二重积分习题及答案

解
在极坐标系下
x
y
r cos r sin
所以圆方程为 r 1,
直线方程为r
1
,
sin cos
x2 y2 1 xy1
f(x, y)dxd y 2d1 1 f(rco ,rssin )rd . r
D
0 sin co s
8
计算 ( x2 y2 )dxdy，其 D 为由圆
D
x2 y2 2 y， x2 y2 4 y及直线 x 3y 0，
y 3x 0 所围成的平面闭区域.
解
y
3x02
3
x2y24y r 4 sin
x
3y01
6
x2y22y r2sin
(x2y2)dxdy
3d
4sinr2rdr15(
3).
D
6
2sin
2
谢谢！
(2) D由直线 y x ,y 1 ,x 1围成 .
解: (1) 利用对称性.
I x2dxdy xyex2y2dxdy
D
D
y
1 2D (x2y2)dxdy0
D
1 2d 1r3dr
20 0
4
o 1x
(2) 积分域如图: 添加辅助线 yx,将D 分为 D1,D2,
利用对称性 , 得
I x2dxdy xyex2y2dxdy
1
yx
作辅助线 yx将D 分成
D1
D1, D2两部分
D2 o 1x
2D 2(xy)dxdy2Ddxdy
2( 21)
3
2
说明: 若不用对称性, 需分块积分以去掉绝对值符号.
5 计算 (xy)dx,D d:y x2y21
D
分析 积分区域D关于x、y轴均对称, 被积函数
f(x,y)xy关于x,y均是偶函数，利用对称性
D
D1
y
xyex2y2dxdy D2
1x2dx
x
dy00
1
1
yx
o D2 D1
1x
1 yx
2 3
4. 计算二重积分
(1 )I D s g y n x 2 )d ( x d y ,D : 1 x 1 ， 0 y 1
(2 )I (x 2 y 2 2 x y 2 )d x d y ,其中D 为圆域 D
去掉绝对值符号.
解 采用直角坐标
(
x
y)dxdy4
1
dx
1x2
(xy)dy
8
D
00
3
【注】在利用对称性计算二重积分时，要同时考虑被积
函数的奇偶性和积分区域的对称性，不能只注意积分区域
关于坐标轴的对称性，而忽视了被积函数应具有相应的奇
偶性.
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6
证明
bdx x(xy)n2f(y)d y1 b(by)n1f(y)d.y
aa
n1a
b
x
证 dx (x y)n2 f(y)dy
a
a
b
b
b
dy (x y)n2 f(y)dx
a
y
a
a bf(y)d[n y1 1(xy)n 1]b y
1 b(by)n1f(y)d.y
n1a
yx
D
a
b
7 写出积分 f ( x, y)dxdy的极坐标二次积分形
D
式，其中积分区域
D {( x, y) | 1 x y 1 x2 , 0 x 1}.
二重积分习题及答案
2
1
计算积分 I 2 dy
yy
1
e xdx dy
yy
e xdx.
1
1
4
2
1 2
y
y
解 e xdx不能用初等函数表示
先改变积分次序.
yx
1
xy
原式 I dx e xdy
1 2
x2
y x2
1x(eex)dx 3e1 e.
1 2
82
3. 计算二重积分 I (x2xyex2y2)dxdy,其中: D (1) D为圆域 x2y21;
x2 y2 1在第一象限部分. 解: (1) 作辅助线 y x2 把与D 分成
D1, D2两部分, 则 1
I D1dxdyD2dxdy
y 1 D1
o 1x D2
1
dx
1
1
x2 dy
1 dx
1
x2
dy
0
2 3
(2) 提示:
ID (x2y2 2 x y2 )d xdy
y
D (xy2)dxdy