25《等比数列前n项和2》
2.5等比数列的前n项和2
复习引入问题 1:等比来自列定义及通项公式；复习引入
问题 1:等比数列定义及通项公式；
一般地，若一个数列从第二项起，每 一项与它的前一项的比等于同一个常数， 这个数列就叫做等比数列.
复习引入
问题 1:等比数列定义及通项公式；
一般地，若一个数列从第二项起，每 一项与它的前一项的比等于同一个常数， 这个数列就叫做等比数列.
新课讲授
某厂去年的产值记为 1，计划在今后的五 年内每年的产值比上一年增长 10%， 则从今年 起到第五年，这个厂的总产值为多少？
新课讲授
某厂去年的产值记为 1，计划在今后的五 年内每年的产值比上一年增长 10%， 则从今年 起到第五年，这个厂的总产值为多少？
问题 3：从今年起的五年内这个厂的逐年产值 有什么特征？利用什么公式求总产值？
通项公式一:
an a1 q
通项公式二:
n 1
(a1 , q 0)
an am q
n m
(a1 , q 0)
复习引入
问题 2:等比数列的求和公式；
复习引入
问题 2:等比数列的求和公式；
na1 (q 1) S n a1 (1 q n ) (q 1) 1q
例题讲解
2．在等比数列{an}中，已知 S10=5， S20=15，求 S30.
例题讲解
2．在等比数列{an}中，已知 S10=5， S20=15，求 S30.
3．Sn 为等比数列的前 n 项和, Sn≠0，则 * Sk , S 2 k Sk , S 3 k S2 k ( k N ),是等比数列．
例题讲解
1. 某商场今年销售计算机 5000 台.如果平均 每年的销售量比上一年的销售量增加 10%， 那么从今年起，大约几年可使销售量达到 30000 台（结果保留到个位）？
等比数列的前n项和(2)最新版
1
1
1
8
S8
2 2 1 1
255 256
2
练习
已知等比 an中 数 , 列
1 a 1 2 , S 3 1 . 则 q 4 2或-3
a 3
8或18
2 a 1 1 , a 4 2 则 q 1 -6 , S 4 6 185
sn=a1+a2+a3+ ······+an-1+an
Sn = a1 + a1q + a1q2 +……+a1qn-2 + a1qn-1 (*)
q n a s 1 q a 1 q 2 a 1 q 3 a n 1 q a 1 q n (*
两式相减有 ( 1 – q )Sn = a1 – a1 q n
欢迎光临指导
现代人每天生活在纷繁、复杂的社会当中，紧张、高速的节奏让人难得有休闲和放松的时光。人们在奋斗事业的搏斗中深感身心的疲惫。然而，如果你细心观察，你会发现作 为现代人，其实人们每天都在尽可能的放松自己，调整生活节奏，追求充实快乐的人生。看似纷繁的社会里，人们的生活方式其实也不复杂。大家在忙忙碌碌中体味着平凡的 人生乐趣。由此我悟出一个道理，那就是----生活简单就是幸福。生活简单就是幸福。一首优美的音乐、一支喜爱的歌曲，会让你心境开朗。你可以静静地欣赏你喜爱的音乐， 可以在流荡的旋律中回忆些什么，或者什么都不去想；你可以一个人在房间里大声的放着摇滚，也可以在网上用耳麦与远方的朋友静静地共享；你还可以一边放送着音乐，一 边做着家务....生活简单就是幸福。一杯清茶，或一杯咖啡，放在你的桌边，你的心情格外的怡然。你可以浏览当天的报纸，了解最新的国内外动态，哪怕是街头趣闻；或者捧 一本自己喜欢的杂志、小说，从字里行间获得那种特别的轻松和愉悦....生活简单就是幸福。经过精心的烹制，一桌可心的菜肴就在你的面前，你招呼家人快来品尝，再备上最 喜欢的美酒，这是多么难得的享受！生活简单就是幸福。春暖花开的季节，或是清风送爽的金秋，你和家人一起，或是朋友结伴，走出户外，来一次假日的郊游，享受大自然 带给你的美丽、芬芳。吸一口新鲜的空气，忘却都市的喧嚣，身心仿佛受到一番洗涤，这是一种什么样的轻松感受！生活简单就是幸福。你参加朋友们的一次聚会，那久违的 感觉带给你温馨和激动，在觥酬交错之间你享受与回味真挚的友情。朋友，是那样的弥足珍贵....生活简单就是幸福。周末的夜晚，一家老小围坐在电视机旁，尽享团圆的欢乐 现代人越来越会生活，越来越会用各种不同的方式来放松自己。垂钓、上网、打牌、玩球、唱卡拉OK、下棋.....不一而足。人们根据自己的兴趣爱好寻找放松身心的最佳方式， 在相对固定的社交圈子里怡然的生活，而且不断的扩大交往的圈子，结交新的朋友有时，你会为新添置的一套漂亮时装而快乐无比；有时，你会为孩子的一次小考成绩优异而 倍感欣慰；有时，你会为刚参加的一项比赛拿了名次而喜不自胜；有时，你会为完成了上司交给的一个任务而信心大增生活简单就是幸福！生活简单就是幸福，不意味着我们 放弃了对目标的追逐，是在忙碌中的停歇，是身心的恢复和调整，是下一步冲刺的前奏，是以饱满的精力和旺盛的热情去投入新的“战斗”的一个“驿站”；生活简单就是幸 福，不意味着我们放弃了对生活的热爱，是于点点滴滴中去积累人生，在平平淡淡中寻求充实和快乐。放下沉重的负累，敞开明丽的心扉，去过好你的每一天。生活简单就是 幸福！我的心徜徉于春风又绿的江南岸，纯粹，清透，雀跃，欣喜。原来，真正的愉悦感莫过于触摸到一颗不染的初心。人到中年，初心依然，纯真依然，情怀依然，幸甚至 哉。生而为人，芳华刹那，真的不必太多要求，一盏茶，一本书，一颗笃静的心，三两心灵知己，兴趣爱好一二，足矣。亦舒说：“什么叫做理想生活？不用吃得太好穿得太 好住得太好，但必需自由自在，不感到任何压力，不做工作的奴隶，不受名利的支配，有志同道合的伴侣，活泼可爱的孩子，丰衣足食，已经算是理想。”时间如此猝不及防， 生命如此仓促，忠于自己的内心才是真正的勇敢，以不张扬的姿态，将自己活成一道独一无二的风景，才是最大的成功。试问，你有多久没有靠在门槛上看月亮了，你有多久 没有在家门口的那棵大树下乘凉了，你有多久没有因为一个人一件事而心生感动了，你又有多久没有审视自己的内心了？与命运的较量中，我们被迫前行，却忘记了来时的方
等比数列前n项和(二)
2.5 等比数列的前n 项和(二)[学习目标]1．熟练应用等比数列前n 项和公式的有关性质解题． 2．应用方程的思想方法解决与等比数列前n 项和有关问题． [知识链接]上一节我们学习了等比数列的前n 项和的公式，那么该公式与相应的函数有怎样的关系？等比数列的前n 项和又有怎样的性质？如何利用这些性质解题？ [预习导引]1．等比数列的前n 项和的变式(1)当q ≠1时，S n ＝a 1－a n q 1－q ＝a n q －a 1 q －1＝a 1(1－q n)1－q ＝a 1(q n－1)q －1；当q ＝1时，S n ＝na 1.(2)当公比q ≠1时， S n ＝a 1(1－q n)1－q 可以变形为S n ＝－a 11－q ·q n ＋a 11－q ，设A ＝a 11－q ，上式可写成S n ＝－Aq n ＋A . 由此可见，非常数列的等比数列的前n 项和S n 是由关于n 的一个指数式与一个常数的和构成的，而指数式的系数与常数项互为相反数．当公比q ＝1时，因为a 1≠0，所以S n ＝na 1是n 的正比例函数(常数项为0的一次函数)． 2．等比数列前n 项和的性质(1)连续m 项的和(如S m 、S 2m －S m 、S 3m －S 2m )，仍构成等比数列．(注意：q ≠－1或m 为奇数) (2)S m ＋n ＝S m ＋q m S n ，特别地S 2n ＝S n ＋q n S n ，S 3n ＝S 2n ＋q 2n S n ． 证明(3)若{a n }是项数为偶数、公比为q 的等比数列，则S 偶S 奇＝q .题型一 等比数列前n 项和S n 的函数特征 例1 设f (n )＝2＋24＋27＋ (23)＋1(n ∈N *)，则f (n )等于( )A.27(8n －1)B.27(8n ＋1－1)C.27(8n ＋2－1)D.27(8n ＋3－1)跟踪演练1 若{a n }是等比数列，且前n 项和为S n ＝3n －1＋t ，则t ＝________.题型二 等比数列前n 项和性质的应用例2在等比数列{a n }中，已知S n ＝48，S 2n ＝60，求S 3n .跟踪演练2在等比数列{a n }中，S 30＝13S 10，S 10＋S 30＝140，则S 20等于( )A ．90B ．70C ．40D ．30题型三 等差、等比数列前n 项和的综合问题例3 已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n ＝2a n －2(n ∈N *)，在数列{b n }中，b 1＝1， 点P (b n ，b n ＋1)在直线x －y ＋2＝0上．(1)求数列{a n }，{b n }的通项公式； (2)记T n ＝a 1b 1＋a 2b 2＋…＋a n b n ，求T n .跟踪演练3 在等比数列{a n }中，a n ＞0(n ∈N *)，公比q ∈(0,1)，且a 1a 5＋2a 3a 5＋a 2a 8＝25， 又a 3与a 5的等比中项为2. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝log 2a n ，数列{b n }的前n 项和为S n ，当S 11＋S 22＋…＋S nn 最大时，求n 的值．当堂达标1．设{a n }是公比为q 的等比数列，S n 是它的前n 项和，若{S n }是等差数列，则q 等于( ) A ．1 B ．0 C ．1或0 D ．－12．等比数列{a n }中，a 1a 2a 3＝1，a 4＝4，则a 2＋a 4＋a 6＋…＋a 2n ＝( ) A ．2n－1 B.4n －13 C.1－(－4)n 5 D.1－(－2)n33．已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ＝k·3n －1－16，则k 的值为( )A.13 B ．－13 C.12 D ．－12 4．设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 6S 3＝3，则S 9S 6＝________.5．等比数列{a n }共2n 项，其和为－240，且奇数项的和比偶数项的和大80，则公比q ＝________. 6．在等比数列{a n }中，已知S n ＝189，q ＝2，a n ＝96，求a 1和n .B 组7．设{a n }是由正数组成的等比数列，S n 为其前n 项和，已知a 2a 4＝1，S 3＝7，则S 5等于( ) A.152 B.314 C.334 D.1728．数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1＝1，a n ＋1＝3S n (n ≥1)，则a 6等于( ) A ．3×44 B ．3×44＋1 C ．45 D ．45＋19．等比数列{a n }中，前n 项和为S n ，S 3＝2，S 6＝6，则a 10＋a 11＋a 12＝________.10．已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S m ，S n ，S l 成等差数列，求证：对任意自然数k ， a m ＋k ，a n ＋k ，a l ＋k 也成等差数列．。
高中二年级下学期数学《等比数列的前n项和公式(2)》教学设计
例9已知等比数列 的公比 ，前 项和为 . 成等比数列，并求这个数列的公比.
【问题1】：请同学们回忆一下，我们应该怎样证明一个数列是等比数列？
答：我们主要应用定义法来证明一个数列是等比数列，即证明数列满足递推式：
分析：用数列前 项和的定义来表示
设计意图：通过逐步分析引导学生学会分析问题和解决问题，提高学生的分析问题和解决问题的能力.
师生活动：用数列前n项和的定义来表示 ，再应用等比数列通项公式的变式进行变形化简，证明了该结论.显然不用分类讨论的过程更简洁一些.
提醒同学们注意题目中的条件 .
追问5：请同学们想一想，为何要强调“ ”呢？
追问1：我们应如何表示等比数列的前 项和 ？
分析：我们可以用等比数列的前 项和公式来表示 但条件中并没有公比 是否为 的信息，因此，需要对 是否等于1分类讨论.且当 ，我们应选择用 表示等比数列求和公式.
设计意图：引导学生从证明等比数列和表示等比数列前n项和的角度去解决本题问题，训练学生学会目标分析和问题分析，也为不用分类讨论的方式证明该结论埋下伏笔.
师生活动： 时， 的等比数列.
时,选择公式（1）表示 应用立方差和平方差公式进行化简 的等比数列.显然，分类讨论的书写过程较为繁琐，很多同学都不太喜欢分类讨论，因此引导同学们思考：
追问2：请同学们想一想，不用分类讨论的方式能否证明该结论？
我们尝试从问题的根源入手解决问题.那就是追溯分类讨论的根源.
追问3：为什么要分类讨论？
分析： 时，数列是“ ， , ， , ， ,…”当 为偶数时, 均为零，不能够成等比数列. 是 成等比数列的必要条件.
课时25-等比数列及数列的求和
若项数为 2n ，则 S奇 1 . S偶 q
课时目标 核心知识 例题讲解 同步练习 知识小结 考点规律 课后习题
核心知识
③等比数列基本量计算过程中涉及的数学思想方法.
ⅰ)方程思想：等比数列通项公式和前 n 项和公式联系着五个基本量，“知三求二”是一类最基
本的运算，通过列方程(组)求出关键的量 a1 和 q ，问题就迎刃而解. ⅱ)分类讨论的思想：等比数列的前 n 项和公式涉及到对公比的分类讨论，即分 q 1 和 q 1 两
，则
Sn
3 22
4 23
L
n 1 2n
n2 2n1
，
1 2
Sn
3 23
4 24
L
n 1 2n1
n2 2n2
.
两式相减得
1 2
Sn
3 22
1 23
1 24
L
1 2n1
n2 2n2
3 4
1 4
1
1 2n1
n2 2n2
所以 Sn
2
n4. 2n1
课时目标 核心知识 例题讲解 同步练习 知识小结 考点规律 课后习题
1 等比数列及前n项和 2 数列求和
《零起点考大学》
课时目标 核心知识 例题讲解 同步练习 知识小结 考点规律 课后习题
核心知识
(1)公式法求和
①数列求和的一般思路. 数列求和应从通项入手，若无通项，则先求通项，然后通过对通项的变形，转化为等差或等比
数列或可求前 n 和的数列来求.
课时目标 核心知识 例题讲解 同步练习 知识小结 考点规律 课后习题
(n
1)
log
a
n
高二数学等比数列前n项和2
4.3.2 等比数列的前n项和公式(精讲)(解析版)
4.3.2等比数列的前n项和公式一、等比数列的前n 项和公式已知量首项1a 与公比q首项1a ，末项n a 与公比q公式()()()111111n n na q S a q q q⎧=⎪=-⎨≠⎪-⎩()()11111n n na q S a a qq q ⎧=⎪=-⎨≠⎪-⎩二、等比数列前n 项和的函数特征1、n S 与q 的关系（1）当公比1q ≠时，等比数列的前n 项和公式是()111nn a q S q-=-，它可以变形为1111n n a a S q q q =---，设11aA q=-，则上式可以写成n n S A Aq =-的形式，由此可见，数列{}n S 的图象是函数x y A Aq =-图象上的一群孤立的点；（2）当公比1q =时，等比数列的前n 项和公式是1n S na =，则数列{}n S 的图象是函数1y a x =图象上的一群孤立的点。
2、n S 与n a 的关系当公比1q ≠时，等比数列的前n 项和公式是11n n a a qS q-=-，它可以变形为111n na qS a q q=---设1qA q =--，11aB q=-，则上式可写成n n S Aa B =+的形式，则n S 是n a 的一次函数。
三、等比数列前n 项和的性质1、等比数列{}n a 中，若项数为2n ，则=S q 偶奇S ；若项数为21n +，则1=S a q S -奇偶.2、若等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，则n S ，2n n S S -，32n n S S -…成等比数列（其中n S ，2n n S S -，32n n S S -…均不为0）．3、若一个非常数列{}n a 的前n 项和()0,0,n n S Aq A A q n N *=-≠≠∈，则数列{}n a 为等比数列。
四、等比数列前n 项和运算的技巧1、在等比数列的通项公式和前n 项和公式中，共涉及五个量：1a ，n a ，n ，q ，n S ，其中首项1a 和公比q 为基本量，且“知三求二”，常常列方程组来解答；2、对于基本量的计算，列方程组求解时基本方法，通常用约分或两式相除的方法进行消元，有时会用到整体代换，如n q ，11a q-都可以看作一个整体。
2.5.2等比数列前n项和
1 .S n S m q
m
S nm
推导过程:
1 当 q
1时 , S m m a1 , S n m ( n m ) a1 .
S n n a1 ,
此 时 ,S n S m S nm成 立 .
2 当 q
1时 , a1 1 q 1 q
1 a1 2 a1
3, q 3, n 6; 8, q 1 2 , an 1 2 ,
S6 1092
Sn
11 2
.
2 .求 等 比 数 列 1, 2, 4, L 从 第 5 项 到 第 1 0 项 的 和 .
S10 S 4 1 0 0 8 .
新课
推导过程:
1 当 q
2 当 q
1时 , S n n a 1 ,
S k k a1 , S 2 k S k k a1 , S 3 k S 2 k k a1 , L
1时 ,
m
由 性 质 1:S n S m q S nm , S 2k S k q S k , S 3k S 2k q S k ,L
8
练习
1 .已 知 等 比 数 列 的 公 比 为 q 1 2 , 且 a1 + a 3 + a 5 + L + a 9 9 6 0 ,
90 则 S100 _ _ _ _ _ _ _ _ .
2 .若 某 等 比 数 列 中 前 7 项 的 和 为 4 8, 前 1 4 项 的 和 为 6 0 , 则 前 2 1 项 的 和 为 _ _63. _ ___
3 .一 个 等 比 数 列 , 它 的 项 数 为 偶 数 , 全 部 各 项 和 是 偶 数 项 和 的 4倍 ,前 3项 之 积 为 64. 求 公 比 q及 通 项 公 式 .
高中数学《等比数列前n项和公式》课件
反思与感悟 解决此类问题的关键是建立等比数列模型及弄清数列 的项数，所谓复利计息，即把上期的本利和作为下一期本金，在计 算时每一期本金的数额是不同的，复利的计算公式为S＝P(1＋r)n， 其中P代表本金，n代表存期，r代表利率，S代表本利和.
跟踪训练3 一个热气球在第一分钟上升了25 m的高度，在以后的每一 分钟里，它上升的高度都是它在前一分钟里上升高度的80%，这个热 气球上升的高度能超过125 m吗？
跟踪训练2 在等比数列{an}中，S2＝30，S3＝155，求Sn.
方法二 若q＝1，则S3∶S2＝3∶2，
而事实上，S3∶S2＝31∶6，故q≠1.
a111－－qq2＝30，
①
所以a111－－qq3＝155，
②
两式作比，得1＋1＋q＋q q2＝361，
解得aq1＝＝55，
a1＝180， 或q＝－65，
达标检测
1.等比数列1，x，x2，x3，…的前n项和Sn等于
1－xn A. 1－x
1－xn－1 B. 1－x
1－xn
√
C.
1－x
，x≠1，
n，x＝1
解析 当x＝1时，Sn＝n； 1－xn
当 x≠1 时，Sn＝ 1－x .
D.1－1－xnx－1，x≠1， n，x＝1
1234
2.设等比数列{an}的公比 q＝2，前 n 项和为 Sn，则Sa42等于
A.2 解析
B.4
√C.125
17 D. 2
方法一 由等比数列的定义，S4＝a1＋a2＋a3＋a4＝aq2＋a2＋a2q＋
a2q2，得Sa42＝1q＋1＋q＋q2＝125. 方法二 ∵S4＝a111－－qq4，a2＝a1q，∴Sa42＝11－－qq4q＝125.
2.5.2 等比数列的前n项和(2)
an 3 2(an1 3) (n 2) 即
an 3 2 (n 2)
an1 3
∴数列{an-3}是公比为2的等比数列.
an 3 (a1 3)2n1 (3 3)2n1 3 2n an 3(2n 1).
Q an 3(2n 1) 3 2n 3 ,
Sn a1 a2 a3 L an
,
求：（I）a2，a3，a4的值及数列{an}的通项公式；
（II）a2 a4 a6 L a2n 的值.
解：
（I）由a1=1，an1
1 3
Sn
,
得
a2
1 3
S1
1 3 a1
1 3
,
a3
1 3
S2
1 3 (a1
a2 )
4 9
,
11
16
a4 3 S3 3 (a1 a2 a3 ) 27 ,
（II）a2 a4 a6 L a2n 的值.
解：（II）由（I）可知 a2 , a4 ,L
, a2n
是首项为
1 3
，
公比为( 4)2 , 项数为n的等比数列，
3
a2
a4
a6
L
a2n
1
1
( 4)2n 3
3 1 (4)2
3 [( 4 )2n 1]. 73
3
例5 设数列{an}的前n项和为Sn，若对任意的n∈N*
即
n 1 2. Sn
故 { Sn } 是以2为公比的等比数列. n
n
例3 数列{an}的前n项和记为Sn，已知
a1
1, an1
n
n
2
Sn(n
1,2,3
).
（1）数列
{ Sn n
等比数列的前n项和(二)
等比数列的前n 项和（二）[学习目标] 1.熟练应用等比数列前n 项和公式的有关性质解题.2.应用方程的思想方法解决与等比数列前n 项和有关的问题．知识点一 等比数列的前n 项和的变式1．等比数列{a n }的前n 项和为S n ，当公比q ≠1时，S n ＝a 1(1－q n )1－q ＝a 1(q n －1)q －1＝a 1－a n q 1－q ＝a 1q nq －1－a 1q －1； 当q ＝1时，S n ＝na 1.2．当公比q ≠1时，等比数列的前n 项和公式是S n ＝a 1(1－q n )1－q ，它可以变形为S n ＝－a 11－q ·qn＋a 11－q ，设A ＝a 11－q，上式可写成S n ＝－Aq n ＋A .由此可见，非常数列的等比数列的前n 项和S n 是由关于n 的一个指数式与一个常数的和构成的，而指数式的系数与常数项互为相反数． 当公比q ＝1时，因为a 1≠0，所以S n ＝na 1是n 的正比例函数(常数项为0的一次函数)． 思考 在数列{a n }中，a n ＋1＝ca n (c 为非零常数)且前n 项和S n ＝3n －1＋k ，则实数k 等于________．答案 －13解析 由题{a n }是等比数列， ∴3n 的系数与常数项互为相反数， 而3n 的系数为13，∴k ＝－13.知识点二 等比数列前n 项和的性质1．连续m 项的和(如S m 、S 2m －S m 、S 3m －S 2m )仍构成等比数列．(注意：q ≠－1或m 为奇数) 2．S m ＋n ＝S m ＋q m S n (q 为数列{a n }的公比)．3．若{a n }是项数为偶数、公比为q 的等比数列，则S 偶S 奇＝q .思考 在等比数列{a n }中，若a 1＋a 2＝20，a 3＋a 4＝40，则S 6等于( ) A ．140 B ．120 C ．210 D ．520答案 A解析 S 2＝20，S 4－S 2＝40，∴S 6－S 4＝80， ∴S 6＝S 4＋80＝S 2＋40＋80＝140.题型一 等比数列前n 项和的性质例1 (1)等比数列{a n }中，S 2＝7，S 6＝91，则S 4＝______.(2)等比数列{a n }共有2n 项，其和为－240，且(a 1＋a 3＋…＋a 2n －1)－(a 2＋a 4＋…＋a 2n )＝80，则公比q ＝____. 答案 (1)28 (2)2解析 (1)∵数列{a n }是等比数列， ∴S 2，S 4－S 2，S 6－S 4也是等比数列， 即7，S 4－7,91－S 4也是等比数列， ∴(S 4－7)2＝7(91－S 4)， 解得S 4＝28或S 4＝－21.又∵S 4＝a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝a 1＋a 2＋a 1q 2＋a 2q 2 ＝(a 1＋a 2)(1＋q 2)＝S 2·(1＋q 2)＞0， ∴S 4＝28.(2)由题S 奇＋S 偶＝－240，S 奇－S 偶＝80， ∴S 奇＝－80，S 偶＝－160， ∴q ＝S 偶S 奇＝2.跟踪训练1 (1)设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 6S 3＝3，则S 9S 6等于( )A ．2 B.73 C.83 D ．3答案 B解析 方法一 因为数列{a n }是等比数列，所以S 6＝S 3＋q 3S 3，S 9＝S 6＋q 6S 3＝S 3＋q 3S 3＋q 6S 3，于是S 6S 3＝(1＋q 3)S 3S 3＝3，即1＋q 3＝3，所以q 3＝2.于是S 9S 6＝1＋q 3＋q 61＋q 3＝1＋2＋41＋2＝73.方法二 由S 6S 3＝3，得S 6＝3S 3.因为数列{a n }是等比数列，且由题意知q ≠－1，所以S 3，S 6－S 3，S 9－S 6也成等比数列，所以(S 6－S 3)2＝S 3(S 9－S 6)，解得S 9＝7S 3，所以S 9S 6＝73.(2)一个项数为偶数的等比数列，各项之和为偶数项之和的4倍，前3项之积为64，求通项公式．解 设数列{a n }的首项为a 1，公比为q ，全部奇数项、偶数项之和分别记为S 奇、S 偶，由题意知S 奇＋S 偶＝4S 偶，即S 奇＝3S 偶． ∵数列{a n }的项数为偶数，∴q ＝S 偶S 奇＝13.又a 1·a 1q ·a 1q 2＝64，∴a 31·q 3＝64，即a 1＝12. 故所求通项公式为a n ＝12·⎝⎛⎭⎫13n －1. 题型二 等比数列前n 项和的实际应用例2 小华准备购买一台售价为5 000元的电脑，采用分期付款方式，并在一年内将款全部付清．商场提出的付款方式为：购买2个月后第1次付款，再过2个月后第2次付款，…，购买12个月后第6次付款，每次付款金额相同，约定月利率为0.8%，每月利息按复利计算，求小华每期付款金额是多少．解 方法一 设小华每期付款x 元，第k 个月末付款后的欠款本利为A k 元，则： A 2＝5 000×(1＋0.008)2－x ＝5 000×1.0082－x ， A 4＝A 2(1＋0.008)2－x ＝5 000×1.0084－1.0082x －x ， …A 12＝5 000×1.00812－(1.00810＋1.0088＋…＋1.0082＋1)x ＝0， 解得x ＝ 5 000×1.008121＋1.0082＋1.0084＋…＋1.00810＝5 000×1.008121－(1.0082)61－1.0082≈880.8.故小华每期付款金额约为880.8元．方法二 设小华每期付款x 元，到第k 个月时已付款及利息为A k 元，则： A 2＝x ；A 4＝A 2(1＋0.008)2＋x ＝x (1＋1.0082)； A 6＝A 4(1＋0.008)2＋x ＝x (1＋1.0082＋1.0084)； …A 12＝x (1＋1.0082＋1.0084＋1.0086＋1.0088＋1.00810)． ∵年底付清欠款，∴A 12＝5 000×1.00812，即5 000×1.00812＝x (1＋1.0082＋1.0084＋…＋1.00810)， ∴x ＝ 5 000×1.008121＋1.0082＋1.0084＋…＋1.00810≈880.8.故小华每期付款金额约为880.8元．跟踪训练2 从社会效益和经济效益出发，某地投入资金进行生态环境建设，并以此发展旅游产业．根据规划，本年度投入800万元，以后每年投入将比上年减少15，本年度当地旅游收入估计为400万元，由于该项建设对旅游业的促进作用，预计今后的旅游业收入每年会比上年增长14.设n 年内(本年度为第一年)总投入为a n 万元，旅游业总收入为b n 万元，写出a n ，b n的表达式．解 第1年投入800万元，第2年投入800×⎝⎛⎭⎫1－15万元，…，第n 年投入800×⎝⎛⎭⎫1－15n －1万元，所以总投入a n ＝800＋800×⎝⎛⎭⎫1－15＋…＋800× ⎝⎛⎭⎫1－15n －1＝4 000×⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫45n (万元)．同理，第1年收入400万元，第2年收入400×⎝⎛⎭⎫1＋14万元，…，第n 年收入400×⎝⎛⎭⎫1＋14n －1万元．所以总收入b n ＝400＋400×⎝⎛⎭⎫1＋14＋…＋400× ⎝⎛⎭⎫1＋14n －1＝1 600×⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫54n －1.综上，a n ＝4 000×⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫45n ，b n ＝1 600×⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫54n －1. 题型三 新情境问题例3 定义：若数列{A n }满足A n ＋1＝A 2n ，则称数列{A n }为“平方数列”．已知数列{a n }中，a 1＝2，点(a n ，a n ＋1)在函数f (x )＝2x 2＋2x 的图象上，其中n 为正整数． (1)证明：数列{2a n ＋1}是“平方数列”，且数列{lg(2a n ＋1)}为等比数列；(2)设(1)中“平方数列”的前n 项之积为T n ，则T n ＝(2a 1＋1)(2a 2＋1)·…·(2a n ＋1)，求数列{a n }的通项及T n 关于n 的表达式；(3)对于(2)中的T n ，记b n ＝log 2a n ＋1T n ，求数列{b n }的前n 项和S n ，并求使S n ＞4 024的n 的最小值．(1)证明 由条件得a n ＋1＝2a 2n ＋2a n ，2a n ＋1＋1＝4a 2n ＋4a n ＋1＝(2a n ＋1)2.∴数列{2a n ＋1}是“平方数列”．∵lg(2a n ＋1＋1)＝lg(2a n ＋1)2＝2lg(2a n ＋1)， 且lg(2a 1＋1)＝lg 5≠0， ∴lg (2a n ＋1＋1)lg (2a n ＋1)＝2，∴{lg(2a n ＋1)}是首项为lg 5，公比为2的等比数列． (2)解 ∵lg(2a 1＋1)＝lg 5，∴lg(2a n ＋1)＝2n －1lg 5.∴2a n ＋1＝125n -，∴a n ＝12(125n -－1)．∵lg T n ＝lg(2a 1＋1)＋lg(2a 2＋1)＋…＋lg(2a n ＋1) ＝lg 5(1－2n )1－2＝(2n －1)lg 5， ∴T n ＝25n－1.(3)解 ∵b n ＝log 12n a +T n ＝lg T nlg (2a n ＋1)＝(2n－1)lg 52n －1lg 5＝2n －12n －1＝2－⎝⎛⎭⎫12n －1， ∴S n ＝2n －⎣⎡⎦⎤1＋12＋⎝⎛⎫122＋…＋⎝⎛⎫12n －1 ＝2n －1－⎝⎛⎭⎫12n1－12＝2n －2＋2⎝⎛⎭⎫12n.由S n ＞4 024，得2n －2＋2⎝⎛⎭⎫12n ＞4 024， 即n ＋⎝⎛⎭⎫12n ＞2 013.当n ≤2 012时，n ＋⎝⎛⎭⎫12n ＜2 013； 当n ≥2 013时，n ＋⎝⎛⎭⎫12n ＞2 013. ∴n 的最小值为2 013.跟踪训练3 把一个边长为1正方形等分成九个相等的小正方形，将中间的一个正方形挖掉(如图(1))；再将剩余的每个正方形都分成九个相等的小正方形，并将中间的一个正方形挖掉(如图(2))；如此继续下去，则：(1)图(3)共挖掉了________个正方形；(2)第n 个图形共挖掉了________个正方形，这些正方形的面积和是________． 答案 (1)73 (2)8n －17 1－⎝⎛⎭⎫89n解析 (1)8×9＋1＝73.(2)设第n 个图形共挖掉a n 个正方形，则a 1＝1，a 2－a 1＝8，a 3－a 2＝82，…，a n －a n －1＝8n －1(n ≥2)，所以a n ＝1＋8＋82＋…＋8n －1＝8n －17(n ≥2)．当n ＝1时，a 1＝1也满足上式，所以a n ＝8n －17.原正方形的边长为1，则这些被挖掉的正方形的面积和为1×⎝⎛⎭⎫132＋8×⎝⎛⎭⎫134＋82×⎝⎛⎭⎫136＋…＋8n －1×⎝⎛⎭⎫132n ＝19[1－⎝⎛⎭⎫89n ]1－89＝1－⎝⎛⎭⎫89n .1．等比数列{a n }中，a 1a 2a 3＝1，a 4＝4，则a 2＋a 4＋a 6＋…＋a 2n 等于( ) A ．2n－1 B.4n －13C.1－(－4)n 5D.1－(－2)n 32．某住宅小区计划植树不少于100棵，若第一天植2棵，以后每天植树的棵数是前一天的2倍，则需要的最少天数n (n ∈N *)等于( ) A ．3 B ．4 C ．5 D ．63．等比数列{a n }的前m 项和为4，前2m 项和为12，则它的前3m 项和是( ) A ．28 B ．48 C ．36 D ．524．已知数列{a n }是等比数列，S n 是其前n 项的和，a 1，a 7，a 4成等差数列．求证：2S 3，S 6，S 12－S 6成等比数列．一、选择题1．等比数列{a n }的前n 项和为S n ，且4a 1,2a 2，a 3成等差数列．若a 1＝1，则S 4等于( ) A ．7 B ．8 C ．15 D ．162．等比数列{a n }的首项为1，公比为q ，前n 项的和为S ，由原数列各项的倒数组成一个新数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n ，则数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 的前n 项的和是( )A.1S B ．Sq n －1 C ．Sq 1－n D.q n S3．已知等比数列{a n }的前3项和为1，前6项和为9，则它的公比q 等于( ) A.12B ．1C ．2D ．4 4．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝a n －1(a 是不为零的常数且a ≠1)，则数列{a n }( ) A ．一定是等差数列 B ．一定是等比数列C ．或者是等差数列，或者是等比数列D ．既非等差数列，也非等比数列5．设数列{x n }满足log 2x n ＋1＝1＋log 2x n (n ∈N *)，且x 1＋x 2＋…＋x 10＝10，记{x n }的前n 项和为S n ，则S 20等于( ) A ．1 025 B ．1 024 C ．10 250D ．20 2406．已知等比数列{a n }的首项为8，S n 是其前n 项的和，某同学经计算得S 1＝8，S 2＝20，S 3＝36，S 4＝65，后来该同学发现其中一个数算错了，则该数为( ) A ．S 1 B ．S 2 C ．S 3 D ．S 47．设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若8a 2＋a 5＝0，则下列式子中数值不能确定的是( ) A.a n ＋1a n －1B.S 5S 3C.S 5a 3D.S n ＋1S n二、填空题8．在数列{a n }中，已知对任意正整数n ，有a 1＋a 2＋…＋a n ＝3n －1，则a 21＋a 22＋a 23＋…＋a 2n ＝________.9．等比数列{a n }中，前n 项和为S n ，S 3＝2，S 6＝6，则a 10＋a 11＋a 12＝________.10．设正项等比数列{a n }的首项a 1＝12，前n 项和为S n ，且210S 30－(210＋1)S 20＋S 10＝0，则公比q ＝________.11．设f (x )是定义在R 上的恒不为零的函数，且对任意的实数x ，y ，都有f (x )·f (y )＝f (x ＋y )．若a 1＝12，a n ＝f (n )(n ∈N *)，则数列{a n }的前n 项和S n ＝________.三、解答题12．数列{a n }的前n 项和记为S n ，a 1＝t ，点(S n ，a n ＋1)在直线y ＝2x ＋1上，其中n ∈N *. (1)若数列{a n }是等比数列，求实数t 的值；(2)设各项均不为0的数列{c n }中，所有满足c i ·c i ＋1＜0的整数i 的个数称为这个数列{c n }的“积异号数”，令c n ＝na n －4na n (n ∈N *)，在(1)的条件下，求数列{c n }的“积异号数”．13．某市为控制大气PM2.5的浓度，环境部门规定：该市每年的大气主要污染物排放总量不能超过55万吨，否则将采取紧急限排措施．已知该市2013年的大气主要污染物排放总量为40万吨，通过技术改造和倡导绿色低碳生活等措施，此后每年的原大气主要污染物排放量比上一年的排放总量减少10%.同时，因为经济发展和人口增加等因素，每年又新增加大气主要污染物排放量m(m＞0)万吨．(1)从2014年起，该市每年大气主要污染物排放总量(万吨)依次构成数列{a n}，求相邻两年主要污染物排放总量的关系式；(2)证明：数列{a n－10m}是等比数列；(3)若该市始终不需要采取紧急限排措施，求m的取值范围．当堂检测答案1．答案 B解析 由a 1a 2a 3＝1得a 32＝1， ∴a 2＝1， 又∵a 4＝4， ∴a 4a 2＝4. ∴数列a 2，a 4，a 6，…，a 2n 是首项为1， 公比为4的等比数列．∴a 2＋a 4＋a 6＋…＋a 2n ＝1－4n 1－4＝4n －13.2．答案 D解析 设每天植树棵数为{a n }，则{a n }是等比数列， ∴a n ＝2n (n ∈N *，n 为天数)． 由题意得2＋22＋23＋…＋2n ≥100， ∴2n －1≥50， ∴2n ≥51， ∴n ≥6.∴需要的最少天数n ＝6. 3．答案 A解析 易知S m ＝4，S 2m －S m ＝8， ∴S 3m －S 2m ＝16， ∴S 3m ＝12＋16＝28.4．证明 设等比数列{a n }的公比为q ，由题意得2a 7＝a 1＋a 4， 即2a 1·q 6＝a 1＋a 1·q 3， ∴2q 6－q 3－1＝0.令q 3＝t ，则2t 2－t －1＝0， ∴t ＝－12或t ＝1，即q 3＝－12或q 3＝1.当q 3＝1时，2S 3＝6a 1，S 6＝6a 1，S 12－S 6＝6a 1， ∴S 26＝2S 3·(S 12－S 6)， ∴2S 3，S 6，S 12－S 6成等比数列．当q 3＝－12时，2S 3＝2×a 1(1－q 3)1－q ＝2a 1×321－q ＝3a 11－q，S 6＝a 1(1－q 6)1－q ＝3a 141－q ， S 12－S 6＝a 7(1－q 6)1－q ＝a 1·q 6(1－q 6)1－q ＝a 14×341－q ， ∴S 26＝2S 3·(S 12－S 6)， ∴2S 3，S 6，S 12－S 6成等比数列．综上可知，2S 3，S 6，S 12－S 6成等比数列．课时精练答案一、选择题1．答案 C解析 由题意得4a 2＝4a 1＋a 3，∴4(a 1q )＝4a 1＋a 1·q 2，∴q ＝2，∴S 4＝1·(1－24)1－2＝15. 2．答案 C解析 易知数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 也是等比数列，首项为1，公比为1q ，则数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 的前n 项和为1－(1q )n 1－1q＝q (1－q n )(1－q )q n ＝1－q n 1－q ·1q n －1＝S qn －1＝S ·q 1－n . 3．答案 C解析 S 3＝1，S 6＝9，∴S 6－S 3＝8＝a 4＋a 5＋a 6＝q 3(S 3)＝q 3，∴q 3＝8，∴q ＝2.4．答案 B解析 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝(a －1)·a n －1； 当n ＝1时，a 1＝S 1＝a －1，也满足上式．∴a n ＝(a －1)·a n －1，n ∈N *. ∴a n ＋1a n＝a ，为常数．∴数列{a n }一定是等比数列．5．答案 C解析 ∵log 2x n ＋1＝1＋log 2x n ＝log 2(2x n )，∴x n ＋1＝2x n ，且x n ＞0，∴{x n }为等比数列，且公比q ＝2，∴S 20＝S 10＋q 10S 10＝10＋210×10＝10 250，故选C.6．答案 C解析 由题S 1正确．若S 4错误，则S 2、S 3正确，于是a 1＝8，a 2＝S 2－S 1＝12，a 3＝S 3－S 2＝16，与{a n }为等比数列矛盾，故S 4＝65.若S 3错误，则S 2正确，此时，a 1＝8，a 2＝12.∴q ＝32，∴S 4＝a 1(1－q 4)1－q ＝8⎣⎡⎦⎤1－(32)41－32＝65，符合题意． 7．答案 D解析 由8a 2＋a 5＝0，得8a 2＋a 2q 3＝0，∵a 2≠0，∴q 3＝－8，∴q ＝－2，∵a n ＋1a n －1＝q 2＝4， S 5S 3＝a 1(1－q 5)1－q a 1(1－q 3)1－q＝1－q 51－q 3＝113， S 5a 3＝a 1(1－q 5)1－q a 1q 2＝1－q 5q 2(1－q )＝114， 而D 中S n ＋1S n ＝1－q n ＋11－q n 与n 有关，故不确定． 二、填空题8．答案 12(9n －1) 解析 {a n }的首项为2，公比为3，∴{a 2n }也为等比数列，首项为4，公比为9，∴{a 2n }的前n 项和为4(1－q n )1－q＝12(9n －1) 9．答案 16解析 方法一 ∵S 3，S 6－S 3，S 9－S 6，S 12－S 9成等比数列， ∴(S 6－S 3)2＝S 3·(S 9－S 6)．又∵S 3＝2，S 6＝6，∴S 9＝14.再由S 6－S 3，S 9－S 6，S 12－S 9成等比数列，即(S 9－S 6)2＝(S 6－S 3)·(S 12－S 9)，求出S 12－S 9＝16，即a 10＋a 11＋a 12＝16.方法二 由S 3，S 6－S 3，S 9－S 6，S 12－S 9成等比数列，此数列首项为S 3＝2，公比q ′＝S 6－S 3S 3＝6－22＝2，得S 12－S 9＝2×23＝16. 10．答案 12解析 由210S 30－(210＋1)S 20＋S 10＝0，得210(S 30－S 20)＝S 20－S 10.又S 10，S 20－S 10，S 30－S 20成等比数列，∴S 30－S 20S 20－S 10＝q 10＝(12)10. 又{a n }为正项等比数列，∴q ＝12. 11．答案 1－12n 解析 令x ＝n ，y ＝1，则f (n )·f (1)＝f (n ＋1)，又a n ＝f (n )，∴a n ＋1a n ＝f (n ＋1)f (n )＝f (1)＝a 1＝12， ∴数列{a n }是以12为首项，12为公比的等比数列， ∴S n ＝12(1－12n )1－12＝1－12n . 三、解答题12．解 (1)由题意，当n ≥2时，有⎩⎪⎨⎪⎧a n ＋1＝2S n ＋1a n ＝2S n －1＋1， 两式相减，得a n ＋1－a n ＝2a n ，即a n ＋1＝3a n (n ≥2)，所以，当n ≥2时{a n }是等比数列，要使n ≥1时{a n }是等比数列，则只需a 2a 1＝2t ＋1t＝3，从而得出t ＝1.(2)由(1)得，等比数列{a n }的首项为a 1＝1，公比q ＝3，∴a n ＝3n －1， ∴c n ＝na n －4na n ＝n ·3n －1－4n ·3n 1＝1－4n ·3n 1， ∵c 1＝1－41＝－3，c 2＝1－42×3＝13， ∴c 1c 2＝－1＜0，∵c n ＋1－c n ＝4n ·3n －1－4(n ＋1)·3n ＝4(2n ＋3)n (n ＋1)·3n＞0， ∴数列{c n }递增．由c 2＝13＞0得，当n ≥2时，c n ＞0. ∴数列{c n }的“积异号数”为1.13．(1)解 由已知得，a 1＝40×0.9＋m ，a n ＋1＝0.9a n ＋m (n ≥1)．(2)证明 由(1)得：a n ＋1－10m ＝0.9a n －9m ＝0.9(a n －10m )， 所以数列{a n －10m }是以a 1－10m ＝36－9m 为首项，0.9为公比的等比数列．(3)解 由(2)得a n －10m ＝(36－9m )·0.9n －1， 即a n ＝(36－9m )·0.9n －1＋10m . 由(36－9m )·0.9n －1＋10m ≤55，得 m ≤55－36×0.9n －110－9×0.9n －1＝5.5－4×0.9n 1－0.9n ＝ 1.51－0.9n ＋4 恒成立(n ∈N *)，解得m ≤5.5，又m ＞0，综上可得m ∈(0,5.5]．。
2.5 等比数列前n项和的性质及应用(2)
能使问题的解决过程变得简洁明快.
跟踪训练3 设数列{an}是以2为首项，1为公差的等差数列；数列{bn} 是以1为首项，2为公比的等比数列，则ba1 ba2 ba3 … ba6＝_1_2_6_.ຫໍສະໝຸດ 解析ban1 ban
b qan11 1
b1 qan 1
qan1an
规律与方法
1.在利用等比数列前n项和公式时，一定要对公比q＝1或q≠1作出判 断；若{an}是等比数列，且an>0，则{lg an}构成等差数列. 2.等比数列前n项和中用到的数学思想 (1)分类讨论思想： ①利用等比数列前n项和公式时要分公比q＝1和q≠1两种情况讨论； ②研究等比数列的单调性时应进行讨论：当a1>0，q>1或a1<0,0<q<1 时为递增数列；当a1<0，q>1或a1>0,0<q<1时为递减数列；当q<0时为 摆动数列；当q＝1时为常数列.
Sn (S3n
S2n
)
∴S2n＋S22n＝Sn(S2n＋S3n).
反思与感悟 处理等比数列前n项和有关问题的常用方法 (1)运用等比数列的前n项和公式，要注意公比q＝1和q≠1两种情形， 在解有关的方程(组)时，通常用约分或两式相除的方法进行消元. (2)灵活运用等比数列前n项和的有关性质.
跟踪训练2 在等比数列{an}中，已知Sn＝48，S2n＝60，求S3n.
类型二 等比数列前n项和的性质 命题角度 1 连续 n 项之和问题
例 2 已知等比数列前 n 项，前 2n 项，前 3n 项的和分别为 Sn，S2n，S3n， 求证：S2n＋S22n＝Sn(S2n＋S3n).
证明 方法二 因为Sn，S2n－Sn，S3n－S2n 成等比数列
2.5 等比数列的前n项和2
即
∴当q≠1时， 或 ② ①
等比数列的前n项和公式的推导2
由定义, 由等比的性质,
即
∴当q≠1时， 或 ∴当q＝1时， ② ①
等比数列的前n项和公式的推导3
等比数列的前n项和公式的推导3
等比数列的前n项和公式的推导3
等比数列的前n项和公式的推导3
等比数列的前n项和公式的推导3来自等比数列的前n项和公式的推导3
2 3 63 如果1000 64 粒麦粒重为40
S64 1 2 2 2 2 2 3 2S64 2 2 2 2 2
2 3 64
的年产量约为6亿吨，就是 63 说全世界都要1000多年才 能生产这么多小麦，国王 63 64 无论如何是不能实现发明 者的要求的.
课后作业
若m＋n＝p＋q，则am · an＝ap · aq.
复习引入
国际象棋起源于古代印度.相传国王要奖赏 象棋的发明者，于是就问象棋的发明者有什么 要求，发明者说:“请在象棋的第一个格子里放 1颗麦粒，第二个格子放2颗麦粒，第三个格子 放4颗麦粒，以此类推，每个格子放的麦粒数 都是前一个格子的两倍，请给我足够的粮食来 实现上述要求”.国王不假思索就欣然答应了 他的要求. 我们看国王能不能满足他的要求，由于每 个格子里的麦粒数都是前一个格子里的麦粒数 的2倍，共有64个格子，各个格子里的麦粒数 依次是：
的方法 63 ,就 S64 1 2 2 2 是错位相 2 ① 2 3 63 减法 ! 2 S 2(1 2 2 2 2 )
2 3 64
即 2 S64 2 2 2 2 克，那么这些麦粒的总质 ② 2 量就是7300多亿吨.根据统 由① － ② 可得： 计资料显示，全世界小麦
2.5.2 等比数列的前n项和(第2课时)性质及应用(课件)-下学期高一数学(人教A版必修5)
1．思考辨析
[基础自测]
(1)等比数列{an}共 2n 项，其中奇数项的和为 240，偶数项的和为 120， 则该等比数列的公比 q＝2.( )
(2)已知等比数列{an}的前 n 项和 Sn＝a·3n－1－1，则 a＝1.( ) (3)若数列{an}为等比数列，则 a1＋a2，a3＋a4，a5＋a6 也成等比数列．( ) (4)若 Sn 为等比数列的前 n 项和，则 S3，S6，S9 成等比数列．( )
等比数列前 n 项和公式的函数特征应用 例 1、已知数列{an}的前 n 项和 Sn＝an－1(a 是不为零且不等于 1 的常数)， 则数列{an}( ) A．一定是等差数列 B．一定是等比数列 C．是等差数列或等比数列 D．既非等差数列，也非等比数列
B [当 n≥2 时， an＝Sn－Sn－1＝(a－1)·an－1； 当 n＝1 时，a1＝a－1，满足上式． ∴an＝(a－1)·an－1，n∈N*. ∴aan＋n 1＝a， ∴数列{an}是等比数列．]
[解] 设 S2n＝x，S4n＝y，则 2，x－2,14－x，y－14 成等比数列，所以 x－22＝214－x， 14－x2＝x－2y－14， 所以xy＝ ＝63， 0 或xy＝ ＝－ －44，0 (舍去)，所以 S4n＝30.
2．(变条件变结论)将例题(2)中的条件“q＝3，S80＝32”变为“项数为偶 数的等比数列，它的偶数项之和是奇数项之和的12，又它的首项为12，且中间 两项的和为1238”求此等比数列的项数．
[当 堂 达 标·固 双 基]
1． （2019 年金华模拟）设等比数列{an}的前 n 项和为 Sn，若 S10∶S5＝1∶2，
等比数列前n项的和(2)
① ②
两式相比得： q n 9 q n 8 1 a ① 得： 1 2 代入 1q
s3n
a1 1q
1 q
3
a1 1q
1 q n 3 2 1 83 1022
an1 2an 1( n N * 例题． 已知数列{an }满足： 1 1， a
2 3
3、在等比数列an 中，a1 an 66, a2 an 1 128, S n 126, 求n和q.
4、
log2 a1 log2 a2 log2 a10 25, 求S10 .
在等比数列a n中，公比q 2,
已知数列{an } ， ；
{an }
求
通项公式
1 a1 1, an 1 Sn 3
求值：a1 a2 a3 ....a2n
设等比数列an 的前n项和为sn , 若sn 14,
s2n 126, 求s3n
矛盾 q 1
解：若q 1, 则sn na1 14, s2n 2na1 126
sn a1 1 q n 14 1 q a 2n 126 s2n 11q 1 q
(1)求证：数列{an 1}是等比数列； (2)求an . （3）求{an }的和 Sn
Sn 是等比数列｛ an ｝的前n项和，公比q≠1，
1 1 已知1是 S 2和 S 3 的等差中项，6是 2S2和3S3 2 3
的等比中项。 （1）求S2和S3的值； （2）求此数列的通项公式； （3）求数列｛ Sn｝的前n项和；
n
a1 an q 2.已知a1、an、q选择公式Sn 1 q
A版等比数列前n项和第2课时
∴
a1 10 =− 1− q 3
∴
S15 =
a1 (1 − q15 ) 1− q
=−
10 (1 − 43 ) = 210 3
用整体思 想求解
问题6：在等差数列 {an } 中， Sn 为其前n项和，则 问题 ： 为其前 项和， 项和 S n , S 2 n − S n , S3n − S 2 n ,L 具有怎样的性质？ 具有怎样的性质？ S n , S 2 n − S n , S3n − S 2 n ,L 也成等差数列 问题7：你能类比在等比数列中，也有类似的性质吗？ 问题 ：你能类比在等比数列中，也有类似的性质吗？ 并用该性质重新解答例题4 并用该性质重新解答例题 显然是等比数列； 当 q = 1 时，Sn = S2 n − Sn = S3n − S2 n = L = na1 显然是等比数列； 当 q ≠ 1 时， n = a1 + a2 + L + an = S
小结
这五个量中，知三求二； 在 a1 , q, an , n, Sn 这五个量中，知三求二； 运用等比数列求和公式的时候， 运用等比数列求和公式的时候，一定要对公比是否为 1进行检查，注意分类讨论； 进行检查， 进行检查 注意分类讨论； 等比数列与等差数列有很多的性质可以类比
类比推理，归纳性质
如果一个等比数列前5项的和等于 例2.如果一个等比数列前 项的和等于 ，前10项的和 如果一个等比数列前 项的和等于10， 项的和 等于50，求它的前15项的和 项的和. 等于 ，求它的前 项的和 项和为 解：设该等比数列的首项为 a1 ，公比为 q ，前n项和为 Sn
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等比数列前n项和的性质二：
如果an 为等比数列 ，则Sk , S2k Sk , S3k S2k 也成等比数列。
怎么证 新等比数列首项为 Sk，公比为q k。 明？
2、等比数列{an }的前n项和为Sn，若Sm 10，S2m 30， 求S3m的值。
解： Sm，S2m - Sm，S3m - S2m成等比数列 (S2m - Sm )2 Sm (S3m - S2m )
令A
a1 1-q
0 则： S n
Aq n
-
A
等比数列前n项和的性质一：
数列{an }是等比数列
Sn Aq n - A( A 0)
类似结论：
相反
数列{an }是等比数列
数
Sn Aqn B(AB 0, A 1)
1、若等比数列 {an }的前n项和Sn 4n a，求a的值。
提示： Sn Aq n - A( A 0)
即：(30 -10)2 10 (S3m - 30) 解得： S3m 70
2、等比数列{an}的前n项和为Sn，若S10 20，
S 20 80，则S30
260 。
3、任意等比数列，它的前 n 项和、前 2n 项和与前 3n 项
和分别为 X、Y、Z，则下列等式中恒成立的是（ D）
A．X＋Z＝2Y
解：令X a1 a3 a99 60
Y a2 a4 a100
则S100 X Y
由等比数列前n项和性质知：Y q 1
X
3
Y 20即：S100 X Y Nhomakorabea05、已知一个等比数列其首项是1，项数是偶数，所有奇 数项和是85，所有偶数项和是170，求此数列的项数？
提示： q S偶 170 2 S奇 85
B．Y(Y－X)＝Z(Z－X)
C．Y2＝XZ
D．Y(Y－X)＝X(Z－X)
4、书上第58页，第2题。 210
等比数列前n项和的性质三：
若等比数列an 共有2n项，则： S偶 q S奇
怎么证 明？
4、若等比数列{an }的公比为13，且a1 a3 a99 60,
则{an }的前100项和为 80 。
系数和常数互为相反数
a 1
1、若等比数列 {an }的前n项和Sn 3n1 2a，求a的值。
化简到：S n
1 3n 2a 3
1 2a 0 3
a 1 6
我们知道，等差数列有这样的性质：
如果an 为等差数列 ，则Sk , S2k Sk , S3k S2k 也成等差数列。
新的等差数列首项为Sk，公差为k 2d。
S n S偶 S奇 170 85 255
由等比数列前 n项和公式得：
255 1 2n 1-2
n8
5、在等比数列{an }中，a1 an 66，a2 an1 128， 前n项和Sn 126，求n及公比q。
解： a1an a2 an1 128
又有a1 an 66
两式联立解得：
等比数列的前n项和 （第二课时）
1、等比数列前n项和公式:
Sn
na1 a1
a1
q
n
1-q
q 1，
或
q 1。
Sn
na1 a1 anq 1-q
2、数学思想：整体代入法。
3、求和方法： 错位相减求和法；
q 1， q 1。
1、数列 1，a，a 2， ，a n1， 的前n项和为( D )
A.1 a n
Sm p Sm qmS p
书上第62页，习题2.5 B组，第2题、第5题。
a1 an q 1-q
6、已知等比数列
{a
n
}前n项和为
S
，若
n
a2
a3
2a1，
且a4与2a7的等差中项为
5 4
，求S
。
5
S5 31
7、已知正项等比数列{an }前n项和为Sn，若a2a4 1，
S3 7，求S5。
S5
31 4
8、已知数列{an }的前n项和Sn满足：Sn 4an 2， 求数列{an }的通项公式。
an
2 ( 4)n1 33
等差数列前n项和的性质：
① 数列{an }是等比数列
Sn Aq n - A( A 0)
② an 为等比数列 Sk , S2k Sk , S3k S2k 也成等比数列。
且新等比数列首项为 Sk，公比为q k。
③ 若等比数列an 共有2n项，则：
S偶 q S奇 ④ 如果an 为公比为 q的等比数列 ，对m、p N 有：
1 a n1 B.
1 a n1 C.
D.以上均不正确
1 a
1 a
1 a
2、若等比数列{an}的前n项和Sn bn an2，则{bn}的前n项和Tn
2n13(14，n 数1。)列{bn}满足：
Sn
a1 a1q n 1-q
Sn
a1 q n 1-q
a1 1-q
这个形式和等比 数列等价吗？
a1 an
264或aa1n
64 2
显然，q 1。
(1)当a1 2，an 64时有：
Sn
2 - 64q 1 q
126
解得：q 2
又an a1q n1得：64 2 2n1
解得：n 6
(2)当a1 64，an 2时,同理可得：
q 1，n 6
综上所述：n
2
6，q
1
或2。
2
Sn