初中一元二次函数教(学)案
人教版九年级上数学第22章二次函数22.2二次函数与一元二次方程(教案)
3.掌握一元二次方程的多种解法，培养问题解决和数学运算的能力。
4.将二次函数和一元二次方程应用于实际问题，增强数学建模和数学应用的意识。
5.在小组讨论和问题解决过程中，培养合作交流、批判性思维和创新意识。
三、教学难点与重点
1.教学重点
-二次函数与一元二次方程的关系：理解二次函数图像与一元二次方程解的关系，掌握二次函数标准形式及其图像特征。
-举例：求解x²-5x+6=0，展示不同解法并比较各自优劣。
-实际问题中的应用：学会将实际问题抽象为二次函数与一元二次方程模型，解决最值、交点等问题。
-举例：抛物线与直线的交点问题在实际情境中的应用，如物体抛掷的最高点问题。
2.教学难点
-图像与方程关系的理解：学生往往难以将二次函数图像与一元二次方程的解直观地联系起来。
在实践活动中，学生们的分组讨论进行得相当积极。他们能够将所学的理论知识应用到解决实际问题中去，这让我感到很欣慰。然而，我也观察到，在将实际问题抽象为数学模型的过程中，一些学生仍然感到困难。这告诉我，需要在后续的教学中加强对数学建模能力的培养。
在小组讨论环节，我尝试扮演了一个引导者和启发者的角色，鼓励学生们提出自己的观点和问题。我注意到，当他们被鼓励去探索和发现时，他们的思考变得更加深入。不过，我也发现时间管理上存在一些问题，有时候讨论可能会拖沓，影响到了课堂的整体进度。
3.成果分享：每个小组将选择一名代表来分享他们的讨论成果。这些成果将被记录在黑板上或投影仪上，以便全班都能看到。
（五）总结回顾（用时5分钟）
今天的学习，我们了解了二次函数与一元二次方程的基本概念、重要性和应用。同时，我们也通过实践活动和小组讨论加深了对这些知识点的理解。我希望大家能够掌握这些知识点，并在日常生活中灵活运用。最后，如果有任何疑问或不明白的地方，请随时向我提问。
数学公式解一元二次方程的教学指导初中教案
（教学指导）初中数学公式解一元二次方程一元二次方程是中学数学中最基本、最重要的代数方程之一，它在数学中有着重要的地位，并且在生活中也有着广泛的应用。
在初中数学教育中，我们应该注重学生对一元二次方程的掌握，使其能够理解和运用这个数学公式。
一、教学目标1、掌握一元二次方程的概念、方法和解法；2、掌握二次方程一般式的化简方法和特殊情况的解法；3、学会掌握二次函数的图像、性质及应用；4、积累解题经验，提高解题能力。
二、教学难点1、学生对一元二次方程基本概念的掌握能力；2、二次方程一般式的化简方法和解法；3、二次函数的图像、性质及应用。
三、教学重点1、学生对一元二次方程基本概念和方法的掌握；2、学生对二次方程一般式及特殊情况的解法掌握；3、学生对二次函数的图像、性质及应用的理解和掌握。
四、教学方法1、结合具体问题，进行实例讲解；2、注重举一反三，锻炼学生解决问题的能力；3、通过考试题评价学生的学习效果。
五、教学内容及教学步骤1、一元二次方程的基本概念和方法（1）方程的定义我们先来了解一下什么是方程。
方程是指含有未知数的等式。
任意一条等式都可以表示成方程。
（2）一元二次方程的定义一元二次方程是二次项系数不为0，且仅有一个未知数的一次方程，它的一般形式如下：ax² + bx + c = 0其中，a、b、c为已知常数，a ≠ 0，x为未知数。
（3）解一元二次方程的基本方法解一元二次方程的基本方法就是运用一系列公式的推导和运用。
其中，求解过程中涉及的常见公式有：①求平方值公式：（a + b）² = a² + 2ab + b²（a - b）² = a² - 2ab + b²②因式分解公式：x² - y² = (x + y)(x - y)ax² + bx + c = a(x - x₁)(x - x₂)ax² + bx + c = a(x + x₁)(x + x₂)二次方程求根公式：当ax²+bx+c=0（a≠0）时，其根公式如下：教学步骤：1）第一步：由所给方程确认a、b、c的值。
初中数学教案模板一元二次方程(优秀7篇)
初中数学教案模板一元二次方程（优秀7篇）（经典版）编制人：__________________审核人：__________________审批人：__________________编制单位：__________________编制时间：____年____月____日序言下载提示：该文档是本店铺精心编制而成的，希望大家下载后，能够帮助大家解决实际问题。
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初中数学二次函数教案(5篇)_1
初中数学二次函数教案（5篇）学校数学二次函数教案篇1一、说课内容：人教版九班级数学下册的二次函数的概念及相关习题二、教材分析：1、教材的地位和作用这节课是在同学已经学习了一次函数、正比例函数、反比例函数的基础上，来学习二次函数的概念。
二次函数是学校阶段讨论的最终一个详细的函数，也是最重要的，在历年来的中考题中占有较大比例。
同时，二次函数和以前学过的一元二次方程、一元二次不等式有着亲密的联系。
进一步学习二次函数将为它们的解法供应新的方法和途径，并使同学更为深刻的理解数形结合的重要思想。
而本节课的二次函数的概念是学习二次函数的基础，是为后来学习二次函数的图象做铺垫。
所以这节课在整个教材中具有承上启下的重要作用。
2、教学目标和要求：(1)学问与技能：使同学理解二次函数的概念，把握依据实际问题列出二次函数关系式的方法，并了解如何依据实际问题确定自变量的取值范围。
(2)过程与方法：复习旧知，通过实际问题的引入，经受二次函数概念的探究过程，提高同学解决问题的力量.(3)情感、态度与价值观：通过观看、操作、沟通归纳等数学活动加深对二次函数概念的理解，进展同学的数学思维，增加学好数学的愿望与信念.3、教学重点：对二次函数概念的理解。
4、教学难点：由实际问题确定函数解析式和确定自变量的取值范围。
三、教法学法设计：1、从创设情境入手，通过学问再现，孕伏教学过程2、从同学活动动身，通过以旧引新，顺势教学过程3、利用探究、讨论手段，通过思维深化，领悟教学过程四、教学过程：(一)复习提问1.什么叫函数?我们之前学过了那些函数?(一次函数，正比例函数，反比例函数)2.它们的形式是怎样的?(y=kx+b，ky=kx ,ky= , k0)3.一次函数(y=kx+b)的自变量是什么?函数是什么?常量是什么?为什么要有k0的条件? k值对函数性质有什么影响?【设计意图】复习这些问题是为了关心同学弄清自变量、函数、常量等概念，加深对函数定义的理解.强调k0的条件，以备与二次函数中的a进行比较.(二)引入新课函数是讨论两个变量在某变化过程中的相互关系，我们已学过正比例函数，反比例函数和一次函数。
一元二次方程优秀教案
一元二次方程优秀教案一元二次方程是初中数学的主要内容，在初中代数中占重要地位。
学生积极动手、动脑、动口为主线来完成。
在教学中渗透类比化归等数学思想，让学生充分观察、体验，同时营造轻松愉快的学习氛围，以此激发学生的学习兴趣并渗透环保内容。
以下是小编整理的关于一元二次方程教案，欢迎查阅!一元二次方程教案1教学目标1、知识与能力目标：要求学生会根据实际问题列出一元二次方程，体会方程的模型思想，培养学生归纳、分析的能力。
2、过程与方法目标：引导学生分析实际问题中的数量关系，回顾一元一次方程的概念，组织学生讨论，让学生自己抽象出一元二次方程的概念。
3.、情感、态度与价值观：通过数学建模的分析、思考过程，激发学生学数学的兴趣，体会做数学的快乐，培养用数学的意识并与校园绿化相结合。
教学重点、难点教学重点：通过实际问题模型建立一元二次方程的概念,认识一元二次方程一般形式.2。
难点:通过实际问题，建立一元二次方程的数学模型，•再由一元一次方程的概念迁移到一元二次方程的概念。
教学过程：(一)创设情景，导入新课问题一:学校有一块面积为900平方米的长方形绿地,并且长比宽多10米,则绿地的长和宽为多少分析：设长方形绿地的宽为x米，则列方程，整理可得。
问题二：有一块矩形绿化带，长100cm,宽50cm，在它的四角各栽种一个同样的正方形花坛，如果去掉四周矩形的底面积为3600cm2,那么四周花坛面积是多大的正方形分析：设长方形绿地的宽为x米，则列方程，整理可得。
问题三：要组织一次环保竞赛，参加的每两个班之间都要比赛一场。
根据场地和时间等条件，赛程计划安排7天，每天安排4场比赛，比赛组织者应邀请多少个班参赛【设计意图】因为数学来源与生活，所以以学生的实际生活背景为素材创设情景，易于被学生接受、感知。
同时帮助学生从实际问题中提炼出数学问题，初步培养学生的空间概念和抽象能力。
情景分析中学生自然会想到用方程来解决问题，但所列的方程不是以前学过的，从而激发学生的求知欲望，顺利地进入新课，并激发学生环保意识。
初中数学初三数学上册《二次函数与一元二次方程》教案、教学设计
在本章节的教学中，我们需要面对的是初三学生，他们在前两年的数学学习中，已经积累了一定的数学基础，掌握了函数、一元一次方程等基本知识。然而，二次函数与一元二次方程作为数学知识的一个难点，对学生而言，理解和运用上可能存在一定困难。
学生在学习过程中可能出现以下情况：对二次函数图像特征的理解不够深入，对一元二次方程求解方法的掌握不够熟练，以及在解决实际问题时不能灵活运用所学知识。因此，在教学过程中，我们要关注以下几点：
（3）鼓励学生进行合作学习，培养学生的团队协作能力和交流表达能力。
3.教学步骤：
（1）导入新课：通过生活中的实际问题，引出二次函数与一元二次方程的概念。
（2）探究新知：引导学生观察二次函数的图像，总结图像特征；教授一元二次方程的求解方法，并分析各种求解方法的适用条件。
（3）巩固练习：设计不同难度的练习题，让学生在练习中巩固所学知识，提高解题能力。
（2）一元二次方程的求解方法有哪些？它们之间的优缺点是什么？
2.小组汇报
各小组汇报讨论成果，教师点评并总结。
（四）课堂练习
1.设计不同难度的练习题，让学生独立完成，巩固所学知识。
（1）求解给定二次函数的顶点、开口方向和对称轴。
（2）利用一元二次方程求解实际问题的最优解。
2.教师巡回指导，解答学生在练习过程中遇到的问题。
3.鼓励学生分组讨论和合作学习，培养学生的团队协作能力和交流表达能力。
4.通过一元二次方程的求解过程，让学生体会数学的转化思想，培养学生解决问题的策略和方法。
（三）情感态度与价值观
1.激发学生对数学学科的兴趣，培养学生积极主动学习的态度。
2.引导学生体会数学在实际生活中的应用价值，增强学生的数学意识。
1.充分了解学生的知识储备，针对学生的薄弱环节进行有针对性的教学。
2023最新-一元二次方程教案(优秀7篇)
一元二次方程教案（优秀7篇）作为一名默默奉献的教育工作者，时常会需要准备好教案，教案是备课向课堂教学转化的关节点。
优秀的教案都具备一些什么特点呢？牛牛范文为您带来了7篇一元二次方程教案，如果对您有一些参考与帮助，请分享给最好的朋友。
九年级数学《一元二次方程》教案篇一一、教材分析：1、本章的主要内容：（1）一元二次方程的有关概念；（2）一元二次方程的解法，根的判别式及根与系数的关系；（3）实际问题与一元二次方程。
2、本章知识结构图：3、教学目标：（1）以分析实际问题中的等量关系并求解其中的未知数为背景，认识一元二次方程及其有关概念；（2）根据化归的思想，抓住“降次”这一基本策略，掌握配方法、直接开平法、公式法和因式分解法等一元二次方程的基本解法；（3）经历分析和解决实际问题的过程，体会一元二次方程的数学模型作用，进一步提高在实际问题中运用方程这种重要数学工具的基本能力。
4、本章的重点与难点本章学习的重点：一元二次方程的解法及应用一元二次方程解决实际问题。
难点：（1）分析方程的特点并根据方程的特点选择合适的解法；（2）实际背景问题的等量分析，设元列一元二次方程解应用题。
即建立一元二次方程模型解决实际问题，尽管已经有了运用一次方程（组）解应用问题的经验，但由于实际问题涉及的内容广泛，有的背景学生不熟悉，有的问题数量关系复杂，不易找出等量关系。
同时，还要根据实际问题的意义检验求得的结果是否合理。
二、教学中应注意的问题：1、重视一元二次方程与实际的联系，再次体现数学建模思想。
方程是刻画现实世界的有效数学模型，因而方程教学关注方程的建模过程。
教科书的第1节就是想通过多种实际问题的分析，经历模型化的过程，并在此基础上抽象出数学概念。
当然，在教学中除教科书第1节、第5节提供了大量的实际问题外，教师还应根据学生生活实际和认知水平，创设更为丰富、贴近学生的现实情景，并引导学生分析其中的数量关系，建立方程模型。
在经历多次这样的数学活动，使学生感受到方程与实际问题的联系，领会数学建模思想，增强学生学习数学的兴趣和应用意识，培养学生分析问题、解决问题的能力。
一元二次方程的相关教案【优秀3篇】
一元二次方程的相关教案【优秀3篇】元二次方程篇一[教材分析]中学阶段我们研究的多项式函数中有二次函数，研究的几何图形中有二次曲线。
因此一元二次方程便成为了方程中研究的重要内容。
一元二次方程有根与系数关系，求根公式向我们揭示了两根与系数间的密切关系，而根与系数还有更进一步的发现，这一发现在数学学科中具有极强的实用价值，本节内容既是代数式、一元一次方程和一元二次方程求根公式等知识的进一步深化，又蕴含有丰富的数学思想方法，也为学生们将来的学习打下了必要的基础。
[学生分析]进入了初二下半学期，随着年龄的增长以及实验几何向论证几何的逐步推进，学生们的逻辑推理能力已有了较大提高。
因此在学过了一元二次方程的解法后，自主探究其根与系数的关系是完全可能的。
再加上我所执教的学生，他们有着较强的认知力与求知欲，基于以上思考，我在设计中扩大了学生的智力参与度，也相对放大了知识探索的空间。
[教学目标]在学生探求一元二次方程根与系数关系的活动中，经历观察、分析、概括的过程以及“实践——认识——再实践——再认识”的过程，得出一元二次方程根与系数的关系。
能利用一元二次方程根与系数的关系检验两数是否为原方程的根；已知一根求另一根及系数。
理解数学思想，体会代数论证的方法，感受辩证唯物主义认识论的基本观点。
[教学重难点]发现并掌握一元二次方程根与系数的关系，包括知识从特殊到一般的发生发展过程[教学过程](一)复习导入请学生求解表格内的方程，完成解法的交流以及求根公式的复习，求根公式向我们揭示了两根与系数间的关系，那么一元二次方程根与系数间是否还有更深一层的联系呢？由此疑问，导入新课。
(二)探求新知数学学科中由数到式的结构编排，让我们想到了从两根运算上的最简组合：和差积商展开进一步研究。
初探新知中，我将学生们分成两组，分别对二次项系数为1 的一元二次方程两根进行和差积商的运算，之后将结果汇总展示，共同观察与系数的联系。
我在这些方程中安排了两个无理根方程。
一元二次方程的教案(必备3篇)
一元二次方程的教案（必备3篇）1.一元二次方程的教案第1篇一、教学目标知识与技能（1）理解一元二次方程的意义。
（2）能熟练地把一元二次方程整理成一般形式并能指出它的二次项系数，一次项系数及常数项。
过程与方法在分析、揭示实际问题的数量关系并把实际问题转化成数学模型（一元二次方程）的过程中，使学生感受方程是刻画现实世界数量关系的工具，增加对一元二次方程的感性认识。
情感、态度与价值观通过探索建立一元二次方程模型的过程，使学生积极参与数学学习活动，增进对方程的认识，发展分析问题、解决问题的能力。
二、教材分析：教学重点难点重点：经历建立一元二次方程模型的过程，掌握一元二次方程的一般形式。
难点：准确理解一元二次方程的意义。
三、教学方法创设情境——主体探究——合作交流——应用提高四、学案（1）预学检测3x-5=0是什么方程？一元一次方程的定义是怎样的？其一般形式是怎样的？五、教学过程（一）创设情境、导入新（1）自学本P2—P3并完成书本（2）请学生分别回答书本内容再（二）主体探究、合作交流（1）观察下列方程：（35-2x）2=9004x2-9=03y2-5y=7它们有什么共同点？它们分别含有几个未知数？它们的左边分别是未知数的几次几项式？（2）一元二次方程的概念与一般形式？如果一个方程通过移项可以使右边为0，而左边是只含一个未知数的二次多项式，那么这样的方程叫作一元二次方程，它的一般形式是ax2+bx+c=0（a、b、c是已知数a≠0），其中，a、b、c分别称为二次项系数、一次项系数和常数项，如x2-x=56(三)应用迁移、巩固提高例1：根据一元二次方程定义，判断下列方程是否为一元二次方程？为什么？x2-x=13x(x-1)=5(x+2)x2=(x-1)2例2：将方程3x(x-1)=5(x+2)化成一元二次方程的一般形式，并写出其中的二次项系数、一次项系数和常数项。
解：去括号得3x2-3x=5x+10移项，合并同类项，得一元二次方程的一般形式3x2-8x-10=0其中二次项系数为3，一次项系数为-8，常数项为-10.学生练习：书本P4练习（四）总结反思拓展升华总结1.一元二次方程的定义是怎样的？2.一元二次方程的一般形式为ax2+bx+c=0（a≠0），一元二次方程的项及系数都是根据一般式定义的，这与多项式中的项、次数及其系数的定义是一致的。
九年级数学《一元二次方程》教案(5篇)
九年级数学《一元二次方程》教案（5篇）元二次方程教案篇一教学目标掌握二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴的交点个数与一元二次方程ax2+bx+c=0的解的情况之间的关系。
重点、难点：二次函数y=ax2+bx+c的图象与一元二次方程ax2+bx+c=0的根之间关系的探索。
教学过程：一、情境创设一次函数y=x+2的图象与x轴的交点坐标问题1.任意一次函数的图象与x轴有几个交点？问题2.猜想二次函数图象与x轴可能会有几个交点？可以借助什么来研究？二、探索活动活动一观察在直角坐标系中任意取三点A、B、C，测出它们的纵坐标，分别记作a、b、c，以a、b、c为系数绘制二次函数y=ax2+bx+c的图象，观察它与x轴交点数量的情况；任意改变a、b、c值后，观察交点数量变化情况。
活动二观察与探索如图1，观察二次函数y=x2-x-6的图象，回答问题:（1)图象与x轴的交点的坐标为A（，），B(，）（2）当x=时，函数值y=0。
（3）求方程x2-x-6=0的解。
（4）方程x2-x-6=0的解和交点坐标有何关系？活动三猜想和归纳（1）你能说出函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交点个数的其它情况吗？猜想交点个数和方程ax2+bx+c=0的根的个数有何关系。
（2）一元二次方程ax2+bx+c=0的根的个数由什么来判断？这样我们可以把二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交点、一元二次方程ax2+bx+c=0的实数根和根的判别式三者联系起来。
三、例题分析例1.不画图象，判断下列函数与x轴交点情况。
(1)y=x2-10x+25(2)y=3x2-4x+2(3)y=-2x2+3x-1例2.已知二次函数y=mx2+x-1（1）当m为何值时，图象与x轴有两个交点（2）当m为何值时，图象与x轴有一个交点？（3）当m为何值时，图象与x轴无交点？四、拓展练习1、如图2，二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交于A、B。
（1）请写出方程ax2+bx+c=0的根（2）列举一个二次函数，使其图象与x轴交于(1,0)和(4,0)，且适合这个图象。
一元二次函数讲解教案2篇
一元二次函数讲解教案一元二次函数讲解教案精选2篇（一）教案：一元二次函数的讲解目标：1. 学生能够理解一元二次函数的基本概念。
2. 学生能够识别一元二次函数的标准形式和一般形式，并进行相互转化。
3. 学生能够画出一元二次函数的图像，并能够提取关键信息。
4. 学生能够解一元二次方程，并能够应用一元二次函数解决实际问题。
教学过程：一、导入（5分钟）通过简单的问题引入一元二次函数的概念：- 请举一个实际生活中的例子，可以用一元二次函数来描述的。
- 你知道一元二次函数和一次函数的区别吗？二、概念讲解（10分钟）1. 定义一元二次函数：y = ax^2 + bx + c。
其中a、b、c为常数，并且a ≠ 0。
2. 一元二次函数的图像呈现抛物线的形状。
3. 标准形式和一般形式的区别：- 标准形式：y = a(x - h)^2 + k。
其中(h, k)为顶点坐标。
- 一般形式：y = ax^2 + bx + c。
4. 标准形式和一般形式的转化方法。
三、画图和提取信息（15分钟）1. 根据给定的一元二次函数，画出抛物线的图像。
2. 从图像中提取关键信息：开口方向、顶点坐标、对称轴、x轴与y轴的交点等。
四、方程求解（15分钟）1. 什么是一元二次方程？如何解一元二次方程？2. 通过图像求解一元二次方程的根。
3. 通过公式求解一元二次方程的根。
4. 实际问题的应用案例。
五、练习与巩固（15分钟）1. 练习解一元二次方程：给定一元二次函数的图像，求解相应的方程。
2. 练习画图和提取信息：给定一元二次函数的一般形式，画出抛物线的图像，并提取关键信息。
3. 练习应用问题：通过一元二次函数解决实际问题。
六、总结与反思（5分钟）请学生总结今天学习的重点内容，并提出自己的疑问或观点。
七、课堂延伸可以引导学生进一步探究一元二次函数的性质，如开口方向、对称性等。
可以让学生自主寻找相关的性质与规律，并进行讨论和总结。
也可以通过拓展问题拓宽学生的思维，如给定一元二次函数的一般形式，求解其与坐标轴的交点等。
九年级数学： 第21章一元二次方程教学设计
《一元二次方程》教学设计教学课时建议：本小节新授课可分为两学时，其中第一学时主要学习一元二次方程概念及一元二次方程一般式及有关概念；第二课时着重学习一元二次方程根的概念；根据题意判定一个数是否是一元二次方程的根及其利用它们解决一些具体题目．具体的教学设计如下：一、教学目标知识技能：理解一元二次方程的概念,了解一元二次方程的一般形式ax2+bx+c=0（a≠0）,能分清二次项、一次项与常数项等概念.探索一元二次方程的解,培养估算意识和能力.数学思考：通过认识数学与人类生活的密切联系和对人类历史发展的作用，提高学生参加数学学习活动的积极性和好奇心．经历由具体问题抽象出一元二次方程的概念的过程，体会方程的模型思想，培养学生的归纳、分析能力．在探索和交流的活动中，体验与他人合作的重要性，激发学生对数学的热情及用数学的意识.问题解决：经历由具体问题抽象出一元二次方程的概念的过程,进一步体会方程是刻画现实世界的一个有效的数学模型.理解一元二次方程的概念.经历方程解得探索过程,增进对方程解得认识,发展估算意识和能力.情感态度：从生活实际中抽象出数学问题,让学生感受方程是刻画现实世界数量关系的工具,增加对一元二次方程的感性认识.通过师生的共同活动,激发学生探求知识的欲望,从而加强学生估算意识和能力的培养.二、重难点分析教学重点：一元二次方程的概念及一般形式.注意a≠0.探索一元二次方程的解,判断方程的解是否为实际问题的解.一元二次方程是中学数学的主要内容之一，在初中数学中占有重要地位.通过一元二次方程的学习，可以对已学过实数、一元一次方程、因式分解、二次根式等知识加以巩固，同时又是今后学习可化为一元二次方程的其它高元方程、一元二次不等式、二次函数等知识的基础.此外，学习一元二次方程对其它学科有重要意义.本节课是一元二次方程的概念，是通过丰富的实例，让学生建立一元二次方程，并通过观察归纳出一元二次方程的概念. 由实际问题列出的一元二次方程解出根后还要考虑这些根是否确定是实际问题的根．在突出重点时，主要让学生感受方程是刻画现实世界的有效数学模型.让学生真正经历模型化的过程，从而更好地理解方程的意义和作用，激发学生的学习兴趣.由学生探索交流，分析它们与一元一次方程的差异，从而概括它们的共同特点，归纳出一元二次方程概念.这既给学生提供了一个充分从事数学活动的机会，又体现了学生是数学学习的主人的理念.学生亲身经历了知识的形成过程，不但改变了以往学生死记硬背的学习方式，而且在教学活动中培养了学生自主探索、合作交流等良好的学习习惯.教学难点：一元二次方程的概念及一般形式.注意a≠0.实际问题转化成数学方程.一元二次方程的一般形式ax2+bx＋c＝0(a≠0)介绍了一元二次方程的项和系数，主要为后面公式法解一元二次方程打下基础.因此应要求学生逐渐熟悉各项的系数，在此会有一部分学生把项和项的系数的关系混淆，应加以强调.另外，应该特别注意一元二次方程中a≠0的条件，引导学生找出a≠0的理由，a≠0是一元二次方程一般形式的重要组成部分.对于任何一个一元二次方程，经过整理，都可以化成一般形式，二次项系数,一次项系数和常数项都是方程在一般形式下定义的，所以求一元二次方程的各项系数时，必须先将方程化为一般形式.第二个难点是找关系列方程，列方程符合学生的认知水平，但一元二次方程却高于学生以往的认知要求，对学生而言，这样的问题具有一定的挑战性，有利于激发学生列方程、建立数学模型的热情，为能积极投入到本堂课的学习中提供了保证.鉴于教材内容是在一元一次方程的基础上学习的，故选用类比方法突破难点，类比一元一次方程的有关知识来学习.通过实际问题所列出的方程，首先引导学生进行观察与思考，并用自己的语言进行描述，然后再组织学生进行交流.抽象出一元二次方程的概念，而不是让学生单纯记忆前人的研究成果，重要的是激发学生创造思维，引导学生去探究、发现结论的方法.这样方能培养出创造性人材，这正是实施创新教育的关键，在采用问答法时，特别注重不同难度的问题，提问不同层次的学生，面向全体，使基础差的学生也能有表现的机会，培养其自信心，激发其学习热情.有效地开发各层次学生的潜在智能，力求使每个学生都能在原有的基础上得到发展.同时通过课堂练习和课后作业，启发学生从书本知识回到社会实践，学以致用，落实教学目标.三、学习者学习特征分析方程是刻画现实世界中数量关系的一个有效的数学模型，随着数学应用日趋广泛，方程的工具作用显得愈发重要.七、八年级学生已经学习了一元一次方程、二元一次方程组、可化为一元一次方程的分式方程等，初步感受了方程的模型作用，并积累了一些利用方程解决实际问题的经验，解决了一些实际问题，但生活中的有关方程的模型并不都是线性的，另一种方程——一元二次方程在现实生活中具有同样广泛的应用.所以本节课应注意力求贴近学生的生活实际，又要关注数学本身的要求，让学生体会到一元二次方程是数学内部发展和实际问题解决的必然结果.因此在整个教学过程中教师应将一些具体问题及其解决贯穿其中，以给学生一个整体的感觉.四、教学过程（一）创设情境，引入新课（多媒体动画引入）用电脑演示下面的操作：一块长方形的薄钢片，在薄钢片的四个角上截去四个相同的小正方形，然后把四边折起来，就成为一个无盖的长方体盒子，演示完毕，让学生拿出事先准备好的长方形纸片和剪刀，实际操作一下刚才演示的过程．学生的实际操作，为解决下面的问题奠定基础，同时培养学生手、脑、眼并用的能力．（二）合作交流，探索新知1．观察图形，引入概念：引入1.现有一块长100cm，宽50cm的薄钢片，在每个角上截去四个相同的小正方形，然后做成底面积为3600cm2的无盖的长方体盒子，那么应该怎样求出截去的小正方形的边长？教师启发学生设未知数、列方程，经整理得到方程x2-75x+350=0，此方程不会解，说明所学知识不够用，需要学习新的知识，学了本章的知识，就可以解这个方程，从而解决上述问题．引入2.(视频)要组织一次排球比赛,参赛的每两个对之间都要比赛一场,根据场地和时间等条件.赛程计划安排7天.每天安排4场比赛.比赛组织者应邀请多少个队参赛?教师启发学生设未知数、列方程，经整理得到方程x2-x=56(设计意图:本环节通过两个现实生活问题，既让学生体会到了一元二次方程是数学内部发展和实际问题解决的必然结果，也让学生意识到了已有的方程知识已经不能满足学习的需要，必须进一步学习新知，使学生自然产生学习新知的心向.上述两个方程有什么共同特点?一元二次方程的概念让学生根据上面所找出的特点，描述什么样的方程是一元二次方程.（学生可以在讨论、交流的基础上自由发言；绝大部分学生能够比较准确的描述出一元二次方程的定义，部分学生没有说准确，在其他学生带动下也能够说出）在学生充分交流的基础上得到一元二次方程的定义：像这样的等号两边都是整式，只含有一个未知数（一元）.并且未知数的最高次数是2(二次)的方程,叫做一元二次方程.2.一元二次方程的一般形式.一般地，任何一个关于x 的一元二次方程，•经过整理，•都能化成如下形式ax 2+bx+c=0（a≠0）．这种形式叫做一元二次方程的一般形式．一个一元二次方程经过整理化成ax 2+bx+c=0（a ≠0）后，其中ax 2是二次项，a 是二次项系数；bx 是一次项，b 是一次项系数；c 是常数项．一般式中的“a ≠0”为什么？如果a ＝0，则ax 2+bx+c ＝0就不是一元二次方程，由此加深对一元二次方程的概念的理解．把方程3x （x-1）＝2（x ＋1）＋8化成一般形式，并写出二次项系数，一次项系数及常数项？教师边提问边引导，板书并规范步骤，深刻理解一元二次方程及一元二次方程的一般形式3. 一元二次方程根的概念学生活动：请同学独立完成下列问题．问题1．如图，一个长为10m 的梯子斜靠在墙上，梯子的顶端距地面的垂直距离为8m ，那么梯子的底端距墙多少米？设梯子底端距墙为xm ，那么，根据题意，可得方程为___________．整理，得_________．列表：问题2．一个面积为设苗圃的宽为xm ，则长为_______m ．根据题意，得________．整理，得________．列表：提问：（1）问题1中一元二次方程的解是多少？问题2•中一元二次方程的解是多少？（2）如果抛开实际问题，问题1中还有其它解吗？问题2呢？老师点评：（1）问题1中x=6是x 2-36=0的解，问题2中，x=10是x 2+2x-120=0的解．（2）如果抛开实际问题，问题（1）中还有x=-6的解；问题2中还有x=-12的解． 我们称：一元二次方程的解叫做一元二次方程的根．回过头来看：x 2-36=0有两个根，一个是6，另一个是－6，但-6不满足题意；同理，问题2中的x=-12的根也满足题意．因此，由实际问题列出方程并解得的根，并不一定是实际问题的根，还要考虑这些根是否确实是实际问题的解．1084.归纳学习结果：选择利用以下文本资源：一元二次方程的概念一元二次方程的一般形式一元二次方程的根对学生感兴趣的问题进行适当扩展.（三）应用新知，体验成功利用资源库中的“典型例题”进行教学.（四）课堂小结，体验收获（PPT 显示）这堂课你学会了哪些知识？有何体会？（学生小结）1．一元二次方程的概念；2．一元二次方程的一般形式；3．一元二次方程的根.（五）拓展延伸，布置作业（1）：下列方程是一元二次方程的是?①3x 2+7=0 ②ax 2+bx+c=0 ③（x-2）（x+5）=x 2-1 ④3x 2-5x=0(2)a 满足什么条件时，关于x 的方程a （x 2+x ）x-（x+1）是一元二次方程？(3) 如果x=1是方程ax 2+bx+3=0的一个根，求（a-b ）2+4ab 的值．五、学习评价（一）选择题1.下列方程不是整式方程的是( ) (A)121222=-x x . (B)0.2x 2-0.4x 3 =0. (C)3512=+x . （D ）212=+x x . 2.在下列方程中,一元二次方程的个数是( )①3x 2+7=0,②ax 2+bx+c=0,③(x+2)(x-3)=x 2-1,④x 2-x 5+4=0,⑤x 2-(2+1)x+2=0,⑥3x 2-x4+6=0 (A)1个. (B)2个. (C)3个. （D ）4个.3.关于x 的一元二次方程3x 2=5x-2的二次项系数,一次项和常数项,下列说法完全正确的是( )(A)3,-5,-2 . (B)3,-5x,2 .(C)3,5x,-2 . （D ）3,-5,2.4.一元二次方程-5x 2+x-3=0,把二次项系数变为正数,且使方程的根不变的是( )(A)5x 2-x+3=0 . (B)5x 2-x-3=0.(C)5x 2+x-3=0 . （D ）5x 2+x+3=0.5.已知关于x 的一元二次方程(m-1)x 2+x+m 2+2m-3=0的一个根为0,则m 的值为( )(A)1. (B)-3. (C)1和-3. （D ）不等于1的任何数.6.已知2y 2+y-2的值为3，则4y 2+2y+1值为（ ）(A)10. (B)11 . (C)10或11 . （D ）3或1.7.若一元二次方程ax 2+bx+c=0中,二次项系数,一次项系数,常数项之和为0,则方程必有一根是( )(A)0 . (B)1. (C)-1 . （D ）±1.8.若b(b ≠0)是方程x 2+cx+b=0的根,则b+c 的值为( )(A)1. (B)-1. (C)2. （D ）-2.9.如图所示,在正方形的铁片上,截去2cm 宽的一个长方形,余下的面积是48cm 2,则原来的正方形铁片的面积是( )(A)81cm 2 . (B)64cm 2 . (C)16cm 2 . （D ）8cm 2. 10.方程(m+2)m x +3mx+1=0是关于x 的一元二次方程,则( ) (A)m=±2 . (B)m=2. (C)m=-2. （D ）m ≠±2.（二）填空题11.一元二次方程的一般形式是 ,其中 是二次项,是一次项, 是常数项.12.若方程kx 2+x=3x 2+1是一元二次方程,则k 的取值范围是 .13.方程4x 2=3x-2+1的二次项是 ,一次项是 ,常数项是 . 14.已知关于x 的方程3)12(2=++-x m mx m 是一元二次方程,则m= .15.已知关于x 的方程x 2-(2m-1)x-(2m-1)=0有一根为0,则m= .16.关于x 的一元二次方程(a-1)x 2+a 2-1=0有一根为0,则a= .17.已知关于x 的方程ax 2+bx+c=0有一根为1,一根为-1,则a+b+c= ,a-b+c= .18.小王在超市用24元买了某种品牌的牛奶若干盆,过一段时间再去超市,发现这种牛奶进行让利销售,每盒让利0.4元,他用24元钱比上次多买2盒,若设这种牛奶原价为每盒x元,则可列方程为 ,若设后来买了y 盒,则依题意可列方程为19.某农场的粮食产量在两年内从3000吨增加到3630吨,若设平均每年的增长率为x,则所列方程为 .20.已知方程(x+a)(x-3)=0和方程x 2-2x-3=0的解完全相同,则a= .（三）解答题21.关于x 的方程(a-b)x 2+ax+b=0在什么条件下是一元一次方程?在什么条件下是一元二次方程?22.关于x 的方程(2m 2+m-3)x m+1+5x=13能是一元二次方程吗?为什么?23.当m 为何值时,关于x 的方程 (m 2-9)x 2+(m-3)x+2m=0,(1)是一元一次方程,(2)是一元二次方程.24.已知关于x 的方程(n-2)43-n x +3nx+3=0是一元二次方程,试求n 的值并写出这个一元二次方程.答案与提示（一）、选择题:1．D 2.C 3.B 4.A 5.B 6.B 7.B 8.B 9.B 10.B（二）、填空题:11.ax 2+bx+c=0(a ≠0) ax 2 bx c 12.k ≠3 13.4x 2,-3x,12- 14.m=4 15.21 16.a=-1 17.0,0 18.2244.024=--xx 4.024224=--y y 19.3000(1+x)2=3630 20.1（三）、解答题:21.要使此方程为一元一次方程,则:a-b=0,a ≠0 ∴a=b ≠0 要使此方程为一元二次方程,则必须a-b ≠0,即a ≠b.22.原方程化为:(2m 2-m-3)1+m x +5x-13=0 要使此方程为一元二次方程,则必须m+1=2,解得m=1,但当m=1时,二次项系数2m 2+m-3=2+1-3=0故此方程不可能为一元二次方程.23. (1)当m 2-9=0且m-3≠0时,此方程为一元二次方程,即m=-3时,此方程为一元一次方程.(2)当m 2-9≠0时,即m ≠±3时,此方程为一元二次方程.24.要使这个方程是一元二次方程,则必须∣3n-4∣=2,且n-2≠0,由∣3n-4∣=2得3n-4=2或-2 ∴n=2或32 由n-2≠0得n ≠2 ∴n=32 当n=32时,此方程是一元二次方程,此时方程为:032342=++-x x .。
《一元二次函数方程和不等式》教学设计
一元二次函数、方程和不等式（衔接课）一、教学设计1.教学内容解析在新一轮课程改革后，初中数学的教学要求有所降低，有些学习高中数学所必须具备的基础知识、基本方法和基本能力，在初中的教材中都进行了淡化处理，有的甚至不做要求，为高中的教学带来了不小的障碍.初高中衔接主要有以下三块内容：①一元二次不等式的解法，②二次函数在闭区间上的最值问题，③二次方程根的分布问题.这三部分内容是研究函数、方程、不等式问题的基础，也是解决直线与二次曲线位置关系问题的重要手段，同时又是培养函数与方程思想、数形结合思想、分类讨论思想以及等价转化思想的极好素材.对于一元二次不等式的解法现行教材安排在必修5，我认为调整到必修1之前，或是安排在《集合》之后，《函数》之前比较好. 对于“二次函数在闭区间上的最值问题”和“二次方程根的分布问题”可以安排在函数性质讲完之后讲解.本节课是在学生掌握一元一次方程、一元一次不等式的解法及一次函数图象的基础上，通过类比，提出一元二次不等式的解法，通过例1，让学生直观了解三个“二次”的联系，再通过例2，例3对三个“二次”的内在联系进行整合，三个例题，由浅入深，层层递进，既学会解题方法，又总结了规律，同时又渗透了数学思想.根据以上分析，本节课的教学重点确定为教学重点：一元二次函数、二次方程与一元二次不等式三者之间的关系及应用.2.学生学情诊断这是一节初、高中数学衔接课，本课前学生已经掌握了一次函数、二次函数的图象与性质（如开口方向、对称轴、顶点、单调性等），以及简单的一元二次不等式的解法，能利用函数图象解决较简单的方程和不等式问题，但对一类高中常见的含参的一元二次不等式、一元二次方程根的分布，以及一类恒成立问题往往缺少办法，学生的问题主要出现在题意的理解以及合理的等价转化上，他们往往会孤立地看待问题，不善于利用三个“二次”之间的内在联系灵活转化，不善于分类讨论，不善于归纳总结，对函数、方程、不等式的处理方法不完整，没有形成模式.根据以上分析，本节课的教学难点确定为教学难点：一元二次函数、二次方程与一元二次不等式三者之间的关系的应用.3.教学标准设置(1)掌握二次函数的图像和性质，理解二次函数的图像、一元二次方程及一元二次不等式之间的关系；(2)经历从不同角度寻求分析问题和解决问题方法的过程，体验解决问题方法的多样性，掌握分析问题和解决问题的一些基本方法；(3)通过用方程、不等式、函数表述数量关系的过程，体会模型思想，建立符号意识；(4)培养学生的识图、绘图、用图能力，提升学生图形直观想象的核心素养，体会数形结合思想及普遍联系的辩证观.4.教学策略分析在“教师是主导，学生是主体”理念指导下，本节课主要采用探究式教学方法，即“问题驱动——启发诱导——探索结果——拓展提高”，注重“引、导、思、探、归”的有机结合. 引导学生学习方式发生转变，采用激发兴趣，主动参与，积极体验，自主探究，总结提高的学习方式，形成师生互动的教学氛围，充分调动学生的学习积极性，为学生提供自主探究，自主学习的时间和空间.教法：（1）启发式教学，始终以问题驱动，引导学生在不断思考中获取知识.（2）互动式教学，体现在提问，例题教学，课堂练习，学生板演，小结等方面，引导学生积极参与.课堂教学突出以下三个方面：①导——教师引导，循序渐进；②动——师生互动，共同探索；③归——归纳总结，拓展提高.教学流程：二、课堂实录环节一：回顾回顾初中利用一次函数的图象解决过一次方程的根和一次不等式的解的问题.【设计意图】回顾初中三个“一次”问题，类比引出课题.环节二：整合【例1】已知二次函数322--=x x y ，（1）画出二次函数的草图；（2）方程0322=--x x 的解为 ； （3）不等式0322>--x x 的解集为 ；（4）不等式0322<--x x 的解集为 . 【设计意图】类比三个“一次”，让学生理解三个“二次”之间的内在联系.【例2】已知关于x 的不等式02<--a bx x 的解集为)3,1(-，求关于x 的不等式012>--bx ax 的解集.【设计意图】逆向变式，进一步实现一元二次函数、方程和不等式的整合.解法1：依题意，3,1是对应一元二次方程02=--a bx x 的两根，将1-=x 和3=x 代入方程得，⎪⎩⎪⎨⎧=-⋅-=--⋅--0330)1()1(22a b a b ，即⎩⎨⎧=-+=+-09301b a b a ， 解得⎩⎨⎧==23b a ，将它代入不等式012>--bx ax ，得01232>--x x ，又因为一元二次方程01232=--x x 的根为31-=x 或1=x ，所以01232>--x x 的解集为}131|{>-<x x x 或. 解法2：依题意，3,1是对应一元二次方程02=--a bx x 的两根，由韦达定理有⎩⎨⎧-=⨯-=+-a b 3131，解得⎩⎨⎧==23b a ， 将它代入不等式012>--bx ax ，得01232>--x x ，又因为一元二次方程01232=--x x 的根为31-=x 或。
二次函数数学教案(优秀6篇)
二次函数数学教案（优秀6篇）二次函数超级经典课件教案篇一1.使学生掌握用描点法画出函数y=ax2+bx+c的图象。
2.使学生掌握用图象或通过配方确定抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标。
3.让学生经历探索二次函数y=ax2+bx+c的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标以及性质的过程，理解二次函数y=ax2+bx+c的性质。
初中数学二次函数教案篇二教学准备教学目标1、知识与技能(1)进一步理解表达式y=Asin(ωx+φ)，掌握A、φ、ωx+φ的含义；(2)熟练掌握由的图象得到函数的图象的方法；(3)会由函数y=Asin(ωx+φ)的图像讨论其性质；(4)能解决一些综合性的问题。
2、过程与方法通过具体例题和学生练习，使学生能正确作出函数y=Asin(ωx+φ)的图像；并根据图像求解关系性质的问题；讲解例题，总结方法，巩固练习。
3、情感态度与价值观通过本节的学习，渗透数形结合的思想；通过学生的亲身实践，引发学生学习兴趣；创设问题情景，激发学生分析、探求的学习态度；让学生感受数学的严谨性，培养学生逻辑思维的缜密性。
教学重难点重点：函数y=Asin(ωx+φ)的图像，函数y=Asin(ωx+φ)的性质。
难点：各种性质的应用。
教学工具投影仪教学过程【创设情境，揭示课题】函数y=Asin(ωx+φ)的性质问题，是三角函数中的重要问题，是高中数学的重点内容，也是高考的热点，因为，函数y=Asin(ωx+φ)在我们的实际生活中可以找到很多模型，与我们的生活息息相关。
五、归纳整理，整体认识(1)请学生回顾本节课所学过的知识内容有哪些？所涉及到主要数学思想方法有那些？(2)在本节课的学习过程中，还有那些不太明白的地方，请向老师提出。
(3)你在这节课中的表现怎样？你的体会是什么？六、布置作业：习题1-7第4，5，6题。
课后小结归纳整理，整体认识(1)请学生回顾本节课所学过的知识内容有哪些？所涉及到主要数学思想方法有那些？(2)在本节课的学习过程中，还有那些不太明白的地方，请向老师提出。
二次函数教学设计(精选9篇)
二次函数教学设计（精选9篇）《二次函数》数学教案篇一教学目标：会用待定系数法求二次函数的解析式，能结合二次函数的图象掌握二次函数的性质，能较熟练地利用函数的性质解决函数与圆、三角形、四边形以及方程等知识相结合的综合题。
重点难点：重点；用待定系数法求函数的解析式、运用配方法确定二次函数的特征。
难点：会运用二次函数知识解决有关综合问题。
教学过程：一、例题精析，强化练习，剖析知识点用待定系数法确定二次函数解析式．例：根据下列条件，求出二次函数的解析式。
（1）抛物线y＝ax2＋bx＋c经过点（0，1），（1，3），（－1，1）三点。
（2）抛物线顶点P（－1，－8），且过点A（0，－6）。
（3）已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象过（3，0），（2，－3）两点，并且以x＝1为对称轴。
（4）已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象经过一次函数y＝－3/2x＋3的图象与x轴、y 轴的交点；且过（1，1），求这个二次函数解析式，并把它化为y＝a（x－h）2＋k的形式。
学生活动：学生小组讨论，题目中的四个小题应选择什么样的函数解析式？并让学生阐述解题方法。
教师归纳：二次函数解析式常用的有三种形式：（1）一般式：y＝ax2＋bx＋c（a≠0）（2）顶点式：y＝a（x－h）2＋k（a≠0）（3）两根式：y＝a（x－x1）（x－x2）（a≠0）当已知抛物线上任意三点时，通常设为一般式y＝ax2＋bx＋c形式。
当已知抛物线的顶点与抛物线上另一点时，通常设为顶点式y＝a（x－h）2＋k形式。
当已知抛物线与x轴的交点或交点横坐标时，通常设为两根式y＝a（x－x1）（x－x2）强化练习：已知二次函数的图象过点A（1，0）和B（2，1），且与y轴交点纵坐标为m。
（1）若m为定值，求此二次函数的解析式；（2）若二次函数的图象与x轴还有异于点A的另一个交点，求m的取值范围。
二、知识点串联，综合应用例：如图，抛物线y＝ax2＋bx＋c过点A（－1，0），且经过直线y＝x－3与坐标轴的两个交次函数教案篇二教学目标熟练地掌握二次函数的最值及其求法。
初三数学一元二次方程教案(最新5篇)
初三数学一元二次方程教案(最新5篇)元二次方程篇一教学目标1. 了解整式方程和的概念；2. 知道的一般形式，会把化成一般形式。
3. 通过本节课引入的教学，初步培养学生的数学来源于实践又反过来作用于实践的辨证唯物主义观点，激发学生学习数学的兴趣。
教学重点和难点：重点：的概念和它的一般形式。
难点：对的一般形式的正确理解及其各项系数的确定。
教学建议：1. 教材分析：1）知识结构：本小节首先通过实例引出的概念，介绍了的一般形式以及中各项的名称。
2）重点、难点分析理解的定义：是的重要组成部分。
方程，只有当时，才叫做。
如果且，它就是了。
解题时遇到字母系数的方程可能出现以下情况：（1）的条件是确定的，如方程（），把它化成一般形式为，由于，所以，符合的定义。
（2）条件是用“关于的”这样的语句表述的，那么它就隐含了二次项系数不为零的条件。
如“关于的”，这时题中隐含了的条件，这在解题中是不能忽略的。
（3）方程中含有字母系数的项，且出现“关于的方程”这样的语句，就要对方程中的字母系数进行讨论。
如：“关于的方程”，这就有两种可能，当时，它是一元一次方程；当时，它是，解题时就会有不同的结果。
教学目的1.了解整式方程和的概念；2.知道的一般形式，会把化成一般形式。
3.通过本节课引入的教学，初步培养学生的数学来源于实践又反过来作用于实践的辨证唯物主义观点，激发学生学习数学的兴趣。
教学难点和难点：重点：1.的有关概念2.会把化成一般形式难点：的含义。
教学过程设计一、引入新课引例：剪一块面积是壹五0cm2的长方形铁片，使它的长比宽多5cm、这块铁片应该怎样剪？分析：1.要解决这个问题，就要求出铁片的长和宽。
2.这个问题用什么数学方法解决？(间接计算即列方程解应用题。
3.让学生自己列出方程( x（x十5）＝壹五0 )深入引导：方程x(x十5)＝壹五0有人会解吗？你能叫出这个方程的名字吗？二、新课1.从上面的引例我们有这样一个感觉：在解决日常生活的计算问题中确需列方程解应用题，但有些方程我们解不了，但必须想办法解出来。
新人教版九年级数学第21章一元二次方程教案导学案(全章)
第21章一元二次方程教材内容1．本单元教学的主要内容．一元二次方程概念；解一元二次方程的方法；一元二次方程应用题．2．本单元在教材中的地位与作用．一元二次方程是在学习《一元一次方程》、《二元一次方程》、分式方程等基础之上学习的，它也是一种数学建模的方法．学好一元二次方程是学好二次函数不可或缺的，是学好高中数学的奠基工程．应该说，一元二次方程是本书的重点内容．教学目标1．知识与技能了解一元二次方程及有关概念；掌握通过配方法、公式法、因式分解法降次──解一元二次方程；掌握依据实际问题建立一元二次方程的数学模型的方法；应用熟练掌握以上知识解决问题．2．过程与方法（1）通过丰富的实例，让学生合作探讨，老师点评分析，建立数学模型．•根据数学模型恰如其分地给出一元二次方程的概念．（2）结合八册上整式中的有关概念介绍一元二次方程的派生概念，如二次项等．（3）通过掌握缺一次项的一元二次方程的解法──直接开方法，•导入用配方法解一元二次方程，又通过大量的练习巩固配方法解一元二次方程．（4）通过用已学的配方法解ax2+bx+c=0（a≠0）导出解一元二次方程的求根公式，接着讨论求根公式的条件：b2-4ac>0，b2-4ac=0，b2-4ac<0．（5）通过复习八年级上册《整式》的第5节因式分解进行知识迁移，解决用因式分解法解一元二次方程，并用练习巩固它．（6）提出问题、分析问题，建立一元二次方程的数学模型，•并用该模型解决实际问题．3．情感、态度与价值观经历由事实问题中抽象出一元二次方程等有关概念的过程，使同学们体会到通过一元二次方程也是刻画现实世界中的数量关系的一个有效数学模型；经历用配方法、公式法、分解因式法解一元一次方程的过程，使同学们体会到转化等数学思想；经历设置丰富的问题情景，使学生体会到建立数学模型解决实际问题的过程，从而更好地理解方程的意义和作用，激发学生的学习兴趣．教学重点1．一元二次方程及其它有关的概念．2．用配方法、公式法、因式分解法降次──解一元二次方程．3．利用实际问题建立一元二次方程的数学模型，并解决这个问题．教学难点1．一元二次方程配方法解题．2．用公式法解一元二次方程时的讨论．3．建立一元二次方程实际问题的数学模型；方程解与实际问题解的区别．教学关键1．分析实际问题如何建立一元二次方程的数学模型．2．用配方法解一元二次方程的步骤．3．解一元二次方程公式法的推导．课时划分本单元教学时间约需18课时，具体分配如下：21．1 一元二次方程2课时21．2 降次──解一元二次方程9课时21．3 实际问题与一元二次方程3课时教学活动、习题课、小结 4课时第1课时一元二次方程（1）第2课时一元二次方程（2）第3课时解一元二次方程——配方法（1）第4课时解一元二次方程——配方法（2）第5课时解一元二次方程——配方法（3）第6课时解一元二次方程——公式法（1）第7课时解一元二次方程——公式法（2）第8课时解一元二次方程—因式分解法（1）第9课时解一元二次方程—因式分解法（2）第10课时一元二次方程的解法复习课的数学思想。
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第二讲：一元二次方程一、考点、热点回顾1. 一元二次方程的四种解法：直接开平方法、因式分解法、配方法、公式法2. 根的判别式：关于x的一元二次方程ax bx c a 200++=()≠∆=-b ac24当∆>0时，方程有两个不相等的实根当∆=0时，方程有两个相等的实根当∆<0时，方程无实根3. 根与系数关系关于x的一元二次方程ax bx c a 200++=()≠当∆≥+=-= 01212时，有，x xbax xca二、典型例题一、复习引入（学生活动）用配方法解下列方程（1）6x2-7x+1=0 （2）4x2-3x=52（老师点评）（1）移项，得：6x2-7x=-1二次项系数化为1，得：x2-76x=-16配方，得：x2-76x+（712）2=-16+（712）2（x-712）2=25144x-712=±512x1=512+712=7512+=1x2=-512+712=7512-=16（2）略总结用配方法解一元二次方程的步骤（学生总结，老师点评）．（1）移项；（2）化二次项系数为1；（3）方程两边都加上一次项系数的一半的平方；（4）原方程变形为（x+m ）2=n 的形式；（5）如果右边是非负数，就可以直接开平方求出方程的解，如果右边是负数，则一元二次方程无解．二、探索新知如果这个一元二次方程是一般形式ax 2+bx+c=0（a ≠0），你能否用上面配方法的步骤求出它们的两根，请同学独立完成下面这个问题．问题：已知ax 2+bx+c=0（a ≠0）且b 2-4ac ≥0，试推导它的两个根x 1=2b a-，x 2分析：因为前面具体数字已做得很多，我们现在不妨把a 、b 、c•也当成一个具体数字，根据上面的解题步骤就可以一直推下去．解：移项，得：ax 2+bx=-c二次项系数化为1，得x 2+b a x=-c a 配方，得：x 2+b a x+（2b a ）2=-c a +（2b a）2 即（x+2b a）2=2244b aca - ∵b 2-4ac ≥0且4a 2>0∴2244b aca -≥0直接开平方，得：x+2b a =±2a即∴x 1x 2 由上可知，一元二次方程ax 2+bx+c=0（a ≠0）的根由方程的系数a 、b 、c 而定，因此：（1）解一元二次方程时，可以先将方程化为一般形式ax 2+bx+c=0，当b-4ac ≥0时，•将a 、b 、c 代入式子就得到方程的根．（2）这个式子叫做一元二次方程的求根公式．（3）利用求根公式解一元二次方程的方法叫公式法． （4）由求根公式可知，一元二次方程最多有两个实数根．例1．用公式法解下列方程．（1）2x 2-4x-1=0 （2）5x+2=3x2（3）（x-2）（3x-5）=0 （4）4x 2-3x+1=0分析：用公式法解一元二次方程，首先应把它化为一般形式，然后代入公式即可． 解：（1）a=2，b=-4，c=-1b 2-4ac=（-4）2-4×2×（-1）=24>0x=(4)422242--±±±==⨯∴x 1x 2 （2）将方程化为一般形式 3x 2-5x-2=0a=3，b=-5，c=-2b 2-4ac=（-5）2-4×3×（-2）=49>0x=(5)57236--±±=⨯x 1=2，x 2=-13（3）将方程化为一般形式3x 2-11x+9=0a=3，b=-11，c=9b 2-4ac=（-11）2-4×3×9=13>0∴x=(11)11236--±=⨯∴x 1=116+x 2=116- （3）a=4，b=-3，c=1b 2-4ac=（-3）2-4×4×1=-7<0因为在实数围，负数不能开平方，所以方程无实数根． 三、巩固练习 教材P 42 练习1．（1）、（3）、（5） 四、应用拓展例2．某数学兴趣小组对关于x 的方程（m+1）22m x++（m-2）x-1=0提出了下列问题．（1）若使方程为一元二次方程，m 是否存在？若存在，求出m 并解此方程． （2）若使方程为一元二次方程m 是否存在？若存在，请求出． 你能解决这个问题吗？分析：能．（1）要使它为一元二次方程，必须满足m 2+1=2，同时还要满足（m+1）≠0． （2）要使它为一元一次方程，必须满足:①211(1)(2)0m m m ⎧+=⎨++-≠⎩或②21020m m ⎧+=⎨-≠⎩或③1020m m +=⎧⎨-≠⎩解：（1）存在．根据题意，得：m 2+1=2m 2=1 m=±1 当m=1时，m+1=1+1=2≠0当m=-1时，m+1=-1+1=0（不合题意，舍去）∴当m=1时，方程为2x 2-1-x=0 a=2，b=-1，c=-1b 2-4ac=（-1）2-4×2×（-1）=1+8=9x=(1)13224--±=⨯x 1=，x 2=-12因此，该方程是一元二次方程时，m=1，两根x 1=1，x 2=-12． （2）存在．根据题意，得：①m 2+1=1，m 2=0，m=0因为当m=0时，（m+1）+（m-2）=2m-1=-1≠0 所以m=0满足题意．②当m 2+1=0，m 不存在．③当m+1=0，即m=-1时，m-2=-3≠0 所以m=-1也满足题意．当m=0时，一元一次方程是x-2x-1=0， 解得：x=-1当m=-1时，一元一次方程是-3x-1=0解得x=-13因此，当m=0或-1时，该方程是一元一次方程，并且当m=0时，其根为x=-1；当m=-•1时，其一元一次方程的根为x=-13． 五、归纳小结 本节课应掌握：（1）求根公式的概念及其推导过程； （2）公式法的概念；（3）应用公式法解一元二次方程； （4）初步了解一元二次方程根的情况． 六、布置作业1．教材P 45 复习巩固4． 2．选用作业设计:一、选择题1．用公式法解方程4x 2-12x=3，得到（ ）．A ．x=32-±．C ．x=32-± D ．x=32±22的根是（ ）．A ．x 1x 2B ．x 1=6，x 2C ．x 1x 2．x 1=x 2 3．（m 2-n 2）（m 2-n 2-2）-8=0，则m 2-n 2的值是（ ）． A ．4 B ．-2 C ．4或-2 D ．-4或2 二、填空题1．一元二次方程ax 2+bx+c=0（a ≠0）的求根公式是________，条件是________．2．当x=______时，代数式x 2-8x+12的值是-4．3．若关于x 的一元二次方程（m-1）x 2+x+m 2+2m-3=0有一根为0，则m 的值是_____． 三、综合提高题1．用公式法解关于x 的方程：x 2-2ax-b 2+a 2=0．2．设x 1，x 2是一元二次方程ax 2+bx+c=0（a ≠0）的两根，（1）试推导x 1+x 2=-b a ，x 1·x 2=ca；（2）•求代数式a （x 13+x 23）+b （x 12+x 22）+c （x 1+x 2）的值．3．某电厂规定：该厂家属区的每户居民一个月用电量不超过A 千瓦时，•那么这户居民这个月只交10元电费，如果超过A 千瓦时，那么这个月除了交10•元用电费外超过部分还要按每千瓦时100A元收费．（1）若某户2月份用电90千瓦时，超过规定A 千瓦时，则超过部分电费为多少元？（•用A 表示）（2答案:一、1．D 2．D 3．C二、1．x=2b a -，b 2-4ac ≥0 2．4 3．-3三、1．x=22a =a ±│b │2．（1）∵x 1、x 2是ax 2+bx+c=0（a ≠0）的两根，∴x 1=2b a -，x 2=2b a-∴x 1+x 2ba，x 1·x 2=2b a -·2b a-=ca（2）∵x 1，x 2是ax 2+bx+c=0的两根，∴ax 12+bx 1+c=0，ax 22+bx 2+c=0原式=ax 13+bx 12+c 1x 1+ax 23+bx 22+cx 2=x 1（ax 12+bx 1+c ）+x 2（ax 22+bx 2+c ） =03．（1）超过部分电费=（90-A ）·100A =-1100A 2+910A（2）依题意，得：（80-A ）·100A=15，A 1=30（舍去），A 2=50。