2020届福建省晋江市(安溪一中、养正中学、惠安一中、泉州实验中学四校)高三上学期期中考试数学(理试题

安溪一中、养正中学、惠安一中、泉州实验中学2019年高三上学期期中考试联考试卷考试科目：理科数学满分：150分时间：120分钟命题者：连春蔚审核者：苏灿强周彩瑛唐群海第Ⅰ卷（选择题共60分）一．选择题：每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若集合{121}Mx x =-<-≤,2{680}N x x x =-+<,则M N = ()A.（2,3]B.（2,3）C.[1,4）D.（1,4）2.已知i 为虚数单位，268iz i+=-，设z 是z 的共轭复数,则在复平面内z 对应的点位于()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限3."034"2<+-x x 的一个充分不必要条件是（）A.32<<x B41<<x C31<<x D42<<x 4.将曲线2sin(4)5y x π=+上的每个点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），得到的曲线的对称轴方程为()A.3()808k x k Z ππ=-+∈ B.3()202k x k Z ππ=+∈C.3()808k x k Z ππ=+∈ D.3()802k x k Z ππ=-+∈5.图中的4片叶子由曲线2y x =与曲线2y x =围成,则毎片叶子的面积为()A.16B.36C.13D.236.设等差数列}{n a 的前n 项和为S n ，若111-=a ，664-=+a a 则当S n 取最小值时，n 等于（）A ．6B ．7C ．8D ．97.设四边形ABCD 为平行四边形，4,6==AD AB ，若点N M ,满足,3MC BM =,2NC DN =则NM AM ⋅等于（）A．20B．15C．9D．68.已知数列}{n a 中，6321==a a ，，n n n a a a -=++12，，则2019a 等于（）．A．3B．3-C．6D．6-9.函数()()sin 2,02f x A x A πϕϕ⎛⎫=+≤> ⎪⎝⎭部分图象如图所示，且()()0f a f b ==，对不同的[]12,,x x a b ∈，若()()12f x f x =，有()123f x x +=，则（）A．()f x 在5,1212ππ⎛⎫-⎪⎝⎭上是减函数B．()f x 在5,1212ππ⎛⎫-⎪⎝⎭上是增函数C．()f x 在5,36ππ⎛⎫⎪⎝⎭上是减函数D．()f x 在5,36ππ⎛⎫⎪⎝⎭上是增函数10.已知定义在上的函数()f x 满足()(2)f x f x =-，且()f x 的图象关于点（3,0）对称，当12x ≤≤时,3()2log (43)f x x x =++，则1609()2f =()A.-4B.4C.-5D.511.若函数32()2(0)f x x ax a =-<在6,23a a +⎛⎫⎪⎝⎭上有最大值，则a 的取值范围为()A.[—4,0)B .(,4]-∞- C.[2,0)- D.(,2]-∞-12.用[]x 表示不超过x 的最大整数，例如[3]3=，[1.2]1=，[ 1.3]2-=-.已知数列{}n a 满足11a =，21n n n a a a +=+，则122016111[...]111a a a +++=+++()A．1B．2016C.2017D．0第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题:本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡相应位置.13.已知向量→→b a ，的夹角为0120，,且，2=a722=-b a ，则b =.14.若=+=-=+<<-<<)2cos(,33)24cos(,31)4cos(,02,20βαβπαπβππα则15.正项等比数列{}n a 中,存在两项,(,)m n a a m n N *∈使得2116m n a a a =,且7652a a a =+，则125m n+的最小值为16.已知函数()f x 的定义域为(0,)+∞，其导函数/()f x 满足/()()()1xf x f x xf x x +<+对(0,)x ∈+∞恒成立，且(1)2f =，则不等式(1)(1)2x f x x ++<+的解集是。

三．解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且2n S n =，数列{}n b 为等比数列，且11b =，48b =．（Ⅰ）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式；（Ⅱ）若数列{}n c 满足n n b c a =，求数列{}n c 的前n 项和n T ．18.在ABC ∆中，,,a b c 分别是内角,,A B C 的对边，且满足cos 20cos B a bC c-++=．（Ⅰ）求角C 的值；（Ⅱ）若2b =，AB 边上的中线CD =，求ABC ∆的面积．19.如图1,在等腰直角三角形ABC 中,90A ∠=︒,6BC =,,D E 分别是,AC AB 上的点,CD BE =O 为BC 的中点.将ADE ∆沿DE 折起,得到如图2所示的四棱锥A BCDE '-,其中A O '=.(Ⅰ)证明:A O '⊥平面BCDE ;(Ⅱ)求二面角A CD B '--的平面角的余弦值..CO BDEA CDOBE'A 图1图220.在平面直角坐标系xOy 中，椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的离心率为12，点3(1,2M 在椭圆C 上.（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）已知()2,0P -与()2,0Q 为平面内的两个定点，过点()1,0的直线l 与椭圆C 交于,A B 两点，求四边形APBQ 面积的最大值.21.已知函数2()2cos f x x ax b x =++在点(,())22f ππ处的切线方程为34y π=．（Ⅰ）求a ，b 的值，并讨论()f x 在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的增减性；（Ⅱ）若12()()f x f x =，且120x x π<<<，求证：12'()02x x f +<．（参考公式：cos cos 2sinsin22θϕθϕθϕ+--=-）选考题：共10分，请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分22选修4-4:坐标系与参数方程选讲在直角坐标系xOy 中，曲线C1的参数方程为ααα(sin cos 2⎩⎨⎧=+=r y r x 为参数)，以坐标原点O 为极点，以x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为3)6sin(=+πθρ，且曲线C1与C2只有一个公共点.（Ⅰ）求曲线C1的极坐标方程；（Ⅱ）己知曲线C1上两点A ，B 满足4π=∠AOB ，求AOB ∆面积的最大值.23.选修4-5:不等式选讲已知函数()()2231f x a x a x =+--.（Ⅰ）当2a =时，求不等式()2f x >的解集；（Ⅱ）若对一切实数x 都有()2f x ≤，求实数a 的取值范围.C DOx E'A 向量法图yzB2019年高三上学期期中考试联考试卷理科数学参考答案一．选择题CDABCACABCBD二．填空题29356>x 三，解答题17..解：（Ⅰ）∵数列{}n a 的前n 项和2n S n =，∴当2n ≥时，221(1)21n n n a S S n n n -=-=--=-．……………2分当1n =时，111a S ==满足上式，故21n a n =-（*n N ∈）．……………4分又数列{}n b 为等比数列，设公比为q ，∵11b =，3418b b q ==，∴2q =．……………5分∴12n n b -=（*n N ∈）．……………7分（Ⅱ）2121n n n b n c a b ==-=-．……………9分123n nT c c c c =++++L 12(21)(21)(21)n=-+-++-L 12(222)nn =+++-L 2(12)12nn -=--．所以122n n T n +=--．……………12分18.解：()cos 210cos B a bC c-++=，由正弦定理得：cos 2sin sin 0cos sin B A BC C-++=，...........3分即()cos sin cos 2sin sin 0B C C A B ⋅+-+=，从而()sin 2sin cos 0B C A C +-=，即：sin 2sin cos 0A A C -=，...........6分又ABC 中，sin 0A >，故1cos 2C =，得3C π=...........7分()2由()12CD CA CB =+ ，...........9分得：()2213222cos604a a =++⨯⨯⨯ ，从而2a =或4(a=-舍)，...........11分故11sin 22sin6022ABC S ab C ==⨯⨯⨯= (12)分19.(Ⅰ)在图1中,易得3,OC AC AD===连结,ODOE ,在OCD ∆中,由余弦定理可得OD=……1分由翻折不变性可知A D '=,所以222A O OD A D ''+=,所以A O OD '⊥,……2分理可证A O OE '⊥,……3分又OD OE O = ,……4分所以A O '⊥平面BCDE .……5分(Ⅱ)向量法:以O 点为原点,建立空间直角坐标系O xyz -如图所示,……6分则(A ',()0,3,0C -,()1,2,0D -所以(CA '= ,(1,DA '=-设(),,n x y z =为平面A CD '的法向量,则00n CA n DA ⎧'⋅=⎪⎨'⋅=⎪⎩,即3020y x y ⎧+=⎪⎨-++=⎪⎩,解得y x z =-⎧⎪⎨=⎪⎩,令1x =,得(1,n =- ……9分由(Ⅰ)知,(OA '=为平面CDB 的一个法向量,……11分所以cos ,5n OA n OA n OA '⋅'===',……12分20（1）解：（1）∵12c a =，∴2a c =，..........1分椭圆的方程为2222143x y c c +=，将31,2⎛⎫ ⎪⎝⎭代入得22191412c c +=，∴21c =，..........3分∴椭圆的方程为22143x y +=．..........4分（2）设l 的方程为1x my =+，联立221,431,x y x my ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩消去x ，得()2234690m y my ++-=，设点()11,A x y ，()22,B x y ，有122634m y y m -+=+，122934y y m -=+，..........6分有()2212134m AB m +==+，点P()2,0-到直线l()2,0Q 到直线l从而四边形APBQ 的面积()222121123434m S m m +=⨯=++（或1212S PQ y y =-）..........8分令t =，1t ≥，有22431t S t =+2413t t =+，设函数()13f t t t =+，()21'30f t t=->，所以()f t 在[)1,+∞上单调递增，有134t t+≥，故2242461313t S t t t==≤++，..........12分所以当1t =，即0m =时，四边形APBQ 面积的最大值为6．21.解：（Ⅰ）由题意知'()22sin f x ax b x =+-，∴'()0,23(),24f f πππ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩解得1,1,a b π⎧=-⎪⎨⎪=⎩........2分故21()2cos f x x x x π=-+，2'()2sin f x x x π=--．当02x π≤≤时，'()f x 为减函数，且'()02f π=，∴'()0f x >，()f x 为增函数........4分（Ⅱ）由12()()f x f x =，得221211222cos 2cos x x x x x x ππ-+=-+，所以1212121212()()()cos cos 0x x x x x x x x π--+-+-=，两边同除以12x x -，得121212cos cos 12()0x x x x x x π--++=-，........6分所以121212122sinsin 1222()0x x x xx x x x π+---++=-,令1202x x x +=，得1200122sin sin2220x x x x x x π---=-，得1200122sin sin 222x xx x x x π--=-．........8分因为2'()2sin xf x x π=--，所以121200000012122sin sinsin 222'()2sin sin sin (1)2x x x xx f x x x x x x x x x π--=--=-=⋅---，......10分因为12211221sinsin 2222x x x xx x x x --=--，又21(0,)22x x π-∈，易知21210sin 22x x x x --<<，所以1212sin 2102x x x x --<-，又0(0,)x π∈，所以0sin 0x >，故0'()0f x <，得12'()02x x f +<．......12分22．解：(1)曲线2C的极坐标方程为1sin(sin cos 3622πρθρθρθ+=+=，将sin ,cos y x ρθρθ==代入上式可得2C直角坐标方程为1322y x +=，即60x +-=，所以曲线2C 为直线．------------------------2分又曲线1C 是圆心为(2,0),半径为||r 的圆，因为圆1C 与直线1C 恰有一个公共点，所以|26|||22r -==，------------3分所以圆1C 的普通方程为2240x y x +-=，-----------4分把222,cos x y x ρρθ+==代入上式可得1C 的极坐标方程为24cos 0ρρθ-=，即4cos ρθ=.------------------------------------------5分(2)由题意可设()2121(,),0,0,4(),B A πθρρρθρ+>>，42(ππθ-∈-----------6分121||sin cos 2444MON S OA OB ππρρθθ∆⎛⎫===+ ⎪⎝⎭uu r uu u r ‖--------7分()21cos 2sin 24cos sin cos 422θθθθθ+⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭224πθ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭------------------------------------------------8分所以当cos 214πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭时，AOB ∆的面积最大，且最大值为2+.-------10分23.（1）当2a =时，不等式()2f x >即为412x x +->，当1x ≥时，34125x x x +->⇔>，故1x ≥；-------2分当01x ≤<时，14123x x x -+>⇔>，故113x <<；-------3分当0x <时，14125x x x --+>⇔<-.-------4分综上，不等式()2f x >的解集为11,,53⎛⎫⎛⎫-∞-⋃+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；.-------5分（2）由题意可得()max 2f x ≤.当1x ≥时，()()22332f x a a x a =+-+-；当0x ≤时，()()22332f x a a x a =-+--+，因为()max f x 存在，故223031a a a +-≤⇔-≤≤.-------7分当01x <<时，()()22323f a a x x a =-++-，故()()()2max0232212f a f x f a ⎧=-≤⎪≤⇔⎨=≤⎪⎩，求得a ≤≤-------9分综上实数a的取值范围是⎡⎤⎣⎦..-------10分。