数学学案：切线长定理和内切圆

切线长定理和内切圆
学习目标
1、了解切线长的概念．了解三角形的内切圆、三角形的内心等概念。

2、理解切线长定理，并能熟练运用切线长定理进行解题和证明（重点）
3、会作已知三角形的内切圆（重点） 学习的重、难点：
重点：切线长定理及其运用．难点：切线长定理的导出及其证明和运用切线长定理解决问题。

一、复习巩固
1、 直线和圆有几种位置关系？分别是那几种？_______________________________________
2、 如何判断直线与圆相切？_______________________________________________________
3、 角平分线的判定和性质是什么？_________________________________________________
二、问题探索
问题1：如图，纸上有一⊙O ，PA 为⊙O 的一条切线，沿着直线PO 将纸对折，设圆上与点A 重合的点为B ，这时，OB 是⊙O 的一条半径吗？PB 是⊙O 的切线吗？利用图形的轴对称性，说明图中的PA 与PB ，∠APO 与∠BPO 有说明关系？
得出结论：经过圆外一点作圆的切线，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的 证明：∵PA 、PB 是⊙O 的两条切线， ∴OA ⊥AP, OB ⊥BP.
在Rt △AOP 和Rt △BOP 中
∴Rt △AOP ≌Rt △BOP （ ）
∴PA=PB, ∠OPA=∠OPB.（ ）
P A O
P A
O B
B
A
B
C
E D
O O
B
C
A
O
B
C A
P
O
B
A P
B
O
A
切线长定理：从圆外一点可以引圆的两条 ，它们的切线 ，
这一点和圆心的连线 两条切线的 .
思考2：如图，是一张三角形的铁皮，如何在它上面截下 一块圆形的用料，并且使圆的面积尽可能大呢？
（提示：假设符合条件的圆已经做出，那么它应当与三角形的三条边都相切，这个圆的圆心到三角形的三条边的距离都等于半径。

如何找到这个圆心呢？）．
并得出结论：与三角形各边都 的圆叫做三角形的内切圆， 内切圆的圆心是三角形三条 的交点，叫做三角形的内心。

三、例题评讲
例1 PA ，PB 是⊙O 的切线，A ，B 为切点，∠OAB=30°． （1）求∠APB 的度数；
（2）当OA=3时，求AP 的长．
例2 如图，已知⊙O 是△ABC 的内切圆，切点为D 、E 、F ，如果AE=2， CF=1，BF=3．求△ABC 的面积和内切圆的半径r ． 解：
四、当堂练习：
1如图1，从圆外一点P 引⊙O 的两条切线PA ，PB ，切点分别为A ，B ，如果∠APB=60°，PA=10，则弦AB 的长（ ）A ．5 B. 35 C.10 D. 310
2. 如图2,点O 是△ABC 的内切圆的圆心,若∠BAC=80°, 则∠BOC 等于( ) A. 130° B. 100° C 50° D 65°
3． 如图3, ⊙O 与∠ACB 两边都相切,切点分别为A,B,且∠ACB=90°, 那么四边形ABCD 是 4．.如图4，PA ，PB 是⊙O 的切线，A ，B 为切点，∠OAB=30°，则∠APB ＝________。

图1 图2 图3 图4
作业：
1. 如图，PA 、PB 是O 的切线，切点分别是A 、B ，如果∠P ＝60°, 那么∠AOB 等于 ． 2．如图，△ABC 的内切圆⊙O 与BC 、CA 、AB 分别相切于点D,E,F,且AB=9cm ，BC=14cm ，CA=13cm,
求AF,BD,CE 的长.
3．如图，EB 、EC 是⊙O 的两条切线，B 、C 是切点，A 、D 是⊙O 上两点，如果∠E=46°，
∠DCF=32°，求∠A 的度数．
五、教学反思：
E
F
O
A
B
A
E D
O。