圆锥曲线知识点全归纳完整精华版图文稿
完美版圆锥曲线知识点总结
p 0 叫做抛物线的标准方程。
p p ,0） ，它的准线方程是 x ； 2 2
注意：它表示的抛物线的焦点在 x 轴的正半轴上，焦点坐标是 F（ （2）抛物线的性质
一条抛物线，由于它在坐标系的位置不同，方程也不同，有四种不同的情况，所以抛物线的标准方程还有其 他几种形式： y 2 2 px ， x 2 2 py ， x 2 2 py .这四种抛物线的图形、标准方程、焦点坐标以及准线方程如 下表：
x2 y2 ①范围：从标准方程 2 2 1 ，看出曲线在坐标系中的范围：双曲线在两条直线 x a 的外侧。即 a b x 2 a 2 ， x a 即双曲线在两条直线 x a 的外侧。
②对称性：双曲线
x2 y2 1 关于每个坐标轴和原点都是对称的，这时，坐标轴是双曲线的对称轴，原点 a2 b2
Aa Bb C A2 B 2
定义
与定点和直线的距离相等的 点的轨迹.
轨迹条件
点集：({M｜｜MF1+｜MF2｜ =2a,｜F 1F2｜＜2a}.
点集：{M｜｜MF1｜-｜MF2｜. =±2a,｜F2F2｜＞2a}.
c 叫椭圆的离心率。∵ a c 0 ，∴ 0 e 1 ，且 e 越接近 1 ， c 就 a
越接近 a ，从而 b 就越小，对应的椭圆越扁；反之， e 越接近于 0 ， c 就越接近于 0 ，从而 b 越接近于 a ，这时 椭圆越接近于圆。当且仅当 a b 时， c 0 ，两焦点重合，图形变为圆，方程为 x 2 y 2 a 2 。
4. 高考数学圆锥曲线部分知识点梳理
一、方程的曲线： 在平面直角坐标系中，如果某曲线 C(看作适合某种条件的点的集合或轨迹 )上的点与一个二元方程 f(x,y)=0 的 实数解建立了如下的关系：(1)曲线上的点的坐标都是这个方程的解；(2)以这个方程的解为坐标的点都是曲线上 的点，那么这个方程叫做曲线的方程；这条曲线叫做方程的曲线。 点与曲线的关系：若曲线 C 的方程是 f(x,y)=0，则点 P0(x0,y0)在曲线 C 上 f(x0,y 0)=0；点 P0(x0,y0)不在曲线 C 上 f(x0,y0)≠0。 两条曲线的交点：若曲线 C1，C2 的方程分别为 f1(x,y)=0,f2(x,y)=0,则点 P0(x0,y0)是 C1，C2 的交点
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高中数学知识点 一圆锥曲线部分、平面解析几何的知识结构:炭|»■汕旷崔乂 —■ 才程，人闻性息、考点(限考)概要:1、椭圆：(1)轨迹定义：①定义一：在平面内到两定点的距离之和等于定长的点的轨迹是椭圆，两定点是焦点，两定点间距离是焦距，且定长 2a 大于焦距2c 。
用集合表示为:｛刊昭+昭 =2肚,<2c?,巩出为定点｝②定义二：在平面内到定点的距离和它到一条定直线的距离之比是个常数e ，那么这个点的轨迹叫做椭圆。
其中定点叫焦点，定直线叫准线，常数e 是离心率。
用集合表示为:厂国丽F •诵和廊阿 HSi^HSSJ^Tjj L|闿箫MWBUW 旧展rBe aglr ff<* 人卄武 -TRU ：在虹 L-fttW —ifeBSMKEA■・—奥・/RAgTE Em严闌* IS 幣内CL 耐 严・寰丫Lesgg*&和 <«)MtLlweA^B€ff«^B>g* < lt> 的比较4 山RHHA5il曲测6“旳左丈吞穴育啟/UMfl■相FT?F- = % 0 < f < k F为定点9 £为动点到定言线的距离e越小，椭圆越圆；e越大，椭圆越扁(2)标准方程和性质：2 2①范围：由标准方程^2 爲1知|x| a，|y| b，说明椭圆位于直线x a，a by b所围成的矩形里；②对称性：在曲线方程里，若以y代替y方程不变，所以若点(x, y)在曲线上时，点(x, y)也在曲线上，所以曲线关于x轴对称，同理，以x代替x方程不变，则曲线关于y 轴对称。
若同时以x代替x，y代替y方程也不变，则曲线关于原点对称。
所以，椭圆关于x轴、y轴和原点对称。
这时，坐标轴是椭圆的对称轴，原点是对称中心，椭圆的对称中心叫椭圆的中心；③顶点：确定曲线在坐标系中的位置，常需要求出曲线与x轴、y轴的交点坐标。
在椭圆的标准方程中，令x 0，得y b，则B1(0, b)，B2(0,b)是椭圆与y轴的两个交点。
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圆锥曲线的方程与性质1．椭圆1)椭圆概念的焦点，两焦点的距离 2c 叫椭圆的焦距。
若 M 为椭圆上任意一点，则有 | MF 1 | | MF 2 | 2a 。
表示焦点在 y 轴上的椭圆。
2)椭圆的性质方程也不变，则曲线关于原点对称。
所以，椭圆关于 x 轴、 y 轴和原点对称。
这时，坐标轴是椭圆的对称轴，原点是对称中心，椭圆的对称中心 叫椭圆的中心；③ 顶点：确定曲线在坐标系中的位置，常需要求出曲线与 x 轴、 y 轴的交点坐标。
在椭圆的标准方程中，令平面内与两个定点 F 1 、 F 2 的距离的和等于常数2a (大于 |F 1F 2 | )的点的轨迹叫做椭圆。
这两个定点叫做椭圆 椭圆的标准方程为：22xy 22 ab0 )(焦点在 x 轴上)2y2 a2xx2 1（ a b 0 ） b2焦点在 y 轴上)。
注：①以上方程中a,b 的大小 a b 0 ，其中 b 22c ；22②在 a x 22 b y 22221和a 2b 2 1 两个方程中都有 a 0的条件，要分清焦点的位置，只要看x2和 y2的分母的大小。
例如椭圆m 0， n 0， m n )当 m n 时表示焦点在 x 轴上的椭圆； 当m n 时2 x①范围：由标准方程 2a 22 yb 21知|x| a ，| y| b ，说明椭圆位于直线 x a ， b 所围成的矩形里； ②对称性：在曲线方程里， 若以y 代替 y 方程不变，所以若点 (x, y)在曲线上时，(x, y) 也在曲线上，所以曲线关于 x 轴对称，同理，以 x 代替 x 方程不变，则曲线关于 y 轴对称。
若同时以 x 代替 x ， y 代替 y半轴长和短半轴长。
由椭圆的对称性知： 椭圆的短轴端点到焦点的距离为 a ；在 Rt OB 2F 2中，|OB 2 | b ，|OF 2| c ，| B 2F 2 | a ， 且|OF 2|2 | B 2F 2 |2 |OB 2 |2 ，即 c 2 a 2 b 2；c④离心率： 椭圆的焦距与长轴的比 e 叫椭圆的离心率 。
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圆锥曲线的方程与性质1.椭圆（1）椭圆概念的焦点，两焦点的距离2c 叫椭圆的焦距。
若 M为椭圆上任意一点，则有|MF 1 I |MF 2 I 2a 。
0的条件，要分清焦点的位置，只要看 X 2和y 2的分表示焦点在y 轴上的椭圆。
（2）椭圆的性质方程也不变，则曲线关于原点对称。
所以，椭圆关于X 轴、y 轴和原点对称。
这时，坐标轴是椭圆的对称轴，原点是对称中心，椭圆的对称中心 叫椭圆的中心;X 0，得y b ，则B 1（0, b ）， B 2（0,b ）是椭圆与y 轴的两个交点。
同理令 y 0得X a ，即A （ a,0），A 2（a,0）是椭圆与X 轴的两个交点。
所以，椭圆与坐标轴的交点有四个，这四个交点叫做椭圆的顶点。
平面内与两个定点 F 1、F 2的距离的和等于常数2a （大于IF 1F 2I ）的点的轨迹叫做椭圆。
这两个定点叫做椭圆上）。
椭圆的标准方程为:22Xy22a b0）（焦点在 x 轴上）2y a 2XP 1 （ a b 0 ）（焦点在y 轴b 2注：①以上方程中 a,b 的大小 a b 0,其中b 2母的大小。
例如椭圆2y nn ）当m n 时表示焦点在X 轴上的椭圆；当 m n 时1两个方程中都有aX 2①范围：由标准方程a1知|X| a ，|y| b ，说明椭圆位于直线 X a ，b 所围成的矩形里; ②对称性：在曲线方程里, 若以 y 代替y 方程不变，所以若点（X, y ）在曲线上时,（X, y ）也在曲线上, 所以曲线关于X 轴对称，同理，以X 代替X 方程不变，则曲线关于 y 轴对称。
若同时以X 代替X ， y 代替y③ 顶点：确定曲线在坐标系中的位置，常需要求出曲线与X 轴、y 轴的交点坐标。
在椭圆的标准方程中，令焦距。
（2）双曲线的性质同时，线段 AA 、B 1B 2分别叫做椭圆的长轴和短轴，它们的长分别为 2a 和2b , a 和b 分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长。
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【最新整理，下载后即可编辑】圆锥曲线―概念、方法、题型、及应试技巧总结1.圆锥曲线的两个定义：（1）第一定义中要重视“括号”内的限制条件：椭圆中，与两个定点F 1，F 2的距离的和等于常数2a ，且此常数2a 一定要大于21F F ，当常数等于21F F 时，轨迹是线段F 1F 2，当常数小于21F F 时，无轨迹；双曲线中，与两定点F 1，F 2的距离的差的绝对值等于常数2a ，且此常数2a 一定要小于|F 1F 2|，定义中的“绝对值”与2a ＜|F 1F 2|不可忽视。
若2a ＝|F 1F 2|，则轨迹是以F 1，F 2为端点的两条射线，若2a ﹥|F 1F 2|，则轨迹不存在。
若去掉定义中的绝对值则轨迹仅表示双曲线的一支。
如方程8=表示的曲线是_____（答：双曲线的左支）（2）第二定义中要注意定点和定直线是相应的焦点和准线，且“点点距为分子、点线距为分母”，其商即是离心率e 。
圆锥曲线的第二定义，给出了圆锥曲线上的点到焦点距离与此点到相应准线距离间的关系，要善于运用第二定义对它们进行相互转化。
如已知点)0,22(Q 及抛物线42x y =上一动点P （x ,y ）,则y+|PQ|的最小值是_____（答2）2.圆锥曲线的标准方程（标准方程是指中心（顶点）在原点，坐标轴为对称轴时的标准位置的方程）：（1）椭圆：焦点在x 轴上时12222=+by a x （0a b >>），焦点在y轴上时2222bx a y +＝1（0a b >>）。
方程22Ax By C +=表示椭圆的充要条件是什么？（ABC ≠0，且A ，B ，C 同号，A ≠B ）。
如（1）已知方程12322=-++ky k x 表示椭圆，则k 的取值范围为____（答：11(3,)(,2)22---）；（2）若R y x ∈,，且62322=+y x ，则y x +的最大值是____，22y x +的最小值是___2）（2）双曲线：焦点在x 轴上：2222by a x - =1，焦点在y 轴上：2222bx a y -＝1（0,0a b >>）。
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4．方程 Ax2 By 2 C ( A, B, C均不为零） 是表示椭圆的条件
方程 Ax 2 By 2 C 可化为 Ax 2 By 2 1 ，即 x 2 By 2 1，所以只有 A、 B、 C同号，
CC
CC
AB
且 A B 时，方程表示椭圆。 当 C
C
时，椭圆的焦点在
x 轴上； 当 C
C
时，椭圆的焦点在
y
AB
AB
轴上。
5．求椭圆标准方程的常用方法：
①待定系数法：由已知条件确定焦点的位置，从而确定椭圆方程的类型，设出标准方程，再
由条件确定方程中的参数 a,b, c 的值。其主要步骤是“先定型，再定量”；
②定义法：由已知条件判断出动点的轨迹是什么图形，然后再根据定义确定方程。
F1 (0, c) F2 (0, c)
3
焦点在实轴上， c 顶点坐标 （ a ,0 ） ( a ,0)
2
2
a b ；焦距： F1F2 2c
(0, a ,) (0 ， a )
离心率
渐近线 方程
ec a
b2 1 a2 ,( e 1)
y bx a
共渐近线 的双曲线
x2 a2
y2 b2
k （ k 0）
系方程
分别表示椭圆的长半轴长、短半轴长和半焦距长，均为正数，且三个量的大小关系为：
(a b 0) ， (a c 0) ，且 ( a2 b2 c2 ) 。
可借助右图理解记忆：
a, b, c 恰构成一个直角三角形的三条边，其中 a 是斜边， b、c 为两条直角边。
3．如何由椭圆标准方程判断焦点位置 椭圆的焦点总在长轴上，因此已知标准方程，判断焦点位置的方法是：
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圆锥曲线的方程与性质1．椭圆（1）椭圆概念平面内与两个定点1F 、2F 的距离的和等于常数2a （大于21||F F ）的点的轨迹叫做椭圆。
这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点的距离2c 叫椭圆的焦距。
若M 为椭圆上任意一点，则有21||||2MF MF a +=。
椭圆的标准方程为：22221x y a b +=（0a b >>）（焦点在x 轴上）或12222=+bx a y （0a b >>）（焦点在y 轴上）。
注：①以上方程中,a b 的大小0a b >>，其中222b ac =-；②在22221x y a b +=和22221y x a b +=两个方程中都有0a b >>的条件，要分清焦点的位置，只要看2x 和2y 的分母的大小。
例如椭圆221x y m n+=（0m >，0n >，m n ≠）当m n >时表示焦点在x 轴上的椭圆；当m n <时表示焦点在y 轴上的椭圆。
（2）椭圆的性质①范围：由标准方程22221x y a b+=知||x a ≤，||y b ≤，说明椭圆位于直线x a =±，y b =±所围成的矩形里；②对称性：在曲线方程里，若以y -代替y 方程不变，所以若点(,)x y 在曲线上时，点(,)x y -也在曲线上，所以曲线关于x 轴对称，同理，以x -代替x 方程不变，则曲线关于y 轴对称。
若同时以x -代替x ，y -代替y 方程也不变，则曲线关于原点对称。
所以，椭圆关于x 轴、y 轴和原点对称。
这时，坐标轴是椭圆的对称轴，原点是对称中心，椭圆的对称中心叫椭圆的中心；③顶点：确定曲线在坐标系中的位置，常需要求出曲线与x 轴、y 轴的交点坐标。
在椭圆的标准方程中，令0x =，得y b =±，则1(0,)B b -，2(0,)B b 是椭圆与y 轴的两个交点。
同理令0y =得x a =±，即1(,0)A a -，2(,0)A a 是椭圆与x 轴的两个交点。
圆锥曲线知识点全归纳(完整精华版)
焦点三角形面积公式椭圆=b²tan(a／2)=c|y0|双曲线=b²cot（a／2)。
即椭圆:x0x/a^2+y0y/b^2=1;
双曲线：x0x/a^2-y0y/b^2=1；
抛物线:y0y=p(x0+x)
四、焦准距
圆锥曲线的焦点到准线的距离p叫圆锥曲线的焦准距，或焦参数。
椭圆的焦准距:p=(b^2)/c
双曲线的焦准距:p=(b^2)/c
抛物线的准焦距:p
五、通径
圆锥曲线中，过焦点并垂直于轴的弦成为通径。
2.点差法，或称代点相减法。
设出弦的两端点坐标(x1,y1)和(x2,y2)，代入圆锥曲线的方程，将得到的两个方程相减,运用平方差公式得[(x1+x2)·(x1-x2)]/(a^2)+[(y1+y2)·(y1-y2)/(b^2]=0由斜率为(y1-y2)/(x1-x2)可以得到斜率的取值。（使用时注意判别式的问题）
2）双曲线
文字语言定义：平面内一个动点到一个定点与一条定直线的距离之比是一个大于1的常数e。定点是双曲线的焦点，定直线是双曲线的准线,常数e是双曲线的离心率。
标准方程：
1.中心在原点,焦点在x轴上的双曲线标准方程：(x^2/a^2)-(y^2/b^2)=1
其中a>0,b>0,c^2=a^2+b^2.
椭圆的通径:(2b^2)/a
双曲线的通径:(2b^2)/a
抛物线的通径:2p
六、圆锥曲线的性质对比
见下图：
七、圆锥曲线的中点弦问题
已知圆锥曲线内一点为圆锥曲线的一弦中点，求该弦的方程
⒈联立方程法。
用点斜式设出该弦的方程(斜率不存在的情况需要另外考虑),与圆锥曲线方程联立求得关于x的一元二次方程和关于y的一元二次方程，由韦达定理得到两根之和的表达式，在由中点坐标公式的两根之和的具体数值，求出该弦的方程。
圆锥曲线知识点汇总 ppt课件
M F 1M F 2 2a2c
6 4
定义
不 图形 同 点
平面内到两个定点F1，F2的距离的和等 于常数（大于F1F2）的点的轨迹
y y P
F2 P
F1 O F2
x
O
x
F1
标准方程
x2
y2 +
=1a>b>0
a2 b2
x2
y2 +
=1a>b>0
b2 a2
1
3.抛物线只有一个顶点、一个
焦点、y一2=条2准x线
;
-2
2
4
6
8
10
-1
-2
4.抛物线的离心率是-3 确定的,为1;
-4
-5
5.抛物线标准方程中的p对抛物线开口的影响.
P越大,开口越开阔
31
图 形 方程 焦点 准线 范围 顶点 对称轴 e
y
l OF
x
y2 = 2px （p>0）
F
(
p 2
,0)
焦点坐标
半轴长
离心率 a、b、c的关 系
(c,0)、(-c,0)
(0 , c)、(0, -c)
长轴长为2a,短轴长为2b. 焦距为2c
e c a
(0<e<1)
c2=a2-b2
13
椭圆离心率的取值范围？离心率变 化对椭圆的扁平程度有什么影响？ e∈(0，1). e越接近于0，椭圆越圆； e越接近于1，椭圆越扁.
y2 x2 1
16 9
可得实半轴长a=4，虚半轴长b=3
焦点坐标为（0，-5）、（0，5）
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高中数学圆锥曲线选知识点总结一、椭圆1、定义：平面内与两个定点1F ，2F 的距离之和等于常数（大于12F F ）的点的轨迹称为椭圆．即：|)|2(,2||||2121F F a a MF MF >=+。
这两个定点称为椭圆的焦点，两焦点的距离称为椭圆的焦距． 2、椭圆的几何性质：2222二、双曲线1、定义：平面内与两个定点1F ，2F 的距离之差的绝对值等于常数（小于12F F ）的点的轨迹称为双曲线．即：|)|2(,2||||||2121F F a a MF MF <=-。
这两个定点称为双曲线的焦点，两焦点的距离称为双曲线的焦距．2、双曲线的几何性质：22x y 22y x 5、实轴和虚轴等长的双曲线称为等轴双曲线． 三、抛物线1、定义：平面内与一个定点F 和一条定直线l 的距离相等的点的轨迹称为抛物线．定点F 称为抛物线的焦点，定直线l 称为抛物线的准线．2、抛物线的几何性质：3、过抛物线的焦点作垂直于对称轴且交抛物线于A 、B 两点的线段AB ，称为抛物线的“通径”，即2p AB =．4、关于抛物线焦点弦的几个结论：设AB 为过抛物线22(0)y px p =>焦点的弦，1122(,)(,)A x y B x y 、，直线AB 的倾斜角为θ，则⑴ 221212,;4p x x y y p ==- ⑵ 22;sin p AB θ= ⑶ 以AB 为直径的圆与准线相切； ⑷ 焦点F 对A B 、在准线上射影的张角为2π；⑸112.||||FA FB P+= 四、直线与圆锥曲线的位置关系⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⎩⎨⎧⎩⎨⎧繁琐）利用两点间距离公式（易）利用一般弦长公式（容弦长问题直线与圆锥曲线相交的系）直线与圆锥曲线位置关代数角度（适用于所有)位置关系主要适用于直线与圆的(几何角度关系直线与圆锥曲线的位置直线与圆锥曲线.12.直线与圆锥曲线的位置关系：⑴.从几何角度看：（特别注意）要特别注意当直线与双曲线的渐进线平行时，直线与双曲线只有一个交点；当直线与抛物线的对称轴平行或重合时，直线与抛物线也只有一个交点。
(完整版)圆锥曲线方程知识点总结
§8.圆锥曲线方程 知识要点一、椭圆方程.1. 椭圆方程的第一定义：为端点的线段以无轨迹方程为椭圆21212121212121,2,2,2F F F F a PF PF F F a PF PF F F a PF PF ==+=+=+ ⑴①椭圆的标准方程：i. 中心在原点，焦点在x 轴上：)0(12222 b a by ax=+. ii. 中心在原点，焦点在y 轴上：)0(12222b a b x a y=+.②一般方程：)0,0(122 B A By Ax =+.③椭圆的标准方程：12222=+b y a x 的参数方程为⎩⎨⎧==θθsin cos b y a x （一象限θ应是属于20πθ ）.⑵①顶点：),0)(0,(b a ±±或)0,)(,0(b a ±±.②轴：对称轴：x 轴，y 轴；长轴长a 2，短轴长b 2.③焦点：)0,)(0,(c c -或),0)(,0(c c -.④焦距：2221,2b a c c F F -==.⑤准线：c a x 2±=或ca y 2±=.⑥离心率：)10( e ace =.⑦焦点半径：i. 设),(00y x P 为椭圆)0(12222b a b y a x =+上的一点，21,F F 为左、右焦点，则ii.设),(00y x P 为椭圆)0(12222 b a a y b x =+上的一点，21,F F 为上、下焦点，则由椭圆第二定义可知：)0()(),0()(0002200201 x a ex x ca e pF x ex a c a x e pF -=-=+=+=归结起来为“左加右减”.注意：椭圆参数方程的推导：得→)sin ,cos (θθb a N 方程的轨迹为椭圆. ⑧通径：垂直于x 轴且过焦点的弦叫做通经.坐标：,(2222a b c a b d -=和,(2ab c ⑶共离心率的椭圆系的方程：椭圆)0(12222 b a b y a x =+的离心率是)(22b a c ace -==，方程t t b y a x (2222=+是大于0的参数，)0 b a 的离心率也是ac e =我们称此方程为共离心率的椭圆系方程.⑸若P 是椭圆：12222=+b y a x 上的点.21,F F 为焦点，若θ=∠21PF F ，则21F PF ∆的面积为2tan2θb （用⇒-=+=0201,ex a PF ex a PF ⇒-=+=0201,ey a PF ey a PF二、双曲线方程.1. 双曲线的第一定义：以无轨迹方程为双曲线21212121212121,222F F F F a PF PF F Fa PF PF F F a PF PF ==-=-=- ⑴①双曲线标准方程：)0,(1),0,(122222222 b a b x a y b a b y a x =-=-.一般方程：)0(122 AC Cy Ax =+.⑵①i. 焦点在x 轴上：顶点：)0,(),0,(a a - 焦点：)0,(),0,(c c - 准线方程c a x 2±= 渐近线方程：0=±b y a x 或02222=-by a x ii. 焦点在y 轴上：顶点：),0(),,0(a a -.焦点：),0(),,0(c c -.准线方程：ca y 2±=.渐近线方程：0=±bxa y 或02222=-b x a y ，参数方程：⎩⎨⎧==θθtan sec b y a x 或⎩⎨⎧==θθsec tan a y b x .②轴y x ,为对称轴，实轴长为2a , 虚轴长为2b ，焦距2c. ③离心率ace =.④准线距c a 22（两准线的距离）；通径ab 22.⑤参数关系ac e b a c =+=,222. ⑥焦点半径公式：对于双曲线方程12222=-b y a x （21,F F 分别为双曲线的左、右焦点或分别为双曲线的上下焦点）“长加短减”原则：（与椭圆焦半径不同，椭圆焦半径要带符号计算，而双曲线不带符号）aex MF a ex MF -=+=0201 构成满足a MF MF 221=-M a ex F M '--='01aey F M aey F M aey MF aey MF -'-='+'-='+=-=02010201 ⑶等轴双曲线：双曲线222a y x ±=-称为等轴双曲线，其渐近线方程为y asin α,)bsin α)N 的轨迹是椭圆λ=-2222b y a x 与λ-=-2222b y a x 互为共轭双曲线，它们具有共同的渐近线：02222=-by a x .⑸共渐近线的双曲线系方程：)0(2222≠=-λλb y a x 的渐近线方程为02222=-b y a x 如果双曲线的渐近线为0=±b ya x 时，它的双曲线方程可设为)0(2222≠=-λλby a x .例如：若双曲线一条渐近线为x y 21=且过21,3(-p 解：令双曲线的方程为：)0(422≠=-λλy x ，代入)21,3(-得2822=-y x ⑹直线与双曲线的位置关系：区域①：无切线，2条与渐近线平行的直线，合计2条；区域②：即定点在双曲线上，1条切线，2区域③：2条切线，2条与渐近线平行的直线，合计4条；区域④：即定点在渐近线上且非原点，1条切线，1条与渐近线平行的直线，合计2条；区域⑤：即过原点，无切线，无与渐近线平行的直线.小结：1.过定点作直线与双曲线有且仅有一个交点，可以作出的直线数目可能有0、2、3、4条.2.若直线与双曲线一支有交点，交点为二个时，求确定直线的斜率可用代入”“∆法与渐近线求交和两根之和与两根之积同号.⑺若P 在双曲线12222=-by a x ，则常用结论1：从双曲线一个焦点到另一条渐近线的距离等于b.2：P 到焦点的距离为m = n ，则P 到两准线的距离比为m ︰n. 简证：ePF e PF d d 2121= = n m .h i ng 三、抛物线方程.3. 设0 p ，抛物线的标准方程、类型及其几何性质：注：①x c by ay =++2顶点)244(2aba b ac --.②)0(22≠=p px y 则焦点半径2P x PF +=;)0(22≠=p py x 则焦点半径为2P y PF +=.③通径为2p ，这是过焦点的所有弦中最短的.④px y 22=（或py x 22=）的参数方程为⎩⎨⎧==pt y pt x 222（或⎩⎨⎧==222pt y ptx ）（t 为参数）.四、圆锥曲线的统一定义..4. 圆锥曲线的统一定义：平面内到定点F 和定直线l 的距离之比为常数e 的点的轨迹.当10 e 时，轨迹为椭圆；当1=e 时，轨迹为抛物线；当1 e 时，轨迹为双曲线；当0=e 时，轨迹为圆（ace =，当b a c ==,0时）.5. 圆锥曲线方程具有对称性. 例如：椭圆的标准方程对原点的一条直线与双曲线的交点是关于原点对称的.因为具有对称性，所以欲证AB=CD, 即证AD 与BC 的中点重合即可.注：椭圆、双曲线、抛物线的标准方程与几何性质椭圆双曲线抛物线1．到两定点F 1,F 2的距离之和为定值2a(2a>|F 1F 2|)的点的轨迹1．到两定点F 1,F 2的距离之差的绝对值为定值2a(0<2a<|F 1F 2|)的点的轨迹定义2．与定点和直线的距离之比为定值e 的点的轨迹.（0<e<1）2．与定点和直线的距离之比为定值e 的点的轨迹.（e>1）与定点和直线的距离相等的点的轨迹.标准方程12222=+b y a x (b a >>0)12222=-b y a x (a>0,b>0)y 2=2px方程参数方程为离心角）参数θθθ(sin cos ⎩⎨⎧==b y a x 为离心角）参数θθθ(tan sec ⎩⎨⎧==b y a x ⎩⎨⎧==pt y pt x 222(t 为参数)范围─a ≤x ≤a ，─b ≤y ≤b|x| ≥ a ，y ∈R x ≥0中心原点O （0，0）原点O （0，0）顶点(a,0), (─a,0), (0,b) , (0,─b)(a,0), (─a,0)(0,0)对称轴x 轴，y 轴；长轴长2a,短轴长2bx 轴，y 轴;实轴长2a, 虚轴长2b.x 轴焦点F 1(c,0), F 2(─c,0)F 1(c,0), F 2(─c,0))0,2(p F 焦距2c （c=22b a -）2c （c=22b a +）离心率)10(<<=e ace )1(>=e ace e=1准线x=c a 2±x=ca 2±2p x -=渐近线y=±ab x 焦半径exa r ±=p通径ab 22a b 222p焦参数c a 2ca 2P1.方程y 2=ax 与x 2=ay 的焦点坐标及准线方程.2.共渐近线的双曲线系方程.。
高中数学知识点大全—圆锥曲线
、双曲线：
（1）轨迹定义：
①定义一：在平面内到两定点的距离之差的绝对值等于定长的点的轨迹是双曲线，两定点是焦点，两定点间距离是焦距。
用集合表示为：
用集合表示为：
（2）标准方程和性质：
注意：当没有明确焦点在个坐标轴上时，所求的标准方程应有两个。
4、抛物线：
（1）轨迹定义：在平面内到定点和定直线的距离相等的点的轨迹是抛物线，定点是焦点，定直线是准线，定点与定直线间的距离叫焦参数p。
用集合表示为
：
（2）标准方程和性质：
①焦点坐标的符号与方程符号一致，与准线方程的符号相反；
②标准方程中一次项的字母与对称轴和准线方程的字母一致；
③标准方程的顶点在原点，对称轴是坐标轴，有别于一元二次函数的图像；。
圆锥曲线知识点总结ppt
圆锥曲线知识点总结ppt一、圆锥曲线概述圆锥曲线是由平面与圆锥相交而产生的曲线，包括椭圆、双曲线和抛物线。
二、椭圆1. 椭圆方程椭圆的标准方程为：x^2/a^2 + y^2/b^2 = 1其中，a和b分别表示椭圆在x轴和y轴上的半轴长度。
2. 椭圆的性质（1）椭圆的焦点和两焦距（2）椭圆的离心率（3）椭圆的直径和焦径（4）椭圆的参数方程3. 椭圆的图形特点椭圆是一个闭合曲线，其形状类似于圆形，但长轴和短轴不相等。
4. 椭圆的应用椭圆在工程、天文学和艺术等领域有着广泛的应用，比如天体运动的轨道、椭圆弧的建筑设计等。
三、双曲线1. 双曲线方程双曲线的标准方程为：x^2/a^2 - y^2/b^2 = 1其中，a和b分别表示双曲线在x轴和y轴上的半轴长度。
2. 双曲线的性质（1）双曲线的渐近线（2）双曲线的离心率（3）双曲线的准线（4）双曲线的参数方程3. 双曲线的图形特点双曲线有两个分离的无限远焦点，其形状类似于两个相交的直线。
4. 双曲线的应用双曲线在电磁学、光学和工程等领域有着广泛的应用，比如天线的辐射模式和光学系统的设计等。
四、抛物线1. 抛物线方程抛物线的标准方程为：y^2 = 2px其中，p表示焦点到顶点的距离。
2. 抛物线的性质（1）抛物线的焦点和直径（2）抛物线的对称轴和焦直（3）抛物线的参数方程（4）抛物线的渐近线3. 抛物线的图形特点抛物线呈开口朝上或朝下的弧线，其形状类似于水平抛出的物体的轨迹。
4. 抛物线的应用抛物线在物理学、工程学和建筑学等领域有着广泛的应用，比如抛物线天顶镜、抛物线拱门等。
五、圆锥曲线的性质比较1. 焦点和离心率椭圆和双曲线有两个焦点，抛物线有一个焦点。
椭圆的离心率小于1，双曲线的离心率大于1，抛物线的离心率等于1。
2. 渐近线双曲线有两条渐近线，椭圆和抛物线各有一条渐近线。
3. 图形特点椭圆呈闭合曲线，双曲线呈开口曲线，抛物线也呈开口曲线。
4. 应用领域椭圆主要应用于工程、天文学和艺术等领域；双曲线主要应用于电磁学、光学和工程等领域；抛物线主要应用于物理学、工程学和建筑学等领域。
完整版)高三圆锥曲线知识点总结
完整版)高三圆锥曲线知识点总结第八章《圆锥曲线》专题复一、椭圆方程1.椭圆的第一定义：设F1.F2是平面内两个定点，对于任意点P，有PF1 +PF2 = 2a (a。
0)，则称所有满足该性质的点P的轨迹为椭圆。
椭圆的方程为 PF1 + PF2 = 2a，无轨迹为 PF1 + PF2 = 2a，以F1,F2为端点的线段。
2.椭圆的方程形式：①椭圆的标准方程：i。
中心在原点，焦点在x轴上。
x^2/a^2 + y^2/b^2 = 1 (a。
b)。
ii。
中心在原点，焦点在y轴上：x^2/b^2 + y^2/a^2 = 1 (a。
b)。
②一般方程：Ax^2 + By^2 = 1 (A,B不同时为0)。
③椭圆的参数方程：x = a*cosθ，y = b*sinθ (θ ∈ [0,π])。
注意：椭圆参数方程的推导：设点N(acosθ,bsinθ)，则有PF1 + PF2 = 2a，即√[(acosθ - c)^2 + (bsinθ)^2] + √[(acosθ + c)^2 + (bsinθ)^2] = 2a，整理得到x = a*cosθ，y = b*sinθ。
3.椭圆的性质：①顶点：(±a,0)或(0,±b)。
②轴：对称轴为x轴，y轴；长轴长2a，短轴长2b。
③焦点：(±c,0)或(0,±c)，其中c = √(a^2 - b^2)。
④焦距：F1F2 = 2c，c = √(a^2 - b^2)。
⑤准线：x = ±a/e 或 y = ±b/e，其中e为离心率。
⑥离心率：e = c/a。
⑦焦半径：y = ±(b^2 - x^2)^(1/2) 或 x = ±(a^2 - y^2)^(1/2)。
⑧通径：垂直于x轴且过焦点的弦叫做通径，坐标为(±c,d/2)，其中d为通径长度。
4.共离心率的椭圆系的方程：椭圆 x^2/a^2 + y^2/b^2 = 1 的离心率是e = c/a (c = √(a^2 -b^2))，方程 x^2/a^2 + y^2/b^2 = t (t。
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圆锥曲线知识点全归纳
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圆锥曲线知识点全归纳（精华版）
圆锥曲线包括椭圆，双曲线，抛物线。
其统一定义：到定点的距离与到
定直线的距离的比e是常数的点的轨迹叫做圆锥曲线。
当0<e<1时为椭圆：当e=1时为抛物线；当e>1时为双曲线。
一、圆锥曲线的方程和性质：
1）椭圆
文字语言定义：平面内一个动点到一个定点与一条定直线的距离之比是
一个小于1的正常数e。
定点是椭圆的焦点，定直线是椭圆的准线，常数e是椭圆的离心率。
标准方程：
1.中心在原点，焦点在x轴上的椭圆标准方程：(x^2/a^2)+(y^2/b^2)=1?其中a>b>0，c>0，c^2=a^2-b^
2.
2.中心在原点，焦点在y轴上的椭圆标准方程：(x^2/b^2)+(y^2/a^2)=1其中a>b>0，c>0，c^2=a^2-b^2.
参数方程：
X=acosθY=bsinθ(θ为参数，设横坐标为acosθ，是由于圆锥曲线的
考虑，椭圆伸缩变换后可为圆此时c=0，圆的acosθ=r)
2）双曲线
文字语言定义：平面内一个动点到一个定点与一条定直线的距离之比是
一个大于1的常数e。
定点是双曲线的焦点，定直线是双曲线的准线,常
数e是双曲线的离心率。
标准方程：
1.中心在原点,焦点在x轴上的双曲线标准方程：(x^2/a^2)-
(y^2/b^2)=1?
其中a>0,b>0,c^2=a^2+b^2.
2.中心在原点,焦点在y轴上的双曲线标准方程：(y^2/a^2)-
(x^2/b^2)=1.
其中a>0,b>0,c^2=a^2+b^2.
参数方程：
x=asecθy=btanθ(θ为参数)
3）抛物线
标准方程：
1.顶点在原点,焦点在x轴上开口向右的抛物线标准方程：y^2=2px其中p>0
2.顶点在原点,焦点在x轴上开口向左的抛物线标准方程：y^2=-2px其中p>0
3.顶点在原点,焦点在y轴上开口向上的抛物线标准方程：x^2=2py其中p>0
4.顶点在原点,焦点在y轴上开口向下的抛物线标准方程：x^2=-2py其中p>0
参数方程?
x=2pt^2?y=2pt(t为参数)t=1/tanθ(tanθ为曲线上点与坐标原点确定直线的斜率）特别地，t可等于0
直角坐标?
y=ax^2+bx+c(开口方向为y轴,a<>0）x=ay^2+by+c（开口方向为x
轴,a<>0)
圆锥曲线（二次非圆曲线）的统一极坐标方程为?
ρ=ep/(1-e×cosθ)其中e表示离心率，p为焦点到准线的距离。
二、焦半径
圆锥曲线上任意一点到焦点的距离称为焦半径。
圆锥曲线左右焦点为F1、F2,其上任意一点为P(x,y)，则焦半径为：
椭圆|PF1|=a+ex|PF2|=a-ex
双曲线P在左支，|PF1|=－a-ex|PF2|=a-ex
P在右支，|PF1|=a+ex|PF2|=－a+ex
P在下支，|PF1|=－a-ey|PF2|=a-ey
P在上支，|PF1|=a+ey|PF2|=－a+ey
抛物线|PF|=x+p/2
三、圆锥曲线的切线方程?
圆锥曲线上一点P（x0,y0）的切线方程
以x0x代替x^2,以y0y代替y^2;以(x0+x)/2代替x,以(y0+y)/2代替y?即椭圆:x0x/a^2+y0y/b^2=1;
双曲线：x0x/a^2-y0y/b^2=1；
抛物线:y0y=p(x0+x)
四、焦准距
圆锥曲线的焦点到准线的距离p叫圆锥曲线的焦准距，或焦参数。
椭圆的焦准距:p=(b^2)/c?
双曲线的焦准距:p=(b^2)/c?
抛物线的准焦距:p
五、通径
圆锥曲线中，过焦点并垂直于轴的弦成为通径。
椭圆的通径:(2b^2)/a?
双曲线的通径:(2b^2)/a?
抛物线的通径:2p
六、圆锥曲线的性质对比
见下图：
七、圆锥曲线的中点弦问题
已知圆锥曲线内一点为圆锥曲线的一弦中点，求该弦的方程
⒈联立方程法。
用点斜式设出该弦的方程(斜率不存在的情况需要另外考虑),与圆锥曲线方程联立求得关于x的一元二次方程和关于y的一元二次方程，由韦达定理得到两根之和的表达式，在由中点坐标公式的两根之和的具体数值，求出该弦的方程。
2.点差法，或称代点相减法。
设出弦的两端点坐标(x1,y1)和(x2,y2)，代入圆锥曲线的方程，将得到的两个方程相减,运用平方差公式得[(x1+x2)·(x1-
x2)]/(a^2)+[(y1+y2)·(y1-y2)/(b^2]=0由斜率为(y1-y2)/(x1-x2)可以得到斜率的取值。
（使用时注意判别式的问题）
补充：
焦点三角形面积公式椭圆=b2tan(a／2)=c|y0| 双曲线=b2cot（a／2)。