第五章习题及答案-3

第五章 线性系统的频域分析与校正

练习题及答案——3

5-38 设单位反馈系统的开环传递函数

G s K

s s s ()()()=

++39

（1）如果要求系统在单位阶跃输入作用下的超调量σ％=20％，试确定Ｋ值；

（2）根据所求得的Ｋ值，求出系统在单位阶跃输入作用下的调节时间s t ，以及静态速度误差系数V K ；

（3）设计一串联校正装置，使系统的20≥V K ，σ％≤17％，s t 减小到校正前系统调节时间的一半以内。

(1) 由式(5-81): σ=+-016041..()M r M r =

-+=

-+=σ016

04102016

04

111 (1)

由(6-8), γ

sin 1

=r M

04.651

arcsin ==r

M γ （2）

又 9

arctan 3arctan 90180)(180000ω

ωωγ---=∠-=c j G

（3） 式(2)、(3)联立： 0006.244.65909

arctan

5

arctan

=-=+c

c

ωω

tg c c 24627120

2

.[]⋅-=ωω ωωc c 2

2621270+-=. 解出： ωc =1 , (ωc =272.舍去）

∴ 开环增益 K K

c 039

1=

⨯==ω ∴ K =27

(2) 依式(5-82)： t M M s r r c

=

+-+-=21512516762.().().π

ω 依题有： 10==K K v (3) 依题要求

K K

K v =

≥≥27

20540

σγ

%....(

sin )()

≤≈=+--015016016041

169 ∴

≈︒γ90

t t s s '

..≤=

=26672

338 由第(2)步设计结果 t s =667.对应于ωc =1。由频域时域的反比关系（ξ一定时），应取: ωωc c rad s '

(/)==22

作出K v =20的原系统开环对数幅频特性曲线L ()ω如图解5-38所示：

ωc =

⨯=320775.

︒-=--︒-︒=55.199

75

.7arctan 375.7arctan

90180γ （系统不稳定） 在ωc '

=2处，原系统相角储备：

︒=--︒-︒=78.439

2

arctan 32arctan

901802γ 需采用迟后—超前校正方法。超前部分需提供超前角

ϕγγm =-+︒=︒-︒+︒=︒2590437855122..

查课本图5-65(b),对应超前部分应满足：

a a ≈=101010lg

在ωc '

=2处定出Ｃ使=，过Ｃ作+20dB/dec 直线（D 、E 相距10倍频，C 位于D 、E 的中

点），交出D 、E ，得

ωωD E ==06363..

定F 点使ωωF c =⨯=0102..'

,过F 作-20dB/dec 斜率直线交频率轴于G ，得ωG =00063.

∴=++++G s s s s s c ()(

.)(.)(.)(.)02106100063163

1 G s G s s s s s s s s c ()()(.)(.)()()(.)(.)=++++++20021061319100063163

1

验算：

3

.62arctan 0063.02arctan 92arctan 32arctan 9063.02arctan 2.02arctan

180 ----︒-++︒=γ =︒+︒+︒-︒-︒-︒-︒-︒=︒>︒180

84297252903369125989821761931590....... σ%%≈15 查图5-61 63632

315338.'...ωc ==< （符合要求）

得出满足要求的串联校正装置传递函数：

G s s s s s c ()(

.)(.)(.)(.)=++++02106100063163

1

5-39 图5-87为三种推荐的串联校正网络的对数幅频特性，它们均由最小相角环节组成。若原控制系统为单位反馈系统，其开环传递函数 G s s s ()(.)

=+400

00112

试问：

（1）这些校正网络中，哪一种可使校正后系统的稳定程度最好？

（2）为了将12Hz 的正弦噪声削弱101左右，你确定采用哪种校正网络？

解 （1）

(a) 采用迟后校正时，校正装置的传递函数为 1

101

)(++=

s s s G ca

校正后系统开环传递函数为 )

110)(101.0()

1(400)()(2+++=

⋅s s s s s G s G Ca

画出对数幅频特性曲线如图解5-39中曲线a L 所示： 截止频率 32.6104=⨯=

ca ω

相角裕度 ︒-=+︒=7.11)(180ca a a ωϕγ （系统不稳定）

(b) 采用超前校正时，校正装置的传递函数为 1

01.01

1.0)(++=s s s G cb

校正后系统开环传递函数为 2

2)

101.0()

11.0(400)()(++=

⋅s s s s G s G Cb 画出对数幅频特性曲线如图解5-39中曲线b L 所示：

截止频率 4010

201022

0===

ωωcb 相角裕度 ︒=+︒=36.32)(180cb b b ωϕγ

(c) 采用迟后-超前校正时，校正装置的传递函数为 )

102.0)(110()15.0()(2

+++=s s s s G cc

校正后系统开环传递函数为 )

1025.0)(110)(101.0()15.0(400)()(22

++++=⋅s s s s s s G s G cc

画出对数幅频特性曲线如图解5-39中曲线c L 所示：

截止频率 1040

202

20===cb cc ωωω

相角裕度 ︒=+︒=21.48)(180cc c c ωϕγ

可见，采用迟后校正时系统不稳定；采用迟后-超前校正时稳定程度最好，但响应速度