2018-2019学年度重庆一中高一(下)期末考试数学试题含答案(20200802195447).pdf
2018-2019学年重庆市区县高一下学期期末数学试题(解析版)
2018-2019学年重庆市区县高一下学期期末数学试题一、单选题1．已知向量(2,3)a =r，(,4)b m =r ，若a r ，b r 共线，则实数m =（ ）A ．6-B ．83-C ．83D ．6【答案】C【解析】利用向量平行的性质直接求解． 【详解】Q 向量(2,3)a =r ，(,4)b m =r ，,a b rr 共线，∴423m =， 解得实数83m =．故选：C ． 【点睛】本题主要考查向量平行的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．2．已知,a b ∈R ，若关于x 的不等式20x ax b ++<的解集为()1,3，则a b +=（ ） A ．7- B ．1-C ．1D ．7【答案】B【解析】由韦达定理列方程求出a ，b 即可得解． 【详解】由已知及韦达定理可得，13a -=+，13b =⨯， 即4a =-，3b =， 所以1a b +=-． 故选：B ． 【点睛】本题考查一元二次方程和一元二次不等式的关系、韦达定理的应用等，属于一般基础题． 3．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且24S =，416S =，则56a a +=（ ） A ．11 B ．16C ．20D ．28【答案】C【解析】可利用等差数列的性质2S ，42S S -，64S S -仍然成等差数列来解决．【详解】{}n a Q 为等差数列，前n 项和为n S ，2S ∴，42S S -，64S S -成等差数列，422642()()S S S S S ∴-=+-，又24S =，416S =，64562444S S a a ∴=+-=++，5620a a ∴+=． 故选：C ． 【点睛】本题考查等差数列的性质，关键在于掌握“等差数列中n S ，2n n S S -，32n n S S -⋯仍成等差数列”这一性质，属于基础题．4．某高中三个年级共有3000名学生，现采用分层抽样的方法从高一、高二、高三年级的全体学生中抽取一个容量为30的样本进行视力健康检查，若抽到的高一年级学生人数与高二年级学生人数之比为3∶2，抽到高三年级学生10人，则该校高二年级学生人数为（ ） A ．600 B ．800C ．1000D ．1200【答案】B【解析】根据题意可设抽到高一和高二年级学生人数分别为3k 和2k ，则321030k k ++=，继而算出抽到的各年级人数，再根据分层抽样的原理可以推得该校高二年级的人数． 【详解】根据题意可设抽到高一和高二年级学生人数分别为3k 和2k ，则321030k k ++=，即4k =，所以高一年级和高二年级抽到的人数分别是12人和8人， 则该校高二年级学生人数为8300080030⨯=人． 故选：B ． 【点睛】本题考查分层抽样的方法，属于容易题． 5．已知变量x ，y 的取值如下表：由散点图分析可知y 与x 线性相关，且求得回归直线的方程为$3y bx=-$，据此可预测：当8x =时，y 的值约为（ ） A ．63 B ．74C ．85D ．96【答案】C【解析】由已知求得样本点的中心的坐标，代入线性回归方程求得ˆb ，取8x =求得y 值即可． 【详解】 由题得1234535x ++++==，1015304550305y ++++==． 故样本点的中心的坐标为(3,30)， 代入ˆˆ3ybx =-，得303ˆ113b +==． ∴ˆ113yx =-，取8x =，得ˆ118385y =⨯-=． 故选：C ． 【点睛】本题考查线性回归方程的求法，明确线性回归方程恒过样本点的中心是关键，是基础题． 6．已知非零实数a ，b 满足a b >，则下列不等关系一定成立的是（ ） A ．11a b< B ．ab a b >+ C ．22a b >D ．3223a ab a b b +>+【答案】D【解析】根据不等式的基本性质，一一进行判断即可得出正确结果． 【详解】 A.11a b<，取11a b =>=-，显然不成立，所以该选项错误； B. ab a b >+，取1,1a b ==-，显然不成立，所以该选项错误； C. 22a b >，取2,3a b ==-，显然不成立，所以该选项错误；D. 3223a ab a b b +>+，由已知220a b +>且a b >，所以2222()()a a b b a b +>+， 即3223a ab a b b +>+．所以该选项正确. 故选：D ． 【点睛】本题考查不等式的基本性质，属于容易题．7．在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若4A π=，5a =，4c =，则满足条件的ABC ∆的个数为（ ） A ．0 B ．1C ．2D ．无数多个【答案】B【解析】直接由正弦定理分析判断得解. 【详解】4,sinC sin ,sin 2A C AC =∴==∴<, 所以C 只有一解，所以三角形只有一解. 故选：B 【点睛】本题主要考查正弦定理的应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平. 8．已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若33S =，621S =-，则1a =（ ） A ．2- B ．1-C ．1D ．2【答案】C【解析】利用等比数列{}n a 的前n 项和公式列出方程组，能求出首项． 【详解】Q 等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，33S =，621S =-，∴313616(1)31(1)211a q S q a q S q ⎧-==⎪-⎪⎨-⎪==-⎪-⎩， 解得11a =，2q =-． 故选：C ． 【点睛】本题考查等比数列的首项的求法，考查等比数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．9．某校统计了1000名学生的数学期末考试成绩，已知这1000名学生的成绩均在50分到150分之间，其频率分布直方图如图所示，则这1000名学生中成绩在130分以上的人数为（ ）A ．10B ．20C ．40D ．60【答案】C【解析】由频率分布直方图求出这1000名学生中成绩在130分以上的频率，由此能求出这1000名学生中成绩在130分以上的人数． 【详解】由频率分布直方图得这1000名学生中成绩在130分以上的频率为： 1(0.0060.0140.020.008)200.04-+++⨯=，则这1000名学生中成绩在130分以上的人数为10000.0440⨯=人． 故选：C ． 【点睛】本题考查频数的求法，考查频率分布直方图的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．10．在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若22cos a b c B =+，则C =（ ） A ．2π B ．3π C ．4π D ．6π 【答案】B【解析】由题意和余弦定理可得222a b c ab +-=，再由余弦定理可得cos C ，可得角C 的值．【详解】Q 在ABC ∆中，2cos 2c B a b =-，∴由余弦定理可得222222a c b c a b ac+-⨯=-，222a b c ab ∴+-=，2221cos 22a b c C ab +-∴==，又(0,)C π∈，3C π∴=．故选：B ． 【点睛】本题考查利用余弦定理解三角形，考查了转化思想，属基础题． 11．已知1a >-，0b >，21a b +=，则121a b++的最小值为（ ） A ．72B ．92C ．7D ．9【答案】B【解析】根据条件可知10a +>，0b >，122a b ++=，从而得出121222(1)2()(12)()149111b a a b a b a b a b ++=+++=++++++…，这样便可得出121a b++的最小值． 【详解】1a >-Q ；10a ∴+>，且0b >，21a b +=；122a b ∴++=；∴121222(1)2()(12)()1459111b a a b a b a b a b ++=+++=++++=+++…，当且仅当213a b +==时等号成立； ∴12912a b ++…； ∴121a b ++的最小值为92． 故选：B ． 【点睛】考查基本不等式在求最值中的应用，注意应用基本不等式所满足的条件及等号成立的条件．12．已知,R λμ∈，ABC ∆所在平面内一点P 满足||||||||AB BC AC CB AP AB AC AB BC AC CB λμ⎛⎫⎛⎫=++=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u ur u u u r u u u r u u u r ，则||||BP CP =u u u ru u u r （ ） A ．sin2sin2BC B ．cos 2cos2BC C ．sin 2sin 2C BD ．cos2cos2C B 【答案】D【解析】由平面向量基本定理及单位向量可得点P 在ABC ∠的外角平分线上，且点P 在ACB ∠的外角平分线上，2BPBC π-∠=，2CPCB π-∠=，在PBC ∆中，由正弦定理得cos||sin 2sin ||cos 2C BP PCB B PBC CP ∠==∠u u u r u u u r 得解．【详解】因为||||||||AB BC AC CB AP AB AC AB BC AC CB λμ⎛⎫⎛⎫=++=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭u u u r u u u r u u u r u u u ru u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r 所以,||||||||AB BC AC CB BP CP AB BC AC CB λμ⎛⎫⎛⎫=+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭u u u r u u u r u u u r u u u ru u u r u u u r u u ur u u u r u u u r u u u r ， 因为||||AB BC AB BC +u u u r u u u r u u ur u u u r 方向为ABC ∠外角平分线方向， 所以点P 在ABC ∠的外角平分线上， 同理，点P 在ACB ∠的外角平分线上，2BPBC π-∠=，2CPCB π-∠=，在PBC ∆中，由正弦定理得cos||sin 2sin ||cos 2C BP PCB BPBC CP ∠==∠u u u r u u u r ， 故选：D ． 【点睛】本题考查了平面向量基本定理及单位向量，考查向量的应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平．二、填空题13．不等式210x x+>的解集为_________. 【答案】1,(0,)2⎛⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎝⎭【解析】利用两个数的商是正数等价于两个数同号；将已知的分式不等式转化为整式不等式，求出解集． 【详解】210x x+>同解于(21)0x x +> 解得21x <-或0x >故答案为：1(,)(0,)2-∞-+∞U【点睛】本题考查解分式不等式，利用等价变形转化为整式不等式是解题的关键．14．甲、乙两人要到某地参加活动，他们都随机从火车、汽车、飞机三种交通工具中选择一种，则他们选择相同交通工具的概率为_________. 【答案】13【解析】利用古典概型的概率求解. 【详解】甲、乙两人选择交通工具总的选择有339⨯=种，他们选择相同交通工具有3种情况， 所以他们选择相同交通工具的概率为3193=． 故答案为：13． 【点睛】本题考查古典概型，要用计数原理进行计数，属于基础题．15．当实数a 变化时，点()2,1P --到直线():1120l a x y a -++-=的距离的最大值为_______.【答案】【解析】由已知直线方程求得直线所过定点，再由两点间的距离公式求解． 【详解】由直线:(1)120l a x y a -++-=，得(2)10a x x y --++=，联立2010x x y -=⎧⎨-++=⎩，解得21x y =⎧⎨=⎩．∴直线l 恒过定点(2,1)，P ∴到直线l 的最大距离d =故答案为： 【点睛】本题考查点到直线距离最值的求法，考查直线的定点问题，是基础题．16．在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若ABC ∆cos A ，则cos sin B C +的最大值为________.【解析】先求得A 的值，再利用两角和差的三角公式和正弦函数的最大值，求得cos sin B C +的最大值．【详解】ABC ∆中，若ABC ∆1cos sin 2A bc A =g ，tan 3A ∴=，6A π∴=．11cos sin cos sin()cos sin()cos cos sin )622B C B A B B B B B B B B π+=++=++=++)3B π=+…当且仅当6B π=时，取等号，故cos sin B C +【点睛】本题主要两角和差的三角公式的应用和正弦函数的最大值，属于基础题．三、解答题17．学生会有A B C D E F 、、、、、共6名同学,其中4名男生2名女生,现从中随机选出2名代表发言.求：()1A 同学被选中的概率；()2至少有1名女同学被选中的概率.【答案】（1）13（2）35【解析】(1)用列举法列出所有基本事件,得到基本事件的总数和A 同学被选中的,然后用古典概型概率公式可求得;(2)利用对立事件的概率公式即可求得. 【详解】解：() 1选两名代表发言一共有()()()(),,,,,,,A B A C A D A E ,()()(),,,,,A F B C B D ,()()()(),,,,,,,,B E B F C D C E ()()()(),,,,,,,C F D E D F E F 共15种情况,其中.A 被选中的情况是()()()()(),,,,,,,,,A B A C A D A E A F 共5种. 所以A 被选中的概本为51153=. ()2不妨设, , , A B C D 四位同学为男同学,则没有女同学被选中的情况是:()()(),,,,,,A B A C A D ()()(),,,,,B C B D C D 共6种,则至少有一名女同学被选中的概率为631155-=. 【点睛】本题考查了古典概型的概率公式和对立事件的概率公式,属基础题. 18．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，77S =，2128a a +=. （1）求n a ；（2）设2n an b =，求数列{}n b 的前n 项和.【答案】（1）3n a n =-（2）2124n n T -=-【解析】（1）在等差数列{}n a 中根据77S =，2128a a +=，可求得其首项与公差，从而可求得n a ；（2）可证明{}n b 为等比数列，利用等比数列的求和公式计算即可． 【详解】（1）172127784772a a a a a S ++=⇒===Q g 711216a a a d -∴=-∴== 213n a n n ∴=-+-=-；（2）3n a n =-Q ，2n an b =32n n b -∴= 所以()2112142124n n n T --==--. 【点睛】本题考查等比数列的前n 项和，着重考查等差数列的性质与通项公式及等比数列的前n 项和公式，属于基础题．19．近年来，某地大力发展文化旅游创意产业，创意维护一处古寨，几年来，经统计，古寨的使用年限x （年）和所支出的维护费用y （万元）的相关数据如图所示，根据以往资料显示y 对x 呈线性相关关系.（1）求出y 关于x 的回归直线方程y bx a =+$$$；（2）试根据（1）中求出的回归方程，预测使用年限至少为几年时，维护费用将超过10万元？参考公式：对于一组数据()11,x y ，()22,x y ，…，(),n n x y ，其回归方程y bx a =+$$$的斜率和截距的最小二乘估计分别为$1221,n ii i x y nx b ay bx x ynx =--==--∑∑$$. 【答案】（1）ˆ0.70.35yx =+（2）使用年限至少为14年时，维护费用将超过10万元 【解析】（1）由已知图形中的数据求得ˆb 与ˆa 的值，则线性回归方程可求；（2）直接由ˆ0.70.3510yx =+>求得x 的范围得答案． 【详解】（1）3456 4.54x +++==， 2.534 4.5 3.54y +++==， 222223 2.543546 4.54 4.5 3.5ˆ0.73456445b ⨯+⨯+⨯+⨯-⨯⨯==+++-⨯g ， ˆ 3.50.7 4.50.35a=-⨯=． 故线性回归方程为ˆ0.70.35yx =+；（2）由ˆ0.70.3510y x =+>，解得111314x >． 故使用年限至少为14年时，维护费用将超过10万元．【点睛】本题考查线性回归方程的求法，考查计算能力，是基础题．20．如图，在ABC ∆中，90ABC ∠=︒，D 为AC 延长线上一点，且23AD =，6BD =，1in 3s ADB ∠=.（1）求AB 的长度；（2）求ABC ∆的面积. 【答案】（1）2AB =（22 【解析】（1）求得cos D ，在ABD ∆中运用余弦定理可得所求值；（2）在ABD ∆中，求得cos A ，sin A ，AC ，再由三角形的面积公式，可得所求值．【详解】（1）由题意可得222cos 13D sin D =-=， 在ABD ∆中，由余弦定理可得2222cos AB AD BD AD BD D =+-g2212622362=+-⨯=，则2AB =（2）在ABD ∆中，2226cos 22223AB AD BD A AB AD +-==g g ， 23sin 1A cos A -，3cos AB AC A==， ABC ∆的面积为1132sin 23222S AB AC A ===g g g g． 【点睛】本题考查三角形的余弦定理和正弦定理、面积公式的运用，考查方程思想和运算能力．21．在平面直角坐标系中，ABC ∆的顶点()1,3A -、()3,4B -，边AC 上的高线所在的直线方程为2360x y ++=，边BC 上的中线所在的直线方程为2370x y +-=. （1）求点B 到直线AC 的距离；（2）求ABC ∆的面积.【答案】（1）2）13【解析】（1）由题意求得AC 所在直线的斜率再由直线方程点斜式求AC 的方程，然后利用点到直线的距离公式求解；（2）设C 的坐标，由题意列式求得C 的坐标，再求出||AC ，代入三角形面积公式求解．【详解】（1）由题意，32AC k =，直线AC 的方程为33(1)2y x -=+，即3290x y -+=． 点B 到直线AC的距离d ==（2）设(,)C m n ，则BC 的中点坐标为34(,)22m n +-， 则329034237022m n m n -+=⎧⎪⎨+-⨯+⨯-=⎪⎩，解得16m n =⎧⎨=⎩，即C(1,6)，||AC ∴=ABC ∆∴的面积1||132S AC d ==g ．【点睛】本题考查点到直线的距离公式的应用，考查点关于直线的对称点的求法，是基础题． 22．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，115a =，123n n n n a a a +=+. （1）证明：数列13n n a ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭为等比数列；（2）证明：n S <【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析【解析】（1）将已知递推式取倒数得1123n n na a +=+，，再结合等比数列的定义，即可得证；（2）由（1）得132n n na =+，再利用基本不等式以及放缩法和等比数列的求和公式，结合不等式的性质，即可得证．【详解】（1）115a =，123n n n n a a a +=+， 可得1123n n na a +=+， 即有111132(3)n n n na a ++-=-， 可得数列1{3}n na -为公比为2，首项为2的等比数列； （2）由（1）可得132n n na -=， 即132n n n a =+，由基本不等式可得32n n n +>，n a <，即有12112211n n S a a a =++⋯+<<=- 【点睛】本题考查等比数列的定义和通项公式、求和公式、考查构造数列法以及放缩法的运用，考查化简运算能力和推理能力，属于中档题．。
2018-2019学年高一数学下学期期末考试试题(含解析)
2018-2019学年高一数学下学期期末考试试题（含解析）一.填空题。
1.如果则________【答案】【解析】因为，所以.2.函数定义域是________【答案】【解析】【分析】利用反函数定义域直接求解即可【详解】由题故答案为【点睛】本题考查反三角函数的定义域问题，准确计算是关键，是基础题3.若函数是偶函数，则等于______【答案】【解析】【分析】利用偶函数的性质直接求解即可【详解】由题，又，故=故答案为【点睛】本题考查三角函数的奇偶性，熟记性质是关键，是基础题4.函数的值域是________【答案】【解析】分析】利用二倍角公式结合三角函数性质直接求解即可【详解】故函数的值域为故答案为【点睛】本题考查三角函数的性质，二倍角公式，熟记性质是关键，是基础题5.等差数列的前项和为，且，则______【答案】5【解析】根据等差数列前项和公式及性质可得：，得，故答案为.6.已知是以为首项，为公差的等差数列，是其前项和，则数列的最小项为第___项【答案】【解析】【分析】先求，利用二次函数性质求最值即可【详解】由题当时最小故答案为8【点睛】本题考查等差数列的求和公式，考查二次函数求最值，是基础题7.若数列的前项和为，且，则_______【答案】【解析】【分析】由递推关系求得即可求解【详解】当，两式作差得，故，为等比数列，又，故答案为【点睛】本题考查递推关系求通项，考查等比数列通项公式，是基础题8.关于的方程有解，则实数的取值范围是_____【答案】【解析】【分析】令，转化为t的二次函数求值域即可求解【详解】令，则，则故答案为【点睛】本题考查二次函数的值域，考查三角函数的值域，是基础题9.已知函数的定义域是，值域是，则的最大值是_____【答案】【解析】令，可得或者，的值为……两个相邻的值相差，因为函数的值域是,所以的最大值是，故答案为.10.若是函数的两个不同的零点，且这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，则的值等于________．【答案】9【解析】试题分析：由可知同号，且有，假设，因为排序后可组成等差数列，可知其排序必为，可列等式，又排序后可组成等比数列，可知其排序必为，可列等式，联解上述两个等式，可得，则．考点：等差数列中项以及等比数列中项公式的运用．【思路点睛】解本题首先要能根据韦达定理判断出a，b均为正值，当他们与-2成等差数列时，共有6种可能，当-2为等差中项时，因为，所以不可取，则-2只能作为首项或者末项，这两种数列的公差互为相反数；又a,b与-2可排序成等比数列，由等比中项公式可知-2必为等比中项，两数列搞清楚以后，便可列方程组求解p，q．二.单项选择题。
重庆市南岸区2018-2019学年高一数学下学期期末考试试题(含解析)
f (2x 1) f (1) 0 f (2x 1) f (1)
又因为
3 ，即
3，
2x 1 1 1 2x 1 1
1 x 2
所以
3 ，即 3
3 ，求得 3
3 ，故选 A.
【点睛】本题主要考查了函数的单调性和奇偶性的应用，其中根据函数的奇偶性和函数的单
2x 1 1
调性，把不等式转化为
3 求解是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能
定理得 (2c)2 (4a)2 (2a)2 2(4a)(2a) cos120 c2 7a2 e 7
考点：双曲线定义
【思路点睛】(1)对于圆锥曲线的定义不仅要熟记，还要深入理解细节部分：比如椭圆的定
义中要求|PF1|＋|PF2|＞|F1F2|，双曲线的定义中要求||PF1|－|PF2||＜|F1F2|，抛物线上的 点到焦点的距离与准线的距离相等的转化.(2)注意数形结合，画出合理草图.
5.已知定义在
R
上的函数
f
x 是奇函数且满足，
f
3 2
x
f
(x) ，f
(2)
3
，数列
an
满足
a1
1 ，且
Sn
2an
n ，(其中
Sn
为
an
的前
n
项和).则
f a5 f a6 （）
A. 3
B. 2
C. 3
D. 2
【答案】A
【解析】
由奇函数满足
f
3 2
x
f
x
可知该函数是周期为 T
3 的奇函数，
则：
2bc
2bc 2 ，
由于：0＜A＜π，
故：A 3 ．
2019学年重庆一中高一下期末数学试卷【含答案及解析】
2019学年重庆一中高一下期末数学试卷【含答案及解析】姓名___________ 班级____________ 分数__________一、选择题1. 已知集合，，则（）（A）___________________________________ （B）（C）______________________________ （D）2. 设a＝，b＝（3,1），若a b，则实数k的值等于（）（A）－_________________________________ （B）－___________________________________ （C）___________________________________ （D）3. 设等差数列{a n }的前n项和为S n ，若a 5 ＋a 14 ＝10，则S 18 等于（）（ A）20____________________ （B）60____________________________ （C）90________________________ （D）1004. 圆与圆的位置关系为（）（A）内切____________________________ （B）相交______________________________ （C）外切________________________ （D）相离5. 已知变量x，y满足约束条件，则z=3x+y的最大值为（）（A）12____________________________ （B）11________________________ （C）3____________________________ （D）－ 16. 已知等比数列{a n }中，a 1 ＝1，q＝2，则T n ＝＋＋…＋的结果可化为（）（A）1－____________________ （B）1－______________________________ （C）（1－）______________ （D）（1－）7. “m=1”是“直线与直线平行”的（）（A）充分不必要条件（B）必要不充分条件（C）充要条件（D）既不充分也不必要条件8. 阅读右面的程序框图，运行相应的程序，输出S的值为（）（A）15 （B）105______________ （C）245 （D）9459. 现有两组卡片，第一组卡片上分别写有数字“2，3，4” ，第二组卡片上分别写有数字“3，4，5” ，现从每组卡片中各随机抽出一张，用抽取的第一组卡片上的数字减去抽取的第二组卡片上的数字，差为负数的概率为（）（A）________________________ （ B）_________________________________ （C）________________________ （ D）10. 在平行四边形ABCD中，AD＝2，∠BAD＝60°，E为CD的中点，若＝1，则AB的长为（）（A）______________ （B）4______________________________ （C）5____________________ （D）611. 已知函数，且对于任意实数关于的方程都有四个不相等的实根，则的取值范围是（）（A）_________________________（ B ）（ C ）____________________________（ D ）12. 已知集合，，若，则的最小值（）（A）（B）______________________________________ （C）（6－2 ）（D）二、填空题13. 某学校高一、高二、高三年级的学生人数之比为，现用分层抽样的方法从该校高中三个年级的学生中抽取容量为50的样本，则应从高一年级抽取___________ 名学生．14. 在中，角所对边长分别为，若，则b=___________．15. 已知点P，Q为圆C：x 2 ＋y 2 ＝25上的任意两点，且|PQ|＜6，若PQ中点组成的区域为M，在圆C内任取一点，则该点落在区域M上的概率为__________ ．16. 点C是线段 AB上任意一点，O是直线AB外一点，，不等式对满足条件的x，y恒成立，则实数k的取值范围＿＿＿＿．三、解答题17. 已知的面积是 3 ，角所对边长分别为，．（Ⅰ ）求；（Ⅱ ）若，求的值．18. 已知圆：，直线l过定点．（Ⅰ ）若l与圆相切，求直线l的方程；（Ⅱ ）若l与圆相交于、两点，且，求直线l的方程．19. 某校从高一年级学生中随机抽取40名学生，将他们的期中考试数学成绩（满分100分，成绩均为不低于40分的整数）分成六段：[40,50），[50,60），…，[90,100]后得到如图所示的频率分布直方图．（Ⅰ）若该校高一年级共有学生640名，试估计该校高一年级期中考试数学成绩不低于60分的人数；（Ⅱ）若从数学成绩在[40,50）与[90,100]两个分数段内的学生中随机选取2名学生，求这2名学生的数学成绩之差的绝对值不大于10的概率．20. 已知数列{a n }满足（其中）．（Ⅰ ）求数列{a n }的通项公式；（Ⅱ ）设，其前n项和是T n ，求证：T n ＜．21. 已知动点满足方程．（Ⅰ ）求动点P到直线距离的最小值；（Ⅱ ）设定点，若点之间的最短距离为 , 求满足条件的实数的取值．22. 已知函数为奇函数，且．（Ⅰ ）求实数a与b的值；（Ⅱ ）若函数，设为正项数列，且当时，，（其中），的前项和为，，若恒成立，求的最小值．参考答案及解析第1题【答案】第2题【答案】第3题【答案】第5题【答案】第6题【答案】第8题【答案】第9题【答案】第10题【答案】第11题【答案】第12题【答案】第13题【答案】第14题【答案】第15题【答案】第16题【答案】第17题【答案】第18题【答案】第19题【答案】第20题【答案】第21题【答案】第22题【答案】。
2018-2019学年第二学期高一下学期期末考试数学试卷及答案解析
……○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________……○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………2018-2019学年第二学期高一下学期期末考试数学试卷评卷人 得分一、选择题1、已知为角的终边上的一点，且，则的值为（ ）A ．B ．C ．D ．2、在等差数列中，,则（ ）A ．B ．C ．D ．3、若，则一定有（ ）A ．B ．C ．D ．4、已知等差数列的前项和为，若且，则当最大时的值是（ ）A ．B ．C ．D ．5、若，则的值为（ ）A ．B ．C ．D ．6、在中，已知，则的面积等于（ ）A ．B ．C ．D ．7、各项均为正数的等比数列的前项和为，若，则（ ） A ．B ．C ．D ．……○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※……○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………8、若变量满足约束条件，且的最大值为，最小值为，则的值是（ ） A ． B ．C ．D ．9、在中，角所对的边分别为，且，若，则的形状是（ ）A ．等腰三角形B ．直角三角形C ．等边三角形D ．等腰直角三角形 10、当甲船位于处时获悉，在其正东方向相距海里的处，有一艘渔船遇险等待营救，甲船立即前往营救，同时把消息告知在甲船的南偏西相距海里处的乙船，乙船立即朝北偏东角的方向沿直线前往处营救，则的值为（ ）A ．B ．C ．D ．11、已知是内的一点，且，若和的面积分别为，则的最小值是（ ）A ．B ．C ．D ． 12、已知数列满足，则（ ） A ．B ．C ．D ．评卷人 得分二、填空题13、已知，且，则__________。
2018-2019学年高一数学下学期期末考试试题(含解析)_9
2018-2019学年高一数学下学期期末考试试题（含解析）本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分第I卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1.设集合，集合为函数的定义域，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】解不等式化简集合的表示，求出函数的定义域，表示成集合的形式，运用集合的并集运算法则，结合数轴求出.【详解】因为，所以.又因为函数的定义域为，所以.因此，故本题选B.【点睛】本题考查了集合的并集运算，正确求出对数型函数的定义域，运用数轴是解题的关键.2.已知a，b，c∈R，那么下列命题中正确的是 ( )A. 若a>b，则ac2>bc2B. 若，则a>bC. 若a3>b3且ab<0，则D. 若a2>b2且ab>0，则【答案】C【解析】【分析】根据不等式的性质，对A、B、C、D四个选项通过举反例进行一一验证．【详解】A．若a＞b，则ac2＞bc2（错），若c=0，则A不成立；B．若，则a＞b（错），若c＜0，则B不成立；C．若a3＞b3且ab＜0，则（对），若a3＞b3且ab＜0，则D．若a2＞b2且ab＞0，则（错），若，则D不成立．故选：C．【点睛】此题主要考查不等关系与不等式的性质及其应用，例如举反例法求解比较简单．两个式子比较大小的常用方法有：做差和0比，作商和1比，或者直接利用不等式的性质得到大小关系，有时可以代入一些特殊的数据得到具体值，进而得到大小关系.3.中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步并不难，次日脚痛减一半，六朝才得至其关，欲问每朝行里数，请公仔细算相还”.其意思为：“有一个人走378里路，第1天健步行走，从第2天起，因脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地，可求出此人每天走多少里路.”那么此人第5天走的路程为（）A. 48里B. 24里C. 12里D. 6里【答案】C【解析】记每天走的路程里数为{an}，由题意知{an}是公比的等比数列，由S6=378，得=378，解得：a1=192，∴=12（里）．故选：C．4.若向量，的夹角为，且，，则向量与向量的夹角为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】，，设向量与向量的夹角为，，，故选A.5.函数的图象大致为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】先求出函数为偶函数，再根据函数值的变化趋势或函数的单调性即可判断．【详解】解：，为偶函数，的图象关于y轴对称，故排除B，C，当时，，故排除D，或者根据，当时，为增函数，故排除D，故选：A．【点睛】本题考查了函数图象的识别，关键是掌握函数的奇偶性和函数的单调性和函数值的变化趋势，属于基础题．6.已知，，，则的大小关系为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据对数函数的单调性可知都大于1，把化成后可得的大小，从而可得的大小关系.【详解】因为及都是上的增函数，故，，又，故，选B.【点睛】对数的大小比较，可通过寻找合适的单调函数来构建大小关系，如果底数不统一，可以利用对数的运算性质统一底数.不同类型的数比较大小，应找一个中间数，通过它实现大小关系的传递.7.已知四面体中，，分别是，的中点，若，，与所成角的度数为30°，则与所成角的度数为（）A. 90°B. 45°C. 60°D. 30°【答案】A【解析】【分析】取的中点,利用三角形中位线定理,可以得到,与所成角为，运用三角形中位线定理和正弦定理，可以求出的大小，也就能求出与所成角的度数.【详解】取的中点连接，如下图所示：因为，分别是，的中点，所以有，因为与所成角的度数为30°，所以，与所成角的大小等于的度数.在中，，故本题选A.【点睛】本题考查了异面直线所成角的求法，考查了正弦定理，取中点利用三角形中位线定理是解题的关键.8.函数（其中，，）的图象如图所示，为了得到的图象，只需把的图象上所有的点（）A. 向右平移个单位长度B. 向左平移个单位长度C. 向右平移个单位长度D. 向左平移个单位长度【答案】C【解析】【分析】通过图象可以知道：最低点纵坐标为，函数的图象与横轴的交点的坐标为，与之相邻的最低点的坐标为，这样可以求出和最小正周期，利用余弦型函数最小正周期公式，可以求出，把零点代入解析式中，可以求出，这样可以求出函数的解析式，利用诱导公式化为正弦型三角函数解析式形式，最后利用平移变换解析式的变化得出正确答案.【详解】由图象可知：函数的最低点的纵坐标为，函数的图象与横轴的交点的坐标为，与之相邻的最低点的坐标为，所以，设函数的最小正周期为，则有，而，把代入函数解析式中，得，所以，而，显然由向右平移个单位长度得到的图象，故本题选C.【点睛】本题考查了由函数图象求余弦型函数解析式，考查了正弦型函数图象之间的平移变换规律.9.如图，有一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，汽车在点测得公路北侧山顶的仰角为30°，汽车行驶后到达点测得山顶在北偏西30°方向上，且仰角为45°，则山的高度为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】通过题意可知：，设山的高度，分别在中求出，最后在中，利用余弦定理，列出方程，解方程求出的值.【详解】由题意可知：.在中，.在中，.中，由余弦定理可得：（舍去），故本题选D.【点睛】本题考查了余弦定理的应用，弄清题目中各个角的含义是解题的关键.10.已知是定义在上的奇函数，当时，，那么不等式的解集是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】根据奇函数的性质求出的解析式，然后分类讨论求出不等式的解集.【详解】因为是定义在上的奇函数，所以有，显然是不等式的解集；当时，；当时，，综上所述：不等式的解集是，故本题选B.【点睛】本题考查了利用奇函数性质求解不等式解集问题，考查了分类思想，正确求出函数的解析式是解题的关键.11.已知数列的前项和为，若，则（）A. B. C. D.【答案】A【分析】再递推一步，两个等式相减，得到一个等式，进行合理变形，可以得到一个等比数列，求出通项公式，最后求出数列的通项公式，最后求出，选出答案即可.【详解】因为，所以当时，，两式相减化简得：，而，所以数列是以为首项，为公比的等比数列，因此有，所以，故本题选A.【点睛】本题考查了已知数列递推公式求数列通项公式的问题，考查了等比数列的判断以及通项公式，正确的递推和等式的合理变形是解题的关键.12.已知函数，若方程有5个解，则的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】利用因式分解法，求出方程的解，结合函数的性质，根据题意可以求出的取值范围.【详解】，，或，由题意可知：，由题可知：当时，有2个解且有2个解且，当时，，因为，所以函数是偶函数，当时，函数是减函数，故有，函数是偶函数，所以图象关于纵轴对称，即当时有，，所以，综上所述；的取值范围是，故本题选D.【点睛】本题考查了已知方程解的情况求参数取值问题，正确分析函数的性质，是解题的关键.第II卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把正确答案写在答题卡相应题的横线上13.计算：________【答案】【分析】用正弦、正切的诱导公式化简求值即可.【详解】.【点睛】本题考查了正弦、正切的诱导公式，考查了特殊角的正弦值和正切值.14.已知，若数列满足，，则等于________【答案】【解析】【分析】根据首项、递推公式，结合函数解析式，求出的值，可以发现数列是周期数列，求出周期，利用数列的周期性可以求出的值.【详解】，所以数列是以5为周期的数列，因为20能被5整除，所以.【点睛】本题考查了数列的周期性，考查了数学运算能力.15.已知，，两圆和只有一条公切线，则的最小值为________【答案】9【解析】【分析】两圆只有一条公切线，可以判断两圆是内切关系，可以得到一个等式，结合这个等式，可以求出的最小值.【详解】，圆心为，半径为2；，圆心为，半径为1.因为两圆只有一条公切线，所以两圆是内切关系，即，于是有（当且仅当取等号），因此的最小值为9.【点睛】本题考查了圆与圆的位置关系，考查了基本不等式的应用，考查了数学运算能力.16.(数学文卷·2017届广东省揭阳市届高三上学期期末调研考试第15题) 鲁班锁是中国传统的智力玩具，起源于古代汉族建筑中首创的榫卯结构，这种三维的拼插器具内部的凹凸部分（即榫卯结构）啮合，十分巧妙，外观看是严丝合缝的十字立方体，其上下、左右、前后完全对称．从外表上看，六根等长的正四棱柱体分成三组，经榫卯起来，如图3，若正四棱柱体的高为，底面正方形的边长为，现将该鲁班锁放进一个球形容器内，则该球形容器的表面积的最小值为__________．（容器壁的厚度忽略不计）【答案】【解析】表面积最小的球形容器可以看成长、宽、高分别为1、2、6的长方体的外接球。
2018-2019学年重庆市区县高一(下)期末数学试卷
2018-2019学年重庆市区县高一（下）期末数学试卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个备选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）已知向量(2,3)a =r，(,4)b m =r ，若,a b r r 共线，则实数(m = )A ．6-B ．83-C ．83D ．62．（5分）已知a ，b R ∈，若关于x 的不等式20x ax b ++<的解集为(1,3)，则(a b += )A ．7-B ．1-C ．1D ．73．（5分）已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且24S =，416S =，则56(a a += ) A ．11B ．16C ．20D ．284．（5分）某高中三个年级共有3000名学生，现采用分层抽样的方法从高一、高二、高三年级的全体学生中抽取一个容量为30的样本进行视力健康检查，若抽到的高一年级学生人数与高二年级学生人数之比为3:2，抽到高三年级学生10人，则该校高二年级学生人数为( )A ．600B ．800C ．1000D ．12005．（5分）已知变量x ，y 的取值如表：由散点图分析可知y 与x 线性相关，且求得回归直线的方程为ˆˆ3y bx =-，据此可预测：当8x =时，y 的值约为( )A ．63B ．74C ．85D ．966．（5分）已知非零实数a ，b 满足a b >，则下列不等关系一定成立的是( ) A ．11a b< B ．ab a b >+ C ．22a b >D ．3223a ab a b b +>+7．（5分）在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若4A π=，5a =，4c =，则满足条件的ABC ∆的个数为( ) A ．0B ．1C ．2D ．无数多个8．（5分）已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若33S =，621S =-，则1(a = ) A ．2-B ．1-C ．1D ．29．（5分）某校统计了1000名学生的数学期末考试成绩，已知这1000名学生的成绩均在50分到150分之间，其频率分布直方图如图所示，则这1000名学生中成绩在130分以上的人数为( )A ．10B ．20C ．40D ．6010．（5分）在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知22cos a b c B -=，则角C 的大小为( ) A ．6πB ．3π C ．23π D ．56π 11．（5分）已知1a >-，0b >，21a b +=，则121a b ++的最小值为( ) A ．72B ．92C ．7D ．912．（5分）已知λ，R μ∈，ABC ∆所在平面内一点P 满足()()ABBCACCBAP AB AC AB BC AC CBλμ=++=++，则||(||BP CP =u u u r u u u r ) A ．sin 2sin2BC B ．cos 2cos2B C C ．sin 2sin2C BD ．cos2cos2C B 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分 13．（5分）关于x 的不等式210x x+>的解集为 ． 14．（5分）甲、乙两人要到某地参加活动，他们都随机从火车、汽车、飞机三种交通工具中选择一种，则他们选择相同交通工具的概率为 ．15．（5分）当实数a 变化时，点(2,1)P --到直线:(1)120l a x y a -++-=的距离的最大值为16．（5分）在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别为，b ，c ，若ABC ∆的面积为3cos bc A ，则cos sin B C +的最大值为三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（10分）学生会6名同学，其中4名男同学2名女同学．现要从中随机选出2名代表发言．求：（1）A 同学被选中的概率是多少？（2）至少有1名女同学被选中的概率是多少？18．（12分）设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，77S =，2128a a +=． （1）求n a ；（2）设2n a n b =，求数列{}n b 的前n 项和n T ．19．（12分）近年来，某地大力发展文化旅游创意产业创意维护一处古寨，几年来，经统计，古寨的使用年限x （年)和所支出的维护费用y （万元）的相关数据如图所示，根据以往资料显示y 对x 呈线性相关关系（1）求出y 关于x 的回归直线方程ˆˆˆybx a =+； （2）试根据（1）中求出的回归方程，预测使用年限至少为几年时，维护费用将超过10万元？参考公式：对于一组数据1(x ，1)y ，2(x ，2)y ，⋯，(n x ，)n y ，其回归方程ˆˆˆybx a =+的斜率和截距的最小二乘估计分别为1221ˆˆˆ,ni ii nii x ynxy bay bx xnx ==-==--∑∑． 20．（12分）如图，在ABC ∆中，90ABC ∠=︒，D 为AC 延长线上一点，且23AD =6BD =，1sin 3ADB ∠=． （1）求AB 的长度； （2）求ABC ∆的面积．21．（12分）在平面直角坐标系中，ABC ∆的顶点(1,3)A -、(3,4)B -，边AC 上的高线所在的直线方程为2360x y ++=，边BC 上的中线所在的直线方程为2370x y +-=． （1）求点B 到直线AC 的距离； （2）求ABC ∆的面积．22．（12分）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，115a =，123n n n n a a a +=+．（1）证明：数列1{3}n na -为等比数列； （2）证明：2(61)n S <-．2018-2019学年重庆市区县高一（下）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个备选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）已知向量(2,3)a =r，(,4)b m =r ，若,a b r r 共线，则实数(m = )A ．6-B ．83-C ．83D ．6【解答】解：Q 向量(2,3)a =r，(,4)b m =r ，,a b r r 共线， ∴423m =， 解得实数83m =．故选：C ．2．（5分）已知a ，b R ∈，若关于x 的不等式20x ax b ++<的解集为(1,3)，则(a b += )A ．7-B ．1-C ．1D ．7【解答】解：由已知及韦达定理可得，13a -=+，13b =⨯， 即4a =-，3b =， 所以1a b +=-． 故选：B ．3．（5分）已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且24S =，416S =，则56(a a += ) A ．11B ．16C ．20D ．28【解答】解：{}n a Q 为等差数列，前n 项和为n S ，2S ∴，42S S -，64S S -成等差数列，422642()()S S S S S ∴-=+-，又24S =，416S =，64562444S S a a ∴=+-=++，5620a a ∴+=． 故选：C ．4．（5分）某高中三个年级共有3000名学生，现采用分层抽样的方法从高一、高二、高三年级的全体学生中抽取一个容量为30的样本进行视力健康检查，若抽到的高一年级学生人数与高二年级学生人数之比为3:2，抽到高三年级学生10人，则该校高二年级学生人数为()A ．600B ．800C ．1000D ．1200【解答】解：根据题意可设抽到高一和高二年级学生人数分别为3k 和2k ，则 321030k k ++=，即4k =，所以高一年级和高二年级抽到的人数分别是12人和8人， 则该校高二年级学生人数为8300080030⨯=人． 故选：B ．5．（5分）已知变量x ，y 的取值如表：由散点图分析可知y 与x 线性相关，且求得回归直线的方程为ˆˆ3y bx =-，据此可预测：当8x =时，y 的值约为( )A ．63B ．74C ．85D ．96【解答】解：1234535x ++++==，1015304550305y ++++==．故样本点的中心的坐标为(3,30)， 代入ˆˆ3ybx =-，得303ˆ113b +==． ∴ˆ113yx =-，取8x =，得ˆ118385y =⨯-=． 故选：C ．6．（5分）已知非零实数a ，b 满足a b >，则下列不等关系一定成立的是( ) A ．11a b< B ．ab a b >+ C ．22a b >D ．3223a ab a b b +>+【解答】解：由已知220a b +>且a b >， 所以2222()()a a b b a b +>+， 即3223a ab a b b +>+． 故选：D ．7．（5分）在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若4A π=，5a =，4c =，则满足条件的ABC ∆的个数为( ) A ．0B ．1C ．2D ．无数多个【解答】解：4A π=Q，5a =，4c =，∴由余弦定理2222cos a b c bc A =+-，可得：22251624b b =+-⨯⨯⨯，可得：24290b b --=，(*)∴由△24680b ac =-=>，且两根之和为正、两根之积为负数，∴方程(*)有两个不相等的实数根，且只有一个正实数根，即有一个边b 满足题中的条件，由此可得满足条件的ABC ∆有一个解． 故选：B ．8．（5分）已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若33S =，621S =-，则1(a = ) A ．2-B ．1-C ．1D ．2【解答】解：Q 等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，33S =，621S =-， ∴313616(1)31(1)211a q S q a q S q ⎧-==⎪-⎪⎨-⎪==-⎪-⎩， 解得11a =，2q =-． 故选：C ．9．（5分）某校统计了1000名学生的数学期末考试成绩，已知这1000名学生的成绩均在50分到150分之间，其频率分布直方图如图所示，则这1000名学生中成绩在130分以上的人数为( )A ．10B ．20C ．40D ．60【解答】解：由频率分布直方图得：这1000名学生中成绩在130分以上的频率为： 1(0.0060.0140.020.008)200.04-+++⨯=，则这1000名学生中成绩在130分以上的人数为10000.0440⨯=人． 故选：C ．10．（5分）在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知22cos a b c B -=，则角C 的大小为( ) A ．6πB ．3π C ．23π D ．56π 【解答】解：Q 在ABC ∆中，2cos 2c B a b =-，∴由余弦定理可得：222222a c b c a b ac +-⨯=-，222a b c ab ∴+-=，2221cos 22a b c C ab +-∴==，又(0,)C π∈，3C π∴=．故选：B ．11．（5分）已知1a >-，0b >，21a b +=，则121a b ++的最小值为( ) A ．72B ．92C ．7D ．9【解答】解：1a >-Q ；10a ∴+>，且0b >，21a b +=； 122a b ∴++=；∴121222(1)2()(12)()1459111b a a b a b a b a b ++=+++=++++=+++…，当且仅当213a b +==时等号成立； ∴12912a b ++…； ∴121a b ++的最小值为92． 故选：B ．12．（5分）已知λ，R μ∈，ABC ∆所在平面内一点P 满足()()AB BC AC CBAP AB AC AB BC AC CBλμ=++=++，则||(||BP CP =u u u r u u u r ) A ．sin 2sin2BC B ．cos 2cos2B C C ．sin 2sin2C BD ．cos2cos2C B 【解答】解：由||||AB BC AB BC +u u u r u u u r u u ur u u u r 方向为ABC ∠外角平分线方向， 所以点P 在ABC ∠的外角平分线上， 同理，点P 在ACB ∠的外角平分线上，2BPBC π-∠=，2CPCB π-∠=，在PBC ∆中，由正弦定理得： cos||sin 2sin ||cos 2C BP PCB BPBC CP ∠==∠u u u r u u u r ， 故选：D ．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分 13．（5分）关于x 的不等式210x x +>的解集为 1(,)(0,)2-∞-+∞U ． 【解答】解：210x x+>同解于 2100x x +>⎧⎨>⎩或2100x x +<⎧⎨<⎩解得12x <-或0x >故答案为：1(,)(0,)2-∞-+∞U14．（5分）甲、乙两人要到某地参加活动，他们都随机从火车、汽车、飞机三种交通工具中选择一种，则他们选择相同交通工具的概率为13． 【解答】解：甲、乙两人选择交通工具总的选择有339⨯=种，他们选择相同交通工具有3种情况，所以他们选择相同交通工具的概率为3193=．故答案为：13．15．（5分）当实数a 变化时，点(2,1)P --到直线:(1)120l a x y a -++-=的距离的最大值为【解答】解：由直线:(1)120l a x y a -++-=，得(2)10a x x y --++=， 联立2010x x y -=⎧⎨-++=⎩，解得21x y =⎧⎨=⎩．∴直线l 恒过定点(2,1)，P ∴到直线l的最大距离d ==故答案为：16．（5分）在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别为，b ，c ，若ABC ∆cos A ，则cos sin B C +【解答】解：ABC ∆中，若ABC ∆1cos sin 2A bc A =g ，tan A ∴=，6A π∴=．则11cos sin cos sin()cos sin()cos cos sin ))6223B C B A B B B B B B B B B ππ+=++=++=+++…，当且仅当6B π=时，取等号，故cos sin B C +三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（10分）学生会6名同学，其中4名男同学2名女同学．现要从中随机选出2名代表发言．求：（1）A 同学被选中的概率是多少？（2）至少有1名女同学被选中的概率是多少？【解答】解：（1）所有的选法有26C 种，A 同学被选中的方法有1115C C 种，故A 同学被选中的概率是 152613C P C ==．（2）所有的选法有26C 种，至少有1名女同学包括两种情况：1个男同学与1个女同学，2个女同学，这两种情况分别有1142C C 和22C 种选法， 故至少有1名女同学被选中的概率是1124222635C C C P C +==． 18．（12分）设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，77S =，2128a a +=．（1）求n a ；（2）设2n a n b =，求数列{}n b 的前n 项和n T ．【解答】解：（1）172127784772a a a a a S ++=⇒===Q g 711216a a a d -∴=-∴== 213n a n n ∴=-+-=-；（2）3n a n =-Q ，2n a n b =32n n b -∴=则111(12)14(21)124n n n T ---==--． 19．（12分）近年来，某地大力发展文化旅游创意产业创意维护一处古寨，几年来，经统计，古寨的使用年限x （年)和所支出的维护费用y （万元）的相关数据如图所示，根据以往资料显示y 对x 呈线性相关关系（1）求出y 关于x 的回归直线方程ˆˆˆybx a =+； （2）试根据（1）中求出的回归方程，预测使用年限至少为几年时，维护费用将超过10万元？参考公式：对于一组数据1(x ，1)y ，2(x ，2)y ，⋯，(n x ，)n y ，其回归方程ˆˆˆybx a =+的斜率和截距的最小二乘估计分别为1221ˆˆˆ,n i ii n ii x y nxyb a y bx x nx ==-==--∑∑． 【解答】解：（1）3456 4.54x +++==， 2.534 4.5 3.54y +++==， 222223 2.543546 4.54 4.5 3.5ˆ0.73456445b ⨯+⨯+⨯+⨯-⨯⨯==+++-⨯g ， ˆ 3.50.7 4.50.35a=-⨯=． 故线性回归方程为ˆ0.70.35yx =+； （2）由ˆ0.70.3510y x =+>，解得111314x >． 故使用年限至少为14年时，维护费用将超过10万元． 20．（12分）如图，在ABC ∆中，90ABC ∠=︒，D 为AC 延长线上一点，且23AD =，6BD =，1sin 3ADB ∠=． （1）求AB 的长度；（2）求ABC ∆的面积．【解答】解：（1）由题意可得222cos 1D sin D =-= 在ABD ∆中，由余弦定理可得2222cos AB AD BD AD BD D =+-g 2212622362=+-⨯=，则2AB = （2）在ABD ∆中，2226cos 22223AB AD BD A AB AD +-===g g ， 23sin 1A cos A =-=3cos AB AC A == ABC ∆的面积为1132sin 2322S AB AC A ===g g g g 21．（12分）在平面直角坐标系中，ABC ∆的顶点(1,3)A -、(3,4)B -，边AC 上的高线所在的直线方程为2360x y ++=，边BC 上的中线所在的直线方程为2370x y +-=．（1）求点B 到直线AC 的距离；（2）求ABC ∆的面积．【解答】解：（1）由题意，32AC k =，直线AC 的方程为33(1)2y x -=+，即3290x y -+=． 点B 到直线AC的距离d == （2）设(,)C m n ，则BC 的中点坐标为34(,)22m n +-， 则329034237022m n m n -+=⎧⎪⎨+-⨯+⨯-=⎪⎩，解得16m n =⎧⎨=⎩，即(1,6)C ，||AC ∴= ABCd ∴∆的面积1||132S AC d ==g ． 22．（12分）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，115a =，123n n n n a a a +=+． （1）证明：数列1{3}n n a -为等比数列； （2）证明：n S <． 【解答】证明：（1）115a =，123n n n n a a a +=+， 可得1123n n n a a +=+， 即有111132(3)n n n na a ++-=-， 可得数列1{3}n na -为公比为2，首项为2的等比数列； （2）由（1）可得132n n n a -=， 即132n n na =+，由基本不等式可得32n n n +>，n a <，即有12112211n n S a a a =++⋯+<<=--．。
2018~2019学年度高一下学期数学期末试卷(含答案)
2018~2019学年度高一下学期数学期末试卷（含答案）一、选择题（本大题共12小题，共60分）1.若角α的终边经过点(1,−√3)，则sinα=()A. −12B. −√32C. 12D. √322.已知a⃗=(1,x)和b⃗ =(2x+3,−3)，若a⃗⊥b⃗ ，则|a⃗+b⃗ |=()A. 10B. 8C. √10D. 643.已知sin(α+π6)=2√55，则cos(π3−α)=()A. √55B. −√55C. 2√55D. −2√554.函数f(x)=sin(2x+φ)的图象向右平移π6个单位后所得的图象关于原点对称，则φ可以是()A. π6B. π3C. π4D. 2π35.已知直线3x−y+1=0的倾斜角为α，则12sin2α+cos2α=()A. 25B. −15C. 14D. −1206.某班统计一次数学测验的平均分与方差，计算完毕以后才发现有位同学的卷子还未登分，只好重算一次．已知原平均分和原方差分别为x−、s2，新平均分和新方差分别为x1−、s12，若此同学的得分恰好为x−，则()A. x−=x1−，s2=s12B. x−=x1−，s2<s12C. x−=x1−，s2>s12D. ，s2=s127.某班运动队由足球运动员18人、篮球运动员12人、乒乓球运动员6人组成，现从这些运动员中抽取1个容量为n的样本，若分别采用系统抽样和分层抽样，则都不用剔除个体；当样本容量为n+1个时，若采用系统抽样，则需要剔除1个个体，那么样本容量n为()A. 5B. 6C. 12D. 188.执行如图的程序框图．若输入A=3，则输出i的值为()A. 3B. 4C. 5D. 69. 已知△ABC 满足AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 2=AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +BA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +CA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，则△ABC 是( )A. 等边三角形B. 锐角三角形C. 直角三角形D. 钝角三角形10. “勾股定理”在西方被称为“华达哥拉斯定理”，三国时期吴国的数学家赵爽创制了一幅“勾股圆方图”，用数形结合的方法给出了勾股定理的详细证明．如图所示的“勾股圆方图”中，四个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成一个边长为4的大正方形，若直角三角形中较小的锐角α=15°，现在向该大正方形区域内随机地投掷一枚飞镖，飞镖落在图中区域1或区域2内的概率是( )A. 12B. 58C. 34D. 7811. 函数f(x)=Asin(ωx +φ)(A >0,ω>0,0<ϕ<π2)的部分图象如图所示，则f(0)的值是( )A. √32B. √34C. √62D. √6412. 已知a ⃗ =(sin ω2x,sinωx),b ⃗ =(sin ω2x,12)，其中ω>0，若函数f(x)=a ⃗ ⋅b ⃗ −12在区间(π,2π)内没有零点，则ω的取值范围是( ) A. (0,18]B. (0,58]C. (0,18]∪[58,1]D. (0,18]∪[14,58]二、填空题（本大题共4小题，共20分）13. 甲、乙两人在相同的条件下各射击10次，它们的环数方差分别为s 甲2=2.1，s 乙2=2.6，则射击稳定程度较高的是______(填甲或乙)．14. 执行如图的程序框图，若输入的x =2，则输出的y =______．15. 《九章算术》是中国古代数学名著，其对扇形田面积给出“以径乘周四而一”的算法与现代数学的算法一致，根据这一算法解决下列问题：现有一扇形田，下周长(弧长)为20米，径长(两段半径的和)为24米，则该扇形田的面积为______平方米．16. 已知点P(4m,−3m)(m <0)在角α的终边上，则2sinα+cosα=______．三、解答题（本大题共6小题，共70分）17.2018年3月19日，世界上最后一头雄性北方白犀牛“苏丹”在肯尼亚去世，从此北方白犀牛种群仅剩2头雌性，北方白犀牛种群正式进入灭绝倒计时．某校一动物保护协会的成员在这一事件后，在全校学生中组织了一次关于濒危物种犀牛保护知识的问卷调查活动．已知该校有高一学生1200人，高二1300人，高三学生1000人．采用分层抽样从学生中抽70人进行问卷调查，结果如下：完全不知道知道但未采取措施知道且采取措施高一8x y高二z133高三712m在进行问卷调查的70名学生中随机抽取一名“知道但未采取措施”的高一学生的概率是0.2．(Ⅰ)求x，y，z，m；(Ⅱ)从“知道且采取措施”的学生中随机选2名学生进行座谈，求恰好有1名高一学生，1名高二学生的概率．18.为增强学生体质，提升学生锻炼意识，我市某学校高一年级外出“研学”期间举行跳绳比赛，共有160名同学报名参赛．参赛同学一分钟内跳绳次数都在区间[90,150]内，其频率直方图如右下图所示，已知区间[130,140)，[140,150]上的频率分别为0.15和0.05，区间[90,100)，[100,110)，[110,120)，[120,130)上的频率依次成等差数列．(Ⅰ)分别求出区间[90,100)，[100,110)，[110,120)上的频率；(Ⅱ)将所有人的数据按从小到大排列，并依次编号1，2，3，4…160，现采用等距抽样的方法抽取32人样本，若抽取的第四个的编号为18．(ⅰ)求第一个编号大小；(ⅰ)从此32人中随机选出一人，则此人的跳绳次数在区间[110,130)上的概率是多少？19.已知a⃗=(1,2)，b⃗ =(−3,4)．(1)若|k a⃗+b⃗ |=5，求k的值；(2)求a⃗+b⃗ 与a⃗−b⃗ 的夹角．，且α为第二象限角．20.已知sinα=35(1)求sin2α的值；)的值．(2)求tan(α+π4)(x∈R)．21.设函数f(x)=4cosx⋅sin(x+π6(1)求函数y=f(x)的最小正周期和单调递增区间；]时，求函数f(x)的最大值．(2)当x∈[0,π2)，f(0)=0，且函数f(x) 22.已知f(x)=sin(ωx+φ)+cos(ωx+φ)(ω>0,0<|φ|<π2．图象上的任意两条对称轴之间距离的最小值是π2)的值；(1)求f(π8(2)将函数y=f(x)的图象向右平移π个单位后，得到函数y=g(x)的图象，求函数6g(x)的解析式，并求g(x)在x∈[π6,π2]上的最值．答案和解析1.【答案】B【解析】解：角α的终边经过点(1,−√3)，则sinα=yr =−√32．故选：B．直接利用任意角的三角函数的定义，求解即可．本题考查任意角的三角函数的定义，考查计算能力．2.【答案】A【解析】解：a⃗=(1,x)和b⃗ =(2x+3,−3)，若a⃗⊥b⃗ ，可得：2x+3−3x=0，解得x=3，所以a⃗+b⃗ =(10,0)，所以|a⃗+b⃗ |=10．故选：A．利用向量的垂直，求出x，然后求解向量的模．本题考查向量的数量积以及向量的模的求法，向量的垂直条件的应用，是基本知识的考查．3.【答案】C【解析】解：∵已知sin(α+π6)=2√55，∴cos(π3−α)=cos[π2−(α+π6)]=sin(α+π6)=2√55，故选：C．由条件利用诱导公式进行化简所给的式子，可得结果．本题主要考查利用诱导公式进行化简三角函数式，属于基础题．4.【答案】B【解析】解：函数f(x)=sin(2x+φ)的图象向右平移π6个单位后，可得y=sin(2x−π3+φ)，∵图象关于原点对称，∴φ−π3=kπ，k∈Z，可得：φ=kπ+π3．当k=0时，可得φ=π3．故选：B．根据图象变换规律，可得解析式，图象关于原点对称，建立关系，即可求解φ值．本题主要考查函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律和对称问题，属于基础题．5.【答案】A【解析】解：∵直线3x −y +1=0的倾斜角为α，∴tanα=3， ∴12sin2α+cos 2α=12⋅2sinαcosα+cos 2α=sinαcosα+cos 2αsin 2α+cos 2α=tanα+1tan 2α+1=3+19+1=25，故选：A ．由题意利用直线的倾斜角和斜率求出tanα的值，再利用三角恒等变换，求出要求式子的值．本题主要考查直线的倾斜角和斜率，三角恒等变换，属于中档题． 6.【答案】C【解析】解：设这个班有n 个同学，数据分别是a 1，a 2，…，a i,…，a n ， 第i 个同学没登分，第一次计算时总分是(n −1)x −，方差是s 2=1n−1[(a 1−x −)2+⋯+(a i−1−x −)2+(a i+1−x −)2+⋯+(a n −x −)2]第二次计算时，x 1−=(n−1)x −+x−n=x −，方差s 12=1n [(a 1−x −)2+⋯(a i−1−x −)2+(x −x)2+(a i+1−x −)2+⋯+(a n −x −)2]=n−1ns 2， 故s 2>s 12， 故选：C ．根据平均数和方差的公式计算比较即可．本题考查了求平均数和方差的公式，是一道基础题． 7.【答案】B【解析】解：由题意知采用系统抽样和分层抽样方法抽取，不用剔除个体； 如果样本容量增加一个，则在采用系统抽样时， 需要在总体中先剔除1个个体， ∵总体容量为6+12+18=36．当样本容量是n 时，由题意知，系统抽样的间隔为36n ， 分层抽样的比例是n36，抽取的乒乓球运动员人数为n36⋅6=n6， 篮球运动员人数为n36⋅12=n3，足球运动员人数为n36⋅18=n2， ∵n 应是6的倍数，36的约数， 即n =6，12，18．当样本容量为(n +1)时，总体容量是35人， 系统抽样的间隔为35n+1， ∵35n+1必须是整数，∴n 只能取6．即样本容量n =6． 故选：B ．由题意知采用系统抽样和分层抽样方法抽取，不用剔除个体；如果样本容量增加一个，则在采用系统抽样时，需要在总体中先剔除1个个体，算出总体个数，根据分层抽样的比例和抽取的乒乓球运动员人数得到n 应是6的倍数，36的约数，由系统抽样得到35n+1必须是整数，验证出n 的值．本题考查分层抽样和系统抽样，是一个用来认识这两种抽样的一个题目，把两种抽样放在一个题目中考查，加以区分，是一个好题． 8.【答案】C【解析】解：运行步骤为：i =1，A =7 i =2，A =15； i =3，A =31； i =4，A =63； i =5，A =127； 故输出i 值为5， 故选：C ．根据已知的程序语句可得，该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量i 的值，模拟程序的运行过程，可得答案．本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基础题． 9.【答案】C【解析】【分析】本题考查了向量的加减法则，数量积的运算性质，三角形形状的判断，属于中档题．根据向量的加减运算法则，将已知化简得AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 2=AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 2+CA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CB⃗⃗⃗⃗⃗ ，得CA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CB ⃗⃗⃗⃗⃗ =0.结合向量数量积的运算性质，可得CA ⊥CB ，得△ABC 是直角三角形．【解答】解：∵△ABC 中，AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 2=AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +BA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +CA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CB⃗⃗⃗⃗⃗ ， ∴AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 2=AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AC ⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +CA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CB ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅(AC ⃗⃗⃗⃗⃗ −BC ⃗⃗⃗⃗⃗ )+CA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CB⃗⃗⃗⃗⃗ =AB⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +CA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CB ⃗⃗⃗⃗⃗ ， 即AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 2=AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 2+CA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CB⃗⃗⃗⃗⃗ ， ∴CA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CB ⃗⃗⃗⃗⃗ =0， ∴CA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥CB⃗⃗⃗⃗⃗ ，即CA ⊥CB ， ∴△ABC 是直角三角形， 故选C ． 10.【答案】B【解析】解：小正方形的边长为4sin750−4cos750=(√6+√2)−(√6−√2)=2√2， 故小正方形与大正方形的面积之比为(2√24)2=12，因此剩下的每个直角三角形的面积与大正方形的面积之比为12÷4=18， ∴飞镖落在区域1或区域2的概率为12+18=58． 故选：B ．由已知求出小正方形的边长，得到小正方形及直角三角形与大正方形的面积比，则答案可求．本题考查几何概型概率的求法，求出小正方形及直角三角形与大正方形的面积比是关键，是中档题．11.【答案】C【解析】解：由图知，A=√2，又ω>0，T 4=7π12−π3=π4，∴T=2πω=π，∴ω=2，∴π3×2+φ=2kπ+π(k∈Z)，∴φ=2kπ+π3(k∈Z)，∵0<ϕ<π2，∴φ=π3，∴f(x)=√2sin(2x+π3)，∴f(0)=√2sinπ3=√62．故选：C．由图知，A=√2，由T4=π4，可求得ω，π3ω+φ=2kπ+π(k∈Z)，0<ϕ<π2可求得φ，从而可得f(x)的解析式，于是可求f(0)的值．本题考查由y=Asin(ωx+φ)的部分图象确定其解析式，求得φ是难点，考查识图能力，属于中档题．12.【答案】D【解析】解：a⃗=(sinω2x,sinωx),b⃗ =(sinω2x,12)，其中ω>0，则函数f(x)=a⃗⋅b⃗ −12=sin2(ω2x)+12sinωx−12=12−12cosωx+12sinωx−12=√2sin(ωx−π4)，可得T=2πω≥π，0<ω≤2，f(x)在区间(π,2π)内没有零点，结合三角函数可得，{πω−π4≥02πω−π4≤π或{πω−π4≥−π2πω−π4≤0，解得14≤ω≤58或0<ω≤18，故选：D．利用两角和与差的三角函数化简函数的解析式，利用函数的零点以及函数的周期，列出不等式求解即可．本题考查函数的零点个数的判断，三角函数的化简求值，考查计算能力．13.【答案】甲【解析】解：方差越小越稳定，s 甲2=2.1<s 乙2=2.6，故答案为：甲．根据方差的大小判断即可．本题考查了方差的意义，掌握方差越小越稳定是解决本题的关键，是一道基础题． 14.【答案】7【解析】解：由已知中的程序框图可知：该程序的功能是计算并输出y ={2x x >23x +1x ≤2的值，∵输入结果为2，∴y =3×2+1=7． 故答案为：7．由已知中的程序框图可知：该程序的功能是计算并输出y ={2x x >23x +1x ≤2的值，由已知代入计算即可得解．本题主要考查选择结构的程序框图的应用，关键是判断出输入的值是否满足判断框中的条件，属于基础题． 15.【答案】120【解析】解：由题意可得：弧长l =20，半径r =12， 扇形面积S =12lr =12×20×12=120(平方米)，故答案为：120．利用扇形面积计算公式即可得出．本题考查了扇形面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．16.【答案】25【解析】解：点P(4m,−3m)(m <0)在角α的终边上，∴x =4m ，y =−3m ，r =|OP|=√16m 2+9m 2=−5m ， ∴sinα=y r=35，cosα=x r =−45，∴2sinα+cosα=65−45=25，故答案为：25．由题意利用任意角的三角函数的定义，求得sinα和cosα的值，可得2sinα+cosα的值． 本题主要考查任意角的三角函数的定义，属于基础题．17.【答案】解：(Ⅰ)采用分层抽样从3500名学生中抽70人，则高一学生抽24人，高二学生抽26人， 高三学生抽20人．“知道但未采取措施”的高一学生的概率=x70=0.2， ∴x =14，∴y =24−14−8=2，z=26−13−3=10，m=20−12−7=1，∴x=14，y=2，z=10，m=1；(Ⅱ)“知道且采取措施”的学生中高一学生2名用A，B表示，高二学生3名用C，D，E表示，高三学生1名用F表示．则从这6名学生中随机抽取2名的情况有：(A,B)，(A,C)，(A,D)，(A,E)，(A,F)，(B,C)，(B,D)，(B,E)，(B,F)，(C,D)，(C,E)，(C,F)，(D,E)，(D,F)，(E,F)共15种，其中恰好1名高一学生1名高二学生的有6种．∴P=615=25，即恰好有1名高一学生，1名高二学生的概率为25．【解析】(Ⅰ)根据分层抽样先求出x，即可求出y，z，m．(Ⅱ)知道且采取措施”的学生中高一学生2名用A，B表示，高二学生3名用C，D，E 表示，高三学生1名用F表示．根据古典概率公式计算即可．本题考查等可能事件的概率，古典概型概率计算公式等知识，属于中档题．18.【答案】解：(Ⅰ)[90,100)，[100,110)，[110,120)上的频率之和为：1−10×0.035−0.15−0.05=0.45，且前三个频率成等差数列(设公差为d)，故[100,110)上的频率为：0.453=0.15，从而2d=0.35−0.15=0.2，解得d=0.1，∴[90,100)，[100,110)，[110,120)上的频率分别为0.05，0.15，0.25.……(5分) (Ⅱ)(ⅰ)从160人中抽取32人，样本距为5，故第一个编号为18−3×5=3.……(7分) (ⅰ)抽取的32人的编号依次成等差数列，首项为3，公差为5，设第n个编号为a n，则a n=3+(n−1)×5=5n−2，……(9分)由(1)可知区间[90,100)，[100,110)上的总人数为160×(0.05+0.15)=32人，[110,120)，[120,130)上的总人数为160×(0.25+0.35)=96人，[90,130)共有128人，令33≤a n≤128，解得7≤n≤26，∴在[110,120)，[120,130)上抽取的样本有20人，……(11分)故从此32人中随机选出一人，则此人的跳绳次数在区间[110,130)的概率是p=2032=58.……(12分)【解析】(Ⅰ)先求出[90,100)，[100,110)，[110,120)上的频率之和，再由前三个频率成等差数列，得[100,110)上的频率为0.15，由此能求出[90,100)，[100,110)，[110,120)上的频率．(Ⅱ)(ⅰ)从160人中抽取32人，样本距为5，由此能求出第一个编号．(ⅰ)抽取的32人的编号依次成等差数列，首项为3，公差为5，设第n个编号为a n，则a n=3+(n−1)×5=5n−2，由此能求出从此32人中随机选出一人，则此人的跳绳次数在区间[110,130)的概率．本题考查频率的求法，考查第一个编号、概率的求法，考查频率分布直方图的性质等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是基础题．19.【答案】解：(1)根据题意，k a⃗+b⃗ =k(1,2)+(−3,4)=(k−3,2k+4)，由|k a ⃗ +b ⃗ |=5，得√(k −3)2+(2k +4)2=5，解得：k =0或k =−2；(2)根据题意，设a ⃗ +b ⃗ 与a ⃗ −b ⃗ 的夹角为θ，a ⃗ =(1,2)，b ⃗ =(−3,4)，则a ⃗ +b ⃗ =(−2,6)，a ⃗ −b ⃗ =(4,−2)；∴cosθ=40×20=−√22， ∵θ∈[0,π]；∴a ⃗ +b ⃗ 与a ⃗ −b ⃗ 夹角为3π4．【解析】(1)根据题意，求出k a ⃗ +b⃗ 的坐标，进而由向量模的计算公式可得√(k −3)2+(2k +4)2=5，解可得k 的值，即可得答案；(2)设a ⃗ +b ⃗ 与a ⃗ −b ⃗ 的夹角为θ，求出a ⃗ +b ⃗ 与a ⃗ −b ⃗ 的坐标，由向量数量积的计算公式可得cosθ的值，结合θ的范围计算可得答案．本题考查向量数量积的坐标计算，关键是掌握向量数量积、模的计算公式． 20.【答案】解：(1)∵sinα=35，且α为第二象限角，∴cosα=−√1−sin 2α=−45， ∴sin2α=2sinαcosα=2×35×(−45)=−2425；(2)由(1)知tanα=sinαcosα=−34， ∴tan(α+π4)=tanα+tan π41−tanαtan π4=−34+11−(−34)=17．【解析】(1)由已知利用平方关系求得cosα，再由二倍角公式求得sin2α的值；(2)由(1)求出tanα，展开两角和的正切求得tan(α+π4)的值．本题考查同角三角函数基本关系式的应用，考查两角和的正切，是基础的计算题． 21.【答案】解：(1)f(x)=4cosx ⋅sin(x +π6)=2√3sinxcosx +2cos 2x=√3sin2x +cos2x +1=2sin(2x +π6)+1，∴函数f(x)的周期T =π，∴当2kπ−π2≤2x +π6≤2kπ+π2时，即kπ−π3≤x ≤kπ+π6，k ∈Z ，函数单调增， ∴函数的单调递增区间为[kπ−π3,kπ+π6](k ∈Z)； (2)当x ∈[0,π2]时，2x +π6∈[π6,7π6]， ∴sin(2x +π6)∈[−12,1]，∴当sin(2x +π6)=1，f(x)max =3．【解析】(1)对f(x)化简，然后利用周期公式求出周期，再利用整体法求出单调增区间； (2)当x ∈[0,π2]时，sin(2x +π6)∈[−12,1]，然后可得f(x)的最大值．本题考查了三角函数的化简求值和三角函数的图象与性质，考查了整体思想和数形结合思想，属基础题．22.【答案】解：(1)f(x)=sin(ωx+φ)+cos(ωx+φ)=√2sin(ωx+φ+π4)，故2πω=2×π2，求得ω=2．再根据f(0)=sin(φ+π4)=0，0<|φ|<π2，可得φ=−π4，故f(x)=√2sin2x，f(π8)=√2sinπ4=1．(2)将函数y=f(x)的图象向右平移π6个单位后，得到函数y=g(x)=√2sin2(x−π6)=√2sin(2x−π3)的图象．∵x∈[π6,π2]，∴2x−π3∈[0,2π3]，当2x−π3=π2时，g(x)=√2sin(2x−π3)取得最大值为√2；当2x−π3=0时，g(x)=√2sin(2x−π3)取得最小值为0．【解析】(1)由条件利用两角和差的正弦公式化简f(x)的解析式，由周期求出ω，由f(0)= 0求出φ的值，可得f(x)的解析式，从而求得f(π8)的值．(2)由条件利用函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律求得g(x)的解析式，再根据正弦函数的定义域和值域求得g(x)在x∈[π6,π2]上的最值．本题主要考查两角和差的正弦公式，由函数y=Asin(ωx+φ)的部分图象求解析式，由周期求出ω，由f(0)=0求出φ的值，可得f(x)的解析式；函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律，正弦函数的定义域和值域，属于中档题．。
2018-2019学年重庆一中高一(下)期末数学试卷
2018-2019学年重庆一中高一（下）期末数学试卷一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，每小题只有一项符合题目要求） 1．（5分）设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，若1353a a a ++=，则5(S = ) A ．5B ．7C ．9D ．102．（5分）某城市修建经济适用房．已知甲、乙、丙三个社区分别有低收入家庭360户、270户、180户，若首批经济适用房中有90套住房用于解决住房紧张问题，采用分层抽样的方法决定各社区户数，则应从乙社区中抽取低收入家庭的户数为( ) A ．40B ．36C ．30D ．203．（5分）已知向量(1,2)a =r ，(3,)b m =r ，m R ∈，则“6m =”是“//()a a b +r r r ”的( )A ．充分必要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件4．（5分）已知m ，n 表示两条不同直线，α表示平面，下列说法正确的是( ) A ．若//m α，//n α，则//m n B ．若m α⊥，n α⊂，则m n ⊥ C ．若m α⊥，m n ⊥，则//n αD ．若//m α，m n ⊥，则n α⊥5．（5分）在ABC ∆中，AD 为BC 边上的中线，E 为AD 的中点，则(EB =u u u r) A ．3144AB AC -u u ur u u u rB ．1344AB AC -u u ur u u u rC ．3144AB AC +u u ur u u u rD ．1344AB AC +u u ur u u u r6．（5分）在ABC ∆中，60A =︒，2AB =，且ABC ∆，则BC 的长为( )A B C ．D ．27．（5分）某工厂一年中各月份的收入、支出情况的统计如图所示，下列说法中错误的是( )（注：结余=收入-支出）A ．收入最高值与收入最低值的比是3:1B ．结余最高的月份是7月C ．1至2月份的收入的变化率与4至5月份的收入的变化率相同D ．前6个月的平均收入为40万元8．（5分）《莱因德纸草书》是世界上最古老的数学著作只之一，书中有一道这样的题目：把100个面包分给5个人，使每人所得成等差数列，且使较大的三份之和的17是较小的两份之和，问最小一份为( )A ．53B ．103C ．56D ．1169．（5分）若42log (34)log a b ab +=，则a b +的最小值是( ) A ．623+B ．723+C ．643+D ．743+10．（5分）如图，四棱锥P ABCD -的底面ABCD 为平行四边形，2NB PN =，则三棱锥N PAC -与三棱锥D PAC -的体积比为( )A ．1:2B ．1:8C ．1:6D ．1:311．（5分）已知四棱锥P 一ABCD 中，平面PAD ⊥平面ABCD ，其中ABCD 为正方形，PAD ∆为等腰直角三角形，2PA PD ==，则四棱锥P ABCD -外接球的表面积为( ) A ．10πB ．4πC ．16πD ．8π12．（5分）在ABC ∆中，已知9AB AC =u u u r u u u r g ，sin cos sin B A C =g ，6ABC S ∆=，P 为线段AB 上的点，且||||CA CBCP x y CA CB =+u u u r u u u ru u u r u u u r u u u r g ，则xy 的最大值为( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分）13．（5分）（文科）某校女子篮球队7名运动员身高（单位：厘米）分布的茎叶图如图，已知记录的平均身高为175cm ，但记录中有一名运动员身高的末位数字不清晰，如果把其末尾数记为x ，那么x 的值为 ．14．（5分）在各项均为正数的等比数列{}n a 中，321a =-，521a =+，则2326372a a a a a ++等于 ．15．（5分）如图所示，在正三棱柱111ABC A B C -中，D 是AC 的中点，1:2:1AA AB =，则异面直线1AB 与BD 所成的角为 ．16．（5分）在ABC ∆中，若3cos 3cos 2a B b A b +=，点E ，F 分别是AC ，AB 的中点，则BECF的取值范围为 ． 三、解答题：（解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（10分）已知数列{}n a 的前n 项和是n S ，且11()2nn S a n N ++=∈（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）设113log (1)()n bn S n N ++=-∈，令12231111n n n T b b b b b b +=++⋯+，求n T ． 18．（12分）如图，在三棱柱111ABC A B C -中，侧棱垂直于底面，AB BC ⊥，E 、F 分别为11A C 和BC 的中点．（1）求证：平面ABE ⊥平面11B BCC ； （2）求证：1//C F 平面ABE ．19．（12分）某网站推出了关于扫黑除恶情况的调查，调查数据表明，扫黑除恶仍是百姓最为关心的热点，参与调查者中关注此问题的约占80%．现从参与关注扫黑除恶的人群中随机选出200人，并将这200人按年龄分组：第1组[15，25)，第2组[25，35)，第3组[35，45)，第4组[45，55)，第5组[55，65)，得到的频率分布直方图如图所示．（1）求出a 的值；（2）求这200人年龄的样本平均数（同一组数据用该区间的中点值作代表）和中位数（精确到小数点后一位）；20．（12分）如图所示，平面ABCD ⊥平面BCE ，四边形ABCD 为矩形，BC CE =，点F 为CE 的中点．（1）若2BE BC CD ===，求三棱锥D BFC -的体积；（2）点M 为CD 上任意一点，在线段AE 上是否存在点P ，使得PM BE ⊥？若存在，确定点P 的位置，并加以证明；若不存在，请说明理由．21．（12分）在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，(sin ,sin sin )m A B C =-r，(3n a b =r ，)b c +，且m n ⊥r r ．（1）求角C 的值；（2）若ABC ∆为锐角三角形，且1c =3a b -的取值范围．22．（12分）已知数列{}n a ，11a =，28a =，且*21442()n n n a a a n N ++=--∈ （1）设12n n n b a a +=-，证明数列{2}n b -是等比数列，并求数列{}n a 的通项； （2）若1n n c a =，并且数列{}n c 的前n 项和为n T ，不等式45364n kT „对任意正整数n 恒成立，求正整数k 的最小值．（注：当4n …时，则122)n n -…2018-2019学年重庆一中高一（下）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，每小题只有一项符合题目要求） 1．（5分）设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，若1353a a a ++=，则5(S = ) A ．5B ．7C ．9D ．10【解答】解：由等差数列{}n a 的性质，及1353a a a ++=， 333a ∴=， 31a ∴=，15535()552a a S a +∴===． 故选：A ．2．（5分）某城市修建经济适用房．已知甲、乙、丙三个社区分别有低收入家庭360户、270户、180户，若首批经济适用房中有90套住房用于解决住房紧张问题，采用分层抽样的方法决定各社区户数，则应从乙社区中抽取低收入家庭的户数为( ) A ．40B ．36C ．30D ．20【解答】解：每个个体被抽到的概率等于9013602701809=++，甲社区有360户低收入家庭，故应从甲社区中抽取低收入家庭的户数为1270309⨯=，故选：C ．3．（5分）已知向量(1,2)a =r，(3,)b m =r ，m R ∈，则“6m =”是“//()a a b +r r r ”的( )A ．充分必要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件【解答】解：Q 向量(1,2)a =r，(3,)b m =r ，∴(4,2)a b m +=+rr，若“//()a a b +r r r ”则2240m +-⨯=，解得：6m =，故“6m =”是“//()a a b +rr r ”的充分必要条件，故选：A ．4．（5分）已知m ，n 表示两条不同直线，α表示平面，下列说法正确的是( ) A ．若//m α，//n α，则//m n B ．若m α⊥，n α⊂，则m n ⊥ C ．若m α⊥，m n ⊥，则//n αD ．若//m α，m n ⊥，则n α⊥【解答】解：A ．若//m α，//n α，则m ，n 相交或平行或异面，故A 错；B ．若m α⊥，n α⊂，则m n ⊥，故B 正确；C ．若m α⊥，m n ⊥，则//n α或n α⊂，故C 错；D ．若//m α，m n ⊥，则//n α或n α⊂或n α⊥，故D 错．故选：B ．5．（5分）在ABC ∆中，AD 为BC 边上的中线，E 为AD 的中点，则(EB =u u u r )A ．3144AB AC -u u ur u u u r B ．1344AB AC -u u ur u u u r C ．3144AB AC +u u ur u u u r D ．1344AB AC +u u ur u u u r 【解答】解：在ABC ∆中，AD 为BC 边上的中线，E 为AD 的中点，12EB AB AE AB AD =-=-u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r11()22AB AB AC =-⨯+u u u r u u u r u u u r3144AB AC =-u u ur u u u r ， 故选：A ．6．（5分）在ABC ∆中，60A =︒，2AB =，且ABC ∆，则BC 的长为( )A B C ．D ．2【解答】解：Q 在ABC ∆中，60A =︒，2AB =，且ABC ∆，∴1sin 2AB AC A =g g ，即122AC ⨯⨯=， 解得：1AC =，由余弦定理得：2222cos 1423BC AC AB AC AB A =+-=+-=g g ，则BC = 故选：B ．7．（5分）某工厂一年中各月份的收入、支出情况的统计如图所示，下列说法中错误的是( )（注：结余=收入-支出）A．收入最高值与收入最低值的比是3:1B．结余最高的月份是7月C．1至2月份的收入的变化率与4至5月份的收入的变化率相同D．前6个月的平均收入为40万元【解答】解：由图可知，收入最高值为90万元，收入最低值为30万元，其比是3:1，故A 正确，由图可知，结余最高为7月份，为802060-=，故B正确，由图可知，1至2月份的收入的变化率为与4至5月份的收入的变化率相同，故C正确，由图可知，前6个月的平均收入为1(406030305060)456+++++=万元，故D错误，故选：D．8．（5分）《莱因德纸草书》是世界上最古老的数学著作只之一，书中有一道这样的题目：把100个面包分给5个人，使每人所得成等差数列，且使较大的三份之和的17是较小的两份之和，问最小一份为()A．53B．103C．56D．116【解答】解：设五个人所分得的面包为2a d-，a d-，a，a d+，2a d+，（其中0)d>；则，(2)()()(2)5100a d a d a a d a d a-+-+++++==，20a∴=；由1(2)27a a d a d a d a d++++=-+-，得337(23)a d a d+=-；2411d a∴=，55/6d∴=；所以，最小的1分为110522063a d-=-=．故选：A ．9．（5分）若42log (34)log a b ab +=，则a b +的最小值是( ) A ．623+B ．723+C ．643+D ．743+【解答】解：340a b +>Q ，0ab >， 0a ∴>．0b >42log (34)log a b ab +=Q ， 44log (34)log ()a b ab ∴+=34a b ab ∴+=，4a ≠，0a >．0b >∴304ab a =>-， 4a ∴>，则33(4)121212123(4)72(4)743744444a a ab a a a a a a a a a a -++=+=+=++=-++-+=+-----g …，当且仅当423a =+取等号． 故选：D ．10．（5分）如图，四棱锥P ABCD -的底面ABCD 为平行四边形，2NB PN =，则三棱锥N PAC -与三棱锥D PAC -的体积比为( )A ．1:2B ．1:8C ．1:6D ．1:3【解答】解：Q 四边形ABCD 是平行四边形，ABC ACD S S ∆∆∴=． D PAC P ACD P ABC V V V ---∴==． 2NB PN =Q ，23NB PB ∴=，23N ABC P ABCV V --∴=，13N PAC P ABC N ABC P ABC V V V V ----∴=-=．∴13N ABC D PAC V V --=． 故选：D ．11．（5分）已知四棱锥P 一ABCD 中，平面PAD ⊥平面ABCD ，其中ABCD 为正方形，PAD ∆为等腰直角三角形，2PA PD ==，则四棱锥P ABCD -外接球的表面积为( ) A ．10πB ．4πC ．16πD ．8π【解答】解：取AD 的中点E ，Q 平面PAD ⊥平面ABC ，其中ABCD 为正方形，PAD ∆ 为等腰直角三角形，∴四棱锥P ABCD -的外接球的球心为正方形ABCD 的中心O ，设半径为R ，则OE AD ⊥Q ，1PE = 112R ∴=+=，∴四棱锥P ABCD -的外接球的表面积为8π．故选：D ．12．（5分）在ABC ∆中，已知9AB AC =u u u r u u u r g ，sin cos sin B A C =g ，6ABC S ∆=，P 为线段AB 上的点，且||||CA CBCP x y CA CB =+u u u r u u u ru u u r u u u r u u u r g ，则xy 的最大值为( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4【解答】解：ABC ∆中设AB c =，BC a =，AC b =sin cos sin B A C =Q g ，sin()sin cos A C C A +=，即sin cos sin cos sin cos A C C A C A += sin cos 0A C ∴=sin 0cos 0A C ≠∴=Q 90C =︒Q 9AB AC =u u u r u u u rg ，6ABC S ∆=cos 9bc A ∴=，1sin 62bc A =4tan 3A ∴=，根据直角三角形可得4sin 5A =，3cos 5A =，15bc =5c ∴=，3b =，4a =以AC 所在的直线为x 轴，以BC 所在的直线为y 轴建立直角坐标系可得(0C ，0)(3A ，0)(0B ，4)P 为线段AB 上的一点，则存在实数λ使得(1)(3CP CA CB λλλ=+-=u u u r u u u r u u u r ，44)(01)λλ-剟 设1||CAe CA =u u u r u r u u ur ，2||CB e CB =u u u ru u r u u u r 则12||||1e e ==u r u u r ， 1(1,0)e =u r ，2(0,1)e =u u r，∴(||||CA CBCP x y x CA CB =+=u u u r u u u ru u u r u u u r u u u r g ，0)(0+，)(y x =，)y 可得3x λ=，44y λ=-则4312x y +=， 1243212x y xy =+…，3xy „故所求的xy 最大值为：3． 故选：C ．二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分）13．（5分）（文科）某校女子篮球队7名运动员身高（单位：厘米）分布的茎叶图如图，已知记录的平均身高为175cm ，但记录中有一名运动员身高的末位数字不清晰，如果把其末尾数记为x ，那么x 的值为 2 ．【解答】解：根据茎叶图中的数据知，1170(12451011)1757x +⨯++++++=，即1(33)57x ⨯+=， 即3335x +=， 解得2x =． 故答案为：2．14．（5分）在各项均为正数的等比数列{}n a 中，321a =，521a ，则2326372a a a a a ++等于 8 ．【解答】解：在各项均为正数的等比数列{}n a 中， 321a Q ，521a =，2326372a a a a a ∴++2233552a a a a =++235()a a =+2(2121)= 8=．故答案为：8．15．（5分）如图所示，在正三棱柱111ABC A B C -中，D 是AC 的中点，1:2AA AB =，则异面直线1AB 与BD 所成的角为 60︒ ．【解答】解：取11A C 的中点1D ，连接11B D ，D Q 是AC 的中点，11//B D BD ∴，11AB D ∴∠即为异面直线1AB 与BD 所成的角．连接1AD ，设AB a =，则12AA a =，13AB a ∴=，113B D ，2213242a AD a a =+=． 22211393144cos 23232a a a AB D a a+-∴∠==⨯⨯， 1160AB D ∴∠=︒．故答案为：60︒16．（5分）在ABC ∆中，若3cos 3cos 2a B b A b +=，点E ，F 分别是AC ，AB 的中点，则BE CF 的取值范围为 1(4，7)8． 【解答】解：设AB c =，AC b =，BC a =， 由题意得，3cos 3cos 2a B b A b +=，则由正弦定理可得：3sin cos 3sin cos 2sin A B B A B +=，即3sin()3sin 2sin A B C B +==，由正弦定理得，32c b =，即32b c =，Q 点E ，F 分别是AC ，AB 的中点，∴由中线长定理得，222221112()2224BE a c b a c =+-=- 222221172()2222CF a b c a c =+-+∴BE CF ==a b c <+Q 且a c b +>，∴1522c a c <<，则1522a c <<， ∴2125()44a c <<， 2742()162a c ∴<+<，则1748， 则BF CF 的取值范围是1(4，7)8． 故答案为：1(4，7)8．三、解答题：（解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（10分）已知数列{}n a 的前n 项和是n S ，且11()2n n S a n N ++=∈（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）设113log (1)()n bn S n N ++=-∈，令12231111n n n T b b b b b b +=++⋯+，求n T ． 【解答】解：（Ⅰ）当1n =时，11a S =，由111111122S a a a +=+=，得：123a =．当2n …时，11111,122n n n n S a S a --=-=-．则111()2n n n n S S a a ---=-，即11()2n n n a a a -=-，所以11(2)3n n a a n -=…．Q 1203a =≠，∴113n n a a -=．故数列{}n a 是以23为首项，13为公比的等比数列．故11*1211()2()()333n n n n a a q n N --===∈g g ．（Ⅱ）Q 112n n S a +=，∴112n n S a -=．∴1111331(1)()13n n n b log Slog n ++=-==+．∴11111(1)(2)12n n b b n n n n +==-++++． 所以，1223111111111111()()()233412222(2)n n n nT b b b b b b n n n n +=++⋯+=-+-+⋯+-=-=++++． 18．（12分）如图，在三棱柱111ABC A B C -中，侧棱垂直于底面，AB BC ⊥，E 、F 分别为11A C 和BC 的中点．（1）求证：平面ABE ⊥平面11B BCC ； （2）求证：1//C F 平面ABE ．【解答】证明：（1）1BB ⊥Q 平面ABC ，AB ⊂平面ABC ， 1AB BB ∴⊥又AB BC ⊥，1BB BC B =I ，AB ∴⊥平面11B BCC而AB ⊂平面ABE ，∴平面ABE ⊥平面11B BCC（2）取AC 的中点G ，连结1C G 、FG ，F Q 为BC 的中点，//FG AB ∴又E 为11A C 的中点1//C E AG ∴，且1C E AG =∴四边形1AEC G 为平行四边形，1//AE C G ∴∴平面1//C GF 平面EAB ，而1C F ⊂平面1C GF ，1//C F∴平面EAB．19．（12分）某网站推出了关于扫黑除恶情况的调查，调查数据表明，扫黑除恶仍是百姓最为关心的热点，参与调查者中关注此问题的约占80%．现从参与关注扫黑除恶的人群中随机选出200人，并将这200人按年龄分组：第1组[15，25)，第2组[25，35)，第3组[35，45)，第4组[45，55)，第5组[55，65)，得到的频率分布直方图如图所示．（1）求出a的值；（2）求这200人年龄的样本平均数（同一组数据用该区间的中点值作代表）和中位数（精确到小数点后一位）；【解答】解：（1）由频率分布直方图的性质得：10(0.0100.0150.0300.010)1a++++=，解得0.035a=．（2）平均数为；200.1300.15400.35500.3600.141.5⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=岁，设中位数为x，则100.010100.015(35)0.0350.5x⨯+⨯+-⨯=，解得42.1x=岁．20．（12分）如图所示，平面ABCD⊥平面BCE，四边形ABCD为矩形，BC CE=，点F为CE的中点．（1）若2BE BC CD===，求三棱锥D BFC-的体积；（2）点M 为CD 上任意一点，在线段AE 上是否存在点P ，使得PM BE ⊥？若存在，确定点P 的位置，并加以证明；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）Q 平面ABCD ⊥平面BCE ，四边形ABCD 为矩形，DC BC ⊥，DC ∴⊥平面BCE ，2BE BC CD ===Q ，∴1113(13)2332D BFC BFC V S DC -==⨯⨯⨯⨯=g ； （2）当P 为AE 中点时，有PM BE ⊥．证明如下：取BE 中点H ，连接DP ，PH ，CH ，P Q 为AE 的中点，H 为BE 的中点，//PH AB ∴，又//AB CD ，//PH CD ∴，则P ，H ，C ，D 四点共面． Q 平面ABCD ⊥平面BCE ，平面ABCD ⋂平面BCE BC =， CD ⊂平面ABCD ，CD BC ⊥，CD ∴⊥平面BCE ，又BE ⊂平面BCE ，CD BE ∴⊥，BC CE =Q ，H 为BE 的中点，CH BE ∴⊥，又CD CH C =I ，BE ∴⊥平面DPHC ，又PM ⊂平面DPHC ，BE PM ∴⊥，即PM BE ⊥．21．（12分）在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，(sin ,sin sin )m A B C =-r，(n a =r ，)b c +，且m n ⊥r r ．（1）求角C 的值；（2）若ABC ∆为锐角三角形，且1c =b -的取值范围．【解答】解：（1）Q (sin ,sin sin )m A B C =-r，(n a =-r ，)b c +，且m n ⊥r r，sin ()(sin sin )()0A a B C b c ∴+-+=，利用正弦定理化简得：()()()0a a b c b c ++-=，即222a b c +-=，222cos 22a b c C ab +-∴==， (0,)C π∈Q ，6C π∴=；（2）由（1）得56A B π+=，即56B A π=-， 又ABC ∆为锐角三角形， ∴506202A A πππ⎧<-<⎪⎪⎨⎪<<⎪⎩，解得：32A ππ<<，1c =Q ，∴由正弦定理得：12sin sin sin sin 6a b c A B C π====， 2sin a A ∴=，2sin b B =，∴2sin 2sin()2sin cos 2cos sin cos 2sin()6666b A B A A A A A A A A ππππ-=-=-+=---=-， Q32A ππ<<，∴663A πππ<-<，∴1sin()26A π<-<12sin()6A π<-<b -的取值范围为．22．（12分）已知数列{}n a ，11a =，28a =，且*21442()n n n a a a n N ++=--∈ （1）设12n n n b a a +=-，证明数列{2}n b -是等比数列，并求数列{}n a 的通项； （2）若1n n c a =，并且数列{}n c 的前n 项和为n T ，不等式45364n kT „对任意正整数n 恒成立，求正整数k 的最小值．（注：当4n …时，则122)n n -…【解答】解：（1）证明：121111222244222222n n n n n n n n n n b a a a a b a a a a ++++++-----===-----， 而124b -={2}n b ∴-是以4为首项2为公比的等比数列，112222n n n n b b ++-==+即11222n n n a a ++-=+，1111222n n n n n a a ++-=+累加法可求出111()222n n n a n -=+- ∴1(21)22n n a n -=+-；（2）111(21)22n n n c a n -==+-， 123111,,826c c c ===1458.09364k T k ⇒剠，2459.1364k T k ⇒剠，3459.41364kT k ⇒剠由条件知当4n …时，122n n -…， 即121111111()(21)22422(22)(21)(21)(21)22121n n c n n n n n n n n n -==<=-+-+-+-+--+„ ∴123451121111899189945()()9.910427217282(21)728364n n n kT c c c c c c c k n n -=+++++⋯++<+-=-<⇒++剠而*k N ∈综上所述k 的最小值为10．。
2019-2020学年重庆市第一中学高一数学下学期期末考试数学试题含解析
〖解 析〗
〖分析〗
结合已知的函数解析式，将所求看成是 与 连线的斜率，结合基本不等式求得 ，设过 的直线 与圆相切，求出斜率即可求出所求的取值范围.
〖详 解〗解： ，表示点 与 连线的斜率，
因为 ，所以 ，当且仅当 ，即 时等号成立，
所以取点 ，因为 ，所以 在以原点为圆心， 为半径的圆上，
所以圆心为 ，半径 ，
所以圆的标准方程为 .
〖点 睛〗本题考查直线方程、圆的方程的求法，考查两点间距离公式的应用，考查学生的计算求解能力，属于中档题.
18. 互联网使我们的生活日益便捷，网络外卖也开始成为不少人日常生活中不可或缺的一部分，某市一调查机构针对该市市场占有率较高的甲､乙两家网络外卖企业(以下外卖甲､外卖乙)的经营情况进行了调查，调查结果如下表:
〖详 解〗对于①，函数 是定义域为 的偶函数，
当 时， ，当且仅当 时等号成立，
根据对称性可知，函数 的最小值为2，满足题意；
对于②， ，
因为 ，所以 ，
则 ，当且仅当 ，即 时等号成立，
所以 ，即函数 的最大值为2，没有最小值，不满足题意；
对于③， ，
因为 ，所以 ，
所以 ，当且仅当 ，即 时等号成立，
A. B. C. D.
〖答 案〗A
〖解 析〗
〖分析〗
先计算出 的频率，然后用100乘以这个频率得出所求的人数.
〖详 解〗解：由图象可知， 的频率之和为 ，
所以不少于22.5小时的人数是 ，
故选: A.
点睛〗本小题主要考查利用频率分布直方图求频率以及频数，考查阅读和理解能力，属于基础题.
4. 已知圆 ： 与直线 切于点 ，则直线 的方程是（ ）
14. 重庆一中高一，高二，高三的模联社团的人数分别为25，15，10，现采用分层抽样的方法从中抽取部分学生参加模联会议，已知在高二年级和高三年级中共抽取5名同学，若从这5名同学中再随机抽取2名同学承担文件翻译工作，则抽取的两名同学来自同一年级的概率为__________.
重庆市2019年高一下学期期末考试试题 数学 含答案
则b=___________．
（15）已知点P，Q为圆C：x2＋y2＝25上的任意两点，且|PQ|<6，若PQ中点组成的区域为M，在圆C内任取一点，则该点落在区域M上的概率为__________．
（16）（原创）点C是线段AB上任意一点，O是直线AB外一点， ，
（Ⅱ）成绩在[40,50)分数段内的人数为40×0.05＝2，成绩在[90,100]分数段内的人数为40×0.1＝4，则记在[40,50)分数段的两名同学为A1，A2，在[90,100]分数段内的同学为B1，B2，B3，B4.
若从这6名学生中随机抽取2人，则总的取法共有15种．
如果2名学生的数学成绩都在[40,50)分数段内或都在[90,100]分数段内，那么这2名学生的数学成绩之差的绝对值一定不大于10；如果一个成绩在[40,50)分数段内，另一个成绩在[90,100]分数段内，那么这2名学生的数学成绩之差的绝对值一定大于10.
则所取2名学生的数学成绩之差的绝对值不大于10的取法有(A1，A2)，(B1，B2)，(B1，B3)，(B1，B4)，(B2，B3)，(B2，B4)，(B3，B4)共7种取法，所以所求概率为P＝ .
（20）解：（Ⅰ）解：
（Ⅱ）证明： ，
其前n项和Tn＝ ＋ ＋…＋ ，
Tn＝ ＋ ＋…＋ ＋ ，
∴Tn－ Tn＝ ＋ ＋ ＋…＋ －
抽出一张，用抽取的第一组卡片上的数字减去抽取的第二组卡片上
的数字，差为负数的概率为
（A） （B） （C） （D）
（10）在平行四边形ABCD中，AD＝2，∠BAD＝60°，E为CD的中点，若 ＝1，则AB的长为
（A） （B）4（C）5（D）6
2018-2019学年高一数学下学期期末考试测试试题(含解析)
2018-2019学年高一数学下学期期末考试测试试题（含解析）本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，共4页，满分为150分。
考试用时120分钟。
注意事项：1.答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自已的姓名、考试科目、班级和考生号等信息填写在答题卡上，并用2B 铅笔将考号在答题卡相关的区域内涂黑。
2.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡对应的答案符号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，答案不能答在试卷上。
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答的答案无效。
4.考生必须保持答题卡的整洁，考试结束后，将答题卡答卷交给监考老师。
第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分，四个选项中，只有一项符合要求）1.直线的倾斜角的大小为（）．A. B. C. D.【答案】B【解析】由直线方程可知直线的斜率，设直线的倾斜角为，则，又，所以，故选．2.下列四个图各反映了两个变量的某种关系，其中可以看作具有较强线性相关关系的是（）A. ①③B. ①④C. ②③D. ①②【答案】B【解析】试题分析：：∵两个变量的散点图，若样本点成带状分布，则两个变量具有线性相关关系，∴两个变量具有线性相关关系的图是①和④．考点：变量间的相关关系3.已知某地区中小学生人数和近视情况分别如图1和图2所示．为了解该地区中小学生的近视形成原因，用分层抽样的方法抽取4%的学生进行调查，则样本容量和抽取的高中生近视人数分别为( )A. 400，40B. 200，10C. 400，80D. 200，20【答案】A【解析】【分析】由扇形图能得到总数，利用抽样比较能求出样本容量；由分层抽样和条形图能求出抽取的高中生近视人数.【详解】用分层抽样的方法抽取的学生进行调查，样本容量为：，抽取的高中生近视人数为：，故选A.【点睛】该题考查的是有关概率统计的问题，涉及到的知识点有扇形图与条形图的应用，以及分层抽样的性质，注意对基础知识的灵活应用，属于简单题目.4.直线与直线平行，则=（）A. B. C. －7 D. 5【答案】D【解析】【分析】由两直线平行的条件计算．【详解】由题意，解得．故选D．【点睛】本题考查两直线平行的条件，直线与平行的条件是：在均不为零时，，若中有0，则条件可表示为．5.若圆和圆相切，则等于( )A. 6B. 7C. 8D. 9【答案】C【解析】【分析】根据的圆标准方程求得两圆的圆心与半径，再根据两圆内切、外切的条件,分别求得的值并验证即可得结果.【详解】圆的圆心，半径为5；圆的圆心，半径为r.若它们相内切，则圆心距等于半径之差，即＝|r－5|，求得r＝18或－8，不满足5<r<10.若它们相外切，则圆心距等于半径之和，即＝|r＋5|，求得r＝8或－18(舍去)，故选C．【点睛】本题主要考查圆的方程以及圆与圆的位置关系，属于基础题. 两圆半径为，两圆心间的距离为，比较与及与的大小，即可得到两圆的位置关系.6.△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c.已知，，，则b=A. B. C. 2 D. 3【答案】D【解析】试题分析：由余弦定理得，解得（舍去），选D.【考点】余弦定理【名师点睛】本题属于基础题,考查内容单一,根据余弦定理整理出关于b的一元二次方程,再通过解方程求b.运算失误是基础题失分的主要原因,请考生切记！7.中，角所对的边分别为，若，则为( )A. 直角三角形B. 钝角三角形C. 锐角三角形D. 等边三角形【答案】B【解析】【分析】由已知结合正弦定理可得sinC＜sinBcosA利用三角形的内角和及诱导公式可得，sin（A+B）＜sinBcosA整理可得sinAcosB+sinBcosA＜0从而有sinAcosB＜0结合三角形的性质可求.【详解】∵A是△ABC的一个内角，0＜A＜π，∴sinA＞0．∵＜cosA，由正弦定理可得，sinC＜sinBcosA∴sin（A+B）＜sinBcosA∴sinAcosB+sinBcosA＜sinBcosA∴sinAcosB＜0 又sinA＞0∴cosB＜0 即B为钝角故选：B．8.甲、乙两名运动员，在某项测试中的8次成绩如茎叶图所示，分别表示甲、乙两名运动员这项测试成绩的平均数，，分别表示甲、乙两名运动员这项测试成绩的标准差，则有（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】根据茎叶图看出两组数据，先求出两组数据的平均数，再求出两组数据的方差，比较两组数据的方差的大小就可以得到两组数据的标准差的大小．【详解】由茎叶图可看出甲的平均数是，乙的平均数是，两组数据的平均数相等．甲的方差是乙的方差是甲的标准差小于乙的标准差，故选：B．【点睛】本题考查两组数据平均数和方差的意义，是一个基础题，解题时注意平均数是反映数据的平均水平，而标准差反映波动的大小，波动越小数据越稳定．9.对于平面、、和直线、、、,下列命题中真命题是( )A. 若,则B. 若,则C. 若则D. 若,则【答案】C【解析】试题分析：对于平面、、和直线、,真命题是“若，，，则”.考点：考查直线与直线，直线与平面，平面与平面的位置关系.10.圆柱形容器内盛有高度为6 cm的水，若放入三个相同的球(球的半径与圆柱的底面半径相同)后，水恰好淹没最上面的球，如图所示.则球的半径是( )A. 1 cmB. 2 cmC. 3 cmD. 4 cm【答案】C【解析】【分析】设出球的半径，根据题意得三个球的体积和水的体积之和，等于柱体的体积，结合体积公式求解即可．【详解】设球半径为，则由，可得，解得，故选C.【点睛】本题主要考查了几何体的体积公式的应用，考查学生空间想象能力以及计算能力，是基础题．11.已知PA，PB是圆C:的两条切线(A，B是切点)，其中P是直线上的动点，那么四边形PACB的面积的最小值为( )A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】配方得圆心坐标，圆的半径为1，由切线性质知，而的最小值为C点到的距离，由此可得结论．【详解】由题意圆的标准方程为，∴圆心为，半径为．又，到直线的距离为，∴．故选C．【点睛】本题考查圆切线的性质，考查面积的最小值，解题关键是把四边形面积用表示出来，而的最小值为圆心到直线的距离，从而易得解．12.我国古代数学名著九章算术中有这样一些数学用语，“堑堵”意指底面为直角三角形，且侧棱垂直于底面的三棱柱，而“阳马”指底面为矩形且有一侧棱垂直于底面的四棱锥现有一如图所示的堑堵，，，当堑堵的外接球的体积为时，则阳马体积的最大值为A. 2B. 4C.D.【答案】D【解析】【分析】由已知求出三棱柱外接球的半径，得到，进一步求得AB，再由棱锥体积公式结合基本不等式求最值．【详解】解：堑堵的外接球的体积为，其外接球的半径，即，又，．则．．即阳马体积的最大值为．故选：D．【点睛】本题考查多面体的体积、均值定理等基础知识，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，是中档题．第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13.现采用随机模拟的方法估计某运动员射击4次，至少击中3次的概率：先由计算器给出0到9之间取整数值的随机数，指定0,1表示没有击中目标，2,3,4,5,6,7,8,9表示击中目标，以4个随机数为一组，代表射击4次的结果，经随机模拟产生了20组随机数：根据以上数据估计该射击运动员射击4次至少击中3次的概率为_______．【答案】0.75【解析】【分析】根据随机模拟的方法，先找到20组数据中至少含有2,3,4,5,6,7,8,9中的3个数字的组数，然后根据古典概型求出概率．【详解】由题意知模拟射击4次的结果，经随机模拟产生了如下20组随机数，在20组随机数中表示射击4次击中3次的有：7527,0293,9857,0347,4373,8636,6947,4698,6233,2616,8045 ,3661,9597,7424,4281，共15组随机数，所以所求概率为.【点睛】本题考查随机模拟的应用，考查理解能力和运用能力，解题时读懂题意是解题的关键，然后在此基础上确定基本事件总数和所求概率的事件包含的基本事件的个数，再根据古典概型的概率公式求解．14.若某圆锥的轴截面是面积为的等边三角形，则这个圆锥的侧面积是__________．【答案】【解析】【分析】由轴截面面积求得轴截面边长，从而得圆锥的底面半径和母线长．【详解】设轴截面等边三角形边长为，则，，∴．故答案为．【点睛】本题考查圆锥的侧面积，掌握侧面积计算公式是解题基础．15.已知直线与圆相交于A、B两点，则∠AOB大小为________．【答案】60°【解析】【分析】由垂径定理求得相交弦长，然后在等腰三角形中求解．【详解】圆心到直线的距离为，圆心半径为，∴，∴为等边三角形，．【点睛】本题考查直线与圆相交弦长问题．求直线与圆相交弦长一般用垂径定理求解，即求出弦心距，则有．16.在正四棱锥P-ABCD中，PA=2，直线PA与平面ABCD所成角为60°，E为PC的中点，则异面直线PA与BE所成角的大小为___________．【答案】45°【解析】【分析】先确定直线PA与平面ABCD所成的角，然后作两异面直线PA和BE所成的角，最后求解．【详解】∵四棱锥P－ABCD是正四棱锥，∴就是直线PA 与平面ABCD所成的角，即＝60°，∴是等边三角形，AC＝PA＝2，设BD与AC交于点O，连接OE，则OE是的中位线，即，且，∴是异面直线PA与BE所成的角，正四棱锥P－ABCD中易证平面PAC，∴，中，，∴是等腰直角三角形，∴＝45°．∴异面直线PA与BE所成的角是45°．故答案为45°．【点睛】本题考查异面直线所成的角，考查直线与平面所成的角，考查正四棱锥的性质．要注意在求空间角时，必须作出其“平面角”并证明，然后再计算．三、解答题：17.已知的三个顶点为，为的中点.求：(1)所在直线的方程；(2)边上中线所在直线的方程；(3)边上的垂直平分线的方程．【答案】（1）x+2y-4=0．（2）2x-3y+6=0．（3）y=2x+2．【解析】试题分析：（1）直线方程的两点式求出所在直线的方程；（2）先求BC的中点D坐标为（0,2），由直线方程的截距式求出AD所在直线方程；（3）求出直线)BC的斜率，由两直线垂直的条件求出直线DE的斜率，再由截距式求出DE的方程。