2015中环杯3年级答案
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abc 1bc ，所以 1bc 7 13 2 182 ，而 182 6 不是三位数，矛盾。
（3）若 13 | d 6e ，结合 d , e 都是 7 ~ 9 中的数字，我们很容易推出只有 767 满足条件。 考虑到 7,11 都不能整除这两个数，所以 7,11 整除 abc 1bc ，所以 1bc 7 11 2 154 。 此时 154 767 118118 ，但是题目说了“ 中环杯 ”的三个数字互不相同，所以也不符合 要求。 综上所述，最后的答案只有一个，就是“ 中环杯 124 ”。
综上所述，一共有 6 4 10 种涂法 11. 在图中的乘法算式中，不同汉字代表不同数字，相同汉字代表相同数字。在算式的方 格中填入适当的数字，使得算式成立。那么 中环杯 所代表的三位数是________.
6
中 环 杯 中 环 杯
【答案】 124 【解答】由于
abc 6是三位数 abc d , abc e都是四位数
A 的意思是： A C 16 ； B 的意思是： D C 6 ；
C 的意思是： A D 9 ；
D 的意思是： D 2 3C 。
由于说错话的只有一个人，而 A 和 C 都说 A 不是最少的，因此， A 说的是真话。通 过 B 和 D 的话可以推断 D 的纸牌数也不是最少的。因此，说错话的只可能是 B 或
10. 七个正方形拼成下图。我们要对其中的若干个正方形进行涂色，要求： （1）至少涂其中的两个正方形； （2）相邻正方形不能同时被涂色（有公共边或者公共顶点的正方形称为相邻正方 形）。 那么，有________种不同的涂色方法。
【答案】10 【解答】直接分类讨论： （1）如果我们涂最上面的那个正方形，那么它下面的两个正方形不能被涂色，得 到下图。如果我们再涂一Hale Waihona Puke Baidu正方形，显然有 4 种涂法；如果我们再涂两个正方形， 要简单分析一下：显然 b 不能被涂色（否则 b 一旦被涂色了，那么 a, c, d 都不能被涂 色了），而且 c, d 不能同时被涂色，所以只有 2 种涂法（ a, c 或者 a, d ）。综上所 述，如果我们涂最上面的那个正方形，一共有 4 2 6 种涂法
d a b c
（2）如果我们不涂最上面的那个正方形，得到下左图。显然，我们不能涂 e, b ，否 则只能涂一个正方形了，得到下右图。容易知道， a, f 以及 c, d 都不能同时被涂 色，所以此时能且只能涂两个正方形，一共有 2 2 4 种涂法。
f a
e b
d c
f a
d c
a b c d 6 e
中 环 杯 中 环 杯
12. 正四面体 PQRS 的四个顶点与六条棱上各写着一个数，一共有 10 个数。这 10 个数为 1、2、3、4、5、6、7、8、9、11。每个数都使用一次，每条棱上的数表示其连接的 两个顶点上的数之和。棱 PQ 上的数为 9 ，则棱 RS 上的数为________.
【答案】 15 【解答】我们可以数一下，发现含有灰色面的小立方体有 12 个，而一共有 27 个小立 方体，所以六个面都是白色的小立方体最多有 27 12 15 个 5. 如图，一个大三角形 ABC 被三条线段分成了七部分，其中四部分是三角形，另外三部 分是四边形。三个四边形的周长之和为 25 厘米，四个三角形的周长之和为 20 厘米， 三角形 ABC 的周长为 19 厘米。那么 AD BE CF ______厘米
A 说：“我比 C 多 16 张纸牌。” B 说：“ D 比 C 多 6 张纸牌。”
C 说：“ A 比 D 多 9 张纸牌。”
D 说：“如果 A 再给我 2 张纸牌，我纸牌的数量就是 C 的 3 倍。”
已知这四个人中，拥有纸牌数量最少的那个人说错了，其余都说对了。那么 D 有 ________张纸牌 【答案】 10 【解答】首先对每个人所说的话进行翻译：
第 15 届中环杯决赛试题解析（三年级） 一、填空题 A （本大题共 8 小题，每题 6 分，共 48 分）： 1. 计算： 25 13 2 15 13 7 ________. 【答案】2015 【解答】
25 13 2 15 13 7 5 13 10 5 13 21 5 13 10 21 5 13 31 2015
1
?
4 2
9
7
三、动手动脑题（本大题共 2 小题，每题 10 分，共 20 分）： 13. 5 个相同的长方形放在一个正方形内，所有长方形的边都平行于正方形的对应边，正 方形的边长为 24 厘米。求：单个长方形的面积。
第 n 个参会人员数到有 2016 x n 个空盘子；
第 x 个参会人员数到有 2016 x x 2016 2x 个空盘子； 从而得到方程 2016 2x 4 x 1006 二、填空题 B （本大题共 4 小题，每题 8 分，共 32 分）： 9. A、B、C、D 四人有一些数量互不相同的纸牌。
A F
E B D C
【答案】 13 【解答】如果我们将三个四边形的周长之和与四个三角形的周长之和相加，那么中 间的线段都被加了两次。比如下图中的 GH ，它既是四边形 GFBH 的一条边、又是
GHI 的一条边。而 AB, BC , CA 都只出现一次，比如 AF BF AB 。所以我们要求的
L 开始或者从 L 结束，那么 K 肯定会被重复经过，这样就至少重复经过 3 个站台了；
如果小明从 A 开始从 L 结束，那么 H 肯定会被重复经过。所以， n 3 【说明】此题要做出答案并不难，关键在于后面的证明，考虑到填空题，所以将其 放在第 6 题
A B C D F L K J G H I E
【答案】 3 【解答】如下图，对所有的点进行标记，小明可以从
A B C D E D F G H I H G J K L ，这样他必须重
复经过 3 个站台，接下来我们证明 3 是最小值。 显然， D, G 这两个换乘台肯定会被重复经过的。如果小明不是从 A 开始或者从 A 结 束，那么 B 肯定会被重复经过，这样就至少重复经过 3 个站台了；如果小明不是从
7,11,13 中至少有一个数整除 d 6e 。接下来分类讨论：
（1）若 7 | d 6e ，结合 d , e 都是 7 ~ 9 中的数字，我们很容易推出只有 868 满足条件。由 于此时 11,13 都不能整除 868 ，所以 11,13 整除 abc 1bc ，所以 1bc 11 13 143 ，此时
S
?
R P
9
Q
【答案】 5 【解答】设六条棱上的数之和为 S棱 、四个顶点上的数之和为 S顶 ，容易发现 S棱 3S顶 （每个顶点被三条棱连接，所以这三条棱求和的时候相当于把这个顶点上的数加了 三次）。考虑到 S棱 S顶 1 2 3 4 5 6 7 8 9 11 56 ，从而推出 S顶 14 ，可能 的情况有： 1 2 3 8 、 1 2 4 7 、 1 2 5 6 、 1 3 4 6 ，接下来开始排除： （1）由于 P Q 9 ，所以 1 2 5 6 排除了（没有两个数之和为 9 ） （2）对于 1 2 3 8 来说，由于 1 2 3 ，所以一条棱上的数应该为 3 ，但是某个顶 点上的数也是 3 ，矛盾。同样可以将 1 3 4 6 排除 最后，剩下的只有一组选择： 1 2 4 7 ，从而得到下图，所以答案为 5
a 6 ，所以 a b 11 b 5
8. 学校组织一次野餐会，有若干人员参加。学校准备了很多空盘子，每个到场的人员都 会将空盘子数一下，然后拿走一个空盘子去装食物（每个人只能拿走一个空盘子，不 能多拿）。第一个到会的人员会将所有的空盘子数一下，第二个到会的人员数到的空 盘子数量比第一个到会的人员少一个， ，依次类推，最后一个到会的人员发现 还有 4 个空盘子。已知学校准备的所有空盘子的数量与所有到会人员的数量之和为 2015 ，则总共有______人参加了这次野餐会。 【答案】 1006 【解答】设有 x 个人参加了野餐会，空盘子总共有 2015 x 个 第 1 个参会人员数到有 2015 x 个空盘子； 第 2 个参会人员数到有 2014 x 个空盘子；
，所以 d , e 都是 7 ~ 9 中的数字。根据
“ abc 6是三位数 ”我们很容易推出 a 1 。由于“ 中环杯中环杯 中环杯 1001 ”，所以
7 | abc 1001| abc d 6e 。考虑到 abc 只是一个三位数，所以不可能同时满足 11| abc ，所以 13 | abc
C。
如果 C 说的是正确的，则
A C 16 D C 7 ，结合 D 2 3C 推出 A D 9
C 7 3C 2 9 2C ，没有整数解，矛盾。所以 B 说的是正确的， C 说的是错误
的。利用 B 的结论，我们有
D C 6 C 4 。所以答案为 10 。 D 2 3C D 10
线段之和为 25 20 19 2 13 厘米
A F
G E C
H B D
I
6. 下图是上海的地铁运营图，其中的点代表不同的地铁站台，直线代表了不同的线路。 小明是一个学生，他希望找到一种路线，使得他可以经过所有的站台。他可以从任意 的站台出发，然后到任意的站台结束（只要经过所有的站台即可）。假设他必须重复 经过 n 个站台，则 n 的最小值为________.
7. 如果 653 整除 ab2347 ，则 a b ______. 【答案】11
【解答】由于 653 | ab2347 653 | ab2347 653 ，考虑到 ab2347 653 ab3000 ，所以
653 | ab3 1000 。由于 653 是素数，并且 653 无法整除 1000，所以 653| ab3 ，从而推出
143 868 124124 ，满足我们的要求。
（2）若 11| d 6e ，结合 d , e 都是 7 ~ 9 中的数字，所以 d e 6 11 d e 17 ，我们很 容易推出只有 869 或 968 满足要求。考虑到 7,13 都不能整除这两个数，所以 7,13 整除
2. 在一场上海队与北京队的篮球比赛中，姚明得到了 30 分，带领上海队以 10 分的优势战 胜了北京队。上海队与北京队的总得分比姚明得分的 5 倍少 10 分，那么上海队获得 ______分 【答案】 75 分 【解答】根据题意，上海队与北京队的总得分为 30 5 10 140 分，而上海队减去北 京队的得分为 10 分，根据和差问题，我们有：上海队得了 140 10 2 75 分 3. 一个数只包含两种数字： 3 或者 4 ，而且 3 或者 4 都至少出现一个。这个数既是 3 的倍 数，又是 4 的倍数。这样的数最小为______. 【答案】 3444 【解答】为了使得它是 4 的倍数，最后两位只能是 44 。如果只有两个数字 4 ，这个 数无法成为 3 的倍数，所以很容易得到其最小值为 3444 4. 我们有 27 个 1 1 1 的小立方体，将其拼成一个 3 3 3 的大立方体，其中的一些小立方 体的某些面被涂成了灰色，最后拼成的大立方体如下图所示。那么，六个面都是白色 的小立方体最多有________个
（3）若 13 | d 6e ，结合 d , e 都是 7 ~ 9 中的数字，我们很容易推出只有 767 满足条件。 考虑到 7,11 都不能整除这两个数，所以 7,11 整除 abc 1bc ，所以 1bc 7 11 2 154 。 此时 154 767 118118 ，但是题目说了“ 中环杯 ”的三个数字互不相同，所以也不符合 要求。 综上所述，最后的答案只有一个，就是“ 中环杯 124 ”。
综上所述，一共有 6 4 10 种涂法 11. 在图中的乘法算式中，不同汉字代表不同数字，相同汉字代表相同数字。在算式的方 格中填入适当的数字，使得算式成立。那么 中环杯 所代表的三位数是________.
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中 环 杯 中 环 杯
【答案】 124 【解答】由于
abc 6是三位数 abc d , abc e都是四位数
A 的意思是： A C 16 ； B 的意思是： D C 6 ；
C 的意思是： A D 9 ；
D 的意思是： D 2 3C 。
由于说错话的只有一个人，而 A 和 C 都说 A 不是最少的，因此， A 说的是真话。通 过 B 和 D 的话可以推断 D 的纸牌数也不是最少的。因此，说错话的只可能是 B 或
10. 七个正方形拼成下图。我们要对其中的若干个正方形进行涂色，要求： （1）至少涂其中的两个正方形； （2）相邻正方形不能同时被涂色（有公共边或者公共顶点的正方形称为相邻正方 形）。 那么，有________种不同的涂色方法。
【答案】10 【解答】直接分类讨论： （1）如果我们涂最上面的那个正方形，那么它下面的两个正方形不能被涂色，得 到下图。如果我们再涂一Hale Waihona Puke Baidu正方形，显然有 4 种涂法；如果我们再涂两个正方形， 要简单分析一下：显然 b 不能被涂色（否则 b 一旦被涂色了，那么 a, c, d 都不能被涂 色了），而且 c, d 不能同时被涂色，所以只有 2 种涂法（ a, c 或者 a, d ）。综上所 述，如果我们涂最上面的那个正方形，一共有 4 2 6 种涂法
d a b c
（2）如果我们不涂最上面的那个正方形，得到下左图。显然，我们不能涂 e, b ，否 则只能涂一个正方形了，得到下右图。容易知道， a, f 以及 c, d 都不能同时被涂 色，所以此时能且只能涂两个正方形，一共有 2 2 4 种涂法。
f a
e b
d c
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d c
a b c d 6 e
中 环 杯 中 环 杯
12. 正四面体 PQRS 的四个顶点与六条棱上各写着一个数，一共有 10 个数。这 10 个数为 1、2、3、4、5、6、7、8、9、11。每个数都使用一次，每条棱上的数表示其连接的 两个顶点上的数之和。棱 PQ 上的数为 9 ，则棱 RS 上的数为________.
【答案】 15 【解答】我们可以数一下，发现含有灰色面的小立方体有 12 个，而一共有 27 个小立 方体，所以六个面都是白色的小立方体最多有 27 12 15 个 5. 如图，一个大三角形 ABC 被三条线段分成了七部分，其中四部分是三角形，另外三部 分是四边形。三个四边形的周长之和为 25 厘米，四个三角形的周长之和为 20 厘米， 三角形 ABC 的周长为 19 厘米。那么 AD BE CF ______厘米
A 说：“我比 C 多 16 张纸牌。” B 说：“ D 比 C 多 6 张纸牌。”
C 说：“ A 比 D 多 9 张纸牌。”
D 说：“如果 A 再给我 2 张纸牌，我纸牌的数量就是 C 的 3 倍。”
已知这四个人中，拥有纸牌数量最少的那个人说错了，其余都说对了。那么 D 有 ________张纸牌 【答案】 10 【解答】首先对每个人所说的话进行翻译：
第 15 届中环杯决赛试题解析（三年级） 一、填空题 A （本大题共 8 小题，每题 6 分，共 48 分）： 1. 计算： 25 13 2 15 13 7 ________. 【答案】2015 【解答】
25 13 2 15 13 7 5 13 10 5 13 21 5 13 10 21 5 13 31 2015
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三、动手动脑题（本大题共 2 小题，每题 10 分，共 20 分）： 13. 5 个相同的长方形放在一个正方形内，所有长方形的边都平行于正方形的对应边，正 方形的边长为 24 厘米。求：单个长方形的面积。
第 n 个参会人员数到有 2016 x n 个空盘子；
第 x 个参会人员数到有 2016 x x 2016 2x 个空盘子； 从而得到方程 2016 2x 4 x 1006 二、填空题 B （本大题共 4 小题，每题 8 分，共 32 分）： 9. A、B、C、D 四人有一些数量互不相同的纸牌。
A F
E B D C
【答案】 13 【解答】如果我们将三个四边形的周长之和与四个三角形的周长之和相加，那么中 间的线段都被加了两次。比如下图中的 GH ，它既是四边形 GFBH 的一条边、又是
GHI 的一条边。而 AB, BC , CA 都只出现一次，比如 AF BF AB 。所以我们要求的
L 开始或者从 L 结束，那么 K 肯定会被重复经过，这样就至少重复经过 3 个站台了；
如果小明从 A 开始从 L 结束，那么 H 肯定会被重复经过。所以， n 3 【说明】此题要做出答案并不难，关键在于后面的证明，考虑到填空题，所以将其 放在第 6 题
A B C D F L K J G H I E
【答案】 3 【解答】如下图，对所有的点进行标记，小明可以从
A B C D E D F G H I H G J K L ，这样他必须重
复经过 3 个站台，接下来我们证明 3 是最小值。 显然， D, G 这两个换乘台肯定会被重复经过的。如果小明不是从 A 开始或者从 A 结 束，那么 B 肯定会被重复经过，这样就至少重复经过 3 个站台了；如果小明不是从
7,11,13 中至少有一个数整除 d 6e 。接下来分类讨论：
（1）若 7 | d 6e ，结合 d , e 都是 7 ~ 9 中的数字，我们很容易推出只有 868 满足条件。由 于此时 11,13 都不能整除 868 ，所以 11,13 整除 abc 1bc ，所以 1bc 11 13 143 ，此时
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【答案】 5 【解答】设六条棱上的数之和为 S棱 、四个顶点上的数之和为 S顶 ，容易发现 S棱 3S顶 （每个顶点被三条棱连接，所以这三条棱求和的时候相当于把这个顶点上的数加了 三次）。考虑到 S棱 S顶 1 2 3 4 5 6 7 8 9 11 56 ，从而推出 S顶 14 ，可能 的情况有： 1 2 3 8 、 1 2 4 7 、 1 2 5 6 、 1 3 4 6 ，接下来开始排除： （1）由于 P Q 9 ，所以 1 2 5 6 排除了（没有两个数之和为 9 ） （2）对于 1 2 3 8 来说，由于 1 2 3 ，所以一条棱上的数应该为 3 ，但是某个顶 点上的数也是 3 ，矛盾。同样可以将 1 3 4 6 排除 最后，剩下的只有一组选择： 1 2 4 7 ，从而得到下图，所以答案为 5
a 6 ，所以 a b 11 b 5
8. 学校组织一次野餐会，有若干人员参加。学校准备了很多空盘子，每个到场的人员都 会将空盘子数一下，然后拿走一个空盘子去装食物（每个人只能拿走一个空盘子，不 能多拿）。第一个到会的人员会将所有的空盘子数一下，第二个到会的人员数到的空 盘子数量比第一个到会的人员少一个， ，依次类推，最后一个到会的人员发现 还有 4 个空盘子。已知学校准备的所有空盘子的数量与所有到会人员的数量之和为 2015 ，则总共有______人参加了这次野餐会。 【答案】 1006 【解答】设有 x 个人参加了野餐会，空盘子总共有 2015 x 个 第 1 个参会人员数到有 2015 x 个空盘子； 第 2 个参会人员数到有 2014 x 个空盘子；
，所以 d , e 都是 7 ~ 9 中的数字。根据
“ abc 6是三位数 ”我们很容易推出 a 1 。由于“ 中环杯中环杯 中环杯 1001 ”，所以
7 | abc 1001| abc d 6e 。考虑到 abc 只是一个三位数，所以不可能同时满足 11| abc ，所以 13 | abc
C。
如果 C 说的是正确的，则
A C 16 D C 7 ，结合 D 2 3C 推出 A D 9
C 7 3C 2 9 2C ，没有整数解，矛盾。所以 B 说的是正确的， C 说的是错误
的。利用 B 的结论，我们有
D C 6 C 4 。所以答案为 10 。 D 2 3C D 10
线段之和为 25 20 19 2 13 厘米
A F
G E C
H B D
I
6. 下图是上海的地铁运营图，其中的点代表不同的地铁站台，直线代表了不同的线路。 小明是一个学生，他希望找到一种路线，使得他可以经过所有的站台。他可以从任意 的站台出发，然后到任意的站台结束（只要经过所有的站台即可）。假设他必须重复 经过 n 个站台，则 n 的最小值为________.
7. 如果 653 整除 ab2347 ，则 a b ______. 【答案】11
【解答】由于 653 | ab2347 653 | ab2347 653 ，考虑到 ab2347 653 ab3000 ，所以
653 | ab3 1000 。由于 653 是素数，并且 653 无法整除 1000，所以 653| ab3 ，从而推出
143 868 124124 ，满足我们的要求。
（2）若 11| d 6e ，结合 d , e 都是 7 ~ 9 中的数字，所以 d e 6 11 d e 17 ，我们很 容易推出只有 869 或 968 满足要求。考虑到 7,13 都不能整除这两个数，所以 7,13 整除
2. 在一场上海队与北京队的篮球比赛中，姚明得到了 30 分，带领上海队以 10 分的优势战 胜了北京队。上海队与北京队的总得分比姚明得分的 5 倍少 10 分，那么上海队获得 ______分 【答案】 75 分 【解答】根据题意，上海队与北京队的总得分为 30 5 10 140 分，而上海队减去北 京队的得分为 10 分，根据和差问题，我们有：上海队得了 140 10 2 75 分 3. 一个数只包含两种数字： 3 或者 4 ，而且 3 或者 4 都至少出现一个。这个数既是 3 的倍 数，又是 4 的倍数。这样的数最小为______. 【答案】 3444 【解答】为了使得它是 4 的倍数，最后两位只能是 44 。如果只有两个数字 4 ，这个 数无法成为 3 的倍数，所以很容易得到其最小值为 3444 4. 我们有 27 个 1 1 1 的小立方体，将其拼成一个 3 3 3 的大立方体，其中的一些小立方 体的某些面被涂成了灰色，最后拼成的大立方体如下图所示。那么，六个面都是白色 的小立方体最多有________个