八年级数学等腰三角形应用知识点归纳及专项练习

八年级数学等腰三角形应用知识点归纳及专项练习
➢课前预习
1.直角三角形全等的判定定理：_________________________．
2.线段垂直平分线上的点到_____________________________．
3.角平分线上的点到___________________________________．
4.已知：如图，线段AB的端点A在直线l上（AB与l不垂直），请在直线l上另找一点
C，使△ABC是等腰三角形．这样的点能找几个？请你找出所有符合条件的点．
➢知识点睛
1.垂直平分线相关定理：
①________________________________________________；
②到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上．
已知：如图，P A=PB．
求证：点P在线段AB的垂直平分线上．
证明：
2.角平分线相关定理：
①________________________________________________；P
B
A
②在一个角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上．
已知：如图，点P 在∠AOB 内部，PC ⊥OA 于点C ，PD ⊥OB 于点D ，且PC =PD ． 求证：点P 在∠AOB 的平分线上． 证明：
3. 在等腰三角形中，_________________，________________，______________重合（也
称“__________”），这是等腰三角形的重要性质．若在一个三角形中，当中线，高线，角平分线“三线”中有“两线”重合时，则尝试构造___________． ➢ 精讲精练
1. 已知：如图，在△ABC 中，AB =AC ，O 是△ABC 内一点，且OB =OC ．
求证：直线AO 垂直平分线段BC ．
2. 如图，已知PA ⊥OM 于A ，PB ⊥ON 于B ，且PA =PB ．
∠MON =50°，∠OPC =30°，求∠PCA 的大小．
C
B
O A
M
N
P
C
B
O
A
3. 如图，已知BE 平分∠ABC ，CE 平分∠ACD ，且交BE 于E ．
求证：AE 平分∠F AC ．
4. 已知：如图，AD 是△ABC 的角平分线，DE ，DF 分别是△ABD 和△ACD 的高．
求证：AD 垂直平分EF ．
O
F E
D
C
B A
F E
D
C B A
5. 如图，在△ABC 中，点E 在AB 上，AE =AC ，连接CE ，点G 为EC 的中点，连接AG
并延长交BC 于D ，连接ED ，过点E 作EF ∥BC 交AC 于F ．求证：EC 平分∠DEF ．
6. 已知：如图，D ，E 分别是AB ，AC 的中点，CD ⊥AB 于D ，BE ⊥AC 于E ，CD ，BE
交于点O ． 求证：AB =AC ．
7. 已知：如图，在△ABC 中，∠A =90°，AB =AC ，BD 平分∠ABC ，CE ⊥BD 交BD 的延
长线于E ，若CE =5 cm ，求BD 的长．
8. 如图，在△ABC 中，延长BC 到D ，使CD =AC ，连接AD ，CE 平分∠ACB ，交AB 于E ，
且AE =BE ．
G
F E
C
A
O
E
D
C
B
A
E D
C
B
A
求证：BC=CD．
9.在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，若要在直线BC或AC上取一点P，使△ABP是
等腰三角形，符合条件的点P有________个．
10.如图所示的正方形网格中，网格线的交点称为格点．已知A，B是两个格点，若点C
也是图中的格点，且使得△ABC为等腰三角形，则符合条件的点C有________个．
B
A
【参考答案】
➢课前预习
1．SAS，SSS，ASA，AAS，HL
2．这条线段的两个端点的距离相等
3．这个角的两边的距离相等
4．这样的点有4个
➢知识点睛
1．线段垂直平分线上的点到这条线段的两个端点的距离相等
2．角平分线上的点到这个角的两边距离相等
3．顶角的平分线底边上的中线底边上的高三线合一
等腰三角形
➢精讲精练
1.证明略（提示：利用等腰三角形“三线合一”）
2.55°，证明略
3.证明略（提示：过点E作EM⊥BF于M，EN⊥BD于N，EP⊥AC于P，证EP=EM）
4.证明略（提示：利用等腰△DEF“三线合一”，证明AD垂直平分EF）
5.证明略
6.证明略（提示：连接BC，证△ABC是等边三角形）
7.BD=10 cm（提示：延长BA交CE的延长线于F，先证△BCF是等腰三角形，再证△ADB
≌△AFC）
8.证明略（提示：过点E作EF⊥AC于F，EG⊥BC于G，证明
△ABC是等腰三角形）
9.6个，作图略（两圆一线）
10.8个，作图略（两圆一线）
等腰三角形应用（复习二例习题）
➢ 例题示范
例1：已知：如图，在△ABC 中，AD 平分∠BAC ，BD =CD ，E ，F 分别为AB ，AC 边上的点，BE =CF ．求证：DE =DF ． 【思路分析】 ①读题标注：
②梳理思路：
要证DE =DF ，考虑把这两条线段放在两个三角形中证全等．
观察图形，可以放在△BDE 和△CDF 中，发现有两边对应相等，考虑找夹角．
结合题中条件，AD 既是角平分线又是中线，三线中有两线重合，考虑证明△ABC 是等腰三角形，需利用倍长中线进行证明（见中线，要倍长），进而得到∠B =∠C ，再证明△BDE ≌△CDF 即可． 【过程书写】
证明：如图，延长AD 到点G ，使DG =AD ，连接CG ． ∵BD =CD ，∠ADB =∠GDC ∴△ADB ≌△GDC （SAS ） ∴AB =GC ，∠1=∠G ∵AD 平分∠BAC ∴∠1=∠2 ∴∠2=∠G
E A
B C
D F
∴AC =GC ∴AB =AC ∴∠B =∠ACD ∵BE =CF
∴△BDE ≌△CDF （SAS ） ∴DE =DF
➢ 巩固练习
1. 已知：如图，P 是∠AOB 平分线上的一点，PC ⊥OA ，PD ⊥OB ，垂足分别为C ，D ，连
接CD ．求证：OP 是CD 的垂直平分线．
2. 已知：如图，△ABC 的外角∠CBD 和∠BCE 的平分线相交于点F ．
求证：点F 在∠DAE 的平分线上．
3. 已知，如图，在△ABC 中，AB >AC ，AD 平分∠BAC ，CD ⊥AD 于点D ． 求证：∠2=∠1+∠B ．
P O
D
C
B
A
F
E
D
C B
A
21D
C
A
4. 已知：如图，在等边三角形ABC 中，D 是AC 的中点，E 是BC 延长线上一点，CE =CD ，DM ⊥BC ，垂足为M ．求证：BM =EM ．
5. 已知：如图，在△ABC 和△DBC 中，∠1=∠2，∠3=
∠4，E 是BC 上一点，连接AD ，AE ，DE ．求证：∠EAD =∠EDA ．
6. 在已知直线l 上找一点C ，和直线外的A ，B 两点组成一个等腰三角形．一共可以画出
几个符合条件的等腰三角形？请你在直线l 上找出所有符合条件的点C ．
l
➢ 思考小结
1. 要证两条线段相等，如果放在一个三角形中考虑证________；如果放在两个三角形中
考虑证全等． 2. 常见的条件组合搭配：
M
E
D C
B
A
4
32
1
E
C
B
A
等腰三角形应用（复习三随堂测试）
1. 如图，D 为△ABC 内一点，CD 平分∠ACB ，BD ⊥CD ，∠A =∠ABD ．若AC =5，BC =3，则BD 的长为___________．
A B
C
D
2. 如图，在△ABC 中，点D ，E 分别是边BC ，AC 上的点，AE =DE ， DF ⊥AB 于点F ，DG ⊥AC 于点G ，且DF =DG ．
求证：DE ∥AB ．
G F
E A
B
D
C
复习二【参考答案】
1.证明略（提示：利用等腰△CDP三线合一）
2.证明略（提示：作射线AF，过F作FH⊥AD于H，作FM⊥BC于M，作FG⊥AE于
G，利用角平分线定理②证明AF平分∠DAE）
3.证明略（提示：利用两线重合构造等腰三角形，然后利用外角定理倒角）
4.证明略（提示：连接BD，证明△BDE是等腰三角形）
5.证明略（提示：证明△ABC≌△DBC，说明直线BC是线段AD的垂直平分线，进而得
到EA=ED，∠EAD=∠EDA）
6.5个，作图略（两圆一线）
思考小结
1. 等腰
2. 这条线段两个端点的距离相等
这个角的两边的距离相等
三线合一
等腰三角形
斜边的一半
等于斜边的一半
复习三【参考答案】
1．1
2．证明略（提示：连接AD，证明AD是∠BAC的角平分线，再
根据等腰对等角倒角相等，最后根据内错角相等，得到两直线平行）。