：压杆稳定的概念
钢板尺：一端固 定 一端自由
Fcr ：临界压力
二：细长压杆的临界压力
一、两端铰支细长压杆的临界压力
M (x) F w
EI w M (x) F w
压杆稳定计算简介
压杆的稳定条件为
p j[ ]
A
9.5 压杆稳定计算简介
了解压杆稳定的概念。 熟悉临界力和欧拉公式的计算。 掌握压杆稳定的校核。
一、临界压力和欧拉公式
杆件所受压力逐渐增加到某个限度时，压杆将 由稳定状态转化为不稳定状态。这个压力的限
度称为临界压力Pcr。它是压杆保持直线稳定形
状时所能承受的最小压力。
欧拉公式
pcr
2EI ( L) 2
1、熏烟的成分及作用
熏烟的成分很复杂，由气体、液体、固体微粒组成 的混合物，因熏材种类和熏烟的产生温度不同而不同， 且其状态和变化迅速，一般认为熏烟中最重要的成分是 酚、醇、有机酸、羰基化合物和烃类等。
2、熏制加工目的
1、赋予制品特殊的烟熏风味，增加香味 2、使制品外观产生特有的烟熏色，对加硝制品有促进发 色的作用 3、杀菌消毒，防止腐败变质，使制品耐贮藏
醇类：
木材熏烟中的醇种类繁多，最常见的为甲醇，又称木 醇，熏烟中还有伯醇、仲醇和叔醇等，为挥发性物质的载 体，杀菌能力较弱。
3、影响熏制的因素
熏烟质量
熏制的作用取决于熏烟质量如熏烟中成分种类和浓度等，而熏烟质量 的高低与燃料种类、燃烧温度等产生方式和条件有关。
熏制温度
熏制时温度过低，不会得到预期的熏制效果。但温度过高，会由于脂 肪融化、肉的收缩，达不到制品质量要求。常用的熏制温度为35~50℃， 一般熏制时间为12~48h。
EI－抗弯刚度 ；L－压杆的长度
μ－长度（支座）系数 ；固定 一端固定 两端铰支 一端固定
束情况
一端铰支
材料力学6-压杆稳定分析
)
2
]235
[10.43(
89.3 123
)2
]18
.7MPa
PcrA cr28.36710 4181 .7106304 kN
安全系数
nPcr 3042.02 P 150
➢ 计算临界压力基本步骤：
（1）判断杆件向哪个方向失稳：计算每个方向柔度 系数，找到最大柔度；
（2）判断柔度系数所在区间； （3）按所在区间分别按欧拉公式或经验公式、强度
我国建筑业常用：
cr
s
1
c
2
对于A3钢、A5钢和16锰钢： 0.43，c
2E 0.56 S
c 时，由此式求临界应力 。
②s< 时：
cr s
例4 一压杆长L=1.5m，由两根 56568 等边角钢组成，两端铰支，压力P=150kN，角 钢为A3钢，试用欧拉公式或抛物线公式求临界压力和安全系数。
支承情况
两端铰支
一端固定 另端铰支
两端固定
一端固定 另端自由
两端固定但可沿 横向相对移动
Pcr
Pcr
Pcr
Pcr
Pcr
失
稳 时
B
B
B
l l 0.7l l 0.5l
l 2l l 0.5l
挠
D
曲
线 形
C
C
状
A
A
A
C— 挠曲 C、D— 挠
线拐点 曲线拐点
C— 挠曲线拐点
临界力Pcr
欧拉公式
Pc
r
2
l
EI
2
解：一个角钢：
z y
A18.367cm2, I y123.63cm4
两根角钢图示组合之后
材料力学-压杆稳定
1．直线型经验公式
对于柔度(λs≤λ<λp)的中柔 度杆（中长压杆），临界应力 与λ的关系采用直线公式：
cr a b 13 8
式(13-8)中的系数a,b可查书中表 13-1。 λ的最低界限：
s
a
s
b
(塑性材料)
b
a
b
b
(脆性材料)
---------(13-9)
图13-3
2．抛物线型经验公式
式中有c1,c2,k三个未知量。根据边界条件：当x=0时， yA=0；代入式(c)得c2=0。式(c)成为
y c1 sinkx (d )
当x=l时，yB=0；代入式(d)后可得 c1 sinkl 0 (e)
要满足式(e)，必然是c1或sinkl等于零，若c1=0，则压杆 上各点的位移都为零，这显然与压杆在微弯状态下保持平衡 的前提不符，故必须是sinkl=0。要满足这一条件的kl值为：
kl 0, ,2 ,L ,n （n为正整数）
由k P n 可得：
EI l
P
n2 2 EI
l2
(
f
)
使压杆可能在微弯状态下保持平衡的最大轴向压力，应
该是式(f) 中n=1时的P值，这就是所求的两端铰支压杆的临
界力Pcr，即
Pcr
2 EI
l2
(13 1)
式(13-1)习惯上称为两端铰支压杆的欧拉公式。当各个 方向的支承情况相同时（如两端为球铰），压杆总是在它的 抗弯能力最小的纵向平面内失稳，所以式(13-1)中的EI是压 杆的最小抗弯刚度，即I应取截面的最小形心主惯性矩Imin。
2
图13-4 对于柔度(λ<λc)的杆件，临界应力与λ的关系采用抛物线公式：
材料力学压杆稳定概念欧拉公式计算临界力演示文稿
材料力学压杆稳定概念欧拉公式计算临界力演示文稿一、引言大家好，今天我将为大家介绍材料力学中的压杆稳定概念以及欧拉公式的计算方法。
压杆稳定是材料力学中重要的概念，对于设计结构的稳定性和安全性具有重要意义。
欧拉公式是计算压杆临界力的关键公式，我们将通过演示来说明其应用方法。
二、压杆稳定概念在材料力学中，压杆指的是在受压载荷作用下会出现屈曲失稳现象的结构元件。
在受压载荷下，压杆往往会发生弯曲、屈服、断裂等失稳形态，这些失稳形态都会导致结构的破坏和力学性能的下降。
因此，压杆的稳定性是设计和分析结构的重要考虑因素之一压杆稳定主要受以下因素影响：1.压杆的几何形状，包括长度、截面形状等；2.压杆的材料力学性质，如弹性模量、屈服强度等；3.压杆的边界条件，如固定端、自由端等。
三、欧拉公式的推导欧拉公式是计算压杆临界力的经典公式，其推导基于材料力学中的弹性稳定理论。
其表达式为：Pcr = (π²EI)/(Kl/r)²其中，Pcr为压杆的临界力；E为材料的弹性模量；I为截面的惯性矩；K为端部系数（取决于边界条件）；l为压杆的长度；r为截面的半径或半宽。
四、欧拉公式的应用1.计算压杆的临界力将具体的压杆参数代入欧拉公式，即可计算出压杆的临界力。
临界力是指当压杆受到该力时，会发生屈曲失稳现象。
因此，设计和使用压杆时，其受力不应超过临界力以保证结构的稳定性和安全性。
2.优化设计结构欧拉公式的计算结果可以用于优化设计结构。
通过改变压杆的长度、截面形状或材料，可以得到不同的临界力。
在满足结构强度和刚度的前提下，可以选择较大的临界力，以提高结构的稳定性和安全性。
五、演示为了更好地理解欧拉公式的应用，接下来我将进行一次实际的演示。
1.实验准备准备一个压杆样品，测量其长度和截面尺寸，并记录下材料的弹性模量。
2.欧拉公式计算根据测量得到的压杆参数，代入欧拉公式，计算临界力。
3.施加载荷将一定的载荷作用于压杆样品上。
材料力学压杆稳定概念欧拉公式计算临界力课件
杆的长度远大于横截面尺 寸，且横截面尺寸保持不 变。
杆的材料需满足胡克定律 ，即应力与应变成线性关 系。
欧拉公式在压杆稳定中的应用
01
通过欧拉公式，可以计算出压杆在临界状态下的临界力，即压杆失稳 前的最大承载力。
02
临界力的大小与压杆的材料、截面形状、尺寸等因素有关，是评估压 杆稳定性能的重要指标。
通过优化载荷分布，可以改善压杆的受力状态，从而提高稳定性。
THANKS
感谢观看
详细描述
理想压杆的临界力不受压杆重量和惯性影响，因此在实际应用中 ，需要考虑这些因素对临界力的影响。
实际压杆临界力计算
总结词
实际压杆是指考虑自身重量和惯 性影响的压杆，其临界力计算需 考虑这些因素。
总结词
实际压杆的临界力受到自身重量 和惯性影响，因此需要考虑这些 因素对临界力的影响。
详细描述
在计算实际压杆的临界力时，需 要考虑压杆自重产生的挠度以及 横截面面积和长度等因素的影响 。
02
推导过程中，考虑了压杆的弯曲变形和轴向压缩变形，利用能
量守恒和弹性力学的基本方程，最终得到了欧拉公式。
推导过程涉及了数学和物理的相关知识，需要一定的专业背景
03
和理论基础。
欧拉公式应用条件
欧拉公式适用于理想弹性 材料制成的细长等截面直 杆。
杆的受力方式为两端受压 ，且轴向压力逐渐增加直 到临界状态。
材料力学压杆稳定概念欧 拉公式计算临界力课件
• 压杆稳定概念 • 欧拉公式 • 临界力计算 • 压杆稳定性的影响因素 • 提高压杆稳定性的措施
01
压杆稳定概念
压杆失稳现象
01
02
03
弯曲变形
当压杆受到压力时，可能 会发生弯曲变形，导致承 载能力下降。
稳定应力计算公式
稳定应力计算公式一、压杆稳定（欧拉公式）1. 细长压杆（理想情况）- 对于两端铰支的细长压杆，其临界力F_cr的计算公式为：F_cr=frac{π^2EI}{l^2}，其中E为材料的弹性模量，I为压杆截面的最小惯性矩，l为压杆的长度。
- 相应的临界应力σ_cr计算公式为：σ_cr=frac{F_cr}{A}=frac{π^2E}{λ^2}，这里A是压杆的横截面面积，λ=(l)/(i)称为柔度，i = √(frac{I){A}}是截面的惯性半径。
2. 一端固定、一端自由的细长压杆。
- 临界力F_cr=frac{π^2EI}{(2l)^2}- 临界应力σ_cr=frac{F_cr}{A}=frac{π^2E}{(2λ)^2}3. 一端固定、一端铰支的细长压杆。
- 临界力F_cr=frac{π^2EI}{(0.7l)^2}- 临界应力σ_cr=frac{F_cr}{A}=frac{π^2E}{(0.7λ)^2}二、梁的整体稳定。
1. 单向受弯钢梁的整体稳定临界弯矩M_cr- 对于双轴对称工字形截面简支梁，在纯弯曲作用下（荷载作用在梁的最大刚度平面内），其临界弯矩M_cr的计算公式为：M_cr=(π)/(l)√(EIyGJ)<=ft(1 + frac{π^2EIy}{l^2GJ})其中Iy为梁绕弱轴y的惯性矩，GJ为梁的扭转刚度（G为剪切模量，J为截面的扭转常数），l为梁的跨度。
- 临界应力σ_cr=frac{M_cr}{W_x}，W_x为梁绕强轴x的抗弯截面系数。
2. 考虑不同荷载作用形式和梁的侧向支撑情况时。
- 对于有侧向支撑的梁，临界弯矩会根据支撑间距等因素进行修正。
例如，对于跨中受集中荷载P的简支梁，其临界弯矩M_cr可近似按下式计算：M_cr=β_b(π)/(l)√(EIyGJ)<=ft(1 + frac{π^2EIy}{l^2GJ})其中β_b是根据荷载类型、作用位置等因素确定的系数。
细长压杆临界力的欧拉公式
杆端约束为两端铰支， =1；在xz平面内杆端约束为一端铰支、一 端固定， =0.7。故失稳将发生在xy平面内，应取 =1进行计算。
临界力为
Fcr
π 2 EI
( l)2
π2 200109 Pa 0.049104 m4
1 42 m2
0.6 106 N 600kN
Iy
140 803
12
mm4
597.3 104 mm4
597.3 108 m 4
故临界力为：
Fcr
π2EIy
(l)2
2
10109 Pa 597.31 (1 3)2 m2
0-8
m4
655102 N 65.5kN
在临界力Fcr作用下，木柱将在弯曲刚度最小的xz平面内发生失稳。
目录
建筑力学
Asinkl=0
由上式推出A=0或sinkl=0。如果A=0，则y=0，这与压杆处于微弯形
状平衡状态的假定相矛盾。故A≠0，而必须
sinkl=0
目录
压杆稳定\细长压杆临界力的欧拉公式
由此得
代入
kl nπ 或 k nπ (n 1,2,3) l
Fcr k 得 EI
Fcr
n2 2EI
l2
(n 1,2,3)
建筑力学
压杆稳定\细长压杆临界力的欧拉公式
细长压杆临界力的欧拉公式
1.1 两端铰支细长压杆的临界力
临界力Fcr也是压杆处于微弯形 状平衡状态所需的最小压力，由此 我们得到确定压杆临界力的一个方 法：假定压杆处于微弯形状的平衡 状态，求出此时所需的最小压力即 为压杆的临界力。
首先考虑两端铰支细长压杆的临
材料力学压杆稳定第3节 欧拉公式及经验公式
S
a S
b
304 235 1.12
63
综述
对于由合金钢、铝合金、铸铁等制作的 压杆，根据其柔度可将压杆分为三类：
（1） P 的压杆，称为大柔度杆或细长杆
由欧拉公式 计算其临界应力
cr
2E 2
p
（2）S P 的压杆，称为中柔度杆或中长杆
由直线型经验公 式计算临界应力
2E 12
2
206109 1602
79.3 MPa
Fcr1 cr1A 79.3106 0.00785N 623 kN
（b）第二根压杆的临界载荷
2
l2
i
21 0.025
80
60 P 100
60 P 100 该杆为中柔度压杆，用直线公式求：
有关的常数，其单位是
MPa。与前式中的 a 、
b 值是不同。
根据欧拉公式与抛物线 经验公式，得低合金结
构钢等压杆的 cr总图。
cr a1 b12
cr
2E 2
P
例7-5 3 根材料相同的圆形截面压杆，均为一端固
定、一端自由，如图所示，直径均为d 100mm，皆 由 Q235 钢制成，材料的 E 206 GPa， b 200 MPa， S 235 MPa，a 304 MPa，b 1.12 MPa。试求各杆
Fcr A
2EI (l)2 A
令 i I A
令 l
i
cr
2Ei2 (l)2
2E
(
l
材料力学第11章 压杆稳定
长度系数
一端固定，另一端自由 两端铰支
2 1
一端固定，另一端铰支
2 0.7
3
两端固定
1 0.5
2
第十一章 压杆稳定
§11.3 欧拉公式的使用范围 临界应力总图
一、欧拉临界应力公式及其使用范围 二、中柔度压杆的临界应力 三、小柔度压杆的临界应力 四、临界应力总图
§11.3 欧拉公式的使用范围 临界应力总图
2E 2
O 小 0 中 p 大
柔柔
柔
度度
度
压压
压
杆杆
杆
可见：压杆的临界应力随着其柔度的增大而减小
§11.3 欧拉公式的使用范围 临界应力总图
例1 图示用No.28a工字钢制成的立柱，两端固定，
试求立柱的临界压力。
解：1.求
F
查表：i imin iy 2.50 cm, A 55.4 cm2
ymax
欧拉公式适用于小变形情况
§11.2 细长压杆临界压力的欧拉公式
二、其他约束下细长压杆的临界压力
解法：比较变形法
1.一端固定、另一端自由
Fcr
Fcr
2EI
Fcr (2l)2
l
l
l
Fcr
§11.2 细长压杆临界压力的欧拉公式
二、其他约束下细长压杆的临界压力
解法：比较变形法
2.两端固定
b=20
b 2.57 MPa
h=45
cr a b y 289.6 MPa
Fcr cr A 261 kN y
n
Fcr F
4.35
nst
∴ 连杆安全
l 1=800
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x
x 0时，y 0 x l时, y 0
0 A sin 0 B cos 0 0 A sin kl B cos kl
l
M ( x)
FN Fcr
y
Fcr k2 令： EI
一、推导（两端铰支）
x
Fcr
2 EI
l2
梁的弯矩方程:
Mechanic of Materials
F Fcr
B
Fcr
B
M ( x) Fcr y
梁的挠曲线近似微分方程:
EIy '' Fcr y
y '' Fcr y EI
Q
y
A
EI z y '' M ( x)
F=Fcr
压 杆 与 小 球 的 平 衡 类 比
随遇平衡
干扰力去除，压杆保持微弯的平衡状态
§9.1 压杆稳定的概念
F>Fcr
Mechanic of Materials
压 杆 与 小 球 的 平 衡 类 比
不稳定平衡
干扰力去除，继续变形，直至折断
§9.1 压杆稳定的概念
压杆的三种平衡状态比较
F<Fcr F=Fcr F>Fcr
（2）或定义为使压杆失稳的最小载荷 注：试验法测Fcr,上述两个定义将是一致的。 如用理论推导的方法，则前一定义无法建立数学方程 常研究微弯状态的平衡，即失稳所需最小载荷作为Fcr 2、临界应力σcr： σcr=Fcr/A σcr—临界应力(critical stress）
§9.2 两端铰支细长压杆的临界力
Mechanic of Materials
1917年，在经历了两次惨痛的悲剧后， 魁北克大桥终于竣工通车。 工程师之戒 (Iron Ring) 1907年的第一次坍塌灾难极为深重，是 一起强调强度设计而未知压杆屈曲失稳造 成的桥梁倒塌
压杆稳定引言 Mechanic of Materials
该桥梁倒塌事故的原因是对结构构件的受压失稳机理没有认识 从此桥梁等结构设计中迅速开展了压杆稳定的试验研究工作
使结构设计从只强调强度设计,变为必须考虑强度、 刚度与稳定性并重的更完善的体系。
压杆稳定引言 五、压杆稳定的奠基人
十八世纪
欧拉(Euler，1707－1783)，数学家 及自然科学家。 于1757年对梁的弹性 曲线作了深刻地分析和研究, 这方面的 成果见《曲线的变分法》。
一生共写下了886本书籍和论文。在失明后的17年间，他还 口述了几本书和400篇左右的论文。
液压缸顶杆
千斤顶
压杆稳定引言 稳定性问题
液压机构中的顶 杆，如果承受的压 力过大，或者过于 细长，就有可能突 然由直变弯，发生 稳定性失效。
Mechanic of Materials
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压杆稳定引言
四、压杆失稳实例
著名工程师 里奥多· 库珀设计
加拿大魁北克大桥。1907 年8月29日下午5点32分，即将 建成的大桥突然倒塌，当场造成 了至少75人死亡，多人受伤。 1913年，这座大桥的建设重 新开始，然而不幸的是悲剧于 1916年9月再次发生。
Mechanic of Materials
十九世纪后期
近代压杆稳定计算奠基之一：雅辛斯基（1856-1899），俄国工 程师和科学家。 提出中、小柔度压杆临界应力计算的直线公式。
§9.1 压杆稳定的概念
一、压杆的两类力学模型
1、轴心受压杆 （1）杆由均貭材料制成； （2）轴线为直线； （3）外力的作用线与 压杆轴线重合。 （不存在压杆弯曲的初 始因素） 《材料力学》研究对象 2、小偏心压杆与初 弯曲压杆
第九章
压杆稳定
目录
第二十六讲的内容、要求、重难点
教学内容： Mechanic of Materials
压杆稳定的基本概念，不同约束、轴心受压压杆临界力的欧 拉公式。欧拉公式的适用范围。
教学要求：
1、了解压杆稳定性的概念，临界力，三种平衡；
2 、理解两端铰支轴心受压压杆临界力的欧拉公式推导、欧 拉公式的适用范围； 3、掌握欧拉公式的应用。
外力超过某值,压杆突然变
弯,不再保持原有的直线状态平
衡,过渡为曲线形状的平衡,甚 至折断。
F F F
五、失稳的实质
压弯组合变形
y
M= F·y
FN = F
§9.1 压杆稳定的概念
六、临界力、临界应力
1、临界力Fcr：
判断压杆是否 失稳的指标
Mechanic of Materials
（1）压杆保持直线稳定平衡状态所能承受的最大载荷
Fmax A[ ]
4 压杆的稳定性试验 （实测Pmax= 160N，与计算值相差近20倍）
0.0202 107 3141N
造成计算结果与实测值不符的原因是较长的压杆存在稳定问题 ，因而强度计算方法对这类杆件的设计不适用。
目录
压杆稳定引言
三、工程实例
Mechanic of Materials
Mechanic of Materials
F
F
F
§9.1 压杆稳定的概念
二、压杆的三种平衡状态
Mechanic of Materials
F<Fcr
稳定平衡
干扰力去除后，压杆经数次摆动，恢复原有直线平衡状态
压 杆 与 小 球 的 平 衡 类 比
§9.1 压杆稳定的概念 Mechanic of Materials
轴向拉压杆的承载力，强度条件：
FN [ ] A
材料失效表现为屈服或断裂 二、知新
该公式的适用条件是什么？
是否适用于所有的轴向拉伸和压缩杆？
目录
压杆稳定引言
一根长2m的柳条木，直径d=20mm, [σ]=10MPa, 承压时其Fmax=? 解：若按强度计算
Mechanic of Materials
重点： 临界力的概念、及其计算
难点： 欧拉公式的推导。
学时安排：2学时
第二十六讲的目录
第九章 压杆的稳定
§9.1 压杆稳定的概念
Mechanic of Materials
目录
§9.2 两端铰支细长压杆的临界力 §9.3 其他支座条件下细长压杆的临界力
§9.4 欧拉公式的适用范围 经验公式
目录
压杆稳定引言 一、温故
Mechanic of Materials
1、 稳定平衡
干扰力去除，恢复直线
2、随遇平衡
干扰力去除，保持微弯
3、不稳定平衡
干扰力去除，继续 变形，直至折断
§9.1 压杆稳定的概念
三、压杆的稳定性：
F>Fcr
Mechanic of Materials
压杆保持原有直线形式平 衡状态的能力。
四、压杆失稳