图论网络规划
如何绘制网络计划图
5
网络图的绘制原则（2）
2. 两个节点之间只允许有一条箭线连接。
10
20
10
20
虚活动不消耗时间
15 和资源的活动，在
实际项目中并不存 在，为表达活动之
间的关系而引入的。
6
网络图的绘制原则（3）
3. 箭头事件的编号必须大于箭尾事件的编号，编号可以不连 续，而且最好是跳跃式的。
4. 完整的网络图必须有且仅有一个起始节点和一个终止节点。
网络图的绘制
1
网络图实例
1
2
3
对生产 任务划分 领域调研
工作 或活动
饲料车间 4 饲料车间 5 饲料车间
需求分析
建模
模型审核
酒精车间 6 酒精车间 7 酒精车间
需求分析
建模
模型审核
节点 或事件
8 模型汇总、9
发布
华润酒精生产领域建模的网络图
2
网络计划的优点
1. 通过网络计划够直观的了解整个项目（计划）及各部分之 间的关系。
9
2. 能够准确估计项目（计划）的完成时间。 3. 便于跟踪项目（计划）进度，抓住关键环节。 4. 能够使参加项目的相关人员了解各自的工作任务。
网络计划是一种有效的项目 时间管理方法。
3
网络图的绘制原则（1）
1. 网络图中的箭线必须从左至右排列，不允许出现循环。
20
10
循环
X
30
4
3/25/2024
20
20
10
40
10
40
30
30
7ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
网络图的绘制原则（4）
5. 网络图一般有唯一的最初活动和唯一的最终活动。 6. 网络图一般的画法是从左至右，从上到下，尽量避免箭线
运筹学课程总结
动态规划、图论、网络规划
1、动态规划
1、动态规划的应用条件：无后效性的多阶段决策问题 2、动态规划的基本概念与动态规划模型建立 阶段k 状态变量s（取值范围） 决策变量u（取值范围） 状态转移方程：sk+1=f(sk，xk) 阶段指标函数：有连续型、离散型 过程指标函数：有 和 两种形式 最优指标函数（动态规划方程）：
决策允许集合：0uksk
（4）状态转移方程： sk 1 auk b(sk uk ) 0.7uk 0.9(sk uk ), k 1,2,,5 （5）阶段指标函数： gk ( sk , uk ) 8uk 5(sk uk ) （6）过程指标函数： R1,5
（3）设备分配问题（收益函数是离散的）
• 胜利家具厂拟将某种高效率的设备5台分配给所属的甲、乙、 丙三个车间，各车间若获得这种设备之后，可以为工厂提供 的盈利如表。问这五台设备如何分配给各车间，才能使工厂 得到的盈利最大（特点：收益函数是离散的）。
车间 盈利 0 1 甲 0 3 乙 0 5 丙 0 4
用动态规划方法求解背包问题（整数规划）
Ma xZ 6 0x1 4 0x2 6 0x3 3 x1 2 x2 5 x3 1 0 i 1,2， 3 xi 0且为整数，
（特点：决策变量要求取整数）
建立动态规划模型： 设：wk是第k种物品单位重量，ck为第k种物品单位价值 （1）划分阶段k：按可以装入物品的种类划分为3个阶段。 （2）状态变量sk：第k次装载时，背包剩余的装载重量。 0 sk 10 状态变量集合为： （3）决策变量xk：第k次装载第k种物品的件数 sk 0 x 决策变量集合为： k w xk为整数} k sk 1 sk wk xk （4）状态转移方程： gk ( sk , xk ) ck xk （5）阶段指标函数： n （6）过程指标函数： Vk ,n gi ( si , xi ) i k （7）动态规划递推方程： f ( s ) max v ( s , x ) f ( s )
图论在网络分析中的应用
图论在网络分析中的应用网络分析是一门研究网络结构和网络行为的学科，其研究领域广泛，涉及社交网络、互联网、交通网络等各个领域。
作为网络分析的重要工具，图论在网络分析中发挥着重要的作用。
本文将探讨图论在网络分析中的应用，并说明其在不同领域中的具体运用。
一、图论的基本概念图论是数学的一个分支，研究的是图的性质和相关的数学关系。
图由两个基本元素组成：顶点（节点）和边。
顶点表示网络中的实体，边表示实体之间的连接关系。
图可以分为有向图和无向图，有向图的边有方向性，无向图的边没有方向性。
图论中的一些基本概念包括度、路径、连通性等。
二、社交网络分析中的应用社交网络分析是研究社交关系和社会结构的一种方法。
图论在社交网络分析中被广泛应用，可以帮助我们理解和分析人际关系、信息传播等现象。
1. 社交网络中的连通性分析使用图论可以分析社交网络中的连通性，通过计算网络中的最短路径和连通组件，可以了解人际之间的联系紧密程度和信息传播速度。
例如，可以通过分析社交网络中的关键节点（度数较大的节点），来识别最具影响力的人物。
2. 社群检测社群检测是指将社交网络中的节点分为不同的社群或群体。
图论中的聚类算法可以在社交网络中识别出相关性较高的节点群组，从而探索社交网络中不同群体之间的关系和特点。
社群检测的结果可以被应用于推荐系统、广告定向等领域。
三、互联网中的应用互联网是一个巨大的网络，图论在互联网分析中的应用也十分重要。
1. 网页排名算法图论中的PageRank算法是互联网分析中的核心算法之一。
该算法通过分析网页之间的链接关系，计算每个网页的排名。
PageRank算法为搜索引擎提供了重要的排序依据，帮助用户进行信息检索。
2. 信任网络分析在互联网上，人与人之间的信任关系对于交易的完成至关重要。
图论可以用于分析信任网络中的节点、边和其相关的属性。
例如，可以通过分析信任网络中的节点连通性，判断某个节点是否可信。
四、交通网络中的应用图论在交通网络分析中也有广泛的应用。
图论网络规划
图论网络规划图论网络规划是一种基于图论理论的网络设计方法，旨在优化网络结构和提高网络性能。
图论网络规划可以应用于各种网络环境，包括计算机网络、通信网络、交通网络等。
本文将详细介绍图论网络规划的基本概念、流程和方法，并通过一个实际案例来说明其应用。
一、基本概念1. 图论：图论是数学中研究图的结构和性质的分支学科，图由节点和边组成，节点表示网络中的设备或位置，边表示节点之间的连接关系。
2. 网络规划：网络规划是指根据特定的需求和目标，设计和优化网络结构的过程，包括网络拓扑设计、资源分配和性能优化等。
二、流程图论网络规划的流程可以分为以下几个步骤：1. 确定需求：明确网络规划的目标和需求，包括网络容量、可靠性、延迟等方面的要求。
2. 收集数据：收集与网络规划相关的数据，包括网络拓扑、设备性能、流量数据等。
3. 构建图模型：根据收集到的数据，构建网络的图模型，将节点和边表示为图中的顶点和边。
4. 分析网络拓扑：通过图论分析方法，对网络拓扑进行分析，包括节点度、连通性、环路等方面的指标。
5. 优化网络结构：根据分析结果，对网络结构进行优化，包括增加节点、调整链路带宽、优化路由等。
6. 模拟和评估：使用网络模拟工具，对优化后的网络进行模拟和评估，验证网络性能是否满足需求。
7. 实施和监控：根据评估结果，实施网络规划方案，并进行监控和调整，确保网络的稳定运行。
三、方法图论网络规划的方法包括以下几种：1. 最小生成树算法：用于在网络中选择最小的连通子图，以减少网络中的冗余和成本。
2. 最短路径算法：用于确定网络中两个节点之间的最短路径，以减少数据传输的延迟。
3. 流量分析算法：用于分析网络中的流量分布和瓶颈，以优化网络带宽分配。
4. 节点定位算法：用于确定网络中节点的位置，以便优化网络拓扑和路由选择。
四、案例分析假设某公司需要规划一个新的局域网，以满足日益增长的员工数量和数据传输需求。
该局域网包括一个总部和三个分部门，总部和分部门之间需要进行数据传输和共享。
基于图论的城市道路网络规划与优化研究
基于图论的城市道路网络规划与优化研究引言：城市道路网络作为城市交通的核心基础设施之一，在现代城市的建设和发展中具有重要的地位和作用。
为了提高城市道路网络的交通流动性和效率，图论作为一种重要的数学工具和分析方法，被广泛应用于城市道路网络规划与优化的研究中。
本文将基于图论的角度，探讨城市道路网络规划与优化的研究内容和方法。
一、城市道路网络的图论建模城市道路网络可以看作是一个由节点和边组成的图，其中节点代表城市中的交叉口或转角，边则代表道路。
通过图论的方法，城市道路网络的复杂关系可以被抽象为图中的节点和边，并用数学模型来模拟和分析。
在城市道路网络的图论建模中，常用的方法包括节点表示法和邻接矩阵表示法。
节点表示法中，每个节点代表一个交叉口或转角，通过连接不同节点的边来表示道路之间的相互联系。
邻接矩阵表示法则是通过一个矩阵来描述节点之间的关系，矩阵的元素表示节点之间的连接信息，可以是道路长度、交通流量等。
二、城市道路网络规划城市道路网络规划是指根据城市的交通需求和发展战略，合理布局和规划城市道路网络的整体结构和布局。
基于图论的方法可以用于城市道路网络规划中的路径选择、交通流优化以及网络扩容等问题。
1. 路径选择在城市道路网络中，路径选择是指如何选择最短路径或最优路径来满足不同起点和终点之间的交通需求。
通过将城市道路网络抽象为图，可以使用图算法如迪杰斯特拉算法或A*算法来寻找最优路径。
这些算法可以计算出从一个节点到另一个节点的最短路径，以及相应的权重或成本。
2. 交通流优化城市道路网络中的交通流是指在不同节点之间的车辆流动情况，其受到路段容量、交叉路口信号灯等因素的影响。
通过图论方法可以对交通流进行建模和优化，以提高交通效率和减少拥堵。
例如，可以使用最大流算法来确定道路上的最大车流量，从而控制路段的拥堵程度。
同时，还可以通过优化信号灯的时序来减少交叉口的等待时间，提高交通流的通行能力。
三、城市道路网络优化城市道路网络的优化是指如何对现有道路网络进行调整和改进，以提高整体的交通流动性和效率。
图论的基本概念和应用
图论的基本概念和应用图论是数学中的一个分支，研究的是图的性质和图之间的关系。
图由节点和边组成，节点表示对象，边表示对象之间的关系。
图论的基本概念包括图的类型、图的表示方法、图的遍历算法等。
图论在计算机科学、网络分析、社交网络等领域有着广泛的应用。
一、图的类型图可以分为有向图和无向图两种类型。
有向图中的边有方向，表示从一个节点到另一个节点的关系；无向图中的边没有方向，表示两个节点之间的关系是相互的。
有向图和无向图都可以有权重，表示边的权值。
二、图的表示方法图可以用邻接矩阵和邻接表两种方式来表示。
邻接矩阵是一个二维数组，数组的行和列分别表示图中的节点，数组中的元素表示节点之间的边；邻接表是一个链表数组，数组的每个元素表示一个节点，链表中的每个节点表示与该节点相连的边。
三、图的遍历算法图的遍历算法包括深度优先搜索（DFS）和广度优先搜索（BFS）。
深度优先搜索从一个节点开始，沿着一条路径一直遍历到最后一个节点，然后回溯到上一个节点，再继续遍历其他路径；广度优先搜索从一个节点开始，先遍历与该节点相邻的所有节点，然后再遍历与这些节点相邻的节点，依次类推。
四、图论的应用1. 计算机科学：图论在计算机科学中有着广泛的应用。
例如，图可以用来表示计算机网络中的节点和连接关系，通过图的遍历算法可以实现网络路由和路径规划；图可以用来表示程序中的依赖关系，通过图的遍历算法可以实现代码的分析和优化。
2. 网络分析：图论在网络分析中有着重要的应用。
例如，社交网络可以用图来表示，节点表示用户，边表示用户之间的关系，通过图的遍历算法可以实现社交网络的分析和预测；互联网中的网页可以用图来表示，节点表示网页，边表示网页之间的链接关系，通过图的遍历算法可以实现搜索引擎的排名和推荐算法。
3. 运筹学：图论在运筹学中有着重要的应用。
例如，图可以用来表示物流网络中的节点和路径，通过图的遍历算法可以实现最短路径和最小生成树的计算；图可以用来表示任务调度中的依赖关系，通过图的遍历算法可以实现任务的优化和调度。
图论与网络分析1-确定型网络计划
图论与网络分析1-确定型网络计划图论和网络分析在计划和管理中广泛应用。
在项目管理中，确定型网络计划是一种用于规划和控制复杂项目的有效工具。
本文将介绍确定型网络计划的基本概念和常见技术，以及图论和网络分析在此过程中的应用。
确定型网络计划是一种图形化方法，用于描述和控制项目的活动和资源之间的关系。
它可以帮助项目经理和团队成员确定项目中的关键路径、前后置关系以及资源分配等重要因素，从而有效地规划和管理项目进度。
确定型网络计划通常由节点（表示活动）和连接线（表示活动之间的依赖关系）组成，形成一个有向无环图（DAG）。
在确定型网络计划中，节点表示项目中的具体活动，连接线表示活动之间的依赖关系。
每个节点都有一个时间估计，即完成该活动所需的时间。
通过连接线可以确定活动之间的前后置关系，即某些活动必须在其他活动之前完成。
通过指定这些依赖关系，项目经理可以确定项目的关键路径，即完成整个项目所需的最长时间路径。
确定型网络计划中的关键路径是整个项目的关键，因为它决定了项目的最短时间。
如果关键路径中的任何一个活动延迟，整个项目的进度都会延迟。
因此，项目经理需要重点关注关键路径上的活动，确保其按计划进行。
图论和网络分析在确定型网络计划中起到了重要的作用。
图论是研究图及其性质的数学理论，可以提供分析和解决确定型网络计划中的复杂问题的方法。
网络分析是一种基于图论的数学模型，用于分析和优化网络中的活动和资源分配。
通过图论和网络分析，项目经理可以更好地理解和管理复杂项目中的活动和资源之间的关系。
在确定型网络计划中，项目经理可以利用图论和网络分析来计算关键路径、活动和资源的最佳分配，以及项目进度和资源利用率的优化。
通过确定关键路径，项目经理可以安排和分配资源，以确保项目按计划进行。
此外，图论和网络分析还可以帮助项目经理进行风险分析，预测项目完成时间和成本，并及时采取必要的措施。
综上所述，确定型网络计划是一种重要的项目管理工具，而图论和网络分析则是实现该方法的重要工具。
图论参考答案
图论参考答案图论参考答案图论作为一门数学分支，研究的是图的性质与关系。
图由节点（顶点）和连接节点的边组成，它可以用来解决许多实际问题，如网络规划、社交网络分析等。
本文将从图的基本概念、图的表示方法、图的遍历算法以及图的应用等方面进行探讨。
一、图的基本概念图由节点和边构成，节点表示对象，边表示节点之间的关系。
图可以分为有向图和无向图两种类型。
在有向图中，边有方向，表示从一个节点到另一个节点的箭头；而在无向图中，边没有方向，表示节点之间的双向关系。
图中的节点可以用来表示不同的实体，如人、地点、物品等。
而边则表示节点之间的关系，可以是实体之间的联系、交互或者依赖关系等。
图的度是指与节点相连的边的数量。
在无向图中，节点的度等于与之相连的边的数量；而在有向图中，节点的度分为入度和出度，入度表示指向该节点的边的数量，出度表示从该节点出发的边的数量。
二、图的表示方法图可以使用邻接矩阵和邻接表两种方式进行表示。
邻接矩阵是一个二维数组，其中的元素表示节点之间的关系。
如果节点i和节点j之间有边相连，则邻接矩阵中的第i行第j列的元素为1；否则为0。
邻接矩阵的优点是可以快速判断两个节点之间是否有边相连，但是对于稀疏图来说，会浪费大量的空间。
邻接表是一种链表的形式，其中每个节点都有一个指针指向与之相连的节点。
邻接表的优点是可以有效地节省空间，适用于稀疏图。
但是在判断两个节点之间是否有边相连时，需要遍历链表，效率较低。
三、图的遍历算法图的遍历算法是指以某个节点为起点，按照一定的规则依次访问图中的所有节点。
深度优先搜索（DFS）是一种常用的图遍历算法。
它的思想是从起始节点开始，沿着一条路径一直访问到最后一个节点，然后回溯到上一个节点，继续访问其他路径。
DFS可以用递归或者栈来实现。
广度优先搜索（BFS）是另一种常用的图遍历算法。
它的思想是从起始节点开始，先访问所有与起始节点直接相连的节点，然后再依次访问与这些节点相连的节点。
图论中网的概念
图论中网的概念图论是数学中的一个分支，研究的是图的性质、结构及其在各个领域的应用。
图论的研究对象是图，而一个图由若干个点和连接这些点的边组成。
在图论中，还有一个重要的概念就是网。
网是具有权值的图，权值可以表示边的距离、容量或者其他具体意义。
网可以用一个三元组G = (V, E, W)表示，其中V表示图中的节点集合，E表示边的集合，W表示每条边的权值。
节点可以表示为实际物体或者抽象概念，边则表示节点之间的关系。
权值可以是正数、负数或者零，表示不同的含义。
使用网的概念，可以更加准确地描述和分析图中的问题。
在图论中，网具有一些基本的性质和定义。
下面简要介绍几个重要的概念。
1. 有向网和无向网：如果网中的边具有方向，则称为有向网；如果边没有方向，则称为无向网。
有向网可以表示为有向图，无向网可以表示为无向图。
2. 完全网：如果一个网中的任意两个节点之间都存在边，则称为完全网。
完全网的边数达到最大值，是一个很特殊而重要的网。
3. 连通网：如果网上任意两个节点之间都存在路径，则称为连通网。
连通网中可能存在多个连通子图，每个子图内部的节点之间可达，但是不同子图之间不可达。
4. 生成树：连通网中，包含所有节点且边数最小的树称为生成树。
生成树是保留连通性的同时尽量减少边数的概念。
5. 最小生成树：如果连通网中的边具有权值，那么生成树中所有边的权值之和最小的生成树称为最小生成树。
最小生成树是生成树中最优解的概念。
图论中的网概念在很多实际问题中得到广泛应用，例如：1. 网络规划：在计算机网络中，网的概念可以用来表示计算机之间的连接关系和网络拓扑结构，权值可以表示链路的带宽、延迟等性能指标。
通过对网络进行建模和优化，可以更好地规划和管理计算机网络。
2. 交通规划：在城市交通规划中，网的概念可以用来表示交通道路的网络，节点表示交叉口或者道路的起终点，边表示道路连接关系，权值可以表示道路的长度、拥堵程度等。
通过对交通网的分析，可以优化交通系统、改善交通状况。
运筹学 图与网络规划
习题九9.1 十名学生参加六门课程的考试。
由于选修内容不同，考试门数也不一样。
下表给出了每个学生应参加考试的课程（打⊙的）：学生考试课程 A B C D E F1 ⊙⊙⊙2 ⊙⊙3 ⊙⊙4⊙⊙⊙5⊙⊙⊙6 ⊙⊙7⊙⊙⊙8 ⊙⊙9 ⊙⊙⊙10⊙⊙⊙规定考试在三天内结束，每天上下午各安排一门。
学生希望每人每天最多考一门，又课程A必须安排在第一天上午考，课程F安排在最后一门，课程B只能安排在下午考，试列出一张满足各方面要求的考试日程表。
9.2 求下图的最小生成树和最大生成树：V1 6 V26 6 2 2V6 7 V7 3 V38 3 4 3V5 1 V49.3 下图表示某生产队的水稻田，用堤埂分割为很多小块。
为了用水灌溉，需要挖开一些堤埂。
问最少挖开多少堤埂，才能使水浇灌到每小块稻田。
9.4. 请用标号法求下图所示的最短路问题，弧上数字为距离：9.5 用Dijkstra标号法求下图中始点到各顶点的最短路，弧上数字为距离：v3 3 v51 5 4v1 24v2 2 v49.6最短路问题：某公司使用一种设备，此设备在一定年限内随着时间的推移逐渐损坏。
每年购买价格和不同年限的维修使用费如下表所示。
假定公司在第一年开始时必须购买一台此设备，请建立此问题的网络图，确定设备更新方案，使维修费和新设备购置费的总数最小。
说明解决思路和方法，不必求解。
年份 1 2 3 4 5价格20 21 23 24 26使用年限0－1 1－2 2－3 3－4 4－5费用8 13 19 23 309.7 试将下述非线性整数规划问题归结为求最长路的问题。
要求先根据这个问题画出网络图，扼要说明图中各节点、连线及连线上标注的权数的含义，再用标号法求数值解。
max z ＝（x1＋1）2＋5x2x3＋（3x4－4）2＋x2＋x3 ＋x4 ≤3xx j≥0，且为整数（j＝1,2,3,4）9.8 用标号法求下图所示的最大流问题，弧上数字为容量和初始可行流量：v 1 （7，4） v 3（8，8） （3，1） （8，6）v s （3，3） （3，0） v t（9，4） （2，2） （9，6）v 2 （5，5） v 49.9 已知有6个村子，相互间道路的距离如下图所示，拟合建一所小学。
利用图论解决优化问题
利用图论解决优化问题
图论是一种数学领域，研究的对象是图。
图是由节点和边构成的一种数学结构，可以用来描述不同事物之间的关系。
在实际应用中，图论被广泛应用于解决各种优化问题。
一、最短路径问题
最短路径问题是图论中的经典问题之一。
通过图论的方法，可以很容易地找到两个节点之间最短路径的长度。
这在现实生活中经常用于规划交通路线、通讯网络等方面。
二、最小生成树问题
最小生成树问题是指在一个连通加权图中找到一个权值最小的生成树。
利用图论的方法，可以高效解决这个问题，从而在一些应用中节省资源和成本。
三、网络流问题
网络流问题是指在网络中找到从源点到汇点的最大流量。
通过图论中流网络的模型，可以有效地解决网络流问题，这在交通调度、物流运输等领域有着重要的应用。
四、最大匹配问题
最大匹配问题是指在一个二分图中找到最大的匹配数。
图论提供了有效的算法来解决最大匹配问题，这在稳定婚姻问题、任务分配等方面有着广泛应用。
五、旅行商问题
旅行商问题是一个著名的优化问题，即求解访问所有节点一次并回到起点的最短路径。
通过图论的技术，可以找到最优解，帮助旅行商节省时间和成本。
总的来说，图论在解决优化问题方面有着重要的作用。
通过构建合适的图模型，并应用相关算法，可以高效地解决各种优化问题，为现实生活中的决策提供科学依据。
希望未来能有更多的研究和应用将图论与优化问题相结合，为人类社会的发展贡献力量。
运筹学( 图与网络优化)
七桥问题
七桥问题图形
原理及方法
七桥问题是图论中的著名问题。1736年，Euler巧妙 地将此问题化为图的不重复一笔画问题，并证明了 该问题不存在肯定回答。原因在于该图形有顶点连 接奇数条边。
§10.1
图的基本概念
一个图(Graph) 定义为三元有序组
(V (G ), E (G ), G )
几何实现图例
在一个图的几何实现中，两条边的交点可能不是图的顶 点。例如下图 中，它共有4个顶点，6条边；而e 3 与e 4 的交点不是这个图的顶点。
v1
e1
v2 e4
e2
v3
e3
e5
v4
e6
e3
v1
v4
e1 e4
v2
e2
v3 e6
e5
v4
平面图
一个图称为平面图，如它有一个平面图形，使得边与边仅在
u 1
f5 u3 f6
f2 f4
u2
u4
同构
给定两个图
G (V (G), E(G), G )
H (V ( H ), E( H ), H )
称G和H是同构的，记为 G H ， 如果存在两个一一对应 ( , )
: V (G) V ( H )
: E (G) E ( H )
e7
v2
e3 v3
e6
v4
e4
关联矩阵性质
图G的关联矩阵M=(mij)为m×n矩阵；则每行元
素之和等于相应顶点的度；每列元素之和等于 2。
因此，图G的关联矩阵M所有元素之和既等于所
有顶点的度之和，又等于边数的2倍。 定理 设G是一个图，则
vV ( G )
d (v) 2
图论与网络
h
b
x
c
w
Euler型定理
定理2 设G是连通圈，则G是Euler型的充要 条件是G没有奇次数的顶点。
推论1 设G是一个连通图，则G有Euler链当 且仅当G最多有两个奇数次数的顶点。
连通性
图G称为连通的，如果在G的任意两个顶点u 和v中存在一条(u,v)路。
两点顶点u和v等价当且仅当u和v中存在一条(u,v)路。 不连通图至少有两个连通分支。 ω表示G的连通分支数。
网络规划概述
网络规划(Network Programming )是图论与 线性规划的交叉学科，具有广泛的应用背景， 比如，最短路问题、最小树问题、最大流问题、 最优匹配问题等。
七桥问题
七桥问题图形
原理及方法
七桥问题是图论中的著名问题。1736年，Euler巧妙 地将此问题化为图的不重复一笔画问题，并证明了 该问题不存在肯定回答。原因在于该图形有顶点连 接奇数条边。
M (G) 1 1 1 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 1
d (v2 ) 3
d (v3 ) 3
0 0 0 1 1 2 0 d (v4 ) 4
2 22 2 222
4+3+3+4=14=2×7
e1
v1
e2
v2
e5
e7
e3
e6
v4
e4
v3
关联矩阵性质
图G的关联矩阵M=(mij)为m×n矩阵；则每行元 素之和等于相应顶点的度；每列元素之和等于2。
因此，图G的关联矩阵M所有元素之和既等于所 有顶点的度之和，又等于边数的2倍。
定理 设G是一个图，则
d(v) 2
vV (G)
第3章 通信网络规划理论_old
第3章通信网络规划理论3．1 通信网络规划基础作为一个由多个系统、设备、部件组成的复杂而庞大的整体，通信网的建设需要合理的规划来进行指导，从而设计出既能够满足各项性能指标要求又能节省费用的方案，这就要求设计人员掌握相应的网络理论基础和网络分析计算方法。
本节着重讨论通信网络规划的基础理论知识，将从图论出发讨论通信网的拓扑结构，从排队论出发讨论通信网内的业务分析方法，从可靠性理论出发讨论通信网的可靠性计算。
3．1．1 图论1．基本概念对于网络的研究，最早是从数学开始的，其基本的理论就是图论。
在复杂网络的研究中，我们将要遇到各种类型的网络，无向的、有向的、加权的……都可以用图论的语言和符号精确简洁地描述。
图论不仅为物理学家提供了描述网络的语言和研究的平台，而且其结论和技巧已经被广泛地移植到复杂网络的研究中。
图论，尤其是随机图论已经与统计物理并驾齐驱地成为研究复杂网络的两大解析方法之一。
图论研究人们在自然界和社会生活中遇到的包含某种二元关系的问题或系统，并把这种问题或系统抽象为点和线的集合，它已经被广泛用于各种网路分析、可靠性设计、集成电路，设计等领域。
通信网是由终端节点。
业务节点和传输链路组成的，从数学模型来说，这就是一个图论的问题，其中点表示通信网中的节点，线表示传输链路。
在通信网规划中，图论可以用于确定最佳网路结构、选择路由、分析网路可靠性等。
（l）图由若于个点和连接点的线组成，点是任意设置的，线则表示不同点之间的联系，图可用有序二元组（V,E）表示，记为G=(V,E)。
它可用几何图形来表示，但一个图所对应的几何图形不是唯一的。
如图3．1所示，两个不同的几何图形，其二元组表示却是相同的。
（2）链路、路径、回路图G＝（V，E），其中K(K 2）条边与同其相连的点依次排成点和边的交替序列，则称该序列为链路。
若链路中不出现重复的边，则称其为路径，若路径的起点和终点重合，则称为回路。
图3.2 中，（1v ,4e ,5v ,9e ,6v ,9e ,5v ,8e ,4v ）为链路，（1v，4e ，5v ，9e ，6v ，5e，2v ）为路径，（1v，4e ，5v ，9e ，6v ，7e ，1v）为回路。
图论和网络的教学设计方案
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汇报人：XX
图论在网络分析、 计算机科学、交通 运输、社交网络等 领域有广泛应用。
图论和网络的基本 概念包括图、路径 、连通性、树等。
图论和网络的应用场景
推荐系统：通过分析用户行为 和网络结构，利用图论和网络 进行个性化推荐。
社交网络分析：利用图论和网 络分析社交网络中的关系和影 响力。
生物信息学：利用图论和网络 对基因、蛋白质等生物分子进
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图论和网络的扩展知识
最小生成树算法：用于在加权连 通图中找到一棵包含所有顶点的 树，使得所有边的权值之和最小
最短路径算法：用于在加权图中找 到两个顶点之间的最短路径，通常 用于路由和交通规划
图的着色问题：将图的顶点染上颜 色，使得相邻顶点颜色不同，且用 色最少的染色方案
网络流算法：用于解决诸如最大流、 最小截、二分匹配等网络流问题， 常用于优化资源分配和路径规划
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能力目标
能够理解和掌握图论的基 本概念和原理
能够运用图论的方法解决 实际网络问题
能够设计和实施有效的网 络优化算法
能够培养学生的逻辑思维 和问题解决能力
情感态度与价值观目标
培养学生对图论和 网络的兴趣和好奇 心，激发探索欲望。
培养学生的合作精 神和沟通能力，提 高团队协作能力。
高
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学生反馈与改进措施
学生参与度：评价 学生在课堂上的表 现和参与度，以及 他们在图论和网络 学习中的兴趣和投
入程度。
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图论网络规划
图论网络规划一、引言图论网络规划是指在图论的基础上，通过合理的规划和设计，优化网络结构和布局，以满足特定的需求和目标。
本文将详细介绍图论网络规划的基本概念、方法和步骤，并结合实际案例进行说明。
二、基本概念1. 图论：图论是研究图和图的性质及其在各个领域中的应用的数学分支。
图由节点和边组成，节点表示网络中的元素，边表示节点之间的连接关系。
2. 网络规划：网络规划是指在给定的网络环境和需求条件下，通过合理的设计和规划，确定网络的拓扑结构、传输协议、路由策略等，以达到高效、可靠、安全的网络通信。
三、方法和步骤1. 收集需求：首先需要明确网络规划的目标和需求，包括网络规模、带宽需求、服务质量要求等。
可以通过与用户、管理人员和技术人员的沟通来获取相关信息。
2. 构建网络拓扑：根据需求和目标，设计网络的拓扑结构，确定节点和边的关系。
可以使用图的表示方法来描述网络拓扑，如邻接矩阵、邻接表等。
3. 选择传输协议：根据网络规模、传输速率、安全性要求等因素，选择合适的传输协议，如TCP/IP、UDP等。
4. 设计路由策略：确定数据在网络中的传输路径和路由策略，以实现最优的数据传输效果。
可以使用图论中的最短路径算法、最小生成树算法等来进行设计和优化。
5. 安全性考虑：在网络规划中需要考虑网络的安全性，包括防火墙设置、访问控制策略、数据加密等措施，以保护网络的机密性和完整性。
6. 性能评估和优化：在完成网络规划后，需要对网络进行性能评估和优化，包括带宽利用率、延迟、丢包率等指标的评估和改进。
四、实际案例以某大型企业的校园网规划为例，该企业拥有多个办公楼和教学楼，需要建立一个高效、稳定、安全的校园网。
以下是该校园网的网络规划步骤和设计要点：1. 收集需求：与企业管理人员和教职员工进行沟通，了解校园网的规模、用户数量、带宽需求等。
根据需求，确定校园网的目标是提供高速、稳定的网络连接，支持各种在线应用和资源共享。
2. 构建网络拓扑：根据校园网的地理位置和建筑结构，设计合理的网络拓扑。
数学与应用数学中的图论与网络优化研究
数学与应用数学中的图论与网络优化研究图论与网络优化是数学与应用数学领域中的重要研究方向。
它们在现代社会中广泛应用于计算机科学、通信网络、运输规划、社交网络等诸多领域。
本文将从图论和网络优化的基础概念、重要原理和应用实例三个方面来探讨数学与应用数学中的图论与网络优化研究。
首先，我们来了解一下图论的基础概念。
图论是研究图的性质和图中各种关联关系的数学分支。
图由若干个节点和它们之间的边组成。
节点表示图中的对象，而边表示节点之间的关联关系。
图分为有向图和无向图两种类型。
有向图的边有方向，而无向图的边没有方向。
图还可以分为连通图和非连通图。
连通图是指图中任意两个节点之间都存在路径的图，非连通图则相反。
图中最短路径和最小生成树是图论中的重要问题，对于网络优化具有重要意义。
接下来，我们将讨论图论在网络优化中的重要原理。
网络优化是一种将图论应用于实际问题的方法。
它通过对图的节点和边进行优化，以最大化或最小化某种指标。
常见的网络优化问题有最小生成树、最短路径、最大流和最小割等。
最小生成树问题是寻找连通图的一颗子图，它包含图中所有节点，并使得图中边的权值之和最小。
最短路径问题是在两个节点之间找到一条路径，使得经过的边的权值之和最小。
最大流和最小割问题是在有向图中找到一条从源节点到汇节点的路径，使得路径上的边的总流量达到最大或最小。
最后，我们将探讨图论与网络优化在实际应用中的研究。
图论和网络优化的研究成果在现代社会中广泛应用。
在计算机科学中，图论被广泛应用于图数据库、图搜索算法和社交网络分析等领域。
例如，Facebook的好友关系可以被建模为一个图，通过图论的方法可以计算出社交网络中的最短路径和最短推荐链。
在通信网络中，图论和网络优化被应用于路径规划、流量调度和网络拓扑设计等方面。
在运输规划中，图论被用于解决最优路径问题和优化交通流量分配等。
此外，图论和网络优化还在电力系统、物流管理和金融市场等领域有着重要应用。
综上所述，图论与网络优化是数学与应用数学中的重要研究方向。
研究图论和网络分析
图论和网络分析是计算机科学和数学领域中的重要研究分支，它们研究的是事物之间的关系以及这些关系的特征和性质。
图是由节点和边组成的数据结构，节点代表事物，边代表事物之间的关系。
网络分析则是基于图论的分析方法，利用数学和计算机工具揭示事物之间的连接模式和规律。
图论最早起源于18世纪的欧拉的柯尼斯堡桥问题，随着数学的发展逐渐成为一个独立的领域。
图论的研究对象是图及其性质，包括图的连通性、路径、环、强连通分量等。
图论不仅是数学中的一个重要分支，也在计算机科学和其他应用领域中有着广泛的应用。
例如，图算法在社交网络分析、交通网络优化、电力网络规划等方面发挥着重要作用。
网络分析是基于图论的一个研究方法，它通过计算机科学和数学的工具来研究事物之间的关系及其特征。
网络分析可以用于研究社交网络、信息传播、物流网络、生物网络等。
通过分析网络的拓扑结构、节点的重要性、信息传播的速度等指标，可以揭示复杂网络中的规律和特征。
网络分析在社会学、生物学、计算机科学等领域中具有重要的应用价值。
图论和网络分析在各个领域都有着广泛的应用。
在社交网络分析中，我们可以利用图论和网络分析的方法来研究社交网络中的节点之间的连接模式、社群结构、信息传播的路径等。
这些研究有助于我们理解社交网络中人际关系的形成和演化规律，提供决策支持和社交推荐等服务。
在电力网络规划中，图论和网络分析则可以用于研究电力网络的供应和传输问题。
通过建立电力网络的拓扑结构，并利用网络分析的方法来研究电力传输的路径和网络的稳定性，可以提高电力系统的可靠性和安全性。
在交通网络优化中，图论和网络分析可以帮助我们优化交通网络的布局和交通流量的分配。
通过分析交通网络的拓扑结构、节点的重要性等指标，我们可以找出交通网络中的瓶颈节点和路径，从而提出有效的交通规划方案，减少拥堵和交通事故。
除了以上应用领域，图论和网络分析还可以在搜索引擎优化、生态系统研究、蛋白质相互作用网络分析等方面发挥重要作用。
基于网络图论的中小城市公交线网规划
维普资讯
Ｔｎｇ Ｅｏ ｉｒ Ｃｍｉｏ（ Ｃ ｅｏｙ ｃｍｎｅｏｏｕａｓＥ） ｃｌ ＆ ｏ ｙ ａｆｍｎｔ Ｔ ｈｏ ｎ Ａｓ ｃｎ Ａ ｉ
旭 急 蔫 孽
秦雷 辫 论
最 大的 规 划 方 法 基 础 上 ． 用 改进 Ｄｉ ｓａ算 法 对 线 网 进 行 规 划 ， 采 ｊｔ ｋｒ 对
（ ｉ） 从 节 点 Ａ 到 Ｂ， 采 用 时 间 最 短 路 Ａ— Ｍ ｎ 。 若 Ｃ—Ｄ
走 向， 能运送 乘 客量 为 ５ 所 ０人 ， 行 时 间 为 １ ｍｉ ， 运 ３ ｎ
如果对 中小城市 公交 线 网的规 划不 合理 ，将 使公共 交通 失去对 乘客 的吸 引力 ， 交 企业 效益 不佳 。 公
Ｂ （５． ） ３ ９
图 １
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针 对 此 问题 ， 本 文 采 用 改 进 Ｄｉ ｓ ａ算 法 寻 找 ｊｔ ｋｒ
备 选 线 路 的 最 佳 走 向 ， 行 初 始 线 网 的 布 设 ， 公 交 进 使
投稿 日期 ：０ ６ ２ ２ ２ ０ ０ — ７ 作者简介 ： 袁传镔（９ ２ ） 男， １８ － ， 四川 内江人 ， 硕士研 究生． 研究方 向 图 ２ 莱城市交通分区及公交网络 示意圈
为通 输 划管 。 变 运 规 与 理
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维普资讯
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Ｔｃｎ ｌｇ ＆ Ｅ ｏｏ ｙ ｉ ｒａ ｆ Ｃ ｍｍ ｎｃ ｔ ｎ （ Ｅ Ｃ） ｅｈ ｏｏ ｙ ｃ ｎ ｍ ｎ Ａ ｅ ｓｏ ｏ ｕ ｉ ｉ ｓ Ｔ Ａ ａｏ
某 城 市 交 通 分 及 公 交 网 络 如 图 ２所 示 交 叉 点 处 数 字 为 节 点 编 号 ，相 邻 节 点 问 线 段 上 数 字 为 行
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图论练习
汪帆 23 土规1202
1某城市要建立一个消防站,为该市所属的七个区服务,如图所示,问应设在
那个区,才能使它至最远区的路径最短。
图5、1、1 城市点线模型图
解:分析:要求建立的消防站离最远区的路径最短,即要求出任意两点间最优路径,而后从最优路径中选取最大值中的最小值。
具体方法则要运用Warshall-Foryd 算法求出该图的路由表,从而根据路由表中的最优路线,寻求V1-V7到每一点的最优路径,并比较各路径中最长路径的大小,择取最小值即为题中之所问。
(1),建立权矩阵:
A=[0 3 inf inf inf inf inf ; 3 0 2 inf 1、8 2、5 inf; Inf 2 0 6 2 inf inf ; Inf inf 6 0 3 inf inf ; Inf 1、8 2 3 0 4 inf;
Inf 2、5 inf inf 4 0 1、5; Inf inf inf inf inf 1、5 0]
(2),运用Warshall-Foryd 算法,调用floyd(A)函数,求出该图的路由表(程序详见附录5、1):
V1 V2 V3 V4 V5 V6 V7 V1 0 3 5 7、8 4、8 5、5 7 V2 3 0 2 4、8 1、8 2、5 4 V3 5 2 0 5 2 4、5 6 V4 7、8 4、8 5 0 3 7 8、5 V5 4、8 1、8 2 3 0 4 5、5 V6 5、5 2、5 4、5 7 4 0 1、5 V7 7 4 6 8、5 5、5 1、5 0
(3),结果分析:上述n n ij )V (V ⨯=矩阵为对称阵,主对角线为0,即消防站所建立的位置。
其具体涵义为:消防站建立在V i 处时对应各个城市的最短路径,如此可以建立表5、1、2:
表5、1、2 各点建立消防站的最远城市及其两者距离表
消防站点 最远城市 两者距离
V1 V4 7、8 V2 V2 4、8 V3 V7 6 V4 V7 8、5 V5 V7 5、5 V6 V5 7 V7 V4 8、5
从表5、12可以瞧出,比较最远距离,不难瞧出,当消防站点选在V2城市时,其离最远城市的最优距离为最优:4、8。
故而,应将消防站建立在V2城市。
2某矿区有七个矿点,如图所示,已知各矿点每天的产矿量,现要从这七个矿点选一个来建造矿厂,问应选在哪个矿点,才能使各矿点所产的矿运到选矿厂所在地的总运力(千吨公里)最小。
图5、2、1 矿区点线模型图
解:分析:总运力与两个因素有关:矿点与矿厂的距离、矿点产矿量,且都就是正比的关系,故而应当把矿点与矿厂的距离L 与矿点产矿量X 的成绩当做运力,进而将运力当做权矩阵的元,运用Warshall-Foryd 算法求出该图的路由表,从而根据路由表中的最优路线,寻求V1-V7到每一点的最优路径,再将最优路径加总,进而寻求7个预设厂址中的最优路径总值的最小值的点即为所求矿厂点。
(1),距离矩阵:
L=⎥⎥⎥
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡0,5.1inf,inf,inf,inf,inf,5.1,0,4inf,inf,,4inf,inf ,4,0,1,2inf,inf,inf inf,,1,0,6inf,inf,inf inf,,2,6,0,2inf,inf ,4inf,inf,,2,0,3inf inf,inf,inf,,inf ,3,0 产量矩阵:
[]4,1,6,1,7,2,3=X
(2),权矩阵(运算程序见附录5、1):
X i L *:).,(A = i=1:7
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=0 1.5000 Inf Inf Inf Inf Inf 6 0 24 Inf Inf 8 Inf Inf 4 0 1 14 Inf Inf Inf Inf 6 0 42 Inf Inf Inf Inf 12 6 0 4 Inf Inf 4 Inf Inf 14 0 9Inf Inf Inf Inf Inf 6 0A
(3),运用Warshall-Foryd 算法,调用floyd(A)函数,求出该图的路由表(程
序详见附录5、2、2):
由表5、2、1可知,厂址预设与该址到各个矿区的最优路径表清晰而明朗,并在表中最后一栏中的总运力可以观察出:当把V3设为矿厂时,其总运力最小,为57。
故而应当选取V3矿区建立矿厂。
附录 5、1
function [D,R]=floyd(A) D=A;n=length(D); for i=1:n
for j=1:n R(i,j)=i; end end
for k=1:n for i=1:n
for j=1:n
if D(i,k)+D(k,j)<D(i,j) D(i,j)=D(i,k)+D(k,j); R(i,j)=R(k,j); end end end hl=0;
for i=1:n
if D(i,i)<0
hl=1;
break;
end
end
if(hl==1)
fprintf('有负回路') break;
end
end
5、2、1
%求权矩阵。
n=7;
for i=n
A=[L(i,:)、*X]
end。