数学竞赛之立体几何专题精讲(例题+练习)

数学竞赛中的立体几何问题

立体几何作为高中数学的重要组成部分之一，当然也是每年的全国联赛的必然考查内容．解法灵活而备受人们的青睐，竞赛数学当中的立几题往往会以中等难度试题的形式出现在一试中，考查的内容常会涉及角、距离、体积等计算．解决这些问题常会用到转化、分割与补形等重要的数学思想方法．

一、求角度

这类题常以多面体或旋转体为依托,考查立体几何中的异面直线所成角、直线与平面所成角或二面角的大小 解决这类题的关键是 ,根据已知条件准确地找出或作出要求的角．

立体几何中的角包括异面直线所成的角、直线与平面所成的角、二面角三种．其中两条异面直线所成的角通过作两条异面直线的平行线找到表示异面直线所成角的相交直线所成的角，再构造一个包含该角的三角形，解三角形即可以完成；直线和平面所成的角则要首先找到直线在平面内的射影，一般来讲也可以通过解直角三角形的办法得到，其角度范围是[]0,90︒︒；二面角在求解的过程当中一般要先找到二面角的平面角，三种方法：①作棱的垂面和两个半平面相交；②过棱上任意一点分别于两个半平面内引棱的垂线；③根据三垂线定理或逆定理．另外还可以根据面积射影定理cos S S θ'=⋅得到．式中S '表示射影多边形的面积，S 表示原多边形的面积，θ即为所求二面角．

例１ 直线OA 和平面α斜交于一点O ，OB 是OA 在α内的射影，OC 是平面α内过O 点的任一直线，设,,.AOC AOB BOC αβγ∠=∠=∠=，求证：cos cos cos αβγ=⋅．

分析：如图，设射线OA 任意一点A ，过A 作

AB α⊥于点B ，又作BC OC ⊥于点C ，连

接AC ．有：

cos ,cos ,cos ;OC OB OC

OA OA OB

αβγ=== 所以，cos cos cos αβγ=⋅．

评注：①上述结论经常会结合以下课本例题一起使用．过平面内一个角的顶点作平面的一条斜线，如果斜线和角的两边所成的角相等，那么这条斜线在平面内的射影一定会落在这个角的角平分线上．利用全等三角形即可证明结论成立．

②从上述等式的三项可以看出cos α值最小，于是可得结论：平面的一条斜线和平面内经过斜足的所有直线所成的角中，斜线与它的射影所成的角最小．

例、（1997年全国联赛一试）如图，正四面体ABCD 中，E 在棱AB 上， F 在棱CD 上，使得：

()0AE CF

EB FD

λλ==<<∞，记()f λλλαβ=+， α

O

C B

A

F E

D

C

B

A

G

其中λα表示EF 与AC 所成的角，其中λβ表示EF 与BD 所成的角，则： （A ）()f λ在()0,+∞单调增加；

（B ）()f λ在()0,+∞单调减少； （C ）()f

λ在()0,1单调增加；在()1,+∞单调减少；

（D ）()f λ在()0,+∞为常数．` 分析：根据题意可首先找到与,λλαβ对应的角．作EG ∥AC ，交BC 于G ，连FG ．显然 FG ∥BD ，∠GEF=λα，∠GFE=λβ．∵AC ⊥BD ，∴EG ⊥FG ∴90λλαβ+=︒

例五、（1994年全国联赛一试）已知一个平面与一个正方体的12条棱的夹角都等于α，则

sin α= ．

分析：正方体的12条棱可分为三组，一个平面与12条棱的夹角都 等于α只需该平面与正方体的过同一个顶点的三条棱所成的角都等于

α即可．如图所示的平面A BD '就是合乎要求的平面，于是：

sin 3

α=

二、求体积

这类题常是求几何体的体积或要求解决与体积有关的问题 解决这类题的关键是 ,根据已知条件选择合适的面作为底面并求出这个底面上的高

例十五、（2003年全国联赛一试）在四面体ABCD 中，

设1,AB CD ==直线AB 与CD 的距离为2，

夹角为

3

π

，则四面体ABCD 的体积等于 (

)()()(

11 ; ; 23A B C D 分析：根据锥体的体积公式我们知道：1

V=3

S h ⋅⋅．

从题目所给条件看，已知长度的两条线段分别位于

两条异面直线上，而已知距离是两条异面直线之间的距离而非点线距．显然需要进行转化．

作BE ∥CD,且BE=CD ，连接DE 、AE ，显然，三棱锥A —BCD 与三棱锥A —BDE 底面积和高都相等，故它们有相等的体积．于是有：

111

sin 362

A BCD A BDE D ABE BDE V V V S h A

B BE ABE h ---∆====⋅⋅∠⋅=

例十六、（2002年全国联赛一试）由曲线2

2

4,4,4,4x y x y x x ==-==-围成的图形绕y 轴旋转一周所

O

D

C

B

A

D '

C '

B ' A '

E

D

C

B

A

得旋转体的体积为V 1，满足

()()22

222216,24,24x y x y x y +≤+-≥++≥的点(),x y 组成的图形绕y 轴旋转一周所得旋转体的体

积为V 2，则： （A ）V 1=

12V 2； （B ）V 1=2

3

V 2； （C ）V 1=V 2； （D ）V 1=2V 2； 分析：我国古代数学家祖暅在对于两个几何体体积的比较方面作出了卓越的贡献，祖暅原理告诉我们： 对于两个底面积相同，高 相等的几何体，任做一个 平行于底面的截面，若每 一个截面的面积相等，则

这两个几何体的体积相等．运用祖 原理的思想我们可以将不规则的几何体的体积计算转化为规则几何体的体积计算．如计算球的体积时我们可以将半球转化为圆柱与圆锥的组合体．显然，本题中的两个几何体符合祖暅原理的条件，比较其截面面积如下：

取()44y a a =-≤≤，则：

()

2

1162164S a

a ππππ=-⋅⋅=-

当0a <时：(

)()

(

)2

2

2

21642164S a

a a ππππ=⋅--⋅-+=+ 当0a >时：()()()2

2

2

2

1642164S a a a ππππ=⋅--⋅--=-

显然，12S S =，于是有：12V V =．

例十七、（2000年全国联赛一试）一个球与正四面体的六条棱都相切，若正四面体的棱长为a ，则这个球的体积是 ．

分析：由正四面体的图象的对称性可知，内切球的球心必为正四面体的中心，球与各棱相切，其切点必为各棱中点，考查三组对棱中点的连线交于一点，即为内切球的球心，所以每组对棱间的距离即为内切球的直径，于是有：2

22

r a =