数学模型常用方法
数学建模常用的十种解题方法
数学建模常用的十种解题方法 摘要当需要从定量的角度分析和研究一个实际问题时，人们就要在深入调查研究、了解对象信息、作出简化假设、分析内在规律等工作的基础上，用数学的符号和语言，把它表述为数学式子，也就是数学模型，然后用通过计算得到的模型结果来解释实际问题，并接受实际的检验。
这个建立数学模型的全过程就称为数学建模。
数学建模的十种常用方法有蒙特卡罗算法；数据拟合、参数估计、插值等数据处理算法；解决线性规划、整数规划、多元规划、二次规划等规划类问题的数学规划算法；图论算法；动态规划、回溯搜索、分治算法、分支定界等计算机算法；最优化理论的三大非经典算法：模拟退火法、神经网络、遗传算法；网格算法和穷举法；一些连续离散化方法；数值分析算法；图象处理算法。
关键词：数学建模；蒙特卡罗算法；数据处理算法；数学规划算法；图论算法 一、蒙特卡罗算法蒙特卡罗算法又称随机性模拟算法，是通过计算机仿真来解决问题的算法，同时可以通过模拟可以来检验自己模型的正确性，是比赛时必用的方法。
在工程、通讯、金融等技术问题中, 实验数据很难获取, 或实验数据的获取需耗费很多的人力、物力, 对此, 用计算机随机模拟就是最简单、经济、实用的方法; 此外, 对一些复杂的计算问题, 如非线性议程组求解、最优化、积分微分方程及一些偏微分方程的解⑿, 蒙特卡罗方法也是非常有效的。
一般情况下, 蒙特卜罗算法在二重积分中用均匀随机数计算积分比较简单, 但精度不太理想。
通过方差分析, 论证了利用有利随机数, 可以使积分计算的精度达到最优。
本文给出算例, 并用MA TA LA B 实现。
1蒙特卡罗计算重积分的最简算法-------均匀随机数法二重积分的蒙特卡罗方法(均匀随机数)实际计算中常常要遇到如()dxdy y x f D ⎰⎰,的二重积分, 也常常发现许多时候被积函数的原函数很难求出, 或者原函数根本就不是初等函数, 对于这样的重积分, 可以设计一种蒙特卡罗的方法计算。
在数学建模中常用的方法
在数学建模中常用的方法：类比法、二分法、量纲分析法、差分法、变分法、图论法、层次分析法、数据拟合法、回归分析法、数学规划（线性规划，非线性规划，整数规划，动态规划，目标规划）、机理分析、排队方法、对策方法、决策方法、模糊评判方法、时间序列方法、灰色理论方法、现代优化算法（禁忌搜索算法，模拟退火算法，遗传算法，神经网络）。
用这些方法可以解下列一些模型：优化模型、微分方程模型、统计模型、概率模型、图论模型、决策模型。
拟合与插值方法（给出一批数据点，确定满足特定要求的曲线或者曲面，从而反映对象整体的变化趋势）：matlab可以实现一元函数，包括多项式和非线性函数的拟合以及多元函数的拟合，即回归分析，从而确定函数；同时也可以用matlab实现分段线性、多项式、样条以及多维插值。
在优化方法中，决策变量、目标函数（尽量简单、光滑）、约束条件、求解方法是四个关键因素。
其中包括无约束规则（用fminserch、fminbnd实现）线性规则（用linprog实现）非线性规则、（用fmincon实现）多目标规划（有目标加权、效用函数）动态规划（倒向和正向）整数规划。
回归分析：对具有相关关系的现象，根据其关系形态，选择一个合适的数学模型，用来近似地表示变量间的平均变化关系的一种统计方法（一元线性回归、多元线性回归、非线性回归），回归分析在一组数据的基础上研究这样几个问题：建立因变量与自变量之间的回归模型（经验公式）；对回归模型的可信度进行检验；判断每个自变量对因变量的影响是否显著；判断回归模型是否适合这组数据；利用回归模型对进行预报或控制。
相对应的有线性回归、多元二项式回归、非线性回归。
逐步回归分析：从一个自变量开始，视自变量作用的显著程度，从大到地依次逐个引入回归方程：当引入的自变量由于后面变量的引入而变得不显著时，要将其剔除掉；引入一个自变量或从回归方程中剔除一个自变量，为逐步回归的一步；对于每一步都要进行值检验，以确保每次引入新的显著性变量前回归方程中只包含对作用显著的变量；这个过程反复进行，直至既无不显著的变量从回归方程中剔除，又无显著变量可引入回归方程时为止。
数学建模10种常用算法
数学建模10种常用算法1、蒙特卡罗算法（该算法又称随机性模拟算法，是通过计算机仿真来解决问题的算法，同时可以通过模拟可以来检验自己模型的正确性，是比赛时必用的方法）2、数据拟合、参数估计、插值等数据处理算法（比赛中通常会遇到大量的数据需要处理，而处理数据的关键就在于这些算法，通常使用Matlab作为工具）3、线性规划、整数规划、多元规划、二次规划等规划类问 题（建模竞赛大多数问题属于最优化问题，很多时候这些问题可以用数学规划算法来描述，通常使用Lindo、Lingo软件实现）4、图论算法（这类算法可以分为很多种，包括最短路、网络流、二分图等算法，涉及到图论的问题可以用这些方法解决，需要认真准备）5、动态规划、回溯搜索、分治算法、分支定界等计算机算法（这些算法是算法设计中比较常用的方法，很多场合可以用到竞赛中）6、最优化理论的三大非经典算法：模拟退火法、神经网络、遗传算法（这些问题是用来解决一些较困难的最优化问题的算法，对于有些问题非常有帮助，但是算法的实现比较困难，需慎重使用）7、网格算法和穷举法（网格算法和穷举法都是暴力搜索最优点的算法，在很多竞赛题中有应用，当重点讨论模型本身而轻视算法的时候，可以使用这种暴力方案，最好使用一些高级语言作为编程工具）8、一些连续离散化方法（很多问题都是实际来的，数据可以是连续的，而计算机只认的是离散的数据，因此将其离散化后进行差分代替微分、求和代替积分等思想是非常重要的）9、数值分析算法（如果在比赛中采用高级语言进行编程的话，那一些数值分析中常用的算法比如方程组求解、矩阵运算、函数积分等算法就需要额外编写库函数进行调用）10、图象处理算法（赛题中有一类问题与图形有关，即使与图形无关，论文中也应该要不乏图片的，这些图形如何展示以及如何处理就是需要解决的问题，通常使用Matlab进行处参数估计C.F.20世纪60年代,随着电子计算机的。
参数估计有多种方法，有最小二乘法、极大似然法、极大验后法、最小风险法和极小化极大熵法等。
数学建模常用算法和模型全集
数学建模常用算法和模型全集数学建模是一种将现实世界的问题转化为数学问题，并通过建立数学模型来求解的方法。
在数学建模中，常常会用到各种算法和模型，下面是一些常用的算法和模型的全集。
一、算法1.线性规划算法：用于求解线性规划问题，例如单纯形法、内点法等。
2.非线性规划算法：用于求解非线性规划问题，例如牛顿法、梯度下降法等。
3.整数规划算法：用于求解整数规划问题，例如分支定界法、割平面法等。
4.动态规划算法：用于求解具有最优子结构性质的问题，例如背包问题、最短路径问题等。
5.遗传算法：模拟生物进化过程，用于求解优化问题，例如遗传算法、粒子群算法等。
6.蚁群算法：模拟蚂蚁寻找食物的行为，用于求解优化问题，例如蚁群算法、人工鱼群算法等。
7.模拟退火算法：模拟固体退火过程，用于求解优化问题，例如模拟退火算法、蒙特卡罗模拟等。
8.蒙特卡罗算法：通过随机抽样的方法求解问题，例如蒙特卡罗模拟、马尔科夫链蒙特卡罗等。
9.人工神经网络：模拟人脑神经元的工作原理，用于模式识别和函数逼近等问题，例如感知机、多层感知机等。
10.支持向量机：用于分类和回归问题，通过构造最大间隔超平面实现分类或回归的算法，例如支持向量机、核函数方法等。
二、模型1.线性模型：假设模型的输出与输入之间是线性关系，例如线性回归模型、线性分类模型等。
2.非线性模型：假设模型的输出与输入之间是非线性关系，例如多项式回归模型、神经网络模型等。
3.高斯模型：假设模型的输出服从高斯分布，例如线性回归模型、高斯朴素贝叶斯模型等。
4.时间序列模型：用于对时间序列数据进行建模和预测，例如AR模型、MA模型、ARMA模型等。
5.最优化模型：用于求解优化问题，例如线性规划模型、整数规划模型等。
6.图论模型：用于处理图结构数据的问题，例如最短路径模型、旅行商问题模型等。
7.神经网络模型：用于模式识别和函数逼近等问题，例如感知机模型、多层感知机模型等。
8.隐马尔可夫模型：用于对具有隐藏状态的序列进行建模，例如语音识别、自然语言处理等。
在数学建模中常用的方法
在数学建模中常用的方法数学建模是一种利用数学模型来描述和解决实际问题的方法。
它在科学研究、工程技术和经济管理等领域具有广泛的应用。
在数学建模中，常用的方法包括线性规划、非线性规划、动态规划、离散事件模拟、蒙特卡洛方法等。
下面将对这些方法进行详细介绍。
1.线性规划：线性规划是一种在给定的约束条件下最大化或最小化线性目标函数的方法。
它适用于有着线性关系的问题，包括生产计划、资源分配、运输问题等。
线性规划的主要方法是使用线性规划模型将问题转化为数学形式，并通过线性规划算法求解最优解。
2.非线性规划：非线性规划是一种在给定的约束条件下最大化或最小化非线性目标函数的方法。
它适用于有着非线性关系的问题，包括优化设计、模式识别、经济决策等。
非线性规划的主要方法是使用非线性规划模型将问题转化为数学形式，并通过非线性规划算法求解最优解。
3.动态规划：动态规划是一种通过将复杂问题分解为子问题，并利用最优子结构的性质求解问题的方法。
它适用于有着重叠子问题的问题，包括最短路径问题、背包问题、机器调度问题等。
动态规划的主要方法是建立递推关系，通过填表或递归的方式求解最优解。
4.离散事件模拟：离散事件模拟是一种通过模拟系统状态的变化，以评估系统性能的方法。
它适用于有着离散事件发生和连续状态变化的问题，包括排队论、制造过程优化、金融风险评估等。
离散事件模拟的主要方法是建立事件驱动的模拟模型，并通过统计分析得到系统性能的估计。
5.蒙特卡洛方法：蒙特卡洛方法是一种基于概率统计的模拟方法，通过生成随机样本来估计问题的解。
它适用于有着随机性质的问题，包括随机优化、风险分析、可靠性评估等。
蒙特卡洛方法的主要思想是基于大数定律，通过大量的随机模拟次数来逼近问题的解。
除了上述方法外，在数学建模中还可以使用图论、拟合分析、概率论和统计方法等。
图论可用于描述网络结构和路径问题；拟合分析可用于对实际数据进行曲线或曲面拟合；概率论和统计方法可用于建立概率模型和对数据进行统计分析。
求数学模型的八种方法
求数学模型的八种方法数学模型是实际问题的抽象表示，通过数学方法来描述客观现象和解决实际问题。
下面是求解数学模型的八种方法：一、代数法代数法是利用代数方程来研究问题的一种方法。
这种方法适用于问题具有代数结构或可以用代数方式解决的问题。
二、几何法几何法是利用几何原理和几何图形来研究问题的一种方法。
这种方法适用于问题具有几何结构或可以用几何方式解决的问题。
三、概率论与数理统计法概率论与数理统计法是利用概率论和数理统计的知识来研究问题的一种方法。
这种方法适用于问题具有随机性或涉及到概率和统计的问题。
四、微积分法微积分法是利用微积分的知识来研究问题的一种方法。
这种方法适用于问题具有连续性或涉及到变化率、极值等问题。
五、优化理论与方法优化理论与方法是利用最优化的原理和方法来研究问题的一种方法。
这种方法适用于问题涉及到优化和最大化、最小化等问题。
六、动力系统理论和混沌理论动力系统理论和混沌理论是利用数学动力学的知识来研究复杂问题的一种方法。
这种方法适用于非线性、复杂的问题。
七、离散数学法离散数学法是利用离散数学的知识来研究问题的一种方法。
这种方法适用于离散结构的问题，如图论、组合数学等问题。
八、计算机模拟方法计算机模拟方法是利用计算机建立模型，并进行数值模拟实验来研究问题的一种方法。
这种方法适用于不能用解析方法求解或难以获得精确解的问题。
以上八种方法并不是完全独立的，有时需要综合运用。
在实际问题中，应该综合考虑问题的特点和求解方法的优缺点，选择最为合适的方法来求解数学模型。
3建立数学模型方法和步骤
3建立数学模型方法和步骤建立数学模型是将实际问题转化为数学问题，以便进行定量分析和求解的过程。
建立数学模型能够帮助我们更好地理解问题背后的本质，为决策和预测提供依据。
下面将介绍建立数学模型的方法和步骤。
方法一：方程法方程法是一种常用的建立数学模型的方法，其基本步骤包括以下四个方面：1.确定问题的基本要素，包括变量、参数和指标。
变量是问题中可变的量，可以进行测量和观察，而参数是固定的量，通常是由以前的实验或者经验确定的。
指标是评价问题结果的标准。
2.建立数学方程或者不等式，用变量、参数和指标之间的关系来描述问题。
这些方程或者不等式可以是线性的，也可以是非线性的。
可以根据问题背景和要求，选择适当的数学模型，常见的数学模型包括数学规划模型、统计模型、差分方程模型等。
3.对建立的数学方程或者不等式进行求解，得到问题的解。
求解方法可以是数值求解，也可以是符号求解，具体方法取决于问题的特点和求解的难度。
4.对问题的解进行分析和解释，对模型的有效性进行验证。
通过对问题解的分析和解释，可以得出有关问题的结论，并对建立的模型的准确性和可靠性进行评估。
方法二：概率论和统计学方法概率论和统计学是建立数学模型的重要工具，其基本步骤如下：1.通过对问题的分析和理解，确定问题的基本要素，包括变量、参数和指标。
与方程法相似，变量是问题中可变的量，参数是固定的量，指标是评价问题结果的标准。
2.基于问题的特点和要求，选择适当的概率分布，建立数学模型。
常见的概率分布包括正态分布、泊松分布、指数分布等。
3.通过对问题相关数据的收集和分析，估计模型中的参数。
可以使用最大似然估计、矩估计等方法。
4.利用统计推断的方法对问题进行分析和预测。
可以通过置信区间、假设检验等方法对问题进行定量分析。
5.对模型的有效性和可靠性进行评估。
通过对实际数据和推断结果的比较，可以评估模型的准确性和可信度。
方法三：系统动力学模型系统动力学模型是一种常用的建立动态系统模型的方法，其基本步骤如下：1.确定问题的系统边界。
数学建模方法详解三种最常用算法
数学建模方法详解三种最常用算法在数学建模中，常使用的三种最常用算法是回归分析法、最优化算法和机器学习算法。
这三种算法在预测、优化和模式识别等问题上有着广泛的应用。
下面将对这三种算法进行详细介绍。
1.回归分析法回归分析是一种用来建立因果关系的统计方法，它通过分析自变量和因变量之间的关系来预测未知的因变量。
回归分析可以通过构建一个数学模型来描述变量之间的关系，并利用已知的自变量值来预测未知的因变量值。
常用的回归分析方法有线性回归、非线性回归和多元回归等。
在回归分析中，我们需要首先收集自变量和因变量的样本数据，并通过数学统计方法来拟合一个最优的回归函数。
然后利用这个回归函数来预测未知的因变量值或者对已知数据进行拟合分析。
回归分析在实际问题中有着广泛的应用。
例如，我们可以利用回归分析来预测商品销售量、股票价格等。
此外，回归分析还可以用于风险评估、财务分析和市场调研等。
2.最优化算法最优化算法是一种用来寻找函数极值或最优解的方法。
最优化算法可以用来解决各种优化问题，例如线性规划、非线性规划和整数规划等。
最优化算法通常分为无约束优化和有约束优化两种。
无约束优化是指在目标函数没有约束条件的情况下寻找函数的最优解。
常用的无约束优化算法有梯度下降法、共轭梯度法和牛顿法等。
这些算法通过迭代计算来逐步优化目标函数，直到找到最优解。
有约束优化是指在目标函数存在约束条件的情况下寻找满足约束条件的最优解。
常用的有约束优化算法有线性规划、非线性规划和混合整数规划等。
这些算法通过引入拉格朗日乘子、KKT条件等来处理约束条件，从而求解最优解。
最优化算法在现实问题中有着广泛的应用。
例如，在生产计划中，可以使用最优化算法来确定最优的生产数量和生产计划。
此外，最优化算法还可以应用于金融风险管理、制造工程和运输物流等领域。
3.机器学习算法机器学习算法是一种通过对数据进行学习和模式识别来进行决策和预测的方法。
机器学习算法可以根据已有的数据集合自动构建一个模型，并利用这个模型来预测未知的数据。
数学建模方法大全(最新整理)
类别类别（2）模型名称关键点备注参考书目库存模型排队模型复杂系统可靠系统酵母菌增长模型平衡点；平衡点的分类地高辛衰减模型动力系统类战争模型总量一定时，对单量的分配差分方程模型竞争物种模型不稳定平衡：对初始值敏感钓鱼比赛模型几何相似性比例性模型身高、体重与灵活性模型停止距离模型97最小二乘拟合海湾收成模型磁带播放模型高阶多项式敏感度很强光滑化115数据拟合模型多项式拟合停止距离模型（2）三阶样条法。
有自然和强制样条两种134时间序列GM(1,1)，指数平滑，线性平滑预测因果分析法灰色关联度分析聚类分析聚类分析因子分析硬币投掷模型149汽油储存模型逆线性样条（可改变随机数范围）155模拟方法蒙特卡罗算法港口系统模型改变参数时，改善情况的分析164离散概率马尔可夫链汽车租赁模型要结合蒙特卡罗算法176投票趋势模型177Markov决策模型串联和并联系统模型178无约束类生产计划模型192取整数类载货模型194动态规划类197多目标规划类投资问题有时须对目标进行取舍。
可采取加权系统层次分析196冲突目标Minmax与maxmin机会约束约束满足概率性>P矛盾约束约束相互矛盾单纯形法木匠生产模型注意步骤性。
215组合模型参数模型动态规划决策法背包问题排序问题多步骤形的规划线性规划模型数值搜索法工业流程优化黄金分割搜索法还有二分搜索法233最大树最大流最短路关键路线法网络计划布点问题中心问题重心问题运输问题分配问题匈牙利方法最大匹配最优匹配网络流旅行推销问题中国邮递员问题分式规划目标是分式非线性规划凸规划几何规划2人0种对策鞍点对策混合对策对策合作单摆模型通过实验选择最终模型253爆炸模型函数随爆炸威力上升改变258烤火鸡模型262量纲分析模型阻力模型使用相似性、比例性。
注意它额外定义的物理量。
268军备竞赛模型民防、移动发射台、多弹头271税收-能源危机模型参考经济学书籍！288图标模型税收归宿模型税收-汽油短缺模型马尔萨斯人口模型无限增长299人口模型有限增长模型可推广到其它生物的增长301用药模型储蓄模型关注Euler 法的使用（该法并不精确）326竞争捕猎模型363页：相应的Euler 法使用生物关系模型捕食者-食饵模型Scheafer 微分方程模型Lanchester 战斗模型350SIR 模型军备竞赛的经济模型355微分方程模型混沌与分形模型Steiner 树库存模型制造模型最陡上升梯度方法375石油转运模型Lagrange乘子法注意里面涉及到的经济学概念和意义381连续优化问题航天飞机的水箱模型渔业模型注意各种“最优”的意义384模拟退火法神经网络遗传算法分治算法差分进化蚁行算法最优化粒子群灰色系统数理统计不确定模型模糊数学聚类分析无分类模型名称所在目录1， 国有企业业绩分化的数学模型2， 打假问题的机理数学分析3， 足球比赛排名问题4， 大象群落的稳定性分析5， 火车便餐最有价格方案6， 影院最优设计方案7， 国有企业业绩分化的数学模型8， 打假问题的机理数学分析9， 足球比赛排名问题10， 大象群落的稳定性分析11， 火车便餐最有价格方案12， 施肥效果分析13， 迷宫问题14， 锁具装箱问题15， 密码问题16， 席位分配模型17， 双重玻璃窗功效模型初等模型18， 储存模型19， 森林救火模型20， 消费者均衡模型优化模型21， 加工奶制品模型22， 自来水输送模型23， 混合泳接力模型数学规划模型24， 投入产出模型25， 三级火箭模型26，糖尿病模型27，传染病模型28，生物种群模型29，人口模型30，分子模型31，扫雪模型32，商人过河问题。
建立数学模型的三种方法
建立数学模型的三种方法1. 直接建模法呀，这就像是盖房子先把框架搭起来。
比如说要计算一个圆形池塘的面积，那咱直接就根据圆的面积公式来嘛，多直接呀，一下子就把模型建起来了！2. 数据驱动法哦，这可厉害了！就像侦探根据线索破案一样。
想想看，通过大量的销售数据来建立一个预测销量的模型，不就跟从蛛丝马迹中找到真相一样刺激吗！比如分析不同季节商品的销量变化，从而得出模型呢！3. 类比建模法啊，就如同找到相似的东西来帮忙理解。
比如说研究人体血液循环，就可以类比成水管里水流的情况呀，用这样的类比来建立相应的数学模型呢，多有意思呀！4. 逐步细分法嘞，如同把一个大蛋糕一点点切开。
好比要研究一个城市的交通流量，那可以先细分到不同区域，再到具体街道，逐步建立起精准的模型呀！就问你妙不妙！5. 情景模拟法哟，这简直就是在脑子里演一场大戏呀！像是模拟火灾时人员逃生的情况，通过各种条件和因素建立数学模型，太好玩啦！6. 理论推导法呀，就像沿着一条清晰的路往前走。
比如根据物理定律去推导一个运动模型，哇，那感觉就像在探索未知的宝藏！7. 经验总结法呀，不就是把过去的经验变成模型嘛。
比如说根据自己多年养花的经验来建立一个怎么养好花的模型，是不是很神奇！8. 混合建模法呢，这就是大杂烩呀！把各种方法都混在一起，为了达到目的不择手段呢。
比如研究气候变化，就可以用数据、理论等等好多方法揉在一起建立模型呀！9. 创新尝试法嘛，就是不走寻常路呀！总是想试试新的办法来建立模型。
就好像明明有条大路，偏要去走小路看看有啥惊喜。
比如用完全未曾想过的角度去建立一个关于人际关系的模型呢！我觉得这些方法都各有各的厉害之处，就看我们怎么去运用啦，能让我们更好地理解和解决各种问题呢！。
数学建模常见方法
数学建模是将实际问题抽象成数学模型，并通过数学方法进行求解和分析的过程。
以下是一些常见的数学建模方法：
1.数理统计：利用概率论和统计学方法来分析数据，建立统计模型并进行参数估计、假设
检验等，从而对问题进行量化和预测。
2.最优化方法：使用最优化理论和方法，在给定约束条件下寻找最优解，如线性规划、非
线性规划、整数规划等。
3.微分方程模型：通过建立微分方程或偏微分方程描述系统的动态行为，包括常微分方程
和偏微分方程模型。
4.离散事件模拟：通过离散事件模拟方法模拟系统的运作过程，包括随机过程、排队论等。
5.图论与网络流模型：使用图论和网络流算法对复杂的关系和网络结构进行建模和分析，
如最短路径、最小生成树等。
6.时间序列分析：对时间序列数据进行建模和预测，涉及自相关函数、谱分析、回归分析
等方法。
7.近似方法：如插值、拟合、逼近等方法，通过寻找适当的函数形式来近似真实问题。
8.随机过程：通过建立随机过程来描述系统的不确定性和随机性，包括马尔可夫链、布朗
运动等。
9.图像处理与模式识别：利用数学方法和算法对图像和模式进行处理和识别，如图像滤波、
边缘检测、模式匹配等。
10.数据挖掘与机器学习：利用统计学和机器学习算法对大规模数据进行分析和挖掘，发现
隐藏的模式和关联规律。
这些方法只是数学建模中的一部分，实际应用还需根据具体问题进行选择和组合。
在数学建模过程中，常常需要结合领域知识和实际情况，并使用计算机软件和工具进行模型求解和结果分析。
常用数学模型的数学方法
常用数学模型的数学方法数学模型是数学的一种应用形式，它是对实际问题所做的一种数学抽象。
利用数学模型可以解决很多实际问题，如金融学、工程设计、物理学、经济学等等领域都可以使用数学模型。
在实际应用过程中，我们需要运用各种数学方法来构建数学模型。
下面将介绍几种常用的数学模型及其求解方法。
一、线性回归模型线性回归模型是一种通过分析自变量与因变量之间的线性关系来预测结果的模型。
具体来说，就是通过实验或数据采集，建立自变量与因变量之间的线性方程，然后根据已知数据拟合这个方程，从而得到预测值。
在建立线性回归模型时，我们需要使用最小二乘法来确定方程的系数。
最小二乘法是一种基本的数学统计方法，它的核心思想是使残差平方和最小化。
在建立线性回归模型时，我们可以使用Excel等软件进行计算和拟合，也可以使用Python等编程语言进行代码编写。
二、差分方程模型差分方程模型可以用来描述动态系统中各个变量之间的关系。
与线性回归模型不同，差分方程模型考虑了时间因素的影响，因此也叫做时间序列模型。
差分方程模型的求解需要用到微积分中的一些技巧，如Euler 法、Runge-Kutta法等数值解法。
同时，还需要掌握常微分方程的基本理论与方法，如欧拉公式、拉普拉斯变换、Z变换等。
三、优化模型优化模型是指在满足一定条件下，寻找一组或一些最优解的问题。
这类问题在经济学、工程学、物理学等领域中都有广泛的应用。
在求解优化模型时，需要使用线性规划、非线性规划、整数规划等数学方法。
同时，还需要掌握一些算法和数据结构知识，如单纯形法、分支定界法、动态规划等算法。
四、统计模型统计模型是用来研究数据的一种方法。
在实际应用中，数据总是包含着一定的规律和趋势，而统计模型就是通过对数据的分析来确定这些规律和趋势的。
在统计模型中，我们需要用到各种统计方法，如假设检验、方差分析、回归分析等。
同时，还需要掌握一些统计软件的使用，如SPSS、Stata等软件。
总体来说，数学模型的建立以及求解都需要掌握一定的数学和计算机知识。
数学建模常用模型方法总结
数学建模常用模型方法总结数学建模是指用数学方法对实际问题进行抽象和描述，进而建立数学模型来解决实际问题的方法。
数学建模是现代科学技术的重要手段之一，它在实际应用中起着重要的作用。
下面将介绍一些常用的数学建模方法。
一、线性规划线性规划是在约束条件下求解线性目标函数的问题，广泛应用于经济、工程等领域。
它的数学模型可以表示为：$$\begin{align*}\text{maximize}\quad & \mathbf{C}^T\mathbf{X} \\\text{subject to}\quad & \mathbf{A}\mathbf{X} \leq \mathbf{b} \\& \mathbf{X} \geq \mathbf{0}\end{align*}$$其中，$\mathbf{C}$是一个列向量，$\mathbf{X}$是要优化的目标变量，$\mathbf{A}$是一个矩阵，$\mathbf{b}$是一个列向量。
二、非线性规划非线性规划是在约束条件下求解非线性目标函数的问题。
非线性规划模型往往在现实问题中具有更广泛的适用性。
非线性规划的数学模型可以表示为：$$\begin{align*}\text{maximize}\quad & f(\mathbf{X}) \\\text{subject to}\quad & \mathbf{g}(\mathbf{X}) \leq\mathbf{0} \\& \mathbf{h}(\mathbf{X}) = \mathbf{0}\end{align*}$$其中，$f(\mathbf{X})$是一个目标函数，$\mathbf{g}(\mathbf{X})$是不等式约束条件，$\mathbf{h}(\mathbf{X})$是等式约束条件。
三、动态规划动态规划是一种通过将问题分解成子问题的方式来求解复杂问题的方法。
它通常适用于具有最优子结构性质的问题。
数学建模常用算法
数学建模常用算法数学建模是指将实际问题转化为数学模型，并通过数学方法进行求解的过程。
在数学建模中，常用的算法有很多种，下面将介绍一些常见的数学建模算法。
1.最优化算法:-线性规划算法:如单纯形法、内点法等，用于求解线性规划问题。
-非线性规划算法:如最速下降法、牛顿法等，用于求解非线性规划问题。
-整数规划算法:如分支定界法、割平面法等，用于求解整数规划问题。
2.概率统计算法:-蒙特卡洛模拟:通过模拟随机事件的方式，得出问题的概率分布。
-贝叶斯统计:利用先验概率和条件概率，通过数据更新后验概率。
-马尔可夫链蒙特卡洛:用马尔可夫链的方法求解复杂的概率问题。
3.图论算法:-最短路径算法:如迪杰斯特拉算法、弗洛伊德算法等，用于求解两点之间的最短路径。
-最小生成树算法:如普里姆算法、克鲁斯卡尔算法等，用于求解图中的最小生成树。
- 最大流最小割算法: 如Edmonds-Karp算法、Dinic算法等，用于求解网络流问题。
4.插值和拟合算法:-多项式插值:如拉格朗日插值、牛顿插值等，用于通过已知数据点拟合出多项式模型。
-最小二乘法拟合:通过最小化实际数据与拟合模型之间的差异来确定模型参数。
-样条插值:通过使用多段低次多项式逼近实际数据，构造连续的插值函数。
5.遗传算法和模拟退火算法:-遗传算法:通过模拟自然选择、遗传变异和交叉等过程，优化问题的解。
-模拟退火算法:模拟固体退火过程，通过随机策略进行，逐步靠近全局最优解。
6.数据挖掘算法:- 聚类算法: 如K-means算法、DBSCAN算法等，用于将数据分为不同的类别。
-分类算法:如朴素贝叶斯算法、决策树算法等，用于通过已知数据的类别预测新数据的类别。
- 关联分析算法: 如Apriori算法、FP-growth算法等，用于发现数据集中的关联规则。
以上只是数学建模中常用的一些算法，实际上还有很多其他算法也可以应用于数学建模中，具体使用哪种算法取决于问题的性质和要求。
高中数学学习中的数学模型构建方法
高中数学学习中的数学模型构建方法在高中数学学习中，数学模型构建是一个重要的环节。
数学模型是将实际问题转化为数学语言的一种工具，通过建立模型，可以更好地理解和解决实际问题。
本文将介绍一些常用的数学模型构建方法，以帮助高中生在数学学习中更好地运用模型。
一、函数模型构建方法函数模型是数学模型中最常见也是最基础的一种形式。
构建函数模型时，可以根据实际问题中所涉及的变量关系，选择合适的数学函数来表达。
以下是一些常见的函数模型构建方法：1. 线性函数模型：当实际问题中的变量之间呈现线性关系时，可以使用线性函数模型来描述。
线性函数的形式为 y = kx + b，其中 k 和 b 分别表示直线的斜率和截距。
2. 指数函数模型：当实际问题中的变化过程呈现指数增长或递减的特点时，可以使用指数函数模型来描述。
指数函数的形式为 y = a^x，其中 a 是常数，x 表示自变量。
3. 对数函数模型：当实际问题中的变化过程呈现对数关系时，可以使用对数函数模型来描述。
对数函数的形式为 y = loga(x)，其中 a 是底数，x 表示自变量。
二、统计模型构建方法统计模型是一种通过数据分析来建立的模型。
在高中数学学习中，常常需要根据给定的数据，建立统计模型来进行预测或者推断。
以下是一些常见的统计模型构建方法：1. 线性回归模型：线性回归是一种常用的统计方法，通过分析自变量和因变量的线性关系，建立一个拟合程度较高的线性模型。
线性回归模型的表达形式为 y = kx + b，其中 k 和 b 分别表示回归系数和截距。
2. logistic 回归模型：logistic 回归模型是一种常用的分类模型，在二分类问题中应用较为广泛。
logistic 回归模型通过分析自变量和因变量之间的关系，给出了一个概率值，用于判断样本属于哪一类。
三、几何模型构建方法几何模型是一种通过几何图形来表示实际问题的数学模型。
在高中几何学中，常常需要根据给定的条件，建立相应的几何模型来求解问题。
数学建模的建模方法
数学建模的建模方法
数学建模的建模方法有以下几种常用的方法：
1. 数学优化模型：通过建立一个目标函数和一系列约束条件来描述问题，并利用数学优化方法寻找使目标函数最优的解。
2. 方程模型：将问题转化为一组方程或不等式，利用数学方法求解得到结果。
3. 统计模型：基于一定的统计原理和假设，利用统计方法来分析和预测数据、进行参数估计和假设检验等。
4. 动态模型：将问题看作是一个动态的过程，并建立一套描述系统演化过程的方程组，以预测未来状态和行为。
5. 分段模型：将系统划分为多个不同的阶段或状态，并对每个阶段或状态建立适当的模型，再通过合并各个模型的结果来得到整体的解析。
6. 离散模型：将问题中的连续变量离散化为一组有限的状态或取值，并用状态转移矩阵或概率分布描述变量之间的关系和演化规律。
7. 系统动力学模型：基于对系统结构和行为的理解，建立一系列动态方程来描述系统各种因素之间的相互作用和演化过程。
8. 随机过程模型：用概率论和随机过程理论来描述系统的不确定性和随机性，并对系统的平均行为和波动性进行分析和预测。
以上仅是一些常用的数学建模方法，实际建模过程中可以根据具体问题的特点选择合适的建模方法，或者结合多种方法进行综合建模。
常用数学建模方法及实例
常用数学建模方法及实例数学建模是将实际问题转化为数学模型，通过数学方法进行求解和分析的过程。
常用的数学建模方法包括线性规划、整数规划、非线性规划、图论、动态规划等。
一、线性规划线性规划是一种用于求解线性约束下目标函数的最优值的方法。
它常用于资源分配、生产计划、供应链管理等领域。
例1：公司有两个工厂生产产品A和产品B，两种产品的生产过程需要使用原材料X和Y。
产品A和产品B的利润分别为10和8、工厂1每小时生产产品A需要1个单位的X和2个单位的Y，每小时生产产品B需要2个单位的X和1个单位的Y。
工厂2每小时生产产品A需要2个单位的X和1个单位的Y，每小时生产产品B需要1个单位的X和3个单位的Y。
公司给定了每种原材料的供应量，求使公司利润最大化的生产计划。
二、整数规划整数规划是线性规划的一种扩展，要求变量的取值为整数。
整数规划常用于离散决策问题。
例2：公司有5个项目需要投资，每个项目的投资金额和预期回报率如下表所示。
公司有100万元的投资资金，为了最大化总回报率，应该选择哪几个项目进行投资？项目投资金额（万元）预期回报率1207%2306%3409%4104%5508%三、非线性规划非线性规划是一种求解非线性目标函数下约束条件的最优值的方法。
它广泛应用于经济、金融和工程等领域。
例3：公司通过降低售价和增加广告费用来提高销售额。
已知当售价为p时，销量为q=5000-20p，广告费用为a时，销售额为s=p*q-2000a。
已知售价的范围为0≤p≤100，广告费用的范围为0≤a≤200，公司希望最大化销售额，求最优的售价和广告费用。
四、图论图论是一种用于研究图（由节点和边组成）之间关系和性质的数学方法，常用于网络分析、路径优化、社交网络等领域。
例4：求解最短路径问题。
已知一个有向图，图中每个节点表示一个城市，每条边表示两个城市之间的道路，边上的权重表示两个城市之间的距离。
求从起始城市到目标城市的最短路径。
五、动态规划动态规划是一种通过将问题划分为子问题进行求解的方法，常用于求解最优化问题。
数学建模方法
数学建模方法
在数学建模中，有许多方法可供选择，这些方法在不同的问题情境下展现出了各自的优势与适用性。
以下是数学建模中常用的几种方法：
1. 数理统计：数理统计是一种通过对收集到的数据进行分析和解释，来推断总体特征和规律的方法。
它可以帮助研究人员利用已有的数据来预测未来的趋势和结果。
2. 优化方法：优化方法用于寻找最佳的解决方案，以最大化或最小化某个目标函数。
这种方法被广泛应用于资源分配、生产计划、交通路径规划等问题的求解。
3. 动态系统建模：动态系统建模用于描述和模拟由一组变量和它们之间的关系构成的系统。
通过建立动态方程，可以预测系统随时间变化的行为，并对其进行控制和优化。
4. 图论与网络分析：图论与网络分析研究图形和网络的性质及其在实际问题中的应用。
它可以用来分析交通网络、社交网络等复杂系统，并提供优化解决方案。
5. 差分方程与微分方程模型：差分方程和微分方程模型是描述连续或离散系统行为的数学工具。
它们广泛应用于物理、工程、生物学等领域，用于分析和预测系统的发展和变化。
6. 概率论与随机过程：概率论与随机过程研究随机现象的数学模型和规律。
它可以帮助研究人员分析风险、评估不确定性，
以及设计和优化随机策略。
除了上述几种方法外，数学建模还可以结合其他学科的方法和技巧，如线性代数、图像处理、机器学习等，来解决复杂的实际问题。
研究人员需要根据问题的特性和需求，选择合适的方法进行建模和求解。
数学建模常用方法
数学建模常用方法
1. 数学统计方法：用统计学方法分析大量数据，为研究对象提供信息和解释。
2. 形式化建模方法：将自然语言描述的问题转换为数学语言的形式，建立数学模型。
3. 最优化方法：通过标准化目标函数和制约条件寻找最优解。
4. 仿真方法：在计算机上实现模型，并用不同的参数测试模型。
5. 数据挖掘方法：通过大数据分析和模式识别寻找规律。
6. 神经网络方法：通过构建数学神经网络实现模式识别和分类。
7. 演化算法方法：用进化算法来解决多维问题。
8. 非线性优化方法：以非线性数学模型为基础，分析和寻找最优解。
9. 贝叶斯方法：用贝叶斯原理分析和推断某些未知参数。
10. 数值分析方法：用计算机来实现各种数学方法，如微积分和代数运算。
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实际问题
数学
• 美国大学生数学建模竞赛(MCM) • 中国大学生数学建模竞赛(CUMCM)
• 竞赛内容与形式简介
（美国大学生）数学建模竞赛(MCM)
• 1985年开始举办，每年一次(2月)；“国际竞赛” • 1999年起又同时推出交叉学科竞赛 （Interdisciplinary Contest in Modeling – ICM) • 我国(清华等校) 1989年开始每年参加，英文答卷 • MCM-2006有10个国家(地区)748队参赛，其中我国 占62%; ICM-2006有224队参赛，其中我国占87% • 每年赛题和优秀答卷刊登于同年 UMAP杂志
为什么要学习数学建模?
…… 数学美学 数学哲学 数学精神
…… 随机数学 代数与几何 微积分
…… 应用数学 数学技术 数学实验
数学应用 数学发现
数学知识 数学技巧பைடு நூலகம்
数学素质 数学文化
数学建模竞赛(MCM )简介
Mathematical Contest in Modeling
Mathematical Modeling
[问]：公开竞赛达三天之久，是否会出现舞 弊或其他不公正现象？ [答]：实践证明，从未出现过这种现象，固 然与参赛师生信守参赛誓言有关。我认为， 更重要的是这种竞赛十分紧张，在进行过程 中，别人很难插进去。何况赛题来自许多不 同领域，一般没有现成答案，即使是数学家， 未经深思熟虑，并查阅一定资料，也很难发 表中肯意见。
些规律性和结构。例如，在全序列中有一些是用于编码蛋白质 的序列片段，即由这4个字符组成的64种不同的3字符串，其中 大多数用于编码构成蛋白质的20种氨基酸。又例如，在不用于 编码蛋白质的序列片段中，A和T的含量特别多些，于是以某些 碱基特别丰富作为特征去研究DNA序列的结构也取得了一些结果 。此外，利用统计的方法还发现序列的某些片段之间具有相关 性，等等。这些发现让人们相信，DNA序列中存在着局部的和全 局性的结构，充分发掘序列的结构对理解DNA全序列是十分有意 义的。目前在这项研究中最普通的思想是省略序列的某些细节， 突出特征，然后将其表示成适当的数学对象。这种被称为粗粒 化和模型化的方法往往有助于研究规律性和结构。 作为研究DNA序列的结构的尝试，提出以下对序列集合进行分 类的问题：
数学的重要性：众所周知？
E. E. David Jr.: (Notices of AMS, v31, n2, 1984, P142) ……现今被如此称颂的“高技术”本质上是数学技术。
资深评估小组对美国数学科学的国际评估报告:
(NSF Report, March 1998) 现如今的数学科学对科学的三个方面： 观察、理论和模拟来说都是必不可少的。
例如，2000网易杯全国大学生数学建模竞赛的A题，
就是一个现在正在进行的科研问题，有关DNA的碱基
排列的特点问题。
A题 DNA序列分类 2000年6月，人类基因组计划中DNA全序列草图完成，预计 2001年可以完成精确的全序列图，此后人类将拥有一本记录着 自身生老病死及遗传进化的全部信息的“天书”。这本大自然写 的“天书”是由4个字符A，T，C，G按一定顺序排成的长约30亿 的序列，其中没有“断句”也没有标点符号，除了这4个字符表示 4种碱基以外，人们对它包含的“内容”知之甚少，难以读懂。 破译这部世界上最巨量信息的“天书”是二十一世纪最重要的任 务之一。在这个目标中，研究DNA全序列具有什么结构，由这4 个字符排成的看似随机的序列中隐藏着什么规律，又是解读这 部天书的基础，是生物信息学（Bioinformatics）最重要的课 题之一。 虽然人类对这部“天书”知之甚少，但也发现了DNA序列中的一
管出厂销价1单位钢管为pi万元，如下表：
i
si
pi
1 800 160
2 800 155
3 1000 155
4 2000 160
5 2000 155
6 2000 150
7 3000 160
1 单位钢管的铁路运价如下表：
里程(km) 运价(万元) 里程(km) 运价(万元) ≤300 20 501～600 37 301～350 23 601～700 44 351～400 26 701～800 50 401～450 29 801～900 55 451～500 32 901～1000 60
数学模型 Mathematical Modeling
引 言
1. 数学的重要性 2. 为什么要学习数学建模？ 3. 数学建模的形式、内容和方法
数学的重要性：众所周知？
一门科学，只有当它成功地运用数学时， 才能达到真正完善的地步。 ——马克思
数学之所以有如此高的声誉，是因为它 给予自然科学以某种程度的可靠性。 ——爱因斯坦 一个国家的科学水平可以用它消耗的 数学来度量。 ——拉奥
Art-model-data 1.aggcacggaaaaacgggaataacggaggaggacttggcacggcattacacggaggacg aggtaaaggaggcttgtctacggccggaagtgaagggggatatgaccgcttgg 2.cggaggacaaacgggatggcggtattggaggtggcggactgttcggggaattattcggttt aaacgggacaaggaaggcggctggaacaaccggacggtggcagcaaagga
1）下面有20个已知类别的人工制造的序列（见下页），其 中序列标号1—10 为A类，11-20为B类。请从中提取特征，构
造分类方法，并用这些已知类别的序列，衡量你的方法是否足
够好。然后用你认为满意的方法，对另外20个未标明类别的人 工序列（标号21—40）进行分类，把结果用序号（按从小到大
的顺序）标明它们的类别（无法分类的不写入）： A类 __________________ ；B类 ___________________。 请详细描述你的方法，给出计算程序。如果你部分地使用了 现成的分类方法，也要将方法名称准确注明。 这40个序列也放在如下地址的网页上，用数据文件Artmodel-data 标识，供下载： 网易网址： 教育频道在线试题； 教育网： News mcm2000
从我国多年竞赛的实践看，一般也不会出现舞弊 或其他不公正现象，仅有个别参赛队出现过违规现象。 一旦出现违规现象，将取消该队的评奖资格，并向全 国通报。所以各参赛队应引以为戒，严格信守参赛誓
言，这也是对各参赛队员诚信意识的一个考验。
近年来，随着参赛队的逐渐增多，水平逐渐提高，
题目的难度也越来越大，而且涉及的领域也越来越广。
的发展和真正的科研条件不同。
三是个人独立做，而现代科研往往要一个团体
合作进行。
于是我和一些看法相同的同行发起，在1985年 举办了首届美国大学生数学建模竞赛。全称是 Mathematical Competition in Modeling，1988年 后改称Mathematical Contest in Modeling(MCM)
……数盲和文盲一样是极其有害的。
数学的重要性：似是而非？
不少同学（甚至社会）的反映：
---- 无用 原因：很少用；用不好 ---- 难学
• 既要学好“算数学”, 更要培养“用数学”的能力
• 利用计算机和数学软件, 培养分析、思考能力 • 感受“用数学”的酸甜苦辣, 激发学好数学的愿望 最常用的大学数学内容有哪些?
总数 中国
年份
与弗萨罗(Fusaro)教授的谈话记录
我们从数学建模竞赛的历史讲起，它 的历史不长，仅有20年左右。 先介绍美国数模竞赛的发起人之一—— 美国工业与应用数学学会教育委员会主席、 美国马里兰大学弗萨罗(Fusaro)教授，于 1990年7月应邀到上海交通大学访问。以下 是座谈会纪要的摘录：
并不评分，而是按水平分为三档：优秀奖、良 好奖和鼓励奖。
关于在竞赛过程中，教练起什么作用的
问题，弗萨罗教授作了如下回答。 [答]：每个队可以有一名教练，其作用是， 参赛前对队员进行培训，竞赛开始后收发试 题和答卷。除了开始可以与队员一起搞清题 意外，竞赛过程中，教练不得跟队员讨论与 竞赛有关的问题。
[问]：你们的竞赛有什么特点？ [答]：针对普特南数学竞赛的问题，我们采取的 办法是命题来源于真实世界，通常由工业部门
提出，然后由数学工作者简化或修正。每次出
两道题，一道连续型，一道离散型，学生任选
一题。可以用计算机，软件包，可以参阅任何
资料。竞赛以三人组成的队为单位，三人之间
可以讨论，分工协作。最后交一篇论文。论文
再看2000网易杯全国大学生数学建模竞赛的B题，
B题 钢管订购和运输 要铺设一条A1 A2 · · · A15的输送天然气的主管道, 如图 一所示(见下页)。经筛选后可以生产这种主管道钢管的钢厂有 S1，S2，· · · ，S7 。图中粗线表示铁路，单细线表示公路，双细 线表示要铺设的管道(假设沿管道或者原来有公路，或者建有施 工公路)，圆圈表示火车站，每段铁路、公路和管道旁的阿拉伯 数字表示里程(单位km)。为方便计，1km主管道钢管称为1单位 钢管。 一个钢厂如果承担制造这种钢管，至少需要生产500个单位。 钢厂Si 在指定期限内能生产该钢管的最大数量为si 个单位，钢
1000km以上每增加1至100km运价增加5万元。 公路运输费用为1单位钢管每公里0.1万元（不足整公里部分 按整公里计算）。
钢管可由铁路、公路运往铺设地点（不只是运到点A1, A2 ,· · ·
, A15，而是管道全线）。 （1）请制定一个主管道钢管的订购和运输计划，使总费用 最小（给出总费用)。 （2）请就（1）的模型分析：哪个钢厂钢管的销价的变化对 购运计划和总费用影响最大，哪个钢厂钢管的产量的上限的变 化对购运计划和总费用的影响最大，并给出相应的数字结果。 （3）如果要铺设的管道不是一条线，而是一个树形图，铁 路、公路和管道构成网络，请就这种更一般的情形给出一种解 决办法，并对图二按（1）的要求给出模型和结果。