数值分析考试复习总结

数值分析考试复习总结 Last revised by LE LE in 2021
第一章
1 误差
相对误差和绝对误差得概念 例题:
当用数值计算方法求解一个实际的物理运动过程时, 一般要经历哪几个阶段 在哪些阶段将有哪些误差产生
答: 实际问题-数学模型-数值方法-计算结果 在这个过程中存在一下几种误差:
建立数学模型过程中产生:模型误差 参数误差
选用数值方法产生:截断误差
计算过程产生:舍入误差 传播误差
6．设937.0=a 关于精确数x 有3位有效数字，估计a 的相对误差. 对于x x f -=1)(，估计)(a f 对于)(x f 的误差和相对误差.
解 a 的相对误差：由于
31021|)(|-⋅≤-≤a x x E . x a
x x E r -=)(,
221018
1
10921)(--⋅=⨯≤x E r . （1Th ）
)(a f 对于)(x f 的误差和相对误差.
|11||)(|a x f E ---==()25
.0210
11321⨯⋅≤
-+---a
x x a =310-
33
104110|)(|--⨯=-≤a f E r . □
2有效数字
基本原则:1 两个很接近的数字不做减法:
2: 不用很小得数做分母(不用很大的数做分子) 例题:
4．改变下列表达式使计算结果比较精确：
（1） ;1||,11211<<+--+x x
x
x 对
（2）
;1,11>>-
-+
x x
x x
x 对
（3）
1||,0,cos 1<<≠-x x x
x
对.
解 (1) )21()1(22x x x ++. (2) )
11(2x x x x x
-++.
(3) x
x
x x x x x cos 1sin )cos 1(sin cos 12+≈+=-. □
第二章
拉格朗日插值公式（即公式（1））
插值基函数（因子）可简洁表示为
其中: ()∏∏≠==-='-=
n
i
j j j i i n
n
j j
n x x x x
x x 0
)(,)()(ωω. 例1 n=1时，线性插值公式 )
()()
()()(0101
10101x x x x y x x x x y x P --⨯+--⨯=， 例2 n=2时，抛物插值公式 牛顿（Newton ）插值公式
由差商的引入，知
（1） 过点10,x x 的一次插值多项式为
其中
（2） 过点210,,x x x 的二次插值多项式为
其中
重点是分段插值:
例题:
1. 利用Lagrange 插值公式求下列各离散函数的插值多项式（结果要简化）：
（1） （2） 解(2)：
方法一. 由 Lagrange 插值公式 可得： )21()(23-=x x x L 方法二. 令
由 23)1(3-=-L ， 2
1
)1(3=L ， 定A ，B （称之为待定系数法） □
15.设2)(x x f =，求)(x f 在区间]1,0[上的分段线性插值函数)(x f h ，并估计误差，取等
距节点，且10/1=h .
解 2)(x x f =， ih x i = ， 10,,1,0 =i ， 101=h
设 1+≤≤i i x x x ，则：
误差估计： ))1(()(!
2|)()(|max
)1(h i x ih x f x f x f h
i x ix h +--''≤
-+≤≤. □
第三章
最佳一致逼近:(了解) 最佳平方逼近 主要分两种情形：
1. 连续意义下
在空间],[2b a L 中讨论
2. 离散意义下
在n 维欧氏空间n R 中讨论，只要求提供f 的样本值
1. 最佳逼近多项式的法方程组
设],[2b a L 的1+n 维子空间 n P =span },,,1{2n x x x , 其中 n x x x ,,,12 是],[2b a L 的线性无关多项式系.
对],[2
b a L f ∈∀，设其最佳逼近多项式*
φ可表示为: ∑==n
i i i x a 0**
φ
由 n P f ∈∀=-φφφ ,0),(*
即 ∑===n
j i
j j i n i x f a x x 0*)1(0),,(),(
（*2） 其中
称(*2)式为最佳逼近多项式的法方程组（或正规方程组）. 由n i i x 0}{=的线性无关性，可证明G 正定，即 上述法方程组的解存在且唯一 .
11、 求x x f πcos )(= ，]1,0[∈x 的一次和二次最佳平方逼近多项式. 解： 设 x a a x P 10*1)(+= ， 2210*2)(x b x b b x P ++= 分别为)(x f 的一次、二次最佳平方逼近多项式。

内积 ⎰⋅=1
0)()(),(dx x g x f g f
计算如下内积：
1)1,1(= , 21),1(=x , 3
1),1(2=x
31),(=x x , 41),(2=x x , 51),(22=x x
0),1(=f , 2
2),(π
-=f x , 2
22
),(π-=f x
建立法方程组：
(1) ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧
-=+=+2
10102)31(2
102
1πa a a a ，得：2012π=a ，2124π-=a
于是 x x P 22*124
12)(π
π-=
(2) ⎪⎪⎪⎩
⎪⎪
⎪⎨⎧-=++-=++=++22
1022102102514131241312
1
031)21(ππb b b b b b b b b
解得： 2012π=b ， 2124π-=b ， 02=b , 于是： x x P 22224
12)(π
π-=. □
第四章
1 为什么要进行数值积分常用哪些公式,方法
答: 梯形复化求积公式和simpson 复化求积公式. 2: 方法好坏的判断: 代数精度 误差分析 1.代数精度的概念
定义 若求积公式∑⎰=≈n
i i i b
a
x f w dx x f 0
)()( （*）对所有次数m ≤的多项式是精确
的，但对1+m 次多项式不精确，则称（*）具有m 次代数精度。

等价定义
若求积公式（*）对m x x x ,,,,12 是精确的，但对1
+m x 不精确，则（*）具
有m 次代数精度。

3: 误差
1 等距剖分下的数值求积公式：
公式特点：节点预先给定，均匀分布,系数n i
w i )1(0,=待定
利用插值多项式)(x p n 近似代替)(x f ，即得插值型求积公式Newton-Cotes 公式
2 给定节点数下的具有最佳逼近性质（具有最高次代数精度）的数值求积公式：Gauss 求积公式 公式特点：系数n i
w i )1(0,=和节点n i x i )1(0,=均待定
3 分段插值多项式)(x n φ近似代替)(x f （分段求积）复化求积公式 复化求积公式
通过高次求积公式提高精度的途径不行，类似函数插值 分而治之： 分段＋低次求积公式---------- 称为复化求积法 两类低次（4≤n ）求积公式：
1. Newton －Cotes 型：矩形、梯形、Simpson 、Cotes 公式
分别称为复化矩形、梯形、辛甫生、柯特斯公式
2. Gauss 型： 一点、两点、三点Gauss 求积公式
称为复化一点、两点、三点Gauss 公式
复化梯形公式（n T ）
n a
b h b f x f a f h x f x f x f x f x f x f h
T n k k n n n -=
++=++++++≡
∑-=- )],()(2)([2 )]}()([)]()([)]()({[211
12110 复化
辛甫生公式: （每个k e 上用辛甫生公式求积）
)]
()(2)(4)([6)]}()(4)([)]()(4)([)]()(4)({[61
1
112110212
12
321b f x f x f a f h
x f x f x f x f x f x f x f x f x f h
S n k k n k k n n n n +++=+++++++++≡
∑∑-==---
n
a b h -=
其中，2/1-k x 为k
e 的中点 复化辛甫生公式是最常用的数值求积方法。

常采用其等价形式： 复化柯特斯公式 其中，n
a b h -=
，2
1-k x
为],[1k k x x -的中点，
4
1-k x ，4
3-k x 为],[1k k x x -的四等分的分点
自适应复化求积法
计算时，要预先给定n 或步长h ，在实际中难以把握
因为，h 取得太大则精度难以保证，h 太小则增加计算工作量. 自适应复化梯形法的具有计算过程如下： 步1 )]()([2
,,11b f a f h
T a b h n +←
-←← 步2
步3 判断ε<-||12T T 若是，则转步5； 步4 21,2/,2T T h h n n ←←←，转步2； 步5 输出 2T .
第五章
1: 常用方法:
(1).直接解法：
Gauss 逐步（顺序）消去法、
Gauss
主元素法、矩阵分解法等； (2).迭代解法：构造某种极限过程去逐步逼近方程组的解 ①.经典迭代法
Jacobi
迭代法、Seidel Gauss -迭代法、 逐次超松弛（SOR ）迭代法等；
②. Krolov 子空间的迭代法 根据A 的对称性，又分为：
A 对称正定------- 共轭梯度法
A 非对称--------- BICG 、 GMRes(最小残量法)
③.解一类特定背景问题的迭代法 多重网格法
2: 几类迭代法优缺点比较: 3: 迭代方法
目标： 求解b Ax = 其中，A 非奇异。

基本思想：
把线性方程组b Ax =的解x ，化为一个迭代序列极限解 关键：构造迭代序列所满足的公式：迭代格式。

构造迭代格式基本步骤：
1． 将A 分裂：C B A -=:， 其中，B 非奇异 2． 构造迭代格式
其中C B G ⋅=-1，称之为迭代矩阵 , b B g 1-= 其中，)(k Ax b -为)(k x 的残余向量 此时，b B g A B I G 11--=-= ,
常用的迭代方法
将)(ij a A =分裂为
U L D A --= 其中
⎥⎥
⎥⎥⎦⎤
⎢
⎢⎢
⎢⎣⎡---=-00001
,1
21
n n n a a a
L
，
⎥⎥
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎢⎣⎡---=-00
00,1112
n n n a a a U
,
Jacobi 迭代方法
若0≠ii a ，迭代格式
g x G x k J k +⋅=+)()1( ① 其中 Jacobi 迭代矩阵：)(1U L D G J +=- ①式可写为分量形式 0][1
1
)()
1(≥-=∑≠=+k x a b a x
n
i
j j k j ij i ii k i
, . （*1） 方法（*1）或①称为Jacobi 迭代方法. Gauss —Seidle 迭代方法
若0≠ii a ，迭代格式
g x G x k G k +⋅=+)()1( ② 其中，
Gauss-Seidel 迭代矩阵：U L D G G 1)(--= 其分量形式
][11
)(11)
1()
1(∑∑+=-=++--=n
i j k j ij i j k j ij i ii k i
x a x a b a x
,n i ,,2,1 =. （*2） 即，
在计算新分量)1(+k i x 时，利用新值)1(+k j x ，1,,2,1-=i j 。

迭代法（*2）或②称为Gauss —Seidel 迭代方法 。

超松弛方法(SOR)方法 定义SOR 方法的迭代格式如下：
∑∑-=+=++--=1
1
1
)()1()1(][1i j n
i j k j ij
k j ij i ii k i
x a
x a b a z
,
n i x z x k i k i k i ,,2,1,
)1()()1()1( =-+=++ωω （*3）
ω称为松弛因子，1=ω即为S G -方法. 其矩阵形式
其中，
SOR 法的迭代矩阵：])1[()(1U D L D G ωωωω+--=- b L D g 1)(--=ωω .
第七章
1: 解非线性方程与方程组的方法:
1. 准确方法
如：用求根公式对4≤n 次的代数多项式求根。

但： 绝大多数的方程并无准确方法可用。

如： 5≥n 次的代数多项式并无
求根公式。

2. 数值方法（实际中大多采用）
基本思想： 设法找到一个能收敛到方程的解的序列。

(1).区间套法—— 二分法。

(2).迭代法：
①.简单迭代法； ②. Newton 迭代法;
○
3. 割线法; ○
4.加速算法。

2: 收敛条件:
二分法无条件
简单迭代法条件:
定理1 如果 )(x ϕ满足以下条件: 1) ],[b a x ∈∀, ],[)(b a x ∈ϕ;
2) ∃ 常数 L : 10<<L , 使得对任意两点 ],[2,1b a x x ∈,都有 2121)()(x x L x x -≤-ϕϕ,
则: 方程(*)在 ],[b a 上的解α存在唯一,且对任给的初值0x ,由迭代过程(* *) 所产生的序列{}k x 收敛到α.
例题:
2. 为求方程0123=--x x 在5.10=x 附近的一个根，设将方程改写为下列等价形式，并
建立相应的迭代公式：
（1）2/11x x +=，迭代公式 2
1/11n n x x +=+
（2）231x x +=，迭代公式 3
/121)1(n
n x x +=+， （3）)1/(12-=x x ，迭代公式 2/11)1(1-=+n n x x ，
试分析每一种迭代公式的收敛性，并问哪一种迭代收敛得快 解：取5.10=x 的邻域]6.1,3.1[来考察
(1) 2/11)(x x +=ϕ ，333.1/2/2)(<-='x x ϕ1901.0<=，故迭代公式(1)收敛. (2) 3
1
2
)1()(x x +=ϕ,
])1(3/[2)(3/22x x x +='ϕ3/22)]3.11(3/[6.12+⨯<5515.0≈，
故迭代公式（2）也收敛。

(3) 2/1)1/(1)(-=x x ϕ , 故迭代公式（3）发散.
由于)(0x ϕ'越小，越快地收敛于根α ，故（2）式收敛最快。

□
第八章
解一阶常微分方程的常用方法: Euler 方法 Runge-Kutta 方法 2阶常微分方程边值问题的差分方法 1． 三类边值问题 1）第一类边值问题：
b x a x y x y x f x y ≤≤'='')),(),(,()(， （）
β
α==)(,)(b y a y 。

2）第二类边值问题：
b x a x y x y x f x y ≤≤'='')),(),(,()(， （）
βα==')(,)(b y a y 。

3）第三类边值问题：
b x a x y x y x f x y ≤≤'='')),(),(,()(， （） 1010)()(,)()(ββαα=+'=-'b y b y a y a y ， 其中，0,0000
,0>+≥βαβα 。

2． 差分格式的建立
针对方程（）而言.
Step 1 取 ],[b a 的离散节点:
b x x x a N =≤≤≤= 10, 第 m 步步长 1--=m m m x x h , 一般可取等 步长: h h m =, .,2,1N m =
Step 2 将 )(m x y '' 用二阶差商、 )(m x y '用一阶差商近似： N m h x y x y x y x y m m m m ,2,1,)()(2)()(211=+-≈
''-+， N m h x y x y x y m m m ,2,1,2)()()(11=-≈'-+.
理由：由Taylor 展开，有
两式相加得
1,2,1),(12)()(2)()()4(2211-=++-=''-+N m y h h
x y x y x y x y m m m m m η， 其中，m m m x x <<-η1 .
两式相减得
1,2,1),~(6
2)()()(211-='''+-='-+N m y h h x y x y x y m m m m η， 其中，m m m x x <<-η~1 .
Step 3 略去 )(2h O 项 , 并记 ),(m m x y y ≈ 则由方程有: ………………………………（） 所以得到第一边值问题-的差分格式:
.1,2,1,0),2,,(211211-=-=+--+-+N m h
y y y x f h y y y m m m m m m m … βα==N y y ,0. …………………………
对第二边值条件,由于
其中，100ˆx x <<η ,N N N x x <<-η
ˆ1 , 已及
所以可得到第二类边值问题-的差分格式:
.1,2,1,0),2,,(211211-=-=+--+-+N m h
y y y x f h y y y m m m m m m m … ,243210α=-+-h y y y β=+---h
y y y N N N 24321. ……… 类似可得第三类边值问题-的差分格式(略).。