数值计算方法-第3章--线性方程组的解法PPT
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数值分析第三章 解线性方程组的直接方法 ppt课件
对算每一一次行。计以算后每s注i一意数步m 1：学考j这上a虑n两|严x子a个格i列j |方等。 a程价为...kk 组。省中在时as间iki 最，s大i 只的在ai初k 为始主时元计。
a nk
注：稳定性介于列主元法和全主元法之间。
§2 三角分解法 /* Matrix Factorization */
A(2) b(2)
其中
a(2) ij
b(2) i
a(1) ij
b(1) i
mi
a(1)
1 1j
mi1b1(1)
(i, j 2, ...,n)
Step
k：设
a(k) kk
， 0计算因子
m ik a i(k k )/a k (k )k(i k 1 ,..n ) .,
且计算
a(k1) ij
➢ 高斯消元法的矩阵形式 /* Matrix Form of G.E. */：
Step 1: m i1a i1/a 11(a 1 10 )
1
记 L1 =
m 21 ...
1
m n1
a1(1)1...a1(1n) b1(1)
A b ，则 L 1 [A (1 ) b (1 )]
(2) (2)
1
Step n 1:
Ln1Ln2 ...L1
Ab
a1(11)
a(1) 12
a(2) 22
...
a(1) 1n
...
a(2) 2n
... ...
bb12((12))
...
其中 Lk =
1
a(n) nn
bn(n)
1
m k 1,k ...
m n ,k
1
1
线性方程组的求解完美版PPT
rA n
推论：齐次线性方程组 A n n x n 1 0 n 1 只有零解
rA n
即 A 0 , 即系数矩阵A可逆。
2. 解的性质
性质：若 1,2 是齐次线性方程组Ax=0的解，
则 x k 1 1 k 2 2 仍然是齐次线性方程组Ax=b的解。
（可推广至有限多个解）
解向量：每一组解都构成一个向量
解空间: A X 0的所有解向量的集合，对加法和数乘
都封闭，所以构成一个向量空间，称为这个齐次 线性方程组的解空间。
3. 基础解系
设 1 ,2 , ,n r是 A X 0的解，满足
（ 1 ） 1 ,2 ,,n r 线性无关；
（ 2 ） A X 0 的任一解都可以由 1 ,2 , ,n r线性表示。
则称 1 ,2 , ,n r是 A X 0 的一个基础解系。
定理： 设 A是 m n矩阵，如果 r ( A ) r n ,
则齐次线性方程组 A X 0的基础解系存在， 且每个基础解系中含有 nr个解向量。
证明分三步: 1. 以某种方法找 nr个解。 2. 证明这 nr个解线性无关。 3. 证明任一解都可由这 nr个解线性表示。
线性方程组的求解
中国青年政治学院 郑艳霞
• 使用建议：建议教师具备简单的 MATHMATICA使用知识。
• 课件使用学时：4学时 • 面向对象：文科经济类本科生 • 目的：掌握线性方程组的知识点学习。
假设在美国某一固定选区国会选举的投票结果用三维向量表示为
x民 共
主 和
党 党D R得 得
票 票
若P是一个矩阵，满足各列向量均非负，且各列向量纸盒等于 1，则相对于P的稳定向量必满足：Pq=q。可以证明每一个满 足上述条件的矩阵，必存在一个稳定向量；并且，若存在整 整数k，使得Pk>0,则P存在唯一的向量q满足条件。
推论：齐次线性方程组 A n n x n 1 0 n 1 只有零解
rA n
即 A 0 , 即系数矩阵A可逆。
2. 解的性质
性质：若 1,2 是齐次线性方程组Ax=0的解，
则 x k 1 1 k 2 2 仍然是齐次线性方程组Ax=b的解。
（可推广至有限多个解）
解向量：每一组解都构成一个向量
解空间: A X 0的所有解向量的集合，对加法和数乘
都封闭，所以构成一个向量空间，称为这个齐次 线性方程组的解空间。
3. 基础解系
设 1 ,2 , ,n r是 A X 0的解，满足
（ 1 ） 1 ,2 ,,n r 线性无关；
（ 2 ） A X 0 的任一解都可以由 1 ,2 , ,n r线性表示。
则称 1 ,2 , ,n r是 A X 0 的一个基础解系。
定理： 设 A是 m n矩阵，如果 r ( A ) r n ,
则齐次线性方程组 A X 0的基础解系存在， 且每个基础解系中含有 nr个解向量。
证明分三步: 1. 以某种方法找 nr个解。 2. 证明这 nr个解线性无关。 3. 证明任一解都可由这 nr个解线性表示。
线性方程组的求解
中国青年政治学院 郑艳霞
• 使用建议：建议教师具备简单的 MATHMATICA使用知识。
• 课件使用学时：4学时 • 面向对象：文科经济类本科生 • 目的：掌握线性方程组的知识点学习。
假设在美国某一固定选区国会选举的投票结果用三维向量表示为
x民 共
主 和
党 党D R得 得
票 票
若P是一个矩阵，满足各列向量均非负，且各列向量纸盒等于 1，则相对于P的稳定向量必满足：Pq=q。可以证明每一个满 足上述条件的矩阵，必存在一个稳定向量；并且，若存在整 整数k，使得Pk>0,则P存在唯一的向量q满足条件。
第3章线性方程组的直接解法1PPT课件
(3.5)
u x n1,n1 n1 un1,nxn bn1
unnxn bn
n
u iixi b i (u i,i 1 xi 1 u inxn) b i u ijxj
j i 1
xnbn/unn,
xi bijn i1uijxj/uii8,in1,n2,
返回LU
,2,1. 返回(3.20)
3.2.2 消去法的基本思想
(3.4)
返回式3.19
i1
liixi bi (li1x1li2x2 li,i1xi1)bi lijxj j1
i1
xi bi lijxj /lii, i 1,2, ,n.
j1
7
三、上三角方程组（返回Gauss）
u11x1 u12x2 u13x3 u1nxn b1
uiixi ui,i1xi1 uinxn bi
x3
78 26
3
x2 -28 10x3 -28 10(3)
x 1
16
(x2
2
4x 3 )
2
10
16
2 2
4(3)
1
3.2.3 高斯消元过程（即初等行变换） 记方程组（3.1）为
返回矩阵的三角分解
aa12((1111))xx11
a1(12)x2 a2(12)x2
an(11)x1an(12)x2
2
3.1 引 言
自然科学和工程计算中的很多问题的解决常常 归结为求解线性方程组。如三次样条插值函数问 题、用最小二乘原理确定拟合曲线、求解微分方 程的数值解等，最终都要转化为求解线性方程组。
求解线性方程组可采用：
1、直接法——经有限步算术运算可求得方 程组的精确解的方法（若计算过程无舍入误差）。
数值分析解线性方程组的直接方法 PPT
a1(11) D1 ak(kk) Dk / Dk1, k 2,3,, n.
(2、12)
§5、2、2 三角分解法 /* Matrix Factorization */
➢ 高斯消元法的矩阵形式 /* Matrix Form of G、E、 */:
Step 1: mi1 ai1 / a11 (a11 0)
A的谱半径为 ( A) 7.
5、1、4 特别矩阵 A (aij ) Rnn. (1)对角矩阵 如果当i j时，aij 0. (2)三对角矩阵 如果当| i j | 1时，aij 0. (3)上三角矩阵 如果当i j时，aij 0. (4)上海森伯格阵 如果当i j 1时，aij 0. (5)对称矩阵 如果AT A. (6)埃尔米特矩阵 设ＡＣnn ,如果AH A( AH AT ) (7)对称正定矩阵 如果（a）AT A，（b）对任意非零向量 x Rn , ( Ax, x) xT Ax 0. (8)正交矩阵 如果Ａ－１＝ＡＴ
an1x1 an2 x2 ... ann xn bn
的直截了当解法。方程组(5、1)的矩阵形式为
其中
a11
A
a 21 2
... ... ... ...
Ax=b
a1n a2n ... a nn
x1
,
x
x2 ...
x n
b1
(3) 相似矩阵 B=S-1AS有相同的特征多项式、
1 2 2
例1 求 A 2 2 4 的特征值及谱半径、
2 4 2
解: A的特征方程为
1 2 2
det(I A) 2 2 4
2
4 2
3 32 24 28 ( 2)2 ( 7) 0,
故A的特征值为 1 2 2, 3 7
大学数值计算方法(第3章解线性方程组的数值解法)3
定义3.4.5 设λi(i = 1,2,...,n)为矩阵A的特
征值, 则称 ρ ( A) = max{| λi |}
1≤i ≤ n
为矩阵A的谱半径。 矩阵A的谱半径ρ ( A)不是A的一种范数, 但可能与A的任何一种范数有某种关系。
例题
2 求矩阵 A = − 2 − 1 的谱半径。 4
则必存在两正数m, M , 使得 m || x ||β ≤|| x ||α ≤ M || x ||β
向量范数性质 等价性质：
1) 2) 3) 1 || x ||1 ≤|| x ||∞ ≤|| x ||1 n || x ||∞ ≤|| x ||1 ≤ n || x ||∞ || x ||∞ ≤|| x ||2 ≤ n || x ||∞
lim || x
（k）
− x ||∞ = 0 ⇔ lim max x
* k →∞ 1≤i ≤ n k →∞ (k ) i
(k ) i
− xi = 0
⇔ lim x
=x
* i
(i = 1,2,...n)
3.4.2 矩阵范数
定义3.4.3 设任意A ∈ R n×n , 若按某一确定的法则对 应于一非负实数 || A ||, 且满足 : 1)非负性 :|| A ||≥ 0，当且仅当A = 0时， A ||= 0; || 2)奇次性： kA ||=| k ||| A || ，k ∈ R; || 3)三角不等式： A + B ||≤|| A || + || B ||, ∀A, B ∈ R n×n ; || 4)相容性： ≤ A B ，∀A, B ∈ R n×n， AB 则称 || A || 为R n×n的一种范数。
算子范数
所以对x ≠ 0有 || ( A + B) x || ≤|| A || + || B || || x || || ( A + B) x || || A + B ||= max ≤|| A || + || B || x ≠0 || x || || AB ||≤|| A |||| B || 。 || I ||= max || Ix ||= 1 x =1
征值, 则称 ρ ( A) = max{| λi |}
1≤i ≤ n
为矩阵A的谱半径。 矩阵A的谱半径ρ ( A)不是A的一种范数, 但可能与A的任何一种范数有某种关系。
例题
2 求矩阵 A = − 2 − 1 的谱半径。 4
则必存在两正数m, M , 使得 m || x ||β ≤|| x ||α ≤ M || x ||β
向量范数性质 等价性质：
1) 2) 3) 1 || x ||1 ≤|| x ||∞ ≤|| x ||1 n || x ||∞ ≤|| x ||1 ≤ n || x ||∞ || x ||∞ ≤|| x ||2 ≤ n || x ||∞
lim || x
（k）
− x ||∞ = 0 ⇔ lim max x
* k →∞ 1≤i ≤ n k →∞ (k ) i
(k ) i
− xi = 0
⇔ lim x
=x
* i
(i = 1,2,...n)
3.4.2 矩阵范数
定义3.4.3 设任意A ∈ R n×n , 若按某一确定的法则对 应于一非负实数 || A ||, 且满足 : 1)非负性 :|| A ||≥ 0，当且仅当A = 0时， A ||= 0; || 2)奇次性： kA ||=| k ||| A || ，k ∈ R; || 3)三角不等式： A + B ||≤|| A || + || B ||, ∀A, B ∈ R n×n ; || 4)相容性： ≤ A B ，∀A, B ∈ R n×n， AB 则称 || A || 为R n×n的一种范数。
算子范数
所以对x ≠ 0有 || ( A + B) x || ≤|| A || + || B || || x || || ( A + B) x || || A + B ||= max ≤|| A || + || B || x ≠0 || x || || AB ||≤|| A |||| B || 。 || I ||= max || Ix ||= 1 x =1
3线性方程组解法课件-11
第3章线性方程组的解法本章探讨大型线性方程组计算机求解的常用数值方法的构造和原理，主要介绍在计算机上有效快速地求解线性方程组的有关知识和方法。
重点论述Jacobi迭代法、Seidel迭代法、Guass消元法及LU分解法的原理、构造、收敛性等内容。
3.1 实际案例3.2问题的描述与基本概念解线性方程组问题在线性代数中已有很优美的行列式解法，但对大型的线性方程组（阶数n>40）的求解问题使用价值并不大，因为其计算量太大。
实际问题中经常遇到自变量个数n都很大的线性方程组求解问题，这些线性方程组要借助计算机的帮助才能求出解。
n 个变元12,,,n x x x ⋯的线性方程组的一般形式为11112211211222221122n n n n m m mn n ma x a x a xb a x a x a x b a x a x a x b +++=⎧⎪+++=⎪⎨⎪⎪+++=⎩ （3.3）式中，a ij 称为系数，b i 称为右端项，它们都是已知的常数。
如果有***1122,,,n n x x x x x x ===使方程组（3.3）成立，则称值***12,,,n x x x为线性方程组的（3.3）的一组解。
本章在不作特别说明的情况下，主要讨论m=n 的线性方程组11112211211222221122n n n n n n nn n na x a x a xb a x a x a x b a x a x a x b +++=⎧⎪+++=⎪⎨⎪⎪+++=⎩的求解问题，且假设它有唯一解。
线性方程组的矩阵表示Ax b =式中A 称为系数矩阵，b 称为右端项。
数值分析中，线性方程组的数值解法主要分为直接法和迭代法两大类。
直接法是用有限次计算就能求出线性方程组“准确解”的方法（不考虑舍入误差）；迭代法是由线性方程组构造出迭代计算公式，然后以一个猜测的向量作为迭代计算的初始向量逐步迭代计算，来获得满足精度要求的近似解。
数值计算方法-第3章--线性方程组的解法PPT课件
个顺序主子式
a a (1)
(1)
11
12
Dk
a(1) 21
a(1) 22
a(1) 1k
a(1) 2k
0
(k 1, 2,..., n 1).
a a (1)
(1)
k1
k2
a(1) kk
.
13
顺序Gauss消去法计算过程中的 akk(k) 称为主元素，在 第k步消元时要用它作除数,则可能会出现以下几种情况
.
是原方程组 Ax=b 的解向量。
27
对于
Ly =b
1
由
l21
1
l31
l32 1
y1 b1
y2
b2
y3
b3
ln1 ln2 lnn1 1 yn bn
.
解得
y1 yk
b1 bk
k 1 i 1
lki
yi
,
k 2,3,, n
28
对于 Ux =y
u11 u12 u1n x1 y1
2x3 6
⑤
x1 6 (x2 x3 ) 1
x2 x3 5 / 4 2
x3 (6) / (2) 3
用x3, x2的值求x1 把x3的值代入②求x2
.
8
从下向上逐步求解
对应的增广矩阵的变化
1 1 1 6 1 1 1 6
( A | b) 0
4
1 5 0
4
1
5
2 2 1 1 0 4 1 11
0.8334
5.910
12.10
0.0120 0.0100 0.1670 0.6781
3200
1200
4.200 981.0
解线性方程组的解法_图文
第三章
线性方程组是线性代数中最重要最基本的内容之 一，是解决很多实际问题的的有力工具，在科学技术 和经济管理的许多领域（如物理、化学、网络理论、 最优化方法和投入产出模型等）中都有广泛应用. 第一章介绍的克莱姆法则只适用于求解方程个数 与未知量个数相同，且系数行列式非零的线性方程组. 本章研究一般线性方程组，主要讨论线性方程组解的 判定、解法及解的结构等问题，还要讨论与此密切相 关的向量线性相关性等. 其主要知识结构如下：
为方程组（3.1）的增广矩阵(augmented matrix). 因为 一个线性方程组由它的系数和常数项完全确定，所以 线性方程组与它的增广矩阵是一一对应的. 如果 x1 c1 , x2 c2 ,, xn cn 可以使（3.1）中的每个等式都 T x ( c , c , , c ) 成立，则称 为线性方程组（3.1）的一个 1 2 n 解(solution). 线性方程组（3.1）的解的全体称为它的解
集(solution set). 若两个线性方程组的解集相等，则称 它们同解(same solution). 若线性方程组（3.1）的解存 在，则称它有解或相容的. 否则称它无解或矛盾的. 解 线性方程组实际上先要判断它是否有解，在有解时求 出它的全部解.
例1 解线性方程组
2 x1 x2 3 x3 1 2 x3 6 2 x1 4 x 2 x 5 x 4 2 3 1
( 2 ) (1)
x2 x3
1 6
显然原方程组与最后的方程组（叫阶梯形方程组） 同解，所以原方程组有唯一解 x1 9, x2 1, x3 6
由此不难发现，在求解线性方程组的过程中，可 以对方程组反复施行以下三种变换： 1. 交换两个方程的位置； 2. 用一个非零数乘某个方程的两边； 3. 把一个方程的倍数加到另一个方程上. 称它们为线性方程组的初等变换. 显然：线性方程组的初等变换不改变线性方程组 的同解性. 在例1的求解过程中，我们只对方程组的系数和 常数项进行了运算，对线性方程组施行一次初等变 换，就相当于对它的增广矩阵施行一次相应的初等行 变换，用方程组的初等变换化简线性方程组就相当于 用矩阵的初等行变换化简它的增广矩阵. 下面我们将 例1的求解过程写成矩阵形式：
线性方程组是线性代数中最重要最基本的内容之 一，是解决很多实际问题的的有力工具，在科学技术 和经济管理的许多领域（如物理、化学、网络理论、 最优化方法和投入产出模型等）中都有广泛应用. 第一章介绍的克莱姆法则只适用于求解方程个数 与未知量个数相同，且系数行列式非零的线性方程组. 本章研究一般线性方程组，主要讨论线性方程组解的 判定、解法及解的结构等问题，还要讨论与此密切相 关的向量线性相关性等. 其主要知识结构如下：
为方程组（3.1）的增广矩阵(augmented matrix). 因为 一个线性方程组由它的系数和常数项完全确定，所以 线性方程组与它的增广矩阵是一一对应的. 如果 x1 c1 , x2 c2 ,, xn cn 可以使（3.1）中的每个等式都 T x ( c , c , , c ) 成立，则称 为线性方程组（3.1）的一个 1 2 n 解(solution). 线性方程组（3.1）的解的全体称为它的解
集(solution set). 若两个线性方程组的解集相等，则称 它们同解(same solution). 若线性方程组（3.1）的解存 在，则称它有解或相容的. 否则称它无解或矛盾的. 解 线性方程组实际上先要判断它是否有解，在有解时求 出它的全部解.
例1 解线性方程组
2 x1 x2 3 x3 1 2 x3 6 2 x1 4 x 2 x 5 x 4 2 3 1
( 2 ) (1)
x2 x3
1 6
显然原方程组与最后的方程组（叫阶梯形方程组） 同解，所以原方程组有唯一解 x1 9, x2 1, x3 6
由此不难发现，在求解线性方程组的过程中，可 以对方程组反复施行以下三种变换： 1. 交换两个方程的位置； 2. 用一个非零数乘某个方程的两边； 3. 把一个方程的倍数加到另一个方程上. 称它们为线性方程组的初等变换. 显然：线性方程组的初等变换不改变线性方程组 的同解性. 在例1的求解过程中，我们只对方程组的系数和 常数项进行了运算，对线性方程组施行一次初等变 换，就相当于对它的增广矩阵施行一次相应的初等行 变换，用方程组的初等变换化简线性方程组就相当于 用矩阵的初等行变换化简它的增广矩阵. 下面我们将 例1的求解过程写成矩阵形式：
第三章 线性方程组解法
可以看出，在计算第i个xik+1分量时，前 面i-1个分量x1k+1, x2k+1… xi-1k+1已经从上式 中计算出来了，于是很自然会想到如果 把它们代入用来计算xik+1可能会改进迭代, 于是就得到Ga大u家s好s-Seidel迭代格式： 35
§3.3 高斯－塞德尔迭代
x ik 1a 1 ii(b iij 1 1a ijxk j 1j n i 1a ijxk j),i 1 ,2 ...,n
大家好
21
§3.1 问题的提出
由原方程
8x1 x2 4 x1 10 x2
2x3 12 x3 21
3x1 2x2 5x3 16
构造
xx12((kk11))
2.5x2(k) 0.25x3(k) 1.5x1(k) 2.5x3(k)
5.25 8.0
(2) (3)
x3(k1) 4x1(k) 0.5x2(k) 6.0
§3.1 问题的提出
是方程组的精确解，用有限次运算得不到精 确解。迭代法是牛顿最先提出来的，1940年 经司威尔提出的松弛法也是一种迭代法，共 轭梯度法则是另一种迭代法，是弗莱彻等人 于20世纪60年代提出来的。
大家好
16
§3.1 问题的提出
例3.1
5x 2y 8 3x 20 y 26
5) 给出估计误差和迭代停止判据。
大家好
25
§3.1 问题的提出
❖ 定义：在n维空间中给定一个向量序
列 x k ，xk (x1 k,x2 k,...xn k)T ，如果对每一个分
量
x
k i
,当
k
时都有极限xi,
即
lim
k
xik
§3.3 高斯－塞德尔迭代
x ik 1a 1 ii(b iij 1 1a ijxk j 1j n i 1a ijxk j),i 1 ,2 ...,n
大家好
21
§3.1 问题的提出
由原方程
8x1 x2 4 x1 10 x2
2x3 12 x3 21
3x1 2x2 5x3 16
构造
xx12((kk11))
2.5x2(k) 0.25x3(k) 1.5x1(k) 2.5x3(k)
5.25 8.0
(2) (3)
x3(k1) 4x1(k) 0.5x2(k) 6.0
§3.1 问题的提出
是方程组的精确解，用有限次运算得不到精 确解。迭代法是牛顿最先提出来的，1940年 经司威尔提出的松弛法也是一种迭代法，共 轭梯度法则是另一种迭代法，是弗莱彻等人 于20世纪60年代提出来的。
大家好
16
§3.1 问题的提出
例3.1
5x 2y 8 3x 20 y 26
5) 给出估计误差和迭代停止判据。
大家好
25
§3.1 问题的提出
❖ 定义：在n维空间中给定一个向量序
列 x k ，xk (x1 k,x2 k,...xn k)T ，如果对每一个分
量
x
k i
,当
k
时都有极限xi,
即
lim
k
xik
数值计算方法第三章 线性方程组迭代法
0,1,2,
取x1(0) 0, x2(0) 0,计算结果如下：
k0
x (k) 1
0
x (k) 2
0
1
2
3
4
0.66667 0.50000 0.61111 0.58333
0.50000 0.16667 0.25000 0.19445
5
6
7
8
9
0.60185 0.59722 0.60031 0.59954 0.6005
从而得迭代式 x(k1) (D L)1Ux (k) (D L)1 b, (k 0,1,2, )
上式中矩阵 M (D L)1U 为Gauss-Seidel迭代矩阵。
输入：A,b, n,
置初值： k 0; xi 0(i 1,L , n)
k k 1;e 0
3xx1 12xx22
2 1
精确到3位有效数字。
解 Gauss Siedel迭代格式为
x (k 1) 1
x (k 1) 2
(2 x2(k) ) / 3 (1 x1(k1) ) / 2
,
k
0,1,
2,L
取x1(0)
0,
x (0) 2
0, 计算结果如下：
0
101
0
1
10
2
1 0 0 101 1 1 5
0 0.1 0.2 0.1 0 0.2
0.2 0.2 0
取初值x (0) (0,0,0)T 代入迭代式
x(1) Bx (0) g (7.2,8.3,8.4)T x(2) Bx(1) g (9.17,10.70,11.50)T ，如此下去， x(9) Bx (1) g (10.9994 ,11.9994 ,12.9992 )T
数值计算方法(第3章解线性方程组的数值解法).ppt
第 3章 解线性方程组的数值解法
1
引言
在自然科学和工程技术中很多问题的解决 常常归结为解线性代数方程组。例如电学中的 网络问题，船体数学放样中建立三次样条函数 问题，用最小二乘法求实验数据的曲线拟合问 题，解非线性方程组问题，用差分法或者有限 元法解常微分方程，偏微分方程边值问题等都 导致求解线性方程组，而且后面几种情况常常 归结为求解大型线性方程组。 线性代数方面的计算方法就是研究求解线 性方程组的一些数值解法与研究计算矩阵的特 征值及特征向量的数值方法。
17
高斯顺序消去法
a a la
( 2 ) ij ( 1 ) ij ( 1 ) i 11 j
( 1 ) ( 1 ) a a i 1 1 j ( 1 ) a ij ( 1 ) a 11
2
引言
关于线性方程组的数值解法一般有两类。
直接法：经过有限步算术运算，可求得方程 组的精确解的方法（若在计算过程中没有舍 入误差） 迭代法：用某种极限过程去逐步逼近线性方 程组精确解的方法
迭代法具有占存储单元少，程序设计简单，原 始系数矩阵在迭代过程中不变等优点，但存在收敛 性及收敛速度等问题。
（1）
10
高斯顺序消元法
由（1）得
b1 x1 l11 x 2 ( b 2 l 21 x 1 ) / l 22 ...... n 1 x (b l ni x i ) / l nn n n i 1
x 1 b 1 /l 11 i 1 即 : i 2 ,3 ,..., n x ( b l x ) / l i i ij j ii j 1 该法称为向前代入法。
12
j 1, 2 , , i ) ;
1
引言
在自然科学和工程技术中很多问题的解决 常常归结为解线性代数方程组。例如电学中的 网络问题，船体数学放样中建立三次样条函数 问题，用最小二乘法求实验数据的曲线拟合问 题，解非线性方程组问题，用差分法或者有限 元法解常微分方程，偏微分方程边值问题等都 导致求解线性方程组，而且后面几种情况常常 归结为求解大型线性方程组。 线性代数方面的计算方法就是研究求解线 性方程组的一些数值解法与研究计算矩阵的特 征值及特征向量的数值方法。
17
高斯顺序消去法
a a la
( 2 ) ij ( 1 ) ij ( 1 ) i 11 j
( 1 ) ( 1 ) a a i 1 1 j ( 1 ) a ij ( 1 ) a 11
2
引言
关于线性方程组的数值解法一般有两类。
直接法：经过有限步算术运算，可求得方程 组的精确解的方法（若在计算过程中没有舍 入误差） 迭代法：用某种极限过程去逐步逼近线性方 程组精确解的方法
迭代法具有占存储单元少，程序设计简单，原 始系数矩阵在迭代过程中不变等优点，但存在收敛 性及收敛速度等问题。
（1）
10
高斯顺序消元法
由（1）得
b1 x1 l11 x 2 ( b 2 l 21 x 1 ) / l 22 ...... n 1 x (b l ni x i ) / l nn n n i 1
x 1 b 1 /l 11 i 1 即 : i 2 ,3 ,..., n x ( b l x ) / l i i ij j ii j 1 该法称为向前代入法。
12
j 1, 2 , , i ) ;
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第3章 线性方程组的解法
1
3.1 问题综述
在自然科学与社会科学的研究中，常常需要求解线性代数方程组，这些方 程组的系数矩阵大致分为两种：一种是低阶稠密矩阵（例如：阶数大约为小 于等于150），另一种是大型稀疏矩阵（即矩阵阶数高且零元素较多）。
在计算机上求解线性代数方程组 AX=B 的常用的数值解法： • 1、直接法：就是经过有限次算术运算，可求得方程组精确解的方 法（若计算过程中没有舍入误差）。但实际计算中由于舍入误差的存在 和影响，这种方法也只能求得线性方程组的近似解。
A =LU,
其中，L 是下三角矩阵，U 是上三角矩阵.
这时解方程组 Ax=b， 可化为求解两个三角方程组
Ly =b, Ux =y .
先由 Ly =b 解出向量 y，再由 Ux =y 解出向量 x， 则 x
是原方程组 Ax=b 的解向量。
27
对于
Ly =b
1
由
l21
1
l31
l32
1
y1 b1
1.消元过程
对于k =1,2,…,n -1执行
(1)选行号ik，使
a(k) ik k
max
k in
a(k) ik
.
(2)交换第 k 行与第 ik 行。
21
(3)对于 i = k +1,k +2,…,n 计算
mik
a(k ik
)
/
a(k kk
)
a(k 1) ij
a(k) ij
mik
a(k kj
)
( j k 1, k 2,..., n)
Gauss消去法是一个古老的求解线性代数方程组的方法（早 在公元前250年我国就掌握了解三元一次联立方程组的方法）。 但由于它改进、变形得到的主元素消去法、三角分解法仍然是目 前计算机上常用的有效方法。
高斯消去法步骤： (1) 首先将增广阵 [ A, b ] 化为上三角阵； (2) 用三角方程组，回代求解 。
Gauss消去法求解。
18
写出原方程组的增广矩阵：
0.0120 0.0100 0.1670 0.6781
1.000
0.8334 5.910
12.10
3200 1200 4.200 981.0
针对第一列找出绝对值最大的元素，进行等价变换：
3200 1200 4.200 981.0
1.000
/*
精确解为
x1
1
1 109
8个
1.00...0100...和
x2
2
x1
8个
0.99 ...9899...*/
用顺序主元素消去法计算：
m21 a21 / a11 1098个 a22 1 m21 1 0.0 ...01109 109 109 b2 2 m21 1 109
109 1
b(k 1) i
bi(k )
mikbk(k )
2.回代过程
xn
b(n) n
/
a(n) nn
xk
bk(
k
)
n
a(k) kj
x
j
/
a(k) kk
(k n 1, n 2,...,1)
jk 1
22
评论：列主元素消去法，所需条件较少，仅
仅要求方程组的系数矩阵 A 非奇异。 而且，对一般的方程组，它还具有良好的数
A(n) Ln1 A(n1) Ln1Ln2 A(n2) Ln1Ln2 L2 L1 A 24
这时
A L11 L21
L A 1 (n) n1
令
L L11 L21
L1 n1
,
U A(n)
容易验证
1
l
21
1
L
L11 L21
L1 n1
l
31
l32
1
ln1 ln2 lnn1 1
11.79
0.5329
求得方程的解为：x3＝5.546，x2＝－45.76，x1＝17.46
精确解为： x3＝5.546 ，x2＝－45.76， x1＝17.46
由此可见，第二种Gauss消去法的精度明显高于顺序Gauss消去法，我 们称它为列主元Gauss消去法。
列主元Gauss消去法与顺序Gauss消去法的不同之处在于：
x3＝5.546 ，x2＝－45.76， x1＝17.46 有较大的误差。
对于此例，由于顺序Gauss消去法中的主元素绝对值非常小，使 消元乘数绝对值非常大，计算过程中出现大数吃掉小数现象，产生
较大的舍入误差，最终导致计算解 x1＝－104.0 和 x2＝100.0 已完全 失真。
为避免这种现象发生，可以对原方程组作等价变换，再利用顺序
5
用一个简单的例子说明消去法的基本思想。
例1 用消去法解方程组
x1 x2 x3 6
(1)
4x2 x3 5
(2)
2x1 2x2 x3 1
(3)
6
解 (1) 化上三角方程组
x1 x2 x3 6
①
4x2 x3 5
②
③+(-2)×① 2x1 2x2 x3 1
③
x1 x2 x3 6
0.1670
0.6781
0
0.1000 103
8.010
44.41
0
1467 445410 1798102
0.0120
0
0
0.0100 0.1000 103
0
0.1670 8.010 1175 105
0.6781
44.41
6517 105
17
经回代求解得
x3＝5.546，x2＝100.0，x1＝－104.0 和此方程组的精确解相比
顺序高斯消去法求解n 元线性方程组的乘除运算总次数为：
(n3 3n2 n) / 3
➢顺序高斯消去法计算过程中出现的
a
(k kk
称) 为主元素.
出现
a(k ) kk
，0消元过程就进行不下去了。
12
定理: 顺序高斯消去法的前
n
-1
个主元素
a(k kk
)均
不为零的充要条件是方程组的系数矩阵A的前n -
x3 (6) / (2) 3
用x3, x2的值求x1 把x3的值代入②求x2
8
从下向上逐步求解
对应的增广矩阵的变化
1 1 1 6 1 1 1 6
( A | b) 0
4
1 5 0
4
1
5
2 2 1 1 0 4 1 11
1 1 1 6 041 Nhomakorabea5
0 0 2 6
(-2)×r1 + r3→r3
a1n b1
a2n
b2
M M
ann
bn
用行变换
a01(11)
a (1) 12
a(2) 22
0 0
a (1) 1n
a(2) 2n
b(1) 1
b(2) 2
a(n) nn
b(n) n
消元过程
根据下面的上三角方程组,逐次回代求解 xk
a1(11) x1
a (1) 12
x2
a x (2) 2212 2
1个顺序主子式
a(1) 11
Dk
a(1) 21 M
a(1) k1
a(1) 12
L
a(1) 22
L
M
a(1) k2
L
a(1) 1k
a(1) 2k
0
M
a(1) kk
(k 1, 2,..., n 1).
13
顺序Gauss消去法计算过程中的 akk(k) 称为主元素，在 第k步消元时要用它作除数,则可能会出现以下几种情况
①
4x2 x3 5
②
④+ ②
4x2 x3 11
④
x1 x2 x3 6
①
4x2 x3 5
②
7
2x3 6
⑤
(2)回代过程. 得到下同解方程组后,如下处理
x1 x2 x3 6
①
4x2 x3 5
②
2x3 6
⑤
x1 6 (x2 x3 ) 1
x2 x3 5 / 4 2
此方程组具有四位有效数字的精确解为
x1＝17.46，x2＝－45.76，x3＝5.546
16
解 用顺序Gauss消去法求解，消元过程如下
0.0120 0.0100 0.1670 0.6781
1.000
0.8334
5.910
12.10
3200 1200 4.200 981.0
0.0120 0.0100
25
从顺序Gauss消去法的矩阵运算表示式可知，系数矩阵 A可分解为一个单位下三角矩阵L和一个上三角矩阵U的乘 积，即
A
L11 L21
L A 1 (n) n1
LU
a1(11)
其中 U A(n)
a(1) 12
a(2) 22
a(1) 1n
a(2) 2n
u11
u12 u22
u1n
u2
y2
b2
y3
b3
ln1 ln2 lnn1 1 yn bn
解得
y1 yk
b1 bk
k 1 i 1
lki
yi
,
k 2,3, , n
28
对于 Ux =y
a22 x2 M
L
a2n xn
b2
an1x1 an2 x2 L ann xn bn
a11 a12 L a21 a22 L
M M an1 an2 L
1
3.1 问题综述
在自然科学与社会科学的研究中，常常需要求解线性代数方程组，这些方 程组的系数矩阵大致分为两种：一种是低阶稠密矩阵（例如：阶数大约为小 于等于150），另一种是大型稀疏矩阵（即矩阵阶数高且零元素较多）。
在计算机上求解线性代数方程组 AX=B 的常用的数值解法： • 1、直接法：就是经过有限次算术运算，可求得方程组精确解的方 法（若计算过程中没有舍入误差）。但实际计算中由于舍入误差的存在 和影响，这种方法也只能求得线性方程组的近似解。
A =LU,
其中，L 是下三角矩阵，U 是上三角矩阵.
这时解方程组 Ax=b， 可化为求解两个三角方程组
Ly =b, Ux =y .
先由 Ly =b 解出向量 y，再由 Ux =y 解出向量 x， 则 x
是原方程组 Ax=b 的解向量。
27
对于
Ly =b
1
由
l21
1
l31
l32
1
y1 b1
1.消元过程
对于k =1,2,…,n -1执行
(1)选行号ik，使
a(k) ik k
max
k in
a(k) ik
.
(2)交换第 k 行与第 ik 行。
21
(3)对于 i = k +1,k +2,…,n 计算
mik
a(k ik
)
/
a(k kk
)
a(k 1) ij
a(k) ij
mik
a(k kj
)
( j k 1, k 2,..., n)
Gauss消去法是一个古老的求解线性代数方程组的方法（早 在公元前250年我国就掌握了解三元一次联立方程组的方法）。 但由于它改进、变形得到的主元素消去法、三角分解法仍然是目 前计算机上常用的有效方法。
高斯消去法步骤： (1) 首先将增广阵 [ A, b ] 化为上三角阵； (2) 用三角方程组，回代求解 。
Gauss消去法求解。
18
写出原方程组的增广矩阵：
0.0120 0.0100 0.1670 0.6781
1.000
0.8334 5.910
12.10
3200 1200 4.200 981.0
针对第一列找出绝对值最大的元素，进行等价变换：
3200 1200 4.200 981.0
1.000
/*
精确解为
x1
1
1 109
8个
1.00...0100...和
x2
2
x1
8个
0.99 ...9899...*/
用顺序主元素消去法计算：
m21 a21 / a11 1098个 a22 1 m21 1 0.0 ...01109 109 109 b2 2 m21 1 109
109 1
b(k 1) i
bi(k )
mikbk(k )
2.回代过程
xn
b(n) n
/
a(n) nn
xk
bk(
k
)
n
a(k) kj
x
j
/
a(k) kk
(k n 1, n 2,...,1)
jk 1
22
评论：列主元素消去法，所需条件较少，仅
仅要求方程组的系数矩阵 A 非奇异。 而且，对一般的方程组，它还具有良好的数
A(n) Ln1 A(n1) Ln1Ln2 A(n2) Ln1Ln2 L2 L1 A 24
这时
A L11 L21
L A 1 (n) n1
令
L L11 L21
L1 n1
,
U A(n)
容易验证
1
l
21
1
L
L11 L21
L1 n1
l
31
l32
1
ln1 ln2 lnn1 1
11.79
0.5329
求得方程的解为：x3＝5.546，x2＝－45.76，x1＝17.46
精确解为： x3＝5.546 ，x2＝－45.76， x1＝17.46
由此可见，第二种Gauss消去法的精度明显高于顺序Gauss消去法，我 们称它为列主元Gauss消去法。
列主元Gauss消去法与顺序Gauss消去法的不同之处在于：
x3＝5.546 ，x2＝－45.76， x1＝17.46 有较大的误差。
对于此例，由于顺序Gauss消去法中的主元素绝对值非常小，使 消元乘数绝对值非常大，计算过程中出现大数吃掉小数现象，产生
较大的舍入误差，最终导致计算解 x1＝－104.0 和 x2＝100.0 已完全 失真。
为避免这种现象发生，可以对原方程组作等价变换，再利用顺序
5
用一个简单的例子说明消去法的基本思想。
例1 用消去法解方程组
x1 x2 x3 6
(1)
4x2 x3 5
(2)
2x1 2x2 x3 1
(3)
6
解 (1) 化上三角方程组
x1 x2 x3 6
①
4x2 x3 5
②
③+(-2)×① 2x1 2x2 x3 1
③
x1 x2 x3 6
0.1670
0.6781
0
0.1000 103
8.010
44.41
0
1467 445410 1798102
0.0120
0
0
0.0100 0.1000 103
0
0.1670 8.010 1175 105
0.6781
44.41
6517 105
17
经回代求解得
x3＝5.546，x2＝100.0，x1＝－104.0 和此方程组的精确解相比
顺序高斯消去法求解n 元线性方程组的乘除运算总次数为：
(n3 3n2 n) / 3
➢顺序高斯消去法计算过程中出现的
a
(k kk
称) 为主元素.
出现
a(k ) kk
，0消元过程就进行不下去了。
12
定理: 顺序高斯消去法的前
n
-1
个主元素
a(k kk
)均
不为零的充要条件是方程组的系数矩阵A的前n -
x3 (6) / (2) 3
用x3, x2的值求x1 把x3的值代入②求x2
8
从下向上逐步求解
对应的增广矩阵的变化
1 1 1 6 1 1 1 6
( A | b) 0
4
1 5 0
4
1
5
2 2 1 1 0 4 1 11
1 1 1 6 041 Nhomakorabea5
0 0 2 6
(-2)×r1 + r3→r3
a1n b1
a2n
b2
M M
ann
bn
用行变换
a01(11)
a (1) 12
a(2) 22
0 0
a (1) 1n
a(2) 2n
b(1) 1
b(2) 2
a(n) nn
b(n) n
消元过程
根据下面的上三角方程组,逐次回代求解 xk
a1(11) x1
a (1) 12
x2
a x (2) 2212 2
1个顺序主子式
a(1) 11
Dk
a(1) 21 M
a(1) k1
a(1) 12
L
a(1) 22
L
M
a(1) k2
L
a(1) 1k
a(1) 2k
0
M
a(1) kk
(k 1, 2,..., n 1).
13
顺序Gauss消去法计算过程中的 akk(k) 称为主元素，在 第k步消元时要用它作除数,则可能会出现以下几种情况
①
4x2 x3 5
②
④+ ②
4x2 x3 11
④
x1 x2 x3 6
①
4x2 x3 5
②
7
2x3 6
⑤
(2)回代过程. 得到下同解方程组后,如下处理
x1 x2 x3 6
①
4x2 x3 5
②
2x3 6
⑤
x1 6 (x2 x3 ) 1
x2 x3 5 / 4 2
此方程组具有四位有效数字的精确解为
x1＝17.46，x2＝－45.76，x3＝5.546
16
解 用顺序Gauss消去法求解，消元过程如下
0.0120 0.0100 0.1670 0.6781
1.000
0.8334
5.910
12.10
3200 1200 4.200 981.0
0.0120 0.0100
25
从顺序Gauss消去法的矩阵运算表示式可知，系数矩阵 A可分解为一个单位下三角矩阵L和一个上三角矩阵U的乘 积，即
A
L11 L21
L A 1 (n) n1
LU
a1(11)
其中 U A(n)
a(1) 12
a(2) 22
a(1) 1n
a(2) 2n
u11
u12 u22
u1n
u2
y2
b2
y3
b3
ln1 ln2 lnn1 1 yn bn
解得
y1 yk
b1 bk
k 1 i 1
lki
yi
,
k 2,3, , n
28
对于 Ux =y
a22 x2 M
L
a2n xn
b2
an1x1 an2 x2 L ann xn bn
a11 a12 L a21 a22 L
M M an1 an2 L