运筹学第七章动态规划

习题七7.1计算如图所示的从A 到E 的最短路线及其长度（单位：km ）：

（1） 用逆推解法；2用标号法。

7.2 用动态规划方法求解下列问题

（1） max z ＝x 12x 2 x 33

x 1＋x 2＋x 3 ≤6

x j ≥0 （j ＝1,2,3）

（2）min z ＝ 3x 12＋4x 22 ＋x 32

x 1x 2 x 3 ≥ 9

x j ≥0 （j ＝1,2,3）

7.3 利用动态规划方法证明平均值不等式：

n n n x x x n

x x x 12121)()( ≥+++ 设x i ≥0，i ＝1，2，…，n 。 7.4 考虑一个有m 个产地和n 个销地的运输问题。设a i （i ＝1，2，…，m ）为产地i 可发运的物资数，b j （j ＝1，2，…，n ）为销地j 所需要的物资数。又从产地i 到销地j 发运x ij 单位物资所需的费用为h ij （x ij ），试将此问题建立动态规划的模型。

7.5 某公司在今后三年的每一年的开头将资金投入A 或B 项工程，年末的回收及其概率如下表所示。每年至多做一项投资，每次只能投入1000万元。求出三年后所拥有的期望金额达到最大的投资方案。

投 资 回 收 概 率

A 0 0.4

2000 0.6

B 1000 0.9

2000 0.1

7.6 某公司有三个工厂，它们都可以考虑改造扩建。每个工厂都有若干种方案可供选择，各种方案的投资及所能取得的收益如下表所示(单位：千万元)。现公司有资金5千万元，问应如何分配投资使公司的总收益最大?

7.7 某厂准备连续3个月生产A种产品，每月初开始生产。A的生产成本费用为x2，其中x是A产品当月的生产数量。仓库存货成本费是每月每单位为1元。估计3个月的需求量分别为d1＝100，d2＝110，d3＝120。现设开始时第一个月月初存货s0＝0，第三个月的月末存货s3＝0。试问：每月的生产数量应是多少才使总的生产和存货费用为最小。

7.8 设有一辆载重卡车，现有4种货物均可用此车运输。已知这4种货物的重量、容积及价值关系如下表所示。

货物代号重量（吨）容积（立方米）价值（千元）

1 2 2 3

2 3 2 4

3 4 2 5

4 5 3 6

若该卡车的最大载重为15吨，最大允许装载容积为10立方米，在许可的条件下，每车装载每一种货物的件数不限。问应如何搭配这四种货物，才能使每车装载货物的价值最大。

7.9 某警卫部门有12支巡逻队负责4个仓库的巡逻。按规定对每个仓库可分别派2－4支队伍巡逻。由于所派队伍数量上的差别，各仓库一年内预期发生事故的次数如下表所示。试应用动态规划的方法确定派往各仓库的巡逻队数，使预期事故的总次数为最少。

巡逻队数预期事故次数仓库 1 2 3 4

2 18 38 14 34

3 16 36 12 31

4 12 30 11 25

7.10 （生产计划问题）根据合同，某厂明年每个季度末应向销售公司提供产品，有关信息见下表。若产品过多，季末有积压，则一个季度每积压一吨产品需支付存贮费0.2万元。现需找出明年的最优生产方案，使该厂能在完成合同的情况下使全年的生产费用最低。

季度j生产能力a j（吨）生产成本d j（万元/吨）需求量b j（吨）

1 30 15.6 20

2 40 14.0 25

3 25 15.3 30

4 10 14.8 15

（1）请建立此问题的线性规划模型。（提示：设第j季度工厂生产产品x j吨，第j季度初存贮的产品为y j吨，显然y1＝0）（2）请建立此问题的动态规划模型。（均不用求解）