7考研数学大纲知识点解析(第七章无穷级数(数学一)和傅里叶级数(数学一))

，由比值判别法，该级数收敛；
对于（C），用莱布尼兹判别法级数 故选（C）．
收敛，而级数
发散，该级数发散．
【例题】（92 年，数学一/数学二）级数
（常数
（A）发散．
（B）条件收敛．
（C）绝对收敛．
（D）收敛性与 有关．
【答案】（C）．
）．
【解析】因为
，而级数
收敛，所以由比较判别法得
收敛；故原级数绝对收敛．故选（C）．
（1）阿贝尔（
）定理：
如果幂级数
在
如果
在处发散，则当
处收敛，则当
时，幂级数绝对收敛；
时，幂级数均发散．
（2）幂级数
的收敛半径、收敛区间与收敛域
设
或
，则收敛半径，
称区间
为它的收敛区间．讨论当
时级数的敛散性后所确定的区间为收敛域．
【例题】（00 年，数学一）
求幂级数
的收敛区域，并讨论该区间端点处的收敛性.
与
敛区间为
.故幂级数
，即
．
有相同的收敛区间，即
的收
的收敛区间为
【例题】（11 年，数学一）设数列 单调减少，
无
界，则幂级数
的收敛域为 ．
（A）
． （B）
【答案】（C）．
． （C）
．
（D）
．
【解析】数列 单调减少，且
，由莱布尼兹判敛法，交错级数
收
敛，即幂级数
在
处条件收敛．又因为
无界，
所以幂级数 （C）．
满足微分方程 ，
.
因此 是初值问题
,
，
的解．
（Ⅱ）齐次方程的特征方程为
特征根为
，通解为
设非齐次线性方程的一个特解为 为
，代入方程得
，所以非齐次线性方程的通解
由厨师条件得 故
【例题】（07 年，数学一）设幂级数
在
内收敛，其和函数
满足
．
（Ⅰ）证明
； （Ⅱ）求
的表达式．
【证明】对
求导得，
，
，
代入
，并整理得
，令
，
又当
时，原级数
而当
时，原级数
又记
，故由莱布尼茨判别法知其收敛；
，显然发散，故收敛域为
．
，其中
，有
，于是
，
当
时，
，当
时，
故和函数为
．
【数项级数的和】【幂级数和函数法】【泰勒公式法】【部分和法】【几何级数法】
【综合题】 （Ⅰ）验证函数
（Ⅱ）利用（Ⅰ）的结果求幂级数
【解析】（Ⅰ）
易见
，
； 的和函数．
在
处发散．故幂级数
的收敛域为
，故选
【幂级数在其收敛区间内的基本性质】【和函数的连续性、逐项求导和逐项积分】
（1）设幂级数
与
的收敛半径分别为
，则
,
的收敛半径
．
（2）幂级数
的和函数在
其收敛域 上连续．
（3）幂级数
在收敛区间
内可以逐项求导，即
， 且求导后的幂级数的收敛半径与原级数的收敛半径相同．
（4）幂级数
（1）
.（2）
.（3）
.
【解析】（1）绝对收敛.（2）条件收敛. （3）条件收敛.
【例题】（15 年，数学三）下列级数中发散的是 ．
（A）
． （B）
【答案】（C）．
． （C）
【解析】利用级数敛散性的性质及判别法
． （D）
．
对于（A）
，由比值判别法，该级数收敛；
对于（B） 对于（D）
，级数
收敛，该级数收敛；
时，级数
收敛．
【综合题】（99年，数学一）设
：
（Ⅰ）求
的值； （Ⅱ）试证：对任意的常数
，级数
收敛．
【证明】（Ⅰ）因为
， ，
所以 （Ⅱ）因为
所以
，由
知
收敛，从而
收敛．
【综合题】（14 年，数学一）
设数列
满足
，且级数
收敛．
（Ⅰ）证明：
； （Ⅱ）证明：级数
（B）若
绝对收敛，则
与
都收敛．
（C）若
条件收敛，则
与
的收敛性都不定．
（D）若
绝对收敛，则
与
的收敛性都不定．
【答案】（B）．
【解析】由级数条件收敛的定义知，若
条件收敛，则
发散，由此推出
与
都发散，因此在选项中排除了（A），（C）．
由级数的绝对收敛与级数收敛的关系知，若
绝对收敛，则
必收敛，再根
据收敛级数的性质可以推出
，
使
，于是
．令
，当 充分大时，有
因为
收敛，所以级数
绝对收敛．
【综合题】（04 年，数学一）设有方程
，其中 为正整数．证明此方程存
在唯一正实根 ，并证明当
时，级数
收敛．
【证明】记
．当
时，
，
故
在
上单调增加．
由于
，根据连续函数的零点存在定理知方程
存在唯一正实根 ，且
．从而当
时，有
，
而正项级数
收敛，所以当
在其收敛域 上可以逐项积分，即
， 且积分后的幂级数的收敛半径与原级数的收敛半径相同．
【函数展开成幂级数】
设
在
点的邻域
存在任意阶导数，则称幂级数
为
在
点处的泰勒级数．
特别地，当
时，称幂级数
【泰勒级数收敛充要条件】设函数
敛于
的充要条件为
，为
的麦克劳林级数．
在
内存在任意阶导数，则其泰勒级数收
，
其中
．
【常见麦克劳林级数】
【解析】因
，
所以收敛半径为 ，收敛区间为
．
当
时，因为
当
时，由于
，且
发散，所以原级数在点
处发散．
，
且
收敛，
故收敛域为
.
收敛，所以原级数在点
处收敛．
【注】
虽然是交错级数，但是不满足莱布尼兹判别法的条件（通项不单调
），不能用莱布尼兹判别法判断敛散性，将其化为简单级数的代数和，再利用级数的运算
性质进行判断.
的收敛域及和函数. .
.
【综合题】求幂级数 【解析】收敛域为
. .
的收敛域及和函数.
【级数的敛散性的证明题】 【综合题】（94 年，数学一/数学二）设
在点
的某一领域内具有二阶连续导数，
且
，证明级数
【证明】由题设推知
绝对收敛． ．
在点
的某邻域的一阶泰勒（
）展开式为
再由题设，
在属于该邻域内包含原点的一小闭区间上连续，故必存在
； ； ； ； ； ； ．
【例题】求下列幂级数在收敛区间内的和函数.
（1）
. （2）
.
【解析】
（1）
.
（2）
.
【例题】（03 年，数学三）求幂级数 【解析】由题设得
的和函数
及其极值．
,
上式两边从 到 积分，得
由
，得
．
令
，求得唯一驻点
．
由于
，故
在
处取得极大值
．
【例题】（14 年，数学三）求幂级数
的收敛域及和函数．
【解析】因
当
时，因级数
设
，所以收敛半径
．
及
发散，故收敛域为
．
其中
所以 【例题】（12 年，数学一）求幂级数
的收敛域及和函数．
【解析】因 所以收敛半径
当
时，级数
记
发散，所以收敛域为 ，则
其中
且
，所以
【例题】（87 年，数学一/数学二）求幂级数
的收敛域，并求其和函数．
【解析】记 知原级数在开区间
，有 内每一点都收敛．
【例题】（90 年，数学一/数学二）设 为常数，则级数 （A）绝对收敛． （B）条件收敛． （C）发散． 关． 【答案】（C）．
． （D）收敛性与 的取值有
【解析】因为
，而级数
收敛，所以由比较判别法得
绝对收
敛；又
发散，因此，级数
发散．故选（C）．
【例题】（94 年，数学一/数学二/数学四）
设常数
，且级数
. （3）
.
（1）
，因
收敛，由比较判别法，原级数收敛.
（2） 敛.
（3）
，因
收敛，由比较判别法，原级数收
，因
收敛，由比较判别法，原级数收敛.
【交错级数】
称为交错级数.
【莱布尼茨判别法（交错级数收敛性的判别法）】
交错级数 若满足
，
且
，则此交错级数是收敛的．
【任意项级数的绝对收敛与条件收敛】【绝对收敛与收敛的关系】
【例题】（92 年，数学四）级数
【答案】
．
的收敛域为
．
【解析】由于 由正项级数的根植判别法，当
时，即
， ，幂级数
绝对收
敛，当
时，即
，幂级数
发散．故收敛区间为
．
当
时，级数
发散，当
时， 发散，故级数的收敛域为
．
【例题】（97 年，数学一）
设幂级数 【答案】
的收敛半径为 ，则幂级数 ．
的收敛区间为
．
【解析】幂级数
与
都收敛，因此应选（B）而排除（D）．
【综合题】（02 年，数学一）
设
，且
，则级数
．
（A）发散． （C）条件收敛． 【答案】（C）． 【解析】原级数的前 项部分和
（B）绝对收敛． （D）收敛性根据所给条件不能判定．
．
由
，故
．
所以原级数收敛．于是排除（A），（D）．再考查级数
．
当 充分大时
，级数为正项级数．用比较判别法，
（A）发散．
（C）绝对收敛． 【答案】（C）．
收敛，则级数 （B）条件收敛． （D）收敛性与 有关．
【解析】由于
，
又级数
与
均收敛，所以由级数的运算性质得级数
收敛，
由正项级数的比较判别法，得级数
绝对收敛．故选（C）．
【例题】（03 年，数学三）
设
，则下列命题正确的是 ．
（A）若
条件收敛，则
与
都收敛．
时发散．
，当
时收敛；当
时发散．
【例题】判断下列级数的敛散性.
（1）
.（2）
.（3）
.（4）
.
【解析】（1） （2）
，而级数
发散，故原级数发散.
，由比值判别法知，原级数收敛.
（3）
，由根值判别法知，原级数收敛.
（4）
，
收敛，由比较判别法知，原级数收敛.
【例题】判断下列级数的敛散性.
（1）
.
（2）
.
（3）
.
（4）
.
（5）
. （6）
.
【解析】（1）
，由比值判别法，原级数收敛.
（2） （3）
（4）设
，
，由比值判别法，原级数收敛. ，由根值判别法，原级数发散.
，因
收敛，故原级数收敛.
（5）
，因
发散，故原级数发散.
（6）
，由级数收敛的必要条件，知原级数发散.
【例题】判断下列级数的敛散性.
（1） 【解析】
.（2）
【解析 2】由
收敛知，
亦收敛．又由级数的性质知，
收敛，故
收敛，故选（D）．
【综合题】判断级数
的敛散性.
【解析】因
发散，
又因
，
由莱布尼兹判别法知级数 故原级数发散.
是收敛的，而级数
是发散的.
【注】
虽然是交错级数，但是不满足莱布尼兹判别法的条件（通项不
单调），不能用莱布尼兹判别法判断敛散性，将其化为简单级数的代数和，再利用级数的
第七章 无穷级数
【常数项级数的收敛和发散的概念】【级数部分和的概念】
设有数列 ，则称 ,称为级数部分和.
为无穷级数.它的前 项和
如果部分和数列 有极限，即
，则称级数
收敛，其极限值 称为
级数的和，记为
．若
不存在，则称级数
是发散的．
【级数收敛的充要条件】 级数
是收敛的充要条件是
.
【级数收敛的必要条件】 若级数
【正项级数收敛性的比较判别法、比值判别法和根值判别法】
（1）正项级数
收敛的充要条件是其前 项和数列 有上界．
（2）（比较判别法）设
均为正项级数，且
．如果
收敛，则
收敛；如果
发散，则
发散．
（3）（比较判别法的极限形式）设 则：
均为正项级数
，且
，
当
时，两个级数同时收敛或发散；
当 ，且
收敛时，
收敛；
当
，且
发散时，
发散．
（4）（比值判别法）对于正项级数
，若有
，则
时，级数
收
敛；
时，级数
发散；
时，级数
敛散性不确定.
（5）（根值判别法）对于正项级数
，若有
，则
时，级数
收
敛；
时，级数
发散；
时，级数
敛散性不确定.
【几何级数与 级数收敛与发散的条件】
（1）几何级数
当
时，收敛，和
（2） 级数
级数
，
；当
时，
发散．
，当
时收敛；当
．
【解析 2】由题设得
，得
解得
，
，所以
的收敛半径为 ．
因为 所以 从而
， ，
因为 故
，所以 ．
【综合题】已知
且对任何正整数满足
时，幂级数
收敛，并求其和函数.
． 证明当
【解析】由题意
从而
所以幂级数的收敛半径为
.故当
时，幂级数
收敛.
设
，则
.
即
，
解一阶线性微分方程得 级数的和函数为
由条件
解得
故幂
【综合题】求幂级数 【解析】收敛域为
，
即
．
比较等式两边 的同次幂系数，推得
从而
，
．
从而
．
【综合题】（13 年，数学一）
设数列 满足条件： 的和函数． （Ⅰ）证明：
； （Ⅱ）求
的表达式．
是幂级数
【解析 1】（Ⅰ）由题设得
，所以
的收敛半径为 ．
因为
，所以
，
．
由于 （Ⅱ）齐次微分方程
，所以 的特征方程为
，故
．
，特征根为 和 ，通解为
．
由
所以
．
而
发散.原级数条件收敛，故选（C）．
【例题】（06 年，数学一/数学三）若级数
收敛，则级数 ．
（A）
收敛． （B）
．
【答案】（D）．
【解析 1】例证法：取
收敛． （C）
收敛．（D）
对于（A），
收敛，但
发散，（A）不成立.
对于（B），
发散，（B）不成立．
收敛
对于（C）
发散，（C）不成立．故选（D）．
收敛，则
．
【例题】判断下列级数的敛散性.
（1）
.（2）
.
【解析】（1）由于
，
.故原级数收敛. 【注】部分和 数列中的 是有限项，所以满足交换律和结合律.
（2）由于
，
，故原级数发散. 【级数的基本性质】
（1）若
，则
（ 为常数）也收敛，且其和为 ，即
．
（2）若
，则
也收敛，且其和为
，即
． （3）增加或去掉有限项，级数的敛散性不变． （4）收敛级数不改变各项次序可以任意加括号，不仅收敛性不变，且其和也不变． 【注】收敛级数满足结合律，不满足交换律.
运算性质进行判断.
【函数项级数及其收敛域】 设非空集合 是函数序列
中所有函数定义域的交集，则表达式
பைடு நூலகம்
称为函数项级数．若
，且函数项级数
收敛，则称点
收敛点，收敛点的全体组成集合
，称为收敛域．
为函数项级数的
【和函数的概念】对收敛域 中任意点 ，级数
有和，由此得到 的上的函数为函
数项级数的和函数，记为
．
【幂级数及其收敛半径、收敛区间（指开区间）和收敛域】
【绝对收敛】若
收敛，则称
为绝对收敛级数，此时级数
也收敛.
【条件收敛】若
收敛，但
【绝对收敛和条件收敛的性质】
发散，则称
为条件收敛级数．
（1）绝对收敛的级数一定收敛，即 （2）绝对收敛满足交换律和结合律.
收敛，则
也收敛.
（3）若级数
条件收敛，则
和
都发散.
【例题】判断下列级数的敛散性，若收敛，指明是绝对收敛还是条件收敛.