高一必修二经典立体几何专项试题

高一必修二经典立体几何专项试题
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高一必修二经典立体几何专项练习题
空间中直线与平面、平面与平面之间的位置关系
1、直线与平面有三种位置关系：
（1）直线在平面内——有无数个公共点
（2）直线与平面相交——有且只有一个公共点
（3）直线在平面平行——没有公共点
指出：直线与平面相交或平行的情况统称为直线在平面外，可用a α来表示
a α a∩α=A a∥α
2.2.直线、平面平行的判定及其性质
2.2.1 直线与平面平行的判定
1、直线与平面平行的判定定理：平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，
则该直线与此平面平行。

简记为：线线平行，则线面平行。

符号表示：
a α
b β => a∥α
a∥b
2.2.2 平面与平面平行的判定
1、两个平面平行的判定定理：一个平面内的两条交直线与另一个平面平行，则
这两个平面平行。

符号表
示：
a
β
b
β
a
∩b =p
β∥
a
∥α
b
∥α
2、判断两平面平行的方法有三种：
（1）用定义；
（2）判定定理；
（3）垂直于同一条直线的两个平面平行。

2.2.3 —2.2.4直线与平面、平面与平面平行的性质
1、直线与平面平行的性质定理：一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任
一平面与此平面的交线与该直线平行。

简记为：线面平行则线线平行。

符号表示：
a ∥α
a β a∥b
α∩β= b
作用：利用该定理可解决直线间的平行问题。

2、两个平面平行的性质定理：如果两个平行的平面同时与第三个平面相交，那
么它们的交线平行。

符号表示：
α∥β
α∩γ=a a∥b
β∩γ=b
作用：可以由平面与平面平行得出直线与直线平行
2.3直线、平面垂直的判定及其性质
2.3.1直线与平面垂直的判定
1、定义：如果直线L与平面α内的任意一条直线都垂直，我们就说直线L与平
面α互相垂直，记作L⊥α，直线L叫做平面α的垂线，平面α叫做直线L的垂
面。

如图，直线与平面垂直时,它们唯一公共点P叫做垂足。

P
a
L
2、直线与平面垂直的判定定理：一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，
则该直线与此平面垂直。

注意点： a)定理中的“两条相交直线”这一条件不可忽视；
b)定理体现了“直线与平面垂直”与“直线与直线垂直”互相转化的数学思想。

2.3.2平面与平面垂直的判定
1、二面角的概念：表示从空间一直线出发的两个半平面所组成的图形
A
梭 l β
B
α
2、二面角的记法：二面角α-l-β或α-AB-β
3、两个平面互相垂直的判定定理：一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直。

2.3.3 —2.3.4直线与平面、平面与平面垂直的性质
1、直线与平面垂直的性质定理：垂直于同一个平面的两条直线平行。

2、两个平面垂直的性质定理：两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直。

17．(本题15分)如图，ABCD是正方形，O是正方形的中心，
PO⊥底面ABCD，E是PC的中点．
求证：（1）PA∥平面BDE；
（2）平面PAC⊥平面BDE．
D
A B C
O E
P
16．(本题10分)
如图所示，在直三棱柱111C B A ABC -中，︒=∠90ABC ，1CC BC =，M 、N 分别为1BB 、
11C A 的中点.
（Ⅰ）求证：11ABC CB 平面⊥； （Ⅱ）求证：1//ABC MN 平面. 18．（本题12分）
已知四棱锥P-ABCD ，底面ABCD 是ο60=∠A 、边长为a 的菱形，又ABCD PD 底面⊥，且PD=CD ，点M 、N 分别是棱AD 、PC 的中点． （1）证明：DN//平面PMB ；
（2）证明：平面PMB ⊥平面PAD ； （3）求点A 到平面PMB 的距离．
N
M B
P
D C
A
16．(本题10分) 如图所示，在直三棱柱111C B A ABC -中，︒=∠90ABC ，1CC BC =，
M 、N 分别为1BB 、11C A 的中点.
（Ⅰ）求证：11ABC CB 平面⊥； （Ⅱ）求证：1//ABC MN 平面.
解析：（Ⅰ）在直三棱柱111C B A ABC -中，
侧面C C BB 11⊥底面ABC ，且侧面C C BB 11∩底面ABC =BC ， ∵∠ABC =90°，即BC AB ⊥，
∴⊥AB 平面C C BB 11 ∵⊂1CB 平面C C BB 11，∴AB CB ⊥1. ……2分 ∵1BC CC =，1CC BC ⊥，∴11BCC B 是正方形， ∴11CB BC ⊥，∴11ABC CB 平面⊥. …………… 4分 （Ⅱ）取1AC 的中点F ，连BF 、NF . ………………5分 在△11C AA 中，N 、F 是中点，
∴1//AA NF ,12
1AA NF =
，又∵1//AA BM ,121
AA BM =，∴
BM NF //,BM NF =，………6分
故四边形BMNF 是平行四边形，∴BF MN //，…………8分
而BF ⊂面1ABC ，MN ⊄平面1ABC ，∴//MN 面1ABC ……10分
18．（本题12分）已知四棱锥P-ABCD ，底面ABCD 是ο
60=∠A 、边长为a 的菱形，又
ABCD PD 底面⊥，且PD=CD ，点M 、N 分别是棱AD 、PC 的中点．
（1）证明：DN//平面PMB ；
（2）证明：平面PMB ⊥平面PAD ； （3）求点A 到平面PMB 的距离．
解析：（1）证明：取PB 中点Q ，连结MQ 、NQ ，因为
M 、N 分别是棱AD 、PC 中点，所以
QN//BC//MD ，且QN=MD ，于是DN//MQ ．
PMB DN PMB DN PMB MQ MQ
DN 平面平面平面////⇒⎪⎭
⎪
⎬⎫⊄⊆.
…………………4分
（2）
MB PD ABCD MB ABCD PD ⊥⇒⎭
⎬⎫
⊆⊥平面平面
又因为底面ABCD 是ο60=∠A ,边长为a 的菱形，且M 为AD 中点， 所以AD MB ⊥.又
所以PAD MB 平面⊥.
.PAD PMB PMB MB PAD MB 平面平面平面平面⊥⇒⎭
⎬⎫
⊆⊥………………8分
（3）因为M 是AD 中点，所以点A 与D 到平面PMB 等距离.
过点D 作PM DH ⊥于H ，由（2）平面PMB ⊥平面PAD ，所以PMB DH 平面⊥．
故DH 是点D 到平面PMB 的距离.
.55252a a a
a DH =⨯=
17．(本题15分)证明（1）∵O 是AC 的中点，E 是PC 的中点，
∴OE∥AP， ………………4分 又∵OE ⊂平面BDE ，PA ⊄平面BDE ，
∴PA∥平面BDE ． ………………7分 （2）∵PO ⊥底面ABCD ，
∴PO ⊥BD ， ………………10分 又∵AC ⊥BD ，且AC I PO=O
∴BD ⊥平面PAC ，而BD ⊂平面BDE ， ………………13分 ∴平面PAC ⊥平面BDE ． ………………15分
（１）当点为对角线的中点时，点的坐标是．
因为点在线段上，设．
．
当时，的最小值为，即点在棱的中点时，有最小值．（２）因为在对角线上运动．是定点，所以当
时，最短．因为当点为棱的中点时，，是等腰三角形，所以，当点是的中点时，取得最小值．
（３）当点在对角线上运动，点在棱上运动
时，的最小值仍然是．
证明：如下图，设，由正方体的对称性，显然有．
设在平面上的射影是．在中，，所以，即有．
所以，点的坐标是．
由已知，可设，则
．
当时，取得最小值，最小值是．。