线性空间习题解答

第六章 线性空间习题解答P267

.1设,,M N M N M M N N ⊆==I U 证明: 证明: 一方面.M N M ⊆I 另一方面, 由于M M ⊆,,N M ⊆ 得.N M M I ⊆ 2 证明: (1))()()(L M N M L N M I Y I Y I =.

(2))()()(L M N M L N M Y I Y I Y =

证明: (1) .),(L N x M x L N M x Y Y I ∈∈∈且则设 即.M x N x M x ∈∈∈或且

L x ∈且. 于是有)()(L M N M x I Y I ∈.

另一方面,因为 )(,)(L N M L M L N M N M Y I I Y I I ⊆⊆,所以

)()()(L N M L M N M Y I I Y I ⊆.

(2) 一方面, ))(,)(L M L N M N M L N M Y I Y Y I Y ⊆⊆,所以

)()()(L M N M L N M Y I Y I Y ⊆.

另一方面, .),()(L M x N M x L M N M x Y Y Y I Y ∈∈∈∀且则

若).(,L N M x M x I Y ∈∈则 若∈∈∈∉x L x N x M x 所以且则.,.L N I 总之有

)()()(),(L N M L M N M L N M x I Y I I Y I Y ⊆∈所以.

3. 检查以下的集合对于所指的线性运算是否构成实数域上的线性空间. (1) 次数等于n(n ≥1)的实系数多项式的全体,对于多项式的加法和数量乘法.

(2) 设A 是n ⨯n 实矩阵, A 的实系数多项式f (A)的全体, 对于矩阵的加法和数量乘法.

(3) 全体n 级实对称(反对称,上三角)矩阵, 对于矩阵的加法和数量乘法.

(4) 平面上不平行于某一向量的全体向量所成的集合,对于向量的加法和数量乘法.

(5) 全体实数的二元数列,对于下面定义的运算:

),(),(),(2121212211a a b b a a b a b a +++=⊕,

)2

)1(,(),(2

11111a k k kb ka b a k -+

=ο. (6) 平面上全体向量,对于通常的加法和如下定义的数量乘法: k ⋅α=0. (7) 集合与加法同(6), 数量乘法为

k ⋅α=α.

(8) 全体正实数R +,加法和数量乘法定义为: a ⊕b=ab , ka=a k .

(1) 否. ,因为2个n 次多项式相加不一定是n 次多项式. 取f (x )=x n , g (x )=x n -1. 则f (x )+g (x )=-1不再是n 次多项式.

(2) 是. 因为集合]}[)(|)({x R x f A f V ∈=作为n 级实矩阵全体的子集, 关于矩阵的加法和数量乘法封闭.

(3) 是. 因为实对称(反对称,上三角)矩阵之和或之倍数仍是实对称(反对称,上三角)矩阵.

(4) 否. 设{}|V ααβ=为平面上不平行的向量, β=(a,b)≠0. 取α=(a+1,b), γ=(a-1, b), 则

α, γ∈V , 但是, α+ γ ∉V . (5) 证明: 10显然V 非空.

02 2个代数运算封闭.

03 先设R t k b a r b a b a ∈===,),,(),,(),,(332221及βα

2121211231212312312312323123122323123(1)(,)

(2)()((),()()......................(,()

....()((),(()().....................a a b b a a r a a a b b a a b a a a a a a b b b a a r a a a b b b b a a a a a αββααβαβ⊕=⊕=+++⊕+=+++++++=+++++⊕⊕=++=+++++=12312323121311111211121111111211111(,)()(3)0(0,0),0(0,00)(,)(4)(,)

...........())(),()())(0,0)01

(5)1(1,11(11))(,)2

a a a

b b b a a a a a a r a b a a b a a b a a b a b a a a b a a b αβααααααα+++++++=++=+=+++==-=--⊕-=+-+-+-===+-==o o o o 的负为2

1112211111

(6)()(,(1)211

...............(,((1))(1)())

22

k l k la lb l l a kla k lb k k a k k la α

α=+-=+-+-o o o

2111

((1(1))2kla klb kla l k =++-+-

=（kla 1,klb 1+211

((1))2

kl k a -

=kl o α

(7)(k+l)o α =（（k+1）a 1,(k+l)b 1+211

()(1))2k l k l a ++-

=((k+1)a 1,(k+l)b 1+ 22211

(2))2

k l kl k l a ++--

221111111111

(,(1)()(1))22

ka la kb k k a b l l a ka la =++-++-+⋅

k l αα=⊕o o (8)

2121212121212121

()(,)((),((1)())

2

k k a a b b a a k a a k b b a a k k a a αβ⊕=+++=++++-+o o 22

121122121211(,(1)(1)(1))22ka ka kb k k a kb k k a ka a k k a a =++-++-++-

22

21211221211(,((1))((1)())22ka ka kb k k a kb k k a k a a =++-++-+

22

12122211(,(1))((1))22

ka kb k k a ka kb k k a αβ=+-⊕+-=⊕

满足3,故V 是一个线性空间

(6) 否. 不满足定义3之(5): 1100αααα==≠Q ，但这里。取即得矛盾。 (7)

0, 2.(11). 1. 1.0,ααααααααα∀≠==+=+=+⇒=不做成。违反分配律，则会有矛盾

(8) 可以验证这是一个实数域上的线性空间. (V=R + P=R a ⊕b=ab k k a a =o ) 证明: 1. V 非空且关于⊕,o 封闭. 2. 任取a ,b ,c ,,R k l R +∈∈

(1) a ⊕b=b ⊕a=ba

(2) (a ⊕b )⊕c=(ab)c=a(bc)=a ⊕(b ⊕c) (3) 零元0=1, a ⊕0=a1=a

(4) 负元-a =1a ,a ⊕(-a )=a 1

a

=1=0.

(5) 1o a=a 1=a

(6) k o (l o a)=k o (a 1)=(a 1)k =a l k =(lk)o a

(7) (k+l)o a=a (k+l)=a k g a l =a k ⊕a l =k o a ⊕l o a (8) k o (a ⊕b)=k o (ab)=(ab)k =a k b k = a k ⊕b k = k o a ⊕k o b 故R +关于⊕o 做成R 上的向量空间.

4. 在线性空间中, 证明: (1) k 0=0. (2) ()k k k αβαβ-=-.

证明: (1) 设α是线性空间的任一个向量,由零向量的性质α+0=α,再由分配律: k(α+0)=k α= k α+k0, 所以k 0=0.