高中数学圆锥曲线和导数知识点总结
圆锥曲线的导数知识点总结
圆锥曲线的导数知识点总结在微积分中，导数是一个非常重要的概念。
导数可以用来描述曲线在某一点的斜率，以及曲线在该点的变化率。
在这篇文章中，我们将讨论圆锥曲线的导数，并总结相关的知识点。
圆锥曲线是指由一个平面直线在一个固定的点上旋转而成的曲线。
常见的圆锥曲线包括圆、椭圆、抛物线和双曲线。
在这篇文章中，我们将讨论这些不同类型的圆锥曲线的导数，并总结它们的特点。
首先，让我们来看看圆的导数。
圆的方程可以表示为 x^2 + y^2 = r^2，其中 r 表示圆的半径。
我们可以使用隐式求导法来求得圆在任意点的导数。
首先，我们对方程两边同时对 x求导，得到 2x + 2y(dy/dx) = 0。
然后，解出 dy/dx，得到 dy/dx = -x/y。
这就是圆在任意点的导数公式。
从这个式子中我们可以看出，圆的导数是一个关于 x 和 y 的函数，它随着坐标点的不同而不同。
接下来，让我们来看看椭圆的导数。
椭圆的一般方程可以表示为 x^2/a^2 + y^2/b^2 = 1。
我们可以使用同样的方法来求得椭圆在任意点的导数。
首先，对方程两边分别对 x 和 y 求导，得到 2x/a^2 + 2y/b^2(dy/dx) = 0。
然后，解出 dy/dx，得到 dy/dx = -x(a^2/b^2)/y。
和圆一样，椭圆的导数也是一个关于 x 和 y 的函数，它随着坐标点的不同而不同。
抛物线是另一种常见的圆锥曲线。
对于一般的抛物线方程 y = ax^2 + bx + c，我们可以使用求导法则来求得抛物线在任意点的导数。
对 y 关于 x 求导，得到 dy/dx = 2ax + b。
可以看出，抛物线的导数是一个关于 x 的线性函数。
这意味着抛物线在每个点的导数都是一条直线，斜率由抛物线的二次项系数 a 决定。
最后，让我们来看看双曲线的导数。
对于一般的双曲线方程 x^2/a^2 - y^2/b^2 = 1，我们可以使用同样的方法来求得双曲线在任意点的导数。
导数与圆锥曲线内容总结
高二下学期期中复习一、导数1．导数的概念：f ′（x ）= 0lim→∆x xx f x x f ∆-∆+)()(，导函数也简称导数.2．导数的几何意义和物理意义几何意义：曲线f （x ）在某一点（x 0，y 0）处的导数是过点（x 0，y 0）的切线斜率. ⑴函数f(x)在点x 0处有导数，则函数f(x)的曲线在该点处必有切线，且导数值是该切线的斜率；但函数f(x)的曲线在点x 0处有切线，函数f(x)在该点处不一定可导。
如f(x)=x 在x=0有切线，但不可导。
⑵函数y=f(x)在点x 0处的导数的几何意义是指：曲线y=f(x)在点P(x 0,f(x 0))处切线的斜率,即曲线y=f(x)在点P(x 0,f(x 0))处的切线的斜率是f ′(x 0),切线方程为y －f(x 0)=f ′(x 0)(x －x 0)如：①（2004年湖南，13）过点P （－1，2）且与曲线y =3x 2－4x +2在点M （1，1）处的切线平行的直线方程是______.（2x －y +4=0）.②点P 在曲线y =x 3－x +32上移动，设点P 处切线的倾斜角为α，求α的范围. 解：∵tan α=3x 2－1， ∴tan α∈［－1，+∞）. 当tan α∈［0，+∞）时，α∈［0，2π）； 当tan α∈［－1，0）时，α∈［43π，π）.∴α∈［0，2π）∪［43π，π）.3.求导公式：C ′=0（C 为常数）；（x n ）′=nx n －1;（sin x ）′=cos x ;（cos x ）′=－sin x ;（e x）′=e x; （a x）′=a xln a ;（ln x ）′=x 1;（log a x ）′=x1log a e.. 4.运算法则如果f （x ）、g （x ）有导数，那么［f （x ）±g （x ）]'=f '（x ）±g ′（x ），［c ·f （x ）]'=c f '（x ）. ;（uv ）′=u ′v +uv ′;（v u ）′=2vv u v u '-' （v ≠0）. 5．导数的应用：（一）.用导数求函数单调区间的一般步骤. ⑴确定函数f(x)的定义区间； ⑵求函数f(x)的导数f ′(x)；⑶令f ′(x)>0，或者“0≥”所得x 的范围（区间）为函数f(x)的单调增区间； 令f ′(x)<0，或者“0≤”得单调减区间.特别注意：已知函数式求其单调性与已知单调区间求参数的范围的区别。
圆锥曲线所有知识点和二级结论
圆锥曲线是解析几何学中的重要内容，它包括椭圆、双曲线和抛物线三种基本形式。
它们在数学、物理、工程等领域均有重要应用，具有广泛的研究价值。
下面将从几何、代数、物理等多个角度对圆锥曲线进行系统介绍和分析。
一、圆锥曲线的概念圆锥曲线的定义：在平面上依旧定点F到平面上所有定点P的距离的比值（|PF|/|PM|）为常数e（e>1）的动点M所得的轨迹即为双曲线。
在平面上的直线l与定点F的距离与到定点P的距离的比值始终为常数e（0<e<1）时，动点P所得的轨迹即为椭圆。
在平面上的直线上的所有点P到定点F的距离与到直线l的距离的差始终为常数e时，点P的轨迹即为抛物线。
二、椭圆的知识点1. 定义及表示：椭圆是平面上到两个定点F1和F2的距离之和等于常数2a的所有点P的集合。
2. 几何性质：椭圆有等轴对称性、焦点F1和F2为椭圆的两个焦点、平行于长轴或短轴的弦都过椭圆的焦点、焦距等于长轴长度、离心率等于c/a（c为焦距，a为长轴半径）等。
3. 参数方程：椭圆的参数方程为x = a*cos(t), y = b*sin(t)，其中t为参数。
4. 离心率：离心率e的定义，离心率与长短轴的关系。
三、双曲线的知识点1. 定义及表示：双曲线是平面上到两个定点F1和F2的距离之差等于常数2a的点P的集合。
2. 几何性质：双曲线有两条渐近线、两个焦点F1和F2、两个顶点、离心率等于c/a（c为焦距，a为顶点到中心的距离）等。
3. 参数方程：双曲线的参数方程为x = a * cosh(t), y = b * sinh(t)，其中t为参数。
4. 离心率：离心率e的定义，离心率与距离关系。
四、抛物线的知识点1. 定义及表示：抛物线是平面上到定点F和直线l的距离相等的点P 的集合。
2. 几何性质：抛物线有顶点、准直线、对称轴、离心率等。
3. 参数方程：抛物线的参数方程为x = a * t^2, y = 2*a*t，其中t为参数。
高中数学-圆锥曲线知识点
高中数学-圆锥曲线知识点解析几何是数学中的一个重要分支，它研究的是几何图形在坐标系中的性质和变换。
其中，圆锥曲线是解析几何中的重要内容之一，下面将介绍椭圆和双曲线的知识点。
一、椭圆1、定义：椭圆是平面内与两定点F1、F2的距离之和（大于│F1F2│）为常数的点的轨迹。
其中，定点F1、F2叫做椭圆的焦点，两焦点之间的距离│F1F2│叫做椭圆的焦距。
注：2a＞│F1F2│非常重要，因为当2a＝│F1F2│时，其轨迹为线段F1F2；当2a＜│F1F2│时，其轨迹不存在。
2、标准方程、图形和性质：椭圆的标准方程为│MF1│+│MF2│=2a(a＞0)，其中M为椭圆上任一点。
椭圆的焦点在y项系数的大小决定，由x、y项系数的大小关系可以确定椭圆的长轴、短轴、焦距、焦点坐标、离心率和顶点坐标等性质。
椭圆的离心率e＝(＜e＜1)，长轴长＝2a，短轴长＝2b，焦点在长轴上，对称轴为x轴或y轴，原点是对称中心。
二、双曲线1、定义：双曲线是平面内与两定点F1、F2的距离之差（小于│F1F2│）为常数的点的轨迹。
其中，定点F1、F2叫做双曲线的焦点，两焦点之间的距离│F1F2│叫做双曲线的焦距。
2、标准方程、图形和性质：双曲线的标准方程为│MF1│-│MF2│=2a(a＞0)，其中M为双曲线上任一点。
双曲线的焦点在y项系数的大小决定，由x、y项系数的大小关系可以确定双曲线的长轴、短轴、焦距、焦点坐标、离心率和顶点坐标等性质。
双曲线的离心率e＞1，长轴长＝2a，短轴长＝2b，焦点在长轴上，对称轴为x轴或y轴，原点是对称中心。
以上是解析几何中椭圆和双曲线的基本知识点，掌握了这些知识，可以更好地理解和应用解析几何。
双曲线是一种与两个定点和一个常数有关的点的轨迹，其轨迹上满足两个定点到该点距离之差的绝对值小于定点之间距离的常数。
这两个定点分别称为双曲线的焦点，该常数为双曲线的焦距。
对于双曲线上的任意一点M，其到焦点F1和F2的距离之差的绝对值减去焦距的结果为常数2a。
(完整版)高中数学圆锥曲线知识点总结
高中数学知识点大全—圆锥曲线一、考点（限考）概要：1、椭圆：（1）轨迹定义：①定义一：在平面内到两定点的距离之和等于定长的点的轨迹是椭圆，两定点是焦点，两定点间距离是焦距，且定长2a大于焦距2c。
用集合表示为：；②定义二：在平面内到定点的距离和它到一条定直线的距离之比是个常数e，那么这个点的轨迹叫做椭圆。
其中定点叫焦点，定直线叫准线，常数是离心率用集合表示为：；（2）标准方程和性质：注意：当没有明确焦点在个坐标轴上时，所求的标准方程应有两个。
（3）参数方程：（θ为参数）；3、双曲线：（1）轨迹定义：①定义一：在平面内到两定点的距离之差的绝对值等于定长的点的轨迹是双曲线，两定点是焦点，两定点间距离是焦距。
用集合表示为：②定义二：到定点的距离和它到一条定直线的距离之比是个常数e，那么这个点的轨迹叫做双曲线。
其中定点叫焦点，定直线叫准线，常数e是离心率。
用集合表示为：（2）标准方程和性质：注意：当没有明确焦点在个坐标轴上时，所求的标准方程应有两个。
4、抛物线：（1）轨迹定义：在平面内到定点和定直线的距离相等的点的轨迹是抛物线，定点是焦点，定直线是准线，定点与定直线间的距离叫焦参数p。
用集合表示为：（2）标准方程和性质：①焦点坐标的符号与方程符号一致，与准线方程的符号相反；②标准方程中一次项的字母与对称轴和准线方程的字母一致;③标准方程的顶点在原点，对称轴是坐标轴，有别于一元二次函数的图像；二、复习点睛：1、平面解析几何的知识结构：2、椭圆各参数间的关系请记熟“六点六线，一个三角形”，即六点：四个顶点，两个焦点；六线：两条准线，长轴短轴，焦点线和垂线PQ；三角形：焦点三角形。
则椭圆的各性质（除切线外）均可在这个图中找到。
3、椭圆形状与e的关系：当e→0，c→0，椭圆→圆，直至成为极限位置的圆，则认为圆是椭圆在e=0时的特例。
当e→1，c→a椭圆变扁，直至成为极限位置的线段，此时也可认为是椭圆在e=1时的特例。
高中数学圆锥曲线和导数知识点总结
圆锥曲线方程 知识要点一、椭圆方程及其性质.1. 椭圆的第一定义：为端点的线段以无轨迹方程为椭圆21212121212121,2,2,2F F F F a PF PF F F a PF PF F F a PF PF ==+=+=+椭圆的第二定义：PFe d=，PF 点P 到定点F 的距离,d 为点P 到直线l 的距离 其中F 为椭圆焦点，l 为椭圆准线①椭圆的标准方程：12222=+b y a x 的参数方程为⎩⎨⎧==θθsin cos b y a x （20πθ ）（现在了解，后面选修4-4要详细讲）.②通径：垂直于对称轴且过焦点的弦叫做通径，椭圆通径长为ab 22③设椭圆：12222=+b y a x 上弦AB 的中点为M (x 0,y 0),则斜率k AB =22bx a y -,对椭圆：12222=+b x a y , 则k AB =2020a xb y -．弦长AB =⑸若P 是椭圆：12222=+b y a x 上的点.21,F F 为焦点，若θ=∠21PF F ，则21F PF ∆的面积为2tan2θb （可用余弦定理与a PF PF 221=+推导）. 若是双曲线，则面积为2tan b θ.二、双曲线方程及其性质.1. 双曲线的第一定义：的一个端点的一条射线以无轨迹方程为双曲线21212121212121,222F F F F a PF PF F F a PF PF F F a PF PF ==-=-=-双曲线的第二定义：PFe d=，PF 点P 到定点F 的距离,d 为点P 到直线l 的距离 其中F 为双曲线的焦点，l 为双曲线的准线 注：①双曲线标准方程：)0,(1),0,(12222 b a bx a y b a b y a x =-=-. 参数方程：⎩⎨⎧==θθtan sec b y a x 或⎩⎨⎧==θθsec tan a y b x . （现在了解，后面选修4-4要详细讲）②通径：垂直于对称轴且过焦点的弦叫做通径，椭圆通径长为ab 22③焦半径：对于双曲线方程12222=-b y a x （21,F F 分别为双曲线的左、右焦点或上、下焦点）aex MF a ex MF -=+=0201 构成满足aMF MF 221=-aex F M a ex F M +-='--='0201④设双曲线22221x y a b -=：上弦AB 的中点为M (x 0,y 0),则斜率k AB =2020b x a y ,对双曲线：22221y x a b -=, 则k AB =2020a xb y ．弦长AB=⑤常设与22221x y a b -=渐近线相同的双曲线方程为2222x y a bλ-=；常设渐近线方程为0mx ny ±=的双曲线方程为2222m x n y λ-=例如：若双曲线一条渐近线为x y 21=且过)21,3(-p ，求双曲线的方程？ ⑥从双曲线一个焦点到另一条渐近线的距离等于b⑦直线与双曲线的位置关系：将直线方程代入双曲线方程得到一元二次方程，讨论方程二次项系数和∆三、抛物线方程及其性质.抛物线的定义：PF d =，PF 为点P 到定点F 的距离,d 为点P 到直线l 其中F 为抛物线的焦点，l 为抛物线的准线设0 p ，抛物线的标准方程、类型及其几何性质：焦半径12x pPF +=12x pPF +=12y pPF +=12y pPF +=②px y 22=（或py x 22=）的参数方程为⎩⎨⎧==pt y pt x 222（或⎩⎨⎧==222pt y ptx ）（t 为参数）. （现在了解，后面选修4-4要详细讲）4.抛物线的焦半径、焦点弦.（抛物线中常用结论和方法）如图所示，抛物线方程为y 2＝2px (p ＞0)．(1)焦半径设A 点在准线上的射影为A 1，设A (x 1，y 1)，准线方程为x ＝－p 2，由抛物线定义|AF |＝|AA 1|＝x 1＋p2.抛物线上任意一条弦的弦长为21ka∆+ (2)关于抛物线焦点弦的几个结论设AB 为过抛物线y 2＝2px (p ＞0)焦点的弦，A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)，AB 中点为00(,)M x y ，直线AB 的倾斜角为θ，则①x 1x 2＝p 24，y 1y 2＝－p 2，12x x ≠时，有1222px x p k+=+②|AB |＝2p sin 2θ＝x 1＋x 2＋p =12222()pp x x k+≠，0AB p k y =，22sin AOB p S θ∆=③以AB 为直径的圆与准线相切；④焦点F 对A 、B 在准线上射影的X 角为90°； ⑤1|FA |＋1|FB |＝2p .四、圆锥曲线的统一定义..4. 圆锥曲线的统一定义：平面内到定点F 和定直线l 的距离之比为常数e 的点的轨迹.当10 e 时，轨迹为椭圆；当1=e 时，轨迹为抛物线；当1 e 时，轨迹为双曲线；当0=e 时，轨迹为圆（a ce =，当b a c ==,0时）.5. 圆锥曲线方程具有对称性. 例如：椭圆的标准方程对原点的一条直线与双曲线的交点是关于原点对称的.因为具有对称性，所以欲证AB=CD, 即证AD 与BC 的中点重合即可. 椭圆双曲线抛物线 定义1．到两定点F 1,F 2的距离之和为定值2a(2a>|F 1F 2|)的点的轨迹1．到两定点F 1,F 2的距离之差的绝对值为定值2a(0<2a<|F 1F 2|)的点的轨迹导数的基础知识一．导数的定义：0000000()()()'()'|lim()()()'()'limx x x x f x x f x y f x x x f x y xf x x f x y f x f x y x=∆→∆→+∆-====∆+∆-===∆1.(1).函数在处的导数: (2).函数的导数:2.利用定义求导数的步骤：①求函数的增量：00()()y f x x f x ∆=+∆-；②求平均变化率：00()()f x x f x y x x+∆-∆=∆∆；③取极限得导数：00'()lim x y f x x∆→∆=∆（下面内容必记）二、导数的运算：（1）基本初等函数的导数公式及常用导数运算公式：①'0()C C =为常数；②1()'nn x nx-=；11()'()'n n n x nx x---==-；1()'m mn n m x x n -==③(sin )'cos x x =； ④(cos )'sin x x =-⑤()'xxe e =⑥()'ln (0,1)xxa a a a a =>≠且； ⑦1(ln )'x x =； ⑧1(log )'(0,1)ln a x a a x a=>≠且 法则1：[()()]''()'()f x g x f x g x ±=±；(口诀：和差的导数等于导数的和差). 法则2：[()()]''()()()'()f x g x f x g x f x g x ⋅=⋅+⋅(口诀：左导右不导+左不导右导) 法则3：2()'()()()'()[]'(()0)()[()]f x f x g x f x g x g x g x g x ⋅-⋅=≠ (口诀：(上导下不导-上不导下导)÷下平方)（2）复合函数(())y f g x =的导数求法：(理科必须掌握)①换元，令()u g x =，则()y f u =②分别求导再相乘[][]'()'()'y g x f u =⋅③回代()u g x = 题型一、导数定义的理解 题型二：导数运算 1、已知()22sin f x x x π=+-，则()'0f =2、若()sin x f x e x =，则()'f x =3.)(x f =ax 3+3x 2+2 ，4)1(=-'f ，则a =（ ）319.316.313.310.D C B A 三．导数的物理意义1.求瞬时速度：物体在时刻0t 时的瞬时速度0V 就是物体运动规律()S f t =在0t t = 时的导数()0f t '，即有()00V f t '=。
圆锥曲线知识点整理
圆锥曲线知识点整理圆锥曲线是高中数学中的重要内容，包括椭圆、双曲线和抛物线。
下面我们来详细整理一下圆锥曲线的相关知识点。
一、椭圆1、定义平面内与两个定点 F₁、F₂的距离之和等于常数（大于|F₁F₂|）的点的轨迹叫做椭圆。
这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做焦距。
2、标准方程焦点在 x 轴上：＼（＼frac{x^2}｛a^2} ＋＼frac{y^2}｛b^2} ＝1\）（＼（a ＞ b ＞ 0\）），其中\（a\）为长半轴长，＼（b\）为短半轴长，＼（c\）为半焦距，满足\（c^2 ＝ a^2 b^2\）。
焦点在y 轴上：＼（＼frac{y^2}｛a^2} ＋＼frac{x^2}｛b^2} ＝1\）（＼（a ＞ b ＞ 0\））3、椭圆的性质（1）范围：对于焦点在 x 轴上的椭圆，＼（a ＼leq x ＼leq a\），＼（b ＼leq y ＼leq b\）；对于焦点在 y 轴上的椭圆，＼（b ＼leq x ＼leq b\），＼（a ＼leq y ＼leq a\）。
（2）对称性：椭圆关于 x 轴、y 轴和原点对称。
（3）顶点：椭圆有四个顶点，焦点在 x 轴上时，顶点坐标为\（（＼pm a, 0)＼），＼（（0, ＼pm b)＼）；焦点在 y 轴上时，顶点坐标为\（（0, ＼pm a)＼），＼（（＼pm b, 0)＼）。
（4）离心率：椭圆的离心率\（e ＝＼frac{c}｛a}＼），＼（0 ＜ e ＜ 1\），＼（e\）越接近 0，椭圆越接近于圆；＼（e\）越接近 1，椭圆越扁。
二、双曲线1、定义平面内与两个定点 F₁、F₂的距离之差的绝对值等于常数（小于|F₁F₂|）的点的轨迹叫做双曲线。
这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做焦距。
2、标准方程焦点在 x 轴上：＼（＼frac{x^2}｛a^2} ＼frac{y^2}｛b^2} ＝ 1\），其中\（a ＞ 0\），＼（b ＞ 0\），＼（c^2 ＝ a^2 ＋ b^2\）。
(同步讲解)圆锥曲线知识点总结
圆锥曲线知识点小结圆锥曲线在高考中的地位：圆锥曲线在高考数学中占有十分重要的地位，是高考的重点、热点和难点。
通过以圆锥曲线为载体，与平面向量、导数、数列、不等式、平面几何等知识进行综合，结合数学思想方法，并与高等数学基础知识融为一体，考查学生的数学思维能力及创新能力，其设问形式新颖、有趣、综合性很强。
(1).重视圆锥曲线的标准方程和几何性质与平面向量的巧妙结合。
(2).重视圆锥曲线性质与数列的有机结合。
(3).重视解析几何与立体几何的有机结合。
高考再现：2011年（文22）在平面直角坐标系x O y中，已知椭圆C：+ y2 = 1.如图所示，斜率为k（k＞0）且不过原点的直线l交椭圆C于A、B两点，线段AB的中点为E，射线OE交椭圆C于点G，交直线x = -3于点D（-3，m）.（1）求m2 + k2的最小值；（2）若∣OG∣2 =∣OD∣·∣OE∣, ①求证：直线l过定点；②试问点B、G能否关于x轴对称？若能，求出此时△ABG的外接圆方程；若不能，请说明理由.（理22）已知动直线l与椭圆C：+ = 1相交于P（x1，y1），Q（x2，y 2）两个不同点，且△OPQ的面积S△OPQ=，其中O为坐标原点．（1）证明：+和+均为定值；（2）设线段PQ 的中点为M ，求∣OM ∣·∣PQ ∣的最大值；（3）椭圆C 上是否存在三点D, E, G ，使得S △ODE = S △ODG = S △OEG =？若存在，判断△DEG 的形状；若不存在，请说明理由．(2009年山东卷)设m ∈R,在平面直角坐标系中,已知向量a =(mx,y+1),向量b =(x,y-1),a⊥b ,动点M(x,y)的轨迹为E.（1）求轨迹E 的方程,并说明该方程所表示曲线的形状;（2）已知m=1/4,证明:存在圆心在原点的圆,使得该圆的任意一条切线与轨迹E 恒有两个交点A,B,且OA⊥OB(O 为坐标原点),并求出该圆的方程; (3)已知m=1/4,设直线l 与圆C:x 2+y 2=R 2(1<R<2)相切于A 1,且l 与轨迹E 只有一个公共点B 1,当R 为何值时,|A 1B 1|取得最大值?并求最大值. 一.圆锥曲线的定义：椭圆：平面内与两个定点的距离之和等于定长（大于）的点的轨迹叫做椭圆。
高三数学圆锥曲线知识点总结
高三数学圆锥曲线知识点总结哎呀呀，高三的数学圆锥曲线可真是让人又爱又恨呀！首先咱们来说说椭圆，这就好比是一个被压扁的圆，你能想象吗？椭圆有两个焦点，就像是两只眼睛一直盯着它。
那椭圆的定义是什么呢？平面内到两个定点F1、F2 的距离之和等于常数（大于|F1F2|）的点的轨迹，这不就像你在操场上跑步，从一个点出发，跑了一段固定的距离，又回到了起点，只不过这个操场的形状是椭圆的！再说双曲线，这玩意儿可神奇啦！它的形状就像张开的大钳子。
双曲线是平面内到两个定点F1、F2 的距离之差的绝对值等于常数（小于|F1F2|）的点的轨迹。
这是不是有点像你和小伙伴玩捉迷藏，你和小伙伴之间的距离差总是保持一个固定的值。
然后是抛物线，抛物线就像是一个抛出去的球的轨迹。
抛物线是平面内到一个定点F 和一条定直线l 的距离相等的点的轨迹。
这是不是有点像你扔出一个纸飞机，它的飞行轨迹就是抛物线。
在做题的时候，咱们得知道椭圆、双曲线和抛物线的标准方程。
椭圆的标准方程有两种，焦点在x 轴上是x²/a² + y²/b² = 1，焦点在y 轴上是y²/a² + x²/b² = 1。
双曲线的标准方程也有两种，焦点在x 轴上是x²/a² - y²/b² = 1，焦点在y 轴上是y²/a² - x²/b² = 1。
抛物线的标准方程就更多啦，焦点在x 轴正半轴上是y² = 2px，焦点在x 轴负半轴上是y² = -2px，焦点在y 轴正半轴上是x² = 2py，焦点在y 轴负半轴上是x² = -2py。
还有它们的性质也很重要哦！比如椭圆的离心率e 就介于0 和1 之间，这能告诉我们椭圆的扁平程度。
双曲线的离心率e 大于1，这说明双曲线的形状更“张开”。
高中数学圆锥曲线知识点总结
高中数学圆锥曲线知识点总结一、椭圆1.平面内与两个定点 , 的距离之和等于常数（大于 ）的点的轨迹称为椭圆. 即：|)|2(,2||||2121F F a a MF MF >=+。
这两个定点称为椭圆的焦点, 两焦点的距离称为椭圆的焦距.2.椭圆的几何性质:焦点的位置焦点在x 轴上焦点在y 轴上图形标准方程()222210x y a b a b +=>> ()222210y x a b a b+=>> 范围a x a -≤≤且b y b -≤≤ b x b -≤≤且a y a -≤≤顶点()1,0a A -、()2,0a A()10,b B -、()20,b B()10,a A -、()20,a A ()1,0b B -、()2,0b B轴长 短轴的长2b = 长轴的长2a =焦点 ()1,0F c -、()2,0F c ()10,F c -、()20,F c焦距 ()222122F F c c a b ==-对称性 关于x 轴、y 轴、原点对称离心率 ()22101c b e e a a==-<<二、双曲线1.平面内与两个定点 , 的距离之差的绝对值等于常数（小于 ）的点的轨迹称为双曲线. 即： 。
这两个定点称为双曲线的焦点, 两焦点的距离称为双曲线的焦距．2.双曲线的几何性质:焦点的位置焦点在x 轴上焦点在y 轴上图形标准方程()222210,0x y a b a b-=>> ()222210,0y x a b a b-=>> 范围 或 ,或 ,顶点 ()1,0a A -、()2,0a A ()10,a A -、()20,a A轴长 虚轴的长2b = 实轴的长2a =焦点 ()1,0F c -、()2,0F c ()10,F c -、()20,F c焦距 ()222122F F c c a b ==+对称性关于 轴、 轴对称, 关于原点中心对称离心率()2211c b e e a a==+>渐近线方程b y x a=±a y x b=±3.等轴双曲线: 双曲线 称为等轴双曲线, 其渐近线方程为 , 离心率 . 4、共渐近线的双曲线系方程:三、抛物线1.平面内与一个定点 和一条定直线 的距离相等的点的轨迹称为抛物线. 定点 称为抛物线的焦点, 定直线 称为抛物线的准线.2.抛物线的几何性质:标准方程22y px =()0p >22y px =- ()0p > 22x py = ()0p > 22x py =-()0p >图形顶点()0,0对称轴x 轴y 轴焦点,02p F ⎛⎫⎪⎝⎭ ,02p F ⎛⎫- ⎪⎝⎭0,2p F ⎛⎫ ⎪⎝⎭0,2p F ⎛⎫- ⎪⎝⎭准线方程2px =-2p x =2p y =-2p y =离心率 1e =范围0x ≥ 0x ≤0y ≥ 0y ≤3.过抛物线的焦点作垂直于对称轴且交抛物线于 、 两点的线段 , 称为抛物线的“通径”, 即 .4.焦半径公式:若点 在抛物线 上, 焦点为 , 则 ； 若点 在抛物线 上, 焦点为 , 则 ； 5、焦点弦: = +p四、圆1.定义: 点集｛M ｜｜OM ｜=r ｝, 其中定点O 为圆心, 定长r 为半径.2.方程: (1)标准方程: 圆心在c(a,b), 半径为r 的圆方程是(x-a)2+(y-b)2=r2圆心在坐标原点, 半径为r 的圆方程是x2+y2=r2(2)一般方程: ①当D2+E2-4F ＞0时, 一元二次方程x2+y2+Dx+Ey+F=0叫做圆的一般方程, 圆心为 半径是 。
高中数学圆锥曲线知识点总结及公式大全
高中数学圆锥曲线知识点总结及公式大全一、圆锥曲线的基本概念圆锥曲线包括椭圆、双曲线和抛物线，它们是高中数学中重要的知识点之一。
圆锥曲线是由平面与圆锥的交线所形成的曲线，其基本概念包括焦点、准线和离心率等。
1. 焦点：圆锥曲线的焦点是到曲线的两个顶点距离相等的点，焦点到曲线的顶点的距离称为焦距。
椭圆和双曲线的焦点位于其对称轴上，而抛物线的焦点则位于其准轴上。
2. 准线：圆锥曲线的准线是与焦点垂直的直线，准线与曲线有两个交点。
在椭圆和双曲线中，准线是与主轴垂直的直线，而在抛物线中，准线是与主轴平行的直线。
3. 离心率：圆锥曲线的离心率是焦点到顶点的距离与准线到顶点的距离之比，离心率的大小可以反映曲线的形状。
椭圆的离心率在0和1之间，双曲线的离心率大于1，抛物线的离心率等于1。
二、圆锥曲线的公式1. 椭圆的标准方程及性质标准方程：$\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ (a>b>0)性质：椭圆的范围、对称性、顶点、焦点、离心率等性质可以参照教材或辅导书。
2. 双曲线的标准方程及性质标准方程：$\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} =1$ (a>0, b>0)性质：双曲线的范围、对称性、顶点、焦点、离心率等性质可以参照教材或辅导书。
3. 抛物线的标准方程及性质标准方程：$y^{2} = 2px$ ($p > 0$)或$x^{2} = 2py$ ($p > 0$) 性质：抛物线的范围、对称性、顶点、焦点、离心率等性质可以参照教材或辅导书。
三、圆锥曲线的应用1. 椭圆的应用：椭圆在光学、机械、工程等领域有着广泛的应用。
例如，椭圆镜片可以纠正近视和远视，椭圆形状的机械零件可以减少振动和提高稳定性。
2. 双曲线应用：双曲线在热学、光学、工程等领域有着广泛的应用。
例如，双曲线冷却塔可以优化散热效果，双曲线形状的桥梁可以增强承受能力。
(完整版)《圆锥曲线》主要知识点
圆锥曲线与方程知识要点一、椭圆方程. 1、椭圆的定义：平面内与两个定点尸卜F 2,点P 满足IP 用+1尸/2∣=2α>2∣,则点P 的轨迹是 平面内与两个定点尸八F 2,点尸满足IP 居|+|Pq=2z=∣FE ∣,则点尸的轨迹是 平面内与两个定点尸I 、F 2,点P 满足IPFJ+1PKI=2〃<忻八|，则点P 的轨迹是 2X 2V 2若户是椭圆：-τ+J=I 上的点为焦点，若NF1P 户产氏则AT//2的面积为ab3、点与椭圆、直线与椭圆的位置关系9 2⑴点Pa0,比)与椭圆E+g=1(α>b>0)的位置关系：①点尸在椭圆上O;②点P 在椭圆内部=;③点P 在椭圆外部Q.(2)直线尸履+〃?与椭圆，+方=1(α>Z>O)的位置关系判断方法:消y 得一个一元二次方程是： _____________________________________________________v（3）弦长公式：设直线方程为），=履+加（%0）,椭圆方程为/+方=1（α>b>0）或方+∕=1（α>b>0）,直线与椭圆的两个交点为A（X1，yι）,3（X2，）力则∣A8∣=N（为一7）2+（小一”）2,Λ∖AB∖=7（X1X2）2+（如一g）2=<1+F∙d（X1-X2）2=y∣I+*7（X1+切）4_¥1囚，或HB1=d（i>1⅛2）+（上_1）2=[]+、•'（%_"）2=^1+.XJ（>1+>2）2_领/其中，即+“2,汨M 或“+”，V”的值，可通过由直线方程与椭圆方程联立消去y或X后得到关于X或y的一元二次方程得到.2 2（4）直线/：y=Ax+m与椭圆：二+与=1（α>/?>0）的两个交点为Aa1，y）,8（如力），a'b~弦A8的中点M（X0，州），则2=（用X0,州表示）二、双曲线方程.1、双曲线的定义：平面内与两个定点尸I、F2,点尸满足归/JTPgh2々<囚尸21则点尸的轨迹是平面内与两个定点尸卜尸2，点尸满足仍PJTPW=2α>巴川，则点P的轨迹是平面内与两个定点尸1、尸2，点P满足归尸]|-|尸/』=2〃=|尸尸小则点P的轨迹是21等轴双曲线：双曲线“2_,2=±『称为等轴双曲线，其渐近线方程为,离心率《=2 2（2）共渐近线的双曲线系方程：二-1?=”之0°）的渐近线方程为_________________a~Zr如果双曲线的渐近线为±±2=0时，它的双曲线方程可设为 ____________________ .ab(3)从双曲线一个焦点到一条渐近线的距离等于.3、直线与双曲线的位置关系r2V2(1)一般地，设直线/：y=kxΛ-m……①双曲线C：^-p=1(α>O,bX))……②把①代入②得关于X的一元二次方程为.①当〃一"仆=O时，直线/与双曲线的渐近线,直线与双曲线C.②当/一/炉和时，/>0=直线与双曲线有公共点，此时称直线与双曲线:/=0=直线与双曲线有公共点，此时称直线与双曲线：/<0=直线与双曲线公共点,此时称直线与双曲线.注意：直线和双曲线只有一个公共点时，直线不一定与双曲线相切，当直线与双曲线的渐近线平行时，直线与双曲线相交，只有一个交点.AB的中点M(xo>h)，则A=(用必，yo表示)三、抛物线方程.1、抛物线的定义平面内与一个定点尸和一条定直线/(不经过点F)的点的轨迹叫做抛物线.点尸叫做抛物线的,直线/叫做抛物线的.思考1：平面内与一个定点F和一条定直线/(/经过点F),点的轨迹是2、抛物线的性质:3、抛物线的焦点弦的性质1.如图，A8是抛物线y2=2pMp>0)过焦点尸的一条弦，设Aa∣,》)、8(及，工)，AB的中点MX°，并)，相应的准线为/.(1)以AB为直径的圆必与准线/的位置关系是:(2)HB1=(焦点弦长用中点M的坐标表示)；(3)若直线AB的倾斜角为α,则∣A8∣=(焦点弦长用倾斜角为α表示)；如当α=90。
导数,圆锥曲线,指数函数,对数函数知识点整理
第一部分、基本初等函数第二部分圆锥曲线椭圆1、平面内与两个定点1F ，2F 的距离之和等于常数（大于12F F ）的点的轨迹称为椭圆． 即：|)|2(,2||||2121F F a a MF MF >=+。
这两个定点称为椭圆的焦点，两焦点的距离称为椭圆的焦距． 2、椭圆的几何性质：焦点的位置 焦点在x 轴上焦点在y 轴上图形标准方程()222210x y a b a b +=>> ()222210y x a b a b +=>> 范围a x a -≤≤且b y b -≤≤b x b -≤≤且a y a -≤≤顶点()1,0a A -、()2,0a A()10,b B -、()20,b B()10,a A -、()20,a A ()1,0b B -、()2,0b B 轴长 短轴的长2b = 长轴的长2a =焦点 ()1,0F c -、()2,0F c()10,F c -、()20,F c焦距 ()222122F F c c a b ==-对称性 关于x 轴、y 轴、原点对称离心率)01c e e a ==<<双曲线3、平面内与两个定点1F ，2F 的距离之差的绝对值等于常数（小于12F F ）的点的轨迹称为双曲线．即：|)|2(,2||||||2121F F a a MF MF <=-。
这两个定点称为双曲线的焦点，两焦点的距离称为双曲线的焦距．4、双曲线的几何性质：焦点的位置 焦点在x 轴上焦点在y 轴上 图形标准方程()222210,0x y a b a b -=>> ()222210,0y x a b a b -=>> 范围 x a ≤-或x a ≥，y R ∈y a ≤-或y a ≥，x R ∈顶点 ()1,0a A -、()2,0a A ()10,a A -、()20,a A 轴长 虚轴的长2b = 实轴的长2a =焦点 ()1,0F c -、()2,0F c()10,F c -、()20,F c焦距 ()222122F F c c a b ==+对称性 关于x 轴、y 轴对称，关于原点中心对称离心率)1c e e a ==>渐近线方程b y x a=±a y x b=±5、实轴和虚轴等长的双曲线称为等轴双曲线．抛物线6、平面内与一个定点F 和一条定直线l 的距离相等的点的轨迹称为抛物线．定点F 称为抛物线的焦点，定直线l 称为抛物线的准线．7、抛物线的几何性质：标准方程22y px =()0p >22y px =- ()0p > 22x py = ()0p > 22x py =-()0p >图形对称轴x 轴y 轴焦点,02p F ⎛⎫ ⎪⎝⎭ ,02p F ⎛⎫- ⎪⎝⎭ 0,2p F ⎛⎫ ⎪⎝⎭0,2p F ⎛⎫- ⎪⎝⎭准线方程2px =-2px =2p y =-2p y =离心率1e =第三部分 导数及其应用1、函数()f x 从1x 到2x 的平均变化率：()()2121f x f x x x --2、导数定义：()f x 在点0x 处的导数记作xx f x x f x f y x x x ∆-∆+='='→∆=)()(lim)(00000；．3、函数()y f x =在点0x 处的导数的几何意义是曲线()y f x =在点()()00,x f x P 处的切线的斜率．4、常见函数的导数公式：①'C 0=；②1')(-=n n nx x ； ③x x cos )(sin '=；④x x sin )(cos '-=；⑤a a a x x ln )('=；⑥x x e e =')(； ⑦a x x a ln 1)(log '=；⑧xx 1)(ln '= 5、导数运算法则：()1 ()()()()f x g x f x g x '''±=±⎡⎤⎣⎦；()2 ()()()()()()f x g x f x g x f x g x '''⋅=+⎡⎤⎣⎦； ()3()()()()()()()()()20f x f x g x f x g x g x g x g x '⎡⎤''-=≠⎢⎥⎡⎤⎣⎦⎣⎦．6、在某个区间(),a b 内，若()0f x '>，则函数()y f x =在这个区间内单调递增； 若()0f x '<，则函数()y f x =在这个区间内单调递减．7、求函数()y f x =的极值的方法是：解方程()0f x '=．当()00f x '=时：()1如果在0x 附近的左侧()0f x '>，右侧()0f x '<，那么()0f x 是极大值； ()2如果在0x 附近的左侧()0f x '<，右侧()0f x '>，那么()0f x 是极小值．8、求函数()y f x =在[],a b 上的最大值与最小值的步骤是：()1求函数()y f x =在(),a b 内的极值；()2将函数()y f x =的各极值与端点处的函数值()f a ，()f b 比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．。
圆锥曲线知识点总结大全
圆锥曲线知识点总结大全终于要学习圆锥曲线知识点了，高二数学本身的知识体系而言，它主要是对数学知识的深入学习和新知识模块的补充。
圆锥曲线知识点总结有哪些你知道吗?一起来看看圆锥曲线知识点总结，欢迎查阅!圆锥曲线知识点大全圆锥曲线的应用【考点透视】一、考纲指要1.会按条件建立目标函数研究变量的最值问题及变量的取值范围问题，注意运用数形结合、几何法求某些量的最值.2.进一步巩固用圆锥曲线的定义和性质解决有关应用问题的方法.二、命题落点1.考查地理位置等特殊背景下圆锥曲线方程的应用,修建公路费用问题转化为距离最值问题数学模型求解，如例1;2.考查直线、抛物线等基本知识,考查运用解析几何的方法分析问题和解决问题的能力，如例2;3.考查双曲线的概念与方程，考查考生分析问题和解决实际问题的能力，如例3.【典例精析】例1：(2004?福建)如图,B地在A地的正东方向4km 处,C地在B地的北偏东300方向2km处,河流的沿岸PQ(曲线)上任意一点到A的距离比到B的距离远2km.现要在曲线PQ上选一处M建一座码头,向B、C两地转运货物.经测算,从M到B、M到C修建公路的费用分别是a万元/km、2a万元/km,那么修建这两条公路的总费用最低是( )A.(2-2)a万元B.5a万元C. (2+1)a万元D.(2+3)a万元解析:设总费用为y万元,则y=a?MB+2a?MC∵河流的沿岸PQ(曲线)上任意一点到A的距离比到B的距离远2km.,∴曲线PG是双曲线的一支,B 为焦点,且a=1,c=2.过M作双曲线的焦点B对应的准线l的垂线,垂足为D(如图).由双曲线的第二定义,得=e,即MB=2MD.∴y= a?2MD+2a?MC=2a?(MD+MC)≥2a?CE.(其中CE是点C到准线l的垂线段).∵CE=GB+BH=(c-)+BC?cos600=(2-)+2×=. ∴y≥5a(万元).答案:B.例2：(2004?北京,理17)如图,过抛物线y2=2px(p0)上一定点P(x0,y0)(y00),作两条直线分别交抛物线于A(x1，y1),B(x2，y2).(1)求该抛物线上纵坐标为的点到其焦点F的距离;(2)当PA与PB的斜率存在且倾斜角互补时,求的值,并证明直线AB的斜率是非零常数.解析:(1)当y=时,x=.又抛物线y2=2px的准线方程为x=-,由抛物线定义得,所求距离为.(2)设直线PA的斜率为kPA,直线PB的斜率为kPB.由y12=2px1,y02=2px0,相减得:,故.同理可得,由PA、PB倾斜角互补知, 即,所以, 故.设直线AB的斜率为kAB, 由,,相减得, 所以.将代入得,所以kAB是非零常数.例3：(2004?广东)某中心接到其正东、正西、正北方向三个观测点的报告：正西、正北两个观测点同时听到了一声巨响,正东观测点听到的时间比其他两观测点晚4s.已知各观测点到该中心的距离都是1020m,试确定该巨响发生的位置.(假定当时声音传播的速度为340m/s,相关各点均在同一平面上)解析：如图,以接报中心为原点O,正东、正北方向为x轴、y轴正向,建立直角坐标系.设A、B、C分别是西、东、北观测点,则A(-1020,0),B(1020,0),C(0,1020).设P(x,y)为巨响发生点,由A、C同时听到巨响声,得|PA|=|PC|,故P在AC的垂直平分线PO上,PO的方程为y=-x,因B点比A点晚4s听到爆炸声,故|PB|-|PA|=340×4=1360.由双曲线定义知P点在以A、B为焦点的双曲线上,依题意得a=680,c=1020,∴b2=c2-a2=10202-6802=5×3402,故双曲线方程为.用y=-x代入上式,得x=±680,∵|PB||PA|,∴x=-680,y=680,即P(-680,680),故PO=680.答：巨响发生在接报中心的西偏北450距中心680 m处.【常见误区】1.圆锥曲线实际应用问题多带有一定的实际生活背景, 考生在数学建模及解模上均不同程度地存在着一定的困难, 回到定义去, 将实际问题与之相互联系,灵活转化是解决此类难题的关键;2.圆锥曲线的定点、定量、定值等问题是隐藏在曲线方程中的固定不变的性质, 考生往往只能浮于表面分析问题,而不能总结出其实质性的结论,致使问题研究徘徊不前,此类问题解决需注意可以从特殊到一般去逐步归纳,并设法推导论证.【基础演练】1.(2005?重庆) 若动点()在曲线上变化，则的最大值为( )A. B.C. D.22.(2002?全国)设,则二次曲线的离心率的取值范围为( )A. B.C. D.3.(2004?精华教育三模)一个酒杯的轴截面是一条抛物线的一部分,它的方程是x2=2y,y∈[0,10] 在杯内放入一个清洁球,要求清洁球能擦净酒杯的最底部(如图),则清洁球的最大半径为( )A. B.1 C. D.24. (2004?泰州三模)在椭圆上有一点P,F1、F2是椭圆的左右焦点,△F1PF2为直角三角形,则这样的点P有( )A.2个B.4个C.6个D.8个5.(2004?湖南) 设F是椭圆的右焦点,且椭圆上至少有21个不同的点Pi(i=1,2,3,...),使|FP1|,|FP2|, |FP3|,...组成公差为d的等差数列,则d的取值范围为.6.(2004?上海) 教材中坐标平面上的直线与圆锥曲线两章内容体现出解析几何的本质是.7.(2004?浙江)已知双曲线的中心在原点,右顶点为A(1,0),点P、Q在双曲线的右支上,点M(m,0)到直线AP的距离为1,(1)若直线AP 的斜率为k,且|k|?[],求实数m的取值范围;(2)当m=+1时,△APQ的内心恰好是点M,求此双曲线的方程.8. (2004?上海) 如图, 直线y=x与抛物线y=x2-4交于A、B两点, 线段AB的垂直平分线与直线y=-5交于Q点.(1)求点Q的坐标;(2)当P为抛物线上位于线段AB下方(含A、B) 的动点时, 求ΔOPQ面积的最大值.9.(2004?北京春) 2003年10月15日9时,神舟五号载人飞船发射升空,于9时9分50秒准确进入预定轨道,开始巡天飞行.该轨道是以地球的中心为一个焦点的椭圆.选取坐标系如图所示,椭圆中心在原点.近地点A距地面200km,远地点B 距地面350km.已知地球半径R=6371km.(1)求飞船飞行的椭圆轨道的方程;(2)飞船绕地球飞行了十四圈后,于16日5时59分返回舱与推进舱分离,结束巡天飞行,飞船共巡天飞行了约,问飞船巡天飞行的平均速度是多少km/s?(结果精确到1km/s)(注:km/s即千米/秒)关于双曲线知识点总结双曲线方程1. 双曲线的第一定义：⑴①双曲线标准方程：. 一般方程：.⑵①i. 焦点在x轴上：顶点：焦点：准线方程渐近线方程：或ii. 焦点在轴上：顶点：. 焦点：. 准线方程：. 渐近线方程：或，参数方程：或.②轴为对称轴，实轴长为2a, 虚轴长为2b，焦距2c. ③离心率. ④准线距(两准线的距离);通径. ⑤参数关系. ⑥焦点半径公式：对于双曲线方程(分别为双曲线的左、右焦点或分别为双曲线的上下焦点)“长加短减”原则：构成满足(与椭圆焦半径不同，椭圆焦半径要带符号计算，而双曲线不带符号)⑶等轴双曲线：双曲线称为等轴双曲线，其渐近线方程为，离心率.⑷共轭双曲线：以已知双曲线的虚轴为实轴，实轴为虚轴的双曲线，叫做已知双曲线的共轭双曲线.与互为共轭双曲线，它们具有共同的渐近线：.⑸共渐近线的双曲线系方程：的渐近线方程为如果双曲线的渐近线为时，它的双曲线方程可设为.例如：若双曲线一条渐近线为且过，求双曲线的方程?解：令双曲线的方程为：，代入得.⑹直线与双曲线的位置关系：区域①：无切线，2条与渐近线平行的直线，合计2条;区域②：即定点在双曲线上，1条切线，2条与渐近线平行的直线，合计3条;区域③：2条切线，2条与渐近线平行的直线，合计4条;区域④：即定点在渐近线上且非原点，1条切线，1条与渐近线平行的直线，合计2条;区域⑤：即过原点，无切线，无与渐近线平行的直线.小结：过定点作直线与双曲线有且仅有一个交点，可以作出的直线数目可能有0、2、3、4条.(2)若直线与双曲线一支有交点，交点为二个时，求确定直线的斜率可用代入法与渐近线求交和两根之和与两根之积同号.⑺若P 在双曲线，则常用结论1：P到焦点的距离为m = n，则P到两准线的距离比为m︰n.简证：=.常用结论2：从双曲线一个焦点到另一条渐近线的距离等于b.双曲线方程知识点在高考中属于比较重要的考察点，希望考生认真复习，深入掌握。
圆锥曲线(椭圆、双曲线、抛物线)知识点总结
双曲线知识点一、 双曲线的定义：1. 第一定义：到两个定点F 1与F 2的距离之差的绝对值等于定长〔＜|F 1F 2|〕的点的轨迹〔21212F F a PF PF <=-〔a 为常数〕〕这两个定点叫双曲线的焦点．要注意两点：〔1〕距离之差的绝对值.〔2〕2a ＜|F 1F 2|.当|MF 1|－|MF 2|=2a 时，曲线仅表示焦点F 2所对应的一支； 当|MF 1|－|MF 2|=－2a 时，曲线仅表示焦点F 1所对应的一支；当2a =|F 1F 2|时，轨迹是一直线上以F 1、F 2为端点向外的两条射线；当2a ＞|F 1F 2|时，动点轨迹不存在.2. 第二定义：动点到一定点F 的距离与它到一条定直线l 的距离之比是常数e (e ＞1)时，这个动点的轨迹是双曲线这定点叫做双曲线的焦点，定直线l 叫做双曲线的准线二、双曲线的标准方程：12222=-b y a x 〔a ＞0，b ＞0〕(焦点在x 轴上)；12222=-bx a y 〔a ＞0，b ＞0〕(焦点在y 轴上)；1. 如果2x 项的系数是正数，那么焦点在x 轴上；如果2y 项的系数是正数，那么焦点在y 轴上. a 不一定大于b.2. 与双曲线12222=-by a x 共焦点的双曲线系方程是12222=--+k b y k a x 3. 双曲线方程也可设为：221(0)x y mn m n-=> 例题：双曲线C 和椭圆221169x y +=有相同的焦点，且过(3,4)P 点，求双曲线C 的轨迹方程。
三、点与双曲线的位置关系，直线与双曲线的位置关系： 1 点与双曲线：点00(,)P x y 在双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的内部2200221x y a b ⇔->点00(,)P x y 在双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的外部2200221x y a b ⇔-<点00(,)P x y 在双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>上220022-=1x y a b ⇔2 直线与双曲线：〔代数法〕设直线:l y kx m =+，双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 联立解得02)(222222222=----b a m a mkx a x k a b1) 0m =时，b bk a a-<<直线与双曲线交于两点〔左支一个点右支一个点〕；b k a ≥，bk a≤-，或k 不存在时直线与双曲线没有交点；2) 0m ≠时，k 存在时，假设0222=-k a babk ±=，直线与双曲线渐近线平行，直线与双曲线相交于一点；假设2220b a k -≠，222222222(2)4()()a mk b a k a m a b ∆=-----2222224()a b m b a k =+-0∆>时，22220m b a k +->，直线与双曲线相交于两点； 0∆<时，22220m b a k +-<，直线与双曲线相离，没有交点；0∆=时22220m b a k +-=，2222m b k a +=直线与双曲线有一个交点；假设k 不存在，a m a -<<时，直线与双曲线没有交点； m a m a ><-或直线与双曲线相交于两点； 3. 过定点的直线与双曲线的位置关系：设直线:l y kx m =+过定点00(,)P x y ，双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x1).当点00(,)P x y 在双曲线内部时：b bk a a-<<，直线与双曲线两支各有一个交点； a bk ±=，直线与双曲线渐近线平行，直线与双曲线相交于一点；b k a >或bk a<-或k 不存在时直线与双曲线的一支有两个交点；2).当点00(,)P x y 在双曲线上时：bk a =±或2020b x k a y =，直线与双曲线只交于点00(,)P x y ；b bk a a-<<直线与双曲线交于两点〔左支一个点右支一个点〕； 2020b x k a y >〔00y ≠〕或2020b x bk a a y << 〔00y ≠〕或b k a <-或k 不存在，直线与双曲线在一支上有两个交点；当00y ≠时，bk a =±或k 不存在，直线与双曲线只交于点00(,)P x y ；b k a >或bk a <-时直线与双曲线的一支有两个交点；b bk a a-<<直线与双曲线交于两点〔左支一个点右支一个点〕； 3).当点00(,)P x y 在双曲线外部时： 当()0,0P 时，b bk a a -<<，直线与双曲线两支各有一个交点； b k a ≥或bk a≤或k 不存在，直线与双曲线没有交点；当点0m ≠时，k =时，过点00(,)P x y 的直线与双曲线相切 bk a=±时，直线与双曲线只交于一点；几何法：直线与渐近线的位置关系例：过点(0,3)P 的直线l 和双曲线22:14y C x -=，仅有一个公共点，求直线l 的方程。
圆锥曲线知识点总结
圆锥曲线知识点总结
定义与性质：
到平面内一定点的距离r与到定直线的距离d之比是常数e=r/d 的点的轨迹叫做圆锥曲线。
其中，定点叫做该圆锥曲线的焦点，定直线叫做（该焦点相应的）准线，e叫做离心率。
当e>1时为双曲线。
当e=1时为抛物线。
当0<e<1时为椭圆。
形成方式：
用垂直于锥轴的平面去截圆锥，得到的是圆。
把平面渐渐倾斜，得到椭圆。
当平面倾斜到“和且仅和”圆锥的一条母线平行时，得到抛物线。
用平行于圆锥的轴的平面截取，可得到双曲线的一支。
应用领域：
工程：圆锥曲线被应用于各种工程设计中，如建筑、航天、船舶等。
例如，圆锥曲线被用于设计桥梁、隧道、水坝、航天器、船舶等。
光学：圆锥曲线被广泛应用于光学设计中，例如设计反射望远镜和透镜，以及光学系统中的成像和折射问题。
绘画和艺术：圆锥曲线的美学特性使其成为绘画、雕塑、建筑和设计等领域的重要元素。
物理：圆锥曲线可以用来描述粒子在空间中的运动轨迹。
以上仅为圆锥曲线部分知识点的总结，如需更全面的内容，建议查阅数学教材或咨询数学教师。
高考数学总复习考点知识专题讲解16 圆锥曲线光学性质
高考数学总复习考点知识专题讲解专题16 圆锥曲线光学性质知识点一：光学性质概念椭圆的光学性质：从一个焦点发出的照射到椭圆上其反射光线会经过另一个焦点。
双曲线有一个光学性质：从一个焦点发出的照射到双曲线上其反射光线的反向延长线会经过另一个焦点。
抛物线有一个光学性质：从焦点发出的照射到抛物线上其反射光线平行于抛物线开口方向。
知识点二：光学性质定理定理1点P 为椭圆上任一点，1F 、2F 为椭圆的两焦点，则椭圆在P 点处的切线与12F PF ∠的平分线垂直.由于本题证明方法很多，如果是解决小题，我们按照小题小作来解读，根据物理学的反射原理，反射光线等于入射光线，即把椭圆上的点P 处切线看成镜面，那么法线就是12F PF ∠的平分线，所以它们垂直就自然而然了，同理也能推导双曲线.推论1：设椭圆22221x y a b+=（0a >，0b >）的两焦点为1F ，2F ，00(,)P x y （0x ，00y ≠）为椭圆上一点，则12F PF ∠的角平分线所在直线l 的方程为22220000(0)a y x b x y a b x y ---=.根据光学性质可知00(,)P x y 处切线方程为12020=+b yy a xx ，由于P 点处的切线与12F PF ∠的平分线垂直，故12F PF ∠的角平分线所在直线l 的方程为000022()a y b x y y x x =--，即22220000(0)a y x b x ya b x y ---=.【例1】已知点P 为椭圆上任一点，1F 、2F 为椭圆的两焦点，求证椭圆在P 点处的切线与12F PF ∠的平分线垂直.定理2点P 为双曲线上任一点.1F 、2F 为双曲线的两焦点，则双曲线在P 点处的切线与12F PF ∠的平分线重合.推论2 设双曲线22221x y a b-=±（0a >，0b >）的两焦点为1F ，2F ，00(,)P x y （0x ，00y ≠）为双曲线上一点，则12F PF ∠的角平分线所在直线l 的方程.为222200b x x a y y a b -=±. 【例2】已知点P 为双曲线上任一点，1F 、2F 为椭圆的两焦点，求证双曲线在P 点处的切线与12F PF ∠的平分线重合.定理3点P 为抛物线上任一点，F 为拋物线的焦点，过P 作拋物线的准线的垂线，垂足为P '，则拋物线在点P 处的切线与FPP ∠'的平分线重合.证明：设拋物线的方程为22y px =，200(,)2y P y p.利用导数知识易得抛物线在P 点处的切线斜率存在时为0PQ P k y =.又(,0)2pF ，则02202PP py k y p'=-，0PP k '=.由夹角公式可得：0tan ||||1PP PQ PP PQk k PQPP k k y ∠''-=+'=，0220002202tan ||||121PP PQ PP PQ py pk k y y p FPQ py p k k y y p ''---∠==++⋅-2222232000022222220000021||||()2py p py y p p py y y y p y p p y p -----=⋅=⋅--++22022000()1||||p p y p y y y p -+=⋅=+. 即有tan tan QPP FPQ ∠∠'=，所以PQ 为FPP ∠'的平分线.【例3】（2011年高考全国卷II 理15）已知1F 、2F 分别为双曲线C ：221927x y -=的左、右焦点，点A C ∈，点M 的坐标为(2,0)，AM 为12F AF ∠的平分线.则2||AF =________.【例4】（2023•东莞市期末）如图，从椭圆的一个焦点1F 发出的光线射到椭圆上的点P ，反射后光线经过椭圆的另一个焦点2F ，事实上，点0(P x ，0)y 处的切线00221xx yy a b+=垂直于12F PF ∠的角平分线．已知椭圆22:143x y C +=的两个焦点是1F ，2F ，点P 是椭圆上除长轴端点外的任意一点，12F PF ∠的角平分线PT 交椭圆C 的长轴于点(,0)T t ，则t 的取值范围是．【例5】（2023•老唐说题教师群探讨）如图，椭圆焦点三角形的1290F AF ∠=︒，AB 为12F AF ∠的角平分线且2AB BD =，则椭圆离心率为.【例6】（2023•广东期末）我国首先研制成功的“双曲线新闻灯”，如图，利用了双曲线的光学性质：1F 、2F 是双曲线的左、右焦点，从2F 发出的光线m 射在双曲线右支上一点P ，经点P 反射后，反射光线的反向延长线过1F ；当P 异于双曲线顶点时，双曲线在点P 处的切线平分12F PF ∠．若双曲线C 的方程为221916x y -=，则下列结论不正确的是()A ．射线n 所在直线的斜率为k ，则44(,)33k ∈-B ．当m n ⊥时，12||||32PF PF ⋅= C ．当n 过点(7,5)Q 时，光线由2F 到P 再到Q 所经过的路程为13 D ．若点T 坐标为(1,0)，直线PT 与C 相切，则2||12PF =【例7】（2023•阳信期末）已知椭圆22143x y +=上一点P 位于第一象限，左、右焦点分别为1F ，2F ，左、右顶点分别为1A ，2A ，12F PF ∠的角平分线与x 轴交于点G ，与y 轴交于点1(0,)2H -，则()A ．四边形12HF PF 的周长为4+．直线1A P ，2A P 的斜率之积为34- C ．12||:||3:2FG F G =D ．四边形12HF PF 的面积为2【例8】（2023•天河区期末）抛物线有如下光学性质：由其焦点射出的光线经抛物线反射后，沿平行于抛物线对称轴的方向射出．反之，平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后必过抛物线的焦点．已知抛物线2:C y x =，O 为坐标原点．一束平行于x 轴的光线1l 从点(P m ，1)(1)m >射入，经过C 上的点1(A x ，1)y 反射后，再经C 上另一点2(B x ，2)y 反射后，沿直线2l 射出，经过点Q ，则()A ．121y y =-B ．延长AO 交直线14x =-于点D ，则D ，B ，Q 三点共线 C ．25||16AB =D ．若PB 平分ABQ ∠，则4116m =知识点三：光学定理与内心旁心 定理一：椭圆焦点三角形内心如图，I 为12PF F △内切圆的圆心，PI 和12F F 相交于点N (区分切点M )，则①INe IP=．②121212IF F PF F IF F S e S S =-△△△证明：法一（利用角平分线定理＋等比定理）：1212121222F N F N F N F N IN c e IP F P F P F P F P a+=====+． 法二：（光学定理+中垂线）PI 是)(00y x P ，处切线（切点弦）的中垂线（考虑极限情况，切点看为两个交点的中点），根据中垂线截距定理202ax c x N =，再根据角平分线定理可知e ex a c a x c P F N F IP IN =++==020211,根据等面积法，121212IF F N N P NP NPF F IF F S y c y IN IPy y c y y S S ===---△△△.中垂线截距定理：若B A 、关于直线PQ 对称，可以知道线段AB 被直线PQ 垂直平分，其中(0)P n ，，(0)Q m ，则能得出以下定理（不妨设焦点在x 轴上）： 202y c m b =-（椭圆），202y c m b =（双曲线）；202x c n a =（椭圆），202x c n a=（双曲线）．因为22AB OM b k ak =-⋅（点差法），1AB PQ k k =-⋅，所以22OMPQb a k k =，故220000b a y x y m x =-，即202y c m b =-；同理220000b a y x y x n=-，即202x c n a =．定理二：双曲线焦点三角形旁心旁心定理：I 是12PF F △的旁心，1F I 、2F I 分别是1PF D ∠、2PF D ∠的角平分线．如图,则：ID e IP =，11IF D PF IS e S =△△．证明：法一：(利用外角平分线定理＋等比定理)：111212121222DIF PIF S ID DF F D DF F D ce S PIPF PF PF PF a -======-△△，法二：（光学定理+中垂线）PD 是)(00y x P ，处切线（切点弦）的中垂线，根据中垂线截距定理202ax c x D =，再根据角平分线定理可知，e a ex c a x c PF DF IP ID =--==020222 【例9】（2023•思明区期末）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左、右焦点分别为1(,0)F c -和2(,0)F c，1(M x 为C 上一点，且△12MF F 的内心为2(I x ，1)，则椭圆C 的离心率为()A ．35B ．25C ．13D ．12【例10】(2023哈三中高三一模16题）如图，椭圆)0(12222>>=+b a by a x与双曲线)00(12222>>=-n m ny m x ，有公共焦点)0(1，c F -，)0(2，c F ，椭圆的离心率为1e ，双曲线的离心率为2e ，点P 为两曲线的一个公共点，︒=∠6021PF F ,则=+222131e e ；I 为21F PF ∆的内心，G I F 、、1三点共线，且0=⋅IP GP ，x 轴上点A 、B 满足IP AI λ=，GP BG μ=，则22μλ+的最小值为.知识点四：光学定理与大圆小圆问题1. 椭圆的大圆焦点作椭圆切线的垂线，垂足轨迹是以长轴为直径的圆．这个圆我们称之为大圆.如图，已知椭圆()222210x y a b a b+=>>上点P 处的切线为l ，则过焦点12F F 、作直线l 的垂线，垂足H 的轨迹是以长轴为直径的圆，即为222x y a +=．证明: 如图，作2F H l ⊥,1F H l '⊥．当点P 不在长轴的两个端点时，延长1F P 交2F H 于点Q ，根据椭圆的光学性质可知：切线l 平分2F PQ ∠，故2PQF △是等腰三角形，点H是线段2F Q 的中点．因此，在12F F Q 中，1112222FQ F P PQF P PF OH a ++====，故点H 的轨迹是222()x y a x a +=≠±，同理，H`的轨迹也符合此轨迹方程，当点P 在长轴的两个端点时，此时的射影点(,0)a ±亦满足上述方程．【例11】（2023•连城县月考）如图所示，已知1F ，2F 是椭圆2222:1(0)x y a b a bΓ+=>>的左，右焦点，P 是椭圆Γ上任意一点，过2F 作12F PF ∠的外角的角平分线的垂线，垂足为Q ，则点Q 的轨迹为()A ．直线B ．圆C ．椭圆D ．双曲线2.大圆性质拓展如图，已知椭圆()222210x y C a b a b+=>>：上点P 处的切线为l ，且焦点12F F 、在直线l 上的垂足分别为G 、H ，设12F PF θ∠=，椭圆的上顶点为B ，左右顶点分别为1A 、2A ，则：(1) 212FG F H b =； (2)直角梯形12F F GH 的面积的为2sin S a θ=，又12F BF θ≤∠,故212max12,22,02a F BF S bc F BF ⎧π⎛⎫∠≥ ⎪⎪⎪⎝⎭=⎨π⎛⎫⎪<∠< ⎪⎪⎝⎭⎩；证明(1) 法一：设1F P m =，2F P n =，则2cos 11θPF G F =，2cos 22θPF H F =222222212411cos ()42cos 2224m n c m n c mn FG F H mn mn mn b θθ+-+++-=====．法二延长1MF 交大圆222x y a +=于点I ，根据对称性，有21F H F I =，再利用相交弦定理，则212111112()()FG F H FG F I A F F A a c a c b ===-+=．(2) 利用椭圆的光学性质，如图所示，延长1F P 交2F H 于点N ，过点N 作//GH MN 交G F 1延长线于点M，因此，2121111111()()sin cos 222222S FG F H MN FG MG MN F M MN F N θθ=+=+==，又1122F N F P PF a =+=，则2214sin cos sin 222S a a θθθ==． 注意：大题在证明光学性质时比较麻烦，建议参考例题方式书写大题，那样其实也不难.【例12】已知椭圆22143x y +=，圆224x y +=，直线2y x =与椭圆交于点A ，过A 作椭圆的切线交圆于M 、N 两点（M 在N 的左侧），则12MF NF =．【例13】（2023•南充模拟）设点1(,0)F c -，2(,0)F c 分别是椭圆222:1(1)x C y a a+=>的左、右焦点，P 为椭圆C 上任意一点，且12PF PF ⋅的最小值为0． （1）求椭圆C 的方程；（2）如图，动直线:l y kx m =+与椭圆C 有且仅有一个公共点，点M ，N 是直线l 上的两点，且1F M l ⊥，2F N l ⊥，求四边形12F MNF 面积S 的最大值．3.双曲线的小圆焦点在双曲线切线上的垂足轨迹是以实轴为直径的圆，我们称之为小圆.如图，已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>上点P 处的切线为l ，则焦点12F F 、在直线l上的射影点H 的轨迹是以实轴为直径的圆，即为222x y a +=．【例14】已知双曲线221916x y -=的两焦点分别为12F F 、，P 为双曲线上一动点，过点1F 作12F PF ∠平分线所在直线的垂线，则垂足M 的轨迹方程为( )．A ．229x y +=B ．2216x y +=C ．229x y -=D ．2216x y -=【例15】（多选）设双曲线22:14x C y -=左右焦点分别为1F ，2F ，设右支上一点P 与2F 所连接的线段为直径的圆为圆1O ，以实轴为直径的圆为圆2O ，则下列结论正确的有() A ．圆1O 与圆2O 始终外切B ．若2F P 与渐近线垂直，则2F P 与圆2O 相切 C ．12F PF ∠的角平分线与圆1O 相切D ．三角形12F PF 的内心和外心最短距离为2【例16】（2023•江苏模拟）已知椭圆22:143y x C +=，点0(P x ，0)y 为椭圆C 在第一象限的点，12F F 为椭圆的左、右焦点，点P 关于原点的对称点为Q ． （1）设点Q 到直线1PF ，2PF 的距离分别为1d ，2d ，求12d d 取值范围； （2）已知椭圆在0(P x ，0)y 处的切线l 的方程为：00143x x y y+=，射线1QF 交l 于点R ．求证：11F RP RPF ∠=∠．【例17】（2022•湖北21校）平面直角坐标系xOy 中，已知点(2,0)M -，(2,0)N 点A 满足||||AM AN -=A 的轨迹C ． （1）求C 的方程；（2）设点T 与点A 关于原点O 对称，MTN ∠的角平分线为直线l ，过点A 作l 的垂线，垂足为H ，交C 于另一点B ，求：||||AH BH 的最大值．【例18】（2023•闵行区期中）如图，一种电影放映灯的反射镜面是旋转椭圆面（椭圆绕其对称轴旋转一周形成的曲面）的一部分．过对称轴的截口BAC 是椭圆的一部分，灯丝位于椭圆的一个焦点1F 上，片门位于该椭圆的另一个焦点2F 上．椭圆有光学性质：从一个焦点出发的光线，经过椭圆面反射后经过另一个焦点，即椭圆上任意一点P 处的切线与直线1PF 、2PF 的夹角相等．已知12BC F F ⊥，垂足为1F ，1||3F B m =，12||4F F cm =，以12F F 所在直线为x 轴，线段12F F 的垂直平分线为y 轴，建立如图的平面直角坐标系． （1）求截口BAC 所在椭圆C 的方程；（2）点P 为椭圆C 上除长轴端点和短轴端点外的任意一点．①是否存在m ，使得P 到2F 和P 到直线x m =的距离之比为定值，如果存在，求出的m 值，如果不存在，请说明理由；②若12F PF ∠的角平分线PQ 交y 轴于点Q ，设直线PQ 的斜率为k ，直线1PF 、2PF 的斜率分别为1k ，2k ，请问21k kk k +是否为定值，若是，求出这个定值，若不是，请说明理由．【例19】（2023•上海模拟）椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左、右焦点分别是点1F ，2F ，过点1F 且垂直于x 轴的直线被椭圆C 截得的线段长为1，点2F 与短轴两个顶点构成等边三角形．（1）求椭圆C 的方程；（2）已知过椭圆上点0(M x ，0)y 的椭圆的切线方程为00221xx yy a b+=．求证：过椭圆C 上任一点0(M x ，0)y 的切线与直线1MF 和2MF 所成角都相等；（3）点P 是椭圆C 上除长轴端点外的任一点连接1PF ，2PF ，设12F PF ∠的角平分线PQ 交C 的长轴于点(,0)Q q ，求q 的取值范围．同步训练1．（2022•怀化二模）若点P 是椭圆22221(0)4x y b b b+=>上的点，且点I 是焦点三角形△12PF F 的内心，12F PF ∠的角平分线交线段12F F 于点M ，则||PIIM等于()A C ．122.（2023•贵州模拟）根据圆锥曲线的光学性质：从双曲线的一个焦点发出的光线，经双曲线反射后，反射光线的反向延长线过双曲线的另一个焦点．由此可得，过双曲线上任意一点的切线，平分该点与两焦点连线的夹角．请解决下面问题：已知1F ，2F 分别是双曲线22:12y C x -=的左、右焦点，若从点2F 发出的光线经双曲线右支上的点0(A x ，2)反射后，反射光线为射线AM ，则2F AM ∠的角平分线所在的直线的斜率为() A．．CD3.（2022•南昌三模）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左、右焦点分别是1F ，2F ，P 是椭圆上的动点，I 和G 分别是△12PF F 的内心和重心，若IG 与x 轴平行，则椭圆的离心率为() A ．12B3.（2022•焦作一模）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，M 为C 上一点，且△12MF F 的内心为0(I x ，2)，若△12MF F 的面积为4b ，则1212||||(||MF MF F F +=) A ．32B ．53C．434.（2023•建邺区期中）已知抛物线24y x =的焦点为F ，直线l 过点F 且与抛物线交于A ，B 两点，过点A 作抛物线准线的垂线，垂足为M ，MAF ∠的角平分线与抛物线的准线交于点P ，线段AB 的中点为Q ．若||16AB =，则||(PQ =) A ．2B ．4C ．6D ．85．（2022•衡阳二模）圆锥曲线的光学性质：从双曲线的一个焦点发出的光线，经双曲线反射后，反射光线的反向延长线过双曲线的另一个焦点、由此可得，过双曲线上任意一点的切线，平分该点与两焦点连线的夹角、请解决下面问题：已知1F ，2F 分别是双曲线22:12y C x -=的左、右焦点，点P 为C 在第一象限上的点，点M 在1F P 延长线上，点Q的坐标为，且PQ 为12F PF ∠的平分线，则下列正确的是() A ．12||2||PF PF =B ．12||23PF PF +=C ．点P到x ．2F PM ∠的角平分线所在直线的倾斜角为150︒6.（2023•阳信县期末）已知椭圆22143x y +=上一点P 位于第一象限，左、右焦点分别为1F ，2F ，左、右顶点分别为1A ，2A ，12F PF ∠的角平分线与x 轴交于点G ，与y 轴交于点1(0,)2H -，则()A ．四边形12HFPF 的周长为4+．直线1A P ，2A P 的斜率之积为34- C ．12||:||3:2FG F G =D ．四边形12HF PF 的面积为2 7.（2023•佛山期末）圆锥曲线具有丰富的光学性质，从椭圆的一个焦点发出的光线，经过椭圆反射后，反射光线过椭圆的另一个焦点．如图，胶片电影放映机的聚光灯有一个反射镜．它的形状是旋转椭圆．为了使影片门（电影胶片通过的地方）处获得最强的光线，灯丝2F ，与影片门1F 应位于椭圆的两个焦点处．已知椭圆22:143x y C +=，椭圆的左右焦点分别为1F ，2F ，一束光线从2F 发出，射向椭圆位于第一象限上的P 点后反射光线经过点1F ，且124tan 3F PF ∠=，则12F PF ∠的角平分线所在直线方程为．8.（2023•诸暨市期末）圆锥曲线有着令人惊奇的光学性质，这些性质均与它们的焦点有关．如：从椭圆的一个焦点处出发的光线照射到椭圆上，经过反射后通过椭圆的另一个焦点；从抛物线的焦点处出发的光线照射到抛物线上，经反射后的光线平行于抛物线的轴．某次科技展览中某展品的一个截面由抛物线的一部分1C 和一个“双孔”的椭圆2C 构成（小孔在椭圆的右上方）．如图，椭圆22212:1,,43x y C F F +=为2C 的焦点，B 为下顶点，2F 也为1C 的焦点，若由1F 发出一条光线经过点B 反射后穿过一个小孔再经抛物线上的点D 反射后平行于x 轴射出，由1F 发出的另一条光线经由椭圆2C 上的点P 反射后穿过另一个小孔再经抛物线上的点E 反射后平行于x轴射出，若两条平行光线间隔，则1cos BF P ∠=．11.已知P是双曲线221168x y -=右支上一点，12F F 、分别是双曲线的左、右焦点，O 为坐标原点，1(0)F P PM λλ=>，22PF PM PN PM PF μ⎛⎫⎪=+⎪⎝⎭，20PN F N =．若22PF =，则ON =．12.已知双曲线22221x y a b-=的左右焦点分别为12F F 、，O 为双曲线的中心，P 是双曲线右支上的点，12PF F △的内切圆的圆心为I ，且圆I 与x 轴相切于点A ，过2F 作直线PI 的垂线，垂足为B ，若e 为双曲线的离心率，则( )．A ．OB e OA =B ．OA e OB=C ．OA OB =D ．OA 与OB 关系不确定。
圆锥曲线重点知识点总结
圆锥曲线重点知识点总结圆锥曲线是高中数学中一个重要的内容，是解析几何的重点之一。
在学习圆锥曲线时，我们需要掌握一些重要的知识点。
本文将对圆锥曲线的基本概念、方程与性质进行总结。
一、圆锥曲线的基本概念圆锥曲线是由切割一个锥体的过程中所得到的曲线。
根据切割方式的不同，圆锥曲线可分为三类：椭圆、双曲线和抛物线。
1. 椭圆：通过一点F（焦点）到平面上任意一点P的距离之和恒定的点集所构成的曲线称为椭圆。
这个常数称为椭圆的焦距，用c表示。
椭圆还有一个重要的性质是焦点与准线之间的距离等于准线两焦点距离的一半。
2. 双曲线：通过一点F到平面上任意一点P的距离之差恒定的点集所构成的曲线称为双曲线。
这个常数称为双曲线的离心率，用e表示。
双曲线还有一个重要的性质是焦点与准线之间的距离等于准线两焦点距离的一半。
3. 抛物线：通过平面上任意一点P到一个定点F的距离等于点P到一条直线l的距离的点集所构成的曲线称为抛物线。
二、圆锥曲线的方程在解析几何中，我们常常使用方程描述曲线。
圆锥曲线的方程可以用多种形式表示，例如标准方程、一般方程和参数方程等。
1. 椭圆的方程：椭圆的标准方程为x^2/a^2 + y^2/b^2 = 1 （a > b > 0），其中a和b分别代表椭圆的长半轴和短半轴。
2. 双曲线的方程：双曲线的标准方程为x^2/a^2 - y^2/b^2 = 1 （a > 0，b > 0），其中a和b分别代表双曲线的距离焦点的距离和离心率。
3. 抛物线的方程：抛物线的标准方程为y^2 = 2px，其中p为抛物线的焦距。
三、圆锥曲线的性质掌握圆锥曲线的性质对于解析几何的问题求解非常重要。
1. 椭圆的性质：a) 椭圆的离心率满足0<e<1，离心率越小，椭圆越圆。
b) 长半轴和短半轴的长度之间的关系是a>b。
c) 椭圆的离心率e满足等于c/a（其中c代表焦距）。
2. 双曲线的性质：a) 双曲线的离心率满足e>1，离心率越大，双曲线越开口。
高中数学圆锥曲线选知识点总结
高中数学圆锥曲线选知识点总结高中数学圆锥曲线是高中数学的一门重要内容，主要包括椭圆、双曲线和抛物线三种基本曲线。
以下是一份完整的高中数学圆锥曲线选知识点总结：1.定义：圆锥曲线是平面上的一条曲线，它是由一个交角不为直角的平面截一个圆锥所得到的截面图形。
2.椭圆：椭圆是一条平面曲线，它的定义是所有到两个给定点的距离之和等于定值的点所形成的轨迹。
椭圆的性质包括离心率、焦点、焦距、长轴、短轴、半焦距等。
3.双曲线：双曲线是一条平面曲线，它的定义是所有到两个给定点的距离之差等于定值的点所形成的轨迹。
双曲线的性质包括离心率、焦点、焦距、渐近线等。
4.抛物线：抛物线是一条平面曲线，它的定义是所有到一个给定点的距离等于定值的点所形成的轨迹。
抛物线的性质包括焦点、焦距、准线、对称轴、顶点等。
5.圆锥曲线的参数方程：圆锥曲线也可以用参数方程表示，例如椭圆的参数方程为x = a cos t，y = b sin t；双曲线的参数方程为x = a sec t，y = b tan t；抛物线的参数方程为x = at^2，y = 2at。
6.圆锥曲线的应用：圆锥曲线在几何学、物理学、工程学等领域都有广泛的应用。
例如，在天文学中，行星轨道和彗星轨道就是圆锥曲线；在工程学中，喷气式飞机的外形和空气动力学研究中也常常使用圆锥曲线。
7.椭圆的方程：椭圆的标准方程为(x^2 / a^2) + (y^2 / b^2) = 1，其中a和b分别为椭圆长轴和短轴的长度。
可以通过椭圆的焦点坐标和离心率求得椭圆的方程。
8.双曲线的方程：双曲线的标准方程为(x^2 / a^2) - (y^2 / b^2) =1，其中a和b分别为双曲线的顶点到两条渐近线的距离。
同样可以通过双曲线的焦点坐标和离心率求得双曲线的方程。
9.抛物线的方程：抛物线的标准方程为y = ax^2 + bx + c，其中a、b、c为常数。
抛物线的顶点坐标为(-b / 2a, c - b^2 / 4a)，焦距为1 / 4a。
圆锥曲线(椭圆、双曲线、抛物线)知识点总结教学提纲
双曲线知识点一、 双曲线的定义：1. 第一定义：到两个定点F 1与F 2的距离之差的绝对值等于定长（＜|F 1F 2|）的点的轨迹（21212F F a PF PF <=-（a 为常数））这两个定点叫双曲线的焦点．要注意两点：（1）距离之差的绝对值.（2）2a ＜|F 1F 2|.当|MF 1|－|MF 2|=2a 时，曲线仅表示焦点F 2所对应的一支； 当|MF 1|－|MF 2|=－2a 时，曲线仅表示焦点F 1所对应的一支；当2a =|F 1F 2|时，轨迹是一直线上以F 1、F 2为端点向外的两条射线；当2a ＞|F 1F 2|时，动点轨迹不存在.2. 第二定义：动点到一定点F 的距离与它到一条定直线l 的距离之比是常数e (e ＞1)时，这个动点的轨迹是双曲线这定点叫做双曲线的焦点，定直线l 叫做双曲线的准线二、双曲线的标准方程：12222=-b y a x （a ＞0，b ＞0）(焦点在x 轴上)；12222=-bx a y （a ＞0，b ＞0）(焦点在y 轴上)；1. 如果2x 项的系数是正数，则焦点在x 轴上；如果2y 项的系数是正数，则焦点在y 轴上. a 不一定大于b.2. 与双曲线12222=-b y a x 共焦点的双曲线系方程是12222=--+kb y k a x 3. 双曲线方程也可设为：221(0)x y mn m n-=> 例题：已知双曲线C 和椭圆221169x y +=有相同的焦点，且过(3,4)P 点，求双曲线C 的轨迹方程。
三、点与双曲线的位置关系，直线与双曲线的位置关系： 1 点与双曲线：点00(,)P x y 在双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的内部2200221x y a b ⇔->点00(,)P x y 在双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的外部2200221x y a b ⇔-<点00(,)P x y 在双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>上220022-=1x y a b⇔2 直线与双曲线：（代数法）设直线:l y kx m =+，双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 联立解得02)(222222222=----b a m a mkx a x k a b1) 0m =时，b bk a a-<<直线与双曲线交于两点（左支一个点右支一个点）；b k a ≥，bk a≤-，或k 不存在时直线与双曲线没有交点；2) 0m ≠时，k 存在时，若0222=-k a babk ±=，直线与双曲线渐近线平行，直线与双曲线相交于一点；若2220b a k -≠，222222222(2)4()()a mk b a k a m a b ∆=-----2222224()a b m b a k =+-0∆>时，22220m b a k +->，直线与双曲线相交于两点； 0∆<时，22220m b a k +-<，直线与双曲线相离，没有交点；0∆=时22220m b a k +-=，2222m b k a +=直线与双曲线有一个交点； 若k 不存在，a m a -<<时，直线与双曲线没有交点； m a m a ><-或直线与双曲线相交于两点； 3. 过定点的直线与双曲线的位置关系：设直线:l y kx m =+过定点00(,)P x y ，双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x1).当点00(,)P x y 在双曲线内部时：b bk a a-<<，直线与双曲线两支各有一个交点； a bk ±=，直线与双曲线渐近线平行，直线与双曲线相交于一点；b k a >或bk a<-或k 不存在时直线与双曲线的一支有两个交点；2).当点00(,)P x y 在双曲线上时：bk a =±或2020b x k a y =，直线与双曲线只交于点00(,)P x y ；b bk a a -<<直线与双曲线交于两点（左支一个点右支一个点）； 2020b x k a y >（00y ≠）或2020b x b k a a y << （00y ≠）或bk a <-或k 不存在，直线与双曲线在一支上有两个交点； 当00y ≠时，bk a =±或k 不存在，直线与双曲线只交于点00(,)P x y ；b k a >或bk a <-时直线与双曲线的一支有两个交点；b bk a a-<<直线与双曲线交于两点（左支一个点右支一个点）； 3).当点00(,)P x y 在双曲线外部时： 当()0,0P 时，b bk a a -<<，直线与双曲线两支各有一个交点； b k a ≥或bk a ≤或k 不存在，直线与双曲线没有交点；当点0m ≠时，k =00(,)P x y 的直线与双曲线相切 bk a=±时，直线与双曲线只交于一点；几何法：直线与渐近线的位置关系例：过点(0,3)P 的直线l 和双曲线22:14y C x -=，仅有一个公共点，求直线l 的方程。
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圆锥曲线方程 知识要点一、椭圆方程及其性质.1. 椭圆的第一定义：为端点的线段以无轨迹方程为椭圆21212121212121,2,2,2F F F F a PF PF F F a PF PF F F a PF PF ==+=+=+椭圆的第二定义：，PF 点P 到定点F 的距离,d 为点P 到直线l 的距离 其中F 为椭圆焦点，l 为椭圆准线①椭圆的标准方程：的参数方程为（20πθ）（现在了解，后面选修4-4要详细讲）.②通径：垂直于对称轴且过焦点的弦叫做通径，椭圆通径长为ab 22③设椭圆：上弦AB 的中点为M (x 0,y 0),则斜率k AB =,对椭圆：, 则k AB =．弦长AB = ⑸若P 是椭圆：上的点.21,F F 为焦点，若θ=∠21PF F ，则21F PF ∆的面积为2tan 2θb （可用余弦定理及a PF PF 221=+推导）. 若是双曲线，则面积为. 二、双曲线方程及其性质.1. 双曲线的第一定义：的一个端点的一条射线以无轨迹方程为双曲线21212121212121,222F F F F a PF PF F F a PF PF F F a PF PF ==-=-=-双曲线的第二定义：，PF 点P 到定点F 的距离,d 为点P 到直线l 的距离 其中F 为双曲线的焦点，l 为双曲线的准线注：①双曲线标准方程：)0,(1),0,(12222b a b x a y b a b y a x =-=-.参数方程：或 . （现在了解，后面选修4-4要详细讲）②通径：垂直于对称轴且过焦点的弦叫做通径，椭圆通径长为ab 22③焦半径：对于双曲线方程（21,F F 分别为双曲线的左、右焦点或上、下焦点）构成满足a MF MF 221=-④设双曲线：上弦AB 的中点为M (x 0,y 0),则斜率k AB =,对双曲线：, ⑤常设及渐近线相同的双曲线方程为；常设渐近线方程为0mx ny ±=的双曲线方程为2222m x n y λ-= 例如：若双曲线一条渐近线为x y 21=且过)21,3(-p ，求双曲线的方程？ ⑥从双曲线一个焦点到另一条渐近线的距离等于b⑦直线及双曲线的位置关系：将直线方程代入双曲线方程得到一元二次方程，讨论方程二次项系数和∆三、抛物线方程及其性质.抛物线的定义：PF d =，PF 为点P 到定点F 的距离,d 为点P 到直线l 其中F 为抛物线的焦点，l 为抛物线的准线设0 p ，抛物线的标准方程、类型及其几何性质：注：①抛物线通径为2p ，这是过焦点的所有弦中最短的.②px y 22=（或py x 22=）的参数方程为（或）（t为参数）. （现在了解，后面选修4-4要详细讲）4.抛物线的焦半径、焦点弦.（抛物线中常用结论和方法）如图所示，抛物线方程为y 2＝2px (p ＞0)． (1)焦半径设A 点在准线上的射影为A 1，设A (x 1，y 1)，准线方程为x ＝－p2，由抛物线定义|AF |＝|AA 1|＝x 1＋p2. 抛物线上任意一条弦的弦长为 (2)关于抛物线焦点弦的几个结论设AB 为过抛物线y 2＝2px (p ＞0)焦点的弦，A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)，AB 中点为00(,)M x y ，直线AB的倾斜角为θ，则①x 1x 2＝p 24，y 1y 2＝－p 2，12x x ≠时，有②|AB |＝2psin 2θ＝x 1＋x 2＋p =，，③以AB 为直径的圆及准线相切；④焦点F 对A 、B 在准线上射影的张角为90°； ⑤1|F A |＋1|FB |＝2p .四、圆锥曲线的统一定义..4. 圆锥曲线的统一定义：平面内到定点F 和定直线l 的距离之比为常数e 的点的轨迹.当10 e 时，轨迹为椭圆；当1=e 时，轨迹为抛物线；当1 e 时，轨迹为双曲线；当0=e 时，轨迹为圆（a ce =，当b a c ==,0时）.5. 圆锥曲线方程具有对称性. 例如：椭圆的标准方程对原点的一条直线及双曲线的交点是关于原点对称的.因为具有对称性，所以欲证AB=CD, 即证AD 及BC 的中点重合即可.导数的基础知识一．导数的定义：0000000()()()'()'|lim()()()'()'limx x x x f x x f x y f x x x f x y xf x x f x y f x f x y x=∆→∆→+∆-====∆+∆-===∆1.(1).函数在处的导数: (2).函数的导数:2.利用定义求导数的步骤：①求函数的增量：00()()y f x x f x ∆=+∆-；②求平均变化率：00()()f x x f x y x x+∆-∆=∆∆； ③取极限得导数：（下面内容必记）二、导数的运算：（1）基本初等函数的导数公式及常用导数运算公式：①'0()C C =为常数；②1()'n n x nx -=；；1()'m mnn m x x n-==③(sin )'cos x x =； ④(cos )'sin x x =- ⑤()'xxe e = ⑥()'ln (0,1)xxa a a a a =>≠且； ⑦； ⑧1(log )'(0,1)ln a x a a x a=>≠且 法则1：[()()]''()'()f x g x f x g x ±=±；(口诀：和差的导数等于导数的和差). 法则2：[()()]''()()()'()f x g x f x g x f x g x ⋅=⋅+⋅(口诀：左导右不导+左不导右导)法则3：2()'()()()'()[]'(()0)()[()]f x f xg x f x g x g x g x g x ⋅-⋅=≠ (口诀：(上导下不导-上不导下导)÷下平方)（2）复合函数(())y f g x =的导数求法：(理科必须掌握)①换元，令()u g x =，则()y f u =②分别求导再相乘[][]'()'()'y g x f u =⋅③回代()u g x = 题型一、导数定义的理解 题型二：导数运算 1、已知()22sin f x x x π=+-，则()'0f =2、若()sin x f x e x =，则()'f x =3.)(x f =ax 3+3x 2+2 ，4)1(=-'f ，则a =（ ）319.316.313.310.D C B A 三．导数的物理意义1.求瞬时速度：物体在时刻0t 时的瞬时速度0V 就是物体运动规律()S f t =在0t t = 时的导数()0f t '，即有()00V f t '=。
2.'()V S t =表示即时速度。
'()a V t =表示加速度。
四．导数的几何意义：函数()f x 在0x 处导数的几何意义，曲线()y f x =在点()()00,P x f x 处切线的斜率是()0k f x '=。
于是相应的切线方程是：()()000y y f x x x '-=-。
题型三．用导数求曲线的切线 注意两种情况：（1）曲线()y f x =在点()()00,P x f x 处切线：性质：()0k f x '=切线。
相应的切线方程是：()()000y y f x x x '-=-（2）曲线()y f x =过点()00,P x y 处切线(有可能点P 不在曲线上)：先设切点，切点为(,)Q a b ,则斜率k='()f a ，切点(,)Q a b 在曲线()y f x =上，切点(,)Q a b 在切线()()00y y f a x x '-=-上，切点(,)Q a b 坐标代入方程得关于a,b 的方程组，解方程组来确定切点，最后求斜率k='()f a ，确定切线方程。
例题在曲线y=x 3+3x 2+6x-10的切线中，求斜率最小的切线方程；解析：（1）3)1x (36x 62x 3|'y k 2000x x 0++=++===当x 0=-1时，k 有最小值3，此时P 的坐标为（-1，-14）故所求切线的方程为3x-y-11=0五．函数的单调性：设函数()y f x =在某个区间内可导，（1）'()0f x >⇒()f x 该区间内为增函数； （2）'()0f x <⇒()f x 该区间内为减函数；注意：当'()f x 在某个区间内个别点处为零，在其余点处为正（或负）时，()f x 在这个区间上仍是递增（或递减）的。
（3）()f x 在该区间内单调递增⇒'()0f x ≥在该区间内恒成立； （4）()f x 在该区间内单调递减⇒'()0f x ≤在该区间内恒成立； 题型一、利用导数证明（或判断）函数f (x)在某一区间上单调性： 步骤： （1）求导数 )(x f y '='(2)判断导函数)(x f y '='在区间上的符号 (3)下结论①'()0f x >⇒()f x 该区间内为增函数； ②'()0f x <⇒()f x 该区间内为减函数； 题型二、利用导数求单调区间求函数)(x f y =单调区间的步骤为：（1）分析 )(x f y =的定义域； （2）求导数 )(x f y '=' （3）解不等式0)(>'x f ，解集在定义域内的部分为增区间 （4）解不等式0)(<'x f ，解集在定义域内的部分为减区间 题型三、利用单调性求参数的取值（转化为恒成立问题）思路一.（1）()f x 在该区间内单调递增⇒'()0f x ≥在该区间内恒成立； （2）()f x 在该区间内单调递减⇒'()0f x ≤在该区间内恒成立；思路二.先求出函数在定义域上的单调增或减区间，则已知中限定的单调增或减区间是定义域上的单调增或减区间的子集。
注意：若函数f （x ）在（a ，c ）上为减函数，在（c ，b ）上为增函数，则x=c 两侧使函数f '（x ）变号，即x=c 为函数的一个极值点，所以'()0f c = 例题．若函数，若)5(),4(),3(f c f b f a ===则( )A. a< b < cB. c < b < aC. c < a < bD. b < a < c六、函数的极值及其导数的关系：1.①极值的定义：设函数()f x 在点0x 附近有定义，且若对0x 附近的所有的点都有0()()f x f x <（或0()()f x f x >，则称0()f x 为函数的一个极大（或小）值，0x 为极大（或极小）值点。