初中数学青岛版八年级上册第5章 几何证明初步5.6 几何证明举例-章节测试习题(2)

章节测试题

1.【题文】如图所示，△ABC中，AB，AC的垂直平分线分别交BC于点D，E，已知△ADE的周长为12 cm，求BC的长．

【答案】BC＝12 cm．

【分析】由AB、AC的垂直平分线分别交BC于D、E，垂足分别是M、N，根据线段垂直平分线的性质，可得AD=BD，AE=EC，继而可得△ADE的周长等于BC 的长；

【解答】解：

因为AB，AC的垂直平分线分别交BC于点D，E，

所以DA＝DB，EA=EC，

所以BC＝BD＋DE＋EC＝DA十DF＋AE，即为△ADE的周长．

又因为△ADE的周长为12 cm，

所以BC＝12 cm．

2.【题文】如图所示，已知AB＝AC＝20 cm，DE垂直平分AB，垂足为E，DE 交AC 于点D，若△DBC的周长为35 cm，求BC的长．

【答案】BC=15 cm．

【分析】由DE垂直平分AB，根据线段垂直平分线的性质，即可求得AD=BD，又由△DBC的周长为35cm，易得BC+AC=35cm，继而求得BC长.

【解答】解：

∵DE垂直平分AB，

∴AD=BD，

∵△DBC的周长为35cm，

∴BC+BD+CD=BC+AD+CD=BC+AC=35cm，

∵AC=20cm，

∴BC=15cm．

3.【题文】如图所示，在△ABC中，∠A＝90°，AC＝8 cm，AB＝6 cm，BC边的垂直平分线DE交BC于E，交AC于D，求△ABD的周长．

【答案】△ABD的周长为14 cm．

【分析】直接利用线段垂直平分线的性质得出BD=DC，进而得出答案；

【解答】解：

∵DF垂直平分BC，

∴BD＝DC，

∴AC=AD＋DC=AD＋BD＝8 cm．

又∵AB＝6 cm，

∴AB＋AD＋DB＝14 cm，即△ABD的周长为14 cm．

4.【题文】如图,已知点P为∠MON内一点,点P与点A关于直线ON对称,点P与点B关于直线OM对称.连接AB,交ON于D点,交OM于C点,若AB长为15 cm,求△PCD的周长.

【答案】15 cm.

【分析】由点P与点A关于直线ON对称，点P与点B关于直线OM对称可得：ON垂直平分AP，OM垂直平分BP；根据垂直平分线的性质可得DA=DP，

CP=CB，通过等量代换得到△PCD的周长与AB的数量关系，即可求解.

【解答】解：∵点P与点A关于直线ON对称，点P与点B关于直线OM对称，

∴ON垂直平分AP，OM垂直平分BP，

∴DA=DP，CP=CB，

∴△PCD的周长=PD+PC+CD=AD+DC+CB=AB=15cm.

5.【题文】如图,已知直线l是AB的垂直平分线,M是直线l上的一点,D,E是AB上不同的点,则AM=BM吗?MD=ME吗?

【答案】AM=BM,无法判断MD是否等于ME.

【分析】由M在线段AB的垂直平分线l上，根据“线段的垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等”即可判断AM=BM成立；根据直线l不一定是DE的垂直平分线，则无法判断MD与ME的大小关系.

【解答】解：∵l是AB的垂直平分线，

∴AM=BM．

由于D、E是AB上任意两点，所以MD不一定等于ME，只有当l经过DE的中点时，MD=ME．

6.【题文】如图，△ABC中，D、E在AB上，且D、E分别是AC、BC的垂直平分线上一点．

（1）若△CDE的周长为4，求AB的长；

（2）若∠ACB=100°，求∠DCE的度数；

（3）若∠ACB=a（90°＜a＜180°），则∠DCE=___________.

【答案】（1）4；（2）20°；（3）2α-180°.

【分析】（1）根据线段的垂直平分线的性质得到DC=DA，EC=EB，根据三角形的周长公式计算即可；

（2）根据三角形内角和定理求出∠A+∠B的度数，根据等腰三角形的性质求出∠DCA+∠ECB，根据题意计算即可；

（3）根据（2）的方法解答．

【解答】解：（1）∵D、E分别是AC、BC的垂直平分线上一点，

∴DC=DA，EC=EB，

∵△CDE的周长=DC+DE+EC=4，

∴DA+DE+EB=4，即AB的长为4；

（2）∵∠ACB=100°，

∴∠A+∠B=80°，

∵DC=DA，∴∠DCA=∠A，

∵EC=EB，∴∠ECB=∠B，

∴∠DCA+∠ECB=80°，

∴∠DCE=100°-80°=20°；

（3）∵∠ACB=α，

∴∠A+∠B=180°-α，

∵DC=DA，∴∠DCA=∠A，

∵EC=EB，∴∠ECB=∠B，

∴∠DCA+∠ECB=180°-α，

∴∠DCE=α-180°+α=2α-180°，

故答案为：2α-180°．

7.【题文】如图，已知在△ABC中，∠C=90°，AB的垂直平分线MN交BC于点

D.

（1）如果∠CAD=20°，求∠B的度数；

（2）如果∠CAB=50°，求∠CAD的度数；

（3）如果∠CAD：∠DAB=1：2，求∠CAB的度数.

【答案】（1）∠B＝35°；（2）∠CAD=10°；（3）∠CAB=54°.

【分析】（1）根据直角三角形的性质求出∠ADC=70°，根据线段的垂直平分线的性质得到DA=DB，计算即可；

（2）根据直角三角形的性质求出∠B的度数，根据线段的垂直平分线的性质得到DA=DB，计算即可；

（3）设∠CAD=x，根据题意列出方程，解方程即可．

【解答】解：（1）∵∠C=90°，∠CAD=20°，

∴∠ADC=70°，

∵DE是AB的垂直平分线，

∴DA=DB，

∴∠DAB=∠B=35°，

答：∠B的度数是35°；

（2）∵∠C=90°，∠CAB=50°，

∴∠B=40°，

∵DE是AB的垂直平分线，

∴DA=DB，

∴∠DAB=∠B=40°，

∴∠CAD=10°；