十年高考数学试卷汇编(10~19年 解答题部分)

全国卷•十年高考（解答题部分）
2019年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅰ） (2)
2018年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅰ） (6)
2017年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅰ） (10)
2016年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅰ） (15)
2015年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅰ） (20)
2014年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅰ） (25)
2013年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅰ） (31)
2012年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标） (36)
2011年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标） (41)
2010年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标） (46)
2019年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅰ）
三、解答题：共60分。

17．（2019•新课标Ⅰ）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．设
（sinB﹣sinC）2＝sin2A﹣sinBsin C．
（1）求A；
（2）若a+b＝2c，求sinC．
18．（2019•新课标Ⅰ）如图，直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的底面是菱形，AA1＝4，AB＝2，∠BAD＝60°，E，M，N分别是BC，BB1，A1D的中点．
（1）证明：MN∥平面C1DE；
（2）求二面角A﹣MA1﹣N的正弦值．
19．（2019•新课标Ⅰ）已知抛物线C：y2＝3x的焦点为F，斜率为的直线l与C的交点为A，B，与x轴的交点为P．
（1）若|AF|+|BF|＝4，求l的方程；
（2）若＝3，求|AB|．
20．（2019•新课标Ⅰ）已知函数f（x）＝sinx﹣ln（1+x），f′（x）为f（x）的导数．证明：
（1）f′（x）在区间（﹣1，）存在唯一极大值点；
（2）f（x）有且仅有2个零点．
21．（2019•新课标Ⅰ）为治疗某种疾病，研制了甲、乙两种新药，希望知道哪种新药更有效，为此进行动物试验．试验方案如下：每一轮选取两只白鼠对药效进行对比试验．对于两只白鼠，随机选一只施以甲药，另一只施以乙药．一轮的治疗结果得出后，再安排下一轮试验．当其中一种药治愈的白鼠比另一种药治愈的白鼠多4只时，就停止试验，并认为治愈只数多的药更有效．为了方便描述问题，约定：对于每轮试验，若施以甲药的白鼠治愈且施以乙药的白鼠未治愈则甲药得1分，乙药得﹣1分；若施以乙药的白鼠治愈且施以甲药的白鼠未治愈则乙药得1分，甲药得﹣1分；若都治愈或都未治愈则两种药均得0分．甲、乙两种药的治愈率分别记为α和β，一轮试验中甲药的得分记为X．
（1）求X的分布列；
（2）若甲药、乙药在试验开始时都赋予4分，p i（i＝0，1，…，8）表示“甲药的累计得分为i时，最终认为甲药比乙药更有效”的概率，则p0＝0，p8＝1，
p i＝ap i﹣1+bp i+cp i+1（i＝1，2，…，7），其中a＝P（X＝﹣1），b＝P（X＝0），c＝P（X＝1）．假设α＝0.5，β＝0.8．
（i）证明：{p i+1﹣p i}（i＝0，1，2，…，7）为等比数列；
（ii）求p4，并根据p4的值解释这种试验方案的合理性．
（二）选考题：共10分。

[选修4-4：坐标系与参数方程]
22．在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（t为参数）．以坐标原
点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为
2ρcosθ+ρsinθ+11＝0．
（1）求C和l的直角坐标方程；
（2）求C上的点到l距离的最小值．
[选修4-5：不等式选讲]
23．已知a，b，c为正数，且满足abc＝1．证明：
（1）++≤a2+b2+c2；
（2）（a+b）3+（b+c）3+（c+a）3≥24．
2018年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅰ）
三、解答题：共60分。

17．（2018•新课标Ⅰ）在平面四边形ABCD中，∠ADC＝90°，∠A＝45°，AB＝2，BD＝5．
（1）求cos∠ADB；
（2）若DC＝2，求BC．
18．（2018•新课标Ⅰ）如图，四边形ABCD为正方形，E，F分别为AD，BC的中点，以DF为折痕把△DFC折起，使点C到达点P的位置，且PF⊥BF．（1）证明：平面PEF⊥平面ABFD；
（2）求DP与平面ABFD所成角的正弦值．
19．（2018•新课标Ⅰ）设椭圆C：+y2＝1的右焦点为F，过F的直线l与C交于A，B两点，点M的坐标为（2，0）．
（1）当l与x轴垂直时，求直线AM的方程；
（2）设O为坐标原点，证明：∠OMA＝∠OMB．
20．（2018•新课标Ⅰ）某工厂的某种产品成箱包装，每箱200件，每一箱产品在交付用户之前要对产品作检验，如检验出不合格品，则更换为合格品．检验时，先从这箱产品中任取20件作检验，再根据检验结果决定是否对余下的所有产品作检验．设每件产品为不合格品的概率都为p（0＜p＜1），且各件产品是否为不合格品相互独立．（1）记20件产品中恰有2件不合格品的概率为f（p），求f（p）的最大值点p0．（2）现对一箱产品检验了20件，结果恰有2件不合格品，以（1）中确定的p0作为p的值．已知每件产品的检验费用为2元，若有不合格品进入用户手中，则工厂要对每件不合格品支付25元的赔偿费用．
（i）若不对该箱余下的产品作检验，这一箱产品的检验费用与赔偿费用的和记为X，求EX；
（ⅱ）以检验费用与赔偿费用和的期望值为决策依据，是否该对这箱余下的所有产品作检验？
21．（2018•新课标Ⅰ）已知函数f（x）＝﹣x+alnx．
（1）讨论f（x）的单调性；
（2）若f（x）存在两个极值点x1，x2，证明：＜a﹣2．
（二）选考题：共10分。

[选修4-4：坐标系与参数方程]
22．在直角坐标系xOy中，曲线C1的方程为y＝k|x|+2．以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ2+2ρcosθ﹣3＝0．
（1）求C2的直角坐标方程；
（2）若C1与C2有且仅有三个公共点，求C1的方程．
[选修4-5：不等式选讲]
23．已知f（x）＝|x+1|﹣|ax﹣1|．
（1）当a＝1时，求不等式f（x）＞1的解集；
（2）若x∈（0，1）时不等式f（x）＞x成立，求a的取值范围．
2017年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅰ）
三、解答题：共60分．
17．（2017•新课标Ⅰ）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知△ABC的面积为．
（1）求sinBsinC；
（2）若6cosBcosC＝1，a＝3，求△ABC的周长．
18．（2017•新课标Ⅰ）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，AB∥CD，且∠BAP＝∠CDP ＝90°．
（1）证明：平面P AB⊥平面P AD；
（2）若P A＝PD＝AB＝DC，∠APD＝90°，求二面角A﹣PB﹣C的余弦值．
19．（2017•新课标Ⅰ）为了监控某种零件的一条生产线的生产过程，检验员每天从该生产线上随机抽取16个零件，并测量其尺寸（单位：cm）．根据长期生产经验，可以认为这条生产线正常状态下生产的零件的尺寸服从正态分布N（μ，σ2）．
（1）假设生产状态正常，记X表示一天内抽取的16个零件中其尺寸在（μ﹣3σ，μ+3σ）之外的零件数，求P（X≥1）及X的数学期望；
（2）一天内抽检零件中，如果出现了尺寸在（μ﹣3σ，μ+3σ）之外的零件，就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查．（ⅰ）试说明上述监控生产过程方法的合理性；
（ⅱ）下面是检验员在一天内抽取的16个零件的尺寸：
9.95 10.12 9.96 9.96 10.01 9.92 9.98 10.04
10.26 9.91 10.13 10.02 9.22 10.04 10.05 9.95
经计算得＝＝9.97，s＝＝≈0.212，其中x i为抽取的第i个零件的尺寸，i＝1，2， (16)
用样本平均数作为μ的估计值，用样本标准差s作为σ的估计值，利用估计值判断是否需对当天的生产过程进行检查？剔除之外的数据，用剩下的数据估计μ和σ（精确到0.01）．
附：若随机变量Z服从正态分布N（μ，σ2），则P（μ﹣3σ＜Z＜μ+3σ）＝0.9974，0.997416≈0.9592，≈0.09．
20．（2017•新课标Ⅰ）已知椭圆C：+＝1（a＞b＞0），四点P1（1，1），
P2（0，1），P3（﹣1，），P4（1，）中恰有三点在椭圆C上．
（1）求C的方程；
（2）设直线l不经过P2点且与C相交于A，B两点．若直线P2A与直线P2B的斜率的和为﹣1，证明：l过定点．
21．（2017•新课标Ⅰ）已知函数f（x）＝ae2x+（a﹣2）e x﹣x．（1）讨论f（x）的单调性；
（2）若f（x）有两个零点，求a的取值范围．
（二）选考题：共10分。

[选修4-4：坐标系与参数方程]
22．在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为，（θ为参数），直线l的参数方程为，（t为参数）．
（1）若a＝﹣1，求C与l的交点坐标；
（2）若C上的点到l距离的最大值为，求a．
[选修4-5：不等式选讲]
23．已知函数f（x）＝﹣x2+ax+4，g（x）＝|x+1|+|x﹣1|．
（1）当a＝1时，求不等式f（x）≥g（x）的解集；
（2）若不等式f（x）≥g（x）的解集包含[﹣1，1]，求a的取值范围．
2016年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅰ）
三、解答题：满分60分.
17．（2016•新课标Ⅰ）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知
2cosC（acosB+bcosA）＝c．
（Ⅰ）求C；
（Ⅱ）若c＝，△ABC的面积为，求△ABC的周长．
18．（2016•新课标Ⅰ）如图，在以A，B，C，D，E，F为顶点的五面体中，面ABEF 为正方形，AF＝2FD，∠AFD＝90°，且二面角D﹣AF﹣E与二面角C﹣BE﹣F 都是60°．
（Ⅰ）证明平面ABEF⊥平面EFDC；
（Ⅱ）求二面角E﹣BC﹣A的余弦值．
19．（2016•新课标Ⅰ）某公司计划购买2台机器，该种机器使用三年后即被淘汰．机器有一易损零件，在购进机器时，可以额外购买这种零件作为备件，每个200元．在机器使用期间，如果备件不足再购买，则每个500元．现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件，为此搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数，得如图柱状图：
以这100台机器更换的易损零件数的频率代替1台机器更换的易损零件数发生的概率，记X表示2台机器三年内共需更换的易损零件数，n表示购买2台机器的同时购买的易损零件数．
（Ⅰ）求X的分布列；
（Ⅱ）若要求P（X≤n）≥0.5，确定n的最小值；
（Ⅲ）以购买易损零件所需费用的期望值为决策依据，在n＝19与n＝20之中选其一，应选用哪个？
20．（2016•新课标Ⅰ）设圆x2+y2+2x﹣15＝0的圆心为A，直线l过点B（1，0）且与x轴不重合，l交圆A于C，D两点，过B作AC的平行线交AD于点E．（Ⅰ）证明|EA|+|EB|为定值，并写出点E的轨迹方程；
（Ⅱ）设点E的轨迹为曲线C1，直线l交C1于M，N两点，过B且与l垂直的直线与圆A交于P，Q两点，求四边形MPNQ面积的取值范围．
21．（2016•新课标Ⅰ）已知函数f（x）＝（x﹣2）e x+a（x﹣1）2有两个零点．（Ⅰ）求a的取值范围；
（Ⅱ）设x1，x2是f（x）的两个零点，证明：x1+x2＜2．
（二）选考题：共10分。

[选修4-4：坐标系与参数方程]
23．在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（t为参数，a＞0）．在以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2：ρ＝4cosθ．（Ⅰ）说明C1是哪种曲线，并将C1的方程化为极坐标方程；
（Ⅱ）直线C3的极坐标方程为θ＝α0，其中α0满足tanα0＝2，若曲线C1与C2的公共点都在C3上，求a．
[选修4-5：不等式选讲]
24．已知函数f（x）＝|x+1|﹣|2x﹣3|．
（Ⅰ）在图中画出y＝f（x）的图象；
（Ⅱ）求不等式|f（x）|＞1的解集．
2015年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅰ）
三、解答题：
17．（2015•新课标Ⅰ）S n为数列{a n}的前n项和，已知a n＞0，a n2+2a n＝4S n+3 （I）求{a n}的通项公式：
（Ⅱ）设b n＝，求数列{b n}的前n项和．
18．（2015•新课标Ⅰ）如图，四边形ABCD为菱形，∠ABC＝120°，E，F是平面ABCD 同一侧的两点，BE⊥平面ABCD，DF⊥平面ABCD，BE＝2DF，AE⊥EC．（Ⅰ）证明：平面AEC⊥平面AFC
（Ⅱ）求直线AE与直线CF所成角的余弦值．
19．（2015•新课标Ⅰ）某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费x （单位：千元）对年销售量y （单位：t ）和年利润z （单位：千元）的影响，对近8年的年宣传费x i 和年销售量y i （i ＝1，2，…，8）数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值．
（x i ﹣）2
（w i ﹣）2
（x i ﹣）（y i ﹣）
（w i ﹣）（y i ﹣） 46.6 563 6.8 289.8 1.6 1469
108.8
表中w i ＝
i ，
＝
（Ⅰ）根据散点图判断，y ＝a +bx 与y ＝c +d 哪一个适宜作为年销售量y 关于年
宣传费x 的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由）
（Ⅱ）根据（Ⅰ）的判断结果及表中数据，建立y 关于x 的回归方程；
（Ⅲ）已知这种产品的年利润z 与x 、y 的关系为z ＝0.2y ﹣x ．根据（Ⅱ）的结果回答下列问题：
（i ）年宣传费x ＝49时，年销售量及年利润的预报值是多少？ （ii ）年宣传费x 为何值时，年利润的预报值最大？
附：对于一组数据（u 1v 1），（u 2v 2）…..（u n v n ），其回归线v ＝α+βu
的斜率和截距的
最小二乘估计分别为：＝，＝﹣．
20．（2015•新课标Ⅰ）在直角坐标系xOy中，曲线C：y＝与直线l：y＝kx+a（a ＞0）交于M，N两点．
（Ⅰ）当k＝0时，分別求C在点M和N处的切线方程．
（Ⅱ）y轴上是否存在点P，使得当k变动时，总有∠OPM＝∠OPN？（说明理由）
21．（2015•新课标Ⅰ）已知函数f（x）＝x3+ax+，g（x）＝﹣lnx
（i）当a为何值时，x轴为曲线y＝f（x）的切线；
（ii）用min{m，n}表示m，n中的最小值，设函数h（x）＝min{f（x），g（x）}（x＞0），讨论h（x）零点的个数．
（二）选考题：共10分。

[选修4-4：坐标系与参数方程]
23．在直角坐标系xOy中，直线C1：x＝﹣2，圆C2：（x﹣1）2+（y﹣2）2＝1，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．
（Ⅰ）求C1，C2的极坐标方程；
（Ⅱ）若直线C3的极坐标方程为θ＝（ρ∈R），设C2与C3的交点为M，N，求△C2MN的面积．
【选修4-5：不等式选讲】
24．已知函数f（x）＝|x+1|﹣2|x﹣a|，a＞0．
（Ⅰ）当a＝1时，求不等式f（x）＞1的解集；
（Ⅱ）若f（x）的图象与x轴围成的三角形面积大于6，求a的取值范围．
2014年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅰ）
三、解答题，共60分。

17．（2014•新课标Ⅰ）已知数列{a n}的前n项和为S n，a1＝1，a n≠0，a n a n+1＝λS n﹣1，其中λ为常数．
（Ⅰ）证明：a n+2﹣a n＝λ
（Ⅱ）是否存在λ，使得{a n}为等差数列？并说明理由．
18．（2014•新课标Ⅰ）从某企业生产的某种产品中抽取500件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得如下频率分布直方图：
（Ⅰ）求这500件产品质量指标值的样本平均数和样本方差s2（同一组中数据用该组区间的中点值作代表）；
（Ⅱ）由直方图可以认为，这种产品的质量指标值Z服从正态分布N（μ，σ2），其中μ近似为样本平均数，σ2近似为样本方差s2．
（i）利用该正态分布，求P（187.8＜Z＜212.2）；
（ii）某用户从该企业购买了100件这种产品，记X表示这100件产品中质量指标值位于区间（187.8，212.2）的产品件数，利用（i）的结果，求EX．
附：≈12.2．
若Z～N（μ，σ2）则P（μ﹣σ＜Z＜μ+σ）＝0.6826，P（μ﹣2σ＜Z＜μ+2σ）＝0.9544．
19．（2014•新课标Ⅰ）如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧面BB1C1C为菱形，
AB⊥B1C．
（Ⅰ）证明：AC＝AB1；
（Ⅱ）若AC⊥AB1，∠CBB1＝60°，AB＝BC，求二面角A﹣A1B1﹣C1的余弦值．
20．（2014•新课标Ⅰ）已知点A（0，﹣2），椭圆E：+＝1（a＞b＞0）的离心率为，F是椭圆的右焦点，直线AF的斜率为，O为坐标原点．
（Ⅰ）求E的方程；
（Ⅱ）设过点A的直线l与E相交于P，Q两点，当△OPQ的面积最大时，求l的方程．
21．（2014•新课标Ⅰ）设函数f（x）＝ae x lnx+，曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处得切线方程为y＝e（x﹣1）+2．
（Ⅰ）求a、b；
（Ⅱ）证明：f（x）＞1．
（二）选考题：共10分。

[选修4-4：坐标系与参数方程]
23．已知曲线C：+＝1，直线l：（t为参数）
（Ⅰ）写出曲线C的参数方程，直线l的普通方程．
（Ⅱ）过曲线C上任意一点P作与l夹角为30°的直线，交l于点A，求|P A|的最大值与最小值．
【选修4-5：不等式选讲】
24．若a＞0，b＞0，且+＝．
（Ⅰ）求a3+b3的最小值；
（Ⅱ）是否存在a，b，使得2a+3b＝6？并说明理由．
2013年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅰ）
三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
17．（2013•新课标Ⅰ）如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝，BC＝1，P为△ABC内一点，∠BPC＝90°．
（1）若PB＝，求P A；
（2）若∠APB＝150°，求tan∠PBA．
18．（2013•新课标Ⅰ）如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，CA＝CB，AB＝AA1，
∠BAA1＝60°．
（Ⅰ）证明AB⊥A1C；
（Ⅱ）若平面ABC⊥平面AA1B1B，AB＝CB＝2，求直线A1C与平面BB1C1C所成角的正弦值．
19．（2013•新课标Ⅰ）一批产品需要进行质量检验，检验方案是：先从这批产品中任取4件作检验，这4件产品中优质品的件数记为n．如果n＝3，再从这批产品中任取4件作检验，若都为优质品，则这批产品通过检验；如果n＝4，再从这批产品中任取1件作检验，若为优质品，则这批产品通过检验；其他情况下，这批产品都不能通过检验．假设这批产品的优质品率为50%，即取出的产品是优质品的概率都为，且各件产品是否为优质品相互独立．
（Ⅰ）求这批产品通过检验的概率；
（Ⅱ）已知每件产品检验费用为100元，凡抽取的每件产品都需要检验，对这批产品作质量检验所需的费用记为X（单位：元），求X的分布列及数学期望．
20．（2013•新课标Ⅰ）已知圆M：（x+1）2+y2＝1，圆N：（x﹣1）2+y2＝9，动圆P 与圆M外切并与圆N内切，圆心P的轨迹为曲线C．
（Ⅰ）求C的方程；
（Ⅱ）l是与圆P，圆M都相切的一条直线，l与曲线C交于A，B两点，当圆P 的半径最长时，求|AB|．
21．（2013•新课标Ⅰ）已知函数f（x）＝x2+ax+b，g（x）＝e x（cx+d），若曲线y＝f（x）和曲线y＝g（x）都过点P（0，2），且在点P处有相同的切线y＝4x+2．（Ⅰ）求a，b，c，d的值；
（Ⅱ）若x≥﹣2时，f（x）≤kg（x），求k的取值范围．
（二）选考题：共10分。

[选修4-4：坐标系与参数方程]
23．已知曲线C1的参数方程为（t为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ＝2sinθ．
（1）把C1的参数方程化为极坐标方程；
（2）求C1与C2交点的极坐标（ρ≥0，0≤θ＜2π）．
【选修4-5：不等式选讲】
24．已知函数f（x）＝|2x﹣1|+|2x+a|，g（x）＝x+3．
（Ⅰ）当a＝﹣2时，求不等式f（x）＜g（x）的解集；
（Ⅱ）设a＞﹣1，且当x∈[﹣，]时，f（x）≤g（x），求a的取值范围．
2012年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标）
三、解答题：共60分．
17．（2012•新课标Ⅰ）已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，acosC+ asinC ﹣b﹣c＝0
（1）求A；
（2）若a＝2，△ABC的面积为，求b，c．
18．（2012•新课标Ⅰ）某花店每天以每枝5元的价格从农场购进若干枝玫瑰花，然后以每枝10元的价格出售，如果当天卖不完，剩下的玫瑰花作垃圾处理．
（1）若花店一天购进16枝玫瑰花，求当天的利润y（单位：元）关于当天需求量n （单位：枝，n∈N）的函数解析式．
（2）花店记录了100天玫瑰花的日需求量（单位：枝），整理得如表：
日需求量n14 15 16 17 18 19 20 频数10 20 16 16 15 13 10
以100天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率．
（i）若花店一天购进16枝玫瑰花，X表示当天的利润（单位：元），求X的分布列、数学期望及方差；
（ii）若花店计划一天购进16枝或17枝玫瑰花，你认为应购进16枝还是17枝？请说明理由．
19．（2012•新课标Ⅰ）如图，直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AC＝BC＝AA1，D是棱AA1的中点，DC1⊥BD
（1）证明：DC1⊥BC；
（2）求二面角A1﹣BD﹣C1的大小．
20．（2012•新课标Ⅰ）设抛物线C：x2＝2py（p＞0）的焦点为F，准线为l，A∈C，已知以F为圆心，F A为半径的圆F交l于B，D两点；
（1）若∠BFD＝90°，△ABD的面积为，求p的值及圆F的方程；
（2）若A，B，F三点在同一直线m上，直线n与m平行，且n与C只有一个公共点，求坐标原点到m，n距离的比值．
21．（2012•新课标Ⅰ）已知函数f（x）满足f（x）＝f′（1）e x﹣1﹣f（0）x+x2；（1）求f（x）的解析式及单调区间；
（2）若，求（a+1）b的最大值．
（二）选考题：共10分。

[选修4-4：坐标系与参数方程]
23．已知曲线C1的参数方程是（φ为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立坐标系，曲线C2的坐标系方程是ρ＝2，正方形ABCD的顶点都在C2上，且A，B，C，D依逆时针次序排列，点A的极坐标为（2，）．（1）求点A，B，C，D的直角坐标；
（2）设P为C1上任意一点，求|P A|2+|PB|2+|PC|2+|PD|2的取值范围．
【选修4-5：不等式选讲】
24．已知函数f（x）＝|x+a|+|x﹣2|
①当a＝﹣3时，求不等式f（x）≥3的解集；
②f（x）≤|x﹣4|若的解集包含[1，2]，求a的取值范围．
2011年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标）
三、解答题（满分60分）
17．（2011•新课标Ⅰ）等比数列{a n}的各项均为正数，且2a1+3a2＝1，a32＝9a2a6，（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；
（Ⅱ）设b n＝log3a1+log3a2+…+log3a n，求数列{}的前n项和．
18．（2011•新课标Ⅰ）如图，四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为平行四边形，∠DAB＝60°，AB＝2AD，PD⊥底面ABCD．
（Ⅰ）证明：P A⊥BD；
（Ⅱ）若PD＝AD，求二面角A﹣PB﹣C的余弦值．
19．（2011•新课标Ⅰ）某种产品的质量以其质量指标值衡量，质量指标值越大表明质量越好，且质量指标值大于或等于102的产品为优质品，现用两种新配方（分别称为A配方和B配方）做试验，各生产了100件这种产品，并测量了每件产品的质量指标值，得到下面试验结果：
A配方的频数分布表
指标值分组[90，94）[94，98）[98，102） [102，106） [106，110] 频数8 20 42 22 8
B配方的频数分布表
指标值分组[90，94）[94，98）[98，102） [102，106） [106，110] 频数 4 12 42 32 10
（Ⅰ）分别估计用A配方，B配方生产的产品的优质品率；
（Ⅱ）已知用B配方生成的一件产品的利润y（单位：元）与其质量指标值t的关系式为y＝
从用B配方生产的产品中任取一件，其利润记为X（单位：元），求X的分布列及数学期望．（以试验结果中质量指标值落入各组的频率作为一件产品的质量指标值落入相应组的概率）
20．（2011•新课标Ⅰ）在平面直角坐标系xOy中，已知点A（0，﹣1），B点在直线y＝﹣3上，M点满足∥，＝•，M点的轨迹为曲线C．（Ⅰ）求C的方程；
（Ⅱ）P为C上的动点，l为C在P点处的切线，求O点到l距离的最小值．
21．（2011•新课标Ⅰ）已知函数f（x）＝+，曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为x+2y﹣3＝0．
（Ⅰ）求a、b的值；
（Ⅱ）如果当x＞0，且x≠1时，f（x）＞+，求k的取值范围．
（二）选考题：共10分。

[选修4-4：坐标系与参数方程]
23．在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（α为参数）M是C1上的动点，P点满足＝2，P点的轨迹为曲线C2
（Ⅰ）求C2的方程；
（Ⅱ）在以O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线θ＝与C1的异于极点的交点为A，与C2的异于极点的交点为B，求|AB|．
【选修4-5：不等式选讲】
24．设函数f（x）＝|x﹣a|+3x，其中a＞0．
（Ⅰ）当a＝1时，求不等式f（x）≥3x+2的解集
（Ⅱ）若不等式f（x）≤0的解集为{x|x≤﹣1}，求a的值．
2010年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标）
三、解答题（满分60分）
17．（2010•新课标Ⅰ）设数列满足a1＝2，a n+1﹣a n＝3•22n﹣1
（1）求数列{a n}的通项公式；
（2）令b n＝na n，求数列{b n}的前n项和S n．
18．（2010•新课标Ⅰ）如图，已知四棱锥P﹣ABCD的底面为等腰梯形，AB∥CD，AC⊥BD，垂足为H，PH是四棱锥的高，E为AD中点
（Ⅰ）证明：PE⊥BC
（Ⅱ）若∠APB＝∠ADB＝60°，求直线P A与平面PEH所成角的正弦值．
19．（2010•新课标Ⅰ）为调查某地区老年人是否需要志愿者提供帮助，用简单随机抽样方法从该地区调查了500位老年人，结果如表：
性别
男女
是否需要志愿者
需要40 30
不需要160 270
（1）估计该地区老年人中，需要志愿者提供帮助的比例；
（2）能否有99%的把握认为该地区的老年人是否需要志愿者提供帮助与性别有关？（3）根据（2）的结论，能否提出更好的调查方法来估计该地区的老年人中需要志愿者提供帮助的老年人比例？说明理由．
P（K2≥k）0.050 0.010 0.001
3.841 6.635 10.828
附：K2＝．
20．（2010•新课标Ⅰ）设F1，F2分别是椭圆的左、右焦点，
过F1斜率为1的直线ℓ与E相交于A，B两点，且|AF2|，|AB|，|BF2|成等差数列．（1）求E的离心率；
（2）设点P（0，﹣1）满足|P A|＝|PB|，求E的方程．
21．（2010•新课标Ⅰ）设函数f（x）＝e x﹣1﹣x﹣ax2．（1）若a＝0，求f（x）的单调区间；
（2）若当x≥0时f（x）≥0，求a的取值范围．
（二）选考题：共10分。

[选修4-4：坐标系与参数方程]
23．已知直线C1（t为参数），C2（θ为参数），
（Ⅰ）当α＝时，求C1与C2的交点坐标；
（Ⅱ）过坐标原点O做C1的垂线，垂足为A，P为OA中点，当α变化时，求P 点的轨迹的参数方程，并指出它是什么曲线．
【选修4-5：不等式选讲】
24．设函数f（x）＝|2x﹣4|+1．
（Ⅰ）画出函数y＝f（x）的图象：
（Ⅱ）若不等式f（x）≤ax的解集非空，求a的取值范围．。