九年级圆 几何综合中考真题汇编[解析版]

【详解】
解：（1）∵OD过圆心，点D是弧AB的中点，AB=8，
∴OD⊥AB，AC= AB=4，
在Rt△AOC中，∵∠ACO=90°，AO=5，
∴CO= =3，
∴OD=5，
∴CD=OD﹣OC=2；
（2）如图2，过点O作OH⊥AB，垂足为点H，
则由（1）可得AH=4，OH=3，
∵AC=x，
∴CH=|x﹣4|，
九年级圆 几何综合中考真题汇编[解析版]
一、初三数学圆易错题压轴题（难）
1．在圆O中，C是弦AB上的一点，联结OC并延长，交劣弧AB于点D，联结AO、BO、
AD、BD．已知圆O的半径长为5，弦AB的长为8．
（1）如图1，当点D是弧AB的中点时，求CD的长；
（2）如图2，设AC=x， =y，求y关于x的函数解析式并写出定义域；
∵∠A＝∠A，
∴△ADC∽△ACF，
∴ ，
∴AF＝2AC＝4x，FC＝2DC，
∵AD＝x，
∴DF＝4x﹣x＝3x，
在Rt△DCF中，（3x）2＝DC2+（2DC）2，
解得：DC＝ x，
∵OA＝OB，AC＝BC，
∴∠AOC＝∠BOC，
∴ ，
∴∠CFE＝∠AFC，
∴sin∠CFE＝sin∠AFC＝ ＝ ．
试题解析：（1）∵A（﹣2，0），∴OA=2，
∵P是半圆O上的点，P在y轴上，∴OP=2，∠AOP=90°，∴AC=2，∴四边形AOPC是正方形，
∴正方形的面积是4，
又∵BD⊥AB，BD=6，∴梯形OPDB的面积= ，
∴点P的关联图形的面积是12．
（2）判断△OCD是直角三角形．
证明：延长CP交BD于点F，则四边形ACFB为矩形，∴CF=DF=4，∠DCF=45°，∴∠OCD=90°，
在Rt△HOC中，∵∠CHO=90°，AO=5，
∴CO= = = ，
∴CD=OD﹣OC=5﹣ ，
过点DG⊥AB于G，
∵OH⊥AB，
∴DG∥OH，
∴△OCH∽△DCG，
∴ ，
∴DG= = ，
∴S△ACO= AC×OH= x×3= x，
S△BOD= BC（OH+DG）= （8﹣x）×（3+ ）= （8﹣x）×
【点睛】
本题考查了等腰三角形的性质，切线的判定，解直角三角形，圆心角、弧、弦之间的关系，相似三角形的性质和判定的应用，能综合运用知识点进行推理和计算是解此题的关键，难度偏大．
3．在平面直角坐标系xOy中，已知A(-2，0)，B(2，0)，AC⊥AB于点A，AC=2，BD⊥AB于点B，BD=6，以AB为直径的半圆O上有一动点P（不与A、B两点重合），连接PD、PC，我们把由五条线段AB、BD、DP、PC、CA所组成的封闭图形ABDPC叫做点P的关联图形，如图1所示.
（3）若四边形AOBD是梯形，求AD的长．
【答案】（1）2；（2）y= （0＜x＜8）;（3）AD= 或6．
【解析】
【分析】
(1)根据垂径定理和勾股定理可求出OC的长.
(2)分别作OH⊥AB，DG⊥AB，用含x的代数式表示△ACO和△BOD的面积，便可得出函数解析式.
(3)分OB∥AD和OA∥BD两种情况讨论.
∴y= = = （0＜x＜8）
（3）①当OB∥AD时，如图3，
过点A作AE⊥OB交BO延Fra Baidu bibliotek线于点E，过点O作OF⊥AD，垂足为点F，
则OF=AE，
∴S= AB•OH= OB•AE，
AE= = =OF，
在Rt△AOF中，∠AFO=90°，AO=5，
∴AF= =
∵OF过圆心，OF⊥AD，
∴AD=2AF= ．
∴OC⊥CD，∴△OCD是直角三角形．
（3）连接OC交半圆O于点P，则点P即为所确定的点的位置．
理由如下：连接CD，梯形ACDB的面积= 为定值，
要使点P的关联图形的面积最大，就要使△PCD的面积最小，
∵CD为定长，∴P到CD的距离就要最小，
【分析】
（1）根据等腰三角形性质得出OC⊥AB，根据切线的判定得出即可；
（2）连接OC、DC，证△ADC∽△ACF，求出AF=4x，CF=2DC，根据勾股定理求出DC= x，DF=3x，解直角三角形求出sin∠AFC，即可求出答案．
【详解】
（1）证明：连接OC，如图1，
∵OA＝OB，AC＝BC，
∴OC⊥AB，
（1）如图2，当P运动到半圆O与y轴的交点位置时，求点P的关联图形的面积.
（2）如图3，连接CD、OC、OD,判断△OCD的形状，并加以证明.
（3）当点P运动到什么位置时，点P的关联图形的面积最大，简要说明理由，并求面积的最大值.
【答案】（1）12；（2）判断△OCD是直角三角形，证明见解析；（3）连接OC，交半圆O于点P，这时点P的关联图形的面积最大，理由风解析， .
∵OC过O，
∴直线AB是⊙O的切线；
（2）解：连接OC、DC，如图2，
∵AB＝4AD，
∴设AD＝x，则AB＝4x，AC＝BC＝2x，
∵DF为直径，
∴∠DCF＝90°，
∵OC⊥AB，
∴∠ACO＝∠DCF＝90°，
∴∠OCF＝∠ACD＝90°﹣∠DCO，
∵OF＝OC，
∴∠AFC＝∠OCF，
∴∠ACD＝∠AFC，
②当OA∥BD时，如图4，过点B作BM⊥OA交AO延长线于点M，过点D作DG⊥AO，垂足为点G，
则由①的方法可得DG=BM= ，
在Rt△GOD中，∠DGO=90°，DO=5，
∴GO= = ，AG=AO﹣GO= ，
在Rt△GAD中，∠DGA=90°，
∴AD= =6
综上得AD= 或6．
故答案为（1）2；（2）y= （0＜x＜8）;（3）AD= 或6．
【解析】
试题分析：（1）判断出四边形AOPC是正方形，得到正方形的面积是4，根据BD⊥AB，BD=6，求出梯形OPDB的面积= ，二者相加即为点P的关联图形的面积是12．
（2）根据CF=DF=4，∠DCF=45°，求出∠OCD=90°，判断出△OCD是直角三角形．
（3）要使点P的关联图形的面积最大，就要使△PCD的面积最小，确定关联图形的最大面积是梯形ACDB的面积﹣△PCD的面积，根据此思路，进行解答．
【点睛】
本题是考查圆、三角形、梯形相关知识，难度大，综合性很强.
2．如图，已知直线AB经过⊙O上的点C，并且OA＝OB，CA＝CB，
（1）求证：直线AB是⊙O的切线；
（2）OA，OB分别交⊙O于点D，E，AO的延长线交⊙O于点F，若AB＝4AD，求sin∠CFE的值．
【答案】（1）见解析；（2）
【解析】