广东省高考数学第二轮复习 选修44 坐标系与参数方程 文

真题试做1．(2012·上海高考，理10)如图，在极坐标系中，过点M (2,0)的直线l 与极轴的夹角α＝π6.若将l 的极坐标方程写成ρ＝f (θ)的形式，则f (θ)＝__________.2．(2012·广东高考，文14)在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 1和C 2的参数方程分别为⎩⎨⎧x ＝5cos θ，y ＝5sin θ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ为参数，0≤θ≤π2和⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1－22t ，y ＝－22t (t 为参数)，则曲线C 1和C 2的交点坐标为__________．3．(2012·江西高考，理15)曲线C 的直角坐标方程为x 2＋y 2－2x ＝0，以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，则曲线C 的极坐标方程为__________．4．(2012·课标全国高考，理23)已知曲线C 1的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos φ，y ＝3sin φ(φ为参数)，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程是ρ＝2.正方形ABCD 的顶点都在C 2上，且A ，B ，C ，D 依逆时针次序排列，点A 的极坐标为⎝⎛⎭⎪⎫2，π3.(1)求点A ，B ，C ，D 的直角坐标；(2)设P 为C 1上任意一点，求|PA |2＋|PB |2＋|PC |2＋|PD |2的取值范围．5．(2012·辽宁高考，文23)在直角坐标系xOy 中，圆C 1：x 2＋y 2＝4，圆C 2：(x －2)2＋y 2＝4.(1)在以O 为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，分别写出圆C 1，C 2的极坐标方程，并求出圆C 1，C 2的交点坐标(用极坐标表示)；(2)求圆C 1与C 2的公共弦的参数方程． 考向分析从近几年的高考情况看，该部分主要有三个考点：一是平面坐标系的伸缩变换；二是极坐标方程与直角坐标方程的互化；三是极坐标方程与参数方程的综合应用．对于平面坐标系的伸缩变换，主要是以平面直角坐标系和极坐标系为平台，考查伸缩变换公式的应用，试题设计大都是运用坐标法研究点的位置或研究几何图形的形状．对于极坐标方程与直角坐标方程的互化，是高考的重点和热点，涉及到直线与圆的极坐标方程，从点与直线、直线与圆的位置关系等不同角度考查，研究求距离、最值、轨迹等常规问题．极坐标方程与参数方程的综合应用，主要是以直线、圆和圆锥曲线的参数方程为背景，转化为普通方程，从而进一步判断位置关系或进行有关距离、最值的运算．预计2013年高考中，本部分内容主要考查极坐标方程与直角坐标方程的互化、参数方程与普通方程的互化，考查简单曲线的极坐标方程和参数方程，试题多以填空题、解答题的形式呈现，属于中档题．热点例析热点一 平面坐标系的伸缩变换【例1】在同一平面直角坐标系中，将直线x －2y ＝2变成直线2x ′－y ′＝4，求满足图象变换的伸缩变换．规律方法 1.平面坐标系的伸缩变换对图形的变化起到了一个压缩或拉伸的作用，如三角函数图象周期的变化．2．设点P (x ，y )是平面直角坐标系中的任意一点，在变换φ：⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝λx ，(λ>0)，y ′＝μy ，(μ>0)的作用下，点P (x ，y )对应到点P ′(x ′，y ′)，称φ为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换，简称伸缩变换．变式训练1 在同一平面直角坐标系中，经过伸缩变换⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝5x ，y ′＝3y 后，曲线C 变为曲线2x ′2＋8y ′2＝1，则曲线C 的方程为( )．A ．50x 2＋72y 2＝1B ．9x 2＋100y 2＝1C ．25x 2＋36y 2＝1 D ．225x 2＋89y 2＝1热点二 极坐标方程与直角坐标方程的互化【例2】在极坐标系中，已知圆ρ＝2cos θ与直线3ρcos θ＋4ρsin θ＋a ＝0相切，求实数a 的值．规律方法 1.直角坐标和极坐标的互化把直角坐标系的原点作为极点，x 轴的正半轴作为极轴，并在两坐标系中取相同的长度单位，设M 是平面内任意一点，它的直角坐标是(x ，y )，极坐标是(ρ，θ)，则x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ且ρ2＝x 2＋y 2，tan θ＝yx(x ≠0)．这就是直角坐标和极坐标的互化公式．2．曲线的极坐标方程的概念：在极坐标系中，如果平面曲线C 上任意一点的极坐标至少有一个满足方程f (ρ，θ)＝0，并且坐标适合f (ρ，θ)＝0的点都在曲线C 上，那么方程f (ρ，θ)＝0就叫做曲线C 的极坐标方程．变式训练2 圆O 1和圆O 2的极坐标方程分别为ρ＝4cos θ，ρ＝－sin θ. (1)把圆O 1和圆O 2的极坐标方程化为直角坐标方程； (2)求经过圆O 1，圆O 2两个交点的直线的直角坐标方程． 热点三 参数方程与普通方程的互化 【例3】把下列参数方程化为普通方程： (1)⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3＋cos θ，y ＝2－sin θ； (2)⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋12t ，y ＝5＋32t .规律方法 1.参数方程部分，重点还是参数方程与普通方程的互化，主要是将参数方程消去参数化为普通方程．2．参数方程与普通方程的互化：参数方程化为普通方程的过程就是消参过程，常见方法有三种：①代入法：利用解方程的技巧求出参数t ，然后代入消去参数； ②三角法：利用三角恒等式消去参数；③整体消元法：根据参数方程本身的结构特征，从整体上消去参数．化参数方程为普通方程F (x ，y )＝0：在消参过程中注意变量x ，y 取值范围的一致性，必须根据参数的取值范围，确定f (t )和g (t )的值域即x ，y 的取值范围．变式训练3 把下列参数方程化为普通方程，并说明它们各表示什么曲线：(1)⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋12t ，y ＝2＋32t (t 为参数)；(2)⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4sin θ＋1，y ＝5cos θ(θ为参数)．热点四 极坐标方程与参数方程的综合应用 【例4】在平面直角坐标系xOy中，已知曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos α，y ＝sin α(α为参数)．以直角坐标系原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为ρcos ⎝⎛⎭⎪⎫θ－π4＝2 2.点P 为曲线C 上的动点，求点P 到直线l 距离的最大值． 规律方法 如果直接由曲线的极坐标方程看不出曲线是什么图形，往往先将曲线的极坐标方程化为相应的直角坐标方程，再通过直角坐标方程判断出曲线是什么图形．变式训练4 在直角坐标系xOy 中，直线l 的方程为x －y ＋4＝0，曲线C 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝3cos α，y ＝sin α(α为参数)．(1)已知在极坐标系(与直角坐标系xOy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴)中，点P 的极坐标为⎝⎛⎭⎪⎫4，π2，判断点P 与直线l 的位置关系；(2)设点Q 是曲线C 上的一个动点，求它到直线l 的距离的最小值．1．(2012·广东江门调研，文15)已知在极坐标系下，点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，π3，B ⎝⎛⎭⎪⎫3，2π3，O 是极点，则△AOB 的面积等于__________．2．设直线的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋12t ，y ＝3＋32t (t 为参数)，则其斜截式方程为__________．3．(2012·广东梅州中学三模，15)在极坐标系中，若过点A (3,0)且与极轴垂直的直线交曲线ρ＝4cos θ于A ，B 两点，则|AB |＝__________.4．(2012·北京丰台三月模拟，11)在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋32t ，y ＝12t(t 为参数)．以O 为极点，x 轴正方向为极轴的极坐标系中，圆C 的极坐标方程是ρ2－4ρcos θ＋3＝0.则圆心到直线的距离是__________．5．(2012·广东肇庆二模，文14)在极坐标系中，曲线ρ＝2与cos θ＋sin θ＝0(0≤θ≤π)的交点的极坐标为__________．6．(2012·广东深圳第二次调研，文15)在极坐标系中，已知直线l ：ρ(sin θ－cos θ)＝a 把曲线C ：ρ＝2cos θ所围成的区域分成面积相等的两部分，则常数a 的值是__________．7．(2012·广东茂名二模，文14)已知曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋cos θ，y ＝sin θ(θ为参数)，则曲线C 上的点到直线x ＋y ＋2＝0的距离的最大值为__________．参考答案命题调研·明晰考向真题试做1.1sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－θ 解析：如图所示，根据正弦定理，有ρsin 5π6＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π－θ－5π6，∴ρ＝1sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－θ.2．(2,1) 解析：由C 1得x 2＋y 2＝5①，且⎩⎨⎧0≤x ≤5，0≤y ≤5，由C 2得x ＝1＋y ②，∴由①②联立⎩⎪⎨⎪⎧ x 2＋y 2＝5，x ＝1＋y ，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝1. 3．ρ＝2cos θ4．解：(1)由已知可得A ⎝⎛⎭⎪⎫2cos π3，2sin π3， B ⎝ ⎛⎭⎪⎫2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋π2，2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋π2， C ⎝ ⎛⎭⎪⎫2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋π，2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋π， D ⎝ ⎛⎭⎪⎫2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋3π2，2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋3π2，即A (1，3)，B (－3，1)，C (－1，－3)，D (3，－1)．(2)设P (2cos φ，3sin φ)，令S ＝|PA |2＋|PB |2＋|PC |2＋|PD |2，则S ＝16cos 2φ＋36sin 2φ＋16＝32＋20sin 2φ.因为0≤sin 2φ≤1，所以S 的取值范围是[32,52]． 5．解：(1)圆C 1的极坐标方程为ρ＝2， 圆C 2的极坐标方程为ρ＝4cos θ.解⎩⎪⎨⎪⎧ρ＝2，ρ＝4cos θ得ρ＝2，θ＝±π3，故圆C 1与圆C 2交点的坐标为⎝⎛⎭⎪⎫2，π3，⎝ ⎛⎭⎪⎫2，－π3.注：极坐标系下点的表示不唯一．(2)方法一：由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ得圆C 1与C 2交点的直角坐标分别为(1，3)，(1，－3)．故圆C 1与C 2的公共弦的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝t ，－3≤t ≤ 3.(或参数方程写成⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝y ，－3≤y ≤3)方法二：将x ＝1代入⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，得ρcos θ＝1，从而ρ＝1cos θ.于是圆C 1与C 2的公共弦的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝tan θ，－π3≤θ≤π3. 精要例析·聚焦热点热点例析【例1】 解：设变换为⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝λx ，y ′＝μy ，代入第二个方程，得2λx －μy ＝4与x －2y ＝2比较，将其变成2x －4y ＝4，比较系数得λ＝1，μ＝4.∴伸缩变换公式为⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝x ，y ′＝4y ，即直线x －2y ＝2上所有点的横坐标不变，纵坐标扩大到原来的4倍可得到直线2x ′－y ′＝4.【变式训练1】 A 解析：将⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝5x ，y ′＝3y ，代入曲线方程2x ′2＋8y ′2＝1，得：2·(5x )2＋8·(3y )2＝1，即50x 2＋72y 2＝1.【例2】 解：将极坐标方程化为直角坐标方程，得圆的方程x 2＋y 2＝2x ，即(x －1)2＋y 2＝1，直线的方程为3x ＋4y ＋a ＝0.由题设知，圆心(1,0)到直线的距离为1，即有|3×1＋4×0＋a |32＋42＝1， 解得a ＝－8或a ＝2.即a 的值为－8或2.【变式训练2】 解：(1)因为圆O 1和圆O 2的极坐标方程分别为 ρ＝4cos θ，ρ＝－sin θ，又因为ρ2＝x 2＋y 2，ρcos θ＝x ，ρsin θ＝y ， 所以由ρ＝4cos θ，ρ＝－sin θ得， ρ2＝4ρcos θ，ρ2＝－ρsin θ.即x 2＋y 2－4x ＝0，x 2＋y 2＋y ＝0.所以圆O 1和圆O 2的直角坐标方程分别为 x 2＋y 2－4x ＝0，x 2＋y 2＋y ＝0.(2)由(1)易得，经过圆O 1和圆O 2两个交点的直线的直角坐标方程为4x ＋y ＝0.【例3】 解：(1)由已知⎩⎪⎨⎪⎧cos θ＝x －3，sin θ＝2－y ，由三角恒等式cos 2θ＋sin 2θ＝1，可知(x －3)2＋(y －2)2＝1，这就是它的普通方程．(2)由已知，得t ＝2x －2，代入y ＝5＋32t 中，得y ＝5＋32(2x －2)， 即3x －y ＋5－3＝0就是它的普通方程．【变式训练3】 解：(1)由x ＝1＋12t ，得t ＝2x －2.∴y ＝2＋32(2x －2)． ∴3x －y ＋2－3＝0，此方程表示直线．(2)由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4sin θ＋1，y ＝5cos θ得⎩⎪⎨⎪⎧sin θ＝x －14，cos θ＝y5，两式平方相加得(x －1)216＋y225＝1，此方程表示椭圆．【例4】 解：ρcos ⎝⎛⎭⎪⎫θ－π4＝22化简为ρcos θ＋ρsin θ＝4，则直线l 的直角坐标方程为x ＋y ＝4.设点P 的坐标为(2cos α，sin α)，得P 到直线l 的距离d ＝|2cos α＋sin α－4|2，即d ＝|5sin(α＋φ)－4|2，其中cos φ＝15，sin φ＝25.当sin(α＋φ)＝－1时，d max ＝22＋102. 【变式训练4】解：(1)把极坐标系中的点P ⎝⎛⎭⎪⎫4，π2化为直角坐标，得P (0,4)．因为点P 的直角坐标(0,4)满足直线l 的方程x －y ＋4＝0，所以点P 在直线l 上． (2)因为点Q 在曲线C 上，故可设点Q 的坐标为(3cos α，sin α)， 从而点Q 到直线l 的距离是d ＝|3cos α－sin α＋4|2＝2cos ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π6＋42＝2cos ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π6＋22， 由此得，当cos ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π6＝－1时，d 取得最小值，且最小值为 2. 创新模拟·预测演练1.334 解析：∵∠AOB ＝2π3－π3＝π3.∴S △AOB ＝12·OA ·OB ·sin∠AOB ＝12×1×3×sin π3＝334.2．y ＝3x ＋3－2 33．2 3 4.125.⎝ ⎛⎭⎪⎫2，3π4 解析：方法一：由⎩⎪⎨⎪⎧ ρ＝2，cos θ＋sin θ＝0⇒⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2＝4，y ＝－x ⇒⎩⎨⎧x ＝－2，y ＝2，或⎩⎨⎧x ＝2，y ＝－2(舍去)，得⎝⎛⎭⎪⎫2，3π4.方法二：由cos θ＋sin θ＝0⇒tan θ＝－1，因为0≤θ≤π，所以θ＝3π4，故交点的极坐标为⎝⎛⎭⎪⎫2，3π4.6．－1 解析：直线l ：ρ(sin θ－cos θ)＝a ，可化为直角坐标方程y －x ＝a .曲线C ：ρ＝2cos θ，可化为直角坐标方程(x －1)2＋y 2＝1. 因为l 把C 的面积平分，所以l 过圆C 的圆心(1,0)． 即得0－1＝a ，即a ＝－1. 7.322＋1 解析：曲线C 化为普通方程为(x －1)2＋y 2＝1.因为圆C 到直线的最大距离是圆心到直线的距离加上半径．所以，d max ＝|1＋0＋2|12＋12＋1＝322＋1.。