中考数学总复习分层提分训练《三角形》含答案
中考数学总复习《三角形的综合题》专项测试卷-附参考答案
中考数学总复习《三角形的综合题》专项测试卷-附参考答案学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题(共12题；共24分)1．如图，OA⊥OB，OB＝4，P是射线OA上一动点，连接BP，以B为直角顶点向上作等腰直角三角形，在OA上取一点D，使⊥CDO＝45°，当P在射线OA上自O向A运动时，PD的长度的变化（）A．一直增大B．一直减小C．先增大后减小D．保持不变2．如图，△ABC中BF、CF分别平分∠ABC和∠ACB，过点F作DE∥BC交AB于点D，交AC于点E，那么下列结论：①∠DFB=∠DBF；②△EFC为等腰三角形；③△ADE的周长等于△BFC的周长；④∠BFC= 90∘+12∠A.其中正确的是（）A．①②B．①③C．①②④D．①②③④3．如图，在⊥ABC中，已知⊥1＝⊥2，BE＝CD，AB＝5，AE＝2，则CE＝（）A．3B．4C．5D．64．如图，在5×5方格中，每个小方格都是边长为1的正方形，△ABC是格点三角形（即顶点恰好是正方形的顶点），那么与△ABC有一条公共边且全等的所有格点三角形的个数是（）．A．2B．3C．4D．55．有一张矩形纸片ABCD，已知AB=2√2，AD=4，上面有一个以AD为直径的半圆（如图1），E 为边AB上一点，将纸片沿DE折叠，A点恰好落在BC上，此时半圆还露在外面的部分（如图2，阴影部分）的面积是（）A．π−2B．2−π2C．43π−√3D．23π−16．如果下列各组数是三角形的三边，那么不能组成直角三角形的一组数是（）A．7，24，25B．12，412，512C．3，4，5D．4，712，8127．给出下列说法：①在直角三角形ABC中，已知两边长为3和4，则第三边长为5；②三角形的三边a、b、c满足a2+c2＝b2则⊥C＝90°；③⊥ABC中，若⊥A：⊥B：⊥C＝1：5：6则⊥ABC是直角三角形；④⊥ABC中，若a：b：c＝1：2：√3则这个三角形是直角三角形.其中，错误的说法的个数为（）A．1个B．2个C．3个D．4个8．如图，已知菱形ABCD的面积为20，边长为5，点P、Q分别是边BC、CD上的动点，且PC=CQ.连接PD、AQ则PD+AQ的最小值为（）A．4√5B．√89C．2√5+5D．7√29．如图，点D是⊥ABC外的一点，BD，CD分别平分外角∠CBE，∠BCF连接AD交BC于点O．下列结论一定成立的是（）A．DB＝DC B．OA＝ODC．⊥BDA＝⊥CDA D．⊥BAD＝⊥CAD10．如图，点P是正方形ABCD的对角线BD上一点PE⊥BC，PF⊥CD垂足分别为E，F连接AP，EF下列结论：①AP=EF；②AP⊥EF；③△APD与四边形PEFD的面积相等.其中正确的结论是（）A．①②B．①③C．②③D．①②③11．如图，在矩形ABCD中AB=2，∠AOB=60°则BD的长为（）A．1B．2C．3D．412．如图，点D是⊥ABC内一点AD=CD，∠ADB=∠CDB则以下结论①∠DAC=∠DCA；②AB= AC；③BD平分⊥ABC；④BD与AC的位置关系是互相垂直，其中正确的有（）A．4个B．3个C．2个D．1个二、填空题(共6题；共7分)13．如图，△ABC是直角三角形∠ACB=90°，分别以AC、CB为边向两侧作正方形.若图中两个正方形的面积和S1+S2=36，则AB=.14．如图，DE是⊥ABC的中位线，AF是BC边上的中线，DE，AF交于点O.现有以下结论：①DE⊥BC；②OD=14BC；③AO=FO；④S⊥AOD=14S⊥ABC，其中正确结论的序号为。
中考数学总复习《三角形的综合题》练习题及答案
中考数学总复习《三角形的综合题》练习题及答案班级:___________姓名：___________考号：_____________一、单选题1．如图，在平面直角坐标系中直线y=−x与双曲线y=kx交于A、B两点，P是以点C(2，2)为圆心，半径长1的圆上一动点，连结AP，Q为AP的中点.若线段OQ长度的最大值为2，则k的值为（）A．−12B．−32C．−2D．−142．如图，已知AB∥CD，点E在线段AD上（不与点A，点D重合），连接CE.若∠C＝20°，∠AEC＝50°，则∠A＝（）A．10°B．20°C．30°D．40°3．如图，在Rt△ABC中AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB垂足为E．若BC=8cm,BD=5cm则DE的长为（）A．2√3cm B．3cm C．4cm D．5cm4．如图，矩形纸片ABCD中AD=8cm，把纸片沿直线AC折叠，点B落在E处，AE交DC于点O，若AO=10cm，则AB的长为（）A．12cm B．14cm C．16cm D．18cm5．如图，直线l∥m，将含有45°角的三角板ABC的直角顶点C放在直线m上，若∠1=25°，则∠2的度数为（）A．20°B．25°C．30°D．15°6．如图，锐角∠ABC的两条高BD，CE相交于点O，且CE=BD，若∠CBD=20°，则∠A的度数为()A．20°B．40°C．60°D．70°7．下列长度的三条线段与长度为5的线段能组成四边形的是（）A．1，1，1B．1，1，8C．1，2，2D．2，2，28．如图，在∠ABC中AB=AC，BE=CD，BD=CF，若∠A=40°，则∠EDF等于（）A．40°B．50°C．60°D．70°9．若点O是等腰∠ABC的外心，且∠BOC＝60°，底边BC＝2，则∠ABC的面积为() A．2＋√3B．2√3C．2＋√3或2－√3D．4＋2√3或2－√3310．如图，等边ΔABC的边长为4，AD是BC边上的中线，F是AD边上的动点，E是AC边上一点，若AE=2，当EF+CF取得最小值时，则∠ECF的度数为（）A．15°B．22.5°C．30°D．45°11．如图，在△ABC中∠A=30°，∠ABC=100°，观察尺规作图的痕迹，则∠BFC的度数为（）A．130°B．120°C．110°D．100°12．在测量一个小口圆形容器的壁厚时，小明用“X型转动钳”按如图方法进行测量，其中OA＝OD，OB＝OC，测得AB＝5厘米，EF＝6厘米，圆形容器的壁厚是（）A．5厘米B．6厘米C．2厘米D．12厘米二、填空题13．如图，要测量河两岸相对的两点A、B的距离，在AB的垂线段BF上取两点C、D，使BC=CD，过D作BF的垂线DE，与AC的延长线交于点E，若测得DE的长为20米，则河宽AB长为米．14．如图1，点P从△ABC的项点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿A→B→C→A的方向匀速运动到点A.图2是点P运动时线段AP的长度y随时间t（s）变化的关系图象，其中点M为曲线部分的最低点，则△ABC的面积是.15．如图，在正方形ABCD中AC为对角线，E为AC上一点，连接EB，ED，BE的延长线交AD于点F，∠BED=120∘，则∠EFD的度数为.16．如图，△ABC中∠A=40°，D、E是AC边上的点，把△ABD沿BD对折得到△A′BD，再把△BCE沿BE对折得到△BC′E，若C′恰好落在BD上，且此时∠C′EB=80°，则∠ABC=．17．如图，测量三角形中线段AB的长度为cm.判断大小关系：AB+AC BC（填“ >”，“ =”或“ <”）．18．如图，已知AB是∠O的弦，AB=8，C是∠O上的一个动点，且∠ACB=45°．若M，N分别是AB，BC的中点，则线段MN长度的最大值是三、综合题19．已知关于x的一元二次方程（a＋c）x2＋2bx＋（a﹣c）＝0，其中a，b，c分别为∠ABC三边的长．（1）如果x＝﹣1是方程的根，试判断∠ABC的形状，并说明理由；（2）如果∠ABC是等边三角形，试求这个一元二次方程的根．20．如图，在Rt∠OAB中∠OAB＝90°，OA＝AB＝6，将∠OAB绕点O沿逆时针方向旋转90°得到∠OA1B1．（1）线段OA1的长是，∠AOB1的度数是；（2）连接AA1，求证：四边形OAA1B1是平行四边形．21．已知一次函数y=2x−2的图像为l1，函数y=12x−1的图像为l2．按要求完成下列问题：（1）求直线l1与y轴交点A的坐标；求直线l2与y轴的交点B的坐标；（2）求一次函数y=2x−2的图象l1与y=12x−1的图象l2的交点P的坐标；（3）求由三点P、A、B围成的三角形的面积．22．在图中利用网格点和三角板画图或计算：（1）在给定方格纸中画出平移后的△A′B′C′；（2）图中AC与A′C′的关系怎样？（3）记网格的边长为1，则△A′B′C′的面积为多少？23．如图，在∠ABC中点D在AB上，且CD=CB，E为BD的中点，F为AC的中点，连接EF交CD 于点M，连接AM.（1）求证：EF= 12AC；（2）若EF∠AC，求证：AM+DM=CB.24．如图①，Rt△ABC中∠C=90°，AC=6cm.动点P以acm/s的速度由B出发沿线段BA 向A运动，动点Q以1cm/s的速度由A出发沿射线AC运动.当点Q运动2s时，点P开始运动；P点到达终点时，P、Q一起停止.设点P运动的时间为ts，△APQ的面积为ycm2，y与t的函数关系图像如图②所示.（1）点P运动的速度a=cm/s，AB=cm；（2）当t为何值时，△APQ的面积为12cm2；（3）是否存在t，使得直线PQ将Rt△ABC的周长与面积同时平分？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由.参考答案1．【答案】A2．【答案】C3．【答案】B4．【答案】C5．【答案】A6．【答案】B7．【答案】D8．【答案】D9．【答案】C10．【答案】C11．【答案】C12．【答案】D13．【答案】2014．【答案】1215．【答案】105º16．【答案】60°17．【答案】2.0；>18．【答案】4√219．【答案】（1）解：ΔABC是等腰三角形；理由：把x=−1代入方程得a+c−2b+a−c=0，则a=b，所以ΔABC为等腰三角形（2）解：∵ΔABC为等边三角形∴a=b=c∴方程化为x2+x=0解得x1=0，x2=−1．20．【答案】（1）6；135°（2）证明：∵∠OAB绕点O沿逆时针方向旋转90°得到∠OA1B1∴∠AOA1＝90°，∠OA1B1＝90°，OA1＝A1 B1＝OA＝6∴∠AO A1＝∠O A1B1∴OA∠A1B1∵A1B1＝OA∴四边形OAA1B1是平行四边形．21．【答案】（1）解：当x =0时，y= -2，即直线l 1与y 轴交点A 的坐标为(0，−2)当x =0时，y= -1，即直线l 2与y 轴交点B 的坐标为(0，−1)；（2）解：∵一次函数y =2x −2的图象l 1与y =12x −1的图象l 2相交∴2x −2=12x −1∴x =23∴y =2×23−2=−23∴交点P 的坐标为(23，−23)；（3）解：三点P 、A 、B 围成的三角形，如下图，作PD ⊥AB 交y 轴于点DAB =|−1−(−2)|=1△ABP 的高DP 为：23∴S △ABP =12AB ×DP =12×1×23=13即由三点P 、A 、B 围成的三角形的面积：13．22．【答案】（1）解：如图，∠A′B′C′为所作；（2）解：线段AC 与A′C′的位置关系是平行，数量关系是相等 （3）解：∠A′B′C′的面积＝12×4×4＝8．23．【答案】（1）证明：连接CE∵CD=CB，点E为BD的中点∴CE⊥BD∵点F为AC的中点∴EF=12AC；（2）解：∵点F是AC中点∴AF=FC，又EF⊥AC∴∠AFM=∠CFM，且AF=FC∴ΔAFM≅ΔCFM(SAS)∴AM=CM∵BC=CD=DM+CM=DM+AM.24．【答案】（1）1；10（2）解：当运动时间为t时，AQ=t+2，BP=t，AP=10−t 如图，作PH⊥AC，则△APH∽△ABC∴PH=APAB·BC=4(10−t)5∴S△APQ=12AQ·PH=12(t+2)4(10−t)5=2(t+2)(10−t)5∴△APQ的面积为12cm2时，解方程12=2(t+2)(10−t)5，得t1=4+√6∴当t=4+√6或4−√6时，△APQ的面积为12cm2；（3）解：∵S△ABC=24cm2，C△ABC=6+8+10=24cm∴12S△ABC=12cm2①当0<t≤4时由（2）可知，当t=4−√6时，△APQ的面积为12cm2此时，AQ=4−√6+2=6−√6∴AP+AQ=6+√6+6−√6=12，即AP+AQ=12C△ABC∴t=4−√6时，直线PQ将Rt△ABC的周长与面积同时平分；②当4<t≤10时设PQ与BC交于点N，作PM⊥BC则有：△PBM∽△ABC∴PM AC=BPBA=BMBC，∴PM=3t5，BM=4t5，MC=8−4t5∵PM QC=MNCN，∴MN=3t2−30t25−10t当BN+BP=12时，解方程4t5+3t2−30t25−10t+t=12，得t=5或t=4（舍去）此时，PM=3，BM=4，BP=5∴BN=4+3=7∴当4<t≤10时，不存在t使得直线PQ将Rt△ABC的周长与面积同时平分；∴综上，当t=4−√6时，直线PQ将Rt△ABC的周长与面积同时平分；当4<t≤10时，不存在t使得直线PQ将Rt△ABC的周长与面积同时平分.第11页共11页。
中考《三角形认识》复习练习题及答案
中考数学复习专题练习认识三角形一、选择题：1、一定在△ABC内部的线段是（）A．锐角三角形的三条高、三条角平分线、三条中线B．钝角三角形的三条高、三条中线、一条角平分线C．任意三角形的一条中线、二条角平分线、三条高D．直角三角形的三条高、三条角平分线、三条中线2、有5根小木棒，长度分别为2cm、3cm、4cm、5cm、6cm，任意取其中的3根小木棒首尾相接搭三角形，可搭出不同的三角形的个数为（）A．5个 B．6个 C．7个 D．8个3、如图，AD是△ABC中∠BAC的角平分线，DE⊥AB于点E，S△ABC=7，DE=2，AB=4，则AC长是（）A．3 B．4 C．6 D．54、如图，一副分别含有30°和45°角的两个直角三角板，拼成如下图形，其中∠C=90°，∠B=45°，∠E=30°，则∠BFD的度数是( )A．15° B．25° C．30° D．10°5、如图，在△ABC中，∠ACB=100°，AC=AE，BC=BD，则∠DCE的度数为（）A．20° B．25° C．30° D．40°6、一个多边形少加了一个内角时，它的度数和是1310°，则这个内角的度数为（）A．120° B．130° C．140° D．150°7、已知一个等腰三角形两内角的度数之比为1：4，则这个等腰三角形顶角的度数为（）A．20°或100° B．120° C．20°或120° D．36°8、一个正多边形的每个内角都等于140°，那么它是正（）边形A．正六边形 B．正七边形 C．正八边形 D．正九边形9、如图所示，小华从A点出发，沿直线前进10米后左转24°，再沿直线前进10米，又向左转24°，…，照这样走下去，他第一次回到出发地A点时，一共走的路程是（）A．140米 B．150米 C．160米 D．240米10、如图，已知点D是△ABC的重心，连接BD并延长，交AC于点E，若AE=4，则AC的长度为（）A．6 B．8 C．10 D．1211、．光线a照射到平面镜CD上，然后在平面镜AB和CD之间来回反射，光线的反射角等于入射角．若已知∠1=52°，∠3=70°，则∠2是( )A．52° B．61° C．65° D．70°12、如图,在四边形ABCD中,E、F分别是AB、AD的中点.若EF=2,BC=5,CD=3,则tanC等于（）A. B. C. D.二、填空题:13、a、b、c为三角形的三条边，则= ．14、如图，△ABC的两条高线AD、BE交于点F，∠BAD=45°，∠C=60°，则∠BFD的度数为15、如果将长度为a﹣2，a+5和a+2的三根线段首尾顺次相接可以得到一个三角形,a取值范围是．16、一个三角形的两边长为8和10，若另一边为a，当a为最短边时，a的取值范围是；当a为最长边时，a的取值范围是 .17、已知△ABC 的三边长 a、b、c，化简│a＋b-c│-│b-a-c│的结果是 .18、将一副三角尺按如图所示的方式放置，使含30°角的三角尺的短直角边和含45°角的三角尺的一条直角边重合，则∠1的度数是．19、如图，∠2+∠3+∠4=320°，则∠1= ．20、如图，七星形中∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G= ．21、如图，将∠BAC沿DE向∠BAC内折叠，使AD与A′D重合，A′E与AE重合，若∠A=30°，则∠1+∠2= ．22、如图的七边形ABCDEFG中，AB、ED的延长线相交于O点．若图中∠1、∠2、∠3、∠4的外角的角度和为220°，则∠BOD的度数为．23、如图，已知矩形ABCD，一条直线将该矩形ABCD分割成两个多边形，若这两个多边形的内角和分别为M和N，则M+N= _．24、如图,一个面积为50平方厘米正方形与另一个小正方形并排放在一下起，则△ABC面积是平方厘米．三、简答题:25、如图,在△ABC中，AB=AC，AC边上的中线把三角形的周长分为24cm和30cm两部分,求三角形各边的长．26、如图，AD为△ABC的中线，BE为△ABD的中线，（1）∠ABE=15°，∠BAD=35°，求∠BED的度数；（2）作出△BED的BD边上的高；（3）若△ABC的面积为60，BD=5，则点E到BC边的距离为多少？27、（1）如图，在△ABC中，∠B=40°，∠C=80°，AD⊥BC于D，且AE平分∠BAC，求∠EAD的度数．（2）上题中若∠B=40°，∠C=80°改为∠C＞∠B，其他条件不变，请你求出∠EAD与∠B、∠C之间的数列关系？并说明理由．28、如图，∠O=30°，任意裁剪的直角三角形纸板两条直角边所在直线与∠O的两边分别交于D、E两点．（1）如图1，若直角顶点C在∠O的边上，则∠ADO+∠OEB= 度；（2）如图2，若直角顶点C在∠O内部，求出∠ADO+∠OEB的度数；（3）如图3，如果直角顶点C在∠O外部，求出∠ADO+∠OEB的度数．29、如图（甲），D是△ABC的边BC的延长线上一点．∠ABC、∠ACD的平分线相交于P1．（1）若∠ABC=80°，∠ACB=40°，则∠P1的度数为；（2）若∠A=α，则∠P1的度数为；（用含α的代数式表示）（3）如图（乙），∠A=α，∠ABC、∠ACD的平分线相交于P1，∠P1BC、∠P1CD的平分线相交于P2，∠P2BC、∠P2CD的平分线相交于P3依此类推，则∠Pn的度数为（用n与α的代数式表示）30、阅读下列材料：某同学遇到这样一个问题：如图1，在△ABC中，AB=AC，BD是△ABC的高．P是BC边上一点，PM，PN分别与直线AB，AC垂直，垂足分别为点M，N．求证：．他发现，连接AP，有，即．由AB=AC，可得．他又画出了当点P在CB的延长线上，且上面问题中其他条件不变时的图形，如图2所示．他猜想此时BD，PM，PN之间的数量关系是：．请回答：（1）请补全以下该同学证明猜想的过程；证明：连接AP．∵，∴．∵AB=AC，∴．（2）参考该同学思考问题的方法，解决下列问题：在△ABC中，AB=AC=BC，BD是△ABC的高．P是△ABC所在平面上一点，PM，PN，PQ分别与直线AB，AC，BC垂直，垂足分别为点M，N，Q．①如图3，若点P在△ABC 的内部，则BD，PM，PN，PQ之间的数量关系是：；②若点P在如图4所示位置,利用图4探究得出此时BD，PM，PN，PQ之间数量关系是：．31、已知锐角△ABC中，CD、BE分别是AB、AC边上的高，M是线段BC的中点，连接DM、EM.（1）若DE=3，BC=8，求△DME的周长；（2）若∠A=60°，求证：∠DME=60°；（3）若BC2=2DE2，求∠A的度数．参考答案1、A.2、C．3、A．4、A．5、D．6、B．7、C．8、D.9、B．10、B．11、B．12、B.13、答案为：2a．14、答案为：60° 15、答案为：a＞5．16、答案为：2<a≤8,10≤a<18.17、答案为：2b-2c. 18、答案为：75°．19、答案为：40°．20、答案为：180°．21、答案为：60°．22、答案为：40°.23、答案为:360°或540°或720°．24、答案为25．25、解：设AB=AC=2，则AD=CD=，（1）当AB＋AD=30，BC＋CD=24时，有2=30，∴ =10，2 =20，BC=24－10=14.三边长分别为：20 cm，20 cm，14 cm．（2）当AB＋AD=24，BC＋CD=30时，有=24，∴ =8，，BC=30－8=22.三边长分别为：16 cm，16 cm，22 cm．26、解：（1）∵∠BED是△ABE的一个外角，∴∠BED=∠ABE+∠BAD=15°+35°=50°。
中考数学一轮复习《三角形及其性质》练习题(含答案)
中考数学一轮复习《三角形及其性质》练习题（含答案）课时1一般三角形及等腰三角形(建议答题时间：40分钟)1. (2017泰州)三角形的重心是()A. 三角形三条边上中线的交点B. 三角形三条边上高线的交点C. 三角形三条边垂直平分线的交点D. 三角形三条内角平分线的交点2. (2017金华)下列各组数中，不可能成为一个三角形三边长的是()A. 2，3，4B. 5，7，7C. 5，6，12D. 6，8，103. (2017株洲)如图，在△ABC中，∠BAC＝x，∠B＝2x，∠C＝3x，则∠BAD的度数是()A. 145°B. 150°C. 155°D. 160°第3题图4. (2017甘肃)已知a，b，c是△ABC的三条边长，化简|a＋b－c|－|c－a－b|的结果为()A. 2a＋2b－2cB. 2a＋2bC. 2cD. 05. (2017德阳)如图，在△ABC中，AD是BC边上的高，BE平分∠ABC交AC边于E，∠BAC＝60°，∠ABE＝25°，则∠DAC的大小是()A. 15°B. 20°C. 25°D. 30°第5题图第6题图6. (2017滨州)如图，在△ABC中，AB＝AC，D为BC上一点，且DA＝DC，BD＝BA，则∠B的大小为()A. 40°B. 36°C. 30°D. 25°7. (2017荆州)如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝30°，AB的垂直平分线l交AC 于点D，则∠CBD的度数为()A. 30°B. 45°C. 50°D. 75°第7题图第8题图第9题图8. (2017郴州)小明把一副含45°，30°的直角三角板如图摆放，其中∠C＝∠F＝90°，∠A＝45°，∠D＝30°，则∠α＋∠β等于()A. 180°B. 210°C. 360°D. 270°9. (2017天津)如图，在△ABC中，AB＝AC，AD，CE是△ABC的两条中线，P是AD上的一个动点，则下列线段的长等于BP＋EP最小值的是()．A. BCB. CEC. ADD. AC10. (2017泰州)将一副三角板如图叠放，则图中∠α的度数为________．第10题图第12题图第13题图11. (2017成都)在△ABC中，∠A∶∠B∶∠C＝2∶3∶4，则∠A的度数为________．12. (2017江西)如图①是一把园林剪刀，把它抽象为图②，其中OA＝OB，若剪刀张开的角为30°，则∠A＝________度．13. (2017湘潭)如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BD平分∠ABC交AC于点D，DE垂直平分AB，垂足为点E，请任意写出一组相等的线段________．14. (2017徐州)△ABC中，点D、E分别是AB、AC的中点，DE＝7，则BC＝________.15. (2017丽水)等腰三角形的一个内角为100°，则顶角的度数是________．16. (2017陕西)如图，在△ABC中，BD和CE是△ABC的两条角平分线．若∠A ＝52°，则∠1＋∠2的度数为________．第16题图第18题图17. (2017淄博)在边长为4的等边三角形ABC中，D为BC边上的任意一点，过点D分别作DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E，F，则DE＋DF＝________. 18. (2017宁夏)在△ABC中，AB＝6，点D是AB的中点，过点D作DE∥BC，交AC于点E，点M在DE上，且ME＝13DM，当AM⊥BM时，则BC的长为________．19. (2017达州)△ABC中，AB＝5，AC＝3，AD是△ABC的中线，设AD长为m，则m的取值范围是________．20. (2017内江)如图，AD平分∠BAC，AD⊥BD，垂足为点D，DE∥AC.求证：△BDE是等腰三角形．第20题图21. (2017北京)如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，BD平分∠ABC交AC 于点D.求证：AD＝BC.第21题图22. (2017连云港)如图，已知等腰三角形ABC中，AB＝AC，点D、E分别在边AB、AC上，且AD＝AE，连接BE、CD交于点F.(1)判断∠ABE与∠ACD的数量关系，并说明理由；(2)求证：过点A、F的直线垂直平分线段BC.第22题图课时2直角三角形及勾股定理(建议答题时间：40分钟)1. 下列各组数据中的三个数作为三角形的边长，其中能构成直角三角形的是()A. 3，4，5B. 1，2， 3C. 6，7，8D. 2，3，42. (2016沈阳)如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AB＝8，则BC的长是()A. 433 B.4 C. 83 D. 4 3第2题图第3题图3. (2017大连)如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足为D，点E是AB的中点，CD＝DE＝a，则AB的长为()A. 2aB. 22aC. 3aD. 43 3a4. (2017黄石)如图，在△ABC中，E为BC边的中点，CD⊥AB，AB＝2，AC＝1，DE＝32，则∠CDE＋∠ACD＝()A. 60°B. 75°C. 90°D. 105°第4题图第5题图5. (2017重庆巴蜀月考)如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，边AB的垂直平分线交AC于点D，交AB于点E.若BC＝4，AC＝8，则BD＝()A. 3B. 4C. 5D. 66. (2017陕西)如图，将两个大小、形状完全相同的△ABC和△A′B′C′拼在一起，其中点A′与点A重合，点C′落在边AB上，连接B′C.若∠ACB＝∠AC′B′＝90°，AC＝BC＝3，则B′C的长为()A. 3 3B. 6C. 3 2D. 21第6题图第7题图7. 关注数学文化(2017襄阳)“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲．如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形．设直角三角形较长直角边长为a，较短直角边长为b，若(a＋b)2＝21，大正方形的面积为13，则小正方形的面积为()A. 3B. 4C. 5D. 68. (2017株洲)如图，在Rt△ABC中，∠B的度数是________度．第8题图第11题图第12题图9. (2017安顺)三角形三边长分别为3，4，5，那么最长边上的中线长等于________．10. (2017岳阳)在△ABC中，BC＝2，AB＝23，AC＝b，且关于x的方程x2－4x ＋b＝0有两个相等的实数根，则AC边上的中线长为________．11. (2017常德)如图，已知Rt△ABE中∠A＝90°，∠B＝60°，BE＝10，D是线段AE上的一动点，过D作CD交BE于C，并使得∠CDE＝30°，则CD长度的取值范围是________．12. (2017娄底)如图，在等腰Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝CB＝2，点D为AC的中点，点E，F分别是线段AB，CB上的动点，且∠EDF＝90°，若ED的长为m，则△BEF的周长是________．(用含m的代数式表示)13. (2017杭州)如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝15，AC＝20，点D在边AC上，AD＝5，DE⊥BC于点E，连接AE，则△ABE的面积等于________．第13题图第14题图14. (2017武汉)如图，在△ABC中，AB＝AC＝23，∠BAC＝120°，点D，E都在边BC上，∠DAE＝60°，BD＝2CE，则DE的长为________．15. (2017山西)一副三角板按如图方式摆放，得到△ABD和△BCD，其中∠ADB ＝∠BCD＝90°，∠A＝60°，∠CBD＝45°.E为AB的中点，过点E作EF⊥CD于点F.若AD＝4 cm，则EF的长为________cm.第15题图第16题图16. (2017河南)如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC，BC＝2＋1，点M，N分别是边BC，AB上的动点，沿MN所在的直线折叠∠B，使点B的对应点B′始终．．落在边AC上，若△MB′C为直角三角形，则BM的长为________．17. (2018原创)如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，∠A＝30°，D是边AB上一点，∠BDC＝45°，AD＝4，求BC的长．(结果保留根号)第17题图18. (2018原创)如图，在△ABC中，D为AC边的中点，且DB⊥BC，BC＝4，CD＝5.(1)求DB的长；(2)在△ABC中，求BC边上高的长．第18题图19. 在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于D，AC＝20，BC＝15，(1)求AB的长；(2)求CD的长．第19题图20. (2017徐州)如图，已知AC⊥BC，垂足为C，AC＝4，BC＝33，将线段AC 绕点A按逆时针方向旋转60°，得到线段AD，连接DC、DB.(1)线段DC＝________；(2)求线段DB的长度．第20题图答案课时1 一般三角形及等腰三角形1. A2. C3. B4. D【解析】由三角形中任意两边之和大于第三边，得：a＋b>c，∴c－a－b ＝c－(a＋b)<0，∴|c－a－b|＝a＋b－c，|a＋b－c|＝a＋b－c，∴|a＋b－c|－|c－a －b|＝0.5. B【解析】∵BE是∠ABC的角平分线，∴∠ABC＝2∠ABE＝50°，又∵∠BAC ＝60°，则∠C＝70°，又∵∠ADC＝90°，∴∠DAC＝20°.6．B【解析】设∠C＝x°，∵AD＝DC，∴∠DAC＝∠C＝x°，∴∠ADB＝2x°，∵AB＝BD，∴∠BAD＝∠ADB＝2x°，∴∠B＝180°－4x°，∵AB＝AC，∴∠B＝∠C＝x°，∴180°－4x°＝x°，解得x＝36，∴∠B＝∠C＝36°.7．B【解析】∵∠A＝30°，AB＝AC，∴∠ABC＝∠C＝75°，又∵l为AB的垂直平分线，∴DB＝DA，∠DBA＝∠A＝30°∴∠CBD＝∠CBA－∠DBA＝75°－30°＝45°.8. B【解析】如解图，∵∠C＝∠F＝90°，∴∠3＋∠4＝90°，∠2＋∠5＝90°，又∵∠2＝∠4，∴∠3＝∠5，∵∠1＝∠3，∴∠1＝∠5＝180°－∠β，∵∠α＝∠D＋∠1＝∠D＋180°－∠β，∴∠α＋∠β＝∠D＋180°＝30°＋180°＝210°.第8题解图9. B【解析】∵AB＝AC，AD是BC边上的中线，∴AD⊥BC，∴AD是BC的垂直平分线，∴点B关于AD的对应点为点C，∴CE等于BP＋EP的最小值．10. 15°11. 40°12. 7513. CD＝DE14. 1415. 100°【解析】由三角形内角和定理可知，若等腰三角形的一个内角为100°，则这个内角为顶角，此时两底角均为40°，即该三角形顶角的度数是100°.16. 64°【解析】∵在△ABC中，BD和CE是△ABC的两条角平分线，∴∠1＝∠ABD＝12∠ABC，∠2＝∠ACE＝12∠ACB，∴∠1＋∠2＝12(∠ABC＋∠ACB)，∵∠ABC＋∠ACB＋∠A＝180°，∴∠ABC＋∠ACB＝180°－∠A＝180°－52°＝128°，∴∠1＋∠2＝12(∠ABC＋∠ACB)＝12×128°＝64°.17. 23【解析】假设点D与点B重合，可得DE＋DF为等边三角形AC边上的高，再由等边三角形的边长为4，可求AC边上的高为23，故DE＋DF＝2 3.18. 8【解析】∵AM⊥BM，∴∠AMB＝90°，在Rt△ABM中，∵D是AB的中点，∴DM＝12AB＝3，∵ME＝13DM，∴ME＝1，DE＝4，又∵DE∥BC，∴DE是△ABC的中位线，∴BC＝8.19. 1＜m＜4【解析】如解图，延长AD到点E，使AD＝ED，连接CE，∵AD 是△ABC的中线，∴BD＝CD，∵在△ABD和△ECD中，BD＝CD，DE＝AD，∠ADB＝∠EDC，∴△ABD≌△ECD(SAS)，∴AB＝EC，在△AEC中，∵AC＋EC＞AE，且EC－AC＜AE，即AB＋AC＞2AD，AB－AC＜2AD，∴2＜2AD＜8，∴1＜AD＜4即1＜m＜4.第11题解图20. 证明：∵AD平分∠BAC，∴∠BAD＝∠DAC，∵DE∥AC，∴∠ADE＝∠DAC.∴∠BAD＝∠ADE，∵AD⊥BD，∴∠ADB＝90°，∴∠BAD＋∠B＝90°.∵∠BDE＋∠ADE＝90°，∴∠B＝∠BDE，∴BE＝DE，∴△BDE是等腰三角形．21. 解：∵AB＝AC∴在△ABC中，∠ABC＝∠C＝12(180°－∠A)＝12×(180°－36°)＝72°，又∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠DBC＝12∠ABC＝12×72°＝36°，∴∠ABD＝∠A，∴AD＝BD，又∵在△ABC中，∠BDC＝∠A＋∠ABD＝36°＋36°＝72°，∴∠BDC＝∠C，∴BD＝BC，∴AD＝BC.22. (1)解：∠ABE＝∠ACD.理由如下：∵AB＝AC，∠BAE＝∠CAD，AE＝AD，∴△ABE≌△ACD(SAS)．∴∠ABE＝∠ACD；(2)证明：∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB.由(1)可知∠ABE＝∠ACD，∴∠FBC＝∠FCB，∴FB＝FC.又∵AB＝AC，∴点A、F均在线段BC的垂直平分线上，即过点A、F的直线垂直平分线段BC.课时2直角三角形及勾股定理1. B2. D3. B【解析】∵CD⊥AB，CD＝DE＝a，∴CE＝2a，∵在△ABC中，∠ACB ＝90°，点E是AB的中点，∴AB＝2CE＝22a.4. C【解析】∵点E为BC边的中点，CD⊥AB，DE＝32，∴BE＝CE＝DE＝32，∴∠CDE ＝∠DCE ，BC ＝ 3.在△ABC 中，AC 2＋BC 2＝1＋(3)2＝4＝AB 2，∴∠ACB ＝90°，∴∠CDE ＋∠ACD ＝∠DCE ＋∠ACD ＝90°.5. C 【解析】设BD ＝x ，∵边AB 的垂直平分线交AC 于点D ，∴AD ＝BD ＝x ，则CD ＝8－x ，在Rt △BCD 中，根据勾股定理，得x 2－(8－x )2＝42，解得x ＝5.6. A 【解析】∵∠ACB ＝∠A ′C ′B ′＝90°，AC ＝BC ＝3，∴△ABC 是等腰直角三角形，∴∠CAB ＝45°，在Rt △ABC 中，AB ＝AC 2＋BC 2＝32＋32＝32，又∵△ABC ≌△A ′B ′C ′， ∴A ′B ′＝ AB ＝32， ∠C ′A ′B ′＝∠CAB ＝45°，∴∠CAB ′＝∠C ′AB ′＋∠CAB ＝ 45°＋45°＝90°，在Rt △CAB ′中，AC ＝3，AB ′＝32，∴B ′C ＝AC 2＋AB′2＝32＋（32）2＝3 3.7. C 【解析】如解图，∵S 正方形ABCD ＝13，∴AB ＝13，∵AG ＝a ，BG ＝b ，∴a 2＋b 2＝AB 2＝13，∵(a ＋b )2＝a 2＋2ab ＋b 2＝21，∴2ab ＝(a ＋b )2－a 2－b 2＝21－13＝8，∴ab ＝4，∴S △ABG ＝12ab ＝12×4＝2，∴S 小正方形＝S 大正方形－4S △ABG ＝13－4×2＝5.第7题解图8. 25 9. 5210. 2 【解析】∵方程x 2－4x ＋b ＝0有两个相等的实数根，∴b 2－4ac ＝16－4b ＝0，解得b ＝4.又∵BC ＝2，AB ＝23，AC ＝b ＝4，∴AB 2＋BC 2＝(23)2＋22＝42＝AC 2，∴∠B ＝90°，∴AC 边上的中线长为2.11. 0<CD ≤5 【解析】如解图，取BE 的中点F ，连接AF ，∵∠A ＝90°，则AF ＝12BE ＝EF ＝5，∴∠EAF ＝∠E ＝90°－∠B ＝30°，又∵∠CDE ＝30°，∴∠CDE＝∠EAF ，∴CD ∥AF ，∴CD AF ＝EDEA .当D 与A 重合时，CD 与AF 重合，取得最大值为5，当D 接近于E 时，DE 越小，CD 越小，∵线段CD 不能为0，∴0<CD≤5.第11题解图12. 2＋2m【解析】如解图，连接BD，∵D为AC的中点，∴BD⊥AC，BD 平分∠ABC，∴∠BDC＝90°，∠ABD＝∠C＝45°，∴∠BDF＋∠FDC＝90°，又∵∠EDF＝90°，∴∠BDF＋∠BDE＝90°，∴∠CDF＝∠BDE，∴△BED≌△CFD(ASA)，∴BE＝CF，DE＝DF，则BE＋BF＋EF＝BC＋EF＝2＋EF，而Rt △DEF中，DE＝DF＝m，∴EF＝2m，则△BEF的周长为2＋ 2 m.第12题解图13. 78【解析】如解图，过点A作AH⊥BC于点H，∵AB＝15，AC＝20，∠BAC＝90°，∴由勾股定理得，BC＝152＋202＝25，∵AD＝5，∴DC＝20－5＝15，∵DE⊥BC，∠BAC＝90°，∴△CDE∽△CBA，∴CECA＝CDCB，∴CE＝1525×20＝12.第13题解图14. 33－3【解析】∵AB＝AC＝23，∠BAC＝120°，∴BC＝6，∠B＝∠BCA ＝30°，如解图，将△ABD绕点A逆时针旋转120°得到△ACD′，∴∠D′CA＝∠B ＝30°，AD＝AD′，∴∠D′CE＝60°，∵∠DAE＝60°，∠DAD′＝120°，∴∠EAD′＝60°，∴△EAD′≌∠EAD(SAS)，∴ED′＝ED，∴ED′＋BD＋EC＝6，∴EC＝6－DE3，∵CD ′＝BD ＝2CE ，∠D ′CE ＝60°，∴∠D ′EC ＝90°，∴D ′E 2＋EC 2＝D ′C 2，即DE 2＋(6－DE 3)2＝(6－DE3×2)2，解得DE ＝33－3(负根舍去)．第14题解图15. 2＋6 【解析】如解图，连接DE ，在EF 上找一点G ，使得DG ＝EG ，连接DG ，在Rt △ABD 中，∠A ＝60°， ∴AD ＝12AB ，又∵E 为AB 的中点，∴AE ＝12AB ＝DE ，∴AD ＝AE ＝DE ，∴△ADE 为等边三角形 ，∴DE ＝AD ＝4 cm ，∠DEA ＝60°，又∵EF ⊥CD ，∠C ＝90°，∴EF ∥CB ，∴∠AEF ＝∠ABC ＝75°，∴∠DEF ＝15°，在Rt △EFD 中，∠EFD ＝90°，∵DG ＝EG ，∴∠GDE ＝∠DEF ＝15°，∴∠DGF ＝30°，设DF ＝x ，则EG ＝DG ＝2x ，FG ＝3x ，EF ＝(2＋3)x ，根据勾股定理得DF 2＋EF 2＝DE 2，即x 2＋(2＋3)2x 2＝16，解得x ＝6－2，∴EF ＝(2＋6) cm .第15题解图16. 2＋12或1 【解析】(1)当∠B ′MC 为直角时，此时点M 在BC 的中点位置，点B ′与点A 重合，如解图①，则BM 长度为12BC ＝2＋12；(2)当∠MB ′C 为直角时，如解图②，根据折叠性质得，BM ＝B ′M ，BN ＝B ′N ，B ′M ∥BA ，∴MC BC ＝B ′MAB ，即MC B ′M ＝BC AB ＝2，∴MC B ′M＝2，即MC ＋BM BM ＝2＋11，即BCBM ＝2＋11，∵BC＝2＋1，∴BM＝1.故BM长为2＋12或1.第16题解图17. 解：∵∠BDC＝45°，∠ABC＝90°，∴△BDC为等腰直角三角形，∴BD＝BC，∵∠A＝30°，∴BC＝12AC，在Rt△ABC中，根据勾股定理得AC2＝AB2＋BC2，即(2BC)2＝(4＋BD)2＋BC2，解得BC＝BD＝2＋23(负根舍去)．18. 解：(1)∵DB⊥BC，BC＝4，CD＝5，∴BD＝52－42＝3；(2)如解图，延长CB，过点A作AE⊥CB交CB延长线于点E，∵DB⊥BC，AE⊥BC，∴AE∥DB，∵D为AC边的中点，∴BD＝12AE，∴AE＝6，即BC边上高的长为6.第18题解图19. 解：(1)在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝15，AC＝20，∴AB＝AC2＋BC2＝202＋152＝25，即AB的长是25；(2)∵S△ABC＝12AC·BC＝12AB·CD，∴20×15＝25·CD，∴CD＝12.20. 解：(1) 4；【解法提示】在△ACD中，∵∠A＝60°，AC＝AD，∴△ACD是等边三角形，∴DC＝AC＝4.(2)如解图，过点D作DE⊥BC于点E.第20题解图在△CDE中，∠DCE＝∠ACB－∠ACD＝90°－60°＝30°，CD＝4，∴DE＝2，根据勾股定理得CE＝CD2－DE2＝23，∴BE＝BC－CE＝33－23＝3，∴DB＝BE2＋DE2＝（3）2＋22＝7.。
中考数学总复习《相似三角形综合压轴题》专项提升练习(附答案)
中考数学总复习《相似三角形综合压轴题》专项提升练习(附答案）学校:___________班级：___________姓名：___________考号：___________1．三个等角的顶点在同一条直线上，称一线三等角模型（角度有锐角、直角、钝角，若为直角，则又称一线三垂直模型）．解决此模型问题的一般方法是利用三等角关系找全等或相似三角形所需角的相等条件，利用全等或相似三角形解决问题．【证明体验】如图1，在四边形ABCD 中点P 为AB 上一点90DPC A B ∠=∠=∠=︒，求证：AD BC AP BP ⋅=⋅． 【思考探究】（2）如图2，在四边形ABCD 中点P 为AB 上一点，当DPC A B β∠=∠=∠=时，上述结论是否依然成立？说明理由． 【拓展延伸】（3）请利用（1）（2）获得的经验解决问题：如图3，在ABC 中22AB =45B ∠=︒以点A 为直角顶点作等腰Rt ADE △，点D 在BC 上，点E 在AC 上，点F 在BC 上，且45EFD ∠=︒，若5CE =CD 的长．2．综合实践问题背景：借助三角形的中位线可构造一组相似三角形，若将它们绕公共顶点旋转，对应顶点连线的长度存在特殊的数量关系，数学小组对此进行了研究．如图1，在ABC 中90,4B AB BC ∠=︒==分别取AB ，AC 的中点D ，E ，作ADE ．如图2所示，将ADE 绕点A 逆时针旋转，连接BD ，CE ．(1)探究发现旋转过程中线段BD 和CE 的长度存在怎样的数量关系？写出你的猜想，并证明． (2)性质应用如图3，当DE 所在直线首次经过点B 时，求CE 的长． (3)延伸思考如图4，在Rt ABC △中90,8,6ABC AB BC ∠=︒==，分别取AB ，BC 的中点D ，E ．作BDE ，将BDE 绕点B 逆时针旋转，连接AD ，CE ．当边AB 平分线段DE 时，求tan ECB ∠的值．3．如图，M 为线段AB 的中点，AE 与BD 交于点C ，DME A B α∠=∠=∠=且DM 交AC 于F ，ME 交BC 于G ．(1)写出图中两对相似三角形；(2)连接FG ，如果45α=︒，42AB =3AF =，求FG 的长．4．如图，在ABC 中6cm AB =，12cm BC =和90B ．点P 从点A 开始沿AB 边向点B 以1cm /s 的速度移动，点Q 从点B 开始沿BC 边向点C 以2cm /s 的速度移动，如果P 、Q 分别从A 、B 同时出发，设移动时间为()s t ．(1)当2t =时，求PBQ 的面积； (2)当t 为多少时，PBQ 的面积是28cm ？ (3)当t 为多少时，PBQ 与ABC 是相似三角形？5．下面是小新同学在“矩形折叠中的相似三角形”主题下设计的问题，请你解答．如图，已知在矩形ABCD 中点E 为边AB 上一点（不与点A 、点B 重合），先将矩形ABCD 沿CE 折叠，使点B 落在点F 处，CF 交AD 于点H ．(1)观察发现：写出图1中一个与AEG △相似的三角形：______．（写出一个即可）(2)迁移探究：如图2，若4AB =，6BC =当CF 与AD 的交点H 恰好是AD 的中点时，求阴影部分的面积． (3)如图③，当点F 落在边AD 上时，延长EF ，与FCD ∠的角平分线交于点M ，CM 交AD 于点N ，当FN AF ND =+时，请直接写出ABBC的值．6．【阅读】如图1，若ABD ACE ∽，且点B 、D 、C 在同一直线上，则我们把ABD △与ACE △称为旋转相似三角形．(1)【理解】如图2，ABC 和ADE 是等边三角形，点D 在边BC 上，连接CE ．求证：ABD △与ACE △是旋转相似三角形．(2)【应用】如图3，ABD △与ACE △是旋转相似三角形AD CE ，求证：③ABC ADE △△∽；③AC DE =；(3)【拓展】如图4，AC 是四边形ABCD 的对角线90,D B ACD ∠=︒∠=∠，25,20BC AC ==和16AD =，试在边BC 上确定一点E ，使得四边形AECD 是矩形，并说明理由．7．综合与实践如图1，已知纸片Rt ABC △中90BAC ∠=︒，AD 为斜边BC 上的高（AD BC ⊥于点D ）． 观察发现（1）请直接写出图中的一组相似三角形．（写出一组即可）实践操作第一步：如图2，将图1中的三角形纸片沿BE 折叠（点E 为AC 上一点），使点A 落在BC 边上的点F 处； 第二步：BE 与AD 交于点G 连接GF ，然后将纸片展平． 猜想探究（2）猜想四边形AEFG 是哪种特殊的四边形，并证明猜想． （3）探究线段GF ，BE ，GE 之间的数量关系，并说明理由．8．如图1，已知AD 是ABC 的角平分线，可证AB BDAC CD=．证明思路是如图2，过点C 作CE AB ∥，交AD 的延长线于点E ，构造相似三角形来证明AB BDAC CD=．(1)利用图2证明AB BDAC CD=； (2)如图3，在Rt ABC △中90BAC ∠=︒，D 是边BC 上一点．连接AD ，将ACD 沿AD 所在直线折叠，点C 恰好落在边AB 上的E 点处．若1AC =，AB=2，求DE 的长．9．【教材原题】如图③，在ABC 中DE BC ∥，且3AD =，2DB =图中的相似三角形是__________，它们的相似比为__________ ；【改编】将图③中的ADE 绕点A 按逆时针方向旋转到如图③所示的位置，连接BD 、CE ．求证：ABD ACE ∽△△；【应用】如图③，在ABC 和ADE 中90BAC DAE ∠=∠=︒，30ABC ADE ∠=∠=︒点D 在边BC 上，连接CE ，则ACE △与ABD △的面积比为__________．10．问题背景：一次数学综合实践活动课上，小慧发现并证明了关于三角形角平分线的一个结论．如图1，已知AD 是ABC 的角平分线，可证AB BDAC CD=小慧的证明思路是：如图2，过点C 作CE AB ∥，交AD 的延长线于点E ，构造相似三角形来证明．(1)尝试证明：请参照小慧提供的思路，利用图2证明AB BDAC CD=； (2)基础训练：如图3，在Rt ABC △中90BAC ∠=︒，D 是边BC 上一点．连接AD ，将ACD 沿AD 所在直线折叠，点C 恰好落在边AB 上的E 点处．若1AC =，2AB =求DE 的长；(3)拓展升华：如图4，ABC 中6AB = ，AC=4，AD 为BAC ∠的角平分线，AD 的中垂线EF 交BC 延长线于F ，当3BD =时，求AF 的长．11．定义：两个相似三角形，如果它们的一组对应角有一个公共的顶点，那么把这两个三角形称为“阳似三角形”、如图1，在ABC 与AED △中ABC AED ∽△△．所以称ABC 与AED △为“阳似三角形”，连接EB DC ，，则DCEB为“阳似比”．(1)如图1，已知R ABC 与Rt AED △为“阳似三角形”，其中90CBA DEA ∠=∠=︒，当30BAC ∠=︒时，“阳似比”DCEB=______； (2)如图2，二次函数234y x x =-++交x 轴于点A 和B 两点，交y 轴于点C ．点M 为直线12y x =在第一象限上的一个动点，且OMB △与CNB 为“阳似三角形”，连接CM ③当点N 落在二次函数图象上时，求出线段OM 的长度； ③若32CN =34BM MC +的最小值．12．已知在Rt ABC △中90ACB ∠=︒，CD AB ⊥于点D ．(1)在图1中写出其中的两对相似三角形．(2)已知1BD =，DC=2，将CBD △绕着点D 按顺时针方向进行旋转得到C BD '，连接AC '，BC ． ③如图2，判断AC '与BC 之间的位置及数量关系，并证明； ③在旋转过程中当点A ，B ，C '在同一直线上时，求BC 的长．13．定义：若一个四边形能被其中一条对角线分割成两个相似三角形，则称这个四边形为“和谐四边形”，这条对角线叫“和谐线”．(1)如图1，在44⨯的正方形网格中有一个网格Rt ABC △和两个网格四边形ABCD 与四边形ABCE ，其中是被AC 分割成的“和谐四边形”的是______．(2)如图2，BD 平分ABC ∠，43BD =10BC =，四边形ABCD 是被BD 分割成的“和谐四边形”，求AB 长； (3)如图3，A 为抛物线24y x =-+的顶点，抛物线与x 轴交于点B ，C ．在线段AB 上有一个点P ，在射线BC 上有一个点Q ．P 、Q 5/秒，5个单位/秒的速度同时从B 出发分别沿BA ，BC 方向运动，设运动时间为t ，当其中一个点停止运动时，另一个点也随之停止运动．在第一象限的抛物线上是否存在点M ，使得四边形BQMP 是以PQ 为和谐线分割的“和谐四边形”，若存在，请直接写出t 的值；若不存在，请说明理由．14．【阅读理解】小白同学遇到这样一个问题：ABC 中D 是BC 的中点，E 是AB 上一点，延长DE 、CA 交于点F ，DE=EF ，AB=5，求AE 的长．小白的想法是：过点E 作EH BC ∥交AC 于H ，再通过相似三角形的性质得到AE 、BE 的比，从而得出AE 的长．请你按照小白的思路完成解答．【解决问题】请借助小白的解题经验，完成下面问题：ABC 中AD 平分BAC ∠交BC 于D ，E 为AB 边上一点，AE=AD ，H 、Q 为BC 上两点，CQ DH =和DQ mDH =，G 为AC 上一点，连接EQ 交HG 、AD 于F 、P ，180EFG EAD ∠+∠=︒猜想并验证EP 与GH的数量关系．15．【温故知新】（1）九（1）班数学兴趣小组认真探究了课本P 91第13题：如图1，在正方形ABCD 中E 是AD 的中点，F 是CD 上一点，且3CF DF =，图中有哪几对相似三角形?把它们表示出来，并说明理由．③小华很快找出ABE DEF △△∽，他的思路为：设正方形的边长4AB a =，则2,AE DE a DF a ===，利用“两边分别成比例且夹角相等的两个三角形相似”即可证明，请你结合小华的思路写出证明过程； ③小丽发现图中的相似三角形共有三对，而且可以借助于ABE 与DEF 中的比例线段来证明EBF △与它们都相似．请你根据小丽的发现证明其中的另一对三角形相似；【拓展创新】（2）如图2，在矩形ABCD 中E 为AD 的中点，EF EC ⊥交AB 于F ，连结FC ．()AB AE > ③求证：AEF ECF ∽△△；③设2,BC AB a ==，是否存在a 值，使得AEF △与BFC △相似．若存在，请求出a 的值；若不存在，请说明理由．参考答案：1．（3）52．(1)2BD CE =(2)6CE =(3)1tan 2ECB ∠=3．(1)DMG ③DBM △，EMF ③EAM △ (2)53FG =4．(1)8(2)2秒或4秒(3)当t 为3或1.2秒钟，使PBQ 与ABC 相似．5．(1)FHG △或DHC （写出一个即可）(2)阴影部分的面积是23 (3)AB BC 的值为357．（1）ABC DBA ∽ ABC CAD ∽ DBA DAC ∽（其中一个即可，答案不唯一）；（2）四边形AEFG是菱形，（3）212GF GE BE =⋅ 8． 5 9．【教材原题】ADE ABC △△∽，35【应用】13 10．5(3)611．23105337 12．(1)BCD ACD ∽ BCD BAC ∽△△ CAD BAC △∽△（任写两对即可）(2)③2AC BC '= AC BC '⊥ ③BC 2595+2595-+13．(1)四边形ABCE ；(2)10AB =或245； (3)1118t = 2881t = 1825t = 180169t =．14．阅读理解 54AE =；解决问题，猜想：12EP m GH m +=+． 15．③存在 3。
中考数学复习《三角形》专项提升训练(附答案)
中考数学复习《三角形》专项提升训练(附答案) 学校:___________班级：___________姓名：___________考号：___________一、选择题1.下列图形中，不具有稳定性的是（）2.有5根小木棒，长度分别为2cm、3cm、4cm、5cm、6cm，任意取其中的3根小木棒首尾相接搭三角形，可搭出不同的三角形的个数为（）A．5个 B．6个 C．7个 D．8个3.三条线段a,b,c长度均为整数且a=3,b=5.则以a,b,c为边的三角形共有( )A.4个B.5个C.6个D.7个4.画△ABC中AB边上的高，下列画法中正确的是（）5.如图，AD是△ABC的中线，点E是AD的中点，连接BE、CE，若△ABC的面积是8 则阴影部分的面积为( )A.2B.4C.6D.86.在一个三角形中，一个外角是其相邻内角的3倍，那么这个外角是( )A.150°B.135°C.120°D.100°7.如图，在△ABC中，∠ABC=50°，∠ACB=60°，点E在BC的延长线上，∠ABC的平分线BD与∠ACE的平分线CD相交于点D，连接AD，下列结论中不正确的是( )A.∠BAC=70°B.∠DOC=90°C.∠BDC=35°D.∠DAC=55°8.如图，在△ABC中，AD是角平分线，AE是高，已知∠BAC=2∠B，∠B=2∠DAE，那么∠ACB为( )A.80°B.72°C.48°D.36°9.如图，△ABC中，点D为BC上一点，且AB=AC=CD，则图中∠1和∠2关系是( )A.∠2=2∠1B.∠1+2∠2=90°C.3∠1+2∠2=180°D.2∠1+3∠2=180°10.如图，∠ABD，∠ACD的角平分线交于点P，若∠A=50°，∠D=10°，则∠P的度数为（）A.15°B.20°C.25°D.30°二、填空题11.已知一个等腰三角形的两边长分别为2cm、5cm，则第三边长是 cm.12.任意一个三角形被一条中线分成两个三角形，则这两个三角形：①形状相同；②面积相等；③全等．上述说法中，正确的是．13.如图，已知△ABC的周长为27cm，AC＝9cm，BC边上中线AD＝6cm，△ABD周长为19cm，AB＝________．14.如图，CD是Rt△ABC斜边上的高，则△ABC中BC边上的高是____；AC边上的高是____；这三条高交于点____．15.如图所示，D是△ABC的边BC上的一点，且∠1=∠2，∠3=∠4，∠BAC=63°，则∠DAC= ．16.如图，已知△ABC的面积为1.第一次操作：分别延长AB，BC，CA至点A1，B1，C 1，使A1B＝AB，B1C＝BC，C1A＝CA，顺次连结点A1，B1，C1，A1，得到△A1B1C1.第二次操作：分别延长A1B1，B1C1，C1A1至点A2，B2，C2，使A2B1＝A1B1，B2C1＝B1C1，C2A1＝C 1A1，顺次连结点A2，B2，C2，A2，得到△A2B2C2……按此规律，要使得到的三角形的面积超过2024，则最少经过次操作.三、解答题17.工艺店打算制作一批有两边长分别是7分米，3分米，第三边长为奇数(单位：分米)的不同规格的三角形木框.(1)要制作满足上述条件的三角形木框共有种.(2)若每种规格的三角形木框只制作一个，制作这种木框的木条的售价为8元╱分米，问至少需要多少钱购买材料？(忽略接头)18.如图，已知∠A=20°，∠B=27°，AC⊥DE，求∠1，∠D的度数．19.如图，CE是△ABC的外角∠ACD的平分线，且CE交BA的延长线于点E.若∠B=35°，∠E=20°，求∠BAC的度数．20.如图，已知AC⊥BC，垂足为C，AC=4，BC=33，将线段AC绕点A按逆时针方向旋转60°，得到线段AD，连接DC、DB.(1)线段DC=________；(2)求线段DB的长度．21.已知a,b,c是三角形的三边长.(1)化简:|b+c-a|+|b-c-a|-|c-a-b|-|a-b+c|;(2)在(1)的条件下,若a,b,c满足a+b=11,b+c=9,a+c=10,求这个式子的值.22.如图1,在△OBC中,A是BO延长线上的一点.(1)∠B=32°,∠C=46°,则∠AOC= °,Q是BC边上一点,连接AQ交OC于点P,如图2,若∠A=18°,则∠OPQ= °,猜测:∠A+∠B+∠C与∠OPQ的大小关系是.(2)将图2中的CO延长到点D,AQ延长到点E,连接DE,得到图3,则∠AQB等于图中哪三个角的和?并说明理由.(3)求图3中∠A+∠D+∠B+∠E+∠C的度数.23.△ABC 中，AD、BE、CF是角平分线，交点是点 G，GH⊥BC。
中考数学总复习《三角形》专项测试卷-附参考答案
中考数学总复习《三角形》专项测试卷-附参考答案（测试时间60分钟满分100分）学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、选择题（共8题，共40分）1.下列图形中，具有稳定性的是( )A．正方形B．长方形C．直角三角形D．平行四边形2.如果一个等腰三角形的两边长分别是5cm和6cm，那么此三角形的周长是( )A．15cm B．16cmC．17cm D．16cm或17cm3.一个缺角的三角形ABC残片如图所示，量得∠A=60∘，∠B=75∘则这个三角形残缺前的∠C的度数为( )A．75∘B．60∘C．45∘D．40∘4.如图CD，CE和CF分别是△ABC的高、角平分线、中线，则下列各式中错误的是( )∠ACBA．AB=2BF B．∠ACE=12C．AE=BE D．CD⊥BE5.在△ABC中∠A:∠B:∠C=3:4:7则△ABC的形状是( )A．锐角三角形B．钝角三角形C．直角三角形D．无法确定6.已知n是正整数，若一个三角形的三边长分别是n+2，n+8，3n则满足条件的n的值有( )A．4个B．5个C．6个D．7个7.如图AB∥DE，GF⊥BC于F，∠FGB=50∘则∠CDE=( )A．30∘B．40∘C．50∘D．60∘8.若实数m，n满足等式∣m−2∣+√n−4=0，且m，n恰好是等腰△ABC的两条边的边长，则△ABC的周长是( )A．12B．10C．8D．6二、填空题（共5题，共15分）9.在△ABC中∠B=40∘，∠C=60∘，AD是∠A的平分线，则∠DAC=°．10.在△ABC中∠A=60∘，∠ABC，∠ACB的平分线交于点O，则∠BOC=°．11.三角形中一个内角α是另一个内角β的两倍时，我们称此三角形为“特征三角形”，其中α称为“特征角”．如果一个“特征三角形”的“特征角”为110∘，那么这个“特征三角形”的最小内角的度数为．12.如图，已知∠AOD=30∘，点C是射线OD上的一个动点，在点C运动的过程中，△AOC恰好是直角三角形，则此时∠A所有可能的度数为．13.已知三个角如图标注，则α=度．三、解答题（共3题，共45分）14.已知：如图，△ABC中，AD是高，AE平分∠BAC，∠B=50∘，∠C=80∘求∠DAE的度数．15.如图，在△ABC中∠B=∠C=45∘，点D在BC边上，点E在AC边上，且∠ADE=∠AED，连接DE．(1) 当∠BAD=60∘，则∠CDE的度数是：．(2) 当点D在BC（点B，C除外）边上运动时，设∠CDE=α，请用α表示∠BAD并说明理由．16.如图，已知点E，F在直线AB上，点G在线段CD上，ED与FG交于点H，∠C=∠EFG，∠CED=∠GHD。
中考专题复习三角形的综合题(含答案)
中考专题复习三角形的综合题(含答案)三角形是中考数学中的重要知识点之一。
综合题是考察学生对三角形知识的综合应用能力的题型。
下面是一些中考专题复三角形综合题的示例及其答案。
示例一已知△ABC 中，∠BCA = 90°，AD ⊥ BC 于 D，CD = 6 cm，BD = 8 cm，求△ACB 的面积。
答案：首先，我们可以根据勾股定理求得 AC 的长度：AC² = AD² + CD² = 8² + 6² = 100所以，AC = 10 cm。
由于△ACB 是直角三角形，所以该三角形的面积为：面积 = 1/2 × AC × BC = 1/2 × 10 × 8 = 40 平方厘米。
示例二已知△ABC 中，∠A = 60°，AB = 5 cm，AC = 8 cm，求△ABC 的高和面积。
答案：首先，我们可以利用正弦定理求得 BC 的长度：BC / sin A = AC / sin BBC / sin 60° = 8 / sin BBC = (8 × sin 60°) / sin B ≈ 9.24 cm所以，BC ≈ 9.24 cm。
由于△ABC 是一个等边三角形，其三条边长相等，所以该三角形的高等于边长乘以√3 除以 2：高= (5 × √3) / 2 ≈ 4.33 cm所以，△ABC 的高约为 4.33 cm。
该三角形的面积可以使用公式 S = (1/2) ×底 ×高计算：面积= (1/2) × 5 × 4.33 ≈ 10.83 平方厘米。
示例三已知△ABC 和△MNQ 的面积分别为 20 平方厘米和 25 平方厘米，且 AB:MN = △ABC 和△MNQ 的周长之比。
答案：由于 AB:MN = AB = kMN，BC = kQN。
2022年中考数学知识梳理系统复习专题训练： 三角形压轴练习(附答案)
2022中考数学知识梳理系统复习专题训练：三角形压轴练习1．如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝90°，过点B作BE⊥CD，垂足为点E，过点A作AF⊥BE，垂足为点F，且BE＝AF．（1）求证：△ABF≌△BCE；（2）连接BD，且BD平分∠ABE交AF于点G．求证：△BCD是等腰三角形．2．如图，已知线段a和∠EAF，点B在射线AE上．画出△ABC，使点C在射线AF上，且BC ＝a．（1）依题意将图补充完整；（2）如果∠A＝45°，AB＝，BC＝5，求△ABC的面积．3．在△ABC中，AB＞BC，直线l垂直平分AC．（1）如图1，作∠ABC的平分线交直线l于点D，连接AD，CD．①补全图形；②判断∠BAD和∠BCD的数量关系，并证明．（2）如图2，直线l与△ABC的外角∠ABE的平分线交于点D，连接AD，CD．求证：∠BAD ＝∠BCD．4．通过整式乘法的学习，我们进一步了解了利用图形面积来说明法则、公式等的正确性的方法，例如利用图甲可以对平方差公式（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2给予解释．图乙中的△ABC是一个直角三角形，∠C＝90°，人们很早就发现直角三角形的三边a，b，c满足a2+b2＝c2的关系．图丙是2002年国际数学家大会的会徽，选定的是我国古代数学家赵爽用来证明勾股定理的弦图，弦图是由四个全等的直角三角形和中间的小正方形拼成的一个大正方形．如果大正方形的面积是13，小正方形的面积是1，直角三角形的较短直角边长为a，较长直角边长为b，求出（a+b）2的值．5．如图，在三角形ABC中，CD平分∠ACB，交AB于点D，点E在AC上，点F在CD上，连接DE，EF．（1）若∠ACB＝70°，∠CDE＝35°，求∠AED的度数；（2）在（1）的条件下，若∠BDC+∠EFC＝180°，试说明：∠B＝∠DEF．6．已知：如图，△ABC是等边三角形，D是BC延长线上一点，且CD＝CB，连接AD，过点D 作DM⊥DB，在DM上截取一点E，使得DE＝AD，连接AE．（1）求证：△ADB≌△AEC；（2）猜想EC和AD的位置关系，并证明．7．在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝15，AB ＝25，点D 为斜边AB 上动点． （1）如图1，当CD ⊥AB 时，求CD 的长度；（2）如图2，当AD ＝AC 时，过点D 作DE ⊥AB 交BC 于点E ，求CE 的长度；（3）如图3，在点D 的运动过程中，连接CD ，当△ACD 为等腰三角形时，直接写出AD 的长度．8．如图1，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，动点M 从点A 出发沿A ﹣C ﹣B 向点B 匀速运动，动点N 从点B 出发沿B ﹣C ﹣A 向点A 运动．设MC 的长为y 1（cm ），NC 的长为y 2（cm ），点M 的运动时间为x （s ），y 1、y 2与x 的函数图象如图2所示． （1）线段AC ＝ cm ，点M 运动 s 后点N 开始运动； （2）求点P 的坐标，并写出它的实际意义； （3）当∠CMN ＝45°时，求x 的值．9．如图，点O为直线AB上一点，过点O作射线OC，使∠BOC＝135°，将一个含45°角的直角三角板的一个顶点放在点O处，斜边OM与直线AB重合，另外两条直角边都在直线AB的下方．（1）将图1中的三角板绕着点O逆时针旋转90°，如图2所示，此时∠BOM＝；在图2中，OM是否平分∠CON？请说明理由；（2）接着将图2中的三角板绕点O逆时针继续旋转到图3的位置所示，使得ON在∠AOC 的内部，请探究：∠AOM与∠CON之间的数量关系，并说明理由；（3）将图1中的三角板绕点O按每秒4.5°的速度沿逆时针方向旋转一周，在旋转的过程中，当旋转到第秒时，∠COM与∠CON互补．10．综合与实践问题情境在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，CD⊥AB于点D，点E是射线AB上一点，连接CE，过点B作BF⊥CE于点F，且交直线CD于点G．（1）如图1，当点E在线段AD上时，求证：CG＝AE．自主探究（2）如图2，当点E在线段BD上时，其它条件不变，请猜想CG与AE之间的数量关系，并说明理由．拓展延伸（3）如图3，当点E在线段AB的延长线上时，其它条件不变，请直接写出CG与AE之间的数量关系．11．阅读下列材料，并回答问题．事实上，在任何一个直角三角形中，两条直角边的平方之和一定等于斜边的平方，这个结论就是著名的勾股定理．请利用这个结论，完成下面活动：（1）一个直角三角形的两条直角边分别为5、12，那么这个直角三角形斜边长为．（2）如图1，AD⊥BC于D，AD＝BD，AC＝BE，AC＝10，DC＝6，求BD的长度．（3）如图2，点A在数轴上表示的数是请用类似的方法在图2数轴上画出表示数的B点（保留痕迹）．12．已知，在平面直角坐标系中，A（m，0）、B（0，n），m、n满足（m﹣n）2+|m﹣5|＝0．C 为AB的中点，P是线段AB上一动点，D是x轴正半轴上一点，且PO＝PD，DE⊥AB于E．（1）如图1，当点P在线段AB上运动时，点D恰在线段OA上，则PE与AB的数量关系为（2）如图2，当点D在点A右侧时，（1）中结论是否成立？若成立，写出证明过程；若不成立，说明理由！（3）设AB＝5，若∠OPD＝45°，直接写出点D的坐标．13．（1）如图a，AE是∠MAD的平分线，点C是AE上一点，点B是AM上一点，在AD上求作一点P，使得△ABC≌△APC，请保留清晰的作图痕迹．（2）如图b，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝60o，BE、CF分别是∠ABC和∠ACB的角平分线，CF与BE相交于点O．请探究线段BC、BF、CE之间的数量关系，直接写出结论，不要求证明．（3）如图c，若（2）中∠ACB为任意角，其它条件不变，请探究BC、BF、CE之间又有怎样的数量关系，请证明你的结论．14．直角三角形ABC中，∠ABC＝90°，点D为AC的中点，点E为CB延长线上一点，且BE ＝CD，连接DE．（1）如图1，求证∠C＝2∠E；（2）如图2，若AB＝6，BE＝5，△ABC的角平分线CG交BD于点F，求△BCF的面积．15．如图，在△ABC中，AB＝AC，点P是AB边上的动点（不与点A、B重合），把△ABC沿过点P的直线l折叠，点B的对应点是点D，折痕为PQ．（1）若点D恰好在AC边上．①如图1，当PQ∥AC时，连接AQ，求证：AQ⊥BC．②如图2，当DP⊥AB，且BP＝3，CD＝2，求△ABC与△CDQ的周长差．（2）如图3，点P在AB边上运动时，若直线l始终垂直于AC，△ACD的面积是否变化？请说明理由．参考答案1．证明：（1）∵BE ⊥CD ，AF ⊥BE ， ∴∠AFB ＝∠BEC ＝90°． ∴∠ABE +∠BAF ＝90°． ∵∠ABC ＝90°， ∴∠ABE +∠EBC ＝90°， ∴∠BAF ＝∠EBC ． 在△ABF 和△BCE 中，∴△ABF ≌△BCE （ASA ）． （2）∵∠ABC ＝90°， ∴∠ABD +∠DBC ＝90°． ∵∠BEC ＝90°， ∴∠DBE +∠BDE ＝90°， ∵BD 平分∠ABE ， ∴∠ABD ＝∠DBE ． ∴∠DBC ＝∠BDE ．∴BC ＝CD ，即△BCD 是等腰三角形． 2．解：（1）如图，△ABC 1、△ABC 2 为所求．（2）过点B 作BD ⊥AF 于D ． ∴∠ADB ＝90°，在△ABD 中，∠A ＝45°，AB ＝，∴∠ABD ＝45°，AD ＝BD ．∵AD 2+BD 2＝AB 2， ∴，∴AD ＝4＝BD ，由（1）作图可知：BC 1＝BC 2＝5， 在Rt △BDC 2中，同理可得：DC 2＝3． ∴△BC 1C 2是等腰三角形． ∴DC 1＝DC 2＝3，∴AC 1＝AD ﹣C 1D ＝4﹣3＝1，AC 2＝AD +C 2D ＝4+3＝7， ∴， ．3．解：（1）①补全图形；②结论：∠BAD +∠BCD ＝180°，理由如下：过点D 作DE ⊥AB 于E ，作DF ⊥BC 交BC 的延长线于F ，则∠AED ＝∠CFD ＝90°． ∵BD 平分∠ABC ， ∴DE ＝DF ．∵直线l 垂直平分AC ，∴DA＝DC，在Rt△ADE和Rt△CDF中，∴Rt△ADE≌Rt△CDF（HL）．∴∠BAD＝∠FCD．∵∠FCD+∠BCD＝180°，∴∠BAD+∠BCD＝180°；（2）结论：∠BAD＝∠BCD，理由如下：过点D作DN⊥AB于N，作DM⊥BE于M，则∠AND＝∠CMD＝90°．∵BD平分∠ABE，∴DM＝DN．∵直线l垂直平分AC，∴DA＝DC，在Rt△ADN和Rt△CDM中，∴Rt△ADN≌Rt△CDM（HL）．∴∠BAD＝∠BCD．4．解：根据勾股定理可得a2+b2＝13，四个直角三角形的面积是： ab×4＝13﹣1＝12，即2ab＝12，则（a+b）2＝a2+2ab+b2＝13+12＝25．故（a+b）2的值为25．5．（1）解：∵CD平分∠ACB，∴∠BCD＝∠ACB，∵∠ACB＝70°，∴∠BCD＝35°，∵∠CDE＝35°，∴∠CDE＝∠BCD，∴DE∥BC，∴∠AED＝∠ACB＝70°；（2）证明：∵∠EFC+∠EFD＝180°，∠BDC+∠EFC＝180°，∴∠EFD＝∠BDC，∴AB∥EF，∴∠ADE＝∠DEF，∵DE∥BC，∴∠ADE＝∠B，∴∠DEF＝∠B．6．（1）证明：∵MD⊥DB，∴∠EDB＝90°，∵△ABC是等边三角形，∴AB＝AC，∠ACB＝∠CAB＝60°，∵CD＝CB＝AC，∴∠ADB＝∠DAC＝30°，∴∠ADE＝60°，∵DE＝AD，∴△ADE是等边三角形，∠DAE＝60°，AE＝AD，∴∠CAB＝∠DAE＝60°，∴∠DAB＝∠EAC，∴△ADB≌△AEC（SAS）；（1）猜想：AD⊥EC，理由如下：∵△ADB≌△AEC，∵△AED是等边三角形，∴EC是△AED的角平分线，∴EC是△AED的高线，∴AD⊥EC．7．解：（1）∵∠ACB＝90°，A C＝15，AB＝25，∴BC＝＝＝20，∵AB•CD＝BC•AC，∴25CD＝20×15，∴CD＝12；（2）在Rt△ACE和Rt△ADE中，∠C＝∠EDA＝90°，∵，∴Rt△ACE≌Rt△ADE（HL），∴CE＝DE，设CE＝x，则BE＝20﹣x，BD＝25﹣15＝10在Rt△BED中∴x2+102＝（20﹣x）2，∴x＝7.5，∴CE＝7.5．（3）①当AD＝AC时，△ACD为等腰三角形∵AC＝15，∴AD＝AC＝15．②当CD＝AD时，△ACD为等腰三角形∵CD＝AD，∴∠DCA＝∠CAD，∵∠CAB+∠B＝90°，∠DCA+∠B CD＝90°，∴∠B＝∠BCD，∴BD＝CD，③当CD＝AC时，△ACD为等腰三角形，如图1中，作CH⊥BA于点H，则•AB•CH＝•A C•BC，∵AC＝15，BC＝20，AB＝25，∴CH＝12，在Rt△ACH中，AH＝＝9，∵CD＝AC，CH⊥BA，∴DH＝HA＝9，∴AD＝18．综合以上可得AD的长度为15，18，或12.5．8．解：（1）点M与点C重合时，观察图象可知AC＝10cm，观察图象可知，当点M运动1s后N点开始运动；故答案为：10，1；（2）M点运动的速度为18÷6＝3cm/s，∴P的橫坐标为10，∴P（，0），实际意义：当点M运动s时，点M与点C重合；（3）∵∠CMN＝45°，∠C＝90°，∴∠CNM＝∠CMN＝45°，∴△CMN为等腰直角三角形，①当0＜x≤1时，10﹣3x＝8，解得，x＝，②当1＜x≤3时，10﹣3x＝8﹣4（x﹣1），解得，x＝2，③当3＜x＜6时，3x﹣10＝2（x﹣3），解得，x＝4，④当6≤x≤8时，2（x﹣3）＝8，解得，x＝7，综上所述，x＝，2，4或7．9．解：（1）如图2，∠BOM＝90°，OM平分∠CON．理由如下：∵∠BOC＝135°，∴∠MOC＝135°﹣90°＝45°，而∠MON＝45°，∴∠MOC＝∠MON；故答案为90°；（2）∠AOM＝∠CON．理由如下：如图3，∵∠MON＝45°，∴∠AOM＝45°﹣∠AON，∵∠AOC＝45°，∴∠NOC＝45°﹣∠AON，∴∠AOM＝∠CON；（3）在旋转的过程中，∠COM与∠CON互补，则ON旋转67.5°或247.5°，∴＝15，或＝55，故答案为：15或55．10．综合与实践解：（1）AE＝CG，理由如下：∵在△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，∴∠A＝∠ABC＝45°．∵点D是AB的中点，∴∠BCG＝∠ACB＝45°，∴∠A＝∠BCG．∵BF⊥CE，∴∠CBG+∠BCF＝90°．∵∠ACE+∠BCF＝90°，∴∠CBG＝∠ACE，在△ACE和△CBG中，，∴△ACE≌△CBG（ASA），∴AE＝CG；自主探究（2）AE＝CG；理由如下：∵在△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，∴∠A＝∠ABC＝45°．∵点D是AB的中点，∴∠BCG＝∠ACB＝45°，∴∠A＝∠BCG．∵BF⊥CE，∴∠CBG+∠BCF＝90°．∵∠ACE+∠BCF＝90°，∴∠CBG＝∠ACE，在△ACE和△CBG中，，∴△ACE≌△CBG（ASA），∴AE＝CG；拓展延伸（3）CG＝AE．证明：同（1）（2）可得∠A＝∠GCB＝45°，∵BF⊥CE，∴∠GDB＝∠BFE＝90°，∵∠DBG＝∠FBE，∴∠CGB＝∠AEC，，∴△ACE≌△CBG（AAS），∴CG＝AE．11．解：（1）由勾股定理可得，这个直角三角形斜边长为＝13，故答案为：13；（2）在△ADC中，∠ADC＝90°，AC＝10，DC＝6，则由勾股定理得AD＝8，∵AD⊥BC于D，AD＝BD，AC＝BE，∴Rt△ADC≌Rt△BDE（HL），∴BD＝AD＝8；（3）如图2所示，点A在数轴上表示的数是＝，点B表示的数为＝，故答案为：．12．解：（1）∵（m﹣n）2+|m﹣5|＝0，∴m﹣n＝0，m﹣5＝0，∴m＝n＝5，∴A（5，0）、B（0，5），∴AC＝BC＝5，∴△AOB为等腰直角三角形，∴∠AOC＝∠BOC＝45°，OC⊥AB，∵PO＝PD，∴∠POD＝∠PDO，∵D是x轴正半轴上一点，∴点P在BC上，∵∠POD＝45°+∠POC，∠PDO＝45°+∠DPE，∴∠POC＝∠DPE，在△POC和△DPE中，，∴△POC≌△DPE（AAS），∴OC＝PE，∵C为AB的中点，∴AB＝2OC，∴AB＝2PE．故答案为：AB＝2PE．（2）成立，理由如下：∵点C为AB中点，∴∠AOC＝∠BOC＝45°，OC⊥AB，∵PO＝PD，∴∠POD＝∠PDO，∵∠POD＝45°﹣∠POC，∠PDO＝45°﹣∠DPE，∴∠POC＝∠DPE，在△POC和△DPE中，，∴△POC≌△DPE（AAS），∴OC＝PE，又∠AOC＝∠BAO＝45°∴OC＝AC＝AB∴AB＝2PE；（3）∵AB＝5，∴OA＝OB＝5，∵OP＝PD，∴∠POD＝∠PDO＝＝67.5°，∴∠APD＝∠PDO﹣∠A＝22.5°，∠BOP＝90°﹣∠POD＝22.5°，∴∠APD＝∠BOP，在△POB和△DPA中，，∴△POB≌△DPA（SAS），∴PA＝OB＝5，DA＝PB，∴DA＝PB＝5﹣5，∴OD＝OA﹣DA＝5﹣（5﹣5）＝10﹣5，∴点D的坐标为（10﹣5，0）．13．（1）解：如图1，以点A为圆心，以AB长为半径画弧交AD于一点，则此点为所要求的点P．（2）解：线段BC、BF、CE之间的关系为：BC＝BF+CE．证明：如图2中，在CB上截取CM＝CE，连接OM．∵∠A＝60°，∠ACB＝90°，又∵BE，CF分别是∠ABC和∠ACB的平分线，∴∠FCA＝∠FCB＝45°，∠ABE＝∠EBC＝15°，∴∠BFC＝∠A+∠ACF＝105°，∠CEB＝∠A+∠ABE＝75°在△OCE和△OCM中，，∴△OCE≌△OCM（SAS），∴∠CEO＝∠OMC＝75°，∴∠BMO＝180°﹣∠CMO＝105°，∴∠BFO＝∠BMO，在△OBF或△OBM中，，∴△OBF≌△OBM（AAS），∴BF＝BM，∴BC＝BM+CM＝BF+CE．（3）解：线段BC、BF、CE之间的关系为：BC＝BF+CE．证明：在BC上截取BF'＝BF，连接OF'．在△BFO和△BF'O中，∴△BFO≌△BF'O（SAS），∴∠BOF＝∠BOF'，∵∠A＝60o，BE、CF分别是∠ABC和∠ACB的角平分线，CF与BE相交于点O．∴∠BOC＝180°﹣∠ABC﹣∠ACB＝180°﹣60°＝120°，∴∠BOF'＝∠BOF＝∠COE＝180°﹣120°＝60°．∠COF'＝∠BOC﹣∠BOF'＝120°﹣60°＝60°，在△COE和△COF'中，∴△COE≌△COF'（ASA），∴CE＝CF'，∴BC＝BF+CE．14．解：（1）证明：∵∠ABC＝90°，点D为AC的中点，∴BD＝AC＝CD＝AD，∵CD＝BE，∴BE＝BD，∴∠BDE＝∠E，∵BD＝CD，∴∠C＝∠DBC，∴∠C＝∠DBC＝∠BDE+∠E＝2∠E；（2）过点F作FM⊥BC，FN⊥AC∵CG平分∠ABC∴FM＝FN∵BE＝5∴CD＝AD＝BE＝5，AC＝10又∵AB＝6∴在Rt △ABC 中，AB 2+BC 2＝AC 2∴BC ＝8∵BD 为△ABC 的中线∴S △BCD ＝S △ABC ＝×AB ×BC ＝××6×8＝12又∵S △BCD ＝S △BCF +S △CDF∴12＝CD •FN +BC •FM ∴×5×FM +×8×FM ＝12∴FM ＝∴S △BCF ＝BC •FM ＝×8×＝． 15．解：（1）①如图1中，连接AQ ，BD ．BD 交PQ 于O ．∵△PQD 是由△PQB 翻折得到，∴PQ 垂直平分线段BD ，∴OB ＝OD ，∵PQ ∥AC ，∴BQ ＝QC ，∵AB ＝AC ，∴AQ ⊥BC ．②如图2中，设PA ＝x ，则AB ＝AC ＝x +3，AD ＝AC ﹣CD ＝x +1，∵PB＝PD＝3，PD⊥AB，∴∠APD＝90°，∴AD2＝PA2+PD2，∴（x+1）2＝x2+32，解得x＝4，∵BQ＝DQ，∴△ABC的周长﹣△QDC的周长＝AB+AC+BC﹣（QD+QC+CD）＝2AB﹣CD＝14﹣2＝12．（2）如图3中，结论：S△ADC ＝S△ABC＝定值．理由：连接BD．∵△APD与△CPB关于直线PQ对称，∴BD⊥PQ，∵AC⊥PQ，∴BD∥AC，∴S△ADC ＝S△ABC＝定值．。
中考数学总复习分层提分训练：等腰三角形与直角三角形含答案(以2010-2012年真题为例)
等腰三角形与直角三角形一级训练1．(2011年湖南邵阳)如图4－2－31所示，在△ABC中，AB＝AC，∠B＝50°，则∠A＝() A．40°B．50°C．80°D．100°图4－2－31 图4－2－32图4－2－332．(2011年浙江舟山)如图4－2－32，边长为4的等边△ABC中，DE为中位线，则四边形BCED的面积为()A．2 3B．3 3 C. 4 3 D. 6 33．如图4－2－33，在△ABC中，∠C＝90°，EF∥AB，∠1＝50°，则∠B的度数为() A．50°B．60°C．30°D．40°4．(2010年广东深圳)如图4－2－34，在△ABC中，AC＝AD＝BD，∠DAC＝80°，则∠B的度数是()A．40°B．35°C．25°D．20°图4－2－34 图4－2－35 图4－2－365．(2012年山东济宁)如图4－2－35，在平面直角坐标系中，点P的坐标为(－2,3)，以点O为圆心，以OP的长为半径画弧，交x轴的负半轴于点A，则点A的横坐标介于()A．－4和－3之间B．3和4之间C．－5和－4之间D．4和5之间6．下列性质中，等腰三角形具有而直角三角形不一定具有的是()A．两边之和大于第三边B．有一个角的平分线垂直于这个角的对边C．有两个锐角的和等于90°D．内角和等于180°7．已知在△ABC中，AB＝AC＝x，BC＝6，则腰长x的取值范围是() A．0＜x＜3 B．x＞3 C．3＜x＜6 D．x＞68．(2011年江苏无锡)如图4－2－36，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D，E，F分别是AB，BC，CA的中点，若CD＝5 cm，则EF＝_________cm.9．在等腰三角形ABC中，AB＝AC，中线BD将这个三角形的周长分为15和12两个部分，则这个等腰三角形的底边长为()A．7 B．11 C．7或11 D．7或1010．(2011年山东德州)下列命题中，其逆命题成立的是________(只填写序号)．①同旁内角互补，两直线平行；②如果两个角是直角，那么它们相等；③如果两个实数相等，那么它们的平方相等；④如果三角形的三边长a，b，c满足a2＋b2＝c2，那么这个三角形是直角三角形．11．如图4－2－37，△ABC是等边三角形，点D是BC边上的任意一点，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F.若BC＝2，则DE＋DF＝______.图4－2－37 图4－2－3812．(2012年江苏淮安)如图4－2－38，在△ABC中，∠C＝90°，点D在AC上，已知∠BDC ＝45°，BD＝102，AB＝20.求∠A的度数．13．若等腰三角形一腰上的高等于腰长的一半，则这个等腰三角形的底角为() A．75°或15°B．36°或60°C．75°D．30°14．(2012年贵州黔西南州)如图4－2－39，在△ABC中，∠ACB＝90°，D是BC的中点，DE ⊥BC，CE∥AD，若AC＝2，CE＝4，则四边形ACEB的周长为______．图4－2－39 图4－2－4015．(2011年山东枣庄)如图4－2－40，在边长为1的小正方形组成的网格中，△ABC的三个顶点均在格点上，请按要求完成下列各题：(1)画线段AD∥BC且使AD＝BC，连接CD；(2)线段AC的长为________，CD的长为________，AD的长为________；(3)△ACD为________三角形，四边形ABCD的面积为________；(4)若E为BC的中点，则tan∠CAE的值是______．三级训练16．如图4－2－41，以Rt△ABC的三边为斜边分别向外作等腰直角三角形．若斜边AB＝4，则图中阴影部分的面积为________．图4－2－41 图4－2－4217．(2011年湖北黄冈)如图4－2－42，在等腰直角三角形ABC中，∠ABC＝90°，D为AC边上的中点，过点D作DE丄DF，交AB于点E，交BC于点F，若AE＝4，FC＝3，求EF 的长．1．C 2.B 3.D 4.C 5.A 6.B 7.B 8.59．C10．①④ 11. 312．解：∵在直角三角形BDC 中，∠BDC ＝45°，BD ＝ 102，∴BC ＝CD ＝10 .又∵∠C ＝90°，AB ＝20，∴∠A ＝30°.13．A 解析：三角形的高可在三角形内、三角形外，于是可得等腰三角形的顶角为30°或150°，故底角为75°或15°.14．10＋21315．解：(1)如图D11.图D11(2)2 55 5 (3)直角 10 (4)1216．817．解：连接BD ，如图D12.图D12 ∵在等腰直角三角形ABC 中，D 为AC 边上的中点，∴BD ⊥AC ，BD ＝CD ＝AD ，∠ABD ＝45°.∴∠C ＝45°.∴∠ABD ＝∠C .又∵DE ⊥DF ，∴∠FDC ＋∠BDF ＝∠EDB ＋∠BDF .∴∠FDC ＝∠EDB .在△EDB 与△FDC 中，∵⎩⎪⎨⎪⎧ ∠EBD ＝∠C ，BD ＝CD ，∠EDB ＝∠FDC ，∴△EDB ≌△FDC (ASA)． ∴BE ＝FC ＝3.∴AB ＝7，则BC ＝7. ∴BF ＝4.在R T △EBF 中，EF 2＝BE 2＋BF 2＝32＋42， ∴EF ＝5.。
九年级中考数学考点提升训练——专题：《三角形综合：全等与相似》(四)(Word版,带答案)
九年级中考数学考点提升训练——专题：《三角形综合：全等与相似》（四）1．如图1，在平面直角坐标系中，直线AB分别交y轴、x轴于点A（0，a），点B（b，0），且a、b满足a2﹣4a+4+＝0．（1）求a，b的值；（2）以AB为边作Rt△ABC，点C在直线AB的右侧且∠ACB＝45°，求点C的坐标；（3）若（2）的点C在第四象限（如图2），AC与x交于点D，BC与y轴交于点E，连接DE，过点C作CF⊥BC交x轴于点F．①求证CF＝BC；②直接写出点C到DE的距离．2．已知：如图，点P是等边△ABC内一点，连接PC，以PC为边作等边三角形△PDC，连接PA，PB，BD．（1）求证：∠APC＝∠BDC；（2）当∠APC＝150°时，试猜想△DPB的形状，并说明理由；（3）当∠APB＝100°且DB＝PB，求∠APC的度数．3．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于点D．点E为AD上一点，点F为BE延长线上一点，且AF＝AC．（1）如图1，若∠FBC＝∠BAC＝30°．①判断△BAF的形状，并证明；②若AE＝（+1）BE，则＝．（直接写出结果）（2）如图2，若∠FBC＝45°，作AG⊥BF于G，求证：EF＝BE+2AG．4．如图1，Rt△ABC中，点D，E分别为直角边AC，BC上的点，若满足AD2+BE2＝DE2，则称DE为Rt△ABC的“完美分割线”．显然，当DE为△ABC的中位线时，DE是△ABC的一条完美分割线．（1）如图1，AB＝10，cos A＝，AD＝3，若DE为完美分割线，则BE的长是．（2）如图2，对AC边上的点D，在Rt△ABC中的斜边AB上取点P，使得DP＝DA，过点P画PE⊥PD交BC于点E，连结DE，求证：DE是直角△ABC的完美分割线．（3）如图3，在Rt△ABC中，AC＝10，BC＝5，DE是其完美分割线，点P是斜边AB的中点，连结PD、PE，求cos∠PDE的值．5．如图1，张老师在黑板上画出了一个△ABC，其中AB＝AC．让同学们进行探究．（1）探究一：如图2，小明以BC为边在△ABC内部作等边△BDC，连接AD．请直接写出∠ADB的度数；（2）探究二：如图3，小彬在（1）的条件下，又以AB为边作等边△ABE，连接CE．判断CE与AD的数量关系，并说明理由；（3）探究三：如图3，小聪在（2）的条件下，连接DE．若∠DEC＝60°，DE＝2，求AE的长．6．如图1，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝20，AC＝16，CD是斜边AB上的中线，P是边AC上一点，连接DP，以DP为直角边作等腰直角三角形DPE（点E始终在直线AB右侧）．（1）求点D到边AC的距离；（2）当△PEC是以PE为腰的等腰三角形时，求所有满足要求的AP长．（3）如图2，当斜边DE与AC有交点时，记交点为Q，若AP＝CQ，则S△DPE ＝．（直接写出答案）7．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，E为BC上一点，连接AE，作AF ⊥AE且AF＝AE，BF交AC于D．（1）如图1，求证：D为BF中点；（2）如图1，求证：BE＝2CD；（3）如图2，若＝，直接写出的值．8．在△ABC中，AC＝BC＝4，∠ACB＝90°，E为BC上一个动点，CF⊥AE于G，交AB于F．（1）如图1，当AE平分∠CAB时，求BE的长．（2）如图2，当E为BC中点时．①求CG的长．②连接EF，求GF+EF的值．（3）如图3，在E运动过程中，连接BG，则BG的最小值为．9．已知在四边形ABCD中，∠ABC+∠ADC＝180°，AB＝BC．（1）连接BD，如图1，若∠BAD＝90°，AD＝3，求DC的长；（2）点E，F分别在射线DC，DA上．①如图2，若点E，F分别在线段CD，AD上，且满足∠EBF＝90°﹣∠ADC，求证：EF＝AF+CE；②如图3，若点E，F分别在线段DC延长线与DA延长线上，且满足EF＝AF+CE，请直接写出∠EBF与∠ADC之间的数量关系．10．（1）已知△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°．①如图1，点M、N在底边BC上，且∠ANB＝45°，∠MAN＝60°．请在图中作出∠NAD＝60°，且AD＝AM，连接ND、CD；并直接写出BM与CN的数量关系．②如图2，点M在BC上，点N在BC的上方，且∠MBN＝∠MAN＝60°，求证：MC＝BN+MN；（2）如图3，在四边形ABCD中，∠CAB＝50°，BD平分∠ABC，若∠ADC与∠ABD互余，则∠DAC的大小为（直接写出结果）．参考答案1．解：（1）∵，∴，∵（a﹣2）2≥0，，∴a﹣2＝0，2b+2＝0，∴a＝2，b＝﹣1；（2）由（1）知a＝2，b＝﹣1，∴A（0，2），B（﹣1，0），∴OA＝2，OB＝1，∵△ABC是直角三角形，且∠ACB＝45°，∴只有∠BAC＝90°或∠ABC＝90°，Ⅰ、当∠BAC＝90°时，如图1，∵∠ACB＝∠ABC＝45°，∴AB＝CB，过点C作CG⊥OA于G，∴∠CAG+∠ACG＝90°，∵∠BAO+∠CAG＝90°，∴∠BAO＝∠ACG，在△AOB和△BCP中，，∴△AOB≌△CGA（AAS），∴CG＝OA＝2，AG＝OB＝1，∴OG＝OA﹣AG＝1，∴C（2，1），Ⅱ、当∠ABC＝90°时，如图2，同Ⅰ的方法得，C（1，﹣1）；即：满足条件的点C（2，1）或（1，﹣1）（3）①如图3，由（2）知点C（1，﹣1），过点C作CL⊥y轴于点L，则CL＝1＝BO，在△BOE和△CLE中，，∴△BOE≌△CLE（AAS），∴BE＝CE，∵∠ABC＝90°，∴∠BAO+∠BEA＝90°，∵∠BOE＝90°，∴∠CBF+∠BEA＝90°，∴∠BAE＝∠CBF，在△ABE和△BCF中，，∴△ABE≌△BCF（ASA），∴BE＝CF，∴；②点C到DE的距离为1．如图4，过点C作CK⊥ED于点K，过点C作CH⊥DF于点H，由①知BE＝CF，∵BE＝BC，∴CE＝CF，∵∠ACB＝45°，∠BCF＝90°，∴∠ECD＝∠DCF，∵DC＝DC，∴△CDE≌△CDF（SAS），∴∠BAE＝∠CBF，∴CK＝CH＝1．2．解：（1）如图，∵△ABC，△PDC是等边三角形，∴AC＝BC，PC＝PD＝CD，∠ACB＝∠PCD＝60°，∴∠ACP＝∠BCD，且AC＝BC，PC＝CD，∴△ACP≌△BCD（SAS）∴∠APC＝∠BDC；（2）△DPB是直角三角形．理由：∵∠BDC＝∠APC＝150°，∠PDC＝60°∴∠BDP＝∠BDC﹣∠PDC＝90°，∴△DPB是直角三角形；（3）设∠APC＝x，则∠BPD＝200°﹣x，∠BDP＝x﹣60°∵PB＝DB，∴∠BPD＝∠BDP，∴200°﹣x＝x﹣60°，∴x＝130°，∴∠APC＝130°3．解：（1）①△BAF为等腰直角三角形．证明：∵AB＝AC，AD⊥BC，∠FBC＝∠BAC＝30°，∴∠ABC＝∠C＝75°，∠BAD＝∠CAD＝15°，∵AF＝AC，∴AB＝AF，∴∠ABF＝45°，∴△BAF为等腰直角三角形；②如图1，过点A作AM⊥BF于点M，设BE＝x，则AE＝（+1）x，∵∠FBC＝30°，∴DE＝BE＝x，∠BED＝∠AEF＝60°，∴∠EAM＝30°，∴EM＝AE（+1）x，∵△ABF为等腰直角三角形，AM⊥BF，∴AM＝MF＝BM，∴BM＝EB+EM＝x+x＝x，∴EF＝EM+MF＝x＝（2+）x，∴＝4+2．故答案为：4+2．（2）证明：如图2，过点A作AH⊥AE，交BC于点H，∵∠FBC＝45°，AD⊥BC，∴∠BED＝∠AEH＝45°，∴∠AHE＝∠AEH＝45°，AE＝AH，∴∠AEB＝∠AHF＝135°，∵AF＝AC，∴AB＝AF，∠ABF＝∠F，在△ABE和△AFH中，，∴△ABE≌△AFH（AAS），∴BE＝FH，∴AG＝EG＝GH，∴EH＝2AG，∴EF＝FH+EH＝BE+2AG．4．解：（1）∵AB＝10，cos A＝，∴cos A＝，∴AC＝8，CD＝5，∴＝＝6，设BE＝x，则CE＝6﹣x，在Rt△CDE中，DE2＝CD2+CE2＝52+（6﹣x）2，∵DE为完美分割线，∴AD2+BE2＝DE2，∴32+x2＝52+（6﹣x）2，解得：x＝．∴BE＝．故答案为：．（2）证明：如图2，∵DA＝DP，∴∠DAP＝∠DPA，∵PE⊥PD，∴∠DPA+∠EPB＝90°，又∠A＝∠B，∴∠EPB＝∠B，∴EP＝EB，∴AD2+BE2＝DP2+EP2＝DE2，∴DE是直角△ABC的完美分割线．（3）解：延长DP至F，使PF＝PD，连接BF，EF，∵AP＝BP，∠APD＝∠BPF，∴△APD≌△BPF（SAS），∴AD＝BF，∠A＝∠FBP，∴∠EBF＝∠CBA+∠FBP＝∠CBA+∠A＝90°，∵DE是完美分割线，∴DE2＝AD2+BE2＝BF2+BE2＝EF2，即ED＝EF．又PD＝PF，∴∠EPD＝90°，过点P作PM⊥AC，PN⊥BC，则∠MPD＝∠NPE＝90°﹣∠MPE，∴△MPD∽△NPE，∴，设PD＝a，则PE＝2a，则DE＝＝a，∴cos∠PDE＝＝．5．解：（1）探究一：∵△BDC是等边三角形，∴BD＝DC，∠BDC＝60°，在△ADB和△ADC中，，∴△ADB≌△ADC（SSS），∴∠ADB＝∠ADC，∵∠ADB+∠ADC＝360°﹣60°，∴∠ADB＝150°，故答案为：150°．（2）探究二：结论：CE＝AD．理由：∵△BDC、△ABE都是等边三角形∴∠ABE＝∠DBC＝60°，AB＝BE，BD＝DC．∴∠ABE﹣∠DBE＝∠DBC﹣∠DBE∴∠ABD＝∠EBC，在△ABD和△EBC中，∴△ABD≌△EBC（SAS）．∴AD＝CE．（3）探究三：∵△ABD≌△EBC，∴∠BDA＝∠ECB＝150°，∵∠BCD＝60°，∴∠DCE＝90°，∵∠DEC＝60°，∴∠CDE＝30°，∵DE＝2，∴CE＝1，由勾股定理得，DC＝BC＝，∵∠BDE＝60°+30°＝90°，DE＝2，BD＝．由勾股定理得，BE＝＝．∵△ABE是等边三角形∴AE＝BE＝．6．解：（1）过D用DF⊥AC于点H，如图1，则DF∥BC，∵D是AB的中点，∴AF＝CF，∴DF＝，∵BC＝，∴DF＝6，故点D到边AC的距离为6；（2）当PE＝CE时，如图1，过点E作EG⊥PC于点G，∴PG＝CG，∵∠DPE＝90°，∴∠DPF+∠EPG＝∠DPF+∠PDF＝90°，∴∠PDF＝∠EPG，∵PD＝EP，∠DFP＝∠PGE＝90°，∴△DPF≌△PEG（AAS），∴DF＝PG＝CG＝6，∴AP＝AC﹣PC＝16﹣6﹣6＝4；当PE＝PC时，如备用图1，过D作DF⊥AC于点F，过点E作EG⊥AC于点G，则DF∥BC，AF＝CF＝8，DF＝BC＝6，∵∠DPE＝90°，∴∠DPF+∠EPG＝∠DPF+∠PDF＝90°，∴∠PDF＝∠EPG，∵∠DFP＝∠PGE＝90°，DP＝EP，∴△PDF≌△EPG（AAS），∴DPG＝6，PF＝EG，设PE＝PC＝x，则EG＝FP＝8﹣x，由勾股定理得，PE2﹣EG2＝PG2，∴x2﹣（8﹣x）2＝62，解得，x＝，即PC＝，∴AP＝AC﹣PC＝16﹣，综上，AP＝4或；（3）过点D作DF⊥AC于点F，过点E作EG⊥AC于G，则DF∥EG∥BC，∵D是AB的中点，∴AF＝CF＝8，DF＝，∵AP＝CQ，∴PF＝QF，设AP＝CQ＝x，则PF＝QF＝，∵∠DPE＝90°，∠DFP＝90°，∴∠DPF+∠EPG＝∠DPF+∠PDF＝90°，∴∠PDF＝∠EPF，∵∠DFP＝∠PGE＝90°，DP＝PE，∴△DPF≌△PEG（AAS），∴DF＝PG＝6，PF＝EG＝8﹣x，∴QG＝PG﹣PQ＝6﹣2（8﹣x）＝2x﹣10，∵DF∥EG，∴△DFQ∽△EGQ，∴，即，解得，x＝14+6＞16（舍），或x＝14﹣6，∴PF＝QF＝EG＝8﹣x＝6﹣6，∴＝．另一解法：过D作DF⊥AC于点F，延长DF至M，使得DF＝FM，过M作MN⊥DE，与DE的延长线交于点N，如图2，则DF∥BC，∴QD＝QM，∴∠QDM＝∠QMD，∵D是AB的中点，DF∥BC，∴AF＝CF＝8，DF＝，∴DM＝12，∵AP＝CQ，∴PF＝QF，∴DP＝DQ，∴∠PDF＝∠QDF，∴∠PDF＝∠QMF，∴DP∥QM，∴∠MQN＝∠PDE＝45°，∴∠NMQ＝45°＝∠MQN，∴MN＝QN，不妨设MN＝QN＝x，则DP＝QD＝QM＝，∵DN2+MN2＝DM2，∴，解得，，∴，∴，∴．故答案为：72﹣36．7．证明：（1）如图1，过F点作FG⊥AC于点G，∵∠FAG+∠CAE＝90°，∠FAG+∠AFG＝90°，∴∠CAE＝∠AFG，在△AGF和△ECA中，，∴△AGF≌△ECA（AAS），∴AG＝EC，FG＝AC，∵AC＝BC，∴BC＝FG，又∵∠FGD＝∠DCB＝90°，∠FDG＝∠CDB，∴△FGD≌△BCD（AAS），∴DF＝BD，即D为BF的中点；（2）证明：∵△FGD≌△BCD，∴DC＝GD，∴CG＝2CD，∵AG＝CE，AC＝BC，∴CG＝BE，∴BE＝2CD；（3）解：如图2，过F点作FG⊥AC于点G，∵，∴，∵AC＝CB，∴，由（1），（2）可知△AGF≌△ECA，△FGD≌△BCD，∴CE＝AG，CD＝DG，∴，∴，∴，∴．∴．8．解：（1）∵AE平分∠CAB，∴点E到AC，AB的距离相等，∴，∵AC＝BC＝4，∠ACB＝90°，∴AB＝AC＝4，∴，∴，∴BE＝×4＝4（2﹣）＝8，即BE＝8﹣4；（2）①∵点E是BC的中点，∴CE＝BE＝BC＝2，∴AE＝＝2，∵CF⊥AE，∴S△ACE＝AE•CG＝AC•CE，∴CG＝．②过点B作BM⊥BC交CF延长线于点M，∵BM⊥BC，∴∠CBM＝90°，∴∠CBM＝∠ACE＝90°，∵∠ACG+∠BCM＝90°，∠ACG+∠CAE＝90°，∴∠BCM＝∠CAE，在△CBM和△ACE中，，∴△CBM≌△ACE（ASA），∴AE＝CM＝2，CE＝BM，∵CE＝BE，∴BM＝BE，∵∠CAB＝∠CBA＝45°，∴∠EBF＝∠MBF＝45°，在△EBF和△MBF中，，∴△EBF≌△MBF（SAS），∴EF＝MF，∴GF+EF＝GF+MF＝GM＝CM﹣CG＝2﹣．∴GF+EF＝．（3）取AC的中点N，连接NG，BN，∵点N是AC的中点，∴AN＝CN＝AC＝2，∴BN＝＝2，∵CF⊥AE，∴∠AGC＝90°，∴NE＝AC＝2，∴BG≥BN﹣NG，当且仅当B，G，N三点共线时，BG取得最小值，∴BG的最小值为2﹣2．故答案为：2﹣2．9．（1）解：∵∠ABC+∠ADC＝180°，∴∠A+∠C＝180°，又∵∠A＝90°，∴∠C＝90°＝∠A，在Rt△ABD和Rt△CBD中，，∴Rt△ABD≌Rt△CBD（HL），∴DC＝DA＝3；（2）证明：如图2，延长DC到G，使得CG＝AF，连接BG，∵∠ABC+∠BCD+∠ADC+∠A＝360°，∠ABC+∠ADC＝180°，∴∠A+∠BCD＝180°，且∠BCD+∠BCG＝180°，∴∠A＝∠BCG，∵AB＝BC，CG＝AF，∴△ABF≌△CBG（SAS），∴BF＝BG，∠ABF＝∠CBG，又∵∠ABC+∠ADC＝180°，∴∠EBF＝90°﹣∠ADC＝∠ABC＝∠ABF+∠EBC＝∠CBG+∠EBC＝∠EBG，∵BE＝BE，∴△EBF≌△EBG（SAS），∴EF＝EG＝EC+CG＝CE+AF；（3）解：∠EBF与∠ADC之间的数量关系为：∠EBF＝90°+∠ADC．在CD的延长线上截取CH＝AE，连接BH，∵∠ABC+∠BCD+∠ADC+∠DAB＝360°，∠ABC+∠ADC＝180°，∴∠DAB+∠BCD＝180°，且∠DAB+∠EAB＝180°，∴∠BCD＝∠EAB，且AB＝BC，AE＝CH，∴△AEB≌△CHB（SAS），∴BE＝BH，∠EBA＝∠HBC，∵EF＝AE+CF，∴EF＝CH+CF＝HF，且BF＝BF，BE＝BH，∴△EBF≌△HBF（SSS），∴∠EBF＝∠HBF，∵∠EBF+∠HBF+∠EBA+∠ABH＝360°，∴2∠EBF+∠HBC+∠ABH＝360°，∴2∠EBF+∠ABC＝360°，∴2∠EBF+180﹣∠ADC＝360°，∴∠EBF＝90°+∠ADC．10．解：（1）①BM＝2CN．如图1，作出∠NAD＝60°，且AD＝AM，连接ND、CD；∵∠MAN＝60°，∠BAC＝120°，∴∠BAM+∠CAN＝60°，∵∠CAD+∠CAN＝60°，又∵AD＝AM，AB＝AC，∴△ABM≌△ACD（SAS），∴BM＝CD，∠B＝∠ACD＝30°，∵AM＝AD，∠MAN＝∠DAN，AN＝AN，∴△AMN≌△ADN（SAS），∴∠ANM＝∠AND＝45°，∴∠MND＝90°，又∵∠DCN＝∠ACB+∠ACD＝60°，∴∠CDN＝30°，∴CD＝2CN，∴BM＝2CN．故答案为：BM＝2CN．②如图2，在CB上截取CG＝BN，连接AG，∵AB＝AC，∠BAC＝120°，∴∠C＝∠ABC＝30°，∵∠NBM＝60°，∴∠ABN＝30°，在△ABN和△ACG中，，∴△ABN≌△ACG（SAS），∴∠BAN＝∠CAG，AN＝AG，∴∠BAN+∠BAM＝∠BAM+∠CAG＝∠MAN＝60°，∴∠MAG＝∠BAC﹣∠BAM﹣∠CAG＝60°，在△AMN和△AMG中，，∴△AMN≌△AMG（SAS），∴MN＝MG，∴MC＝MG+GC＝MN+BN．（2）如图3，过点D作DM⊥BA于点M，DN⊥BC于点N，在AM上截取MK＝CN，连接DK，∵BD平分∠ABC，∴∠ABC＝2∠ABD，DM＝DN，∵∠ADC＝90°﹣∠ABD，∠MDN＝180°﹣2∠ABD，∴∠MDN＝2∠ADC，在△DMK和△DNC中，，∴△DMK≌△DNC（SAS），∴DC＝DK，∠MDK＝∠CDN，∴∠NDC+∠ADM＝∠MDK+∠ADM＝∠ADC，∴∠ADC＝∠ADK，∵AD＝AD∴△ADC≌△ADK（SAS），∴∠DAC＝∠DAM＝．故答案为：65°．。
2020年中考数学《三角形》同步提分训练含答案解析
2020年中考数学提分训练: 三角形一、选择题1.下列长度的三条线段能构成三角形的是（）A. 3、4、8B. 5、6、11C. 6、8、20D. 5、6、102.下列各图中a、b、c为三角形的边长，则甲、乙、丙三个三角形和左侧△ABC全等的是（）A. 甲和乙B. 乙和丙C. 甲和丙D. 只有丙3.如图，AD，CE分别是△ABC的中线和角平分线．若AB=AC，∠CAD=20°，则∠ACE的度数是（）A. 20°B. 35°C. 40°D. 70°4.如图，在△ABC中，DE是AC的垂直平分线，且分别交BC，AC于点D和E，∠B＝60°，∠C＝25°，则∠BAD为（）A. 50°B. 70°C. 75°D. 80°5.如图，已知在△ABC中，∠BAC＞90°，点D为BC的中点，点E在AC上，将△CDE沿DE折叠，使得点C 恰好落在BA的延长线上的点F处，连结AD，则下列结论不一定正确的是（）A. AE=EFB. AB=2DEC. △ADF和△ADE的面积相等D. △ADE和△FDE的面积相等6.如图，坐标平面上，A，B两点分别为圆P与x轴、y轴的交点，有一直线L通过P点且与AB垂直，C点为L与y轴的交点．若A，B，C的坐标分别为（a，0），（0，4），（0，﹣5），其中a＜0，则a的值为何？（）A. ﹣2B. ﹣2C. ﹣8D. ﹣77.如图，在△ABC中，分别以点A和点C为圆心，大于AC长为半径画弧，两弧相交于点M，N，作直线MN分别交BC，AC于点D，E．若AE=3cm，△ABD的周长为13cm，则△ABC的周长为（）A. 16cmB. 19cmC. 22cmD. 25cm8.如图，△ABC中，AD是BC边上的高，AE、BF分别是∠BAC、∠ABC的平分线，∠BAC=50°，∠ABC=60°，则∠EAD+∠ACD=（）A.75°B.80°C.85°D.90°9.如图，在Rt△ABC中，CM平分∠ACB交AB于点M，过点M作MN∥BC交AC于点N，且MN平分∠AMC，若AN=1，则BC的长为（）A. 4B. 6C.D. 810.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD为AB边上的高，CE为AB边上的中线，AD=2，CE=5，则CD=（）A. 2B. 3C. 4D. 2二、填空题11.边长为a的正三角形的面积等于________.12.三角形的两边长分别为3和6，第三边的长是方程x2﹣6x+8=0的解，则此三角形周长是________．13.已知CD是△ABC的边AB上的高，若CD= ，AD=1，AB=2AC，则BC的长为________．14.如图，已知在△ABC中，BC边上的高AD与AC边上的高BE交于点F，且∠BAC=45°，BD=6，CD=4，则△ABC的面积为________．15.如图，在△ABC和△DEF中，点B，F，C，E在同一直线上，BF＝CE，AB∥DE，请添加一个条件，使△ABC≌△DEF，这个添加的条件可以是________（只需写一个，不添加辅助线）16.如图，△ABC的两条高AD ，BE相交于点F，请添加一个条件，使得△ADC≌△BEC（不添加其他字母及辅助线），你添加的条件是________．17.如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝5，分别以点A、B为圆心，大于AB的长为半径画弧，两弧交点分别为点P、Q，过P、Q两点作直线交BC于点D，则CD的长是________．三、解答题18.如图，已知AF=BE，∠A=∠B，AC=BD．求证：∠F=∠E．19.如图，已知：△ABC中，AB=AC，M是BC的中点，D、E分别是AB、AC边上的点，且BD=CE．求证：MD=ME．20.已知：在△ABC中，AB=AC，D为AC的中点，DE⊥AB，DF⊥BC，垂足分别为点E，F，且DE=DF。
中考数学总复习分层提分训练《三角形》含答案
三角形
一级训练
1．已知在△ABC中，若∠A＝70°－∠B，则∠C＝( )
A．35° B．70° C．110° D．140°
2．如图4－2－14，在△ABC中，∠A＝70°，∠B＝60°，点D在BC的延长线上，则∠ACD＝
A．周长相等的锐角三角形都全等 B．周长相等的直角三角形都全等
C．周长相等的钝角三角形都全等 D．周长相等的等腰直角三角形都全等
7．(2012年山东德州)不一定在三角形内部的线段是( )
A．三角形的角平分线 B．三角形的中线
C．三角形的高 D．三角形的中位线
4．(2011年湖南怀化)如图4－2－16，∠A，∠1，∠2的大小关系是( )
A. ∠A>∠1>∠2 B. ∠2>∠1>∠A C. ∠A>∠2>∠1 D. ∠2>∠A>∠1
图4－2－16 图4－2－17
5．(2011年江西)如图4－2－17，下列条件中，不能证明△ABD≌△ACD的是( )
A．BD＝DC，AB＝AC B．∠ADB＝∠ADC，∠BAD＝∠CAD
C．∠B＝∠C，∠BAD＝∠CAD D．∠B＝∠C，BD＝DC
6．(2011年上海)下列命题中，是真命题的是( )
( )
A．100° B．1205
3．已知如图4－2－15的两个三角形全等，则α的度数是( )
A．72° B．60° C．58° D．50°
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三角形
一级训练
1．已知在△ABC中，若∠A＝70°－∠B，则∠C＝()
A．35°B．70°C．110°D．140°
2．如图4－2－14，在△ABC中，∠A＝70°，∠B＝60°，点D在BC的延长线上，则∠ACD＝()
A．100°B．120°C．130°D．150°
图4－2－14 图4－2－15
3．已知如图4－2－15的两个三角形全等，则α的度数是()
A．72°B．60°C．58°D．50°
4．(2011年湖南怀化)如图4－2－16，∠A，∠1，∠2的大小关系是()
A. ∠A>∠1>∠2
B. ∠2>∠1>∠A
C. ∠A>∠2>∠1
D. ∠2>∠A>∠1
图4－2－16 图4－2－17
5．(2011年江西)如图4－2－17，下列条件中，不能证明△ABD≌△ACD的是() A．BD＝DC，AB＝AC B．∠ADB＝∠ADC，∠BAD＝∠CAD
C．∠B＝∠C，∠BAD＝∠CAD D．∠B＝∠C，BD＝DC
6．(2011年上海)下列命题中，是真命题的是()
A．周长相等的锐角三角形都全等B．周长相等的直角三角形都全等
C．周长相等的钝角三角形都全等D．周长相等的等腰直角三角形都全等
7．(2012年山东德州)不一定在三角形内部的线段是()
A．三角形的角平分线B．三角形的中线
C．三角形的高D．三角形的中位线
8．(2012年山东济宁)用直尺和圆规作一个角的平分线的示意图如图4－2－18，则能说明∠AOC＝∠BOC的依据是()
A．SSS B．ASA C．AAS D．角平分线上的点到角两边距离相等
图4－2－18 图4－2－19 图4－2－20 9．(2011年安徽芜湖)如图4－2－19，已知在△ABC中，∠ABC＝45°，F是高AD和BE的交点，CD＝4，则线段DF的长度为()
A．2 2B．4C．3 2D．4 2
10．以三条线段3,4，x－5为边组成三角形，则x的取值范围为________．
11．若△A BC的周长为a，点D，E，F分别是△ABC三边的中点，则△DEF的周长为__________．
12．(2011年江西)如图4－2－20，两块完全相同的含30°的直角三角形叠放在一起，且∠DAB ＝30°.有以下四个结论：①AF⊥BC；②△ADG≌△ACF; ③O为BC的中点；④AG∶DE ＝3∶4.其中正确结论的序号是__________．
13．(2011年山东威海)在△ABC中，AB＞AC，点D，E分别是边AB，AC的中点，点F在边BC上，连接DE，DF，EF，则添加下列哪一个条件后，仍无法判定△BFD与△EDF全等？()
A．EF∥AB B．BF＝CF C．∠A＝∠DFE D．∠B＝∠DEF
14．(2011年浙江)如图4－2－21，点D，E分别在AC，AB上．
(1)已知BD＝CE，CD＝BE，求证：AB＝AC；
(2)分别将“BD＝CE”记为①，“CD＝BE”记为②，“AB＝AC”记为③.添加条件①、
③，以②为结论构成命题1，添加条件②、③，以①为结论构成命题2.命题1是________
命题，命题2是_________命题(选择“真”或“假”填入空格)．
图4－2－21 图4－2－22
15．(2012年湖北随州)如图4－2－22，在△ABC中，AB＝AC，点D是BC的中点，点E在AD上．求证：(1)△ABD≌△ACD；(2)BE＝CE.
16．(2011年湖南衡阳)如图4－2－23，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝3，AC＝5，将△ABC折叠，使点C与点A重合，折痕为DE，则△ABE的周长为________．
图4－2－23
17．如图4－2－24，两根旗杆间相距12 m，某人从点B沿BA走向点A，一定时间后他到达点M，此时他仰望旗杆的顶点C和D，两次视线的夹角为90°，且CM＝DM，已知旗杆AC的高为3 m，该人的运动速度为1 m/s，求这个人运动了多长时间？
图4－2－24
1．C 2.C 3.D 4.B 5.D 6.D 7.C 8.A 9.B
10．6<x <12 解析：由题意，可得1<x －5<7，解得6<x <12.
11.a 2 解析：由题意，可得△DEF 的三边为△ABC 的中位线，故其周长为a 2
. 12．①②③④ 13.C
14．(1)证明：连接BC ，
∵ BD ＝CE ，CD ＝BE ，BC ＝CB ，
∴ △DBC ≌△ECB (SSS)．
∴ ∠DBC ＝∠ECB .
∴ AB ＝AC .
(2)真 假
15．证明：(1)∵D 是BC 的中点，
∴BD ＝CD .
在△ABD 和△ACD 中，
⎩⎪⎨⎪⎧ BD ＝CD ，AB ＝AC ，
AD ＝AD (公共边)，
∴△ABD ≌△ACD (SSS)．
(2)由(1)，可知：△ABD ≌△ACD ，
∴∠BAD ＝∠CAD ，即∠BAE ＝∠CAE .
在△ABE 和△ACE 中，
⎩⎪⎨⎪⎧
AB ＝AC ，∠BAE ＝∠CAE ， AE ＝AE ，
∴△ABE ≌△ACE (SAS)．
∴BE ＝CE (全等三角形的对应边相等).
16．7 解析：因为将△ABC 折叠，使点C 与点A 重合，折痕为DE ，所以EC ＝AE ，故△ABE 的周长为AB ＋BE ＋AE ＝AB ＋BE ＋EC ＝AB ＋BC ＝3＋4＝7.
17．解：∵∠CMD ＝90°，
∴∠CMA ＋∠DMB ＝90°.
又∵∠CAM ＝90°，
∴∠CMA＋∠ACM＝90°.
∴∠ACM＝∠DMB.
又∵CM＝MD，
∴Rt△ACM≌Rt△BMD.
∴AC＝BM＝3.
∴他到达点M时，运动时间为3÷1＝3(s)．答：这人运动了3 s.。