对数函数及其图像与性质的应用
对数函数及其性质课件ppt
统计学
决策理论
在决策理论中，对数函数用于构建效 用函数，以评估不同选项的风险和收 益。
在统计学中，对数函数用于描述概率 分布，如泊松分布和二项分布。
05 练习与思考
基础练习题
01
02
03
04
基础练习题1
请计算以2为底9的对数。
基础练习题2
请计算以3为底8的对数。
基础练习题3
请计算以10为底7的对数奇函数也不是偶 函数。
周期性
• 无周期性：对数函数没有周期性，因为其图像不会重复出 现。
03 对数函数的运算性质
换底公式
总结词
换底公式是用来转换对数的底数的公 式，它对于解决对数问题非常有用。
详细描述
换底公式是log_b(a) = log_c(a) / log_c(b)，其中a、b、c是正实数，且b 和c都不等于1。通过换底公式，我们可 以将对数函数转换为任意底数的对数函 数，从而简化计算过程。
图像绘制
对数函数的图像通常在直角坐标系 中绘制，随着底数$a$的取值不同， 图像的形状和位置也会有所变化。
单调性
单调递增
当底数$a > 1$时，对数函数是单调递增的，即随着$x$的增 大，$y$的值也增大。
单调递减
当$0 < a < 1$时，对数函数是单调递减的，即随着$x$的增 大，$y$的值减小。
对数函数的乘法性质
总结词
对数函数的乘法性质是指当两个对数 函数相乘时，其结果的对数等于两个 对数函数分别取对数后的积。
详细描述
对数函数的乘法性质公式为log_b(m) * log_b(n) = log_b(m * n)，其中m 和n是正实数。这个性质在对数运算 中也非常有用，因为它可以简化对数 的计算过程。
对数函数及其应用对数函数的性质与应用
对数函数及其应用对数函数的性质与应用对数函数是数学中常见的一类函数，具有广泛的应用价值。
本文将介绍对数函数的性质和应用，并探讨其在实际问题中的具体运用。
一、对数函数的性质对数函数是以常数e（欧拉数）为底的指数函数的逆运算。
对数函数的一些基本性质如下：1. 定义域和值域：对数函数的定义域为正实数集，值域为实数集。
2. 对数函数与指数函数的互为反函数关系：对数函数与指数函数是互为反函数的关系，即$log_a(a^x)=x$，$a^{log_a(x)}=x$。
3. 对数函数的增减性：对数函数是递增函数，即$log_a(x)<log_a(y)$成立当且仅当$x<y$。
4. 对数函数的图像：对数函数的图像通常为一条上升曲线，随着自变量的增大，函数值也相应增大，但增长速度逐渐减缓。
二、对数函数的应用对数函数在各个领域都有重要的应用，在以下几个方面具有特别的价值：1. 指数增长和衰减模型：对数函数可以描述许多具有指数增长和衰减的现象，例如人口增长、物种繁殖、放射性衰变等。
通过对数函数的分析，可以预测和控制这些现象的发展趋势。
2. 财务和利息计算：对数函数在金融领域中有广泛的应用，例如计算复利、评估投资回报率等。
对数函数可以帮助我们理解时间价值的概念，为财务决策提供重要的依据。
3. 数据压缩和编码：对数函数可以用于数据的压缩和编码，减少存储空间的占用和传输成本。
常见的压缩算法中就包括对数函数的运算，例如对数编码、哈夫曼编码等。
4. 检测与测量：对数函数在物理测量和数据处理中有广泛应用，例如声音强度的测量（分贝）、地震强度的测量（里氏震级）等。
对数函数使得我们能够更好地处理海量的测量数据，提高数据处理的效率和准确性。
结论对数函数是数学中的重要内容，具有广泛的应用领域。
通过对对数函数的性质和应用的了解，我们可以更好地理解和运用数学知识，解决实际问题。
对数函数的应用远不止以上几个方面，不同领域中还有许多其他实际问题可以通过对数函数的运算和分析来解决。
对数函数的性质与应用
对数函数的性质与应用对数函数是数学中非常重要的一类函数，具有许多独特的性质和广泛的应用。
本文将介绍对数函数的性质以及它在各个领域中的应用。
1. 对数函数的定义和基本性质对数函数是指以某个常数为底数的对数函数，常用的底数有自然对数（e）和常用对数（以10为底）。
我们以自然对数为例进行讨论。
自然对数函数可表示为y = ln(x)，其中ln表示自然对数。
自然对数的底数e是一个常数，约等于2.71828。
对数函数的定义域为正实数集合，值域为实数集合。
对数函数的基本性质如下：- 对于任意正实数x和y，ln(xy) = ln(x) + ln(y)- 对于任意正实数x和任意实数a，ln(x^a) = a·ln(x)- 对于任意正实数x和y，如果ln(x) = ln(y)，那么x = y这些性质使得对数函数在数学计算和推导中非常实用。
2. 对数函数的图像和特点对数函数的图像呈现一种特殊的曲线形状。
当x > 1时，ln(x)的值随x的增大而增大，但增速逐渐减慢；当0 < x < 1时，ln(x)的值随x 的减小而增大，但增速同样逐渐减慢。
这意味着对数函数具有递增但是收敛的特点。
对数函数的图像还有一条重要的特点是它在x轴上有一个渐近线。
即当x趋近于0时，ln(x)趋近于负无穷大；当x趋近于正无穷大时，ln(x)趋近于正无穷大。
3. 对数函数在解决实际问题中的应用对数函数在各个领域中都有广泛的应用。
以下是几个常见的应用场景：3.1 财务和投资分析对数函数可以用于计算复利和增长率。
当对数函数应用于财务和投资分析时，可以帮助我们计算资金的增长趋势、比较投资回报率，并进行有效的资金管理。
3.2 科学研究和数据分析在科学研究和数据分析中，对数函数可用于处理非线性情况下的数据。
对于呈现指数增长或指数衰减的数据，可以通过对数变换来线性化处理，方便进行统计分析和模型建立。
3.3 生物学和医学领域在生物学和医学研究中，对数函数广泛应用于描述生长曲线、酶动力学、药物代谢和毒性等。
对数函数的性质与应用 课件
y是自变量，x是y的函数， 定义域y∈(0, ＋∞)，
2. y＝ax
x是自变量，y是x的函数， 定义域x∈R，值域y∈(0, ＋∞).
x＝logay
y是自变量，x是y的函数， 定义域y∈(0, ＋∞)，值域
2. y＝ax
x是自变量，y是x的函数， 定义域x∈R，值域y∈(0, ＋∞).
x＝logay
y是自变量，x是y的函数， 定义域y∈(0, ＋∞)，值域x∈R.
探讨1: 所有函数都有反函数吗？为什么？
探讨1: 所有函数都有反函数吗？为什么？
探讨2: 互为反函数定义域、值域的关系 是什么?
探讨1: 所有函数都有反函数吗？为什么？
探讨2: 互为反函数定义域、值域的关系 是什么?
x＝logay
2. y＝ax
x是自变量，y是x的函数， 定义域x∈R，值域y∈(0, ＋∞).
x＝logay
y是自变量，x是y的函数，
2. y＝ax
x是自变量，y是x的函数， 定义域x∈R，值域y∈(0, ＋∞).
x＝logay
y是自变量，x是y的函数， 定义域y∈
2. y＝ax
x是自变量，y是x的函数， 定义域x∈R，值域y∈(0, ＋∞).
题型一：对数型函数的过定点问题
性质：对数函y数 loga x(a 0，且a 1)
恒过定点（1,0）.
例1：函数y loga (3x 2) 5(a 0且a 1)的图象恒过定点
解：令3x+2=1,则x=- 1 , y 5. 3
所以函数的图象恒过定点(- 1 , 5). 3
.
(3, 3),
ts . v
2. y＝ax
2. y＝ax
对数函数的性质与图像(对数函数图像及其性质的应用)(课件)-高一数学(人教B版2019必修第二册)
a>1
时，f(x)＝loga
x＋1 x－1
的单调递减区间为(－∞，－1)，(1，＋∞)，无单调递增区间；当 0<a<1 时，f(x)
＝loga xx＋－11的单调递增区间为(－∞，－1)，(1，＋∞)，无单调递减区间.
课堂练习 【训练 1】若 a＝20.2，b＝log43.2，c＝log20.5，则( ) A.a>b>c B.b>a>c C.c>a>b D.b>c>a
课堂总结
对数型函数 y＝logaf(x)性质的研究
(1)定义域：由 f(x)>0 解得 x 的取值范围，即为函数的定义域. (2)值域：在函数 y＝logaf(x)的定义域中先确定 t＝f(x)的值域，再由 y＝logat 的单调性确定函数的值域.
(3)单调性：在定义域内考虑 t＝f(x)与 y＝logat 的单调性，根据同增异减法 则判定(或运用单调性定义判定).
(1)定义域：由 f(x)>0 解得 x 的取值范围，即为函数的定义域. (2)值域：在函数 y＝logaf(x)的定义域中先确定 t＝f(x)的值域，再由 y＝logat 的单调性确定函数的值域.
(3)单调性：在定义域内考虑 t＝f(x)与 y＝logat 的单调性，根据同增异减法 则判定(或运用单调性定义判定).
常见题型：解对数不等式 【典例】若－1<loga34<1(a>0 且 a≠1)，求实数 a 的取值范
围. 【解析】∵－1<loga34<1，∴loga1a<loga34<logaa.
当 a>1 时，0<1a<34<a，则 a>43；当 0<a<1 时，1a>34>a>0，
对数函数的相关性质与应用
对数函数的相关性质与应用对数函数是数学中常见的一类函数，它在各个领域中具有广泛的应用。
本文将介绍对数函数的相关性质与应用。
从数学定义、性质、图像和实际应用方面进行探讨，并给出一些具体例子。
一、数学定义与性质对数函数是指以某个正实数为底的对数函数，常见的有以10为底的常用对数函数(log)和以e为底的自然对数函数(ln)。
常用对数函数可以表示为log(x)，自然对数函数可以表示为ln(x)。
对数函数具有以下基本性质：1. 对数函数的定义域与值域：对数函数的定义域是正实数集合R+，值域是实数集合R。
2. 对数函数的性质：对数函数具有对数乘法法则和对数除法法则：- 对数乘法法则：log(ab) = log(a) + log(b)- 对数除法法则：log(a/b) = log(a) - log(b)3. 对数函数的性质：对数函数具有对称性与严格递增性。
- 对称性：log(a) = -log(1/a)- 严格递增性：当a>b时，log(a)>log(b)二、图像与性质对数函数在坐标系中的图像呈现出独特的特点。
常用对数函数的图像是逐渐上升的曲线，自然对数函数的图像是逐渐下降的曲线。
对数函数的图像有以下性质：1. 图像的对称轴与对称性：常用对数函数的图像关于y轴对称，自然对数函数的图像关于原点对称。
2. 图像的渐进线：常用对数函数的图像有两条渐进线，y轴是其中一条渐进线，x=0是另一条渐进线；自然对数函数的图像有一条渐进线，x=0。
3. 图像的特殊点：常用对数函数的图像在x=1处有一个特殊点，自然对数函数的图像在x=e处有一个特殊点。
三、应用举例对数函数在各个领域中都有广泛应用。
以下是一些具体的应用举例：1. 财务领域：对数函数在复利计算中起到重要作用。
通过对数函数，我们可以计算复利的增长速率和复利的期间。
2. 化学领域：对数函数在酸碱度(pH)的计算中使用。
pH值的定义是对数函数中浓度单位溶液的负对数。
对数函数图象与性质的综合应用-高中数学知识点讲解
对数函数图象与性质的综合应用1．函数的图象与图象的变换【函数图象的作法】函数图象的作法：通过如下 3 个步骤（1）列表；（2）描点；（3）连线．解题方法点拨：一般情况下，函数需要同解变形后，结合函数的定义域，通过函数的对应法则，列出表格，然后在直角坐标系中，准确描点，然后连线（平滑曲线）．命题方向：一般考试是以小题形式出现，或大题中的一问，常见考题是，常见函数的图象，有时结合函数的奇偶性、对称性、单调性知识结合命题．【图象的变换】1．利用描点法作函数图象其基本步骤是列表、描点、连线．首先：①确定函数的定义域；②化简函数解析式；③讨论函数的性质（奇偶性、单调性、周期性、对称性等）．其次：列表（尤其注意特殊点、零点、最大值点、最小值点、与坐标轴的交点等），描点，连线．2．利用图象变换法作函数的图象（1）平移变换：y＝f（x）a＞0，右移a 个单位（a＜0，左移|a|个单位）⇒y＝f（x﹣a）；y＝f（x）b＞0，上移b 个单位（b＜0，下移|b|个单位）⇒y＝f（x）+b．（2）伸缩变换：y＝f（x）y＝f（ωx）；y＝f（x）A＞1，伸为原来的A 倍（0＜A＜1，缩为原来的A 倍）⇒y＝Af（x）．（3）对称变换：y＝f（x）关于x 轴对称⇒y＝﹣f（x）；y＝f（x）关于y 轴对称⇒y＝f（﹣x）；y＝f（x）关于原点对称⇒y＝﹣f（﹣x）．（4）翻折变换：y＝f（x）去掉y 轴左边图，保留y 轴右边图，将y 轴右边的图象翻折到左边⇒y＝f（|x|）；y＝f（x）留下x 轴上方图将x 轴下方图翻折上去y＝|f（x）|．解题方法点拨1、画函数图象的一般方法（1）直接法：当函数表达式（或变形后的表达式）是熟悉的基本函数或解析几何中熟悉的曲线时，可根据这些函数或曲线的特征直接作出．（2）图象变换法：若函数图象可由某个基本函数的图象经过平移、翻折、对称得到，可利用图象变换作出，但要注意变换顺序，对不能直接找到熟悉函数的要先变形，并应注意平移变换与伸缩变换的顺序对变换单位及解析式的影响．（3）描点法：当上面两种方法都失效时，则可采用描点法．为了通过描少量点，就能得到比较准确的图象，常常需要结合函数的单调性、奇偶性等性质讨论．2、寻找图象与函数解析式之间的对应关系的方法（1）知图选式：①从图象的左右、上下分布，观察函数的定义域、值域；②从图象的变化趋势，观察函数的单调性；③从图象的对称性方面，观察函数的奇偶性；④从图象的循环往复，观察函数的周期性．利用上述方法，排除错误选项，筛选正确的选项．（2）知式选图：①从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置；②从函数的单调性，判断图象的变化趋势；③从函数的奇偶性，判断图象的对称性．④从函数的周期性，判断图象的循环往复．利用上述方法，排除错误选项，筛选正确选项．注意联系基本函数图象和模型，当选项无法排除时，代特殊值，或从某些量上寻找突破口．3、（1）利有函数的图象研究函数的性质从图象的最高点、最低点，分析函数的最值、极值；从图象的对称性，分析函数的奇偶性；从图象的走向趋势，分析函数的单调性、周期性等．（2）利用函数的图象研究方程根的个数有关方程解的个数问题常常转化为两个熟悉的函数的交点个数；利用此法也可由解的个数求参数值．4、方法归纳：（1）1 个易错点﹣﹣图象变换中的易错点在解决函数图象的变换问题时，要遵循“只能对函数关系式中的x，y 变换”的原则，写出每一次的变换所得图象对应的解析式，这样才能避免出错．（2）3 个关键点﹣﹣正确作出函数图象的三个关键点为了正确地作出函数图象，必须做到以下三点：①正确求出函数的定义域；②熟练掌握几种基本函数的图象，如二次函数、反比例函数、指数函数、对数函数、幂函数、形如y＝x+的函数；③掌握平移变换、伸缩变换、对称变换、翻折变换、周期变换等常用的方法技巧，来帮助我们简化作图过程．（3）3 种方法﹣﹣识图的方法对于给定函数的图象，要能从图象的左右、上下分布范围、变化趋势、对称性等方面来获取图中所提供的信息，解决这类问题的常用方法有：①定性分析法，也就是通过对问题进行定性的分析，从而得出图象的上升（或下降）的趋势，利用这一特征来分析解决问题；②定量计算法，也就是通过定量的计算来分析解决问题；③函数模型法，也就是由所提供的图象特征，联想相关函数模型，利用这一函数模型来分析解决问题．2．对数函数图象与性质的综合应用【知识点归纳】1、对数函数的图象与性质：a＞1 0＜a＜1图象定义域（0，+∞）值域R定点过点（1，0）单调性在（0，+∞）上是增函数在（0，+∞）上是减函数函数值正当x＞1 时，y＞0；当 0＜x 当x＞1 时，y＜0；当 0＜x负＜1，y＜0 ＜1 时，y＞02、由对数函数的图象确定参数的方法已知对数型函数的图象研究其解析式及解析式中所含参数的取值范围问题，通常是观察图象，获得函数的单调性、对称性、奇偶性、经过的特殊点等，由此确定函数解析式以及其中所含参数的取值范围．【解题方法点拨】1、4 种方法﹣﹣解决对数运算问题的方法（1）将真数化为底数（或已知对数的数）的幂的积，再展开；（2）将同底对数的和、差、倍合并；（3）利用换底公式将不同底的对数式转化成同底的对数式，要注意换底公式的正用、逆用及变形应用；（4）利用常用对数中的lg2 lg5＝1．2、3 个基本点﹣﹣对数函数图象的三个基本点（1）当a＞1 时，对数函数的图象“上升”；当 0＜a＜1 时，对数函数的图象“下降”．1（2）对数函数y＝log （x a＞0，且a 1）的图象过定点（1，0），且过点（a，1），（，﹣1）函数图象只在第a푎一、四象限．3、2 个应用﹣﹣对数函数单调性的应用（1）比较对数式的大小：①若底数为同一常数，则可由对数函数的单调性直接进行判断；若底数为同一字母，需对底数进行分类讨论．②若底数不同，真数相同，则可以先用换底公式化为同底后，再进行比较．③若底数与真数都不同，则常借助 1，0 等中间量进行比较．（2）解对数不等式：形如log x＞log b 的不等式，借助y＝log x 的单调性求解，如果a 的取值不确定，需分a＞1 与 0＜a＜1 两种情a a a况讨论．形如log x＞b的不等式，需先将b 化为以a 为底的对数式的形式．a。
对数函数的图象及性质应用【课件】
二、对数函数的图象与性质
1.对数函数的图象
请在下列给出的平面直角坐标系中分别画出0＜a＜1和a＞1时
的对数函数的图象
0<a<1
a>1
2.对数函数y=logax(a>0,且a≠1)的性质
定义域
_(_0_,_+_∞__)_
值域
_R_
定点
_(_1_,_0_)_,即x=_1_时,y=_0_
单调性 当0<a<1时,y=logax在_(_0_,_+_∞__)_上是_减__函__数__ 当a>1时,y=logax在_(_0_,_+_∞__)_上是_增__函__数__
【知识点拨】 1.对数函数概念的理解 (1)对数函数的概念与指数函数类似，都是形式化定义，如 y=log2(x-1)，y=logx52 都不是对数函数，可称其为对数型函数. (2)由指数式与对数式的关系知：对数函数的自变量x恰好是 指数函数的函数值y，所以对数函数的定义域是(0,+∞).
2.对数函数图象和性质的关系
判断：(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)对数函数的图象一定在y轴右侧.( ) (2)对数函数y=logax(a>0,且a≠1)在(0，+∞)上是增函数.( ) (3)当a>1时，若x>1,则logax>0.( )
提示：(1)正确.通过a>1和0<a<1时的对数函数的图象可知, 对数函数的图象一定在y轴右侧. (2)错误.当a>1时，对数函数y=logax在(0，+∞)上是增函数； 当0<a<1时，对数函数y=logax在(0，+∞)上是减函数. (3)正确.当a>1时，对数函数y=logax在(0，+∞)上是增函数， 若x>1,则logax>loga1=0. 答案：(1)√ (2)× (3)√
对数函数的图像和性质应用(2)
(1)求函数y log a f ( x)的定义域(即f ( x) 0的解集)；
练习1.求下列函数的单调区间： (1)y=lg|x|; (2)y=log0.6(4-x2); (3) y=lg(x+1)-lg(x-1) (4)y=|log2x|; （5）y=loga(ax-1) (a>0,a≠1)
2
1 底数2改成 呢？ 2
函数y log a f ( x)与函数f ( x)的单调性关系如下： 当a 1时，函数y log a f ( x)与 log a f ( x)与函数f ( x)单调性相反；
求函数y log a f ( x)的单调区间步骤如下：
4.函数f ( x) log a | x b | 在3， 上单调递增， 求a，b的取值范围。
5.若函数y=log2(x2-ax-a)在区间（2，+∞）上是 增函数，求a的取值范围。
1 x 例4：已知函数f ( x) log a (a 0且a 1) 1 x （1）求函数的定义域； (3)判断函数的单调性，并证明； (4) f ( x) log a 2, 求的取值x范围.
对数函数的性质应用(2)
对数函数y=log a x (a>0, a≠1)
a>1 图 象
o y (1, 0) x y o
0<a<1
（1, 0)
x
(1) 定义域： (0,+∞) 性 (2) 值域：R (3) 过点(1,0), 即x=1 时, y=0 (4) 0<x<1时, y<0; (4) 0<x<1时, y>0; x>1时, y<0
对数函数的应用
对数函数的应用对数函数是高中数学中的一个重要概念，它在各个领域都有广泛的应用。
本文将介绍对数函数的定义、性质以及其在实际问题中的应用。
1. 对数函数的定义与性质对数函数常用以log表示，loga(x)表示以a为底，x的对数。
其中，a为正实数且不等于1，x为正实数。
对数函数有以下几个重要性质：1.1 对数的基本性质对数函数满足乘法公式和除法公式，即loga(xy) = loga(x) + loga(y)以及loga(x/y) = loga(x) - loga(y)。
这两个公式在简化计算和推导时非常有用。
1.2 对数函数与指数函数的关系对数函数与指数函数是互逆的关系，即loga(a^x) = x，同时a^loga(x) = x。
这个性质使得对数函数在解指数方程和指数函数求解中发挥了重要作用。
1.3 对数函数的图像特点对数函数的图像呈现出一个特殊的形态，即对数函数的图像在(0,1)区间内逐渐变陡，超过x=1后逐渐平缓并逼近于x轴。
这种特殊的图像特点与对数函数的性质密切相关。
2. 对数函数在实际问题中的应用2.1 指数增长问题对数函数在指数增长问题中具有重要应用，例如在生物学领域中，对数函数可以用来描述细菌、病毒等生物种群的增长规律。
同时，对数函数也可以用来描述金融领域中的利息计算、投资增长等问题。
2.2 信号处理与通信在数字信号处理和通信领域，对数函数常用于描述信号的强度、功率等概念。
例如，在光通信中，对数函数可以用来计算信号的光强度以及信号的损耗情况。
2.3 复利计算在金融和理财领域中，对数函数常用于复利计算。
复利是指在一定时间内，本金以及之前利息再次获得利息，通过对数函数的计算可以方便地计算出未来的资金积累情况。
2.4 数据压缩与编码对数函数在数据压缩和编码领域中发挥着重要的作用。
通过将数据转换为对数形式，可以提高数据的压缩效率，减少存储空间的占用。
3. 总结对数函数作为数学中一种重要的函数形式，在各个领域中都有广泛的应用。
对数函数的性质与应用
对数函数的性质与应用数学中，对数函数作为一种重要的数学工具，具有广泛的性质和应用。
本文将探讨对数函数的性质以及其在实际问题中的应用。
一、对数函数的定义与基本性质对数函数是指满足以下方程的函数：y = logₐ x，其中 a 为正实数且不等于 1，x 和 y 均为正实数。
对数函数以对数的形式表达了指数运算的逆运算。
1.1 对数函数的定义域和值域对数函数的定义域为正实数集合，值域为实数集合。
1.2 对数函数的图像特征以y = logₐ x 为例，当 a>1 时，对数函数图像表现为从左下到右上的增长趋势；当 0<a<1 时，对数函数图像表现为从左上到右下的递减趋势。
对数函数的图像具有光滑连续、单调性等特点。
1.3 对数函数的性质（1）对数函数具有唯一性，即不同的底数 a 决定了不同的对数函数。
（2）对数函数具有对称性，即logₐx 和logₐ(1/x) 关于 y 轴对称。
（3）对数函数具有换底公式，即logₐx = logₐy / logₐa。
二、对数函数的应用对数函数在实际问题中有广泛的应用，涵盖了数学、科学、经济等领域。
下面将介绍对数函数在几个具体应用中的作用。
2.1 对数函数在指数运算的求解中的应用对数函数可以用来解决指数运算中的未知数问题。
例如，求解方程a^x = b，可以通过将其转化为logₐ b = x 的形式，从而利用对数函数求得未知数 x 的值。
2.2 对数函数在复利计算中的应用复利是指在一定时间内，资金按一定利率计算利息后再加入本金中进行下一次利息计算的方式。
对数函数可以用来计算复利的增长速度和时间。
例如，利息年限为 t 年，复利率为 r，本金为 P 元，则最终金额为 P(1+r)^t。
借助对数函数，可以求解出复利率 r 或者时间 t。
2.3 对数函数在数据处理中的应用对数函数在数据处理过程中起到重要的作用。
例如，在统计学中，经常会遇到数据范围过大时难以直观表示的问题。
对数函数的图象及性质的应用
函数f(x)＝|log4x|的图象大致是( A )
【解析】 先作出函数f(x)＝log4x的图象，然后把x轴下方的图象 翻到x轴上方即得函数f(x)＝|log4x|的图象，故选A.
函数f(x)＝ln (x2＋1)的图象大致是( A )
【解析】 因为x∈R，f(－x)＝ln [(－x)2＋1]＝ln (x2＋1)＝f(x)， 所以该函数为偶函数，排除选项C；又f(0)＝0，排除选项B， D.故选A.
－1
＝－f(x)，所以函数 y＝ln
3－x 3＋x
是奇函
数．
若函数 y＝1a x 与 y＝logbx 互为反函数，a>0，且 a≠1，b>0， 且 b≠1，则 a 与 b 的关系为( A )
A．ab＝1 C．a＝b
B．a＋b＝1 D．a－b＝1
【解析】 y＝logbx 的反函数为 y＝bx，所以函数 y＝bx 与函数 y ＝a1 x 是同一个函数，所以 b＝1a ，即 ab＝1.故选 A.
已知函数y＝logax(a>0，且a≠1)，当x∈[3，9]时，函数的最大
值比最小值大1，则a＝___3_或__13____．
【解析】 当 0<a<1 时，函数 y＝logax 在[3，9]上单调递减， 由题意得 loga3－loga9＝loga13 ＝1，所以 a＝13 ； 当 a>1 时，函数 y＝logax 在[3，9]上单调递增，由题意得 loga9－loga3＝loga3＝1，所以 a＝3.综上可知 a＝13 或 3.
________________法则判定(或运用单调性定义判定). 4．奇偶性：根据奇偶函数的定义判定． 5．最值：在f(x)>0的条件下，确定t＝f(x)的值域，再根据a确定
对数函数图象及性质的应用
对数函数的定义 对数函数的图象和性质 比较两个对数值的大小
1.对数函数定义: y = log a x ( a＞0 且 a ≠1 ). 2.对数函数的图象与性质：
函数 y = log a x ( a＞0 且 a≠1 )
底数
y
a＞1
0＜a＜1
y 1
图象
值分布 当 x＞1 时，y＞0 当 0＜x ＜1 时， y＜0
例1: （1）比较
方法一：借助对数函数图象进行比较
log0.1 3
与 log0.2 3 的大小
y y=1 (1,0) 0 3 x
log0.1 3 > log0.2 3
方法二：用换底公式
log3 0.1 log3 0.2 0,
log0.1 3 log0.2 3.
1 1 . log3 0.1 log3 0.2 y= log 0.2x 1 1 又 log0.1 3 , log0.2 3 ， log3 0.1 log3 0.2
1 l og0.8 0.2 1 l og0.8 0.3
1 1 , log 7 2 log 7 3
∴ log 0.2.0.8 ＜ log 0.3 0.8.
(4). 求下列函数的定义域。
x （ 1.）y log ( x 1) (16 4 )
x 1 0且x 1 1 解：由 得 1 x 2且x 0 x 16 4 0
y= log 0.1x
练习（2） log 2 7 与 log 3 7 解:∵ log 7 3＞log 7 2＞0, ∴ log 2 7 ＞ log 3 7. （3） log 0 . 2 0 . 8 与 log 0 . 3 0 . 8 解:∵ log 0. 8 0.2 ＞log 0 . 8 0.3, 且 log 0.8 0.2 , log 0 . 8 0.3＞0,
对数函数的性质与应用课件
函数的除法性质
总结词
对数函数的除法性质是指当两个对数函数相 除时，其对应的对数值也相除。
详细描述
设函数$f(x) = log_a(x)$和$g(x) = log_a(x)$，若$f(x) / g(x) = log_a(x) / log_a(x) = log_a(frac{1}{x})$，则对数函数 的除法性质成立。
对数在数学中有着广泛的应用，例如 在求解复合函数、反函数、幂函数等 问题时，对数函数可以提供一种简便 的解决方法。
在几何学中，对数函数可以用于研究 几何图形的面积、体积等方面的问题 。
在数学分析中，对数函数可以用于研 究函数的单调性、奇偶性、周期性等 性质，以及求解函数的极限、导数和 积分等。
对数在物理中的应用
图像的平移与伸缩
要点一
总结词
对数函数图像的平移和伸缩规律是重要的数学性质。
要点二
详细描述
对数函数图像的平移规律包括向上或向下平移，伸缩规律 则包括横向和纵向的拉伸或压缩。这些变换规律可以通过 代数表达式来描述，并应用于解决实际问题。
图像的对称性分析
总结词
对数函数图像的对称性分析有助于理解函数的性质。
在金融领域中，对数函数还可以用于评估投资组合的风险 和回报率，以及制定投资策略和资产配置方案等。
04
对数函数与其他函数的关 系
对数函数与指数函数的关系
互为反函数
对数函数和指数函数是一对互为反函 数的函数，即如果有一个对数函数f(x) = log(a)(x)，那么它的反函数就是指 数函数f^(-1)(x) = a^x。
性质关系
对数函数和幂函数之间有一些重要的性质关 系，例如对数函数的换底公式和幂函数的乘 法法则等。这些性质关系在对数函数和幂函
对数函数的图像和性质课件
(1)求 a 的值；
(2)试说明 f(x)在区间(1，＋∞)内单调递增；
(3)若对于区间[3,4]上的每一个 x 值，不等式
f(x)＞(12)x＋m 恒成立，求实数 m 的取值范围．
又∵对任意x∈[3，4]时，gx＞m， 即log12xx＋－11－12x＞m恒成立， ∴m＜－98，即所求m的取 值范围是(－∞，－98).12 分
3分类讨论当a＞1时,函数y＝logax在定义域 上是增函数,则有logaπ＞loga3.141； 当0＜a＜1时,函数y＝logax在定义域上是减
函数,则有logaπ＜loga3.141.
综上所得,当a＞1时,logaπ＞loga3.141； 当0＜a＜1时,logaπ＜loga3.141.
题型二 对数函数的图像
5．3 对数函数的图像和性质
学习目标
学习导航
重点难点
重点：对数函数y＝logax的图像性质．
难点：对数函数图像的变化及应用,指数函 数与对数函数之间的关系．
新 知 初 探 ·思 维 启 动
对数函数的图像和性质
研究对数函数y＝logaxa＞0且a≠1的图像
和性质,底数要分为_________和______a_＞__1两种
变式训练 1．比较下列各组中两个值的大小； 1log31.9,log32； 2log23,log0.32； 3logaπ,loga3.141.
解：1单调性法因为y＝log3x在0,＋∞上是增
函数,所以log31.9＜log32.
2中间量法因为log23＞log21＝0,log0.32＜0, 所以log23＞log0.32.
3．求下列函数的单调区间．
1y＝log0.3x2－2x－8； 2y＝log0.4x2－2log0.4x＋2. 解：1令t＝x2－2x－8,则y＝log0.3t在0,＋∞
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x
1 O
2
x
A.
B.
C.
D.
题醉了
一、典型例题 2 、与对数函数有关的不等式 2 例题 2 若 loga（a +1）<loga2a<0,则 a 的取值范 围是（
B
1 1 ）A.(0,1) B.( ,1) C.(0, 2 ) D.(1, ) 2
1 ( , ) 2
【变式训练】 （1 ）若 log0.5 （4x-1）<log0.52x, 则 x 的取值范围是 是
5 (2, ) 2
.
（2 ）若 log3（10-4x ）<log3 x,则 x 的取值范围 .
题醉了
【变式训练】 （3 ）已知函数 f(x)=lg(x+1), 解关于 x 的不等式 0<f(x+2)<1.
( 1, 7)
一、典型例题
题醉了
3 、与对数函数有关的奇偶性问题 例题 3 定义在 R 上的函数 f(x)=ln( 1 4x2 2x )是 （
谢谢观看！
题醉了
【变式训练】 （1 ）对于定义在 R 上的偶函数，f(x) 在[0， ）是 单调增函数，若 f(1)<f(lgx), 求 x 的取值范围.
x 1或x 1
（2 ）已知函数 f(x)=lg（ax +2x+1 ）. a 1 ①若函数 f(x)的定义域为 R，求实数 a 的取值范围； ②若函数 f(x)的值域为 R，求实数 a 的取值范围. 0 a1
一、典型例题 5 、与复合函数有关的问题 例题 5 1.判断下列函数的单调性并求单调区间. （1 ）y=lg(1-3x) （2 ）y=lg(x -3x+2)
2
题醉了
2. 已知关于 x 的函数 y=loga(2-ax) 在[0,1] 上是减函 数，求 a 的取值范围. a 1 2 【变式训练】 求函数 f(x)= log1 (x 2x 3) 的单调
题醉了
【变式训练】 （1 ）函数 f(x)=log2x 在区间[a,2a] 上 的最大值是最小值的 2 倍，则 a 的值为（
1 A. 2
2 B. 22 3ຫໍສະໝຸດ D）C. 2
D.2
（2 ）若函数 f(x)=log 1 (x ax 1) 的值域为 R ，则 实数 a 的取值范围是（B ） A.a<-2 或 a>2 C. 2 a 2 B.a -2 或 a 2 D. 2 a 2
图像分布 0 x 1 时， y 0 y0 x 1 时， 单调性
0 x 1 时， y 0 x 1 时， y 0
增函数
减函数
题醉了
一、典型例题 1 、对数函数图像的应用 例题 1 函数 f(x)=ln|x-1| 的图像大致是（
y y y y
B ）
-1 O
x
O
1
x
O 1
1-x
B. y 3x 1 C. y 7 N=（ A）
1 2x 3
D.log 2 (x-3)
2
（2 ）已知集合 M={x||x-1|<1},N={y|y=log 2(X + 2X+3)},则 M
A.{x| 1 x 2 }B.{x| 0 x 2 }C.{x| 1 x 2 } D.空集
2
区间.
( , 1),
(3, )
题醉了
一、典型例题 6 、综合问题 例题 6
1 x ( 1 x 1) 对于函数 f(x) lg 1 x 1 的值； ) 2013
.
（1 ）证明：f(x) 在定义域上为奇函数； （2 ）求 f( 1 ) f(
2013
（3 ）证明：f(x) 在(0,1) 上是单调减函数.
对数函数及其性质的
应用
学目标
1.巩固对数函数的图像与性质; 2.掌握对数函数的图像与性质的综合运用.
识梳理
一、对数函数的图像与性质
a (0,1)
y f(x)=log 1 x
2
a (1, )
y f(x)=log2x
图像
O
1
x
O
1
x
定义域 值域 过定点
(0, )
( , )
(1,0)
A
）
A. 奇函数 B.偶函数 C. 既奇又偶函数 D.非奇非偶函数
【变式训练】 （1 ）证明：f(x)=loga( x x2 1 ) 的 奇偶性.（2 ） 若 f(x)=log4(4 +1)-(k-1） x 为偶函数， 求 k 的值.
3 k 2
x
题醉了
一、典型例题 4 、与对数函数有关的最值（值域） 例题 4 （1）下列函数的值域是 (0, ) 的是（ A ） A. y=3
2
堂小结
1.熟悉对数函数的图像与性质； 2.图像与性质的理解与记忆，要以图像为基础，两者 相互相成；在应用函数的性质时，也是要尽可能的想 到或画出函数的图像，使得“具体”与“抽象”相结 合; 3.与指数函数的问题一样， 要注意分类讨论, 转化化归 等数学思想的运用.
业
1.《当代中学生报》第六期第三版——A 卷 2.《课时作业》P105——（十八）