极坐标系教案及设计说明
初中数学教案极坐标系
初中数学教案极坐标系初中数学教案一、教学目标通过本节课的学习，学生将能够：1. 理解极坐标系的概念和基本性质；2. 掌握极坐标系中各种图形的绘制方法；3. 运用极坐标系解决实际问题。
二、教学重点和难点1. 教学重点：极坐标系的概念和性质；2. 教学难点：运用极坐标系解决实际问题。
三、教学准备1. 教师准备：- 准备幻灯片或黑板，用于黑板上的绘图；- 准备一些实际问题，用于课堂练习。
2. 学生准备：- 课本、笔记本等学习用具。
四、教学过程导入：1. 教师简要介绍极坐标系的概念，并引导学生回顾直角坐标系的相关知识。
新知呈现：2. 教师通过幻灯片或黑板绘制极坐标系，并解释极坐标系的构造及基本性质。
3. 教师通过实例引导学生理解极坐标系中极角和极径的概念，并解释其表示方法。
示范演示：4. 教师通过绘制圆和其他图形的示范，讲解使用极坐标系绘制图形的方法。
实践演练：5. 学生进行小组活动，按照教师的要求，绘制指定的图形，并在小组内互相讨论、交流。
巩固提高：6. 教师出示一些实际问题，并引导学生运用极坐标系解决问题。
7. 学生进行个人练习，完成课后习题。
拓展延伸：8. 教师引导学生进一步探究极坐标系中其他图形的绘制方法，如椭圆、双曲线等。
五、教学总结本节课我们学习了极坐标系的概念和基本性质，掌握了绘制各种图形的方法，并运用极坐标系解决了一些实际问题。
通过本节课的学习，我们对数学中的极坐标系有了更深入的了解。
六、课后作业1. 完成课后习题；2. 思考：极坐标系在现实生活中有哪些应用？七、板书设计- 极坐标系的构造及基本性质- 极角和极径的概念及表示方法- 绘制图形的方法八、教学反思本节课采用了多种教学方法，如导入、示范演示、实践演练等，帮助学生更好地理解和掌握极坐标系的相关知识。
同时，通过实际问题的引入，培养了学生解决问题的能力。
教学过程中，学生积极参与，课堂氛围较好。
但在讲解极坐标系的性质时，可以增加一些示例图形，以便学生更好地理解。
理论力学极坐标系教学设计
理论力学极坐标系教学设计摘要：本文旨在设计一堂关于理论力学极坐标系的教学课程。
通过理论与实践相结合的教学方法，学生将能够全面了解和掌握极坐标系的基本原理，并能够应用这些原理解决与极坐标系相关的问题。
本文将从教学目标、教学内容、教学方法和教学评估等方面进行详细的阐述，希望能够为理论力学课程的教学提供一些参考。
关键词：理论力学、极坐标系、教学设计、教学方法、教学评估第一部分：引言理论力学是力学研究的重要分支之一，它是研究物体运动的基础理论。
在理论力学中，坐标系是一个非常重要的概念，不同的坐标系可以用来描述不同的物理现象。
极坐标系是一种常用的坐标系，它可以用来描述具有旋转对称性的物体运动。
掌握极坐标系的基本原理，对于学生全面理解和应用理论力学是非常重要的。
因此，设计一堂关于理论力学极坐标系的教学课程具有重要的意义。
第二部分：教学目标本课程的教学目标主要包括以下几点：1. 理解极坐标系的基本原理和定义；2. 掌握极坐标系与直角坐标系的转换关系；3. 能够应用极坐标系解决与极坐标系相关的物理问题；4. 培养学生的逻辑思维和问题解决能力。
第三部分：教学内容1. 极坐标系的基本原理和定义- 极坐标系的概念和特点；- 极坐标系与直角坐标系的对比；- 极坐标系的坐标变换公式。
2. 极坐标系的应用- 极坐标系下点的表示和运动方程；- 速度和加速度在极坐标系下的表示；- 应用极坐标系解决与极坐标系相关的问题。
第四部分：教学方法1. 理论讲授结合实例分析结合具体的物理问题，通过理论的讲解和实例的分析，向学生介绍极坐标系的基本原理和应用方法。
2. 讨论和互动引导学生积极参与讨论，提出问题和解答问题，增强学生的互动和思辨能力。
3. 实验和模拟设计适合的实验和模拟过程，让学生亲自操作，体验极坐标系的应用，加深对概念和原理的理解。
4. 小组活动鼓励学生分组进行小组活动，解决一些与极坐标系相关的问题，提高学生的合作和团队意识。
第五部分：教学评估1. 学生讨论和提问在课程中，鼓励学生提出问题和解答问题，通过互动的方式评估学生对于极坐标系的理解。
极坐标系优秀教学设计
极坐标系【教学目标】知识目标：掌握极坐标和直角坐标的互化关系式能力目标：会实现极坐标和直角坐标之间的互化德育目标：通过观察、探索、发现的创造性过程，培养创新意识。
【教学重点】对极坐标和直角坐标的互化关系式的理解【教学难点】互化关系式的掌握【教学模式】启发、诱导发现教学。
【教学准备】多媒体、实物投影仪【教学过程】一、复习引入：情境1：若点作平移变动时，则点的位置采用直角坐标系描述比较方便；情境2：若点作旋转变动时，则点的位置采用极坐标系描述比较方便问题1：如何进行极坐标与直角坐标的互化？问题2：平面内的一个点的直角坐标是)3,1(，这个点如何用极坐标表示？学生回顾理解极坐标的建立及极径和极角的几何意义正确画出点的位置，标出极径和极角，借助几何意义归结到三角形中求解二、讲解新课：直角坐标系的原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，且在两坐标系中取相同的长度单位。
平面内任意一点P 的指教坐标与极坐标分别为),(y x 和),(θρ，则由三角函数的定义可以得到如下两组公式：{θρθρsin cos ==y x { x y y x =+=θρtan 222说明上述公式即为极坐标与直角坐标的互化公式通常情况下，将点的直角坐标化为极坐标时，取ρ≥0，0≤θ≤π2。
互化公式的三个前提条件1． 极点与直角坐标系的原点重合；2． 极轴与直角坐标系的x 轴的正半轴重合；3． 两种坐标系的单位长度相同。
三、举例应用：例1．（1）把点M 的极坐标)32,8(π化成直角坐标 （2）把点P 的直角坐标)2,6(-化成极坐标变式训练在极坐标系中，已知),6,2(),6,2(ππ-B A 求A ，B 两点的距离例2．若以极点为原点，极轴为x 轴正半轴，建立直角坐标系。
已知A 的极坐标),35,4(π求它的直角坐标， 已知点B 和点C 的直角坐标为)15,0()2,2(--和 求它们的极坐标。
ρ(＞0，0≤θ＜2π）变式训练把下列个点的直角坐标化为极坐标（限定ρ＞0，0≤θ＜π2）)4,3(),4,3(),2,0(),1,1(----D C B A例3．在极坐标系中，已知两点)32,6(),6,6(ππB A 。
(完整word版)《极坐标系》教学设计
(完整word版)《极坐标系》教学设计极坐标系是一种描述平面上点坐标的系统，它以距离和角度作为坐标表示。
在数学和物理学中，极坐标系被广泛应用于描述旋转对称的问题或者平面上点的位置。
本文将从极坐标系的基本概念、转换公式以及应用领域等方面进行介绍。
一、基本概念1. 极坐标系的定义极坐标系是一种平面坐标系，它由极轴、极点和极角组成。
极轴是从极点出发的直线，极角是从极轴开始逆时针旋转的角度。
而极点是坐标系的原点，通常表示为O。
极坐标系中，每个点的位置由极径和极角来确定。
2. 极径和极角极径是从极点到点P的距离，用r表示。
极角是从极轴到OP的角度，用θ表示。
在数学上，极径通常用非负数表示，而极角可以是任意实数。
3. 笛卡尔坐标系与极坐标系的转换极坐标系与笛卡尔坐标系是两种常用的坐标系。
它们之间可以通过一组转换公式相互转换。
在极坐标系中，点P的笛卡尔坐标表示为(x, y)，而点P在极坐标系中的坐标表示为(r, θ)。
转换公式如下：x = r * cos(θ)y = r * cos(θ)这两个公式可以实现从笛卡尔坐标系到极坐标系的转换，也可以实现从极坐标系到笛卡尔坐标系的转换。
二、转换公式的推导1. 从笛卡尔坐标系到极坐标系的转换假设点P在笛卡尔坐标系中的坐标为(x, y)，点P在极坐标系中的坐标为(r, θ)。
由于极径r是点P到极点O的距离，可以根据勾股定理得到r的表达式：r = sqrt(x^2 + y^2)又因为点P与x轴的夹角就是点P在极坐标系中的极角θ，可以应用反正切函数得到θ的表达式：θ = arctan(y / x)2. 从极坐标系到笛卡尔坐标系的转换假设点P在笛卡尔坐标系中的坐标为(x, y)，点P在极坐标系中的坐标为(r, θ)。
可以根据三角函数的定义得到x和y的表达式：x = r * cos(θ)y = r * sin(θ)这两个转换公式可以方便地实现极坐标系和笛卡尔坐标系之间的转换。
三、应用领域极坐标系在数学和物理学中被广泛应用于描述旋转对称的问题或者平面上点的位置。
极坐标系教案及设计说明
极坐标系教案及设计说明一．教材分析（一）教学内容：极坐标系及极坐标平面内点的极坐标。
（华东师大版高级中学课本数学三年级第一学期第115〜117页）（二）本节教材的地位，作用及前后联系本节教材是继学生比较系统地学习了在直角坐标系中研究点的坐标和曲线方程及曲线性质的方法后要学习的另一平面坐标系——极坐标系。
极坐标系不同于直角坐标系，它的引入为进一步研究圆锥曲线的共同特性、研究等速螺线等提供了新的工具。
同时极坐标系的引入还说明，解析法所依赖的坐标系不只是直角坐标系，还可以从实践和数学的需要引出其他坐标系。
（三）教学重点、难点、关键：1 ．重点：极坐标平面内点的极坐标。
2 •难点：p取负值时点的极坐标（p,9）o3．关键：克服直角坐标系中确定点坐标的思维定势。
二．学生认知基础分析高三学生通过两年的学习已比较系统地掌握了高中数学学科的必修内容规定的基础知识和基本技能，他们已具有一定的理解能力、运算能力、逻辑思维能力和抽象概括能力等，他们的心智也趋于成熟。
本班学生也不例外。
但在班级授课制下，学生认知水平不可能是整齐划一的。
他们中大部分学生基础知识和基本技能较扎实，思维活跃，也有一部分学生基础知识和基本技能不够扎实，接受新知识较慢。
三．教学目标分析依据课程标准、本节教材的特点和学生的认知基础确定教学目标如下：1．知识目标：（1）理解极坐标系的有关概念；（2）掌握极坐标平面内点的极坐标的表示。
a）会在极坐标系内描出已知极坐标的点；b）会写出极坐标平面内点的极坐标2•能力目标：进一步提高学生的观察、归纳、分析和概括能力；学会分类讨论及类比的数学思想方法。
3•情感目标：通过生活中的具体事例引入极坐标系使学生认识数学的价值。
通过对问题的探究使学生享受到成功的喜悦。
四.教法设计（遵循“教师为主导，学生为主体”的原则，体现“以学生发展为本”的教学理念）根据现代建构理论：学生的学习是在已有经验的基础上的主动建构的过程；在这一过程中，学生处于主体地位，而教师处于主导地位。
极坐标系的概念教学设计
极坐标系的概念教学设计一、教学目标：1.了解极坐标系的概念和基本性质；2.掌握如何在直角坐标系和极坐标系之间进行转换；3.掌握在极坐标系下表示点的方法；4.能够用极坐标系描述简单图形。
二、教学重点与难点：1.教学重点：极坐标系的概念和基本性质；2.教学难点：在极坐标系下表示点的方法。
三、教学准备：1.教师准备：PPT、投影仪、白板、黑板笔；2.学生准备：直角坐标系与极坐标系的相关知识。
四、教学过程：Step 1 引入新课 (10分钟)1.引导学生回顾直角坐标系的概念和性质；2.提问：在直角坐标系中，我们如何用两个坐标值x和y来定位一个点？是否能用其他方式来表示点的位置？3.出示极坐标系的图形，引导学生思考极坐标系的概念。
Step 2 极坐标系的概念与性质 (15分钟)1.解释极坐标系的概念：极坐标系是由极轴和极角组成的，极轴是用来表示点到极点的距离的半直线，极角是用来表示点到极点的半直线与固定半直线的夹角；2.引导学生分析极坐标系的性质：极坐标系是二维坐标系，极轴是从极点出发的一条非负半直线，极角的范围是[0,2π)，极坐标系中，每一个点都有唯一的极坐标。
Step 3 直角坐标系与极坐标系的转换 (20分钟)1.提示学生极坐标系直角坐标系的转换方法：- x = r * cosθ- y = r * sinθ2.在白板上画出一个示例图形，并引导学生进行转换练习。
Step 4 极坐标系中点的表示方法 (20分钟)1.解释如何用极坐标表示平面上的点：极坐标的标记方式是(r,θ)，其中，r表示点到极点的距离，θ表示点与固定半直线的夹角；2.在黑板上画出一个示例图形，引导学生练习用极坐标表示点的方法。
Step 5 极坐标系的应用 (20分钟)1.示范用极坐标系描述简单图形；2.引导学生进行实际练习。
Step 6 小结与课堂练习 (15分钟)1.积极小结本课的内容：回顾极坐标系的概念和性质，直角坐标系与极坐标系的转换，极坐标系中点的表示方法，以及极坐标系的应用；2.针对性布置相关课后习题。
极坐标 教案
极坐标教案教案标题：极坐标教案一、教学目标1. 了解极坐标的概念和基本性质；2. 掌握极坐标下点的表示方法；3. 学会在极坐标下进行坐标变换和图形绘制；4. 能够应用极坐标解决实际问题。
二、教学重点和难点重点：极坐标的基本概念和性质，点的极坐标表示方法，极坐标下的坐标变换和图形绘制。
难点：极坐标与直角坐标系的转换，极坐标下的曲线方程的表示和理解。
三、教学过程1. 导入新知识通过展示极坐标系和直角坐标系的对比，引导学生了解极坐标的概念和基本特点。
2. 讲解极坐标的表示方法介绍极坐标下点的表示方法，包括极径和极角的概念，以及极坐标与直角坐标系之间的转换关系。
3. 案例分析通过具体的案例分析，引导学生掌握极坐标下的坐标变换和图形绘制方法，例如绘制简单的极坐标曲线和解决相关实际问题。
4. 练习与讨论设计一些练习题目，让学生在课堂上进行练习，并进行讨论和答疑，加深对极坐标的理解和掌握。
5. 拓展应用引导学生将极坐标应用到实际问题中，例如极坐标下的坐标变换和图形绘制在工程、物理等领域的应用。
6. 总结反思对本节课的内容进行总结，强调极坐标的重要性和应用价值，鼓励学生多加练习和思考。
四、教学资源1. 极坐标系和直角坐标系的对比图；2. 相关极坐标的案例分析题目；3. 极坐标下的图形绘制工具。
五、作业布置布置相关练习题目，巩固学生对极坐标的理解和掌握。
六、教学反思根据学生的学习情况和反馈，及时调整教学策略，不断完善教学内容和方法，提高教学效果。
七、教学评价通过课堂练习、作业完成情况和学生的表现，对学生的学习情况进行评价，并及时进行指导和辅导。
极坐标系教学设计与教学反思
极坐标系教学设计与教学反思教学设计：极坐标系一、教学目标1.了解和掌握极坐标系的基本概念和表示方式。
2.能够将直角坐标系转化为极坐标系。
3.通过练习和实例分析，掌握极坐标系的应用。
二、教学重点和难点重点：极坐标系的基本概念和表示方式。
难点：将直角坐标系转化为极坐标系。
三、教学过程1.导入（5分钟）通过问题启发学生思考：在绘图中，有时我们需要将坐标点表示为距离原点的距离和与x轴正方向的夹角。
你认为这种表示方式叫什么？用什么坐标系表示？2.引入（10分钟）通过PPT介绍极坐标系的概念和表示方式，让学生对极坐标系有一个初步的了解。
3.讲解（15分钟）以直角坐标系转化为极坐标系为例，详细讲解转化的步骤和方法。
同时结合图表和实例，让学生更清晰地理解。
4.示范（10分钟）通过示范练习，让学生跟随教师一起练习将直角坐标系转化为极坐标系。
教师先做一个示范，然后指导学生进行练习。
5.练习（15分钟）学生在作业本上完成一系列的练习题，巩固对极坐标系的认识和掌握。
6.拓展(10分钟)通过实例分析，引导学生思考极坐标系的应用。
如在极坐标系中，如何表示点的对称关系、如何表示点的共线关系等。
7.课堂小结（5分钟）对本节课的要点进行总结，回答学生提出的问题，澄清疑惑。
四、教学反思1.本节课的教学设计的目标明确，突出了极坐标系的基本概念和表示方式。
通过引入问题和实例分析，能够激发学生的学习兴趣，帮助他们更好地理解极坐标系的概念。
2.在讲解过程中，我使用了PPT和图表来让学生更直观地了解极坐标系，帮助他们形成正确的概念。
同时，我在讲解过程中也加入了实例分析和示范练习，让学生能够操作和应用所学的知识。
3.本节课的教学过程中，我注重学生的参与和互动。
通过引导学生思考问题和解答问题，帮助他们更深入地理解和掌握极坐标系。
同时，通过练习和作业，巩固学生的学习成果。
4.但是，在教学中我发现一些问题。
有些学生对概念理解不够清晰，可能需要更多的实例分析和练习。
极坐标系教学设计
《极坐标系》教学设计方案穆棱市第二中学孔丹【教学目标】一、知识与技能1.认识极坐标，能在极坐标系中用极坐标刻画点的位置；2.体会极坐标系与平面直角坐标系的区别，能进行极坐标和直角坐标间的互化。
二、过程与方法1.通过观看图片，让学生直观感受引进极坐标的必要性；2.运用类比方法，经历极坐标的建立过程；3.通过学生动手描点，得出极坐标的多值性。
三、情感、态度与价值观1.培养学生的类比思想，培养探究,研讨,综合自学应用能力；2.培养学生分析问题，解决问题的能力。
【教学重点】：能用极坐标刻画点的位置，能进行极坐标与直角坐标的互化。
【教学难点】：理解用极坐标刻画点的位置的基本思想；点与极坐标之间的对应关系的认识【教学过程】一、图片导入1.平面直角坐标系是最常用的一种坐标系，但不是唯一的一种坐标系。
有时用别的坐标系比较方便。
还有什么坐标系呢？我们先看下面的问题：（投影图片,让学生直观感受引进极坐标的必要性。
）2.在以上问题中，位置是用什么方法确定的？3.在生活中人们经常用方向和距离来表示一点的位置：如台风预报、地震预报、测量、航空、航海等。
这种用方向和距离表示平面上一点的位置的思想，就是极坐标的基本思想。
二、创设情境甲：请问，去教育中心怎么走？乙：从这向北2000米。
分析：“这”指出发点；“向北”指方向；“2000米”指距离。
三、探求新知（一）、极坐标系的建立在平面内取一个定点O，叫做极点。
引一条射线OX，叫做极轴。
再选定一个长度单位和角度单位及它的正方向（通常取逆时针方向）。
这样就建立了一个极坐标系。
（二）、极坐标系内一点的极坐标的规定1.对于平面上任意一点M ，用 ρ 表示线段OM 的长度，用 θ 表示从OX 到OM 的角度，ρ 叫做点M 的极径， θ叫做点M 的极角，有序数对（ρ，θ）就叫做M 的极坐标。
2.注：①ρ表示线段OM 的长度，即点M 到极点O 的距离；②θ表示从OX 到OM 的角度，即以OX （极轴）为始边，OM 为终边的角。
高中高三数学《极坐标系》教案、教学设计
3.教师巡回指导，针对每个小组的讨论情况进行点评，引导学生深入思考。
（四）课堂练习
1.设计具有代表性的练习题，涵盖本节课的知识点，让学生在练习中巩固所学。
2.分层次布置练习题，使每个学生都能在适合自己的练习中提高。
3.及时批改反馈，针对学生存在的问题，给予个性化指导。
高中高三数学《极坐标系》教案、教学设计
一、教学目标
（一）知识与技能
1.理解极坐标系的概念，掌握极坐标与直角坐标之间的转换方法，能够熟练运用互化公式进行坐标变换。
2.掌握极坐标系下点的表示方法，能够准确地绘制极坐标图形，并解决相关几何问题。
3.熟练运用极坐标系解决实际问题，如极坐标下的直线、圆等图形的方程求解，以及极坐标系在物理学、工程学中的应用。
1.基础题：完成课本第十五章的习题1、2、3，要求学生熟练掌握极坐标系的基本概念和转换方法。
2.提高题：解答课本第十五章习题4、5，培养学生运用极坐标系解决几何问题的能力。
3.应用题：结合实际案例，设计一道与极坐标系相关的应用题，要求学生运用所学知识分析问题、解决问题。
4.研究性学习：分组进行课题研究，选择与极坐标系相关的科学问题或实际应用场景，深入探讨并撰写研究报告。
作业布置要求：
1.学生在完成作业时，要认真思考，独立完成，切勿抄袭。
2.对于基础题，要求学生掌握基本概念，注意运算过程的准确性。
3.提高题和应用题旨在培养学生的解题策略和实际应用能力，鼓励学生多角度思考问题。
4.研究性学习要注重团队合作，充分发挥每个成员的作用，提高学生的综合素质。
5.教师在批改作业时，要关注学生的解题思路和过程，给予针对性的评价和建议。
极坐标系教案范文
极坐标系教案范文教案：极坐标系主题：极坐标系的概念和运用目标：1.了解极坐标系的概念和特点。
2.掌握极坐标和直角坐标之间的转换关系。
3.理解和应用极坐标系的运算规则。
教学过程：一、导入（10分钟）1.学生回顾直角坐标系的概念和特点。
2.引入极坐标系的概念：极坐标系是一种使用极径和极角表示点的坐标系统。
二、讲解（30分钟）1.介绍极坐标的表示方法：a.极径：表示点到原点的距离，用正实数表示。
b.极角：表示点与正半轴正方向之间的角度，用弧度制表示。
2.极坐标系和直角坐标系的转换关系：a.极坐标到直角坐标：使用以下公式进行转换：x = r * cosθy = r * sinθb.直角坐标到极坐标：使用以下公式进行转换：r=√(x^2+y^2)θ = arctan(y/x)3.极坐标系的特点：a.极坐标系更适合描述圆形和环状的图形。
b.极坐标系更符合人们对环绕性质的感觉。
三、练习（30分钟）1.根据给定的直角坐标，计算其对应的极坐标。
2.根据给定的极坐标，计算其对应的直角坐标。
3.给定一个点的极坐标，画出对应的图形。
四、拓展（20分钟）1.讲解极坐标系的运算规则：a.极坐标的加法：将极径相加，而极角保持不变。
b.极坐标的减法：将极径相减，而极角保持不变。
c.极坐标的乘法：将极径相乘，将极角相加。
d.极坐标的除法：将极径相除，将极角相减。
2.举例子说明运算规则的应用：a.计算两个点的距离。
b.计算两个点的角度差。
c.计算两个点之间连线的方程等。
五、总结（10分钟）1.回顾极坐标系的概念和特点。
2.总结极坐标和直角坐标的转换公式。
3.强调极坐标系的运算规则和应用。
教学反思：通过本节课的教学，学生们对极坐标系的概念和特点有了更深入的了解，掌握了极坐标和直角坐标之间的转换关系，并能够应用极坐标系的运算规则解决相关问题。
丰富的练习和拓展部分有助于提高学生理解和运用极坐标系的能力。
可以通过在实际生活中找到更多的例子来巩固学生对极坐标系的理解和应用。
《4 1 2 极坐标系》教学设计
《极坐标系》教学设计一.教学目标1、知识与技能：利用生活实例，体会极坐标的思想，用此思想自主建立极坐标系，并求点的极坐标；理解点的极坐标的不惟一性。
2、过程与方法：①通过自主探究体会数形结合、类比的数学思想方法。
②通过探究活动培养学生观察、分析、比较和归纳能力。
3、情感态度与价值观：用生活实例，类比直角坐标系，使学生明白建立极坐标系的好处，感觉数学源于生活用于生活。
采取探究的形式，合作交流的形式激发学生的学习兴趣。
二.教学重、难点1．重点：运用我们的生活常识，体会极坐标的思想，并用此思想建立极坐标系，表示点的极坐标。
2．难点：对点的极坐标的不惟一性（极角的不惟一）的理解三.教学方法问题探究法、讲解示范法四.教学媒体设计采取用多媒体课件进行辅助展示五.授课类型概念新授课六.教学过程（一）创设情境、导入新课知识来自生活，来自实践。
我在课前以一组独特美丽的牡丹花会图片进行展示，并且配上中国古典钢琴曲《梁祝》，让学生在美的视听环境中期待着一堂数学课的开始，同时也拓展学生的视野，并能点击热爱家乡等德育教育。
最后呈现出了一个迷路的游客在向志愿者问路的图片,假设你是一位志愿者,你如何为游客指路? (提问学生) 指路的信息引出方向和距离来定位这就是我们日常生活中常用的刻画位置的方法，它体现了极坐标的思想。
而我们这节课所要共同探讨的内容就是——极坐标系。
（板书）（二）初步探索，直观感知右图为某校园的平面示意图,假设某同学在教学楼处,请回答下列问题:(1)他向东偏北60 方向走120米后到达什么位置?(2)如果有人打听体育馆和办公楼的位置,他应该如何描述?总结:在生活中人们经常用方向和距离来表示一点的位置。
这种用方向和距离表示平面上一点的位置的思想，就是极坐标的基本思想。
提问:(学生)生活中还有哪些应用?请你举例说明? 如:台风预报,地震预报（三）循序渐进，延伸拓展探究:上面的几个问题中,有距离和方向就可以确定一个点 在平面上的位置,但这是有基础和前提的,请讨论,有哪些前提?(1) 基点 (2)方向 (3)长度单位 (4)角的始边与方向成角把上述前提条件抽象成数学语言, 我们就可以:建立用距离与角度确定平面上点的位置的坐标系1．极坐标系的建立(1)在平面内取一个定点O ，叫做极点；(2)引一条射线Ox ，叫做极轴；(3)选定1个长度单位、1个角度单位（常取弧度）(4)规定角度的正方向(通常取逆时针方向).这样建立的坐标系叫做极坐标系.2．极坐标系内一点的极坐标的规定类比直角坐标系，建立极坐标系是为了表示平面内的点的位置，因此我们要表示极坐标系中点的极坐标，如何表示？（板书）对于平面内任意一点M ，用ρ 表示极点与点M 的距离，叫做点M 的极径,θ 表示以Ox 为始边,OM 为终边的角，叫做点M 的极角,有序数对（ρ，θ）就叫做M 的极坐标.3.极坐标系的历史4.学生活动------合作探究120m 50m 60m 60︒45︒办公楼 实验楼 图书馆 体育馆教学楼 D CB A E例 如图,在极坐标系中,(１)标出点 所在位置(２)并写出点Ｄ,Ｅ,Ｆ的极坐标5.提高创新极坐标系下的点与它的极坐标的对应情况(1)给定（ρ,θ）,在极坐标平面内确定唯一的一点 M(2)给定平面上一点 M ，但却有无数个极坐标与它对应, 即极坐标(ρ,θ)与(ρ,θ+2k π)(k Z∈)表示同一个点(3)当M 在极点时,它的极径ρ=0,极角θ可以取任意值当规定ρ>0,0≤θ<2π,那么除极点外,平面内的点可用惟一的极坐标(ρ,θ)表示;而极坐标(ρ,θ)表示的点也是惟一确定.6.拓展练习在图中,用点A,B,C,D,E 分别表示教学楼,体育馆,图书馆,实验楼,办公楼的位置.建立适当的极坐标系,写出各点的极坐标.（四）课堂小结及作业布置一建立极坐标系的必要性二极坐标系下点与它的极坐标的对应情况[1]给定（ρ,θ）,就可以在极坐标 平面内确定唯一的一点M.[2]给定平面上一点M ，但却有无数个极 坐标与之对应.作业布置：课本第12页 1，3 5453,,4,, 3.5,633A B C πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭。
极坐标系优秀教学设计
二、极坐标系教学目标：知识与技能（1）认识极坐标系；能在极坐标系中，用极坐标刻画点的位置；（2）体会极坐标系与平面直角坐标系的区别，能进行极坐标和直角坐标间的互化。
过程与方法通过生活实际问题，引导学生探究、发现，激发学生的好奇心，进而得出建立极坐标系的必要性。
情感、态度与价值观通过多媒体展示现实生活中的图片，激发学生好奇心和求知欲；培养学生“学数学，用数学” 的应用意识，让学生切身体会“数学源于生活，服务于生活”。
教学重点和难点：重点：能用极坐标刻画点的位置，能进行极坐标与直角坐标的互化。
难点：理解用极坐标刻画点的位置的基本思想；认识点与极坐标之间的对应关系。
教学基本流程：一、建立问题情景，体会引进新坐标系的必要性。
大家有没有见过这种图片？台风的卫星云图。
众所周知台风危害很大，所以我们非常关注台风中心的位置。
气象台会把它和平面地图组合起来从而得到一张台风的路径图。
根据路径图，及时播报台风中心的位置。
从小到大我们听过很多次台风预报。
今天也请大家来当一回主播，根据这张图你来描述一下台风中心位置。
【设计意图】引入学习极坐标系概念的必要性，形成用角和距离刻画点的位置的直觉。
让学生称为学习的主人，积极参与。
看一下气象台是怎么播报的：“今年第8号台风“凤凰”，今天下午4时中心位置已经到达温州东南偏南方向大约800公里附近的洋面上，也就是在北纬22.3度，东经123.8度”（利用信息技术，播放这段视频，给学生更为直观地感受，也能更加激发学生此时学习的热情。
在此，要及时评价学生的描述，加以表扬和补充。
）问：哪些条件刻画了台风中心的位置?东经123.8度，北纬22.3度。
温州东南偏南方向大约800公里的海面上。
经纬度可以准确刻画地球表面任意一点的位置，在这张平面地图上，相交的两条经纬线，是不是也准确刻画了这张平面地图上的任意一点？如果把平面地图延伸开来，经纬线是不是也能刻画整个平面上任意一点的位置？你得到什么样的启发？1637年笛卡尔受天文地理的经度、纬度启发,创建了平面直角坐标系,用横坐标和纵坐标确定平面中任意一点的位置。
《412极坐标系》教学设计
《412极坐标系》教学设计一、教学目标：1.了解和掌握极坐标的概念及正负的表示方法；2.了解和使用极坐标系下的直角坐标系与极坐标系的转换；3.熟练掌握极坐标下的点的表示方法；4.掌握极坐标下点的直角坐标系表示方法；5.能够熟练使用极坐标绘制图形；6.能够解析极坐标下的方程和不等式。
二、教学重点：1.极坐标概念及正负的表示方法；2.极坐标系下的直角坐标系与极坐标系的转换；3.极坐标下的点的表示方法；4.极坐标下点的直角坐标系表示方法。
三、教学难点：1.极坐标绘制图形；2.解析极坐标下的方程和不等式。
四、教学过程：1.导入（10分钟）进入课堂后，通过播放一个与极坐标相关的视频来引发学生对极坐标的兴趣，激发学生的学习欲望。
2.概念讲解（20分钟）教师向学生介绍极坐标的概念，并讲解如何表示极坐标中的点。
通过实际示范，引导学生明确极坐标系中的正负表示方法。
同时，通过幻灯片演示，向学生展示极坐标系和直角坐标系之间的转换关系。
3.练习与演示（30分钟）教师在黑板上绘制几个极坐标，并要求学生使用直角坐标系表示出来。
然后，教师引导学生反过来用极坐标表示相应的点，重点训练学生对于极坐标中正负符号的把握。
4.绘图与解析（30分钟）教师给学生展示一张使用极坐标系绘制的图形，并解释其中的绘制原理和方法。
接着，教师发放绘图工具和纸张给学生，指导他们使用极坐标进行图形的绘制。
5.进一步应用（30分钟）教师向学生讲解如何解析极坐标中的方程和不等式，引导学生进行相关的练习。
然后，教师给学生出一些需要利用解析极坐标的方程和不等式来解题的题目，让学生进行解答。
6.总结与拓展（30分钟）教师与学生一起总结、归纳本节课所学的知识点和方法，并邀请学生讲解一些与极坐标相关的实际问题。
教师鼓励学生根据自己的兴趣和能力继续深入学习极坐标的相关知识，如复数、圆锥曲线等。
五、课堂作业：1.写一篇200字左右的日记，记录自己今天在课堂上学到的关于极坐标的知识和感悟；2.整理极坐标的概念、表示方法和转换公式，并用自己的话阐述。
极坐标系教案
极坐标系教案一、教学目标：1.了解极坐标系的概念和基本性质。
2.掌握在极坐标系中表示点的方法。
3.了解极坐标系与直角坐标系之间的转换关系。
二、教学重点：1.极坐标系的概念和基本性质。
2.在极坐标系中表示点的方法。
三、教学难点：1.极坐标系与直角坐标系之间的转换关系。
四、教学准备：1.教师准备黑板、彩色粉笔和教学课件。
2.学生准备铅笔和笔记本。
五、教学过程：Step 1 引入新课教师通过引导学生回忆直角坐标系的表示方法，让学生了解到直角坐标系的局限性，引出极坐标系的概念和意义。
Step 2 讲解极坐标系的概念和基本性质教师通过板书和课件向学生讲解极坐标系的概念和基本性质：极坐标系是以原点O和极轴为基准建立的坐标系，点P的位置用距离r和角度θ来表示。
极半径r是点P到原点O的距离，极角θ是以极轴的正方向为起点，逆时针旋转到点P所过的角。
Step 3 示范和练习教师通过示范和练习帮助学生掌握在极坐标系中表示点的方法。
首先，教师示范在极坐标系中表示一个点的步骤：先确定点的位置，然后确定点的极坐标。
随后，教师让学生在极坐标系中表示给定的点，进行练习。
Step 4 讲解极坐标系与直角坐标系的转换教师通过板书和课件向学生讲解极坐标系与直角坐标系之间的转换关系：在直角坐标系中，点P的坐标是( x，y)，在极坐标系中，点P的坐标是( r，θ )。
直角坐标系到极坐标系的转换公式为： r = sqrt( x^2 + y^2 )，θ = arctan( y / x )。
Step 5 示范和练习教师通过示范和练习帮助学生掌握直角坐标系和极坐标系之间的转换关系。
首先，教师示范将直角坐标系中的点转换为极坐标，然后将极坐标系中的点转换为直角坐标。
随后，教师让学生进行练习，巩固转换关系的理解和运用。
Step 6 小结和作业布置教师通过让学生回答问题和归纳总结的方式对本节课的内容进行小结，然后布置作业：完成课后练习题，做好笔记。
六、板书设计：极坐标系1.概念：以原点O和极轴为基准建立的坐标系，点P的位置用距离r和角度θ来表示。
(完整word版)《极坐标系》教学设计
1.2 极坐标系(谷杨华)一、教学目标（一）核心素养通过这节课学习，认识极坐标系、能在极坐标系下用极坐标表示点的位置，会进行极坐标和直角坐标的互化，在直观想象、数学抽象中感受极坐标的特点．（二）学习目标1．通过实例，认识极坐标系，体会用极坐标表示点的特点．2．了解用极坐标系表示点的不唯一性．3．能进行极坐标系与平面直角坐标系的互化，体会在极坐标系和平面直角坐标系中刻画点的位置的区别．（三）学习重点1．认识极坐标系的重要性．2．用极坐标刻画点的位置．3．会进行极坐标与直角坐标的互化．（四）学习难点1．理解用极坐标刻画点的位置的基本思想．2．认识点与极坐标之间的对应关系．二、教学设计（一）课前设计1．预习任务（1）读一读：阅读教材第8页至第11页，填空：极坐标系的建立：在平面内取一个定点O，叫做极点；自极点O引一条射线Ox，叫做极轴；再选定一个长度单位、一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向)，这样就建立了一个极坐标系．极坐标系内一点的极坐标的规定：设M 是平面内一点，极点O 与点M 的距离OM 叫做点M 的极径，记为ρ；以极轴Ox 为始边，射线OM 为终边的角xOM 叫做点M 的极角，记为θ.有序数对),(θρ叫做点M 的极坐标，记为M ),(θρ．一般地，不作特殊说明时，我们认为0≥ρ，θ可取任意实数．（2）想一想：点与极坐标有什么关系？一般地，极坐标),(θρ与)2,(πθρk +)(Z k ∈表示同一个点．特别地，极点O 的坐标为))(,0(R ∈θθ．如果规定πθρ20,0<≤>，那么除极点外，平面内的点可用惟一的极坐标),(θρ表示；同时，极坐标),(θρ表示的点也是惟一确定的．（3）写一写：极坐标系与直角坐标系如何转化？把直角坐标系的原点作为极点，x 轴的正半轴作为极轴，并在两种坐标系中取相同的单位长度.设M 是平面内任意一点,它的直角坐标是),(y x ，极坐标是),(θρ，则：=x θρcos ， =y θρsin=2ρ22y x +， =θtan )0(≠x xy2．预习自测（1）在极坐标系中，下列各点中与)3,2(π表示的不是同一个点的是( )A ．)35,2(π-B ．)37,2(πC ．)35,2(πD ．)313,2(π 【知识点】极坐标系【解题过程】由于极坐标),(θρ与)2,(πθρk +)(Z k ∈表示同一个点，检验得，选项C 不是同一个点【思路点拨】根据点的极坐标定义代入验证可得 【答案】C（2）已知点A 的直角坐标为)2,0(，则点A 的极坐标为（ ）A ．)2,2(π B ．)0,2( C ．)2,2(π D ．)2,2(π-【知识点】极坐标与直角坐标互化【解题思路】根据极坐标与直角坐标互化公式可得：22022=+=ρ，显然2πθ=【思路点拨】由极坐标与直角坐标互化可得 【答案】A（3）已知点M 的极坐标为)4,3(π，则点M 的直角坐标为（ ）A ．)3,3(B ．)223,223(C ．)233,23( D ．)33,3( 【知识点】极坐标与直角坐标互化【解题思路】根据极坐标与直角坐标互化公式可得：223sin ,223cos ====θρθρy x 【思路点拨】由极坐标与直角坐标互化可得 【答案】B（4）已知A 、B 两点极坐标为)32,6(),3,4(ππ-B A ，则线段AB 中点的极坐标为________．【知识点】极坐标与直角坐标互化、中点坐标公式【解题过程】 将A,B 两点化为直角坐标得 )33,3(),32,2(--B A ，所以中点的直角坐标为)23,21(--，化为极坐标得)34,1(π【思路点拨】先化为直角坐标，利用在直角坐标系下的中点坐标公式求出中点，再化为极坐标 【答案】)34,1(π(二)课堂设计1．知识回顾（1）平面直角坐标系中的点P 与坐标(a ,b)是一一对应的. 2．问题探究探究一 结合实例，认识极坐标系★ ●活动① 提出问题，创设情境如右图1是某校园教学平面示意图，假设某同学在教学楼处，请回答下列问题： (1)他向东偏北 60方向走m 120后到达什么位置？该位置唯一确定吗？(2)如果有人打听体育馆和办公楼的位置，他应如何描述？（学生回答）(1) 他向东偏北 60方向走m 120后到达是点C 图书馆的位置，该位置唯一确定.(2)如果去体育馆向正东方向走m 60，去办公楼向北偏西 45走m 50.上面刻画位置是以A 作为基点，并以射线AB 为参照方向，然后利用与A 距离和与AB 所成角度来描述位置，例如“东偏北 60，距离m 120”，即利用“距离”和“角度”来刻画平面上点的位置.在上一节中，我们用“在信息中心的西偏北 45方向，距离m 10680处”描述了巨响的位置.即以信息中心为基点，以正西方向为参照，用与信息中心的距离与正西方向所成的角来刻画巨响的位置.有时候它比直角坐标更方便，在现实生活中，有很多的应用，例如台风预报，地震预报，测量、航空、航海中主要采用这种方法.【设计意图】从生活实例到数学问题，引入学习极坐标系概念的必要性，形成用角和距离刻画点的位置的直觉.●活动② 互动交流，类比提炼概念图1我们类比建立平面直角坐标系的过程，怎样建立用距离与角度确定平面上点的位置的坐标系？（学生讨论交流）平面直角坐标系的建立是在同一个平面上互相垂直且有公共原点的两条数轴构成平面直角坐标系，简称直角坐标系.通常，两条数轴分别置于水平位置与垂直位置，取向右与向上的方向分别为两条数轴的正方向.水平的数轴叫做x 轴或横轴，垂直的数轴叫做y 轴或纵轴，它们的公共原点O 称为直角坐标系的原点，以点O 为原点的平面直角坐标系记作平面直角坐标系xOy .类比上述过程，我们在平面内取一个定点O ，叫做极点；自极点O 引一条射线Ox ，叫做极轴；再选定一个长度单位、一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向)，这样就建立了一个极坐标系．极坐标建立后，如何来定义平面中的点的极坐标呢？ 如右图2，设M 是平面内一点，极点O 与点M 的距离OM 叫做点M 的极径，记为ρ；以极轴Ox 为始边，射线OM为终边的角xOM 叫做点M 的极角，记为θ.有序数对),(θρ叫做点M 的极坐标，记为M ),(θρ．一般地，不作特殊说明时，我们认为0≥ρ，θ可取任意实数．【设计意图】从特殊到特殊，类比得到极坐标系，让学生不会觉得极坐标系来得太突然，顺其自然得到点在极坐标系中的定义. ●活动③ 巩固基础，检查反馈 例1 在极坐标系里描出下列各点.)0,3(A ，)2,3(πB ,)34,5(πC ,)65,3(πD ,)35,6(πE【知识点】极坐标系的定义、点在极坐标系中的表示图24π Ox2π 65ππB 【数学思想】数形结合【解题过程】根据点在极坐标的表示，ρ表示的是点到极点的距离，θ表示射线与极轴所成的角，所以个点在极坐标的位置如图．【思路点拨】欲确定点的位置，需先确定ρ和θ的值．【答案】如右图．同类训练 在右图3的极坐标系中描出下列点的位置：)4,3(πF ，),4(πG【知识点】极坐标系的定义、点在极坐标系中的表示 【数学思想】数形结合【解题过程】根据点在极坐标的表示，ρ表示的是点到极点的距离，θ表示射线与极轴所成的角，所以个点在极坐标的位置如图3．【思路点拨】欲确定点的位置，需先确定ρ和θ的值． 【答案】如右图3．探究二 探究点与极坐标的对应关系 ●活动① 认识差异、辨析极坐标系在图1中，用点E D C B A ,,,,分别表示教学楼，体育馆，图书馆，实验楼，办公楼的位置.建立适当的极坐标系，写出各点的极坐标.我们以点A 为极点，AB 所在的射线为极轴（单位长度为m 1），建立极坐标系，则E D C B A ,,,,的极坐标分别为GFAD CE4π Ox2π 65ππ34π 35π 图3 x图4)43,50(),2,360(),3,120(),0,60(),0,0(πππ建立极坐标系后，给定ρ和θ，就可以在平面内惟一确定点M ，反过来，给点平面内任意一点，也可以找到她的极坐标),(θρ.但是否和平面直角坐标系中的点和直角坐标一样，极坐标和点事一一对应的关系呢？【设计意图】通过对点的极坐标的认识，为后面点的极坐标不惟一做好铺垫． ●活动② 合作探究，解决问题我们来观察下列极坐标表示的点之间有何关系呢？)26,4(),46,4(),26,4(),6,4(πππππππ-++由终边相同的角的定义可知，上述极坐标表示的是同一个点，于是：一般地，极坐标),(θρ和))(2,(Z k k ∈+πθρ表示同一个点，所以，极坐标和直角坐标不同，平面内一个点的极坐标有无数种表示.特别地，极点O 的极坐标为))(,0(R ∈θθ如果我们规定πθρ20,0<≤>，那么除极点外，平面内的点可用惟一的极坐标),(θρ表示；同时，极坐标),(θρ表示的点也是惟一确定的．同类训练 在极坐标系中，写出下图中各点的极坐标(πθρ20,0<≤>)A （4，0）B （ ）C （ ）D （ ） F （ ） G （ ） 【知识点】极坐标系的定义、点在极坐标系中的表示【数学思想】数形结合【解题过程】根据点A 的极坐标，可以得到其它点的极坐标)4,2(πB ，)2,3(πC ,)65,1(πD ,)34,6(πF ,)35,5(πG ．【思路点拨】(1)写点的极坐标要注意顺序：极径ρ在前，极角θ在后，不能把顺序颠倒了． (2)点的极坐标是不惟一的，但若限制ρ＞0，0≤θ＜2π，则除极点外，点的极坐标是惟一确定的．【答案】)4,2(πB ，)2,3(πC ,)65,1(πD ,)34,6(πF ,)35,5(πG ．【设计意图】通过辨析认识点的极坐标是不唯一的，加深对极坐标系的认识． 探究三 实现极坐标与直角坐标的互化★▲ ●活动① 归纳梳理、理解实质平面内的一个点既可以用直角坐标表示，也可以用极坐标来表示，那么这两种坐标之间有何联系呢？把直角坐标系的原点作为极点，x 轴的正半轴作为极轴，并在两种坐标系中取相同的长度单位，如图5所示．设M 是平面内任意一点，它的直角坐标是),(y x ，极坐标是),(θρ，于是极坐标与直角坐标的互化公式如下：⎩⎨⎧==θρθρsin cos y x ⎪⎩⎪⎨⎧≠=+=)0(tan 222x x y y x θρ 这就是极坐标和直角坐标的互化公式.【设计意图】得到直角坐标与极坐标之间的关系． 活动② 巩固基础，检查反馈例2 分别把下列点的极坐标化为直角坐标图5（1）)6,2(π （2）)2,3(π【知识点】极坐标与直角坐标互化． 【解题过程】（1）由cos 2cos 6sin 2sin16x y πρθπρθ======)6,2(π化为直角坐标为)1,3(．（2）由cos 3cos 02sin 3sin32x y πρθπρθ======所以点的极坐标)2,3(π化为直角坐标为)3,0(．【思路点拨】将点的极坐标),(θρ化为点的直角坐标),(y x 时，运用到求角θ的正弦值和余弦值，熟练掌握特殊角的三角函数值，灵活运用三角恒等变换公式是关键． 【答案】（1） )1,3( （2） )3,0(． 同类训练 分别把下列点的极坐标化为直角坐标（1）)32,4(π（2）),(ππ 【知识点】极坐标与直角坐标互化． 【数学思想】【解题过程】（1）3232sin4sin 232cos 4cos ===-===πθρπθρy x 所以点的极坐标)32,4(π化为直角坐标为)32,2(-． （2）由cos cos sin sin 0x y ρθπππρθππ===-===所以点的极坐标),(ππ化为直角坐标为)0,(π-．【思路点拨】将点的极坐标),(θρ化为点的直角坐标),(y x 时，运用到求角θ的正弦值和余弦值，熟练掌握特殊角的三角函数值，灵活运用三角恒等变换公式是关键． 【答案】（1） )32,2(- （2） )0,(π-．例3 已知点B 、C 的直角坐标为)2,2(-,)15,0(-,求它的极坐标(ρ>0,0≤θ<2π).【知识点】极坐标与直角坐标互化． 【解题过程】∵ρ=,22)2(22222=-+=y x ＋122tan -=-=θ,且点位于第四象限∴θ=47π,点B 的极坐标为(22,47π).又∵x =0,y <0,ρ=15,∴点C 的极坐标为(15,23π).【思路点拨】化点的直角坐标为极坐标时，一般取πθρ20,0<≤≥，即θ取最小正角,由tanθ=xy 求θ时，还需结合在直角坐标系下点),(y x 所在的象限来确定θ的值. 【答案】B(22,47π) C(15,23π)． 同类训练 分别把下列点的直角坐标化为极坐标(限定ρ≥0，0≤θ<2π)（1） )3,3(； （2） )1,1(-- ；（3） )0,3(-． 【知识点】极坐标与直角坐标互化． 【数学思想】【解题过程】（1）333tan ,323)3(22===+=θρ 又因为点在第一象限，所以3πθ=.所以点)3,3(的极坐标为)3,32(π．（2）111tan ,2)1()1(22=--==-+-=θρ 又因为点在第三象限，所以45πθ=.所以点)1,1(--的极坐标为)45,2(π． （3）30)3(22=+-=ρ，极角为π，所以点)0,3(-的极坐标为),3(π．【思路点拨】化点的直角坐标为极坐标时，一般取πθρ20,0<≤≥，即θ取最小正角,由tanθ=xy求θ时，还需结合在直角坐标系下点),(y x 所在的象限来确定θ的值.【答案】（1）)3,32(π （2）)45,2(π（3）),3(π．【设计意图】巩固检查极坐标与直角坐标互化公式． 3.课堂总结 知识梳理（1）极坐标系的建立：在平面内取一个定点O ，叫做极点；自极点O 引一条射线Ox ，叫做极轴；再选定一个长度单位、一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向)，这样就建立了一个极坐标系．（2）极坐标系内一点的极坐标的规定：设M 是平面内一点，极点O 与点M 的距离OM 叫做点M 的极径，记为ρ；以极轴Ox 为始边，射线OM 为终边的角xOM 叫做点M 的极角，记为θ.有序数对),(θρ叫做点M 的极坐标，记为M ),(θρ．一般地，不作特殊说明时，我们认为0≥ρ，θ可取任意实数．（3）如果规定πθρ20,0<≤>，那么除极点外，平面内的点可用惟一的极坐标),(θρ表示；同时，极坐标),(θρ表示的点也是惟一确定的．（4）把直角坐标系的原点作为极点，x 轴的正半轴作为极轴，并在两种坐标系中取相同的长度单位，如图所示．设M 是平面内任意一点，它的直角坐标是),(y x ，极坐标是),(θρ，于是极坐标与直角坐标的互化公式如下：⎩⎨⎧==θρθρsin cos y x ⎪⎩⎪⎨⎧≠=+=)0(tan 222x x y y x θρ 重难点归纳（1）极坐标系就是用长度和角度来确定平面内点的位置.极坐标系的建立有四个要素：①极点；②极轴；③长度单位；④角度单位和它的正方向.四者缺一不可．（2）写点的极坐标要注意顺序：极径ρ在前，极角θ在后，不能颠倒顺序（3）若两个坐标系符合三个前提条件：(1)极点与直角坐标系的原点重合; (2) 极轴与直角坐标系的x 轴的正半轴重合; (3) 两种坐标系的单位长度相同.则其相互转化：（三）课后作业 基础型 自主突破1．极坐标系中，点)1,2(πP 到极点的距离是( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．π2【知识点】极坐标的定义．【解题过程】由极坐标定义)1,2(πP 已知πρ2=，故P 到极点的距离为2π． 【思路点拨】根据极坐标的定义进行判断． 【答案】D ．2．下列各点中与极坐标)7,5(π表示同一个点的是( )．A ．(5，67π) B ．(5，157π) C ．(5，67π-) D ．(5，7π-) 【知识点】点在极坐标系中的表示． 【数学思想】【解题过程】根据极坐标)7,5(π和))(27,5(Z k k ∈+ππ表示同一个点，取1=k ，得选项B ．【思路点拨】极坐标),(θρ和))(2,(Z k k ∈+πθρ表示同一个点． 【答案】B ．3．在直角坐标系中点()3,1-P ，则它的极坐标是A ．⎪⎭⎫ ⎝⎛3,2π B ．⎪⎭⎫ ⎝⎛34,2π C ．⎪⎭⎫ ⎝⎛-3,2π D ．⎪⎭⎫ ⎝⎛-34,2π【知识点】极坐标与直角坐标互化．【解题过程】因为313tan ,21)3(22-=-==+-=θρ，且点在第四象限，所以选C 【思路点拨】根据极坐标与直角坐标互化来求解． 【答案】C ．4．已知O 为极点，π23A ⎛⎫ ⎪⎝⎭， ，7π56B ⎛⎫- ⎪⎝⎭，，则AOB S ∆= ( ) A.2 B.3 C.4 D.5【知识点】极坐标和直角坐标的互化，三角形面积． 【数学思想】数形结合思想【解题过程】因为π23A ⎛⎫ ⎪⎝⎭， ，7π56B ⎛⎫- ⎪⎝⎭， ，所以π2AOB ∠= ，则三角形为直角三角形，则面积为12552⨯⨯= ，所以选D. 【思路点拨】根据极坐标的点对应的直角坐标系中的点解析分析其几何关系计算即可． 【答案】D ．5．规定R ∈>θρ,0，则极轴上极点以外的点的极坐标为________． 【知识点】点与极坐标系的关系． 【数学思想】【解题过程】因为在极轴上且不是极点，所以极角,,2Z k k ∈=πθ极径0>ρ，所以极坐标为))(2,(Z k k ∈πρ．【思路点拨】根据极坐标的定义来处理． 【答案】))(2,(Z k k ∈πρ．6．极坐标系中，与点)3,3(π-关于极轴所在直线对称的点的极坐标是________．【知识点】点的极坐标．【解题过程】因为)3,3(π-关于极轴所在直线对称的点为)3,3(π．【思路点拨】将点描在极坐标系中来求解．【答案】)3,3(π．能力型 师生共研7．在极坐标系中，到极点的距离等于到极轴的距离的点可以是（ ）A ．)0,1(B ．)4,2(π C ．)2,3(πD ．),4(π【知识点】极坐标的定义、点的极坐标． 【数学思想】数学结合【解题过程】由题意知y =ρ，又由θρρθρsin ,sin =∴=y ，所以1sin =θ，所以选C 【思路点拨】结合极坐标的定义和极坐标与直角坐标的转化． 【答案】C8．已知点的极坐标分别为A (3，4π-)，B (2，23π)，C ，π)，D (－4，2π)，求它们的直角坐标．【知识点】直角坐标与极坐标互化．【解题过程】根据x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ得A，B (－1)，C (0)，D (0，－4)【思路点拨】利用极坐标与直角坐标互化公式求解．【答案】A，B (－1，C (0)，D (0，－4) 探究型 多维突破9．已知点的直角坐标分别为A (3)，B (0，，C (－2，-)，求它们的极坐标(ρ≥0,0≤θ＜2π)．【知识点】直角坐标与极坐标互化．【解题过程】(2)根据ρ2＝x 2＋y 2，tan θ＝y x得A (23,6π)，B 33(,)36π，C (4，43π)． 【思路点拨】利用极坐标与直角坐标互化公式求解．【答案】A (23,6π)，B 33(,)36π，C (4，43π)．10．某大学校园的部分平面示意图如图：用点O A B C D E F G ，，，，，，， 分别表示校门，器材室，操场，公寓，教学楼，图书馆，车库，花园，其中AB BC = ，600OC = m.建立适当的极坐标系，写出除点B 外各点的极坐标（限定002πρθ≥≤<， 且极点为（0，0））.【知识点】极坐标系的建立、极坐标刻画点的位置．【解题过程】以O 为极点，OA 所在射线为极轴建立极坐标系，因为600OC = ，π6AOC ∠= ，故π6006C ⎛⎫ ⎪⎝⎭， . 又π600cos30036OA =⨯=，π600sin 3006OD =⨯= ，3002OE = ，300OF = ，1502OG = . 故()30030A ， ，π3002D ⎛⎫ ⎪⎝⎭， ，3π24E ⎛⎫ ⎪⎝⎭， ，()300πF ， ，3π15024G ⎛⎫ ⎪⎝⎭，【思路点拨】解决问题的关键是根据极坐标系计算即可．【答案】()3003A ， ，π3002D ⎛⎫ ⎪⎝⎭， ，3π30024E ⎛⎫ ⎪⎝⎭， ，()300πF ， ，3π15024G ⎛⎫ ⎪⎝⎭，自助餐1．在极坐标系中，已知)6,6(),6,2(ππ-B A ，则OB OA ,的夹角为( )．A.6π B ．0 C.3π D.56π【知识点】极坐标的定义． 【数学思想】数形结合思想．【解题过程】如图所示，夹角为3π.【思路点拨】将B A ,两点的极坐标标在极坐标系中可得． 【答案】C2．设点P 对应的复数为－3＋3i ，以原点为极点，实轴正半轴为极轴建立极坐标系，则点P 的极坐标为( )A ．⎝⎛⎭⎪⎪⎫32，34πB ．⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－32，54πC ．⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫3，54πD ．⎝⎛⎭⎪⎪⎫－3，34π【知识点】复数、极坐标与直角坐标互化．【解题过程】复数i 33+-对应的点的直角坐标为)3,3(-， 由133tan ,323)3(22-=-==+-=θρ，且点在第二象限，所以选A ． 【思路点拨】先把复数化为直角坐标，再化为极坐标． 【答案】A ．3．在直角坐标系xOy 中,以O 为极点,x 正半轴为极轴建立极坐标系,且在两种坐标系中取相同的单位长度,将点P 的极坐标π2,4⎛⎫⎪⎝⎭化成直角坐标 .【知识点】极坐标与直角坐标互化．【解题过程】由点P 的极坐标为π2,4⎛⎫⎪⎝⎭ ,设点P 的直角坐标为(x,y),所以ππ2cos2sin 44x y ====． 【思路点拨】根据极坐标与直角坐标互化公式求解．【答案】．4．以极点为原点，极轴的方向为x 轴的正方向，建立直角坐标系，则极坐标M )35,2017(π表示的点在第________象限．【知识点】极坐标与直角坐标互化． 【解题过程】根据2201735cos 2017cos ===πθρx ，23201735sin 2017sin -===πθρy ， 所以点在第四象限．【思路点拨】根据极坐标与直角坐标互化公式求解． 【答案】四5．在极坐标系中,分别求下列条件下点)3,3(πM 关于极轴的对称点M '的极坐标:(1)[)πθρ2,0,0∈≥.(2)R ∈≥θρ,0 【知识点】极坐标系中点的刻画．【解题过程】1)当[)πθρ2,0,0∈≥时,点)3,3(πM 关于极轴的对称点M '的极坐标为)35,3(π.(2)R ∈≥θρ,0时,点)3,3(πM 关于极轴的对称点M '的极坐标为))(352,3(Z k k ∈+ππ．【思路点拨】根据点在极坐标的刻画来求解． 【答案】（1）)35,3(π；（2）))(352,3(Z k k ∈+ππ． 6．在极坐标系中，已知三点)6,32(),0,2(),3,2(ππP N M -.(1)将M ，N ，P 三点的极坐标化为直角坐标；(2)判断M ，N ，P 三点是否在一条直线上． 【知识点】极坐标与直角坐标互化【解题过程】(1)由公式⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，得M 的直角坐标为(1，－3)；N 的直角坐标为(2,0)；P 的直角坐标为(3，3)．(2)∵k MN ＝32－1＝3，k NP ＝3－03－2＝3，∴k MN ＝k NP ，∴M ，N ，P 三点在一条直线上． 【思路点拨】根据极坐标与直角坐标互化公式求解． 【答案】（1）M(1，－3)， N(2,0)， P(3，3)；（2）在同一条直线上．。
极坐标系优秀教学设计
极坐标系【教学目标】知识目标：理解极坐标的概念能力目标：能在极坐标系中用极坐标刻画点的位置，体会在极坐标系和平面直角坐标系中刻画点的位置的区别。
德育目标：通过观察、探索、发现的创造性过程，培养创新意识。
【教学重点】理解极坐标的意义【教学难点】能够在极坐标系中用极坐标确定点位置【教学方法】启发、诱导发现教学。
【教学过程】一、复习引入：情境1：军舰巡逻在海面上，发现前方有一群水雷，如何确定它们的位置以便将它们引爆？情境2：如图为某校园的平面示意图，假设某同学在教学楼处。
（1）他向东偏60°方向走120M后到达什么位置？该位置唯一确定吗？（2）如果有人打听体育馆和办公楼的位置，他应如何描述？问题1：为了简便地表示上述问题中点的位置，应创建怎样的坐标系呢？问题2：如何刻画这些点的位置？这一思考，能让学生结合自己熟悉的背景，体会在某些情况下用距离与角度来刻画点的位置的方便性，为引入极坐标提供思维基础。
二、讲解新课：从情镜2中探索出：在生活中人们经常用方向和距离来表示一点的位置。
这种用方向和距离表示平面上一点的位置的思想，就是极坐标的基本思想。
1．极坐标系的建立：在平面上取一个定点O ，自点O 引一条射线OX ，同时确定一个单位长度和计算角度的正方向（通常取逆时针方向为正方向），这样就建立了一个极坐标系。
（其中O 称为极点，射线OX 称为极轴。
）2．极坐标系内一点的极坐标的规定对于平面上任意一点M ，用 ρ 表示线段OM 的长度，用 θ 表示从OX 到OM 的角度，ρ 叫做点M 的极径， θ叫做点M 的极角，有序数对（ρ，θ）就叫做M 的极坐标。
特别强调：由极径的意义可知ρ≥0；当极角θ的取值范围是[0，2π）时，平面上的点（除去极点）就与极坐标（ρ，θ）建立一一对应的关系 。
们约定，极点的极坐标是极径ρ=0，极角是任意角。
3．负极径的规定：在极坐标系中，极径ρ允许取负值，极角θ也可以去任意的正角或负角，当ρ＜0时，点M （ρ，θ）位于极角终边的反向延长线上，且OM=ρ。
人教版数学选修2-2《极坐标系》教学设计
人教版数学选修2-2《极坐标系》教学设计《人教版数学选修2-2《极坐标系》教学设计》这是优秀的教学设计文章，希望可以对您的学习工作中带来帮助！【教学目标】(1)知识目标：理解极坐标的概念，会根据具体问题建立适当的极坐标系。
(2)能力目标：能在极坐标系中用极坐标刻画点的位置，体会在极坐标系和平面直角坐标系中刻画点的位置的区别。
(3)德育目标：通过观察、探索、发现、类比的创造性过程，培养创新意识。
【教学重点】认识极坐标系的重要性，能用极坐标刻画点的位置。
【教学难点】理解用极坐标刻画点的位置的基本思想，认识点与极坐标的对应关系。
【学情分析】学生的兴趣：从指路的问题背景开始，激发学生学习兴趣。
学生的知识基础：通过直角坐标学习,可以类比学习极坐标系。
3、学生的认识特点：有了比较抽象和感知性的认识，但理性认知和逻辑还有待提高，知识点的应用还需加强。
【教学策略设计(教学模式)】PPT课件，小组合作，师生合作教学过程一、情景引入，思疑激趣问题1：我们知道，平面直角坐标系是一个常用的数学工具。
平面直角坐标系中的点与数对(x,y)是一一对应的关系，也是最简单最常用的一种坐标系。
但它不是唯一的一种坐标系，有时用别的坐标系更加方便。
还有什么坐标系呢?问题2：如图，某校园的平面示意图.假设某同学在教学楼A处，请回答下列问题：(1)他向东偏北600方向走120m后到达什么位置?该位置惟一确定吗?(2)如果有人打听体育馆和办公楼的位置，他应如何描述?[教师活动]教师运用动画片的形式，提出问题。
[学生活动]学生先独立思考，然后可以全班进行讨论。
[设计意图]引入学习极坐标系概念的必要性。
形成用距离和角度来刻画点位置关系的直觉。
二、抽象概括，形成概念在上述问题中，你认为确定一个位置需要哪些要素呢?在生活中人们经常用方向和距离来表示一点的位置：如台风预报、地震预报、测量、航空、航海等.这种用方向和距离表示平面上一点的位置的思想，就是极坐标的基本思想.思考：你认为建立一个极坐标系需要哪些要素呢?1、极坐标系的建立：(1)在平面内取一个定点O，叫做极点;(2)引一条射线Ox，叫做极轴;(3)选定1个长度单位、1个角度单位(常取弧度);(4)规定角度的正方向(通常取逆时针方向).这样建立的坐标系叫做极坐标系.2、极坐标系内点的极坐标的规定对于平面内任意一点M，用r表示极点与点M的距离，叫做点M 的极径,q表示以Ox为始边,OM为终边的角，叫做点M的极角,有序数对(r，q)就叫做M的极坐标。
人教课标版高中数学选修4-4：《极坐标系》教案-新版
1.2 极坐标系一、教学目标（一）核心素养通过这节课学习，认识极坐标系、能在极坐标系下用极坐标表示点的位置，会进行极坐标和直角坐标的互化，在直观想象、数学抽象中感受极坐标的特点．（二）学习目标1．通过实例，认识极坐标系，体会用极坐标表示点的特点．2．了解用极坐标系表示点的不唯一性．3．能进行极坐标系与平面直角坐标系的互化，体会在极坐标系和平面直角坐标系中刻画点的位置的区别．（三）学习重点1．认识极坐标系的重要性．2．用极坐标刻画点的位置．3．会进行极坐标与直角坐标的互化．（四）学习难点1．理解用极坐标刻画点的位置的基本思想．2．认识点与极坐标之间的对应关系．二、教学设计（一）课前设计1．预习任务（1）读一读：阅读教材第8页至第11页，填空：极坐标系的建立：在平面内取一个定点O，叫做极点；自极点O引一条射线Ox，叫做极轴；再选定一个长度单位、一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向)，这样就建立了一个极坐标系．极坐标系内一点的极坐标的规定：设M是平面内一点，极点O与点M的距离OM叫做点M的极径，记为ρ；以极轴Ox为始边，射线OM为终边的角xOM叫做点M的极角，记ρ叫做点M为θ.有序数对),(θρ，θ可取任意实数．为0≥（2）想一想：点与极坐标有什么关系？一般地，极坐标),(θρ与)2,(πθρk +)(Z k ∈表示同一个点．特别地，极点O 的坐标为))(,0(R ∈θθ．如果规定πθρ20,0<≤>，那么除极点外，平面内的点可用惟一的极坐标),(θρ表示；同时，极坐标),(θρ表示的点也是惟一确定的． （3）写一写：极坐标系与直角坐标系如何转化？把直角坐标系的原点作为极点，x 轴的正半轴作为极轴，并在两种坐标系中取相同的单位长度.设M 是平面内任意一点,它的直角坐标是),(y x ，极坐标是),(θρ，则：=x θρcos ， =y θρsin=2ρ22y x +， =θtan )0(≠x xy2．预习自测（1）在极坐标系中，下列各点中与)3,2(π表示的不是同一个点的是( )A ．)35,2(π-B ．)37,2(πC ．)35,2(πD ．)313,2(π 【知识点】极坐标系【解题过程】由于极坐标),(θρ与)2,(πθρk +)(Z k ∈表示同一个点，检验得，选项C 不是同一个点【思路点拨】根据点的极坐标定义代入验证可得 【答案】C（2）已知点A 的直角坐标为)2,0(，则点A 的极坐标为（ ）A ．)2,2(πB ．)0,2(C ．)2,2(πD ．)2,2(π-【知识点】极坐标与直角坐标互化【解题思路】根据极坐标与直角坐标互化公式可得：22022=+=ρ，显然2πθ=【思路点拨】由极坐标与直角坐标互化可得 【答案】A（3）已知点M 的极坐标为)4,3(π，则点M 的直角坐标为（ ）A ．)3,3(B ．)223,223(C ．)233,23( D ．)33,3( 【知识点】极坐标与直角坐标互化【解题思路】根据极坐标与直角坐标互化公式可得：223sin ,223cos ====θρθρy x 【思路点拨】由极坐标与直角坐标互化可得 【答案】B（4）已知A 、B 两点极坐标为)32,6(),3,4(ππ-B A ，则线段AB 中点的极坐标为________．【知识点】极坐标与直角坐标互化、中点坐标公式【解题过程】 将A,B 两点化为直角坐标得 )33,3(),32,2(--B A ，所以中点的直角坐标为)23,21(--，化为极坐标得)34,1(π【思路点拨】先化为直角坐标，利用在直角坐标系下的中点坐标公式求出中点，再化为极坐标 【答案】)34,1(π(二)课堂设计 1．知识回顾（1）平面直角坐标系中的点P 与坐标(a ,b)是一一对应的. 2．问题探究探究一 结合实例，认识极坐标系★ ●活动① 提出问题，创设情境如右图1是某校园教学平面示意图，假设某同学在教学楼处，请回答下列问题： (1)他向东偏北 60方向走m 120后到达什么位置？该位置唯一确定吗？(2)如果有人打听体育馆和办公楼的位置，他应如何描述？ （学生回答）(1) 他向东偏北 60方向走m 120后到达是点C 图书馆的位置，该位置唯一确定.(2)如果去体育馆向正东方向走m 60，去办公楼向北偏西图145走m 50.上面刻画位置是以A 作为基点，并以射线AB 为参照方向，然后利用与A 距离和与AB 所成角度来描述位置，例如“东偏北 60，距离m 120”，即利用“距离”和“角度”来刻画平面上点的位置.在上一节中，我们用“在信息中心的西偏北 45方向，距离m 10680处”描述了巨响的位置.即以信息中心为基点，以正西方向为参照，用与信息中心的距离与正西方向所成的角来刻画巨响的位置.有时候它比直角坐标更方便，在现实生活中，有很多的应用，例如台风预报，地震预报，测量、航空、航海中主要采用这种方法.【设计意图】从生活实例到数学问题，引入学习极坐标系概念的必要性，形成用角和距离刻画点的位置的直觉.●活动② 互动交流，类比提炼概念我们类比建立平面直角坐标系的过程，怎样建立用距离与角度确定平面上点的位置的坐标系？（学生讨论交流）平面直角坐标系的建立是在同一个平面上互相垂直且有公共原点的两条数轴构成平面直角坐标系，简称直角坐标系.通常，两条数轴分别置于水平位置与垂直位置，取向右与向上的方向分别为两条数轴的正方向.水平的数轴叫做x 轴或横轴，垂直的数轴叫做y 轴或纵轴，它们的公共原点O 称为直角坐标系的原点，以点O 为原点的平面直角坐标系记作平面直角坐标系xOy .类比上述过程，我们在平面内取一个定点O ，叫做极点；自极点O 引一条射线Ox ，叫做极轴；再选定一个长度单位、一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向)，这样就建立了一个极坐标系．极坐标建立后，如何来定义平面中的点的极坐标呢？ 如右图2，设M 是平面内一点，极点O 与点M 的距离OM 叫做点M 的极径，记为ρ；以极轴Ox 为始边，射线OM 为终边的角xOM 叫做点M 的极角，记为θ.有序数对),(θρ叫做点M 的极坐标，记为M ),(θρ．一般地，不作特殊说明时，我们认为0≥ρ，θ可取任意实数．【设计意图】从特殊到特殊，类比得到极坐标系，让学生不会觉得极坐标系来得太突然，顺其图2B 自然得到点在极坐标系中的定义. ●活动③ 巩固基础，检查反馈 例1 在极坐标系里描出下列各点.)0,3(A ，)2,3(πB ,)34,5(πC ,)65,3(πD ,)35,6(πE【知识点】极坐标系的定义、点在极坐标系中的表示【数学思想】数形结合【解题过程】根据点在极坐标的表示，ρ表示的是点到极点的距离，θ表示射线与极轴所成的角，所以个点在极坐标的位置如图． 【思路点拨】欲确定点的位置，需先确定ρ和θ的值． 【答案】如右图．同类训练 在右图3的极坐标系中描出下列点的位置：)4,3(πF ，),4(πG【知识点】极坐标系的定义、点在极坐标系中的表示【数学思想】数形结合【解题过程】根据点在极坐标的表示，ρ表示的是点到极点的距离，θ表示射线与极轴所成的角，所以个点在极坐标的位置如图3．【思路点拨】欲确定点的位置，需先确定ρ和θ的值． 【答案】如右图3．探究二 探究点与极坐标的对应关系 ●活动① 认识差异、辨析极坐标系在图1中，用点E D C B A ,,,,分别表示教学楼，体育馆，图书馆，实验楼，办公楼的位置.建立适当的极坐标系，写出各点的极坐标.我们以点A 为极点，AB 所在的射线为极轴（单位长度为m 1），GFAD CE4πOx2π 65π π34π 35π图34πOx2π 65π π34π 35π x图4建立极坐标系，则E D C B A ,,,,的极坐标分别为)43,50(),2,360(),3,120(),0,60(),0,0(πππ建立极坐标系后，给定ρ和θ，就可以在平面内惟一确定点M ，反过来，给点平面内任意一点，也可以找到她的极坐标),(θρ.但是否和平面直角坐标系中的点和直角坐标一样，极坐标和点事一一对应的关系呢？【设计意图】通过对点的极坐标的认识，为后面点的极坐标不惟一做好铺垫． ●活动② 合作探究，解决问题我们来观察下列极坐标表示的点之间有何关系呢？)26,4(),46,4(),26,4(),6,4(πππππππ-++由终边相同的角的定义可知，上述极坐标表示的是同一个点，于是：一般地，极坐标),(θρ和))(2,(Z k k ∈+πθρ表示同一个点，所以，极坐标和直角坐标不同，平面内一个点的极坐标有无数种表示.特别地，极点O 的极坐标为))(,0(R ∈θθ如果我们规定πθρ20,0<≤>，那么除极点外，平面内的点可用惟一的极坐标),(θρ表示；同时，极坐标),(θρ表示的点也是惟一确定的．同类训练 在极坐标系中，写出下图中各点的极坐标(πθρ20,0<≤>)A （4，0）B （ ）C （ ）D （ ） F （ ） G （ ） 【知识点】极坐标系的定义、点在极坐标系中的表示 【数学思想】数形结合【解题过程】根据点A 的极坐标，可以得到其它点的极坐标)4,2(πB ，)2,3(πC ,)65,1(πD ,)34,6(πF ,)35,5(πG ．【思路点拨】(1)写点的极坐标要注意顺序：极径ρ在前，极角θ在后，不能把顺序颠倒了． (2)点的极坐标是不惟一的，但若限制ρ＞0，0≤θ＜2π，则除极点外，点的极坐标是惟一确定的．【答案】)4,2(πB ，)2,3(πC ,)65,1(πD ,)34,6(πF ,)35,5(πG ．【设计意图】通过辨析认识点的极坐标是不唯一的，加深对极坐标系的认识． 探究三 实现极坐标与直角坐标的互化★▲ ●活动① 归纳梳理、理解实质平面内的一个点既可以用直角坐标表示，也可以用极坐标来表示，那么这两种坐标之间有何联系呢？把直角坐标系的原点作为极点，x 轴的正半轴作为极轴，并在两种坐标系中取相同的长度单位，如图5所示．设M 是平面内任意一点，它的直角坐标是),(y x ，极坐标是),(θρ，于是极坐标与直角坐标的互化公式如下：⎩⎨⎧==θρθρsin cos y x ⎪⎩⎪⎨⎧≠=+=)0(tan 222x x y y x θρ 这就是极坐标和直角坐标的互化公式. 【设计意图】得到直角坐标与极坐标之间的关系． 活动② 巩固基础，检查反馈例2 分别把下列点的极坐标化为直角坐标（1）)6,2(π （2）)2,3(π【知识点】极坐标与直角坐标互化． 【解题过程】（1）由cos 2cos36sin 2sin16x y πρθπρθ======所以点的极坐标)6,2(π化为直角坐标为)1,3(．图5（2）由cos 3cos02sin 3sin32x y πρθπρθ======所以点的极坐标)2,3(π化为直角坐标为)3,0(．【思路点拨】将点的极坐标),(θρ化为点的直角坐标),(y x 时，运用到求角θ的正弦值和余弦值，熟练掌握特殊角的三角函数值，灵活运用三角恒等变换公式是关键． 【答案】（1） )1,3( （2） )3,0(． 同类训练 分别把下列点的极坐标化为直角坐标（1）)32,4(π（2）),(ππ 【知识点】极坐标与直角坐标互化． 【数学思想】【解题过程】（1）3232sin 4sin 232cos 4cos ===-===πθρπθρy x 所以点的极坐标)32,4(π化为直角坐标为)32,2(-．（2）由cos cos sin sin 0x y ρθπππρθππ===-===所以点的极坐标),(ππ化为直角坐标为)0,(π-．【思路点拨】将点的极坐标),(θρ化为点的直角坐标),(y x 时，运用到求角θ的正弦值和余弦值，熟练掌握特殊角的三角函数值，灵活运用三角恒等变换公式是关键． 【答案】（1） )32,2(- （2） )0,(π-．例3 已知点B 、C 的直角坐标为)2,2(-,)15,0(-,求它的极坐标(ρ>0,0≤θ<2π). 【知识点】极坐标与直角坐标互化．【解题过程】∵ρ=,22)2(22222=-+=y x ＋122tan -=-=θ,且点位于第四象限∴θ=47π,点B 的极坐标为(22,47π).又∵x =0,y <0,ρ=15,∴点C 的极坐标为(15,23π).【思路点拨】化点的直角坐标为极坐标时，一般取πθρ20,0<≤≥，即θ取最小正角,由tanθ=xy求θ时，还需结合在直角坐标系下点),(y x 所在的象限来确定θ的值. 【答案】B(22,47π) C(15,23π)．同类训练 分别把下列点的直角坐标化为极坐标(限定ρ≥0，0≤θ<2π)（1） )3,3(； （2） )1,1(-- ；（3） )0,3(-． 【知识点】极坐标与直角坐标互化． 【数学思想】【解题过程】（1）333tan ,323)3(22===+=θρ 又因为点在第一象限，所以3πθ=.所以点)3,3(的极坐标为)3,32(π． （2）111tan ,2)1()1(22=--==-+-=θρ又因为点在第三象限，所以45πθ=.所以点)1,1(--的极坐标为)45,2(π．（3）30)3(22=+-=ρ，极角为π，所以点)0,3(-的极坐标为),3(π．【思路点拨】化点的直角坐标为极坐标时，一般取πθρ20,0<≤≥，即θ取最小正角,由tanθ=xy求θ时，还需结合在直角坐标系下点),(y x 所在的象限来确定θ的值. 【答案】（1）)3,32(π （2）)45,2(π（3）),3(π．【设计意图】巩固检查极坐标与直角坐标互化公式． 3.课堂总结 知识梳理（1）极坐标系的建立：在平面内取一个定点O ，叫做极点；自极点O 引一条射线Ox ，叫做极轴；再选定一个长度单位、一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向)，这样就建立了一个极坐标系．（2）极坐标系内一点的极坐标的规定：设M 是平面内一点，极点O 与点M 的距离OM 叫做点M 的极径，记为ρ；以极轴Ox 为始边，射线OM 为终边的角xOM 叫做点M 的极角，记为θ.有序数对),(θρ叫做点M 的极坐标，记为M ),(θρ．一般地，不作特殊说明时，我们认为0≥ρ，θ可取任意实数．（3）如果规定πθρ20,0<≤>，那么除极点外，平面内的点可用惟一的极坐标),(θρ表示；同时，极坐标),(θρ表示的点也是惟一确定的．（4）把直角坐标系的原点作为极点，x 轴的正半轴作为极轴，并在两种坐标系中取相同的长度单位，如图所示．设M 是平面内任意一点，它的直角坐标是),(y x ，极坐标是),(θρ，于是极坐标与直角坐标的互化公式如下：⎩⎨⎧==θρθρsin cos y x ⎪⎩⎪⎨⎧≠=+=)0(tan 222x x y y x θρ 重难点归纳（1）极坐标系就是用长度和角度来确定平面内点的位置.极坐标系的建立有四个要素：①极点；②极轴；③长度单位；④角度单位和它的正方向.四者缺一不可．（2）写点的极坐标要注意顺序：极径ρ在前，极角θ在后，不能颠倒顺序（3）若两个坐标系符合三个前提条件：(1)极点与直角坐标系的原点重合; (2) 极轴与直角坐标系的x 轴的正半轴重合; (3) 两种坐标系的单位长度相同.则其相互转化：（三）课后作业 基础型 自主突破1．极坐标系中，点)1,2(πP 到极点的距离是( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．π2 【知识点】极坐标的定义．【解题过程】由极坐标定义)1,2(πP 已知πρ2=，故P 到极点的距离为2π． 【思路点拨】根据极坐标的定义进行判断． 【答案】D ．2．下列各点中与极坐标)7,5(π表示同一个点的是( )．)0(tan ,222≠=+=x xyy x θρ 直角坐标),(y x M极坐标),(θρMθρθρsin ,cos ==y xA ．(5，67π)B ．(5，157π)C ．(5，67π-)D ．(5，7π-) 【知识点】点在极坐标系中的表示．【数学思想】 【解题过程】根据极坐标)7,5(π和))(27,5(Z k k ∈+ππ表示同一个点，取1=k ，得选项B ． 【思路点拨】极坐标),(θρ和))(2,(Z k k ∈+πθρ表示同一个点．【答案】B ．3．在直角坐标系中点()3,1-P ，则它的极坐标是A ．⎪⎭⎫ ⎝⎛3,2πB ．⎪⎭⎫ ⎝⎛34,2πC ．⎪⎭⎫ ⎝⎛-3,2πD ．⎪⎭⎫ ⎝⎛-34,2π 【知识点】极坐标与直角坐标互化． 【解题过程】因为313tan ,21)3(22-=-==+-=θρ，且点在第四象限，所以选C 【思路点拨】根据极坐标与直角坐标互化来求解．【答案】C ．4．已知O 为极点，π23A ⎛⎫ ⎪⎝⎭， ，7π56B ⎛⎫- ⎪⎝⎭，，则AOB S ∆= ( ) A.2 B.3 C.4 D.5错误!未找到引用源。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
极坐标系教案及设计说明
一．教材分析
（一）教学内容：极坐标系及极坐标平面内点的极坐标。
（华东师大版高级中学课本数学三年级第一学期第115〜117页）
（二）本节教材的地位，作用及前后联系本节教材是继学生比较系统地学习了在直角坐标系中研究点的坐标和曲线方程及曲线性质的方法后要学习的另一平面坐标系——极坐标系。
极坐标系不同于直角坐标系，它的引入为进一步研究圆锥曲线的共同特性、研究等速螺线等提供了新的工具。
同时极坐标系的引入还说明，解析法所依赖的坐标系不只是直角坐标系，还可以从实践和数学的需要引出其他坐标系。
（三）教学重点、难点、关键：
1 ．重点：极坐标平面内点的极坐标。
2 •难点：p取负值时点的极坐标（p,9）o
3．关键：克服直角坐标系中确定点坐标的思维定势。
二．学生认知基础分析高三学生通过两年的学习已比较系统地掌握了高中数学学科的必修内容规定的基础知识和基本技能，他们已具有一定的理解能力、运算能力、逻辑思维能力和抽象概括能力等，他们的心智也趋于成熟。
本班学生也不例外。
但在班级授课制下，学生认知水平不可能是整齐划一的。
他们中大部分学生基础知识和基本技能较扎实，思维活跃，也有一部分学生基础知识和基本技能不够扎实，接受新知识较慢。
三．教学目标分析
依据课程标准、本节教材的特点和学生的认知基础确定教学目标如下：
1．知识目标：（1）理解极坐标系的有关概念；
（2）掌握极坐标平面内点的极坐标的表示。
a）会在极坐标系内描出已知极坐标的点；b）会写出极坐标平面内点的极坐标
2•能力目标：进一步提高学生的观察、归纳、分析和概括能力；学会分类讨论及类比的数学思想方法。
3•情感目标：通过生活中的具体事例引入极坐标系使学生认识数学的价值。
通过对问题的探究使学生享受到成功的喜悦。
四.教法设计（遵循“教师为主导，学生为主体”的原则，体现“以学生发展为本”的教学理念）
根据现代建构理论：学生的学习是在已有经验的基础上的主动建构的过程；在这一过程中，学生处于主体地位，而教师处于主导地位。
结合本节课的实际和学生的认知基础确定教法如下：
1.创设适宜情境，提高学生参与数学学习的积极性、主动性，促进学生体验
数学学习的愉悦性把问题作为教学的出发点，是创设课堂有效学习情境的一种常用方法。
它可以增强学生的求知欲，使学生在迫切的要求下进行学习，学生注意力集中，思维积极，参与程度高，能够有效提高学习效果。
这节课根据生活中的事例设计一个动画片：乡间问路”以引起学生的注意，然后分析片中一句话从这朝东北方向走3里路！”，从而引入极坐标系。
这样有利于学生明确学习极坐标系的意义，激发学生学习极坐标系的积极性。
同时也为学生进一步理解掌握点的极坐标作了铺垫一—用距离和方向确定点的位置。
创设了有效的学习情境。
2.在尝试活动中获得新知识
数学教学是师生共同参与的活动过程，在这个过程中教师是活动的主导，学生是活动的主体，教师的主导要为学生主体达到学习目标服务。
也就是说，在课堂教学中教师必须指导学生亲自探究、发现、应用等活动。
学生通过自主的尝试活动，在感知的基础上深入揭示知识的内在联系，从而获得新知识，提高能力。
本节课，除了在引进课题时，让学生通过观察、分析等尝试活动以获得极坐标系的感性认识外，在其它的一些环节也是力图让学生通过尝试活动，自已来解决问题，获得新知识。
如极坐标系、极坐标平面的概念，极坐标平面内点的极坐标（p >0的规则，都让学生自己阅读课本并尝试完成课本上的练习1和巩固练习一。
并借助提问，给学生营造一个思维情景，给每一个学生提供思考、创造、表现及成功的机会。
如完成巩固练习一后问：极坐标平面内一个点的极坐标是否唯一？若否，那么有多少种表示方法？同一点的不同的极坐标是否可以写出统一的表达式？”完成巩固练习二后问：关于极点成中心对称的两点的极坐标有什么关系？关于极轴成轴对称的两点的极坐标又有什么关系呢？关于过极点垂直于极轴的直线成轴对称的两点的极坐标又有什么关系呢？”这样的自主活动充分体现了学生的主体作用，有利于学生观察、归纳、分析和概括等能力的提高，有利于学生对知识的内化。
3.及时获取教学效果的信息，随时调节教学，提高课堂教学质量与效率
全班划一的教学与各类学生的基础、需求、素质差异发生矛盾。
这就需要教师巧妙地在班级授课制的同时，对各个层面学生的学习信息适时回授，有效调整。
比如，本堂课的概念教学与习题练习交替进行，目的是及时了解学生各个知识点的掌握状况。
又如，本堂课的问题基本上都有学生自主完成，目的是，一方面让学生体验知识获取的过程，另一方面便于教师在学生完成问题的过程中掌握学生学习效果的信息，作出有效的调整决策。
再如，考虑到本班学生的基础总体比较好，所以在完成练习的基础上适量补充了巩固练习题及讨论题，目的是让基础差的学生有一个二次学习的机会，基础好的学生有一个巩固、深化的过程，这样的处理对各个层面的学生都有好处。
4.利用计算机辅助教学，演示图形的动态变化过程，弥补传统教学手段的不足。
如：新课的引入，通过动画的演示，使学生理解学习极坐标系的必要性和极坐标系的实践价值；讲解p <0时点的极坐标（p ®的规定时辅之以动画演示，使学生理解规则突破难点。
五•教学过程设计
为了塑造学生良好的认知结构，必须优化教材的内容与结构，革新知识呈现的程序和方法，组织最佳的教学过程。
本节课教学过程设计是逐步展示知识的生成过程，使学生的思维层层展开，逐步深入。
教学流程图：
（一）极坐标系的引入
以前我们建立的平面坐标系是直角坐标系。
它是常用的坐标系。
那么它是唯一的坐标系吗？
1 .动画演示：《乡间问路》（Power Point ）
2•请分析动画中“从这朝东北方向走3里路！”这句话，告诉了问路人什么?
（师生共同讨论）
在生活中我们经常用距离和方向来表示一点的位置。
用距离和方向表示平面内一点的位置，这就是今天我们要学习的极坐标系的问题。
（出示课题：极坐标系”）
（二）极坐标系的建立（书P.116）
1.阅读课本P116第二、三自然段（板书“极坐标系与极坐标平面”，“极坐标系内点M的极坐标（p,B）”）
（1）提问：
（a）什么是极坐标系和极坐标平面？什么叫点的M极坐标？并强调：
①一般规定；（板书“p= |OM|，9表示以极轴0X为始边、射线0M为终边的角”）
②特别规定。
（板书“p =0时，点M是极点”）
（b）这节课一开始看的动画《乡间问路》中李家村的位置如何用极坐标表示? （2）练习：
①完成书P.117练习1 （学生口答）
②巩固练习一：
边长为a的正六边形OABCD在极坐标系中的位置如上图，求这个正六边形各顶点的极坐标。
（2）思考：极坐标平面内一个定点的极坐标是否唯一？若否，那么有多
少种表示方法？同一点的不同的极坐标是否可以写出统一的表达式？（学生口答教师板书：“点M（p,B ）的极坐标的一般表达式：（p, 2k n + B）”）
前面我们学习的点M极坐标的（p,9 ）中的p=|OM|，所以p> 0。
为了研究的方便，我们也允许p <0。
2 .学习p <0时点的极坐标（p，0）的规定（Power Point ）
（1）讲解p <0时点的极坐标（p，9 ）的规定（板书“p <0时，?r u =|OM|，
9表示以极轴OX为始边、射线OM勺反向延长线为终边的角”）
（2）练习：
①完成书P117练习2 （学生口答）
②巩固练习二：书p.117练习3 （实物投影）
（3）探索:
①关于极点成中心对称的两点的极坐标有什么关系？②关于极轴成轴对称的两点的极坐标又有什么关系呢?
③ 关于过极点垂直于极轴的直线成轴对称的两点的极坐标又有什么关系呢?
（三） 小结：
这节课我们主要学习了什么内容?
（四） 布置作业：1.练习册 p.26/8,9,10,11 ; （ Power Point ） 2 •若点M （ p,B ）满足，则点M 的轨迹是什么？若满足 p =2呢？
六. 板书设计：
极坐标系和极坐标平面
极坐标系中点M 的极坐标（p,0）
动画演示区
七. 作业设计
作业作为课堂教学的铺垫和延续，教师对于作业的处理、设计和运用将对学生学 习活动的有效性产生重要影响。
本节课的作业是： 1.练习册 p.26/8,9,10,11
（讲解板演区）
（提要区）
极坐标系 （p, 2k n + 0）
点的极坐标的一般表达式:
若满足p =2呢？
［作业1 ］为巩固性作业，意图是帮助学生进一步理解掌握极坐标， 反馈学生学习 信息，便于作出补救措施。
［作业2 ］为探究性作业，意图是培养学生运用知识、解决问题的能力，也为以后 学习直角坐标系和极坐标系的互化及曲线的极坐标方程作铺垫。
2 •若点M (p.
e-- B ）满足 •，则点 M 的轨迹是什么?。