第三章 计算机控制系统的数学基础(学生版)

部分分式法求Z变换 部分分式法求 变换 留数计算法求Z变换 留数计算法求 变换
连续函数G(S) 连续函数 离散为G(Z) 离散为
部分分式法求Z变换 查表法补充） 变换（ • 部分分式法求 变换（查表法补充）
si为F ( s )单重根，s j为F ( s ) N重根则：
An A1 A2 F ( s) = + + ..... s − s1 s − s2 s − sn BN −1 BN B1 B2 + + + ..... + 2 N −1 N s − s j (s − s j ) (s − s j ) (s − s j )
n =0 ∞
F ( z) =
k = −∞ n = 0
[∑ f1 (nT ) f 2 ([k − n]T ) z − k ] ∑
∞
∞
= F1 ( z ) F2 ( z )
•终值定理例题
0.792 z (1) F ( z ) = ( z − 1)( z 2 − 0.416 z + 0.208) 10 z (2) F ( z ) = ( z − 1)( z − 2) f (∞) = −10 ， (k ) = 10(2 f
n=10;yk1=1;yk2=0;rk=1; for k=2:n yk=5*yk1-6*yk2+rk; [k,yk] yk2=yk1; yk1=yk; end
3.2
z 变换
1. Z变换的定义及常用函数的 变换 变换的定义及常用函数的Z变换 变换的定义及常用函数的 2. Z变换的性质 变换的性质 3. 求Z变换 变换 3. 用Z变换解线性常系数差分方程 变换解线性常系数差分方程
F (s) = s+2 , 求其相应采样函数的Z变换 2 s ( s + 1) ( s + 3)
c1 c2 c3 c4 F (s) = + + + 2 s +1 ( s + 1) s s + 3 其中 c1 = d {( s + 1 ) 2 F ( S )} ds
2 S = −1
= −
3 = 0 . 75 4
1.
Z变换的定义及常用函数的 变换 变换的定义及常用函数的Z变换 变换的定义及常用函数的
变换定义为: (一)对于序列 f (KT )其Z变换定义为:
F ( z ) = ∑ f (kT )z
k =0
∞
−k
= f (0) + f (T ) z −1 + f (2T ) z − 2 + ..........
Ts T k =0
= ∑ f (kT )z − k
k =0
∞
两点注意： 两点注意： 1、函数的Z变换表示的是各个离散点的信息 、函数的 变换表示的是各个离散点的信息 2、连续函数的Z变换指的是函数采样后、采样点的信息 、连续函数的 变换指的是函数采样后 变换指的是函数采样后、 具有相同Z变换形式的连续函数可以是不同的 具有相同 变换形式的连续函数可以是不同的
即： y ( k + n) = − ∑ a j y ( k + n − j ) + ∑ b j r ( k + m − j )
j =1 j =0 n m
n≥m
后向型差分方程： 后向型差分方程：
y (k ) + a1 y (k − 1) + a2 y (k − 2) + .........an y (k − n) = b0 r (k ) + b1r (k − 1) + b2 r (k − 2) + .........bm r (k − m)
留数计算法求Z变换 补充） 变换（ •留数计算法求 变换（补充）
z F ( Z ) = ∑ ( s − si ) F ( S ) sT z −e i =1
n
s = si
N −1 1 d z N + [( s − s j ) F ( s ) ] N −1 sT z − e S =S ( N − 1)! ds j
部分分式MATLAB程序 程序2 部分分式 程序
2s + 5s + 3s + 6 G ( s) = 3 s + 6s 2 + 11s + 6
3 2
num=[2,5,3,6]; den=[1,6,11,6]; [r,p,k]=residue(num,den)
−6 −4 3 G (s) = + + +2 s + 3 s + 2 s +1
即： y ( k ) = −∑ a j y (k − j ) + ∑ b j r ( k − j )
j =1 j =0 n m
n≥m
2、差分方程求解 、
差分方程的求解方法有：经典法、叠代法、 变换法 变换法。 差分方程的求解方法有：经典法、叠代法、z变换法。 关于差分方程解的两个概念： 关于差分方程解的两个概念： ① 零输入响应 作用时， 当系统中无输入函数 r(k) 作用时，系统可由其齐 次差分方程描述。 次差分方程描述。 ② 零状态响应 当输入函数 r(k) 作用于系统之前，系统是静止的， 作用于系统之前，系统是静止的， 系统的响应完全是由输入引起的， 系统的响应完全是由输入引起的，既：
y (−1) = y (−2) = .......... = y (−n) = 0
叠代法（手算和 编程） 叠代法（手算和MATLAB编程） 编程
y (k ) = 5 y (k − 1) − 6 y (k − 2) + r (k )输入序列r (k ) = 1 系统初始条件：y (0) = 0, y (1) = 1
2 k +1 2 2
f (∞ ) = 1
− 1)
z ( z + z + 2) (3) F ( z ) = 2 ( z − 1)( z − 0.5) 2 11 k f (∞) = 4 ， f (k ) = 4 + (−1) − (0.5) k 3 3
3.求Z变换 求 变换
• • •
按定义求Z变换 级数求和 按定义求 变换(级数求和 变换 级数求和)
• 计算机控制系统典型结构一
• 计算机控制系统典型结构二
• 计算机控制系统典型结构三 D(z)=U(z)/E(z)
U(z)
PID控制器的控制算法（差分方程） 控制器的控制算法（差分方程） 控制器的控制算法
3.1 差分方程
1.差分方程的一般概念 差分方程的一般概念 2.差分方程的求解 差分方程的求解
c 2 = {( s + 1 ) F ( S )} c3 c4
S = −1
1 = = 0 .5 2
2 = { sF ( S )} S = 0 = = 0 . 0667 3 1 = {( s + 3 ) F ( S )} S = − 3 = = 0 . 0833 12
MATLAB程序
F=sym('(s+2)/(s*(s+1)^2*(s+3))'); [numF,denF]=numden(F); PnumF=sym2poly(numF); PdenF=sym2poly(denF); [R,P,K]=residue(PnumF,PdenF)
•留数计算法求 变换例题 留数计算法求Z变换例题 留数计算法求
d z 1 2 F ( z) = { [( s + 1) F ( s ) ]}s = −1 sT z −e (2 − 1)! ds z z + [ sF ( s ) ] + [( s + 3) F ( s ) ] sT s = 0 sT s = −3 z −e z −e −T 2 −T − 2Tze − 3e + 3 ze 2 z 1 z = + + −T 2 −3T 4( z − e ) 3 z − 1 12 z − e
−1
Ζ[ f (t + nT )] = Z [ f (k + n)T ] = z ( F ( z ) − ∑ z j f ( jT ))
n j =0
n −1
(1 − z −1 ) F ( z )的极点必须位于Z平面的单位圆内
(8)卷积定理（序列卷积）
f (kT ) = f1 (kT ) * f 2 (kT ) = f1 (0) f 2 (kT ) + f1 (T ) f 2 [(k − 1)T ] + ........ + f1 (kT ) f 2 (0) = ∑ f1 (nT ) f 2 ([k − n]T )
第三章 计算机控制系统的数学基础
3.0 概述 3.1 差分方程 3.2 z 变换 3.3 逆z 变换 3.4 脉冲传递函数
主要参考书： 主要参考书：
１、＜自动控制理论基础＞ 、＜自动控制理论基础＞ 自动控制理论基础
戴忠达 主编 清华大学出版社
第六章：采样离散控制系统 第六章：
２、＜计算机控制系统＞ 、＜计算机控制系统＞ 计算机控制系统
(2)求和定理（叠加定理） (2)求和定理（叠加定理） 求和定理
•叠加定理例题
0 = ) f (k ) = {1((kk=10, 2,3......) 是滞后一拍的单位阶跃序列 已知
y (k ) = ∑ f ( j ) = k
j =0
k
求F（Z） （ ）
Y ( z ) = Ζ( ∑
j =0
k
1 z f ( j )) = F ( z) = −1 −1 2 1− z (1 − z )
高金源 主编 高等教育出版社
第３章：计算机控制系统的数学描述
3.0 概述
计算机控制系统中，被控对象的参数往往是模百度文库量， 计算机控制系统中，被控对象的参数往往是模拟量， 如速度、压力、流量、液位等， 如速度、压力、流量、液位等，而计算机系统在离散 时刻起控制作用，因此系统中包含了模拟信号、 时刻起控制作用，因此系统中包含了模拟信号、离散 信号和经过量化得到的数字信号。 信号和经过量化得到的数字信号。分析和设计计算机 控制系统必须以它的数学模型为基础， 控制系统必须以它的数学模型为基础，并根据计算机 控制系统的特点进行具体分析和处理。从本质上讲， 控制系统的特点进行具体分析和处理。从本质上讲， 计算机控制系统隶属于离散时间系统。 计算机控制系统隶属于离散时间系统。本章将介绍离 变换分析方法， 散系统的数学描述和 z 变换分析方法，以便分析线性 离散系统的性能，为设计系统准备。 离散系统的性能，为设计系统准备。
N Ai Bk =∑ +∑ k i =1 s − si k =1 ( s − s j ) n
Ai = ( s − si ) F ( s ) s = s
i
1 d N −k Bk = ( s − s j ) N F ( s) ( N − k )! ds N − k s=s
j
•部分分式法求Z变换例题 部分分式法求 变换例题
经典法（不作介绍） 经典法（不作介绍） 叠代法（计算机编程实现 叠代法（计算机编程实现--MATLAM） ） Z变换法（本章重点介绍） 变换法（本章重点介绍） 变换法
1.差分方程的一般概念 差分方程的一般概念
n 阶常系数线性差分方程 阶常系数线性差分方程: 前向型差分方程： 前向型差分方程：
y (k + n) + a1 y (k + n − 1) + a2 y (k + n − 2) + .........an y (k ) = b0 r (k + m) + b1r (k + m − 1) + b2 r (k + m − 2) + .........bm r (k )
第二步： 利用已知的初始条件或求出初始条件， 第二步： 利用已知的初始条件或求出初始条件，代入 第三步； 求出Y（ ） 第三步； 求出 （Z） 采用求逆Z变换的方法求出 第四步 ； 采用求逆 变换的方法求出y (k )
(二)常用函数的 变换 课本 二 常用函数的 变换(课本 常用函数的z 课本P68表3.2) 表
2．z变换的性质和定理 ． 变换的性质和定理
z变换有很多重要性质，可用于计算或直接分析离 变换有很多重要性质， 散控制系统，其中最常用的性质叙述如下。 散控制系统，其中最常用的性质叙述如下。 (1)线性性质
4.用 4.用z变换法解线性常系数差分方程
第一步： 对差分方程做Z变换 第一步： 对差分方程做 变换
Ζ( y (k + n)) = z nY ( z ) − ∑ z n − j y ( j )
j =0 n −1
= z n [Y ( z ) − ∑ z j y ( j )]
j =0
n −1
Ζ( y (k − n)) = z − nY ( z )
连续函数f(t） 连续函数 ）
采样函数 f *(t)
离散序列 f (KT )
f * (t ) = ∑ f (kT )δ (t − kT )
k =0 ∞
∞
F * ( s ) = ∑ f (kT )e − ksT
k =0
Z =e
sT ∞ −k
F * ( s ) s = 1 ln z = F ( Z ) = ∑ f (kT )(e )