广东省汕头市潮阳实验学校2020届高三下学期3月第一次测试理科数学试题

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2020届汕头市潮阳实验学校高三数学(文)3月第一次测试试题

A．x | 0 x 2 B．0,1, 2
C．x | 1 x 3 D．1, 2
2．若 z
2 (1 i)2
（ i 为虚数单位），则 z
（
）
A．1 i
B． i
C． i
D．1 i
3．已知an 为等差数列， a2 a8 18 ，则an 的前 9 项和 S9 （）
A．9
B．17
C．72
D．81
4．从集合2, 4,8 中随机选取一个数 m，则方程 x2 y2 1 表示离心率为 2 的椭圆的概
Байду номын сангаас
（2）若 f (x) 0 对 x 1 恒成立，求 a 的取值范围．
（二）选考题：共 10 分。请考生在第 22、23 题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。 22．[选修 4–4：坐标系与参数方程]（10 分）
已知曲线 C
x
的参数方程为
y
1 2 cos 1 2sin （
为参数）；直线 l
设备改造前
设备改造后
合计
合格品
不合格品
合计
（2）根据图 1 和表 1 提供的数据，试从产品合格率的角度对改造前后设备的优劣进行比较；（3）根据市场调查，设备改造后，每生产一件合格品企业可获利 180 元，一件不合格品亏损 100 元，用频率估计概率，则生产 1000 件产品企业大约能获利多少元？附：
为（）
A． 0
B． 1 4
C． 1 4
D． 1 2
11．双曲线
x2 a2
y2 b2
1（a
0，b
0 ）的右焦点 F(c, 0) 关于渐近线的对称点在双曲线
的左支上，则双曲线的离心率为（）

2020年广东高三一模数学试卷(理科)

后得到的．如果被截正方体的棱长为
，则石凳子的体积为（）．
A.
B.
C.
D.
7. 在某市年月份的高三质量检测考试中，理科学生的数学成绩服从正态分布
．已知参
加本次考试的全市理科学生约有人，如果某学生在这次考试中的数学成绩是分，那么他的数学
成绩大约排在全市第（）．
附：若
，则
，
．
A.
名
B.
名
C.
名
的前项项和为，且
，
．
，若数列满足
平行，则，则
15. 已知
，
，
为
．
，若点满足
，则
的最大值
16. 已知抛物线
的焦点为，直线过点且倾斜角为．若直线与抛物线在第二象限
的交点为，过点作垂直于抛物线的准线，垂足为，则
外接圆上的点到直线
的距离的最小值为
．
三、解答题（本大题共5小题，每小题12分，共60分）
．
21.（ 1 ）证明见解析．（ 2 ）按照完成任务概率从大到小的，，的小组顺序派出勘探小组，可使在特殊勘探时所需派出的小组个数的均值达到最小．
解析: （ 1 ）由已知，的所有可能取值为，，，，
，
，
，
，
∵
，
∴
，
，
．
∴概率
的值最大．
（ 2 ）方法一：
由可知，由
有
的值最大，
且
，
∴
，
坐标方程为
．若为曲线上的动点，是射线上的一动点，且满足
，记动点的轨迹为．
（ 1 ）求的直角坐标方程．

广东省汕头市潮阳区实验中学高三数学理联考试题含解析

广东省汕头市潮阳区实验中学高三数学理联考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 已知定义域为的奇函数，当时，满足，则（）A．B．C．－2 D．0参考答案：B定义域为的奇函数，可得，当时，满足，可得时，，则，，，，，，，，，故选B．2. 已知全集，若，，则等于（）A．{1,2} B．{1,4} C．{2,3} D．{2,4}参考答案：D3. 若函数是偶函数，则的单调递增区间是（）．A．(－∞,1)B．(1,+∞)C．(－∞,0)D．(0,+∞)参考答案：D是偶函数，得，，其单调递增区间是，故选D.4. 《九章算术》的盈不足章第19个问题中提到：“今有良马与驽马发长安，至齐.齐去长安三千里.良马初日行一百九十三里，日增一十三里.驽马初日行九十七里，日减半里……”其大意为：“现在有良马和驽马同时从长安出发到齐去.已知长安和齐的距离是3000里.良马第一天行193里，之后每天比前一天多行13里.驽马第一天行97里，之后每天比前一天少行0.5里……”。

试问前4天，良马和驽马共走过的路程之和的里数为（A） 1235 （B）1800 （C） 2600 （D）3000参考答案：A5. 设向量、满足||=3，||=2，且?=1，则|﹣|等于（）A．B．C．3 D．2参考答案：A【考点】9R：平面向量数量积的运算．【分析】对|﹣|两边平方，开方得出|﹣|．【解答】解：||2==9+4﹣2=11．∴|﹣|=．故选：A．【点评】本题考查了平面向量的数量积运算，属于基础题．6. 《九章算术》是我国古代数学经典名著，它在集合学中的研究比西方早1千年，在《九章算术》中，将四个面均为直角三角形的四面体称为鳖臑，已知某“鳖臑”的三视图如图所示，则该鳖臑的外接球的表面积为（）A．200πB．50πC．100πD．π参考答案：B【考点】LR：球内接多面体；L7：简单空间图形的三视图．【分析】几何体复原为底面是直角三角形，一条侧棱垂直底面直角顶点的三棱锥，扩展为长方体，长方体的对角线的长，就是外接球的直径，然后求其的表面积．【解答】解：由三视图复原几何体，几何体是底面是直角三角形，一条侧棱垂直底面直角顶点的三棱锥；扩展为长方体，也外接与球，它的对角线的长为球的直径： =5该三棱锥的外接球的表面积为： =50π，故选B．7. 设函数f（x）=，则f（f（3））=（）A．B．3 C．D．参考答案：D【考点】3T：函数的值．【分析】由条件求出f（3）=，结合函数解析式求出 f（f（3））=f（）=+1，计算求得结果．【解答】解：函数f（x）=，则f（3）=，∴f（f（3））=f（）=+1=，故选D．8. 设集合，，则( )A.A BB.A BC.A BD.A B参考答案：B9. 已知函数>0，则的值A．一定大于零B．一定小于零C．等于零D．正负都有可能参考答案：B略10. 设a＞1＞b＞0，则下列不等式中正确的是（A）(-a)7＜(-a)9（B）b- 9＜b- 7（C）（D）参考答案：D略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 定义一种新运算“”：，其运算原理如图3的程序框图所示，则=_______.参考答案：-3 略12. 将函数的图象上各点的纵坐标不变横坐标伸长到原来的2倍，再向左平移个单位，所得函数的单调递增区间为.参考答案：13. 已知为奇函数，则___________．参考答案： 1014. 函数的增区间为____________．参考答案：试题分析：因为的图象开口向上，且对称轴方程是，所以在上递增，故答案为.考点：二次函数的图象及单调性.15. 已知双曲线左、右焦点分别为，过点作与轴垂直的直线与双曲线一个交点为，且，则双曲线的渐近线方程为_______；参考答案：16. 计算行列式=____________参考答案：略17. （5分）（2015?淄博一模）若直线y=kx+3与圆x 2+y 2=1相切，则k= ．参考答案：±2【考点】：圆的切线方程．【专题】：直线与圆．【分析】：联立方程组消y 的x 的一元二次方程，由△=0解方程可得．解：联立消去y 并整理得（k 2+1）x 2+6kx+8=0，由直线y=kx+3与圆x 2+y 2=1相切可得△=36k 2﹣32（k 2+1）=0，解得k=±2故答案为：±2【点评】：本题考查直线与圆的位置关系，属基础题．三、解答题：本大题共5小题，共72分。

2020届广东省汕头市普通高中高三下学期第一次高考模拟考试数学(理)试题(解析版)

绝密★启用前广东省汕头市普通高中2020届高三毕业班下学期第一次高考模拟考试数学(理)试题(解析版)一、选择题.1.已知集合A ＝{x |1≤x ≤4}，B ＝{x |2x x ≥-0}，则A ∩B ＝（） A. {x |2≤x ≤4}B. {x |2＜x ≤4}C. {x |1≤x ≤2}D. {x |1≤x ＜2} 【答案】D【解析】【分析】先求出集合A ，B ，由此能求出A ∩B.【详解】∵集合A ＝{x |1≤x ≤4}， B ＝{x |2x x≥-0}＝{x |0≤x ＜2}， ∴A ∩B ＝{x |1≤x ＜2}.故选：D .【点睛】本题主要考查集合的交集运算，求出集合的最简形式是解题的关键.2.下列各式的运算结果虚部为1的是（）A. ()1i i -B. 21i +C. 22i +D. ()21i i +-【答案】D【解析】【分析】利用复数的乘除运算化简即可求解.【详解】对于A,()211i i i i i -=-=--,虚部为1-；对于B,()()()()221i 21i 21i 1i 1i 1i 1i --===-++--,虚部为1-；对于C,22211i +=-=,虚部为0；对于D,()22112i i i i i i +-=++-=,虚部为1；故选：D【点睛】本题主要考查了复数的四则运算,需熟记21i =-,属于基础题. 3.若实数x ,y 满足3030330x y x y x y +-≤⎧⎪--≤⎨⎪++≥⎩,则y ﹣2x 的最大值是（）A. 9B. 12C. 3D. 6【答案】B【解析】【分析】由约束条件作出可行域,化目标函数为直线方程的斜截式,数形结合得到最优解,求得最优解的坐标,代入目标函数得答案. 【详解】由实数x ,y 满足3030330x y x y x y +-≤⎧⎪--≤⎨⎪++≥⎩,作出可行域如图,令z ＝y ﹣2x ,化为y ＝2x +z ,联立30330x y x y +-=⎧⎨++=⎩,解得A （﹣3,6）. 由图可知,当直线过A 时,y ﹣2x 有最大值为12.故选：B .。

2020届广东省汕头市高三第一次(3月)模拟考试数学(理)试题Word版含答案

2020届广东省汕头市高三第一次（3月）模拟考试数学（理）试题本试题卷共5页，23题（含选考题）。

全卷满分150分。

考试用时120分钟。

注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。

2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

3．填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

4．选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。

答案写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

5．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。

第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知集合{}10A x x =-<，{}250B x x x =->，则R A B I ð=A ．[)0,1B ．(]1,5C ．(],0-∞D ．[)5,+∞2．若实数a 满足1iai+=i 为虚数单位），则a = A ．1B ．1±C ．2-D ．2±3．甲、乙两人参加“社会主义核心价值观”知识竞赛，甲、乙两人能荣获一等奖的概率分别为23和34，且两人是否获得一等奖相互独立，则两人中恰有一个人获得一等奖的概率是A ．34 B ．23 C ．57 D ．512 4．若1sin()63πα-=，则2cos(2)3πα+的值为A ．13-B ．79-C ．13D ．795．上海浦东新区2008年生产总值约3151亿元人民币，如果从此浦东新区生产总值的年增长率为10.5%，求浦东新区最早哪一年的生产总值超过8000亿元人民币？某同学为解答这个问题设计了一个程序框图，如图1，但不慎将此框图的一个处理框中的内容污染而看不到了，则此框图中因被污染而看不到的内容的数学运算式应是A ．a a b =+B ．a a b =⨯C ．()na ab =+ D ．n a a b =⨯（图1）（图2）6．汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗1升汽油行驶的里程，如图2，描述了甲、乙、丙三辆汽车在不同速度下的燃油效率情况．下列叙述中正确的是 A ．消耗1升汽油，乙车最多可行驶5千米B ．以相同速度行驶相同路程，三辆车中，甲车消耗汽油最多C ．甲车以80千米/小时的速度行驶1小时，消耗10升汽油D ．某城市机动车最高限速80千米/小时，相同条件下，在该市用丙车比用乙车更省油7．平行四边形ABCD 中，2AB =，1AD =，1AB AD ⋅=-u u u r u u u r，点M 在边CD 上，则MA MB ⋅u u u r u u u r 的最大值为A ．2B ．31- C. 0 D ．21- 8．函数()sin()(0,)2f x x πωϕωϕ=+><在区间(,)42ππ内是增函数，则 A ．()14f π=- B ． ()f x 的周期为2πC ．ω的最大值为4D ．3()04f π=9．已知三棱锥ABC D -的所有顶点都在球O 的球面上，2==BC AB ，22=AC ，若三棱锥 D ABC -体积的最大值为2，则球O 的表面积为O 速度（km/h ）燃油效率（km/L ）乙车丙车甲车804010155A ．8πB ．9πC ．25π3 D ．9121π10．已知双曲线22221x y a b-=)0,0(>>b a 的右焦点为(,0)F c ，右顶点为A ，过F 作AF 的垂线与双曲线交于B 、C 两点，过B 、C 分别作AC 、AB 的垂线，两垂线交于点D ，若D 到直线BC 的距离小于a c +，则双曲线的渐近线斜率的取值范围是A ．()()+∞-∞-,11,YB ．()()1,00,1Y -C ．()()+∞-∞-,22,YD ． ()()2,00,2Y -11．如图3，画出的是某四棱锥的三视图，网格纸上小正方形的边长为1，则该几何体的体积为A ．15B ．16 C.503 D ．53312．已知()f x 、()g x 都是定义域为R 的连续函数．已知：()g x 满足：①当0x >时，'()0g x >恒成立；②R x ∀∈都有()()g x g x =-．()f x 满足：①R x ∀∈都有(3)(3)f x f x +=-；②当[3,3]x ∈-时，3()3f x x x =-．若关于x 的不等式2g[()](2)f x g a a ≤-+对33[23,23]22x ∈---恒成立，则a 的取值范围是 A ．R B ． 133133[,]22--+ C ．[0,1] D ．(,0][1,)-∞+∞U第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分。

2020年广东省汕头市潮阳一中明光学校高三数学理测试题含解析

2020年广东省汕头市潮阳一中明光学校高三数学理测试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. “非空集合M不是P的子集”的充要条件是（）A．B．C．又D．参考答案：D略2. 已知命题，命题，则命题p是q的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件参考答案：A3. 已知双曲线的右顶点为A，抛物线的焦点为F，若在E的渐近线上存在点P，使得，则E的离心率的取值范围是（）．A. (1,2)B.C. (2,+∞)D.参考答案：B【分析】由已知可得以为直径的圆与渐近线有公共点，得出的不等量关系，结合，即可求解.【详解】抛物线的焦点为，双曲线的右顶点为，在的渐近线上存在点，使得，不妨设渐近线方程为，则以为直径的圆与渐近线有公共点，即的中点到直线的距离，即.故选：B.【点睛】本题考查双曲线的简单几何性质，应用直线与圆的位置关系是解题的关键，考查计算求解能力，属于中档题.4. 中国古代数学名著《九章算术》中记载了公元前344年商鞅督造一种标准量器﹣﹣商鞅铜方升，其三视图如图所示（单位：寸），若π取3，其体积为12.6（立方寸），则图中的x为（）A．1.2 B．1.6 C．1.8 D．2.4参考答案：B【考点】由三视图求面积、体积．【分析】由三视图知，商鞅铜方升由一圆柱和一长方体组合而成．利用体积求出x．【解答】解：由三视图知，商鞅铜方升由一圆柱和一长方体组合而成．由题意得：1，（5.4﹣x）×3×1+π?（ 2）2x=12.6，x=1.6．故选：B．5. 下列直线中，平行于极轴且与圆相切的是(A) (B) (C) (D)参考答案：6. 函数的图像大致是（）参考答案：B7. 定义在上的函数，且在上恒成立，则关于的方程的根的个数叙述正确的是( )A．有两个B．有一个C．没有D．上述情况都有可能参考答案：A显然是偶函数，且在递增.在上恒成立，所以的图象至少向左平移2个单位，即，所以，方程的根有2个.8. 设集合，则集合( ) A．(—2，4) B．(—1，2) C．D．参考答案：C略9. 己知函数f（x）是定义在R上的偶函数，f（x+1）为奇函数，f（0）=0，当x∈（0，1]时，f（x）=log2x，则在区间（8，9）内满足方f（x）程f（x）+2=f（）的实数x为（）A．B．C．D．参考答案：D【考点】3L：函数奇偶性的性质．【分析】由f（x+1）为奇函数，可得f（x）=﹣f（2﹣x）．由f（x）为偶函数可得f （x）=f（x+4），故 f（x）是以4为周期的函数．当8＜x≤9时，求得f（x）=f（x﹣8）=log2（x﹣8）．由log2（x﹣8）+2=﹣1得x的值．【解答】解：∵f（x+1）为奇函数，即f（x+1）=﹣f（﹣x+1），即f（x）=﹣f（2﹣x）．当x∈（1，2）时，2﹣x∈（0，1），∴f（x）=﹣f（2﹣x）=﹣log2（2﹣x）．又f（x）为偶函数，即f（x）=f（﹣x），于是f（﹣x）=﹣f（﹣x+2），即f（x）=﹣f（x+2）=f（x+4），故 f（x）是以4为周期的函数．∵f（1）=0，∴当8＜x≤9时，0＜x﹣8≤1，f（x）=f（x﹣8）=log2（x﹣8）．由f（）=﹣1，f（x）+2=f（）可化为log2（x﹣8）+2=﹣1，得x=．故选：D．【点评】本题主要考查方程的根的存在性及个数判断，函数的奇偶性与周期性的应用，抽象函数的应用，体现了化归与转化的数学思想，属于中档题．10. 某学校组织学生参加英语测试，成绩的频率分布直方图如图，数据的分组一次为[20，40），[40，60），[60，80），[80，100）．若低于60分的人数是15人，则该班的学生人数是（）A．45 B．50 C．55 D．60参考答案：B【考点】频率分布直方图．【分析】由已知中的频率分布直方图，我们可以求出成绩低于60分的频率，结合已知中的低于60分的人数是15人，结合频数=频率×总体容量，即可得到总体容量．【解答】解：∵成绩低于60分有第一、二组数据，在频率分布直方图中，对应矩形的高分别为0.005，0.01，每组数据的组距为20，则成绩低于60分的频率P=（0.005+0.010）×20=0.3，又∵低于60分的人数是15人，则该班的学生人数是=50．故选：B．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 若全集，集合，则。

广东省实验中学2020届高三3月线上考试理科数学试题(word版,含详解)

广东实验中学2020届高三线上考试理科数学2020.3.7第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合2{|1,[1,1]A y y x x ==-∈-},B={x|y =则A∩B= A.[0,1]B.[-1,1]C.(0,1)D.∅2.若复数z 满足(3-4i)z=5(1-i),其中i 为虚数单位,则z 的虚部为A.1 1.5B - 1.5C D.-13.已知0.22log 0.2,2,a b c ===0.0.32,则A.a<b<cB.a<c<bC.c<a<bD.b<c<a4.求下列函数的零点,可以采用二分法的是4.()A f x x =.()tan 2()22B f x x x ππ=+-<<C.f(x)=cosx-1 .()|23|x D f x =-5.已知角a 顶点的原点,始边与x 轴非负半轴重合,点(P )在终边上,则cos()6πα-=1.2A 1.2B - .C .D -6.汉朝时,张衡得出圆周率的平方除以16等于5.8如图,网格纸上小正方形的边长为1,粗实线画出的是某几何体的三视图,俯视图中的曲线为圆,利用张衡的结论可得该几何体的体积为A.32B.403210.C 4010.3D 7.已知抛物线243y x =的准线与双曲线22221x y a b-=的两条渐近线分别交于A,B 两点,若双曲线的离心率是23,那么|AB|= A.2 4.3B .2C 23.D 8.2019年是新中国成立七十周年,新中国成立以来,我国文化事业得到了充分发展,尤其是党的十八大以来，文化事业发展更加迅速，下图是从2013年到2018年六年间我国公共图书馆业机构数(个)与对应年份编号的散点图(为便于计算,将2013年编号为1,2014年编号为2,...2018年编号为6,把每年的公共图书馆业机构个数作为因变量,把年份编号从1到6作为自变量进行回归分析),得到回归直线y ∧=13.743x+3095.7,其相关指数20.9817R =,给出下列结论,其中正确的个数是①公共图书馆业机构数与年份的正相关性较强②公共图书馆业机构数平均每年增加13.743个③可预测2019年公共图书馆业机构数约为3192个A.0B.1C.2D.39.给一个各边不等的凸五边形的各边染色，每条边可以染红、黄、蓝三种颜色中的一种，但是不允许相邻边的颜色相同，则不同的染色方法有A.18种B.24种C.30种D.32种10.已知ω>0,函数()cos()4f x x πω=+在(,)2ππ上单调递增,则ω的取值范围是 15.[,]24A 17.[,]24B 39.[,]44C 37.[,]24D 11.在平面直角坐标系中,O 是坐标原点,两定点A 、B 满足||||2OA OB OA OB ==⋅=u u u r u u u r u u u r u u u r ,则点集{|P OP =u u u r ,|OA OB λμλ+u u u r u u u r |+|μ|≤1,λ,μ∈R}所表示的区域的面积是A B .C D 12.设在R 上可导的函数f(x)满足f(0)=0,f(x)-31()3f x x -=,并且在(-∞,0).上有21(),2f x x '<实数a 满足f(321(6)()318363a f a a a a --≥-+-+,则实数a 的取值范围是A.(-∞,3]B.[3,+∞) .[4,)C +∞D.(-∞,4]第II 卷(非选择题,共90分)二、填空题:本题共4小题，每小题5分,共20分.13.命题“∀x>1,都有212x+>”的否定是___.14.设x,y满足约束条件:0,01,,3x yx yx y≥≥⎧⎪-≥-⎨⎪+≤⎩则z=x-10y的取值范围是___.15.已知△ABC的三个内角A,B,C的对边依次为a,b,c,外接圆半径为1,且满足tan2,tanA c bB b-=则△ABC 面积的最大值为___.16.将正三棱锥P一ABC置于水平反射镜面上，得一“倒影三棱锥”P-ABC-Q，如图。

2020届广东省高三第一次教学质量检测数学(理)试题(解析版)

2020届广东省高三第一次教学质量检测数学（理）试题一、单选题1．设全集为R ，集合{}236M x x =>，{}38N y y =-≤≤，则()R M N =ð（）A ．(]3,6-B ．[]3,6-C ．∅D ．(]6,8 【答案】B【解析】解出集合M 、N ，然后利用补集和交集的定义可得出集合()R M N ð【详解】{}{2366M x x x x =>=<-或}6x >，故{} 66R M x x =-≤≤ð，因此，()[] 3,6R M N =-ð.故选：B. 【点睛】本题考查补集和交集的混合运算，同时也考查了一元二次不等式的解法，考查计算能力，属于基础题.2．sin 300cos600=（）A ．14B C ．14-D ．【答案】B【解析】根据诱导公式并结合特殊角的三角函数值可得出结果. 【详解】原式()()()()sin300cos600sin 36060cos 720120sin 60cos 120==--=--=1224⎛⎛⎫-⋅-= ⎪ ⎝⎭⎝⎭，故选：B. 【点睛】本题考查利用诱导公式求值，在利用诱导公式求值时，要理解“奇变偶不变，符号看象限”这个规律，考查计算能力，属于基础题.3．已知2()()f x x n =-，[21,21)()x n n n Z ∈-+∈，则(2019)f =（）A ．21008B ．21009C ．21010D ．21011【答案】B【解析】先由[21,21)()x n n n Z ∈-+∈与(2019)f 中2019x =可分析得n ,再计算(2019)f 即可.【详解】由2019210101=⨯-,可得22(2019)(20191010)1009f =-=,故选:B 【点睛】本题主要考查对奇数表达式的理解,注意21,21n n -+均为奇数.4．已知7log 10a =，2log b =c = ） A ．b c a >> B ．a c b >>C ．a b c >>D ．b a c >>【答案】C【解析】比较a 、b 、c 与1的大小关系，然后将a 利用换底公式化为8log 10a =，可比较出a 与b 的大小关系，从而可得出a 、b 、c 的大小关系. 【详解】77log 10log 71a =>=，由换底公式可得32882log log 10log 10log 81b ===>=，7lg10log 10lg 7a ∴==，8lg10log 10lg8b ==，lg8lg 70∴>>，lg100>，lg10lg10lg 7lg8∴>，则1a b >>，而1c =<，因此，a b c >>. 故选：C. 【点睛】本题考查对数与指数的大小比较，解题时应充分利用指数函数与对数函数的单调性并结合中间值法得出各数的大小关系，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.5．若某圆锥的主视图是顶角为120的等腰三角形，若该圆锥的侧面积等于，则其母线长为（）A ．1B ．2CD ．【答案】D【解析】设圆锥的底面半径为r ，母线长为l ，由正弦定理可得出2r l =，然后利用圆锥的侧面积公式可求出圆锥的母线长. 【详解】设圆锥母线长为l ，则底面圆的半径为r ，由于圆锥的主视图是顶角为120的等腰三角形，由正弦定理得2sin 30sin120l r =，可得出r =，则圆锥的侧面积为2rl l l ππ=⨯==，解得l =.因此，圆锥的母线长为故选：D. 【点睛】本题考查利用圆锥的侧面积计算圆锥的母线长，解题时要由主视图得出母线长和半径的等量关系，考查运算求解能力，属于中等题.6．已知函数()f x =）A ．函数()f x 的对称轴为32x =，且在30,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增 B ．函数()f x 的对称轴为32x =，且在3,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增 C ．函数()f x 的对称中心为3,02⎛⎫⎪⎝⎭，且在30,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增D ．函数()f x 的对称中心为3,2⎛ ⎝，且在3,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增【答案】A【解析】由()f x =6226x x -+=为常数,故可以考虑到利用函数对称性,再计算对称轴与区间端点处的函数值考查单调性进行排除.【详解】依题意,620x x -≥⎧⎨≥⎩,解得03x ≤≤,因为3322f x f x ⎛⎫⎛⎫-=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,故函数()f x 的对称轴为32x =,排除C 、D ；因为32f ⎛⎫= ⎪⎝⎭,(3)f =故3(3)2f f ⎛⎫> ⎪⎝⎭,排除B, 故选:A ．【点睛】若函数()f x 满足()()f a x f a x +=-则函数()f x 关于x a =对称. 7．函数|sin |()e x f x x =⋅的图象大致为（）A ．B ．C ．D ．【答案】A【解析】先判断奇偶性,再分别代入3,,22πππ进行排除即可. 【详解】依题意,x ∈R ,|sin()||sin |()ee ()x xf x x x f x --=-⋅=-⋅=-,故函数()f x 为奇函数, 图象关于原点对称,排除C ；而|sin |()e5f ππππ=⋅=<,排除B ；而3sin 2333e e 222f ππππ⎛⎫=⋅=⋅ ⎪⎝⎭,|sin |(2)2e 2f ππππ=⋅=,故3(2)2f f ππ⎛⎫> ⎪⎝⎭,排除D,故选:A ．【点睛】判断图像的问题,可以考虑判断单调性、代入图像中有的横坐标的点进行分析排除即可. 8．如图网格纸中小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的表面积为（）A ．78π++B ．74π++C ．58π++D ．54π++【答案】C【解析】根据三视图可知，该几何体为一个八分之一球与一个三棱柱拼接而成的几何体，并且三棱柱的上底面被遮掉，并计算出各面的面积，相加即可得出该几何体的表面积. 【详解】由三视图可知，该几何体为一个八分之一球与一个三棱柱拼接而成的几何体，故所求的表面积为(22114223425884πππ⨯⨯+⨯⨯⨯++⨯=++，故选：C. 【点睛】本题考查由三视图计算几何体的表面积，解题时要还原几何体的实物图，结合简单几何体的表面积公式进行计算，考查空间想象能力与计算能力，属于中等题. 9．边长为2的正方形ABCD 中，12DE EC =，35AF AD =，则AE BF ⋅=（） A ．1315B ．65C ．1615 D ．1415【答案】C【解析】由题中正方形ABCD 可考虑用建立平面直角坐标系的方法进行求解. 【详解】以A 为原点,建立如图所示的平面直角坐标系,则(0,0)A ,2,23E ⎛⎫⎪⎝⎭,(2,0)B ,60,5F ⎛⎫⎪⎝⎭, 故2,23AE ⎛⎫=⎪⎝⎭,62,5BF ⎛⎫=- ⎪⎝⎭,则412163515AE BF ⋅=-+=,故选:C ．【点睛】本题主要考虑建立平面直角坐标系的方法进行向量求解的问题. 10．将函数()sin f x x x ωω=()0ω>的图象向右平移3π个单位，平移后的图象关于y 轴对称，则()f x 周期的最大值为（）A ．45π B ．65π C ．54π D ．56π 【答案】A【解析】利用辅助角公式将函数()y f x =的解析式化简为()2sin 3f x x πω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，求出平移后的解析式，根据题意得出ω的表达式，求出正数ω的最小值，即可得出函数()y f x =周期的最大值.【详解】依题意，()2sin 3f x x πω⎛⎫=+⎪⎝⎭，将函数()y f x =的图象向右平移3π个单位长度得到函数为2sin 333f x x ππωπω⎛⎫⎛⎫-=+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则332k πωπππ-=+()k Z ∈，故132k ω=--()k Z ∈，当1k =-时，正数ω取最小值52. 因此，函数()y f x =周期的最大值为55224T ππ==. 故选：A. 【点睛】本题考查正弦型函数周期的计算，同时也考查了三角函数图象平移变换以及正弦型函数的对称轴，解题的关键就是求出ω的表达式，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.11．已知函数32(2),0()11,024a x x ax a x f x x -⎧-+≤⎪=⎨⎛⎫+>⎪ ⎪⎝⎭⎩若函数()f x 在R 上单调递增，则实数a 的取值范围为（） A ．30,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．10,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．[0，2）D ．50,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】D【解析】由题得()f x 在R 上单调递增,故考虑(2)1124a xy -⎛⎫=+⎪⎝⎭在(0,)+∞上单调递增,32x ax a -+在(],0-∞上单调递增.且当0x =时,(2)1124a xy -⎛⎫=+⎪⎝⎭的值大于等于32x ax a -+的值.【详解】因为函数()f x 在R 上单调递增,首先(2)1124a xy -⎛⎫=+⎪⎝⎭在(0,)+∞上单调递增,故20a -<,则2a <①；其次32y x ax a =-+在(],0-∞上单调递增,而()23232y x ax x x a '=-=-,令0y '=,故0x =或23a x =,故203a≥,即0a ≥②；最后,当0x =时,54a ≤③；综合①②③,实数a 的取值范围为50,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦, 故选：D ．【点睛】本题主要考查分段函数的单调性,主要注意每段函数上满足单调性,且区间分段处左右两段的函数值也要满足单调性. 12．函数()cos cos 23f x x x x π⎛⎫=+-+ ⎪⎝⎭在[]0,π上的值域为（）A ．1,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．[]1,1-C ．[]1,3-D ．[]2,1-【答案】C【解析】利用辅助角公式可将函数()y f x =的解析式化简为()22sin 12sin 66f x x x ππ⎛⎫⎛⎫=+-++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，换元sin 6t x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，由[]0,x π∈，可得出[]0,1t ∈，于是将问题转化为二次函数2221y t t =+-在区间[]0,1上的值域求解，利用二次函数的基本性质可得出结果. 【详解】由()2cos cos 22sin 12sin 366f x x x x x x πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-+=+-++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，设sin 6t x π⎛⎫=+⎪⎝⎭，[]0,x π∈，则7666x πππ≤+≤，可得1sin 126x π⎛⎫-≤+≤ ⎪⎝⎭，[]0,1t ∴∈，二次函数2221y t t =+-图象的开口方向向上，对称轴为直线12t =-，所以，二次函数2221y t t =+-在区间[]0,1上单调递增，当0t =时，min 1y =-，当1t =时，max 3y =，因此，函数()y f x =在[]0,π上的值域为[]1,3-. 故选：C. 【点睛】本题考查三角函数的值域问题，同时也考查了二倍角余弦公式的应用，解题的关键就是将问题转化为二次函数在定区间上的值域问题求解，考查化归与转化思想的应用，属于中等题.二、填空题13．已知平面向量()2,3m =-，()6,n λ=.若m n ⊥，则n =r______.【答案】【解析】由m n ⊥得出0m n ⋅=，利用平面向量数量积的坐标运算可求出实数λ的值，然后利用平面向量模的坐标运算可求出n r的值.【详解】依题意，0m n ⋅=，则1230λ-=，解得4λ=，则()6,4n =，故361613n =+故答案为：【点睛】本题考查利用坐标处理向量垂直的问题，同时也考查了平面向量模的坐标运算，考查运算求解能力，属于基础题.14．已知定义在R 上的奇函数()f x 满足当0x >时，()3ln f x x x=-，则曲线()y f x =在点()()1,1f --处的切线斜率为______.【答案】4【解析】利用奇函数的定义求出函数()y f x =在(),0-∞上的解析式，然后利用导数可求出()1f '-的值，即为所求结果. 【详解】当0x >时，()3ln f x x x=-，由于函数()y f x =为奇函数，当0x <时，0x ->，则()()()()()33ln ln f x f x x x x x ⎡⎤=--=---=---⎢⎥-⎢⎥⎣⎦，此时，()()()2231311f x x x x x '=-⋅-=--，()11341f '∴-=-=-. 因此，曲线()y f x =在点()()1,1f --处的切线斜率为4. 故答案为：4. 【点睛】本题考查利用导数求切线的斜率，同时也考查了利用奇偶性求函数的解析式，考查计算能力，属于中等题.15．函数()sin 22cos f x x x =+，,22x ππ⎛⎫∈-⎪⎝⎭的最大值是______.【答案】2【解析】利用导数求出函数()y f x =的极值点，并利用导数分析函数()y f x =在区间,22ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭上的单调性，可得出函数()y f x =在区间,22ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭上的最大值. 【详解】()sin 22cos 2sin cos 2cos f x x x x x x =+=+，()()()2222cos 2sin 2sin 4sin 2sin 22sin 12sin 1f x x x x x x x x '=--=--+=-+-，当22x ππ-<<时，1sin 1x -<<，则0sin 12x <+<.令()0f x '=，得1sin 2x =，当22x ππ-<<时，6x π=. 所以当,26x ππ⎛⎫∈-⎪⎝⎭时，()0f x '>；当,62x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f x '<.故函数()y f x =在,26ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增，在,62ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减. 因此，当6x π=时，函数()y f x =取得最大值，即()max 622f x f π⎛⎫=== ⎪⎝⎭.故答案为：2. 【点睛】本题考查利用导数求正弦型函数的最值，解题时要熟悉导数与最值的基本关系，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.16．三棱锥P ABC -中，点P 到A 、B 、C 三点的距离均为8，PA PB ⊥，PA PC ⊥，过点P 作PO ⊥平面ABC ，垂足为O ，连接AO ，此时cos PAO ∠=，则三棱锥P ABC -外接球的体积为______.【答案】【解析】先证明出PA ⊥平面PBC ，根据cos PAO ∠=计算出AD 、BD ，并证明出点D 为BC 的中点，可得出BC ，利用勾股定理可证明出PB PC ⊥，然后构造正方体模型可求出三棱锥P ABC -外接球的半径长，最后利用球体体积公式可计算出结果. 【详解】因为PA PB ⊥，PA PC ⊥，PB PC P ⋂=,故PA ⊥平面PBC ，因为8PA PB PC ===，故AB AC ==cos3PA PAO AD ∠==，AD ∴===BD ==PA ⊥平面PBC ，BC ⊂平面PBC ，BC PA ∴⊥.PO ⊥平面ABC ，BC ⊂平面ABC ，BC PO ∴⊥.PA PO P =，BC ∴⊥平面PAO ，PD ⊂Q 平面PAO ，PD BC ∴⊥，8PB PC ==，D ∴为BC 的中点，2BC BD ∴==222PB PC BC ∴+=.故PC PB ⊥，构造正方体模型可知，四面体P ABC -的外接球半径2R ==，因此，三棱锥P ABC -外接球的体积为(343V π=⨯=.故答案为：.【点睛】本题考查三棱锥的外接球体积的计算，解题的关键在于推导出线面垂直关系，并结合几何体的结构找出合适的模型计算出外接球的半径，考查推理能力与计算能力，属于中等题.三、解答题17．在ABC ∆中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，且()2223sin sin sin 3sin B C B C A +=+.（1）求tan A 的值；（2）若3sin c Ba A=，且ABC ∆的面积ABC S ∆=，求c 的值.【答案】（1）tan A =；（2）c =【解析】（1）由正弦定理边角互化思想得2223b c a +-=，然后在等式两边同时除以2bc ，利用余弦定理可求出cos A 的值，利用同角三角函数的基本关系求出sin A 的值，从而可求出tan A 的值；（2）由正弦定理边角互化思想得出2b c =，然后利用三角形的面积公式可求出c 的值. 【详解】（1）因为()2223sin sin sin 3sin B C B C A +=+，故2223b c a bc +-=，222cos 23b c a A bc +-∴==，故1sin 3A ===，因此，sin 1tancos 34A A A ===；（2）因为3sin c B a A =，故3c a a=，即2b c =，ABC ∆的面积为1sin2ABCS bc A ∆==21123=，故28c =，解得c =【点睛】本题考查正弦定理边角互化思想的应用，同时也考查了三角形面积公式的应用，考查计算能力，属于中等题.18．如图，菱形ABCD 所在平面与ABE ∆所在平面垂直，且5AB BE ==，3cos cos 5ABC ABE ∠=∠=.（1）求证：AB CE ^；（2）求点A 到平面CDE 的距离.【答案】（1）见解析；（2）【解析】（1）作EO AB ⊥，垂足为O ，连接CO ，证明出EBO CBO ∆≅∆，可得出2EOB π∠=，从而得出CO AB ⊥，再结合EO AB ⊥，利用直线与平面垂直的判定定理可证明出AB ⊥平面COE ，由此可证明出AB CE ^；（2）由（1）得知OE 为三棱锥E ACD -的体积，由锥体的体积公式可求出三棱锥E ACD -的体积，由//CD AB 以及AB CE ^，可得出CD CE ⊥，可计算出CDE ∆的面积，并设点A 到平面CDE 的距离为h ，由等体积法可计算出点A 到平面CDE 的距离. 【详解】（1）作EO AB ⊥，垂足为O ，连接CO ，由3cos cos 5ABC ABE ∠=∠=，BE BC =，BO BO =，可得EBO CBO ∆≅∆，所以2COB EOB π∠=∠=，CO AB ∴⊥，因为COEO O =，所以AB ⊥平面COE ，因为CE ⊂平面COE ，所以AB CE ^；（2）由（1）知，OE ⊥平面ABCD ，所以OE 是三棱锥E ACD -的高，且4OE =，由5AD CD ==，3cos cos 5ADC ABC ∠=∠=，得4in 5s ADC ∠=，所以ADC ∆的面积11sin 102S AD DC ADC =⋅∠=，三棱锥E ACD -的体积1114033V OE S =⋅=，由（1）知，AB CE ^，又//AB CD ，所以CD CE ⊥，由4OC OE ==，OC OE ⊥，可得CE =，因为5CD =，所以CDE ∆的面积212S CD CE =⋅=设点A 到平面CDE 的距离为h ，则三棱锥A CDE -的体积22133V h S =⋅=，由21V V =403=，h =A 到平面CDE 的距离为【点睛】本题考查异面直线垂直的证明，同时也考查了点到平面距离的计算，一般利用等体积法计算出三棱锥的高，考查推理能力与计算能力，属于中等题.19．如图所示，三棱柱111ABC A B C -中，CAB CBA ∠=∠，E 、F 分别是AB 、1CC的中点.（1）求证：//CE 平面1B AF ；（2）若1AA ⊥平面ABC ，11A E B C ⊥，AB =，求平面1B AF 与平面1B EC 所成锐二面角的余弦值.【答案】（1）见解析；（2【解析】（1）取1AB 的中点M ，连接EM 、MF ，证明四边形CEMF 为平行四边形，可得出//CE MF ，再利用直线与平面平行的判定定理可证明出//CE 平面1B AF ；（2）证明出CE ⊥平面11ABB A ，并设4AC BC ==，以点E 为坐标原点，EB 、EC 、EM 为x 、y 、z 轴正方向，建立空间直角坐标系E xyz -，计算出平面1B AF 和平面1B EC 的法向量，然后利用空间向量法求出平面1B AF 与平面1B EC 所成锐二面角的余弦值. 【详解】（1）取1AB 的中点M ，连接EM 、MF ，在1ABB ∆中，E 、M 分别是AB 、1AB 的中点，则1//EM BB ，且112EM BB =，又F 为1CC 的中点，11//CC BB ，所以1//FC BB ，112FC BB =，从而有//EM FC 且EM FC =，所以四边形EMFC 为平行四边形，所以//CE FM . 又因为CE ⊄平面1B AF ，FM ⊂平面1B AF ，因此，//CE 平面1B AF ；（2）因为CAB CBA ∠=∠，E 为AB 的中点，所以CE AB ⊥，又1AA ⊥平面ABC ，得1AA CE ⊥，又因为1ABAA A =，所以CE ⊥平面11ABB A ，从而1A E CE ⊥，又因为11A E B C ⊥，1B CCE C =，所以1A E ⊥平面1B EC ，从而有11A E B E ⊥，不妨设4AC BC ==，AB =AE EB =，所以1AA AE ==由（1）知1//EM BB ，所以EM ⊥平面ABC .以E 为坐标原点，EB 、EC 、EM 为x 、y 、z 轴正方向，建立空间直角坐标系E xyz -，则()A -，(1A -，(1B ，()0,2,0C，(F .所以(1A E =-，()0,2,0C，(F .所以(1A E =-，(1AB =，(AF =.设平面1B AF 的法向量为(),,n x y z =，则100AB n AF n ⎧⋅=⎨⋅=⎩，即020y ⎧+=⎪⎨++=⎪⎩，取1x =，则()1,0,2n =-.平面1B EC的法向量为(1A E =-，所以1310cos ,10A E n =，所以平面1B AF与平面1B EC.【点睛】本题考查直线与平面平行的证明，同时也考查了二面角余弦值的求解，一般要建立空间直角坐标系，利用空间向量法来求解，考查推理能力与计算能力，属于中等题. 20．已知函数()(1)x f x x e =-．（1）若关于x 的方程()f x x λ=仅有1个实数根，求实数λ的取值范围；（2）若0x =是函数2()2()g x f x ax =-的极大值点，求实数a 的取值范围．【答案】（1）(],0-∞；（2）(1,)+∞【解析】(1)由()f x x λ=仅有1个实数根可考虑利用参变分离得(1)e xx x λ-=,再分析函数(1)()x x e m x x -=的单调性与极值最值,画出图像分析何时(1)e xx xλ-=仅有一根即可.(2)表达出2()2()g x f x ax =-的函数式,求导后再根据极值点的大小关系分a 的不同类进行讨论即可. 【详解】（1）依题意,(1)e xx x λ-=,显然0x =不是方程的根,故(1)e xx xλ-=,令(1)()xx e m x x -=,则()221e ()x x x m x x-+'=, 故函数()m x 在(,0)-∞和(0,)+∞上单调递增,且当x →-∞时,()0m x →,当x 从负方向趋于0时以及x →+∞时,()m x →+∞,当x 从正方向趋于0时,()m x →-∞, 作出函数()m x 的图象如图所示,观察可知,0λ≤,即实数λ的取值范围为(],0-∞．（2）22()2()2(1)e x g x f x ax x ax =-=--,则()()2e 22e xxg x x ax x a '=-=-．①若1a >,则当(,0)x ∈-∞时,0x <,e 1x <,e 0x a -<,所以()0g x '>；当(0,ln )x a ∈时,0x >,ln e e 0x a a a -<-=,所以()0g x '<．所以()g x 在0x =处取得极大值．②若1a ≤,则当(0,1)x ∈时,0x >,e e 10x x a -≥->,所以()0g x '>．所以0x =不是()g x 的极大值点．综上所述,实数a 的取值范围是(1,)+∞．【点睛】(1)本题主要考查已知根的个数,利用参变分离求解的问题,需考查单调性与最值画图进行分析.(2)本题主要考查分类讨论的思想,重点是利用极值点的大小关系进行分类. 21．已知函数()()2ln 1xf x x ea x =---.（其中e 为自然对数的底数）（1）若0a =，且()f x 在(),1n n +()n N ∈上是增函数，求n 的最小值；（2）设()()f xg x x=，若对任意1x 、()20,x ∈+∞恒有()()120g x g x >，求a 的取值范围.【答案】（1）最小值是1；（2）(),2-∞.【解析】（1）将0a =代入函数()y f x =的解析式可得()2ln 1xf x xe x =--，求出导数()()2121xf x x ex'=+-，可得知函数()y f x '=在()0,∞+上为增函数，然后利用零点存在定理可知函数()y f x =在区间()0,1在存在极小值点1t ，从而得出函数()y f x =在()1,t +∞上单调递增，由此可求出自然数n 的最小值；（2）求出函数()y g x =的导数()222ln x xe x g x x+'=，构造函数()22ln xh x xe x =+，可得出函数()y h x =在()0,∞+上为增函数，由零点存在定理可知，存在21,14t ⎛⎫∈⎪⎝⎭，使得()20h t =，可得出22222ln 2t t t et =-，分析函数()y h x =的函数值符号可得出2t 为函数()y g x =的最小值点，并构造函数()xm x xe =，可得出222ln t t =-，由此可得出函数()y g x =的最小值为2a -，根据题意得出20a ->，从而求出实数a 的取值范围. 【详解】（1）当0a =时，()2ln 1xf x xex =--，()()()21210x f x x e x x'=+->， ()f x '在()0,∞+上是增函数，且1404f ⎛⎫'=< ⎪⎝⎭，()21310f e '=->，所以存在()10,1t ∈，使得()f x 在()10,t 上是减函数，在()1,t +∞上是增函数，因此，n 的最小值是1；（2）()2ln 1xx g x e a x +=--，()2222ln x x e xg x x+'=，设()222ln xh x x ex =+，则()y h x =在()0,∞+上是增函数，且()2120h e =>，1ln 4048h ⎛⎫=-< ⎪⎝⎭，所以存在21,14t ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，使得()20h t =，所以()20,x t ∈时，()0h x <，()0g x '<，()y g x =是减函数；()2,x t ∈+∞时，()0h x >，()0g x '>，()y g x =是增函数，所以()()2g x g t ≥.由()20h t =得22222ln 2t t t et =-，设()xm x xe =，则()()222ln m t m t =-，由()xm x xe =在()0,∞+上是增函数，可得222ln t t =-，2221t et =，所以()22222222ln 12112t t t g t ea a a t t t +-+=--=--=-，所以()g x 的值域为()2,a -+∞，若对任意()12,0,x x ∈+∞恒有()()120g x g x >，则20a ->，即2a <，所以a 的取值范围是(),2-∞. 【点睛】本题考查利用函数的单调性求参数的值，同时与考查了利用导数研究函数不等式恒成立问题，难点在于构造新函数并结合零点存在定理验证函数极值点的存在，以及极值点所满足的条件的灵活应用，考查分析问题和解决问题的能力，属于难题.22．极坐标系中，曲线C 的极坐标方程为2ρ=．以极点为原点，极轴为x 轴建立平面直角坐标系xOy ，直线l的参数方程为12x a y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数）．（1）求曲线C 的直角坐标方程以及直线l 的普通方程；（2）若曲线C 上恰有四个不同的点到直线l 的距离等于1，求实数a 的取值范围．【答案】（1）曲线C ：224x y +=，直线l：0x a --=；（2）22a -<<【解析】(1)根据极坐标222x y ρ=+化简曲线C .再消去直线l 的参数方程中的参数t 即可.(2)圆上恰有四个不同的点到直线l 的距离等于1的问题可转换为圆心到直线的距离1d <的问题.【详解】（1）依题意,24ρ=,代入公式222x y ρ=+,得曲线C 的直角坐标方程为224x y +=,由直线的参数方程消去参数t ,得直线l 的普通方程为0x a --=；（2）依题意可得,圆心O 到直线l ：0x a -=的距离1d <,1<,解得22a -<<．【点睛】(1)本题主要考查极坐标的基本化简222x y ρ=+,与消去参数方程中参数的方法. (2)圆与直线的问题重点考虑圆心到直线的距离或半径的关系. 23．已知函数()124f x x x =-++．（1）求不等式()5f x ≥的解集；（2）若1m >，1n >，求证：()24f mn mn n m -+>-．【答案】（1）8,[0,)3⎛⎤-∞-+∞ ⎥⎝⎦；（2）见解析【解析】(1)分三段2x <-,21x -≤≤,1x >进行讨论求不等式即可. (2)代入()f mn 化简得出求证|1|||mn n m ->-,故考虑两边平方化简证明. 【详解】（1）1245x x -++≥等价于21245x x x <-⎧⎨---≥⎩或211245x x x -≤≤⎧⎨-++≥⎩或11245x x x >⎧⎨-++≥⎩, 解得83x ≤-或01x ≤≤或1x >, 所以原不等式的解集为8,[0,)3⎛⎤-∞-+∞ ⎥⎝⎦．（2）要证：()|24|||f mn mn n m -+>-, 只要证|1|||mn n m ->-,只需证22(1)()mn n m ->-,而()()22222222(1)()1110mn n m m n m n m n ---=--+=-->, 从而原不等式成立．【点睛】本题主要考查绝对值不等式的方法,包括分情况分段讨论与平方的方法等.。

2020年广东省汕头市潮阳仙城中学高三数学理月考试卷含解析

2020年广东省汕头市潮阳仙城中学高三数学理月考试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 设平面与平面相交于直线，直线在平面内，直线在平面内，且，则“”是“”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件参考答案：A2. 若复数为纯虚数，则实数的值为A． B． C． D．或参考答案：A略3. 已知tanx=2，则1+2sin2x=（）A．B．C．D．参考答案：D【考点】三角函数的化简求值；同角三角函数间的基本关系．【专题】计算题；三角函数的求值．【分析】根据tanx=2，利用同角三角函数的商数关系算出cosx=sinx，代入sin2x+cos2x=1解出sin2x=，由此即可得出1+2sin2x的值．【解答】解：∵tanx=2，∴=2，得cosx=sinx．又∵sin2x+cos2x=1，∴sin2x+（sinx）2=1，得sin2x=1，解得sin2x=．由此可得1+2sin2x=1+2×=．故选：D【点评】本题给出x的正切之值，求1+2sin2x的值，着重考查了同角三角函数的基本关系等知识，属于基础题．4. 函数f（x）=ln（x2+1）的图象大致是（）A．B．C．D．参考答案：A【考点】3O：函数的图象．【分析】∵x2+1≥1，又y=lnx在（0，+∞）单调递增，∴y=ln（x2+1）≥ln1=0，函数的图象应在x 轴的上方，在令x取特殊值，选出答案．【解答】解：∵x2+1≥1，又y=lnx在（0，+∞）单调递增，∴y=ln（x2+1）≥ln1=0，∴函数的图象应在x轴的上方，又f（0）=ln（0+1）=ln1=0，∴图象过原点，综上只有A符合．故选：A5. 点M为圆P内不同于圆心的定点，过点M作圆Q与圆P相切，则圆心Q的轨迹是（）A．圆B．椭圆C．圆或线段D．线段参考答案：B考点：轨迹方程．专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：当点M在定圆P内时（非圆心），|MP|+|MQ|=r为定值，可得轨迹．解答：解：当点M在定圆P内时（非圆心），|MP|+|MQ|=r为定值，轨迹为椭圆．故选：B．点评：本题主要考查了轨迹问题，解题的关键是利用了椭圆的定义求得轨迹．6. 的值是（）A．2 B． 1 C．－2 D．－1参考答案：B略7. 已知函数f（x）=ln（﹣3x）+1，则f（lg2）+f（lg）=( )A．﹣1 B．0 C．1 D．2参考答案：D【考点】函数奇偶性的性质；函数的值．【专题】函数的性质及应用．【分析】判断函数y=ln（﹣3x）的奇偶性，然后求解函数值即可．【解答】解：因为函数g（x）=ln（﹣3x）满足g（﹣x）=ln（+3x）=﹣ln （﹣3x）=﹣g（x），函数是奇函数，g（lg2）+g（﹣lg2）=0，所以f（lg2）+f（lg）=f（lg2）+f（﹣lg2）=0+1+1=2．故选：D．【点评】本题考查函数的奇偶性的应用，函数值的求法，考查计算能力．8. 设函数，则的值是（）A．2 B．﹣2 C．D．参考答案：D【考点】分段函数的应用．【分析】由已知中函数，将x=代入计算，可得答案．【解答】解：，故选D．9. 如果点P在平面区域上，点Q在曲线x2＋(y＋2)2＝1上，则|PQ|的最小值为()A. B.－1C．2－1 D.－1参考答案：A略10. 某企业投入100万元购入一套设备．该设备每年的运转费用是0.5万元，此外每年都要花费一定的维护费，第一年的维护费为2万元，由于设备老化，以后每年的维护费都比上一年增加2万元．为使该设备年平均费用最低，该企业（）年后需要更新设备.A. 10B. 11C. 13D. 21参考答案：A由题意可知年的维护费用为，所以年平均污水处理费用为，由均值不等式得，当且仅当，即时取等号，所以选A.二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 已知函数，且f （﹣1）=f （2），则= ．参考答案：﹣1【考点】分段函数的应用；函数的值．【专题】计算题；函数思想；方程思想；函数的性质及应用．【分析】直接利用分段函数以及方程求出a ，得到函数的解析式然后求解函数值．【解答】解：函数，且f （﹣1）=f （2），可得alog 22=，解得a=，则=log 2=﹣1．故答案为：﹣1．【点评】本题考查分段函数的应用，对数的运算法则以及方程的根的求法，考查计算能力． 12. 设f （x ）是定义在R 上的奇函数，当x ＞0时，f （x ）=2x ﹣3，则不等式f （x ）＜﹣5的解为．参考答案：（﹣∞，﹣3）【考点】3L ：函数奇偶性的性质．【分析】根据函数奇偶性的性质求出当x ＜0的解析式，讨论x ＞0，x ＜0，x=0，解不等式即可．【解答】解：若x ＜0，则﹣x ＞0， ∵当x ＞0时，f （x ）=2x﹣3， ∴当﹣x ＞0时，f （﹣x ）=2﹣x ﹣3， ∵f（x ）是定义在R 上的奇函数， ∴f （﹣x ）=2﹣x ﹣3=﹣f （x ），则f （x ）=﹣2﹣x +3，x ＜0，当x ＞0时，不等式f （x ）＜﹣5等价为2x ﹣3＜﹣5即2x ＜﹣2，无解，不成立；当x ＜0时，不等式f （x ）＜﹣5等价为﹣2﹣x +3＜﹣5即2﹣x ＞8，得﹣x ＞3，即x ＜﹣3；当x=0时，f （0）=0，不等式f （x ）＜﹣5不成立，综上，不等式的解为x ＜﹣3．故不等式的解集为（﹣∞，﹣3）．故答案为（﹣∞，﹣3）．【点评】本题主要考查不等式的解集的求解，根据函数奇偶性的性质求出函数的解析式是解决本题的关键．13. 一个球的体积是，那么这个球的半径是。

2020年广东省汕头市高考数学一模试卷(理科) (含答案解析)

2020年广东省汕头市高考数学一模试卷(理科)一、单项选择题（本大题共12小题，共60.0分）1. 已知集合A ={x ∈N|x <3}，B ={x|x 2−x ≤0}，则A ∩B =( )A. (0,1]B. {1}C. [0,1]D. {0,1}2. (1+i)2=( )A. −2iB. 2iC. 2D. −23. 设变量x,y 满足约束条件{x +y −2≤0,x −y +2≥0,x ≥−1,y ≥−1,则目标函数z =−4x +y 的最大值为( )A. 2B. 3C. 5D. 64. 如图1为某省2018年1～4月快递业务量统计图，图2是该省2018年1～4月快递业务收入统计图，下列对统计图理解错误的是( )A. 2018年1～4月的业务量，3月最高，2月最低，差值接近2000万件B. 2018年1～4月的业务量同比增长率均超过50％，在3月最高C. 从两图来看，2018年1～4月中的同一个月的快递业务量与收入的同比增长率并不完全一致D. 从1～4月来看，该省在2018年快递业务收入同比增长率逐月增长5. 已知f(x)是定义在R 上的偶函数，且f(x)在(−∞,0]上单调递减，则不等式f(lgx)>f(−2)的解集是( )A. (1100,100) B. (100,+∞)C. (1100,+∞)D. (0,1100)∪(100,+∞)6. 已知函数y =Asin(ωx +φ)(ω>0,|φ|<π2,x ∈R)的图象如图所示，则该函数的单调减区间是( )A. [2+16k,10+16k](k ∈Z)B. [6+16k,14+16k](k ∈Z)C. [−2+16k,6+16k](k ∈Z)D. [−6+16k,2+16k](k ∈Z)7. 如图，圆柱内有一个直三棱柱，三棱柱的底面在圆柱底面内，且底面是正三角形．如果三棱柱的体积为12√3，圆柱的底面直径与母线长相等，则圆柱的侧面积为( )A. 12πB. 14πC. 16πD. 18π8. 已知向量OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，|OA ⃗⃗⃗⃗⃗ |=3，则OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =( ) A. 9 B. 8 C. 7 D. 109. ΔABC 中，A,B,C 所对边分别为a,b,c,(a +b )(sinA −sinB )=(c −b)sinC ，若b +c =4，则a 的取值范围是( )A. (2,4)B. [2,4)C. (0,2)D. (0,4)10. 在的展开式中，x 3的系数为( ) A.B. 160C. 120D. 20011. 已知三棱锥D −ABC 中，AB =BC =1，AD =2，BD =√5，AC =√2，BC ⊥AD ，则三棱锥的外接球的表面积为( )A. √6πB. 6πC. 5πD. 8π12. 函数f(x)=√xx+1的最大值为( )A. 25B. 12C. √22D. 1二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 曲线f(x)=e x 在点A(0,f(0))处的切线方程为______．14.双曲线C：2x2−y2=1的渐近线方程是______．15.2020年初，湖北成为全国新冠疫情最严重的省份，面临医务人员不足，医疗物资紧缺等诸多困难，全国人民心系湖北，志愿者纷纷驰援．若某医疗团队从甲，乙，丙，丁4名医生志愿者中，随机选取2名医生赴湖北支援，则甲被选中的概率为________．16.过抛物线y2=4x的焦点F的直线与抛物线交于P，Q两点，则PQ中点M的轨迹是__________．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.已知数列{a n}的前n项和为S n，且a1=12,a n+1=n+12na n．(1)求{a n}的通项公式；(2)设b n=n(2−S n)，，若b n≤λ，恒成立，求实数λ的取值范围．18.如图，在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD为菱形，∠ABC=120°，△PAD为等边三角形，E为棱PC的中点．(1)证明：PB⊥平面ADE；(2)若平面PAD⊥平面ABCD，求二面角A−DE−B的余弦值．19.某地在每周六的晚上8点到10点半举行灯光展，灯光展涉及到10000盏灯，每盏灯在某一时刻亮灯的概率均为p(0<p<1)，并且是否亮灯彼此相互独立．现统计了其中100盏灯在一场灯光展中亮灯的时长(单位：min)，得到下面的频数表：以样本中100盏灯的平均亮灯时长作为一盏灯的亮灯时长．(1)试估计p的值；(2)设X表示这10000盏灯在某一时刻亮灯的数目．①求X的数学期望E(X)和方差D(X)；②若随机变量Z满足Z=，则认为Z∽N(0,1).假设当4900<X≤5000时，灯光展处于最√D(X)佳灯光亮度．试由此估计，在一场灯光展中，处于最佳灯光亮度的时长(结果保留为整数).附：①某盏灯在某一时刻亮灯的概率p等于亮灯时长与灯光展总时长的商；②若Z∽N(0,1)，则P(μ−σ<X≤μ+σ)=0.6827，P(μ−2σ<X≤μ+2σ)=0.9545，P(μ−3σ<X≤μ+3σ)=0.9973．20. 已知中心在坐标原点O 的椭圆C 经过点A (2,3)，且点F (2,0)为其右焦点．(1)求椭圆C 的方程；(2)直线l 平行于直线OA ，且过点(0,t )，若直线l 与椭圆C 有公共点，求t 的取值范围．21. 设函数．(1)讨论f(x)的单调性；(2)当a <0时，证明f(x)<−34a −2．22. 在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为{x =cosαy =1+sinα(α为参数)，以坐标原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系． (Ⅰ)求曲线C 的极坐标方程；(Ⅱ)设A，B为曲线C上两点(均不与O重合)，且满足∠AOB=π3，求|OA|+|OB|的最大值．23.已知函数f(x)=|ax−3|，不等式f(x)≤2的解集为{x|1≤x≤5}．(1)解不等式f(x)<2f(x+1)−1；(2)若m≥3，n≥3，f(m)+f(n)=3，求证：1m +4n≥1．【答案与解析】1.答案：D解析：本题主要考查集合的交运算，属于基础题，根据题意求出集合A与B，然后根据交集定义求解即可．解：B={x∈N|x<3}={0,1,2}B={x|x2−x≤0}={x|0≤x≤1}，所以A∩B={0,1}．故选D．2.答案：B解析：本题考查复数的运算，属于基础题．解：(1+i)2=1+2i+i2=2i．故选B．3.答案：C解析：本题考查简单的线性规划知识，考查数形结合的解题思想方法，是基础题．由约束条件作出可行域，数形结合得到最优解，把最优解的坐标代入目标函数得答案．解：由约束条件作出可行域如图：联立{x =−1x −y +2=0，解得A(−1,1)，化目标函数z =−4x +y 为y =4x +z ，由图可知，当直线y =4x +z 过A 时，z 有最大值为5．故选C ．4.答案：D解析：本题考查统计问题，考查数据处理能力和应用意识，属于基础题．根据统计图中的数据可以直接得到结论．解：2018年3月快递业务量为4397万件，2月快递业务量为2411万件，4397−2411=1986，A 正确；由图1知B 正确；对于C ，例如2月份业务量同比增长率为53%，而收入的同比增长率为30%，故C 正确；对于D ，1，2，3，4月收入的同比增长率分别为55%，30%，60%，42%，并不是逐月增长，D 错误．故选D ．5.答案：D解析：本题主要考查函数奇偶性和单调性的应用，将不等式进行转化是解决本题的关键．根据函数奇偶性和单调性之间的关系，将不等式进行转化即可．解：∵f(x)是定义在R 上偶函数，且在区间(−∞,0]上是单调递减， ∴在区间(0,+∞)上为增函数，则不等式f(lgx)>f(−2)等价为f(|lgx|)>f(2) 即|lgx|>2，∴lgx <−2或lgx >2，∴0<x<1100或x>100，故选D．6.答案：A解析：本题主要考查三角函数的图象和性质，根据条件求出函数的解析式，结合三角函数的单调性是解决本题的关键．根据三角函数的图象求出A，ω和φ的值，结合三角函数的单调性进行求解即可．解：由图象知A=4，T2=6−(−2)=8，即T=16=2πω，则ω=π8，则y=4sin(π8x+φ)，由图象知(−2,0)，(6,0)的中点为(2,0)，当x=2时，y=−4，即−4sin(π8×2+φ)=−4，即sin(π4+φ)=1，即π4+φ=π2+2kπ，即φ=π4+2kπ，∵|φ|<π2，∴φ=π4，则y=4sin(π8x+π4)，由2kπ+π2≤π8x+π4≤2kπ+3π2，k∈Z，即16k+2≤x≤16k+10，k∈Z，即函数的单调递减区间为[2+16k,10+16k](k∈Z)，故选A．7.答案：C解析：本题考查几何体的体积的求法，几何体的内接体问题的应用，圆柱的侧面积的求法，考查计算能力．设圆柱的底面半径为R ，求出三棱柱的底面边长为√3R ，利用棱柱的体积，求出底面半径，然后求解侧面积．解：设圆柱的底面半径为R ，底面正三角形的边长为a ，，则a =√3R ．故三棱柱的底面边长为√3R ，因为三棱柱的体积为12√3，圆柱的底面直径与母线长相等，所以√34(√3R)2⋅2R =12√3，解得R =2，S 圆柱侧=2πR ⋅2R =16π．故选：C ．8.答案：A解析：本题考查向量的数量积和向量垂直，向量加法的运用，属于简单题．化得OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅(OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +AB ⃗⃗⃗⃗⃗ )，即可求解．解：向量OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，|OA ⃗⃗⃗⃗⃗ |=3，则OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =0，OA⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅(OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ) =OA ⃗⃗⃗⃗⃗ 2+OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =32+0=9．故选：A ．9.答案：B解析：解：∵(a +b)(sinA −sinB)=(c −b)sinC ，∴由正弦定理得：(a +b)(a −b)=(c −b)c ，即c 2+b 2−a 2=bc ，∴由余弦定理可得：cosA=c2+b2−a22bc =12，∵A∈(0,π)，∴A=π3，∵b+c=4，由余弦定理可得a2=b2+c2−2bccosA=(b+c)2−2bc−bc=16−3bc，由b+c=4，b+c≥2√bc，得0<bc≤4，则4≤a2<16，即2≤a<4，即a的取值范围是：[2,4)．故选：B．利用正弦定理，余弦定理可求cos A，结合A的范围求得A=π3，再由余弦定理求得a2=16−3bc，再由基本不等式，求得bc的范围，即可得到a的范围．本题考查正弦定理，余弦定理，基本不等式在解三角形中的综合运用，考查运算能力和转化思想，属于基础题．10.答案：C解析：本题主要考查二项式定理的应用，属于中档题．先把变形为(x+1)5(x−2)5，再利用二项式定理，结合展开式的通项求出结果．解：∵(x2−x−2)5=(x+1)5(x−2)5，∴x3的系数为，故x3的系数为120．故选C．11.答案：B解析：本题考查了三棱锥的外接球的表面积，关键是根据线段的数量关系判断CD是三棱锥的外接球的直径．根据勾股定理可判断AD⊥AB，AB⊥BC，从而可得CD为外接球的直径，即可求出三棱锥的外接球的表面积．解：如图：∵AD =2，AB =1，BD =√5，满足AD 2+AB 2=BD 2， ∴AD ⊥AB ，又AD ⊥BC ，BC ∩AB =B ，BC ⊂平面ABC ，AB ⊂平面ABC ， ∴AD ⊥平面ABC ，∵AB =BC =1，AC =√2， ∴AB ⊥BC ，又AD ∩AB =A ，AD ⊂平面DAB ，AB ⊂平面DAB ， ∴BC ⊥平面DAB ，∴CD 是三棱锥的外接球的直径， ∵AD =2，AC =√2， ∴CD =√6，∴三棱锥的外接球的表面积为4π(√62)2=6π．故选：B ．12.答案：B解析：可以利用单调性求解最值，也可以利用不等式的思想来求解最值，因为f(x)=√x x+1=√x+1x，可知y =√x +√x ，因为√x >0，根据函数单调性可知有最小值2，所以f(x)有最大值12．13.答案：x −y +1=0解析：求得f(x)的导数，可得切线的斜率和切点，由点斜式方程，即可得到所求切线方程．本题考查导数的运用：求切线的方程，考查方程思想和运算能力，属于基础题．解：f(x)=e x 的导数为f′(x)=e x ，可得在点A(0,f(0))处的切线斜率为k =1，切点为(0,1)，则曲线f(x)=e x 在点A(0,f(0))处的切线方程为y −1=1·(x −0)，即为x −y +1=0．故答案为：x −y +1=0．14.答案：y =±√2x解析：解：∵双曲线2x 2−y 2=1的标准方程为：x 212−y 2=1∴a 2=12，b 2=1，可得a =√22，b =1 又∵双曲线x 2a2−y 2b 2=1的渐近线方程是y =±ba x∴双曲线2x 2−y 2=1的渐近线方程是y =±√2x 故答案为：y =±√2x将双曲线化成标准方程，得到a 、b 的值，再由双曲线x 2a2−y 2b 2=1的渐近线方程是y =±ba x ，即可得到所求渐近线方程．本题给出双曲线方程，求双曲线的渐近线方程，着重考查了双曲线的简单几何性质，属于基础题．15.答案：12解析：本题主要考查事件与概率，考查运算求解能力，是基础题．某医疗团队从甲，乙，丙，丁4名医生志愿者中，随机选取2名医生赴湖北支援，选法有甲乙、甲丙、甲丁、乙丙、乙丁、丙丁，共6种，其中甲被选中的情况有甲乙、甲丙、甲丁，共3种，所以甲被选中的概率为P =12 故本题正确答案为12．16.答案：y2=2x−2解析：先根据抛物线方程求出焦点坐标，写出过焦点的直线方程，表示出焦点弦的中点即可．解：由题意知F(1,0)，设过F的直线方程为x=ty+1，与抛物线方程联立得y2−4ty−4=0. 所以y1+y2=4t,x1+x2=t(y1+y2)+2=4t2+2所以，PQ中点坐标为(2t2+1,2t)消去t得y2=2x−2．故答案为y2=2x−2．17.答案：解：(1)由已知得a n+1n+1=12·a nn，其中，∴数列{a nn }是公比为12的等比数列，首项a1=12，∵a nn =12n，∴a n=n(12)n，(2)由(1)知S n=12+222+323+⋯+n2n，∴12S n=122+223+324…+n2n+1，∴12S n=12+122+123+⋯+12n−n2n+1，∵12S n=1−n+22n+1，∴S n=2−n+22n．因此b n=n(n+2)2n，b n+1−b n=(n+1)(n+3)2n+1−n(n+2)2n=−n2+32n+1，∴当n=1，b2−b1>0，即b2>b1，n≥2，b n+1−b n<0，即b n+1<b n．∴b2是最大项，b2=2，∴λ≥2．解析：本题考查了“错位相减法”、等比数列的通项公式及其前n项和公式、递推关系、数列的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．(1)由已知得a n+1n+1=12·a nn，其中，利用等比数列的通项公式即可得出；(2)利用“错位相减法”求出S n ，即可得b n ，通过作差法分析b n 的单调性可求出最值，即可得解．18.答案：解：(1)证明：由题知PD =DB ，取PB 的中点G ，连接EG ，AG ，DG ，又E 为PC 的中点，所以EG//BC ，又AD//BC ，所以AD//EG ，即A ，D ，E ，G 四点共面，又PD =DB ，则DG ⊥PB ，同理PB ⊥AG ，又DG ∩AG =G ，DG ，AG ⊂平面ADE ，所以PB ⊥平面ADE;(2)解：取AD 的中点O ，连接OP ，OB ，则OP ⊥AD ，又平面PAD ⊥平面ABCD ，且平面PAD ∩平面ABCD =AD ，OP ⊂平面PAD ，则OP ⊥平面ABCD ，又OB ⊂平面ABCD ，则OP ⊥OB ，易知OA ⊥OB ，故以O 为坐标原点，以OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ，OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，OP ⃗⃗⃗⃗⃗ 的方向为x 轴、y 轴、z 轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系O −xyz ，不妨设OA =1，则A(1,0，0)，D(−1,0，0)，B(0,√3,0)，P(0,0,√3)，E(−1,√32,√32)，则BP ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,−√3,√3)，，DE⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,√32,√32)，设平面BDE 的一个法向量为m⃗⃗⃗ =(x,y,z)，则{m ⃗⃗⃗ ⋅DB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0m ⃗⃗⃗ ⋅DE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0, 即{x +√3y =0,√32y +√32z =0,取y =√3，则x =−3，z =−√3，则m ⃗⃗⃗ =(−3,√3,−√3)，由(1)知PB ⊥平面ADE ，则平面ADE 的一个法向量为BP ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,−√3,√3)，设向量m ⃗⃗⃗ 与BP ⃗⃗⃗⃗⃗ 所成的角为θ，则cos θ=m⃗⃗⃗ ⋅BP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗|m ⃗⃗⃗ ||BP⃗⃗⃗⃗⃗⃗ | =√3×√3−√3×√3√15×√6=−√105，由图知，二面角A −DE −B 的平面角是锐角，故二面角A −DE −B 的余弦值为√105．解析：本题考查线面垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，属于中档题．(1)取PB 的中点G ，连接EG ，AG ，DG ，推导出EG//BC ，AD//BC ，所以AD//EG ，又PD =DB ，则DG ⊥PB ，同理PB ⊥AG ，由此能证明PB ⊥平面ADE ；(2)取AD 的中点O ，以O 为原点，建立空间直角坐标系O −xyz ，利用向量法能求出二面角A −DE −B 的余弦值．19.答案：解：(1)估计p =55×10+65×20+75×40+85×20+95×102.5×60×100=12．(2)①由题意可得：X ～B(10000,12).∴E(X)=10000×12=5000，方差D(X)=10000×12×(1−12)=2500．②随机变量Z 满足Z =D(X)=150X −100，∴−2<Z ≤0.又Z ～N(0,1)．∴P(−2<Z ≤0)=12×P(−2<X ≤2)=12×0.9545≈0.4773．由此估计，在一场灯光展中，处于最佳灯光亮度的时长=0.4773×150=71.595min ≈72min ．解析：本题考查了平均数的计算方法、二项分布列与正态分布分布及其数学期望，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．(1)利用平均数的计算方法可得：估计p ．(2)①由题意可得：X ～B(10000,12).即可得出：E(X)，D(X)． ②随机变量Z 满足Z =D(X)=150X −100，可得−2<Z ≤0.又Z ～N(0,1).即可得出P(−2<Z ≤0)=12×P(−2<X ≤2)．20.答案：解(1)依题设椭圆C 为x 2a 2+y 2b 2=1(a >0,b >0)，且右焦点F ′(−2,0)∴{c =22a =|AF |+|AF′|=√32+02+√42+32=3+5=8，解得{c =2a =4, 又a 2=b 2+c 2，∴b 2=12，故椭圆C 的方程为x 216+y 212=1；(2)设l 为y =32x +t ，由{y =32x +t,x 216+y 212=1消去y 得3x 2+3tx +t 2−12=0．∵Δ=(3t )2−4×3(t 2−12)≥0，解得−4√3≤t ≤4√3．解析：本题考查椭圆的标准方程及简单几何性质，直线与椭圆的位置关系，考查判别式法的应用，考查计算能力，属于中档题． (1)由题意c =2，设椭圆C 为x 2a 2+y 2b 2=1(a >0,b >0)，将A 代入椭圆方程，即可求得a 的值，即可求得椭圆方程；(2)设直线l 为y =32x +t ，代入椭圆方程，由韦达定理△≥0，即可求得t 的取值范围．21.答案：解：(1)解：因为f(x)=lnx +ax 2+(2a +1)x ，求导f′(x)=1x +2ax+(2a+1)=(2ax+1)(x+1)x(x>0)，①当a=0时，f′(x)=1x+1>0恒成立，此时y=f(x)在(0,+∞)上单调递增；②当a>0，由于x>0，所以(2ax+1)(x+1)>0恒成立，此时y=f(x)在(0,+∞)上单调递增；③当a<0时，令f′(x)=0，解得：x=−12a．因为当x∈(0,−12a)时，f′(x)>0、当x∈(−12a,+∞)时，f′(x)<0，所以y=f(x)在(0,−12a )上单调递增、在(−12a,+∞)上单调递减．综上可知：当a≥0时f(x)在(0,+∞)上单调递增，当a<0时，f(x)在(0,−12a )上单调递增、在(−12a,+∞)上单调递减；(2)证明：由(1)可知：当a<0时f(x)在(0,−12a)上单调递增、在(−12a,+∞)上单调递减，所以当x=−12a时函数y=f(x)取最大值f(x)max=f(−12a)=−1−ln2−14a+ln(−1a).从而要证f(x)≤−34a −2，即证f(−12a)≤−34a−2，即证−1−ln2−14a +ln(−1a)≤−34a−2，即证−12(−1a)+ln(−1a)≤−1+ln2．令t=−1a ，则t>0，问题转化为证明：−12t+lnt≤−1+ln2.(∗)令g(t)=−12t+lnt，则g′(t)=−12+1t，令g′(t)=0可知t=2，则当0<t<2时g′(t)>0，当t>2时g′(t)<0，所以y=g(t)在(0,2)上单调递增、在(2,+∞)上单调递减，即g(t)≤g(2)=−12×2+ln2=−1+ln2，即(∗)式成立，所以当a<0时，f(x)≤−34a−2成立．解析：本题考查利用导数研究函数的单调性，考查分类讨论的思想，考查转化能力，考查运算求解能力，注意解题方法的积累，属于中档题． (1)题干求导可知f′(x)=(2ax+1)(x+1)x(x >0)，分a =0、a >0、a <0三种情况讨论f′(x)与0的大小关系可得结论；(2)通过(1)可知f(x)max =f(−12a )=−1−ln2−14a +ln(−1a )，进而转化可知问题转化为证明：当t >0时−12t +lnt ≤−1+ln2.进而令g(t)=−12t +lnt ，利用导数求出y =g(t)的最大值即可．22.答案：解：(I)曲线C 的参数方程为{x =cosαy =1+sinα(α为参数)，转换为直角坐标方程为x 2+(y −1)2=1，整理得x 2+y 2−2y =0，转换为极坐标方程为ρ=2sinθ． (II)设A(ρ1,θ)，则B(ρ2,θ+π3)，故ρ1=2sinθ，ρ2=2sin(θ+π3)，所以|OA|+|OB|=ρ1+ρ2=2sinθ+2sin(θ+π3)=2√3sin(θ+π6)．当θ=π3时，|OA|+|OB|的最大值为2√3．解析：(Ⅰ)直接利用转换关系，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换求出结果． (Ⅱ)利用三角函数关系式的恒等变换和极径的应用求出结果．本题考查的知识要点：参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，三角函数关系式的恒等变换，极径的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．23.答案：(1)解：因为不等式f(x)≤2的解集为{x|1≤x ≤5}，则x =1和x =5是方程f(x)=|ax −3|=2的解，即{|a −3|=2|5a −3|=2，所以实数a 的值为1．不等式f(x)<2f(x +1)−1可化为|x −3|<2|x −2|−1，则{x ≥3x −3<2(x −2)−1或{2≤x <3−(x −3)<2(x −2)−1或x <2−(x −3)<−2(x −2)−1，解得x ≥3或83<x <3或x <0，所以原不等式的解集为{x|x <0或x >83}．(2)证明：因为m ≥3，n ≥3，所以f(m)+f(n)=|m −3|+|n −3|=m −3+n −3=3，即m+n=9．所以1m +4n=19(m+n)(1m+4n)=19(1+4+nm+4mn)≥19(5+2√nm⋅4mn)=1，当且仅当nm =4mn，即m=3，n=6时取等号．解析：(1)利用不等式f(x)≤2的解集为{x|1≤x≤5}，说明x=1和x=5是方程f(x)=|ax−3|=2的解，求出a，然后转化不等式f(x)<2f(x+1)−1为|x−3|<2|x−2|−1，通过分类讨论转化求解即可．(2)化简f(m)+f(n)=3，得到m+n=9.利用基本不等式证明即可．本题考查解绝对值不等式和利用基本不等式证明不等式．是中档题．。

2020届广东省汕头市高三第一次模拟考试数学理试题

2020年汕头市普通高考第一次模拟考试试题理科数学一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目的要求的。

1．已知集合A ＝｛x ｜1≤x ≤4｝，B ＝｛x ｜02xx≥-｝，则A ∩B ＝ A 、｛x ｜2≤x ≤4｝B 、｛x ｜2＜x ≤4｝C 、｛x ｜1≤x ≤2｝D 、｛x ｜1≤x ＜2｝2．下列各式的运算结果虚部为1的是 A 、(1)i i - B 、21i+ C 、2(1)i i +- D 、2＋2i3．若实数x ，y 满足则2y x -的最大值是A 、9B 、12 C.3 D 、64．近年来，随着“一带一路”倡议的推进，中国与沿线国家旅游合作越来越密切，中国到“一带一路”沿线国家的游客人也越来越多，如图是2013-2018年中国到“一带一路” 沿线国家的游客人次情况，则下列说法正确的是①2013-2018年中国到“一带一路”沿线国家的游客人次逐年增加②2013-2018年这6年中，2014年中国到“一带一路”沿线国家的游客人次增幅最小③2016-2018年这3年中，中国到“一带一路”沿线国家的游客人次每年的增幅基本持平 A 、①②③ B 、②③ C 、①② D 、③ 5．已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数，且在［0，＋∞）上单调递减，f (2)＝0，则不等式2(log )0f x >的解集为A 、（14，4） B 、（2，2） C 、（14，＋∞） D 、（4，＋∞） 6．已知函数的图象与直线y =a (0<a <A )的三个相邻交点的横坐标分别为2、4、8，则f (x )的单调递减区间为7．“今有城，下广四丈，上广二丈，高五丈，袤一百二十六丈五尺。

”这是我国古代数学名著《九章算术》卷第五中“商功”中的问题。

意思为“现有城（如图，等腰梯形的直棱柱体），下底长4丈，上底长2丈，高5丈，纵长126丈5尺（1丈=10尺）”，则该问题中“城”的体积等于A 、1.8975×106立方尺 B 、3.7950×106立方尺 C 、2.5300×105立方尺 D 、1.8975×105立方尺8．已知四边形ABCD 为平行四边形，||2AB =u u u r ，||3AD =u u u r，M 为CD 中点，2BN NC =u u u r u u u r ，则AN MN u u u r u u u u r g ＝A 、13 B 、23 C 、1 D 、439．△ABC 中，角A ，B ，C 所对应的分别为a ，b ，c ，且，若a =2，则△ABC 的面积的最大值是A 、1B 、3C 、2D 、23 10．在25(2)x x --的展开式中，x 3的系数为 A 、－40 B 、160 C 、120 D 、200 11．体积为2153的三棱锥A -BC D 中，BC AC=BD=AD=3，CD ＝25，AB 22<，则该三棱锥外接球的表面积为 A 、20πB 、613π C 、6112π D 、4912π12．若函数f (x )在其图像上存在不同的两点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，其坐标满足条件：的最大值为0，则称f (x )为“柯西函数”，则下列函数：其中为“柯西函数”的个数为A 、1B 、2C 、3D 、4 第Ⅱ卷二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．曲线2()xf x x e -=在点（1，f (1))处的切线方程为 .14．若双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>的两个顶点将焦距三等分，则双曲线C 的渐近线方程为 .15．“新冠肺炎”爆发后，某医院由甲、乙、丙、丁、戊5位医生组成的专家组到某市参加抗击疫情.五位医生去乘高铁，按规定每位乘客在进站前都需要安检，当时只有3个安检口开通，且没有其他旅客进行安检.5位医生分别从3个安检口进行安检，每个安检口都有医生去安检且不同的安检顺序视为不同的安检，则甲、乙2位医生不在同一个安检口进行安检的概率为 .16．直线:10(0)l x ty t -+=>和抛物线C ：24y x =相交于不同两点A 、B ，设AB 的中点为M ，抛物线C 的焦点为F ，以MF 为直径的圆与直线l 相交另一点为N ，且满足｜MN ｜＝33｜NF ｜，则直线l 的方程为.三、解答题：共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

2024届广东省汕头市潮阳实验学校高三三模数学试题+答案解析

汕头市潮阳实验学校2024届高三校三模试题数学命题人：高三数学组审题人：邹华朱海涛一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.下列命题是真命题的是（）A.两个四棱锥可以拼成一个四棱柱B.正三棱锥的底面和侧面都是等边三角形C.经过不共线的三个点的球有且只有一个D.直棱柱的侧面是矩形【答案】D 【解析】【分析】利用空间几何体的结构，依次分析选项即可得到答案.【详解】对于A ，两个四棱锥不一定可以拼成一个四棱柱，A 错误．对于B ，正三棱锥的底面是等边三角形，侧面是等腰三角形，不一定是等边三角形，B 错误．对于C ，经过不共线的三个点只能确定一个平面，经过不共线的三个点的球有无数个，C 错误．对于D ，直棱柱的侧面是矩形，D 正确．故选：D2.已知全集U =R ，集合{}2215A xx x =-≥-∣，{3B x x =≤-∣或2}x ≥，则U A B =I ð（）A.5,22⎡⎫-⎪⎢⎣⎭ B.53,2⎛⎤-- ⎥⎝⎦C.（－3，3]D.（2，3]【答案】A 【解析】【分析】解集合A 中的不等式，得到集合A ，由集合B 得U B ð，再求U A B ð.【详解】不等式2215x x -≥-解得532x -≤≤，∴5,32A ⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦，{3B x x =≤-∣或2}x ≥，则()3,2U B =-ð，5,22U A B ⎡⎫⋂=-⎪⎢⎣⎭ð.故选：A3.已知z 是虚数，22z z +是实数，则z 的（）A.实部为1B.实部为1-C.虚部为1D.虚部为1-【答案】B 【解析】【分析】设虚数()i ,R,0z a b a b b =+∈≠，直接利用复数的运算求出结果．【详解】设虚数()i ,R,0z a b a b b =+∈≠，则()()22222(i)2i 221i z z a b a b a b a b a +=+++=-+++，而22z z +是实数，故()210b a +=，得到1a =-.故选：B.4.已知数列{}3na 是公比为13a 的等比数列，n S 是数列{}n a 的前n 项和，则55S a =（）A.1B.32C.52D.3【答案】D 【解析】【分析】利用已知可得11n n a a a --=，进而可得数列{}n a 为公差为1a 的等差数列，计算可求55S a 的值.【详解】根据题意()11133323nn n n a a a a a n ---==≥，可得()112n n a a a n --=≥，则数列{}n a 为公差为1a 的等差数列，所以115511545234a a S a a a ⨯+==+.故选：D.5.在△ABC 中，已知cos cos 1a a B b A =+=，sin 2C =，则（）A.1b =B.b =C.c =D.c =【答案】B 【解析】【分析】利用正弦定理对已知条件进行边角互化，求得c ；再根据三角形等腰，求得B ，结合勾股定理即可求得结果.【详解】cos cos 1a B b A +=，即()2sin cos sin cos 1R A B B A +=，也即()2sin 1,2sin 1R A B R C +==，即1c =；又sin 2C =，()0,πC ∈，故π4C =或3π4；又1a c ==，故A C =，显然π4A C ==，则πππ22B =-=，△ABC 为等腰直角三角形，故2222b a c =+=，解得b =.故选：B.6.质监部门对某种建筑构件的抗压能力进行检测，对此建筑构件实施两次打击，若没有受损，则认为该构件通过质检.若第一次打击后该构件没有受损的概率为0.85，当第一次没有受损时第二次实施打击也没有受损的概率为0.80，则该构件通过质检的概率为（）A.0.4 B.0.16C.0.68D.0.17【答案】C 【解析】【分析】运用概率乘法公式求解即可.【详解】设i A 表示第i 次打击后该构件没有受损，1,2i =，则由已知可得1()0.85P A =，1()0.8P A =，所以由乘法公式可得12121()()(|)0.850.80.68P A A P A P A A ==⨯=，即该构件通过质检的概率是0.68.故选：C.7.已知平行六面体1111ABCD A B C D -中，12AA =，3BD =，114AD DC AB BC ⋅-⋅=，则1cos ,AA BD = （）A.23B.23-C.34D.34-【答案】B 【解析】【分析】利用向量的线性运算法则和数量积的性质化简条件可求1AA BD ⋅，结合向量夹角公式可求结论.【详解】因为()()1111AD DC AB BC AD AA AB AB AA AD⋅-⋅=+⋅-+⋅()11114AD AB AA AB AB AD AA AD AA AB AD AA DB =⋅+⋅-⋅-⋅=⋅-=⋅=所以14AA BD ⋅=-，11142cos ,233AA BD AA BD AA BD ⋅-===-⨯⋅.故选：B.8.若存在直线与曲线()3f x x x =-，()2g x x a =+都相切，则a 的范围为（）A.[)1,-+∞ B.51,27⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C.5,27⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭D.5,27⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦【答案】A 【解析】【分析】利用导数分别求得与()(),f x g x 相切的切线方程，可得22123212312x x x a x ⎧=-⎨-+=-⎩，进而可得4321119312424a x x x =--+有解，从而利用导数可求a 的范围.【详解】设直线与()f x 相切与点()3111,x x x -，因为()231f x x '=-，所以切线方程()()()32111131y x x x x x --=--，即()2311312y x x x =--，设直线与()g x 相切与点()222,x x a +，因为()22g x x '=，所以切线方程()()22222y x a x x x -+=-，即2222y x x x a =-+，∴22123212312x x x a x ⎧=-⎨-+=-⎩，所以222334321211111319312222424x a x x x x x x ⎛⎫-=-=-=--+ ⎪⎝⎭有解，令()4329312424h x x x x =--+，()()()329633311h x x x x x x x '=--=+-，所以函数()h x 在1,3⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭，()0,1上单调递减，在1,03⎛⎫- ⎪⎝⎭，()1,+∞上单调递增，因为()1l h =-，15327h ⎛⎫-=⎪⎝⎭，所以()()min 11h x h ==-，所以1a ≥-，∴a 的范围为[1,)-+∞.故选：A.【点睛】思路点睛：本题考查曲线公切线相关问题的求解，求解曲线公切线的基本思路是假设切点坐标，利用导数的几何意义分别求得两曲线的切线方程，根据切线方程的唯一性构造方程组来进行求解.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分9.甲乙两名同学参加系列知识问答节目，甲同学参加了5场，得分是3，4，5，5，8，乙同学参加了7场，得分是3，3，4，5，5，7，8，那么有关这两名同学得分数据下列说法正确的是（）A.得分的中位数甲比乙要小B.两人的平均数相同C.两人得分的极差相同D.得分的方差甲比乙小【答案】BCD 【解析】【分析】由中位数，极差的概念即可判断AC ，由平均数、方差计算公式可分别判断BD.【详解】对于A ，甲的得分中位数是5，乙的得分中位数是5，故A 错误；对于B ，甲的得分平均数是3455825555++++==，乙的得分平均数是334557857++++++=，故B 正确；对于C ，甲的得分极差是835-=，乙的得极差是835-=，故C 正确；对于D ，甲的得分方差是()()()()()22222114354555558555⎡⎤⨯-+-+-+-+-=⎣⎦，乙的得方差是()()()()()()()222222212214353545555575853775⎡⎤⨯-+-+-+-+-+-+-=>>⎣⎦，故D 正确.故选：BCD.10.已知圆221:1C x y +=，圆2222:(3)(4)(0),C x y r r P Q -++=>､分别是圆1C 与圆2C 上的点，则（）A.若圆1C 与圆2C 无公共点，则04r <<B.当=5r 时，两圆公共弦所在直线方程为6810x y --=C.当2r =时，则PQ 斜率的最大值为724-D.当3r =时，过P 点作圆2C 两条切线，切点分别为,A B ，则APB ∠不可能等于π2【答案】BC 【解析】【分析】对于A ，当两圆内含时即可判断错误；对于B ，两圆方程相减即可验算；对于C ，画出公切线通过数形结合即可验算；对于D ，画出圆2C 两条切线，通过数形结合即可验算.【详解】对于选项A ，当两圆内含时，r 可以无穷大，所以A 不正确；当=5r 时两圆相交，两圆的方程作差可以得公共弦的直线方程为6810x y --=，所以B 为正确选项；对于选项B ，当2r =时如图，PQ 和CD 为两条内公切线，且1CD x =：，由平面几何知识可知144,,23CA CD CA CD ===，所以可得11212tan 32417tan ,tan ,41tan 7tan 24PQC AC C AC PAC k C AC PAC ∠∠∠∠∠====-=--，即PQ 斜率的最大值为724-，C 选项正确；对于D选项，如图，点P 在1P位置时1212π44PC APC =<∠>，点P 在2P位置时2222π64P C BP C =>∠<，所以中间必然有位置使得π2BPA ∠=，故D 错误.故选：BC.【点睛】关键点睛：判断CD 两选项的关键是准确画出图形，通过数形结合即可顺利得解.11.已知函数()f x 的定义域为()()()(),2,12f x y xy f x f y f ++=+=R ，则（）A.()00f = B.()210f -=-C.()2y f x x =+是奇函数D.()2y f x x =-是偶函数【答案】ABC 【解析】【分析】0x y ==求得(0)f ，判断A ，再令1x y ==求得(2)f ，从而令2,2x y =-=，可得(2)f -，判断B ，已知等式变形为()()()222()f x y x y f x x f y y +++=+++，令()g x ()2f x x =+，则()()()g x y g x g y +=+，由赋值法得()g x 是奇函数，判断C ，再计算出(2)(2)g g -≠，判断D ．【详解】令0x y ==，可得()00f =，故A 正确；令1x y ==，可得()22f =，令2,2x y =-=，可得()()()0822f f f -=+-，则()210f -=-，故B 正确；由()()()2f x y xy f x f y ++=+，可得()()()222()f x y x y f x x f y y +++=+++，令()g x ()2f x x =+，则()()()g x y g x g y +=+，令0x y ==，可得()00g =，令y x =-，则()()()00g g x g x =+-=，所以()g x 是奇函数，即()2y f x x =+是奇函数，故C 正确；因为()()22222(2)f f -≠---，所以()2y f x x =-不是偶函数，故D 错误．故选：ABC ．三、填空题：本大题共3小题，每题5分，共15分．把答案填在题中的横线上．12.()521x y -+展开式中含2x y 项的系数为______．【答案】－60【解析】【分析】根据二项式的通项公式进行求解即可.【详解】()()552112x y x y -+=+-⎡⎤⎣⎦，设该二项式的通项公式为()()5155C 12C 2r rr r rr T x y x y -+=⋅⋅-=⋅-，因为2x y 的次数为3，所以令3r =，二项式()32x y -的通项公式为()313C 2r r r r T x y '''-'+'=⋅⋅-，令1r '=，所以2x y 项的系数为()3153C C 260⋅⋅-=-，故答案为：60-13.与圆台的上、下底面及侧面都相切的球，称为圆台的内切球，若圆台的上下底面半径为1r ，2r ，且121r r ⋅=，则它的内切球的体积为______.【答案】43π【解析】【分析】利用已知条件求得圆台的母线长，进而根据勾股定理求得圆台的高，即内切球的直径，最终利用球体体积公式求解即可.【详解】由题意，画出圆台的直观图，其中AB 为圆台的母线长，D ，C 分别为上、下底面的圆心，点O 为内切球的球心，点E 为球O 与圆台侧面相切的一个切点.则由题意可得：12AB AE BE AD BC r r =+=+=+，2CD ====.因此可得：内切球半径12CDr ==，即得内切球的体积为34433r π=π.故答案为：43π14.椭圆2222:1(0)C bb x a a y +>>=的左､右顶点分别为,A B ，点P 在椭圆上第一象限内，记,PAB PBA αβ∠=∠=，存在圆N 经过点,,P A B ，且0,tan tan 8NA NB αβ⋅=+=，则椭圆C 的离心率为__________.【答案】223##223【解析】【分析】根据给定条件，利用和角的正切求得9PB PA k k ⋅=-，再设出点P ，结合斜率的坐标公式求出22b a即可求出离心率.【详解】显然直线,PA PB 斜率都存在，且tan ,tan PA PB k k αβ==-，由0NA NB ⋅=，得190,452ANB APB ANB ∠∠∠===，则tan tan tan tan tan tan()11tan tan 1PB PAAPB k k αβαβαβαβ++∠=-+=-=-=-⋅+⋅，而tan tan 8αβ+=，于是9PB PAk k ⋅=-，设00(,)P x y ，则222202()b by a x -=，因此220002220009PA PBy y y a k k x b x b x b b ⋅=⋅==-=-+--，解得2219b a =，所以椭圆C 的离心率为222222213a b b e a a -==-=.故答案为：223【点睛】方法点睛：求解椭圆或双曲线的离心率的三种方法：①定义法：通过已知条件列出方程组，求得,a c 得值，根据离心率的定义求解离心率e ；②齐次式法：由已知条件得出关于,a c 的二元齐次方程，然后转化为关于e 的一元二次方程求解；③特殊值法：通过取特殊值或特殊位置，求出离心率.四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．15.如图，四面体ABCD 中，E 是BC 的中点，2CA CB CD BD ====，2AB AD ==（1）求异面直线AB 与CD 所成角余弦值的大小；（2）求点E 到平面ACD 的距离.【答案】（1）24（2）217【解析】【分析】（1）根据异面直线夹角的定义，结合中位线性质和余弦定理，可得答案；（2）根据等体积法，结合三角形面积公式，可得答案.【小问1详解】取AC 的中点M ，连结OM 、ME 、OE ，由E 为BC 的中点知,ME AB OE DC ////，则直线OE 与EM 所成的角就是异面直线AB 与CD 所成的角，在OME V 中，121,1222EM AB OE DC ====，因为OM 是直角AOC 斜边AC 上的中线，则112OM AC ==，可得2222cos 24OE EM OM OEM OE EM +-∠==⋅⋅，所以异面直线AB 与CD 所成角的余弦值为24.【小问2详解】设点E 到平面ACD 的距离为.h 因为E ACD A CED V V --=，即1133ACD CED h S AO S ⋅⋅=⋅⋅V V ，在ACD 中，2,2CA CD AD ===，可得2212722()222ACD S =-= ，且131,3122CED AO S ===，可得31212772AC CED DAO S h S ⨯⋅===V V ，所以点E 到平面ACD 的距离为21716.已知函数()()2ln ,,0f x x ax g x a ax=-=≠．（1）求函数()f x 的单调区间；（2）若()()f x g x ≤恒成立，求a 的最小值．【答案】（1）答案见详解（2）32e 【解析】【分析】（1）求导后，利用导数与函数单调性的关系，对0a >与0<a 分类讨论即可得；（2）结合函数的单调性求出函数的最值，即可得解.【小问1详解】()11axf x a x x-'=-=（0a ≠），当0a <时，由于0x >，所以()0f x ¢>恒成立，从而()f x 在()0,∞+上递增；当0a >时，10x a<<，()0f x ¢>；1x a >，()0f x '<，从而()f x 在10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上递增，在1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭递减；综上，当0a <时，()f x 的单调递增区间为()0,∞+，没有单调递减区间；当0a >时，()f x 的单调递增区间为10,a ⎛⎫⎪⎝⎭，单调递减区间为1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭.【小问2详解】令()()()2ln h x f x g x x ax ax=-=--，要使()()f x g x ≤恒成立，只要使()0h x ≤恒成立，也只要使()max 0h x ≤.()()()221212ax ax h x a x ax ax-+-'=-+=，若0a >，0x >，所以10ax +>恒成立，当20x a <<时，()0h x '>，当2x a <<+∞时，()0h x '<，可知()h x 在20,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭内单调递增，在2,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭内单调递减，所以()max 22ln 30h x h a a ⎛⎫==- ⎪⎝⎭≤，解得：32e a ≥，可知a 的最小值为32e；若0a <，0x >，所以20ax -<恒成立，当10x a <<-时，()0h x '<，当1x a-<<+∞时，()0h x '>，可知()h x 在10,a ⎛⎫- ⎪⎝⎭内单调递减，在1,a ∞⎛⎫-+ ⎪⎝⎭内单调递增，所以()h x 在()0,∞+内无最大值，且当x 趋近于+∞时，()h x 趋近于+∞，不合题意；综上所述：a 的最小值为32e .17.11分制乒乓球比赛规则如下：在一局比赛中，每两球交换发球权，每赢一球得1分，先得11分且至少领先2分者胜，该局比赛结束：当某局比分打成10∶10后，每球交换发球权，领先2分者胜，该局比赛结束现有甲、乙两人进行一场五局三胜、每局11分制的乒乓球比赛，比赛开始前通过抛掷一枚质地均匀的硬币来确定谁先发球假设甲发球时甲得分的概率为23，乙发球时甲得分的概率为12，各球的比赛结果相互独立，且各局的比赛结果也相互独立．（1）若每局比赛甲获胜的概率23p =，求该场比赛甲获胜的概率.（2）已知第一局目前比分为10∶10，求（ⅰ）再打两个球甲新增的得分X 的分布列和均值；（ⅱ）第一局比赛甲获胜的概率0p ；【答案】（1）6481（2）（ⅰ）分布列见详解，()76=E X ；（ⅱ）023=p 【解析】【分析】（1）由五局三胜制的规则，可知Y 的所有可能取值为3,4,5，求出对应概率相加即可求得甲获胜的概率为6481；（2）（ⅰ）易知X 的所有可能取值为0,1,2，根据条件概率公式可求得对应概率取值可得分布列和均值；（ⅱ）根据获胜规则求出第一局比赛甲获胜概率的表达式，解得023=p .【小问1详解】因为甲每局获胜的概率均为23，根据五局三胜制的规则，设甲获胜时的比赛总局数为Y ，因为每局的比赛结果相互独立，所以Y 的所有可能取值为3,4,5，可得()()()333212342821821163,4C ,5C 32733273381P Y P Y P Y ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=====⨯⨯===⨯⨯= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭；故该场比赛甲获胜的概率()()()6434581P P Y P Y P Y ==+=+==.【小问2详解】（ⅰ）依题意，X 的所有可能取值为0,1,2设打成10:10后甲先发球为事件A ，则乙先发球为事件A ，且1()()2P A P A ==，所以1111111(0)()(0)((0)2322236P X P A P X A P A P X A ==⋅=+⋅==⨯⨯+⨯⨯=||，11121111121(1)()(1)()(1)23232223232P X P A P X A P A P X A ⎛⎫⎛⎫==⋅=+⋅==⨯⨯+⨯+⨯⨯+⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭1211121(2)()(2)((2)2322233P X P A P X A P A P X A ==⋅=+⋅==⨯⨯+⨯⨯=||.所以X 的分布列为X012P161213故X 的均值为()11170126236E X =⨯+⨯+⨯=；（ⅱ）设第一局比赛甲获胜为事件B ，则()()()()|00,|1,|21P B X P B X P B P B X ======.由（ⅰ）知，()()()1110,1,2623P X P X P X ======，由全概率公式，得()()()()()()()0|01|12|2P B P X P B X P X P B X P X P B X ===+==+==()1110,623P B =⨯++解得()23P B =，即第一局比赛甲获胜的概率023=p .18.如图，小明同学先把一根直尺固定在画板上面，把一块三角板的一条直角边紧靠在直尺边沿，再取一根细绳，它的长度与另一直角边相等，让细绳的一端固定在三角板的顶点A 处，另一端固定在画板上点F 处，用铅笔尖扣紧绳子（使两段细绳绷直），靠住三角板，然后将三角板沿着直尺上下滑动，这时笔尖在平面上画出了圆锥曲线C 的一部分图象.已知细绳长度为3，经测量，当笔尖运动到点P 处，此时，30FAP ∠=︒，90AFP ∠=︒.设直尺边沿所在直线为a ，以过F 垂直于直尺的直线为x 轴，以过F 垂直于a 的垂线段的中垂线为y 轴，建立平面直角坐标系.（1）求曲线C 的方程；（2）斜率为k 的直线l 过点()0,3D -，且与曲线C 交于不同的两点M ，N ，已知k 的取值范围为()0,2，若DM DN λ=，求λ的范围.【答案】（1）23y x =（2）1(0,(4,)4⋃+∞【解析】【分析】（1）根据题意，得到笔尖留下的轨迹为以F 为焦点，直线a 为准线的抛物线，结合抛物线的定义，即可求得其轨迹方程；（2）设直线l 的方程为3y kx =-，联立方程组，利用根与系数的关系，结合共线向量的坐标表示，得到12x x λ=，列出函数关系式，结合二次函数的性质得出不等式，即可求解.【小问1详解】由题意，笔尖到点F 的距离与它到直线a 的距离相等，所以笔尖留下的轨迹为以F 为焦点，直线a 为准线的抛物线，设其方程为22(0)y px p =>，则(,0)2pF ，因为30FAP ∠=︒，90AFP ∠=︒，且3PA PF +=，可得2PA PF =，1PF =由60FPA ∠=︒，可得点P 的横坐标为122p -，又由抛物线的准线方程为2px =-，则11222p p -+=，解得32p =，所以曲线C 的轨迹方程为23y x =.【小问2详解】假设存在λ，使得DM DN λ=，设1122(,),(,)M x y N x y ，直线l 的方程为3y kx =-，联立方程组233y kx y x=-⎧⎨=⎩，整理得22(63)90k x k x -++=，且()0,2k ∈，则22[(63)]363690k k k ∆=-+-=+>，则121222639,k x x x x k k++=+=，可得222121222112263()(14249)k x x x x k x x x x k k k++++===++，由DM DN λ=，可得12x x λ=，即12x x λ=，所以21142k kλλ+=++，令11(,)2t k =∈+∞，则2221417242(2)2(,)4t t t k k ++=++=+-∈+∞，所以1174λλ+>，且0λ>，即217104λλ-+>，解得104λ<<或4λ>，所以存在1(0,)(4,)4λ∈⋃+∞，使得DM DN λ= 成立.【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下：（1）设直线方程，设交点坐标为()()1122,,,x y x y ；（2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于x （或y ）的一元二次方程，必要时计算∆；（3）列出韦达定理；（4）将所求问题或题中的关系转化为12x x +、12x x （或12y y +、12y y ）的形式；（5）代入韦达定理求解.19.定义1进位制：进位制是人们为了计数和运算方便而约定的记数系统，约定满二进一，就是二进制：满十进一，就是十进制；满十二进一，就是十二进制；满六十进一，就是六十进制；等等．也就是说，“满几进一”就是几进制，几进制的基数就是几，一般地，若k 是一个大于1的整数，那么以k 为基数的k 进制数可以表示为一串数字符号连写在一起的形式()()11110110000n n n n n n k a a a a a a a a a k a a a k ---∈<<≤<N ，,,,，，,,,k 进制的数也可以表示成不同位上数字符号与基数的幂的乘积之和的形式．如()32108734278384828=⨯+⨯+⨯+⨯．定义2三角形数：形如123m ++++ ，即()()*112m m m +∈N 的数叫做三角形数．（1）若()99aaa a⋅⋅⋅个是三角形数，试写出一个满足条件的a 的值；（2）若()11111k 是完全平方数，求k 的值；（3）已知()91111n n c = 个，设数列{}n c 的前n 项和为n S ，证明：当3n >时，2972n n n S ->．【答案】（1）1a =（2）3k =（3）证明见解析【解析】【分析】（1）根据9进制的概念，先计算()()9918n a aa a -=，然后把()918na -因数分解成()112m m +的形式，观察可得a 的值.（2）先计算()432111111k k k k k =++++，利用()222211111122k k k k k ⎛⎫⎛⎫+<<++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，分k 为偶数和奇数讨论求k 的值.（3）先求利用等比数列的求和公式求n S ，结合二项式定理证明不等式.【小问1详解】()()9911313118222n nn a aa a a -⎛⎫--==⋅⋅+⎪⎝⎭，当1a =时，()9aa a 就是一个三角形数．【小问2详解】()432111111k k k k k =++++，22243221122k k k k k k k k ⎛⎫⎛⎫+<++++<++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即()222211111122k k k k k ⎛⎫⎛⎫+<<++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．若k 是偶数，则22k k +和212k k ++是两个连续正整数，所以上式不成立，得k 是奇数．所以()2243211111112k k k k k k k +⎛⎫=+=++++ ⎪⎝⎭．解得3k =，即()4322311111333312111=++++==．【小问3详解】由题意可知：918n n c -=，且3n >，则23999988n n n S ++++=-()991648n n =--()9181648n n ⎡⎤=+--⎣⎦01229C C 8C 81648n n n n ⎡⎤>+⋅+⋅--⎣⎦()98321648n n n n ⎡⎤=+--⎣⎦2972n n -=．2972n n nS -∴>．【点睛】关键点点睛：()11111k 是完全平方数，写明确()432111111k k k k k =++++，构造不等式()224343911111144k k k k k k k k ++<<++++，即()222211111122k k k k k ⎛⎫⎛⎫+<<++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，然后分k 为偶数和奇数讨论求值.。