第3章 维纳滤波器
维纳滤波器
w
* 1
m in
w
* 0
w
0
w
1
记 为 w w , w w
* T N 1
( w ) 若 使最 ( w )小 ， 须 0 w 即
( w ) ( w ) ( w ) ( w ) ， ,, 2 R w 2 p 0 w w w w 0 1 N 1
E dn () 2 w () n E d () n xn () N
2
T
期 望 响 应 的 平 均 功 率
2 d
( n ) 是 w 的 函 数 , 即 ( n ) ( w )
T w () n E xn () xn () w () n N N T
——维纳-霍甫夫(Wiener-Hopf)方程
它反映了相关函数与最佳单位脉冲响应之间的关系。
Wiener-Hopf方程的矩阵形式
R hR s x x x
自相关矩阵 故最佳单位脉冲响应 其中
s () n 与的 x () n互 相 关
h RR s x o p t
R 0, N1 R 1, N1 RN1,N1
xn 观察/测量数据
s n 真实信号
vn 加性噪声/干扰
ˆ s n x n h n h i x n i 线性估计问题 i
ˆ e n s n s n
2
估计误差
n E en m i n h n 最小均方误差(MMSE)估计
得到：
E [] e x 0 i 0 , 1 ,, N 1 i
或
N 1 E h x sx 0 i j j j 0
维纳滤波器
西安电子科技大学统计与自适应信号处理仿真学院：班级：学号：姓名：2013年12月FIR 维纳滤波器1维纳滤波原理概述维纳（Wiener ）是用来解决从噪声中提取信号的一种过滤（或滤波）方法。
这种线性滤波问题，可以看做是一种估计问题或一种线性估计问题。
一个线性系统，如果它的单位样本响应为)(n h ，当输入一个随机信号)(n x ，且)()()(n v n s n x += （1） 其中)(n x 表示信号，)(n v )表示噪声，则输出)(n y 为∑-=mm n x m h n y )()()( （2）我们希望)(n x 通过线性系统)(n h 后得到的)(n y 尽量接近于)(n s ，因此称)(n y 为)(n s 的估计值，用^)(n s 表示，即^)()(n s n y = （3） 则维纳滤波器的输入—输出关系可用下面图1表示。
图1 维纳滤波器的输入—输出关系实际上，式（2）所示的卷积形式可以理解为从当前和过去的观察值)(n x ，)1(-n x ，)2(-n x …)(m n x -，…来估计信号的当前值^)(n s 。
因此，用)(n h 进行过滤问题实际上是一种统计估计问题。
一般地，从当前的和过去的观察值)(n x ，)1(-n x ，)2(-n x …估计当前的信号值^)()(n s n y =成为过滤或滤波；从过去的观察值，估计当前的或者将来的信号值)0)(()(^≥+=N N n s n y 称为外推或预测；从过去的观察值，估计过去的信号值)1)(()(^>-=N N n s n y 称为平滑或内插。
因此维纳滤波器又常常被称为最佳线性过滤与预测或线性最优估计。
这里所谓的最佳与最优是以最小均方误差为准则的。
如果我们分别以)(n s 与^)(n s 表示信号的真实值与估计值，而用)(n e 表示他们之间的误差，即)()()(^n s n s n e -= （4）显然)(n e 可能是正值，也可能是负值，并且它是一个随机变量。
维纳滤波器
维纳滤波器维纳滤波器（Wiener filter）是由数学家维纳（Rorbert Wiener）提出的一种以最小平方为最优准则的线性滤波器。
在一定的约束条件下，其输出与一给定函数（通常称为期望输出）的差的平方达到最小，通过数学运算最终可变为一个托布利兹方程的求解问题。
维纳滤波器又被称为最小二乘滤波器或最小平方滤波器，目前是基本的滤波方法之一。
维纳滤波是利用平稳随机过程的相关特性和频谱特性对混有噪声的信号进行滤波的方法，1942年美国科学家N.维纳为解决对空射击的控制问题所建立，是40年代在线性滤波理论方面所取得的最重要的成果。
目录编辑本段维纳滤波器维纳滤波从连续的(或离散的)输入数据中滤除噪声和干扰以提取有用信息的过程称为滤波，而相应的装置称为滤波器。
根据滤波器的输出是否为输入的线性函数，可将它分为线性滤波器和非线性滤波器两种。
滤波器研究的一个基本课题就是：如何设计和制造最佳的或最优的滤波器。
所谓最佳滤波器是指能够根据某一最佳准则进行滤波的滤波器。
20世纪40年代，维纳奠定了关于最佳滤波器研究的基础。
即假定线性滤波器的输入为有用信号和噪声之和，两者均为广义平稳过程且知它们的二阶统计特性，维纳根据最小均方误差准则(滤波器的输出信号与需要信号之差的均方值最小)，求得了最佳线性滤波器的参数，这种滤波器被称为维纳滤波器。
在维纳研究的基础上，人们还根据最大输出信噪比准则、统计检测准则以及其他最佳准则求得的最佳线性滤波器。
实际上，在一定条件下，这些最佳滤波器与维纳滤波器是等价的。
因而，讨论线性滤波器时，一般均以维纳滤波器作为参考。
信号波形从被噪声污染中恢复称为滤波。
这是信号处理中经常采用的主要方法之一，具有十分重要的应用价值。
常用的滤波器是采用电感、电容等分立元件构成，如RC低通滤波器、LC谐振回路等。
但对于混在随机信号中的噪声滤波，这些简单的电路就不是最佳滤波器，这是因为信号与噪声均可能具有连续的功率谱。
维纳滤波器的基本原理
维纳滤波器的基本原理维纳滤波器是一种经典的信号处理方法，它被广泛应用于噪声抑制、图像恢复和语音处理等领域。
维纳滤波器通过将观测信号和噪声之间的相关性纳入考虑，可以有效地提高信号的质量，减少噪声的干扰。
维纳滤波器的基本原理可以用以下几个步骤来描述。
首先，我们需要了解原始信号和噪声的统计特性。
通过对观测信号和噪声进行建模，我们可以估计它们的自相关函数和互相关函数。
这些统计参数将帮助我们理解噪声的特性以及其对原始信号的影响。
接下来，我们需要构建一个滤波器，该滤波器将输入观测信号作为输入，并通过滤波过程来降低噪声的影响。
在构建滤波器时，我们需要考虑两个主要要素：信号的自相关函数和噪声的自相关函数。
信号的自相关函数描述了信号中不同时间点之间的相关性，而噪声的自相关函数描述了噪声本身的特性。
维纳滤波器的关键思想是最小化输出信号和原始信号之间的均方误差，同时最大化输出信号和原始信号之间的相关性。
通过将这两个目标结合起来，我们可以设计一个最优的滤波器，使输出信号尽可能接近原始信号，并且削弱噪声的干扰。
在滤波器的设计中，我们需要根据原始信号和噪声的统计特性来确定一些参数。
例如，我们可以利用原始信号的自相关函数和噪声的自相关函数来计算滤波器的频率响应。
通过调整滤波器的参数，我们可以改变滤波器的频率响应，从而实现对信号和噪声之间相关性的优化。
最后，我们需要通过将观测信号传递给维纳滤波器来得到滤波后的输出信号。
维纳滤波器使用输入信号的统计特性以及滤波器的参数来调整输出信号的频谱。
这样，滤波器可以通过增大信号和减小噪声之间的相关性来最大限度地提高输出信号的质量。
总之，维纳滤波器是一种通过考虑原始信号和噪声之间的相关性来优化信号质量的方法。
它的基本原理是最小化输出信号和原始信号之间的均方误差，并最大化输出信号和原始信号之间的相关性。
通过合理地设计滤波器的参数，维纳滤波器可以在信号处理领域中发挥重要作用，提高信号的质量，并减少噪声的干扰。
第三章卡尔曼(Kalman)滤波
引入
在讨论维纳滤波时，提出一个基本概念： 任何具有有理功率谱密度的随机信号都可看作 是白色噪声通过一个线性网络所形成。 由此得到维纳滤波器的信号模型
w(n)
s(n)
A(z)
v(n)
w(n)
s(n)
x(n)
A(z)
w(n)
B(z)
x(n)
为了得到卡尔曼过滤的信号模型，必须 首先讨论状态方程和量测方程。
当已知初始状态x(0)、激励e j以及A与B矩阵，
即可求得x(k )。。
如果用k0表示起始点的k值从x(k )开始递推，从而有
k 1
x(k) k,k0x(k0 ) k, j1Be( j) j k0
k0 0：表示从初始状态x(0)开始递推。
k ,k 0：代表从k0状态到k 状态的转移矩阵。
在卡尔曼滤波中： 希望得到xk的估计值xˆk与xk间 最小均方误差。有了xˆk也就得到了sˆk。
提问：sk 和xk的关系？
来估计信号的当前值 以均方误差最小条件下求解 系统的传递函数H(z)或单位冲激响应h(
只根据前一个估计值 xˆk -1 和最近一个观察数据 yk 来估计信号的当前值 它是用状态空间法描述系统， 即由状态方程和量测方程组成。
解是以估计值(是状态变量的估计值)的形式给出的
第三章 卡尔曼(Kalman)滤波
第一节 引言
卡尔曼生平
卡尔曼全名Rudolf Emil Kalman，匈 牙利数学家，1930年出生于匈牙利 首都布达佩斯。1953，1954年于麻 省理工学院分别获得电机工程学士 及硕士学位。1957年于哥伦比亚大 学获得博士学位。我们在现代控制 理论中要学习的卡尔曼滤波器，正 是源于他的博士论文和1960年发表 的论文《A New Approach to Linear Filtering and Prediction Problems》 （线性滤波与预测问题的新方法）。
维纳滤波器
维纳滤波器（包括卡尔曼滤波器）采用的“最佳”原则是线性均方准则: 线性最小均方误差滤波 Linear Minimum Mean-Square Error Filtering （常称为最小二乘方）
在最小二乘方准则下：
其中
正交原则： 表明任何时刻的估计误差都与用 于估计的所有数据（滤波器输入） 正交。
（正交性原理得到第二项乘积为零）
前面已得到正交性：
维纳滤波能达到的最小误差下限为：
将方程的解（维纳滤波器的系数）代入得到，
注意到：解Wiener-Hopf方程需要已知： 两个相关值——
比较正交性方程：
将误差代入正交性方程中（非因果FIR维纳滤波）：
写成“两个相关”的形式
解Wiener-Hopf方程需要知道两个相关：
引言
一般滤波与最优滤波
维纳滤波
在光成像中：为了提高成像 的质量，需要对光信号进行 基于探头脉冲响应的滤波反 卷积处理 以恢复光信号实际的幅频特 性。对噪声的抑制是获得稳 定反卷积结果的关键。
（有限长的从0到P-1阶的FIR滤波器）
“最佳”原则 在信号处理中通常有四种准则： 最大后验准则；最大似然准则；均方准则；线性均方准则。
匹配滤波与维纳滤波的结果
匹配滤波（matched filtering）是最佳滤波的一种， 当输入信号具有某一特殊波形时，其输出达到最大。 滤波器的振幅特性与信号的振幅谱一致，对信号的 匹配滤波相当于对信号进行自相关运算。
维纳滤波图像识别
基于维纳滤波器的旋转识别： 目标发生旋转后的滤波结果
在识别字母中可以通过模板和样本的符合度来判断应用维纳滤波的方法将字母f看成是我们要检测的信号将其它字母e看成是噪声匹配滤波与维纳滤波的结果匹配滤波matchedfiltering是最佳滤波的一种当输入信号具有某一特殊波形时其输出达到最大
维纳滤波器
z(n) Hw(z)
w(n) H2(z)
ˆ s ( n)
1 Hw(z) = + Gz (z)
维纳滤波器
+ H2 (z) = Gsw(z) =[Hw(z−1)Gsz (z)]+
1 Gsz (z) H(z) = + + −1 Gz (z) Gz (z )
+
维纳滤波器
Rsw (n1 , n2 ) = E {s (n1 ) w(n2 )} = E s (n1 )∑ z (n2 − k )hw (k ) k =0 = ∑ Rsz (n1 , n2 − k )hw (k )
维纳滤波器
维纳滤波器
波形估计 维纳滤波器频域解 维纳滤波器时域解
维纳滤波器
一、波形估计一般概念
z(n) = s(n) + v(n)
波形估计有三种类型 ：
n = n0, n0 +1 nf ,...,
(1)滤波： 根据当前和过去的观测值 滤波： 滤波 {z(k),k= n0, n0+1,...,n}对信号 对信号s(n)进行估计 对信号 进行估计 (2)预测 根据当前和过去的观测值 预测: 根据当前和过去的观测值{z(k),k= n0, n0+1,...,nf} 预测 对未来时刻n(n>nf)的信号 的信号s(n)进行估计，预测也称为外 进行估计， 对未来时刻 的信号 进行估计 推。
维纳滤波器 (3)内插 根据某一区间的观测数据 内插: 根据某一区间的观测数据{z(k),k= 内插 n0,n0+1,...,nf}对区间内的某一个时刻 0<n<nf)的信 对区间内的某一个时刻n(n 对区间内的某一个时刻 的信 号进行估计，内插也称为平滑。 号进行估计，内插也称为平滑。 波形估计的目的： 波形估计的目的： 选取线性滤波器的冲激响应函数或传输函数， 选取线性滤波器的冲激响应函数或传输函数， 使估计的均方误差达到最小。 使估计的均方误差达到最小。
第3讲维纳滤波
第3讲：Wiener 滤波Wiener 滤波器是从统计意义上的最优滤波, 它要求输入信号是宽平稳随机序列, 本章主要集中在FIR 结构的Wiener 滤波器的讨论。
由信号当前值与它的各阶延迟)}1(,),1(),({+--M n u n u n u ，估计一个期望信号)(n d ，输入信号)(n u 是宽平稳的，)(n u 和)(n d 是联合宽平稳的, 要求这个估计的均方误差最小.。
Wiener 滤波器的几个实际应用实例如下： ①通信的信道均衡器。
图1. 信道均衡器的结构示意②系统辨识：图2. 线性系统辨识的结构③一般结构:图3. Wiener 滤波器的一般结构Wiener 滤波器的目的是求最优滤波器系数o w ，使⎥⎦⎤⎢⎣⎡-==22)(ˆ)(]|)([|)(n d n d E n e E n J 最小。
§3.1 从估计理论观点导出Wiener 滤波FIR 结构(也称为横向)的Wiener 滤波器的核心结构如图4所示.图4. 横向Wiener 滤波器为了与第2讲中估计理论一致，假设信号，滤波器权值均为实数由输入)(n u 和它的1至（M-1）阶延迟，估计期望信号)(n d ，确定权系数}1,0,{-=M i w i 使估计误差均方值最小，均方误差定义为：]))(ˆ)([(2n dn d E J -= 这里估计)(ˆn d写为： ∑-=-⋅=10)()(ˆM k k k n u w n d除了现在是波形估计外，与线性Bayesian 估计一一对应。
∑-=⋅=1)(ˆN k kk x a θ∑-=-⋅=10)()(ˆM k k k n u w n dT N a a a ],,[110-= aT N w w w ],,[110-= wT N x x x )]1(),1(),0([-= xT M n u n u n u n )]1(),1(),([)(+--= uθ)(n dxx C R （零均值假设）θx CT M p p p n d n E )]1(),1(),0([)]()([+--=⋅= u P这里)])()([)((n d k n u E k p -=-, Wiener 滤波与线性Bayesian 估计变量之间具有一一对应关系, 设最优滤波器系数为0w ，由线性Bayesian 估计得到Wiener 滤波器系数对应式：p w C =⋅⇒=⋅0R C x xx θa上式后一个方程称为Wiener-Hopf 方程, 或p w ⋅=⇒=--101R C C x xx θa)()()(ˆˆ011n n R n d C C T T xx T x u u ⋅=⋅⋅=⇒⋅⋅=--w p x θθ p p ⋅⋅-=⇒⋅⋅-=--12min 1)ˆ(R J C C C C Bmse T d x xx T x σθθθθθ结论：1) Wiener 滤波器是线性FIR 滤波器中的最优滤波器，但非线性滤波可能会达到更好结果。
维纳滤波器的原理
维纳滤波器的原理维纳滤波器是一种经典的信号处理滤波器，其原理基于最小均方误差准则，旨在通过优化滤波器的系数来最小化输出信号与期望信号之间的误差。
维纳滤波器的设计思想是将输入信号分解为两个部分：有用信号和噪声信号。
然后，通过滤波器的作用，使得输出信号中噪声的影响最小化。
维纳滤波器的设计过程可以分为两个主要步骤：信号建模和滤波器系数计算。
首先，需要对输入信号进行建模，以便准确地描述信号的统计特性。
常用的信号模型有平稳信号模型和非平稳信号模型。
在信号建模的过程中，需要估计信号的自相关函数和互相关函数，这些函数反映了信号的统计特性。
接下来，在信号建模的基础上，可以使用维纳滤波器的最小均方误差准则来计算滤波器的系数。
最小均方误差准则的基本思想是使得输出信号的均方误差最小化。
通过求解最小均方误差准则的最优化问题，可以得到滤波器的最优系数，进而实现对输入信号的滤波。
维纳滤波器的原理可以用如下的几个步骤来总结：1. 信号建模：对输入信号进行建模，估计信号的统计特性，如自相关函数和互相关函数。
2. 误差计算：计算输出信号与期望信号之间的误差。
3. 最小均方误差准则：使用最小均方误差准则来优化滤波器的系数，使得输出信号的均方误差最小化。
4. 系数计算：通过求解最小均方误差准则的最优化问题，得到滤波器的最优系数。
5. 滤波器设计：根据计算得到的滤波器系数，设计出具体的滤波器结构。
维纳滤波器在实际应用中具有广泛的应用。
例如，在通信系统中，维纳滤波器可以用于抑制信道中的噪声，提高信号的质量。
在图像处理领域，维纳滤波器可以用于去除图像中的噪声，提高图像的清晰度。
此外，维纳滤波器还可以用于语音增强、雷达信号处理等领域。
维纳滤波器是一种基于最小均方误差准则的经典滤波器。
通过对输入信号的建模和优化滤波器的系数，维纳滤波器可以有效地抑制噪声，提高信号的质量。
维纳滤波器在各种信号处理领域中都有广泛的应用，为我们提供了一种有效的信号处理工具。
维纳滤波器
维纳滤波器1.clear;clf;sita=0:pi/249.5:2*pi;xnoise=sqrt(0.05)*randn(1,500);%产生x轴方向噪声ynoise=sqrt(0.06)*randn(1,500);%产生y轴方向噪声x=cos(sita)+xnoise;y=sin(sita)+ynoise;%产生x轴和y轴方向观测信号%产生维纳滤波中x方向上观测信号的自相关矩阵rxx=xcorr(x);for i=1:100for j=1:100mrxx(i,j)=rxx(500-i+j);endendxd=cos(sita);%产生维纳滤波中x方向上观测信号与期望信号的互相关矩阵rxd=xcorr(x,xd);for i=1:100mrxd(i)=rxd(499+i);endhoptx=inv(mrxx)*mrxd';%由维纳-霍夫方程得到的x方向上的滤波器最优解fx=conv(x,hoptx);%滤波后x方向上的输出nx=sum(abs(xd).^2);eminx=nx-mrxd*hoptx;%x方向上最小均方误差%产生维纳滤波中y方向上观测信号的自相关矩阵ryy=xcorr(y);for i=1:100for j=1:100mryy(i,j)=ryy(500-i+j);endendyd=sin(sita);%产生维纳滤波中y方向上观测信号与期望信号的互相关矩阵ryd=xcorr(y,yd);for i=1:100mryd(i)=ryd(499+i);endhopty=inv(mryy)*mryd';%由维纳-霍夫方程得到的y方向上的滤波器最优解fy=conv(y,hopty);%滤波后y方向上的输出ny=sum(abs(yd).^2);eminy=ny-mryd*hopty;%y方向上最小均方误差subplot(2,5,1)plot(xd);title('x方向期望信号');subplot(2,5,2)plot(xnoise);title('x方向噪声信号');subplot(2,5,3)plot(x);title('x方向观测信号');subplot(2,5,4)n=0:500;plot(n,eminx);title('x方向最小均方误差');subplot(2,5,5)n=0:598;plot(n,fx);title('x方向滤波后信号');subplot(2,5,6)plot(yd);title('y方向期望信号');subplot(2,5,7)plot(ynoise);title('y方向噪声信号');subplot(2,5,8)plot(y);title('y方向观测信号');subplot(2,5,9)n=0:500;plot(n,eminy);title('y方向最小均方误差');subplot(2,5,10)n=0:598;plot(n,fy);title('y方向滤波后信号'); figure;plot(xd,yd,'k');%期望信号hold on ;plot(x,y,'b:');%观测信号hold on;plot(fx,fy,'g-');title('最终结果');。
维纳滤波器
维纳滤波器(第二讲)维纳去卷积•一般的去卷积并不考虑噪声，因此，当有噪声时，去卷积传递函数（在高频时它的幅度值常常很大）是不实用的。
图11.17表示在去卷积之后紧跟着维纳滤波器。
期望的信号s(t)首先被一个冲激响应为f(t)的线性系统所退化，其输出又被附加的噪声源n(t)所污染形成了观察到的信号x(t).维纳滤波在图象上的应用匹配检测器举例•第一种情况：假定噪声的频谱是白的；即因为式（99）中的C 是任意的常数，因此我们可以令，在这种情况下，匹配检测器变为：K 0(s) = M*(s)2)(N s P n =20N C =)()()}({)(2*1t m ds e s M t K t k st j o o −==ℑ=∫∞∞−−π•对于白噪声情况，冲激响应就是信号本身的反转。
输出端的信号分量为:而噪声分量为:因为式（107）中K 0(t)正好是我们企图信号的反转，所以匹配滤波器K 0(t)只是一个互相关算子，它把进来的信号加噪声与已知形式的期望信号做相关运算，所得输出为)()()()(*)()(t R d t m m t k t m t u m o −=+−==∫∞∞−τττ)()()()(*)()(t R d t m n t k t n t v mn o −=+−==∫∞∞−τττ)()()()()(t R t R t v t u t y mn m −+−=+=•矩形脉冲检测器假定，即设计用来检测淹没在白的矩形脉冲的匹配检测器。
还假定输入是x(t) = s(t)+ n(t)，这里，n(t)是白噪声。
我们知道矩形脉冲的自相关函数由下式给出：滤波器的输出就是:)()(t t m C =)()(T t t s −=C )()(*)()(ττΛ=∏∏=t t R x )()()(t R T t t y mn +−Λ=•从图11.23可以看出匹配检测器是如何抑制噪声而对信号做出响应。
输出有一峰值出现在信号的t=T时刻，但在其他的地方，幅度值相当小。
现代信号课件第3章最优滤波器理论
或 H(z) Sxd(z)
S (z) x
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18
因果IIR维纳滤波器
因果IIR维纳滤波器的传输函数为
H(z)x1(z)xxd((zz))
最小均方误差为
Jmind2 wolrxd[l] l0
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23
同一个问题分别用非因果IIR、因果IIR和2阶FIR Wiener 滤波器进行处理，得到输出最小均方误差分别为：0.2083、 0.2222和0.2240。
Wiener滤波的横向滤波器
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从估计理论观点导出Wiener滤波 假设信号，滤波器权值均为实数
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维纳滤波：正交原理
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·维纳－霍夫方程（Wiener-Hopf）
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M阶FIR滤波器，（横向滤波器）Wiener-Hopf方程为
M1
w0irx[ik]rxd[k]
i0
矩阵形式 Rw0 rxd w0 R1rxd
这里 x [n ] [x [n ]x [ ,n 1 ] ,,x [n M 1 ]T ]
r x d E [ x [ n ] d * [ n ] [ ] r x [ 0 d ] r x [ , d 1 ] ,r x [ 1 d M ] T
w 0 [w 0,0 w 0,w 10, 2w 0 M 1 ]T
整理ppt
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最小均方误差
维纳滤波器的原理和应用
维纳滤波器的原理和应用维纳滤波器简介维纳滤波器是一种经典的信号处理滤波器，它基于维纳滤波理论，通过对信号进行统计分析和模型建立，实现信号的优化处理。
维纳滤波器能够降低信号中的噪声成分，提高信号的质量和可靠性，在许多领域中得到广泛的应用。
维纳滤波器原理维纳滤波器的原理是基于最小均方误差的思想，通过最小化信号与噪声之间的均方误差，实现对信号的最优估计。
其数学模型可以表示为：维纳滤波器原理公式维纳滤波器原理公式其中，x(n)是输入信号，h(n)是滤波器的冲激响应，y(n)是滤波器的输出信号，w(n)是噪声信号，E[w(n)w(m)]是噪声信号的自相关函数，Rxx(k)是输入信号的自相关函数，Rxy(k)是输入信号和噪声之间的互相关函数。
维纳滤波器根据输入信号、噪声信号和系统参数的统计特性，通过最小化均方误差优化系统参数，使得滤波器能够有效地抑制噪声成分，提取出原始信号。
维纳滤波器的设计需要基于输入信号和噪声的统计特性的准确估计，以及对滤波器参数的优化求解。
维纳滤波器应用维纳滤波器在实际应用中具有广泛的用途，以下列举了几个常见的应用领域：1.图像去噪：维纳滤波器可以应用于数字图像处理中的去噪问题，通过最小化图像中的噪声与图像信号的误差，实现对图像噪声的抑制，提高图像的质量和清晰度。
2.语音增强：在语音信号处理中，维纳滤波器可以应用于语音增强问题，通过对语音信号进行建模和分析，实现对噪声的抑制，提高语音信号的清晰度和可听性。
3.视频恢复：在视频信号处理中，维纳滤波器可以应用于视频恢复问题，通过对视频帧进行建模和分析，实现对噪声和失真的抑制，提高视频的质量和稳定性。
4.无线通信：在无线通信系统中，维纳滤波器可以应用于信号解调和接收问题，通过对接收信号进行建模和分析，实现对噪声和干扰的抑制，提高信号的可靠性和传输速率。
5.生物信号处理：在生物医学信号处理中，维纳滤波器可以应用于生物信号的去噪和增强问题，通过对生物信号进行建模和分析，实现对噪声和干扰的抑制，提高生物信号的可读性和分析能力。
第三章维纳滤波和卡尔曼滤波.pptx
3、 维纳—霍夫方程
E[x*(n k)eopt (n)] 0, k 0,1, 2,...
E
x(n
k)
d (n)
hopt,i x(n
i)
*
0
i0
将输入信号分配进去， 得到
rxd (k)
h* opt ,i
rxx (i k )
i0
k=0, 1, 2, …
s
e s
x2
正交性原理的重要意义：提供了一个数学方法，用以判 断线性滤波系统是否工作于最佳状态。
➢ 正交性原理的引理：最佳状态时，由滤波器输出定义的期望 响应的估计yopt(n)与估计误差eopt(n)正交：
E[ y(n)e*(n)] E[ hk x(n k)e*(n)] k 0 hk E[x(n k)e*(n)] k 0
第三章 维纳滤波和卡尔曼滤波
3.1 引言 3.2 离散维纳滤波器的时域解 3.3 离散维纳滤波器的z域解 3.4 维纳预测 3.5 卡尔曼(Kalman)滤波
3.1 引 言
最优滤波 维纳滤波和卡尔曼滤波简介 本章讨论的主要内容
1、最优滤波
信号处理的目的是从噪声中提取信号，得到不受 干扰影响的真正信号。采用的处理系统称为滤波 器。
将上述4式代入得
k J n k E[| e(n) |2] 2E[x*(n k)e(n)]
正交性原理：
k J n 0 E[x*(n k)eopt (n)] 0, k 0,1, 2,...
➢ 分析：上式说明，若使滤波器的均方误差达到最小，则误差 信号与输入信号正交，这就是通常所说的正交性原理。
解决方法：实质是求解维纳－霍夫(Wiener-Hopf)
维纳滤波器
维纳滤波实验——噪声中语音信号的恢复班级：学号：姓名：实验内容信号从发送者传送到接受者往往受到几种形式的变形而削弱，维纳滤波是一种从接收的原始信号中恢复信号的方法。
给定信号为chiep信号(鸟叫声)，数据文件为chirp.mat，用频域法实现维纳滤波。
步骤如下：1、产生信号s(n)和观测z(n),信号为chiep信号，观测为信号叠加上高斯白噪声。
2、估计信号s(n)和z(n)的功率谱，计算维纳滤波的传递函数。
3、计算输入z(t)和输出y(t)的频谱，并对输出信号求反变换得到时域的输出信号。
用到的函数：装入数据文件，Load傅里叶变换与反变换，fftn ifftn谱估计，periodogra一．实验结果用频域法在MATLAB仿真文件为：clear all;load('chirp','y','Fs');z=awgn(y,20); %加噪声subplot(1,3,1); %画语音信号y的时域图plot(y);title('语音信号y的时域图');subplot(1,3,2) %画加噪后的观测信号图plot(z);title('加噪后的观测信号');X=fftn(y);Px1=X.*conj(X)/50; %原信号频谱密度X=fftn(z);Px2=X.*conj(X)/50; %观测信号频谱密度H=Px1\Px2; %传递函数py=Px2.*H; %输出信号的频谱yn=ifftn(py); %输出信号subplot(1,3,3)plot(yn);title('输出信号');sound(y); %原信号sound(z); %加了噪声的测试信号 sound(yn) %输出信号得到的结果图：原语音信号的时域图语音加噪后的观测信号时域图输出信号的时域图二．实验结果分析及心得体会维纳（Wiener ）滤波是一种从噪声中提取引号波形最基本的方法，适用于需要从噪声中分离出的有用信号是整个信号（波形），而不只是它的几个参量。
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=
σ
2 d
−
2
−1
Rp
T
p+
−1
Rp
T
⋅
R
⋅
−1
R
p
第第 223页 3页
( ) ( ) εmin
=
σ
2 d
−
2
−1
Rp
T
p+
−1
Rp
T
⋅ R ⋅ R−1 p
( ) ∵ R是对称阵，其逆 R −1也是对称阵，∴
R −1
T
= R −1
所以
HANεGmin Z= σHd2O− 2Up T DIANZI R −1 p + p T R −1 ⋅UR ⋅NR −I1Vp ERSITY
中i = 0,1, , N − 1。
s
例如：N=2
e = s − sˆ
e最小，仅当e与sˆ正交时
e ⊥ xi → e ⊥ sˆ
x0 h0 x0
sˆ
满足正交原理 满足MMSE条件
h1 x1
x1
第第
3. Wiener-Hopf 方程
111页 1页
∑ ∑ ⎡⎛ N −1
⎞⎤
⎡ N −1
⎤
E
⎢⎜ ⎢⎣⎝
j=0
第3章 维纳滤波器
HANG正Z交H性O原U理与DWIiAeNneZr-IHoUpfN方I程VERSITY
Wiener-Hopf方程求解 误差性能曲面的几何性质
第第 22页 页
x(n) = s(n) + v(n)
h(n)
y(n) = sˆ(n)
最佳滤波器
维纳滤波器是最佳滤波器，需要已知信号和噪声的统计
2 d
+
T
w
(n)
E
⎡ ⎢⎣
x
N
(n)
T
x N
(n)⎤⎥⎦
w(n)
HAεN(nG)是Zw的H函O数U,即εD(nI)A= εN(wZ) I UNIVERSITY
令互相关函数组成的N维向量记为 p,则
⎡ E[d(n)x(n)] ⎤ ⎡ Rxd (0) ⎤
⎢
p
=
E
⎡⎣d (n) x
N
(n)⎤⎦
=
⎢ ⎢
E[d(n)x(n − 1)]
∂w
即
∂ε (w)
∂w
=
⎡ ⎢ ⎣
∂ε (w)，∂ε (w)
∂w0 ∂w1
,
,
∂ε (w) ⎤T
∂wN
−1
⎥ ⎦
=
2Rw
−
2p
=
0
HAN满足G上Z式H的O权向U量为D最I优A权N向Z量I，U记为NwIV* ，E则RSITY
*
Rw
=
p
*
w
=
−1
R
p
维纳解（最优解）
此时，最小均方误差为
( ) ( ) εmin
滤波
n
HANsˆ (nG) =Z∑HhO(nU− i) xD(i)IANZI UNIVERSITY i=0 预测 n−1 sˆ (n) = ∑ h(n − i ) x (i ) i=n−1− p
这里我们只考虑滤波或预测问题，相应的维纳滤波称为最佳 线性滤波或预测。
第第 55页 页
n
sˆ(n) = ∑ h(i)x(n − i), n = 0, 1, i=0
⎥⎢
⎥ ⎥
=
⎢ ⎢
Rxd (1)
⎥ ⎥ ⎥
⎢ ⎣
E[d
(n)
x(n
−
N
+
1)]⎥⎦
⎢ ⎣
Rxd
(
N
−
1)⎥⎦
E
⎡ ⎢⎣
x
N
T
(n)x N
(n)⎥⎦⎤
=
⎡ E[x(n)x(n)]
E[x(n)x(n−1)]
⎢ ⎢
E[x(n−1)x(n)]
E[x(n−1)x(n−1)]
⎢
⎢⎣E[x(n− N +1)x(n)] E[x(n− N +1)x(n−1)]
110页 0页
正交性原理
要使估计的均方误差最小，滤波系数{hi }的选பைடு நூலகம்应使估
计误差e与所有的观测值xi正交,其中i = 0,1, , N − 1。
推论
要使估计的均方误差最小，滤波系数{hi }的选择应使
HA估N计G误Z差He与O估U计值D（sˆ I观A测N值Z的I 线U性N组I合V）E正R交S，I其TY
, N −1
⎡ sˆ(0) ⎤ ⎡ h(0)
0
0
HANGZHOU ⎢ ⎢ ⎢
sˆ(1) sˆ(2)
⎥⎢ ⎥⎢ ⎥=⎢
h(1) h(2)
h(0D) IAN0 ZI
h(1) h(0)
⎢
⎥⎢
⎢⎢⎣sˆ(N −1)⎥⎥⎦
⎢
⎢⎣ h(N −1)
h(N − 2)
h(N − 3)
0 ⎤⎡ x(0) ⎤
UNIVE0 R⎥⎥S⎢⎢ Ix(T1) Y⎥⎥
hj x j
−
s⎟ ⎠
xi
⎥ ⎥⎦
=
E
⎢ ⎣
j=0
hj xi x j
−
sxi ⎥ ⎦
=
0
N −1
∑ 即
hj E[ xi x j ] − E[sxi ] = 0
HA令NEG[xZijx=H0j ] =ORUij , E[DsxiI]A=NRsxZi，I则UNIVERSITY
N −1
∑ hj Rij = Rsxi，i = 0，1， ，N − 1
HAN特性G；ZHOU DIANZI UNIVERSITY 维纳滤波器的最优准则是最小均方误差准则（MMSE）；
维纳滤波器的参数是固定的，而自适应滤波器的参数是 时变的，故维纳滤波器不是自适应滤波器；
第第 33页 页
x(n) 观察/测量数据
s(n) 真实信号
v(n) 加性噪声/干扰
HAsNˆ(nG) =Zx(Hn)∗Oh(Un) = D∑Ii hA(iN) x(Zn−I i)U线N性I估V计E问R题SITY
R0,0 R1,0
DR0I,1ANZI
R1,0
RRU10,,NN−−N11 I⎞⎟⎟VERSITY
⎟
⎜⎜⎝ RN −1,0 RN −1,1
RN −1,N −1 ⎟⎟⎠
hopt = ⎡⎣h0 h1
hN −1 ⎤⎦T
Rsx = ⎡⎣ Rsx0 Rsx1
T
R ⎤⎦ sxN−1
第第 113页 3页
二. Wiener-Hopf 方程求解
因自适应滤波系数可调，是时刻n的函数，故N时刻的 权向量为
w(n) = ⎡⎣w0 (n)，w1(n)， wN −1(n)⎤⎦ T
第第
n时刻及以前的数据组成的向量称信号向量，表示为 118页 8页
x N (n) = [ x(n)，x(n − 1)， x(n − N + 1)] T
n时刻期望得到的输出称期望响应，记为d(n)；
误差性能函数 ε (n) = E[e2(n)]
N −1
HAN∵Gdˆ(nZ) H= ∑iO=0 wUi (n
)
x(n
−
i
)
=
T
w
DIANZI
(
nU)xNN (nI)VERSITY
{ } ∴ε (n) = E[e2(n)] = E [d(n) − dˆ(n)]2
{ } = E
[d
(
n)
−
T
w
(n)
x
(n)]2
j=0
——维纳-霍甫夫(Wiener-Hopf)方程
它反映了相关函数与最佳单位脉冲响应之间的关系。
第第
Wiener-Hopf方程的矩阵形式
112页 2页
R xx h = Rsx
自相关矩阵
s(n)与x(n)的互相关
故最佳单位脉冲响应
hopt
=
−1
R xx Rsx
其中
HANGZHOU ⎛
⎜
Rxx
=
⎜ ⎜
第第
116页 6页
3 original signal Wiener filter denoised sinusoid noisy signal
2
1
HAN0 GZHOU DIANZI UNIVERSITY
Amplitude
-1
-2
-3
900
910
920
930
940
950
960
970
980
990
1000
ε
若多元，则ε是N+1维空间 上的超椭圆抛物面。
HANGZHOU DIANσZd2 I
ε (w)最小为碗底处的值，
w1*
UNIVERSITY ε min
对应的权向量即为实现 最优滤波的权系数。 w1
w0*
w0
记为w* = ⎡⎣w0* , w1* w*N −1 ⎤⎦ T
第第 222页 2页
若使ε (w)最小，须 ∂ε (w) = 0
⎢
⎥
⎢ ⎣
Rx
(
N
− 1)
Rx ( N − 2)
Rx (0)
⎥ ⎦
记E
⎡ ⎢⎣
x
N
T
(n)x N
(n)⎤⎥⎦
=
R,则
ε (w)
=
σ
2 d
−
T
2w
p
+
T
w
Rw
误差性能函数
第第
若权向量w是二维的,即w = ⎡⎣w0 (n), w1(n)⎤⎦ T