第六章轴对称问题的有限单元法案例
八年级数学上册《轴对称中典型例题的解析》教案、教学设计
3.作业批改时，关注学生的解题思路和方法，及时给予反馈，提高学生的学习效果；
4.对作业完成情况进行总结，针对普遍性问题，在课堂上进行讲解和辅导；
5.鼓励学生按时完成作业，养成良好的学习习惯。
5.关注学生的学习兴趣和动机，激发他们主动探索轴对称知识的欲望，提高学习效果。
三、教学重难点和教学设想
（一）教学重点
1.轴对称的概念及其性质的理解与应用；
2.解决轴对称相关问题，提高解题能力和逻辑思维能力；
3.培养学生的空间想象能力和创新意识。
（二）教学难点
1.轴对称性质的灵活运用，尤其是对应点、线段、角度的求解；
4.通过轴对称在实际生活中的应用，使学生感受数学与生活的紧密联系，体会数学的实用价值；
5.培养学生的审美观念，级的学生已经具备了一定的数学基础，对几何图形有了初步的认识，掌握了基本的图形性质和分类。在此基础上，他们对轴对称的概念已有初步的了解，但可能对其性质和应用还不够熟悉。因此，在教学过程中，应关注以下几点：
c.强调知识整合，将轴对称知识与其它数学知识相联系，提高学生的综合运用能力；
d.重视学生反馈，及时调整教学策略，提高教学效果。
4.教学评价方面，关注以下几点：
a.形成性评价，关注学生在学习过程中的表现，鼓励学生积极参与、勇于表达；
b.总结性评价，通过课堂练习、课后作业和阶段测试，全面评估学生的学习成果；
1.学生对轴对称性质的掌握程度，针对性地进行教学，强化性质的理解和应用；
2.学生在解决问题时，可能存在思路不清晰、方法不熟练等问题，需引导他们运用轴对称性质进行问题分析，提高解题能力；
3.学生在小组合作学习中，可能存在交流不畅、协作不紧密等问题，需培养他们的团队协作能力和沟通技巧；
教学案例(轴对称)雷宏伟
教学案例：创设情景教学在初中数学教学中的运用八年级数学上册《轴对称》雷宏伟玛电学校中学理科组2011年11月21日创设情景教学在初中数学教学中的运用八年级数学上册《轴对称》2011年11月17日，我在电教室上八年级数学公开课《轴对称》，贯穿全课创设了几个小情景，联系教材与生活的实际。
既研究了我组的校本研修，又提高了学生的学习兴趣。
下面是教学中的案例：一、创设生活情境情景1：师：下面我们来看几幅图片，大家观察后回答下列问题：（投影仪打出）这些图形都是我们生活中的常见图形，它们有什么共同的特征？刘晓燕：它们是对称的，彭佳玉：它们关于某条直线对称，左右两边相等。
顾志新：左右两边完全重合。
马学业：它们关于某条直线对称，左右两边完全相等。
点评：在新课程理念下，学生的经验资源包括学生拥有的人类的间接经验、学生在生活中获取的直接经验。
学生经验资源构成学生课程资源的主体，是课程情境教学活动的重要基础。
任何教学活动都离不开学生的经验资源。
所以教师通过展示的图片，引发学生的好奇心，感受轴对称图形的美，从而创设良好的学习氛围。
充分运用了学生的生活经验资源。
情景2：老师：谁能举出几个生活中具有对称特征的物体，并与同伴交流。
连欣圆：教室里的桌子，马梦媛：教室里的门。
柯志博：黑板，人。
师：你能说出它们的对称轴吗？李雨雨：人是关于鼻子这条直线对称的。
杨培林：桌子是关于中间竖着的和横着的直线对称。
苏碧：教室里的门是关于中间的门缝对称的。
黑板和桌子一样也有两条对称轴。
正方形有四条对称轴。
师：生活中这样的例子很多，数学就在我们身边，我们就在学习生活中的数学。
点评：我们欣赏到了许多生活中的轴对称图案，看到了轴对称在实际生活中的广泛应用。
体会轴对称在日常生活中的广泛应用，并感受到了对称美。
感受到了数学的美。
二、创设实践情境和创设动画情境情景1：请同学们拿出纸，将一张纸对折后，用针尖在纸上扎出一个图案，将纸打开后铺平，观察所得到的图案，位于折痕两侧的部分有什么关系？与同伴交流。
三年级数学下册《轴对称》优秀教学案例
（一）情景创设
为了让学生更好地理解和掌握轴对称的概念，我将采用生活化的情景创设，引导学生从熟悉的生活中发现轴对称现象。例如，通过展示风筝、剪纸、建筑等具有轴对称特点的图片，让学生观察、讨论并总结轴对称图形的特征。此外，还可以利用多媒体课件动态演示轴对称的生成过程，使学生在视觉冲击中感知数学的美。
四、教学内容与过程
（一）导入新课
在导入新课阶段，我将以学生熟悉的生活场景为切入点，引发他们对轴对称现象的关注。首先，向学生展示一些生活中的轴对称图形，如窗户、蝴蝶、心形图案等，让学生观察并思考这些图形的共同特征。接着，提出问题：“你们在生活中还见过哪些具有这样特点的图形？”让学生举例分享，激发他们对轴对称的兴趣。
3.解决问题：设计一些实际问题，让学生运用轴对称的性质进行解决，如寻找隐藏在图形中的对称轴、判断复杂图形是否为轴对称图形等。
（四）总结归纳
在总结归纳阶段，我将带领学生回顾本节课的学习内容，总结轴对称的概念、性质和应用。通过以下方式帮助学生巩固知识：
1.口头提问：教师提问，学生回答，检验学生对轴对称知识的掌握程度。
（三）小组合作
小组合作学习有助于培养学生的合作精神和团队意识。在本章节的教学中，我将组织学生进行小组讨论、交流和分享。通过分组完成任务，如共同设计轴对称图案、探讨轴对称在实际生活中的应用等，让学生在合作中相互启发、互补优势，提高解决问题的能力。
（四）反思与评价
在教学过程中，我将引导学生进行自我反思和评价，以帮助他们总结学习经验，提高学习效率。具体措施如下：
4.多元化教学手段，提高学习效果
本案例采用多种教学手段，如多媒体展示、动手操作、合作学习等，丰富教学形式，提高学生的学习效果。同时，注重跨学科资源的整合，让学生在创作过程中感受数学与艺术的结合，提升综合运用知识的能力。
人教版数学八年级上册13.1轴对称优秀教学案例
3.学生通过自主探究和动手操作，培养独立思考和解决问题的能力，提高空间想象能力和逻辑思维能力。
（三）情感态度与价值观
1.学生通过学习轴对称图形，体验数学与生活的紧密联系，提高对数学学科的兴趣和热情。
2.学生在解决实际问题时，感受到数学的实用性和趣味性，培养积极的学习态度和自信心。
人教版数学八年级上册13.1轴对称优秀教学案例
一、案例背景
本节内容是“人教版数学八年级上册13.1轴对称”，这是学生在学习了平面几何基本概念和性质之后的一个进一步深入学习。轴对称图形是初中数学中的一个重要概念，它不仅可以帮助学生更好地理解图形的性质，还可以培养学生的空间想象能力和逻辑思维能力。
在实际教学中，我发现很多学生在学习轴对称时，往往只停留在记忆概念和性质的层面，而无法实践活动，体验和理解轴对称的内涵，提高他们的几何思维能力。
3.问题反思：在解决问题后，引导学生反思和总结，思考问题的本质和解决方法，提高学生的思维深度和批判性思维能力。
（三）小组合作
1.小组讨论：在学习轴对称图形的性质时，我会组织学生进行小组讨论，让学生分享自己的理解和发现，培养学生的团队合作能力和沟通能力。
2.小组合作：让学生以小组为单位，共同完成一些实践活动，如制作轴对称图形、解决实际问题等，培养学生的合作意识和解决问题的能力。
2.新课导入：介绍轴对称图形的定义和性质，让学生理解轴对称的基本概念。
3.实例分析：分析一些具体的轴对称图形，让学生通过观察、操作、思考，探索轴对称图形的性质。
4.实践操作：让学生自己动手做轴对称图形，培养学生的动手操作能力和空间想象能力。
5.总结提升：通过总结轴对称图形的性质，让学生掌握轴对称图形的基本知识。
轴对称教学案例
练习： 下面给出的每幅图形 答，并快速抢答
轴， 并找出一对对称点。 投影） （ 合作交流： 学生根据两组图形比 通过观察、比较、 区别与联系，充分挖 掘讨论和潜力 小组讨论内容：（1）结合 较观察，讨论交流，教师引 思考发现它们的本质 教科书图形 15.1—1 和 15.1—2 导学生得出其区别。 进行比较， 轴对称图形和两个图 形成轴对称有什么区别吗？ （2）如果把一个轴对称图 形沿对称轴分成两个图形， 那么 这两个图形成轴对称吗？成轴 对称的两个图形全等吗？如果 把两个轴对称图形看成一个整 体，它是一个轴对称图形吗？ 教师应关注学生在比较两 个图形的区别时， 是否明确轴对 称图形表述的是一个具有特殊 形状的图形， 两个图形成轴对称 表述的是两个图形的位置关系 问题拓展： 成轴对称的两个 一定成轴对称吗？为什么 知识活用：练一练 中间的同学作为对称轴， 左边的 做一个姿势， 使得左右两边成对 称关系。 （2）抢答：生活中不仅有 些物体的形状是轴对称图形， 我 们所学的数字、 字母和汉字中也 有一些可以看成轴对称图形。 例 如：0，1，A ，口，工等，请举 例。看谁举的例子最多。 （让学 生到黑板上写） 课堂小结 1、通过本节课的学习你有什么收获? 2、引导学生总结出本节的主要知识 巩固强化和培养 学生概括、总结表达 游戏（1）以小组为单 抢答（2）以小组为单 （1） 游戏： 三位同学起立， 位进行比赛 同学做一个姿势， 右边的同学也 位派出代表进行书写 学生独立思考后，再展 让每位学生的参 与进来，调动每位学 生的学习积极性 增加趣味性，体 现寓教于乐 图形全等吗？全等的两个图形 开讨论，
13.1 轴对称（1）
课时： 第一课时 平乡县第五中学 单位：
教学对象： 学生 王卓
（3）问题解决为主的教学策略：通过猜测、观察、动手操作、感念辨析、 判断等方式，本课从具体的学生感兴趣的物体中，让学生自己发现问题，提出问 题，体验探索成功的快乐；通过动手操作，小组讨论来解决自己提出的问题；通 过有层次的练习，提高学生解决问题的能力，巩固所学知识。 五、教学重点及难点 重点：认识轴对称，能识别简单的轴对称图形、轴对称及其对称轴。 难点：轴对称图形与两个图形关于直线对称的区别与联系
《轴对称图形》教学案例设计(课标版,3篇)
轴对称图形教学案例设计（课标版，3篇）案例一：轴对称的图形有哪些？目标通过学习轴对称的概念，让学生了解轴对称图形的特点，并能够在实际问题中应用轴对称的知识。
前置知识学生已经具备了对平面图形的基本认识，了解图形的基本属性。
教学步骤1.引入轴对称概念：通过一系列图形示例，让学生观察、描述和比较不同图形的特点，引导学生发现轴对称图形的特征。
2.轴对称图形的定义：给学生提供定义，并通过示意图解释轴对称的概念。
3.轴对称的判定方法：讲解如何判断图形是否轴对称，包括对称线的判定和对称点的判定。
4.学生练习：提供一些图形，让学生判断是否轴对称，并找出对称线和对称点。
5.讨论与总结：学生展示自己的答案，进行讨论和总结，澄清疑惑，强化概念。
总结与拓展通过本节课的学习，学生应该能够清楚地理解何为轴对称图形，并掌握判断图形是否轴对称的方法。
此外，教师可以引导学生思考轴对称图形在日常生活中的应用，并给予拓展练习，进一步巩固知识。
案例二：设计轴对称图形目标通过设计轴对称图形，培养学生的创造力和对对称性的认识。
学生已经了解轴对称图形的特点和判定方法。
教学步骤1.复习轴对称图形的特点和判定方法。
2.引导学生设计轴对称图形：教师给学生提供一些轴对称的图形模板，让学生根据模板进行设计，要求学生能够找到图形的对称线和对称点。
3.学生设计与分享：学生根据自己的创意进行设计，并展示和分享自己的作品。
4.评价与反思：教师和学生共同评价每个设计的创意和对称性，并给予反思和建议。
总结与拓展通过设计轴对称图形的活动，学生能够巩固对轴对称概念的理解，培养创造思维和观察能力。
此外，教师还可以引导学生探索其他类型的对称图形，如旋转对称图形和平移对称图形。
案例三：轴对称图形的应用目标通过探索轴对称图形在日常生活中的应用，让学生了解轴对称图形的重要性和实际价值。
前置知识学生已经掌握轴对称图形的概念、特点和判定方法。
教学步骤1.引导学生思考轴对称图形的应用：教师提出问题，让学生思考轴对称图形在日常生活中的应用场景，如建筑物、家具、标志等。
八年级数学上册《轴对称基本知识结构》优秀教学案例
在教学过程中，我将设计一系列具有启发性的问题，引导学生进行探究。问题设计遵循由浅入深的原则，从基本的轴对称概念到性质、应用，逐步拓展。通过问题导向，激发学生的思维，培养他们主动探究、积极思考的习惯。同时，鼓励学生提出自己的疑问，形成良好的课堂互动氛围。
（三）小组合作
小组合作学习是本章节教学的重要策略。我将根据学生的学习能力和特点，合理分组，确保每个小组成员都能在合作中发挥自己的优势。在合作学习过程中，引导学生相互讨论、交流、分享，共同解决难题。通过小组合作，培养学生的团队协作能力、沟通能力和解决问题的能力。
（三）情感态度与价值观
1.激发学生对数学学科的兴趣和热情，培养他们勇于探索、积极进取的学习态度。
2.通过欣赏轴对称图形的美，提高学生的审美能力，培养他们发现美、创造美的意识。
3.培养学生的团队协作精神，让他们在合作学习中学会尊重他人、倾听他人意见。
4.培养学生面对问题时的自信心和坚持到底的精神，让他们在克服困难中体验成功的喜悦。
（四）反思与评价
在教学过程中，我将注重学生的反思与评价。在每个环节结束后，引导学生回顾自己的学习过程，总结收获和不足，以便及时调整学习方法。同时，组织学生进行自评、互评和教师评价，全面客观地评价学生的学习成果。评价过程中，关注学生的个体差异，鼓励进步，激发潜能，促进学生的全面发展。
四、教学内容与过程
a.这些图形的对称轴在哪里？
b.对称轴将图形分成了哪两部分？
c.怎样运用轴对称性质计算这些图形的面积？
3.成果分享：每个小组将讨论成果进行汇报，其他小组成员可提出疑问或补充，共同解决问题。
（四）总结归纳
在学生小组讨论结束后，我将带领学生共同总结本节课所学的内容，包括轴对称的定义、性质、符号语言表示以及应用等方面。通过总结归纳，帮助学生梳理知识体系，巩固所学内容。
轴对称教学案例
“中心对称图形”教学案例清凉店中学李素行【案例背景】什么是“数学美”?法国数学家是这样分类的：对称美、和谐美、简洁美、奇异美．中心对称图形，外形很美，这是对学生进行美育教育的极好素材．但在数学课堂上，如何使学生能够感受和体验数学美，从而对数学产生由衷的兴趣，主动去学习数学呢？我也常常给学生讲一些数学趣事，史事等，提高学生的兴趣，但都是暂时的，不能产生长久的效应．只有把数学美寓于课堂教学设计中，才可能收到良好的效果．新课程标准提出数学教学的总体目标为：知识与技能、过程与方法、情感态度与价值观。
数学不仅是知识和方法的习得，更是学生在此过程中情感的体验。
新课程标准提出数学教学中要把这三维目标有机地融合在教学的始终。
强调要让学生亲身经历知识的发生发展过程。
在教学实践中，我们应把课堂还给学生，从只重视知识的教学转变为注重学生能力的培养。
为了实现新课标的这一新理念，给学生多一点思维的空间和活动的余地。
于是，我选择《中心对称图形》进行了尝试，学生和我都找到了一些感觉，愉快地度过了一节课．【案例描述】片段(一)：创设情景，引出课题师：我们来欣赏一个画面。
(出示情景同时播放婚礼进行曲)看到这喜庆的场面，想象一下我们来到了一个怎样的现场?生：我们来到了一个婚礼现场。
师：我们看到了哪个特殊的字，就让人想到是在办婚事呢?生：画面中的大红双“喜”字。
师：你们知道吗?剪喜字是应用了轴对称图形的知识来剪的。
那么，什么是轴对称图形?这节课我们就来学习轴对称图形。
板书课题：轴对称图形。
片段(二)：“识”对称，体悟特征1、师：看到这一课题，你想明白哪些问题?生：我想明白什么叫轴对称图形。
生：我想明白在我们学过的平面图形中，有哪些是轴对称图形。
师：下面就请同学们带着这些问题自学课本。
2、学生进行自学，教师巡视。
师：请各位同学把自己自学的情况在小组中交流一下。
3、小组合作交流。
(教师参与讨论)师：请各小组派代表发言。
4、全班汇报交流。
七年级数学下册《探索轴对称的性质》优秀教学案例
在本章节的教学过程中，我将紧紧围绕这三个目标，关注学生的全面发展，努力提高他们的数学素养，为他们的终身学习奠定坚实基础。
三、教学策略（一）Fra bibliotek景创设在本章节的教学中，我将创设富有启发性和趣味性的教学情景，以激发学生的学习兴趣和探究欲望。例如，通过展示我国传统剪纸艺术中的轴对称图案，让学生在感受美的同时，思考其中的数学原理。此外，还可以利用多媒体手段，展示生活中的轴对称现象，如建筑、家具、服饰等，让学生认识到数学与生活的紧密联系。
（四）反思与评价
教学反思是提高教学效果的重要手段。在本章节的教学过程中，我将引导学生进行自我反思，总结自己在探索轴对称性质过程中的收获和不足。同时，开展多元化的评价方式，如学生自评、互评，以及教师评价，关注学生的全面发展。
1.学生自评：让学生在课后对自己的学习过程进行反思，分析自己在探索轴对称性质方面的优点和不足，为今后的学习制定合理的目标。
（二）过程与方法
1.通过观察、思考、实践，让学生经历探索轴对称性质的过程，培养他们的观察力、思考力和创造力。
2.采用小组合作、讨论交流等教学方式，引导学生主动参与课堂，提高他们的合作意识和沟通能力。
3.运用生活实例和实际操作，让学生感受数学与生活的紧密联系，培养他们学以致用的能力。
4.通过问题驱动，引导学生运用已学知识解决新问题，提高他们的解决问题的能力和自主学习能力。
（二）问题导向
以问题为导向的教学策略，可以激发学生的思维，引导他们主动探索轴对称的性质。我将设计一系列由浅入深、层层递进的问题，引导学生通过观察、实验、推理等方法，发现并证明轴对称图形的性质。同时，鼓励学生提出自己的问题，培养他们的问题意识，提高他们解决问题的能力。
初中数学八年级上册苏科版2.1轴对称与轴对称图形优秀教学案例
3.教师评价：对学生的学习过程和成果进行评价，关注学生的个体差异，充分发挥评价的诊断、反馈和激励作用，激发学生的学习动力。
四、教学内容与过程
（一）导入新课
本节课的导入我将从学生的日常生活入手，利用多媒体展示一些生活中常见的轴对称图形，如剪纸、建筑、自然界中的生物等。让学生观察并思考这些图形的特点，引出“轴对称”的概念。接着，我会向学生提问：“你们认为什么是轴对称？轴对称图形有哪些特征？”通过问题引导学生思考，激发学生的学习兴趣，为接下来的新课讲授做好铺垫。
4.实践操作：本节课注重学生的动手操作，组织学生进行观察、操作、实践等活动。让学生在动手操作的过程中，体验数学学习的乐趣，培养学生的动手能力和观察能力。
5.反思与评价：本节课强调学生的自我反思和同伴评价，让学生在评价中相互学习、相互促进。同时，教师的评价关注学生的个体差异，充分发挥评价的诊断、反馈和激励作用，激发学生的学习动力。
2.问题情境：在教学过程中，我将提出具有启发性的问题，引导学生思考和探索轴对称图形的性质，激发学生的好奇心，培养学生独立思的能力。
3.操作情境：组织学生进行观察、操作、实践等活动，让学生在动手操作的过程中，体验数学学习的乐趣，培养学生的动手能力和观察能力。
（二）问题导向
1.提出问题：在教学过程中，我将根据学生的认知水平，提出符合学生思维发展的问题，引导学生进行思考和探索，激发学生的求知欲。
在教学设计上，我遵循由浅入深、循序渐进的原则，将教学内容分为三个部分：一是轴对称的概念，二是轴对称图形的性质，三是生活中的轴对称现象。在每个部分的教学过程中，我都注重引导学生通过观察、操作、思考、交流等方式，自主发现和总结轴对称图形的特征，从而提高学生的数学思维能力。
5_轴对称问题有限元分析
<<结构分析中的有限单元法>>
By Xiaojun Wang
13 /54
单元刚度矩阵
同平面问题一样， 同平面问题一样， 用虚位移原理推导单元刚度矩 在轴对称情况下，单元的虚 阵。在轴对称情况下，单元的 虚位移方程为
(u ) F = ∫∫∫ (ε ) σ rdrdθ dz
e* T e *
T
(5.17)
0 0 cm bm
( m = i, j , k )
(5.12)<<构分析中的有限单元法>>
By Xiaojun Wang
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单元应变与应力
由此可见， 轴对称问题的几何方程式(5.11)， 由此可见， 轴对称问题的几何方程式 ， 在形式上 和平面问题是一样的， 和平面问题是一样的，但是轴对称问题中的 B 和 ε 并不完 全是常量元素， 的函数， 全是常量元素，其中各点的应变将随 r 、z 的函数，故 B 是 的函数。 r 、 z 的函数。 由于 B 是 r 、z 的函数， 的函数， 所以单元中各点的应变将随 r 、 而变化，即单元中各点的应变不同。为了简化计算， z 而变化，即单元中各点的应变不同。为了简化计算，通 常用单元形心坐标 ( z , r ) 近似代替 f i 中的 r 、 z 值，即用单 处的应变作为单元的平均应变， 元形心 ( z , r ) 处的应变作为单元的平均应变，变成常应变 单元， 单元，即
<<结构分析中的有限单元法>>
By Xiaojun Wang 9 /54
单元应变与应力
1 z ≈ z = ( zi + z j + zk ) 3 1 r ≈ r = ( ri + rj + rk ) 3 am cm z fm ≈ fm = + bm + r r
轴对称问题有限元法分析
轴对称问题的有限元模拟分析一、摘要：轴对称问题是弹性空间问题的一个特殊问题，这类问题的特点是物体为某一平面绕其中心轴旋转而成的回转体。
由于一般形状是轴对称物体，用弹性力学的解析方法进行应力计算，很难得到精确解，因此采用有限元法进行应力分析，在工程上十分需要，同时用有限元法得到的数值解，近似程度也比较好。
轴对称问题的有限元分析，可以将要分析的问题由三维转化为二维平面问题来解决。
先是结构离散，然后是单元分析，再进行总纲集成，再进行载荷移置，最后是约束处理和求解线性方程组。
分析完成之后用ABAQUS 软件建模以及分析得出结果。
关键字：有限元法轴对称问题 ABAQUS软件二、前言:1、有限元法领域介绍：有限单元法是当今工程分析中获得最广发应用的数值计算方法，由于其通用性和有效性，受到工程技术界的高度重视，伴随着计算机科学和技术的快速发展，现在已经成为计算机辅助设计和计算机辅助制造的重要组成部分。
由于有限元法是通过计算机实现的，因此有限元程序的编制以及相关软件的研发就变得尤为重要，从二十世纪五十年代以来，有限元软件的发展按目的和用途可分为专用软件和大型通用商业软件，而且软件往往集成了网络自动划分，结果分析和显示等前后处理功能，而且随着时间的发展，大型通用商业软件的功能由线性扩展到非线性，由结构扩展到非结构等等，这一系列强大功能的实现与运用都要求我们对有限元法的基础理论知识有较为清楚的认识以及对程序编写的基本能力有较好掌握。
2、研究报告目的:我们小组研究的问题是：圆柱体墩粗问题。
毛坯的材料假设为弹塑性，弹性模量210000MPa，泊松比0.3，塑性应力应变为塑性应力塑性应变22003220.01584070.02984970.0565820.0956310.156840.257100.35圆柱体毛坯直径d=50mm，高度l=60mm；凸模直径D1=70mm；凹模直径D2=80mm；凸模从接触圆柱体上表面开始向下运动10mm；模具与板材之间的摩擦系数为0.1。
八年级数学上册《综合应用线段角的轴对称性证明》优秀教学案例
（一）知识与技能
1.理解并掌握线段和角的轴对称性的定义及性质，能熟练运用这些性质解决实际问题。
2.学会运用轴对称性进行几何图形的折叠、剪切和拼接，培养空间想象能力和动手操作能力。
3.能够运用轴对称性原理，发现并证明线段和角在轴对称变换下的不变性，提高逻辑思维和推理能力。
4.掌握利用轴对称性简化几何证明过程的方法，提高解题效率。
八年级数学上册《综合应用线段角的轴对称性证明》优秀教学案例
一、案例背景
在八年级数学上册的教学过程中，我们发现学生在学习了线段和角的轴对称性后，往往难以将其理论知识与实际应用有效结合。为此，本教学案例旨在通过一系列实践活动，让学生在实际问题中运用线段和角的轴对称性进行证明，提高学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。
四、教学内容与过程
（一）导入新课
1.教师通过展示一组生活中的轴对称图形，如剪纸、建筑图案等，引导学生观察并思考这些图形的特点。
"同学们，你们在生活中遇到过这样的图形吗？它们有什么共同的特点？"
2.学生分享观察到的轴对称现象，教师总结并引出轴对称性的定义。
"很好，大家发现了这些图形都可以沿着某条线对折后重合，这条线就是对称轴。今天我们将进一步探讨线段和角的轴对称性。"
（五）作业小结
1.布置与线段和角的轴对称性相关的作业，要求学生在作业中运用所学知识解决问题。
"今天的作业是，请同学们找一些生活中的轴对称图形，并尝试用轴对称性进行证明。"
2.教师提醒学生在完成作业时注意以下几点：
a.仔细观察，找出对称轴；
b.熟练掌握轴对称性的性质；
c.在证明过程中，注意逻辑严密性和表述清晰度。
1.自我反思：教师应及时反思课堂教学，发现不足之处，调整教学策略，提高教学质量。
鲁教版6年级下册数学轴对称性质应用例析
轴对称性质应用例析山东徐义一、求角度例1 如图1，在△ABC中，∠B=∠C=70°，△AB′C′与△ABC关于直线EF对称，∠CAF=10°，则∠BAB′的度数是.分析：利用轴对称的性质可得出∠BAC=∠B′AC′，∠CAF=∠C′AF.再利用三角形的内角和为180°求出∠BAC的度数，从而求出∠BAB′的度数.解：因为△AB′C′与△ABC关于直线EF对称，所以∠CAF=∠C′AF=10°.所以∠B′AC′=∠BAC=180°-2×70°=40°.所以∠BAB′=2∠BAC+2∠CAF=100°.故填100°.点评：本题充分考查了轴对称“对应角相等”的性质，合理利用图形中的等角和三角形的内角和为180°是解题的关键.二、求边长例2如图2，P是∠AOB外的一点，M，N分别是∠AOB两边上的点，点P关于OA的对称点Q恰好落在线段MN上，点P关于OB的对称点R落在MN的延长线上．若PM=2.5 cm，PN=3 cm，MN=4 cm，则线段QR的长为（）A．4.5 cm B．5.5 cm C．6.5 cm D．7 cm分析：本题是从对称点确定对称图形，然后利用关于某直线成轴对称的两个图形是全等的，则对应边必相等解决问题．解：因为点P关于OA的对称点Q恰好落在线段MN上，点P关于OB的对称点R落在MN的延长线上，所以MQ=MP，NR=NP.因为PM=2.5 cm，PN=3 cm，MN=4 cm，所以RN=3 cm，MQ=2.5 cm，即NQ=MN－MQ=4－2.5=1.5（cm）.所以线段QR的长为RN+NQ=3+1.5=4.5（cm）．故选A．点评：关于某直线成轴对称的两个图形是全等的，则它们的对应边、对应角是相等的，解决问题时往往需要从线，角，形三方面考虑．图2 图1。
《轴对称》教学设计案例
《轴对称》教学设计案例《《轴对称》教学设计案例》这是优秀的教学设计文章，希望可以对您的学习工作中带来帮助！文本解读本节内容是七年级下第九章《轴对称》中的重点部分，是等腰三角形的第一节课，由于小学已经有等腰三角形的基本概念，故此节课应该是在加深对等腰三角形从轴对称角度的直观认识的基础上，着重探究等腰三角形的两个定理及其应用，如何从对称角度理解等腰三角形是新教材和旧教材完全不同的出发点，应该重新认识，把好入门的第一课。
教学目标与内容知识目标：等腰三角形的相关概念，两个定理的理解及应用。
技能目标：理解对称思想的使用，学会运用对称思想观察思考，运用等腰三角形的思想整体观察对象，总结一些有益的结论。
情感目标：体会数学的对称美，体验团队精神，培养合作精神。
确定教学目标与内容的理据依据教学目标和学生的特点，依据教学时间和效率的要求，在此课教学方法和教学模式的设计中我主要体现了以下的设计思想和策略：教学具体环节教学步骤及说明学生活动教师活动教学目标教学说明预习相关概念及定理。
观察并回答。
学生同步回答学生运用直尺或圆规和剪刀进行绘图和剪切。
学生观察并思考，然后讨论，然后积极回答。
学生以小组形式进行操作和讨论然后努力向结果慢慢前进。
学生对自己剪得的等腰三角形作操作，体会对称的思想。
在讨论的基础上，回答更高层次的问题。
学生观察，并且以小组竞赛的方式进行大范围的搜索和体验。
学生观察，体验，领会新概念。
集体讨论并互相帮助记忆重要的结论。
每个小组抽查记忆。
学生思考，看书理解，然后讨论每一步的理由。
小组讨论，并且竞争回答。
学生讨论，并且试图写出过程。
学生讨论，通过讨论，体会数学定理的使用和数学语言的组织。
学生在自己剪得的等腰三角形上画上已知条件，并且观察是否相等，然后进行相应证明的思考，并积极讨论。
学生小组讨论后发言。
开放性问题，自由发言。
课题引入：让学生观察两把三角尺，从三角形分类思考“两把三角尺的形状除了角度不同外还有什么区别”在对学生思考结果的总结基础上，引入新课题。
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教学程序学习阶段
人有了知识，就会具备各种分析能力， 明辨是非的能力。 所以我们要勤恳读书，广泛阅读， 古人说“书中自有黄金屋。 ”通过阅读科技书籍，我们能丰富知识， 培养逻辑思维能力； 通过阅读文学作品，我们能提高文学鉴赏水平， 培养文学情趣； 通过阅读报刊，我们能增长见识，扩大自己的知识面。 有许多书籍还能培养我们的道德情操， 给我们巨大的精神力量， 鼓舞我们前进。
第六章 轴对称问题的有限单元法
轴对称问题
• 轴对称结构在工程中应用比较广泛。 • 轴对称结构是由任意平面图形绕着某直线旋转一周而形成的回 转体，该直线称为对称轴；旋转平面称为子午面。 如果轴对称结构的约束 条件以及作用的载荷都 对称于对称轴的话，则 在载荷作用下产生的位 移、应变和应力也对称 于此轴，这种问题称为 轴对称问题。
几何方程和平衡方程 应变位移关系为
轴对称问题
平衡方程 应变应力关系为
以三节点三角形单元为例 介绍轴对称问题的有限单元法
位移模式和形函数
计算前首先要在一个对称面上进行有限元的离散化处理，采用 的单元在对称面上为三角形，分割的原则与平面问题基本类似。 与平面问题类似，对于三角形单元只能取线性位移模式，因此 单元内任一点的位移可被近似地用其节点值表示成
z
轴对称问题
在轴对称问题中，通常采用柱坐标(r, , z)。以z轴作为对称轴， 所有应力、应变和位移都与方向无关，只是r和z的函数，任一 点的位移只有两个方向的分量，即沿r方向的径向u和沿z方向的 轴向位移w。由于轴对称，方向的位移等于零。因此轴对称问 题是二维问题。
z
对完全轴对称问题进行 计算时，只需取任一个 子午面离散化后，进行 分析即可。
轴对称单元体内的应力在一般情况下并非常应力，如果用单元形 心坐标代替单元中任一点的坐标，则可近似地将三角形单元视为 ， 常应力单元。 值得注意的：轴对称问题是可以简化为平面问题的，但事实 上仍处于三向受力状态，其环向上切应力为零，所以环向必 为一应力主方向，一般令：
对称面上，二个主应力及其方向可以和平面应变分析情形类 似地确定。
i k j j
i k
轴对称问题
应力和应变分量 左图给出了轴对称旋转体 问题中的应力和应变分量。 令旋转轴为z、径向轴为r、 环向坐标为θ。沿轴z和轴r 的位移分量为u和v，它们 都是坐标r、z的函数。在轴 对称情况下，任一径向位 移都会引起周向应变，所 以必须考虑周向应变和应 力分量。
轴对称问题
轴对称问题
离散轴对称体时，采用的单元是一些圆环。这些圆环单元与rz平 面的截面可以有不同的形状，例如3节点三角形、6节点三角形 或其它形式。单元的节点是圆周状的铰链，各单元在rz平面内形 成网格。图示为3节点三角形环状单元。
在对轴对称问题进行计 算时，只需取出一个截 面进行网格划分和分析， 但应注意到单元是环状 的，所有的节点载荷都 应理解为作用在单元节 点所在的圆周上。
根据单元刚度矩阵的普遍形式，可知：
将B的表达式代入上式是可以求得解析解的，这部分内容将在 ， 等参元中学习，这里我们介绍一种简化方法： 把单元中随点而变化的r、z用形心处的坐标近似
总体刚度矩阵
关于总体刚度矩阵的组装和存储，与一般的平面问题无不同之 处，此处不再详述。
，
载荷的处理
对于集中的节点载荷，处理方式并无特殊之处。 对于均布荷载，处理方式如下： i-j上任一点的法向面力q在r向和z向的分量为
，
等效节点载荷为
为材料的质量密度，角速度为，与转速n的关系为
边界约束的处理
对于边界约束，处理方式与平面问题有限元没有区别。 值得注意的：对称轴上的节点在z方向应受到约束 。
，
方程的求解
对于方程，求解方式与平面问题有限元没有区别。
，
结果的分析
轴对称体在考虑温度影响时，单元内任一点的应力为：
，
由于这个三角形事实上是一个三角 环，所以经过插值，积分后得 ：
载荷的处理
对于温度荷载，处理方式如下： 由于温度的变化，体内将产生热应变，可被作为初应变来处 理。假如温度改变为T，产生的热应变是
，
初应变引起的等效节点载荷为
为避免复杂的解析解计算仍采取单刚矩阵计算时的简化
载荷的处理
对于离心力荷载，处理方式如下： 若绕z轴的角速度为，则单元 ijk 的离心力载荷
形函数的值仍然按下式计算：
应变的离散
将位移表达式代ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ几何方程：
，
B矩阵构成如下：
注意：由B矩阵可知有环 向应变是不为常量的， 其值与单元中点(r, z)的 位置有关。
应力的离散
将应变表达式代入平衡方程：
，
由于D矩阵为 环向应变不为常量，则应 力中除了剪应力为常量外 其余的也均不为常量。
单元刚度矩阵